数学笔记排列组合
高二数学选修2-3排列组合知识点
高二数学排列组合知识点高二数学排列组合易错知识点1.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合。
解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法。
2.二项式系数与展开式某一项的系数易混，第r+1项的二项式系数为。
二项式系数最大项与展开式中系数最大项易混。
二项式系数最大项为中间一项或两项;展开式中系数最大项的求法要用解不等式组来确定r.3.你掌握了三种常见的概率公式吗?(①等可能事件的概率公式;②互斥事件有一个发生的概率公式;③相互独立事件同时发生的概率公式。
)4.求分布列的解答题你能把步骤写全吗?5.如何对总体分布进行估计?(用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图;理解频率分布直方图矩形面积的几何意义。
)6.你还记得一般正态总体如何化为标准正态总体吗?(对任一正态总体来说，取值小于x的概率，其中表示标准正态总体取值小于的概率)高二数学学习方法(1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。
记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
(2)建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。
争取做到：找错、析错、改错、防错。
达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。
(3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
(4)经常对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集装”，如表格化，使知识结构一目了然;经常对习题进行类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一;使几类问题归纳于同一知识方法。
高中排列组合知识点 高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结
《高中排列组合知识点高二数学选修2-3排列组合易错知识点总结》摘要：()()()(+)!()!(规定0!)，()()!!(()!!);()();，()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)排列组合是高二数学选修3教学重要容了助高二学生掌握排列组合容下面编给带高二数学选修3排列组合易错知识希望对你有助高二数学排列组合错知识排列组合问题依据是分类相加分步相乘有序排列无序组合排列组合问题规律是相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法;定序问题倍缩法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排排法;至多至少问题接法二项式系数与展开式某项系数易混r+项二项式系数二项式系数项与展开式系数项易混二项式系数项项或两项;展开式系数项法要用不等式组确定r3你掌握了三种常见概率公式吗?(①等可能事件概率公式;②斥事件有发生概率公式;③相独立事件发生概率公式)分布列答题你能把步骤写全吗?5如何对总体分布进行估计?(用样估计总体是研究统计问题基思想方法般地样容量越这种估计就越精确要能画出频率分布表和频率分布直方图;理频率分布直方图矩形面积几何义)6你还记得般正态总体如何化标准正态总体吗?(对任正态总体说取值x概率其表示标准正态总体取值概率)高二数学选修3知识排列及计算公式从不元素任取()元素按照定顺序排成列叫做从不元素取出元素排列;从不元素取出()元素所有排列数叫做从不元素取出元素排列数用()表示()()()(+)!()!(规定0!)组合及计算公式从不元素任取()元素并成组叫做从不元素取出元素组合;从不元素取出()元素所有组合数叫做从不元素取出元素组合数用()表示()()!!(()!!);()();3其他排列与组合公式从元素取出r元素循环排列数(r)r!r(r)!元素被分成k类每类数分别是k这元素全排列数!(!!k!)k类元素每类数无限从取出元素组合数(+k)排列((下标上标))()(+);!()!(!是阶乘);(两分别上标和下标)!;0!;(下标上标)组合((下标上标));!!()!;(两分别上标和下标);(下标上标);公式是指排列从元素取R进行排列公式是指组合从元素取R不进行排列元素总数R参与选择元素数!阶乘如9!987653从倒数r表达式应该()()(r+);因从到(r+)数(r+)r高二数学学习方法()记数学笔记特别是对概念理不侧面和数学规律教师课堂拓展课外知识记录下你觉得有价值思想方法或例题以及你还存问题以便今将其补上()建立数学纠错把平容易出现错误知识或推理记下以防再犯争取做到错、析错、改错、防错达到能从反面入手深入理正确东西;能由朔因把错误原因弄水落石出、以便对症下药;答问题完整、推理严密(3)熟记些数学规律和数学结论使己平运算技能达到了动化或半动化熟练程()常对知识结构进行梳理形成板块结构实行整体集装如表格化使知识结构目了然;常对习题进行类化由例到类由类到多类由多类到统;使几类问题归纳知识方法(5)数学课外籍与报刊参加数学学科课外活动与讲座多做数学课外题加学力拓展己知识面(6)及复习强化对基概念知识体系理与记忆进行适当反复巩固消灭前学忘(7)学会从多角、多层次地进行总结归类如①从数学思想分类②从题方法归类③从知识应用上分类等使所学知识系统化、条理化、专题化、络化(8)常做题进行定反思思考下题所用基础知识数学思想方法是什么什么要这样想是否还有别想法和法题分析方法与法其它问题是否也用到(9)无论是作业还是测验都应把准确性放位通法放位而不是味地追速或技巧这是学数学重要问题猜你感兴趣高二数学排列与组合知识总结高二数学选修知识总结3高二上学期数学复习知识归纳高二数学排列组合题技巧5高二上数学知识总结607高二数学排列组合公式知识总结。
数学高二选修一笔记知识点
数学高二选修一笔记知识点在高二数学选修一中，我们将学习一些数学的深入知识和技巧，帮助我们更好地理解和应用数学。
以下是我整理的一些重要知识点，希望对你有所帮助。
1. 多项式函数多项式函数是由常数和变量的幂次方的和组成的函数。
我们通常用最高次项的幂次来表示多项式的次数。
例如，f(x) = 3x^2 + 2x + 1是一个二次多项式函数，其中2是最高次项的系数，2和1是次高次项和常数项的系数。
2. 反函数如果一个函数f(x)的定义域和值域可以互相对应，那么它的反函数存在。
记作f^{-1}(x)。
反函数的特点是它们将原函数的输入和输出进行交换。
例如，如果f(x) = 2x+3，那么它的反函数是f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}。
3. 三角函数三角函数是描述角度和三角形边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
它们分别定义为三角形的边长之比，例如在一个直角三角形中，sinθ等于对边与斜边的比值。
4. 导数导数是描述函数变化率的工具，可以衡量函数在某一点的斜率。
对于函数f(x)，它的导数可以记为f'(x)或\frac{{df(x)}}{{dx}}。
