高考数学专题7不等式50简单的线性规划问题理
高考数学一轮复习 专题7_4 基本不等式及应用(组)与简单的线性规划问题(讲)
第04节 基本不等式及其应用【考纲解读】【知识清单】基本不等式1、 如果,R a b ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）推论：22ab 2a b +≤（,R a b ∈）2、 如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.推论：2ab ()2a b +≤（0a >，0b >）；222()22a b a b ++≥ 3、20,0)112a b a b a b+≤≤>>+ 对点练习【2018重庆铜梁县联考】函数y=log a （x+2）﹣1（a ＞0，a≠1）的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+1=0上，其中m ＞0，n ＞0，则 + 的最小值为（ ） A. 3+2B. 3+2C. 7D. 11【答案】A【考点深度剖析】基本不等式是不等式中的重要内容，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，它在高考中往往是大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用． 【重点难点突破】考点1利用基本不等式证明不等式【1-1】不已知a 、b 、c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc +++≥ 【解析】∵a 、b 、c 都是正数∴0a b +≥> （当且仅当a b =时，取等号）0b c +≥> （当且仅当b c =时，取等号）0c a +≥ （当且仅当c a =时，取等号）∴()()()8a b b c c a abc +++≥=（当且仅当a b c ==时，取等号） 即()()()8a b b c c a abc +++≥.【1-2】已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】∵0a >，0b >，1a b ＋＝， ∴11+=1+=2+a b b a a a +.同理，11+=2+a b b .∴111122b a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝5+25+4=9b a a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即1a=b=2时取“＝”．∴11119a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立． 【领悟技法】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等． 【触类旁通】 【变式一】求证:47(3)3a a a +≥>-考点2 利用基本不等式求最值【2-1】【2017天津，理12】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.【答案】4【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当22a b ==时取等号）. 【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2））【答案】D【解析】：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2）， 根据韦达定理，可得： 2123x x a =，x 1+x 2=4a ， 那么：a∵a ＜0，∴-（4a4a故选：D ．【2-3】【2018有两个不等的实根1x 和2x ，则12x x +的取值范围是（ ） A. ()1,+∞ B. C. ()2,+∞ D. ()0,1【答案】C【领悟技法】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．注意：形如y ＝x ＋ax(a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 【触类旁通】【变式一】【2017届浙江杭州高三二模】设函数()()2,f x x ax b a b R =++∈的两个零点为1x ， 2x ，若122x x +≤，则（ ）A. 1a ≥B. 1b ≤C. 22a b +≥D. 22a b +≤ 【答案】B【解析】12x x +≥=，所以2≤ ，则1b ≤ ，故选择B.【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若正数,a b R ∈且1a b +=，则为（ ）【答案】A考点3 基本不等式的实际应用【3-1】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x 的值是 . 【答案】30【解析】总费用600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立.【3-2】如图，有一块等腰直角三角形ABC 的空地，要在这块空地上开辟一个内接矩形EFGH 的绿地，已知AB AC ⊥,4AB =，绿地面积最大值为（ ）A.6B.4 D.【答案】C【解析】设EH x =，EF y =，由条件可知EBH ∆和EFA ∆为等直角三角形，所以EB =，AE y =．AB EB AE =+y ≥，即≤4，所以4xy ≤，所以绿地面积最大值为4，故选C ．【3-3】 (2015·大理模拟)某小区想利用一矩形空地ABCD 建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分)，水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中AD ＝60 m ，AB ＝40 m ，且△EFG 中，∠EGF ＝90°，经测量得到AE ＝10 m ，EF ＝20 m ，为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G 作一直线分别交AB ，DF 于M ，N ，从而得到五边形MBCDN 的市民健身广场，设DN ＝x (m)．(1)将五边形MBCDN 的面积y 表示为x 的函数；(2)当x 为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．【领悟技法】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 【触类旁通】【变式】运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．【解析】(1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100]． (或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100])．y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610， 当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810，等号成立．故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．【易错试题常警惕】易错典例：已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)的最小值为________．[错解] 错解一：因为对a >0，恒有a ＋1a≥2，从而z ＝(x ＋1x )(y ＋1y)≥4，所以z 的最小值是4. 错解二：z ＝2＋x 2y 2－2xyxy＝(2xy ＋xy )－2≥22xy·xy －2＝2(2－1)，所以z 的最小值是2(2－1)．易错分析：错解的错误原因是等号成立的条件不具备．温馨提示：1.在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各项的值相等时，等号成立．2．多次使用均值不等式解决同一问题时，要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性．。
简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题(附答案)简单的线性规划问题[学习目标]知识点一线性规划中的基本概念知识点二线性规划问题1．目标函数的最值线性目标函数z＝ax＋by(b≠0)对应的斜截式直线方程是y＝－ab x＋zb，在y轴上的截距是zb，当z变化时，方程表示一组互相平行的直线．当b>0，截距最大时，z取得最大值，截距最小时，z取得最小值；当b<0，截距最大时，z取得最小值，截距最小时，z取得最大值．2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即，(1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解．(3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值．(4)答：写出答案．知识点三简单线性规划问题的实际应用1．线性规划的实际问题的类型(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大；(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有：①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤(1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．(2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．(3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．题型一求线性目标函数的最值例1 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最大值为( )A ．12B ．11C ．3D ．－1答案 B 解析 首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y ＝－3x ＋z 经过点A时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧ y ＝2，x －y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，此时z ＝3x ＋y ＝11.跟踪训练1 (1)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为( ) A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ＋2y －8≤0，x ≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为________．答案 (1)D (2)1解析 (1)如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.(2)由题意，作出约束条件组成的可行域如图所示，当目标函数z ＝3x ＋y ，即y ＝－3x ＋z 过点(0,1)时z 取最小值1.题型二 非线性目标函数的最值问题例2 设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，求 (1)x 2＋y 2的最小值；(2)y x 的最大值．解 如图，画出不等式组表示的平面区域ABC ，(1)令u ＝x 2＋y 2，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点的距离的平方．过原点向直线x ＋2y －4＝0作垂线y ＝2x ，则垂足为⎩⎨⎧x ＋2y －4＝0，y ＝2x 的解，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫45，85， 又由⎩⎨⎧ x ＋2y －4＝0，2y －3＝0，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32， 所以垂足在线段AC 的延长线上，故可行域内的点到原点的距离的最小值为|OC |＝ 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫322＝132，所以，x 2＋y 2的最小值为134.(2)令v ＝yx ，其几何意义是可行域ABC 内任一点(x ，y )与原点相连的直线l 的斜率为v ，即v ＝y －0x －0.由图形可知，当直线l 经过可行域内点C 时，v 最大，由(1)知C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32，所以v max ＝32，所以y x 的最大值为32.跟踪训练2 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1，则(x ＋3)2＋y 2的最小值为________．答案10解析画出可行域(如图所示)．(x＋3)2＋y2即点A(－3,0)与可行域内点(x，y)之间距离的平方．显然AC长度最小，∴AC2＝(0＋3)2＋(1－0)2＝10，即(x＋3)2＋y2的最小值为10.题型三线性规划的实际应用例3某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是多少？ 解 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，于是有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，x ∈N ，y ∈N ，z＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值， 最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800， 即该公司可获得的最大利润是2 800元． 反思与感悟 线性规划解决实际问题的步骤：①分析并根据已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数(直线)求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整，以确定最优解． 跟踪训练3 预算用2 000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，问桌子、椅子各买多少才行？ 解 设桌子、椅子分别买x 张、y 把，目标函数z ＝x ＋y ，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧50x ＋20y ≤2 000，y ≥x ，y ≤1.5x ，x ≥0，x ∈N *，y ≥0，y ∈N *.由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2007，y ＝2007，所以A 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007. 由⎩⎨⎧50x ＋20y ＝2 000，y ＝1.5x ，解得⎩⎨⎧x ＝25，y ＝752，所以B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752.所以满足条件的可行域是以A ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2007，2007，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，O (0,0)为顶点的三角形区域(如图)．由图形可知，目标函数z ＝x ＋y 在可行域内的最优解为B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫25，752，但注意到x ∈N *，y ∈N *，故取⎩⎨⎧x ＝25，y ＝37.故买桌子25张，椅子37把是最好的选择．1．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( ) A ．－1 B ．1 C.32D ．22．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y需满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧5x －11y ≥－22，2x ＋3y ≥9，2x ≤11，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝10x＋10y 的最大值是( ) A ．80 B ．85 C ．90 D ．953．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤1，x ＋y ≥1，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．一、选择题1．若点(x, y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值为()A ．－6B ．－2C ．0D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为( )A ．－4B ．0 C.43D ．43．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥0，x －y ≥0，则z ＝y －1x 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．(－∞，0]C ．[－1，＋∞)D ．[－1,1)4．若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．05．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4，x ＋by ＋c ≤0，目标函数z＝2x ＋y 的最大值为7，最小值为1，则b ，c 的值分别为( )A ．－1,4B ．－1，－3C ．－2，－1D ．－1，－26．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥5，x －y ＋5≥0，x ≤3，使z＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－1D ．1二、填空题7．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≤2，x ＋y ≥2，则z ＝x＋2y 的取值范围是________．8．已知－1≤x ＋y ≤4且2≤x －y ≤3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________(答案用区间表示)． 9．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y 给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．10．满足|x |＋|y |≤2的点(x ，y )中整点(横纵坐标都是整数)有________个．11．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________． 三、解答题12．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，目标函数z ＝2x －y ，求z 的最大值和最小值．13．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D .若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，求a 的取值范围．14．某家具厂有方木料90 m3，五合板600 m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，五合板2 m2，生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，出售一张方桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．(1)如果只安排生产书桌，可获利润多少？(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？(3)怎样安排生产可使所得利润最大？当堂检测答案1．答案 B解析如图，当y＝2x经过且只经过x＋y－3＝0和x＝m的交点时，m取到最大值，此时，即(m,2m)在直线x ＋y－3＝0上，则m＝1.2．答案 C解析该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分．由于x ，y ∈N *，计算区域内与⎝⎛⎭⎪⎪⎫112，92最近的点为(5,4)，故当x ＝5，y ＝4时，z 取得最大值为90.3．答案 12解析实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则z 的最小值为原点到直线AB 的距离的平方，故z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.课时精练答案一、选择题1．答案 A解析画出可行域，如图所示，解得A(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点A时z取得最小值；所以z min＝2×(－2)－2＝－6，故选A.2．答案 D解析作出可行域，如图所示．联立⎩⎨⎧ x ＋y －4＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2.当目标函数z ＝3x －y 移到(2,2)时，z ＝3x －y 有最大值4. 3．答案 D解析 作出可行域，如图所示，y －1x的几何意义是点(x ，y )与点(0,1)连线l 的斜率，当直线l 过B (1,0)时k l 最小，最小为－1.又直线l 不能与直线x －y ＝0平行，∴k l ＜1.综上，k ∈[－1,1)．4．答案 C解析不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，当a＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点．故选C.5．答案 D解析由题意知，直线x＋by＋c＝0经过直线2x ＋y＝7与直线x＋y＝4的交点，且经过直线2x ＋y＝1和直线x＝1的交点，即经过点(3,1)和点(1，－1)，∴⎩⎨⎧ 3＋b ＋c ＝0，1－b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－1，c ＝－2.6．答案 D解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋ay ＝0，要使目标函数z ＝x ＋ay (a ＞0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x ＋y ＝5重合，故a ＝1，选D.二、填空题 7．答案 [2,6]解析 如图，作出可行域，作直线l ：x ＋2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A (2,0)时，有最小值2，过点B (2,2)时，有最大值6，故z 的取值范围为[2,6]．8．答案 [3,8] 解析 作出不等式组⎩⎨⎧－1≤x ＋y ≤4，2≤x －y ≤3表示的可行域，如图中阴影部分所示．在可行域内平移直线2x －3y ＝0，当直线经过x －y ＝2与x ＋y ＝4的交点A (3,1)时，目标函数有最小值z min ＝2×3－3×1＝3；当直线经过x ＋y ＝－1与x －y ＝3的交点B (1，－2)时，目标函数有最大值z max ＝2×1＋3×2＝8.所以z ∈[3,8]． 9．答案 4解析 由线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y ，得z 的最大值为4.10．