华南理工大学高等数学统考试卷下自测wjf3
华南理工大学大二理学专业高等数学试卷及答案 (1)
华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。
. 解答以下各题 (每题5分,共20分)设函数(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定，其中F 为可微函数，且20F '≠，求z z x y x y ∂∂+∂∂(),z z x y =是由方程()22x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数，且1'≠-.求dz .(),arctanxf x y y=在点()0,1处的梯度. 设P 为椭球面222:1S x y z yz ++-=上的一动点，假设S 在点P 处的切平面与xoy 面垂直，P 的轨迹C 。
. 解答以下各题 (每题10分,共30分)()()22,2ln f x y x y y y =++的极值(),u f x y =具有二阶连续偏导数，且满足等式2222241250u u ux x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。
确定的,b 值，使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂．曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点。
三. 解答以下各题 (每题8分，共32分)８．设函数(),f x y 连续，交换二次积分的积分次序：()122,y dyf x y dx -⎰⎰.９．设函数f 连续，假设()22,uvD f x y F u v +=，其中区域D 为第一象限2221x y u ≤+≤与0arctany v x ≤≤的局部，求Fu∂∂ １０．计算二重积分()3Dx y dxdy +⎰⎰，其中D 由曲线x =与直线0x=及0x =围成。
11.计算二重积分2sin DI r θ=⎰⎰，其中(),0sec ,04D r r πθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭. 四. 解答以下各题 (每题9分,共18分)12.求位于两球面()22224x y z ++-=和()22211x y z ++-=之间的均匀物体的质心.13. 计算由2212,0,0x y x y z xy ≤+≤≥≤≤所确定的立体的体积.华南理工大学期中考试2021-2021学年第二学期?高等数学?期中考试试卷考前须知：1. 考试形式：闭卷；．本试卷总分值100分，考试时间90分钟。
华南理工大学高等数学统考试卷下
,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试《高等数学（下）》试卷A15分，每小题3分）若(),z f x y =在点()00,x y 处可微，则下列结论错误的是 （） ）(),z f x y =在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处连续； ()(),,,x y f x y f x y 在点()00,x y 处存在；曲面(),z f x y =在点()()0000,,,x y f x y 处有切平面二重极限22400lim x y xy x y →→+值为（ ））0； (B) 1； (C)12； (D)不存在 已知曲面()22:10z x yz ∑=--≥，则222dS ∑=（））2π； (B) π； (C) 1； (D)12π 已知直线34:273x y zL ++==--和平面:4223x y z ∏--=，则（ ） ）L 在∏内； (B) L 与∏平行，但L 不在∏内；L 与∏垂直； (D) L 与∏不垂直，L 与∏不平行（斜交）、 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y = （ ） (A) 2ax ；（B ）2ax bx c ++；（C ）2()x ax bx c ++；（D ）22()x ax bx c ++（本大题共15分，每小题3本分）. arctanxz y=，则dz = . 曲线L 为从原点到点(1,1)的直线段，则曲线积分L⎰的值等于３. 交换积分次序后，ln 1(,)e x dx f x y dy =⎰⎰４. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)-沿方向{}2,1l =的方向导数为 5. 曲面23z z e xy -+=在点(1,2,0)处的法线方程是三、（本题7分）计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =及直线2y x =-所围成的闭区域四、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由柱面221x y +=及平面0,1z z ==所围成的闭区域五、（本题7分）计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面()221z x y z =+≤的上侧六、（本题7分）计算()()3133xy xy Lye x y dx xe x y dy +-+++-+⎰，其中L 为从点(),0a -沿椭圆y =-(),0a 的一段曲线七、（本题6分）设函数()22220,0,0x y f x y x y +≠=+=⎩，证明：1、(),f x y 在点()0,0处偏导数存在，2、(),f x y 在点()0,0处不可微八、（本题7分）设,,y z xf xy f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭具有连续二阶偏导数，求2,z z y y x ∂∂∂∂∂九、（本题7分）设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通解十、（本题8分）在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面，使该切平面与三个坐标平面围成的四面体的体积最小，求切点的坐标十一、（非化工类做，本题7分）求幂级数()321111321nn x x x n +-++-++的收敛域及其和函数解：收敛域[1,1]-上()()321111321nn S x x x x n +=-++-++()()()21,00,arctan 1S x S S x x x '===+ 十二、（非化工类做，本题7分）设函数()f x 以2π为周期，它在[,]ππ-上的表达式为()1,00,0,,1,0x f x x x πππ<<⎧⎪=±⎨⎪--<<⎩求()f x 的Fourier 级数及其和函数在x π=-处的值解：()021120,sin n n n a b nxdx n πππ⎡⎤--⎣⎦===⎰ ()f x 的Fourier 级数为411sin sin 3sin 535x x x π⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦和函数在x π=-处的值为0十一、（化工类做，本题7分）已知直线1210:320x y L x z +-=⎧⎨+-=⎩和212:123y z L x +--== 证明：12//L L ，并求由1L 和2L 所确定的平面方程十二、（化工类做，本题7分）设曲线积分()2Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ连续可导，且()00ϕ=，计算()()()1,120,0xy dx y x dy ϕ+⎰一1B 2D3B 4B5B二122ydx xdyx y-+21e - 310(,)ye e dyf x y dx ⎰4 5-512,021x y z --== 三解：2221458y y I dy xydx +-==⎰⎰四、解：11201,.22DI z dz or d zdz πππσ===⎰⎰⎰⎰五、解：32xyD I dv dxdy πΩ=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰六、解：4(31)22aaDI dxdy x dx ab a π-=++=+⎰⎰⎰七、解：()()()0,00,00,0lim0x x f x f f x →-==,()()()00,0,00,0lim 0y y f y f f y→-==,0,00,0limx y f x y f x f y∆→∆→∆∆-∆-∆22200lim()x y x yx y ∆→∆→∆∆=∆+∆极限不存在故不可微八解：22212111222,2z z y x f f xf x yf f y y x x ∂∂'''''''=+=+-∂∂∂ 九、解：()()1x xx e p x e -=，求10xx e y y e-'+=得x x e y ce -+=从而通解为xx e x y ce e -+=+十解：设切点()000,,x y z ，切平面方程为0002221xx yy zz a b c++=，四面体体积为2220006a b c V x y z =令2222221x y z F xyz a b c λ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭2200x y z x F yz a F F F λλ⎧=+=⎪⎨⎪===⎩()000,,x y z =⎝⎭ 十一、证：{}{}121,2,3,1,2,3s s =--=-，故12//L L由这两条直线所确定的平面方程为210x y +-=十二解：()()22,,xy y x x x ϕϕ'==()()()1,120,012xy dx y x dy ϕ+=⎰1.产品成本是指为制造一定数量、一定种类的产品而发生的以货币表现的（）。
(完整版)高等数学-微积分下-分节习题册答案-华南理工大学(33)
1、试将三重积分(),,f x y z dv Ω⎰⎰⎰化为三次积分，其中积分区域Ω分别为：1） 由双曲抛物面xy z =及平面10,0x y z +-==所围成的区域。
(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()110,,xxydx dy f x y z dz-⎰⎰⎰。
2） 由曲面2222,2z x y z x =+=-所围成的区域(),,f x y z dv Ω=⎰⎰⎰()2221212,,x x y dx f x y z dz --+⎰⎰。
2、计算下列三重积分 1）23xy z dv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面xy z =与平面,1,0x y x z ===所围成的闭区域。
解：原式111235612000000111428364x xy xdx dy xy z dz dx x y dy x dx ====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2）xzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由平面,1,0z y y z ===及抛物柱面2y x =所围成的闭区域。
解：原式()221111127101111026yx x dx dy xzdz dx xy dy x x dx ---===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3、利用柱面坐标计算()22x y dv Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面222x y z +=及平面2z =所围成的区域。
