高考数学函数导数及其应用第三节函数的奇偶性及周期性教案含解析
专题03导数及其应用（解析版）
专题03 导数及其应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.2．【2019年高考天津理数】已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为 A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]0,eD ．[]1,e【答案】C【解析】当1x =时，(1)12210f a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a a x =-+≥⇔≥-恒成立，令2()1x g x x =-，则222(11)(1)2(1)1()111x x x x g x x x x -----+=-=-=----112201x x ⎛⎫⎛⎫=--+-≤-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，当111x x-=-，即0x =时取等号， ∴max 2()0a g x ≥=，则0a >.当1x >时，()ln 0f x x a x =-≥，即ln xa x≤恒成立， 令()ln xh x x=，则2ln 1()(ln )x h x x -'=，当e x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 当0e x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 则e x =时，()h x 取得最小值(e)e h =， ∴min ()e a h x ≤=，综上可知，a 的取值范围是[0,e]. 故选C.【名师点睛】本题考查分段函数的最值问题，分别利用基本不等式和求导的方法研究函数的最值，然后解决恒成立问题.3．（2019浙江）已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x =b1−a ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点， 如图：∴b1−a ＜0且{−b ＞013(a +1)3−12(a +1)(a +1)2−b ＜0， 解得b ＜0，1﹣a ＞0，b ＞−16（a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b =13x 3−12（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．4．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．5．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-， 设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.6．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=， 当0x x =时，01y x '=， 则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-， 即00ln 1xy x x -=-， 将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >， 且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增， 注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =， 此时01y =， 故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．7．【2019年高考北京理数】设函数()e e xxf x a -=+（a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________． 【答案】(]1,0--∞【解析】首先由奇函数的定义得到关于a 的恒等式，据此可得a 的值，然后利用()0f x '≥可得a 的取值范围.若函数()e e xxf x a -=+为奇函数，则()(),f x f x -=-即()ee e e xx x x a a --+=-+，即()()1e e0x xa -++=对任意的x 恒成立， 则10a +=，得1a =-.若函数()e e xxf x a -=+是R 上的增函数，则() e e 0x x f x a -'=-≥在R 上恒成立，即2e x a ≤在R 上恒成立， 又2e 0x >，则0a ≤，即实数a 的取值范围是(],0-∞.【名师点睛】本题考查函数的奇偶性､单调性､利用单调性确定参数的范围.解答过程中，需利用转化与化归思想，转化成恒成立问题.注重重点知识､基础知识､基本运算能力的考查.8．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x =-+，21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π⎥⎝⎦有唯一零点. （iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.9．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数()11ln x f x x x -=-+.（1）讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；（2）设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y =ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线e x y =的切线. 【答案】（1）函数()f x 在(0,1)和(1,)+∞上是单调增函数，证明见解析； （2）见解析.【解析】（1）f （x ）的定义域为（0，1）（1，+∞）．因为212()0(1)f 'x x x =+>-，所以()f x 在（0，1），（1，+∞）单调递增． 因为f （e ）=e 110e 1+-<-，22222e 1e 3(e )20e 1e 1f +-=-=>--，所以f （x ）在（1，+∞）有唯一零点x 1，即f （x 1）=0．又1101x <<，1111111()ln ()01x f x f x x x +=-+=-=-，故f （x ）在（0，1）有唯一零点11x ．综上，f （x ）有且仅有两个零点． （2）因为0ln 01e x x -=，故点B （–ln x 0，01x ）在曲线y =e x 上．由题设知0()0f x =，即0001ln 1x x x +=-，故直线AB 的斜率0000000000111ln 111ln 1x x x x x k x x x x x x +---===+-----． 曲线y =e x 在点001(ln ,)B x x -处切线的斜率是01x ，曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处切线的斜率也是01x ， 所以曲线ln y x =在点00(,ln )A x x 处的切线也是曲线y =e x 的切线．【名师点睛】本题考查了利用导数求已知函数的单调性、考查了曲线的切线方程，考查了数学运算能力. 10．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2f x x ax b =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）01a b =⎧⎨=-⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-． 令()0f x '=，得x =0或3ax =. 若a >0，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若a =0，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若a <0，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（2）满足题设条件的a ，b 存在.（i ）当a ≤0时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递增，所以()f x 在区间[0，l]的最小值为(0)=f b ，最大值为(1)2f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即a =0，1b =-．（ii ）当a ≥3时，由（1）知，()f x 在[0，1]单调递减，所以()f x 在区间[0，1]的最大值为(0)=f b ，最小值为(1)2f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，b =1，即a =4，b =1．（iii ）当0<a <3时，由（1）知，()f x 在[0，1]的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，b =1，则a =0<a <3矛盾.若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-a =0，与0<a <3矛盾． 综上，当且仅当a =0，1b =-或a =4，b =1时，()f x 在[0，1]的最小值为-1，最大值为1．【名师点睛】这是一道常规的函数导数和不等式的综合题，题目难度比往年降低了不少，考查函数的单调性、最大值、最小值这种基本量的计算. 11．【2019年高考北京理数】已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2,4]x ∈-时，求证：6()x f x x -≤≤；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ，记()F x 在区间[2,4]-上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．【答案】（Ⅰ）y x =与6427y x =-；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3a =-. 【解析】（Ⅰ）由321()4f x x x x =-+得23()214f x x x '=-+.令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =.又(0)0f =，88()327f =，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-.（Ⅱ）令()(),[2,4]g x f x x x =-∈-. 由321()4g x x x =-得23()24g'x x x =-.令()0g'x =得0x =或83x =. (),()g'x g x 的情况如下：所以()g x 的最小值为6-，最大值为0. 故6()0g x -≤≤，即6()x f x x -≤≤. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当3a <-时，()(0)|(0)|3M F g a a a ≥=-=->； 当3a >-时，()(2)|(2)|63M F a g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =. 综上，当()M a 最小时，3a =-.【名师点睛】本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程，利用导函数证明不等式，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．【2019年高考天津理数】设函数()e cos ,()xf x xg x =为()f x 的导函数．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242n n ππ⎛⎫π+π+ ⎪⎝⎭内的零点，其中n ∈N ，证明20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-． 【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π(),()44k k k f x ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为π5π2π,2π()44k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析. 【解析】（Ⅰ）由已知，有()e (cos sin )x f 'x x x =-．因此，当52,244x k k ππ⎛⎫∈π+π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x >，得()0f 'x <，则()f x 单调递减；当32,244x k k ππ⎛⎫∈π-π+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 时，有sin cos x x <，得()0f 'x >，则()f x 单调递增．所以，()f x 的单调递增区间为32,2(),()44k k k f x ππ⎡⎤π-π+∈⎢⎥⎣⎦Z 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡⎤π+π+∈⎢⎥⎣⎦Z ． （Ⅱ）证明：记()()()2h x f x g x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭．依题意及（Ⅰ），有()e (cos sin )x g x x x =-，从而()2e sin x g'x x =-．当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()g'x <，故()()()()(1)()022h'x f 'x g'x x g x g'x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，()h x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，进而()022h x h f ππ⎛⎫⎛⎫≥== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()02f x g x x π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭．（Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos e 1n x n x =．记2n n y x n =-π，则,42n y ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()()()22e cos ecos 2e n n yx n n n n n f y y x n n π--π==-π=∈N ．由()()20e1n n f y f y -π==≤及（Ⅰ），得0n y y ≥．由（Ⅱ）知，当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <，所以()g x 在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，因此()()004n g y g y g π⎛⎫≤<= ⎪⎝⎭．又由（Ⅱ）知，()()02n n n f y g y y π⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，故()()()()()022*******2sin cos sin c e e e e os e n n n n n n y n n f y y g y g y g y y y x x -π-π-π-ππ--=-≤=--≤<． 所以，20022sin c s e o n n n x x x -πππ+-<-．【名师点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法．考查函数思想和化归与转化思想．考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力． 13．【2019年高考浙江】已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()2f x a≤ 求a 的取值范围． 注：e=…为自然对数的底数．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）0,4⎛ ⎝⎦. 【解析】（1）当34a =-时，3()ln 04f x x x =-+>．3()4f 'x x =-+=所以，函数()f x 的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由1(1)2f a ≤，得0a <≤．当0a <≤()f x ≤2ln 0x -≥． 令1t a=，则t ≥．设()22ln ,g t t x t =≥则2()2ln g t t x =．（i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()2ln g t g x ≥=．记1()ln ,7p x x x =≥，则1()p'x x =-==.故所以，()(1)0p x p ≥=．因此，()2()0g t g p x ≥=≥．（ii ）当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，1()1g t g x ⎛+= ⎝．令211()(1),,e 7q x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x =+>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫⎪⎝⎭．由（i ）得，11(1)077q p p ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以，()<0q x ．因此1()10g t g x ⎛+=> ⎝．由（i ）（ii ）知对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，),()0t g t ∈+∞， 即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2xf x a ．综上所述，所求a 的取值范围是⎛⎝⎦． 【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．14．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,f x x a x b x c a b c =---∈R 、()f 'x 为f （x ）的导函数．（1）若a =b =c ，f （4）=8，求a 的值；（2）若a ≠b ，b =c ，且f （x ）和()f 'x 的零点均在集合{3,1,3}-中，求f （x ）的极小值；（3）若0,01,1a b c =<=，且f （x ）的极大值为M ，求证:M ≤427． 【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）因为a b c ==，所以3()()()()()f x x a x b x c x a =---=-．因为(4)8f =，所以3(4)8a -=，解得2a =．（2）因为b c =，所以2322()()()(2)(2)f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而2()3()3a b f 'x x b x +⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．令()0f 'x =，得x b =或23a b x +=． 因为2,,3a ba b +都在集合{3,1,3}-中，且a b ≠， 所以21,3,33a ba b +===-． 此时2()(3)(3)f x x x =-+，()3(3)(1)f 'x x x =+-． 令()0f 'x =，得3x =-或1x =．列表如下：所以()f x 的极小值为2(1)(13)(13)32f =-+=-．（3）因为0,1a c ==，所以32()()(1)(1)f x x x b x x b x bx =--=-++，2()32(1)f 'x x b x b =-++．因为01b <≤，所以224(1)12(21)30b b b ∆=+-=-+>， 则()f 'x 有2个不同的零点，设为()1212,x x x x <．由()0f 'x =，得12x x ==． 列表如下：所以()f x 的极大值()1M f x =． 解法一：()321111(1)M f x x b x bx ==-++()221111211(1)[32(1)]3999b b x b b b x b x b x -+++⎛⎫=-++--+ ⎪⎝⎭()2321(1)(1)227927b b b b b --+++=++23(1)2(1)(1)2272727b b b b +-+=-+(1)24272727b b +≤+≤．因此427M ≤． 解法二：因为01b <≤，所以1(0,1)x ∈．当(0,1)x ∈时，2()()(1)(1)f x x x b x x x =--≤-． 令2()(1),(0,1)g x x x x =-∈，则1()3(1)3g'x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 令()0g'x =，得1x =．列表如下：所以当13x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故max 14()327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 所以当(0,1)x ∈时，4()()27f x g x ≤≤，因此427M ≤． 【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．15．【河北省武邑中学2019届高三第二次调研考试数学】函数f(x)=x 2−2lnx 的单调减区间是A ．(0,1]B ．[1,+∞)C ．(−∞,−1]∪(0，1]D ．[−1,0)∪(0,1]【答案】A【解析】f′(x)=2x −2x =2x 2−2x(x >0)，令f′(x)≤0，解得：0<x ≤1. 故选A ．【名师点睛】本题考查了函数的单调性，考查导数的应用，是一道基础题.16．【江西省南昌市2019届高三模拟考试数学】已知f(x)在R 上连续可导，f ′(x)为其导函数，且f(x)=e x +e −x −f ′(1)x ⋅(e x −e −x )，则f ′(2)+f ′(−2)−f ′(0)f ′(1)= A ．4e 2+4e −2 B ．4e 2−4e −2 C ．0D ．4e 2【答案】C【解析】∵()e e (1)()(e e ()x x x x f x f x f x --'-=+=---)， ∴()f x 是偶函数，两边对x 求导，得()()f x f x -'-='，即()()f x f x '-=-'， 则()f x '是R 上的奇函数，则(0)0f '=，(2)(2)f f '-=-'，即(2)(2)0f f '+'-=，则(2)(2)(0)(1)0f f f f ''''+--=. 故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键，是中档题.17．【江西省新八校2019届高三第二次联考数学】若3()3()21f x f x x x +-=++对x ∈R 恒成立，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为A ．5250x y +-=B ．10450x y +-=C ．540x y +=D ．204150x y --=【答案】B 【解析】()()3321f x f x x x +-=++……①，()()3321f x f x x x ∴-+=--+……②，联立①②，解得()31124f x x x =--+，则()2312f x x '=--， ()11511244f ∴=--+=-，()351122f '=--=-，∴切线方程为：()55142y x +=--，即10450x y +-=. 故选B.【名师点睛】本题考查利用导数的几何意义求解在某一点处的切线方程，关键是能够利用构造方程组的方式求得函数的解析式.18．