答案13解析 |x |＋|y |≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2 (x ≥0，y ≥0)，x －y ≤2 (x ≥0，y ＜0)，－x ＋y ≤2 (x ＜0，y ≥0)，－x －y ≤2 (x ＜0，y ＜0)，作出可行域为如图正方形内部(包括边界)，容易得到整点个数为13个． 11．答案 21解析 作出可行域(如图)，即△ABC 所围区域(包括边界)，其顶点为A (1,3)，B (7,9)，C(3,1)方法一∵可行域内的点都在直线x＋2y－4＝0上方，∴x＋2y－4＞0，则目标函数等价于z＝x＋2y－4，易得当直线z＝x＋2y－4在点B(7,9)处，目标函数取得最大值z max＝21.方法二z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y－4|5·5，令P(x，y)为可行域内一动点，定直线x＋2y－4＝0，则z＝5d，其中d为P(x，y)到直线x＋2y－4＝0的距离．由图可知，区域内的点B与直线的距离最大，故d的最大值为|7＋2×9－4|5＝215.故目标函数z max＝215·5＝21.三、解答题12．解z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点A(5,2)时，z max＝2×5－2＝8.当l移动到l2，即过点C(1,4.4)时，z min＝2×1－4.4＝－2.4.13．解先画出可行域，如图所示，y＝a x必须过图中阴影部分或其边界．∵A(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.∵a＞1，∴1＜a≤3.14．解由题意可画表格如下：(1)设只生产书桌x张，可获得利润z元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ≤90，2x ≤600，z ＝80x ，x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤900，x ≤300，x ≥0⇒0≤x ≤300. 所以当x ＝300时，z max ＝80×300＝24 000(元)， 即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润24 000元．(2)设只生产书橱y 个，可获得利润z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.2y ≤90，1·y ≤600，z ＝120y ，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y ≤450，y ≤600，y ≥0⇒0≤y ≤450. 所以当y ＝450时，z max ＝120×450＝54 000(元)， 即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润54 000元．(3)设生产书桌x 张，书橱y 个，利润总额为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.1x ＋0.2y ≤90，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤900，2x ＋y ≤600，x ≥0，y ≥0.z ＝80x ＋120y .在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域，即可行域(如图)．作直线l ：80x ＋120y ＝0，即直线l ：2x ＋3y ＝0. 把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时z ＝80x ＋120y 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋2y ＝900，2x ＋y ＝600，解得，点M 的坐标为(100,400)．所以当x＝100，y＝400时，z max＝80×100＋120×400＝56 000(元)．因此，生产书桌100张、书橱400个，可使所得利润最大．。
高考数学(精讲精练精析)专题7.2 二元一次不等式(组)与简单的线性规划试题(江苏版)(含解析)-江
专题7.2 二元一次不等式（组）与简单的线性规划【三年高考】1. 【2016高考江苏12】已知实数,x y满足240220330x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则22x y+的取值范围是 .【答案】4 [,13] 5【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.2．【2016高考浙江理数改编】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域20340xx yx y-≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│= ．【答案】32考点：线性规划．【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定AB 的值．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．3.【2016年高考北京理数改编】若x ，y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为 ．【答案】4 【解析】试题分析：作出如图可行域，则当y x z +=2经过点P 时，取最大值，而)2,1(P ，∴所求最大值为4．考点：线性规划.xy OP【名师点睛】可行域是封闭区域时，可以将端点代入目标函数，求出最大值与最小值，从而得到相应范围.若线性规划的可行域不是封闭区域时，不能简单的运用代入顶点的方法求最优解.如变式2，需先准确地画出可行域，再将目标函数对应直线在可行域上移动，观察z 的大小变化，得到最优解.4．【2016年高考四川理数改编】设p ：实数x ，y 满足22(1)(1)2x y -+-≤，q ：实数x ，y 满足1,1,1,y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩则p 是q 的 ．（在必要不充分条件、充分不必要条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】必要不充分条件 【解析】试题分析：画出可行域（如图所示），可知命题q 中不等式组表示的平面区域ABC ∆在命题p 中不等式表示的圆盘内，故是必要不充分条件.考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.【名师点睛】本题考查充分性与必要性的判断问题，首先是分清条件和结论，然后考察条件推结论，结论推条件是否成立.这类问题往往与函数、三角、不等式等数学知识结合起来考，本题条件与结论可以转化为平面区域的关系，利用充分性、必要性和集合的包含关系得结论．5．【2016高考浙江文数改编】若平面区域30,230,230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 . 352 3252考点：线性规划.【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据可行域的特点确定取得最值的最优解，代入计算．画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误．6.【2016高考新课标3理数】若,x y 满足约束条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则z x y =+的最大值为_____________.【答案】32【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数z x y =+经过点1(1,)2A 时取得最大值，即max 13122z =+=．考点：简单的线性规划问题．【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：(1)作出可行域．将约束条件中的每一个不等式当作等式，作出相应的直线，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)；(3)求出最终结果． 7.【2016高考山东理数改编】若变量x ，y 满足2,239,0,x y x y x 则22x y 的最大值是 ．【答案】10考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.【2016高考天津理数】设变量x ，y 满足约束条件20,2360,3290.x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数25z x y =+的最小值为 ．【答案】6 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中(0,2),(3,0),(1,3)A B C ，直线z 25x y =+过点B 时取最小值6．考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.9.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元． 【答案】216000 【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么 1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.二元一次不等式组①等价于3300,103900,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.将2100900z x y =+变形,得73900z y x =-+,平行直线73y x =-,当直线73900zy x =-+经过点M时,z 取得最大值. 解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.10【2015高考新课标1，文15】若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】411.【2015高考重庆，文10】若不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为__________________. 【答案】1【解析】如图，由于不等式组2022020x y x y x y m +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,表示的平面区域为ABC ∆，且其面积等于43，再注意到直线:20AB x y +-=与直线:20BC x y m -+=互相垂直，所以ABC ∆是直角三角形，易知，(2,0),(1,1)A B m m -+,2422(,)33m m C -+;从而112222122223ABC m S m m m ∆+=+⋅+-+⋅=43，化简得：2(1)4m +=，解得3m =-,或1m =，检验知当3m =-时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以1m =.12.【2015高考陕西，文11】某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元.4万元，则该企业每天可获得最大利润为____________________.甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128【答案】18万元13.【2015高考浙江，文14】已知实数x ，y 满足221x y +≤，则2463x y x y +-+--的最大值是 ． 【答案】1514.【2015高考四川，文9】设实数x ，y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为_______________.【答案】252【解析】画出可行域如图 在△ABC 区域中结合图象可知 当动点在线段AC 上时xy 取得最大 此时2x ＋y ＝10xy ＝12(2x ·y )≤21225()222x y +=当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点(52，5)落在线段AC 上，故最大值为252.15．【2014高考安徽卷文第13题】不等式组20240320x y x y x y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩表示的平面区域的面积为________.【答案】4A BCyx0 61410A【解析】不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分，则其表示的面积112222422ABCD ABD BCD S S S ∆∆=+=⨯⨯+⨯⨯=.16．【2014高考福建卷文第11题】已知圆()()22:1C x a y b -+-=，设平面区域70,30,0x y x y y +-≤⎧⎪Ω=-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω,且圆C 与x 轴相切，则22a b +的最大值为_________________.【答案】3717. 【2014高考全国1卷文第11题】设x ，y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =___.【答案】3【解析】根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则22172a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值18. 【2014高考浙江卷文第12题】若、y 满足和240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则y x +的取值范围是________.【答案】]3,1[【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用这部分的考查，主要考查二元一次不等式（组）表示的平面区域、目标函数的最优解问题、与最优解相关的参数问题，高考中一般会以选填题形式考查．从近几年高考试题来看，试题难度较低，属于中低档试题，一般放在选择题的第5-7题或填空题的前两位．从近几年的高考试题来看，二元一次不等式(组)表示的平面区域(的面积)，求目标函数的最值，线性规划的应用问题等是高考的热点，题型既有选择题，也有填空题，难度为中、低档题．主要考查平面区域的画法，目标函数最值的求法，以及在取得最值时参数的取值范围．同时注重考查等价转化、数形结合思想．对二元一次不等式（组）表示的平面区域的考查，关键明确二元等式表示直线或曲线，而二元不等式表示直线或曲线一侧的平面区域，以小题形式出现.对目标函数的最优解问题的考查，首先要正确画出可行域，明确目标函数的几何意义，以小题形式出现．对与最优解相关的参数问题，在近几年的高考中频频出现，并且题型有所变化，体现“活”“变”“新”等特点，在备考中予以特别关注．故预测2017年高考仍将以目标函数的最值，特别是含参数的线性规划问题，线性规划的综合运用是主要考查点，重点考查学生分析问题、解决问题的能力．【2017年高考考点定位】高考对二元一次不等式（组）与线性规划及简单应用的考查有以下几种主要形式：一是不等式（组）表示的平面区域；二是线性目标函数最优解问题；三是非线性目标函数最优解问题；四是线性规划与其他知识的交汇．【考点1】不等式（组）表示的平面区域 【备考知识梳理】二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线:0l Ax By C ++=将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线l 上的点（x ，y ）的坐标满足：0=++C By Ax ；②直线l 一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0>++C By Ax ； ③直线l 另一侧的平面区域内的点（x ，y ）的坐标满足：0Ax By C ++<.即二元一次不等式0Ax By C ++>或0Ax By C ++<在平面直角坐标系中表示直线0Ax By C ++=的某一侧所有点组成的平面区域，直线0Ax By C ++=叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【规律方法技巧】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C 的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x 0, y 0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c ，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2. 画二元一次不等式0(0)Ax By C ++>≥或0(0)Ax By C ++<≤表示的平面区域的基本步骤： ①画出直线:0l Ax By C ++=（有等号画实线，无等号画虚线）；②当0≠C 时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当0C =时，另取一特殊点判断； ③确定要画不等式所表示的平面区域. 【考点针对训练】1．【江苏省清江中学2016届高三上学期周练数学试题】若点(),x y P 满足约束条件022x x y a x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，且点(),x y P 所形成区域的面积为12，则实数a 的值为 ．【答案】8【解析】由题意作出其平面区域，∵点(),x y P 所形成区域的面积为12，∴0a >，由2x y a -=，令x =0得2a y =-， 由22x y a x y -=+=⎧⎨⎩解得44,212832312a a a x S a ++=∴=⨯+⨯=∴=（），.2．【2015届安徽省淮南一中等四校高三5月联考】设不等式组310060360x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若函数log a y x =（10≠>a a 且）的图象上存在区域D 上的点，则实数a 的取值范围是____________. 【答案】[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛,321,0【考点2】线性目标函数最优解问题 【备考知识梳理】名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等 线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解【规律方法技巧】线性目标函数z Ax By C =++（A,B 不全为0）中，当0B ≠时，A z Cy x B B-=-+，这样线性目标函数可看成斜率为AB-，且随z 变化的一组平行线，则把求z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线Ay x B=-，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而增大；当B<0时，z 的值随着直线在y 轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x ，y 均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解. 【考点针对训练】1. 【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】已知实数,x y 满足50,220,0,x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则目标函数z x y =-的最小值为 ▲ . 【答案】3-【解析】可行域为一个三角形及其内部，其三个顶点坐标分别为(1,0),(5,0),(1,4)A B C -,当目标函数过点(1,4)C 时z 取最小值3-．2. 【2015届浙江省宁波市高三下学期第二次模拟考试】已知点(x ，y)的坐标满足条件302602290x y a x y x y --<⎧⎪+->⎨-+>⎪⎩，且x ，y 均为正整数.若4x －y 取到最大值8，则整数a 的最大值为___________. 【答案】5【考点3】非线性规划问题 【备考知识梳理】1.距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. 2.斜率型：形如z ＝y －bx －a. 【规律方法技巧】对于非线性目标函数的最优解问题，关键要搞清目标函数的几何意义，利用数形结合思想求解． 【考点针对训练】1. 【江苏歌风中学（如皋办学）高三数学九月月考】若变量,x y 满足202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x y+的最大值为 . 【答案】8【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图OAB ∆内部（含边界），再作直线:0l x y +=，向上平移直线l ，z x y =+增大，当l 过点(1,2)B 时，z x y =+取得最大值3，因此2x y +的最大值为8．2. 【2015届湖南省怀化市中小学课改质量检测高三第一次模考】已知实数、x y 满足242y xx y y ⎧≤⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则22)2()1(-+-=y x z 的最小值为____________________.【答案】95 【考点4】线性规划问题与其他知识交汇 【备考知识梳理】线性规划问题与其他知识交叉融合，不仅体现了高中数学常用的数学思想方法，比如数形结合思想，转化与化归思想，而且体现了学生综合分析问题的能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力． 【规律方法技巧】线性规划问题可以和概率、向量、解析几何等交汇考查，关键是通过转化，最终转化为线性规划问题处理． 【规律方法技巧】1．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-≥+224x y x y x ，表示的平面区域为D ，点)0,1(),0,0(A O ．若点M 是D 上的动点，则||OM OM OA ⋅的最小值是____________________.【答案】1010 【解析】设点M 的坐标为(,)x y ，则22||OA OMx OM x y⋅=+，根据约束条件画出可行域可知0x >，故222221||1OA OMx yx yOM x⋅==++，而y x 的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，数形结合可知yx 的最大值为3，则||OM OM OA ⋅的最小值为1010.2．定义,max{,},a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩，设实数x ，y 满足约束条件22x y ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，则max{4,3}z x y x y =+-的取值范围是_______________. 【答案】[7,10]-【两年模拟详解析】1. 【江苏省扬州中学高三数学月考试卷】已知点x ,y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2，若ax ＋y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(－∞,3]【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y ≤2表示的平面区域是以(0,0),(0,2),(1,0)O A B 为顶点的三角形内部（含边界），由题意00302303a +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，所以3a ≤．2．【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤2，x ＋y ≤8，x ≥1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________． 