河北省邯郸市2018届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题(Word版含答案)

高三数学考试（文科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数1z i =-+，则22z z z+=+（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i 2.若向量(21,)m k k =-与向量(4,1)n=共线，则m n ⋅=（ ） A ．0 B ．4 C ．92-D ．172-3.已知集合2{|142}A x x =<-≤，{|23}B x x =>，则A B =（ ）A．)+∞ B．([2,)+∞ C ．)+∞ D．[(2,)-+∞4.函数()c o s ()6f x x ππ=-的图象的对称轴方程为（ ）A ．2()3x k k Z =+∈B ．1()3x k k Z =+∈C ．1()6x k k Z =+∈ D ．1()3x k k Z =-∈5. 如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．46. 若函数221,1()1,1xx f x x a x x ⎧+≥⎪=⎨-++<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．[2,3]B ．[2,)+∞C ．[1,3]D ．[1,)+∞7.在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，44a =，则当262a a +取得最小值时，2lo g q =（ ）A ．14B ．14-C ．18D ．18-8.若sin ()3sin ()αβπαβ+=-+，,(0,)2παβ∈，则ta n ta n αβ=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．139.设双曲线Ω：22221(0,0)x y a b ab-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，Ω上存在关于y 轴对称的两点P ，Q （P 在Ω的右支上），使得2122P Q P F P F +=，O 为坐标原点，且P O Q ∆为正三角形，则Ω的离心率为（ ）A ．2B ．2C D 10. 我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于买田的问题：“今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百.今并买一顷，价钱一万.问善、恶田各几何？”其意思为：“今有好田1亩价值300钱；坏田7亩价值500钱.今合买好、坏田1顷，价值10000钱.问好、坏田各有多少亩？”已知1顷为100亩，现有下列四个程序框图，其中S 的单位为钱，则输出的x ，y 分别为此题中好、坏田的亩数的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11.若函数()ln f x x在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数.下列函数中为P 函数的序号为（ ）①()1f x = ②()x f x = ③1()f x x=④()f x =A ．①②④B ．①③C ．①③④D ．②③ 12.设正三棱锥P A B C -的高为H ，且此棱锥的内切球的半径17R H =，则22HP A=（ ）A ．2939B ．3239C ．3439D ．3539第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则221x y +<的概率为 ．14.若圆C ：22(1)x y n ++=的圆心为椭圆M ：221x m y +=的一个焦点，且圆C 经过M 的另一个焦点，则n m= ．15. 已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T = ．16.若曲线2lo g (2)(2)xy m x =->上至少存在一点与直线1y x =+上的一点关于原点对称，则m 的取值范围为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.A B C ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin 20sin a b C B =，2241a c+=，且8co s 1B =.（1）求b ；（2）证明：A B C ∆的三个内角中必有一个角是另一个角的两倍.18.某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动，抽奖箱里放有2个红球，1个黄球和1个蓝球（这些小球除颜色外大小形状完全相同），从中随机一次性取2个小球，每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下：①凡购物满100（含100）元者，凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会； ②凡购物满188（含188）元者，凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会； ③若取得的2个小球都是红球，则该顾客中得一等奖，奖金是一个10元的红包； ④若取得的2个小球都不是红球，则该顾客中得二等奖，奖金是一个5元的红包； ⑤若取得的2个小球只有1个红球，则该顾客中得三等奖，奖金是一个2元的红包. 抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据（单位：元），绘制得到如图所示的茎叶图.（1）求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数（假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖）；（2）求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数（结果精确到整数部分）；（3）分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元，5元，2元的概率.19.如图，在各棱长均为2的正三棱柱111A B C A B C -中，D 为棱11A B 的中点，E 在棱1B B 上，13B E B E =，M ，N 为线段1C D 上的动点，其中，M 更靠近D ，且1M N =.F 在棱1A A 上，且1A E D F ⊥.（1）证明：1A E ⊥平面1C D F ；（2）若3B M =，求三棱锥E A F N -的体积.20.已知0p >，抛物线1C ：22x p y =与抛物线2C ：22y p x =异于原点O 的交点为M ，且抛物线1C 在点M 处的切线与x 轴交于点A ，抛物线2C 在点M 处的切线与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C .（1）若直线1y x =+与抛物线1C 交于点P ，Q，且P Q =1C 的方程； （2）证明：B O C ∆的面积与四边形A O C M 的面积之比为定值. 21.