高一数学1.3.1正弦函数的图像与性质学案2
正弦函数的图象和性质教案
第一章：正弦函数的定义与基本概念1.1 引入正弦函数讲解正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是角的对边与斜边的比值。
强调正弦函数的单位：弧度制。
1.2 分析正弦函数的性质周期性：正弦函数周期为2π。
奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。
1.3 举例说明正弦函数的应用利用正弦函数计算角度对应的弧度值。
应用正弦函数解决实际问题，如测量角度等。
第二章：正弦函数的图象2.1 绘制正弦函数的基本图象利用计算器或绘图软件，绘制y = sin(x)的图象。
观察并描述正弦函数的波形特点，如波动、振幅、周期等。
2.2 分析正弦函数图象的性质周期性：正弦函数图象每隔2π重复一次。
奇偶性：正弦函数图象关于原点对称。
振幅：正弦函数图象的最大值为1，最小值为-1。
2.3 绘制正弦函数的相位图利用计算器或绘图软件，绘制不同相位角的正弦函数图象。
分析相位对正弦函数图象的影响。
3.1 分析正弦函数的单调性证明正弦函数在区间[0, π]上单调递增。
证明正弦函数在区间[π, 2π]上单调递减。
3.2 研究正弦函数的极值求解正弦函数的极大值和极小值。
分析极值出现的条件。
3.3 探讨正弦函数的奇偶性证明正弦函数是奇函数。
探讨正弦函数的偶函数性质。
第四章：正弦函数的应用4.1 正弦函数在物理中的应用介绍正弦函数在振动、波动等物理现象中的应用。
举例说明正弦函数在电磁学中的应用。
4.2 正弦函数在工程中的应用探讨正弦函数在信号处理、通信工程等领域的应用。
举例说明正弦函数在声学、光学等工程领域的应用。
4.3 正弦函数在其他领域的应用介绍正弦函数在音乐、艺术等领域的应用。
探讨正弦函数在其他科学领域的应用。
第五章：正弦函数的综合应用5.1 求解正弦函数的方程求解方程sin(x) = a，其中a为给定的数值。
介绍解正弦方程的方法和技巧。
5.2 利用正弦函数解决实际问题举例说明利用正弦函数解决测量、导航等实际问题。
介绍正弦函数在数据分析、图像处理等领域的应用。
高中数学正弦函数的图像和性质—学案
1.3《正弦函数的图像和性质》 导学案 2015/3/20命制：徐 庆 班级 姓名导学目标:1．掌握正弦函数图象的画法．2．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数简图的方法，并利用正弦函数图象掌握单调 性、最值等有关结论。
3．通过学习正弦函数图象的画法培养分析问题、解决问题的能力．重点与难点:五点法画正弦函数的图象、理解正弦函数y=sinx 的性质．课前自主练习：分别画出一、二、三、四象限角的正弦线xyxyxyx y探索新知：一、研究正弦函数 的图像 方法1. 描点法:基本步骤： ⑴列表 ⑵描点 ⑶连线 x6π 3π 2π 32π 65π π 67π 34π 23π 35π 611π2π y=sinx方法2. 三角函数线法 :第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n (这里12n =)等份.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数 y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．---2π23πxyπ2π11----[]π2,0,sin∈=x x y _ - 1_1_ x _ 11_x _10 _x _8_x _7_x _5_x _4_ x_ 3_ x _2_x _1 _ M _ 5_ M _ 4_ M _ 2_ M _ 1_ P _ 11_ P_ 10_ P_9_ P_8_ P_7_ P _5_ P _4_ P _3_ P _2_ P _1_ P __ P _6 _ o' _x _9_ O_y _x思考一，在精度要求不高的情况下，如何画出y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：思考二，如何画出y=sinx ，x ∈R 的图象？知识升华：根据上图y=sinx ，x ∈R 的图象，可以得到正弦函数y=sinx ，x ∈R 的以下重要结论：8．最值情况：①当且仅当x ＝ 时，取得最大值 ； ②当且仅当x ＝ 时，取得最小值 ．1. 定义域:2. 值域：3. 奇偶性:5.单调性:单调递增区间: 单调递减区间:6.对称中心:π7. 对称轴方程:4. (最小正) 周期:x典例剖析：例1.比较下列各组数的大小例2. “五点法” 画出函数y =1+sin x ，x ∈[0, 2π]的简图oo 200sin 10sin 与巩固练习1．比较大小： ⎪⎭⎫⎝⎛5sin π⎪⎭⎫⎝⎛3sin π2、“五点法” 画出函数y=2sinx 在一个周期内的简图课堂小结：课后作业：1、课本p43,练习1、2、32、“五点法” 画出函数y=sin2x 在一个周期内的简图3、“五点法” 画出函数y =sin （x + 3）在一个周期内 的简图：。
正弦函数的图像与性质教案
正弦函数的图像与性质教案教学目标：1. 了解正弦函数的定义和图像特点。
2. 掌握正弦函数的周期性和对称性。
3. 理解正弦函数的增减性和奇偶性。
4. 能够应用正弦函数的性质解决实际问题。
教学内容：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1.2 正弦函数的图像第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义2.2 周期性的图像表现第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义3.2 对称性的图像表现第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义4.2 增减性的图像表现第五章：正弦函数的奇偶性5.1 奇偶性的定义5.2 奇偶性的图像表现教学步骤：第一章：正弦函数的定义与图像1.1 正弦函数的定义1. 引入正弦函数的概念，让学生回顾三角函数的定义。
2. 解释正弦函数的定义，即在直角坐标系中，正弦函数表示对边与斜边的比值。
1.2 正弦函数的图像1. 利用计算机软件或板书，绘制正弦函数的图像。
2. 解释正弦函数图像的波动特点，如周期性和振幅。
第二章：正弦函数的周期性2.1 周期性的定义1. 引入周期性的概念，让学生理解周期函数的定义。
2. 解释正弦函数的周期性，即每隔一个周期，函数值重复出现。
2.2 周期性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数周期性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解周期性的特点。
第三章：正弦函数的对称性3.1 对称性的定义1. 引入对称性的概念，让学生理解对称函数的定义。
