2017年天津市高考理科数学试题

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【数学】2017年高考真题——天津卷(理)(解析版)

【数学】2017年高考真题——天津卷(理)(解析版)

2 设变
2 x + y ≥ 0, x + 2 y − 2 ≥ 0, 则目标函数 z = x + y 的最大值为 x, y 满足约束条件 x ≤ 0, y ≤ 3,
B.1 C.
A.
2 3
3 2
D.3
3 阅读 面的程序框图,
行相 的程序,若输入 N 的值为 24,则输出 N 的值为
4 3 πR . 3
其中 R 表示球的半径.
1 设集合 A = {1, 2, 6}, B = {2, 4}, C = { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5} ,则 ( A U B ) I C = B. {1, 2, 4} C. {1, 2, 4, 6} D. { x ∈ R | −1 ≤ x ≤ 5}
且 f ( x) 的最小正周期大于 2π ,则
A. ω = C. ω =
2 π ,ϕ = 3 12 1 11π ,ϕ = − 3 24
B. ω = D. ω =
2 11π ,ϕ = − 3 12 1 7π ,ϕ = 3 24
8
x 2 − x + 3, x ≤ 1, x 知函数 f ( x) = 设 a ∈ R ,若关于 x 的 等式 f ( x) ≥| + a | 在 R 2 2 x + , x > 1. x
2017 年普通高等学校招生全国统一考试 数学
分钟.第 卷 1 至 2 ,第 卷 3 至 5 .
天津卷
理工类
本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分,共 150 分,考试用时 120
答卷前,考生务必将自 的姓 、准考证号填写在答题考 ,并在规定位置粘贴考试用 条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡 ,答在试卷 的无效.考试结束 卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试 利! 第 注意 1. 小题选出答案 , 用铅笔将答题卡 对 题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦 净 卷 ,将本试

2017高考天津卷数学卷(理)及答案

2017高考天津卷数学卷(理)及答案

2017天津卷(理)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C = (A ){2}(B ){1,2,4}(C ){1,2,4,6}(D ){|15}x x ∈-≤≤R(2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为(A )23(B )1(C )32(D )3 (3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为(A )0 (B )1(C )2(D )3 (4)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 (A )充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F,离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A )22144x y -=(B )22188x y -=(C )22148x y -=(D )22184x y -=(6)已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c <<(B )c b a <<(C )b a c <<(D )b c a <<(7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5()28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则 (A )23ω=,12ϕπ= (B )23ω=,12ϕ11π=- (C )13ω=,24ϕ11π=-(D )13ω=,24ϕ7π=(8)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是 (A )47[,2]16-(B )4739[,]1616-(C)[- (D)39[]16- 第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年天津高考理科数学真题及答案

2017年天津高考理科数学真题及答案

(A)2绝密★启用前2017年天津高考理科数学真题及答案本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).·棱柱的体积公式V=Sh.·球的体积公式V=43πR3.其中S表示棱柱的底面面积,其中R表示球的半径.h表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A U B)I C=(A){2}(B){1,2,4}(C){1,2,4,6}(D){x∈R|-1≤x≤5}⎧2x+y≥0,⎪x+2y-2≥0,(2)设变量x,y满足约束条件⎨则目标函数z=x+y的最大值为⎪x≤0,⎪⎩y≤3,3(B)1(C)(D)332(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(4)设θ∈R,则“|θ-π2))=2,f()=0,,ϕ=(B)ω=2,ϕ=-(C)ω=,ϕ=-3(D)ω=,ϕ=(8)已知函数f(x)=⎨⎪x+,x>1.设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒(A)0(B)1(C)2(D)3π1|<”是“s inθ<”的12122(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知双曲线x2y2-a b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A)x2y2x2y2x2y2x2y2 -=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1 44884884(6)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log5.1),b=g(20.8,2c=g(3),则a,b,c的大小关系为(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<a<c(D)b<c<a(7)设函数f(x)=2sin(ωx+ϕ),x∈R,其中ω>0,|ϕ|<π.若f(且f(x)的最小正周期大于2π,则5π11π88(A)ω=2π31211π111π312241 37π24⎧x2-x+3,x≤1,⎪2⎩xx216(B ) [- , ] (C ) [-2 3,2] (D ) [-2 3, ]( 11 )在极坐标系中,直线 4ρ cos(θ - ) + 1 = 0 与圆 ρ = 2sin θ 的公共点的个数为(12)若 a, b ∈ R , ab > 0 ,则 的最小值为___________.成立,则 a 的取值范围是(A ) [-47 ,2]47 39 3916 16 16第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考数学天津理试题及解析

