5Hamilton-Jacobi 理论

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hjb 方程

HJB方程1. 简介HJB（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程是一种偏微分方程，描述了最优控制问题中的动态规划原理。

它由William Rowan Hamilton、Carl Gustav Jacob Jacobi和Richard E. Bellman等人独立提出，被广泛应用于经济学、数学、物理学等领域。

HJB方程在最优控制理论中起着重要的作用。

它用于求解动态系统中的最优策略，帮助决策者在给定约束条件下实现最大化效益。

HJB方程是一个非线性偏微分方程，其解表示最优策略和相应的效用函数。

2. 基本形式HJB方程的基本形式可以表示为：ρ+minu∈U {f(x,u)+∇V(x)⋅F(x,u)+12Tr(G(x,u)∇2V(x)G T(x,u))}=0其中， - ρ表示时间变量 - x表示状态变量 - u表示控制变量 - f是一个标量函数，表示控制和状态之间的耦合关系 - V是值函数（value function），表示系统的效用函数 - F是一个矢量函数，表示状态变量和控制变量的关系 - G是一个矩阵函数，表示系统中的噪声项HJB方程可以看作是一个动态规划问题的最优性条件。

它通过最小化控制变量u来确定系统的最优策略，并求解值函数V(x)。

3. 求解方法由于HJB方程是一个非线性偏微分方程，其求解并不容易。

通常采用以下两种方法进行求解：3.1 动态规划法动态规划法是HJB方程求解的经典方法之一。

该方法将问题分解为一系列子问题，并通过递归地求解这些子问题来获得最优策略和值函数。

具体步骤如下： 1. 将状态空间离散化，得到有限个状态点。

2. 从终止时间开始，逆向递推计算值函数V(x)。

3. 对每个状态点x i，枚举所有可能的控制变量u j，计算f(x i,u j)+∇V(x i)⋅F(x i,u j)+12Tr(G(x i,u j)∇2V(x i)G T(x i,u j))。

4. 选择使上述表达式最小的控制变量u j，更新值函数V(x i)和最优策略。

哈密顿-雅可比-贝尔曼微分方程

哈密顿-雅可比-贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman，HJB）微分方程是动态规划中的重要方程，用于解决最优控制问题。

它由哈密顿-雅可比方程和贝尔曼方程组成。

哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）描述了最优控制问题中状态变量的变化和控制变量的影响。

对于一个控制系统，假设状态变量为x，控制变量为u，哈密顿函数为H(x, u, t)，哈密顿-雅可比方程可以表示为：
∂V/∂t + H(x, ∇V, t) = 0
其中，V(x, t)是值函数，∂V/∂t表示对时间t的偏导数，∇V表示梯度算子。

贝尔曼方程（Bellman equation）描述了最优控制问题中的最优值函数与其它状态的关系。

对于一个离散时间的最优控制问题，假设状态变量为x，控制变量为u，系统动态为x' = f(x, u)，奖励函数为R(x, u)，折扣因子为γ，贝尔曼方程可以表示为：
V(x) = max [ R(x, u) + γV(x') ]
这个方程表示了在当前状态x下，选择控制变量u使得期望奖励最大化。

通过递归地求解贝尔曼方程，可以得到最优值函数V*(x)和最优策略。

哈密顿-雅可比-贝尔曼微分方程的求解需要使用动态规划等数值方法，通过迭代计算来逼近最优值函数和最优策略。

它在最优控制、强化学习等领域中具有重要应用，用于求解复杂的最优控制问题。

最优控制课程课件II-5.HJB方程

Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
4 / 67
回顾：Bellman 方程回顾：Bellman 方程
离散时间最优控制问题
问题 1 (离散时间最优控制问题)
13 / 67
Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
4/4 HJB 方程必要性-取极限
两边同除 ∆t，取 ∆t → 0，即可得对于 t ∈ [t0, tf ] 都有 HJB 方程
∂V −
(x(t),
t)
=
min{g(x(t),
u(t),
t)
+
∂V [
(x(t),
t)]T f (x(t),
u(t),
t)}
∂t
u(t)
∂x
令 t = tf ，得到边界条件
V (x(tf ), tf ) = h(x(tf ), tf ).
(11)
Jie, Zhang (CASIA)
Optimal Control
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
最优控制的数学理论
. .. . . ..
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Hamilton-Jacobi-Bellman 方程 HJB 方程是最优控制的必要条件
1/4 HJB 方程必要性-最优性原理
将性能指标分成 [t, t + ∆t] 和 [t + ∆t, tf ] 两段

Hamilton-Jacobi 理论

由此可见，应用 Hamilton-Jacobi 方法来解决力学运动的问题，归结为如下的
运算：根据 Hamilton 函数写出 Hamilton-Jacobi 方程；求得此方程的完全积分，
该完全积分中包含 s 个任意常数 βi ；对任意常数 βi 进行微分，并使之等于新的
常数αi ，这样就得到了 s 个代数方程构成的方程组
我们可以试着寻找
f ( x,t ) = f1 ( x) + f2 (t )
(8)
这种形式的解，把它代入(7)就得到
df1 ( x) + df2 (t ) = 0
(9)
dx
dt
如果(8)这样的解已经找到，那么把它代入上面的式子后，方程(9)就成为恒等式
了，而这一恒等式在 x,t 取任何值时都是成立的，但是保持 t 不动而只是变化 x
+
⎛ ⎜ ⎝
∂W2 ∂x2
⎞2 ⎤ ⎟ ⎥+ ⎠ ⎥⎦
1m 2
ω12 x12
+ ω22 x22
= E = β1
(32)
可以安排成下面的形式
第 6 页，共 10 页
β1
−
1⎛
2m
⎜ ⎝
∂W1 ∂x1
⎞2 ⎟ ⎠
−
1 2
mω12 x12
=
1 2m
⎛ ⎜ ⎝
∂W2 ∂x2
⎞2 ⎟ ⎠
+
1 2
mω22 x22
在 Hamilton-Jacobi 方程(25)中，我们假设
s
W = ∑Wi (qi , β )
(27)
i=1
其中Wi 仅仅依赖于 qi 。如果这样的假设导致Wi 的如下没有耦合的方程