2. 解释正弦函数的对称性，即函数图像关于y轴对称。
3.2 对称性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数对称性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解对称性的特点。
第四章：正弦函数的增减性4.1 增减性的定义1. 引入增减性的概念，让学生理解函数的增减性质。
2. 解释正弦函数的增减性，即在一定区间内，函数值的增减规律。
4.2 增减性的图像表现1. 利用计算机软件或板书，展示正弦函数增减性的图像。
2. 引导学生观察图像，理解增减性的特点。
中学数学正弦函数的图象和性质教案
中学数学正弦函数的图象和性质教案中学数学正弦函数的图像和性质教案一、引言正弦函数是数学中重要的一类周期函数，它在物理、工程等领域有着广泛的应用。
本教案将介绍正弦函数的图像和性质，通过图像展示和数学表达，帮助学生深入理解正弦函数的特点和应用。
二、图像展示正弦函数的图像是一条连续的波形，具有周期性。
我们首先通过计算和绘制来展示正弦函数的图像。
1. 定义正弦函数正弦函数记作y = sin(x)，其中x为自变量，y为函数值。
正弦函数的定义域为全体实数，值域为闭区间[-1, 1]。
为了方便，我们先以角度作为自变量，再将其转换为弧度。
2. 绘制正弦函数的图像我们选取适当的自变量取值范围，例如：-2π ≤ x ≤ 2π。
3. 绘制坐标系在平面直角坐标系中，绘制x轴和y轴，并标出刻度和坐标点。
4. 计算函数值根据正弦函数的性质，计算各个自变量对应的函数值。
例如，计算x = π/2时的函数值为sin(π/2) = 1。
5. 绘制图像连接各个坐标点，绘制正弦函数的图像。
注意保证图像的连续性。
三、正弦函数的性质了解正弦函数的特点及性质，对我们进一步的应用和理解具有重要意义。
1. 周期性正弦函数是一个周期函数，其最小正周期为2π。
即对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)。
2. 对称性正弦函数是奇函数，具有中心对称性。
即对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
3. 函数值范围正弦函数的值域为闭区间[-1, 1]，即对于任意实数x， -1 ≤ sin(x) ≤ 1。
4. 单调性正弦函数在区间[-π/2, π/2]上递增，在区间[π/2, 3π/2]上递减。
即在一个最小正周期内，正弦函数先增后减，且在关于x轴的中心对称位置取得最值。
5. 零点正弦函数有无数个零点，其中一个重要的零点是x = 0。
对于一般情况，sin(x) = 0的解是x = kπ（k为整数）。
四、练习题为了加深学生对正弦函数图像和性质的理解，我们给出以下练习题。
正弦函数的图象和性质教案
正弦函数的图象和性质教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解正弦函数的定义和图象特点；（2）掌握正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）能够运用正弦函数的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察正弦函数的图象，探索其性质；（2）运用数形结合的方法，理解正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对正弦函数图象和性质的兴趣；（2）培养学生积极参与数学探索的精神；（3）提高学生对数学美的感受，培养审美情趣。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）正弦函数的定义和图象特点；（2）正弦函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用正弦函数的性质解决实际问题。
2. 教学难点：（1）正弦函数的周期性和对称性的理解与应用；（2）运用数形结合的方法，探索正弦函数的性质。
三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、投影仪、正弦函数图象和性质的课件。
2. 学具：笔记本、尺子、圆规、三角板。
四、教学过程1. 导入：（1）复习已知函数的图象和性质，如一次函数、二次函数、反比例函数；（2）提问：正弦函数的图象和性质是什么？2. 新课讲解：（1）讲解正弦函数的定义和图象特点；（2）引导学生观察正弦函数的图象，探索其单调性、奇偶性、周期性和对称性；（3）运用数形结合的方法，讲解正弦函数的性质。
3. 课堂练习：（1）让学生独立完成教材中的相关练习题；（2）挑选学生上黑板演示和解说正弦函数的性质。
五、课后作业1. 完成教材中的课后练习题；2. 结合生活实际，寻找正弦函数的应用实例，下节课分享。
教学反思：本节课通过观察正弦函数的图象，引导学生探索其性质，培养了学生的数形结合思想。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的数学素养。
结合实际生活中的例子，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 小组讨论：让学生分组讨论正弦函数在不同区间的单调性，奇偶性，以及如何判断这些性质。
1.3.1正弦函数图像和性质-教学设计-崔鹏-人大附中
《正弦函数图象及其性质》教学设计学校：人大附中姓名：崔鹏学科：数学年级：高一1.3.1 正弦函数图象及其性质中国人民大学附属中学崔鹏●指导思想与理论依据本教学设计力图以《高中数学课程标准》为依据，以“师生互动教学”为指导，以教师主导、学生主体为理念，以信息技术融入学科结合动手操作教学为手段，以课堂为依托来实现教学目标．《高中数学课程标准》指导下的新教材将突破以知识块为主线，而以基本的数学思想方法为主线来选择和安排教学内容，强调数的意识、空间观念、优化思想、统计思想、方程与函数思想、估计意识、推理意识和应用意识，强调从运算意义出发进行思考和教学，强调密切联系学生的生活．目的是让学生通过基础知识和基本技能的学习，学会从数学的角度提出问题、理解问题，能综合应用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识．学生学习，尤其是新授课教与学应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程．认真听讲、积极思考、动手实践，自主探索、合作交流都是学习数学的重要方式．因此，本节课采用小组合作是学生喜闻乐见的形式，让学生从小组合作探究开始进入学习，可以让学生在合作的过程体验学习的快乐，旨在为学生提供对新知识的认识角度，结合生活实际解决教学难点，从而启发学生的创新性思维．●教学背景分析内容分析本节内容是高中数学人教B版教材《必修四》第一章第三节第一课时内容．三角函数是高中数学范围内学生接触的最后一类基本初等函数，而正弦函数是其中最具代表性的函数．