已知函数2()3xf x e x =+，()91g x x =-. （1）求函数()4()x x x e x f x ϕ=+-的单调区间； （2）比较()f x 与()g x 的大小，并加以证明；（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔将所选题目对应的题号右侧方框涂黑，并且在解答过程中写清每问的小题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系x O y 中，曲线M的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 为参数，且0t >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4c o s ρθ=. （1）将曲线M 的参数方程化为普通方程，并将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求曲线M 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤<.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数()413=-+--.f x x x（1）求不等式()2f x≤的解集；（2）若直线2f x的图象有公共点，求k的取值范围.y kx=-与函数()高三数学详细参考答案（文科）一、选择题1-5: ADBCB 6-10: AAADB 11、12：BD二、填空题13.36π14. 8 15. 22(1)4n n n +++- 16. (2,4]三、解答题17.（1）解：∵sin 20sin a b C B =，∴20a b c b =，即20a c =，则b =6==.（2）证明：∵20a c =，2241a c +=，∴4a =，5c =或5a =，4c =.若4a =，5c =，则2225643c o s 2564A +-==⨯⨯，∴2c o s2c o s 1c o s 2B A A=-=，∴2B A =.若5a =，4c =，同理可得2B C =.故A B C ∆的三个内角中必有一个角的大小是另一个角的两倍. 18.解：（1）这20位顾客中获得抽奖机会的人数为5+3+2+1=11.这20位顾客中，有8位顾客获得一次抽奖的机会，有3位顾客获得两次抽奖的机会，故共有14次抽奖机会.（2）获得抽奖机会的数据的中位数为110， 平均数为1(10110210410810911++++110112115188189200)++++++143813111=≈.（3）记抽奖箱里的2个红球为红1，红2，从箱中随机取2个小球的所有结果为（红1,红2），（红1,蓝），（红1,黄），（红2,蓝），（红2,黄），（蓝,黄），共有6个基本事件. 在一次抽奖中获得红包奖金10元的概率为116P =，获得5元的概率为216P =，获得2元的概率为34263P ==.19.（1）证明：由已知得111A B C ∆为正三角形，D 为棱11A B 的中点，∴111C D A B ⊥， 在正三棱柱111A B C A B C -中，1A A ⊥底面111A B C ，则11A A C D ⊥.又1111A B A A A =，∴1C D ⊥平面11A B B A ，∴11C D A E ⊥.易证1A E A D ⊥，又1A DC D D =，∴1A E ⊥平面1A C D .（2）解：连结1M B ，则11B B M B ⊥，∵12B B =，3B M =，∴13M B =.又11M D A B ⊥，∴3M D =.由（1）知1C D ⊥平面A E F ，∴N 到平面A E F的距离13d D N ==+.设1A ED F O =，∵1AE DF ⊥，∴111A O DA B E ∆∆，∵13B E B E =，∴11111B E A D A B A F=，∴1134A F=，∴143A F =.∴E A F N N A E F V V --=1122323d =⨯⨯⨯⨯21)9327=⨯=.20.（1）解：由212y x x p y=+⎧⎨=⎩，消去y 得2220x p x p --=.设P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ， 则122x x p +=，122x x p =-.∴P Q ==0p >，∴1p =.故抛物线1C 的方程为22x y =.（2）证明：由2222y p xx p y⎧=⎪⎨=⎪⎩，得2x y p ==或0x y ==，则(2,2)M p p .设直线A M ：12(2)y p k x p -=-，与22x p y =联立得221124(1)0x p k x p k ---=.由222111416(1)0p k p k ∆=+-=，得21(2)0k -=，∴12k =.设直线B M ：22(2)y p k x p -=-，与22y p x =联立得222224(1)0k y p y p k ---=.由22222416(1)0p p k k ∆=+-=，得22(12)0k -=，∴212k =.故直线A M ：22(2)y p x p -=-，直线B M ：12(2)2y p x p -=-，从而不难求得(,0)A p ，(2,0)B p -，(0,)C p ，∴2B O C S p ∆=，23A B M S p ∆=，∴B O C ∆的面积与四边形A O C M 的面积之比为222132p pp=-（为定值）.21.解：（1）'()(2)(2)xx x e ϕ=--， 令'()0x ϕ=，得1ln 2x =，22x =； 令'()0x ϕ>，得ln 2x <或2x >； 令'()0x ϕ<，得ln 22x <<.故()x ϕ在(,ln 2)-∞上单调递增，在(ln 2,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增. （2）()()f x g x >. 证明如下：设()()()h x f x g x =-2391x e x x +-+，∵'()329xh x e x =+-为增函数，∴可设0'()0h x =，∵'(0)60h =-<，'(1)370h e =->，∴0(0,1)x ∈. 当0x x >时，'()0h x >；当0x x <时，'()0h x <. ∴m in 0()()h x h x =0200391x e x x =+-+，又003290x ex +-=，∴00329x e x =-+，∴2m in 000()2991h x x x x =-++-+2001110x x =-+00(1)(10)x x =--.∵0(0,1)x ∈，∴00(1)(10)0x x -->， ∴m in ()0h x >，()()f x g x >.22.解：（1）∵y t x=，∴x y x=2)y x =-，又0t >0x>，∴2x >或0x <，∴曲线M的普通方程为2)y x =-（2x >或0x <）.∵4c o s ρθ=，∴24c o s ρρθ=，∴224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y-+=.（2）由222)40y x x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩得2430x x -+=，∴11x =（舍去），23x =，则交点的直角坐标为(3,，极坐标为()6π.23.解：（1）由()2f x ≤，得1222x x ≤⎧⎨-≤⎩或1402x <<⎧⎨≤⎩或4282x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得05x ≤≤，故不等式()2f x ≤的解集为[0,5].（2）()413f x x x =-+--22,10,1428,4x x x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩，作出函数()f x 的图象，如图所示，直线2y kx=-过定点(0,2)C-，当此直线经过点(4,0)B时，12k=；当此直线与直线A D平行时，2k=-.故由图可知，1(,2)[,)2k∈-∞-+∞.。