等离子体环境中Kerr黑洞的暗影

上海师范大学硕士学位论文摘要摘　要自从广义相对论诞生以来，黑洞作为它的一个重要结论，一直是理论研究的一个热门对象。

长期以来人们从各个不同的角度对黑洞的性质进行了广泛而深入的讨论。

本文的研究内容是通过黑洞对光线的影响得到的观测结果即黑洞暗影，反向推出黑洞的性质参数。

随着事件视界望远镜项目(EHT)的进行，黑洞暗影的研究在最近几年掀起了又一波高潮。

我们通过一系列的调研，掌握了两种计算黑洞暗影的方法，即Hamilton-Jacobi方法和反向射线追踪法。

我们首先用Hamilton-Jacobi 方法计算了真空环境下的Kerr黑洞暗影的大小和形状，从得到的结果看出影响黑洞暗影的主要因素为黑洞的质量M和自旋a；然后用反向射线追踪法对等离子体环境中的Kerr黑洞进行了研究，并引入两个参数，即黑洞暗影半径R s和形变参数σ对黑洞暗影的形状进行描述。

我们看到通过增加黑洞的自旋参数，黑洞暗影的图像会发生改变，变得更加不规则。

在等离子体环境下，黑洞暗影的形状会因受到等离子体的影响而发生变化。

跟在真空环境下不同，等离子体环境下的黑洞暗影，其形状和大小都跟光子的频率相关，即在不同波段上观测到的黑洞暗影大小和形状都不同。

黑洞暗影进行深入研究不仅可以用来检验广义相对论，而且还可以通过对黑洞暗影的形状和大小的分析，得到黑洞周围的时空性质。

关键词：Hamilton-Jacobi方法，反向射线追踪法，黑洞暗影，等离子体Abstract Shanghai Normal University Master of PhilosophyAbstractBlack hole is one of the most popular object in theoretical study,since the general theory of relaticity was born.A lot of researchers studied the properties of block hole from different aspects in history.Of course a black hole itself cannot be seen directly but if it is in front of a luminous background or more generally,in the centre of a luminous asymptotically flat region(because of the bending of light it need not be behind the hole!)—it will cast a specific shadow.With the advance of the Event Horizon Telescope(EHT) project,the study of black hole shadow has stimulate a stirring of interest again.To study the shadow of black hole:,two methods usually be used:one is analytical,which use the Hamilton-Jacobi formalism of null geodesic;Another is numerical and a ray racing algorithm is applied.At first we use Hamilton-Jacobi Equation to research the shadow of Kerr black hole in vacuum environment,the size and the shape of the shadow depend on the mass and the angular momentum,and they can also depend on other parameters specific of the particular model adopted.Then we investigate the shadow of Kerr black hole with plasma by Ray-Tracing Algorithm.We discover that shape and size of shadow will effected by properties of plasma.The study of black hole shadow can not only used to explore the property of space-time in the vicinity of a black hole,but also to test the general theory of relativity.Keywords:the Hamilton-Jacobi formalism,Ray Tracing Algorithm,black hole shadow, plasma.目录第一章绪论 (1)1.1研究工作的背景与意义 (1)1.2黑洞暗影的国内外研究历史与现状 (2)1.3本文的主要贡献与创新 (3)1.4本论文的结构安排 (3)第二章黑洞基础简介 (4)2.1黑洞 (4)2.2Kerr黑洞 (5)第三章计算Kerr黑洞暗影：Hamilton-Jacobi方法 (6)3.1Hamilton-Jacobi方程 (6)3.2运动方程 (8)3.2.1Null测地线 (9)3.2.2光子的球形轨道 (9)3.3天球坐标 (9)3.4Kerr黑洞的暗影呈现 (12)第四章反向射线追溯法 (13)4.1在被等离子体包围的黑洞附近的光线 (13)4.2光线在等离子体的中的传播 (13)4.2.1应用到轴对称时空 (14)4.2.2观察者平面 (16)4.2.3初始条件 (17)4.3数值计算的结果 (18)4.3.1等离子体环境中Kerr黑洞暗影的刻画 (18)4.3.2等离子体对黑洞暗影影响的量化 (20)4.3.3黑洞暗影的四色渲染图 (21)第五章全文总结与展望 (23)5.1全文总结 (23)5.2后续工作展望 (23)参考文献 (24)攻读学位期间取得的研究成果 (28)致谢 (29)上海师范大学硕士学位论文第一章绪论第一章绪论1.1研究工作的背景与意义经过对太阳系和宇宙中各种现象的观测，广义相对论已经得到了很好的验证。