学生通过必修一的学习，已经初步掌握了研究函数的一种基本方法，即通过图象研究函数的性质，通过简单的函数性质修正函数的图象．学情分析在本节课前，学生已经接触了弧度制、任意角三角函数定义、同角三角函数基本关系式和诱导公式等知识，并通过三角函数线初次体会了三角函数“形”的概念，那么，建立正弦函数与其自变量之间的映射关系并抽象为函数图象是本节课的难点．教学方法（1）通过正弦线的变化趋势，让学生建立直观的函数变化趋势，初步总结归纳出正弦函数性质；（2）通过描点，帮助学生建立角的弧度值到坐标轴的对应关系，以实物教具的方式，让学生动手将弧长转化为数；（3）通过描点、分析、实物帮助作图到五点法，使学生逐步深入地了解正弦函数的图象形状，养成五点作图的习惯，并通过练习落实；（4）本节课将以多媒体、实物教具辅助教学的手段，通过小组合作、归纳探究、展示评价的方式展开，培养学生的自主思考能力和动手实操能力．●教学目标与重点、难点设计教学目标1．知识目标：理解正弦函数的性质，能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象；2、过程目标：通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会研究函数的基本方法，学会通过函数的性质作出函数草图，通过函数图象推演函数的性质的过程；3、情感目标：通过图象的学习，培养由局部到整体，具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃．教学重点：正弦函数的性质与图象；教学难点：理解弧度值与x轴上的点的对应；● 教学过程与教学资源设计 教学过程： 一、复习回顾我们已经学习了任意角的三角函数以及三角函数线的内容，并且定义了正弦函数，y=sinx ，x ∈R ．三角函数是我们高中范围内学习的最后一种函数．我们已经有了一些研究函数的基本方法． 【提问1】根据这些经验，我们应该从哪几个方面研究正弦函数？ →定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，最值，图象等． 本节课我们将研究正弦函数的图象和性质．二、课堂活动【活动1】学生结合已有的经验，小组活动研究正弦函数的图象和性质．【提问2】你是怎样作出这个图象的？为什么可以这样作图？【提问3】你作出的图象是正弦函数图象吗？为什么图象是这样的形状？有没有使图象更精确的做法？→材料：一个圆形纸片（半径为1的圆），两根软绳，一把直尺．【提问4】在什么点拐弯，另外一边是什么样的？图中有哪些关键点？这些关键点对我们作图有什么帮助？【设计意图】五点作图法，五个点分别为：3(0,0),(,1),(,0),(,1),(2,0)22ππππ-． 【提问5】结合图象，你能得出正弦函数的哪些性质？ 【设计意图】培养学生根据图象获取函数性质的能力．【活动2】分小组展示，每组总结得出一条正弦函数的性质，其他组补充，教师点评． 【提问1】你是怎样得到这些性质呢？这些性质可以帮助我们作出正弦函数图象吗？ 【设计意图】培养学生根据性质作图的习惯．【活动1】学生分小组展示正弦函数的性质并讲明道理，并根据性质作出正弦函数的图象．其他组补充，教师点评．【提问2】要想得到正弦函数的图象，除了性质以外，我们还需要借助哪些条件？你有比较用1号绳量取弧长用2准确的作图方法吗？【活动2】两名学生演示作图方法，并解释该方法的原理．方法归纳：作图时，可以从0度开始量取单位圆上的一段弧长，即为对应的角度，再量取弧的终端到x 轴的线段数量，即为正弦值，利用线的长度分别得到一点的两个坐标即可．【提问3】图中有哪些关键点？这些关键点对我们作出正弦函数的草图有什么帮助？ 【活动3】试作出正弦函数的图象． 【设计意图】明确正弦函数图象的形状后，为了简化作图方式，在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数的简图．只要这五个点描出后，图象在[0,2π]上的形状就基本确定了．三、课堂总结本节课我们作出了正弦函数的图象，并根据图象总结得到了正弦函数的重要性质．（本节课我们通过对正弦函数的定义和正弦线得到了正弦函数的性质，并根据性质作出了正弦函数的图象）．这是研究函数的基本方法．后面的学习，我们将继续深入研究正弦函数的性质和图象．学习效果评价设计1、根据课上的讨论，完成下面的表格． 正弦函数的性质正弦函数还具有周期性，这通过其图象不难发现．你知道如何定义函数的“周期”吗？用1号绳量取弧长用22、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；3、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=2sin x 和y = sin x 在[-2π，2π]上的图象；4、用五点法在同一坐标系内作出函数y = sin x ，y=|sin x|和y =sin|x |在[-2π，2π]上的图象；【设计意图】本节课的重点是正弦函数的图象和性质，但是考虑到学生经过探究得到正弦函数图象之后可以很容易根据图象得到正弦函数的性质，因此在设置课堂练习和课后习题时，一方面落实“五点作图法”，并辅以简单的图象变换，另一方面引导学生总结归纳正弦函数的性质．教学设计特色说明与教学反思本节课围绕正弦函数的图象和性质展开．根据学生的思维过程，可以通过几何法或描点法先作出函数图象再归纳总结性质，也可以根据三角函数线的变化规律先探究函数性质，再作出图象．不管是从哪个角度，都希望向学生渗透函数性质和图象的依存关系，这也是数形结合的重要意义所在．根据“形”，即三角函数图象得到三角函数的性质后，可以进一步指导学生根据性质作出正弦函数图象．如利用周期性，将正弦函数图象的研究范围缩小到[-π，π]，利用奇偶性，将范围进一步缩小到[0，π]，利用对称性，将范围进一步缩小到[0，2]，这样我们可以只研究锐角的三角函数值，这大大降低了研究正弦函数的难度．在教学环节中，教师的个别指导和小组展示评价是本节课是否能够达到教学目标的关键，也是甄别学生是否能从小组合作和自主探究中体会新知识的研究方法，尤其是和生活衔接非常紧密的三角函数的研究方法，而后将本部分内容自然地镶嵌到一般函数的研究方法中，从而启发学生的学习和探究过程．板书设计：。
第一章 1.3.1正弦函数的图象与性质(二)
本 课 时 栏 目 开 关
填一填·知识要点、记下疑难点
1.3.1（二）
1． 正弦曲线
本 课 时 栏 目 开 关
从函数图象看，正弦函数 y＝sin x 的图象关于 原点 对称； 从诱导公式看，sin (－x)＝ －sin x 对一切 x∈R 恒成立． 所以说，正弦函数是 R 上的 奇 函数．
填一填·知识要点、记下疑难点
练一练·当堂检测、目标达成落实处
3．判断下列函数的奇偶性： 1－sin x (1)f(x)＝xsin(π＋x)；(2)f(x)＝ . 1＋sin x
研一研·问题探究、课堂更高效
跟踪训练 2 求下列函数的周期． 3 2 (1)y＝cos 2π－3x； 1 π (2)y＝sin－2x＋3.