解：原式22546222233000201622222123r r r r d dr r dz r dr πθπππ⎛⎫⎡⎤==-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰4、利用球面坐标计算()222xy z dv Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域。
解：原式214024sin sin 55d d d d πππππθϕρϕρϕϕ===⎰⎰⎰⎰5、选用适当坐标计算Ω，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成区域。
解：原式522cos 3422001cos sin 2cos sin 42510d d d d ππππϕπϕπθϕρϕρπϕϕϕ⎡⎤===-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰。
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。
解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。
解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。
解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。
解：方法一 原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰1002t =--⎰⎰原式(100111ln 42422t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 224=- 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。
04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修(考)试卷(共3页)
04届,华南理工大学,高等数学第二学期重修（考）试卷华南理工大学高等数学第二学期重修试卷院系：专业班级：学号：姓名：题号一二三四五六总分得分题号七八九十十一得分一、选择题：在括号内填上所选项字母 1、过点和直线的平面方程是 (A)；(B)；(C)；(D) 2、已知曲面上在点处的切平面平行于平面，则点的坐标是(A)；(B) ；(C) ；(D) 3、设为连续函数，则改换二次积分的积分次序等于(A) ；(B) ；(C) ；(D) 4、设曲线为圆周且取正向，则曲线积分 (A)；(B) ；(C) ；(D) 5、通解为的微分方程是(A)；(B) ；(C)；(D) 二、填空题：将答案填写在横线上 1、已知空间向量的方向余弦为，且，又向量，则。
2、函数在点处沿点指向点方向的方向导数为。
3、设是圆域，则当时，有4、改变二次积分的积分次序，则。
5、微分方程的特解的形式是。
三、设，其中和具有二阶连续导数，求。
四、计算三重积分，其中是由曲面与所围成的闭区域。
五、求曲线积分，其中为从点沿曲线到点的一段。
六、计算对面积的曲面积分，其中是球面被柱面截下的部分。
七、求经过点且与三个坐标面所围成的四面体体积为最小的平面，并求其最小的体积。
八、设，其中是由确定的隐函数，求。
求幂级数的收敛域。
九、计算二重积分，其中。
将函数展开成的幂级数。
十、求微分方程满足初始条件的特解。
十一、设具有二阶连续导数，且曲线积分与积分路径无关，求函数。
十二、。
华南理工大学高等数学统考试卷下04期中卷答案.
πy
解答：改变积分顺序，
6
ππ
π
π
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6
6
dy
cos
xdx
=
6
dx
x
cos
xdy
=
6
cos
xdx
=
1
0 yx
0 0x
0
2
二． 选择题（每小题 3 分，共 15 分）
πx 6
1．函数 f (x, y) = 3 x 2 y 在点（0，0）处（ B ）
（A ）不连续；
（B）连续，但偏导数 f（x′ 0，0）和 f（y′ 0，0）不存在；
高等数学
2004~2005 学年第二学期期中考试试卷
专业班级
姓名
学号
一． 填空题（每小题 3 分，共 15 分）
→→
→
→
→→
→→
1．已知向量 a 与 b 垂直，| a |= 3，| b |= 4 ，则|（3 a− b）×（a− 2 b）|=
解答：
⎜⎛
3
→
a−
→
b
⎟⎞
×
⎜⎛
→
a−
2
→
b
⎟⎞
=
�� �� − 6a × b − b × a
+
2cos β
，其中 cosα，cos β
为l
的方向余弦；
（D） f（x，y）在点（0，0）处沿 x 轴负方向的方向导数为 −1。
∫∫ 3．设 f (x, y) 连续，且 f (x, y) = xy + f (x, y)dxdy ，其中 D 是由 y = 0, y = x2 , x = 1
D
所围成的区域，则 f (x, y) =（ C ）
华南理工大学高等数学统考试卷下2005zxA
高等数学下册(重修)理工试卷A2006．6．18姓名： 学院与专业： 学号：单项选择题[共21分]一、1、[3分]设非零向量,a b 满足关系式a b a b -=+，则必有（ ）(A) a b a b -=+ (B) a b =(C) 0a b ⨯= (D) 0a b ⋅=2、[3分] 设直线;32,6:;5251:21=+=-+=--=-z y y x L z y x L 则这两直线的夹角为（ ）(A)6π (B) 4π (C) 3π (D) 2π 3、[3分]二元函数),(y x f 在点),(00y x 处的两个偏导数),(00y x f x '和),(00y x f y '都存在，是),(y x f 在该点连续的（ ）(A) 充分条件而非必要条件 (B) 必要条件而非充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件4、[3分]设)(22y x z -=ϕ，其中ϕ具有连续的导数，则下列等式成立的是（ ） (A) y z y x z x ∂∂=∂∂ (B) yz x x z y ∂∂=∂∂ (C) y z x x z y ∂∂-=∂∂ (D) yz y x z x ∂∂-=∂∂ 5.