快子暴涨的Hamilton?Jacobi形式及宇宙学扰动

快子暴涨的Hamilton Jacobi形式及宇宙学扰动作者：刘道军来源：《上海师范大学学报·自然科学版》2014年第04期摘要：讨论带有Born-Infeld作用量的快子场所驱动的暴涨模型.首先给出了快子暴涨方程的Hamilton-Jacobi形式并且考虑如何去解Hamilton-Jacobi方程；然后讨论快子场的宇宙学扰动给出扰动场的模方程；最后，讨论了一个真实的由弦理论得来的滚动快子模型.关键词：快子暴涨； Hamilton-Jacobi方程；宇宙学扰动中图分类号： O 412.3 文献标识码： A 文章编号： 1000-5137（2014）04-0349-100 引言最近，BICEP2研究组成功地探测到宇宙背景辐射中的B-模极化[1].这一重要发现为暴涨宇宙论提供了一个关键的证据.暴涨理论认为，宇宙极早期曾经发生过一次非常快速而又加速进行的膨胀过程.它不仅优美地解决了传统大爆炸宇宙论中的视界问题、平坦性问题以及单极子问题，并且更为重要的是，它为宇宙密度扰动的产生，继而为现在宇宙大尺度结构的形成提供了一个十分重要的产生机制.在标准的暴涨模型中，物理都包含在模型的势中.其内在的动力学是一个与引力最小耦合的正则单标量场在沿着其势滚动.正则单标量场暴涨模型凭借其简单性而得到了广泛研究.然而，虽然许多模型的预言与观测符合得很好，但多数模型仍然只具有唯象意义.在标准框架下，人们很难找到一个恰当的具有直接物理来源的理论.另一方面，由于Sen的开创性工作[2-3]，关于诸如非-BPS胚、胚-反胚结构以及类空胚等弦理论中的非-BPS客体的研究得到了相当多的关注.Sen指出，弦理论中的不稳定D-胚的经典衰变会带有非零能量密度的无压强气体.基本的思想是这样的：通常的开弦真空是不稳定的，但是它存在着一个稳定的能量密度为0的真空态.有证据表明开弦的这一稳定的真空态跟闭弦的“电流管”（electric flux tubes）的凝聚有着紧密的关系.这些电流管可以成功地用有效的Born-Infeld作用量来表述.Sen还指出，“滚动”的快子可以作为暗物质的一个候选者[4].Gibbons研究了快子场与引力场的耦合[5].通过在胚上的快子有效作用量上加上标准的Einstein-Hilbert作用量项，快子场在宇宙学中得到了广泛应用[6-7].本文作者曾研究快子场在非交换时空中推动宇宙暴涨[8]及其标量和张量扰动谱[9].快子场其他方面也得到了的关注，例如快子场的拓扑缺陷及其自引力[10-11].笔者沿着这条思路重新探讨带有Born-Infeld作用量的快子场所驱动的暴涨模型.3 快子暴涨时的宇宙学扰动宇宙暴涨方案的最重要的观测推论不是暴涨预言了宇宙在大尺度上是均匀和各向同性的，而是它提供了现在所观测到的非各向同性的产生机制.在宇宙的快子暴涨时期，快子场和引力场都会有量子涨落.因为尺度因子在暴涨期是近似指数式放大的，而哈勃参数（或者哈勃半径，RH=H-1）则基本保持不变.结果，量子涨落的共动波长（λ∝a）（包括快子场的和引力场的）将会很快超过哈勃半径；此时，涨落因为被“冻结”了，所以可以被认为是经典的.但随着暴涨的结束，哈勃半径又开始快速增大（辐射优势时期RH∝a2，物质优势时期RH∝a3/2），量子涨落的波长会跟哈勃半径再相遇.再相遇时，量子涨落经过暴涨大约涨了1026倍，已经在现代宇宙学的观测范围之内了.这些涨落的谱提供了暴涨的特殊信号.而这些信号可以通过对包括微波背景辐射的宇宙学观测得到.一般来说，根据扰动的自旋分类，度规扰动有3种类型：第一类为标量扰动，它的自旋为0；第二类为矢量扰动，它的自旋为1；第三种为张量扰动，它的自旋为2 [13].其中矢量扰动来源于场的转动，因为在宇宙暴涨时期，不存在旋转的速度场，所以矢量扰动并不会被激发.因此忽略对它的讨论.张量扰动（或者称为引力波）由引力场自身所引起，它与宇宙中的物质无关，在真空中它也能存在.标量扰动又被称为密度扰动或者曲率扰动，它与宇宙中物质（例如快子）的能动张量相耦合，是宇宙大尺度结构形成的“种子”.到目前为止，暴涨理论仍然被认为是解释极早期宇宙的最好方案.暴涨对宇宙平坦性的预言，以及对作为宇宙大尺度结构“种子”的密度扰动的尺度不变功率谱的预言都跟目前对宇宙微波背景辐射的观测符合得相当好.标量谱指标是CMB观测的一个重要数据，根据Planck的观测结果[14]，nR=0.9603± 0.0073，因此根据（59）式，如果滚动快子真的是驱动暴涨的场，那么弦作用的耦合强度gs应满足gs≈π18rls2d.一般来说，rls，所以弦的耦合强度是非常大的.6 结论笔者给出了刻画由滚动快子所驱动的暴涨理论的一般途径.在这一途径中，标准的慢滚近似对应于0，而相应的Hamilton-Jacobi方程的解为=12κVV′TVT2.然而，在极限情形 T-Tsmpl/VT0下，存在着一般的非慢滚解 =321-V2TV2T0.计算了标量扰动和张量扰动所满足的谱方程，仔细考察了由玻色弦理论给出的滚动快子模型，发现滚动快子作为驱动宇宙暴涨的原因是可能的.参考文献：[1] ADE P.（BICEP2 Collaboration）.BICEP2 I： Detection of B-mode Polarization at Degree Angular Scales[J].Phys Rev Lett，2014，112（24）：241101.[2] SEN A.SO（32） spinors of type I and other solitons on brane-anti-brane pair[J].JHEP，1998，98（09）：023.hep-th/9808141.[3] SEN A.BPS D-branes on nonsupersymmetric cycles[J].JHEP，1998，98（12）：021.hep-th/9812031.[4] SEN A.Rolling tachyon[J].JHEP，2002，2002（4）：048.hep-th/0203211.[5] GIBBONS G.Cosmological evolution of the rolling tachyon[J].Physics Letters B，2002，537（1-2）：1-4.[6] LI X Z，HAO J G，LIU D J.Can quintessence be the rolling tachyon？[J].Chinese Phys.Lett.，2002，19（11）：1584-1586.[7] 李新洲，刘道军，郝建纲.On the tachyon inflation[J].上海师范大学学报：自然科学版，2004，33（4）：29-34.[8] LIU D J，LI X Z.Cosmological perturbations and noncommutative tachyon inflation[J].Phys Rev D，2004，70（12）：123504.[9] FENG C J，LI X Z，LIU D J.K-Inflation in noncommutative space-time[J].2014.arXiv preprint：1404.3612.[10] LIU D J，LI X Z.Tachyon vortex[J].Chinese Phys.Lett.，2003，20（10）：1678-1680.[11] LI X Z，LIU D J.Tachyon monopole[J].International Journal of Modern Physics A，2005，20（23）：5491-5499.[12] KUTASOV D，MARIO M，MOORE G.Some exact results on tachyon condensation in string field theory[J].JHEP，2000（10）：045.[13] 李新洲.宇宙暴涨与原初引力波[J].上海师范大学学报：自然科学版，2014，43（4）：331-342.[14] ADE P.（Planck Collaboration）.Planck 2013 results.Xxii.Constraints oninflation[J].2013，arXiv：1303：5082.[astro-ph.CO].。

