上海高考数学理科试卷附参考答案

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绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理科类）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．不等式042>+-xx的解集为_______________； 2．若复数i i z (21-=为虚数单位），则=+⋅z z z ______；3．若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为______；4．行列式6cos3sin6sin 3cosππππ的值为_________；5．圆C ：044222=+--+y x y x 的圆心到直线0443:=++y x l 的距离=d ________； 6．随机变量ξ的概率分布率由下图给出：则随机变量ξ的均值是__________；7．2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园。

在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入_________。

8．对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是__________。

9．从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率=)(B A P ____________（结果用最简分数表示）。

10．在n 行n 列矩阵12321234113*********n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,)ij a i j n =⋅⋅⋅。

当9n =时，11223399a a a a +++⋅⋅⋅+=______。

2023高考上海数学理科试卷含详细解答

2023年全国普通高等学校招生统一考试（上海）　数学（理工农医类）全解全析一填空（4’×11）1.不等式|1|1x -<地解集是 .【解析】(0,2)【解析】由11102x x -<-<⇒<<.2.若集合A ＝{x |x ≤2}、B ＝{x |x ≥a }满足A ∩B ＝{2},则实数a ＝ .【解析】2【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒= 只有一个公共元素.3.若复数z 满足z ＝i (2-z)（i 是虚数单位）,则z ＝ .【解析】1i+【解析】由2(2)11iz i z z i i=-⇒==++.4.若函数f (x )地反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0）,则f (4)＝ .【解析】2【解析】令12(4)()44(0)2f t ft t t t -=⇒=⇒=>⇒=.5.若向量→ a 、→ b 满足|→ a |＝1,|→ b |＝2,且→ a 与→ b 地夹角为π3,则|→ a +→b |＝ .【解析】222||()()2||||2||||cos 7||3a b a b a b a a b b a b a b a b a b π+=++=++=++=⇒+ 6.函数f (x )＝3sin x +sin(π2+x )地最大值是 .【解析】2【解析】由max ()cos 2sin()()26f x x x x f x π=+=+⇒=.7.在平面直角坐标系中,从六个点:A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个,这三点能构成三角形地概率是（结果用分数表示）.【解析】34【解析】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个无共线地点生成三角形总数为:36C；可构成三角形地个数为:33364315C C C --=,所以所求概率为:3336433634C C C C --=；8.设函数f (x )是定义在R 上地奇函数,若当x ∈(0,+∞)时,f (x )＝lg x ,则满足f (x )＞0地x 地取值范围是 .【解析】(1,0)(1,)-+∞ 【解析】 0 ()0 1 ()00 1 x f x x f x x >>⇔><⇔<<当时，；；由f (x )为奇函数得: 0 ()010 ()0 1 x f x x f x x <>⇔-<<<⇔<-⇒当时，；结论；9.已知总体地各个体地值由小到大依次为2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体地中位数为10.5,若要使该总体地方差最小,则a 、b 地取值分别是 .【解析】10.5,10.5a b ==【解析】根据总体方差地定义知,只需且必须10.5,10.5a b ==时,总体方差最小；10.某海域内有一孤岛,岛四周地海平面（视为平面）上有一浅水区（含边界）,其边界是长轴长为2a ,短轴长为2b 地椭圆,已知岛上甲、乙导航灯地海拔高度分别为h 1、h 2,且两个导航灯在海平面上地投影恰好落在椭圆地两个焦点上,现有船只经过该海域（船只地大小忽略不计）,在船上测得甲、乙导航灯地仰角分别为θ1、θ2,那么船只已进入该浅水区地判别条件是 .【解析】1122cot cot 2h h a θθ⋅+⋅≤【解析】依题意, 12||||2MF MF a+≤1122cot cot 2h h a θθ⇒⋅+⋅≤；11.方程x 2+2x －1＝0地解可视为函数y ＝x +2地图像与函数y ＝1x 地图像交点地横坐标,若x 4+ax －4＝0地各个实根x 1,x 2,…,x k(k ≤4)所对应地点(x i,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x 地同侧,则实数a 地取值范围是 .【解析】(,6)(6,)-∞-+∞ 【解析】方程地根显然0x ≠,原方程等价于34x a x+=,原方程地实根是曲线3y x a =+与曲线4y x=地交点地横坐标；而曲线3y x a =+是由曲线3y x =向上或向下平移||a 个单位而得到地。

上海高考数学理科试卷(附参考答案)

2013 年上海高考理科数学（附参照答案）考生注意：1. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考据号、，并将核对后的条形码贴在拟定地址上，在答题纸反面清楚地填写姓名。

