数列精选课后习题6(2010年高考试题分类)

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2010年全国各地高考数学真题分章节分类汇编---数列

，所以数列，所以，即
是递增数列；反之，若数列，所以是数列
是递增数列，则公比是递增数列的充分必要条
件。【命题意图】本题考查等比数列及充分必要条件的基础知识，幞保分题。 2．(2010年高考湟西卷文科7)等比数列 A． B． C．中， D．，，，则
3. (2010年高考浙湟卷文科5)设 (A)-11 (C)5 解析：通过 (B)-8 (D)11
等差数列{an}的前n项和为Sn，满足（Ⅰ）若 =5，湂及 a1 ；
（Ⅱ）湂d的取值范围。解析：本题主要考查等差数列概念、湂和公式等基础知识，同时考查运算湂解能力及分析问题解决问题的能力。
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（2）当为何值时，
【答案】证明：（1）由已知有：方滕一：取用反证滕证明这些假设故
的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平方，故此时无理项（2）要使也有无穷多．为整数，由可知：同或不是有理数，因这种有无穷多，故这种
为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有
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（Ⅲ）记
，证明
.
【命题意图】本帏题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列湂和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分繻讨论的思想方滕。【解析】（ I）证明：由题设可知，，，，，。从而，所以，，成等比数列。

2010年高考数学试题分类汇编--数列

2010年高考数学试题分类汇编一一数列（2010浙江理数）（3）设S n为等比数列啣的前n项和，832 3^ 0，则」二S2（A）11 （B）5 （C）_8 （D）-113解析：解析：通过8a2 0，设公比为q，将该式转化为8a? • a?q = 0 ,解得q=-2，带入所求式可知答案选D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式，属中档题（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列 '禺f中，a3 a4 *5=12，那么a1 a2 ■ ... a7 =（A）14 （B）21 （C）28 （D）35【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质【解析】a3a4a5= 3a4 = 12,a4= 4,. a j a2）1] a7二7（a―= 7a4二282（2010辽宁文数）（3）设S n为等比数列[a「的前n项和，已知3S^ -a^2，3S2=a3-2，则公比q二（A） 3 （B） 4 （C） 5 （D）6解析：选 B.两式相减得，3a3=a4-a3, a4 r%. q=^=4.a3（2010辽宁理数）（6 ）设｛a n｝是有正数组成的等比数列，S n为其前n项和。

已知a2a4=1, S3 =7,则S5二/八15（A）2【答案】B31 33 17(B) 31 (C) 33 (D)R【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。

1【解析】由a2a4=1可得a2q4= 1，因此印2，又因为S^ = ad「q • q2） = 7，联q31114-(1-25)31力两式有(3)( 2) =0，所以q=，所以S 52 ，故选B 。

q q2114 2(2010全国卷2文数)(6)如果等差数列：a/?中，a 3 + a 4 + a 5=l2,那么a 1 + a 2 +?…+ a 7 = (A ) 14(B) 21(C) 28(D) 35【解析】C :本题考查了数列的基础知识。

2010年高考试题分类汇编(数列)

2010年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列1.（2010·重庆卷·文科）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为 A.5 B.6 C.8 D.102.（2010·大纲全国卷Ⅱ·文理科）如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=A.14B.21C.28D.353.（2010·福建卷·理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若111a =-，46a a +6=-，则当n S 取最小值时，n 等于A.6B.7C.8D.9 4．（2010·课标全国卷·文科）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值.5.（2010·山东卷·文理科）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令*21()1n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 6.（2010·安徽卷·理科）设数列1a ，2a ，3a …，n a ，…中每一项都不为0. 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n N +∈，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=⋅⋅⋅⋅L . 考点2 等比数列1.（2010·重庆卷·理科）在等比数列{}n a 中，201020078a a =，则公比q 的值为 A. 2 B. 3 C. 4 D. 82.（2010·北京卷·理科）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m =A.9B.10C.11D.123.（2010·山东卷·文科）设{}n a 是首项大于零的等比数列，则“12a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分而不必要条件D.既不充分也不必要条件4.（2010·山东卷·理科）设{}n a 是等比数列，则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的A.充分且不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.（2010·浙江卷·理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=, 则52S S = A.11 B.5 C.-8 D.-116.（2010·辽宁卷·理科）设{}n a 是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和.已知241a a ⋅=, 37S =,则5S = A.152 B.314 C.334D.172 7.（2010·辽宁卷·文科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432s a =-，2332S a =-，则公比q = A.3B.4C.5D.68.（2010·江西卷·理科）等比数列{}n a 中182,4a a ==，函数128()()()()f x x x a x a x a =--⋅⋅⋅-，则'(0)f =A ．62B ．92C ．122D ．1529.（2010·大纲全国卷·文理科）已知各项均为正数比数列{}n a 中，1235a a a =，78910a a a =，则456a a a =A. C. 6D. 10.（2010·大纲全国卷Ⅱ·文科）已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且1212112()a a a a +=+.34534511164()a a a a a a ++=++.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21()n n nb a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T 11.（2010·上海卷·理科）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈（Ⅰ）证明：{}1n a -是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n S 的通项公式. 考点3 等差数列与等比数列的综合应用1.（2010·广东卷·文理科）已知数列{}n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和.若2312a a a ⋅=,且4a 与72a 等差中项为54，则5S =A.35B.33C.31D.291.（2010·湖北卷·文科）已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+A ．1+．．．3.（2010·福建卷·文科）数列{}n a 中，113a =，前n 项和n S 满足1n S +-n S ＝11()3n +（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ；（Ⅱ）若1S , 12()t S S -, 233()S S +成等差数列，求实数t 的值.4.（2010·陕西卷·文理科）已知{}n a 是公差不为零的等差数列,11a =，且139,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项；（Ⅱ）求数列{}n a 2的前n 项和n S .5.（2010·大纲全国卷Ⅰ·文理科）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设1312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .6.（2010·重庆卷·文科）已知{}n a 是首项为19，公差为2-的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（Ⅰ）求通项n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T . 考点4 其它1.（2010·陕西卷·理科）对于数列{}n a ，“1n n a a +>（1,2,n = ）”是“{}n a 为递增数列”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.（2010·安徽卷·文科）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为 A. 15 B. 16 C. 49 D. 643.（2010·辽宁卷·理科）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则na n的最小值为_____.4.（2010·课标全国卷·理科）设数列{}n a 满足12a =，21132n n n a a -+-=⋅. （Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式：（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S .5.（2010·大纲全国卷Ⅰ·理科）已知数列{}n a 中11a =，11n na c a +=-.（Ⅰ）设52c =，12n n b a =-,求数列{}n b 的通项公式. （Ⅱ）求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围。

2010-2012高考数学分类汇总之数列(含答案)