hamilton-jacobi 方程

Hamilton–Jacobi equationFrom Wikipedia, the free encyclopediaIn mathematics, the Hamilton–Jacobi equation is a necessary condition describing extremalgeometry in generalizations of calculus-of-variations problems. In physics, the Hamilton–Jacobi equation (HJE)is a reformulation of classical mechanics and, thus, equivalent to other formulations such as Newton's laws of motion, Lagrangian mechanics and Hamiltonian mechanics. The Hamilton–Jacobi equation is particularly useful in identifying conserved quantities for mechanical systems, which may be possible even when the mechanical problem itself cannot be solved completely.The HJE is also the only formulation of mechanics in which the motion of a particle can be represented as a wave. In this sense, the HJE fulfilled a long-held goal of theoretical physics (dating at least to Johann Bernoulli in the 18th century) of finding an analogy between the propagation of light and the motion of a particle. The wave equation followed by mechanical systems is similar to, but not identical with, Schrödinger's equation, as described below; for this reason, the HJE is considered the "closest approach" of classical mechanics to quantum mechanics.[1][2]Mathematical formulationThe Hamilton–Jacobi equation is a first-order, non-linear partial differential equation for a function called Hamilton's principal functionAs described below, this equation may be derived from Hamiltonian mechanics bytreating S as the generating function for a canonical transformation of the classical Hamiltonian.The conjugate momenta correspond to the first derivatives of S with respect to the generalized coordinatesPrincipal function as solved from the equation from contains N+1 undeterminedconstants, the last being one from integrating , and the first N denoted as. The relationship then between p and q describes the orbit in phase space in terms of these constants of motion, andare also constants of motion and can be inverted to solve q.Comparison with other formulations of mechanicsThe HJE is a single, first-order partial differential equation for the function S of the N generalized coordinates and the time t. The generalized momenta do not appear, except as derivatives of S. Remarkably, the function S is equal to the classical action.For comparison, in the equivalent Euler–Lagrange equations of motion of Lagrangian mechanics, the conjugate momenta also do not appear; however, those equations are a system of N, generally second-order equations for the time evolution of thegeneralized coordinates. Similarly, Hamilton's equations of motion are another system of 2N first-order equations for the time evolution of the generalized coordinates and their conjugate momenta .Since the HJE is an equivalent expression of an integral minimization problem such as Hamilton's principle, the HJE can be useful in other problems of the calculus of variations and, more generally, in other branches of mathematics and physics, such as dynamical systems, symplectic geometry and quantum chaos. For example, the Hamilton–Jacobi equations can be used to determine the geodesics on a Riemannian manifold, an important variational problem in Riemannian geometry.NotationFor brevity, we use boldface variables such as to represent the list of N generalized coordinatesthat need not transform like a vector under rotation. The dot product is defined here as the sum of the products of corresponding components, i.e.,DerivationAny canonical transformation involving a type-2 generating functionleads to the relations(See the canonical transformation article for more details.)To derive the HJE, we choose a generating function that makes the new Hamiltonian K identically zero. Hence, all its derivatives are also zero, and Hamilton's equations become triviali.e., the new generalized coordinates and momenta are constants of motion. The new generalized momenta are usually denoted , i.e., P m= αm. The equation for the transformed Hamiltonian KLetwhere A is a arbitrary constant, then S satisfies HJEsince .The new generalized coordinates are also constants, typically denoted as. Once we have solved for, these also give useful equationsor written in components for clarityIdeally, these N equations can be inverted to find the original generalized coordinatesas a function of the constants and , thus solving the original problem. ActionBoth Hamilton principal function S and characteristic function are closely related to action.The time derivative of S isthereforeso S is actually classical action plus an undetermined constant.When H does not explicitly depend on time,in this case W is the same as abbreviated action.Separation of variablesThe HJE is most useful when it can be solved via additive separation of variables, which directly identifies constants of motion. For example, the time t can be separated if the Hamiltonian does not depend on time explicitly. In that case, thetime derivative in the HJE must be a constant (usually denoted − E), giving the separated solutionwhere the time-independent function issometimes called Hamilton's characteristic function. The reduced Hamilton–Jacobi equation can then be writtenTo illustrate separability for other variables, we assume that a certain generalizedcoordinate q k and its derivative appear together in the Hamiltonian as a singlefunctionIn that case, the function S can be partitioned into two functions, one that depends only on q k and another that depends only on the remaining generalized coordinatesSubstitution of these formulae into the Hamilton–Jacobi equation shows that the function ψ must be a constant (denoted here as Γk), yielding a first-order ordinary differential equation for S k(q k)In fortunate cases, the function S can be separated completely into N functions S m(q m)In such a case, the problem devolves to N ordinary differential equations.The separability of S depends both on the Hamiltonian and on the choice of generalized coordinates. For orthogonal coordinates and Hamiltonians that have notime dependence and are quadratic in the generalized momenta, S will be completely separable if the potential energy is additively separable in each coordinate, where the potential energy term for each coordinate is multiplied by the coordinate-dependent factor in the corresponding momentum term of the Hamiltonian (the Staeckel conditions). For illustration, several examples in orthogonal coordinates are worked in the next sections.Example of spherical coordinatesThe Hamiltonian in spherical coordinates can be writtenThe Hamilton–Jacobi equation is completely separable in these coordinates provided that U has an analogous formwhere U r(r), Uθ(θ) and Uφ(φ) are arbitrary functions. Substitution of the completely separated solution S = S r(r) + Sθ(θ) + Sφ(φ) − Et into the HJE yieldsThis equation may be solved by successive integrations of ordinary differential equations, beginning with the φequationwhereΓφis a constant of the motion that eliminates the φ depe ndence from the Hamilton–Jacobi equationThe next ordinary differential equation involves the θ generalized coordinatewhereΓθis again a constant of the motion that elimin ates the θ dependence and reduces the HJE to the final ordinary differential equationwhose integration completes the solution for S.Example of elliptic cylindrical coordinatesThe Hamiltonian in elliptic cylindrical coordinates can be writtenwhere the foci of the ellipses are located at on the x-axis. The Hamilton–Jacobi equation is completely separable in these coordinates provided that U has an analogous formwhere Uμ(μ), Uν(ν)and U z(z) are arbitrary functions. Substitution of the completely separated solution S = Sμ(μ) + Sν(ν) + S z(z) − Et into the HJE yieldsSeparating the first ordinary differential equationyields the reduced Hamilton–Jacobi equation (after re-arrangement and multiplication of both sides by the denominator)which itself may be separated into two independent ordinary differential equationsthat, when solved, provide a complete solution for S.Example of parabolic cylindrical coordinatesThe Hamiltonian in parabolic cylindrical coordinates can be writtenThe Hamilton–Jacobi equation is completely separable in these coordinates provided that U has an analogous formwhere Uσ(σ), Uτ(τ)and U z(z) are arbitrary functions. Substitution of the completely separated solution S = Sσ(σ) + Sτ(τ) + S z(z) − Et into the HJE yieldsSeparating the first ordinary differential equationyields the reduced Hamilton–Jacobi equation (after re-arrangement and multiplication of both sides by the denominator)which itself may be separated into two independent ordinary differential equationsthat, when solved, provide a complete solution for S.Eikonal approximation and relationship to the Schrödinger equationThe isosurfaces of the function can be determined at any time t. The motion of an S-isosurface as a function of time is defined by the motions of the particles beginning at the points on the isosurface. The motion of such an isosurface can be thought of as a wave moving through space, although it does not obey the wave equation exactly. To show this, let S represent the phase of a wavewhere is a constant introduced to make the exponential argument unitless; changes in the amplitude of the wave can be represented by having S be a complex number. We may then rewrite the Hamilton–Jacobi equation aswhich is a nonlinear variant of the Schrödinger equation.11 / 11 Conversely, starting with the Schrödinger equation and our Ansatz for ψ, we arrive at[3]The classical limit () of the Schrödinger equation above becomes identical to the following variant of the Hamilton–Jacobi equation,The Hamilton–Jacobi equation in the gravitational fieldwhere g ik are the contravariant coordinates of the metric tensor, m is the rest mass of the particle and c is the speed of light.。