[3分]设),(y x f 连续，则)(),(102211=⎰⎰-dy y x yf dx(A) dy y x yf dx ⎰⎰102210),(2 (B) dy y x yf dx x⎰⎰02210),(4 (C) dy y x yf dx y y ⎰⎰-),(22210 (D) 06、[3分]设2211cos sin x y d I x y σ+==++⎰⎰,则有（ ） (A) 223I ≤≤ (B) 23I ≤≤ (C) 102I ≤≤ (D) 10I -≤≤ 7、[3分] 若L 是平面曲线)0(222>=+a a y x 依顺时针方向一周，则 dy y x y xy dx yx y x e L x ⎰+-++-2222222)sin(2的值为（ ） (A) 2a π⋅ (B)22a π⋅ (C) 0 (D) 22a π⋅-二、填空题[共18分]1、[3分]过点(1,2,1)M -且与直线7,34,3x t y t z t =-+=+=+垂直的平面是 .2、[3分]设cos()cos(2)(,)()cos()xy x y f x y e x x y π-=+-+，则=')4,(ππy f . 3、[3分] 设0ln =-yz z x ，则=dz . 4、[3分] 设D 是椭圆22194x y +=所围成的闭区域，则Dd σ=⎰⎰ .5、[3分]将二重积分()10,dy f x y dx ⎰⎰交换积分次序后为 .6、[3分] 设∑是以原点为球心，4为半径的球面，则2221dS x y z∑=++⎰⎰ .三、解答下列各题[共31分]1、[6分] 设x y x z yarctan +=，求y x z ∂∂∂2.2、[6分]设直线⎩⎨⎧=--+=++030:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5,2,1(-，求b a ,之值.3、[6分] 求dy e y dx x x y ⎰⎰-121dy e ydx x y ⎰⎰-+2421的值.4、[6分] 计算dxdydz e z⎰⎰⎰Ω，其中1:222≤++Ωz y x .5、[7分] 求⎰+-=L yx xdy ydx I 224，其中L 是椭圆1422=+y x 由对应于x 从1-到1（在第一、二象限内）的那一段.四、[6分]求()222120x x y xy xe'++-=的通解.五、[6分] （本大题供所有专业选做一小题）1、求22u x y z =+-在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值2、设长方体过同一顶点的三条棱长之和为9，问这三条棱长各为何值时，长方体的表面积最大？3、求椭圆223:1x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩的长半轴长度、短半轴长度和面积.六、[8分]计算曲面积分2(81)2(1)4I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰，其中∑是由曲线0(13)x y z =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面，其法向量与y 轴的正向的夹角恒大于2π.七、[8分]（注意: 根据各自专业学分情况选做）1、（4学分化工类不做本题，5学分专业做本题） 将函数21()82x f x x x+=--展开为x 的幂级数并求出该级数的收敛区间. 2、（4学分化工类做本题，5学分专业不做本题）设)(x f 定义在),0(+∞，具有一阶连续导数，0)1(=f 且对在右半平面内的任意闭曲线L ，曲线积分0])([)]([=++-⎰dy e x xf ydx x f e Ly x（1）求)(x f ；（2）求函数(,)U x y ，使它的全微分等于dy e x xf ydx x f e y x ])([)]([++-.。
华南理工大学高等数学统考试卷下2014试卷A及参考解答 打印版
诚信应考,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试2014-2015学年第二学期《微积分（下）》试卷（A 卷）注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上； ．考试形式：闭卷；本试卷共十二大题，满分100分，考试时间120分钟。
4分，共20分）1. 设y xy z )1(+=, 则=∂∂xz12)1(-+y xy y .2. 函数22ln y x z +=在点)1,1(处的全微分=z d y x d 21d 21+. 3. 球面6222=++z y x 在点)1,2,1(处的切平面方程为062=-++z y x . 4. 设曲线1:22=+y x L , 则曲线积分=+⎰Ls y x d )(2π2.5. 函数)cos(e yz u x =在原点)0,0,0(处的梯度为)0,0,1(.二、（本题8分）设方程组⎩⎨⎧=-=uv y u v x 222确定了隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u , 求x u ∂∂与x v∂∂.解. ⎩⎨⎧+=⋅-⋅=x x x x vu uv u u v v 0222或者⎩⎨⎧=+=⋅-⋅01x x x x vu uv u u v v , 22v u u u x +-=, 22v u vv x +=.