导数的几何意义是函数曲线在某一点的切线斜率。
5. 积分积分是导数的逆运算，描述函数曲线下的面积。
对于函数f(x)，其在区间[a, b]上的积分可以表示为\int_a^b {f(x) \, dx}。
积分的几何意义是曲线下方与x轴之间的面积。
6. 概率概率是描述随机事件发生可能性的数值，用介于0和1之间的数表示。
常见的概率模型有随机变量、事件和概率分布等。
概率的计算可以通过频率或数学模型等方法进行。
7. 矩阵与线性方程组矩阵是由数按照矩形排列而成的二维数组。
在线性代数中，我们学习如何用矩阵和向量来表示和求解线性方程组。
矩阵的运算包括加法、乘法和求逆等。
8. 排列组合排列组合是描述对象排列和选择方式的数学工具。
数学排列组合知识点精要讲解
数学排列组合知识点精要讲解在我们的数学世界中，排列组合是一个既有趣又充满挑战的领域。
它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们解决各种各样的计数问题，从简单的挑选物品到复杂的任务安排，都离不开它的身影。
接下来，让我们一起深入探索排列组合的奥秘。
一、排列排列，简单来说，就是从给定的元素中选取一些，并按照一定的顺序进行排列。
例如，从 A、B、C 三个字母中选取两个进行排列，有多少种不同的排列方式呢？我们可以依次考虑每个位置的选择。
第一个位置有 3 种选择（A、B 或 C），当第一个位置确定后，第二个位置就只剩下 2 种选择了。
所以总的排列数就是 3×2 ＝ 6 种，分别是 AB、AC、BA、BC、CA、CB。
一般地，如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的排列数，记为 A(n, m) ，那么它的计算公式就是：A(n, m) ＝ n×（n 1)×（n 2)××（n m ＋ 1) 。
比如，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列数 A(5, 3) ＝ 5×4×3 ＝ 60 种。
在解决排列问题时，要特别注意“顺序”这个关键因素。
只要顺序不同，就算元素相同，也是不同的排列。
二、组合组合则是从给定的元素中选取一些，不考虑顺序。
还是以 A、B、C 三个字母为例，从中选取两个字母的组合，有多少种呢？这里 AB 和 BA 因为不考虑顺序，所以算是同一种组合。
所以组合数就是 3 种，分别是 AB、AC、BC。
如果从 n 个不同元素中取出 m（m≤n）个元素的组合数，记为 C(n, m) ，其计算公式为：C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！，其中“！”表示阶乘，例如 5! ＝ 5×4×3×2×1 。
比如，从 6 个不同元素中选取 4 个的组合数 C(6, 4) ＝ 6! ／（4!×2!）＝ 15 种。
为知笔记 数学公式(一)
为知笔记是一款功能强大的笔记软件，不仅可以记录文字、图片、链接等内容，还可以支持数学公式的输入和展示。
下面我们来列举一些常见的数学公式，并举例说明在为知笔记中如何使用。
1. 一元二次方程一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c是已知的实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以使用求根公式：x = (-b ± √(b^2 -4ac)) / (2a)。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入一元二次方程的公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]2. 求和公式求和公式是数学中常用的公式之一，表示对一组数进行求和操作。
常见的求和公式包括等差数列求和公式、等比数列求和公式等。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入求和公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ S_n = \frac{{n(a_1 + a_n)}}{2} \]3. 求导公式求导是微积分中的重要内容，求导公式包括常数求导、幂函数求导、指数函数求导、三角函数求导等。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入求导公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下公式：\[ \frac{{d}}{{dx}}(x^n) = nx^{n-1} \]4. 泰勒展开公式泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法，泰勒展开公式可以用来计算函数在某一点的近似值。
在为知笔记中，我们可以使用LaTeX语法输入泰勒展开公式，并且通过预览功能查看效果。
例如，我们可以输入以下泰勒展开公式：\[ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{{f''(a)}}{{2!}}(x-a)^2 +\cdots \]5. 概率公式概率是数学中的重要分支，常见的概率公式包括排列组合公式、贝叶斯定理、期望和方差公式等。
数学运算笔记
数字推理数学运算第一点：你在开始做数学运算部分的题目的时候，前两道题如果是整数的性质的题目，你要注意使用整除性。
被2整除的特点：偶数被3整除的特点：每位数字相加的和是3的倍数被4和25整除的特点：末两位所构成的数字能够被4整除被5整除的特点：末位数字是0或5被6整除的特点：兼被2和3整除，即是偶数，且每位数字相加的和是3被7整除的特点：数字的最后一位乘以2与前面剩下的数字所组成的数做差，差能被7整除；或将原数字的后三位与前面的数字分成两部分，作差，差能被7整除被8和125整除的特点：末三位所构成的数字能够被8整除被9整除的特点：每位数字相加的和是9的倍数被10整除的特点：不解释（囧）被11整除的特点：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和之间的差是11的倍数。
（2010年9.18联考第一题）36、在一个除法算式里，被除数、除数、商和余数之和是319，已知商是21，余数是6，问被除数是( )?A 237B 258C 279D 290设被除数、除数、商、余数分别是a、b、c、d,你很容易知道a+b+c+d=319,a=21b+6,c=21,d=6b=3k+1 a=63k+27（北京社招2005-11）两个整数的差是2345，两数相除的商是8，求这两个数之和？( )A.2353B.2896C.3015D.34569的倍数之后奇偶性（2010年4.25联考第二题）n为100以内的自然数，那么能令2^n－1被7整除的n 有多少个？A.32B. 33C.34D.35循环的即三的倍数第二点，在后面的应用题中，你碰到题目少条件的要考虑整除性。
例如：（2009年国考）109、甲乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少本?A.75B.87C.174D.67甲的书只能是100或200本之后分析只能是100本（2008国考）小华在练习自然数求和。
从1开始，数着数着他发现自己重复数了一个数，在此情况下他将所数的全部数求平均数得7.4。