hamilton-jacobi-bellman方程在计量经济学上的应用_概述说明

hamilton-jacobi-bellman方程在计量经济学上的应用概述说明1. 引言1.1 概述在计量经济学中，Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 方程是一种重要的数学工具，用于研究动态优化问题和市场平衡分析。

HJB方程是一个偏微分方程，由美国数学家和物理学家W.R. Hamilton、C.G.J Jacobi和R.E. Bellman分别在19世纪和20世纪提出。

该方程的应用范围涵盖了多个领域，包括经济学、物理学、控制论等。

1.2 文章结构本文旨在对Hamilton-Jacobi-Bellman方程在计量经济学上的应用进行概述与说明。

文章结构如下：第二部分将介绍Hamilton-Jacobi-Bellman方程的基本理论知识，包括其原理、概念以及表达式。

第三部分将重点讨论Hamilton-Jacobi-Bellman方程在计量经济学中的应用。

具体而言，我们将涉及动态优化问题、资本积累模型的应用以及市场平衡分析。

第四部分将阐述我们所使用的方法和数据。

我们将描述模型设定和假设，并介绍数据来源与处理方法。

同时，还将对实证结果进行分析。

最后一部分是结论与展望，在这一部分中，我们将总结主要的发现，并对经验意义进行分析。

1.3 目的本文旨在系统地介绍Hamilton-Jacobi-Bellman方程在计量经济学上的应用。

通过深入了解HJB方程及其应用领域，读者可以更好地理解动态优化问题和市场平衡分析等经济学中的重要概念。

希望本文能为研究者和学者提供一个全面而清晰的指导，以推动该领域的研究进展。

2. Hamilton-Jacobi-Bellman方程:2.1 理论介绍:Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB)方程是一种重要的偏微分方程，最早由William Rowan Hamilton于19世纪初提出，并由Carl Gustav Jacob Jacobi 和Richard Bellman在20世纪进一步发展完善。

hamilton-jacobi方程

hamilton-jacobi方程Hamilton-Jacobi方程是理论物理中的一个重要方程，它描述了经典力学系统中的粒子运动。

这个方程的提出是为了解决哈密顿量不是分离变量的情况，即系统中存在非势能项的情况。

在这种情况下，哈密顿方程无法直接求解，而需要借助Hamilton-Jacobi方程来得到粒子的轨迹。

Hamilton-Jacobi方程的形式为：∂S/∂t + H(x, ∂S/∂x) = 0其中，S是一个函数，称为Hamilton-Jacobi函数，它的偏导数∂S/∂t表示了系统的能量，而∂S/∂x则表示了系统的动量。

