2019年高考数学空间立体几何复习专题体积

第六讲 空间几何的体积 【考点分析】

1. 掌握求空间几何的体积和表面积的各种方法。

2. 利用线面垂直的性质求空间几何的高 【知识运用】

题型一 直接法求体积

【例1】（2018惠州模拟）如图，直角ABC ∆中， 90ACB ∠=， 24BC AC ==， D E ，分别是,AB BC 边的中点，沿DE 将BDE ∆折起至FDE ∆，且60CEF ∠=. （1）求四棱锥F ACED -的体积；（2）求证：平面ADF ⊥平面ACF ．

试题解析：（1）∵,D E 分别是,AB BC 边的中点，∴DE 平行且等于AC 的一半，

,1DE BC DE ⊥=

依题意， ,2DE EF BE EF ⊥==.

于是有,DE BC

DE EF DE EF EC E EF EC CEF ⊥⎫⎪⊥⎪

⇒⊥

⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面CEF .

∵DE ⊥平面CEF ∴平面ACED CEF ⊥平面

过F 点作FM EC ⊥于M ，则,ACED CEF CE FM EC FM ACED

FM CEF ⊥⎫

⎪

⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭

平面平面且交线为平面平面，

∵60CEF ∠=∴3FM = ∴梯形ACED 的面积

()()11

122322S AC ED EC =

+⨯=⨯+⨯=

∴四棱锥F ACED -的体积11

333

33V Sh ==⨯=

（2）（法一）如图．设线段,AF CF 的中点分别为,N Q ，连接,,DN NQ EQ ，则

1

//

2NQ AC ，

于是1//

2

////1

//2DE AC DE NQ DEQN DN EQ NQ AC ⎫⎪⎪⇒⇒⇒⎬⎪

⎪⎭是平行四边形.

又60EC EF CEF

CEF =⎫

⇒∆⎬∠=⎭是等边三角形. ∴EQ⊥FC 由（1）知,DE CEF EQ CEF ⊥⊂平面平面. ∴DE EQ ⊥ ∴AC EQ ⊥

于是,AC EQ

FC EQ EQ ACF

AC FC C AC FC ACF ⊥⎫

⎪⊥⎪

⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⎭平面平面.

∴DN ACF ⊥平面 又∵DN ADF ⊂平面

∴平面ADF ⊥平面ACF . （法二）连接BF ，∵,60EC EF CEF =∠

= ∴△CEF 是边长为2等边三角形 ∵BE EF =

∴

1

302EBF CEF ∠=

∠=∴90BFC ∠=， BF FC ⊥

又∵,DE BCF DE ⊥平面∥AC ∴AC BCF ⊥平面

∵BF BCF ⊂平面∴AC BF ⊥ 又∵FC AC C ⋂=，∴BF ACF ⊥平面

又∵BF ADF ⊂平面，∴平面ADF ⊥平面ACF . 【变式】

1.．如图，在三棱台

中，，且面

，

，

分别为

的中点，

为

上两动点，且

.

（1）求证：； （2）求四面体的体积. 试题解析：（1）取的中点,连接,∵,为的中点,

∴,又,∴,

∵

,且

,∴四边形为平行四边形,∴

,

同理，四边形为平行四边形，∴

.∴四边

为平行四边形,

∵面

,∴面

, ∴,又,∴面,

∵

面

,∴.

（2）令与交于，∵

面

,

面,∴面面 , ∵面面

,∵,∴,∴

面

,

∴

为点到面

的距离，即,

又,

∴.

题型二等体积（换顶点）

【例2】．在四棱锥中，，，，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）若点在线段上，且，求三棱锥的体积.

试题解析：

（Ⅰ）证明：取，的中点分别为，，连接，.

∵是以为斜边的等腰直角三角形，∴.

∵平面平面，平面平面，

∴平面，而，∴①

又∵，，，

∴四边形为正方形，且

，∴，即②

由①②及得：面，

又∵面，∴

， 又∵

，

，∴

面，而面，∴.

（Ⅱ）过点作于，则面且，

（或由（Ⅰ）得面，）

2．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形， PA ⊥平面ABCD ， PA AB =，

M 是PC 上一点.

（1）若BM PC ⊥，求证： PC ⊥平面MBD ；

（2）若M 为PC 的中点，且2AB =，求三棱锥M BCD -的体积. （1）证明：连接AC ，由PA ⊥平面ABCD ， BD 平面ABCD 得BD PA ⊥，

又BD AC ⊥， PA AC A ⋂=， ∴BD ⊥平面PAC ，得PC BD ⊥， 又PC BM ⊥， BD BC B ⋂=，

∴PC ⊥平面MBD .

（2）解：由M 为PC 的中点得

111223M BCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⋅ 1112

222232

3=⨯⨯⨯⨯⨯=

. 3．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 22AB AD ==，

3PD BD AD ==，且PD ⊥底面ABCD .

（1）证明： BC ⊥平面PBD ；

（2）若Q 为PC 的中点，求三棱锥A PBQ -的体积. 试题解析：

（1）证明：∵222

AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，

∵//AD BC ，∴BC BD ⊥.

又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥. ∵PD BD D ⋂=，∴BC ⊥平面PBD . （2）三棱锥A PBQ -的体积

A PBQ

V -与三棱锥A QBC -的体积相等，

而12A QBC Q ABC P ABC V V V ---== 1111

1334

434P ABCD V -==⨯⨯=

. 所以三棱锥A PBQ -的体积

1

4A PBQ V -=

.