2017年高考数学天津理试题及解析

2017年高考数学天津理1.(2017年天津理)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x ∈R|-1≤x≤5},则(A ∪B)∩C= ( ) A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{ x ∈R|-1≤x≤5}1.B 【解析】 (A ∪B)∩C={1,2,4,6}∩[1,5]={1,2,4}.故选B .2. (2017年天津理)设变量x,y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+y≥0,x+2y-2≥0,x≤0,y≤3,则目标函数z=x+y 的最大值为( ) A. 23B.1C. 32D.32. D 【解析】画出不等式组表示的平面区域(图略),则可行域为四边形ABCD 及其内部,其中A (0,1),B (0,3),C (-32,3),D (-23,43),易得直线y=-x+z 过点B (0,3)时,z=x+y 取最大值为3.故选D .3. (2017年天津理)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为19,则输出N 的值为( )A.0B.1C.2D.33. C 【解析】初始N=19,进入循环后N 的值依次为N=18,N=6,N=2,结束循环,输出N=2.故选C .4. (2017年天津理)设θ∈R ,则“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. A 【解析】|θ-π12|<π12⇔0<θ<12,但θ=0时,sin θ=0<12,不满足|θ-π12|<π12,所以“|θ-π12|<π12”是“sin θ<12”的充分不必要条件.故选A.5. (2017年天津理)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点为F ,离心率为2.若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( ) A. x 24-y 24=1B. x 28-y 28=1C. x 24-y 28=1D. x 28-y 24=15. D 【解析】由题意得a=b ,4-00-(-c )=1⇒c=4,a=b=22⇒x 28-y 28=1.故选B .6. (2017年天津理)已知奇函数f(x)在R 上是增函数.g(x)=xf(x).若a=g(-log 25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a <b <cB.c <b <aC.b <a <cD.b <c <a6. C 【解析】因为f (x )是奇函数且在R 上是增函数,所以当x >0时,f (x )>0,从而g (x )=xf (x )是R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,a=g(-log 25.1)= g(log 25.1),20.8<2,又4<5.1<8,则2<log 25.1<3,所以0<20.8<log 25.1<3,g (20.8)<g (log 25.1)<g (3),所以b <a <c.故选C.7. (2017年天津理)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π.若f(5π8)=2,f(11π8)=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则( ) A. ω=23,φ=π12B. ω=23,φ=-11π12 C. ω=13,φ=-11π24D. ω=13,φ=7π247. A 【解析】由题意得⎩⎨⎧5ωπ8+φ=2k 1π+π2,11ωπ8+φ=k 2π,其中k 1,k 2∈Z ,所以ω=43(k 2-2k 1)-23,又T=2πω>2π,所以0<ω<1,所以ω=23,11212k ϕ=π+π,由|φ|<π得φ=π12,故选A .8. (2017年天津理)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-x+3,x≤1,x+2x ,x >1.设a ∈R ,若关于x 的不等式f (x )≥|x2+a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( ) A.[-4716,2]B.[-4716,3916]C. [-23,2]D. [-23,3916]8. A 【解析】不等式f (x )≥|x 2+a|可化为-f (x )≤x2+a≤f (x ),(*)当x≤1时,(*)式即-x 2+x-3≤x 2+a≤x 2-x+3,即-x 2+x 2-3≤a≤x 2-32x+3,又-x 2+x 2-3=-(x-14)2-4716≤-4716(当x=14时取等号),x 2-32+3=(x-34)2+3916≥3916(当x=34时取等号),所以-4716≤a≤3916,当x >1时,(*)式为-x-2x ≤x 2+a≤x+2x ,-32x-2x ≤a≤x 2+2x .又-32x-2x =-(32x+2x )≤23(当x=233时取等号),x 2+2x ≥2x 2·2x =2(当x=2时取等号),所以-23≤a≤2.综上,-4716≤a≤2.故选A .9. (2017年天津理)已知a ∈R ,i 为虚数单位,若a-i2+i 为实数,则a 的值为___________.9. -2 【解析】a-i 2+i =(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i 5=2a-15-a+25i 为实数,则a+25=0,a=-2.10. (2017年天津理)已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为___________.10. 9π2 【解析】设正方体的边长为a ,则6a 2=18⇒a=3,其外接球直径为2R=3a=3,故这个球的体积V=43πR 3=43π×278=9π2.11. (2017年天津理)在极坐标系中,直线4ρcos (θ-π6)+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为___________.11. 1 【解析】直线为23x+2y+1=0,圆为x 2+(y-1)2=1,因为d=34<1,所以有两个交点.12. (2017年天津理)若a ,b ∈R ,ab >0,则a 4+4b 4+1ab 的最小值为___________.12. 