H是系统的哈密顿函数，它是系统的总能量。

通过求解Hamilton-Jacobi方程，我们可以得到粒子的轨迹。

具体的求解方法是通过变量分离，将Hamilton-Jacobi函数表示为两个变量的函数之和，然后利用分离变量的性质来求解。

这样，我们就可以得到粒子在空间中的轨迹，进而揭示了系统的运动规律。

Hamilton-Jacobi方程的提出，对于经典力学的发展具有重要的意义。

它不仅为非势能系统的求解提供了一种有效的方法，还为后续的量子力学研究奠定了基础。

通过对Hamilton-Jacobi方程的深入研究，科学家们不断完善了经典力学的理论框架，使其更加完备和准确。

Hamilton-Jacobi方程是经典力学中的重要方程，它描述了粒子在非势能系统中的运动规律。

通过求解这个方程，我们可以得到粒子的轨迹，从而揭示了系统的运动规律。

这个方程的提出对于经典力学的发展具有重要的意义，它为后续的物理研究提供了基础。

通过对Hamilton-Jacobi方程的研究，我们可以更好地理解和解释物理现象，推动科学的进步。

hamilton 原理

hamilton 原理Hamilton原理，也称作Hamilton-Jacobi原理，是经典力学中非常重要的一个原理。

它描述了物理系统的运动方式，可以用于解决很多经典力学问题，如质点、刚体等的运动问题。

Hamilton原理的基本思想是：在一个物理系统中，某个物理量的变化率是由其他物理量的变化率导致的。

这个物理量可以是能量、动量、角动量等。

在Hamilton原理中，物理系统的运动被描述为一条曲线，叫做Hamilton特征函数。

这个曲线的斜率告诉我们物理系统的速度。

如果我们知道Hamilton特征函数，就可以通过求导来计算物理系统的速度和位置。

Hamilton特征函数的形式取决于物理系统的特性，例如质量、力等。

Hamilton原理还有一个重要的应用，即Hamilton-Jacobi方程。

这个方程描述了物理系统在一定条件下的运动方式。

通过求解这个方程，我们可以得到物理系统的Hamilton特征函数和运动方式。

这个方法在解决复杂的力学问题时非常有用，尤其是在量子力学和相对论中。

除了在经典力学中应用广泛，Hamilton原理还可以用于描述其他自然现象。

例如，在光学中，Hamilton原理被用于描述光线的传播方式。

在电动力学中，Hamilton原理被用于描述电磁波的传播方式。

因此，Hamilton原理不仅有助于我们理解物理学中的运动方式，还可以用于解决其他自然现象的问题。

Hamilton原理是经典力学中非常重要的一个原理，它可以用于描述物理系统的运动方式，解决很多经典力学问题。

同时，它也可以应用于其他自然现象的描述和解决。

掌握Hamilton原理的应用，对于理解物理学中的各种现象和问题都有很大的帮助。

哈密顿-雅可比方程

哈密顿-雅可比方程
哈密顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）是物理和数学上久负盛名的方程。

它是18th 世纪英国物理学家亨利·哈密顿和19th世纪美国
数学家黑格·雅可比合作发现的，经常用于物理系统的动力学分析，如求解
牛顿力学中的末动能保守方程，也被用来描述量子力学中受控系统的动力学。

哈密顿-雅可比方程的形式为：
\frac{\partial S}{\partial t} + H\left(x,\frac{\partial
S}{\partial x},t\right)=0
其中，S(x,t)是此系统的动量功函数，H(x,P,t)是系统的动能函数。

通过它，我们可以建立动力学系统的性质和行为，以研究惯性系统的运动模式。

在量子力学中，哈密顿-Jacobi 方程被用来描述量子受控系统的时间变化，从而提供了关于波函数的解。

它的应用也被用于求解一些量子算符方程，比如Schrödinger方程，及其符号动力学, 将求解符号动能方程（Symbolic kinetic equation）归结为求解哈密顿-Jacobi方程。

哈密顿-Jacobi 方程让我们能够简化机械动力学分析，并为理解量子时
空性质和行为提供了新的方式。

它也为量子系统的研究提供了更加精确可靠
的方法，被用于解决各类重要物理问题。

如今，这个方程仍被广泛应用于物
理和数学研究中。

hamilton-jacobi方程

hamilton-jacobi方程是一个偏微分方程，最初由爱尔兰数学家威廉·哈密顿和法国数学家卡尔·雅各布·雅可比提出。

在物理学中，它是描述经典力学体系的重要方程之一。

Hamilton-Jacobi方程可以用来描述质点在势能场中的运动。

假设一个质点的动能为T(p,q)，势能为V(q)，且满足哈密顿原理，即质点的能量守恒，则该质点的运动可以用Hamilton-Jacobi方程表示：
H(q, ∂S/∂q) + ∂S/∂t = 0
其中，H(q,p) = T(p,q) + V(q)是哈密顿量，S(q,t)是一个标量函数，称作哈密顿-雅各比方程的特征函数。