2. 本试卷共有 23 道试卷，满分 150 分，考试时间 120 分钟。

一、填空题1．计算： limn20______n3n 132．设 mR ， m 2 m 2 (m 2 1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m ________x 2y 2x x y ______3．若1y，则 x1 y4．已知△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对应边分别为 a 、 b 、 c ，若 3a 2 2ab 3b 23c 20，则角 C 的大小是 _______________ （结果用反三角函数值表示）5．设常数 a R ，若 x2ax5的二项张开式中 x 7 项的系数为10 ，则 a ______6．方程3 13x 1 的实数解为 ________3x1 37．在极坐标系中，曲线cos 1与 cos 1的公共点到极点的距离为 __________8．盒子中装有编号为 1，2，3，4，5， 6，7，8，9 的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________（结果用最简分数表示）9．设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在上，且CBA4，若 AB=4 ， BC2 ，则的两个焦点之间的距离为 ________10．设非零常数 d 是等差数列 x 1, x 2 , x 3, , x 19 的公差，随机变量等可能地取值 x 1, x 2 , x 3, , x 19 ，则方差 D_______11．若 cos x cos y sin x sin y1,sin 2x sin 2 y2，则 sin( x y) ________2312．设 a 为实常数， y f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f ( x) 9xa 2 ，若 f x()a 17 对所有 x0 成立，则 a 的取值范围为 ________x13．在 xOy 平面上，将两个半圆弧( x 1)2 y 2 1(x 1) 和 ( x 3) 2y 2 1(x3) 、两条直线y 1和 y1围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为，过 (0, y)(| y | 1) 作的水平截面，所得截面面积为 41 y 28 ，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 __________14．对区间 I上有定义的函数 g (x) ，记g( I ){ y | y g( x) ,，x 已知I 定义域为 [ 0 , 3]的函数yf ( x) 有反函数 y f 1 ( x) ，且f 1([0,1)) [1,2), f 1((2, 4]) [0,1) ，若方程 f ( x) x 0 有解 x 0 ，则 x 0 _____二、选择题15．设常数 aR ，会集 A{ x | (x 1)( xa) 0}, B { x | xa 1} ，若 AB R ，则 a 的取值范围为（）(A) (,2) (B) ( , 2] (C) (2, ) (D) [2, )16．钱大姐常说“低价没好货” ，她这句话的意思是： “不低价”是“好货”的（）(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分也非必要条件17．在数列 { a n } 中， a n 2n 1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 a i , j a i a j a i a j ，（ i 1,2,,7; j 1,2, ,12 ）则该矩阵元素能取到的不同样数值的个数为（）(A)18(B)28(C)48(D)6318．在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余极点为终点的向量分别为a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d 1 , d 2 , d 3 ,d 4 , d 5 . 若 m, M 分别为(a ia j a k )( d rd s的最小值、最大值，其中{ i , j , k}{1,2,3, 4,5} ,{ r , s, t}{1,2,3,4,5},d)t则 m, M 满足（） .(A) m0, M0 (B) m0,M 0 (C) m 0,M 0 (D) m 0, M 0三、解答题19.（本题满分 12 分）如图，在长方体ABCD-A 1 B 1C 1D 1 中， AB=2,AD=1,A 1A=1 ，证明直线 BC 1 平行于平面 DA 1C ，并求直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离 .DCABD 1C 1A 1B 120．（6 分 +8 分）甲厂以 x 千克 /小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 1 x 10 ），每小时可获得利润是 100(5 x3) 元 .1x(1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应入采用何种生产速度？并求最大利润 .21．（6 分 +8 分）已知函数 f ( x) 2sin( x) ，其中常数 0 ；（ 1）若 yf ( x) 在 [, 2] 上单调递加，求的取值范围；4 3（ 2）令2 ，将函数 y f ( x) 的图像向左平移个单位，再向上平移 1 个单位，获得函数 y g(x)6的图像，区间 [a,b] （ a,bR 且 a b ）满足： y g(x) 在 [a, b] 上最少含有 30 个零点，在所有满足上述条件的 [ a,b] 中，求 b a 的最小值．22．（3 分+5 分+8 分）如图，已知曲线C1:x222y 1 ，曲线C2 :| y | | x | 1 ，P是平面上一点，若存在过点P的直线与 C1 , C2都有公共点，则称 P 为“ C1— C2型点”．(1)在正确证明C1的左焦点是“ C1— C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求考据）；(2) 设直线y kx 与 C2有公共点，求证| k | 1，进而证明原点不是“C1— C2型点”；(3)求证：圆x2y21内的点都不是“ C1— C2型点”．223．（ 3 分 +6 分 +9 分）给定常数c 0，定义函数f (x) 2 | x c 4 | | x c |，数列a1, a2, a3,满足 a n 1 f (a n ), n N *.（ 1）若a1 c 2 ，求 a2及 a3；（2）求证：对任意n N * , a n 1 a n c ，；（ 3）可否存在a1，使得a1, a2,a n ,成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由 .【参照答案】一、填空题1.【解答】依照极限运算法规，lim n 20 1 ．n3n13 3m 2 m 2m2 ．2.【解答】1 0m 23. 【解答】 x 2 y 2 2xy x y0 ．4.【解答】 3a 22ab3b 2 3c 2 0c 2 a 2 b 22 ab ，故 cosC1 ,Carccos 1 ．C 5r( x 2 )5 r( a) r ,2(53 3 35.【解答】 T r 1r ) r 7 r 1，故 C 51a10a2 ．x6.【解答】原方程整理后变为 32 x2 3x8 0 3x4x log 3 4 ．7.【解答】联立方程组得(1) 1 15 ，又 0 ，故所求为 12 5 ．228.【解答】 9 个数 5 个奇数， 4 个偶数，依照题意所求概率为1 C 5 13 ．C 92 189.【解答】不如设椭圆的规范方程为 x 2 y 2 1，于是可算得 C(1,1) ，得 b 24 4 64b 2,2c．3310.【解答】 Ed228222 2 92 )30 | d |．x 10 ， D(9111911.【解答】12.【解答】cos(x y)1sin 2 y 2sin( xy)cos( x y)2y)2 ， sin 2x，故 sin( x．233f (0)0 ，故 0 a 1 a 1 ；当 x 0 时， f (x)9 xa 217 ax即 6 | a | a 8 ，又 a1，故 a8 ．713.【解答】依照提示，一个半径为1，高为 2 的圆柱平放，一个高为 2，底面面积 8 的长方体，这两个几何体与放在一起，依照祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为12 22 82216．14.【解答】依照反函数定义，当 x[0,1) 时， f (x) (2,4] ； x [1,2) 时， f ( x) [0,1) ，而 y f (x) 的定义域为 [ 0, 3]，故当 x [ 2, 3]时， f ( x) 的取值应在集合 ( , 0) [1, 2] (4, ，故若f ( x 0 ) x 0 ，只有 x 0 2 ．二、选择题15.【解答】会集 A 谈论后利用数轴可知，a1a 1 a或a 1 ，解答选项为 B ．1 1a16.【解答】依照等价命题，低价没好货，等价于，好货不低价，应选 B ．17.【解答】 a i , ja i a j a i a j2i j1 ，而 ij2,3, ,19 ，故不同样数值个数为 18个，选 A ．18.【解答】作图知，只有 AF DEAB DC0 ，其余均有 a i d r 0 ，应选 D ．DCA1三、解答题 19.【解答】因为 ABCD-A 1B 1C 1D 1 为长方体，故 AB // C 1 D 1, ABC 1D 1 ，故 ABC 1D 1 为平行四边形，故 BC 1 // AD 1，显然 B 不在平面 D 1AC 上，于是直线 BC 1 平行于平面 DA 1C ；直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离即为点 B 到平面 D 1AC的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD 1 的体积，以 ABC 为底面，可得1 1 12) 1 V(1323而 AD 1C 中， ACDC5, AD2，故 S ADC 31112所以， V1 3 h 1 h2 ，即直线 BC 1 到平面 D 1AC 的距离为 2 ．3 2 333 20.【解答】 (1)依照题意， 200(5x13) 30005x 14 3xx又 1 x 10 ，可解得 3 x 10 (2)设利润为 y 元，则 y900100(5 x 1 3 )9 104[ 3(11)2 61] 故 x 6 时， y maxxxx 612457500 元．21.【解答】 (1)因为0 ，依照题意有4 232432(2) f ( x)2sin(2 x) ， g( x) 2sin(2( x )) 1 2sin(2 x) 11 673 g( x)0 sin(2 x)k或 x, kZ ，xk32312即 g ( x) 的零点相离间隔依次为和 2，33243 故若 yg( x) 在 [ a,b] 上最少含有 30 个零点，则 ba 的最小值为1514．33322.【解答】：（ 1） C 1 的左焦点为 F ( 3,0)，过 F 的直线 x3与 C 1交于 ( 3,2)，与 C 2交2于 (3, (3 1)) ，故 C 1 的左焦点为“ C 1-C 2 型点”，且直线可以为 x 3 ；（ 2）直线 ykx 与 C 2 有交点，则y kx(| k | 1) | x | 1，若方程组有解，则必定 | k | 1；| y | | x |1直线 ykx 与 C 2 有交点，则y kx(12k 2) x22 ，若方程组有解，则必定 k 21x 22 y 222故直线 ykx 至多与曲线 C 1 和 C 2 中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2 型点”。