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】函数2l ()n f x x x =的最小值为A ．1e -B ．1eC ．12e-D ．12e【答案】C【解析】由题得(0,)x ∈+∞，()2ln (2ln 1)f x x x x x x '=+=+， 令2ln 10x +=，解得12ex -=，则当12(0,e )x -∈时，()f x 为减函数，当12(e ,)x -∈+∞时，()f x 为增函数， 所以12e x -=处的函数值为最小值，且121(e )2ef -=-. 故选C.【名师点睛】本题考查用导数求函数最值，解此类题首先确定函数的定义域，其次判断函数的单调性，确定最值点，最后代回原函数求得最值.19．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】若函数f(x)=12ax 2+xlnx −x 存在单调递增区间，则a 的取值范围是 A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】()ln f x ax x '=+， ∴()0f x '>在x ∈()0+∞，上成立， 即ax+ln x ＞0在x ∈()0+∞，上成立，即a ln xx-＞在x ∈()0+∞，上成立． 令g （x ）ln x x =-，则g ′（x ）21ln xx -=-， ∴g （x ）ln xx =-在（0，e ）上单调递减，在（e ，+∞）上单调递增，∴g （x ）ln x x =-的最小值为g （e ）=1e-，∴a ＞1e-． 故选B ．【名师点睛】本题考查学生利用导数研究函数的单调性及转化化归思想的运用，属中档题．20．【山西省太原市2019届高三模拟试题（一）数学】已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf ′(x)−f(x)<0，且f(2)=2，则f (e x )−e x >0的解集是 A ．(−∞,ln2) B ．(ln2,+∞) C ．(0,e 2)D ．(e 2,+∞)【答案】A 【解析】令g (x )=f (x )x,g ′(x )=xf ′(x )−f (x )x 2<0,∴g(x)在(0,+∞)上单调递减，且g (2)=f (2)2=1,故f (e x )−e x >0等价为f (e x )e x>f (2)2，即g (e x )>g (2)，故e x <2,即x <ln2， 则所求的解集为(−∞,ln2). 故选A.【名师点睛】本题考查导数与单调性的应用，构造函数的思想，考查分析推理能力，是中档题. 21．【河南省焦作市2019届高三第四次模拟考试数学】已知a =ln √33，b =e −1，c =3ln28，则a,b,c 的大小关系为 A ．b <c <a B ．a >c >b C ．a >b >cD ．b >a >c【答案】D【解析】依题意，得ln33a ==，1lne e e b -==，3ln2ln888c ==.令f (x )=ln x x，所以f ′(x )=1−ln x x 2.所以函数f (x )在(0,e )上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以[f (x )]max =f (e )=1e =b ，且f (3)>f (8)，即a >c ， 所以b >a >c . 故选D.【名师点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，构造出函数()ln xf x x=是解题的关键，属于中档题.22．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考数学】已知f (x )=lnx +1−ae x ，若关于x 的不等式f (x )<0恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(),0-∞C ．1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()0f x <恒成立得ln 1ex x a +>恒成立， 设()ln 1e x x h x +=，则()1ln 1e xx x h x -='-. 设()1ln 1g x x x =--，则()2110g x x x'=--<恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调递减，又∵g (1)=0，∴当0<x <1时，g (x )>g (1)=0，即ℎ′(x )>0； 当x >1时，g (x )<g (1)=0，即ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， ∴ℎ(x)max =ℎ(1)=1e ，∴a >1e . 故选D.【名师点睛】本题考查利用导数求函数的最值，不等式恒成立问题，分离参数是常见的方法，属于中档题.23．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】若1x =是函数()3221()(1)33f x x a x a a x =++-+-的极值点，则a 的值为 A ．-2 B ．3 C ．-2或3D ．-3或2【答案】B 【解析】()()()()32222113(3)(132)f x x a x a a f x x x a x a a '=++-=++-+-⇒+-，由题意可知(1)0f '=，即()212(1)303a a a a +-=+⇒-=+或2a =-，当3a =时，()222()2(1)389(9)(1)f x x a x a a x x x x +-'=++-=+-=+-，当1x >或9x <-时，()0f x '>，函数单调递增；当91x -<<时，()0f x '<，函数单调递减， 显然1x =是函数()f x 的极值点；当2a =-时，()2222()232(111))(0a a f x x a x x x x +-=-++=-=+-≥'，所以函数()f x 是R 上的单调递增函数，没有极值，不符合题意，舍去. 故3a =. 故选B ．【名师点睛】本题考查了已知函数的极值，求参数的问题.本题易错的地方是求出a 的值，没有通过单调性来验证1x =是不是函数的极值点，也就是说使得导函数为零的自变量的值，不一定是极值点. 24．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试】已知奇函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x >时，有()()22f x xf x x '>+，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋的解集为A ．(),2016-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2018-∞-D ．()2016,0-【答案】A【解析】设()()2g x x f x =，因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()()()22g x x f x x f x -=--=-，即()g x 为R 上的奇函数对()g x 求导，得()()()2f g f x x x x x '=+'⎡⎤⎣⎦， 而当0x >时，有()()220f x xf x x '>+≥，故0x >时，()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()g x 在R 上单调递增，则不等式()()()22018+2018420x f x f +-<＋即()()()22018+201842x f x f +<--， 即()()()22018+201842x f x f +<， 即()()20182g x g +<，所以20182x +<，解得2016x <-. 故选A.【名师点睛】本题考查构造函数解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.25．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学】曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线与直线10ax y --=垂直，则a =________. 【答案】12-【解析】因为21()ln 2f x x x x =+，所以()ln 1f x x x '=++， 因此，曲线21()ln 2f x x x x =+在点(1(1))f ，处的切线斜率为(1)112k f '==+=， 又该切线与直线10ax y --=垂直，所以12a =-. 故答案为12-. 【名师点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可求解，属于常考题型.26．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学】已知函数22,0,()e ,0,x x x f x x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】作出函数()f x 的图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212e x x =(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=令()ln g t t =()g t '= ∴当18t <<时，()0g t '>，g t 在()1,8上单调递增；当8t时，()0g t '<，g t 在()8,+∞上单调递减，∴当8t =时，g t 取得最大值，为(8)ln823ln22g =-=-.故答案为3ln 22-.【名师点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 的极值与最值的步骤：（1）确定函数的定义域；（2）求导数()f x '；（3）解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；（4）判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该点处取得极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点处的函数值与极值的大小.27．【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】已知函数4211()42f x x ax =-，a ∈R . （1）当1a =时，求曲线()f x 在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）设函数2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--，其中e 2.71828...=是自然对数的底数，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 【答案】（1）6100x y --=；（2）当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞单调递增，在(单调递减，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【解析】（1）由题意3()f x x ax '=-，所以当1a =时，(2)2f =，(2)6f '=， 因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是26(2)y x -=-， 即6100x y --=.（2）因为2()(22)e e ()x g x x x a f x =-+--， 所以2()(22)e (22)e e '()x x g x x x x a f x '=-+-+--232()e e()()(e e )x x x a x ax x a x =---=--，令()e e x h x x =-，则()e e x h x '=-， 令()0h x '=得1x =，当(,1)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 所以当1x =时，min ()(1)0h x h ==， 也就说，对于x ∀∈R 恒有()0h x ≥. 当0a ≤时，2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，令()0g x '=，可得x =当x <x >2()()()0g x x a h x '=-≥，()g x 单调递增，当x <<()0g x '<，()g x 单调递减，因此，当x =()g x 取得极大值2e(2)e4g a =+；当x =()g x 取得极小值2e (4g a =-+. 综上所述：当0a ≤时，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值；当0a >时，()g x 在(,-∞和)+∞上单调递增，在(上单调递减， 函数既有极大值，又有极小值，极大值为2e(2)e4g a =+，极小值为2e (4g a =-+. 【名师点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．28．【陕西省2019届高三第三次联考数学】已知函数f(x)=lnx −ax ，g(x)=x 2，a ∈R .（1）求函数f(x)的极值点；（2）若f(x)≤g(x)恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值点为1a ，无极小值点.（2）a ≥−1.【解析】（1）()ln f x x ax =-的定义域为(0,+∞)，f ′(x )=1x −a ， 当a ≤0时，f ′(x )=1x −a >0，所以f (x )在(0,+∞)上单调递增，无极值点；当a >0时，解f ′(x )=1x −a >0得0<x <1a ，解f ′(x )=1x −a <0得x >1a ， 所以f (x )在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，所以函数f (x )有极大值点，为1a ，无极小值点. （2）由条件可得ln x −x 2−ax ≤0(x >0)恒成立， 则当x >0时，a ≥ln x x−x 恒成立，令ℎ(x )=ln x x−x(x >0)，则ℎ′(x )=1−x 2−ln xx 2，令k (x )=1−x 2−ln x(x >0)，则当x >0时，k ′(x )=−2x −1x <0，所以k (x )在(0,+∞)上为减函数. 又k (1)=0，所以在(0,1)上，ℎ′(x )>0；在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0. 所以ℎ(x )在(0,1)上为增函数，在(1,+∞)上为减函数， 所以ℎ(x )max =ℎ(1)=−1，所以a ≥−1.【名师点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.29．【山东省济宁市2019届高三二模数学】已知函数f(x)=lnx −xe x +ax(a ∈R).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若a =1，求f(x)的最大值.【答案】（1）a ≤2e −1；（2）f(x)max =−1.【解析】（1）由题意知，f′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0在[1,+∞)上恒成立， 所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1,+∞)上恒成立. 令g(x)=(x +1)e x −1x ，则g′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1,+∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1， 所以a ≤2e −1.（2）当a =1时，f(x)=lnx −xe x +x(x >0). 则f′(x)=1x−(x +1)e x +1=(x +1)(1x−e x )，令m(x)=1x −e x ，则m′(x)=−1x 2−e x <0， 所以m(x)在(0,+∞)上单调递减.由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0.当x ∈(0,x 0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x ∈(x 0,+∞)时，m(x)<0，f′(x)<0. 所以f(x)在(0,x 0)上单调递增，在(x 0,+∞)上单调递减. 所以f(x)max =f (x 0)=lnx 0−x 0e x 0+x 0， 因为e x 0=1x 0，所以x 0=−lnx 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1， 所以f(x)max =−1.【名师点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值，零点存在性定理及其应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.30．【福建省龙岩市2019届高三5月月考数学】今年3月5日，国务院总理李克强作的政府工作报告中，提到要“惩戒学术不端，力戒学术不端，力戒浮躁之风”.教育部日前公布的《教育部2019年部门预算》中透露，2019年教育部拟抽检博士学位论文约6000篇，预算为800万元.国务院学位委员会、教育部2014年印发的《博士硕士学位论文抽检办法》通知中规定：每篇抽检的学位论文送3位同行专家进行评议，3位专家中有2位以上（含2位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.有且只有1位专家评议意见为“不合格”的学位论文，将再送2位同行专家进行复评，2位复评专家中有1位以上（含1位）专家评议意见为“不合格”的学位论文，将认定为“存在问题学位论文”.设每篇学位论文被每位专家评议为“不合格”的概率均为(01)p p <<，且各篇学位论文是否被评议为“不合格”相互独立.（1）记一篇抽检的学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为()f p ，求()f p ；（2）若拟定每篇抽检论文不需要复评的评审费用为900元，需要复评的评审费用为1500元；除评审费外，其它费用总计为100万元.现以此方案实施，且抽检论文为6000篇，问是否会超过预算并说明理由.【答案】（1）−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2；（2）若以此方案实施，不会超过预算.【解析】（1）因为一篇学位论文初评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 32p 2(1−p )+C 33p 3， 一篇学位论文复评被认定为“存在问题学位论文”的概率为C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]，所以一篇学位论文被认定为“存在问题学位论文”的概率为f (p )=C 32p 2(1−p )+C 33p 3+C 31p (1−p )2[1−(1−p )2]=3p 2(1−p )+p 3+3p (1−p )2[1−(1−p )2] =−3p 5+12p 4−17p 3+9p 2.（2）设每篇学位论文的评审费为X 元，则X 的可能取值为900，1500.P (X =1500)=C 31p (1−p )2， P (X =900)=1−C 31p (1−p )2， 所以E (X )=900×[1−C 31p (1−p )2]+1500×C 31p (1−p )2=900+1800p (1−p )2. 令g (p )=p (1−p )2,p ∈(0,1),g ′(p )=(1−p )2−2p (1−p )=(3p −1)(p −1). 当p ∈(0,13)时，g ′(p )>0，g (p )在(0,13)上单调递增；当p ∈(13,1)时，g ′(p )<0，g (p )在(13,1)上单调递减,所以g (p )的最大值为g (13)=427.所以实施此方案，最高费用为100+6000×(900+1800×427)×10−4=800（万元）. 综上，若以此方案实施，不会超过预算.【名师点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查随机变量的期望的求法，考查利用导数求函数的最大值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 31．【北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学】设函数f(x)=m e x −x 2+3，其中m ∈R ．（1）当f(x)为偶函数时，求函数ℎ(x)=xf(x)的极值；（2）若函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点，求m 的取值范围． 【答案】（1）极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2；（2）−2e <m <13e 4或m =6e 3.【解析】（1）由函数f(x)是偶函数，得f(−x)=f(x)， 即m e −x −(−x)2+3=m e x −x 2+3对于任意实数x 都成立， 所以m =0. 此时ℎ(x)=xf(x)=−x 3+3x ，则ℎ′(x)=−3x 2+3. 由ℎ′(x)=0，解得x =±1. 当x 变化时，ℎ′(x)与ℎ(x)的变化情况如下表所示：所以ℎ(x)在(−∞,−1)，(1,+∞)上单调递减，在(−1,1)上单调递增. 所以ℎ(x)有极小值ℎ(−1)=−2，极大值ℎ(1)=2. （2）由f(x)=m e x −x 2+3=0，得m =x 2−3e x.所以“f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点”等价于“直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点”.对函数g(x)求导，得g ′(x)=−x 2+2x+3e x.由g ′(x)=0，解得x 1=−1，x 2=3. 当x 变化时，g ′(x)与g(x)的变化情况如下表所示：所以g(x)在(−2,−1)，(3,4)上单调递减，在(−1,3)上单调递增. 又因为g(−2)=e 2，g(−1)=−2e ，g(3)=6e 3<g(−2)，g(4)=13e 4>g(−1)，所以当−2e <m <13e4或m =6e3时，直线y =m 与曲线g(x)=x 2−3e x，x ∈[−2 , 4]有且只有两个公共点.即当−2e <m <13e 4或m =6e3时，函数f(x)在区间[−2 , 4]上有两个零点.【名师点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解. （2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解. （3）转化为两熟悉的函数图象问题，从而构建不等式求解.。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
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• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
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• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
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考点突破
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【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高考数学一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 第三节 函数的奇偶性与周期性课件 文
答案：D
(2)(2014·课标全国Ⅰ卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x) 是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
第三节 函数的奇偶性与周期性
函数奇偶性的判断
判断下列函数的奇偶性
(1)f(x)＝ 3－x2＋ x2－3； (2)f(x)＝lg|（x－1－2|－x22）；
(3)f(x)＝x－2＋x2x＋，x，
x＜0， x＞0.