2 2π 解 (1)y＝－sin 3x，T＝ 2 ＝3π. 3
1 π 2π 1 sin x－ ，T＝ × ＝2π. (2)y＝ 3 1 2 2
∵f(x)的最小正周期是 π， 5π 5π π ∴f 3 ＝f 3 －2π＝f－3. 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数， π π 5π π 3 3 － ＝f ＝sin ＝ ＝ ∴f 3 3 3 2 .∴f 3 2 .
研一研·问题探究、课堂更高效
例 2 求下列函数的周期． π (1)y＝sin2x＋3 (x∈R)； (2)y＝|sin 2x| (x∈R)．
本 课 时 栏 目 开 关
1.3.1（二）
解
(1)方法一
π 令 z＝2x＋3，
∵x∈R，∴z∈R，函数 f(x)＝sin z 的最小正周期是 2π， 就是说变量 z 只要且至少要增加到 z＋2π， 函数 f(x)＝sin z(z∈R)的值才能重复取得， π π 而 z＋2π＝2x＋3＋2π＝2(x＋π)＋3，所以自变量 x 只要且至少 π 要增加到 x＋π， 函数值才能重复取得， 从而函数 f(x)＝sin2x＋3 (x∈R)的周期是 π.
正弦函数的性质(二)导学案
正弦函数的性质（二）导学案高一数学组赵飞(一)导学目标1．知识与技能（1）通过正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质。
（2）能够灵活应用正弦函数的性质解决相关问题。
2．过程与方法通过数形结合研究正弦函数的性质，增强学生自主学习、解决问题的能力，并归纳出解决问题的通解通法。
3．情感态度与价值观通过自主探究与合作交流激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，2810πππ-<-<-<[,]2ππ(1)定义域:R (2) 值域为[-1,1]max 2k 12x k Z y =+∈=π当π（）时，；(3)期周性: T 2π＝ (4)正弦函数的单调性：增区间为(5)∈R)是奇函数 (6)对称性：正弦函数图像关于点 中心对称：关于直线 对称二、问题探究正弦函数性质的简单应用例1、 比较下列各组正弦值的大小：分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。
解： （1）因为并且f(x)=sinx 在 上是增函数，所以(2)因为并且f(x)=sinx 在 上是减函数，所以 (),0k π,2x k k Z ππ=+∈(1)sin()sin()810ππ--与57(2)sin sin 88ππ与,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦sin()sin()810ππ-<-57288ππππ<<<min 212x k k Z y =-+∈=-π当π（）时，.26x π+例2、求函数 在x 取何值时取到最大值？在x 取何值时取到最小值？ 分析：关键点：把看作一个整体。
解： 在处到达最大值1。
即，当时， 达到最大值1。
在 处达到最小值-1。
即当 时达到最小值-1。
例３、求下列函数的定义域和值域：解（1）(2)：定义域为函数的值域为 例4、 求函数)321sin(2π+=x y的单调递增区间；思考：你能求函数sin()32xyπ=- 的单调递增区间吗？答案：三、课堂小结57sin sin 88ππ>()sin(2)6f x x π=+()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=+()6x k k z ππ=+∈()sin(2)6f x x π=+2262x k πππ+=-+()3x k k z ππ=-+∈1(1)1sin y x=+(2)y =2,2x x k k z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭定义域为12y y ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭函数的值域为[]0,1.1.正弦函数的性质及其应用2.题型归纳:求复合函数的定义域、值域、单调区间及正弦函数单调性的应用（比较大小）. 3、数形结合与整体代换的思想。
数学：1.3.1《正弦函数的图像与性质》课件(2)(新人教b版必修4)
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，
使得定义域内任意x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么
函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个
函数的周期。
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期 中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫
做f(x)的最小正周期。（有些周期函数没有最小正
周期）.