2
∵{an} 是各项都为正数的等比数列
∴设其公比为 q ，则 q 0
①当 q 1 时， ∵ an 0
∴数列 an 是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得 an1 2
②当 0 q 1时 ∵ an 0
∴数列 an 是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得 an1 1
由①②得： q 1
1 1
3 2
3
（法二）∵ an1 3n1 2n1 2 3n 2n1 2an
∴ 1 1 1 an1 2 an
当 n 2 时， 1 1 1 a3 2 a2
1 1 1 a4 2 a3
1 1 1 ……… a5 2 a4
1 1 1 an 2 an1
累乘得：
1 an
1 2
n2
1 a2
∴ an a1 n N*
∵1 an1
an bn an2 bn2
2
得： a1
a1 bn a12 bn2
，且1 a1
2
∴ bn
a1
a12 a12
2 a12 1
∵ bn1
2 bn an
2 a1
bn
，n
N
*
∴数列bn 是公比为
2 a1
的等比数列
∵ 1 a1 2
∴ 2 1 a1
，使 xN
1 2
xN
xN 1
1
xN 2
xN 1 与 xN 1 xN
异号
与数列{xn} 是单调递减数列矛盾
得：当
0
c
1 4
时，数列{xn} 是单调递增数列
48、（12 广东）设数列an 的前 n 项和为 Sn ，满足 2Sn an1 2n1 1, n N , 且 a1, a2 5, a3 成等

2010年高考数学数列

2010年高考数学试题分析——数列1．（2010湖南文数20题）给出下面的数表序列：表1 表二表3 1 1 3 1 3 54 4 8 12其中表(1,2,3,)n n =⋅⋅⋅有n 行，第1行的n 个数是1,3,5,…,21n -，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表(3)n n ≥（不要求证明）；（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12,…，记此数列为{}n b 。

求和：32412231++++⋅⋅⋅+n n n b b bb b b b b b (*)n ∈N .2．（2010陕西文数16题）已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项;（Ⅱ）求数列{}2a n 的前n 项和n S .3．（2010全国卷2文数18题）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 4．（2010江西理数22题）证明以下命题：（I ）对任一正整a ,都存在整数,()b c b c <，使得222a b c ，，成等差数列；（II ）存在无穷多个互不相似的三角形n ∆，其边长n n n a b c ，，为正整数且222n n n a b c ，，成等差数列.5．（2010安徽文数21题）设12,,,,n C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y =相切.对每一个正整数n ,圆n C 都与圆1n C +相互外切，以n r 表示n C 的半径，已知{}n r 为递增数列. （1）证明：{}n r 为等比数列；（2）设11r =，求数列{}nnr 的前n 项和.6．（2010重庆文数16题）已知{}n a 是首项为19，公差为－2的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和.（I ）求通项n a 及n s ；（II ）设{}n n b a -是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .7．（2010浙江文数19题）设1,a d 为实数，首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足56150.S S += （I ）若55S =，求6S 及1a ；（II ）求d 的取值范围.8．（2010山东文数18题）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （I ）求n a 及n S ；（II ）令211n n b a =-（*n ∈N ）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 9．（2010北京理数20题）已知集合12{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,)n A a a a =⋅⋅⋅，12(,,,)n n B b b b S =∈…,，定义A 与B 的差为1122(,,);n n A B a b a b a b -=--⋅⋅⋅-A 与B 之间的距离为111(,)||.ni d A B a b ==-∑（I ）证明：,,n A B C S ∀∈，有n A B S -∈，且(,)(,);d A C B C d A B --= （II ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数；（III ）设,n P S P ⊆中有(2)m m ≥个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为()d P .证明：()2(1)mnd P m ≤-10．（2010四川理数21题）已知数列{}n a 满足120,2a a ==，且对任意,*m n ∈N 都有22121122().m n m n a a a m n --+-+=+- （I ）求35,a a ；（II ）设2121(*)n n n b a a n +-=-∈N ，证明数列：{}n a 是等差数列；（III ）设11()(0,*)n n n n c a a q a n -+--≠∈N ，求数列{}n c 的前n 项和.n S本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 11．（2010天津理数22题）在数列{}n a 中，10a =，且对任意*k ∈N ,21k a -,2k a ,21k a +成等差数列，其公差为k d . （I ）若2k d k =，证明2,k a 21,k a +22k a +成等比数列（*k ∈N ）（II ）若对任意*k ∈N ，2,k a 21,k a +22k a +成等比数列，其公比为k q .（i ）设11q ≠，证明11k q ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（ii ）若22a =，证明22322(2).2nk kk n n a =<-≤≥∑本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法. 12．（2010全国卷1理数22题）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==- . （I ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（II ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . 13．（2010湖北理数20题）已知数列{}n a 满足：11113(1)2(1)1,,0(1)211n n n n n n a a a a a n a a +++++==<≥--数列{}n b 满足：221(1).n n n b a a n +=-≥（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（II ）证明：数列{}n b 中的任意三项不可能成等差数列.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识以及反证法，同时考查推理论证能力. 14．（2010江苏卷理数19题）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列。