【答案】1．【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y≤2，x ＋y≤8，x ≥1，，其是由点()1,7A ,()1,1B -,()5,3C 围成的三角形区域（包含边界），对于目标函数z ＝2x ＋y ，转化为直线2y x z =-+，过点()1,1B -时，z 最小，即2111z =⨯-=．3．【盐城市2016届高三年级第三次模拟考试】已知实数,x y 满足约束条件152x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤-⎩，则2123y x -+的最大值为 . 【答案】75【解析】可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中)27,23(),3,1(),4,1(C B A ，而2321321y 2+-=+-x y x 表示可行域的点),(y x P到点)21,23(-E 连线的斜率,因此其最大值为.57231214=+-=EA k 4．【江苏省苏北三市（徐州市、连云港市、宿迁市）2016届高三最后一次模拟考试】若实数,x y 满足约束条件1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则|3410|x y --的最大值为 .【答案】494【解析】1300x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示一个三角形ABC 及其内部，其中13(1,0),(0,0),(,)44A B C ，且可行域在直线上方34100x y --=，因此|3410|3410x y x y --=-++，过点13(,)44C 时取最大值，为494．5．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】某工厂用A ，B 两种配件分别生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件、耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B 配件、耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，每天生产甲、乙两种产品总耗时不超过8小时．若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，那么该工厂每天可获取的最大利润为________万元． 【答案】146．【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】设不等式组204020xy xy y，，表示的平面区域为D ，若指数函数(0,1)xy a a a =>≠的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是_______. 【答案】(0,1)[3)+∞，【解析】可行域D 为一个开放的区域，如图（阴影部分）.当01a <<时，指数函数xy a =的图像与可行域D 恒有交点；当1a >时，需满足13a ≥，才能使指数函数x y a =的图像与可行域D 有交点；综上a 的取值范围是(0,1)[3)+∞，7．【江苏省扬州中学2015届高三4月双周测】若实数,a b 满足20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a ba b ++的最大值为_________. 【答案】75【解析】作出约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），13(,)22A ，(1,1)C ，设(,)P a b 是可行域内任一点，则OP b k a =的最大值为32312OA k ==，最小值为111OC k ==，23322222a b a b a b a b a +=-=-+++，可见当b a 取最大值3时，22a b a b ++也取最大值为75.8．【泰州市2015届高三第三次调研测试】已知实数x ，y 满足条件||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,则z 2x +y 的最小值是 ▲ ．【答案】3-【解析】如下图所示，当直线2y x z =-+经过或行域||1||1x y ⎧⎨⎩≤≤,,的边界点(1,1)A --时，目标函数的最小值3-.9．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设实数x ，y ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y 的最小值为3， 则实数b 的值为 ． 【答案】94【解析】作出约束条件表示的可行域，如图射线OA ，OB 所夹区域且在直线AB 上方(含边界)(AB 待定)，作直线:20l x y +=，平移直线l ，可见当l 过点A 时，z 取得最小值，此时2y x =代入得223x x +=，34x =，故有33(,)42A ，因此3324b =-+，94b =.10．【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(6)】实数x ，y 满足121,y y x x y m ≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩如果目标函数z=x —y的最小值为-2，则实数m 的值为______. 【答案】8【解析】如图，约束条件表示的可行域应该是ABC ∆内部（含边界）（否则可行域不存在），作直线:0l x y -=，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线21y x =-与直线x y m +=的交点，由212y x x y =-⎧⎨-=-⎩得(3,5)B ，代入x y m +=得8m =.11．【南京市2015届高三年级第三次模拟考试】若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值是 ． 【答案】4【解析】作出题中约束条件表示的可行域，如图ABC ∆内部（含边界），再作直线:20l x y +=，当直线l 过点(2,0)C 时，z 取最大值4.12．【徐州市2014～2015学年度高三第三次质量检测】已知实数y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-,03,05,0y y x y x 若不等式222)()(y x y x m +≤+恒成立，则实数m 的最大值是 .【答案】2513a ≤【解析】画出由条件05030x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩决定的的可行域如下图所示，因为22222222()22()()11x y xy m x y x y m x y x y x y y x++≤+⇔≤=+=++++令y t x =，由线性规划知识可知312t ≤≤，则22111x y t y x t+=+++，令13(),(1)2f t t t t =+≤≤，由函数()f t 单调性可知，当32t =时，函数()f t 有最大值136，此时222()x y x y ++有最小值2513，所以2513a ≤及.13．【盐城市2015届高三年级第三次模拟考试】若,x y 满足约束条件+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩, 则目标函数z 2x y =+的最大值为 ．【答案】6【解析】不等式组+20020x y x y x y -≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩表示的区域如图阴影部分所示：当直线20x y z +-=经过点(4,2)B -时，z 取得最大值6.故答案为6.14．【2015届山东师大附中高三第九次模拟】若关于,x y 的不等式组0010x x y kx y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为_____________. 【答案】1【解析】由题意得：010x y kx y +=-+=与垂直，因此10, 1.k k -==15.【2015届吉林省东北师大附中高三第四次模拟】已知实数,x y 满足平面区域10:220220x y D x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则22x y +的最大值为_______________.【答案】816.【2015届浙江省桐乡一中高三下学期联盟学校高考仿真测试】设x y 、满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则23a b+的最小值为_______________. 【答案】517.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】设⎩⎨⎧<≥-=,2,,2,y x y y x y x z 若22,22≤≤-≤≤-y x ，则z 的最小值为______________. 【答案】-1【解析】符合22,22≤≤-≤≤-y x 的区域如图所示：当2x y ≥时，目标函数z x y =-在A 点取得最小值-1；当2x y <时，目标函数z y =在A 点处取得最小值-1，综上可得：z 的最小值为-1．18.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】已知不等式组220,22,22x y x y ⎧+-≥⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩表示平面区域Ω，过区域Ω中的任意一个点P ，作圆221x y +=的两条切线且切点分别为,A B ，当APB ∠最大时，PA PB ⋅的值为_____________. 【答案】3219.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟考试】已知实数变量,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤--≥-≥+,0121,0,1y mx y x y x 且目标函数3z x y =-的最大值为4，则实数m 的值为_____________.【答案】1拓展试题以及解析1.设不等式组204020x yx yy表示的平面区域为D，若指数函数xy a的图像上存在区域D上的点，则a的取值范围是__________________. 【答案】(1]3，【入选理由】本题主要考了简单的线性规划，以及指数函数的图像等相关概念,体现了分类讨论的数学思想,意在考查学生的数形结合能力和计算能力.本题考查线性规划与函数图象性质的交汇，通过研究函数xy a =的性质，来确定a 的取值范围，这是线性规划问题涉及不多，故选此题．2.执行如图的程序框图，如果输入,x y R ∈，那么输出的S 的的最小值是_______________.【答案】255121416182022243x+y-6=0x-y+1=0x+2y-2=0C 621A BOyx【入选理由】本题考查考查程序框图中的顺序结构，条件结构以及相应语句,线性规划的应用等基础知识知识，意在考查画图、用图,分析问题、解决问题、及基本运算能力.该题新颖独特，故选此题．3.已知不等式组202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则231x y z x +-=-的最大值 .【答案】7【入选理由】本题主要考查线性规划的应用等基础知识知识，意在考查学生的画图、用图，以及数形结合能力和计算能力.此题给出的目标函数231x y z x +-=-，似乎不好入手，但整理后2311211x y y z x x +--==+--，转化为斜率，就转化为常规题，高考线性规划问题的命题越来多变灵活，故选此题.。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（ ）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（ ）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（ ）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（ ） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中 设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（ ） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中 已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（ ） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。
(上海专用)高考数学总复习 专题07 不等式分项练习(含解析)-人教版高三全册数学试题
第七章不等式一．基础题组1. 【2017高考某某，3】不等式11x x-> 的解集为 . 【答案】(),0-∞ 【解析】不等式即：1110x--> ， 整理可得：10x-> ， 解得：0x < ，不等式的解集为：(),0-∞ .2.【2016高考某某文数】若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【考点】线性规划及其图解法【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目来看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.3. 【2015高考某某文数】若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数y x z 2+=的最大值为.【答案】3【解析】不等式组表示的平面区域如图OAB ∆（包括边界），联立方程组⎩⎨⎧=+=2y x xy ，解得⎩⎨⎧==11y x ，即)1,1(A ， 平移直线02=+y x 当经过点A 时，目标函数y x z 2+=的取得最大值，即321max =+=z .【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域；(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值． 4. 【2015高考某某文数】下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D.218322>+++x x x 【答案】B【考点定位】同解不等式的判断.【名师点睛】求解本题的关键是判断出022)1(3222>≥++=++x x x . 本题也可以解出各个不等式，再比较解集.此法计算量较大.5. 【2014某某,理5】 若实数x,y 满足xy=1,则2x +22y 的最小值为______________.【答案】22【解析】22222222222x y x y xy +≥⋅=⋅=，当且仅当222x y =时等号成立. 【考点】基本不等式. 6. 【2013某某,文1】不等式21xx -＜0的解为______． 【答案】0＜x ＜12【解析】x (2x －1)＜0⇒x ∈(0，12)． 7. 【2013某某,文13】设常数a ＞0.若9x ＋2a x≥a ＋1对一切正实数x 成立，则a 的取值X 围为______． 【答案】[15，＋∞) 【解析】考查均值不等式的应用．由题知，当x ＞0时，f (x )＝9x ＋2a x ≥229a x x⨯＝6a ≥a ＋1⇒a ≥15.8. 【2012某某,文10】满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是__________． 【答案】－29. 【2011某某,理4】不等式13x x+≤的解为______． 【答案】x ＜0或12x ≥ 【解析】10. 【2011某某,理15】若a ，b ∈R ，且ab ＞0.则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2ab B ．2a b ab +≥C.11 a b ab+> D ．2b a a b +≥ 【答案】D 【解析】11. 【2011某某,文6】不等式1<1x的解为________． 【答案】{x |x ＜0或x ＞1} 【解析】12. 【2011某某,文9】若变量x，y满足条件30350x yx y-≤⎧⎨-+≥⎩，则z＝x＋y的最大值为________．【答案】5 2【解析】13. 【2010某某,理1】不等式042>+-xx的解集为_______________； 【答案】)2,4(-【点评】本题考查分式不等式的解法，常规方法是化为整式不等式或不等式组求解. 14. 【2010某某,文14】将直线l 1：nx ＋y －n ＝0、l 2：x ＋ny －n ＝0(n ∈N *，n ≥2)、x 轴、y 轴围成的封闭图形的面积记为S n ，则lim n →∞S n ＝________.【答案】1【解析】如图阴影部分为直线l 1，l 2与x 轴、y 轴围成的封闭图形．∴S阴＝S △OAM ＋S △OCM ＝12×|OA |×|y M |＋12|OC |×|x M |＝12×1×1n n +＋12×1×1n n +＝1nn +. ∴lim n →∞S n ＝limn →∞1n n +＝lim n →∞111n+＝1. 15. 【2010某某,文15】满足线性约束条件232300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎪⎩的目标函数z ＝x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 32C ．2D ．3 【答案】C【解析】如图为线性可行域由2323x y x y +=⎧⎨+=⎩求得C (1,1)，目标函数z 的几何意义为直线在x 轴上的截距．画出直线x ＋y ＝0，平移，可知：当直线过C (1,1)时目标函数取得最大值，即z max ＝1＋1＝2.16. (2009某某,理11)当 0≤x≤1时,不等式kx x≥2sin π成立,则实数k 的取值X 围是____________. 【答案】k≤1【解析】∵0≤x≤1时，不等式kx x≥2sin π成立，设2sinx y π=,y=kx ，做出两函数的图象，∴由图象可知，当k≤1时，kx x≥2sinπ17. (2009某某,文7)已知实数x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤,3,2,2x x y x y 则目标函数z=x-2y 的最小值是_________. 【答案】-918. 【2008某某,理1】不等式|1|1x -<的解集是.19. 【2007某某,理5】已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为_____20. 【2007某某,理13】已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A 、22a b < B 、22ab a b < C 、2211ab a b< D 、b aa b <21. 【2007某某,理15】已知()f x 是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的k ，若 ()2f k k ≥成立，则()()211f k k +≥+成立，下列命题成立的是A 、若()39f ≥成立，则对于任意1k ≥，均有()2f k k ≥成立；B 、若()416f ≥成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k <成立；C 、若()749f ≥成立，则对于任意的7k <，均有()2f k k <成立；D 、若()425f =成立，则对于任意的4k ≥，均有()2f k k ≥成立。
不等式简单的线性规划问题利用简单的线性规划求最值
线性规划问题的应用
生产计划
如何安排各种资源（如人力、原材 料、设备等）以生产出最大利润或 最小成本的产品。
货物运输
如何安排车辆或船只运输货物，使 得运输成本最低或运输时间最短。
资源分配
如何将有限的资源分配给不同的项 目或任务，以获得最大的效益。
配料问题
如何在满足一定质量要求的条件下 ，使用最少的原料或以最小的成本 配制出所需的产品。
引入人工变量
对于不等式约束条件，可以引入人工变量来扩展变量的维度，将不等式约束条件 转换为等式约束条件。
不等式约束条件下线性规划问题的求解方法
将不等式约束条件加入目标函数中
将不等式约束条件加入目标函数中，并求解目标函数的最小值或最大值。
利用线性规划求解
对于不等式约束条件下线性规划问题，可以利用线性规划的求解方法，如单 纯形法、椭球法等来求解目标函数的最小值或最大值。
数据科学
1. 研究大数据分析中的优化问题；2. 探索高效的数据处理和特征提取方法；3. 提高数据 分析和处理的精度和效率。
THANKS
谢谢您的观看
迭代法
通过不断迭代，逼近最优解。
优化问题的实际应用
资源分配问题
如何分配有限资源，使得产出最大化或成本最小 化。
运输问题
如何制定最优运输计划，使得运输成本最低且满 足需求。
选址问题
如何在多个候选地点中选择最优地点，使得某项 业务运营成本最低或收益最大。
06
总结与展望
不等式简单的线性规问题求解方法的优缺点
05
利用简单的线性规划解决优化问题
优化问题的定义与分类
定义
优化问题是在一定约束条件下，寻求一个或多个自变量取何值时，使得目标 函数取得极值（极大值或极小值）。
高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明1二元一次不等式与简单的线性规划问题课件新人教A版22
标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题,依据几何意义可求得
最值.
-27考点1
考点2
考点3
对点训练 2(1)(2020 河北唐山二模)已知 x,y 满足约束条件
- + 2 ≥ 0,
-2 + 1 ≤ 0,则 z=x-y 的最大值为( B )
包括
标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域时,此区域应_____
实线
边界直线,则把边界直线画成
.
(2)因为对直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)
代入Ax+By+C,所得的符号都 相同
,所以只需在此直线的同
一侧取一个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的 符号 即
-1 ≤ 0,
- + 1 ≥ 0
为( D )
A.-5
B.1
C.2
D.3
(2)如图,阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示
+ -1 ≥ 0,
为 -2 + 2 ≥. 0
-17考点1
考点2
考点3
+ -1 ≥ 0,
解析: (1)不等式组 -1 ≤ 0,
所围成的平面区域如图所示.
3
3
7
A.1
B.
C.
D.
2
4
4
- ≥ 0,
2 + ≤ 2,
(2)若不等式组
表示的平面区域是一个三角形,则
≥ 0,
+ ≤
a 的取值范围是( D )
2023年高考数学(文科)一轮复习课件——二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
索引
考试要求
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式 的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情 境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
方加1，
结合图形得到 zmin＝
12＋|1（＋－1| 1）22＋1＝3.
索引
角度3 求参数值或取值范围
x≥2，
例 3 已知 x，y 满足x＋y≤4， 若目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 10，则实数 2x－y－m≤0.
m 的值为___5_____. 解析 作出可行域，如图中阴影部分所示.作出 直线3x＋y＝0，并平移可知，当直线过点A时， z取得最大值为10，当直线过点B时，z取得最 小值.
