相交弦定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

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2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理

2019-2020学年度最新北师大版数学选修4-1教学案：第一章2-5切割线定理相交弦定理[对应学生用书P23][自主学习]1．切割线定理(1)文字语言：过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项．(2)符号语言：从⊙O外一点P引圆的切线PT和割线PAB，T是切点，则PT2＝PA·PB.(3)图形语言：如图所示．推论：过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(割线定理)．2．相交弦定理(1)文字语言：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)符号语言：⊙O的两条弦AB和CD相交于圆内的一点P，则PA·PB＝PC·PD.(3)图形语言：如图所示．[合作探究]1．由相交弦定理知，垂直于弦的直径平分弦．那么，直径被弦分成的两条线段与弦有何关系？提示：弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．2．如图，圆外一点P引圆的两条割线能否有PA·AB＝PC·CD?提示：只有PA＝PC时才有PA·PB＝PC·CD成立．[对应学生用书P23][例1]如图所示，⊙O与⊙O2相交于A，B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P.PB分别与⊙O1，⊙O2交于C，D两点．求证：(1)PA·PD＝PE·PC；(2)AD＝AE.[思路点拨]本题主要考查切割线定理的应用．解题时由割线定理得PA·PE＝PD·PB，再由切割线定理知PA2＝PC·PB可得结论，然后由(1)进一步可证AD＝AE.[精解详析](1)∵PAE，PDB分别是⊙O2的割线，∴PA·PE＝PD·PB.①又∵PA，PCB分别是⊙O1的切线和割线，∴PA2＝PC·PB. ②由①②得PA·PD＝PE·PC.(2)连接AD，AC，ED，∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB＝90°.∴AC是⊙O2的切线．又由(1)知PAPE＝PCPD，∴AC∥ED.∴AB⊥ED.又∵AB是⊙O2的直径，∴AD＝AE，∴AD＝AE.讨论与圆有关的线段间的相互关系，常常可以借助于切割线定理和相似成比例的知识去解决，通常用分析法揭示解题的思考过程，而用综合法来表示解题的形式．1．(湖北高考)如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B.过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点．若QC＝1，CD＝3，则PB＝.解析：由切割线定理，得QA2＝QC·QD＝4⇒QA＝2，则PB＝PA＝2QA＝4.答案：4[例2]OA的垂线分别交⊙O于C，D两点，垂足是点E.求证：PC·PD＝AE·AO.[思路点拨]由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P为AB的中点，所以PC·PD＝AP2.在Rt△PAO中再使用射影定理即可．[精解详析]连接OP，∵P为AB的中点，∴OP⊥AB，AP＝PB.∵PE⊥OA，∴AP2＝AE·AO.∵PD·PC＝PA·PB＝AP2，∴PD·PC＝AE·AO.相交弦定理的运用多与相似三角形联系在一起，经常与射影定理、直角三角形的性质相结合证明某些结论．2．(湖南高考)如图，已知AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，AB＝3，BC＝22，则⊙O的半径等于．解析：设AO，BC的交点为D，由已知可得D为BC的中点，则在直角三角形ABD中，AD＝AB2－BD2＝1，设圆的半径为r，延长AO交圆O于点E，由圆的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即(2)2＝2r－1，解得r＝32.答案：3 2[例3]∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.(3)若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，求PA的长．[思路点拨]本题主要考查相交弦定理与切割线定理的综合应用．解题时先证△CED∽△DEF，同时利用平行关系可证(1)；然后证明△DEF∽△PEA，结合相交弦定理可证(2)；最后由切割线定理可求PA.[精解详析](1)证明：∵DE2＝EF·EC，∴DE∶EC＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△CED∽△DEF.∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.∴∠P＝∠EDF.(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA，即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD，BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.解得EP ＝272. ∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452. 由切割线定理得PA 2＝PB ·PC . ∴PA 2＝152×452.∴PA ＝1523.解决与圆有关的线段问题多综合应用相交弦定理及切割线定理，同时注意相似三角形及平行过渡传递等量关系的应用．3．如图，E 是⊙O 内两弦AB 和CD 的交点，直线EF ∥CB ，交AD 的延长线于点F ，FC 与圆交于点G .求证：(1)△DFE ∽△EFA ； (2)△EFG ∽△CFE . 证明：(1)∵EF ∥CB ， ∴∠DEF ＝∠DCB .∵∠DCB 和∠DAB 都是DB 上的圆周角， ∴∠DAB ＝∠DCB ＝∠DEF . ∵∠DFE ＝∠EFA ，∴△DFE ∽△EFA . (2)由(1)知：△DFE ∽△EFA ，∴EF AF ＝FDFE . 即EF 2＝FA ·FD .由割线定理得FA ·FD ＝FG ·FC . ∴EF 2＝FG ·FC ，即EF GF ＝FC FE .又∵∠EFG ＝∠CFE ，∴△EFG ∽△CFE .本课时主要考查相交弦定理、切割线定理的应用．难度中档，是高考命题的热点内容．[考题印证](新课标全国卷Ⅱ)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：(1)BE＝EC；(2)AD·DE＝2PB2.[命题立意]本题主要考查切割线定理、相交弦定理以及三角形的外切定理、弦切角定理、同弧所对的圆心角相等定理．[自主尝试](1)连接AB，AC.由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA.因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB，所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝EC.(2)由切割线定理得PA2＝PB·PC.因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2.[对应学生用书P25]一、选择题1.如图，已知⊙O的两条弦AB，CD相交于AB的中点E，且AB＝4，DE＝CE＋3，则CD的长为()A．4B．5C．8 D．10解析：选B设CE＝x，则DE＝3＋x.根据相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x ＝－4(不合题意，应舍去)．则CD＝3＋1＋1＝5.2.如图，点P是⊙O外一点，PAB为⊙O的一条割线，且PA＝AB，PO交⊙O于点C，若OC＝3，OP＝5，则AB的长为()A．10B．2 2C．5D． 6解析：选B设PA＝AB＝x，延长PO交圆于点D.因为PA·PB＝PC·PD，OC＝3，OP＝5，所以PC＝2，PD＝8.所以x·2x＝16，所以x＝2 2.3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2解析：选A在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.4．如图，CA，CD分别切圆O1于A，D两点，CB，CE分别切圆O2于B，E两点．若∠1＝60°，∠2＝65°，判断AB，CD，CE的长度，下列关系正确的是()A．AB>CE>CD B．AB＝CE>CDC．AB>CD>CE D．AB＝CD＝CE解析：选A因为∠1＝60°，∠2＝65°，所以∠ABC＝180°－∠1－∠2＝180°－60°－65°＝55°，所以∠2>∠1>∠ABC ，所以AB >BC >AC ，因为CA ，CD 分别切圆O 1于A ，D 两点， CB ，CE 分别切圆O 2于B ，E 两点，所以AC ＝CD ，BC ＝CE ，所以AB >CE >CD . 故选A. 二、填空题5．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3，则BD 的长为．解析：由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.答案：46．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知PA＝22，PC ＝4，圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为．解析：记圆O 的半径为R .依题意得PA 2＝PB ·PC ，PB ＝PA 2PC ＝2，BC ＝PC －PB ＝2，所以R ＝(12BC )2＋(3)2＝2. 答案：27．如图，⊙O 的弦ED ，CB 的延长线交于点A ，若BD ⊥AE ，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝；CE ＝ .解析：由切割线定理得AB ·AC ＝AD ·AE ，即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5；易知AD AB ＝AC AE ＝34，又∠A ＝∠A ，故△ABD ∽△AEC ，故∠BCE ＝∠BDA ＝90°，BDEC ＝AD AC .在直角三角形ABD 中，BD ＝42－32＝7，∴CE ＝BD ·ACAD ＝7× 63＝27.答案：5 278.如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，AE ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72. 答案：72三、解答题9．如图，P 为圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，A ，B 为切点，OP 与AB 相交于点M ，且点C 是AB 上一点．求证：∠OPC ＝∠OCM .证明：连接OB ，由切线长定理，得PA ＝PB ，PM ⊥AB ， PO 平分∠APB .又PB ⊥OB ，在Rt △OPB 中，OB 2＝OP ·OM ， ∵OB ＝OC ，∴OC 2＝OP ·OM ，即OC OP ＝OMOC，∴△OCP ∽△OMC ，∴∠OPC ＝∠OCM . 10.如图，两个同心圆的圆心是O ，大圆的半径为13，小圆的半径为5，AD 是大圆的直径．大圆的弦AB ，BE 分别与小圆相切于点C ，F .AD ，BE 相交于点G ，连接BD .(1)求BD 的长．(2)求∠ABE ＋2∠D 的度数． (3)求BGAG 的值．解：(1)连接OC ，因为AB 是小圆的切线，C 是切点，所以OC ⊥AB ，所以C 是AB 的中点．因为AD 是大圆的直径，所以O 是AD 的中点．所以OC 是△ABD 的中位线．所以BD ＝2OC ＝10. (2)连接AE .由(1)知C 是AB 的中点．同理F 是BE 的中点．即AB ＝2BC ，BE ＝2BF ，由切线长定理得BC ＝BF . 所以BA ＝BE .所以∠BAE ＝∠E . 因为∠E ＝∠D ，所以∠ABE ＋2∠D ＝∠ABE ＋∠E ＋∠BAE ＝180°. (3)连接BO ，在Rt △OCB 中，因为OB ＝13，OC ＝5，所以BC ＝12，AB ＝24. 由(2)知∠OBG ＝∠OBC ＝∠OAC . 因为∠BGO ＝∠AGB ，所以△BGO ∽△ AGB . 所以BG AG ＝BO AB ＝1324.11.如图，在Rt △BDE 中，∠BDE ＝90°，BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，AC ⊥CB 交BE 于点A ，△ABC 的外接圆的半径为r .(1)若∠E ＝30°，求证：BC ·BD ＝r ·ED .(2)若BD ＝3，DE ＝4，求AE 的长．解：(1)证明：取AB 的中点为O ，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，O 是外接圆的圆心，连接CO ，所以BO ＝CO ，∠BCO ＝∠OBC ，因为BC 是∠DBE 的平分线，所以∠DBC ＝∠CBA ，所以∠OCB ＝∠DBC ，所以OC ∥DB (内错角相等，两直线平行)，所以OC BD ＝CE DE，把比例式化为乘积式得BD ·CE ＝DE ·OC ，因为OC ＝r ，所以BD ·CE ＝DE ·r .因为∠D ＝90°，∠E ＝30°，所以∠DBE ＝60°，所以∠CBE ＝12∠DBE ＝30°，所以∠CBE ＝∠E ，所以CE ＝BC ，所以BC ·BD ＝r ·ED .(2)过点C 作CH ⊥OE ，垂足为H .BD ＝3，DE ＝4，根据勾股定理，BE ＝5，OC ＝OA ＝r ，因为OC ∥DB ，所以△OCE ∽△BDE ，所以OC BD ＝OE BE ＝CE DE ，即r 3＝OE 5＝CE 4，解得OE ＝53r ，CE ＝43r . CH ＝OC ·CE OE ＝45r ，因为BC 平分∠DBE 交DE 于点C ，则△BDC ≌△BHC ，所以BH ＝BD ＝3，则HE ＝2.在Rt △CHE 中，根据勾股定理得：CH 2＋EH 2＝CE 2，即⎝⎛⎭⎫45r 2＋22＝⎝⎛⎭⎫43r 2，解得：r ＝158，则AE ＝BE －2r ＝5－154＝54.。