4 【解析】a 4+4b 4+1ab ≥4a 2b 2+1ab =4ab+1ab≥24ab·1ab=4,前一个等号成立的条件是a 2=2b 2,后一个等号成立的条件是ab=12,两个等号可以同时成立,当且仅当a 2=22,b 2=24时取等号.13. (2017年天津理)在△ABC 中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若→BD =2→DC ,→AE =λ→AC -→AB (λ∈R ),且→AD ·→AE=-4,则λ的值为___________. 13. 311 【解析】由题可得→AB ·→AC =3×2×cos 60°=3,→AD =13→AB +23→AC ,则→AD ·→AE =(13→AB +23→AC )(λ→AC -→AB )=λ3×3+2λ3×4-13×9-23×3=-4 λ=311.14. (2017年天津理) 用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)14. 1 080 【解析】A 4 5+C 1 4C 3 5A 44=1 080.15. (2017年天津理)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a=5,c=6,sin B=35.(1)求b 和sin A 的值; (2)求sin (2A+π4)的值.15. 解:(1)在△ABC 中,因为a >b ,故由sin B=35,可得cos B=45. 由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=13. 由正弦定理a sin A =b sin B ,得sin A=asin B b =31313. 所以,b 的值为13,sin A 的值为31313. (2)由(1)及a <c ,得cos A=21313,所以sin 2A=2sin Acos A=1213,cos 2A=1-2sin 2A=-513. 故sin (2A+π4)=sin 2Acos π4+cos 2Asin π4=7226.16. (2017年天津理)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 16.解:(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X=0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14,P (X=1)=12×(1-13)×(1-14)+(1-12)×13×(1-14)+(1-12)×(1-13)×14=1124, P (X=2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14, P (X=3)=12×13×14=124. 所以,随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.(2)设Y 表示第1辆车遇到红灯的个数,Z 表示第2辆车遇到红灯的个数, 则所求事件的概率为P (Y+Z=1)=P (Y=0,Z=1)+P (Y=1,Z=0)=P (Y=0)P (Z=1)+P (Y=1)P (Z=0)=14×1124+1124×14=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.17. (2017年天津理)如图,在三棱锥P -ABC 中,P A ⊥底面ABC ,∠BAC=90°.点D ,E ,N 分别为棱P A ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,P A =AC =4,AB =2. (1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)求二面角C -EM -N 的正弦值;(3)已知点H 在棱P A 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721,求线段AH 的长.17.解:如图,以A 为原点,分别以→AB ,→AC ,→AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,4,0),P (0,0,4),D (0,0,2),E (0,2,2),M (0,0,1),N (1,2,0).(1)易得→DE =(0,2,0),→DB =(2,0,2-). 设n =(x,y,z)为平面BDE 的法向量,则⎩⎨⎧n ·→DE =0,n ·→DB =0,即⎩⎨⎧2y=0,2x-2z=0. 不妨设z=1,可得n =(1,0,1).又→MN =(1,2,1-),可得→MN ·n =0. 因为MN ⊄平面BDE ,所以MN ∥平面BDE . (2)易知n 1=(1,0,0)为平面CEM 的一个法向量.设n 2=(x ,y ,z )为平面EMN 的一个法向量,则⎩⎨⎧n 2·→EM =0,n 2·→MN =0,因为→EM =(0,-2,-1),→MN =(1,2,-1),所以⎩⎨⎧-2y-z=0,x+2y-z=0.不妨设y=1,可得n 2=(-4,1,-2).因此有cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1||n 2|=-421,于是sin<n 1,n 2>=10521.所以,二面角C-EM-N 的正弦值为10521.(3)依题意,设AH =h (0≤h≤4),则H (0,0,h ),进而可得→NH =(-1,-2,h ),→BE =(-2,2,2).由已知,得|cos<→NH ,→BE >=→NH ·→BE |→NH ||→BE |=|2h-2|h 2+5×23=721, 整理得10h 2-21h+8=0,解得h=85或h=12.所以,线段AH 的长为85或12.18. (2017年天津理)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N *),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4-2a 1,S 11=11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)求数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和(n ∈N *).18.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q.由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q 2+q-6=0. 又因为q >0,解得q=2.所以b n =2n.由b 3=a 4-2a 1,可得3d-a 1=8,① 由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16,②联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n-2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n-2,数列{b n }的通项公式为b n =2n.