线性代数真题1987-2013选择题

线性代数历年考研试题精解
二、选择题
1.(1987—Ⅰ,Ⅱ)设 A 为 n 阶方阵,且 A 的行列式 A a 0 ,而 A* 是 A 的伴随矩阵,则 A* 等于
（C）
(A) a .
1
(B) .
a
(C) an1 .
【考点】伴随矩阵的性质.
解 A* A n1 .
(D) an .
2.(1987—Ⅳ,Ⅴ)假设 A 是 n 阶方阵,其秩 r n ,那么在 A 的 n 个行向量中（ ） (A) 必有 r 个行向量线性无关. (B) 任意 r 个行向量线性无关. (C) 任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组. (D) 任何一பைடு நூலகம்行向量都可以由其他 r 个行向量线性表出.
Ax 0 的基础解系;又 A 1 2 A1 A2 b ,故 1 2 为 Ax b 的一个特解;由非齐次线
2
2
2
性方程组解的结构,知选(B).
对(A): 1 2 为 Ax 0 的解. 2
对(C): 1
2 为
Ax
2b
的解,且
1
2 2
为
Ax
0 的解.
对(D):1, 1 2 不一定线性无关.
12.(1991—Ⅴ)设 A, B 为 n 阶方阵,满足等式 AB O ,则必有（ ）
11.(1991—Ⅳ)设 A 为 n 阶可逆矩阵, 是 A 的一个特征值,则 A 的伴随矩阵 A* 的特征值之一是
（）
(A) 1 A n .
(B) 1 A .
(C) A .
(D) A n .
【考点】特征值的性质.
解 选(B). Ax x A*( Ax) A*( x) A x ( A*x) A*x A x .
【考点】向量组线性无关的性质.
解 向量组1,2 ,,s 线性无关的充分必要条件是1,2 ,,s 中任意一个向量均不能由其余
s 1个向量线性表示.选(C).
对(A):如 1
1 0
,
2
0 1
,
3
1 1
均不为零向量,但1,2 ,3 线性相关.
对(B):如 1
1 0
,2
0 1
,3
1 1
中任意两个向量的分量不成比例,但1,2 ,3
线性相关.
对(D):如 1
1 0
,
2
0 1
,
3
1 1
中 1
线性无关.
9.(1990—Ⅴ)设 A 是 n 阶可逆矩阵, A* 是 A 的伴随矩阵,则（ ）
(A) A* A n1 . (B) A* A . (C) A* A n . (D) A* A1 .
参考 1.(1987—Ⅰ,Ⅱ). 选(A).
(B) AB BA .
(C) AB BA .
(D) ( A B)1 A1 B1 .
【考点】矩阵的性质.
解 AB A B BA .选(C).
6.(1989—Ⅴ)设 n 元齐次线性方程组 Ax 0 的系数矩阵 A 的秩为 r ，则 Ax 0 有非零解的充分必
要条件是（ ）
(A) r n . (B) r n . (C) r n . (D) r n .
(B)1,2 ,,s 中任意两个向量都线性无关.
(C)1,2 ,,s 中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出.
(D)1,2 ,,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.
【考点】向量组线性相关的性质. 解 “向量组线性相关的充分必要条件是至少有一个向量可由其余向量线性表示”的逆否命题是(D). 对(A):“存在”改为“任意”就正确.
对(B):如 1
1 0
,2
0 1
,3
1 1
中任意两个向量都线性无关,但1,2 ,3
线性相关.
对(C): 1
1 0
,
2
0 1
,
3
0 2
中1 不能由2 ,3
线性表示,但1,2 ,3
线性相关.
4.(1989—Ⅰ,Ⅱ,Ⅳ,Ⅴ)设 A 是 n 阶方阵,且 A 的行列式 A 0 ,则 A 中（ ）
(A)必有一列元素全为零. (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合. 【考点】向量组线性相关的判别定理.
(B)必有两列元素对应成比例. (D)任一列向量是其余列向量的线性组合.
解 A 0 R( A) n A 的列(或行)秩 n A 的列(或行)向量组线性相关.选(C).
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5.(1989—Ⅳ)设 A 和 B 均为 n n 矩阵,则必有（ ）
(A) A B A B .
【考点】齐次线性方程组解的理论.
解 齐次线性方程组 Amn xn1 0m1 有非零解的充分必要条件是 R( A) n .选(B).
7.(1990—Ⅰ,Ⅱ)已知 1, 2 是非齐次线性方程组 Ax b 的两个不同的解,1,2 是对应齐次线性
方程组 Ax 0 的基础解系, k1, k2 为任意常数,则方程组 Ax b 的通解（一般解）必是（ ）
(A) k11 k2 (1 2 )
1 2 2
.
(C) k11
k2 (1
2 )
1
2 2
.
【考点】非齐次线性方程组解的结构.
(B) k11
k2 (1
2)
1
2 2
.
(D) k11
k2 (1
2 )
1
2
2
.
解 1,1 2 线性无关且为对应齐次线性方程组的解,故 1,1 2 是对应齐次线性方程组
【考点】矩阵的秩,向量组的线性相关性及向量组的最大无关组.
解 R( A) r n A 的行秩 r n A 的行向量组的最大无关组含 r 个行向量.选(A).
3.(1988—Ⅰ,Ⅱ) n 维向量组1,2 ,,s (3 s n) 线性无关的充分必要条件是（ D ）
(A) 存在一组不全为零的数 k1, k2 ,, ks ,使 k11 k22 kss 0 .
10.(1991—Ⅰ,Ⅱ)设 n 阶方阵 A, B, C 满足关系式 ABC E ,其中 E 是 n 阶单位阵,则必有（ ）
(A) ACB E . (B) CBA E . (C) BAC E .
【考点】可逆矩阵的判别定理之推论.
(D) BCA E .
解 由 E ABC A(BC) 知 BC 是 A 的逆矩阵.选(D).
8.(1990—Ⅳ,Ⅴ)向量组1,2 ,,s 线性无关的充分条件是（ ）
(A)1,2 ,,s 均不为零向量.
(B)1,2 ,,s 任意两个向量的分量不成比例.
(C)1,2 ,,s 中任意一个向量均不能由其余 s 1个向量线性表示.
(D)1,2 ,,s 中有一部分向量线性无关.
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