高中数学 1.2.5 相交弦定理课件北师大版选修4-1

图 1－2－85 (1)求证：PA· PE＝PC· PD； (2)当 AD 与⊙O2 相切且 PA＝6，PC＝2，PD＝12 时，求 AD 的长．
【解】
(1)证明：连接 AB，CE，
∵CA 切⊙O1 于点 A， ∴∠1＝∠D. 又∵∠1＝∠E， ∴∠D＝∠E.又∵∠2＝∠3， ∴△APD∽△CPE. PA PD ∴ ＝， PC PE 即 PA· PE＝PC· PD.
【答案】 2
1．解答本题的关键是先用相交弦定理求 PD，再用勾股定理或射影定理求 AD、CD. 2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．
如图 1－2－83，已知 AB 是⊙O 的直径，OM＝ON，P 是⊙O 上的点，PM、PN 的延长线分别交⊙O 于 Q、R. 求证：PM· MQ＝PN· NR.
2.5 相交弦定理
课标解读
1.掌握相交弦定理及其证明过程． பைடு நூலகம்．能灵活运用相交弦定理进行计算与证明.
相交弦定理 (1)文字叙述
图 1－2－81
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等． (2)图形表示如图 1－2－81，弦 AB 与 CD 相交于圆内一点 P，则
PB＝PC· PD . 有： PA·
1．解答本题时应注意所求与已知的关系，通过所求明确已知转化的方向，从而求得结论． 2．在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理，见到切线和割线时要想到切割线定理及推论．
如图 1－2－85 所示，已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A， B 两点，过点 A 作⊙O1 的切线，交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线分别交⊙O1，⊙O2 于点 D，E，DE 与 AC 相交于点 P.

弦切角定理知能优化训练(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

[学生用书P26～P27]1．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为直径，D为BC延长线上一点，PC切⊙O于C点，∠PCD＝20°，则∠A＝()A．20°B．30°C．40°D．50°解析：选A.∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝∠ACP＝180°－90°－20°＝70°，∴∠A＝90°－70°＝20°.2.已知，如图，P A切⊙O于点A，BC是⊙O的直径，BC的延长线交AP于P，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.其中：∠B、∠AEC都与∠CAP相等，连接OA、OE，∵OC⊥AE，∴OC垂直平分AE，∴△ACE为等腰三角形，∴∠EAC＝∠AEC＝∠CAP.3．如图，P A，PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，C是上的一点，已知⊙O的半径为r，PO＝2r，设∠P AC＋∠PBC＝α，∠APB＝β，则α与β的大小关系为()A．α＞βB．α＝βC．α＜βD．不确定解析：选B.连接AB 、AO ， ∴∠P AC ＝∠ABC ， ∠PBC ＝∠BAC ， ∴α＝∠P AC ＋∠PBC ＝12(∠P AB ＋∠PBA ) ＝12(180°－∠APB )， ∵AO ＝r ，P A 切⊙O 于A ，AO ⊥P A 且PO ＝2r ， ∴∠APO ＝30°，∴∠APB ＝2∠APO ＝60°，∴α＝12(180°－60°)＝60°＝β.4.已知：如图，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PCD 为⊙O 的割线．求证：AC ·BD ＝AD ·BC . 证明：∵P A 是切线， ∴∠P AC ＝∠PDA ， ∵∠APC ＝∠APD ， ∴△APC ∽△DP A . ∴AC AD ＝P A PD .同理BC BD ＝PB PD. ∵P A ＝PB ，∴AC AD ＝BCBD.∴AC ·BD ＝AD ·BC .5．弦切角的定义是( )A ．一条切线和一条弦组成的角B ．顶点在圆上，一边是切线，另一边是射线组成的角C ．顶点在圆上，两边与圆相交的角D ．顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角解析：选D.根据弦切角的定义易得答案． 6.如图，PC 与⊙O 相切于C 点，割线P AB 过圆心O ，∠P ＝40°，则∠ACP 等于( ) A ．20° B ．25° C ．30° D ．40° 解析：选B.连接OC (图略)，∴OC ⊥PC . 又∵∠P ＝40°，∴∠COP ＝50°，∴∠ACP ＝12×50°＝25°.7．判断如图中的角：∠BAC ，不是弦切角的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 8.如图，AB 是⊙O 的直径，DB 、DC 分别切⊙O 于B 、C ，若∠ACE ＝25°，则∠D 为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 解析：选A.如图所示，连接BC .根据弦切角定理，得∠ACE ＝∠ABC ＝25°. 又∵AB ⊥BD ，∴∠CBD ＝90°－∠ABC ＝65°. ∵DC 、DB 是圆的切线， ∴∠CBD ＝∠DCB ＝65°， ∴∠D ＝180°－2×65°＝50°，故选A. 9.如图，AD ⊥直径CE ，AB 为⊙O 的切线，A 为切点，若∠1＝30°，则∠2＝( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°解析：选D.连接AE (图略)，∵CE 是直径， ∴∠CAE ＝90°，∴∠E ＋∠ACE ＝90°，AD ⊥EC ， ∴∠ADC ＝90°，∴∠2＋∠ACE ＝90°，∴∠2＝∠E ，又AB 切⊙O 于A ，AC 是弦，∴∠1＝∠E ， ∴∠1＝∠2. 10.。