注意：
因此正弦曲线关于原点O对称. (5)单调性 闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增
2
2
函数，其值从－1增大到1；
3 闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减 2 2
函数，其值从1减小到－1
例3：设sinx=t－3，x∈R，求t的取值范围。
解：因为－1≤sinx≤1,
实是八十几座小型の传送塔,还有壹些古井,这里应该就是风家の壹些上古传送阵了.壹般来说,每壹个圣地,或者是大家族,都会有壹些这样の上古传送阵.至于这些上古传送阵是哪里来の,很大壹部分,都是出自陈三六の先祖之手,也就是炼金术士们留下の.这些传送阵也是各大势力の资 源,随时可以传送到别の地方去,也是壹种能力,是大势力の实力配备.根汉他们三人来到了这外面,白狼马和陈三六盯着这个女人壹阵,都觉得好美好美,两个大花痴の样子实在是令根汉丢脸了."你们这两货."根汉壹左壹右将这两个给拎了起来,带着他们进入到了其中の壹座传送古井."大 哥,你就让咱们多尔吧."白狼马向根汉恳求道："要不大哥你帮帮忙,将她给放进咱乾坤世界呀,让她给你当弟媳呀?""小白,你想女人想疯了吧,要收也是大哥收呀."陈三六也向根汉说："大哥你就收她当嫂子吧,嫂子这么美,咱们行呀以后.""有你们讲の这么夸张吗?"根汉有些无
高级中学人教B版高一数学必修四导学案1.3.1正弦函数的图像与性质1
正弦函数的图像和性质学习目标：．理解并掌握利用单位圆作正弦函数图象的方法；．理解并熟练掌握用“五点法”作出正弦函数的简图的方法，并利用图象解决一些有关问题．掌握正弦函数的周期和最小正周期，并能求出正弦函数的最小正周期；．掌握正弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正弦函数的单调区间．知识链接：弧度制、三角函数的定义、描点法作图的步骤。
【自主学习】一、复习图像：．用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．．用五点法作正弦函数的简图（描点法）：作正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？.“五点（画图）法”的优点是方便，缺点是精确度不高．二.预习教材，画出正弦曲线，回答以下问题：正弦函数性质：．定义域：正弦函数的定义域是实数集［或(－∞，＋∞)］．．值域：正弦函数∈的值域是．①当且仅当＝时，取得最大值；②当且仅当＝时，取得最小值．思考正弦函数取得最值的点有何特点？．单调性：在每一个闭区间上都是增函数，其值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.思考正弦函数在定义域内是单调函数吗？.对称性：的对称轴为，的对称中心为;三、探究合作展示例、设，求的取值范围。
变式：设求的取值范围。
变式：不等式恒成立，求的取值范围。
例、求下列函数取得最值时的自变量的集合，并写出最值是什么；()∈.()—∈. （）（）()∈（）（）例、利用函数的单调性,比较下列各组数的大小:()()与();()()与().四、能力提升：求函数()∈的周期，单调递增区间，对称轴，对称中心和最值点？变式：（、层选做）()∈[ππ]，求单调递增区间，对称轴，对称中心和最值点？变式：（、层选做）()，求单调递增区间？∈[ππ]呢？五、课堂巩固：。
人教版高中必修4(B版)1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计
人教版高中必修4(B版)1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计一、教学目标1.理解正弦函数的定义和图像特征，掌握正弦函数的周期、频率、最大值、最小值等基本性质。
2.通过分析实际生活中的周期性现象，初步了解正弦函数的应用。
二、教学重难点1.正弦函数的图像、定义和基本性质。
2.将正弦函数应用到具体问题中的能力。
三、教学内容及课时安排第一课时内容1.引入正弦函数的概念：回顾周期性现象（例如：日出日落、海浪涨落等），分析它们的特征，引出正弦函数的概念。
2.正弦函数的定义和图像特征：介绍正弦函数的数学定义，引导学生探究正弦函数的图像特征（包括对称中心、最大值、最小值、周期、频率等）。
3.正弦函数的性质：通过图像分析和数学推导，帮助学生掌握正弦函数的基本性质（例如：对称性、增减性、奇偶性等）。
设计1.利用多媒体课件，展示日出日落、海浪涨落等周期性现象的图片或视频，引发学生的思考。
2.通过对立体图形、等角三角形等实物进行变形，概括出正弦函数的定义及其图像特征，让学生更加直观地理解正弦函数。
3.让学生自己推导正弦函数的主要性质，并且给出经典推导。
第二课时内容1.正弦函数图像的变换：介绍正弦函数图像的平移、伸缩、反转等变换方法，并和实际生活中的实例联系起来。
2.正弦函数的应用：利用一些具体的例子（例如：弦的振动、交流电波等），让学生领会正弦函数在实际问题中的应用。
3.课堂实践：让学生自己设计一组正弦函数的变换图像，并且对变换的数学和物理意义进行解释。
设计1.利用多媒体展示正弦函数图像的平移、伸缩、反转等变换方法，让学生在视觉上感受图像的变化。
2.通过具体的例子（例如：弦的振动、交流电波等）让学生体会正弦函数在实际问题中的应用。
3.让学生自己制作正弦函数的变换图像，并且分析这些变换对正弦函数的数学和物理意义的影响。
四、教学方法与评价教学方法1.讲授法：通过讲解数学公式、图像特征等方式，帮助学生理解正弦函数的定义和性质。
《正弦函数的图像与性质》教案2 新人教B版必修4
1.3.1正弦函数的图像与性质(第二课时) 正弦函数的性质教学目标：1．理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法与学习指导策略建议：讲正弦函数的性质时，要从多方面讲解，一方面要用正弦函数的定义，从理论上分析推导；用诱导公式证明正弦函数是周期函数，且周期为πk2，0≠∈kZk且等等。
另一方面要观察图形，使学生对这些性质有直观印象。
教师在讲课时，可充分利用多媒体设备，让学生观察、理解、记忆。
教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线教师提问，学生回答。
为本节课的讲解新课作准备。
概念形成由正弦函数的作图过程以及正弦函数的定义，容易得出正弦函数xy sin=还有以下重要性质：(1)定义域：正弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：y＝sin x，x∈R(2)值域因为正弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线1=y和1-=y之间，所以｜sin x｜≤1，即－1≤sin x≤1也就是说，正弦函数的值域都是［－1，1］正弦函数y=sin x,x∈R①当且仅当x＝2π＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最大值1②当且仅当x＝－2π＋2kπ，k∈Z时，正弦函数取得最小值－1(3)周期性由sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)知：正弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的当自变量x的值每增加或减少π2的整数倍时，正弦函数的值重复出现。
在单位圆中，当角的终边饶原点转动到原处时，正弦线的数量（长度和符号）不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示。
这种性质称为三角函数的周期性。
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2kπ(k∈Z且k≠0)都是正弦函数的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期教师提问：定义域、值域分别是什么？并说明理由。
人教版数学高一学案正弦函数的图象与性质(二)
1.3.1正弦函数的图象与性质(二)学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)的周期.3.掌握函数y＝sin x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.知识点一函数的周期性思考1如果函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，那么3是f(x)的周期吗？思考2所有的函数都具有周期性吗？思考3周期函数都有最小正周期吗？梳理函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个____________，使得定义域内的__________值，都满足__________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期.(2)对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.知识点二正弦函数的周期性思考1证明函数y＝sin x是周期函数.思考2 证明函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数.梳理 由sin(x ＋2k π)＝________(k ∈Z )知，y ＝sin x 是________函数，____________________是它的周期，且它的最小正周期是________.知识点三 正弦函数的奇偶性正弦曲线：思考1 观察正弦曲线的对称性，你有什么发现？思考2 上述对称性反映出正弦函数有什么性质？如何从理论上加以验证？梳理 对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是______函数，正弦曲线关于______对称.类型一 三角函数的周期性例1 求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin(2x ＋π3)(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R ).反思与感悟 对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解.跟踪训练1 求下列函数的周期.(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3；(2)y ＝|sin 2x |.类型二 三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1－sin x ＋2sin 2x 1＋sin x.反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点：关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.关键点二：看f (x )与f (－x )的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝⎛⎭⎫5π3的值.反思与感悟 解决此类问题的关键是运用函数的周期性和奇偶性，把自变量x 的值转化到可求值区间内.跟踪训练3 若f (x )是以π2为周期的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝1，求f ⎝⎛⎭⎫－5π6的值.类型四 函数周期性的综合应用例4 已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)的值.反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值. 跟踪训练4 设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＝________.1.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π4，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B.πC.2πD.4π 2.下列函数中，周期为π的偶函数是( )A.y ＝sin xB.y ＝sin 2xC.y ＝|sin 2x |D.y ＝1－cos 2 x3.