毕奥---萨伐尔定律

毕奥---萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律
两电流元之间的安培定律也可表示成 两电流元之间的安培定律也可表示成
u r r uur u r ˆ I1 I 2 dl2 × (dl1 × r12 ) d F12 = k = I 2 dl2 × dB1 2 r 12
电流元 I1d l1产生的磁场
ˆ ˆ Idl × r µ0 Idl × r dB = k = 2 2 r 4π r
• 求二阶导数
d 2B 在O 令x = 0处的 2 = 0 ⇒ 在O点附近磁场最均匀的条件 dx µ0 d 2B 2a 2 − 2 R 2 = 6π R 2 I = 0 ⇒ a2 = R2 7 2 dx 2 x =0 4π 2 a 2 2 R + 4
a=R
例1、无限长载流直导线弯成如图形状
大小
µ0 Idl dB = 4π r2
r r 方向 Idl × r0
分析对称性、 分析对称性、写出分量式
r r B⊥ = ∫ dB = 0
⊥
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2
统一积分变量
µ0 Idl sinα Bx = ∫ dBx = ∫ 4π r2 µ0IR µ0IR dl = π = ⋅2 R 3 ∫ 3 4 r 4 r π π
a
•
•
P T
µ0I 3 BL′A = (cos π − cosπ ) 4πa 4
µ0I π BLA = (cos0 − cos ) 方向 ⊗ 4 a 4 π
方向 ⊗
T点
Bp = BLA + BL′A = 2.94×10−5T 方向 ⊗
r 电流元 Idl
——右手定则 右手定则 r r r µ0 Idl ×r 毕奥-萨伐尔定律 毕奥 萨伐尔定律 dB = 4 π r3 r r r r µ0 Idl ×r 对一段载流导线 B = ∫ dB = ∫ 4π L r3
二、毕奥---萨伐尔定律的应用 毕奥---萨伐尔定律的应用 --1. 载流直导线的磁场 已知： 已知：真空中I、α1、 α2、a 建立坐标系OXY 大小
Y
I
α2
r 任取电流元 Idl
µ0 Idl sinα dB = 4π r2
dl
α
r α1 r
r0
a
2
r r 方向 Idl × r0 µ0 Idl sinα B = ∫ dB = ∫ 4π r2
统一积分变量
l
O
r dB
P
⊗ X
l = actg(π −α) = −actgα
dl = a csc αdα r = a sinα
•
µ0I
3 µ0I B= (1− ) + 6R πR 2
µ0I
• O
R
⊗
载流螺线管中的磁场
• 长为L，匝数为N密绕螺线 长为L 匝数为N 可忽略螺距，半径为R 管，可忽略螺距，半径为R。 一匝线圈轴线上的场， （一匝线圈轴线上的场， 可用圆电流结果） 可用圆电流结果）在螺线 管上距 p点x-l处取一小段 长度为dl的电流环，（ dl的电流环，（含 长度为dl的电流环，（含 匝线圈,n=N/L ,n=N/L， 匝线圈,n=N/L，为单位长 度的匝数） 度的匝数）
µ0 I sinαdl B= ∫ 4π r2
2
Y
I
α2
µ0 sin α adα I sinα 2 =∫ 2 4π a sin α
=∫
µ0I (cosα1 − cosα2 ) = 4πa µ0I O (cosα1 − cosα2 ) B= 4πa µ0I B= (sin β2 −sinβ1 ) 或： 4πa
毕奥---萨伐尔定律 一、毕奥 萨伐尔定律
I
r dB
r θ µ0 Idl sinθ .P ⊗ dB = Idl 4π r2 r −7 −1 µ0 = 4π ×10 TmA r v v v 方向判断： 方向判断： B 的方向垂直于电流元 Idl 与 r 组成的 d v v v 平面， 三矢量满足矢量叉乘关系。 平面，B和 Idl 及 r 三矢量满足矢量叉乘关系。 d
α2 µ0 I sinαdα α1 4 a π
dl
α
r α1 r
a
l
r0
1
β2 β β
r dB
P
⊗ X
无限长载流直导线α1 = 0
µ0I B= (cosα1 − cosα2 ) 4πa
α2 =π
µ0I 半无限长载流直导线 α1 = π 2 α2 = π B = 4 a π
直导线延长线上
µ0I B= 2 a π
=
sinα = R r
r Idl
I
O
Y
R
α
x
r r0
r r dB⊥ dB
r p dB
•
x
X
µ0IR
2
2( R2 + x2 )3 2
大小： B = 2( R2 + x2 )3 2 大小： 方向： 方向： 右手螺旋法则
µ0IR2
结论
B=
µ0IR2
2(R2 + x2 )3 2
B=
1. x >> R B = ?