理数高考试题答案及解析-上海

理数高考试题答案及解析-上海亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！那今天就来小试牛刀吧！注意哦：在答卷的过程中一要认真仔细哦！不交头接耳，不东张西望！不紧张！养成良好的答题习惯也要取得好成绩的关键！祝取得好成绩！一次比一次有进步！上海高考数学试题（理科）答案与解析一．填空题 1．计算：3-i=1+i （ i 为虚数单位）. 【答案】 1-2i 【解析】3-i (3-i)(1-i) 2-4i= = =1-2i1+i (1+i)(1-i) 2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可. 2．若集合 } 0 1 2 | { + = x x A ， } 2 | 1 || { = x x B ，则 = B A . 【答案】3 ,21 【解析】根据集合 A 2 1 0 x+ ，解得12x ，由 1 2, , 1 3 x x 得到，所以 = 3 ,21B A . 【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数 1 sincos 2) (= xxx f 的值域是 . 【答案】 23,25 【解析】根据题目 2 2 sin212 cos sin ) ( = = x x x x f ，因为1 2 sin 1 x ，所以23) (25 x f . 【点评】本题主要考查1/ 18行列式的基本运算、三角函数的范围、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求掌握二阶行列式的运算性质. 4．若 ) 1 , 2 ( = n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】 2 arctan 【解析】设直线的倾斜角为，则 2 arctan , 2 tan = = . 【点评】本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx 的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160 【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 3 3 34 62C ( ) 160 T xx= = . 【点评】本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属于中档题. 6．有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，nV V V2 1，则= + + + ) ( lim2 1 nnV V V . 【答案】78 【解析】由正方体的棱长组成以 1 为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111) ( lim21== + + + nnV V V . 【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合. 7．已知函数| |) (a xe x f= （ a 为常数）.若 ) (x f 在区间 ) ,1 [ + 上是增函数，则 a 的取值范围是 . 【答案】 ( ] 1 , 【解析】根据函数,( ),x ax ax ae x af x ee x a += =看出当 a x 时函数增函数，而已知函数 ) (x f 在区间 [ ) + , 1上为增函数，所以 a 的取值范围为：( ] 1 , . 【点评】本题主要考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判断，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中. 8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2 的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33 【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为 r ，母线长为 l ，根据条件得到 2212=l ，解得母线长 2 = l ，1 , 2 2 = = = r l r 所以该圆锥的体积为：331 231S312 2= = = h V 圆锥 . 【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题. 9．已知2) ( x x f y + = 是奇函数，且 1 ) 1 ( = f ，若 2 ) ( ) ( + = x f x g ，则 = ) 1 ( g . 【答案】 1 】【解析】因为函数2) ( x x f y + = 为奇函数，所以 , 3 ) 1 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 1 ( ) 1 ( = = + =g f f g 所以，又 1 2 3 2 ) 1 ( ) 1 ( , 3 ) 1 ( = + = + = = f g f . ( 1) (1). f f = 【点评】本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数 ) ( x f y = 为奇函数，所以有) ( ) ( x f x f = 这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.3/ 1810．如图，在极坐标系中，过点 ) 0 , 2 ( M 的直线 l 与极轴的夹角 6 = ，若将 l 的极坐标方程写成 ) ( f = 的形式，则 = ) ( f . 【答案】)6sin(1 【解析】根据该直线过点 ) 0 , 2 ( M ，可以直接写出代数形式的方程为：) 2 (21 = x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1) (= f . 【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可.对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32 【解析】一共有 27 种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有 18 种，所以根据古典概型得到此种情况下的概率为32. 【点评】本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本题属于中档题. 12．在平行四边形 ABCD 中，3= A ，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足| || || || |CDCNBCBM= ，则 AN AM 的取值范围是 . 【答案】 [ ] 5 , 2 【解析】以向量 AB 所在直线为 x 轴，以向量 AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1 , 2 = = AD AB ，所以 5 1(0,0), (2,0), ( ,1) ( ,1).2 2A B C D 设1 5 1 5 5 1 5 1 5 1( ,1)( ), , - , - , (2 ,( )sin ).2 2 2 2 4 2 8 4 4 2 3N x x BM CN CN x BM x M x x = = = + 则根据题意，有 )83 2 3 5,4 821( ), 1 , (x xAM x AN = = . 所以83 2 3 5)4 821(x xx AN AM+ = 2521x ，所以 2 5. AM AN 64224610 5 5 10ADCBMN 【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13．已知函数 ) ( x f y = 的图象是折线段 ABC ，其中 ) 0 , 0 ( A 、 ) 5 ,21( B 、 ) 0 , 1 ( C ，函数 ) ( x xf y = （ 1 0 x ）的图象与 x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45 【解析】根据题意得到，110 ,02( )110 10, 12x xf xx x = + 从而得到22110 ,02( )110 10 , 12x xy xf xx x x = = +所以围成的面积为45) 10 10 ( 101212210= + + =dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 . 【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， 2 = BC ，若 c AD 2 = ，且 a CD AC BD AB 2 = + = + ，其中 a 、 c 为常数，则四面体 ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】 1322 2 c a c 【解析】据题 a CD AC BD AB 2 = + = + ，也就是说，线段 CD AC BD AB + + 与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱 BC 互相垂直，当 ABD BC 平面时，此时有最大值，此时5/ 18最大值为：1322 2 c a c . 【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题. 二、选择题（20 分） 15．若 i 2 1+ 是关于 x 的实系数方程 02= + + c bx x 的一个复数根，则（） A． 3 , 2 = = c b B． 3 , 2 = = c b C． 1 , 2 = = c b D． 1 , 2= = c b 【答案】 B 【解析】根据实系数方程的根的特点 1 2 i 也是该方程的另一个根，所以 b i i = = + + 2 2 1 2 1 ，即 2 =b ，c i i = = + 3 ) 2 1 )( 2 1 ( ，故答案选择 B. 【点评】本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16．在 ABC 中，若 C B A2 2 2sin sin sin + ，则 ABC的形状是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C 【解析】由正弦定理，得 , sin2, sin2, sin2CRcBRbARa= = = 代入得到2 2 2a b c + ，由余弦定理的推理得2 2 2cos 02a b cCab+ = ，所以 C 为钝角，所以该三角形为钝角三角形.故选择 A. 【点评】本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设44 3 2 110 10 xx x x ，5510 = x ，随机变量1 取值5 4 3 2 1x x x x x 、、、、的概率均为 2 . 0 ，随机变量2 取值2 2 2 2 21 5 5 4 4 3 3 2 21x x x x x x x x x x + + + + +、、、、的概率也均为 2 . 0 ，若记2 1 D D 、分别为2 1 、的方差，则（） A．2 1 D D B．2 1 D D = C．2 1 D D D．1 D 与2 D 的大小关系与4 3 2 1x x x x 、、、的取值有关【答案】 A 【解析】由随机变量2 1 , 的取值情况，它们的平均数分别为：1 1234 51( ),5x x x x x x = + + + + ，2 3 3 4 45 5 1 122 11,5 2 2 2 2 2x x x x x x x x x xx x+ + + + + = + + ++ =且随机变量 2 1 , 的概率都为 2 . 0 ，所以有 1 D ＞2 D . 故选择 A. 【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1 nna n = ，n na a a S + + + = 2 1，在100 2 1, , , S S S 中，正数的个数是（） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】C 【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的 14 项的和为 0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力. 三、解答题（74分）：19．（6+6=12 分）如图，在四棱锥 ABCD P 中，底面 ABCD 是7/ 18矩形， PA 底面 ABCD ， E 是 PC 的中点，已知 2 = AB ， 2 2 = AD ， 2 = PA ，求：（1）三角形 PCD 的面积；（2）异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小. 【答案及解析】所以三角形 PCD 的面积为 3 2 3 2 221= ................6 分【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修 2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 20．（6+8=14 分）已知函数 ) 1 lg( ) ( + = x x f ．（1）若 1 ) ( ) 2 1 ( 0 x f x f ，求 x 的取值范围；（2）若 ) ( x g 是以 2 为周期的偶函数，且当 1 0 x 时，有 ) ( ) ( x f x g = ，求函数 ) ( x g y = （ ] 2 , 1 [ x ）的反函数. 【答案及解析】，3132 x 【点评】本题主要考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题． 21．（6+8=14 分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y = ；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发 t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7 ．（1）当 5 . 0 = t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？22．（4+6+6=16 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线1C ：1 22 2= y x ．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为 1 的直线 l 交1C 于 P 、 Q 两点，若 l 与圆 12 2= + y x 相切，求证：OQ OP ；（3）设椭圆2C ：1 42 2= + y x ，若 M 、 N 分别是1C 、2C 上的动点，且 ON OM ，求证：O 到直线 MN 的距离是定值. 【答案及解析】过点 A与渐近线 x y 2 = 平行的直线方程为22 , 2 1.2y x y x= + = +即 1 = ON ，22= OM ,则 O 到直线 MN 的距离为33. 设 O 到直线 MN 的距离为 d . 【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2 ，它的渐近线为 x y = ，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题． 23．（4+6+8=18 分）对于数集 } 1 {2 1 nx x x X ，，，， = ，其中nx x x 2 10 ， 2 n ，定义向量集} , ), , ( |9/ 18{ X t X s t s a a Y = = ，若对任意 Y a 1，存在 Y a 2，使得02 1= a a ，则称 X 具有性质 P ．例如 } 2 , 1 , 1 { 具有性质P ．（1）若 2 x ，且 } , 2 , 1 , 1 { x 具有性质 P ，求 x 的值；（2）若 X 具有性质 P ，求证：X 1 ，且当 1 nx 时， 11= x ；（3）若 X 具有性质 P ，且 11= x 、 q x =2（ q 为常数），求有穷数列nx x x ，，， 2 1的通项公式. 【答案及解析】必有形式 ) , 1 ( b 显然有2a 满足 02 1= a a 【点评】本题主要考查数集、集合的基本性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义 X 具有性质 P 这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的基本运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．亲爱的同学：经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展示了一下自己的身手吧！成绩肯定会很理想的，在以后的学习中大家一定要用学到的知识让知识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态考出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又忘了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧！怎样调整好考试心态心态就是一个人的心情。