三、（本题8分）设),(y x y x f z -+=, ),(v u f 有二阶连续偏导数, 求x z∂∂与y x z ∂∂∂2.21f f z x '+'=221122211211f f f f f f z xy ''-''=''-''+''-''= 四、（本题8分）计算二重积分⎰⎰=Dx y I σd 22, 其中D 是由直线2=y , x y =及双曲线1=xy 围成的闭区域.49d d 12221==⎰⎰yyx x y y I五、（本题8分）计算曲线积分⎰+++=Ly x x x x y I d )(sin d )1cos (, 其中L 为由点)0,(a A 至点)0,(a B -的上半圆弧22x a y -=(0>a ).a a yx x x x y y x I BAD221d )(sin d )1cos (d d 2-=+++-=⎰⎰⎰π其中D 是半圆域222a y x ≤+, 0≥y .六、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑=S z I d , 其中∑为圆锥面22y x z +=位于圆柱体x y x 222≤+内部分.2932d d 2d d 22cos 02222=⋅=⋅+=⎰⎰⎰⎰-θππθr r r yx y x I D其中D 是圆域x y x 222≤+.七、（本题8分）计算曲面积分⎰⎰∑++=y x z x z y z y x I d d d d d d 333, 其中曲面∑是由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭曲面的外侧.)12(524d d sin d 3d )(32224020222-=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ωπϕϕθππr r r vz y x I其中Ω为已知两曲面围成的闭区域. 八、（本题7分）求微分方程y y x y ln tan ='通解.x xxy y y d sin cos d ln 1= C x y ln sin ln ln ln += x C y sin e =九、（本题7分）求微分方程x y y cos =+''的通解. 对应齐次方程的通解为x C x C Y sin cos 21+= 原方程的一个特解为x x y sin 21*=原方程的通解为x x x C x C y sin 21sin cos 21++=十、（非化工类做）（本题6分）判断级数∑∞=1!2sin n nn 的收敛性.!2!2sin n n nn ≤且10!2)!1(2lim1<=++→∞n n n n n ⇒级数∑∞=1!2n nn 收敛, 所以级数∑∞=1!2sin n n n 收敛.十一、（非化工类做）（本题6分）把函数x x x f arctan )(=展开为x 的幂级数, 并指出成立的区间.∑∑⎰⎰∞=+∞=+-=-=+=022020212)1(d )(d 11)(n n n n x n x x n x x x xx x x f其中11≤≤-x .十二、（非化工类做）（本题6分）设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛, n n n b c a ≤≤(*N ∈n ), 证明级数∑∞=1n n c 也收敛.⇒⎪⎭⎪⎬⎫-≤-≤∑∑∞=∞=收敛11,0n n n n n n n n b a a b a c ∑∞=-1)(n n na c收敛⇒∑∞=1n n c 收敛.十、（化工类做）（本题6分）求函数333y x axy z --=(0>a )的极值.由⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=03303322y ax z x ay z y x 得驻点),(),0,0(a a 在点)0,0(处0922<-=-a B AC , 从而在)0,0(处不取极值；在点),(a a 处02722>=-a B AC , 06<-=a A , 从而在点),(a a 处取极大值3a .十一、（化工类做）（本题6分）求微分方程0)d (cos d )3(sin 32=+++y x y x y x x 的通解.0d cos )d d (d sin 33=+++y y y x x y x x所求通解为.sin cos 3C y y x x =++-十二、（化工类做）（本题6分）证明曲面0),(=--cz ay bz ax F 上任一点处的切平面都平行于同一向量, 其中c b a ,,为非零常数.所给曲面在任一点处的法向量为),,(2121F c F b F a F a n '-'-''=它始终平行于向量),,(a c b .。
(完整版)华南理工大学《高等数学》(下册)期末试题及答案三
《高等数学》（下册）测试题三一、填空题1．若函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在点(1,1)-处取得极值，则常数a =5-． 2．设1()e d x yxf x y =⎰，则1()f x dx =⎰12e -． 3．设S 是立方体1,,0≤≤z y x 的边界外侧，则曲面积分567d d d d d d sx y z y z x z x y ++=⎰⎰Ò 3 ． 4．设幂级数nnn a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为()2,4-．5．微分方程2434exy y y x -'''+-=用待定系数法确定的特解（系数值不求）的形式为()24e x y x ax bx c -=++．二、选择题1．函数22222222sin 2(),0,(,)0,2,x y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩在点(0,0)处（ D ）．（A ）无定义； （B ）无极限；（C ）有极限但不连续； （D ）连续． 2．设sec(1)z xy =-，则zx∂=∂（ B ）． （A ）sec(1)tan(1)xy xy --； （B ）sec(1)tan(1)y xy xy --； （C ）2tan (1)y xy -； （D ）2tan (1)y xy --．3．两个圆柱体222x y R +≤，222x z R +≤公共部分的体积V 为（ B ）．