解：(1)由3x－2－x32≥≥00得 x2＝3，所以 x＝± 3， 即函数 f(x)的定义域为{－ 3， 3}， 从而 f(x)＝ 3－x2＋ x2－3＝0. 因此 f(－x)＝－f(x)且 f(－x)＝f(x)， 所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由1|x－－x22|＞≠02，得，定义域为(－1，0)∪(0，1)． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝lg（1－－xx2）. 又∵f(－x)＝lg[1－（x－x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)，
C．y＝2x＋21x
D．y＝x2＋sin x
解析：A 项，定义域为 R，f(－x)＝－x－sin 2x＝－f(x)，为奇函 数，故不符合题意；
B 项，定义域为 R，f(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数，故不符 合题意；
C 项，定义域为 R，f(－x)＝2－x＋21－x＝2x＋21x＝f(x)，为偶函数， 故不符合题意；
C．{x|x＜0，或 x＞4} D．{x|0＜x＜4}
解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3讲 函数的奇偶性与周期性创新教学案(含解析)新人教
第3讲函数的奇偶性与周期性[考纲解读] 1.了解函数奇偶性的含义．2．会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性．(重点)3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．(重点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，函数的奇偶性与周期性是高考的一个热点．预测2021年高考会侧重以下三点：①函数奇偶性的判断及应用；②函数周期性的判断及应用；③综合利用函数奇偶性、周期性和单调性求参数的值或解不等式.1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有01f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于02y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有03f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于04原点对称2．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有01f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个02最小的正数，那么这个03最小正数就叫做f(x)的最小正周期．1．概念辨析(1)“a＋b＝0〞是“函数f(x)在区间[a，b](a≠b)上具有奇偶性〞的必要条件．( )(2)假设函数f(x)是奇函数，那么必有f(0)＝0.( )(3)假设函数y＝f(x＋a)是偶函数，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)假设函数y＝f(x＋b)是奇函数，那么函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( )(5)函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，假设在(－∞，0)上是减函数，那么在(0，＋∞)上是增函数．( )(6)假设T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z)也是函数f(x)的周期．( )答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)√(6)×2．小题热身(1)以下函数中为奇函数的是( )A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x| D．y＝2－x答案 A解析A是奇函数，B是偶函数，C，D是非奇非偶函数．(2)假设f(x)是R上周期为2的函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，那么f(3)－f(4)＝________.答案－1解析因为f(x)是R上周期为2的函数，所以f(3)＝f(1)＝1，f(4)＝f(2)＝2，所以f(3)－f(4)＝1－2＝－1.(3)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，那么f(－2)＋f(0)＝________.答案－5解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，所以f(－2)＋f(0)＝－5.(4)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，那么f(－1)＝________.答案 3解析因为函数y＝f(x)是偶函数，所以f(－1)＝f(1)，因为函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝3.综上可知，f(－1)＝3.(5)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，假设当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图，那么不等式f(x)＜0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析因为函数f(x)是奇函数，所以其图象关于原点中心对称，作出其图如右，观察图象可知，不等式f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型 一 函数的奇偶性角度1 判断函数的奇偶性1．(2020·成都市高三阶段考试)y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是( )①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析 因为y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，由f (|－x |)＝f (|x |)，知①是偶函数；由f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，知②是奇函数；由y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝x 是定义在R 上的奇函数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，知④是奇函数．2．判断以下函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝(1－x )1＋x1－x； (3)f (x )＝lg 1－x2|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由1＋x 1－x ≥0得－1≤x <1，所以f (x )的定义域为[－1,1)， 所以函数f (x )是非奇非偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg1－x2－x.又f (－x )＝lg [1－－x2]x＝lg 1－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(4)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，那么f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，那么f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )； 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数． 角度2 奇函数、偶函数性质的应用3．(2019·衡水模拟)f (x )是定义在R 上的奇函数，假设x ＞0时，f (x )＝x ln x ，那么x ＜0时，f (x )＝( )A ．x ln xB ．x ln (－x )C ．－x ln xD ．－x ln (－x )答案 B解析 设x ＜0，那么－x ＞0，所以f (－x )＝－x ln (－x )．又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝x ln (－x )．4．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2的最大值为M ，最小值为N ，那么(M ＋N －1)2020的值为( )A ．1B ．2C ．22020D ．32020解析 由x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－πx ＋x ＋e2x 2＋e 2＝sinπx ＋x 2＋e 2＋2e x x 2＋e 2＝sinπx ＋2e x x 2＋e 2＋1.令g (x )＝sinπx ＋2e xx 2＋e 2，易知g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上的最大值与最小值和为0，所以M ＋N ＝f (x )max ＋f (x )min ＝g (x )max ＋1＋g (x )min ＋1＝2，所以(M ＋N －1)2020＝1.5．假设f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，那么a ＝________. 答案 －32解析 解法一：因为f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，所以f (－x )＝ln (e －3x＋1)－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 3x ＋1－ax ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋e 3xe 3x －ax ＝ln (1＋e 3x )－3x －ax ＝ln (e 3x ＋1)＋ax ，所以－3－a ＝a ，解得a ＝－32.解法二：函数f (x )＝ln (e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )， 即ln (e－3x＋1)－ax ＝ln (e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1e 3x ＝2ax ＝ln e 2ax ，即1e 3x ＝e 2ax，整理得e2ax ＋3x＝1.所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.1．判断函数奇偶性的三种方法 (1)定义法(如举例说明2)(3)性质法(如举例说明1(③)，4)设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数奇偶性的应用(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求解析式的区间上的函数值．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．如举例说明3.(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值．如举例说明5.(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．如举例说明4.注意：对于定义域为I 的奇函数f (x )，假设0∈I ，那么f (0)＝0.1．f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，那么f (－2)等于( ) A ．－3 B ．－54C.54 D ．3答案 A解析 由得，f (0)＝20＋m ＝0. 解得m ＝－1.当x ≥0时，f (x )＝2x－1，所以f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3. 2．(2019·辽宁名校联考)函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于原点对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于y 轴对称答案 B解析 记f (x )＝x 2lgx －2x ＋2，定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．∵f (－x )＝(－x )2lg －x －2－x ＋2＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，即函数y ＝x 2lg x －2x ＋2的图象关于原点对称．3．(2020·武汉十校联考)假设定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，那么g (x )＝( )A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x) D.12(e x －e －x ) 答案 D解析 ∵f (x )＋g (x )＝e x，① ∴f (－x )＋g (－x )＝e －x，又f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )， ∴f (x )－g (x )＝e －x，②由①②解得g (x )＝e x －e－x2.应选D.题型 二 函数的周期性1．(2019·温州模拟)定义在R 上的函数f (x )的最小正周期等于T ，那么以下函数的最小正周期一定等于T2的是( )A ．f (2x )B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2C ．2f (x )D ．f (x 2)答案 A解析 由得f (x ＋T )＝f (x )，所以f (2x ＋T )＝f (2x )，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，所以函数f (2x )的周期是T 2；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，即f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋2T ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，所以函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的周期是2T ；2f (x ＋T )＝2f (x )，所以函数2f (x )的周期是T .函数f (x 2)不一定是周期函数．2.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，当x∈[0，2)时，f(x)＝x＋e x，那么f(2020)＝________.答案 1解析因为定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝1f x，所以f(x＋4)＝1f x＋2＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4.当x∈[0,2)时，f(x)＝x＋e x，所以f(2020)＝f(505×4＋0)＝f(0)＝0＋e0＝1.1．求函数周期的方法方法解读适合题型定义法具体步骤为：对于函数y＝f(x)，如果能够找到一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么T就是函数y＝f(x)的周期非零常数T容易确定的函数，如举例说明1递推法采用递推的思路进行，再结合定义确定周期．如：假设f(x＋a)＝－f(x)，那么f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期含有f(x＋a)与f(x)的关系式，如举例说明2换元法通过换元思路将表达式化简为定义式的结构，如：假设f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，那么x＝t＋a，那么f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期f(bx±a)＝f(bx±c)型关系式2．函数周期性的应用根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：假设T是函数的周期，那么kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．如举例说明2.1．(2019·绵阳模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，－1≤x ＜3，f x －4，x ≥3，那么f (9)＝________.答案 1解析 f (9)＝f (9－4)＝f (5)＝f (5－4)＝f (1)＝2×1－1＝1.2．f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，那么函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．答案 7解析 因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，那么f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．题型 三 函数性质的综合应用角度1 单调性与奇偶性结合1．(2019·成都模拟)函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，假设f (2a )＞f (1－a )，那么a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 答案 C解析 因为函数f (x )为R 上的偶函数，所以f (2a )＞f (1－a )⇔f (|2a |)＞f (|1－a |)，又当x ≥0时，f (x )单调递减，所以|2a |＜|1－a |，所以(2a )2＜(1－a )2，即3a 2＋2a －1＜0，解得－1＜a ＜13.角度2 周期性与奇偶性结合2．(2018·全国卷Ⅱ)f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．假设f (1)＝2，那么f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50答案 C解析 因为f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f (1－x )＝f (1＋x )，所以f (1＋x )＝－f (x －1)，f (x ＋4)＝f [1－(x ＋3)]＝f (－x －2)＝－f (x ＋2)＝－f [1－(x ＋1)]＝－f (－x )＝f (x )．所以f (x )是周期为4的函数．因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)，因为f (3)＝－f (1)，f (4)＝－f (2)，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，因为f (2)＝f (2－4)＝f (－2)＝－f (2)，所以f (2)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＝2，应选C.角度3 单调性、奇偶性和周期性结合3．(2019·青岛二中模拟)定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋2)＝f (x )；②f (x －2)为奇函数；③当x ∈[0，1)时，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(x 1≠x 2)恒成立，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152，f (4)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112的大小关系正确的选项是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152B ．f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＞f (4) 答案 C解析 由f (x ＋2)＝f (x )可知函数f (x )的周期为2，所以f (x )＝f (x －2)， 又f (x －2)为奇函数，所以f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＋2×4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (4)＝f (4－2×2)＝f (0)＝0. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝⎛⎭⎪⎫112－2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 又x ∈[0,1)时，f (x )单调递增．故奇函数f (x )在(－1,1)上单调递增．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＞f (0)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＞f (4)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112.函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．解此类问题常利用以下两个性质：①如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．②奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．如举例说明1.(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到解析式的函数定义域内求解．如举例说明2.(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性、奇偶性转化自变量所在的区间，然后利用单调性求解．如举例说明3.1．函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，那么f (2－x )＞0的解集为( )A ．(1,3)B ．(－∞，1)∪(3，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析 f (x )＝(x －1)(mx ＋n )＝mx 2＋(n －m )x －n . ∵函数f (x )＝(mx ＋n )(x －1)为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．即mx 2＋(n －m )x －n ＝mx 2－(n －m )x －n ， 得－(n －m )＝(n －m )，即n －m ＝0，那么m ＝n ， 那么f (x )＝mx 2－m ，∵f (x )在(－∞，0)上单调递增，∴m ＜0， 由f (2－x )＞0，得m (2－x )2－m ＞0， 即(2－x )2－1＜0，得x 2－4x ＋3＜0，得1＜x ＜3，即不等式的解集为(1,3)．2．(2019·广东珠海模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，f (x )＝－f (－x )，且在[0,1]上有f (x )＝x 2，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫201912＝( )A.94 B.14 C ．－94D ．－14答案 D解析 因为f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数， 因为f (x )＝f (2－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f (－2－x )＝－f (2＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )是以4为周期的函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2020－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， 因为在[0,1]上有f (x )＝x 2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫201912＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－14. 3．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期T ＝8，所以f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)，f (80)＝f (0)，又因为奇函数f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，所以f(－25)<f(80)<f(11)．组 基础关1．(2019·武威模拟)以下函数中，既是奇函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝e x－e －xB ．f (x )＝tan xC ．f (x )＝x ＋1xD ．f (x )＝|x |答案 A解析 f (x )＝|x |是偶函数，排除D ；f (x )＝x ＋1x在(0，＋∞)上先减后增，排除C ；f (x )＝tan x 在(0，＋∞)上不是单调函数，排除B ；f (x )＝e x －e －x符合题意．2．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，那么函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能为( )答案 A解析 因为f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，所以y ＝f (x )·g (x )为奇函数，排除B ；由两函数的图象可知当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2时，y ＝f (x )·g (x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，y ＝f (x )·g (x )>0，所以只有选项A 符合题意，应选A.3．(2020·烟台适应性练习)定义在R 上的函数f (x )的周期为2，且满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x ＜0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x ＜1，假设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，那么f (5a )等于( ) A.716 B ．－25C.1116D.1316答案 B解析 由于函数f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110，所以－12＋a ＝110，所以a ＝35，因此f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.应选B. 4．函数y ＝f (x )＋x 是偶函数，且f (2)＝1，那么f (－2)＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 ∵y ＝f (x )＋x 是偶函数，∴f (－x )＋(－x )＝f (x )＋x ，∴f (－x )＝f (x )＋2x ，令x ＝2，那么f (－2)＝f (2)＋4＝5，应选D.5．(2019·成都模拟)假设函数f (x )＝1－a2x －1的图象关于原点对称，那么实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案 A解析 由得，函数f (x )为奇函数，所以f (1)＋f (－1)＝0，即1－a 2－1＋1－a12－1＝0,1－a ＋1＋2a ＝0，解得a ＝－2.6．(2019·合肥模拟)偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，那么对实数a ，b ，“a >|b |〞是“f (a )>f (b )〞的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为f (x )是偶函数，所以f (|b |)＝f (b )．因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，a ＞|b |≥0.所以f (a )＞f (|b |)＝f (b )．假设f (a )＞f (b )．举反例f (－3)＝f (3)＞f (1)，而－3＜|1|.故由f (a )＞f (b )无法得到a ＞|b |.所以“a ＞|b |〞是“f (a )＞f (b )〞的充分不必要条件．7．(2020·沈阳市高三质检)函数f (x )＝1－2x1＋2x ，实数a ，b 满足不等式f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，那么以下不等关系恒成立的是( )A ．b －a ＜2B ．a ＋2b ＞2C ．b －a ＞2D ．a ＋2b ＜2答案 C解析 由题意知f (－x )＝1－2－x1＋2－x ＝2x －12x ＋1＝－1－2x1＋2x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，又f (x )＝1－2x1＋2x ＝2－1＋2x1＋2x＝21＋2x －1，所以f (x )在R 上为减函数，由f (2a ＋b )＋f (4－3b )＞0，得f (2a ＋b )＞－f (4－3b )＝f (3b －4)，故2a ＋b ＜3b －4，即b －a ＞2.应选C.8．函数f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝lg x ，那么f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100的值为________． 答案 －lg 2 解析 由得f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2.f (－2)＝－f (2)＝－lg 2，所以f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝－lg 2.9．奇函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋4)＝f (x －2)，且当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，那么f (2021)＝________.答案 －4解析 因为函数f (x )(x ∈R )为奇函数满足f (x ＋4)＝f (x －2)，所以f (x ＋6)＝f (x )， 即函数f (x )是以6为周期的周期函数， 因为当x ∈[－3,0)时，f (x )＝1x ＋3sin π2x ，所以f (2021)＝f (337×6－1)＝f (－1) ＝1－1＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－4.10．(2020·甘肃天水摸底)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，那么函数f (x )在[1,2]上的解析式是________．答案f(x)＝log2(3－x)解析因为f(x)是定义在R上以2为周期的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)．所以设x∈[1,2]，那么x－2∈[－1,0]，2－x∈[0,1]．所以f(2－x)＝log2[(2－x)＋1]＝log2(3－x)，又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(x－2)＝f(2－x)＝log2(3－x)．组能力关1．p：a＝±1，q：函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么p是q成立的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析假设函数f(x)＝ln (x＋a2＋x2)为奇函数，那么f(－x)＋f(x)＝ln (－x＋a2＋x2)＋ln (x＋a2＋x2)＝ln a2＝0，解得a＝±1.所以p是q成立的充分必要条件．2．函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，假设g(x)＝f(x)＋2019，那么g(x)的最大值与最小值之和为( )A．0 B．1C．2019 D．4038答案 D解析因为函数f(x)是定义在区间[－a，a]上的奇函数，所以f(x)max＋f(x)min＝0，所以g(x)max＋g(x)min＝[f(x)max＋2019]＋[f(x)min＋2019]＝f(x)max＋f(x)min＋4038＝4038.3．(2019·南阳模拟)函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，那么不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( )A．(1,3) B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3) D．(－1,0)∪(0,1)答案 C解析假设x∈[－2,0]，那么－x∈[0,2]，∵当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，∴f(－x)＝－x－1，∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝－x－1＝f(x)，即当x∈[－2,0]时，f(x)＝－x－1，即在一个周期[－2,2]内，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，0≤x ≤2，－x －1，－2≤x <0，假设x ∈[2,4]，那么x －4∈[－2,0]，即f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝－x ＋3，x ∈[2,4]，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象如图：那么当x ∈[－1,3]时，不等式xf (x )>0等价为⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0，即1<x <3或－1<x <0，所以不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．4．f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数x 1，x 2，都有x 2f x 1－x 1f x 2x 1－x 2＜0，记a ＝f 4.10.24.10.2，b ＝f 0.42.10.42.1，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1，那么( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．b ＜c ＜a答案 A解析 设0<x 1＜x 2，由x 2f (x 1)－x 1f (x 2)>0，得f x 1x 1＞f x 2x 2，所以函数g (x )＝f xx在(0，＋∞)上单调递减，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以g (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，因此a ＝f 4.10.24.10.2＝g (4.10.2)＜g (1)，b ＝f 0.42.10.42.1＝g (0.42.1)>g (0.42)>g (0.5)，c ＝f log 0.24.1log 0.24.1＝g (log 0.24.1)＝g (log 154.1)＝g (－log 54.1)＝g (log 54.1)∈(g (1)，g (0.5))，即a <c <b ，应选A.5．假设函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，那么a ＝________. 答案 1或－1解析 令u (x )＝1－a 2＋1e x ＋1，根据函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2＋1e x ＋1为偶函数，可知u (x )＝1－a 2＋1e x＋1为奇函数，利用u (0)＝1－a 2＋1e 0＋1＝0，可得a 2＝1，所以a ＝1或a ＝－1. 6．(2019·河北重点中学联考)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[－.2,0]上是增函数，下面是关于f(x)的判断：①f(x)的图象关于点P(1,0)对称；②f(0)是函数f(x)的最大值；③f(x)在[2,3]上是减函数；④f(x0)＝f(4k＋x0)，k∈Z.其中正确的选项是________(正确的序号都填上)．答案①②④解析因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(－x)，所以f(x)的图象关于点P(1,0)对称，所以①正确；由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，所以f(x0)＝f(4k＋x0)(k ∈Z)，所以④正确；因为f(x)是以4为周期的函数，且在[－2,0]上是增函数，所以f(x)在[2,4]上也是增函数，因此③不正确；因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在[0,2]上是减函数，所以f(x)在[－2,2]上的最大值是f(0)，又f(x)是以4为周期的函数，所以②正确．所以正确的判断是①②④.专业.。
高考数学一轮复习 第二篇 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性与周期性课件 文
(3)f(x)的定义域为 R，关于原点对称， 当 x>0 时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当 x<0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
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第3节 函数的奇偶性与周期性 第二十四页，共六十页。
②因为 f(x)的定义域为 R， 所以 f(－x) ③因为由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2 且 x≠0.
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(1)f(x)＝lg|（x－12－|－x22）；
(2)f(x)＝(x＋1)
11－＋xx；
x2＋2，x>0， (3)f(x)＝0，x＝0，
－x2－2，x<0.