数字的排列组合
数字的排列组合数字的排列组合是数学中非常重要的一个概念。
在许多领域中，排列组合都扮演着重要的角色，例如概率论、统计学、密码学等。
通过对数字的排列和组合，我们可以得到更多的可能性和变化。
一、排列排列是指对给定的元素按照一定的顺序进行组合。
在排列中，元素之间的顺序是重要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行排列的方式有P(n, k)种，其中P表示排列数。
排列数的计算公式如下：P(n, k) = n! / (n-k)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1。
而k!表示k的阶乘。
二、组合组合是指对给定的元素进行选择但无需考虑元素之间的顺序。
在组合中，元素之间的顺序是无关紧要的。
对于给定的n个元素，从中选取k个元素进行组合的方式有C(n, k)种，其中C表示组合数。
组合数的计算公式如下：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)三、应用案例1. 抽奖活动假设有10个人参加抽奖活动，其中只有3个奖品可供选择。
那么计算中奖的可能性就是一个排列问题。
根据排列数的计算公式，可以得知这个活动中中奖的可能性为P(10, 3) = 10! / (10-3)! = 720种。
2. 密码破解在密码学中，如果一个密码由n个字符组成，每个字符有k种选择，则密码的可能性为k的n次方。
例如，一个有6位数字组成的密码，而每一位数字有10种选择（0-9），那么密码的可能性就是10的6次方，即1000000种。
这个例子中，我们考虑的是排列问题。
3. 组合投资假设你有1000元的资金可以用于投资，那么你可以选择将资金分配到不同的投资项目上。
假设有5个投资项目可供选择，而你最多只能选择3个项目进行投资。
这个例子中，我们考虑的是组合问题。
根据组合数的计算公式，可以得知你有C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10种不同的组合方式。
总结：数字的排列组合在数学中具有重要的意义，它们在实际生活中有着广泛的应用。
排列组合(讲义部分)
1、排列组合定义：题干当中给出两组或两组以上的对象或信息，在答案中需要考生对排列组合结果进行判断。
历年国考“排列组合”题量解题原则：1、最大信息优先2、确定信息优先3、顺藤摸瓜解题方法：一、带入排除法1.甲、乙、丙、丁是四位天资极高的艺才家，他们分别是舞蹈家、画家、歌唱家和作家，尚不能确定其中每个人所从事的专业领域，已知：（1）有一天晚上，甲和丙出席了歌唱家的首次演出。
（2）画家曾为乙和作家两个人画过肖像。
（3）作家正准备写一本甲的传记，他所写的丁传记是畅销书。
（4）甲从来没有见过丙。
下面哪一选项正确地描述了每个人的身份？（）A.甲是歌唱家，乙是作家，丙是画家，丁是舞蹈家B.甲是舞蹈家，乙是歌唱家，丙是作家，丁是画家排列组合（讲义部分）C.甲是画家，乙是作家，丙是歌唱家，丁是作家D.甲是作家，乙是画家，丙是舞蹈家，丁是歌唱家2.李老师、王老师、张老师在同一所大学教语文、数学和外语，按规定每人只担任其中一门课。
而且①李老师上课全部用汉语。
②外语老师是该校一个学生的舅舅。
③张老师是女教师，她的女儿考大学之前，经常向数学老师请教。
请判定他们各自上的课程是：A.李老师上语文，王老师上外语，张老师上数学B.王老师上语文，李老师上外语，张老师上数学C.张老师上语文，王老师上外语，李老师上数学D.王老师上语文，张老师上外语，李老师上数学解题方法：二、列表法3.小红、小兰和小慧三姐妹，分别住在丰台区、通州区、朝阳区。
小红与住在通州的姐妹年龄不一样大，小慧比住在朝阳区的姐妹年龄小，而住在通州的姐妹比小兰年龄大。
那么按照年龄从大到小，这三姐妹的排序是（）。
A.小红、小慧、小兰B.小红、小兰、小慧C.小兰、小慧、小红D.小慧、小红、小兰4.某办公室有三位工作人员：刘明、庄嫣和文虎。
他们三人中，一人是博士，一人是硕士，还有一人是本科毕业生。
已知博士比刘明大两岁；庄嫣与本科毕业生同岁，但是月份稍大；本科毕业生的年龄最小。
高考数学复习：排列与组合
【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型电视机各一台可分 两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的 取法有 C52C14 C15C24 =70种.
【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另 一种型号的电视机,故不同的取法共有 C39 C34=7C035 种.
【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前
排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人
坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类
情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”
三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下
算法:
A24
A12
A55
A
2 4
A14
A55
=8
640(种).
捆绑法
插空法 除法
间接法
相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看 作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆 绑元素的内部排列
不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元 素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排 列的空中
对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后, 再除以已定元素的全排列
对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化 的方法
1
Cm n1
【常用结论】 1.排列与组合的区别
排列
排列与顺序有关
两个排列相同,当且仅当 这两个排列的元素及其排 列顺序完全相同
组合
组合与顺序无关
两个组合相同,当且仅当 这两个组合的元素完全相 同
2.巧记组合数的性质
性质
Cmn
Cnm n
记忆策略
从n个不同元素中取出m个元素的方法 数等于取出剩余n-m个元素的方法数.
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
排列组合学习笔记
⼀.定义
P (m ,n )表⽰在n 个数中选取m 个数，所有排列的总数。
例如我找n 个⼈来，任意选m 个⼈来排队，总共有多少种不同的排法。
PS :P (m ,n )=A (m ,n )
C (m ,n )表⽰在n 个数中选出m 个数，总共有多少种组合⽅式。
⼆.计算公式
P (m ,n )=n (n −1)(n −2)...(n −m +1) 这个没有什么好讲的了，⽤乘法原理就可以了C (m ,n )=P (m ,n )P (m ,m )=n !