索引
(2)(2022·南昌模拟)已知变量
x，y
x－2y＋4≤0，
满足x≥2，
则
x＋y－6≥0，
k＝xy＋－13的取值范围是
__(_－__∞__，__－__5_]∪___12_，__＋__∞____.
解析 由题意作出可行域如图阴影部分所示，
由于 k＝xy＋－13＝y－（x－－31）表示动点 M(x，y)与
索引
(2)电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？
解 设总收视人次为z万 ，则目标函数为z＝60x＋25y.
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的
2020年高考数学(理)之纠错笔记专题07 不等式(含解析)
专题07 不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．【错解】由1(1)22(1)4f f ≤-≤⎧⎨≤≤⎩得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩①②，①＋②得：332a ≤≤， ②−①得：112b ≤≤.由此得4≤(2)f -=4a −2b ≤11，所以(2)f -的取值范围是[4,11]．【错因分析】错误的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而导致了(2)f -的范围扩大．【试题解析】解法一：设(2)f -=m (1)f -＋n (1)f (m 、n 为待定系数)，则4a −2b =m (a −b )＋n (a ＋b )，即4a −2b =(m＋n )a ＋(n −m )b ，于是得42m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得31m n =⎧⎨=⎩.∴(2)f -=3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法二：由(1)(1)f a b f a b -=-⎧⎨=+⎩，得1[(1)(1)]21[(1)(1)]2a f fb f f ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，∴(2)f -=4a −2b =3(1)f -＋(1)f ．又∵1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，∴5≤3(1)f -＋(1)f ≤10，即5≤(2)f -≤10.解法三：由题意，得1224a b a b ≤-≤⎧⎨≤+≤⎩，确定的平面区域如图中阴影部分所示.当(2)f -=4a −2b 过点31(,)22A 时，取得最小值3142522⨯-⨯=； 当(2)f -=4a −2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3−2×1=10，∴5≤(2)f -≤10. 【答案】[5,10]（1）此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；（2）求范围问题如果多次利用不等式的性质有可能扩大变量取值范围．1．已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是 A ．[7,26]- B ．[1,20]- C ．[4,15] D ．[1,15]【答案】B【解析】解：令m x y =-，4n x y =-，,343n m x n m y -⎧=⎪⎪⇒⎨-⎪=⎪⎩, 则855520941,33333z x y n m m m =-=--≤≤-∴≤-≤Q ， 又884015333n n -≤≤∴-≤≤Q ，因此80315923z x y n m -=-=-≤≤，故选B.【名师点睛】本题考查了利用不等式的性质，求不等式的取值范围问题，利用不等式同向可加性是解题的关键.易错点2 忽略不等式性质成立的条件给出下列命题： ①若,0a b c <<,则c ca b<； ②若33acbc -->，则a b >；③若a b >且*k ∈N ,则kka b >；④若0c a b >>>,则a b c a c b>--. 其中正确命题的序号是 .【错解】①11a b a b <⇒>,又0c <,则c ca b<，故①正确；②当0c <时，a b <,故②不正确； ③正确；④由0c a b >>>知0c a c b ->->,∴110c a c b <<--，故a a b c a c b c b<<---,故④不正确.故填①③.【错因分析】①③忽略了不等式性质成立的条件；④中的推论显然不正确.【试题解析】①当ab <0时，c ca b<不成立，故①不正确； ②当c <0时，a >b 不成立,故②不正确；③当a =1,b =−2,k =2时，命题不成立，故③不正确； ④由a >b >0⇒−a <−b <0⇒0<c −a <c −b ,两边同乘以1()()c a c b --,得110c b c a<<--,又0a b >>,∴a a bc a c b c b>>---,故④正确.故填④. 【答案】④不等式的性质的几点注意事项(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的．如a ≤b ，b <c ⇒a <c .(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．(3)“a >b >0⇒a n >b n (n ∈N *，n >1)”成立的条件是“n 为大于1的自然数，a >b >0”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n ＝－1，a ＝3，b ＝2，那么就会出现“3－1>2－1”的错误结论；假如去掉“b >0”这个条件，取a ＝3，b ＝－4，n ＝2，那么就会出现“32>(－4)2”的错误结论．2．若非零实数,a b 满足a b <，则下列不等式成立的是A ．1a b <B ．2b aa b+≥C ．2211ab a b<D ．22a a b b +<+【答案】C【解析】A,1a a b b b--=不一定小于0，所以该选项不一定成立； B,如果a ＜0，b ＜0时， 2b aa b+≥不成立，所以该选项不一定成立；C, 2222110a bab a b a b --=<，所以2211ab a b<，所以该不等式成立； D, 22()()()()(1)a a b b a b a b a b a b a b +-=+-+-=-++-不一定小于0，所以该选项不一定成立. 故选：C【名师点睛】本题主要考查不等式性质和比较法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.错点3 忽略对二次项系数的讨论导致错误已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________． 【错解】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立， 所以m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0．故实数m 的取值范围为(－∞，0)．【错因分析】由于本题中x 2的系数含有参数，且当m ＝0时不等式不是一元二次不等式，因此必须讨论m 的值是否为0．而错解中直接默认不等式为一元二次不等式，从而采用判别式法处理导致漏解． 【试题解析】由于不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0对一切实数x 都成立，当m ＝0时，－1＜0恒成立；当m ≠0时，易知m ＜0且Δ＝m 2－4m (m －1)＜0，解得m ＜0． 综上，实数m 的取值范围为(－∞，0]． 【答案】(－∞，0]解一元二次不等式的一般步骤一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． 二判：计算对应方程的判别式．三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． 四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．3．若不等式2(1)0mx m x m +-+>对实数x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．1m <-或13m > B ．1m > C ．13m >D ．113m -<<【答案】C【解析】由题得0m =时，x ＜0，与已知不符，所以0m ≠. 当m ≠0时，220(1)40m m m ∆>=--<且，所以13m >. 综合得m 的取值范围为13m >. 故选C.【名师点睛】不等式20ax bx c >＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c >＝或当0a ≠时，00a ∆>⎧⎨<⎩；不等式20ax bx c <＋＋的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0a ＝时，0,0b c <＝或当0a ≠时，00a ∆<⎧⎨<⎩．解不等式恒成立问题的技巧(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.易错点4 解含参不等式时不能正确分类导致错误解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．【错解】原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->，即21()(1)01a x x a --->-， 因为21111a aa a --=--，所以 当01a a >-，即1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a a =-，即0a =时，2111a a -=-； 当01a a <-，即01a <<时，2111a a -<-．综上，当1a >或0a <时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当0a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠； 当01a <<时，原不等式的解集为21{|1a x x a -<-或1}x >． 【错因分析】显然当a ＝0时，原不等式是不成立的，故上述求解过程是错误的．实际上错解中的变形非同解变形，因为a －1的符号是不确定的，错解中仅考虑了当a －1＞0时的情况． 【试题解析】显然当0a =时，原不等式是不成立的．当a ≠0时原不等式可化为(2)101a x x -->-，即(2)(1)01a x x x --->-， 等价于[(1)(21)](1)0a x a x ---->(*)，当1a =时，(*)式可转化为(1)0x -->，即10x -<，即1x <．当1a >时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a --->-． 当1a <时，(*)式可转化为21()(1)01a x x a ---<-． 又当1a ≠时，21111a aa a --=--， 所以当1a >或0a <时，2111a a ->-； 当01a <<时，2111a a -<-． 综上，当1a >时，原不等式的解集为{|1x x <或21}1a x a ->-； 当1a =时，原不等式的解集为{|1}x x <； 当01a <<时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-； 当0a =时，原不等式的解集为∅； 当0a <时，原不等式的解集为21{|1}1a x x a -<<-．在求解此类问题时，既要讨论不等式中相关系数的符号，也要讨论相应方程两个根的大小．在不等式转化的过程中，要特别注意等价性；在比较两根的大小时，也要注意等价性，否则将导致分类讨论不完全而出错．4．已知函数()()2,1ax bf x a b x -=∈-R . （1）若关于x 的不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭，求()0f x <解集；（2）若12a =，解不等式()0f x >的解集. 【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）见解析【解析】（1）()21ax bf x x -=-. ∵不等式20ax b ->的解集为1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭， ∴0a >，0a b =>，()()()()210021101a x f x a x x x -<⇔<⇔--<-，∴()0f x <的解集为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）12a =时，不等式()()()()00101x bf x f x x b x x ->⇔=>⇔-->-， ①当1b >时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞U ； ②当1b =时，不等式的解集为{}1x x ≠；③当1b <时时，不等式的解集为()(),1,b -∞+∞U .易错点5 不能准确把握目标函数的几何意义致误设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z =3x −2y 的最小值为A ．−5B ．−4C ．−2D ．3【错解】不等式组表示的平面区域如图所示，由图可知，当直线z =3x −2y 平移到过点(1,0)时取得最小值，即z min =3×1−2×0=3.故选D.【错因分析】本题易出现以下两个错误：一是理所当然地把目标函数“z”跟“截距”画上等号，没有正确理解目标函数的意义致错；二是不能正确区分直线斜率的“陡峭”程度，导致最优解不正确，相应地导致目标函数的最小值求解错误．【试题解析】不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分，结合图形，可知当直线3x−2y=z平移到过点(0,2)时，z=3x−2y的值最小，最小值为−4，故选B.形如z=Ax＋By(B≠0)，即A zy xB B=-+，zB为该直线在y轴上的截距，z的几何意义就是该直线在y轴上截距的B倍，至于z与截距能否同时取到最值，还要看B的符号．5．若实数x，y满足2303301x yx yy+-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩，则z x y=-的最大值是A．1-B．0 C．3 D．4【答案】C【解析】作出不等式组2303301x yx yy+-≤+-≥≤⎧⎪⎨⎪⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z =x −y ，得y =x −z ，平移直线y =x −z ，由图象可知当直线y =x −z 经过点B(3,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大． 此时z 的最大值为z =3−0=3，故选C.易错点6 忽略等号成立的一致性导致错误若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y+的最小值为_______________． 【错解】因为x ＞0，y ＞0，所以1＝x ＋2y ≥22xy 8xy ≤1，即xy ≤18，故1xy ≥8． 因为11x y +≥12xy11x y +≥2842=11x y +的最小值为42 【错因分析】在求解过程中使用了两次基本不等式：x ＋2y ≥22xy 11x y +≥12xy“＝”需满足x ＝2y 与x ＝y ，互相矛盾，所以“＝”不能同时取到，从而导致错误． 【试题解析】因为x ＋2y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1111(2)()x y x y x y +=++＝23322x yy x++≥+，当且仅当2x y y x =，即2x y =，即221,12x y ==-时取等号．故11x y +的最小值为322+连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立．6．若正数,x y 满足40x y xy +-=，则3x y+的最大值为 A ．13 B ．38C ．37D ．1【答案】A【解析】因为40x y xy +-=，化简可得4x y xy +=，左右两边同时除以xy 得141y x +=.求3x y+的最大值，可先求333x y x y+=+的最小值.因为1413333x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯=+⨯+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4143333x y y x =+++1433≥+3≥， 当且仅当433x yy x=时取等号. 所以3x y +的最大值为13. 故选A.【名师点睛】本题考查了基本不等式的简单应用，关键要注意“1”的灵活应用，属于基础题.一、不等关系与不等式 1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论． 注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反. （3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值. ②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件． 3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答； （2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件； （3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用. 二、一元二次不等式及其解法 1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． （2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． （4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式． （2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 3．解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥); ②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到. （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4．已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为:（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号;（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解. 5．简单分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或;()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或.对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解. 6．简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集． 三、简单的线性规划问题1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域； 第三步，用阴影表示出平面区域. 2．复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域. 3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式. 4．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)； （2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点； （3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值； （4）答：给出正确答案． 5．解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． （3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 6．求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值. 求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅰ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅰ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解. 四、基本不等式1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配. （1）拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件. （2）并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.（3）配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值. 注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法. 2．有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． （2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． （3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知集合2|42{|60}{},M x x N x x x =-<<=--<，则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C【解析】由题意得2|42,{|60}{}|23}{M x x N x x x x x =-<<=--<=-<<， 则{|22}M N x x =-<<I ． 故选C ．【名师点睛】注意区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者所有的部分． 2．设全集()(){}130U x x x =∈+-≤Z ，集合{}0,1,2A =，则U A ð＝ A ．{}1,3- B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3-【答案】A【解析】由()()130x x +-≤，解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U A =-ð，故选A. 3．已知1a b >>，01c <<，下列不等式成立的是 A ．a b c c > B ．ac bc < C ．log log c c a b > D ．c c ba ab <【答案】D【解析】由题意，对于A 中，由1a b >>，01c <<知，a b c c < ，故本选项错误． 对于B 中，由1a b >>，01c <<知，ac bc >，故本选项错误． 对于C 中，由1a b >>，01c <<知，log log c c a b <，故本选项错误．对于D 中，由1a b >>，01c <<知，-11c c a b -< ，则11c c ab a ab b --⋅<⋅，即c c ba ab ＜． 故本选项正确． 故选：D ．【名师点睛】本题主要考查了不等式的性质及其应用，其中解答中熟记不等式的基本性质，合理准确推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4．关于x 的不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞，则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】不等式240ax x a -+≥的解集是(,)-∞+∞， 即x ∀∈R ，240ax x a -+≥恒成立， 当0x =，0a ≥，当0x ≠时，14||||a x x ≥+， 因为1144||||x x ≤+，当且仅当2x =等号成立，所以1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭． 故选：D ．5．任意正数x ，不等式21ax x ≤+恒成立，则实数a 的最大值为 A ．1BC ．2D．2【答案】C【解析】0x >Q ，211x a x x x+∴≤=+，又12x x +≥=Q （当且仅当11x x x =⇒=取到等号）， 2a ∴≤.【名师点睛】本题主要考查了含参数不等式恒成立时参数的取值范围，常用的方法有分离参数法，再结合基本不等式，转化成求最值的问题.6．【2019年高考天津卷理数】设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……，则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】C【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分. 目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值.由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -， 所以max 4(1)15z =-⨯-+=. 故选C.【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 7．【2019年高考全国II 卷理数】若a >b ，则 A ．ln(a −b )>0 B ．3a <3b C ．a 3−b 3>0 D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【名师点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断． 8．已知m,n ∈(0,+∞),若m =m n+2,则当m 22+2n 2−4m −2n 取得最小值时,m +n =A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】因为m =m n+2,所以mn =m +2n ,m 22+2n 2−4m −2n =m 22+2n 2−2,下面只需求解m 22+2n 2的最小值即可.因为mn =m +2n ≥2√2m n ,故mn ≥8,又m 22+2n 2≥mn =8,当且仅当m=2n =4时,等号成立,此时m+n =6.9．设实数x,y 满足{x −y −2≤0x +2y −4≥0x ≥0,则x 2+y 2的最小值为A ．4B ．165C ．689D ．0【答案】B【解析】画出可行域如图所示,则目标函数x 2+y 2的几何意义是可行域内的点到原点距离的平方,所以x 2+y 2的最小值为165,故选B ．10．若存在实数x,y 使不等式组{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0与不等式x −2y +m ≤0都成立,则实数m 的取值范围是A ．m ≥0B ．m ≤3C ．m ≥1D ．m ≥3【答案】B【解析】由题意作出{x −y ≥0x −3y +2≤0x +y −6≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示,x −2y +m ≤0表示了直线上方的部分,故由{y =6−xx =y ,解得x =3,y =3,所以3-3×2+m ≤0,解得m ≤3. 故选B.11．