上海高考数学试题(理科)及试卷答案解析

20XX年上海高考数学试题(理科)及试卷答案解析20XX年上海市秋季高考数学(理科)及部分解析一、填空题1．计算：limn20______ n3n13【解答】根据极限运算法则，limn201．n3n133b a8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）C5213【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为12． C9189．设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA两个焦点之间的距离为________ 4，若AB=4，BC的x2y221，于是可算得C(1,1，【解答】不妨设椭圆的标准方程为)得4b面面积为48，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________【解答】根据提示，一个半径为1，高为2的圆柱平放，一个高为2，底面面积8的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为1228216． 22I}14．对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I){y|y g(x),x，已知定义域为[0,3]的函数y f(x)有反函数y f1(x)，且f1([0,1))[1,2),f1((2,4])[0,1)，若方程f(x)x0有解x0，则x0_____【解答】根据反函数定义，当x[0,1)时，f(x)(2,4]；x[1,2)时，f(x)[0,1)，而y f(x)的定义域为[0,3]，故当x[2,3时，f(x)取值应集合(,0)[1,2](4,)，故若f(x0)x0，只有x02．二、选择题15．设常数a R，集合A{x|(x1)(x a)0},B{|1，若AB Ra 的取值范围为（）(A) (,2) (B) (,2] ) (D) )a1【解答】集合AB． a16(A)充分条件 (C)B．17．在数列{anann1行列的矩阵的第i行第j列的元素,2,1;7,,2,12,i ai,j ai aj））则该矩阵元素能取到的不同数值的个i (D)63 i,j aij ai aj21，而i j2,3,,19，故不同数值个数为18个，中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为2,a34,a5d1,d2,d3,d4,d5.若m,M分别(iaj)ak(dr d的dt小值、最大值，其中s最{i,j,k}{1,2,3,4,5},{r,s,t}{1,2,3,4,5},则m,M满足（）.(A) m0,M0 (B) m0,M0 (C) m0,M0 (D)m0,M0【解答】作图知，只有AF DE AB DC0，其余均有ai dr0，故选D．三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A1A=1，证明直线BC1平行于平面DA1C，并求直线BC1到平面D1AC的距离.C1（2）令2，将函数y f(x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函6数y g(x)的图像，区间[a,b]（a,b R且a b）满足：y g(x)在[a,b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a,b]中，求b a的最小值．【解答】(1)因为0，根据题意有342422 3(2) f(x)2sin(2x)，g(x)2sin(2(x))12sin(2x) 163x2y21，曲线22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线C1:2C2:|y||x|1，P是平面上一点，若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点，则称P为“C1—C2型点”．—C型点”时，要使用一条过该焦点的22212(k1)。

2024年上海高考真题数学(含解析)

2024年上海市高考数学试卷注意：试题来自网络，请自行参考（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题4分，第7-12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1.设全集，集合，则______．【答案】【解析】【分析】根据补集的定义可求.【详解】由题设有，故答案为：2.已知则______．【答案】【解析】【分析】利用分段函数的形式可求.【详解】因故，故答案为：.3.已知则不等式的解集为______．【答案】【解析】【分析】求出方程的解后可求不等式的解集.【详解】方程的解为或，故不等式的解集为，故答案为：.4.已知，，且是奇函数，则______．【答案】【解析】【分析】根据奇函数的性质可求参数.【详解】因为是奇函数，故即，故，故答案为：.5.已知，且，则的值为______．【答案】15【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.【详解】，，解得．故答案为：15．6.在的二项展开式中，若各项系数和为32，则项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令，解出，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令，，即，解得，所以的展开式通项公式为，令，则，．故答案为：10．7.已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为______．【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，代入抛物线方程，得，解得，则点到轴的距离为．故答案为：．8.某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，他题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是______．【答案】0.85【解析】【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案.【详解】由题意知，题库的比例为：，各占比分别为，则根据全概率公式知所求正确率．故答案为：0.85．9.已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．【答案】2【解析】【分析】设，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.【详解】设，且.则，，，解得，故答案为：2.10.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值______．【答案】329【解析】【分析】三位数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可.【详解】由题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有个；②当个位不为0时，则个位有个数字可选，百位有个数字可选，十位有个数字可选，根据分步乘法这样的偶数共有，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为个．故答案为：329．11.已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度)【答案】【解析】【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案.【详解】设，在中，由正弦定理得，即’即①在中，由正弦定理得，即，即，②因为，得，利用计算器即可得，故答案为：.12.无穷等比数列满足首项，记，若对任意正整数集合是闭区间，则的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】当时，不妨设，则，结合为闭区间可得对任意的恒成立，故可求的取值范围.【详解】由题设有，因为，故，故，当时，，故，此时为闭区间，当时，不妨设，若，则，若，则，若，则，综上，，又为闭区间等价于为闭区间，而，故对任意恒成立，故即，故，故对任意的恒成立，因，故当时，，故即.故答案为：.【点睛】思路点睛：与等比数列性质有关的不等式恒成立，可利用基本量法把恒成立为转为关于与公比有关的不等式恒成立，必要时可利用参变分离来处理.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.13.已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A气候温度高，海水表层温度就高B.气候温度高，海水表层温度就低C.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D.随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的性质可得正确的选项.【详解】对于AB，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故AB错误.对于CD，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误.故选：C.14.下列函数的最小正周期是的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可.【详解】对A，，周期，故A正确；对B，，周期，故B错误；对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；对于选项D，，周期，故D错误，故选：A．15.定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；对C，由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则由能推出，对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误.故选：C．16.已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函数B.存在在处取最大值C.存在是严格增函数D.存在在处取到极小值【答案】B【解析】【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断.【详解】对于A，若存在是偶函数,取,则对于任意,而,矛盾,故A错误；对于B，可构造函数满足集合，当时，则，当时，，当时，，则该函数的最大值是，则B正确；对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误；对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误；故选：B.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.如图为正四棱锥为底面的中心．（1）若，求绕旋转一周形成的几何体的体积；（2）若为的中点，求直线与平面所成角的大小．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形的边长，然后求圆锥的体积；（2）连接，可先证平面，根据线面角的定义得出所求角为，然后结合题目数量关系求解.【小问1详解】正四棱锥满足且平面，由平面，则，又正四棱锥底面是正方形，由可得，，故，根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥，即圆锥的高为，底面半径为，根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是【小问2详解】连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，由是中点，则，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直线与平面所成角的大小即为，不妨设，则，，又线面角的范围是，故.即为所求.18.若．（1）过，求的解集；（2）存在使得成等差数列，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；（2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围．【小问1详解】因为的图象过，故，故即（负的舍去），而在上为增函数，故，故即，故的解集为.小问2详解】因为存在使得成等差数列，故有解，故，因为，故，故在上有解，由在上有解，令，而在上的值域为，故即.19.为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：时间范围学业成绩优秀5444231不优秀1341471374027（1）该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）（3）是否有的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：其中，．）【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相关占比，乘以总人数即可；（2）根据平均数的计算公式即可得到答案；（3）作出列联表，再提出零假设，计算卡方值和临界值比较大小即可得到结论.【小问1详解】由表可知锻炼时长不少于1小时的人数为占比，则估计该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时的人数为．【小问2详解】估计该地区初中生的日均体育锻炼时长约为．则估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长为0.9小时.【小问3详解】由题列联表如下：其他合计优秀455095不优秀177308485合计222358580提出零假设：该地区成绩优秀与日均锻炼时长不少于1小时但少于2小时无关．其中．．则零假设不成立，即有的把握认为学业成绩优秀与日均锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关．20.已知双曲线左右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点.（1）若离心率时，求的值．（2）若为等腰三角形时，且点在第一象限，求点的坐标．（3）连接并延长，交双曲线于点，若，求取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据离心率公式计算即可；（2）分三角形三边分别为底讨论即可；（3）设直线，联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入计算向量数量积的等式计算即可.【小问1详解】由题意得，则，．【小问2详解】当时，双曲线，其中，，因为为等腰三角形，则①当以为底时，显然点在直线上，这与点在第一象限矛盾，故舍去；②当以为底时，，设，则,联立解得或或，因为点在第一象限，显然以上均不合题意，舍去；（或者由双曲线性质知，矛盾，舍去）；③当以为底时，，设，其中，则有，解得，即．综上所述：.小问3详解】由题知，当直线的斜率为0时，此时，不合题意，则，则设直线，设点，根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知，联立有，显然二次项系数，其中，①，②，，则，因为在直线上，则，，即，即，将①②代入有，即化简得，所以,代入到,得,所以,且，解得，又因为，则，综上知，，．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，为了方便运算可设，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，再写出相关向量，代入计算，要注意排除联立后的方程得二次项系数不为0.21.对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．（1）对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；（2）对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；（3）已知在定义域R上存在导函数，且函数在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．【答案】（1）证明见解析（2）存在，（3）严格单调递减【解析】【分析】（1）代入，利用基本不等式即可；（2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可；（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.【小问1详解】当时，，当且仅当即时取等号，故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．【小问2详解】由题设可得，则，因为均为上单调递增函数，则在上为严格增函数，而，故当时，，当时，，故，此时，而，故在点处的切线方程为.而，故，故直线与在点处的切线垂直．【小问3详解】设，，而，，若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，设，则既是的最小值点，也是的最小值点，因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在,使得，即①②由①②相等得，即，即，又因为函数在定义域R上恒正，则恒成立，接下来证明，因为既是的最小值点，也是的最小值点，则，即，③，④③④得即，因为则，解得，则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可.。

