线性代数5-3

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《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识

《线性代数》知识点归纳整理诚毅学生编01、余子式与代数余子式- 2 -02、主对角线- 2 -03、转置行列式- 2 -04、行列式的性质- 3 -05、计算行列式- 3 -06、矩阵中未写出的元素- 4 -07、几类特殊的方阵- 4 -08、矩阵的运算规则- 4 -09、矩阵多项式- 6 -10、对称矩阵- 6 -11、矩阵的分块- 6 -12、矩阵的初等变换- 6 -13、矩阵等价- 7 -14、初等矩阵- 7 -15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵- 7 -16、逆矩阵- 7 -17、充分性与必要性的证明题- 8 -18、伴随矩阵- 9 -19、矩阵的标准形：- 9 -20、矩阵的秩：- 9 -21、矩阵的秩的一些定理、推论- 10 -22、线性方程组概念- 10 -23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）- 10 -24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念- 12 -25、线性方程组的向量形式- 12 -26、线性相关与线性无关的概念- 12 -27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关- 12 -28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题- 12 -29、线性表示与线性组合的概念- 12 -30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题- 12 -31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理- 13 -32、最大线性无关组与向量组的秩- 13 -33、线性方程组解的结构- 13 -01、余子式与代数余子式（1）设三阶行列式D ＝333231232221131211a a a a a a a a a ，则①元素11a ，12a ，13a 的余子式分别为：M 11＝33322322a a a a ，M 12＝33312321a a a a ，M 13＝32312221a a a a对M 11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式33322322a a a a ，这个行列式即元素11a 的余子式M 11。

线性代数第五章知识要点

(3) An×n 的对角化
(i) A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个线性
无关的特征向量.
(ii) 若 A 有 n 个互异的特征值,则 A 与对角
矩阵相似 , 即 A 可对角化.
4. 实对称矩阵的相似矩阵
(1) 实对称矩阵的特征值为实数. (2) 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量必正交. (3) 若是实对称矩阵 A 的 r 重特征值, 则对应于的特征向量必有 r 个, 且它们线性无关. (4) 实对称矩阵必可对角化. 即若 A 为 n 阶实对称矩阵, 则必有正交矩阵 P, 使得 P-1AP = , 其中是以 A 的n个特征值为对角元素的对角矩阵.
(7) 定义 4 若 n 阶方阵 A 满足
ATA = E ( 即 A-1 = AT),
则称 A 为正交矩阵.
A = (aij)n×n 为正交矩阵的充要条件是
1, i j; aik a jk δij 0, i j k 1
n
或
a
k 1
n
ki
akj δ ij .
(8) 定义 5 若 P 为正交矩阵, 则线性变换
6. 正定二次型 (1) 定义 9 设有实二次型 f(x) = xTAx,如
果对任何 x 0, 都有 f(x) > 0 (显然 f(0) = 0), 则称 f 为正定二次型, 并称对称矩阵 A 是正定的, 记作 A > 0 ; 如果对任何 x 0 都有 f(x) < 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的, 记作 A < 0.
称为二次型.
二次型可记为 f = xTAx,其中 AT = A. A 称为
二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵 A 的二次型.对

考研数学三必背知识点：线性代数

线性代数必考知识点一、行列式1、逆序数一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。

一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质(1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A(2) 行列式两行或两列互换，其值反号。

(3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。

(4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。

(5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。

(6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。

(7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。

(8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理(1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式332112322311312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵1、矩阵运算(1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。

(2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。

(3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。

(4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。

(5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式(1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置(1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A4、伴随矩阵(1) *1*****11*2****1*)(,)(,)()(,)(,,A k kA A B AB A A A AA E A A A AA A A A n n(2) 1)(0)(1)(1)()()(*** n A r A r n A r A r nA r n A r5、逆矩阵 (1) 1111*111111*1)(,1)(,,)(,,1A B AB A AA A A A A E A A AA A A A (2) 分块矩阵的逆矩阵① 111A O A O OB OB （主对角分块）② 111O A O B B O AO（副对角分块） ③ 11111A C A A CB O B OB（拉普拉斯）④ 11111A O A O C B B CA B（拉普拉斯） 6、矩阵初等变换(1) 交换矩阵两行或两列 (2) 矩阵某行或某列乘以k(3) 矩阵某行或某列乘以k 并加到另一行或列 (4) 矩阵初等变换的实质是矩阵与初等矩阵相乘 ① 矩阵初等行变换=矩阵左乘初等矩阵 ② 矩阵初等列变换=矩阵右乘初等矩阵 7、矩阵其他考点(1) 行列矩阵相乘：为行矩阵),,(21n a a a ，为列矩阵),,(21n b b b ，则 1)()()()())(()( k k(2) 矩阵n A 的求法：若A 可对角化，则有 AP P 1，于是1 P P A n n (3) 若n B r m A r )(,)(，则有m A r B A r )()(且n B r B A r )()(三、向量1、向量运算： k k k )(),()(,2、线性表示对于向量组s ,,21和向量，若存在一组数s k k k ,,21使得s s k k k 2211 (1) 若s s k k k 2211有唯一解，则能由向量组s ,,21唯一线性表示。