这个方程的解可以用来描述质点在势能场中的轨迹和运动状态，以及求解最优控制问题等。

Hamilton-Jacobi方程在量子力学中也有重要的应用，它可以用来描述波动方程的解和量子力学中的路径积分等问题。

时变Hamilton系统理论及控制

时变Hamilton系统理论及控制时变Hamilton系统是指具有时变特性的Hamilton系统，它在物理学、数学和控制理论等领域具有重要的研究意义。

本文将介绍时变Hamilton系统的基本理论以及其在控制领域的应用。

一、时变Hamilton系统的基本概念时变Hamilton系统是指系统的Hamilton函数（或称为能量函数）具有随时间变化的特性。

在数学上，时变Hamilton系统可以用Hamilton动力学方程表示为：$$\frac{{d\mathbf{q}}}{{dt}} = \frac{{\partial H}}{{\partial\mathbf{p}}}$$$$\frac{{d\mathbf{p}}}{{dt}} = -\frac{{\partial H}}{{\partial\mathbf{q}}} + \mathbf{u}$$其中，$\mathbf{q}$表示广义坐标，$\mathbf{p}$表示广义动量，$H$为Hamilton函数，$\mathbf{u}$为外部控制输入。

时变Hamilton系统的动力学行为具有随时间变化的特点，因此其稳定性与控制方法需要进行深入研究。

二、时变Hamilton系统的稳定性分析时变Hamilton系统的稳定性分析是研究时变系统在一定条件下是否能保持平衡或者渐近稳定的过程。

对于时变Hamilton系统，可以利用Lyapunov稳定性理论进行分析。

具体来说，可以定义一个时变的Lyapunov函数$V(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t)$，满足以下条件：1. $V(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) > 0$，$\forall (\mathbf{q},\mathbf{p}) \neq (\mathbf{q}_0, \mathbf{p}_0)$；2. $\frac{dV}{dt} < 0$，$\forall (\mathbf{q}, \mathbf{p}) \neq(\mathbf{q}_0, \mathbf{p}_0)$。

哈密顿雅可比方程

哈密顿雅可比方程在物理学里，哈密顿-雅可比方程 (Hamilton-Jacoby equation，HJE) 是经典力学的一种表述。

哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。

而哈密顿-雅可比方程在辨明保守的物理量方面，特别有用处。

有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明保守的物理量。

HJE 是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，其解答描述了系统的行为。

与哈密顿运动方程的不同之处在于HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。

HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。

分析力学中用以求解正则方程的一个偏微分方程。

由CGJ雅可比在W.R.哈密顿研究工作基础上给出而得名。

对于N 个自由度的完整系统，此方程可写为：＋H（q1，q2，…，qN；，，…,；t）＝0，式中H＝T2－T0＋V为哈密顿函数，其中V是用广义坐标qi （i＝1，2，…，N）和时间t表示的势函数，T2和T0分别为动能T 中用广义动量表示的二次齐次式和零次齐次式（即不含pi，仅含qi和t 之式）；S为哈密顿主函数。

若自方程求出包含N个任意常数（a1，a2，…，aN）的一个解（称全积分）S（q1，q2，…，qN；a1，a2，…，aN；t），则由=-βi（β是常量），=pi（i＝1，2，…，N）就能求出该系统正则方程的通解：pi＝pi（t；a1，…，aN ；β1，…，βN），qi＝qi（t；a1，…，aN；β1，…，βN）（i＝1，2，…，N）。

对许多力学实际问题，可以通过分离变量法求出哈密顿-雅可比方程的全积分。

对于工程上的保守系统，用此法计算繁琐，但它对天体力学的摄动法却大有帮助。

由Hamilton-Jacobi方程引申Dirac方程

由Hamilton-Jacobi方程引申Dirac方程邹艳波;张艳燕;祝恒江【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2008(31)6【摘要】量子力学与经典力学有着密切的联系,经典力学的Hamilton-Jacobi方程在Schrdinger方程的提出中扮演了重要的角色,在教学中也是引申Schrdinger方程的方法之一;相对论化的Hamilton-Jacobi方程也可以引申出相对论量子力学的Klein-Gordon方程,进一步思考,并分析Klein-Gordon方程和Dirac方程的区别,本文将相对论化的Hamilton-Jacobi方程线性化,引申出了相对论量子力学更基本的Dirac方程,使Hamilton-Jacobi方程作为经典力学通向量子力学的途径更深入一步,进一步揭示了经典力学和量子力学的对应关系.【总页数】3页(P535-537)【作者】邹艳波;张艳燕;祝恒江【作者单位】新疆师范大学,数理信息学院,新疆,乌鲁木齐,830054;新疆师范大学,数理信息学院,新疆,乌鲁木齐,830054;新疆师范大学,数理信息学院,新疆,乌鲁木齐,830054【正文语种】中文【中图分类】O413.1【相关文献】1.从Schr(o)dinger方程引申到Dirac方程的一种简单方法 [J], 林琼桂2.Klein-Gordon方程的困难与Dirac方程的建立 [J], 李继弘3.N-维无限深球势阱中Klein-Gordon方程和Dirac方程的解 [J], 赵静;曲晓英4.具有指数型标量势和矢量势的Klein-Gordon方程和 Dirac方程的束缚态 [J], 郭建友;周俊青5.具有Kratzer型标量势与矢量势的Klein-Gordon方程和Dirac方程的束缚态[J], 郭建友;徐辅新因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

哈密顿—雅可比方程与薛定谔方程的关系浅析

哈密顿—雅可比方程与薛定谔方程的关系浅析发表时间：2012-06-27T14:35:48.987Z 来源：《时代报告（学术版）》2012年5月（上）供稿作者：赵国军陈颖丽[导读] 经典力学发展到十九世纪末期，已经形成以牛顿定律、拉格朗日方程和哈密顿理论为基础的完整的理论体系，并取得了显著成绩。