切割线与相交弦定理课后作业(答案解析)提升高中数学选修4-1 北师大版

第四课时切割线与相交弦定理1．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则() A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PBC．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB答案：D2．如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是直径MN 上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为()A．1 B.2 2C.3－1D. 2答案：D3．如图，两个等圆⊙O和⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA、OB，A、B是切点，则∠AOB等于()A．90°B．60°C．45°D．30°答案：B4．在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，PA＝3 cm，PB＝5 cm，PC＝2.5 cm，则弦CD的长为() A．6 cm B．7.5 cm C．8 cm D．8.5 cm答案：D5．圆内两条相交弦，其中一弦长为8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成1∶4两部分，则这条弦长是() A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm答案：C6．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为________．答案：127．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于C，图中互相垂直的线段有________⊥________.(只要求写出一对线段)．答案：AB OP8．如图，P为圆O外一点，PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，OP与AB相交于点M，且点C是上一点．求证：∠OPC＝∠OCM.证明：连接OB，由切线长定理，得PA＝PB，PM⊥AB，PO平分∠APB.又PB⊥OB，在Rt△OPB中，OB2＝OP·OM，∵OB＝OC，∴OC2＝OP·OM，即OCOP＝OMOC，∴△OCP∽△OMC，∴∠OPC＝∠OCM.9．A点在圆周上，BC与圆切于M，AB、AC分别与圆相交于D、E，且M为的中点．求证：DB∶BM＝EC∶CM.证明：如图，连接AM.∵BC与圆切于点M，∴CM2＝CE·CA，BM2＝BD·BA.即CE∶CM＝CM∶CA，BD∶BM＝BM∶BA.又∵M为的中点，∴∠1＝∠2，∴BM∶BA＝CM∶CA，∴BD∶BM＝EC∶MC.10．如图，弦AD和CE相交于⊙O内一点F，延长EC与过点A的切线相交于点B，且AB＝BF＝FD，BC＝1 cm，CE＝8 cm，求EF和AF的长．。

直角三角形的射影定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

选修4-1 第1章1.1.5课时作业一、选择题1．一个直角三角形两条直角边的比为1∶5，则它们在斜边上的射影比为() A．1∶2B．1∶3C．1∶ 5 D．1∶5【解析】设Rt△ABC中∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，ACBC＝15，则AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴ADBD＝(ACBC)2＝(15)2＝15.【答案】 D2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若ACAB＝34，则BDCD等于()A.34 B.43C.169 D.916【解析】如图，由射影定理，得AC 2＝CD ·BC ，AB 2＝BD ·BC ， ∴AC 2AB 2＝CD BD ＝(34)2，即CD BD ＝916，∴BD CD ＝169. 【答案】 C3．在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶4，则tan ∠BCD 的值是( )A.14B.13C.12D ．2【解析】如图，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又∵BD ∶AD ＝1∶4，令BD ＝x ，则AD ＝4x (x ＞0) ∴CD 2＝AD ·BD ＝4x 2， ∴CD ＝2x . 在Rt △CDB 中， tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 2x ＝12. 【答案】 C4．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AD ∶BD ＝2∶3，则△ACD 与△CBD 的相似比为( )A ．2∶3B ．4∶9 C.6∶3D ．不确定【解析】如图所示，在Rt △ACB 中，CD ⊥AB ，由射影定理得：CD 2＝AD ·BD ，即CD AD ＝BDCD . 又∵∠ADC ＝∠BDC ＝90°， ∴△ACD ∽△CBD .又∵AD ∶BD ＝2∶3，令AD ＝2x ，BD ＝3x (x ＞0)， ∴CD 2＝6x 2，∴CD ＝6x .∴△ACD 与△CBD 的相似比为AD CD ＝2x 6x ＝63，即相似比为6∶3.【答案】 C 二、填空题5．如图1－1－49所示，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD ，OF ⊥AB ，DE ∶EB ＝1∶3，OF ＝a ，则对角线BD 的长为________．图1－1－49【解析】由题意知，AD ＝2a ，DE ＝14BD ， ∴AD 2＝DE ·BD ＝14BD 2， ∴BD 2＝4AD 2＝16a 2， ∴BD ＝4a . 【答案】 4a6．已知在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，∠D ＝90°，AC ⊥BC ，AB ＝10 cm ，AC ＝6 cm ，则此梯形的面积为________．【解析】如图，过C 点作CE ⊥AB 于E .。

高二数学北师大版选修4-1相交弦定理

安边中学高二年下学期数学学科导学稿执笔人：张亲总第课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间6 周集体备课一、课题： 2.5相交弦定理二、学习目标1、掌握相交弦定理及推论，并会灵活应用．2、会用相交弦定理及推论进行证明和计算．重难点：相交弦定理的应用。

三、教学过程【自主预习】1、四边形ACBD为⊙O的内接四边形，AB是直径，CD⊥AB，图中有哪些直角三角形？有哪些相似三角形（不包括全等）？2、相交弦定理以及证明：3、推论:如果弦与直径垂直相交时，那么弦的一半是它分直径所成两线段的比例中项．【合作探究】例1、已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=11，PA=3，OP=5，求⊙O的半径。

例2、已知：点C为AB的中点，点D为弦AB的中点，CD=1，AB=6，求⊙O的直径。

例3、已知：B 为CD 的中点,AB 为⊙O 的直径,F 为AB 延长线上一点,AB 与CD 相交于P ，PE ⊥DF ，求证：AP ·PB=DE ·DF【检测训练】1、如图:⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P,PA=8,PB=9（1）若PC=4，则PD= ，CD= 。

（2）若PC=PD ，则CD= 。

（3）若PC :PD =2:3，则PC = ，PD = ．（4）若CD=18(PC<PD)，则PC= ，PD=2、如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，直线CF 交弦AB 于P ，分别交⊙O 1于C 、D ，交 ⊙O 2于E 、F ，求证：PC ·PD =PE ·PF ．3、已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足E ，且AE =4cm ，BE =9cm ，则tan ∠ACE =（） A ．94 B ．49 C ． 32 D ．234、如图P 为⊙O 的弦AB 上的一点，PC ⊥OP 交⊙O 于点C ，若PC =6，AP =4，求AB 的长．反思栏O 2O 1E F C B P D A D。

北师大版高中数学选修4-1专题练习(含答案)

《几何证明选讲》习题一考试大纲说明的具体要求：1.了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理.2会证圆周角定理、圆的切线的判定定理及性质定理.3.会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定定理、切割线定理.4.了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆).5.了解下面定理：定理在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于点O，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β(π与l平行，记β＝0)，则：①β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；②β=α，平面π与圆锥的交线为抛物线；③β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线.一、基础知识填空：1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段_________.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________.推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________.2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段___________. 3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________；相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；4. 直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项.5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是____；90o的圆周角所对的弦是________. 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________. 6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：圆的内接四边形的对角______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_____.如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点______；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________. 7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________.推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_______；经过切点且垂直于切线的直线必经过______.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的________. 8.相交弦定理:圆内两条相交弦，_____________________的积相等.割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，_____________的两条线段长的积相等. 切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是__________的比例中项. 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____；圆心和这点的连线平分_____的夹角.二、经典试题：1.如图所示，在四边形ABCD 中，EF//BC ，FG//AD ，则EF FG+=BC AD．2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ：EB=1：2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6cm 2，则△ABC 的面积为cm 2．3.如图所示，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．A BC D E F GBCDE F4.如图所示，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、PCD ，AB 是圆O 的直径，若PA=4，PC=5，CD=3，则∠CBD= __.5.已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA=2. AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB=1，则圆O 的半径R=_______.6. 如图所示，圆O 的直径AB=6，C 圆周上一点，BC=3，过C过A 作l 的垂线AD ，AD 分别与直线l 、圆交于点 D 、E ，则∠DAC ＝ __，线段AE 的长为 __.三、基础训练：1.如图所示，PC切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 点E ，PC=4，PB=8，则CD=________.2.如图所示，从圆O 外一点A 引圆的切线AD 和割线ABC ，已知AD=AC=6，圆O 的半径为3，则圆心O 到AC 的距离为________.3.如图所示,圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8则圆O 的半径等于．4.如图所示，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD=AB=BC=3. 则BD 的长______，AC 的长_______．5. 如图， ⊙O′和⊙O 相交于A 和B ， PQ 切⊙O 于P ，交⊙O′于Q 和M ，交AB 的延长线于N ， MN=3，NQ=15，则 PN ＝______．6.如图所示, 圆的内接△ABC 的∠C 的平分线CD 延长后交圆于点E ，连接BE ，已知BD=3，CE=7，BC=5，则线段 BE= .7.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ， ∠MAB=250，则∠D= ___ .8.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC于F ，则BF=FC.9.如图：EB 、EC 是⊙O 的两条切线，B 、C 是切点，A 、D 是⊙O 如果∠E ＝460，∠DCF ＝320，则∠A 的度数是 .10. 如图，AB 是圆O 的直径，直线CE 和圆O 相切于点C ，AD ⊥CE 于D ，若AD=1，∠ABC=300，则圆O 的面积是______.BADCEN CBADEF11.如图，AB 、CD 是圆O 的两条弦，且AB 是线段CD 的中垂线，已知AB=6，CD=52，则线段AC 的长度为．12.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∥EF ， E 是AB 的中点，EF 交BD 于G ，交AC 于H. 若 AD=5，BC=7，则GH=________.13.如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D. AD=2，AC= 52，则AB=____ __,CD=___ __.14.如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且1PB =BC 2，则PAPB的值是________.15.如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A 、B 两点，割线 PCD 经过圆心O ，PE 是⊙O 的切线。