高考试题数学理上海卷解析版

第III氐到两个定点入D殆距制目等，是AD的中垂绻即阻.•・、；=二•一皐沦二;第N区；到定^、A与到定直线•、■轴砖距离柏等，是抛牧线，达\畑・> 一Iv -luixSZ）｝第V&.到两个亠D走虫的鉅离相等，应協是AD的中爭绻俚该线不经过弟V色故第V区没有满忌聚件的点；第vi氐到定直銭:•轮的距禹等于到定点0距鮎放满足隶件的点只有丄轴的非正半轴，即｛（和）.V<O,T=O｝第ni心到同一个点o的距扁相等的点,爰妣蘇象f艮的点，即：｛（x.v）X CS:T<!0｝策'in区：到定直筑.\轴，与列定点0的距韶痔，姒应O故满足条件的为.:轴的非iE半轴.RP：｛（rr） r=Oj <n｝第IX E;到定点a D的鉅斋相等的為为0D昭中垂竭该戋不经过IX区，枚不存在。

殊上所述：清足条件的点为：二H.;、y SrS?｝^ ｛（x,：.）；. - 2x ・ W.H Z】）｝_ f（儿；：v • S x 52:｝S 0； vSO），J：l・vj| A<0；Mil年上海高舟歎学试卷（理科）-、填空题（爭小邂4分.満分％分〉1、__________________________ 禺数“门■丄的更轟数为r（M-•r-2 ・【解析】厂⑴■丄・2.V2、箸全集L 集^-4»{r|x^l}J{.\ A<0}> 1*1 C,.4= ___________________【解析】<¥ 0<x<l}3、设別是常數.并虫刁0・门是双购找丄一二“的一个氯L 则加.w P【解析】根播交点公式* - r => «J■ 25 -P ■ 16.那・16」、不帑式口曲的解为 _____________X【解折】-L1<3=O i—^-<0 {.v .x<0 A m >1）x x 25、在极坐标系中，it繼p（】coM-shi8i■:与朮銭门4&・1的夬厨大小为_____________ （站果Jfl反三刑西歎值表示）【解析】因为.V =pcosc^.r = psint7,故直銭的一鮫方程为：lx-）«2,A =1.夹角为arctan A 6、恵和距2千米的±3两点处测董81标点C,若上（?：』■?亍丄（?3.4・6小・则.4.C两点W 问的距禹为 ___________ 千米.【解析】由正弦定现；=, AC •小sinoO- $in4?"7S箔01馳的侧而积为X.廉酝积为二，则该圆毎的休积为■10、柠列邓耕agg-LiQ ：所有可储的值中，说大杓是 __________________ 【解析】F :卜仝£一立，所以a = jf = £剣取丸值为6lk 在正三用彫・£C 杯 Q 是3C 上的点，若・i3・3.3D ・l, « A?<3- ___________________ 【覲析】绥田如下，过点D 柞DE_・4B ・则|AB - AD = --13 • -4x? = 34随机掖収的9仗同学杯至少有：:位同学在一月份出生的槪半为 __________________________________________________________________ （跌认番个月的夭歎相同.绐粟输确到0.001）13^设訓门是;t 义在R 上•以1为周期的及瓠芳国数r （x —W 虫区间[3•町上的值威为[-2.5]>刚在区间（-10:10]±的值域为 ________________ 【解析】-lSJlJs定义在虫上，以1为周禺的国敎■••• 0X411 = 0X1.文I7S =3( "3 - S5 I =5(3-13D I «JL X (3-1)«12Ml*» ■【解析】p= 0OS5P：.P.…,Pj Jll lirn QP, = ___________【解析】d £的极限点就是以原点为圆心，以】対半径与j=l的交点亀15 33 P1 8 161V1•11V V V 1 1 ■•・•1 1 1 1 1 11 1 1 11 1 •1 1 •1 1 1 ! i! ?013 2 9324本送就是二分法解方程的延伸，关蛙条件（0Q -21（ OR, -2i<0的意思是QR.上到原点距离为2的点（设为P）始终在QR<之间，且Q&的长度不斷缩小，fi•到Q,面£^QR 的中為也妊终在0&之间，故当职极限时匕£两点就重合了，此时ljm OP =怛（妙_0Q： Hi M若0为任意一点，为重心，则；0S1只有重心満足条件八所有不竽于董心的点有丽=557-1^,故只有诂点是重心时才能为零向晏面董心只有一个，故満足条件的点只有一个.1$、设匕〕是各项为正的无穷数列，.4杲边长为U, S的絶形的面积仁—丄…）,则⑷ 为等比数列的充晏条件是< ）A. ｛叮是等比歎列氐20.…2「.・…或仃；.攻..・・・・％.…長等比教列£；・绡：•…£«・…和込…•冬「…均是等比数列2忑卫•…，■斗…和冬•乞，…山―…均是等比敎外且公比相同【解析】D日二”幺」故竺吕二込丄满足访条件只有A、D,而显然D的范囲aa・ a sr.a z• • • • < ■庚全面，放选D三、解答题（本题满分？4分）19、（本题满分1】分）巳知真數2.滿足（Z.-2X1-/1=1-/ （f为虚数卑仗）,复数2•的虚部为2,且2・・Z •是夹数,• ・• • •求？・•2L （本遠满分14分.第1小题6分，第丄小魏S分）已H3CD • H3CD是底酝边氏舟1的正四祓栓.0曲.< 坊5D的交点.・ lit ••••・⑴设.3坊嚴西・打（・：2所戍的夹丙的丸小为二而用,-32-亠的大小为0.求证：can" 〔aim :⑵若处到平a&.3的距需为i, 蘇四极桂攻的高.【解析】（1）拟採题意可知’显藝&就是厶3亠3. 0就是4CU•i •>已矣°歎刊（aj和{弭的通顶公式分剧为a - 3廿-6. ：■ 2?r- 7（片三V i ,杵集合所以:aiiz?->j-tana{.vi.x-a t.wf .V） J{x x■玄豊"〉•'］申的无需从小到大侬次椰儿枸成数列w、・・.「・• $ 顼.第四顶一定是顶■第五項是｛汀中的项.第兴項不拄这样的话.⑴是以4 为截取周禺的.枚匕；的X、（本題満分(1)35 ±通項为：n = 4k9 k e .V e fl+i c =6*r** > 则c,・=6次二 + ■二二f ■；a 4 2^n = 4/t-l> k€ A"时.。

