离散数学考试模拟试题及详细参考答案共四套

离散模拟答案11命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.一、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)∀x∃y(x+y=4)b)∃y∀x (x+y=4)3.求∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A⋃B）－C=(A-B) ⋃(A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)二、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→⌝F)→⌝C, B→(A∧⌝S)⇒B→Eb)∀x(P(x)→⌝Q(x)), ∀x(Q(x)∨R(x))，∃x⌝R(x) ⇒∃x⌝P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠∅且B≠∅，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

试证明：R是A×B上的等价关系。

（10分）3.用伯恩斯坦定理证明（0,1]和(a,b)等势。

（10分）4.设R是集合A上的等价关系，A的元素个数为n，R作为集合有s个元素，若A关于R的商集A/R有r个元素，证明：rs≥n2。

（10分）三、应用题（10分）在一个道路上连接有8个城市，分别标记为a,b,c,d,e,f,g,h。

城市之间的直接连接的道路是单向的，有a→b, a→c, b→g, g→b, c→f, f→e, b→d, d→f.对每一个城市求出从它出发所能够到达的所有其他城市。

离散数学考试题答案一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)设P表示命题“上午下雨”，Q表示命题“我去看电影”，R表示命题“在家里读书”，S表示命题“在家看报”，命题符号化为：（⌝P⇄Q）∧(P⇄R∨S)b)设P表示命题“我今天进城”，Q表示命题“天下雨”，命题符号化为：⌝Q→P或⌝P→Qc)设P表示命题“你走”，Q表示命题“我留下”，命题符号化为： Q→P2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，命题符号化为：∃x(R(x) ∧⌝Q(x)) 或⌝∀x(R(x) →Q(x))b)设R(x)表示“x是实数”，E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为：∀x(R(x) ∧⌝E(x,0) →∃y(R(y) ∧E(f(x,y),1))))c)设F(f)表示“f是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为：F(f)⇄∀a(A(a)→∃b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧∀c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b))))二、简答题（共6道题，共32分）1.(P→(Q→R))↔(R→(Q→P))⇔（⌝P∨⌝Q∨R）↔(P∨⌝Q∨⌝R)⇔(（⌝P∨⌝Q∨R）→(P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((P∨⌝Q∨⌝R) →（⌝P∨⌝Q∨R）).⇔(（P∧Q∧⌝R）∨ (P∨⌝Q∨⌝R)) ∧ ((⌝P∧Q∧R) ∨（⌝P∨⌝Q∨R）)⇔(P∨⌝Q∨⌝R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R) 这是主合取范式公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为（⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨（⌝P∧⌝Q∧R)∨（⌝P∧Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧⌝R)∨（P∧⌝Q∧R)∨（P∧Q∧R)2.a) T b) F3.∀x(F(x)→G(x))→(∃xF(x)→∃xG(x)) ⇔∀x(F(x)→G(x))→(∃yF(y)→∃zG(z))⇔∀x(F(x)→G(x))→∀y∃z(F(y)→G(z)) ⇔∃x∀y∃z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z)))4.a) 真命题。