章节作业(答案解析)1 高中数学选修4-1 北师大版

综合学习与测试(一)1. 在△ABC 中，∠A=60°，BE ⊥AC 于E ，CD ⊥AB 于D ，连接DE ，则=BCDE（） A. 21 B. 31 C. 32 D. 212. 四边形ABCD 中，AB//CD ，DBC DAB ∠=∠，AB=4，BD=5，则=∆A B C D ABD S S :（）A. 2516B. 54C. 4116 D. 41253. 下列说法：（1）与圆有公共点的直线是圆的切线；（2）垂直于圆半径的直线是切线；（3）与圆心的距离等于半径的直线是切线；（4）过直径的端点，垂直于此直径的直线是切线。

其中正确的是（）A. （1）（2）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（4）4. ABCD 是圆O 的内接四边形，圆心在四边形内部，点P 、Q 、R 、S 分别在弧AB 、弧BC 、弧CD 和弧DA 上，则=∠+∠+∠+∠DSA CRD BQC APV （）A. 180B. 540C. 360D. 4505. 圆O 的内接四边形ABCD 的对角线AB OE BD AC ⊥⊥, 于E ，则（）A. DC=OEB. DC=2OEC. 2DC=OED. DC=3OE6. 圆的内接平行四边形是（）A. 菱形B. 正方形C. 长方形D. 梯形7. AB=AC ，BD 、CE 分别是ACB ABC ∠∠、的平分线，且相交于F ，则四边形AEFD 是（）A. 圆内接四边形B. 矩形C. 梯形D. 菱形8. 在⊙O 中，直径AB 、CD 互相垂直，BE 切⊙O 于B ，且BE=BC ，CE 交AB 于F ，交⊙O 于M ，连结MO 并延长，交⊙O 于N ，则下列结论中，正确的是（）A. CF=FMB. OF=FBC. BM ⌒的度数是22.5°D. BC ∥9. 圆内接四边形ABCD 中，3:2:1::=∠∠∠D C B ，则______,___,___,=∠=∠=∠=∠D C B A 。

北师大版数学选修4-1练习(第2章)圆锥曲线的几何性质(含答案)

圆锥曲线的几何性质同步练习一，选择题1，一个圆在一个平面上的平行投影可能是（）A ，圆B ，椭圆C ，线段D ，以上均可能2，如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形，则下列结论中正确的是（） A ，内心的平行投影仍为内心 B ，重心的平行投影仍为重心 C ，垂心的平行投影仍为垂心 D ，外心的平行投影仍为外心3，若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴的最小值为（） A ，1 B ，2 C ，2 D ，224，对于半径为4的圆在平面上的射影的说法错误的是（） A ，射影为线段时，线段的长为8B ，射影为椭圆时，椭圆的短轴可能为8C ，射影为椭圆时，椭圆的长轴可能为8D ，射影为圆时，圆的直径可能为45，若双曲线的两条准线与实轴的交点是两顶点间线段的三等分点，则其离心率是（） A ，3 B ，2 C ，3 D ，326，设过抛物线px y 22=的焦点的弦为MN ，则以MN 为直径的圆和抛物线的准线（） A ，相交 B ，相切 C ，相离 D ，不能确定7，若双曲线1922=-y y 的两焦点是21,F F ，A 是该曲线上一点，且51=AF ,那么2AF 等于（） A ，105+ B ，1025+ C ，8 D ，11 8，如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且PB=21BC ，则PBPA 的值为（）A ，2B ，21C ，3D ，1 9，如图，圆O 的直径是AB ，弦CD 垂直平分OA ，垂足为E 点，则弧CAD 的度数是（）BA，150° B，120° C，90° D，60°10，如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC，BD交于点P ，则此图形中一定相似的三角形的对数为（）CA，4 B，3 C，2 D，111，半径为5cm的圆内有两条平行弦，其长分别为6cm和8cm,则两平行弦之间的距离为（）A,1cm或7cm B,1cm或4cm C,1cm D,7cm二，填空题12，如图，AB是圆O 的直径，C为圆周上一点，弧AC=60°，OD⊥BC，D为垂足，且OD=10，则AC= ,AB=B13，如图，在Rt⊿ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2,BD=3,则BC= .14，如图，AB是圆O的直径，CB切圆O于B，CD切圆O于D ，交BA的延长线于E ，若AB=3，ED=2，则BC的长为 .B15，⊿ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=32，则⊿ABC 外接圆的半径等于 . 三，解答题 16，如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA=∠D ，求证：AC ·BE=CE ·AD17，如图，AD 是⊿ABC 外角∠EAC 的平分线，AD 与⊿ABC 的外接圆交于点D ，N 为BC 延长线上一点，ND 交⊿ABC 的外接圆于点M ，求证： ①DB=DC②DN DM DC ⋅=218，如图，圆O1圆O2相交于A，B两点，CB是圆O2的直径，过A点作的圆O1的切线交圆O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与圆O1,圆O2交于C，D两点，求证：①PA·AD=PE·PC②AD=AEP19，如图，已知AB为半圆的直径，O为圆心，BE，CD分别为半圆的切线，切点分别为B和C，DC的延长线交BE 于F，AC的延长线交BE于E，AD⊥DC，D为垂足，根据这些条件，你能推出哪些结论？请你给出尽量多的结论B参考答案1,D 2,B 3,D 4,D 5,C 6,B 7,D 8,C 9,B 10,C 11,A12,20 40 13, 13 14,3 15,2。

(北师大版)北京市高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)

一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或72．若直线y x m =+与曲线21y x =-有且只有一个公共点，则实数m 的取值范围为（）A ．(]{}1,12-⋃-B ．{}2,2-C ．[){}1,12-D ．(1,2⎤⎦3．设点P 是函数24(1)y x =---图象上任意一点，点Q 坐标为(2,3)()a a a R -∈，当||PQ 取得最小值时圆221:()(1)4C x m y a -+++=与圆222:()(2)9C x n y +++=相外切，则mn 的最大值为 A ．5B ．52C ．254D ．14．若直线:10(0,0)l ax by a b ++=>>把圆()()22:4116C x y +++=分成面积相等的两部分，则当ab 取得最大值时，坐标原点到直线l 的距离是（） A ．4 B ．817 C ．2 D ．8175．圆22460x y x y +-+=和圆2260x y y +-=交于A B 、两点，则直线AB 的方程是（）A ．30x y +=B ．30x y -=C ．390x y --=D ．390x y ++= 6．如图所示，在圆的内接四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，EF 切O 于点C ，那么图中与DCF ∠相等的角的个数是（）A ．4B ．5C ．6D ．7 7．已知圆:,过轴上的点向圆引切线，则切线长为（） A ． B ．C ．D ．8．已知圆922=+y x 的弦过点)2,1(P ，当弦长最短时，该弦所在直线方程为（） A ．02=-y B ．052=-+y x C ．02=-y x D ．01=-x9．过点()3,1P 作圆()22:21C x y -+=的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=10．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（） A ．1520x y +-＝ B ．1520x y ＝+- C ．1520x y --＝D ．1520x y --＝11．设直线10x ky --=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数k 的值是（）A ．3-B ．3±C ．33D ．33±12．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，点A 在E 上，以A 为圆心的圆与y 轴相切，且交AF 于点B ，若2AB BF =，则圆A 截线段AF 的垂直平分线所得弦长为7，则p =______．14．已知0a >，0b >，0c >，且222c a b =+，()1,0A a -，()2 ,0A a ，()0,B b ，() ,0F c ．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点()1,2i P i =，使得i 1i 2PA PA ⊥，则实数ca的取值范围是___． 15．过原点的直线与圆交于两点，点是该圆与轴负半轴的交点，以为直径的圆与直线有异于的交点，且直线与直线的斜率之积等于，那么直线的方程为________.16．已知点A 在直线20x y a ++=上，过点A 引圆22:1O x y +=的切线，若切线长的最小值为25，则实数a 的值为__________． 17．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.18．若直线1y kx =+和圆22:1O x y +=相交于,A B 两点（其中O 为坐标原点），且60AOB ∠=，则实数k 的值为__________．19．如右图,PT 切圆O 于点T,PA 交圆O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD ＝2，AD ＝3，BD ＝6，则PB ＝______．20．如图，已知AB 是圆O 的直径，4AB =，C 为圆上任意一点，过C 点做圆的切线分别与过,A B 两点的切线交于,P Q 点，则CP CQ ⋅=________________．三、解答题21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F . 求证：（1）∠=∠DEA DFA ；（2）2AB AE BD AE AC =⋅-⋅22．已知圆C 的圆心在坐标原点，且与直线1:220l x y --=相切．（1）求圆C 的方程；（2）求直线2:4350l x y -+=被圆C 所截得的弦AB 的长；（3）过点()1,3G 作两条与圆C 相切的直线，切点分别为,M N ，求直线MN 的方程． 23．已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：22(4)(5)4x y -+-=（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对相互垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标（1）0=y 或028247=-+y x ；（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,25或313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】试题分析：（1）由直线与圆的位置关系知直线4=x 与圆1C 不相交，则直线的斜率存在。