线性代数同济大学第五版课件5-3

正整数, f(x) = a0xm + a1xkB 相似, Am 与 Bm 相似, AT 与 BT 相似,
f(A) 与 f(B) 相似.
上页下页
三、矩阵的对角化
对于 n 阶方阵 A , 若存在可逆矩阵 P , 使 P-1AP = ( 为对角矩阵),则称 A 能对角化.
以这些向量为列构造矩阵 P = ( p1 , p2 , · , pn ), · · 则 P 可逆, 且 AP = P , 其中 =diag (1 , 2 , · , n ) , · · 即推论 P-1AP = .
证毕
如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，
则A与对角阵相似．
上页下页
0 0 1 1 1 x , 问 x 为何值时，例11 设 A 1 0 0 矩阵A能对角化？
第三节
主要内容
相似矩阵
相似矩阵的概念相似矩阵的性质矩阵对角化的充要条件
上页
下页
一、相似矩阵的概念
定义 7 设 A , B 为 n 阶方阵, 若有可逆矩阵P，
使 P-1AP = B , 则称矩阵 A 相似于矩阵 B. 对 A 进行运算
P-1AP 称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.
上页下页
可. 推论 A与阶方阵 A 与对角矩阵由于若 n B 相似, 所以, 必有可逆矩阵 P
由相似的定义和定理3，有下列结论：
1. 若矩阵 A 与矩阵 B 相似, 若矩阵 A
可逆, 则矩阵 B 也可逆, 且 A-1 与 B-1 相似.
2.若矩阵 A 与 B 相似, k 是常数, m 是
1 , 2 , · , n 的特征向量. · ·

线性代数5-4.正交矩阵

为单位向量。
e
P136
4.2
正交向量组
定义4.3 设 x、y 为n实维向量,当（x,y）=0时，称x与y正交。记作xy 。若x = 0,则 x 与任何向量都正交。反之，若x 与任何向量都正交，则x=0. 定义4.4 :如果一组非零向量两两正交，则称这组向量为正交向量组。简称为正交组。 ★ ★如果一个向量组仅含一个向量α，当α≠ 0时，则规定该向量组为正交组。
性质2 若A是正交矩阵，则AT（A-1）也是正交矩阵；性质3 若A、B都是n阶正交矩阵，则AB也是n阶正交矩阵；性质4 若A是正交矩阵，则必有|A|=1或|A|=-1。性质5 若A是正交矩阵,则
A , A k (k N )亦为正交矩阵。
2.正交变换 P140 定义4.7（修改）设P为正交矩阵，则线性变换 y = Px 称为正交变换。设 y = Px 为正交变换，则有
§4
正交矩阵
4.1、实向量的内积与长度 1.内积的概念
定义4.1 设有n维实向量
规定
a1 b1 a b 2 2 , , an bn
（ α ，β）=a1b1+ a2b2+…+ anbn
(1)
称（ α ，β）为向量α与β的内积。
1）内积是一个数（或是一个多项式）。 2）内积是向量的一种运算，可用距阵的运算。列向量： (α, β)= αT β; 行向量：(α, β)= α βT。
2.内积的性质：
设 α ，β ，γ为n 维实向量，λ为实数。性质1 (α, β)=(β, α); 性质2 (λ α, β)=λ(α, β); 性质3 (α + β, γ)=(α, γ)+(α, γ)；性质4 当α 0时， (α, α)>0。显然，(0,0)=0，由此便知实向量 α =0 的充分必要条件是(α, α) = 0。

《线性代数》课后习题答案

第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。

因为)3(Q Q ⊆，所以)3(Q 中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。

因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。

如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。

综上所述，我们有)3(Q 是数域。

（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。

（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ⊄。

（反证法）如果)()(q Q p Q ⊆，则q b a p Q b a +=⇒∈∃,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。