(n −m )!m ! 这个解释起来也很简单，我们先算出P (m ,n ) ，下⼀步要去重，我们k 个数有P (k ,k )个排列，但是在组合中，我们只算⼀次，所以我们要除以⼀个P (k ,k )，这样就得出来了它的计算公式。
三.组合公式的变式
C (m ,n )=C (n −m ,n ) (1)
这个公式还算好理解，想象⼀下，我们有n 个同学，我们要选出m 个同学打扫卫⽣。
换⼀种思路来说就是让(n −m )个同学不⽤打扫卫⽣，⽤数学公式来表达就是公式(1)了。
剩下的有点难，到时候再说吧。
四.没了！
Processing math: 100%。
排列组合知识点归纳总结
排列组合知识点归纳总结
排列组合
1. 定义：排列是指将n个不同元素的一组按某种规律排成一列的过程；组合是指从n个不同元素中取任意多个元素一组组合，不考虑顺序称
作组合。
2. 公式：排列公式A(n,m)：n(n-1)...(n-m+1)；组合公式C(n,m)：
n!/(m!(n-m)!)
3. 例题：
（1）从学校里的20个男生和10个女生中任取5人参加一次活动，这
次活动一共有多少种选择？
用排列的方法来求的话，总的选择数为
A(30,5)=30*29*28*27*26=653,800；用组合方法来求的话，总的选择数
为C(30,5)=30!/(5!*25!)=653,800。
（2）如何从10名男生中组成一个不相同的三人小组？
用排列的方法来求的话，总的选择数为A(10,3)=10*9*8=720；用组合
方法来求的话，总的选择数为C(10,3)=10!/(3!*7!)=120。
4. 实际应用：排列组合在数学中极为重要，其应用贯穿于数学当中的
很多领域，如余弦定理、泰勒公式、抛物线等。
诸如加密或者信息安全，以及网络安全等，其中也应用了排列组合的原理，以增强安全性。
同时，它还广泛会被用在生产调度、选号、玩游戏、医学等各种领域下。
高三数学排列组合知识点归纳总结
高三数学排列组合知识点归纳总结数学是一门需要大量的思考和应用的学科，其中排列组合是数学中的一个重要部分。
在高三数学学习中，排列组合也是必修的一个内容，掌握了排列组合的知识，既能够帮助我们解决实际问题，又能够培养我们的思维能力和数学思维方式。
本文将对高三数学中的排列组合知识点进行归纳总结。
一、排列问题排列是指将若干个不同的元素按照一定的顺序排列起来，根据实际问题的不同，排列分为不放回排列和放回排列。
1. 不放回排列不放回排列的特点是每次抽出一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，将10个不同的球依次排列，共有多少种排列方式？解法：根据乘法原理，第一个球有10种选择，第二个球有9种选择……依次类推，最后一个球有1种选择，因此共有10*9*…*1=10!种排列方式。
2. 放回排列放回排列的特点是每次抽出一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，将10个不同的球排列，每次抽取时都将球放回，共有多少种排列方式？解法：与不放回排列不同，放回排列时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有10*10*…*10=10^n种排列方式。
二、组合问题组合是指从若干个不同的元素中取出一部分元素，不考虑其顺序，根据实际问题的不同，组合分为不放回组合和放回组合。
1. 不放回组合不放回组合的特点是每次抽取一个元素后不再放回，下一次的抽取范围减少一个元素。
例如，从10个不同的球中取出3个球，共有多少种组合方式？解法：根据组合的定义，只要选择了球，无论其顺序如何，都算作同一种组合方式。
所以，共有C(10,3) = 10!/(3!*(10-3)!)种组合方式。
2. 放回组合放回组合的特点是每次抽取一个元素后将其放回，下一次的抽取范围不变。
例如，从10个不同的球中取出3个球，每次抽取时都将球放回，共有多少种组合方式？解法：与不放回组合不同，放回组合时每次抽取的元素都是独立的，因此每个位置上都有10种选择，所以共有C(10+3-1,3) = C(12,3) =12!/(3!(12-3)!)种组合方式。
数学笔记排列组合
排列组合题型总结一．直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5,6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1)个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理:25A 24A =240 2．特殊位置法(2）当1在千位时余下三位有35A =60,1不在千位时,千位有14A 种选法,个位有14A 种,余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3,4与5，6与7,8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个,其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个,这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个）三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序,有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个,故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法,又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中,若使每个盒子不空，则不同的放法有 种(3324A C )2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观,但每天只能安排一所学校,其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天,则植物园30天内不同的安排方法有(1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列)五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法3,52,4 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 .分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板,一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。
高考数学复习“应试笔记”(排列组合二项式定理概率统计矩阵与变换)
江苏高考数学复习“应试笔记”江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第I卷160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A1．集合1．知识点（1）集合的表示方法．3种．列举法．（2）元素与集合的关系．2种．∈，/∈．（3）集合与集合的关系．重点：A⊆B，A≠⊂B，A＝B．（4）集合的交、并、补运算．（5）常用数集的符号．①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；2．方法（1）利用数轴进行集合运算．（2）分清集合中的元素是什么，选择适当的方法进行运算．3．主要结论及其得出方法．若A＝{a1，a2，…，a n}，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．4．注意点（1）空集是任何集合的子集，记为∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集．（2）A⊆B需分两种情况：①A＝∅，②A≠∅．（3）集合运算的结果需用集合表示，定义域、值域都要用集合表示．A2．基本初等函数1．知识点（1）函数的概念．非空数集间的一种特殊的对应关系．（2）函数值的求法，需要在定义域内，注意分段函数值．（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．（6）函数周期性的定义及其图象特征．（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．（8）指数、对数的意义及其运算法则．（9）方程的近似解的判断．计算端点处的函数值．（10）导数①导数的概念及其几何意义．②常见函数的导数． ③导数的运算法则．④导数与函数单调性的关系． 2．方法（1）画函数图象的方法①已知基本初等函数，直接画出． ②利用区间的两个端点，简易画出． ③利用导数，求出拐点，精确画出． ④分段函数分开画出，并合并． ⑤含参数的函数分类讨论． （2）函数单调性的求法①基本初等函数，直接写出．②复合函数的单调性，特别要注意定义域．如：y ＝log 2(x 2－2x －3)． ③迭加函数．如y ＝x ＋ln x (x ＞0)． ④复杂函数．利用导数． （3）函数最值的求法①研究函数的单调性，从而得出函数的图象．②换元或变形转化为基本初等函数．但要注意换元或变形后的字母的取值．如：y ＝x ＋1－x ． ③利用基本不等式．一个最明显的形式是：分式有倒数．或有两个变量．（4）方程问题、不等式问题、存在性问题、恒成立问题常用分离参数转化为函数问题．如： ①若关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0在区间[－1，4]上有解，求实数a 的取值范围． 此问题可以转化为a ＝－x 2＋2x 在区间[－1，4]上有解，即： 函数y ＝a 与函数y ＝－x 2＋2x (x ∈[－1，4])的图象有交点．