1.2.5相交弦定理学业分层测评(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

学业分层测评(八)2.5 相交弦定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.圆内两弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝3，PB ＝4，PC ∶PD ＝1∶3，则CD 等于( )【导学号：96990035】A.12B.8C.4D.2【解析】设PC ＝x ，PD ＝3x ，则有：3×4＝x ×3x ，解得x ＝2(负值舍去)，∴PC ＝2，PD ＝6，∴CD ＝8.【答案】 B2.如图12114，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，△ABC 的外接圆直径AE 交BC 边于点G ，有下列四个结论：图12114①AD 2＝BD ·CD ；②BE 2＝EG ·AE ；③AE ·AD ＝AB ·AC ；④AG ·EG ＝BG ·CG .其中正确结论的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】由△ABE ∽△ADC 得AB AD ＝AE AC， ∴AE ·AD ＝AB ·AC ，故③正确；由相交弦定理得AG ·EG ＝BG ·CG ，故④正确.【答案】 B3.如图12115，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 的半径为( )图12115A.5B.5.5C.6D.6.5【解析】由相交弦定理得AP ·BP ＝CP ·PD ，∴4×6＝3×PD ，∴PD ＝8，设⊙O 的半径为r∴⎩⎪⎨⎪⎧ PD ＝r ＋OP ＝8PC ＝r －OP ＝3，解得r ＝5.5【答案】 B4.如图12116所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )图12116 A.32 B.22 C.655 D.455【解析】由题意知BD ＝22，则CD ＝BC ＝2DE ＝2CE ＝2.∴BE ·EF ＝1，又BE ＝BC 2＋CE 2＝22＋12＝5，∴EF ＝55， ∴BF ＝5＋55＝655. 【答案】 C5.已知⊙O 的半径为5，两弦AB ，CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( )A.2143B.289C.273D.809 【解析】过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ，由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .可设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23，即OH ＝OD 2－DH 2＝52－⎝ ⎛⎭⎪⎫1332＝2143. 【答案】 A二、填空题6.如图12117，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P ，PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________.图12117【解析】由相交弦定理得PA ·PB ＝PC ·PD .又PA ＝PB ＝2，PD ＝1，则PC ＝4，∴CD ＝PC ＋PD ＝5.过O 作CD 的垂线OE 交CD 于E ，则E 为CD 中点，∴OE ＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22＝7－254＝32. 【答案】 32 7.如图12118，AC 为⊙O 的直径，弦BD ⊥AC 于点P ，PC ＝2，PA ＝8，则tan∠ACD 的值为________.图12118 【解析】 ∵BD ⊥AC ，∴BP ＝PD ，。

1.2.4切割线与相交弦定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

学业分层测评(七)2.4 切割线定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.如图1-2-91所示，线段AB 和⊙O 交于C ，D ，AC ＝BD ，AE ，BF 分别切⊙O 于E ，F .那么AE 与BF 的关系为( )图1-2-91A.AE ＝2BFB.AE ＝13BFC.AE >BFD.AE ＝BF【解析】 ∵AE 2＝AC (AC ＋CD )，BF 2＝BD (BD ＋CD ).又∵AC ＝BD ，CD ＝CD ，∴AE 2＝BF 2，∴AE ＝BF .【答案】 D2.如图1-2-92，P AB ，PCD 是⊙O 的两条割线，PC ＝AB ，P A ＝20，CD ＝11，则AB 的长为( )图1-2-92A.30B.25C.20D.15【解析】设PC ＝AB ＝x ，则x (x ＋11)＝20×(20＋x )，所以x ＝25. 所以AB 的长为25.3.如图1-2-93所示，已知P A是⊙O的切线，A为切点，PC与⊙O相交于B，C两点，PB＝2 cm，BC＝8 cm，则P A的长等于()图1-2-93A.4 cmB.16 cmC.20 cmD.2 5 cm【解析】∵PB＝2，BC＝8，∴PC＝10.∵P A是⊙O的切线，PC是⊙O的割线，∴P A2＝PB·PC＝2×10，∴P A＝25(cm).【答案】 D4.如图1-2-94，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到直线AC的距离为22，AB＝3，则AD的长为()图1-2-94A.7B.213C.15D.5 6【解析】∵圆O的半径为3，圆心O到AC的距离为2 2.∴BC＝232－(22)2＝2.又∵AB＝3，∴AC＝5.又∵AD为⊙O的切线，由切割线定理得AD2＝AB·AC＝3×5＝15，∴AD＝15.5.如图1-2-95，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()图1-2-95A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-96，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为P A中点，过M 引割线交圆于B，C两点.求证：∠MCP＝∠MPB.图1-2-96【证明】∵P A与圆相切于A，∴MA2＝MB·MC.∵M为P A中点，∴PM＝MA，∴PM2＝MB·MC，∴PMMC＝MBPM.∵∠BMP＝∠PMC，。

1.2.3弦切角定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

学业分层测评(六)2.3 弦切角定理(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.P在⊙O外，PM切⊙O于C，P AB交⊙O于A、B，则()【导学号：96990026】A.∠MCB＝∠BB.∠P AC＝∠PC.∠PCA＝∠BD.∠P AC＝∠BCA【解析】如图所示，由弦切角定理知∠PCA＝∠B.【答案】 C2.如图1-2-64，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于()图1-2-64A.14°B.38°C.52°D.76°【解析】∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝12∠BOC＝38°.【答案】 B3.如图1-2-65，在圆的内接四边形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C点，那么图中与∠DCF相等的角的个数是()图1-2-65A.4B.5C.6D.7【解析】∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE，∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC.【答案】 B4.如图1-2-66所示，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，DC的延长线交AB于点A，∠A＝20°，则∠DBE＝()图1-2-66A.55°B.65°C.75°D.85°【解析】连结OB，则OB⊥AB，∴∠AOB＝90°－∠A＝70°.∠BOD＝180°－∠AOB＝110°.又OB＝OD，∴∠OBD＝12(180°－∠BOD)＝35°，∴∠DBE＝90°－∠OBD＝55°.【答案】 A5.在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB ＝30°，AP＝3，则CP＝()A. 3B.2 3C.23－1D.23＋1【解析】如图，连接OP，则OP⊥P A，又∠APB＝30°，∴∠POB＝60°，∴在Rt△OP A中，AP＝3，易知，PB＝OP＝1，在Rt△PCB中，由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝ 3.【答案】 A二、填空题6.如图1-2-67，已知P A是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，AC＝3，∠P AB＝30°，则线段PB的长为________.图1-2-67【解析】如图，连接OA，又P A为⊙O切线，∴∠OAP＝90°，∠C＝∠P AB＝30°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°，∴∠P＝∠P AB＝30°，∴PB＝AB.又AC＝3，BC为⊙O直径，∴∠CAB＝90°，∴AB＝1，∴PB＝1.【答案】 17.如图1-2-68，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上.AD是⊙O 的切线，若∠B＝30°，AC＝2，则OD的长为__________.【导学号：96990027】图1-2-68【解析】连接OA，则∠COA＝2∠CBA＝60°，且由OC＝OA知△COA为正三角形，所以OA＝2.。

弦切角定理课后作业(答案解析)提升高中数学选修4-1 北师大版

第三课时弦切角定理1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则() A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA答案：C2．在⊙O的直径CB的延长线上取一点A，AP与⊙O切于点P，且∠APB＝30°，AP＝3，则CP等于()A. 3 B．2 3C．23－1 D．23＋1答案：A3．在△ABC中，AB＝12 cm，∠C＝30°，则这个三角形的外接圆的直径是() A．24 cm B．18 cmC．36 cm D．12 3 cm答案：A4．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，半圆O的切线PC交AB的延长线于点P，∠PCB＝25°，则∠ADC为()A．105°B．115°C．120°D．125°答案：B5．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为()A．2 B．3C．2 3 D．4答案：C6．如图，AD是⊙O的切线，AC是⊙O的弦，过C作AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分∠CAB，且AE＝2，则AB＝________，AC ＝________，BC＝________.答案：323 37．如图，AD切⊙O于点F，FB，FC为⊙O的两弦，请列出图中所有的弦切角________．答案：∠AFB、∠AFC、∠DFC、∠DFB8. 在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，作DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线．证明：如图，连接AD、OD.∵AB为⊙O的直径，∠ADB＝90°，∴在Rt△ADB中，O为AB的中点，则AO＝OD，∴∠1＝∠2.在等腰△ABC中，∵AD⊥BC，∠1＝∠5，在Rt△ACD中，DE⊥AC.∴∠5＝∠3，∠2＝∠3，∠ADC＝90°.即∠3＋∠4＝90°∴∠2＋∠4＝90°，ED⊥OD.∴DE是⊙O的切线．9．如图，已知⊙O1与⊙O2交于A、C两点，P为⊙O1上任一点，连接PA、PC 并延长，分别交⊙O2于B、D.求证：O1P⊥BD.证明：过P作⊙O1的切线PE，P为切点，连接AC，所以∠1＝∠2，O1P垂直于PE.因为∠2＝∠B，所以∠1＝∠B.因此PE平行于BD，所以O1P⊥BD.。