2010-2019高考真题分类训练理数专题六数列第十八讲数列的综合应用答案

专题六数列第十八讲数列的综合应用答案部分 2019年1.解析：对于B ，令2104x λ-+=，得12λ=，取112a =，所以211,,1022n a a ==<L ，所以当14b =时，1010a <，故B 错误；对于C ，令220x λ--=，得2λ=或1λ=-，取12a =，所以22,,210n a a ==<L ，所以当2b =-时，1010a <，故C 错误；对于D ，令240x λ--=，得12λ±=，取1a =2a =，…，10n a =<，所以当4b =-时，1010a <，故D 错误；对于A ，221122a a =+…，223113224a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭…，242431911714216216a a a ⎛⎫=++++=> ⎪⎝⎭…，10n n a a +->，{}n a 递增，当4n …时，11132122n n n n a a a a +=+>+=，所以5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎨⎪⎪⎪>⎪⎩M，所以610432a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以107291064a >>故A 正确．故选A ． 2.解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-．所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ．我们用数学归纳法证明．①当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；②假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12h c c c +++<L ．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<L<==即当1n k =+时不等式也成立．根据（1）和（2），不等式12n c c c +++<L 对任意*n ∈N 成立．3.解析（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k kq k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x =e.列表如下：x (1,e)e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．3.解析：（I ）1，3，5，6.（答案不唯一）.（II ）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为110,...,,q r r n a a a -.由p q <，10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a .又12,,...,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0,p m r a a ≤所以00m n a a <.（III ）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m -1之前（m 为正整数）.假设2m 排在2m -1之后，设121,,...,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m -1的递增子列，则121,,...,,2 1.2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m+1末项为2m 的递增子列，与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小正偶数为2m.因为2k 排在2k -1之前() 1,2,1k m =⋯- ,所以2k 和2k -1不可能在{}n a 的同一个子列中. 又{}n a 中不超过 21m +的数为1，2，…..， 21m -， 21m +，所以{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数至多为12222112 2m m -⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=<，与已知矛盾.最后证明 2m 排在 23m -之后（ 2m ≥为整数）.假设存在 2m （ 2m ≥），使得 2m 排在 23m -之前，则{}n a 的长度为 1m +末项为 21m +的递增子列个数小于 2m ，与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅. 经验证，数列2,1,4,3,,23,2,21,m m m ⋅⋅⋅--⋅⋅⋅符合条件，所以1,1.n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.2010-2018年1．A 【解析】对数列进行分组如图k321∙∙∙，222121，2k 22，21，20，20，20，20则该数列前k 组的项数和为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+= 由题意可知100N >，即(1)1002k k +>，解得14k ≥，n ∈*N 即N 出现在第13组之后．又第k 组的和为122112kk -=-- 前k 组的和为1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+- 12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--，设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*N 个数，第1k +组的前m 项和为211222m -+++⋅⋅⋅+21m =-，要使该数列的前N 项和为2的整数幂，即21m -与2k --互为相反数，即212mk -=+，所以23mk =-，由14k ≥，所以2314m-≥，则5m ≥，此时52329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)54402N +=+=，故选A ． 2．C 【解析】由题意可得10a =，81a =，2a ，3a ，…，7a 中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．3．A 【解析】对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.4．A 【解析】2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+．5．B 【解析】∵21)(x x f =在[0,1]上单调递增，可得1110()()0f a f a ->，1211()()0f a f a ->，…，199198()()0f a f a ->，∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+⋅⋅⋅+--=299-0=199（） ∵),(2)(22x x x f -=在490]99[，上单调递增，在50[,1]99单调递减 ∴2120()()0f a f a ->，…，249248()()0f a f a ->，250249()()0f a f a -=，251250()()0f a f a -<，…，299298()()0f a f a -<∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --=505098004(1)199999801⨯⨯-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99，5074[,]9999上单调递增，在2549[,]9999，75[,1]99上单调递减，可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999I f a f a f a ππ=-+-）252(2sin sin )(1312123444ππ>-=-=> 因此312I I I <<．6．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．7．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5．8．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n na a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 9．64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列，得2111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，故81878642S a d ⨯=+=． 102a t =，则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，所以max{q t ≥，故q．11．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，因此*k N ∈，所以4k =．12．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,12n n b -=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．13．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（Ⅱ）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．15．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-，故1231433n nn e e e --++鬃?>. 16．【解析】（Ⅰ）由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩．解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩．（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++L ， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-L ，故n T 12362n n -+=-． 17．【解析】（Ⅰ）2()()212,nn n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x ．又1()120n n F x x nx-'=++>L ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x ．因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.（Ⅱ）解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-L若01x <<,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'>++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=若1x >,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'<++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <．综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <．解法二由题设，()()211()1,(),0.2nn n n n x f x x x x g x x ++=+++=>L当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <．当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立．假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <．那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-．所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增．所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>．故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立．所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <．解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+．则111a b ==，11nn n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =．当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--，而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥．若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<，当1x >,11n k x-+>,()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <18．【解析】（Ⅰ）由21=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈，，有．若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意,0n n N a +∈≠．从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列．故11132n n n a a q --==⋅．（Ⅱ）由01,1k λμ==-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()().n n n a a a n N k +++=∈由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅>．因为22220010001111111n nn n n n n a a k k a a k k a a a k k +-+===-?+++，所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+⋅⋅⋅+-010000102011111 =()111k a k k k k a k a k a -⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111>2+( )231313131k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>⋅⋅⋅>>>，得00110000102011111()111k k a a k k k k a k a k a +=-⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111<2+()221212121k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．综上，0100112+23121k a k k +<<+++．19．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比Θ解得12,11-=∴=n a a n （Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-L L1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1221211+=+-=∴n nn T n 11111(1)()()33557n n T =+-+++--L L 当为奇数时， 1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． 20．【解析】（Ⅰ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221Λ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==L ，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n n S n N n *=-∈+；（ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n nn n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．21．【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=．而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p == 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。

理科数学2010-2018高考真题分类专题六数列第十六讲等比数列答案

专题六数列第十六讲等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 4．B 【解析】由于241(1)21a qq ，13a ，所以4260q q ，所以22q(23q舍去)，所以36a ，512a ，724a ，所以35742a a a ．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=．8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯-14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---． 11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==．14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q --⇒+⇒=--，所以1{}na 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和5511()31211612T -==-． 15．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-．16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==，则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=．19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．20．21n【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---．21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．23．4【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15． 25．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=n n n a a a T ， 2)1(212nn n n a a a -==∏ ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．27．11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===解得或因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q ⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。

2010年高考数学试题分类汇编-数列(文科)答案

2010年高考数学试题分类汇编——数列（文）（2010上海文数）解析：(1) 当n =1时，a 1=-14；当n ≥2时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1，所以151(1)6n n a a --=-，又a 1-1=-15≠0，所以数列{a n -1}是等比数列；(2) 由(1)知：151156n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，得151156n n a -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭，从而1575906n n S n -⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(n ∈N *)；由S n +1>S n ，得15265n -⎛⎫<⎪⎝⎭，562log 114.925n >+≈，最小正整数n =15．（2010湖南文数）（2010全国卷2文数）【解析】本题考查了数列通项、前n 项和及方程与方程组的基础知识。

（1）设出公比根据条件列出关于1a 与d 的方程求得1a 与d ，可求得数列的通项公式。

（2）由（1）中求得数列通项公式，可求出BN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。

（2010陕西文数）解（Ⅰ）由题设知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d d++，解得d ＝1，d ＝0（舍去），故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma=2n ，由等比数列前n 项和公式得 S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n--=2n+1-2.（2010安徽文数）【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设n C 的圆心为(,0)n λ，得2n n r λ=，同理得112n n r λ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}n r 中1n r +与n r 的关系，证明{}n r 为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}n r 的通项公式，代入数列nn r ，然后用错位相减法求和. nn n n n nn+1n+1n+1n n n+1n+1n n n+1n nn 11nn n nn 121,sin ,332r 12r 22r r r 2r 2r r 3r r q 3n r 1q 3r 3n *3r 12.....r r x C θθλλλλλλλ--=====++====∏=====+++解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan =设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，解得故为公比的等比数列。

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(
1 2
a1 ( 2) n
2) n 8, 当且仅当 (
2)n ] , S2n
2
1 2
1 q6 1 q
1 an

}的最大项，则 n0 =
a1[1 ( 1
(
15
（D）
8
9(1 q3)
1 2
2)2n
2
)n1
，T5
] , an1
1 [ 16 ( 2)n 17], 1 2 ( 2)n
1
a2 a3

anan1 a1an1
1 1 1 1 n 1 ②，
a1a2 a2a3
n1 - n
an1an2 a1an2 a11)an1 nan2 ③，
同理可得 a1 nan (n 1)an1 ④，
2010 数列求和
1.（2010·天津高考理科·Ｔ6）已知an是首项为 1 的等比数列， sn 是an的前 n 项和，且 9s3 s6 ，
1 则数列的前 5 项和为( )
an
15
（A）或 5
8
31
（B）或 5
16
【命题立意】考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式．
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置2试时32卷，3各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并25工且52作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