②若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．此问题可以转化为在轴的左边函数f (x )＝2－x 2的图象有在函数g (x )＝|x －a |的图象的上方部分． ③已知f (x )＝ax 3－3x ＋1，当x ∈[－1，1]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值． 此问题可以转化为：1)x ∈(0，1]，a ≥(3x －1x3)max ，且2)x ＝0，a ∈R ，且3)x ∈[－1，0)，a ≤(3x －1x3)min ．（5）求函数的解析式 ①待定系数法． ②比较法．（6）分类讨论，研究函数图象的局部形状． 4．常用结论（1）函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (x )为奇函数的必要条件是f (0)＝0． （2）增函数＋增函数是增函数；增函数－减函数是增函数；减函数＋减函数是减函数；减函数－增函数是减函数． （3）偶函数±偶函数是偶函数；奇函数±奇函数是奇函数；偶函数×(÷)偶函数是偶函数；偶函数×(÷)奇函数是奇函数； 奇函数×(÷)奇函数是偶函数． （4）函数图像的对称性①对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. f (x )＝f (2a －x )．.对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于点(a ＋b2，0)对称． 当a ＝b 时，f (x )的图像关于点(a ，0)对称．f (x )＝－f (2a－x )．②函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于直线y ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于直线x ＝0对称； 函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点(0，0)对称．（5）奇函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上也是递增的；偶函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上是递减的． A4．逻辑1．命题的否定与否命题命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别：命题p ⇒q 的否定是p ⇒﹁q ，否命题是﹁p ⇒﹁q .命题“p 或q ”的否定是“﹁p 且﹁q ”，“p 且q ”的否定是“﹁p 或﹁q ”． 2．全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )；全称命题p 的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )． 存在性命题p ：∃x ∈M ，p (x )；特称命题p 的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )． 3．充要条件的判断．4．互为逆否的两个命题是等价的． 5．“p 或q ”、“p 且q ”的真假性及解题规范．A5.排列、组合和二项式定理（附加题部分） 1．知识点（1）两个计数原理①加法原理：完成一件事是分类的．总方法数用加法． ②乘法原理：完成一件事是分步的．总方法数用乘法． （2）两个计数模型①排列模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素排成一列．与顺序有关． ②组合模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素放在一起．与顺序无关． 主要计算公式： A m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)．(n ，m ∈N *，并且m ≤n )． A nn ＝n ·(n －1)·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！．A m n ＝n !(n －m )!．0！＝1． C mn ＋1＝C m n－1＋C mn ．C mn ＝A m n A m m ＝n !m !(n －m )!(n ，m ∈N *，且m ≤n )．C m n ＝C n n－m． （3）二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n其中，n ∈N *． 二项式系数、系数，通项公式．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n． C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1． 2．方法（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：①直接法：用加法原理（分类）用乘法原理（发步）⎩⎨⎧位置分析法，元素分析法，插入法（不相邻问题），捆绑法（相邻问题）．②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）．②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）．③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）．④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）．⑤先选后排法．⑥至多至少问题间接法，分类法．⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x ＋y ＋z ＝100的正整数解的个数． ⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组，别忘除以n ！． ⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．T k ＋1＝C k n a n －k b k． （4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：①求导后赋值；②赋值；③k C k n ＝n C k －1n －1A6．概率、统计 【必修部分】 1．知识点（1）概率的计算公式①古典概型：P (A )＝A 包含的基本事件数基本事件的总数＝mn ．②几何概型：P (A )＝d 的测度D 的测度．【注意】测度可以是长度、面积、体积等．③互斥事件A ，B 至少有一个发生的概率计算公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ④对立事件的概率计算公式是：P (－A )＝1－P (A )．（2）统计中的抽样方法①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取．②分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）．③系统抽样．即分组，只需要用简单随机抽样抽取第一组的一个，然后在其它组的同样位置抽取样本．（3）统计中的样本特征数①一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本平均数：－x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n i =1∑nx i②一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－－x )2＋(x 2－－x )2＋…＋(x n －－x )2]＝1n i =1∑n (x i －－x )2＝1n (i =1∑n x i 2)－(1n i =1∑nx i )2；标准差＝s 2．【注意】两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝ax i ＋b 的平均数、方差、标准差的关系．（4）统计中的表、图①频率分布表(分组、频数、频率、累积频率)②频率分布直方图（横坐标：样本分组；纵坐标：频率组距）a ．频率＝频数样本容量；b ．小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；c ．所有小长方形面积的和＝1．③茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图． 2．方法（1）概率计算中，计数常用方法：列举法、树状图等，一般情况下不需要用到排列、组合知识，有初中的知识就足够了． （2）平均数、方差的计算． 【附加题部分】 1．知识点（1）概率分布（概率分布列、概率分布表） （2）随机变量X ．（3）数学期望：若离散型随机变量X 的概率分布为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望，简称为期望． （4）几个分布①两点分布：随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1，“读成X 服从两点分布”．②超几何分布：随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －rC Nn， 其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －r C Nn记为H (r ；n ，M ，N )． 超几何分布的数学期望：E (X )＝nMN．③二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的概率均为p ，那么在这n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，3，…，n ．