赵国军陈颖丽（内蒙古大学物理科学与技术学院内蒙古呼和浩特 010021）中图分类号：O413.1 文献标识码：A 文章编号：41-1413（2012）04-0000-01摘要：本文由经典力学哈密顿——雅可比方程出发，考虑光学与力学的相似关系，利用类比的方法，给出量子力学中的基本方程——薛定谔方程，同时给出量子力学中动量算符和坐标算符的基本对易关系。

关键词：哈密顿——雅可比方程；薛定谔方程；对易关系引言经典力学发展到十九世纪末期，已经形成以牛顿定律、拉格朗日方程和哈密顿理论为基础的完整的理论体系，并取得了显著成绩。

但随着新的实验现象的发现，经典力学的不足之处逐渐显现出来，迫切需要建立新的理论。

为了解释这些实验现象，人们提出量子论，并进一步建立了量子力学，从而完善了理论体系，加深了人们对自然本质的认知。

1926年，奥地利物理学家薛定谔先后发表了题为“作为本征值问题的量子化”的系列文章，文中他基于德布罗意在1924年提出的物质波假说，采用类比的方法，对比了经典力学和光学的相似性，提出了描述物质波运动规律的基本方程——薛定谔方程，为量子力学的建立奠定基础。

本文在回顾经典力学哈密顿——雅可比理论的基础之上，按照薛定谔建立波动力学的历史过程，给出量子力学的基本方程——薛定谔方程，旨在帮助学生了解经典力学与量子力学的联系，加深对理论物理相关课程前后连贯性的理解。

一、经典力学与光学的相似性经典力学与光学之间存在着深刻的相似性，可以从一些基本概念出发，来讨论这种相似性。

例如，在力学中有质点、轨迹、速度、势能和能量等；与之对应，在光学中存在波包、光线、群速度、折射率和频率等。

逆最优控制

逆最优控制逆最优控制是一种控制理论，它是控制领域中的经典问题之一。

逆最优控制主要用于研究当我们知道系统最终状态，但不知道如何实现该状态的最优控制。

逆最优控制的思想最早是由美国数学家Pontryagin提出的。

他的理论认为，系统状态的最终值和最优控制序列之间存在着先天的联系，通过最终状态反推最优控制序列可以更好地解决控制问题。

逆最优控制可以应用于许多领域，如导弹制导、火箭发射、机场升降梯等。

它可以对系统进行优化，使其最终达到所需状态，并具有较短的响应时间。

逆最优控制的理论框架包括两个方面：最优控制问题和逆最优控制问题。

最优控制问题试图寻找一种控制策略，使得系统在给定时间内达到最小化某种指标函数的结果。

这个指标函数可以是能量、距离、时间等。

通常情况下，这种问题是需要优化来处理的，因为它涉及到的状态空间和控制输入空间非常大。

逆最优控制问题则是需要从最终状态反推最优控制序列的问题。

通常情况下，我们知道某个状态的最优控制序列，但是我们需要知道这个序列所对应的最终状态是什么。

逆最优控制的解决方法有许多，其中最常见的是Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程。

这个方程可以解决最优控制问题和逆最优控制问题。

在HJB方程中，我们需要定义一个价值函数V(x)，其中x是系统的状态。

这个价值函数表示当前状态下的控制最小化的结果。

在标准的最优控制问题中，我们需要定义一个系统动力学方程和一个目标函数，在这个目标函数下最大化价值函数。

在逆最优控制问题中，我们则需要从预期的最终状态出发，逆向求解HJB方程，以反推最优控制序列。

逆最优控制的应用是广泛而深入的。

在导弹制导中，逆最优控制可以帮助我们找到最优的飞行路径，使得导弹能够准确地击中目标。

在火箭发射中，逆最优控制可以通过规划最优的发射时刻和发射角度，最大化火箭推力，实现最优化的发射。

在机场升降梯中，逆最优控制可以帮助我们规划升降梯的运行方式，以确保出行的安全和顺畅。

举例说明泛函

举例说明泛函泛函是数学中的一个重要概念，它是一种将函数映射到实数的运算，广泛应用于各个数学分支和科学领域。

下面将从不同领域举例说明泛函的应用。

1. 物理学中的作用量泛函（Action functional）：作用量泛函是描述一个物理系统的运动的数学工具。

例如，对于一个质点在空间中的运动，其路径可以用函数来表示。

作用量泛函则用来描述这个路径的特性，它是路径上的一个积分，其被积函数是质点的能量减去势能。

通过变分计算，可以得到质点的运动方程。

2. 经济学中的效用函数（Utility function）：效用函数是描述个体对不同选择的偏好程度的函数。

在经济学中，人们往往根据效用函数来进行决策。

例如，假设一个人在购买商品时，他的效用函数是关于商品数量的函数，他会选择使效用最大化的商品数量。

3. 最优控制理论中的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）：这是一类非线性偏微分方程，用于描述最优控制问题。

在最优控制问题中，我们希望找到一个控制策略，使得某个性能指标最小化或最大化。

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程是用泛函分析的方法来解决这类问题的重要工具。

4. 概率论中的特征函数（Characteristic function）：特征函数是描述随机变量分布的函数，它的定义是随机变量的期望值的复指数。

特征函数在概率论和统计学中有广泛的应用，例如用于推导中心极限定理、计算随机变量的矩等。

5. 控制理论中的最优估计问题（Optimal estimation problem）：在控制系统中，我们希望通过对系统状态的估计来进行控制。

最优估计问题就是要找到一个估计器，使得估计误差最小。

通过最小化估计误差的泛函，可以得到最优估计器。

6. 泛函分析中的傅里叶变换（Fourier transform）：傅里叶变换是一种将函数从时域转换到频域的操作，它是泛函分析中的一个重要工具。

傅里叶变换在信号处理、图像处理等领域有广泛应用，可以对信号进行频谱分析、滤波等操作。