理科数学十年高考真题(2010-2019)专项训练-专题六数列第十八讲数列的综合应用答案

2020高考冲刺提分必备 2010-2019十年高考真题专项训练专题六数列第十八讲数列的综合应用答案部分1．A 【解析】对数列进行分组如图k321∙∙∙，222121，2k 22，21，20，20，20，20则该数列前k 组的项数和为(1)1232k k k ++++⋅⋅⋅+= 由题意可知100N >，即(1)1002k k +>，解得14k ≥，n ∈*N 即N 出现在第13组之后．又第k 组的和为122112kk -=-- 前k 组的和为1(12)(122)k +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+12(21)(21)(21)k =-+-+⋅⋅⋅+- 12(222)k k =++⋅⋅⋅+-122k k +=--，设满足条件的的N 在第1k +(k ∈*N ,13k ≥)组，且第N 项为第1k +的第m ()m ∈*N 个数，第1k +组的前m 项和为211222m -+++⋅⋅⋅+21m =-，要使该数列的前N 项和为2的整数幂，即21m-与2k --互为相反数，即212mk -=+，所以23mk =-，由14k ≥，所以2314m-≥，则5m ≥，此时52329k =-= 对应满足的最小条件为29(291)54402N +=+=，故选A ． 2．C 【解析】由题意可得10a =，81a =，2a ，3a ，…，7a 中有3个0、3个1，且满足对任意k ≤8，都有1a ，2a ，…，k a 中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011, 00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个．3．A 【解析】对命题p ：12,,,n a a a L 成等比数列，则公比)3(1≥=-n a a q n n且0≠n a ；对命题q ，①当0=n a 时，22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立；②当0≠n a 时，根据柯西不等式，等式22222221212312231()()()n n n n a a a a a a a a a a a a --++++++=+++L L L 成立，则nn a a a a a a 13221-=⋅⋅⋅==，所以12,,,n a a a L 成等比数列，所以p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件.4．A 【解析】2a ，4a ，8a 成等比数列，∴2428a a a =⋅，即2111(6)(2)(14)a a a +=++，解得12a =，所以(1)n S n n =+．5．B 【解析】∵21)(x x f =在[0,1]上单调递增，可得1110()()0f a f a ->，1211()()0f a f a ->，…，199198()()0f a f a ->，∴111101211199198|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+-1110121119919819910()()+()()()()=()()f a f a f a f a f a f a f a f a --+⋅⋅⋅+--=299-0=199（）∵),(2)(22x x x f -=在490]99[，上单调递增，在50[,1]99单调递减 ∴2120()()0f a f a ->，…，249248()()0f a f a ->，250249()()0f a f a -=，251250()()0f a f a -<，…，299298()()0f a f a -<∴221202221299298|()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a =-+-+⋅⋅⋅+- =24920299250()()[()()]f a f a f a f a ---=250202992()()()f a f a f a --=505098004(1)199999801⨯⨯-=< ∵|2sin |31)(3x x f π=在24[0,]99，5074[,]9999上单调递增，在2549[,]9999，75[,1]99上单调递减，可得33253493742492()2()2(=(2sin sin )39999I f a f a f a ππ=-+-）252(2sin sin )(1312123444ππ>-=-=> 因此312I I I <<．6．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．7．5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5．8．12【解析】将82a =代入111n n a a +=-，可求得712a =；再将712a =代入111n na a +=-，可求得61a =-；再将61a =-代入111n na a +=-得52a =；由此可知数列{}n a 是一个周期数列，且周期为3，所以1712a a ==． 9．64【解析】由11a =且125,,a a a 成等比数列，得2111(4)()a a d a d +=+，解得2d =，故81878642S a d ⨯=+=． 102a t =，则23112t q t q t q ++≤≤≤≤≤≤，由于1t ≥，所以max{q t ≥，故q．11．4【解析】由题意得1122(4)()(1)(14)()3322(4)()(1)(14)()33k k k k k k k k k k k k -+⎧+>--+⎪⎪⎨⎪+>+++⎪⎩，得22(1)1010k k ⎧-<⎨>⎩，因此*k N ∈，所以4k =．12．【解析】(1)由条件知：(1)n a n d =-,12n n b -=．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立，即1|(1)2|1n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此，d 的取值范围为75[,]32．(2)由条件知：1(1)n a b n d =+-,11n n b b q -=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立，即1111|(1)|n b n d b q b -+--≤(n =2，3，···，m +1)，即当2,3,,1n m =+L 时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈，则112n m q q -<≤≤，从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+L 均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+L ）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---，当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当0x >时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()(0)1f x f <=．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-，因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m．因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．13．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=. 又因为0q >，解得2q =.所以，2nn b =.由3412b a a =-，可得138d a -= ①. 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-.所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =.（Ⅱ）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4nn T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L1112(14)4(31)414(32)48.n n n n n ++⨯-=---⨯-=--⨯- 得1328433n n n T +-=⨯+. 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+. 14．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：0n x >当1n =时，110x => 假设n k =时，0k x >，那么1n k =+时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0n x >()n ∈*N所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>因此10n n x x +<<()n ∈*N（Ⅱ）由111ln(1)n n n n x x x x +++=++>得2111111422(2)ln(1)n n n n n n n n x x x x x x x x ++++++-+=-+++ 记函数2()2(2)ln(1)(0)f x x x x x x =-+++≥函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)f x f ≥=0，因此2111112(2)ln(1)()0n n n n n x x x x f x +++++-+++=≥ 故112(N )2n n n n x x x x n *++-∈≤ （Ⅲ）因为11111ln(1)2n n n n n n x x x x x x +++++=+++=≤所以112n n x -≥得由1122n n n n x x x x ++-≥得 111112()022n n x x +-->≥ 所以12111111112()2()2222n n n n x x x -----⋅⋅⋅-=≥≥≥ 故212n n x -≤综上，1211(N )22n n n x n *--∈≤≤ ．15．【解析】（Ⅰ）由已知，1211,1,n n n n S qS S qS +++=+=+两式相减得到21,1n n a qa n ++=?.又由211S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ³都成立. 所以，数列{}n a 是首项为1，公比为q 的等比数列. 从而1=n n a q -.由2322+2a a a ，，成等比数列，可得322=32a a +，即22=32,q q +，则(21)(2)0q+q -=，由已知,0q >，故 =2q . 所以1*2()n n a n -=?N . （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，1n n a q -=.所以双曲线2221ny x a -=的离心率n e =由53q =解得43q =. 因为2(1)2(1)1+k k q q -->1*k q k -?N （）. 于是11211+1n n n q e e e q q q --++鬃?>+鬃?=-，故1231433n nn e e e --++鬃?>. 16．【解析】（Ⅰ）由题意有，1110451002a d a d +=⎧⎨=⎩ ，即1129202a d a d +=⎧⎨=⎩．解得112a d =⎧⎨=⎩ 或1929a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，故1212n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279)929()9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩．（Ⅱ）由1d >，知21n a n =-，12n n b -=，故1212n n n c --=，于是 2341357921122222n n n T --=++++++L ， ① 2345113579212222222n n n T -=++++++L . ② ①-②可得221111212323222222n n n n n n T --+=++++-=-L ，故nT 12362n n -+=-． 17．【解析】（Ⅰ）2()()212,nn n F x f x x x x =-=+++-L 则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n n n n F +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-L 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x ．又1()120n n F x x nx-'=++>L ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1(,1)2内有且仅有一个零点n x ．因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n x x +--=-，故111=+22n n n x x +.（Ⅱ）解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nn n n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->L当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx--+'=++-L若01x <<,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'>++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-L()()11110.22n n n n n n x x --++=-=所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <．综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <．解法二由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>L当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <．当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立．假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <．那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x x g x x x+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kxk x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)kk k k h x k x k k xk k x --'=+-+=+-．所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增．所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>．故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立．所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <．解法三:由已知，记等差数列为{}k a ，等比数列为{}k b ，1,2,...,1k n =+．则111a b ==，11nn n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤ 令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =．当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=--，而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥．若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<，当1x >,11n k x-+>,()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <18．【解析】（Ⅰ）由21=0=22()n n n a a a n N λμ++-=∈，，有．若存在某个0,n N +∈使得0,no a =则由上述递推公式易得10,no a -=重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意,0n n N a +∈≠．从而12(),n n a a n N ++=∈即{}n a 是一个公比2q =的等比数列．故11132n n n a a q --==⋅．（Ⅱ）由01,1k λμ==-，数列{}n a 的递推关系式变为211010n n n n a a a a k +++-=，变形为2101()().n n n a a a n N k +++=∈由上式及130a =>，归纳可得12130n n a a a a +=>>⋅⋅⋅>>>⋅⋅⋅>．因为22220010001111111n nn n n n n a a k k a a k k a a a k k +-+===-?+++，所以对01,2,,n k =⋅⋅⋅求和得01010121()()k k k a a a a a a ++=+-+⋅⋅⋅+-010000102011111 =()111k a k k k k a k a k a -⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111>2+( )231313131k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>⋅⋅⋅>>>，得00110000102011111()111k k a a k k k k a k a k a +=-⋅+⋅++⋅⋅⋅++++0000011111<2+()221212121k k k k k k ⋅++⋅⋅⋅+=+++++1444442444443．综上，0100112+23121k a k k +<<+++．19．【解析】（Ⅰ）,64,2,,2141211d a S d a S a S d +=+===4122421,,S S S S S S =∴成等比Θ解得12,11-=∴=n a a n（Ⅱ）)121121()1(4)1(111++--=-=-+-n n a a n b n n n n n ，当n 为偶数时11111(1)()()33557n T =+-+++-L L1111()()23212121n n n n ++-+---+ 1221211+=+-=∴n nn T n 11111(1)()()33557n n T =+-+++--L L 当为奇数时， 1111()()23212121n n n n +++---+12221211++=++=∴n n n T n ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=∴为奇数为偶数n n n n n nT n ,1222,122． 20．【解析】（Ⅰ）由题意，()()*∈=N n a a a nb n 221Λ，326b b-=，知3238b b a -==，又由12a =，得公比2q =（2q =-舍去），所以数列{}n a 的通项公式为2()n n a n N *=∈，所以()()1121232n n n n n a a a a ++==L ，故数列{}n b 的通项公式为，()1()n b n n n N *=+∈；（Ⅱ）（i ）由（Ⅰ）知，11111()21n n n n c n N a b n n *⎛⎫=-=--∈ ⎪+⎝⎭，所以11()12n n S n N n *=-∈+；（ii ）因为12340,0,0,0c c c c =>>>；当5n ≥时，()()11112n n n n c n n +⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦，而()()()()()11112120222n n n n n n n n n ++++++--=>，得()()51551122n n n ++≤<，所以当5n ≥时，0n c <，综上对任意n N *∈恒有4n S S ≥，故4k =．21．【解析】（I ）因为{}n a 是递增数列，所以11n n n n n a a a a p ++-=-=．而11a =，因此又123,2,3a a a 成等差数列，所以21343a a a =+，因而230p p -=，解得1,03p p == 当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾。