即P n (k )＝C k n p k q n －k是二项式(q ＋p )n 展开式中的通项，故称X 服从参数n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，n 表示重复的次数，p 指在一次试验中事件A 发生的概率． 二项分布的数学期望E (X )＝np ．（5）独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A •B )＝P (A )•P (B )；独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k ．条件概率：称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．A7．矩阵与变换（附加题部分） 1．知识点（1）二阶矩阵与列向量的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y ．（2）常见的6个变换恒等变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，也叫单位矩阵；伸压变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)；投影变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；反射变换⎣⎡⎦⎤0 11 0；旋转变换⎣⎡⎦⎤cos θ－sin θsin θ cos θ(逆时针方向)；切变变换⎣⎡⎦⎤1 k 0 1，⎣⎡⎦⎤1 0k 1．（3）二阶矩阵的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22． （4）复合变换：AB (先B 后A ，不得交换)（5）矩阵的逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 也是B 的逆矩阵．二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ab cd (ad －bc ≠0)的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc (可直接使用，但须写上公式)． （6）特征向量、特征值、特征多项式二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何解释：特征向量的方向经过矩阵A 对应的变换作用后，保持在同一直线上．当λ＞0时，方向不变；当λ＜0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成向量0．对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式．（7）行列式：⎪⎪⎪⎪abcd ＝ad －bc ．2．方法（1）二阶矩阵将点变换成点．（2）一般情况下，二阶矩阵将直线变换成直线．（3）求曲线C 在二阶矩阵对应的变换作用得到的曲线C 1的方程．如： 求出曲线y ＝ln x 在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变换得到的曲线．第一步：在曲线y ＝ln x 上任取一个点P'(x'，y')，在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下变为点P (x ，y )．第二步： 由⎣⎡⎦⎤0 11 0⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x y ，所以有y'＝x ，x'＝y ． 第三步： 因为y'＝ln x'，所以x ＝ln y ，即y ＝e x ．所以，曲线y ＝ln x 在⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变为曲线y ＝e x ．附：写给忙于20XX 年江苏高考备考师生的信。
笔记(高中数学复习—排列组合难题二十一种方法)
百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 高中数学复习—排列组合难题二十一种方法一.特殊元素和特殊位置优先例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.143413 乙甲丁丙二.相邻元素捆绑例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.三.不相邻问题插空例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法五.重排问题求幂例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?H F DCB G七.多排问题直排例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法八.排列组合混合问题先选后排例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.九.小集团问题先整体后局部例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？十.元素相同问题隔板例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 十一.正难则反总体淘汰例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？十二.平均分组问题除法策略例12. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？百度文库 - 让每个人平等地提升自我22 十三. 合理分类与分步 例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法 十四.构造模型策略例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法十六. 分解与合成策略例16. 30030能被多少个不同的偶数整除十七.化归策略例17. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？十八.数字排序问题查字典策略例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？十九.树图策略例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______二十.复杂分类问题表格策略例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A 、B 、C 、D 、E 五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法 二十一：住店法策略例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有1.113434288C C A =2. 522522480A A A =3. 5456A A 4. 47A 5. 67 6. 7！ 7.215445A A A 8. 2454C A 9. 222222A A A 10. 69C 11. 1235559C C C +- 12. 22236423/C C C A13.22112223353455C C C C C C C ++ 14. 35C 15. 252C16. 1234555555C C C C C ++++ 17.3311155321C C C C C 18. 297221122334455=++++=A A A A A N 19. 10=N 21. 75百度文库 - 让每个人平等地提升自我33 1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数 2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为3.10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数5.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法6.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是7.一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种8.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为9.将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？ 10.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法11.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？12.100x y z w +++=求这个方程组的自然数解的组数13.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座 谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有14. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.15.某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？16.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？17.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有 种5432112个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A 走到B 的最短路径有多少种？百度文库- 让每个人平等地提升自我445566。