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为A ． B．32C ．D ．52【答案】B【解析】作出不等式组2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图（阴影部分）：由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图象可知当直线2y x z =-+经过点30A （，）时，直线2y x z =-+的截距最大，此时z 最大．代入目标函数2z x y =+得236z =⨯=，即6m =．则141146()()6a b a b a b a b +=∴+=++，1413145662b a a b =+++≥+=（）（，当且仅当24a b ==，时取等号，故选B ．【名师点睛】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．首先作出不等式组对应的平面区域，再利用目标函数的几何意义，求最大值m ，然后根据基本不等式的性质进行求解即可．12．已知关于x 的不等式x 2−4ax ＋6a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),则x 1＋x 2＋ax1x 2的最小值是A ．√63B ．23√3C ．23√6D ．43√3【答案】C【解析】由题意可知,x 1,x 2是方程x 2−4ax ＋6a 2=0两个根,则x 1+x 2=4a,x 1x 2=6a 2,所以x 1＋x 2＋ax 1x 2=4a +16a ≥23√6,当且仅当a =√612时,等号成立. 13．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是______．【答案】[)1,+∞【解析】∵函数y =R ，∴2210kx x -+≥对任意x ∈R 恒成立， 当0k =时，不等式化为210x -+≥，对任意x ∈R 不恒成立；当0k ≠时，则0440k k >⎧⎨∆=-≤⎩，解得1k ≥，综上，实数k 的取值范围是[)1,+∞．故答案为[)1,+∞.【名师点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题．14．实数,x y 满足1,, 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩能说明“若z x y =+的最大值是4，则1,3x y ==”为假命题的一组(,)x y 值是__________．【答案】（2，2）（答案不唯一）【解析】实数x ，y 满足1 4.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，，的可行域以及x +y =4的直线方程如图．能说明“若z =x +y 的最大值为4，则x =1，y =3”为假命题的一组（x ，y ）值是（2，2）（线段BC 上的点均符合题意）． 故答案为：（2，2）（答案不唯一）．【名师点睛】本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键．15．已知a 是任意实数,则关于x 的不等式(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3的解集为 .【答案】{x|−1<x <3}【解析】∵a 2−a +2017=(a −12)2+2017−14>1,∴(a 2−a +2017)x 2<(a 2−a +2017)2x+3,即x 2<2x +3,解得−1<x <3.16．【2019年高考天津卷理数】设0,0,25x y x y >>+=__________．【答案】方法二：0,0,25,x y x y >>+=Q0,xy ∴>===≥.当且仅当3xy =时等号成立，【名师点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立. 17．已知m >0,n >0,若2m =1−2n ,则3m +27n的最小值为 .【答案】96【解析】因为2m +2n =1,m >0,n >0,所以3m +27n =(3m+27n)(2m +2n )=6(10+n m +9m n)≥6(10+2√nm ·9m n)=96,当且仅当n m =9mn ,即m =18,n =38时,等号成立.18．已知实数x ,y 满足不等式组{x −y +2≥0,x +y −4≥0,2x −y −5≤0,则z =x 2+y 2-10y+25的最大值为 .【答案】65【解析】作出不等式组所表示的可行域,如图中阴影部分所示,因为z =x 2+y 2-10y+25=(x -0)2+(y -5)2的几何意义表示可行域中的点(x ,y )到定点M (0,5)的距离的平方.结合图象易知点C 到点M 的距离最大, 由{x −y +2=0,2x −y −5=0,得C (7,9),则z max =(7-0)2+(9-5)2=65.19．设实数x ,y 满足{x −y −2≤0,x +2y −5≥0,y −2≤0,则u =y 2−x 2xy 的取值范围是 . 【答案】[-83,32]【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.其中A (3,1),B (1,2),C (4,2),yx 表示动点(x ,y )与原点连线的斜率,因为x ,y >0,所以当yx 取最大(小)值时,xy 取最小(大)值,由图可知当(x ,y )=(1,2)时,(yx )max =2,同时(xy )min =12,所以u max =(yx )max -(xy )min =32,当(x ,y )=(3,1)时,(yx )min =13,同时(xy )max =3,所以u min =(yx )min -(xy )max =-83,所以u 的取值范围是[-83,32].20．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin601sin60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c=++=，因此()11444559,c a a c a c a c a c ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21．【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；。
高考数学复习热点07 数列与不等式(原卷版)
热点07 数列与不等式【命题趋势】 在目前高考卷的考点中，数列主要以两小或一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题与三角函数，解三角形的内容交替考查，早在2014年和2015年卷中，以数列的通项与求和为主，而近3年的第17题（即解答题的第1题的位置），完全是考查解三角形.但是数列仍然作为解答题第一题的热点.由于三角函数与数列均属于解答题第一题，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目，对于不等式一般以线性规划以及作为一个工具配合其他知识点出现.主要是以基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等本.专题针对高考中数列，不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列，不等式.请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结.【知识点分析以及满分技巧】等差数列如果记住基本的通项公式以及求和公式，所有的等差数列问题都可以解决.数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求.{}n a {}n b 1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有，，()11111n n n n =-++()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭等.()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件.【考查题型】选择，填空，解答题（数列）【限时检测】（建议用时：50分钟）1．（2021·全国高三专题练习（理））定义：在数列中，若满足（{}n a 211n n n na a da a +++-=为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，*,n N d ∈{}n a {}n a ，则等于（ ）1231,3a a a ===20202018a a A ．4×20162－1B ．4×20172－1C ．4×20182－1D ．4×201822．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足，且，{}n a ()*111n na n N a +=-∈12a =则（）2017a =A ．B ．C ．D ．21-12323．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列中，，，则{}n a 11a =()11n n n a na ++=（ ）12a =A ．11B ．12C ．13D ．144．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列满足：，{}n a 113a=，，则下列说法正确的是（ ）1(1)21n n n a na n ++-=+*n N ∈A ．1n na a +≥B ．1n na a +≤C ．数列的最小项为和{}n a 3a 4a D ．数列的最大项为和{}n a 3a 4a 5．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列的前项和为，，且满足{}n a n n S 15a =，若，，，则的最小值为（ ）122527n na a n n +-=--p *q ∈N p q >p q S S -A ．B ．C ．D ．06-2-1-6．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列的前n 项和为S n ，则下列命题一定{}n a 正确的是（ ）A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞07．（2021·全国高三其他模拟（理））等比数列中，且，，成等差数{}n a 11a =14a 22a 3a 列，则的最小值为（ ）()*na n N n ∈A ．B ．C ．D ．1162549128．（2021·全国高三专题练习（理））已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝15－ab ，则ab 的最大值是（ ）A ．15B ．12C ．5D ．39．（2021·银川市·宁夏银川二十四中高三月考（理））函数的图像恒过定点，若点在直线上，()()log 310,1a y x a a =+->≠A A 10mx ny ++=其中，则的最小值为（）0mn >12m n +A ．B ．C ．D ．7891010．（2021·全国高三专题练习（理））已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（ ）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n11．（2021·全国高三其他模拟（理））已知数列满足，.设{}n a 112a =*11()2n n a a n N +=∈，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（ ）2n n n b a λ-=*n N ∈{}n b λA ．B ．C ．D ．(,1)-∞3(1,2-3(,)2-∞(1,2)-12．（2021·全国高三专题练习（理））已知f (x )＝，则f (x )在上的最小值221x x x -+1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦为（）A ．B ．1243C ．－1D ．013．（2021·福建高三其他模拟）已知，，，则的最小值为0x >0y >23x y +=23x yxy +（）A ．B ．CD3-1+11+14．（2021·全国高三专题练习（理））已知a ＞0，b ＞0，若不等式恒成立，313m a b a b +≥+则m 的最大值为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．2415．（2021·全国高三专题练习（理））若是面积为的内的一点（不含边界），若P 1ABC ∆和的面积分别为，则的最小值是（ ）,PAB PAC ∆∆PBC ∆,,x y z 1y z x y z +++A ．B C ．D313二、解答题16．（2020·威远中学校高三月考（理））已知数列是等差数列，前项和为，且{}n a n n S .53463,8S a a a =+=（1）求；n a （2）设，求数列的前项和.2nn n b a =⋅{}n b n n T 17．（2020·四川省绵阳南山中学高三月考（理））设公差不为零的等差数列的前项和{}n a n 为，已知，且，，成等比数列．n S 39S =2a 5a 14a （1）求数列的通项公式；{}n a （2）对任意的正整数，都有成立，求实数的取值范围．n 20nn m a ⋅->m18．（2020·胶州市教育体育局教学研究室高三期中）已知正项数列的前项和为{}n a n .2*111,1,,n n n n S a S S a n N ++=+=∈（1）求的通项公式；{}n a （2）若数列满足：，求数列{}n b 1122222...22n n n n a b a b a b a b +++++=-的前项和.221log n n a b +⎧⎫⎪⎪⎨⎬⋅⎪⎪⎩⎭n n T 19．（2020·黑龙江高三月考（理））已知数列的前项和为，．{}n a n n S 22n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，，记数列的前项和．若对，2log n n b a =11n n n c b b +={}n c n nT*n N ∈恒成立，求实数的取值范围．()4n T k n ≤+k 20．（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知等差数列满足，．{}n a 22a=145a a +=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列满足：为等比数列，求数列的前n 项和．{}n b {}123,6,n n b b b a ==-{}n b nT。
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
2025届高考数学一轮复习第7章不等式第2节二元一次不等式组及简单的线性规划问题课时跟踪检测理含解析
第七章 不等式其次节 二元一次不等式(组)及简洁的线性规划问题A 级·基础过关 |固根基|1.不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是( )A B C D解析：选C (x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0.结合图形可知选C ．2．(2025届南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤12，43 C ．⎣⎡⎦⎤12，2D ．⎣⎡⎦⎤43，2解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)．又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此依据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.3．(2024年浙江卷)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，3x －y －4≤0，x ＋y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．10D ．12解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，数形结合可知，当直线z ＝3x ＋2y 过点A (2，2)时，z 取得最大值，z max ＝6＋4＝10.故选C ．4．(2025届贵阳摸底)已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥4，x －y ≤1，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．11B ．9C ．8D ．3解析：选C 依据不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y ＝－3x 并平移，则当直线y ＝－3x ＋z 过点B 时，z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即B (2，2)，故z 的最小值为3×2＋2＝8.故选C ．5．(2025届昆明市质检)若x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －3y －3≤0，且z ＝x ＋2y ，则( )A ．z 有最小值也有最大值B ．z 无最小值也无最大值C ．z 有最小值无最大值D ．z 有最大值无最小值解析：选C 作出可行域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋2y 可变形为y ＝－12x ＋z2，所以z的几何意义为直线y ＝－12x ＋z2的纵截距的两倍，结合图形可知，当直线z ＝x ＋2y 过A 点时，z 取最小值，无最大值．6．(2025届郑州市其次次质量预料)设变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，则目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值为( ) A ．⎝⎛⎭⎫1311B ．⎝⎛⎭⎫133C ．3D ．4解析：选C 可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y，设u ＝3x ＋y ，欲求z＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y的最大值，等价于求u ＝3x ＋y 的最小值．u ＝3x ＋y 可化为y ＝－3x ＋u ，该直线的纵截距为u ，作出直线y ＝－3x 并平移，当直线y ＝－3x ＋u 经过点B (－1，2)时，纵截距u 取得最小值u min ＝3×(－1)＋2＝－1，所以z ＝⎝⎛⎭⎫133x ＋y 的最大值z max ＝⎝⎛⎭⎫13－1＝3.故选C ．7．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( )A ．[1，5]B ．[2，6]C ．[2，10]D ．[3，11]解析：选D 设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )与定点D (－1，－1)连线的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，易知B (0，4)，A ⎝⎛⎭⎫127，127，则z ′∈[k DA ，k DB ]，又k DB ＝4＋10＋1＝5，k DA ＝127＋1127＋1＝1，∴z ′∈[1，5]，所以z ＝1＋2z ′∈[3，11]．8．(2025届济南市高考模拟)已知变量x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －4≤0，－2≤x <2，y ≤1，若z ＝2x －y ，则z 的取值范围是( )A ．[－5，6)B ．[－5，6]C ．(2，9)D ．[－5，9]解析：选A 作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出直线y＝2x ，并平移，可知当直线经过点A (－2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－2)－1＝－5；当直线经过点B (2，－2)时，z 取得最大值，z max ＝2×2＋2＝6.由于点B 不在可行域内，所以z ∈[－5，6)，故选A ．9．已知实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋1，y ≥－x ＋4，x ≥3，则z ＝1－y －3x 的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，即B (3，1)．由图可知，直线z ＝1－y －3x 经过点B (3，1)时，z 取得最大值，z max ＝1－1－3×3＝－9.答案：－910．已知x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有多数个，则a的值等于________．解析：先依据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有多数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－1B 级·素养提升 |练实力|11.(2025届成都摸底)若实数x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≤0，x －1≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的最小值为( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选A 解法一：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作出y ＝12x 并平移，由图可知，当动直线y ＝12x －12z 经过点A 时，z 取得小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋2y －2＝0，得A 1，12，即z min ＝1－2×12＝0，故选A ．解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，x －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，此时z ＝0；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，此时z ＝2；由⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝1.综上所述，z 最小值为0，故选A ． 12．(2025届南昌市重点中学测试)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，6]D ．(－∞，8]解析：选C不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －5≥0，x －2y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，设z ＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，由图知目标函数z ＝2x ＋y 取得最小值的最优解为A (1，4)，所以目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为6.因为∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤2x ＋y 恒成立，所以a ≤6，故选C ．13．(2025届江西五校联考)设点M 是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1内任一点，点N 是区域Ω1关于直线l ：y ＝x 的对称区域Ω2内的任一点，则|MN |的最大值为( )A ． 2B ．2 2C ．4 2D ．5 2解析：选D不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≤0，x －2y ＋6≥0，x ＋2y ＋2≥0表示的区域Ω1如图中阴影部分所示，因为区域Ω1与区域Ω2关于直线y ＝x 对称，并且M 是区域Ω1内任一点，N 是区域Ω2内任一点，所以当点M 到直线y ＝x 的距离最大，并且点N 为M 关于直线y ＝x 的对称点时，|MN |最大，最大值为点M 到直线y ＝x 距离的2倍，因此转化为求区域Ω1内的点到直线y ＝x 的距离的最大值，由图可知点A (－4，1)到直线y ＝x 的距离最大，为522，所以|MN |的最大值为5 2.14．设实数x ，y 满意⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，y －12x ≥0，x －1≥0，则u ＝y x －xy的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤12，2 B ．⎣⎡⎦⎤－23，2 C ．⎣⎡⎦⎤－23，32 D ．⎣⎡⎦⎤－32，32 解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，令yx ＝t ，由图可得k BO ≤t ≤k OA ，而12≤t ≤2，则u ＝t －1t 在⎣⎡⎦⎤12，2上明显是增函数，所以当t ＝12时，u min ＝－32；当t ＝2时，u max ＝32，因此u ＝y x －xy的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，32.15．设x ，y 满意约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，3x －y ≥1，y ≥x ＋1，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最小值为2，则ab 的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．16解析：选D 作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线ax ＋by ＝0(a >0，b >0)并平移，可知在点A (2，3)处，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最小值2，故2a ＋3b ＝2≥22a ×3b ，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝12，b ＝13时取等号，所以ab ≤16，故选D ．16．(2025届河北五个一名校联盟模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．假如生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元B ．17万元C ．18万元D ．19万元解析：选C 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满意不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点A (2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．。
2020届高三数学一轮复习导学案教师讲义第7章第3讲 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