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解：(1)由1|x－－x22|>－0，2≠0， 得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． f(x)＝－lg（（x－1－2）x2）－2＝－lg（1－x x2）. 因为 f(－x)＝－lg[1－（－－x x）2]＝－lg（1－－xx2）＝－f(x)． 所以 f(x)为奇函数．
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第3节 函数的奇偶性与周期性 第四页，共六十页。
3．周期函数 y＝f(x)(x∈R)的周期唯一吗？
提示：不唯一．若 T 是函数 y＝f(x)(x∈R)的一个周期，则 nT(n∈Z， 且 n≠0)也是 f(x)的周期，即 f(x＋nT)＝f(x)．
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第3节 函数的奇偶性与周期性 第五页，共六十页。
1．奇函数、偶函数的概念及图象特征
函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期
周期函数在其周期内具有重复性，即对 于任意整数n，f(x+nT)=f(x)。
最小正周期
最小正周期的定义
在所有可能的周期中，最小的正数周 期称为最小正周期。
最小正周期的性质
对于一个周期函数，其最小正周期是 存在的，且最小正周期是所有正数周 期中最小的那个。
常见周期函数的例子
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最 小正周期为2π。
周期性
三角函数具有明显的周期性，如正弦函数和余弦函数的周期为2π。这种周期性 在物理学、工程学和天文学等领域有重要应用，例如描述简谐振动、电磁波等。
在物理中的应用
波动与振动
奇偶性和周期性在波动和振动的研究中起到关键作用。例如 ，在分析简谐振动的规律时，需要利用三角函数的奇偶性和 周期性。
电磁学
在电磁学中，电流和电压的波形常常可以用具有奇偶性和周 期性的函数来描述，这有助于理解和分析电磁现象。
函数y=sin(3x)的最小正 周期为2π/3。
ABCD
函数y=tan(x)的最小正周 期为π。
函数y=cos(2x)的最小正 周期为π。
03 奇偶性与周期性的应用
在三角函数中的应用
奇偶性
三角函数（如正弦、余弦）具有奇偶性，即满足sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。这种性质在信号处理、振动分析等领域有广泛应用。
函数的奇偶性与周期性
目录
• 函数的奇偶性 • 函数的周期性 • 奇偶性与周期性的应用 • 奇偶性与周期性的关系
01 函数的奇偶性
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
数学(文)一轮教学案：第二章第3讲 函数的奇偶性与周期性 Word版含解析
第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1．思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.()(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．()(5)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．()(6)若函数f(x)＝x(x－2)(x＋a)为奇函数，则a＝2.() 答案(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×(6)√2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13C.12 D ．－12答案 B解析 由已知得a －1＋2a ＝0，得a ＝13，又f (x )为偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，所以a ＋b ＝13.3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2x－12xB ．y ＝x 3sin xC ．y ＝2cos x ＋1D ．y ＝x 2＋2x答案 A解析 由函数奇偶性的定义知，B 、C 中的函数为偶函数，D 中的函数为非奇非偶函数，只有A 中的函数为奇函数，故选A.[考法综述] 判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现．主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目．命题法 判断函数的奇偶性及奇偶性的应用 典例 (1)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数 [解析] (1)因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数，故选D.(2)由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.[答案] (1)D (2)C【解题法】 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 (2)图象法1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1答案 A解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，故选A.2．若函数f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 C解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x＝－2x ＋12x－a，即1－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x ，所以a ＝1，f (x )＝2x ＋12x －1.由f (x )>3得0<x <1.故选C.3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案 C解析 令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1.故选C.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33答案 B解析 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3a 2，x ≥2a 2，－a 2，a 2<x <2a 2，－x ，0≤x ≤a 2，画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．∵满足∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2－(－3a 2)≤1， ∴6a 2≤1，即－66≤a ≤66，故选B.5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x－e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x )答案 D解析 因为f (x )＋g (x )＝e x ①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x ，即f (x )－g (x )＝e －x②，故由①－②可得g (x )＝12(e x －e －x)，所以选D.6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1. 解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (－5,0)∪(5，＋∞)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ， x >0，0， x ＝0，－x 2－4x ， x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5； ②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ，解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)． 8．已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数；(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)<a (－x 30＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －1的大小，并证明你的结论．解 (1)证明：因为对任意x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －x＋e x ＝f (x )，所以f (x )是R 上的偶函数．(2)由条件知m (e x ＋e －x －1)≤e －x －1在(0，＋∞)上恒成立， 令t ＝e x (x >0)，则t >1，所以m ≤－t －1t 2－t ＋1＝－1t －1＋1t －1＋1对任意t >1成立． 因为t －1＋1t －1＋1≥2(t －1)·1t －1＋1＝3，所以－1t －1＋1t －1＋1≥－13，当且仅当t ＝2，即x ＝ln 2时等号成立． 因此实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－13.(3)令函数g (x )＝e x＋1e x －a (－x 3＋3x )，则g ′(x )＝e x －1e x ＋3a (x 2－1)．当x ≥1时，e x－1e x >0，x 2－1≥0，又a >0，故g ′(x )>0，所以g (x )是[1，＋∞)上的单调增函数，因此g (x )在[1，＋∞)上的最小值是g (1)＝e ＋e －1－2a .由于存在x 0∈[1，＋∞)，使e x 0＋e －x 0－a (－x 30＋3x 0)<0成立，当且仅当最小值g (1)<0，故e ＋e －1－2a <0，即a >e ＋e－12.令函数h (x )＝x －(e －1)ln x －1，则h ′(x )＝1－e －1x . 令h ′(x )＝0，得x ＝e －1.当x ∈(0，e －1)时，h ′(x )<0，故h (x )是(0，e －1)上的单调减函数；当x ∈(e －1，＋∞)时，h ′(x )>0，故h (x )是(e －1，＋∞)上的单调增函数．所以h (x )在(0，＋∞)上的最小值是h (e －1)．注意到h (1)＝h (e)＝0，所以当x ∈(1，e －1)⊆(0，e －1)时，h (e －1)≤h (x )<h (1)＝0；当x ∈(e －1，e)⊆(e －1，＋∞)时，h (x )<h (e)＝0.所以h (x )<0对任意的x ∈(1，e)成立．①当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e ⊆(1，e)时，h (a )<0，即a －1<(e －1)ln a ，从而e a －1<a e －1；②当a ＝e 时，e a －1＝a e －1；③当a ∈(e ，＋∞)⊆(e －1，＋∞)时，h (a )>h (e)＝0，即a －1>(e －1)ln a ，故e a －1>a e －1.综上所述，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＋e －12，e时，e a －1<a e －1； 当a ＝e 时，e a －1＝a e －1； 当a ∈(e ，＋∞)时，e a －1>a e －1. 1 周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2 最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．注意点 常见的有关周期的结论 周期函数y ＝f (x )满足：(1)若f (x ＋a )＝f (x －a )，则函数的周期为2a . (2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则函数的周期为2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数的周期为2a .1．思维辨析(1)若函数f (x )满足f (0)＝f (5)＝f (10)，则它的周期T ＝5.( ) (2)若函数f (x )的周期T ＝5，则f (－5)＝f (0)＝f (5)．( ) (3)若函数f (x )关于x ＝a 对称，也关于x ＝b 对称，则函数f (x )的周期为2|b －a |.( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a >0)，则f (x )是周期为a 的周期函数．( )(5)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2016)＝0.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2014)等于( )A ．0B ．3C ．4D ．6答案 A解析 ∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－2)＝f (2)，∴f (－2＋4)＝f (2)＝f (－2)＋f (2)＝2f (2)， ∴f (2)＝0，f (2014)＝f (4×503＋2)＝f (2)＋503×f (2)＝f (2)＝0，故选A. 3．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 ∵f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. [考法综述] 函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现．常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档．命题法 判断函数的周期性，利用周期性求值典例 (1)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (8)－f (4)的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2(2)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x ≤π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0D ．－12[解析] (1)由于f (x )周期为5，且为奇函数，∴f (8)＝f (5＋3)＝f (3)＝f (5－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (5－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (8)－f (4)＝－2－(－1)＝－1.(2)因为f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，所以f (x )的周期T ＝2π.又因为当0≤x ≤π时，f (x )＝0，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫－π6＝12，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12.[答案] (1)A (2)A【解题法】 函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T .(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．1．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．－1 B.45 C ．1 D ．－45答案 A解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝4，结合f (－x )＝－f (x )，有f (log 220)＝f (1＋log 210)＝f (log 210－3)＝－f (3－log 210)，∵3－log 210∈(－1,0)，∴f (log 220)＝－23－log 210－15＝－45－15＝－1.故选A.2．函数f (x )＝lg |sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 易知函数的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝lg |sin(－x )|＝lg |－sin x |＝lg |sin x |＝f (x )，所以f (x )是偶函数，又函数y ＝|sin x |的最小正周期为π，所以函数f (x )＝lg |sin x |是最小正周期为π的偶函数．故选C.3.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2013)＋f (2014)的值为( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案 D解析 ∵函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，又函数的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )的周期为4.又函数的图象关于x ＝1对称，∴f (0)＝f (2)，∴f (2013)＋f (2014)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (0)＝21－1＋20－1＝1.故选D.4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1)上单调递增，记a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b ＝cB ．b >a ＝cC ．b >c >aD ．a >c >b答案 A解析 由题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的奇函数，所以f (2)＝f (0)＝0.因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (3)＝－f (2)＝0.又f (x )在[0,1)上是增函数，于是有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>f (0)＝f (2)＝f (3)，即a >b ＝c .故选A.5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.124B.112C.16D.13答案 A解析 ∵2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)．∵3＋log 23>4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝18×13＝124.故选A. 6．若y ＝f (x )既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y ＝f ′(x )( )A ．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数答案 B解析因为y＝f(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(x＋T)＝f(x)，两边同时求导，得f′(x＋T)(x＋T)′＝f′(x)，即f′(x＋T)＝f′(x)，所以导函数为周期函数．因为y＝f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，两边同时求导，得f′(－x)(－x)′＝－f′(x)，即－f′(－x)＝－f′(x)，所以f′(－x)＝f′(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)＝x2＋1，x∈[－2,2)的奇偶性．[错解][错因分析]忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求．[正解]由于x∈[－2,2)，所以f(x)＝x2＋1的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)＝x2＋1是非奇非偶函数．[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间：60分钟基础组1.[2016·冀州中学期末]下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是()A．y＝x2B．y＝2|x|C．y＝log21|x|D．y＝sin x答案 C解析函数y＝x2在(－∞，0)上是减函数；函数y＝2|x|在(－∞，0)上是减函数；函数y＝log21|x|＝－log2|x|是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数；函数y＝sin x不是偶函数．综上所述，选C.2. [2016·衡水中学预测]函数f (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ＋4(a ，b ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝2013，则f (lg 2014)＝( ) A ．2018B ．－2009C ．2013D ．－2013答案 C解析 g (x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (－x )＝a sin 2x ＋bx 23 ，g (x )＝g (－x )，g (x )为偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12014＝f (－lg 2014)，f (－lg 2014)＝g (－lg 2014)＋4＝g (lg 2014)＋4＝f (lg 2014)＝2013，故选C.3．[2016·枣强中学热身]若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数f (g (x ))是奇函数B ．函数g (f (x ))是奇函数C ．函数f (f (x ))是奇函数D ．函数g (g (x ))是奇函数答案 C解析 由题得，函数f (x )，g (x )满足f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，则有f (g (－x ))＝f (g (x ))，g (f (－x ))＝g (－f (x ))＝g (f (x ))，f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))，g (g (－x ))＝g (g (x ))，可知函数f (f (x ))是奇函数，故选C.4．[2016·衡水中学猜题]定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )不恒为0，且对于定义域内的任意实数x ，y 都有f (xy )＝f (y )x ＋f (x )y 成立，则f (x )( )A ．是奇函数，但不是偶函数B ．是偶函数，但不是奇函数C ．既是奇函数，又是偶函数D ．既不是奇函数，又不是偶函数答案 A解析 令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)1＋f (1)1，∴f (1)＝0.令x ＝y ＝－1，则f (1)＝f (－1)－1＋f (－1)－1，∴f (－1)＝0. 令y ＝－1，则f (－x )＝f (－1)x ＋f (x )－1， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )是奇函数．又∵f (x )不恒为0，∴f (x )不是偶函数．故选A.5．[2016·衡水中学一轮检测]设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )A ．{x |x <－2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2} 答案 B解析 当x <0时，－x >0，∵f (x )是偶函数，∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－8，x ≥0，－x 3－8，x <0，∴f (x －2)＝⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)3－8，x ≥2，－(x －2)3－8，x <2，由f (x －2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2(x －2)3－8>0或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.6. [2016·冀州中学模拟]已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)答案 D解析 由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )以8为周期，f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)<f (80)<f (11)．7．[2016·衡水二中周测]函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( )A ．3B ．0C ．－1D ．－2答案 B解析 把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ，令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.8．[2016·枣强中学仿真]设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. 答案 32解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. 9．[2016·枣强中学月考]若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________.答案 4解析 由f (x )＝(x ＋a )(x －4)，得f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，若f (x )为偶函数，则a －4＝0，即a ＝4.10．[2016·武邑中学热身]设f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (2)>1，f (2014)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23解析 ∵f (2014)＝f (1)＝f (－2)＝－f (2)<－1，∴2a －3a ＋1<－1，解得－1<a <23. 11．[2016·衡水二中热身]设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足：①f (x )＝f (2－x )；②当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.(1)判断函数f (x )是否为周期函数；(2)求f解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝f (2－x )，f (x )＝f (－x )⇒f (－x )＝f (2－x )⇒f (x )＝f (x ＋2)⇒f (x )是周期为2的周期函数．(2)fffff12．[2016·武邑中学期末]已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )．(1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．解 (1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ －2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧ －1<x <3，12<x <52，解得12<x <52，故函数g (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52. (2)由g (x )≤0得f (x －1)＋f (3－2x )≤0.∴f (x －1)≤－f (3－2x )．又∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)，而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧ x －1≥2x －3，12<x <52，解得12<x ≤2，∴不等式g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 能力组13.[2016·衡水二中预测]已知y ＝f (x )是偶函数，而y ＝f (x ＋1)是奇函数，且对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615的大小关系是( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <c <bD ．a <b <c答案 B 解析 因为y ＝f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，①因为y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以f (x )＝－f (2－x )，②所以f (－x )＝－f (2－x )，即f (x )＝f (x ＋4)．所以函数f (x )的周期为4.又因为对任意0≤x ≤1，都有f ′(x )≥0，所以函数在[0,1]上单调递增，又因为函数y ＝f (x ＋1)是奇函数，所以函数在[0,2]上单调递增，又a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫9819＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10117＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫10615＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1415＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1415<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2219<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3317，即c <a <b . 14．[2016·衡水二中月考]已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.答案 －1解析 设h (x )＝f (x )＋x 2为奇函数，则h (－x )＝f (－x )＋x 2，∴h (－x )＝－h (x )，∴f (－x )＋x 2＝－f (x )－x 2，∴f (－1)＋1＝－f (1)－1，∴f (－1)＝－3，∴g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.15. [2016·衡水二中猜题]定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5，若不等式f (mx 2－2mx ＋3)>3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)若f (x )在R 上为奇函数，则f (0)＝0，令x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＋k ，∴k ＝0.证明：令a ＝b ＝0，由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，得f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，即f (0)＝0.令a ＝x ，b ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，又f (0)＝0，则有0＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 成立，∴f (x )是奇函数．(2)∵f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3.∴f (mx 2－2mx ＋3)>3＝f (2)对任意x ∈R 恒成立．又f (x )是R 上的增函数，∴mx 2－2mx ＋3>2对任意x ∈R 恒成立， 即mx 2－2mx ＋1>0对任意x ∈R 恒成立，当m ＝0时，显然成立；当m ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4m <0，得0<m <1. ∴实数m 的取值范围是[0,1)．16．[2016·衡水二中一轮检测]已知函数f (x )对任意实数x ，y 恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x >0时，f (x )<0，又f (1)＝－2.(1)判断f (x )的奇偶性；(2)求证：f (x )是R 上的减函数；(3)求f (x )在区间[－3,3]上的值域；(4)若∀x ∈R ，不等式f (ax 2)－2f (x )<f (x )＋4恒成立，求a 的取值范围．解 (1)取x ＝y ＝0，则f (0＋0)＝2f (0)，∴f (0)＝0.取y ＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )为奇函数．(2)证明： 任取x 1，x 2∈(－∞，＋∞)，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<－f (－x 1)，又f (x )为奇函数，∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )是R 上的减函数．(3)由(2)知f (x )在R 上为减函数，∴对任意x ∈[－3,3]，恒有f (3)≤f (x )≤f (－3)，∵f (3)＝f (2)＋f (1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－2×3＝－6，∴f (－3)＝－f (3)＝6，f (x )在[－3,3]上的值域为[－6,6]．(4)f (x )为奇函数，整理原式得f (ax 2)＋f (－2x )<f (x )＋f (－2)， 则f (ax 2－2x )<f (x －2)，∵f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax 2－2x >x －2，当a ＝0时，－2x >x －2在R 上不是恒成立，与题意矛盾；当a >0时，ax 2－2x －x ＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a <0，即a >98；当a <0时，ax 2－3x ＋2>0在R 上不是恒成立，不合题意．综上所述，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞.。
2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案理新人教版