圆周角定理课时作业(答案解析) 高中数学选修4-1 北师大版

选修4-1 第1章1.2.1课时作业一、选择题1．如图1－2－11，已知圆心角∠AOB 的度数为100°，则圆周角∠ACB 的度数是( )图1－2－11A ．80°B ．100°C ．120°D ．130°【解析】 ∵∠AOB ＝100°， ∴所对圆心角为260°， ∴∠ACB ＝130°.【答案】 D2．如图1－2－12，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，那么CD AB 等于( )图1－2－12A ．sin ∠BPDB ．cos ∠BPDC ．tan ∠BPD D ．以上答案都不对【解析】连接BD ，由BA 是直径，知△ADB 是直角三角形．根据△CPD∽△APB ，PD PB ＝CD AB ＝cos ∠BPD【答案】 B3．如图1－2－13所示，∠A＝50°，∠ABC＝60°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于()图1－2－13A．70°B．110°C．90°D．120°【解析】由题意知，∠D＝∠A＝50°，∠BCD＝90°，∴∠CBD＝90°－50°＝40°.又∠ACB＝180°－50°－60°＝70°，∴∠AEB＝∠CBD＋∠ACB＝40°＋70°＝110°.【答案】 B4．如图1－2－14，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于()图1－2－14A．4π B．8πC．12π D．16π【解析】连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又AB＝4，∴OA＝OB＝4.∴S＝π·42＝16π.⊙O【答案】 D二、填空题5．如图1－2－15所示，AB是⊙O的直径，D是的中点，∠ABD＝20°，则∠BCE＝________(答案用数值表示)．图1－2－15【解析】连接AD、DE，∵∠ABD＝20°，∴∠AED＝20°，又D是的中点，∴∠DAC＝∠DEA＝20°.又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DCA＝70°，∴∠BCE＝70°.【答案】70°。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)(1)