第3讲二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式(组)表示区域Ax＋By＋C>0直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)续表名称意义目标函数关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数关于变量x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．()(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(教材习题改编)不等式x－2y＋6<0表示的区域在直线x－2y＋6＝0的()A ．右上方 B.右下方 C ．左上方D ．左下方解析：选C .画出x －2y ＋6<0的图象如图所示，可知该区域在直线x －2y ＋6＝0的左上方．故选C .点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝⎛⎭⎫23，＋∞约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0表示的平面区域的面积为________．解析：作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，x －y ≥－2，y ≥0所表示的平面区域如图中阴影部分所示．则A (0，2)，B (－2，0)，C (2，0)，所以S 阴＝S △ABC ＝12×4×2＝4.答案：4已知A (2，5)，B (4，1)，若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为________． 解析：依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，所以线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈[2，4]，即y ＝－2x ＋9，x ∈[2，4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈[2，4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在[2，4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.答案：7已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．解析：画出可行域，如图阴影部分所示．由z ＝2x ＋y ，知y ＝－2x ＋z ，当目标函数过点(2，－1)时直线在y 轴上的截距最大，最大值为3.答案： 3二元一次不等式(组)表示的平面区域 [学生用书P111][典例引领](1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A .32B.23 C .43D ．34(2)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x ＋2y －2≥0，x －y ＋2m ≥0表示的平面区域为三角形，且其面积等于43，则m 的值为________．(3)若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a 表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C .(2)不等式组表示的平面区域如图阴影部分，则图中A 点纵坐标y A ＝1＋m ，B 点纵坐标y B ＝2m ＋23，C 点横坐标x C ＝－2m ，所以S △ABD ＝S ACD －S △BCD ＝12×(2＋2m )×(1＋m )－12×(2＋2m )×2m ＋23＝（m ＋1）23＝43， 所以m ＝1或m ＝－3，又因为当m ＝－3时，不满足题意，应舍去， 所以m ＝1.(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (1)C (2)1 (3)(0，1]∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞(1)确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法①“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平面区域．②当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．(2)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域．②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可．[通关练习]1．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)大致是( )解析：选C .(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＋y －3≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，与选项C 符合．故选C .2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________．解析：不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示：由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面阴影区域．因为A (1，1)，B (0，4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52. 当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时， 52＝k 2＋43， 所以k ＝73.答案：73求目标函数的最值(高频考点) [学生用书P112]线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，且常与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透．主要命题角度有：(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标函数的最值； (3)求参数值或取值范围．[典例引领]角度一 求线性目标函数的最值(2017·高考全国卷Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________．【解析】 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y ＝32x －z2过点A 时，在y 轴上的截距最大，此时z 最小，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2x ＋y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1.所以z min ＝－5.【答案】 －5角度二 求非线性目标函数的最值 实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域， 如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．1.保持本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．2．保持本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值． 解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12， 所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.角度三 求参数值或取值范围(1)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5 B.3 C ．－5或3D ．5或－3(2)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥0，x －y ≥0，0≤x ≤a ，设b ＝x －2y ，若b 的最小值为－2，则b 的最大值为________．【解析】 (1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B .(2)画出可行域，如图阴影部分所示．由b ＝x －2y 得，y ＝12x －b2.易知在点(a ，a )处b 取最小值，故a －2a ＝－2，可得a ＝2.在点(2，－4)处b 取最大值，于是b 的最大值为2＋8＝10.【答案】 (1)B (2)10(1)求目标函数的最值的三个步骤①作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线．②平移——将l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置．③求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值． (2)常见的三类目标函数 ①截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．②距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.表示点(x ，y )与(a ，b )的距离的平方． ③斜率型：形如z ＝y －bx －a.表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．[通关练习]已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤0，2y －x ＋1≥0，x ＋y －4≥0，且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．解析：作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示． 若m ＝0， 则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意． 若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－1m 的动直线y ＝－1m x ＋zm，若m <0，则－1m >0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；若m >0，则－1m<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时， 有无穷多个点(x ，y )在线段AB 上， 使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－1m ＝－1，则m ＝1.综上可知，m ＝1. 答案：1线性规划的实际应用问题[学生用书P113][典例引领](2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放 时长(分钟)收视 人次(万) 甲 70 5 60 乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？【解】 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线.z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3)．所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多．解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x ，y ，并列出相应的不等式组和目标函数．(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)． (4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)． (5)检验：根据结果，检验反馈．[注意] 在实际应用问题中，变量x ，y 除受题目要求的条件制约外，可能还有一些隐含的制约条件，如在涉及以人数为变量的实际应用问题中，人数必须是自然数，在解题时不要忽略了这些隐含的制约条件．[通关练习]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：由题意，设产品A 生产x 件，产品B 生产y 件， 利润z ＝2 100x ＋900y ， 线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 又由x ∈N ，y ∈N ，可知取得最大值时的最优解为(60，100)， 所以z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000求目标函数最值的方法(1)求二元一次目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．(2)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离；(3)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 由目标函数求最值的方法求解线性规划中含参问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．[学生用书P293(单独成册)]1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B .根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0. 即(a ＋7)(a －24)<0， 解得－7<a <24.2．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x －y ＋2≥0，2x ＋y －2≥0，则z ＝3x －y 的最小值为( )A ．－1 B.1 C ．3 D ．2解析：选C .如图，作出不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，显然目标函数z ＝3x －y 的几何意义是直线3x －y －z ＝0在y 轴上截距的相反数，故当直线在y 轴上截距取得最大值时，目标函数z 取得最小值．由图可知，目标函数对应直线经过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2＝0，2x －y －2＝0，解得A (1，0)． 故z 的最小值为3×1－0＝3. 故选C .3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3] B.[－1，1] C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞)解析：选D .直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D .4．(2017·高考全国卷Ⅱ)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15 B.－9 C ．1D ．9解析：选A .法一：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0对应的可行域，如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15，选择A .法二：易求可行域顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，分别代入目标函数，求出对应的z 的值依次为1，－15，9，故最小值为－15.5．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2，(a <1)且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A .211 B.14 C .12D ．34解析：选B .在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.6．(2017·高考全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l ：3x －4y ＝0，平移直线l ，当直线z ＝3x －4y 经过点A (1，1)时，z 取得最小值，最小值为3－4＝－1.答案：－17．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为________．解析：作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2，0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x －y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0，1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5. 答案：58．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝y ＋2x －5的最大值为________．解析：作出约束条件所表示的平面区域，其中A (0，1)，B (1，0)，C (3，4)． 目标函数z ＝y ＋2x －5表示过点Q (5，－2)与点(x ，y )的直线的斜率，且点(x ，y )在△ABC 平面区域内．显然过B ，Q 两点的直线的斜率z 最大，最大值为0＋21－5＝－12.答案：－129.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围． 解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0， 解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)． 10．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求a 的取值范围．解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0，1)，C (1，0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3，4)时z 取最小值－2，过C (1，0)时z 取最大值1. 所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4，2)．1．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为( )A .13 B.23 C ．1D ．2解析：选D .由选项得m >0，作出不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0（m >0），3x －2y ＋2≥0表示的平面区域，如图中阴影部分．因为z ＝3x －y ，所以y ＝3x －z ，当直线y ＝3x －z 经过点A 时，直线在y 轴上的截距－z 最小，即目标函数取得最大值2.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋2＝0，3x －y ＝2，得A (2，4)，代入直线mx －y ＝0得2m －4＝0，所以m＝2.2．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧|x |＋|y |≤1，xy ≥0，则2x ＋y 的取值范围为________．解析：作出满足不等式组的平面区域，如图中阴影部分所示，平移直线2x ＋y ＝0，经过点(1，0)时，2x ＋y 取得最大值2×1＋0＝2，经过点(－1，0)时，2x ＋y 取得最小值2×(－1)＋0＝－2，所以2x ＋y 的取值范围为[－2，2]．答案：[－2，2]3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为________．解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝|x ＋2y －4|＝|x ＋2y －4|5·5，其几何含义为阴影区域内的点到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，得点B 坐标为(7，9)，显然点B 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大，此时z max ＝21.答案：214．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为________．解析：法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0，2)，B (2，0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ，解得a ＝－1或a ＝2.法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l 0：y ＝ax ，平移l 0，则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2.答案：－1或25．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，求n 的值．解：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋nx －3y ≥0y ≥0表示的可行域如图中阴影部分所示． 设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－3.又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝103.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝103.6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料A B C 甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数． (1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
专题7.2二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题(2021年高考数学一轮复习专题)
专题二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题一、考点全归纳1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证． 2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax ＋By ＋C >0或Ax ＋By ＋C <0，则有 (1)当B (Ax ＋By ＋C )>0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方； (2)当B (Ax ＋By ＋C )<0时，区域为直线Ax ＋By ＋C ＝0的下方． 3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．二、题型全归纳题型 一 二元一次不等式(组)表示的平面区域【题型要点】(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；①对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和． (2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．命题角度一 平面区域的面积【例1】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A.32 B ．23 C.43D ．34【解析】表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝⎛⎭⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则①ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C. 【例2】．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，2x －y ≤4，x －y ≥0所围成的平面区域的面积为( )A ．3 2B ．6 2C ．6D ．3不等式组所围成的平面区域为①ABC ，其中A (2,0)，B (4，4)，C (1,1)，所求平面区域的面积为S ①ABO －S ①ACO ＝12×(2×4－2×1)＝3. 角度二 平面区域的形状【例3】若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)． 解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝⎛⎭⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【例4】(2020·南昌一模)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx 经过区域M 内的点，则实数k 的取值范围为( )A. ⎥⎦⎤ ⎝⎛221，B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3421，C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡221，D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡234，【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，3x －y －5≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC (含边界)，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，3x －y －5＝0得点A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －y ＋1＝0得点C (1，2)，又直线OA 的斜率为k OA ＝12，直线OC 的斜率为k OC ＝2，而直线y ＝kx 表示过原点O 的直线，因此根据题意可得k OA ≤k ≤k OC ，即12≤k ≤2.题型二 求目标函数的最值命题角度一 求线性目标函数的最值【题型要点】(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb(b ≠0)．①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；①若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大． (2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解； ①将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．【例1】 (2020·广东佛山一模)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．15D ．16【解析】作出变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，y ≤x ＋1，y ≥0.的可行域如图中阴影部分所示：由图可知，目标函数z ＝2x ＋y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝5，2x －y ＝4得A (3，2)．所以z max ＝2×3＋2＝8.故选B.【例2】．(2019·全国卷Ⅱ)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≥0，x ＋y －3≤0，y －2≤0，则z ＝3x －y 的最大值是________．