由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。

所以有0=a 或0=b 。

如果0=a ，则2qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。

线性代数5-3 方阵相似于对角矩阵的条件

(2) 由于A~B,所以A的特征值为
1 1 ,22,3 2.
由 A E x 0 ,求 A 的特征值 .
当λ1=-1时，由
1 0 0
1 0 0
A
E
2
1
2
～
0
1
2
3 1 2 0 0 0
0
得基础解系:
P1
2
,
1
当λ2 ＝2时，
4 0 0 1 0 0
A
2E
2
2
(2 )若 A 与 B 相 ,且似 A 可 ,则逆 B 也,可且 A 1 与逆
B 1 相 ; 似 (3 )A 与 B 相 ,则似 k与 A k相 B,k 为似; 常数
(4)若 A 与 B 相,而似 f(x)是一,多则 f(A 项 )与式 f(B )相.似
２．相似变换与相似变换矩阵
0
2
0
.
3 1 1
0 0 y
（1）求x和y的值,
2求可P 逆 ,使 P 1 矩 A P 阵 B .
（同型题：习题课教程P132第11题）
解 (1)因为A~B,所以B的主对角线元素是A的特征值.因此有
2x112y,
AE AE 0.
整理得xx
y 2, 0,
解得
x 0, y 2.
2
～
0
1
1
,
3 1 1 0 0 0
得基础解系:
P2
0
1
,
1
当λ3 ＝-2时，
0 0 0 1 0 1
A
2E
2
2
2
～
0
1
0
,
3 1 3

线性代数第五章课后习题及解答

第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任意常数)。

线性代数5-习题课

设有实二次型 f xT Ax ,它的秩为 r ,有两个
实的可逆变换
x Cy 及 x Pz
使
f
k1
y
2 1
k
2
y
2 2
k
r
y
2 r
(k i 0),
及
f
1
z
2 1
2
z
2 2
r
z
2 r
( i 0),
则 k 1 , k 2 ,, k r中正数的个数与 1 , 2 ,, r中正
数的个数相等 .
注意 k 1 , k 2 , , k r中正数的个数 p称为正惯性指数;
r p N称为负惯性指数 ; s p N p (r p) 2 p r称为 f的符号差. 它们是二次型对于非退化线性变换的不变
量.
(1)实二次型 f xT Ax为正定的充分必要条件是 :它的标准形的 n个系数全为正 ,即正惯性指数 p n;
a11 a1r
(1)r
0,(r 1,2,, n).
a r1 a rr
一、证明所给矩阵为正交矩阵
二、将线性无关向量组化为正交单位向量组
三、特征值与特征向量的求法
四、已知 A的特征值，求与 A
相关矩阵的特征值
五、求方阵 A 的特征多项式
六、关于特征值的其它问题
七、判断方阵 A可否对角化
若 e1 , e2 ,, er 是V的一个规范正交基 ,那么V
中任一向量 a都可表为
a 1e1 2e2 r er ,
其中
i
e
T i
a
[a,
e i ],
(i
1,2, ,
r ).
施密特正交化方法

线性代数 5-3 第5章3讲-相似矩阵(1)

注 (1) 反身性; (2) 对称性; (3) 传递性. 性质5.5 (1) 若A ~ B，则AT ~ BT；
(2) 若A ~ B，设f (x)am xm am1xm1 a1 x a0，则f ( A) ~ f (B；) (3) 若A ~ B，且A可逆，则B也可逆，且A1 ~ B1.
3
一、相似矩阵的定义及性质
线性代数（慕课版）
第五章矩阵的特征值与特征向量
第三讲相似矩阵(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 相似矩阵的定义及性质 02 方阵的相似对角化(1)
一、相似矩阵的定义及性质
定义5.3 设A 与B 都是n 阶矩阵，若存在一个n 阶可逆矩阵P，使B P1AP，则称矩阵 A与B相似，记作A ~ B. 可逆矩阵P 称为相似变换矩阵.
5
一、相似矩阵的定义及性质
例2 若A与B相似，则
(A) E A E B
(C) A* B*
(B) E A E B
(D) A1 B1
解选项(B)：由A与B相似得 P1AP B，
B
则P1( A)P B，这说明 A与 B相似.
根据定理5.2得 E ( A) E (B) ，即 E A E B .
2 0 0 例4 判断A 1 3 1 能否与对角阵相似，并在相似时求可逆阵P，
1 0 1 使P1AP 为对角阵.
2 0 0
解 AE 1
1
3 1 (2 )(3 )(1 ) 0 1
1 1, 2 2, 3 3 A~
1
对1 1，A E 1
1
0 2 0
0 1 1 0 0 0
定理5.2 若n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 的特征多项式相同.
6
一、相似矩阵的定义及性质