一、选择题1．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知圆截直线所得的弦的长度为，则等于（）A ．B ．C ．或D ．或3．圆C 1: 1)2()2(22=-++y x 与圆C 2: 22(2)(5)16x y -+-=的位置关系是（） A ．外切 B ．相交 C ．内切 D ．外离4．若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，则实数m 的值为( ). A ．3- B ．1- C ．1 D ．35．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或36．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（） A ．//m n 且n 与圆O 相离 B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交7．已知,x y 满足250x y +-=，则22(1)(1)x y -+-的最小值为（） A ．45B ．25C ．255D ．1058．当曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是（）A ．3(0,)4B ．53(,]124 C ．3(,1]4D ．3(,)4+∞ 9．已知点(0,2)A 为圆22:220(0)C x y ax ay a +--=>外一点，圆C 上存在点使得45CAP ∠=，则实数a 的取值范围是（）A.(0,1)B.[31,1)-C.(0,31]-D.[31,31]--- 10．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（）A ．B ．C ．D ．11．已知点P （t ，t ），t ∈R ，点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（） B ．2 C ．3 D ．12．设点P 是函数22y x x =--图象上的任意一点，点Q 是直线260x y --=上的任意一点，则||PQ 的最小值为（） A ．51+ B ．51- C ．45D ．以上答案都不对二、填空题13．若实数a ，b ，c 成等差数列，点()P 3,2-在动直线ax by c 0++=上的射影为H ，点()Q 3,3，则线段QH 的最小值为______．14．过点的直线将圆分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线的斜率________.15．如图，已知AB 是AC 的直径，CAD ∠，AD 和是AC 的两条弦，,，则的弧度数为_____________.16．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 的直径9AB =，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD CE ⊥于点D ，若1AD =，设ABC θ∠=，则sin θ=______．17．当曲线214y x =+-与直线(2)4y k x =-+有两个相异交点时，实数k 的取值范围是________．18．（平面几何选做题）已知为半圆的直径，，为半圆上一点，过点作半圆的切线，过点作于，交半圆于点，，则的长为_______．19．如图，已知⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A ，B 两点，割线PCD 经过圆心，若PA=3，AB=4，PO=5，则⊙O 的半径为______________．20．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为_______ ．三、解答题21．已知动点M 到点(4,0)A 的距离是它到点(2,0)B -的距离的两倍．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）过坐标原点O 作直线l 与轨迹E 交于两点，若这两点间的距离为43，求直线l 的方程．22．已知圆22:215C x y x ++=，M 是圆C 上的动点，(1,0)N ，MN 的垂直平分线交CM 于点P ,求点P 的轨迹方程．23．（本题满分12分）已知直线l 过点)1,1(P ，并与直线03:1=+-y x l 和062:2=-+y x l 分别交于点A 、B ，若线段AB 被点P 平分．求：（Ⅰ）直线l 的方程；（Ⅱ）以O 为圆心且被l 截得的弦长为558的圆的方程． 24．（本小题满分14分）如图，已知过点的光线，经轴上一点反射后的射线过点.（1）求点的坐标；（2）若圆过点且与轴相切于点，求圆的方程.25．如图，森林的边界是直线l ，图中阴影部分是与l 垂直的一道铁丝网，兔子和狼分别位于草原上点A 和点B 处，其中1AB BC km ==，现兔子随机的沿直线AD ，以速度2v 准备越过森林边界l 逃入森林，同时，狼沿线段BM 以速度v 进行追击，若狼比兔子先到或同时到达点M 处，狼就会吃掉兔子．某同学为了探究兔子能否逃脱狼的追捕，建立了平面直角坐标系xCy （如图），并假设点M 的坐标为(,)x y ．（Ⅰ）求兔子的所有不幸点M （即可能被狼吃掉的地方）组成的区域的面积S ；（Ⅱ）若兔子随机沿与AC 成锐角(CAD θθ=∠）的路线越过l 向森林逃跑，求兔子能够逃脱的概率．26．已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且．（1）求直线的方程；（2）求圆的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】【分析】设M （x ，y ），P （a ，b ），由于M 是AP 的中点，点B （6，0），故可由中点坐标公式得到a ＝2x ﹣6，b ＝2y ，又P （a ，b ）为圆x 2+y 2＝1上一点动点，将a ＝2x ﹣6，b ＝2y 代入x 2+y 2＝1得到M （x ，y ）点的坐标所满足的方程，整理得点M 的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论分别为的情况即可.【详解】设M （x ，y ），P （a ，b ）由B （6，0），M 是AP 的中点故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点， ∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1． △（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若=，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若=，这样的M 点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，注意△直角三角形分类要全面.2．D解析：D 【解析】试题分析：圆心到直线的距离为，由圆方程可知圆半径为，根据勾股定理可得，解得或，故选D .考点：圆的方程与性质及点到直线的距离公式.3．A解析：A 【解析】试题分析：两圆的圆心为()()2,2,2,5-，圆心距为5d =，两圆半径为12121,4r r r r d ==∴+=，所以两圆外切考点：两圆的位置关系4．C【解析】试题分析：若圆x y x y 22++2-4=0关于直线x y m 3++=0对称，故圆心在直线x y m 3++=0上，又圆心坐标为(,)-12，故()m 3⨯-1+2+=0，解得1m =.考点：关于直线对称的圆的方程.5．D解析：D 【解析】试题分析：由圆的方程4)()1(22=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2. 圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离d ==.由题意可得22222⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.6．A解析：A 【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab-，所以//n m ，圆心到直线n 的距离为，因为M 在圆内，所以2ax by r +<r >，所以直线n 与圆相离，故选A ．考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．7．A解析：A 【解析】(x －1)2＋(y －1)2表示点P(x ，y)到点Q(1,1)的距离的平方．由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d，所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.8．C解析：C 【解析】试题分析：曲线24x y --=表示圆422=+y x 的下半圆，直线042=-+-k y kx 过定点），（42--如图所示，直线2543-=x y 与圆422=+y x 的下半圆相切过点），（42--与点）（0,2的直线斜率为12204=---- 曲线24x y --=与直线042=-+-k y kx 有两个相异的交点时，实数k 的取值范围是]143，（故答案选C 考点：函数与方程.【名师点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路:1．直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； 2．分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；3．数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.9．B解析：B 【解析】试题分析：圆心为(),a a ，半径2r a =，设圆的参数方程为2cos 2sin x a a y a a θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，所以2cos 2AP AC CAP AP AC⋅∠==⋅，()222AC a a =+-，因为,AC PC 长度固定，当P 为切点时，CAP ∠最大，要存在点P 使45CAP ∠=，则需最大角度不小于45，所以()2222sin 4522PC a AC a a =≥=+-，整理得2220a a +-≥，解得31a ≥-，由于A 在圆外()2222,1AC a a a a =+-<<，综上所述[31,1)a ∈-.考点：点和圆的位置关系.【思路点晴】化圆的一般方程为标准方程易得圆心为(),a a ，半径2r a =，由题意可得1sin PCCAP AC≥≥∠，有距离公式可得a 的不等式，解这个不等式可得a 的的取值范围.考查了划归与转化的数学思想方法.利用数形结合思想，将问题灵活加以转化，往往能起到事半功倍的效果.如利用几何法将弦长转化为圆心到直线的距离等.10．D解析：D【解析】试题分析：设圆心，则，，则满足，∴.考点：1.轨迹求解问题；2.直线与圆相交形成弦问题.11．B解析：B 【解析】试题分析：如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0，1），圆的圆心 F （2，0），这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+21， PM|的最小值为|PE|-21 PN PM -=|PF|-|PE|+1，点P （t ，t ）在直线 y=x 上，E （0，1）关于y=x 的对称点E′（1，0），直线FE′与y=x 的交点为原点O ，则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2，故答案为B ．考点：是圆的方程的综合应用．12．B解析：B 【解析】试题分析：函数22y x x =--()2211x y -+=的下半部分包括两个端点．圆心()1,0到直线260x y --=的距离()221206512d -⨯-==+-．由数形结合可知||PQ 51．故B 正确．考点：1点到线的距离；2转化思想，数形结合思想．二、填空题13．【解析】【分析】通过成等差数列可以得到直线恒过然后可知在以为直径的圆上由图形可知求解出和即可得到结果【详解】成等差数列即直线恒过又点在动直线上的射影为在以为直径的圆上如图所示；且此圆的圆心的坐标为半解析：522-【解析】【分析】通过,,a b c 成等差数列，可以得到直线恒过()1,2A -，然后可知H 在以PA 为直径的圆上，由图形可知min QH BQ r =-，求解出BQ 和r 即可得到结果. 【详解】a ，b ，c 成等差数列 2b a c ∴=+，即20a b c -+= ∴直线0ax by c 恒过()1,2A -又点()3,2P -在动直线0ax by c上的射影为H90PHA ∴∠=H ∴在以PA 为直径的圆上，如图所示；且此圆的圆心B 的坐标为()1,0-,半径2211442222r PA ==+= 由图形可知，QH BQ r =-时，QH 最小又()3,3Q 22435BQ ∴=+=∴线段QH 的最小值为522-【点睛】本题考查直线和圆中的最值类问题，关键在于能够确定所求最小值即为,B Q 两点间距离减去半径.14．22【解析】设圆心为A 则劣弧所对的圆心角最小时直线l 与AP 垂直即k×21-2=-1k=22 解析：【解析】设圆心为，则劣弧所对的圆心角最小时，直线与垂直，即15．【解析】试题分析：连接则所以由于和都为三角形内角故所以考点：直径的性质解析：512π 【解析】试题分析：连接CB BD ，，则90ACB ADB ∠=∠=︒，所以，．由于和都为三角形内角，故，，所以54612CAD πππ∠=+=．考点：直径的性质．16．【解析】试题分析：因为直线与圆相切于点所以因为是圆的直径所以在中在中所以故考点：1弦切角；2直径所对的圆周角解析：13【解析】试题分析：因为直线CE 与圆O 相切于点C ，所以C CD θ∠AB =∠A =，因为AB 是圆O 的直径，所以C C B ⊥A ，在Rt C ∆AB 中，Csin θA =AB，在Rt CD ∆A 中，D sin C θA =A ，所以2C D D 1sin C 9θA A A =⋅==AB A AB ，故1sin 3θ=．考点：1、弦切角；2、直径所对的圆周角．17．【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆直线恒过；画出半圆的图象找到直线与半圆有两个交点的临界状态利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围【详解】为恒过的直线则曲线图象如下图所示：由解析：53,124⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过()2,4；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围. 【详解】214y x =+- ()()22141x y y ⇒+-=≥()24y k x =-+为恒过()2,4的直线则曲线图象如下图所示：由图象可知，当直线斜率(]12,k k k ∈时，曲线与直线有两个相异交点()124y k x =-+与半圆()()22141x y y +-=≥相切，可得：12121421k k--+=+解得：1512k = 又()2413224k -==-- 53,124k ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦本题正确结果：53,124⎛⎤ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线y 的范围，误认为曲线为圆.18．2【解析】试题分析：连结OC 过E 作EF ⊥OC 于F 连接OE 由已知条件推导出四边形CDEF 是矩形并求出DC 和AD 的长由此利用勾股定理能求出BC 的长连结OC 过E 作EF ⊥OC 于F 连接OE ∵AB 为半圆O 的直径解析：2 【解析】试题分析：连结OC ，过E 作EF ⊥OC 于F ，连接OE ，由已知条件推导出四边形CDEF 是矩形，并求出DC 和AD 的长，由此利用勾股定理能求出BC 的长．连结OC ，过E 作EF ⊥OC 于F ，连接OE ，∵AB 为半圆O 的直径，AB=4，C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点A 作AD ⊥CD 于D ，∴四边形CDEF 是矩形，2211111132DE CF DE OF OC AB CD EF OE OF =∴==∴=-=-=∴==-=，，，，2222222312161242CD DE DA DA AC CD AD BC AB AC BC =⋅∴=∴=+=∴=-=-=∴=，，，，．考点：与圆有关的线段19．2【解析】试题分析：由于PAB 与PCD 是圆的两条割线且PA=3AB=4PO=5我们可以设圆的半径为R 然后根据切割线定理构造一个关于R 的方程解方程即可求解解：设⊙O 的半径为R 则PC=PO-OC=5-R解析：2 【解析】试题分析：由于PAB 与PCD 是圆的两条割线，且PA=3，AB=4，PO=5，我们可以设圆的半径为R ，然后根据切割线定理构造一个关于R 的方程，解方程即可求解解：设⊙O 的半径为R ，则PC=PO-OC=5-R ，PD=PO+OD=5+R ，又∵PA=3，AB=4，，∴PB=PA+AB=7，由切割线定理易得：，PA•PB=PC•PD ，即3×7=（5-R ）×（5+R ），解得R=2，故答案：2 考点：圆相关的比例线段点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，设出未知的线段根据圆幂定理列出满足条件的方程是解答的关键20．【解析】试题分析：延长交圆于则是圆的直径∵为的中点∴设长为长为根据相交弦定理得∴∴即；故答案为考点：与圆有关的比例线段解析：2【解析】试题分析：延长CO 交圆O 于E ，则CE 是圆O 的直径，∵D 为OC 的中点，2CE OC =，∴43CE CD DE CD =⇒=，设CD 长为x ，DE 长为3x ，根据相交弦定理，得AD BD ED CD ⋅=⋅，∴2232332x x x x ⨯=⋅=⇒=，∴2x ，即2CD =2 考点：与圆有关的比例线段．三、解答题21．（1）2280x y x ++=；（2）3y x =. 【解析】【分析】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由2MA MB =，根据点点距离列出方程，化简即可；（2）根据垂径定理得到2d =，再根据点到直线的距离公式得到k 值. 【详解】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，由2MA MB =， ()()2222422x y x y -+=++2280x y x ++=，∴动点M 的轨迹E 的方程为2280x y x ++=；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在，设直线方程为y kx =，即0kx y -=，由方程2280x y x ++=知，圆心坐标为()4,0-，半径4r =，设圆心E 到直线l 的距离为d ，则22243r d -=，解得2d =． ∴2421kk =+，即33k =±．∴直线l 的方程为33y x =±．【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。

(常考题)北师大版高中数学高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试(答案解析)(4)