（A）02d Rx y ⎰； （B）08d Rx y ⎰；（C）d RRx y -⎰； （D）4d R Rx y -⎰．4．若0n a ≥，1nn kk S a==∑，则数列{}n S 有界是级数收敛的（ A ）．（A ）充分必要条件； （B ）充分条件，但非必要条件； （C ）必要条件，但非充分条件； （D ）既非充分条件，又非必要条件．5．函数sin y C x =-（C 为任意常数）是微分方程22d sin d yx x=的（ C ）．（A ）通解； （B ）特解； （C ）是解，但既非通解也非特解； （D ）不是解． 三、求曲面e e4x y zz+=上点0(ln 2,ln 2,1)M 处的切平面和法线方程．解：{}{}022M 11e ,e ,e e 2,2,4ln 2//1,1,2ln 2xy x y z z z zx y n z z z z ⎧⎫=--=--⎨⎬⎩⎭r 切平面为()ln 2ln 22ln 212ln 20x y z x y z -+---=+-= 法线为1ln 2ln 22ln 2z x y --=-=-四、求通过直线 0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线1:L x y z ==．解：设过直线L 的平面束为()20,x y z x y λ-+-++= 即()(){}1120,1,1,1x y z n λλλλ+--+-==+-r第一个平面平行于直线1:L x y z ==，即有{}{}111,1,11,1,1210,2n s λλλλ⋅=+-⋅=+==-r r从而第一个平面为{}1111120,324,1,3,223x y z x y z n ⎛⎫⎛⎫--++-=-+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r 第二个平面要与第一个平面垂直，也即{}{}11,3,21,1,11332260,3n n λλλλλλ⋅=-⋅+-=+-++=-+==r r从而第二个平面为4220x y z ++-=五、求微分方程430y y y '''-+=的解，使得该解所表示的曲线在点(0,2)处与直线2240x y -+=相切．解：直线2240x y -+=为2,1y x k =+=，从而有定解条件()()01,02y y '==， 特征方程为()()212430,310,3,1r r r r r r -+=--===方程通解为312xx y c ec e =+，由定解的初值条件122c c +=3123x x y c e c e '=+，由定解的初值条件1231c c +=从而1215,22c c =-=，特解为31522x x y e e =-+ 六、设函数()f u 有二阶连续导数，而函数(e sin )xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂ 试求出函数()f u ．解：因为()()()()222sin ,sin sin xx x z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )xx x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂ ()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,uur r r f u c e c e --===-=+ 七、计算曲面积分222(cos cos cos )dS xy yx z αβγ∑++⎰⎰Ò， 其中∑是球体2222x y z z ++≤与锥体z ≥Ω的表面，cos α，cos β，cos γ是其外法线方向的方向余弦．解：两表面的交线为222222122122,0,1,1x y z z x y z z z z z z ⎧++=⎧+=⎪⇒===⇒⎨⎨==⎩⎪⎩原式()222xy z dv Ω=++⎰⎰⎰，投影域为22:1D x y +≤，用柱坐标:02,01,1r r z θπΩ≤≤≤≤≤≤原式)()2111122222rrd rdr rz dz r r z zπθπ=+=+⎰⎰⎰()(12220211r r r r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎰()()()113134220013122t t dt r r r dr ππ⎡⎤=--+-+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()11532452200221113125345t t r r r ππ⎡⎤⎛⎫=--⋅-+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21181127022154551010πππππ⎡⎤⎛⎫=--+--=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭另解：用球坐标:02,0,02cos 4πθπϕρϕΩ≤≤≤≤≤≤原式()2cos 24222000sin 2cos sin d d d πϕπθϕρϕρϕρϕρ=+⎰⎰⎰()2cos 443302sin 2cos sin d d πϕπϕρϕρϕϕρ=+⎰⎰()545735022cos cos 2cos cos 5d ππϕϕϕϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎰1684579494216555658t t t t dt ππ⎛⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎭⎝6831161010t t π⎛=- ⎝2710π=八、试将函数2()e d xt f x t -=⎰展成x 的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）． 