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题六数列(47页吐血汇总,含习题,答案,讲解)

专题六数列第十五讲等差数列2019年1.（2019全国1理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ．310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 2.（2019全国3理14）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 3.（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是 .4.（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，,则5a = ________ . n S 的最小值为_______.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10D ．122．（2017新课标Ⅰ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．（2017新课标Ⅲ）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为A ．-24B ．-3C ．3D ．8 4．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．（2016年全国I ）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=aA ．100B ．99C ．98D ．97 6．（2015重庆）在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则6a ＝A ．－1B ．0C ．1D ．67．（2015浙江）已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ．若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>8．（2014辽宁）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a为递减数列，则A ．0d <B ．0d >C ．10a d <D ．10a d >9．（2014福建）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =A ．8B ．10C ．12D ．1410．（2014重庆）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =A ．5B ．8C ．10D ．1411．（2013新课标Ⅰ）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ A ．3B ．4C ．5D ．612．（2013辽宁）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p13．（2012福建）等差数列{}n a 中，1510a a +=,47a =，则数列{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．3D ．414．（2012辽宁）在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=SA ．58B ．88C ．143D ．17615．（2011江西）设{}n a 为等差数列，公差2d =-,n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =A ．18B ．20C ．22D ．2416．（2011安徽）若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),n n a n a a a =--+++=L 则A ．15B ．12C ．-12D ．-1517．（2011天津）已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．11018．（2010安徽）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为A ．15B ．16C ．49D ．64 二、填空题19．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．20．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．21．（2017新课标Ⅱ）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑ ． 22．（2015广东）在等差数列{}n a 中，若3456725a a a a a ++++=，则28a a += ． 23．（2014北京）若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =__时{}n a 的前n 项和最大．24．（2014江西）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________．25．（2013新课标2）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为____.26．（2013广东）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____． 27．（2012北京）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a = ；n S = .28．（2012江西）设数列{},{}n n a b 都是等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=___________．29．（2012广东）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =____．30．（2011广东）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k =_________．三、解答题31．（2018全国卷Ⅱ）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17=-a ，315=-S ．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求n S ，并求n S 的最小值．32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．（2016年山东高考）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 34．（2016年天津高考）已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的*N n ∈，n b 是n a 和1n a +的等差中项．(Ⅰ)设22*1,N n n n c b b n +=-∈，求证：数列{}n c 是等差数列；(Ⅱ)设()22*11,1,N nkn kk a d T b n ===-∈∑，求证：2111.2nk kT d =<∑35．（2015四川）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题六数列第十八讲数列的综合应用