B=?
r B
µ0 Idl sinα dB = 4π r2
I
I
a
α = 0 dB = 0
B=0
r B
2.
圆型电流轴线上的磁场 已知: R、I，求轴线上P 已知: 点的磁感应强度。 点的磁感应强度。 建立坐标系OXY 建立坐标系
r Idl
I
O
Y
R
α
r r0
r r dB⊥ dB
r p dB
•
x
X
r 任取电流元 Idl
a R + ( x + )2 2
µ0 B2 = 4π
2π R 2 I
3 2 2
a R + ( x − )2 2
• 求一阶导数
a a x+ x− µ0 dB 2 2 =− + 6π R 2 I 5 5 dx 4π a 2 2 2 a 2 2 2 R + (x + 2) R + (x − 2)
= 1.71×10−5T
方向
•
S点
L′
•
µ0I 3 a BLA = (cos0 − cos π ) 方向 ⊗ 4πa 4 I L µ0I 3 (cos π − cosπ ) 方向 • BL′A = a 4πa 4 S −5 Bp = BLA − BL′A = 7.07×10 T 方向 ⊗ •
R
I A
半无限长 β1 = 0, β 2 =
或 β1 =
B = µ0 nI
, β2 = π
B=
µ0 nI
2
亥姆霍兹线圈
• 结构：一对间距等于半径的同轴 结构： 载流圆线圈 • 用处：在实验室中，当所需磁场 用处：在实验室中， 不太强时， 不太强时，常用来产生均匀磁场 • 命题：证明上述线圈在轴线中心 命题： 附近的磁场最为均匀
µ0IR2
2x3
2. x = 0 B = ?
载流圆环
B=
圆心角
θ = 2π
r B
⊗
µ0I
2R
I
载流圆弧
圆心角 θ
r B
µ0Iθ θ B= • = 2R 2 4 R π 心O点的 B 如图， 如图，
I
I
B=
O R •
µ0I
O•
R
⊗ 4R
B=
µ0I
8R
I
•
R
•O
2π 3
I
µ0I B= + 4R 2 R π
L′
•
I = 20A a = 4cm r 求： P、R、S、T四点的 B
解： P点 Bp = BLA + BL′A
R I
I A
a
•
•
a
L
S •
P T
R点
µ0I = 0+ = 5×10−5T 4 a π
a
⊗
方向
BR = BLA + BL′A 3 1 µ0I µ0I (cos0 − cos π ) + (cos π − cosπ ) = 4a 4 4a 4 π π
2 2 a a 4 x + − R2 4 x − − R2 d 2 B µ0 2 2 2 = 6π R I + 7 7 2 dx 4π a 2 2 2 a 2 2 2 R + (x + 2) R + (x − 2 )
–将两单匝线圈轴线上磁场叠加 将两单匝线圈轴线上磁场叠加 –求极值 求极值
µ0 B1 = 4π
2π R 2 I
3 2 2
µ0 1 1 2 B = B1 + B2 = 2π R I + 3 3 4π a 2 2 2 a 2 2 2 R + (x + 2) R + (x − 2 )
dB =
µ0 IR ndl
2
2[ R + ( x − l ) ]
2 2
3
2
x − l = Rctg β
B = ∫ dB = ∫
µ0 nIR 2 dl
2[ R + ( x − l ) ]
2 2 3 2
R x − l = Rctg β , − dl = − 2 d β sin β
R = r , = sin β r
B=∫
= 2
β2