2023年上海市高考数学试卷(解析版)

2023年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）不等式|x﹣2|＜1的解集为　（1，3）　．【答案】（1，3）．【解答】解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，即不等式的解集为（1，3）．故答案为：（1，3）．2．（4分）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），则•＝　4　．【答案】4．【解答】解：∵向量＝（﹣2，3），＝（1，2），∴•＝﹣2×1+3×2＝4．故答案为：4．3．（4分）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为S n，则S6＝　189　．【答案】189．【解答】解：∵等比数列的首项为3，公比为2，∴S6＝＝189．故答案为：189．4．（4分）已知tanα＝3，则tan2α＝　﹣　．【答案】﹣．【解答】解：∵tanα＝3，∴tan2α＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．（4分）已知函数f（x）＝，则函数f（x）的值域为　[1，+∞）　．【答案】[1，+∞）．【解答】解：当x≤0时，f（x）＝1，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，所以函数f（x）的值域为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．6．（4分）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则|1+iz|＝．【答案】．【解答】解：∵z＝1﹣i，∴|1+iz|＝|1+i（1﹣i）|＝|2+i|＝．故答案为：．7．（5分）已知圆x2+y2﹣4x﹣m＝0的面积为π，则m＝　﹣3　．【答案】﹣3．【解答】解：圆x2+y2﹣4x﹣m＝0化为标准方程为：（x﹣2）2+y2＝4+m，∵圆的面积为π，∴圆的半径为1，∴4+m＝1，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．8．（5分）已知△ABC中，角A，B，C所对的边a＝4，b＝5，c＝6，则sin A＝．【答案】．【解答】解：a＝4，b＝5，c＝6，由余弦定理得，cos A＝＝＝，又∵A∈（0，π），∴sin A＞0，∴sin A＝＝＝．故答案为：．9．（5分）现有某地一年四个季度的GDP（亿元），第一季度GDP为232（亿元），第四季度GDP为241（亿元），四个季度的GDP逐季度增长，且中位数与平均数相同，则该地一年的GDP为　946（亿元）　．【答案】946（亿元）．【解答】解：设第二季度GDP为x亿元，第三季度GDP为y亿元，则232＜x＜y＜241，∵中位数与平均数相同，∴，∴x+y＝473，∴该地一年的GDP为232+x+y+241＝946（亿元）．故答案为：946（亿元）．10．（5分）已知（1+2023x）100+（2023﹣x）100＝a0+a1x+a2x2+⋯+a99x99+a100x100，若存在k∈{0，1，2，⋯，100}使得a k＜0，则k的最大值为　49　．【答案】49．【解答】解：二项式（1+2023x）100的通项为＝•2023r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，二项式（2023﹣x）100的通项为＝•2023100﹣r•（﹣1）r•x r，r∈{0，1，2，…，100}，∴a k＝+＝[2023k+2023100﹣k•（﹣1）k]，k∈{0，1，2，⋯，100}，若a k＜0，则k为奇数，此时a k＝（2023k﹣2023100﹣k），∴2023k﹣2023100﹣k＜0，∴k＜100﹣k，∴k＜50，又∵k为奇数，∴k的最大值为49．故答案为：49．11．（5分）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　arccos　．【答案】arccos．【解答】解：斜坡的长度为l＝，上坡所消耗的总体力y＝×（1.025﹣cosθ）＝，函数的导数y′＝＝，由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ＝，θ＝arccos，由f′（x）＞0时cosθ＜，即arccos＜θ＜时，函数单调递增，由f′（x）＜0时cosθ＞，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减，即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小．故答案为：θ＝arccos．12．（5分）空间中有三个点A、B、C，且AB＝BC＝CA＝1，在空间中任取2个不同的点D，E（不考虑这两个点的顺序），使得它们与A、B、C恰好成为一个正四棱锥的五个顶点，则不同的取法有　9　种．【答案】9．【解答】解：如图所示，设任取2个不同的点为D、E，当△ABC为正四棱锥的侧面时，如图，平面ABC的两侧分别可以做ABDE作为圆锥的底面，有2种情况，同理以BCED、ACED为底面各有2种情况，所以共有6种情况；当△ABC为正四棱锥的截面时，如图，D、E位于AB两侧，ADBE为圆锥的底面，只有一种情况，同理以BDCE、ADCE为底面各有1种情况，所以共有3种情况；综上，共有6+3＝9种情况．故答案为：9．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．（4分）已知P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，x∉Q}，则M＝（）A．{1}B．{2}C．{3}D．{1，2，3}【答案】A【解答】解：∵P＝{1，2}，Q＝{2，3}，M＝{x|x∈P，x∉Q}，∴M＝{1}．故选：A．14．（4分）根据所示的散点图，下列说法正确的是（）A．身高越大，体重越大B．身高越大，体重越小C．身高和体重成正相关D．身高和体重成负相关【答案】C【解答】解：根据散点图的分布可得：身高和体重成正相关．故选：C．15．（5分）已知a∈R，记y＝sin x在[a，2a]的最小值为s a，在[2a，3a]的最小值为t a，则下列情况不可能的是（）A．s a＞0，t a＞0B．s a＜0，t a＜0C．s a＞0，t a＜0D．s a＜0，t a＞0【答案】D【解答】解：由给定区间可知，a＞0．区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．取a＝，则[a，2a]＝[]，区间[2a，3a]＝[]，可知s a＞0，t a＞0，故A可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＞0，t a＜0，故C可能；取a＝，则[a，2a]＝[，]，区间[2a，3a]＝[，]，可知s a＜0，t a＜0，故B可能．结合选项可得，不可能的是s a＜0，t a＞0．故选：D．16．（5分）已知P，Q是曲线Γ上两点，若存在M点，使得曲线Γ上任意一点P都存在Q 使得|MP|•|MQ|＝1，则称曲线Γ是“自相关曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”，则（）A．①成立，②成立B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立D．①不成立，②不成立【答案】B【解答】解：∵椭圆是封闭的，总可以找到满足题意的M点，使得|MP|•|MQ|＝1成立，故①正确，在双曲线中，|PM|max→+∞，而|QM|min是个固定值，则无法对任意的P∈C，都存在Q∈C，使得|PM||QM|＝1，故②错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（14分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2，AD＝3，CD＝4．（1）证明：直线A1B∥平面DCC1D1；（2）若该四棱柱的体积为36，求二面角A1﹣BD﹣A的大小．