专题六数列第十八讲数列的综合应用2019年1.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =12时，a 10＞10 B ．当b =14时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞102.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N L 3.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数，当≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．4.（2019北京理20）已知数列{}n a ，从中选取第 1i 项、第2i 项、…、第m i 项()12m i i i <<⋯<，若12mi i i a a a <<<L ，则称新数列12mi i i a a a ⋅⋅⋅L 为{}n a 的长度为m 的递增子列。

规定：数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列。

（Ⅰ）写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列；（Ⅱ）已知数列{}n a 的长度为P 的递增子列的末项的最小值为o m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为on a ，若p <q ，求证：o o m n a a <；（Ⅲ）设无穷数列{}n a 的各项均为正整数，且任意两项均不相等，若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s -1，且长度为s 末项为2s -1的递增子列恰有12s -个（s =1,2,…），求数列{}n a 的通项公式.2010-2018年一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是02，接下的两项是02，12，再接下的三项是02，12，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N ：100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A ．440B ．330C ．220D ．1102．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”{}n a 如下：{}n a 共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数．若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个3．(2015湖北)设12,,,n a a a ∈R L ，3n ≥．若p ：12,,,n a a a L 成等比数列；q ：222121()n a a a -+++⨯L 22222312231()()n n n a a a a a a a a a -+++=+++L L ，则A ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件B ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件C ．p 是q 的充分必要条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件4．（2014新课标2）等差数列{}n a 的公差为2，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前n项和n S =A ．()1n n +B ．()1n n -C ．()12n n + D ．()12n n -5．（2014浙江）设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99i ia =， 0,1,2,,99i =⋅⋅⋅，记10|()()|k k k I f a f a =-+21|()()|k k f a f a -+⋅⋅⋅+ 9998|()()|k k f a f a -，.3,2,1=k 则A ．321I I I <<B ． 312I I I <<C ． 231I I I <<D ． 123I I I << 二、填空题6．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为．7．（2015陕西）中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为．8．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 9．（2013重庆）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S =．10．（2011江苏）设7211a a a ≤≤≤≤Λ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．11．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =_______________．三、解答题12．(2018江苏)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．(1)设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围；(2)若*110,,(1a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+L 均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．13．（2017天津）已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=,3412b a a =-，11411S b =．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．14．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈*N ．证明：当n ∈*N 时（Ⅰ）10n n x x +<<；（Ⅱ）1122n n n n x x x x ++-≤；（Ⅲ）121122n n n x --≤≤．15．（2016年四川高考）已知数列{n a }的首项为1，n S 为数列{n a }的前n 项和，11n n S qS +=+ ，其中q >0，*n N ∈ .（I ）若2322,,2a a a + 成等差数列，求n a 的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2221ny x a -=的离心率为n e ，且253e =，证明：121433n n n n e e e --++⋅⋅⋅+>．16．（2015湖北）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 17．（2015陕西）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（Ⅰ）证明：函数()()2n n F x f x =-在1(,1)2内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．18．（2015重庆）在数列{}n a 中，13a =，2110n n n n a a a a λμ++++=()n N +∈．（Ⅰ）若0,2λμ==-，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若0001(,2)k N k k λ+=∈≥，1μ=-，证明：010011223121k a k k ++<<+++．19．(2014山东）已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）令n b =,4)1(11+--n n n a a n求数列}{n b 的前n 项和n T ． 20．（2014浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221Λ．若{}na 为等比数列，且.6,2231b b a +== （Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）设()*∈-=N n b a c nn n 11．记数列{}n c 的前n 项和为n S ．（ⅰ）求n S ；（ⅱ）求正整数k ，使得对任意*∈N n ，均有n k S S ≥． 21．（2014湖南）已知数列{n a }满足*111,||,.n n n a a a p n N +=-=∈（Ⅰ）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式． 22．（2014四川）设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2xf x =的图象上（*n N ∈）．（Ⅰ）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅱ）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{}nna b 的前n 项和n T ． 23．(2014江苏)设数列}{n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得m n a S =，则称}{n a 是“H 数列”．（Ⅰ）若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *)，证明 }{n a 是“H 数列”；（Ⅱ）设}{n a 是等差数列，其首项11=a ，公差0<d ．若}{n a 是“H 数列”，求d 的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列}{n a ，总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ，使得n n n c b a +=(∈n N *)成立．24．（2013安徽）设数列{}n a 满足12a =，248a a +=，且对任意*n N ∈，函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅，满足'()02f π=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若122nn n a b a =+（），求数列{}n b 的前n 项和n S ． 25．（2013广东）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21441n n S a n +=--，*n N ∈，且2514,,a a a 构成等比数列．（Ⅰ）证明：2a =（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L ． 26．（2013湖北）已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，4S ，2S ，3S 成等差数列，且23418a a a ++=-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n ，使得2013n S ≥？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．27．（2013江苏）设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和．记2nn nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数.（Ⅰ）若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；（Ⅱ）若{}n b 是等差数列，证明：0c =．28． (2012山东)已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且1052a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m项和m S ．29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为n a 万元．（Ⅰ）用d 表示12,a a ，并写出1n a +与n a 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）．30．（2012浙江）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S =22n n +，n ∈N ﹡，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈．（Ⅰ）求,n n a b ；（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．31．（2012山东）在等差数列{}n a 中，84543=++a a a ，973a =（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）对任意的*N m ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m 内的项的个数为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S ．32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（Ⅰ）设11n n nb b n a *+=+∈N ，，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设1nn nb b n a *+∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 33．（2011天津）已知数列{}{}n n a b 与满足11(2)1nn n n n b a b a +++=-+，1*13(1),,22n n b n N a -+-=∈=且．（Ⅰ）求23,a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N +-=-∈，证明{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设n S 为{}n a 的前n 项和，证明*21212122121().3n n n n S S S S n n N a a a a --++++≤-∈L 34．（2011天津）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2nn n n n n n b a a b a b ++++-++==，*n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（Ⅲ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑． 35．（2010新课标）设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=g（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S ．36．（2010湖南）给出下面的数表序列：124 4 8表1 表2 表3 ∙∙∙1 1 3 1 3 5其中表n （n =1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5，2n -1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．（Ⅰ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（Ⅱ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n bb b b bb b b b ++++L *()n N ∈ ．。