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝a－b.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )(4)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0， 又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )， 故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立， 故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数； ②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]， 则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )， 又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )， 故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )， 即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数． 又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈Z 也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2[∵f(x＋1)为偶函数，f(x)是奇函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，则f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.]函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)为减函数，且f(－1)＝1，若f(x－2)≥－1，则x的取值范围是( )A．(－∞，3] B．(－∞，1]C．[3，＋∞) D．[1，＋∞)A[函数f(x)是定义在R上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f(x)在R上单调递减．又f(－1)＝1，所以f(1)＝－1，因此f(x－2)≥－1⇔f(x－2)≥f(1)⇔x－2≤1⇔x≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.]►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】(1)(2019·四川模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈[4,6]时f(x)＝2x＋1，则f(x)在区间[－2,0]上的表达式为( )A．f(x)＝2x＋1 B．f(x)＝－2－x＋4－1C．f(x)＝2－x＋4＋1 D．f(x)＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.(1)B (2)6 [(1)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，∴－x＋4∈[4,6]．又∵当x∈[4,6]时，f(x)＝2x＋1，∴f(－x＋4)＝2－x＋4＋1.又∵f(x＋4)＝f(x)，∴函数f(x)的周期为T＝4，∴f(－x＋4)＝f(－x)．又∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋4＋1，∴当x∈[－2,0]时，f(x)＝－2－x＋4－1.故选B.(2)∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图象关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为单调递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.] 函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解(1)若f (x )在[－1,0]上单调递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在[0,1]上单调递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0， ∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)单调递减， ∴－1≤x －2≤1， ∴1≤x ≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．|f (x )|g (x )是奇函数 C ．f (x )|g (x )|是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )， ∴h (x )是奇函数，A 错．B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )， ∴h (x )是偶函数，B 错．C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x 的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。
浙江2020版高考数学第三章函数概念与基本初等函数Ⅰ3.3函数的奇偶性与周期性讲义(含解析)
§3.3函数的奇偶性与周期性最新考纲考情考向分析1.理解并会判断函数的奇偶性．2.了解函数的周期性、最小正周期的含义.以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度.1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)________．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)________．(3)f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )________． 提示 (1)T ＝2|a | (2)T ＝2|a | (3)T ＝|a －b |题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(－10，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ )(5)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( √ ) (6)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ ) 题组二 教材改编2．[P39A 组T6]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________.答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P45B 组T4]设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝______.答案 1解析 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.4.[P39A 组T6]设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )＜0的解集为________．答案 (－2,0)∪(2,5]解析 由题图可知，当0＜x ＜2时，f (x )＞0；当2＜x ≤5时，f (x )＜0，又f (x )是奇函数，∴当－2＜x ＜0时，f (x )＜0，当－5≤x <－2时，f (x )>0. 综上，f (x )＜0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一 判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， ∴f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x＝lg (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x答案 D解析 对于A ，f (－x )＝－x ＋sin2(－x ) ＝－(x ＋sin2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数； 对于C ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数；对于D ，y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D. (2)已知函数f (x )＝x 2x－1，g (x )＝x2，则下列结论正确的是( ) A ．h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数 B ．h (x )＝f (x )＋g (x )是奇函数 C ．h (x )＝f (x )g (x )是奇函数 D ．h (x )＝f (x )g (x )是偶函数 答案 A解析 易知h (x )＝f (x )＋g (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＋g (－x )＝－x 2－x －1＋－x 2＝－x ·2x1－2x －x 2＝x (1－2x)－x 1－2x－x 2＝x 2x －1＋x2＝f (x )＋g (x )， 所以h (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．故选A. 题型二 函数的周期性及其应用1．奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( ) A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)， 又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)， 且f (0)＝0.从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________.答案 －2－ 3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sinπx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.4．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝________. 答案 338解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴周期T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2015)＋f (2016) ＝1×20166＝336.又f (2017)＝f (1)＝1，f (2018)＝f (2)＝2，f (2019)＝f (3)＝－1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2019)＝338.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2 (1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝______. 答案 12解析 方法一 令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝2x 3－x 2(x ＞0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.方法二 f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.(2)(2018·浙江省镇海中学测试)已知f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝1＋2x －x 2，则函数f (x )的解析式是________________________． 答案 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0解析 设x ＜0，则－x ＞0， ∴f (－x )＝1－2x －x 2＝－f (x )， 即x ＜0时，f (x )＝－1＋2x ＋x 2， 又易知f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x －x 2，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋2x －1，x ＜0.命题点2 求参数问题例3 (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0.∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是( ) A ．(0，e 2) B ．(e －2，＋∞) C ．(e 2，＋∞) D ．(e －2，e 2)答案 D解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|， 两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．跟踪训练2 (1)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝12log (1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( )A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0答案 D解析 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝12log (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数单调递增且f (x )<0.故选D.(2)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.答案 －12解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝ex －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)上单调递增 B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 答案 C解析 f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误；∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴选项C 正确；∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )] ＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称， ∴选项D 错误． 故选C.(2)(2018·浙江舟山中学模拟)满足下列条件的函数f (x )中，f (x )为偶函数的是( ) A ．f (e x)＝|x | B ．f (e x )＝e 2xC ．f (ln x )＝ln x 2D ．f (ln x )＝x ＋1x答案 D解析 ∵e x＞0，∴f (x )的定义域不关于原点对称，f (x )无奇偶性，A ，B 错误；令ln x ＝t ，则x ＝e t，而f (ln x )＝ln x 2，即f (t )＝2t ，f (x )＝2x 显然不是偶函数，C 错误；而f (ln x )＝x ＋1x ，则f (t )＝e t＋1e t ，即f (x )＝e x＋1ex ，此时f (－x )＝e －x ＋1e －x ＝1e x ＋e x＝f (x )，∴f (x )＝e x＋1ex 是偶函数，D 正确，故选D.(3)(2019·绍兴模拟)设f (x )的定义域是R ，则下列命题中不正确的是( ) A ．若f (x )是奇函数，则f (f (x ))也是奇函数 B ．若f (x )是周期函数，则f (f (x ))也是周期函数 C ．若f (x )是单调递减函数，则f (f (x ))也是单调递减函数 D ．若方程f (x )＝x 有实根，则方程f (f (x ))＝x 也有实根 答案 C解析 若f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 所以f (f (－x ))＝f (－f (x ))＝－f (f (x ))， 所以f (f (x ))也是奇函数，所以A 正确； 若T 是f (x )的周期，则f (x ＋T )＝f (x )， 所以f (f (x ＋T ))＝f (f (x ))，所以f (f (x ))也是周期函数，所以B 正确； 若f (x )是单调递减函数，则不妨取f (x )＝－x ， 则f (f (x ))＝f (－x )＝x 是单调递增函数，所以C 错误； 设x 0是方程f (x )＝x 的实根，则f (x 0)＝x 0， 则f (f (x 0))＝f (x 0)＝x 0，即x 0是方程f (f (x ))＝x 的实根，所以D 正确．故选C. 二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)等于( )A ．－50B ．0C ．2D ．50 答案 C解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 故选C.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11) 答案 D解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．(3)若函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2020－a x 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 答案 [－1,2021)解析 由已知函数y ＝x ＋2020－a x在[1，＋∞)上是增函数，且y >0恒成立． ∵y ′＝1＋a x2，令y ′≥0得a ≥－x 2(x ≥1)， ∴a ≥－1.又由当x ＝1时，y ＝1＋2020－a >0，得a <2021. ∴a 的取值范围是[－1,2021)．1．下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是( ) A ．f (x )＝x B ．f (x )＝1x2C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝－cos x答案 B解析 函数f (x )＝1x2是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)等于( ) A ．－3B ．－54C.54D ．3答案 A解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．(2019·金华调研)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )； ④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④答案 D解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确，故选D.4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2021)等于( ) A ．4B ．2C ．－2D ．log 27答案 C解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.5．(2018·浙江“七彩阳光”新高考研究联盟期初联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (13log a )≥2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．(0,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 D ．[1,3]答案 C解析 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，故f (x )在(－∞，0]上单调递增．因为f (log 3a )＋f (13log a )≥2f (1)，所以f (log 3a )＋f (－log 3a )＝2f (log 3a )≥2f (1)， 即f (log 3a )≥f (1)＝f (－1)，所以－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3，故选C.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是( ) A ．f (0)<f (－6.5)<f (－1) B ．f (－6.5)<f (0)<f (－1) C ．f (－1)<f (－6.5)<f (0) D ．f (－1)<f (0)<f (－6.5) 答案 A解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)．7．如果函数f (x )＝x 2sin x ＋a 的图象过点(π，1)且f (t )＝2，那么a ＝________，f (－t )＝________. 答案 1 0解析 由已知得f (π)＝π2sinπ＋a ＝a ＝1， 所以a ＝1，所以f (x )＝x 2sin x ＋1， 而f (t )＝t 2sin t ＋1＝2，所以t 2sin t ＝1，所以f (－t )＝(－t )2sin(－t )＋1＝－t 2sin t ＋1＝－1＋1＝0.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g (2x )，x ＜0为奇函数，则a ＝____，f (g (－2))＝________.答案 0 －25解析 由题意，得a ＝f (0)＝0.设x ＜0，则－x ＞0，f (－x )＝x 2－2x ＋1＝－f (x )， ∴g (2x )＝－x 2＋2x －1，∴g (－2)＝－4， ∴f (g (－2))＝f (－4)＝－16－8－1＝－25.9．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－124＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 10．(2018·宁波十校联考)定义：函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值与最小值之差为函数f (x )的极差．若定义在区间[－2b,3b －1]上的函数f (x )＝x 3－ax 2－(b ＋2)x 是奇函数，则a＋b ＝________，函数f (x )的极差为________． 答案 1 4解析 由f (x )在[－2b,3b －1]上为奇函数，所以区间关于原点对称，故－2b ＋3b －1＝0，b ＝1，又由f (－x )＋f (x )＝0可求得a ＝0，所以a ＋b ＝1.又f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3，易知f (x )在(－2，－1)，(1,2)上单调递增，f (x )在(－1,1)上单调递减，所以在[－2,2]上的最大值、最小值分别为f (－1)＝f (2)＝2，f (1)＝f (－2)＝－2，所以极差为4.11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．12．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x . (1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式． 解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )． 又f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (－x )＝f (x )． 又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]， 则f (x )＝f (－x )＝x ；从而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈(0，1)，－x ＋2，x ∈[1，2].13．(2018·浙江杭州四中期中)设函数f (x )，g (x )的定义域为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，设h (x )＝|f (x －1)|＋g (x －1)，则下列结论中正确的是( ) A ．h (x )关于(1,0)对称 B ．h (x )关于(－1,0)对称 C ．h (x )关于x ＝1对称D ．h (x )关于x ＝－1对称解析 因为函数f (x )是奇函数，所以|f (x )|是偶函数，即|f (x )|与g (x )均为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以|f (x －1)|与g (x －1)的图象都关于直线x ＝1对称，即h (x )＝|f (x －1)|＋g (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，故选C.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos (x ＋α)，x ≥0，sin (x ＋β)，x ＜0是偶函数，则α，β的可能取值是( )A ．α＝π，β＝π2B ．α＝β＝π3C ．α＝π3，β＝π6D ．α＝π4，β＝3π4.答案 C解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos (x ＋α)，x ≥0，sin (x ＋β)，x ＜0是偶函数，所以当x ＜0时，cos(－x ＋α)＝sin(x ＋β)，利用两角和差公式展开并整理，得sin x (sin α－cos β)＋cos x (cos α－sin β)＝0对x ＜0恒成立，因而⎩⎪⎨⎪⎧sin α－cos β＝0，cos α－sin β＝0，将两式两边平方后相加可得，2－2(sin αcos β＋cos αsin β)＝0，因而sin(α＋β)＝1，故α＋β＝2k π＋π2，k ∈Z ，故选C.15．(2018·宁波九校联考)已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题： ①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在[a ，＋∞)上是增函数； ④若a ＞0，在[－a ，a ]上f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的命题序号是________． 答案 ③解析 对于①，当且仅当a ＝0时，函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |为偶函数，①错误；对于②，当a ＝0，b ＝－2时，满足f (0)＝2＝f (2)，此时函数图象不关于直线x ＝1对称，②错误；对于③，当a 2－b ≤0时，b －a 2≥0，所以f (x )＝x 2－2ax ＋b ，则f (x )在[a ，＋∞)上是增函数，③正确；对于④，当a ＝1，b ＝4时，满足a ＞0，此时f (x )＝|x 2－2x ＋4|在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝|(－1)2－2×(－1)＋4|＝7≠|12－4|，④错误．综上所述，正确命题的16．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝x 2，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)均有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞x 1＋x 22(x 1≠x 2)．若f (4m －2)－f (2m )－6m 2＋8m －2＞0，求实数m 的取值范围．解 设g (x )＝f (x )－x 22，因为g (x )＋g (－x )＝f (x )－x 22＋f (－x )－(－x )22＝0，故g (x )为奇函数． 又g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2＝f (x 1)－f (x 2)＋x 22－x 212x 1－x 2＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2－x 1＋x 22＞0，故g (x )在R 上单调递增，g (4m －2)－g (2m )＝f (4m －2)－f (2m )－12[(4m －2)2－(2m )2]＝f (4m －2)－f (2m )－6m 2＋8m －2＞0，所以g (4m －2)＞g (2m )，所以4m －2＞2m ，解得m ＞1.。
2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案理北师大版
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图像理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数的概念图像关于原点对称的函数叫作奇函数；图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．2．判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性，一般按照定义严格进行，一般步骤是(1)考察定义域是否关于原点对称；(2)考察表达式f(x)是否与f(x)或－f(x)相等．①若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；③若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数；④若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．3．函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性的三个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．周期性的几个常用结论对f(x)的定义域内任一自变量的值x，周期为T，则(1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ；(3)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )，则T ＝a －b .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－xB [A 为奇函数，C ，D 为非奇非偶函数，B 为偶函数，故选B.]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13 C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]4．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则当x ＜0时，f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x (1＋x ) B ．f (x )＝x (1－x ) C ．f (x )＝－x (1＋x ) D ．f (x )＝x (x －1) B [当x ＜0时，－x ＞0， 又x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )， 故f (－x )＝－x (1－x )．又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x (1－x )，即f (x )＝x (1－x )，故选B.]5．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________． 0 [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.]函数的奇偶性及其应用【例1】 (1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. (2)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝3－x 2＋x 2－3； ②f (x )＝－x2|x －2|－2；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0.(1)－32 [由f (－x )＝f (x )得ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，整理得ln e 3x＋1e －3x ＋1＋2ax ＝0.∵e 3x＋1e －3x ＋1＝e 3x－3x＋e－3x＋1＝e 3x，∴ln e 3x ＋2ax ＝0，∴2ax ＝－3x ，即(2a ＋3)x ＝0对任意x 恒成立， 故2a ＋3＝0，所以a ＝－32.](2)[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．②由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2＜0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x 2－x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．③显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．(1)＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④(2)(2019·湖北重点中学联考)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x －1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．3D ．－3(3)若函数f (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ＋2在[－3,3]上的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.(1)D (2)D (3)4 [(1)由奇函数的定义，f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，故为偶函数；②f [－(－x )]＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 综上可知②④正确，故选D.(2)令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.(3)令g (x )＝x 5＋ax 3＋b sin x ，x ∈[－3,3]， 则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2， ∴M ＝f (x )max ＝g (x )max ＋2，m ＝f (x )min ＝g (x )min ＋2，∴M ＋m ＝4.]函数周期性、对称性的应用【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．(1)C (2)22[(1)由f (1＋x )＝f (1－x )可知f (x )＝f (2－x )， 又f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (2＋x )， 故f (2＋x )＝－f (x )，∴f (4＋x )＝f (x )， 即函数y ＝f (x )是周期为4的周期函数． 又由题意可知f (0)＝0，f (1)＝2，所以f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (0)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0－2＋0＝0. 又50＝12×4＋2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝4[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝4×0＋2＋0＝2.故选C.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，可知函数f (x )的最小正周期是4.因为在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.] 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能数的周期，则kTk ∈也是函数的周期(2019·泉州检测)奇函数则f (4)＋f (5)＝________.2 [∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数， ∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0，∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2， ∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2.] 