【解析】 作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)由图易知，当直线y ＝3x －z 过点C 时，－z 最小，即z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －3＝0，2x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即C 点坐标为(3,0)，故z max ＝3×3－0＝9. 命题角度二 求非线性目标函数的最值【题型要点】常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离； (2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 【例3】(2020·安徽马鞍山一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 则x 2＋y 2的最大值与最小值之和为( )A ．5B ．112 C ．6 D ．7【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，y ≤x ＋1，y ≥1－x 表示的可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2的几何意义是原点O 到可行域内点的距离的平方，由图可知，O 到直线x ＋y －1＝0的距离最小，为12.可行域内的点B 与坐标原点的距离最大，为22＋12＝ 5.所以x 2＋y 2的最大值与最小值之和为5＋12＝112.故选B.【例4】实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围；(2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx的范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5，所以z 的取值范围是[1，5]．命题角度三 求参数值或取值范围【题型要点】求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．【例5】(2020·江西九江一模)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【解析】作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2.故选A.【例6】(2020·陕西咸阳模拟检测(一))若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x ＋y ≥0，x ≤0，若z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，则a 的取值范围是 ．【解析】 画出可行域如图所示(阴影部分)，目标函数对应的直线为y ＝ax －z ，当截距－z 最大时，目标函数z 取得最小值，因为z ＝ax －y (a ①R )的最小值是－1，所以在A (0，1)处取得最小值．由图象可知，直线 y ＝ax －z 的斜率a ≤2，因为当a >2时，目标函数在B 点取得最小值，所以a 的取值范围是(－∞，2]．【例7】(2020·华南师大附中二模)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.12B.13C ．1D ．2【解析】作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分(含边界)．当直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，①z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.题型三 线性规划的实际应用【题型要点】线性规划解决实际问题的一般步骤 (1)能建立线性规划模型的实际问题①给定一定量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收益最大； ①给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少． (2)解决线性规划实际问题的一般步骤①转化：设元，写出线性约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题； ①求解：解决这个纯数学的线性规划问题；①作答：根据实际问题，得到实际问题的解，据此作出回答．【例1】(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )B ．17万元C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C.【例2】(2020·武汉市部分学校调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料3千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元【解析】 设生产甲产品x 桶，生产乙产品y 桶，每天的利润为z 元．根据题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，x ①N *，y ≥0，y ①N *，z ＝300x ＋400y .作出⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ≤12，3x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，当直线经过点A (0，6)时，z 有最大值，z max ＝400×6＝2 400，故选C.三、高效训练突破 一、选择题1．(2020·贵阳期中)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域为( )【解析】选特殊点(0,6)检验，当x ＝0，y ＝6时，y <－3x ＋12成立，x <2y 成立，所以点(0,6)在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y <－3x ＋12，x <2y 表示的平面区域内，另外注意到边界线是虚线，故选B. 2．(2020·揭阳模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0，则z ＝x2＋y 的最小值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2【解析】：作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y ＋1≥0，x ≥0的平面区域如图所示(阴影部分)：由图易得，目标函数z ＝x2＋y 在点A 处取最小值，为－1.故选A.3．(2020·福建漳州一模)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0.则x ＋y ( )A ．有最小值无最大值B ．有最大值无最小值C ．既有最小值也有最大值D ．既无最小值也无最大值【解析】：如图中阴影部分所示即为实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3≥0，x －2y ＋2≤0的可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋2＝0得A ⎝⎛⎭⎫85，95.由图易得当x ＝85，y ＝95时，x ＋y 有最小值175，没有最大值．故选 A.4．(2020·琼海摸底)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0，则z ＝2x ·8y 的最大值是( )A ．4B ．8C ．16D ．32【解析】先根据实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，y －x ≤1，y ≥0画出可行域(如图阴影部分所示)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y －x ＝1，解得A ⎝⎛⎭⎫12，32， 当直线u ＝x ＋3y 过点A 时，u 取得最大值是12＋3×32＝5，则z ＝2x ·8y ＝2x ＋3y 的最大值为25＝32.5．(2020·华中师范大学第一附中模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，x ≤－1，则x ＋yy 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，23 B.⎝⎛⎦⎤0，23 C.⎝⎛⎦⎤－1，－13 D.⎣⎡⎦⎤32，2【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分由图可知k ＝y x 在点A (－1,3)处取得最小值－3，且斜率k 小于直线x ＋y ＝1的斜率－1.故－3≤k <－1.所以－1<xy ≤－13.故0<x ＋y y ≤23.6．(2020·洛阳市统考)点P (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，则|PQ |的取值范围是( )A ．[5－1，10－1]B ．[5－1，10＋1]C ．[10－1，5]D ．[5－1，5]【解析】：作出点P 满足的线性约束条件表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为点Q 所在圆的圆心为M (0，－2)，所以|PM |取得最小值的最优解为(－1，0)，取得最大值的最优解为(0，2)，所以|PM |的最小值为5，最大值为4，又圆M 的半径为1，所以|PQ |的取值范围是[5－1，5]，故选D.7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y ≤3，y ≥x ＋1表示的平面区域为Ω，直线y ＝kx －1与区域Ω有公共点，则实数k 的取值范围为( )A ．(0，3]B ．[－1，1]C ．(－∞，3]D ．[3，＋∞) 【解析】：直线y ＝kx －1过定点M (0，－1)，由图可知，当直线y ＝kx －1经过直线y ＝x ＋1与直线x ＋y ＝3的交点C (1，2)时，k 最小，此时k CM ＝2－（－1）1－0＝3，因此k ≥3，即k ①[3，＋∞)．故选D.8．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，y ≥x ，x ＋y ≤2(a <1)，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的4倍，则a 的值是( )A.211 B ．14 C.12D ．34【解析】：在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点B (1，1)时有最大值3，当目标函数z ＝2x ＋y 经过可行域中的点 A (a ，a )时有最小值3a ，由3＝4×3a ，得a ＝14.9..不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4的解集记为D ，则“①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立”的必要不充分条件是( )A ．a <0B ．a ≤－3C ．a >0D ．a ≤－2【解析】：画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4表示的区域D ，如图中阴影部分所示其中A (2，2)，B (1，2)，C (1，3)，①(x ，y )①D ，使x －y ≥a 成立，则a ≤(x －y )min ，平移直线x －y ＝0，易知当直线经过点C (1，3)时，x －y 取得最小值，(x －y )min ＝－2，则a ≤－2，故必要不充分条件可以是a <0，故选A.10．(2020·河南洛阳一模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则z ＝yx －5的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－23，43B.⎣⎡⎦⎤－43，23C.⎝⎛⎦⎤－∞，－23①⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，－34①⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 【解析】：作出可行域如图所示(阴影部分)，z ＝yx －5表示可行域内的点(x ，y )与定点C (5，0)连线的斜率，易求得A (2，2)，B (2，－4)，所以k AC ＝－23，k BC ＝43，则由图可知－23≤z ≤43.故选A.11．(2020·太原模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，4x －y －8≤0，则z ＝|x ＋3y |的最大值为( )A ．15B ．13C ．3D ．2【解析】：法一：画出约束条件所表示的可行域，如图所示(阴影部分)， 设z 1＝x ＋3y ，可化为y ＝－13x ＋z 13，当直线y ＝－13x ＋z 13经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 1取得最大值；当直线y ＝－13x ＋z 13经过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 1取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，4x －y －8＝0解得A (3，4)，此时最大值为3＋3×4＝15; 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝0，4x －y －8＝0解得B (2，0)，此时最小值为2＋3×0＝2，所以z ＝|x ＋3y |的最大值为15，故选A. 二、填空题1．(2020·福州市质量检测)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0y ≤x，则|P A |的最小值是 ．【答案】：2【解析】：可行域为如图所示的阴影部分，|P A |表示可行域上的点到点A (0，2)的距离，所以|P A |的最小值转化成点A 到直线y ＝x 的距离，所以|P A |min ＝|－2|2＝ 2.2．(2020·安徽五校联盟第二次质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2，x ≤a 目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝ ．【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x ＋2y ≤2x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，a ＝1.3.(2020·安徽省考试试题)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0则z ＝2x －y 的最小值为 ．【解析】：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x －y ＝0，平移该直线，由图可知当直线经过点A 时，目标函数z ＝2x －y 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，即A (3，4)，所以z min ＝2×3－4＝2.法二：易知目标函数z ＝2x －y 的最小值在可行域的顶点处取得，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x ＋y －7＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －5＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7＝0x －3y ＋1＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5y ＝2，所以可行域的顶点坐标分别为(3，4)，(2，1)，(5，2)，代入目标函数得对应的z 的值为2，3，8，所以z 的最小值为2.4．(2020·郑州市第二次质量预测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋10≤0x ＋2≥0x ＋2y －5≤0，则z ＝y x的取值范围为 ．【解析】：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z ＝yx 表示平面区域内的点与坐标原点O 的连线的斜率．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＝0x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3，即A (－1，3)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2x －3y ＋10＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝83，即B ⎝⎛⎭⎫－2，83. 所以z max ＝k OB ＝83－2＝－43，z min ＝k OA ＝3－1＝－3，所以z ＝yx 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－3，－43. 5．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA →，则z 的最大值是________．【解析】由题意，作出可行域如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4. 6．(2019·湖北“四地七校”联考)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝x ＋2y －4的最大值是________．【解析】画出x ，y 满足的可行域，如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0，解得点B (7,9)，则目标函数z ＝x ＋2y －4经过点B (7,9)时，z 取得最大值为7＋18－4＝21.7．(2019·河南安阳)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(x ，y )，且变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，x ＋y －3≤0，则z ＝a ·b 的最大值为________．【解析】 a ·b ＝2x ＋3y ，作出题中可行域，如图①OAB 内部(含边界)，作直线l ：2x ＋3y ＝0，向上平移直线l .当直线过点A ⎪⎭⎫⎝⎛2323，时，z ＝2x ＋3y ＝152为最大值．8．(2019·厦门模拟)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0，则z ＝x 2＋y 2的最大值为________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －3y ＋5≥0，2x －y －5≤0所表示的平面区域如图中阴影部分所示z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方．z ＝x 2＋y 2的最大值对应的点为A .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋5＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，则A (4,3)．所以z ＝x 2＋y 2的最大值为|OA |2＝42＋32＝25，因此z ＝x 2＋y 2的最大值为25.9.已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y －x ＋1≤0，y －2x ＋4≥0.若目标函数z ＝y －ax (a ≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则z ＝y －ax (a ≠0)的最小值为________．【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．易得A (1,0)，B (2,0)，C (3,2)，由z ＝y －ax (a ≠0)得y ＝ax ＋z .当a >0时，作直线l 0：y ＝ax ＋z ，平移l 0可知，当y ＝ax ＋z 与x －y －1＝0重合时，z 取得最大值的最优解有无数个，此时a ＝1.当直线过B 点时，z 有最小值z min ＝0－1×2＝－2；当a <0时，数形结合知，z ＝y －ax 取得最大值的最优解不可能无限多．综上可知z min ＝－2.10．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．【答案】：[－2，ln 6]【解析】：作出可行域如图(阴影部分)其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)． 由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值， z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3 相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1①⎪⎭⎫ ⎝⎛374，， 故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．11.(2020·浙江杭州模拟)若存在实数x ，y ，m 使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0与不等式x －2y ＋m ≤0都成立，则实数m 的取值范围是________【解析】：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x －3y ＋2≤0，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，其中A (4，2)，B (1，1)，C (3，3)．设z ＝x －2y ，将直线l ：z ＝x －2y 进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，可得z max ＝4－2×2＝0，当l 经过点C 时，目标函数z 达到最小值，可得z min ＝3－2×3＝－3，因此z ＝x －2y 的取值范围为[－3，0]．因为存在实数m ，使不等式x －2y ＋m ≤0成立，即存在实数m ，使x －2y ≤－m 成立，所以－m 大于或等于z 的最小值，即－3≤－m ，解得m ≤3，.12．(2020·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A ，B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为 千克．【解析】：设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z ＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150，60)(满足x ①N ，y ①N )时，z 取得最大值，为360.三 解答题1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ＞0x ＋y ＋1＜03x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．【解析】：平面区域如图中阴影部分所示，易得A ，B ，C 三点的坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)， C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点P (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)①⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝（x ＋3）（－5）＋3，即x －y ＋4＝0. 2．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示： 原料现有A 种原料200吨，B 种原料1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．【解析】：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z 3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z 3最大，即z 最大． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112. 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．。
高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ， 则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3， 所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大， 当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0， 若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *） 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是． 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0， 若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。
2024年高考数学总复习第七章不等式真题分类28二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
目标函数 z＝x＋2y，即 y＝－12 x＋2z ，画出直线 y＝－12 x 并平移，当直线 y ＝－12 x＋2z 经过点 A(2，1)时，z 取最小值，无最大值，zmin＝2＋2×1＝4，所以 z 的取值范围为[4，＋∞)，故选 B.
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
4．(2020·浙江，3，4 分)若实数 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋3≥1≤0，0， 则 z＝x＋2y
的取值范围是( )
A．(－∞，4]
B．[4，＋∞)
C．[5，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
答案：B 由 x，y 满足的约束条件画出可行域， 如图中阴影部分所示(包含边界).
的可行域，
2x＋3y－1≤0
如图所示：
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真题分类28Leabharlann 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
目标函数 z＝x－12 y 化为 y＝2x－2z， 由x2＝x＋－31y－，1＝0， 解得xy＝＝－1. 1， 设 A(－1，1)，当直线 y＝2x－2z 过 A 点时，z＝x－12 y 取得最小值为－32 . 故选 B.
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真题分类28 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
高考·数学
由xy＋ ＝y3＝4， 可得点 A(1，3)， 转换目标函数 z＝3x＋y 为 y＝－3x＋z， 上下平移直线 y＝－3x＋z，数形结合可得当直线过点 A 时，z 取最小值， 此时 zmin＝3×1＋3＝6. 故选 C.