新5-3线性代数第三节相似矩阵及实对称阵的对角化

理6( 如上)可得：
对应特征值 i (i = 1,2, , s),恰有 r i 个线性无
关的实特征向量,把它们正交化并单位化,即得 r i 个单位正交的特征向量. 由r1 r2 rs = n知, 这样的特征向量共可得 n个.
(2) A = - 5 3 - 3
1 0 2
2- -1
2
A - E = 5 - 3 - 3 = - 13
-1
0 -2-
所以A的特征值为1 = 2 = 3 = -1.
把 = -1代入A - E x = 0, 解之得基础解系
= (1,1,-1)T ,
故A 不能化为对角矩阵.
例2
设A
=
4 -3
对应的特征向量,
即
Ax = x , x 0.
用表示的共轭复数, x表示x的共轭复向量 ,
则 A x = A x = Ax = x = x.
于是有 xT Ax = xT Ax = xT x = xT x,
及 xT Ax = xT AT x = Ax T x = xT x= xT x.
1
1
0
,
1 0 1
则有
P -1 AP
=
-2 0
0 1
0 0 .
0 0 1
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．
例3
设矩阵A
=
1 4
1 1
0 t ,
0 0 3
(1)求A100的特征值 .
(2)确定t,使A相似于对角阵，并求出及可逆阵 P，
使 P-1AP = .
2. P -1A1 A2 P = P -1 A1P P -1 A2 P .
3. 若A与B相似,则Am与Bm相似m为正整数.

线性代数第五章

的特征值，
2 1
为对应于l
=
1
的特征向量.
一、基本概念
3、向量空间与基
向量空间的定义 :设V为n维向量的集合, 且V非空, 若集合V对于向量的加法和数乘封闭： a, b V , k R,有
a b V , ka V , 则称集合V为向量空间. 向量空间中的一个最大无关组称为该向量空间的一个基. 如：
Rn : n 维实向量空间.
Rn中任意n个线性无关的向量组均可作为 Rn 的一组基.
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = xT y．
内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y] = [y, x]．
线性性质： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 当 x = 0（零向量）时， [x, x] = 0；
可求得向量在标准正交基下的坐标. 因此，在给向量空间取基时常常取标准正交基.
问题：向量空间 V 中的一个基 a1, a2, …, ar
向量空间 V 中的一个标准正交基 e1, e2, …, er
4、求标准正交基的方法基正交基标准正交基
第一步：正交化——施密特（Schimidt）正交化过程
, ,
ar b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 , ar ] [br1 , br1 ]
br
1
于是 b1, b2, …, br 两两正交，并且与a1, a2, …, ar 等价，即

线性代数知识点总结(第3章)

线性代数知识点总结（第3章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+a n b n=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AA T=E ←→ A-1=A T←→ A T A=E → |A|=±1 （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s 即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→ r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn |=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，x s）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n ←→|α1，α2，…，αn |≠0 ←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

《线性代数》复习笔记习题答案

题 3：计算 D 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 3 1 2
1 3 1 2
1 3 1 2
解： D c1 c2 1 5 3 4 r2 r1 0 8 4 6 r2 r3 0 2 1 1
0 2 1 1 r4 5r1 0 2 1 1
0 8 4 6
5 1 3 3
0 16 2 7
0 16 2 7
2
3
1
2
22
3
2
2
4
6
1 1 1 12 12 12 2 2 2
矩阵的数乘每个元素均要乘以 k
111 1 1 1 111 2 A 2 1 2 3 12 22 32 2 4 6
111 1 1 1 111
行列式的数乘某行或者某列乘以 k
1 3
题
2.
A
2 1
1 1
0 3
，
B
10
0 3
0 2 1 2
1 1 3 1
01 1 1 11 3 1
00 10
1 3
3 3
1 1
1 4
93
AB BA ( A B)2 A2 2 AB B2 A2 B2 A B A B
2.转置矩阵、伴随矩阵、单位矩阵、逆矩阵
1）转置矩阵 A 。（行变列，列变行。）
解：按第一行展开
123
D 2 1 1 1 (1)11 1 1 2 (1)12 2 1 3 (1)13 2 1 1 6 15 8
32
12
13
132
123
若按第二列展开： D 2
1
1
2 A12
A22
3A32
2