函数性质的综合应用►考法1 单调性与奇偶性结合【例3】 函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )为减函数，且f (－1)＝1，若f (x －2)≥－1，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，1]C ．[3，＋∞)D ．[1，＋∞)A [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且是[0，＋∞)上的减函数，故函数f (x )在R 上递减．又f (－1)＝1，所以f (1)＝－1，因此f (x －2)≥－1⇔f (x －2)≥f (1)⇔x －2≤1⇔x ≤3，所以x的取值范围是(－∞，3]，故选A.] ►考法2 周期性与奇偶性结合【例4】 (1)(2019·四川模拟)设奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈[4,6]时f (x )＝2x＋1，则f (x )在区间[－2,0]上的表达式为( )A ．f (x )＝2x＋1 B ．f (x )＝－2－x ＋4－1C ．f (x )＝2－x ＋4＋1 D ．f (x )＝2－x＋1(2)(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________. (1)B (2)6 [(1)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]， ∴－x ＋4∈[4,6]．又∵当x ∈[4,6]时，f (x )＝2x＋1， ∴f (－x ＋4)＝2－x ＋4＋1.又∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期为T ＝4， ∴f (－x ＋4)＝f (－x )． 又∵函数f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝2－x ＋4＋1，∴当x ∈[－2,0]时，f (x )＝－2－x ＋4－1.故选B.(2)∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.] ►考法3 奇偶性、周期性、单调性的综合【例5】 (2019·惠州调研)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的x 1，x 2∈[4,8]，当x 1＜x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0恒成立；②f (x ＋4)＝－f (x )； ③y ＝f (x ＋4)是偶函数．若a ＝f (7)，b ＝f (11)，c ＝f (2 018)，则a ，b ，c 的大小关系正确的是( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．a ＜c ＜bD ．c ＜b ＜aB [由①知函数f (x )在区间[4,8]上为递增函数；由②知f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期为8，所以c ＝f (2 018)＝f (252×8＋2)＝f (2)，b ＝f (11)＝f (3)；由③可知函数f (x )的图像关于直线x ＝4对称，所以b ＝f (3)＝f (5)，c ＝f (2)＝f (6)．因为函数f (x )在区间[4,8]上为递增函数，所以f (5)＜f (6)＜f (7)，即b ＜c ＜a ，故选B.]函数单调性与奇偶性结合称性.周期性与奇偶性结合所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解周期性、奇偶性与单调性结合然后利用奇偶性和单调性求解若f (x )在[－1,0]上递减，则函数f (x )在[3,5]上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减的函数 D ．先减后增的函数(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (x )＞0的解集为________．(1)D (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞13或x ＜－13 [(1)已知f (x ＋1)＝－f (x )，则函数周期T ＝2，因为函数f (x )是R 上的偶函数，在[－1,0]上递减，所以函数f (x )在[0,1]上递增，即函数f (x )在[3,5]上是先减后增的函数．故选D.(2)由已知f (x )在R 上为偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，∴f (x )＞0等价于f (|x |)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|x |＞13，即x ＞13或x ＜－13.]1．(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]2．(2014·全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数C[A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错误．B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错误．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错误．]3.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.12[法一：令x＞0，则－x＜0.∴f(－x)＝－2x3＋x2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．(－1,3)[∵f(x)是偶函数，∴图像关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)递减，则f(x)的大致图像如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.]。
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：2.3《函数的奇偶性与周期性》(含解析)
2.3函数的奇偶性与周期性考情分析1．判断函数的奇偶性．2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用．基础知识1．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．2．奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．3．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注意事项1.。
奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．2.。
(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3.。
判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．4.。
(1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．[:(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数．(3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝1或f(x＋a)＝－1，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a；(3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|.典型例题题型一 判断函数的奇偶性【例1】下列函数：①f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－1；②f(x)＝x 3－x ；③f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)；④f(x)＝3x －3－x 2；⑤f(x)＝lg 1－x 1＋x .其中奇函数的个数是( )．A ．2B ．3C ．4D ．5解析 ①f(x)＝1－x 2＋x 2－1的定义域为{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0，则f(x)＝1－x 2＋x 2－1是奇函数，也是偶函数；②f(x)＝x 3－x 的定义域为R ，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x 3－x)＝－f(x)，则f(x)＝x 3－x 是奇函数；③由x ＋x 2＋1>x ＋|x|≥0知f(x)＝ln(x ＋x 2＋1)的定义域为R ，又f(－x)＝ln(－x ＋－2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝ －ln(x ＋x 2＋1)＝－f(x)，则f(x)为奇函数； ④f(x)＝3x －3－x2的定义域为R ， 又f(－x)＝3－x －3x 2＝－3x －3－x 2＝－f(x)， 则f(x)为奇函数；⑤由1－x 1＋x >0得－1<x<1，f(x)＝ln 1－x 1＋x 的定义域为(－1,1)， 又f(－x)＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f(x)， 则f(x)为奇函数．答案 D【变式1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝4－x 2|x ＋3|－3； (2)f(x)＝x 2－|x －a|＋2.解 (1)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x<0，或0<x≤2，因此函数f(x)的定义域是[－2,0)∪(0,2]， 则f(x)＝4－x 2x.[: f(－x)＝4－－2－x ＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(2)f(x)的定义域是(－∞，＋∞)．当a ＝0时，f(x)＝x 2－|x|＋2，f(－x)＝x 2－|－x|＋2＝x 2－|x|＋2＝f(x)．因此f(x)是偶函数；当a≠0时，f(a)＝a 2＋2，f(－a)＝a 2－|2a|＋2，f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)．因此f(x)既不是偶函数也不是奇函数．题型二 函数奇偶性的应用【例2】已知f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12(x≠0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0.(1)解 法一 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)∵f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＝x 2·2x ＋12x －1. ∴f(－x)＝－x 2·2－x ＋12－x －1＝x 2·2x ＋12x －1＝f(x)． 故f(x)是偶函数．法二 f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，∵f(1)＝32，f(－1)＝32，∴f(x)不是奇函数． ∵f(x)－f(－x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12 ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋2x 1－2x ＋1＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2x －1＋1＝x(－1＋1)＝0， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)证明 当x ＞0时，2x ＞1,2x －1＞0， 所以f(x)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋12＞0. 当x ＜0时，－x ＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0.综上，均有f(x)＞0.【变式2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m 2)＜0的实数m 的取值范围．解 ∵f(x)的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎪⎨⎪⎧ －2≤1－m≤2，－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m≤ 3.①又f(x)为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)⇒1－m＞m2－1，即－2＜m＜1.②综合①②可知，－1≤m＜1.题型三函数的奇偶性与周期性【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x －1，(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)的值．(1)证明函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数．(2)解当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．[:(3)解∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1又f(x)是以4为周期的周期函数．[:∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2018)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1.【变式3】已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 013)＋f(2 015)的值为( )．A．－1 B．1 C．0 D．无法计算解析由题意，得g(－x)＝f(－x－1)，又∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)，又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2 013)＋f(2 015)＝0.答案 C重难点突破【例4】设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.(1)求f(π)的值；(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(－∞，＋∞)内函数f(x)的单调增(或减)区间．[解析 (1)由f(x＋2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f(x)是奇函数与f(x ＋2)＝－f(x)，得：f[(x －1)＋2]＝－f(x －1)＝f[－(x －1)]，即f(1＋x)＝f(1－x)．故知函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称．又0≤x≤1时，f(x)＝x ，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示．当－4≤x≤4时，f(x)的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4 (3)函数f(x)的单调递增区间为[4k －1,4k ＋1](k ∈Z)，单调递减区间[4k ＋1,4k ＋3](k ∈Z)．巩固提高1．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( )． A.－12 B.－14 C.14 D.12解析 因为f(x)是周期为2的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12.故选A. 答案 A2． f(x)＝1x－x 的图象关于( )． A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝1－x －(－x)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．答案 C[:数理化]3．设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )．A ．f (x)＋|g(x)|是偶函数B ．f(x)－|g(x)|是奇函数C ．|f(x) |＋g(x)是偶函数D ．|f(x)|－g(x)是奇函数解析 由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数，A 项：偶＋偶＝偶；B 项：偶－偶＝偶，B 错；C 项与D 项：分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故选A.答案 A4．对于函数f(x)＝asin x ＋bx ＋c(其中，a ，b ∈R ，c ∈Z)，选取a ，b ，c 的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是( )．A ．4和6B ．3和1C ．2和4D ．1和2解析 ∵f(1)＝asin 1＋b ＋c ，f(－1)＝－asin 1－b ＋c 且c ∈Z ，∴f(1)＋f(－1)＝2c 是偶数，只有D 项中两数和为奇数，故不可能是D.答案 D5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.解析法一∵f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于x∈R恒成立，两边平方整理得ax＝0对于x∈R恒成立，故a＝0.法二由f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0.答案0。
2020版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性教学案含解析理
第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x )，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a＞0)．(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a＞0)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点． ( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，则f (x )是周期为2a 的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12B [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin xD [A 项，定义域为R ，f (－x )＝－x －sin 2x ＝－f (x )，为奇函数，故不符合题意；B 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；C 项，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x＋12x ＝f (x )，为偶函数，故不符合题意；D 项，定义域为R ，f (－x )＝x 2－sin x ，－f (x )＝－x 2－sin x ，因为f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，故为非奇非偶函数．]4．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2B [∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (8)＝f (0)＝0.]5．(教材改编)已知函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a ，b ](a ＜b ＜0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b ，－a ]上有( )A ．最大值4B ．最小值－4C ．最大值－3D ．最小值－3B [法一：根据题意作出y ＝f (x )的简图，由图知，选B.法二：当x ∈[－b ，－a ]时，－x ∈[a ，b ]， 由题意得f (b )≤f (－x )≤f (a )， 即－3≤－f (x )≤4， ∴－4≤f (x )≤3，即在区间[－b ，－a ]上f (x )min ＝－4，f (x )m ax ＝3，故选B.](对应学生用书第14页)【例1】 (1)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数C [对于A ：令h (x )＝f (x )·g (x )，则h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，A 错．对于B ：令h (x )＝|f (x )|g (x )，则h (－x )＝|f (－x )|g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )＝h (x )，∴h (x )是偶函数，B 错．对于C ：令h (x )＝f (x )|g (x )|，则h (－x )＝f (－x )|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－h (x )，∴h (x )是奇函数，C 正确．对于D ：令h (x )＝|f (x )·g (x )|，则h (－x )＝|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )·g (x )|＝|f (x )·g (x )|＝h (x )，∴h (x )是偶函数，D 错．] (2)判断下列函数的奇偶性． ①f (x )＝lgx －1x ＋1；②f (x )＝ln(x 2＋1＋x )； ③f (x )＝1－x 2＋x 2－1；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＞0x 2－x ，x ＜0.[解] ①由x －1x ＋1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．又f (－x )＝lg －x －1－x ＋1＝lg x ＋1x －1＝－lg x －1x ＋1＝－f (x )∴f (x )为奇函数． ②f (x )的定义域为R ，f (－x )＝(ln x 2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln(x 2＋1＋x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．③由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， ∴f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．④易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇× (1)论错误的是( )A ．|g (x )|是偶函数B ．f (x )g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是偶函数D ．f (x )＋g (x )是奇函数D [f (－x )＝e －x＋e x＝f (x )，f (x )为偶函数．g (－x )＝e －x －e x ＝－g (x )，g (x )为奇函数．|g (－x )|＝|－g (x )|＝|g (x )|，|g (x )|为偶函数，A 正确；f (－x )g (－x )＝f (x )[－g (x )]＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )为奇函数，B 正确；f (－x )|g (－x )|＝f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是偶函数，C 正确；f (x )＋g (x )＝2e x ，f (－x )＋g (－x )＝2e －x ≠－(f (x )＋g (x ))，且f (－x )＋g (－x )＝2e －x≠f (x )＋g (x )，所以f (x )＋g (x )既不是奇函数也不是偶函数，D 错误，故选D.] (2)判断下列函数的奇偶性 ①f (x )＝ln(e ＋x )＋ln(e －x )； ②f (x )＝2x＋12x －1；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ＜0－x 2＋1，x ＞0.[解] ①由⎩⎪⎨⎪⎧e ＋x ＞0，e －x ＞0，得－e ＜x ＜e ，即函数f (x )的定义域为(－e ，e)，关于原点对称．又f (－x )＝ln(e －x )＋ln(e ＋x )＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数．②由2x－1≠0得x ≠0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 又f (－x )＝2－x＋12－x －1＝1＋2x 1－2x ＝－2x＋12x－1＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．③函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1＝－f (x )， 当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－(－x )2＋1＝－x 2＋1＝－f (x )， 综上所述，f (－x )＝－f (x )．因此函数f (x )是奇函数．【例2】 1，f (a )＝4，则f (－a )＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________. (3)函数f (x )＝x ＋x ＋ax3为奇函数，则a ＝________.(1)－2 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0－x 2－4x ，x ≤0(3)－1 [(1)由f (a )＝ln(1＋a 2－a )＋1＝4，得ln(1＋a 2－a )＝3，所以f (－a )＝ln(1＋a 2＋a )＋1＝－ln11＋a 2＋a＋1＝－ln(1＋a 2－a )＋1＝－3＋1＝－2.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， 即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，－x 2－4x ，x ≤0.(3)由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．]求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出求解析式中的参数：xf －x ＝数的恒等式，由多项式恒等列出关于参数的方程或方程组，进而得出参数的值，也可利用特－＝±直接求参数的值画函数图象：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象(1)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－8))＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2(2)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1D ．－2(3)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________.(4)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________.(1)A (2)B (3)⎩⎪⎨⎪⎧e－x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0 (4)52[(1)因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1.(2)设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.(3)当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝ex －1＋x .所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0e x －1＋x ，x ＞0.(4)由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1. 所以当x ≤0时，f (x )＝2x＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52.]【例3】 0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52的值为( ) A.12 B.14 C ．－14D ．－12(2)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f x，则f (2 018)＝( )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3(3)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．(1)A (2)A (3)1 348 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12，故选A. (2)由f (x ＋2)＝1－fx得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2 018)＝f (2)． 又f (4)＝f (2＋2)＝1－f＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A.(3)∵f (x ＋2)＝－1f x， ∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f＝－1，f (4)＝－1f＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3 ＝1 348.] 判断函数周期性的方法f x ＝f xT便可证明函数是周期函数，且周期为f x 定义域内任一自变量的值x ，函数周期性的应用,根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性可将未知区间上的函数值、解析式、图象转化到已知区间上，在解决具体问题时，要注意结论：若kT k ∈也是函数的周期已知定义在上的函数且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，－1＜x ≤0，－1，0＜x ≤1，则下列函数值为1的是( )A ．f (2.5)B ．f (f (2.5))C ．f (f (1.5))D ．f (2)(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.(1)D (2)1 010 [(1)由f (x ＋1)＝－f (x )知f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，于是f (x )是以2为周期的周期函数，从而f (2.5)＝f (0.5)＝－1，f (f (2.5))＝f (－1)＝f (1)＝－1，f (f (1.5))＝f (f (－0.5))＝f (1)＝－1，f (2)＝f (0)＝1，故选D.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 018)＋f (2 019)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010.]►考法1 奇偶性与单调性结合【例4】(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]D [∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故选D.]►考法2 奇偶性与周期性结合【例5】(2017·山东高考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.6[∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.]►考法3 奇偶性、周期性与单调性结合【例6】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D[因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．故选D.](1)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x )f (x ＋2)＝－1，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.(3)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0,1]上单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(1)A (2)2.5 (3)a ＞b ＞c [(1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称， 又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，所以|2x －1|＜13，所以13＜x ＜23.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x )，故函数f (x )的周期为4.所以f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)， 因为2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. 所以f (105.5)＝2.5(3)由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则f (3)＝f (1)，f (2)＝f (0)，f (2)＝f (2－2)＝f (2－2)，由于0＜2－2＜1，且函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (3)＞f (2)＞f (2)，即a ＞b ＞c .]1．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.12 [法一：令x ＞0，则－x ＜0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．∴f(2)＝2×23－22＝12.法二：f(2)＝－f(－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]2．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________.1[∵f(x)为偶函数，∴f(－x)－f(x)＝0恒成立，∴－x ln(－x＋a＋x2)－x ln(x＋a＋x2)＝0恒成立，∴x ln a＝0恒成立，∴ln a＝0，即a＝1.]自我感悟：______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
高考数学复习第二章函数导数及其应用第3讲函数的奇偶性与周期性市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT
[解] (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－f(1)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7) ＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝ f(0)＋f(1)＋f(2)＝1.