排列组合知识点总结
排列组合知识点总结排列组合是数学中一个重要的分支，它在解决许多实际问题中都有着广泛的应用，比如抽奖、选座位、安排比赛等等。
下面让我们一起来详细了解一下排列组合的相关知识点。
一、基本概念1、排列从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
根据排列的定义，两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同。
排列数用 A(n, m) 表示。
2、组合从 n 个不同元素中，任取 m（m≤n）个元素并成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。
组合数用 C(n, m) 表示。
二、排列数与组合数的计算公式1、排列数公式A(n, m) ＝ n(n 1)（n 2)…（n m ＋ 1) ＝ n! ／（n m)！2、组合数公式C(n, m) ＝ n! ／ m!（n m)！三、排列组合的基本性质1、排列的性质（1）A(n, n) ＝ n!（2）A(n, m) ＝ nA(n 1, m 1)2、组合的性质（1）C(n, 0) ＝ C(n, n) ＝ 1（2）C(n, m) ＝ C(n, n m)四、解决排列组合问题的常用方法1、特殊元素优先法对于存在特殊元素的问题，优先考虑特殊元素的排列或组合。
2、捆绑法当要求某些元素必须相邻时，可以将这些元素看作一个整体，与其他元素一起进行排列，然后再考虑这些相邻元素的内部排列。
3、插空法当要求某些元素不能相邻时，先将其他元素排列好，然后在这些元素之间及两端的空位中插入不能相邻的元素。
4、间接法有些问题直接求解较为复杂，可以先求出总的排列或组合数，然后减去不符合要求的排列或组合数。
5、分类讨论法当问题包含多种情况时，需要对不同情况进行分类讨论，然后将各种情况的结果相加。
五、常见的排列组合问题类型1、排队问题例如，n 个人排成一排，共有多少种不同的排法；某些人必须相邻或不能相邻的排法等。
六年级上册数学笔记学霸笔记
六年级上册数学笔记学霸笔记一、加减法1.加法加法是数学中最基本的运算之一，要求掌握以下几个要点：-加法满足交换律，即a + b = b + a。
-加法满足结合律，即(a + b) + c = a + (b + c)。
-加法满足加0不变，即a + 0 = a。
-加法满足加法逆元，即a + (-a) = 0。
2.减法减法是加法的逆运算，要求掌握以下几个要点：- a - b = a + (-b)。
-减去一个正数，相当于加上它的相反数。
-减去一个负数，相当于加上它的相反数的相反数。
例如：5 - 3 = 5 + (-3) = 2二、乘除法1.乘法乘法是数学中另一个重要的运算，要求掌握以下几个要点：-乘法满足交换律，即a × b = b × a。
-乘法满足结合律，即(a × b) × c = a × (b × c)。
-乘法满足乘1不变，即a × 1 = a。
-乘法满足乘0为0，即a × 0 = 0。
2.除法除法是乘法的逆运算，要求掌握以下几个要点：- a ÷ b = a × (1/b)。
-除以一个正数，相当于乘以它的倒数。
-除以一个负数，相当于乘以它的倒数的相反数。
例如：8 ÷ 4 = 8 × (1/4) = 2三、小数与分数的转换1.小数与分数的转换-小数转换为分数：将小数的数值写在分子上，分母为10的幂次方（根据小数点的位数决定）。
例如：0.5 = 5/10 = 1/2；0.25 = 25/100 = 1/4。
-分数转换为小数：将分子÷分母，除法的整数部分写在小数点前面，余数作为分子，分母为10的幂次方。
例如：3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75；1/6 = 1 ÷ 6 = 0.16666...(循环小数)。
2.小数的加减乘除小数的加减乘除运算与整数的运算类似，要注意小数点的位置和对齐。
理论攻坚-数学运算讲义 笔记公共科目含答案
理论攻坚-数学运算2（讲义）第四节经济利润问题一、基础经济【例1】某服装店老板卖出一件皮衣可赚10%的利润，但如果他用比原来进价低10%的价格买进，而以赚20%的利润卖出，那么他就少卖25元。
那么这件皮衣的现价为（）元。
A.1665B.1550C.1375D.1250【例2】小张收购一台手机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。
一星期后，客户要求退货，小张和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台手机，后来小张又以最初的收购价格将其卖出。
小张在这台手机交易中的利润率是（）。
A.27%B.20%C.17%D.13%【例3】某水果店销售一批水果，按原价出售，利润率为25%。
后来按原价的九折销售，结果每天的销售量比降价前增加了1.5倍。
则打折后每天销售这批水果的利润比打折前增加了（）。
A.15%B.20%C.25%D.30%二、分段计费【例4】某城市居民用水价格为：每户每月不超过5吨的部分按4元/吨收取；超过5吨不超过10吨的部分按6元/吨收取；超过10吨的部分按8元/吨收取。
某户居民两个月共交水费108元，则该户居民这两个月用水总量最多为（）吨。
A.21B.24C.17.25D.21.33三、函数最值【例5】某电脑商城出售10种价格档位的电脑。
最低价格档位的电脑每月可售出120台，每台可获利160元。
每提升一个价格档位，则月销量就会减少10台，但单台利润可增加40元。
若某月该电脑商城只出售某一价格档位的电脑，则当月可获得的最大利润是（）元。
A.24000B.25600C.27040D.28000第五节排列组合与概率问题一、排列组合【例1】随着人们生活水平的提高，汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容。
某地级市交通管理部门出台了一种小型汽车牌照组成办法，每个汽车牌照后五位的要求必须是：前三位为阿拉伯数字，后两位为两个不重复的英文字母（字母O、I不参与组牌），那么用这种方法可以给该地区汽车上牌照的数量为（）。
高一排列组合知识点总结
高一排列组合知识点总结排列组合是数学中的一个重要概念，也是高中数学的一项重要内容。
在高一学年的数学教学中，排列组合是一个必须掌握的知识点。
下面将对高一排列组合的相关知识点进行总结。
一、排列的概念及性质1. 排列的定义：从n个不同元素中取出m（1≤m≤n）个元素，按照一定的顺序排列起来，称为从n个元素中取出m个元素的排列。
2. 排列的计算公式：当元素可以重复取出时，排列数为 n^m；当元素不重复取出时，排列数为 A(n,m)=n!/(n-m)!。
二、组合的概念及性质1. 组合的定义：从n个不同元素中取出m(1≤m≤n)个元素，不考虑元素的顺序，称为从n个元素中取出m个元素的组合。
2. 组合的计算公式： C(n,m)=n!/((n-m)!m!)。
三、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：通过排列组合的算法，可以计算出事件发生的可能性，从而进行概率计算。
2. 排列组合在选择问题中的应用：从一组元素中选取若干个元素，根据排列组合的原理，可以计算出选择的可能性。
3. 排列组合在密码学中的应用：通过排列组合的算法，可以生成不同排列组合的密码，提高密码的安全性。
四、排列组合的解题技巧1. 排列组合的分析：首先明确题目中的条件，确定问题所涉及的元素数量和选取的数量。
2. 使用排列组合公式：根据题目的条件和问题的要求，使用相应的排列组合公式进行计算。
3. 注意特殊情况：在解决排列组合问题时，要特别关注元素是否可以重复取出、是否考虑元素的顺序等特殊情况。
4. 灵活运用公式：对于一些复杂的问题，可通过将问题进行转化，利用排列组合的公式来求解。
五、典型例题分析1. 从10个人中选出3个人组成委员会，求不同的组合数。
解答：根据组合的计算公式C(n,m)，将n=10，m=3带入公式，得到结果C(10,3)=10!/((10-3)!3!)=120。
2. 一个三位数，各位上的数字都不相同，共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式A(n,m)，将n=9（0不能作首位）,m=3带入公式，得到结果A(9,3)=9!/(9-3)!=504。
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排列组合题型总结一．直接法1． 特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二．间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252 例2 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三维书？分析：此例正面求解需考虑0与1卡片用与不用，且用此卡片又分使用0与使用1，类别较复杂，因而可使用间接计算：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432（个）三．插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
例3 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？分析：原有的8个节目中含有9个空档，插入一个节目后，空档变为10个，故有11019A A ⨯=100中插入方法。