线性代数5-3,4相似矩阵2

(ii) 对每一个ri重特征值i , 求出对应的ri个线性无关的特征向量 i1 ,i 2 ,L ,iri（方程组 ( A i E)x O的基础解系）
令
(r1 r2 L rr n)
P1 P2
Pr1
则P ( p1 , p2 ,L , pn )为对角相似变换阵.
P中的pi与中的i
相对应! P1AP 先后次序一致！
1
2
O
Pn
n
例、判断A是否可对角化,若可以,求变换阵P.
解
1 0
0
A E 2 5 2 (1 )2
化时，求可逆矩阵P，使 P1AP 为对角阵.
0 1
解
AE 1
1
1 x 1
0
1
1
( 1)2 ( 1)
得 1 1, 2 3 1
对于重根λ2 =λ3=1，要对应两个线性无关的特征向量
即方程(A-E)X=0有2个线性无关的解
即 R(A E) 1
1 0 1 1 0 1
A
E
R( A E) R( E)
是k重特征根时， E的对角线上，有且仅有k个零
R( E) n k R( A E) n k. 1
证毕
E
2 O
N
用可逆矩阵将实对称矩阵A化为对角阵的步骤：
(i) 求出A的所有相异的特征值1 , 2 ,L , s ;
它们的重数依次为 r1 , r2 ,L rs (r1 r2 L rs n)
(n
)
(p122)对一般矩阵A，f ( )是A的特征多项式， f ( A) O.
f ( ) A E 哈密尔顿-凯莱定理（难证）
当 A 与相似时,容易证明
i 是A的特征值

线性代数 3-5 第3章5讲-极大线性无关组和秩(1)

解
(1)
1，
2，
3
1，2，3
1
1
1
1
1
1 40
1 1 1 1 1 1 1
1 1 11
2
0
1，
2，3
1，
2，3
1
1
1
1，
2，
3
1 2
1 2
1 1 1
0
1
2
1
2
0
1
2 9
极大线性无关组和向量组的秩(1)
1 1 2 3 已知向量1，2，3分别可由1，2，3线性表示，即 2 1 2 3
由线性相关性的性质3.6推论得 r2 r；1
反过来，因为1,2 , ,m可由1, 2 , , s线性表示，即1,2 , ,m的极大无关组可由1, 2 , , s的极大无关组线性表示，
由线性相关性的性质3.6推论得 r1 r2.
, s ) r2.
推论
设向量组1, 2 ,
,
s
线性无关，且可由向量组1，
6
极大线性无关组和向量组的秩(1)
定理3.6 等价的向量组有相同的秩.
证设向量组1,2 , ,m与1, 2 , , s等价，记r(，1 ，2 ，m ) r，1 r(1, 2, 因为1, 2 , , s可由1,2 , ,m线性表示，即1, 2 , , s的极大无关组可由1,2 , ,m的极大无关组线性表示，
线性代数（慕课版）
第三章向量与向量空间
第五讲极大线性无关组和秩(1)
主讲教师 |
本讲内容
01 极大线性无关组和向量组的秩(1)
极大线性无关组和向量组的秩(1)
向量组的极大无关组
定义3.6

线性代数课件5-3正定二次型

定理3 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正，即 a11 a1n a11 a12 0; a 0 , , 0, 11 a21 a22 an1 ann 对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即 a a 11 1 r r 1 0 , r 1 , 2 , , n . a a r 1 rr 这个定理称为霍尔维茨定理．
都有 f (x) 0,则称 f为负定二次型 ,并称对称矩阵
例如
2 2 2 为正定二次型 f x 4 y 16 z
No Image
为负定二次型
三、正(负)定二次型的判别
件是 :它的标准形的 n 个系数全为正 . 证明
No Image
T 定理 2 实二次型 f x Ax 为正定的充分
No Image
充分性
No Image
No Image
No Image
故
2 f x k y 0 . i i i 1
n
必要性
No Image
f Ce k 0 . s s
No Image
No Image
则当 y e ( 单位坐标向 ) 时 , s
故
No Image
推论对称矩阵 A为正定的充分必要条件是：A 的特征值全为正．
ki 0 , i 0 ,
1,
, r 中正数的个数相等 .
二、正(负)定二次型的概念
次型 ,并称对称矩阵 A 是正定的 ;如果对任何 x 0 A 是负定的 .
定义 1 设有实二次型 f (x) xT Ax ,如果对任何
显然 x 0,都有 f x 0 f 0 0,则称 f为正定二