2010年高考试题解析-数列

5 ， 4
（10）设 {an } 是首项大于零的等比数列，则“ a1 a2 ”是“数列 {an } 是递增数列”的（A）充分而不必要条件（C）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件
（ 15 ）设 {an } 是等比数列，公比 q = 2 ， Sn 为 {an } 的前项和，记 Tn =
7．已知等比数列 (an ) 中，各项都是正数，且 a1 、
a + a10 1 a1 、2 a2 成等差数列，则 9 = a7 + a8 2
D．3-2 2
A．1+ 2
B．1- 2
C．3+2 2
7．等比数列 {an } 中， a1 = 1 ， a 5 = -8a2 ， a5＞ a2 ，则 an A． (-2)n -1 B． -(-2)n -1 C． a 2 = 5 D． -(-2)n
所以 {bn } 的前 n 项和公式为 S n =
b1(1 - q n ) 1-q
= 4(1 - 3n )
（19）（本题满分 14 分）设a 1 ，d为实数，首项为a 1 ，z差为d的等差数{a n }的前n项和为S n ，满足S 5 S 6 ＋15＝0．（Ⅰ）若S 5 ＝5．求S 6 及a 1 ; （Ⅱ）求 d 的取值范围．（19）本题主要考查等差数列概念、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及分析问题解决问题的能力。满分 14 分。（Ⅰ）解：由题意知S 6 = a 6 =S 4 -S 5 =-8
3．已知各项均为正数的等比数列 {an } 中, a1a2a 3 = 5, a 7a 8a 9 = 10, 则 a 4a 5a 6 = (A) 5 2 (B)7 (C)6 (D) 4 2

2010年高考数列

2010年高考数学试题分类汇编——数列1、（2010上海文数）21.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，*n N ∈ (1)证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n . Key ：最小正整数n =15．2、（2010湖南文数）20. 给出下面的数表序列：其中表n （n=1,2,3 ）有n 行，第1行的n 个数是1,3,5， 2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。

（I ）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n （n ≥3）（不要求证明）；（II ）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12 ，记此数列为{}n b 求和：32412231n n n b b b b b b b b b ++++Key ：12n n b n -=⋅；()21412n n --+⋅3、（2010江西理数）22. 证明以下命题：（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b<c)，使得222a b c ，，成等差数列。

（2）存在无穷多个互不相似的三角形△n ，其边长n n n a b c ，，为正整数且222n n na b c ，，成等差数列。

4、（2010重庆理数）（21）在数列{}n a 中，1a =1，()()1121*n n n a ca cn n N ++=++∈，其中实数0c ≠。

（1）求{}n a 的通项公式；（2）若对一切*k N ∈有21k zk a a ->，求c 的取值范围。

Key ：()()21*1n n n a n c c n N -=-+∈；[)113,1,6⎛⎫+-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭5、2010北京理数）（20）已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)n n S X X x x x x i n n ==∈=≥…，…对于12(,,,)n A a a a =…，12(,,,)n n B b b b S =∈…，定义A 与B 的差为1122(||,||,||);n n A B a b a b a b -=---…A 与B 之间的距离为111(,)||i d A B a b -=-∑（Ⅰ）证明：,,,n n A B C S A B S ∀∈-∈有，且(,)(,)d A C B C d A B --=; （Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)n A B C S d A B d A C d B C ∀∈三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P n S ⊆，P 中有m(m ≥2)个元素，记P 中所有两元素间距离的平均值为d(P).证明：d（P ）≤2(1)m n m -.6、（2010四川理数）（21）已知数列{a n }满足a 1＝0，a 2＝2，且对任意m 、n ∈N *都有 a 2m －1＋a 2n －1＝2a m ＋n －1＋2(m －n )2 （Ⅰ）求a 3，a 5；（Ⅱ）设b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列；（Ⅲ）设c n ＝(a n+1－a n )qn －1(q ≠0，n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和S n .Key ： a 3＝6， a 5＝20，S n ＝12(1)(1)(1)12(1)(1)n n n n q nq n q q q ++=⎧⎪-++⎨≠⎪-⎩7、（2010全国卷1理数）（22）已知数列{}n a 中，1111,n na a c a +==-.（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 . Key ：112433n n b -=-⋅-；102,3c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦8、（2010江苏卷）19、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}n S 是公差为d 的等差数列。

2010年高考题(数列)

2010年高考题汇总(数列部分)第一部分选择题1（2010浙江理数3）设为等比数列的前项和，，则（）A 11B 5C D2（2010全国卷II理数4）如果等差数列中，，那么（）A 14B 21C 28D 353（2010辽宁文数3）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（） A 3 B 4 C 5 D 64（2010辽宁理数6）设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，则（）A B C D5（2010江西理数5）等比数列中，，函数，则（）A B C D6（2010江西理数4）（）A B C 2 D 不存在7（2010安徽文数5）设数列的前项和，则的值为（）A 15B 16C 49D 648（2010重庆文数2）在等差数列中，，则的值为（）A 5B 6C 8D 109（2010重庆理数1）在等比数列中，，则公比的值为（）A 2B 3C 4D 810（2010北京理数2）在等比数列中，，公比，若，则（）A 9B 10C 11D 1211（2010四川理数8）已知数列的首项，其前项的和为，且，则（） A 0 B C 1 D 212（2010天津理数6）已知是首项为1的等比数列，是的前项和，且，则数列的前5项和为（）A 或5B 或5C D13（2010广东理数4）已知为等比数列，是它的前项和。

若，且与的等差中项为，则（）A 35B 33C 31D 2914（2010全国卷I文数4）已知各项都为正数的等比数列，，，则（） A B 7 C 6 D15（2010湖北文数7）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则（）A B C D16（2010山东理数9）设是等比数列，则是是递增数列的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件17（2010安徽理数10）设是任意等比数列，它的前项和、前2项和与前3项和分别为，则下列等式中恒成立的是（）A BC D18（2010湖北理数7）如图，在半径为的圆内作内接正六边形，再做正六边形的内接圆，又在此内接圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前个圆的面积之和，则（）A BC D19（2010福建理数3）设等差数列的前项和为，若，则当取得最小值时，等于（）A 6B 7C 8D 9第二部分填空题20（2010浙江理数14）设，，将的最小值记为，则，其中_____。