解：()220n=01()e d d n!n xxt n f x t t t ∞-⎛⎫-==⎪ ⎪⎝⎭∑⎰⎰()()()21n=01,,!21nn x x n n ∞+-=∈-∞+∞+∑九、判断级数)0,0(1>>∑∞=βαβαn nn 的敛散性．解：()11lim lim 1n n n n n nu n u n ααβρββ++→∞→∞==⋅=+ 当01,1βρ<<<，级数收敛；当1,1βρ>>，级数发散； 当1,1βα=>时级数收敛；当1,01βα=<≤时级数发散十、计算曲线积分222(1e )d (e 1)d y y Lx x x y ++-⎰，其中L 为22(2)4x y -+=在第一象限内逆时针方向的半圆弧．解：再取1:0,:04L y x =→，围成半圆的正向边界 则 原式11222(1e )d (e 1)d y y L L L x x x y +=-++-⎰⎰()44200101122D dxdy x dx x x ⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰十一、求曲面S ：222124x z y ++=到平面π：2250x y z +++=的最短距离．解：问题即求d =在约束222124x z y ++=下的最小值 可先求()()22,,9225f x y z d x y z ==+++在约束222124x z y ++=下的最小值点 取()()2222,,225124x z L x y z x y z y λ⎛⎫=++++++- ⎪⎝⎭()()42250,422520,x y L x y z x L x y z y λλ=++++==++++=()22222250,1224z z x z L x y z y λ=++++=++=0λ≠时212,41,,12x y z y y x z ====±==±，211521151111,,13,1,,123233d d +++---+⎛⎫⎛⎫==---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这也说明了0λ=是不可能的，因为平面与曲面最小距离为13。
高等数学试卷下册华南理工大学高等数学统考试卷
《微积分（下）》自测试卷4（时间120分钟，总分100）学院（系） 专业班 姓 名： 成绩报告表序号：一、填空题1．[3分] (),f x y 在()00,x y 的一阶偏导数连续是(),f x y 在()00,x y 可微的 条件2．[3分]幂级数()211!n n n x n ∞=-∑在(),-∞+∞的和函数()f x = 3．[3分] 幂级数044nn n x n ∞=+∑的收敛半径为 4．[3分]设()22,f xy x y xy x y -=--，则(,)f x y x ∂=∂ ，(,)f x y y∂=∂ 5．[3分]设区域(){}222,D x y x y a =+≤，当a = 时，二重积分D π=6、[3分]方程245cos x y y y e x '''-+=的特解形式可设为二、计算1、[4分]求(,)(0,0)lim x y →2、[5分]设,y z F x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中(),F u v 具有一阶连续偏导数，求z 的全微分 3、[6分]设()()()()()2222,,0,0,0,,0,0x y xy x y x y f x y x y ⎧-≠⎪+=⎨⎪=⎩，求()0,0,xx f '' ()0,0,yy f '' ()0,0,xy f '' 4、[6分]求22,D x dxdy D y ⎰⎰由1,,2xy y x x ===所围 5、[6分]求由曲面z =及22z x y =+所围立体的体积6、[7分将函数()()ln 2f x x =-展开为x 的幂级数，并写出收敛范围7、[6分]判别正项级数()3113nn n n ∞=⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∑的敛散性 8、[7分] 求微分方程()2620y x y y '-+=的通解9、[7分] 设()f x DSMT4 函数在(,)-∞+∞内满足关系()()2sin f x x f x ''-=-，且曲线()y f x =与x 轴切于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求()f x 10、[8分]某公司的甲乙两厂生产同一种产品，月产量分别为,x y （千件），甲厂的月生产成本为2125c x x =-+（千元），乙厂的月生产成本为2123c y y =++（千元），若要求该产品每月总产量为8千件，并使总成本最少，求各厂的最优产量及相应的最优成本。
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。
解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。
解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。
解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。
解：方法一 原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰100t =-⎰⎰原式(100111ln 222t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 24= 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。
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《微积分（下）》自测试卷3 （时间120分钟，总分100）
学院（系） 专业班 姓 名： 成绩报告表序号：
一、填空题 1．[3分]
2
1
1x
+的幂级数展开式为 2．[3分]幂级数()()2
1!2!