第二章 函数、导数及其应用
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•第3讲 函数奇偶性与周期性
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常见题型
1.结合具体函数，了解函数奇偶 性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究 函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期 的含义，会判断、应用简单函数 的周期性.
多以选择、填空题形式出 现，且奇偶性多与单调性 相结合，周期性多与抽象 函数相结合，或结合奇偶 性求函数值为主，占4～5 分，中档题为主.
[答案] D
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考向二 周期性与奇偶性结合
2．(2016·山东理)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时，f(x)＝x3－
1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞
1 2
时，f
x＋12
＝f
x－12
.则
f(6)＝( )
A．－2
B．－1
C．0
D．2
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[解析] 当x＞12时，fx＋12＝fx－12， 所以当x＞12时，函数f(x)是周期为1的周期函数， 所以f(6)＝f(1)，又因为函数f(x)是奇函数， 所以f(1)＝－f(－1)＝－－13－1＝2， 故选D. [答案] D
(浙江专用)高考数学第三章函数、导数其应用第三节函数的奇偶性周期性教案(含解析)
第三节函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特色假如关于函数( )的定义域内任意一个，都有(－)＝偶函数关于y轴对称f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数假如关于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝奇函数关于原点对称－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数2．函数的周期性(1)周期函数关于函数f (x)，假如存在一个非零常数，使适合x取定义域内的任何值时，都有f(xT＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期假如在周期函数的最小正周期．[小题体验]f(x)的全部周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)1．(2018·杭州模拟)已知函数f(x)是奇函数，且当x＜021时，f(x)＝2x－x，则f(1)的值是( )A．－3B．－1C．1D．3分析：选A由于函数f(x)为奇函数，因此f(1) ＝－f(－1)＝－－2－ 1－＝－3，应选A.2．(2018·台州月考)偶函数y＝f(x)在区间[0,4] 上单调递减，则有( )πA．f(－1)＞f3＞f(－π)πB．f3＞f(－1)＞f(－π)πC．f(－π)＞f(－1)＞f3D ．f (－1)＞f (－π)＞fπ3ππ分析：选A 由题意得，0＜1＜3＜π＜4?f (－1)＝f (1)＞f3＞f (π)＝f (－π)，应选A.3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0)) ＝________________.分析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴ f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0， f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴ f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0－11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域能否关于原点对称．定义域关于原点对 称是函数拥有奇偶性的一个必需条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，一定对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－ x )＝f (x )，而不可以说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判准时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在 整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么 a ＋b 的值是( )1 1 1 1 A ．－3 B.3C.2D ．－2分析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝113.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝3.x 2＋2x ＋1，x ＞0，2．(2018·宁波模拟)若函数f (x )＝a ，x ＝0，为奇函数，则a ＝gx ，x ＜0 ________，f (g (－2))＝________.分析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )， 因此g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 因此f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0－25考点一函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断以下函数的奇偶性：1－x(1)f(x)＝(x＋1)1＋x；－x2＋2x＋1，x＞0，(2)f(x)＝x2＋2x－1，x＜0；4－x2(3)f(x)＝x2；(4)f(x)＝log a(x＋x2＋1)(a＞0且a≠1)．1－x解：(1)由于f(x)有意义，则满足1＋x≥0，因此－1＜x≤1，因此f(x)的定义域不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数．(2)法一：(定义法)当x＞0时，f(x)＝－x2＋2x＋1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＋1＝－x2－2x＋1＝－f(x)．因此f(x)为奇函数．法二：(图象法)作出函数f (x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特色知函数f( )为奇函数．x4－x2≥0，因此－2≤x≤2且x≠0，(3)由于x2≠0，因此定义域关于原点对称．又f(－x)＝4－－x 2 4－x22 ＝2，－x x因此f(－x)＝f(x)．故函数f(x)为偶函数．(4)函数的定义域为R，由于f(－x)＋f(x)＝log a [－x＋－x 2＋1] ＋log a(x＋x2＋1)a ( 2 a 2＋1＋x)＝log x＋1 －x)＋log( x＝log a [( x2＋1－x)( x2＋1＋x)]＝log a(x2＋1－x2)＝log a1＝0，即f(－x)＝－f(x)，因此f(x)为奇函数．[牢记通法]判断函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提示](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x 都满足同样的关系时，才能判断其奇偶性．考点二函数的周期性要点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知函数f(x)＝－x，0≤x≤1，若对任意的n∈N*，定义f n(x)＝f{f[fx－1，1＜x≤2，n个f(x)]}，则f2019(2)的值为( )A．0 B．1 C．2 D．3(2)设定义在R 上的函数 f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1) ＋f (2)＋＋f(2019) ＝________.分析：(1) ∵f (2)＝f (2)＝1，f2(2)＝f (1)＝0，f (2)＝f (0)＝2，13∴f n (2)的值拥有周期性，且周期为 3，∴f 2019(2) ＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，应选C.(2)∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2，∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0) ＝0，f (1)＝1， ∴f (0) ＝f (2)＝f (4)＝＝f(2018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝＝f (2 019)＝1. 故f (0)＋f (1)＋f (2)＋＋f (2019)＝1010.答案：(1)C(2)1010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1) 定义法． (2) 图象法．2．周期性3个常用结论(1) 若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a . (2)若f ( x＋)＝1 ，则＝2.af xTa(3)若f (x ＋a )＝－f1，则 T ＝2a (a ＞0)．x[ 即时应用]1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )1x ＋ 1 ＝f x － 1，则f (6) 等于()＝－f (x )；当x ＞时，f2 22A ．－2B ．－1C ．0D ．21＋11分析：选D 当x ＞2时，fx 2＝f x －1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2，即周期为－[(－1)3－1]＝2.2．已知定义在R 上的函数满足f ( x ＋2)＝－1，∈(0,2]时，( x )＝2 x －1.则f (1)fxxf＋f (2)＋f (3) ＋＋f (2018) 的值为________．分析：∵f (x ＋2)＝－f1，x ∴f (x ＋4)＝－f 1＝f (x )， x ＋ ∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)11， ＝－f＝－f (4) 1 1＝－f＝－ 3.∴ f (1)＋f (2)＋f (3)＋＋f (2018) ＝ 504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)1＝ 5041＋3－1－3＋1＋3 ＝ 1348. 答案：134813．(2018·温州模拟)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2＋fx －f 2x ，则f (0)＋f (2017)的最大值为________．分析：由于f (x ＋1)1f x －f 2x ，＝2＋1212 1因此f x ＋－2＋fx －2 ＝4.令 ( x )＝f 2( x)－( x )，则(x ＋1)＋( )＝－ 1 ，(＋2)＋( ＋1)＝－1 ，因此 ( xgfggx4 gxgx 4g＋2) ＝g (x )，因此g (x )是以2为周期的函数，g (2017)＝g (1) ，因此f (2017)＝f(1)，f (0)122＋f (2017)＝f (0) ＋f (1) ＝f (0) ＋2＋f－f.令t ＝f－f≥0，则1±1－4t 2112f (0)＝2，t ∈ 0，＋f (1)＝1＋t ±21－4t ，令2t ＝sin θ≥0，2，因此f (0)则 f (0) ＋(1) 112 π 2＝1＋sinθ±cos θ＝1＋sinθ±4 ≤1＋.f22222 故所求最大值为1＋2.答案：1＋22考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，此中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常有的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0 时，f(x)＝2 x，则当x＞0时，f(x)＝( )A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x分析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0 时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0 时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.应选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2019·嘉兴质检)已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递加，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}分析：选A 由于函数f(x)为奇函数，因此f(－1)＝－f(1) ＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递加，因此可作出函数f(x)的表示图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转变成－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·宁波月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)分析：选D∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又∵函数f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)＞1，∴a＞1，即a∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0,2)上单调递减，则以下结论正确的选项是( )A．0＜f(1) ＜f(3) B．f(3) ＜0＜f(1)C．f(1)＜0＜f(3) D．f(3) ＜f(1) ＜0分析：选C 由函数f(x)是定义在R上的奇函数，得f(0)＝0.由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因此f(3)＝f(－1)．又f(x)在[0,2)上单调递减，因此函数f(x)在(－2,2)上单调递减，因此f(－1)＞f(0)＞f(1)，即f(1)＜0＜f(3)．应选C.[通法在握]函数性质综合应用问题的常有种类及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多观察求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转变到已知分析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题平时先利用周期性转变自变量所在的区间，而后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·杭二一模)以下函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )A．y＝x＋1 B．y＝－x21C．y＝x D．y＝x|x|分析：选D 关于A，y＝x＋1为非奇非偶函数，不满足条件．关于B，y＝－x2是偶函1数，不满足条件．关于C，y＝x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．关于D，设f(x)＝x|x|，则f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，则函数为奇函数，当x＞0时，y＝x|x|＝x2，此时为增函数，当x≤0时，y＝x|x|＝－x2，此时为增函数，综上，y＝x|x|在R上为增函数．应选D.2．(2018·台州测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意的x∈[a－1，a＋1]，关于x的不等式f(x2＋a)＞a2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(0,2] B ．(0,4]C．(0，＋∞)D．[2，＋∞)分析：选C 当x≥0时，f(x)＝x2，∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f(x)＝－x2，x2，x≥0，∴f(x)＝－x2，x＜0，∴f(x)在R上是单调递加函数，且满足a2f(x)＝f(ax)，∵不等式f(x2＋a)＞a2f(x)＝f(ax)在x∈[a－1，a＋1]恒成立，∴x2＋a＞ax在x∈[a－1，a＋1]恒成立，令( )＝x 2ax ＋，函数的对称轴为xa －＝，gx a 2a 2当2＜a－1，即a＞2 时，不等式恒成立，可得g(a－1)＝(a－1)－a( a－1)＋a＝1＞0 恒成立；a a a2 a当a－1≤2≤a＋1，即－2≤a≤2时，不等式恒成立，可得g2 ＝2－a2＋a＞0恒成立，解得a∈(0,2] ；a 2当2＞a＋1，即a＜－2时，不等式恒成立，可得g(a＋1)＝(a＋1) －a(a＋1)＋a＝2a ＋1＞0，无解；综上，a＞0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)以下函数为奇函数的是( )A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos xx －x D．y＝e －e分析：选D关于A，定义域不关于原点对称，故不吻合要求；关于B，y＝e x为非奇非偶函数，故不吻合要求；关于C，满足f(－x)＝f(x)，故不吻合要求；－x x x －x关于D，∵f(－x)＝e －e＝－(e－e )＝－f(x)，∴y＝e x－e－x为奇函数，应选D.2．设函数f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f(－2)＝( )1 1A．－2 B．2C．2 D．－2由已知得f(－2)＝f( 1分析：选B 2)＝log2 2＝2.13．函数f(x)＝x＋x＋1，f(a)＝3，则f(－a)的值为( ) A．－3 B．－1C．1 D．2分析：选B 由题意得f ( )＋(－)＝＋1＋1＋(－)＋1＋1＝2.a f a a a a －a∴f(－a)＝2－f(a)＝－1，应选B.4．(2019·绍兴六校联考)若函数f ( )＝ln(e x＋1)＋ax为偶函数，则实数＝________. x a分析：法一：(定义法)∵函数f(x)＝ln(e x＋1)＋ax为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即ln(e－x ＋1)－ax＝ln(e x ＋1)＋ax，∴2ax＝ln(e －x ＋1)－ln(e x e－x＋1 1x x1＝－1，解得a＝－2.法二：(取特别值)由题意知函数f(x)的定义域为R，由f(x)为偶函数得f(－1)＝f(1)，－1＋1)－a＝ln(e 1＋a，∴2a＝ln(e－1 1e－1＋1 1∴ln(e ＋1) ＋1) －ln(e ＋1) ＝ln e＋1 ＝ln e＝－1，∴1a＝－2.1答案：－23 5．设函数f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f2 ＝________.分析：依题意得，f (2＋) ＝(x)，(－)＝(x)，x f f x f3 1 1 1 3 则f 2＝f －2＝f 2＝2＋1＝2.3答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江名校协作体联考 )已知 f (x )是定义在R 上的奇函数，当 x ≥0时，f (x )＝3x ＋(为常数)，则 f (－log 35)的值为()mmA ．4B ．－4C ．6D ．－6分析：选B由 f ( x )是定义在 R 上的奇函数得 f(0)＝1＋＝0?＝－1， (－log 35)＝m m f－ f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.2．奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝()A ．－2C ．0B D．－1 ．1分析：选D由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )．又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 因此f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )．因此f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0.因此f (8) ＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.3．(2018·宁波适应性考试)若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数， 它们都是周期函数，则以下必定正确的选项是 ( )A ．函数y ＝(( ))是偶函数，函数y ＝ ( x )＋( x )是周期函数ggxf gB ．函数y ＝g (g (x ))是奇函数，函数y ＝f (x )g (x )不必定是周期函数 C ．函数y ＝f (g (x ))是奇函数，函数 y ＝f (g (x )) 是周期函数D ．函数 y ＝(( ))是偶函数，函数y ＝ ( x ) ( x )是周期函数f gx f g分析：选D ∵y ＝f (x )是R 上的偶函数，y ＝g (x )是R 上的奇函数，故有f (－x )＝f (x )，且g (－x )＝－g (x )．则g (g (－x ))＝g (－g (x ))＝－g (g (x ))， f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))；故g (g (x )) 为奇函数， f (g (x ))为偶函数，故消除 A 、C ；∵f (x )和g (x )都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t ，即 f (x ＋t )＝f (x )，g (x ＋t )＝g (x )，令n (x )＝f (x )g (x )，则n (x ＋t )＝f (x ＋t )g (x ＋t )＝f (x )g (x )＝n (x )， ∴n (x )＝f (x )g (x )必定为周期函数，应选D.4．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x2－fx1＜0，则( )x2－x1A．f(3)＜f(－2)＜f(1) B ．f (1) ＜f(－2)＜f(3)C．f(－2)＜f(1)＜f(3) D．f (3) ＜f(1) ＜f(－2)分析：选A ∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2) ．又∵任意的x，x ∈[0，＋∞)( x≠x )，1 2 1 2f x2－f x1(1)＞f(2)＝f(－有x2－x1＜0，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f2)＞f(3)，应选A.5．(2018·温州十校联考)设函数＝(x )的定义域为，若关于任意x1，2∈，当x 1yf D x D ＋x2＝2a时，恒有f(x1)＋f(x2)＝2b，则称点(a，b)为函数y＝f(x)图象的对称中心．研究函数f(x)＝x＋sinπx－3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可获取f1 20182 3 4034 4035＋f 2018＋f2018＋＋f2018＋f2018 的值为( )A．－4035 B．4035C．－8070 D．8070分析：选C∵f(x)＝x＋sin πx－3，∴当x＝1 时，f(1)＝1＋sin π－3＝－2，∴依据对称中心的定义，可适合x1＋x2＝2 时，恒有f(x1)＋f(x2)＝－4，1 2 3 4034 4035∴f2018＋f2018＋f2018 ＋＋f 2018＋f2018 1 4035 2018＝2017×f2018＋f 2018 ＋f2018＝2017×(－4)－2＝－8070.2＋f x6．(2018·贵州适应性考试)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f x .若g(2)＝3，则g(－2)＝________.2＋f分析：由题意可得g(2)＝ f ＝3，则f(2)＝1，又f(x)是奇函数，则f(－2)＝2＋f －2－1－1，因此g(－2)＝f －＝－1＝－1.答案：－117．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－1＋x2，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围为________．分析：由已知得函数f(x)为偶函数，因此f(x)＝f(| x|) ，由f(x)＞f(2x－1)，可得f(|x|)＞f(|2 x－1|) ．1 1当x＞0时，f(x)＝ln(1 ＋x)－1＋x2，由于y＝ln(1＋x)与y＝－1＋x2在(0，＋∞)上都单调递加，因此函数f(x)在(0，＋∞)上单调递加．由f(| x|)＞f(|2 x－1|) ，可得|x|＞|2x－1|，2 2 2 1两边平方可得x ＞(2x－1) ，整理得3x －4x＋1＜0，解得3＜x＜1.因此x的取值范围为1，1 . 31答案：3，18．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递加．若实数a满足f(2 |a－1| )＞f(－2)，则a的取值范围是________．分析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递加，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－2)＝f( 2)，∴f(2 |a－1|)＞f(|a－1| 12)，∴2 ＜2＝22，1 1 1 1 3∴|a－1|＜2，即－2＜a－1＜2，即2＜a＜2.1 3答案：2，2x 9．设f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝1－3x.(1)求当x＜0时，f(x)的分析式；x(2)解不等式f(x)＜－.8解：(1)由于f(x)是奇函数，因此当x＜0时，f(x)＝－f(－x)，－x＞0，x又由于当x＞0时，f(x)＝1－3x，因此当x＜0时，f(x)＝－f(－x)－xx＝－1－3－x＝1－3－x.xxx(2)f(x)＜－8，当x＞0时，即1－3x＜－8，1 1 1 1 x因此1－3x＜－8，因此3x－1＞8，因此3 －1＜8，解得x＜2，因此x∈(0,2) ．当x＜0时，即x－x＜－x，因此 1－x＞－1，1－3 8 1－3 8－x 2因此3 ＞3，因此x＜－2，因此解集是(－∞，－2)∪(0,2)．－x2＋2x，x＞0，10．已知函数f(x)＝0，x＝0，是奇函数．x2＋mx，x＜0(1)务实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递加，务实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，因此m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递加，作出f(x)的图象如图所示，－2＞－1，f ( x)的图象知 a结合因此1＜≤3，故实数的a－2≤1，取值范围是(1,3]．三登台阶，自主选做志在冲刺名校x，x≥y，1．(2018·温州模拟)记max{ ，}＝若f ( )，( )均是定义在实数集Rx y y，x＜y，x gx上的函数，定义函数( )＝max{ (x )，(x)}，则以下命题正确的选项是( )hx f gA．若f(x)，g(x)都是单调函数，则h(x)也是单调函数B．若f(x)，g(x)都是奇函数，则h(x)也是奇函数C．若f(x)，g(x)都是偶函数，则h(x)也是偶函数D．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则h(x)既不是奇函数，也不是偶函数分析：选C关于A，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的单调函数，x，x≥0，而h(x)＝不是定义域R上的单调函数，故A错误；－2x，x＜0，关于B，如f(x)＝x，g(x)＝－2x都是R上的奇函数，x，x≥0，而h(x)＝不是定义域R上的奇函数，故B错误；－2x，x＜0，关于C，当f(x)，g(x)都是定义域R上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；关于D ，如f (x )＝sinx 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x ) ＝ x .(1) 求f (π)的值；(2) 当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 因此f (x )是以4为周期的周期函数，因此f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线 x ＝1对称．又当0≤ ≤1时， f ( )＝ ，且 f ( x )的图象关于原点成中心对称， 则f ( )的图象如图所x xxx示．当－4≤ x ≤4时，设 f ( x )的图象与x 轴围成的图形面积为，则＝41 △OAB＝4××2×1SSS2＝ 4.。
高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期性课件理
C．{x|x＜0，或 x＞4}
D．{x|0＜x＜4}
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解析：(1)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以有 f(0)＝20＋2×0 ＋b＝0，解得 b＝－1，所以当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x－1，所以 f(－ 1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.