【答案】（1）证明见解答；（2）arctan．【解答】解：（1）证明：根据题意可知AB∥DC，AA1∥DD1，且AB∩AA1＝A，∴可得平面A1ABB1∥平面DCC1D1，又直线A1B⊂平面A1ABB1，∴直线A1B∥平面DCC1D1；（2）设AA1＝h，则根据题意可得该四棱柱的体积为＝36，∴h＝4，∵A1A⊥底面ABCD，在底面ABCD内过A作AE⊥BD，垂足点为E，则A1E在底面ABCD内的射影为AE，∴根据三垂线定理可得BD⊥A1E，故∠A1EA即为所求，在Rt△ABD中，AB＝2，AD＝3，∴BD＝＝，∴AE＝＝＝，又A1A＝h＝4，∴tan∠A1EA＝＝＝，∴二面角A1﹣BD﹣A的大小为arctan．18．（14分）已知a，c∈R，函数f（x）＝．（1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由；（2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围．【答案】（1）a＝0时，f（x）的定义域为{x|x≠0}，不存在c使得f（x）是奇函数．（2）（，）∪（，+∞）．【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）＝＝x++1，要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}，∵y＝x+是奇函数，y＝1是偶函数，∴函数f（x）＝x++1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数．（2）若函数过点（1，3），则f（1）＝＝＝3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1，此时f（x）＝，若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，即f（x）＝＝0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点，设g（x）＝x2+（3a+1）x+1，则，得，得，即a＞，若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根，则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a＝或a＝﹣1，则实数a的取值范围是a＞且a≠且a≠﹣1，即（，）∪（，+∞）．19．（14分）2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：红色外观蓝色外观棕色内饰128米色内饰23（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P（B）和P（B|A），并判断事件A和事件B是否独立；（2）该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，给出以下假设：假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色；假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．【答案】（1）P（A）＝，P（B）＝．P（B|A）＝．事件A和事件B不独立．（2）EX＝277（元）．【解答】解：（1）若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P（A）＝＝，若小明取到棕色内饰，分红色外观12，蓝色外观8，则对应的概率P（B）＝＝＝．取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P（AB）＝，则P（B|A）＝＝＝＝．∵P（A）P（B）＝＝≠，∴P（A）P（B）≠P（AB），即事件A和事件B不独立．（2）由题意知X＝600，300，150，则外观和内饰均为同色的概率P＝＝＝，外观和内饰都异色的概率P＝＝，仅外观或仅内饰同色的概率P＝1﹣﹣＝，∵＞＞，∴P（X＝150）＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝600）＝，则X的分布列为：X150300600P则EX＝150×+300×+600×＝277（元）．20．（18分）已知抛物线Γ：y2＝4x，在Γ上有一点A位于第一象限，设A的纵坐标为a（a ＞0）．（1）若A到抛物线Γ准线的距离为3，求a的值；（2）当a＝4时，若x轴上存在一点B，使AB的中点在抛物线Γ上，求O到直线AB的距离；（3）直线l：x＝﹣3，P是第一象限内Γ上异于A的动点，P在直线l上的投影为点H，直线AP与直线l的交点为Q．若在P的位置变化过程中，|HQ|＞4恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）（0，2]．【解答】解：（1）抛物线Γ：y2＝4x的准线为x＝﹣1，由于A到抛物线Γ准线的距离为3，则点A的横坐标为2，则a2＝4×2＝8（a＞0），解得；（2）当a＝4时，点A的横坐标为，则A（4，4），设B（b，0），则AB的中点为，由题意可得，解得b＝﹣2，所以B（﹣2，0），则，由点斜式可得，直线AB的方程为，即2x﹣3y+4＝0，所以原点O到直线AB的距离为；（3）如图，设，则，故直线AP的方程为，令x＝﹣3，可得，即，则，依题意，恒成立，又，则最小值为，即，即，则a2+12＞a2+4a+4，解得0＜a＜2，又当a＝2时，，当且仅当t＝2时等号成立，而a≠t，即当a＝2时，也符合题意．故实数a的取值范围为（0，2]．21．（18分）已知f（x）＝lnx，在该函数图像Γ上取一点a1，过点（a1，f（a1））做函数f （x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a2），若a2＞0，则过点（a2，f（a2））做函数f（x）的切线，该切线与y轴的交点记作（0，a3），以此类推a3，a4，⋯，直至a m≤0停止，由这些项构成数列{a n}．（1）设a m（m≥2）属于数列{a n}，证明：a m＝lna m﹣1﹣1；（2）试比较a m与a m﹣1﹣2的大小关系；（3）若正整数k≥3，是否存在k使得a1、a2、a3、⋯、a k依次成等差数列？若存在，求出k的所有取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明过程见解答；（2）a m≤a m﹣1﹣2；（3）k＝3．【解答】解：（1）证明：，则过点（a m﹣1，f（a m﹣1））的切线的斜率为，由点斜式可得，此时切线方程为，即，令x＝0，可得y＝lna m﹣1﹣1，根据题意可知，a m＝lna m﹣1﹣1，即得证；（2）先证明不等式lnx≤x﹣1（x＞0），设F（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），则，易知当0＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，当x＞1时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，则F（x）≤F（1）＝0，即lnx≤x﹣1（x＞0），结合（1）可知，a m＝lna m﹣1﹣1≤a m﹣1﹣1﹣1＝a m﹣1﹣2；（3）假设存在这样的k符合要求，由（2）可知，数列{a n}为严格的递减数列，n＝1，2，3，…，k，由（1）可知，公差d＝a n﹣a n﹣1＝lna n﹣1﹣a n﹣1﹣1，2≤n≤k，先考察函数g（x）＝lnx﹣x﹣1，则，易知当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，则g（x）＝d至多只有两个解，即至多存在两个a n﹣1，使得g（a n﹣1）＝d，若k≥4，则g（a1）＝g（a2）＝g（a3）＝d，矛盾，则k＝3，当k＝3时，设函数h（x）＝ln（lnx﹣1）﹣2lnx+x+1，由于h（e1.1）＝ln0.1﹣2.2+e1.1+1＝e1.1﹣ln10﹣1.2＜0，h（e2）＝﹣3+e2＞0，则存在，使得h（x0）＝0，于是取a1＝x0，a2＝lna1﹣1，a3＝lna2﹣1，它们构成等差数列．综上，k＝3．。