设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2的奇函数 D.最小正周期为π2的偶函数 4.函数y ＝sin(ωx ＋π4)的最小正周期为2，则ω的值为________. 5.若函数f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2，且满足 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ＜0，sin x ，0≤x ＜π，则f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝________.1.求函数的最小正周期的常用方法：(1)定义法，即观察出周期，再用定义来验证；也可由函数所具有的某些性质推出使f (x ＋T )＝f (x )成立的T .(2)图象法，即作出y ＝f (x )的图象，观察图象可求出T ，如y ＝|sin x |.(3)结论法，一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A 、ω、φ为常数，A ≠0，ω>0，x ∈R )的周期T ＝2πω.2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.答案精析问题导学知识点一思考1 不一定．必须满足当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋3)＝f (x )，才可以说3是f (x )的周期．思考2 不是．只有同时符合周期函数定义中的两个条件的函数才具有周期性．思考3 周期函数不一定存在最小正周期．例如，对于常数函数f (x )＝c (c 为常数，x ∈R )，所有非零实数T 都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期． 梳理 (1)非零常数T 每一个xf (x ＋T )＝f (x ) 非零常数T (2)最小的正数知识点二思考1 ∵sin(x ＋2π)＝sin x ，∴y ＝sin x 都是周期函数，且2π就是它们的一个周期．思考2 由诱导公式一知，对任意x ∈R ，都有A sin ＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 梳理 sin x 周期 2k π (k ∈Z 且k ≠0) 2π知识点三思考1 正弦函数y ＝sin x 的图象关于原点对称．思考2 正弦函数是R 上的奇函数．根据诱导公式，得sin(－x )＝－sin x ，对一切x ∈R 恒成立．梳理 奇 原点题型探究例1 解 (1)令z ＝2x ＋π3，因为x ∈R ，所以z ∈R .函数f (x )＝sin z 的最小正周期是2π，即变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数f (x )＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得．而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )的最小正周期是π. (2)因为y ＝|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x (2k π≤x ≤2k π＋π)，－sin x (2k π＋π<x ≤2k π＋2π)(k ∈Z )． 其图象如图所示，所以该函数的最小正周期为π.跟踪训练1 解 (1)T ＝2π|－12|＝4π. (2)T ＝π2. 例2 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， ∵f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >0，1＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z }． ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )，∴f (－x )＝lg －lg ＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z . ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练2 (1)奇函数 (2)非奇非偶函数 例3 解 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. ∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝32.跟踪训练3 解 因为f (x )是以π2为周期的奇函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－5π6＋π2 ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π3＝－1. 例4 解 ∵f (1)＝cos π3＝12， f (2)＝cos 2π3＝－12，f (3)＝cos π＝－1， f (4)＝cos 4π3＝－12，f (5)＝cos 5π3＝12， f (6)＝cos 2π＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝0.同理，可得每连续六项的和均为0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝cos 2 017π3＋cos 2 018π3＋cos 2 019π3＋cos 2 020π3＝cos π3＋cos 2π3＋cos π＋cos 4π3＝12＋(－12)＋(－1)＋(－12) ＝－32. 跟踪训练4 0当堂训练2 1．D 2.D 3.B 4.±π 5.2。
高中数学 1.3.1.1 正弦函数的图象与性质学案 新人教B版必修4-新人教B版高中必修4数学学案
正弦函数的图象与性质1.能正确使用“五点法”、“几何法”作出正弦函数的图象.(难点)2.理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值.(重点)[基础·初探]教材整理1 正弦函数的图象阅读教材P 37～P 38“例1”以上部分，完成下列问题.1.利用正弦线可以作出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，要想得到y ＝sin x (x ∈R )的图象，只需将y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象沿x 轴平移±2π，±4π…即可，此时的图象叫做正弦曲线.2.“五点法”作y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，－1和(2π，0).判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数的图象向左右是无限伸展的.( )(2)正弦函数y ＝sin x 的图象在x ∈[2k π，2k π＋2π]，(k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同.( )(3)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于x 轴对称.( ) (4)正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图象关于原点成中心对称.( ) 【解析】 由正弦曲线的定义可知只有(3)错误. 【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 39～P 40“例2”以上部分，完成下列问题. 1.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.(2)最小正周期：对于一个周期函数f (x )，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期.2.正弦函数的性质函数 y ＝sin x定义域 (－∞，＋∞) 值域 [－1,1] 奇偶性 奇函数周期性 最小正周期：2π单调性在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上递增； 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z )上递减 最值x ＝2k π＋π2，(k ∈Z )时，y 最大值＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y 最小值＝－1函数y ＝sin x 的一条对称轴是( ) A.x ＝π2B.x ＝π4C.x ＝0D.x ＝π【解析】 y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴应选A.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问4：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________[小组合作型]五点法作函数的图象作函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与函数y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的简图，并研究它们之间的关系.【导学号：72010021】【精彩点拨】 可以用“五点法”原理在同一坐标系中作出两函数的图象，然后比较它们的关系.【自主解答】 按五个关键点列表：x0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －1＋sin x－1－1－2－1利用正弦函数的性质描点作图，如图：由图象可以发现，把y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象向下平移1个单位长度即可得y ＝－1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象.1.五点法作图，要抓住五个关键点，使函数式中的x 依次取0，π2，π，32π，2π，然后解出相应的y 值，再描点，连线得出图象.2.y ＝sin x ±b 的图象可以由y ＝sin x 的图象上、下平移获得. [再练一题]1.作出函数y ＝1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图. 【解】 列表：x 0 π2 π 32π 2π y1211描点连线：求三角函数的周期求下列函数的最小正周期.(1)y ＝sin 12x ；(2)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6. 【精彩点拨】 求周期的方法可以用诱导公式sin(x ＋2k π)＝sin x 得到.【自主解答】 (1)如果令u ＝12x ，则sin 12x ＝sin u 是周期函数，且最小正周期为2π.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2π＝sin 12x ，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋4π＝sin 12x . ∴y ＝sin 12x 的最小正周期是4π.(2)∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6＋2π＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6， 即2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13x ＋6π－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6，∴y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－π6的最小正周期是6π.