(2)设数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n-2,b 2n-1=2×4n-1,有a 2n b 2n-1=(3n-1)×4n , 故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n , 4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n-1)×4n +(3n-1)×4n+1, 上述两式相减,得-3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n -(3n-1)×4n+1=12×(1-4n)1-4-4-(3n-1)×4n+1=-(3n-2)×4n+1-8,得T n =3n-23×4n+1+83. 所以,数列{a 2n b 2n-1}的前n 项和为3n-23×4n+1+83.19. (2017年天津理)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为62,求直线AP 的方程. 19.解:(1)设F 的坐标为(-c ,0).依题意,c a =12,p 2=a ,a-c=12,解得a=1,c=12,p=2,于是b 2=a 2-c 2=34. 所以,椭圆的方程为x 2+4y 23=1,抛物线的方程为y 2=4x . (2)设直线AP 的方程为x=my+1(m≠0),与直线l 的方程x=-1联立,可得点P (-1,-2m ),故Q (-1,2m ). 将x=my+1与x 2+4y 23=1联立,消去x ,整理得(3m 2+4)y 2+6my=0, 解得y=0或y=-6m3m 2+4.由点B 异于点A ,可得点B (-3m 2+43m 2+4,-6m 3m 2+4).由Q (-1,2m ),可得直线BQ 的方程为(-6m 3m 2+4-2m )(x+1)-(-3m 2+43m 2+4+1)(y-2m )=0, 令y=0,解得x=2-3m 23m 2+2,故D (2-3m 23m 2+2,0),所以|AD|=1-2-3m 23m 2+2=6m 23m 2+2. 又因为△APD 的面积为62,故12×6m 23m 2+2×2|m|=62, 整理得3m 2-26|m|+2=0,解得|m|=63,所以m=±63.所以,直线AP 的方程为3x+6y-3=0或3x-6y-3=0.20. (2017年天津理)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g(x)为f(x)的导函数. (1)求g(x)的单调区间;(2)设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证:h(m)h(x 0)<0;(3)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p,q ,且p q ∈[1,x 0)∪(x 0,2]满足|pq-x 0|≥1Aq 4.20.解:(1)由f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a ,可得g(x)=f′(x)=8x 3+9x 2-6x-6, 进而可得g′(x)=24x 2+18x-6.令g′(x)=0,解得x=-1或x=14.当x 变化时,g′(x), g(x)的变化情况如下表:`所以,g(x)的单调递增区间是(-∞,-1),(14,+∞),单调递减区间是(-1, 14). (2)由h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),得h(m)=g(m)(m-x 0)-f(m), h(x 0)=g(x 0)(m-x 0)-f(m).令函数H 1(x)=g(x)(x-x 0)-f(x),则H 1′(x)=g′(x)(x -x 0).由(1)知,当x ∈[1,2]时,g′(x)>0,故当x ∈[1,x 0]时,H 1′(x)<0,H 1(x)单调递减; 当x ∈(x 0,2]时,H 1′(x)>0,H 1(x)单调递增.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 1(x)>H 1(x 0)=-f(x 0)=0,可得H 1(m)>0,即h(m)>0. 令函数H 2(x)=g(x 0)(x-x 0)-f(x),则H 2′(x)= g(x 0)-g(x).由(1)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x ∈[1,x 0)时,H 2′(x)>0,H 2(x)单调递增; 当x ∈(x 0,2]时,H 2′(x)<0,H 2(x)单调递减.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 2(x)<H 2(x 0)=0,可得H 2(m)<0,即h (x 0)<0. 所以,h (m )h (x 0)<0.(3)对于任意的正整数p ,q ,且pq ∈[1,x 0)∪(x 0,2], 令m=pq ,函数h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m).由(2)知,当m ∈[1,x 0)时,h (x )的区间(m ,x 0)内有零点;当m ∈(x 0,2]时,h (x )在区间(x 0,m )内有零点,所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x 1,则h(x 1)=g(x 1)(p q -x 0)-f(pq )=0.由(1)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g (1)<g (x 1)<g (2), 于是|pq -x 0|=|f (p q )g (x 1)|≥|f (pq )|g (2)=|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|g (2)q 4.因为当x ∈[1,2]时,g(x)>0,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点,而p q ≠x 0,故f (pq )≠0.又因为p ,q ,a 均为整数,所以|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|是正整数,从而|2p 4+3p 3q-3p 2q 2-6pq 3+aq 4|≥1,所以|p q -x 0|≥1g (2)q 4.所以,只要取A=g (2),就有|p q -x 0|≥1Aq 4.。