2024年上海高考数学试题+答案详解

2024年上海高考数学试题+答案详解（试题部分）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．2．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为．4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是． 9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为． 10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)12．无穷等比数列{}n a 满足首项10,1a q >>，记[][]{}121,,,n n n I x y x y a a a a +=−∈⋃，若对任意正整数n 集合n I 是闭区间，则q 的取值范围是．二、单选题13．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是（）A ．气候温度高，海水表层温度就高B ．气候温度高，海水表层温度就低C ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D ．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 14．下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（）A ．sin cos x x +B ．sin cos x xC ．22sin cos x x +D ．22sin cos x x −15．定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取123,,ΩP P P ∈，存在不全为0的实数123,,λλλ，使得1122330OP OP OP λλλ++=．已知(1,0,0)Ω∈，则(0,0,1)Ω∉的充分条件是（）A ．()0,0,0∈ΩB ．()1,0,0−∈ΩC ．()0,1,0∈ΩD ．()0,0,1−∈Ω16．已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合()()(){}0000,,,M x x x x f x f x ∞=∈∈−<R ，在使得[]1,1M =−的所有()f x 中，下列成立的是（）A ．存在()f x 是偶函数B ．存在()f x 在2x =处取最大值C ．存在()f x 是严格增函数D ．存在()f x 在=1x −处取到极小值三、解答题17．如图为正四棱锥,P ABCD O −为底面ABCD 的中心．(1)若5,AP AD ==POA 绕PO 旋转一周形成的几何体的体积； (2)若,AP AD E =为PB 的中点，求直线BD 与平面AEC 所成角的大小． 18．若()log (0,1)a f x x a a =>≠．(1)()y f x =过()4,2，求()()22f x f x −<的解集；(2)存在x 使得()()()12f x f ax f x ++、、成等差数列，求a 的取值范围．19．为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于1小时人数约为多少？ (2)估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？（附：()()()()22(),n ad bc a b c d a c b d −=++++χ其中n a b c d =+++，()2 3.8410.05P χ≥≈．）20．已知双曲线222Γ:1,(0),y x b b−=>左右顶点分别为12,A A ，过点()2,0M −的直线l 交双曲线Γ于,P Q 两点.(1)若离心率2e =时，求b 的值．(2)若2b MA P =△为等腰三角形时，且点P 在第一象限，求点P 的坐标． (3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ于点R ，若121A R A P ⋅=，求b 的取值范围．21．对于一个函数()f x 和一个点(),M a b ，令()()22()()s x x a f x b =−+−，若()()00,P x f x 是()s x 取到最小值的点，则称P 是M 在()f x 的“最近点”． (1)对于1()(0)f x x x=>，求证：对于点()0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在()f x 的“最近点”； (2)对于()()e ,1,0xf x M =，请判断是否存在一个点P ，它是M 在()f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x =在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x =在定义域R 上存在导函数()f x '，且函数 ()g x 在定义域R 上恒正，设点()()()11,M t f t g t −−，()()()21,M t f t g t ++．若对任意的t ∈R ，存在点P 同时是12,M M 在()f x 的“最近点”，试判断()f x 的单调性．2024年上海高考数学试题+答案详解（答案详解）一、填空题1．设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}2,4A =，则A = ．【答案】{}1,3,5【解析】由题设有{}1,3,5A =，答案：{}1,3,52．已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【解析】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．已知,x ∈R 则不等式2230x x −−<的解集为．【答案】{}|13x x −<<【解析】方程2230x x −−=的解为=1x −或3x =，故不等式2230x x −−<的解集为{}|13x x −<<，答案：{}|13x x −<<.4．已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【解析】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x −+=即()330x a x a ++−+=，故0a =，答案：0.5．已知()(),2,5,6,k a b k ∈==R ，且//a b ，则k 的值为．【答案】15【解析】//a b ，256k ∴=⨯，解得15k =．答案：15．6．在(1)n x +的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x 项的系数为．【答案】10【分析】令1x =，解出5n =，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可. 【解析】令1x =，(11)32n ∴+=，即232n =，解得5n =，所以5(1)x +的展开式通项公式为515C r rr T x−+=⋅，令52r -=，则3r =，32245C 10T x x ==∴．答案：10．7．已知抛物线24y x =上有一点P 到准线的距离为9，那么点P 到x 轴的距离为．【答案】【分析】根据抛物线的定义知8P x =，将其再代入抛物线方程即可.【解析】由24y x =知抛物线的准线方程为1x =−，设点()00,P x y ，由题意得019x +=，解得08x =，代入抛物线方程24y x =，得2032y =，解得0y =±，则点P 到x轴的距离为答案：8．某校举办科学竞技比赛，有、、A B C 3种题库，A 题库有5000道题，B 题库有4000道题，C 题库有3000道题．小申已完成所有题，他A 题库的正确率是0.92，B 题库的正确率是0.86，C 题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是．【答案】0.85【解析】根据题意知，,,A B C 题库的比例为：5:4:3，各占比分别为543,,121212，则根据全概率公式知所求正确率5430.920.860.720.85121212p =⨯+⨯+⨯=．答案：0.85．9．已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+−+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b m b b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨−⎪=⎪+⎩，解得2m =，答案：2.10．设集合A 中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．【答案】329【解析】根据题意知集合中且至多只有一个奇数，其余均是偶数．首先讨论三位数中的偶数，①当个位为0时，则百位和十位在剩余的9个数字中选择两个进行排列，则这样的偶数有29P 72=个；②当个位不为0时，则个位有14C 个数字可选，百位有18C 256=个数字可选，十位有18C 个数字可选，由分步乘法这样的偶数共有111488C C C 256=，最后再加上单独的奇数，所以集合中元素个数的最大值为722561329++=个．答案：329．11．已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，BC CD =,存在点A 满足16.5,37BAC DAC =︒=︒∠∠，则BCA ∠= (精确到0.1度)【答案】7.8︒【分析】设BCA θ∠=，在DCA △和BCA V 中分别利用正弦定理得到sin sin CA CD D CAD =∠，()sin16.5sin 16.5CA CB θ=+。

高考上海理科数学试题及答案(word解析版)

列的前两项为 2， 0；或 2， 1；或 3， 0；或 3，为 2， 0，
1；若 n 3 ，由 S3
2，3 ，可得数列的前三项
0；或 2， 0， 1；或 2， 1， 0；或 2， 1， 3， 1， 1；
若 n 4 ，由 S4 2，3 ，可得数列的前四项为或 2， 0，
1；或 3， 0， 0；或 3， 0， 1；或 3， 1， 0；或 2， 0， 0， 0；或 2， 0， 0， 1；或 2， 0， 1， 0；
3 ，则该正四棱柱的高等于
．
【答案】 2 2
tan DBD1 DD1
【解析】由题意得
BD
【点评】本题考查了正四棱柱的性质，
2 DD1 2 DD1 2 2
3 32 3
．
正四棱柱的高的计算，考查了线面角的定义，
关键是找到直线与平面
所成的角．
（ 7）【 2019 年上海，理 7， 4 分】方程 3sin x 1 cos2x 在区间 0,2 上的解为
2)r x
8 4r
( 2)r C8r x3 3 ，求常数项则令
8 3
4 r
3
0 ，所以 r 2 ，所以 T3 112 ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，
二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数
的性质，属于中档题．
（ 9）【 2019 年上海，理 9， 4 分】已知 ABC的三边长分别为 3， 5， 7，则该三角形的外接圆半径等于
（ A ）充分非必要条件【答案】 A
（ B）必要非充分条件
（ C）充要条件
（D ）既非充分也非必要条件
【解析】 a 1 a2 1,a2 1 a 1或 a 1，所以是充分非必要条件，故选 A ．

[精选]高考理科数学上海市卷(word版含答案) 数学

[精选]高考理科数学上海市卷（word版含答案）数学[精选]高考理科数学上海市卷（word版含答案）-数学数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、试卷、数学、数学测试、数学奥林匹克、集合、有理数、函数、不等式、解三角形2021年上海高考数学试卷（理）一、填空（每个子问题4分，共56分）1。

函数f（x）？1的反函数是f？1（x）？。

十、22.如果全套的u？r、设定一个目标？{xx？1}？{x | x？0}，然后CUAy2x23.设m是常数，若点f(0,5)是双曲线??1的一个焦点，则m=.m94.不等式十、1.3的解是x5。

在极坐标系中，直线？（2cos？？罪恶？）？2.直线呢？余弦？？1的夹角为（结果用反三角函数值表示）6.在相距2千米的a、b两点处测量目标点c，若?cab?75?,?cba?60?，则a、c两点之间的距离为千米.7.如果圆锥体的侧面面积为2？，底部的面积是？，那么圆锥体的体积是8.函数y?sin??x?cos??x?的最大值为.2.6.9.从教科书中复制一个随机变量？其概率分布规律如下：x12！3？p(??x)？请小牛同学计算?的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案e？=。

在AB（a，B，C，D？{1,1,2}）的所有可能值中，最大的是cd11.在正三角形ABC中，D是BC上的点，如果AB=3，BD=1，那么AB？公元10.决定因素12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为（默认每个月的天数相同，结果精确到0.001）.数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、数学试卷、数学测试、数学奥林匹克、集合、有理数、函数、不等式、解三角形数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题、数学试卷、，数学测试，数学奥林匹克，集合，有理数，函数，不等式，解三角形13假设g（x）是定义在R上的一个周期为1的函数，如果f（x）？十、如果区间[3,4]上G（x）的取值范围为，那么区间[10,10]上F（x）的取值范围为14.已知点o(0,0)、q0(0,1)和点r0(3,1)，记q0r0的中点为p1，取q0p1和p1r0中的一条，记其端点为q1、r1，使之满足?|oq1|?2??|or1|?2??0，记q1r1的中点为P2，取q1p2和p2r1中的一个，并将其端点记录为Q2和R2，以使其满足| oq2 |的要求？2??| 还是2 |？2.0.一个接一个下去，得到pn | 1，p2，？，请注意那么lim |q0pn？？2、多项选择题（每个子题5分，满分20分）15.若a,b?r，且ab?0，则下列不等式中，恒成立的是（）112（a）a2？b2？2ab。

上海市高考理科数学试题及答案.doc

201X 年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（）（A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题学科.网三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

高考真题试卷理科数学(上海卷)答案解析版

2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）：1．计算：=+-ii 13 （i 为虚数单位）。

【解析】复数i i i i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。

【答案】i 21-2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。

【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-。

【答案】)3,21(- 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是。

【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12sin 1≤≤-x ，所以212sin 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--。

【答案】]23,25[-- 4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）。

【解析】【设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。

【答案】2arctan5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于。

【解析】二项展开式的通项为k k k k k k k x C x x C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。

【答案】160-6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。

【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理(上海卷,含答案)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，含答案）考生注意：1．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2．本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题（本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1．若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ . 2．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3．若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sinπ成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。