四．捆绑法 当需排元素中有必须相邻的元素时，宜用捆绑法。
例4 4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？分析：先将男生捆绑在一起看成一个大元素与女生全排列有44A 种排法，而男生之间又有44A 种排法，又乘法原理满足条件的排法有：44A ×44A =576练习1．四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种（3324A C ）2． 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有（1928129A C ⋅）（注意连续参观2天，即需把30天种的连续两天捆绑看成一天作为一个整体来选有129C 其余的就是19所学校选28天进行排列）五．阁板法 名额分配或相同物品的分配问题，适宜采阁板用法2,4 例5 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
分析：此例的实质是12个名额分配给8个班，每班至少一个名额，可在12个名额种的11个空当中插入7块闸板，一种插法对应一种名额的分配方式，故有711C 种练习1.(a+b+c+d)15有多少项？当项中只有一个字母时，有14C 种（即a.b.c.d 而指数只有15故01414C C ⋅。
当项中有2个字母时，有24C 而指数和为15，即将15分配给2个字母时，如何分，闸板法一分为2，114C 即24C 114C 当项中有3个字母时34C 指数15分给3个字母分三组即可21434C C当项种4个字母都在时31444C C ⋅ 四者都相加即可．练习2．有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？（216C ）3．不定方程X 1+X 2+X 3+…+X 50=100中不同的整数解有（4999C ）六．平均分堆问题 例6 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？分析：分出三堆书（a 1,a 2）,(a 3,a 4)，（a 5,a 6）由顺序不同可以有33A =6种，而这6种分法只算一种分堆方式，故6本不同的书平均分成三堆方式有33222426A C C C =15种 练习：1．6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？2．某年级6个班的数学课，分配给甲乙丙三名数学教师任教，每人教两个班，则分派方法的种数。
七． 合并单元格解决染色问题例7 （全国卷（文、理））如图1，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 得使用同一颜色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）。
分析：颜色相同的区域可能是2、3、4、5．下面分情况讨论:(ⅰ)当2、4颜色相同且3、5颜色不同时，将2、4合并成一个单元格，此时不同的着色方法相当于4个元素 ①③⑤的全排列数A 44 （ⅱ）当2、4颜色不同且3、5颜色相同时，与情形(ⅰ)类似同理可得A 44 种着色法． （ⅲ）当2、4与3、5分别同色时，将2、4；3、5分别合并，这样仅有三个单元格 ①从4种颜色中选3种来着色这三个单元格，计有A C 3334⋅种方法． 由加法原理知：不同着色方法共有2A C A 333444+=48+24=72（种）练习1（天津卷（文））将3种作物种植2,4在如图的5块试验田里，每快种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物 ，不同的种植方法共 种（以数字作答） （72）2．（江苏、辽宁、天津卷（理））某城市中心广场建造一个花圃，花圃6分为个部分（如图3），现要栽种4种颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种 同一样颜色的话，不同的栽种方法有 种（以数字作答）．（120）图3 图4 3．如图4，用不同的5种颜色分别为ABCDE 五部分着色，相邻部分不能用同一颜色，但同一种颜色可以反复使用也可以不用，则符合这种要求的不同着色种数．（540）4．如图5：四个区域坐定4个单位的人，有四种不同颜色的服装，每个单位的观众必须穿同种颜色的服装，且相邻两区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种（84）图55．将一四棱锥(图6)的每个种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种（420）八．递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？分析：设上n 级楼梯的走法为a n 种，易知a 1=1,a 2=2,当n ≥2时，上n 级楼梯的走法可分两类：第一类：是最后一步跨一级，有a n-1种走法，第二类是最后一步跨两级，有a n-2种走法，由加法原理知：a n =a n-1+ a n-2,据此，a 3=a 1+a 2=3,a 4=a #+a 2=5,a 5=a 4+a 3=8,a 6=13,a 7=21,a 8=34,a 9=55,a 10=89.故走上10级楼梯共有89种不同的方法。
九.几何问题1．四面体的一个顶点位A,从其它顶点与各棱中点取3个点，使它们和点A 在同一平面上，不同的取法有 种（335C +3=33）2.四面体的棱中点和顶点共10个点（1）从中任取3个点确定一个平面，共能确定多少个平面？(310C -436C +4-334C +3-6C 34+6+2×6=29)(2)以这10个点为顶点，共能确定多少格凸棱锥？ 三棱锥 C 104-4C 64-6C 44-3C 44=141 四棱锥 6×4×4=96 3×6=18 共有114十． 先选后排法例9 有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选派方法有（ ）A.1260种B.2025种C.2520种D.5054种分析：先从10人中选出2人十一．用转换法解排列组合问题例10．某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．解 把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．25A =20种例11． 个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．解 把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题．59C =126种546132E D C B A 4321例12 从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法． 解 把稳体转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排列问题。
10991C例13 某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．解 无论怎样走必须经过三横四纵，因此，把问题转化为3个相同的白球与四个相同的黑球的排列问题．37C =35（种）例14 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．解 根据题意要想12步登完只能6个一步登一个台阶，6个一步登两个台阶，因此，把问题转化为6个相同的黑球与6个相同的白球的排列问题．612C =924（种）．例15 求（a+b+c ）10的展开式的项数．解 展开使的项为a αb βc γ,且α+β+γ=10，因此，把问题转化为2个相同的黑球与10个相同的白球的排列问题．212C =66（种）例16 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？解 设亚洲队队员为a 1,a 2，…,a 5,欧洲队队员为b 1，b 2，…，b 5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为610C =252（种）十二．转化命题法例17 圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少各？分析：因两弦在圆内若有一交点，则该交点对应于一个以两弦的四端点为顶点的圆内接四边形，则问题化为圆周上的15个不同的点能构成多少个圆内接四边形，因此这些现在圆内的交点最多有415C =1365（个） 十三．概率法例18 一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？ 分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之前的概率相等，均为21，故本例所求的排法种数就是所有排法的21，即21A=360种 十四．除序法 例19 用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，（1）若偶数2，4，6次序一定，有多少个？（2）若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？解（1）3377A A （2）443377A A A 十五．错位排列例20 同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有 种（9）公式 1）))(1(21--+-=n n n a a n a n=4时a 4=3(a 3+a 2)=9种 即三个人有两种错排，两个人有一种错排． 2）n a =n!(1-!11+!21-!31+…+()n 1-!1n 练习 有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？（44）。