高一数学1.3.1正弦函数的图像与性质学案2

辽宁省农村实验中学高一数学《1.3.1 正弦函数的图像与性质》学案（2）

一、学习目标

重点：正弦型函数的图象特征与性质．

难点：y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质．

二、知识归纳

1．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)周期T= ，频率f= ,初相，

相位，振幅，值域

2.三角函数的图象变换

(1)y＝A sin x(A>0)的图象可由y＝sin x图象上各点的横坐标不变，纵坐标 (A>1)或

(0

(2)y＝sin(x＋φ)的图象可由y＝sin x图象上各点向(φ>0)或向 (φ<0)平行移动|φ|个单位长度而得到．

（3）y＝sinωx) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？

（4）y＝A sin(ωx＋φ) 的图象可由y＝sin x图象如何变换得到？

三、例题讲解：

例 1. 函数y＝a sin x＋b的最大值为2，最小值为－1，则a＝________，b＝________.

例2 下图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的一段，试确定函数y＝A sin(ωx＋φ)的解析式．

变式1．如图所示为函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，其中A>0，ω>0，求该函数的解析式．

变式2：(2009·海南、宁夏)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________.

例3.方程x ＝sin x 在x ∈[－π，π]上实根的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

例4．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；

(2)求f (x )的单调递减区间、对称轴、值域；

（3）求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．

变式．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)若x ∈[0，π2

]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合．

课后习题：

一选择

1．函数y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25

x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C ．5π D.π6

2．下列表示最值是12，周期是6π的三角函数的表达式是( ) A ．y ＝12sin(x 3＋π6) B ．y ＝12sin(3x ＋π6) C ．y ＝2sin(x 3－π6) D ．y ＝12sin(x ＋π6

) 3．下列四个函数中，最小正周期是π且图象关于x ＝π3

对称的是( ) A ．y ＝sin(x 2＋π6) B ．y ＝sin(2x ＋π6) C ．y ＝s in(2x －π3

) D ．y ＝sin(2x －π6

) 4．函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋32π的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于x ＝π2

对称 5． 函数y ＝5sin(2x ＋π6

)的图象，经过下列平移变换，就可得到函数y ＝5sin2x 的图象( ) A ．向右平移π6 B ．向左平移π6 C ．向右平移π12 D ．向左平移π12

6． 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )

A ．y ＝2sin(2x ＋2π3)

B ．y ＝2sin(2x ＋π3

) C ．y ＝2sin(x 2－π3) D ．y ＝2sin(2x －π3

) 7．为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( ) A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13

倍(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13

倍(纵坐标不变) C ．向左平移π6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π6

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) 二、填空题

8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π6

，则这个函数的解析式为________．

9．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的实数x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3的值为 _3或－3____． 10．函数f (x )＝3sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________ ①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫－π12，5π12内是增函

数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C . 三、解答题

13．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8

. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．

14．已知函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b (a ≠0)的定义域为⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域为[－5,1]，求常数a 、b 的值．