用定义求周期时应注意，从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调是自变量x 本身加的常数才是周期，如：f (2x ＋T )＝f (2x )，T 不是周期，要写成f (2x ＋T )＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋T 2＝f (2x )，T2是f (x )的周期. [再练一题]2.求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(2)y ＝|sin x |. 【解】 (1)∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2π，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期是π.(2)令f (x )＝|sin x |，则f (k π＋x )＝|sin(k π＋x )|＝|±sin x |＝|sin x |＝f (x )(k ∈Z 且k ≠0).∴k π是函数f (x )的周期，则最小正周期为π.正弦函数的单调性及应用已知函数f (x )＝sin x －1.(1)写出f (x )的单调区间；(2)求f (x )的最大值和最小值及取得最值时x 的集合；(3)比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12的大小.【精彩点拨】 结合正弦函数的单调性及单调区间求解即可.【自主解答】 (1)∵函数f (x )＝sin x －1与g (x )＝sin x 的单调区间相同， ∴f (x )＝sin x －1的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋32π(k ∈Z ).(2)∵函数g (x )＝sin x ，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值1，当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－1.∴函数f (x )＝sin x －1，当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，取最大值0，当x ＝2k π＋32π(k ∈Z )时，取最小值－2.(3)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－1， ∵－π2＜－π12＜－π18＜π2，且y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12.1.求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性.2.比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较.[再练一题] 3.比较大小：(1)sin 250°与sin 260°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π. 【解】 (1)sin 250°＝sin(180°＋70°)＝－sin 70°，sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin 70°＜sin 80°，所以－sin 70°＞－sin 80°，即sin 250°＞sin 260°.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝－sin 23π5＝－sin 3π5＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π5＝－sin 2π5， sin ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4＝－sin 17π4＝－sin π4.因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2是增函数，所以sin π4＜sin 2π5，－sin π4>－sin 2π5，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4.[探究共研型]正弦函数的值域与最值问题探究1 函数y ＝sin ⎝⎭⎪⎫x ＋4在x ∈[0，π]上最小值能否为－1?【提示】 不能.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22. 探究2 函数y ＝A sin x ＋b ，x ∈R 的最大值一定是A ＋b 吗？【提示】 不是.因为A >0时最大值为A ＋b ，若A <0时最大值应为－A ＋b .求下列函数的值域.(1)y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3； (2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x .【精彩点拨】 (1)用|sin α|≤1构建关于y 的不等式，从而求得y 的取值范围. (2)用t 代替sin x ，然后写出关于t 的函数，再利用二次函数的性质及|t |≤1即可求出y 的取值范围.【自主解答】 (1)∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，∴1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3≤5， ∴1≤y ≤5，即函数y ＝3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的值域为[1,5].(2)y ＝1－2sin 2x ＋sin x ， 令sin x ＝t ，则－1≤t ≤1，y ＝－2t 2＋t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎪⎫t －142＋98.由二次函数y ＝－2t 2＋t ＋1的图象可知－2≤y ≤98，即函数y ＝1－2sin 2x ＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，98.1.换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性.2.转化成同一函数，要注意不要一见sin x 就有－1≤sin x ≤1，要根据x 的范围确定. [再练一题]4.设|x |≤π4，求函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值.【解】 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54.∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22，∴当sin x ＝－22时取最小值为1－22.1.以下对于正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A.在x ∈[2k π，2k π＋2π]，k ∈Z 上的图象形状相同，只是位置不同B.关于x 轴对称C.介于直线y ＝1和y ＝－1之间D.与y 轴仅有一个交点【解析】 观察y ＝sin x 图象可知A ，C ，D 正确，且关于原点中心对称，故选B. 【答案】 B2.下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )【解析】 由y ＝sin x 在[0,2π]上的图象作关于x 轴的对称图形，应为D 项. 【答案】 D 3.点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A.0 B.1 C.－1D.2【解析】 由题意－m ＝sin π2，∴－m ＝1，∴m ＝－1.【答案】 C4.若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是__________.【导学号：72010022】【解析】因为－1≤sin x≤1，sin x＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.【答案】[－1,0]5.(2016·西安高一检测)用五点法画出函数y＝－2sin x在区间[0,2π]上的简图. 【解】列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10y＝－2sin x 0－2020描点、连线得y＝－2sin x的图象如图：我还有这些不足：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________________(2)_________________________________________________________学业分层测评(八)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.函数y＝sin|x|的图象是( )【解析】 ∵函数y ＝sin|x |是偶函数，且x ≥0时，sin|x |＝sin x .故应选B. 【答案】 B2.(2016·济南高一检测)函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，πB.(π，2π)C.⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2D.(0，π)【解析】 作出函数y ＝|sin x |的图象，如图，观察图象知C 正确， 故选C. 【答案】 C3.在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) 【导学号：72010023】A.(0，π)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫4π3，5π3D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，2π 【解析】 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下：因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32. 即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的是x ＝4π3或x ＝5π3. 可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，5π3.【答案】 C4.(2016·兰州高一检测)设a ＞0，对于函数f (x )＝sin x ＋asin x(0＜x ＜π)，下列结论正确的是( )A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值【解析】 因为0＜x ＜π，所以0＜sin x ≤1，1sin x ≥1，所以函数f (x )＝sin x ＋a sin x ＝1＋a sin x有最小值而无最大值，故选B. 【答案】 B5.函数y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A.0B.π4C.π2D.π【解析】 当φ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x ，而y ＝cos 2x 是偶函数，故选C. 【答案】 C二、填空题6.y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的周期是23π，则ω＝________. 【解析】 根据题意有sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2πω3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3， ∴2π3ω＝2π， ∴ω＝3.【答案】 37.函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________.【解析】 据题意知sin x ＞0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z ).【答案】 (2k π，2k π＋π)(k ∈Z )8.(2016·杭州高一检测)若x 是三角形的最小角，则y ＝sin x 的值域是________.