n
n n x n ∞
=∑的收敛半径为
3．[3分]若(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
确定，则z z x y x y ∂∂+=∂∂
4．[3分] 二次积分
()(
)20
,0a
f x y dx a >⎰在极坐标下的二次积分为
5．[3分]设区域(){}
2
2,4,0D x y x
y y =+≤≥，利用被积函数的对称性及区域的对称性知
积分
()3
2
D
x x y d σ+=⎰⎰
6、[3分]设()()
ln 11y
du x y dx e x dy -=-++++⎡⎤⎣⎦，则(),u x y =
二、计算
1、[5分]设()2
,x
z f ye x y =，且f 具有二阶连续偏导数，求2,
f f x y x
∂∂∂∂∂ 2、[6分]设x y z yf xg y x ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，其中,f g 具有二阶连续偏导数，求222z z x y x x y ∂∂+∂∂∂
3、[6分]设()()(),x
y
z f u u u g t dt ϕ==+⎰
，其中()g t 连续，()(),u f u ϕ均可导，且
()1u ϕ'≠，求()
()z z
g y g x x y
∂∂+∂∂ 4、[7分]求函数()()2
2
(,)64f x y x x
y y =--的极值
5、[6分] 计算二重积分
,x y
D
e
dxdy D ⎰⎰由2,0,1y x x y ===所围
6、[6
分计算
,D
D 由直线,0,y x y x a ===所围
7、[6分] 判别级数(
)
)
1
1
1n n n ∞
-=-∑的敛散性，若收敛，说明示条件收敛还是绝对
收敛
8、[7分] 将函数()21
2
f x x x =
--展开为3x -的幂级数
9、[7分]求微分方程(
)
12
22
xy y x y
'=++的通解
10、[8分]设生产某种产品的数量与所用的两种原料,A B 的数量,x y 间有关系式
(),3Q x y x y αβ=，其中,αβ为正常数，且1αβ+=。
假设,A B 的价格分别为12,p p ，问
当产量为18时，购进两种原料各多少可使费用最少？
三、证明题
1、[5分] 设函数()2,3y z x y x
ϕ=
+，求证：220z z
x xy y x y ∂∂-+=∂∂ 2、[6分] 设()f x 在[]0,1上连续，求证：()
()
1
1
1f x f y e
dx e
dy -≥⎰
⎰
3、[7分] 设()1
2
1n
n u x x dx =-⎰
，证明：级数
1
n
n u
∞
=∑收敛
参考答案及提示
一、()()24621111;4;;n
n
x x x x x z -+-++-+-<<
()2sin 20
cos ,sin d f r r rdr π
θ
θθθ⎰
⎰
()()()0;11ln 1y x y x e x x -+-----
二、22,,,x x u v ye f xyf u ye v x y ''+==()23222;x
x
x
u v uu
uv
vv e f xf ye f xye x f x yf ''''''''+++++； 0;0;；极大值为
(
))
313,2
3;2l n 21;23a f ⎤=⎦
条
件收敛；()
()()11
111
11113
2
4
321
3
4
n
n
n n x x x x ∞
+=⎛⎫⎛⎫-=
---<< ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑
,;y y cx d x x +==21126,6p p x y p p β
α
αββα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
三、1、略；2、提示：由对称性
()
()()()
()()
22
2,2;
f x f y f x
f y f x f y
D D
e e e
dxdy dxdy a b ab
e e e
⎛⎫
+=+≥
⎪
⎪
⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
3、提示：先将积分计算出来，再用比较法判别。