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应用函数奇偶性可解决的三类问题及解题方法 1．求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． 2．求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出， 或充分利用奇偶性构造关于 f(x)的方程(组)，从而得到 f(x)的解析式． 3．求函数解析式中参数的值 利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0 得到关于待求参数的 恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
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(2)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6. ∵当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋2)2； 当－1≤x＜3 时，f(x)＝x， ∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，
2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量 关系式 f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．
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(1)(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的
是( )
A．y＝ 1＋x2
B．y＝x＋1x
C．y＝2x＋21x
D．y＝x＋ex
f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x≤3 时，f(x)＝x.则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋
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第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题体验]1．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝2x 2－1x，则f (1)的值是( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 因为函数f (x )为奇函数，所以f (1)＝－f (－1)＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－1－＝－3，故选A.2．(2018·台州月考)偶函数y ＝f (x )在区间[0,4]上单调递减，则有( )A ．f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (－π)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (－1)＞f (－π)C ．f (－π)＞f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．f (－1)＞f (－π)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 解析：选A 由题意得，0＜1＜π3＜π＜4⇒f (－1)＝f (1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＞f (π)＝f (－π)，故选A.3．(2018·金华模拟)已知函数y ＝f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3，则f (6)＝____________，f (f (0))＝________________.解析：∵当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－3， ∴f (6)＝log 2(6＋2)－3＝3－3＝0，f (0)＝1－3＝－2，∵函数y ＝f (x )为R 上的偶函数， ∴f (f (0))＝f (－2)＝f (2)＝2－3＝－1. 答案：0 －11．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13. 2．(2018·宁波模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，a ，x ＝0，g x ，x ＜0为奇函数，则a ＝________，f (g (－2))＝________.解析：由题意a ＝f (0)＝0，g (2x )＝f (x )， 所以g (－2)＝f (－1)＝－f (1)＝－4， 所以f (g (－2))＝f (－4)＝－f (4)＝－25. 答案：0 －25考点一 函数奇偶性的判断基础送分型考点——自主练透[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x2x 2；(4)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a ＞0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：(定义法)当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )； 当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：(图象法)作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，x 2≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－－x2－x2＝4－x2x 2，所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋－x2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1)＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法(2)图象法(3)性质法①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒] (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．考点二 函数的周期性重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤1，x －1，1＜x ≤2，若对任意的n ∈N *，定义f n (x )＝f {f [f …n 个f (x )]}，则f 2 019(2)的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.解析：(1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3， ∴f 2 019(2)＝f 3×673(2)＝f 3(2)＝2，故选C. (2)∵f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )的周期T ＝2， ∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1.故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. 答案：(1)C (2)1 010[由题悟法]1．判断函数周期性的2个方法 (1)定义法． (2)图象法．2．周期性3个常用结论(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a . (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a .(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a (a ＞0)．[即时应用]1．已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．2解析：选D 当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2.2．已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f x，x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1.则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)的值为________．解析：∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝－1fx ＋＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4. 又x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1， ∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f ＝－1， f (4)＝－1f＝－13.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2) ＝504⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3－1－13＋1＋3 ＝1 348. 答案：1 3483．(2018·温州模拟)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝12＋f x －f 2x ，则f (0)＋f (2 017)的最大值为________．解析：因为f (x ＋1)＝12＋fx －f 2x ，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤fx ＋－122＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x －122＝14. 令g (x )＝f 2(x )－f (x )，则g (x ＋1)＋g (x )＝－14，g (x ＋2)＋g (x ＋1)＝－14，所以g (x＋2)＝g (x )，所以g (x )是以2为周期的函数，g (2 017)＝g (1)，所以f (2 017)＝f (1)，f (0)＋f (2 017)＝f (0)＋f (1)＝f (0)＋12＋f－f2.令t ＝f －f2≥0，则f (0)＝1±1－4t 22，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以f (0)＋f (1)＝1＋t ±121－4t 2，令2t ＝sin θ≥0，则f (0)＋f (1)＝1＋12sin θ±12cos θ＝1＋22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ±π4≤1＋22.故所求最大值为1＋22. 答案：1＋22考点三函数性质的综合应用题点多变型考点——多角探明[锁定考向]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．(2018·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝2x，则当x＞0时，f(x)＝( )A．－2x B．2－xC．－2－x D．2x解析：选C x＞0时，－x＜0，∵x＜0时，f(x)＝2x，∴当x＞0时，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函数，∴当x＞0时，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.故选C.角度二：单调性与奇偶性结合2．(2019·嘉兴质检)已知f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围为( )A．{x|0＜x＜1或x＞2} B．{x|x＜0或x＞2}C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|x＜－1或x＞1}解析：选A 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x－1)＞0可转化为－1＜x－1＜0或x－1＞1，解得0＜x＜1或x＞2.角度三：周期性与奇偶性结合3．(2019·宁波月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)＞1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)解析：选D ∵f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，∴f (7)＝f (7－9)＝f (－2)． 又∵函数f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)，∴f (7)＝f (2)＞1， ∴a ＞1，即a ∈(1，＋∞)．角度四：单调性、奇偶性与周期性结合4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,2)上单调递减，则下列结论正确的是( )A ．0＜f (1)＜f (3)B ．f (3)＜0＜f (1)C ．f (1)＜0＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜0解析：选C 由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝0. 由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 故函数f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (3)＝f (－1)． 又f (x )在[0,2)上单调递减， 所以函数f (x )在(－2,2)上单调递减， 所以f (－1)＞f (0)＞f (1)， 即f (1)＜0＜f (3)．故选C.[通法在握]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．[演练冲关]1．(2018·杭二一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2C ．y ＝1xD ．y ＝x |x |解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1x是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x ＞0时，y ＝x |x |＝x 2，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.2．(2018·台州测试)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2，若对任意的x ∈[a －1，a ＋1]，关于x 的不等式f (x 2＋a )＞a 2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．(0,4]C ．(0，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C 当x ≥0时，f (x )＝x 2，∵函数是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，∴f (x )在R 上是单调递增函数，且满足a 2f (x )＝f (ax )，∵不等式f (x 2＋a )＞a 2f (x )＝f (ax )在x ∈[a －1，a ＋1]恒成立，∴x 2＋a ＞ax 在x ∈[a －1，a ＋1]恒成立，令g (x )＝x 2－ax ＋a ，函数的对称轴为x ＝a2，当a2＜a －1，即a ＞2时，不等式恒成立，可得g (a －1)＝(a －1)2－a (a －1)＋a ＝1＞0恒成立；当a －1≤a2≤a ＋1，即－2≤a ≤2时，不等式恒成立，可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋a ＞0恒成立，解得a ∈(0,2]；当a2＞a ＋1，即a ＜－2时，不等式恒成立，可得g (a ＋1)＝(a ＋1)2－a (a ＋1)＋a ＝2a＋1＞0，无解；综上，a ＞0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．y ＝e x－e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，y ＝e x为非奇非偶函数，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x)＝－f (x )， ∴y ＝e x－e －x为奇函数，故选D.2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B ．12C ．2D ．－2解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝12.3．函数f (x )＝x ＋1x＋1，f (a )＝3，则f (－a )的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．2解析：选B 由题意得f (a )＋f (－a )＝a ＋1a ＋1＋(－a )＋1－a ＋1＝2.∴f (－a )＝2－f (a )＝－1，故选B.4．(2019·绍兴六校联考)若函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即ln(e－x＋1)－ax ＝ln(e x＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x＋1e x ＋1＝ln 1ex ＝－x ，∴2a＝－1，解得a ＝－12.法二：(取特殊值)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)，∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e＝－1，∴a ＝－12.答案：－125．设函数f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析：依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32.答案：32二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·浙江名校协作体联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为( )A．4 B．－4C．6 D．－6解析：选B 由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，选B.2．奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝( ) A．－2 B．－1C．0 D．1解析：选D 由函数f(x＋2)为偶函数可得，f(2＋x)＝f(2－x)．又f(－x)＝－f(x)，故f(2－x)＝－f(x－2)，所以f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x＋4)＝－f(x)．所以f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，故该函数是周期为8的周期函数．又函数f(x)为奇函数，故f(0)＝0.所以f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝0＋1＝1.3．(2018·宁波适应性考试)若函数y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，它们都是周期函数，则下列一定正确的是( )A．函数y＝g(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)＋g(x)是周期函数B．函数y＝g(g(x))是奇函数，函数y＝f(x)g(x)不一定是周期函数C．函数y＝f(g(x))是奇函数，函数y＝f(g(x))是周期函数D．函数y＝f(g(x))是偶函数，函数y＝f(x)g(x)是周期函数解析：选D ∵y＝f(x)是R上的偶函数，y＝g(x)是R上的奇函数，故有f(－x)＝f(x)，且g(－x)＝－g(x)．则g(g(－x))＝g(－g(x))＝－g(g(x))，f(g(－x))＝f(－g(x))＝f(g(x))；故g(g(x))为奇函数，f(g(x))为偶函数，故排除A、C；∵f(x)和g(x)都是周期函数，设它们的周期的最小公倍数为t，即f(x＋t)＝f(x)，g(x ＋t)＝g(x)，令n(x)＝f(x)g(x)，则n(x＋t)＝f(x＋t)g(x＋t)＝f(x)g(x)＝n(x)，∴n(x)＝f(x)g(x)一定为周期函数，故选D.4．定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，则( ) A ．f (3)＜f (－2)＜f (1)B ．f (1)＜f (－2)＜f (3)C ．f (－2)＜f (1)＜f (3)D ．f (3)＜f (1)＜f (－2)解析：选A ∵f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)．又∵任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1＜0，∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数．又∵1＜2＜3，∴f (1)＞f (2)＝f (－2)＞f (3)，故选A.5．(2018·温州十校联考)设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x ＋sin πx －3的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018的值为( ) A ．－4 035B ．4 035C ．－8 070D ．8 070解析：选C ∵f (x )＝x ＋sin πx －3，∴当x ＝1时，f (1)＝1＋sin π－3＝－2，∴根据对称中心的定义，可得当x 1＋x 2＝2时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝－4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 018＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0342 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018 ＝2 017×⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝⎛⎭⎪⎫12 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4 0352 018＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0182 018 ＝2 017×(－4)－2＝－8 070.6．(2018·贵州适应性考试)已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f x f x .若g (2)＝3，则g (－2)＝________.解析：由题意可得g (2)＝2＋f f ＝3，则f (2)＝1，又f (x )是奇函数，则f (－2)＝－1，所以g (－2)＝2＋f －f －＝2－1－1＝－1.答案：－1 7．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围为________．解析：由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，由f (x )＞f (2x －1)，可得f (|x |)＞f (|2x －1|)．当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)＞f (|2x －1|)，可得|x |＞|2x －1|，两边平方可得x 2＞(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1. 所以x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 8．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)，∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 9．设f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x . (1)求当x ＜0时，f (x )的解析式；(2)解不等式f (x )＜－x 8. 解：(1)因为f (x )是奇函数，所以当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )，－x ＞0，又因为当x ＞0时，f (x )＝x 1－3x ， 所以当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝－－x 1－3－x ＝x 1－3－x . (2)f (x )＜－x 8，当x ＞0时，即x 1－3x ＜－x 8， 所以11－3x ＜－18，所以13x －1＞18，所以3x －1＜8， 解得x ＜2，所以x ∈(0,2)．当x ＜0时，即x 1－3－x ＜－x 8，所以11－3－x ＞－18， 所以3－x ＞32，所以x ＜－2，所以解集是(－∞，－2)∪(0,2)．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，作出f (x )的图象如图所示，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·温州模拟)记max{x ，y }＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥y ，y ，x ＜y ，若f (x )，g (x )均是定义在实数集R上的函数，定义函数h (x )＝max{f (x )，g (x )}，则下列命题正确的是( )A ．若f (x )，g (x )都是单调函数，则h (x )也是单调函数B ．若f (x )，g (x )都是奇函数，则h (x )也是奇函数C ．若f (x )，g (x )都是偶函数，则h (x )也是偶函数D ．若f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则h (x )既不是奇函数，也不是偶函数 解析：选C 对于A ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的单调函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－2x ，x ＜0，不是定义域R 上的单调函数，故A 错误； 对于B ，如f (x )＝x ，g (x )＝－2x 都是R 上的奇函数，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≥0，－2x ，x ＜0，不是定义域R 上的奇函数，故B 错误；对于C ，当f (x )，g (x )都是定义域R 上的偶函数时，h (x )＝max{f (x )，g (x )}也是定义域R 上的偶函数，故C 正确；对于D ，如f (x )＝sin x 是定义域R 上的奇函数，g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数， 而h (x )＝g (x )＝x 2＋2是定义域R 上的偶函数，故D 错误．2．设函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求函数f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．当－4≤x ≤4时，设f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。