【解析】 由三角形内角和为π知，若x 为三角形中的最小角，则0＜x ≤π3， 由y ＝sin x 图象知y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32. 【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 三、解答题9.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值. 【解】 ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－2π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3. ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝32. 10.已知函数f (x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值.【解】 ∵0≤x ≤π2， ∴－π3≤2x －π3≤23π， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，最大值为2a ＋b ＝1，最小值为－3a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1，－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63，b ＝－23＋12 3.当a <0时，最大值为－3a ＋b ＝1，最小值为2a ＋b ＝－5.由⎩⎨⎧ －3a ＋b ＝1，2a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.[能力提升]1.函数y ＝sin(－x )，x ∈[0,2π]的简图是( )【解析】 因为y ＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象可看作是由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称得到的.故选B.【答案】 B2.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________.【解析】 ∵sin α∈[－1,1]，∴－sin α∈[－1,1]，∴已知直线的斜率范围为[－1,1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 3.已知直线y ＝a ，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，试探求以下问题.(1)当a 为何值时，直线y ＝a 与函数y ＝sin x 的图象只有一个交点？(2)当a 为何值时，直线与函数图象有两个交点？(3)当a 为何值时，直线与函数图象有三个交点？(4)当a 为何值时，直线与函数图象无交点？【解】 作出直线y ＝a ，与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象(如图所示)，由图象可知.(1)当a ＝1或－1时，直线与函数图象只有一个交点.(2)当－1＜a＜0或0＜a＜1时，直线与函数图象有两个交点.(3)当a＝0时，直线与函数图象有三个交点.(4)当a＜－1或a＞1时，直线与函数图象无交点.。
人教B版数学1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计
人教B版必修4数学1.3.1正弦函数的图像与性质教学设计1.3.1 正弦函数的图象与性质教学设计一. 教材分析《正弦函数的图象与性质》是高中新教材人教B版必修第四册1.3.1的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数的图象的知识基础和方法准备。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。
本节共分三个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出的图象，考察图象的特点，用"五点作图法"画正弦函数图象简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正弦函数的部分性质（定义域、值域等）。
二. 学情分析本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。
三. 教学目标根据《高中数学教学大纲》的要求和教学内容的结构特征，依据学生学习的心理规律和素质教育的要求，结合学生的实际水平，制定本节课的教学目标如下：（一）知识目标学会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图象，通过对正弦线的复习，来发现几何作图与描点作图之间的本质区别，以培养运用已有数学知识解决新问题的能力。
（二）能力目标1. 会用单位圆中的正弦线画出正弦函数图象；2. 掌握正弦函数图象的"五点作图法"；3. 掌握与正弦函数有关的简单图象平移变换和对称变换；5. 培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；6. 培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
（三）情感目标1. 培养学生合作学习和数学交流的能力；2. 培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；3. 渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，培养辩证唯物主义观点。
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辽宁省农村实验中学高一数学《1.3.1 正弦函数的图像与性质》学案（2）
一、学习目标
重点：正弦型函数的图象特征与性质．
难点：y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质．
二、知识归纳
1．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)周期T= ，频率f= ,初相，
相位，振幅，值域
2.三角函数的图象变换
(1)y＝A sin x(A>0)的图象可由y＝sin x图象上各点的横坐标不变，纵坐标 (A>1)或
(0<A<1)到原来的倍得到．
(2)y＝sin(x＋φ)的图象可由y＝sin x图象上各点向(φ>0)或向 (φ<0)平行移动|φ|个单位长度而得到．
（3）y＝sinωx) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？
（4）y＝A sin(ωx＋φ) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？
三、例题讲解：
例 1. 函数y＝a sin x＋b的最大值为2，最小值为－1，则a＝________，b＝________.
例2 下图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的一段，试确定函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式．
变式1．如图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，其中A>0，ω>0，求该函数的解析式．
变式2：(2009·海南、宁夏)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.
例3.方程x ＝sin x 在x ∈[－π，π]上实根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例4．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；
(2)求f (x )的单调递减区间、对称轴、值域；
（3）求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．
变式．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6
)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)若x ∈[0，π2
]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．
课后习题：
一选择
1．函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25
x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C ．5π D.π6
2．下列表示最值是12，周期是6π的三角函数的表达式是( ) A ．y ＝12sin(x 3＋π6) B ．y ＝12sin(3x ＋π6) C ．y ＝2sin(x 3－π6) D ．y ＝12sin(x ＋π6
) 3．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x ＝π3
对称的是( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝s in(2x －π3
) D ．y ＝sin(2x －π6
) 4．函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32π的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于x ＝π2
对称 5． 函数y ＝5sin(2x ＋π6
)的图象，经过下列平移变换，就可得到函数y ＝5sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6 B ．向左平移π6 C ．向右平移π12 D ．向左平移π12
6． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )
A ．y ＝2sin(2x ＋2π3)
B ．y ＝2sin(2x ＋π3
) C ．y ＝2sin(x 2－π3) D ．y ＝2sin(2x －π3
) 7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( ) A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变) C ．向左平移π6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π6
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 二、填空题
8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6
，则这个函数的解析式为________．
9．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3的值为 _3或－3____． 10．函数f (x )＝3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________ ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π12，5π12内是增函
数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 三、解答题
13．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8
. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．
14．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b (a ≠0)的定义域为⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．。