一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，直线4y kx =+与圆224x y +=交于,A B 两点，且OA OB 0⋅=，则k =（）A ．2-或2B ．3-或3C ．5-或5D ．7-或72．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A ．B ．C ．D ．3．四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．球的一部分D ．抛物线的一部分4．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y xy m -<++恒成立，则m 的取值范围是（）． A ．1617<m B ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m5．若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是 ( ) A ．[] B ．[] C ．[D ．6．如图，四边形ABCD 内接于O ，:1:2AD BC =，35AB =，40PD =，则过点P 的O 的切线长是（）．A ．60B ．240C ．235D ．507．已知圆C ：2240x y ax y ++-=的圆心在直线10x y -+=，则实数a 的值为（） A ．-2B ．2C ．-4D ．48．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（） A ．2B ．1C ．4D ．39．一条光线从点24P （，）-射出，经直线20xy +﹣＝反射后与圆22430x y x +++＝相切，则反射光线所在直线的方程是（） A ．1520x -＝ B 1520x y ＝+- C ．1520x -＝D 1520x y --＝10．已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x+y=m 的距离为1的点有且仅有2个，则m 的取值范围是（）A ．(2,32)B ．(32,2)(2,32)--⋃C ．(32,32)-D ．(2,2)-11．已知点A (2,0)-,B (0,2),点P 是圆22(1)1x y -+=上任意一点，则PAB ∆面积的最大值是（）A.3B.23+C.23-D.6 12．已知圆是过点的直线，则（） A ．与相交 B ．与相切C ．与相离D ．以上三个选项均有可能二、填空题13．若x ，y ∈R ，且x ＝21y -，则21y x ++ 的取值范围是________． 14．（几何证明选讲选做题）如图，圆O 中的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A 作圆O 的切线与 O C 的延长线交于点P ，则图PA=___________．15．如图，PC 是圆O 的切线，切点为点C ，直线PA 与圆O 交于A 、B 两点，APC ∠的角平分线交弦CA 、CB 于D 、E 两点，已知3PC =，2PB =，则PEPD的值为________.16．对于任意实数k ，直线(3k ＋2)x －ky －2＝0与圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的位置关系是________．17．在平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A ，求过点A 与圆22:4C x y +=相切的直线方程___．18．已知直线m ：0x y a +-=，点M 在直线m 上，过点M 引圆221x y +=的切线，若切线长的最小值为22a 的值为__________．19．如图，圆O 的直径CD=10cm ，D 为AB 的中点，CD 交弦AB 于P ，AB=8cm ，则tan D ∠=______．20．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A =___________．三、解答题21．如图，△ABC 内接于直径为BC 的圆O ，过点作圆O 的切线交CB 的延长线于点P ，AE 交BC 和圆O 于点D 、E ，且DBCDAB AC =，若PA=2PB=10.（Ⅰ）求证：AC=2AB ；（Ⅱ）求AD•DE 的值.22．已知圆C 的圆心在直线2y x =-上.（1）若圆C 经过()3,2A -和()0,5B -两点，且与y 轴与另一交点为P ，直线l 过点P 且与圆C 相切.设D 是圆C 与x 轴正半轴的交点，直线BD 与直线l 交于点R .试求圆C 的方程，并判断以PR 为直径的圆与直线CD 的位置关系（说明理由）；（2）设点()0,3M ，若圆C 半径为3，且圆C 上存在点N ，使2MN NO =，求圆心C 的横坐标的取值范围.23．（1）已知函数f （x ）＝｜x －1｜＋｜x －a ｜．若不等式f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围．（2）．如图，圆O 的直径为AB 且BE 为圆O 的切线，点C 为圆O 上不同于A 、B 的一点，AD 为∠BAC 的平分线，且分别与BC 交于H ，与圆O 交于D ，与BE 交于E ，连结BD 、CD ．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC ；（Ⅱ）若HE=4，求ED ． 24．（本小题满分10分）已知圆C 的圆心在y 轴上，且圆C 与直线1:l y x =相切于点(1,1)．（1）求圆C 的方程；（2）若线段AB 为圆C 的直径，点P 为直线2:43210l x y -+=上的动点，求PA PB ⋅的最小值．25．（本小题满分12分）已知圆，过圆上一点A （3,2）的动直线与圆相交于另一个不同的点B ．（1）求线段AB 的中点P 的轨迹M 的方程；（2）若直线与曲线M 只有一个交点，求的值．26．（本小题满分10分）已知圆045144:22=+--+y x y x C 及点)3,6(Q . （1）若),(y x M 为圆C 上任一点，求63--=x y K 的最大值和最小值；（2）已知点)3,6(-N ，直线036=+--k y kx 与圆C 交于点A 、B ，当k 为何值时NB NA ⋅取到最小值。

北师大版数学选修4-1练习(第1章)直线、多边形、圆(2)(含答案)

第一章直线、多边形、圆同步练习(二)1. 若一个三角形的一条高分这个三角形为两个相似的三角形，则这个三角形必是（）A. 等腰三角形B. 任意三角形C. 直角三角形D. 直角三角形或等腰三角形2. 如图，AB=BC ，∠A=25°，则∠O=（）A. 25°B. 50°C. 30°D. 都不对3. △ABC 中，DE//BC ，DE 交AB 于D ，角AC 于E ，且2:1:=∆D BCE AD E S S ，则梯形的高与三角形的边BC 上的高的比是（）A. 2:1B. )12(-:1C. )13(-:1D. 3:)13(-4. 如图，圆O 与AB 相切于点A ，BO 与圆O 交于点C ，∠BAC=27°，则∠B 为（）A ．27° B．36° C ．49.5° D．63°5. 如图，O 为圆心，PAB 是一条直线，=+y x ( )A. 2zB. 90+zC. 180-zD. 180-2z6. 已知直线m 上一点P 与圆O 之间的距离为5cm ，圆O 的半径为3cm ，则直线m 与圆O 的位置关系是（） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能7. △ABC 中，AB=12，∠C=30°，则这个三角形的外接圆直径为（）A. 24B. 18C. 36D. 1238. P 是圆O 外一点，OP=13，过P 作圆O 的一条割线PQR ，交圆O 于点Q 、R ，且PQ=9，QR=7，则圆的半径为（） A. 6 B. 8 C. 5 D. 109. 如图，⊿ABC 的内切圆与三角形各边切于点D ，E ，F ，且∠FOD=∠EOD=135°，则⊿ABC 是（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形10. PA 切圆O 于A ，PO 交圆O 于B ，且PB=BO=1，则PA=（） A. 2 B. 3 C. 2 D. 211. 圆内两条相交弦，其中一条被交点分成长3cm 和8cm 的两段，另一条弦长10cm ，那么它被分成的两段长分别为___________和_________ 。

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选修4-1 第1章1.2.5课时作业
一、选择题
1．如图1－2－90，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O半径为()
图1－2－90
A．5.5B．5
C．6 D．6.5
【解析】由相交弦定理知AP·PB＝CP·PD，
∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，
∴PD＝AP·BP
CP＝
4×6
3＝8，
∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.
【答案】 A
2．如图1－2－91所示，⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，AC和DB的延长线交于点P，下列结论成立的是()
图1－2－91
A．PC·CA＝PB·BD
B．CE·AE＝BE·ED
C．CE·CD＝BE·BA
D．PB·PD＝PC·PA
【解析】由切割线定理的推论知PB·PD＝PC·PA，故选项D正确．
【答案】 D
3．如图1－2－92所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝12，
AP ∶PB ＝1∶5，⊙O 的半径为( )
图1－2－92
A ．2 3
B ．4 C.1855 D ．2 6
【解析】由题意知CP ＝PD ＝6，
由相交弦定理知，CP 2＝AP ·PB ＝5AP 2，
∴CP ＝5AP ，
∴AP ＝655，
∴AB ＝6AP ＝3655，
∴⊙O 的半径R ＝185 5.
【答案】 C
4．如图1－2－93所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为( )
图1－2－93
A.32
B.22
C.655
D.455
【解析】由题意知BD ＝22，则CD ＝BC ＝2DE ＝2CE ＝2.
∴BE ·EF ＝1，
又BE ＝BC 2＋CE 2＝22＋12＝5，
∴EF ＝55，
∴BF ＝5＋55＝655.
【答案】 C
二、填空题
5．(2013·湖北高考)如图1－2－94，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，
点D 在半径OC 上的射影为E ，若AB ＝3AD ，则CE EO 的值为________．
图1－2－94
【解析】设圆O 的直径AB ＝2R ，则AD ＝2R 3，DO ＝R 3，DB ＝4R 3.
由相交弦定理，得CD 2＝AD ·DB ，所以CD ＝223R .
在Rt △CDO 中，CO ＝R ，由射影定理可得EO ＝DO 2CO ＝R 9，
于是CE ＝R －R 9＝8R 9，故CE EO ＝8.
【答案】 8
6．如图1－2－95所示，PC 切⊙O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，PC ＝4，PB ＝8，则CD ＝________.
图1－2－95
【解析】连接OC ，由切割线定理知PC 2＝PA ·PB ，
即42＝8PA ，∴PA ＝2，。

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