2018届高三数学(理)一轮复习夯基提能作业本：第七章 不等式第三节 二元一次不等式(组)及简单的线性规
第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题A组基础题组1.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()2.(2016北京,7,5分)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为()A.-1B.3C.7D.83.已知实数x,y满足则z=2x-2y-1的取值范围是()A. B.0,5] C. D.4.已知不等式组表示的平面区域的面积为4,则z=2x+y的最大值为()A.4B.6C.8D.125.某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型客车不多于A型客车7辆.则租金最少为()A.31200元B.36000元C.36800元D.38400元6.(2016云南昆明七校调研)已知实数x,y满足则z=x+3y的最小值为.7.(2016江苏,12,5分)已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是.8.(2016河南中原名校3月联考)设x,y满足不等式组若M=3x+y,N=-,则M-N 的最小值为.9.已知D是以点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组;(2)设点B(-1,-6),C(-3,2)在直线4x-3y-a=0的异侧,求a的取值范围.10.(2014陕西,18,12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.(1)若++=0,求||;(2)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m-n,并求m-n的最大值.B组提升题组11.设z=x+y,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.-3B.-6C.3D.612.(2017黑龙江鸡西一中月考)已知变量x,y满足约束条件若z=x-2y的最大值与最小值分别为a,b,且方程x2-kx+1=0在区间(b,a)上有两个不同实数解,则实数k的取值范围是()A.(-6,-2)B.(-3,2)C.D.13.(2014浙江,13,4分)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是.14.若实数x,y满足不等式组则z=|x+2y-4|的最大值为.15.(2016天津,16,13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.答案全解全析A组基础题组1.C(x-2y+1)(x+y-3)≤0⇔或画图可知选C.2.C点P(x,y)在线段AB上且A(2,5),B(4,1),如图:设z=2x-y,则y=2x-z,当直线y=2x-z经过点B(4,1)时,z取得最大值,最大值为2×4-1=7.3.D画出不等式组所表示的区域,如图中阴影部分所示,可知2×-2×-1≤z<2×2-2×(-1)-1,即z的取值范围是.4.B如图,a>0,不等式组对应的平面区域为△OBC及其内部,其中B(a,a),C(a,-a),所以|BC|=2a,所以△OBC的面积为·a·2a=a2=4,所以a=2.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x,由图象可知当直线y=-2x+z经过点B时,直线的截距最大,此时z也最大,把B(2,2)代入z=2x+y得z=2×2+2=6,∴z max=6.5.C设旅行社租用A型客车x辆,B型客车y辆,租金为z元,则约束条件为目标函数为z=1600x+2400y.可行解为图中阴影部分(包括边界)内的整点.当目标函数z=1600x+2400y对应的直线经过点A(5,12)时,z取得最小值,z min=1600×5+2400×12=36800.故租金最少为36800元,选C.6.答案-8解析依题意,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(图略),当直线x+3y-z=0经过点(4,-4)时,目标函数z=x+3y取得最小值,为4+3×(-4)=-8.7.答案解析画出不等式组表示的可行域,如图:由x-2y+4=0及3x-y-3=0得A(2,3),由x2+y2表示可行域内的点(x,y)与点(0,0)的距离的平方可得(x2+y2)max=22+32=13,(x2+y2)min=d2==,其中d表示点(0,0)到直线2x+y-2=0的距离,所以x2+y2的取值范围为.8.答案解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,易求得A(-1,2),B(3,2),当直线3x+y-M=0经过点A(-1,2)时,目标函数M=3x+y取得最小值-1.又由平面区域知-1≤x≤3,所以函数N=-在x=-1处取得最大值-,由此可得M-N的最小值为-1-=.9.解析(1)直线AB,AC,BC的方程分别为7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10=0.原点(0,0)在区域D内,故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4×(-1)-3×(-6)-a]4×(-3)-3×2-a]<0,即(14-a)(-18-a)<0,解得-18<a<14.故a的取值范围是(-18,14).10.解析(1)解法一:∵++=0,又++=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),∴解得x=2,y=2,即=(2,2),故||=2.解法二:∵++=0,∴(-)+(-)+(-)=0,∴=(++)=(2,2),∴||=2.(2)∵=m+n,∴(x,y)=(m+2n,2m+n),∴两式相减得,m-n=y-x,令y-x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,故m-n的最大值为1.B组提升题组11.B不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示:由得A(k,k),易知目标函数z=x+y在点A处取最大值,则12=k+k,故k=6,所以B(-12,6),又目标函数z=x+y在点B处取最小值,∴z的最小值为-6,故选B.12.C作出可行域,如图中阴影部分所示,则目标函数z=x-2y在点(1,0)处取得最大值1,在点(-1,1)处取得最小值-3,∴a=1,b=-3,从而可知方程x2-kx+1=0在区间(-3,1)上有两个不同实数解.令f(x)=x2-kx+1,则⇒-<k<-2,故选C.13.答案解析不等式组表示的区域为以A(1,0),B,C(2,1)为顶点的三角形区域(包含边界),则1≤x≤2,所以1≤ax+y≤4恒成立可转化为≤-a≤恒成立.易知表示可行域内点(x,y)与定点(0,4)连线的斜率,其最大值为-;表示可行域内点(x,y)与定点(0,1)连线的斜率,其最小值为-1,故有-≤-a≤-1,即1≤a≤.14.答案21解析作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.z=|x+2y-4|=·的几何意义为阴影区域内的点到直线x+2y-4=0的距离的倍.由得B点坐标为(7,9),显然点B到直线x+2y-4=0的距离最大,易得z max=21.15.解析(1)由已知得,x,y满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:图1(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.图2解方程组得点M的坐标为(20,24).所以z max=2×20+3×24=112.答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.。
高考数学一轮复习第七章不等式第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理
(2)对于选项 A，当 m＝－2 时，可行域如图①，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确；
对于选项 B，当 m＝－1 时图②，直线 y＝2x－z 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不 符合题意，故 B 不正确；
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(3)
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当 a＝0 时， 只有 4 个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当 a＝－1 时，正好增加 (－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共 5 个整点．
答案：(1)A (2)B (3)－1
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线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的
双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角函数、概率、解析几何
等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新
颖别致，且主要有以下几个命题角度：
角度一：转化为截距(形如：z＝ax＋by)
[典题 2]
(1)设 x，y 满足约束条件xx＋－y3－y＋7≤1≤0，0， 3x－y－5≥0，
解方程组xx＝－3y＋，5＝0， 得 A 点的坐标为(3,8)，代入 z＝(x＋ 1)2＋y2，得 zmax＝(3＋1)2＋82＝80.
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(2)法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所 示．z＝|x＋2y－4|＝|x＋2y5－4|· 5，即其几何含义为阴影区域内的 点到直线 x＋2y－4＝0 的距离的 5倍．
则 z＝2x－y
的最大值为( )
A．10
B．8
C．3
D．2
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x＋y－2≤0， (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)若 x，y 满足约束条件x－2y＋1≤0，
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【步步高】（江苏专用）2017版高考数学 专题7 不等式 50 简单的线性规划问题 理训练目标(1)掌握不等式(组)表示的平面区域的确定方法；(2)会求目标函数的最值；(3)了解目标函数的简单应用.训练题型(1)求平面区域面积；(2)求目标函数最值；(3)求参数值或参数范围；(4)求最优解；(5)实际应用问题.解题策略 (1)根据不等式(组)画出可行域；(2)准确理解目标函数的变量及相关参数的几何意义；(3)用好数形结合思想，将要解决的问题恰当的与图形相联系；(4)注意目标函数的变形应用.1．(2015·济南二模)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y≤－x ＋2，y≤x－1，y≥0所表示的平面区域的面积为________．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3x ＋y ≥0，－32≤x≤3表示的平面区域的形状是________．3．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤2，0≤y≤2，x≥a 表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是________．4．(2015·昆明一模)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，y≤x，2x ＋y ＋k≤0，(k 为常数且k <0)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝________.5．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y|≤1，x≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为________．6．(2015·四川郫县一中质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为________．7．已知点P (1，－2)及其关于原点的对称点均在不等式2x －by ＋1>0表示的平面区域内，则b 的取值范围是____________．8．(2015·安徽屯溪一中第四次月考)若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x≥0，y≥0，且最大值为40，则5a ＋1b的最小值为________．9．(2015·课标全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．10．(2015·湖北襄阳第五中学质检)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表所示：积(单位：亩)分别为________．11．(2015·陕西大学附中月考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则log 3(1a ＋2b)的最小值为________． 12．现有下列5个命题：①原点在x ＋y ≥0表示的区域内；②点(－1，－1)在x ＋y ＋1<0表示的区域内；③点(1,2)在y >2x 表示的区域内；④点(0,2)在x －2y ＋5>0表示的区域内；⑤点(1,1)在－x ＋5y ＋6<0表示的区域内．则正确的命题是________．(将你认为正确命题的序号填在横线上)13．(2014·山东)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1≤0，2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为________．14．(2015·浙江嘉兴一中上学期入学摸底测试)已知函数f (x )＝x 2－2x ，点集M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤2}，N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则M ∩N 所构成平面区域的面积为________．答案解析141.解析作出不等式组所表示的平面区域如图中△BCD及其内部所示，2.＝Cx，1＝Bx由题意知，12＝Dy得⎩⎪⎨⎪⎧y＝－x＋2，y＝x－1，由.14＝12)×Bx－Cx×(12＝BCD△S所以2．三角形或⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≥0，－32≤x≤3，x＋y≥0，⇔⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3x＋y≥0，－32≤x≤3，不等式组解析⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋3≤0，－32≤x≤3，x＋y≤0，那么利用不等式表示的区域可知，得到的平面区域为三角形．3．[0,2)表示的平面区域为图中阴影部分，⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤2，0≤y≤2解析要使此区域与x ≥a 围成一个三角形，应有0≤a <2.4．－6解析 画出可行域如图中阴影部分所示，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－k 3，y ＝－k3，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＋k ＝0，联立 ，y 3＋x ＝z ，由目标函数)k3，－k 3－(的坐标为C 即点 ，x 13＝－y ，平移直线z 3＋x 13＝－y 得 可知当直线经过点C 时，z 最大， ，y 3＋x ＝z 代入)k3，－k 3－(C 把 6.＝－k ，解得)k3－3×(＋k 3＝－8得 经检验，符合题意．5．2 解析作出可行域如图中阴影部分所示， ，y 2＋x ＝OP →·OA →＝z ，(0,1)B 易知 平移直线x ＋2y ＝0，2.＝max z 取得最大值，且z 时，B 经过点y 2＋x ＝z 显然当直线 13．－6 表示的区域如图，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0不等式组 解析，1)，－(3A 解得交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，由 由图可知，当M 取得点A (3，－1)时，直线OM 斜率取得最小值， .13＝－－13＝k 最小值为 )12，－32－(．7 ⎩⎪⎨⎪⎧2＋2b ＋1>0，－2－2b ＋1>0.，代入不等式，得1,2)－(关于原点的对称点为2)，－(1P 解析 .12－<b <32的取值范围为－b 解不等式组，即可得 948.解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示．当直线z ＝ax ＋by (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线2x －y －6＝0的交点(8,10)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值40，即4a ＋5b ＝20，.94)≥a 5b ＋5b 4a (＋54＝4a ＋5b 20)×1b ＋5a (＝1b ＋5a 而 当且仅当2a ＝5b 时，等号成立．9．3解析 画出可行域如图阴影所示，的直线的斜率，(0,0)与原点)y ，x (表示过点yx∵ 最大．yx处时A 在点)y ，x (点∴ ．(1,3)A ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3.得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＋y －4＝0，由 3.的最大值为yx∴10．30,20解析 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x ，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数z ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，，线性约束条件为y 0.9＋x ＝)y 0.9－y (0.3×6＋)x 1.2－x (0.55×4 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x≥0，y≥0.即作出可行域如图阴影部分所示，求得A (0,50)，B (30,20)，C (45,0)，平移直线x ＋0.9y ＝0可知直线经过点B (30，20)，即x ＝30，y ＝20时，z 取得最大值．11．2解析 画出约束条件表示的可行域如图所示．由可行域可知z ＝ax ＋by (a >0，b >0)在(2,4)点取得最大值，故2a ＋4b ＝6，即a ＋2b ＝3，因为a >0，b >0，时，1＝b ＝a 当且仅当3(＝)2a b ·2ba2·＋(513)≥2b a ＋2a b ＋(513＝)2b ＋1a (a ＋2b 3＝2b ＋1a 所以 2.＝33)≥log 2b＋1a (3log，≥32b ＋1a ，所以)成立”＝“ 12．①②④解析 将各点坐标代入各不等式中，看是否使不等式成立，若成立，则该点在不等式所表示的平面区域内．只有①②④中各点代入后使不等式成立，所以正确的命题为①②④.13．4解析 方法一 线性约束条件所表示的可行域如图阴影部分所示．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，2x －y －3＝0，由 所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值，，52＝b ＋a 2故 4≥4.＋24)－a 5(＝2)a 2－5(2＋2a ＝2b ＋2a 方法二 画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点A (2,1)时取得最小值，.52＝b ＋a 2所以有 的距离的平方，)b ，a (到点,0)(0是原点2b ＋2a 又因为 的距离时最小，0＝52－b ＋a 2为原点到直线a2＋b2故当 ，2＝|－25|22＋12的最小值是a2＋b2所以 4.的最小值是2b ＋2a 所以 333214.解析，M 表示的平面区域为⎩⎪⎨⎪⎧0≤y≤4，x≥0，y≥x2不等式组 即为图中的抛物线在第一象限内的部分与直线y ＝4，y 轴围成的区域．设直线为y ＝kx ，且，3(A ，(0,0)O 交点为2x ＝y 与曲线x 3＝y ，直线x 3＝y ，故3＝k 时，π3倾斜角为的区域为图中阴影部分所示．π3，倾斜角小于3) x )d 2x －(420ʃ＝S 的面积为M 区域 ，163＝20)|3x 13－x (4＝ x)d 2x －x 3(03ʃ＝′S 阴影部分的面积为 .32＝3)|3x 13－2x 32(＝ .3332＝32163＝P 由几何概型的计算公式可得所求概率。