因为（A⋃B）－C=（A⋃B）⋂~C=（A⋂~C）⋃（B⋂~C）=（A-C）⋃（B-C）b) 真命题。

因为如果f是从集合A到集合B的入射函数，则|ranf|=|A|，且ranf⊆B,故命题成立。

5.a) 52 b) 5!=1206.B的最小元是b，无最大元、极大元是d和e、极小元是b、上界集合是{g}、下界集合是{a,b}、上确界是g、下确界是b.7.K[S]=n; K[P(S)]=n2; K[N]=ℵ0,K[N n]=ℵ0, K[P(N)]=ℵ; K[R]=ℵ, K=[R×R]=ℵ,K[{0,1}N]= ℵ三、证明题（共3小题，共计40分）1. a) 证 （1）B P(附加条件) （2）B →(A ∧⌝S) P(3) A ∧⌝S T(1)(2) I (4) A T(3) I (5) A →(B ∧C) P(6) B ∧C T(4)(5) I (7) C T(6) I (8) (E →⌝F)→⌝C P(9) ⌝(E →⌝F) T(7)(8) I (10) E ∧F T(9) E (11) E T(10) I (12) B →E CP b) 证 (1) ∃x ⌝R(x) P (2) ⌝R(c) ES(1) (3) ∀x(Q(x)∨R(x)) P (4) Q(c)∨R(c) US(3) (5) Q(c) T(2)(4) I (6) ∀x(P(x)→⌝Q(x)) P(7) P(c)→⌝Q(c) US(6) (8) ⌝P(c) T(5)(7) I (9) ∃x ⌝P(x) EG(8) 2. 证 任取<x,y >,<x,y >∈A ×B ⇒x ∈A ∧ y ∈B ⇒<x,x>∈R 1∧<y,y>∈R 2⇒<<x,y>,<x,y>>∈R ，故R 是自反的 任取<<x,y >,<u,v>>,<<x,y >,<u,v>>∈R ⇒<x,u>∈R 1∧<y,v>∈R 2⇒<u,x>∈R 1∧<v,y>∈R 2⇒<<u,v>,<x,y>>∈R.故R 是对称的。

任取<<x,y >,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈R<<x,y >,<u,v>>,<<u,v>,<s,t>>∈R ⇒<x,u>∈R 1∧<y,v>∈R 2∧<u,s>∈R 1∧<v,t>∈R 2⇒(<x,u>∈R 1∧<u,s>∈R 1)∧(<y,v>∈R 2∧<v,t>∈R 2)⇒<x,s> R 1∧<y,t>∈R 2⇒<<x,y>,<s,t>>∈R, 故R 是传递的。

综上所述R 是A ×B 上的等价关系。

3. 证 构造函数f ：（0,1]→(a,b)，f(x)=22bx a +,显然f 是入射函数 构造函数g: (a,b)→（0,1]，ab ax x g --=)(,显然g 是入射函数， 故（0,1]和(a,b)等势。

由于22122221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ΛΛ，所以22r n r s ≥4. 证 设商集A/R 的r 个等价类的元素个数分别为m 1,m 2,…,m r ，由于一个划分对应一个等价关系，m 1+m 2+…+m r =n ， s m m m r =+++22221Λ由于22122221⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥+++r m m m r m m m r r ΛΛ（r 个数的平方的平均值大于等于这r 个数的平均值的平方），所以22rn r s ≥，即2n rs ≥四、应用题（10分）解 把8个城市作为集合A 的元素，即A={a,b,c,d,e,,f,g,h}，在A 上定义二元关系R ，<x,y >∈R 当且仅当从x 到y 有直接连接的道路，即R={<a,b>,<a,c>,<b,g>,<g,b>,<c,f>,<f,e>,<b,d>,<d,f>} 那么该问题即变为求R 的传递闭包。

利用Warshal 算法，求得t(R)=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000001111010000100000000000000110000001100000111100001111110 那么从城市x 出发能到达的城市为})(,|{}])[{)((y x R t y x y x I R t A ≠∧>∈<=-， 故有},,,,,{}])[{)((g f e d c b a I R t A =-},,,{}])[{)((g f e d b I R t A =- },{}])[{)((f e c I R t A =- },{}])[{)((f e d I R t A =- }{}])[{)((e f I R t A =- },,,{}])[{)((f e d b g I R t A =-φ=-=-}])[{)((}])[{)((e I R t e I R t A A离散考试模拟试题及答案2 一、填空题1 设集合A,B ，其中A ＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B ＝____________________; ρ(A) -ρ(B)＝ __________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则 |ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是_______________________________________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G＝⌝(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________.5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B＝_________________________; A⋃B＝_________________________;A－B＝_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________.8. 设命题公式G＝⌝(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________.9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| = _____________________________.11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ ,A∩B = __________________________ , .13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。