理科数学十年高考真题(2010-2019)专项训练-专题六数列第十六讲等比数列答案

2020高考冲刺提分必备 2010-2019十年高考真题专项训练专题六数列第十六讲等比数列答案部分1．D 【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于第一个单音的频率为f ，由等比数列的概念可知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为{}n a ，则第八个单音频率为818a f -=⋅=，故选D ．2．B 【解析】解法一因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二因为1xe x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a ea a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤，而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++> 与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．3．B 【解析】设塔顶共有灯1a 盏，根据题意各层等数构成以1a 为首项，2为公比的等比数列，∴77171(12)(21)38112a S a -==-=-，解得13a =．选B ． 4．B 【解析】由于241(1)21a q q ++=，13a =，所以4260q q +-=，所以22q =(23q =-舍去)，所以36a =，512a =，724a =，所以35742a a a ++=．5．D 【解析】由等比数列的性质得，23960a a a ⋅=≠，因此269,,a a a 一定成等比数列．6．C 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵32110S a a =+，∴1232110a a a a a ++=+，即319a a =，∴29q =，由59a =，即419a q =，∴119a =． 7．B 【解析】取特殊值可排除A 、C 、D ，由均值不等式可得2221313222a a a a a +⋅=…．8．B 【解析】由116n n n a a +=，得11216n n n a a +++=，两式相除得1121161616n n n n n n a a a a ++++==，∴216q =，∵116n n n a a +=，可知公比q 为正数，∴4q =．9．C 【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =．由4a 与27a 的等差中项为54知，475224a a +=⨯， 7415(2)24a a ∴=⨯-14=．∴37418a q a ==，即12q =．3411128a a q a ==⨯=，116a ∴=，55116(1)231112S -==-． 10．A 【解析】通过2580a a +=，设公比为q ，将该式转化为08322=+q a a ，解得q =－2，所以5522113211114S q S q -+===---．11．D 【解析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算，只有选项D 满足．12．C 【解析】2341010123451m a a a a a a q q q q q a q ==⋅⋅⋅==，因此有11m =．13．B 【解析】两式相减得， 3433a a a =-，44334,4a a a q a =∴==． 14．C 【解析】显然q ≠1，所以3639(1)1=1211q q q q q q --⇒+⇒=--，所以1{}na 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和5511()31211612T -==-． 15．8-【解析】设{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以1121113a a q a a q +=-⎧⎨-=-⎩，解得112a q =⎧⎨=-⎩ ，则3418a a q ==-．16．32【解析】设{}n a 的公比为q ，由题意1q ≠，由636331191S q q S q-==+=-，所以2q =，由313(1)714a q S q -==-，得114a =，所以77581122324a a q ==⨯==． 17．1【解析】设{}n a 的公差为d ，{}nb 的公比为q ，由题意3138d q -+=-=，所以3d =，2q =-，所以22131(2)a b -+==--． 18．64【解析】设{}n a 的公比为q ，由1310a a +=，245a a +=得118,2a q ==，则24a =，32a =，41a =，512a =，所以12123464n a a a a a a a ⋅⋅⋅=…． 19．1 121 【解析】由于1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，解得11a =，由1121n n n n a S S S ++=-=+，所以1113()22n n S S ++=+，所以1{}2n S +是以32为首项，3为公比的等比数列，所以113322n n S -+=⨯，所以5121S =．20．21n-【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---． 21．5【解析】由等比数列的性质可知215243a a a a a ==，于是，由154a a =得32a =，故1234532a a a a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a2123452log ()log 325a a a a a ==．22．50【解析】因{}n a 是等比数列，∴1201011912a a a a a a ==，由512911102e a a a a =+得∴5120a a e =，∴1220ln ln ln a a a +++=L 101220120ln()ln()a a a a a ⋅⋅⋅==50．23．4【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，0q >．则8642a a a =+，即为424442a q a q a =+，解得22q =（负值舍去），又21a =，所以4624a a q =．24．15【解析】12341,2,4,8a a a a ==-==-，∴ 1234||||a a a a +++=15． 25．12,22n +-【解析】由35a a +=()24q a a +得2q =；()()3241a a a q q +=+=20，得12a =；∴()12122212n n n S +-==--．26．12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为1a ，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：1a ＝132，q ＝2，62nn a -=．记521212-=+++=n n n a a a T Λ， 2)1(212nn n n a a a -==∏Λ．n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n ．当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故max 12n =．27．11【解析】由2120n n n a a a +++-=，可得220n n n a q a q a +-=，由11a =可知0,1n a q ≠≠，求得公比2q =-，可得5S =11．28．2【解析】222112()5,2(1)5,2(1)5,22n n n n n a a a a q a q q q q q +++=∴+=∴+===Q 解得或因为数列为递增数列，且10,1,2a q q >>∴=所以．29．32【解析】依题意可得，2112111443311111(1)32232201(1)23220321a q a q a q a q a q q a q a q a q a q a q q⎧-=+⎪⎧-++-=-⎪⎪⇒⎨⎨--++-=⎪⎪⎩=+⎪-⎩ 两式相减可得423111122330a q a q a q a q --+=，即42322330q q q q --+=，解得1q =±（舍）或0q =或32q =。

文科数学2010-2019高考真题分类训练专题六数列第十七讲递推数列与数列求和—后附解析答案

专题六数列第十七讲递推数列与数列求和2019年1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M－数列”；（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则 A ．当b =12时，a 10＞10 B ．当b =14时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞103.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；（2）记,n c n *=∈N证明：12+.n c c c n *++<∈N2010-2018年一、选择题1．（2013大纲）已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，则{}n a 的前10项和等于A ．106(13)--- B ．101(13)9- C ．103(13)-- D ．103(13)-+2．（2012新课标）数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为A ．3690B ．3660C ．1845D ．18303．（2011安徽）若数列{}n a 的通项公式是(1)(32)n a n =-⋅-,则1210a a a ++⋅⋅⋅+= A ．15 B ．12 C ．－12 D ．－15 二、填空题4．（2015新课标1）数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = ．5．（2015安徽）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a (2n ≥)，则数列}{n a 的前9项和等于______．6．（2015江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为．7．（2014新课标2）数列{}n a 满足111n na a +=-，2a =2，则1a =_________． 8．（2013新课标1）若数列{n a }的前n 项和为n S ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______．9．（2013湖南）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则（1）3a =_____；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________．10．（2012新课标）数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为．11．（2012福建）数列{}n a 的通项公式cos12n n a n π=+，前n 项和为n S ，则2012S =___． 12．（2011浙江）若数列2(4)()3n n n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =____________．三、解答题13．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+．(1)求n S 和n T ；(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．14．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．(1)求{}n a 的通项公式； (2)求数列{}21na n +的前n 项和． 15．（2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}nb 满足11b =，213b =， 11n n n n a b b nb +++=．（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和．16．（2016年全国II 卷）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=．(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．17．（2015浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，*12(N )n n a a n +=∈，1231123b b b +++*111(N )n n b b n n++=-∈．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．18．（2015湖南）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈．（Ⅰ）证明：23n n a a +=；。

2010年高考试题选练数列部分

2010年高考试题选练数列部分1、（2010浙江理数）（3）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = （A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-2、（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）353、（2010辽宁理数）（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =（A ）152 (B)314 (C)334(D)1724、（2010安徽文数）(5)设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64 5、（2010重庆文数）（2）在等差数列{}n a 中，1910a a +=，则5a 的值为（A ）5 （B ）6 （C ）8 （D ）106、（2010重庆理数）（1）在等比数列{}n a 中，201020078a a = ，则公比q 的值为A. 2B. 3C. 4D. 8 7、（2010北京理数）（2）在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= （A ）9 （B ）10 （C ）11 （D ）128、（2010天津理数）（6）已知{}n a 是首项为1的等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前5项和为（A ）158或5 （B ）3116或5 （C ）3116 （D ）1589、（2010广东理数）4. 已知{}n a 为等比数列，S n 是它的前n 项和。

若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S =10、（2010全国卷1理数）（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }中，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =(A)11、（2010湖北文数）7.已知等比数列{m a }中，各项都是正数，且1a ，321,22a a 成等差数列，则91078a aa a +=+ 12.（2010安徽理数）10、设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ，则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2Y XZ =D 、()()Y Y X X Z X -=-13、（2010福建理数）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．914（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为 . 15、（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n 行第n+1列的数是。