2017天津高考理科数学试题及答案

2017天津高考理科数学试题及答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:·如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B ). P (AB )=P (A ) P (B ). ·棱柱的体积公式V =Sh 。

·球的体积公式343V R =π。

其中S 表示棱柱的底面面积,其中R 表示球的半径.h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1)设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =(A ){2} (B ){1,2,4}(C){1,2,4,6}(D ){|15}x x ∈-≤≤R(2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为(A)23 (B )1(C )32(D )3 (3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为(A )0 (B)1(C)2(D )3 (4)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ,离心率为2。

2017年天津卷(理科数学)含答案

2017年天津卷(理科数学)含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅰ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅰ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:·如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B ). P (AB )=P (A ) P (B ).·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式.其中S 表示棱柱的底面面积,其中表示球的半径.h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合,则【B 】343V R =πR {1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ()A B C =(A )(B )(C )(D )(2)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为【D 】 (A ) (B )1(C ) (D )3(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入的值为24,则输出的值为【C 】(A )0 (B )1(C )2(D )3(4)设,则“”是“”的【A 】(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)已知双曲线的左焦点为,.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为【B 】(A ) (B )(C )(D )(6)已知奇函数在R 上是增函数,.若,,,则a ,b ,c 的大小关系为【C 】{2}{1,2,4}{1,2,4,6}{|15}x x ∈-≤≤R ,x y 20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩z x y =+2332N N θ∈R ππ||1212θ-<1sin 2θ<22221(0,0)x y a b a b -=>>F F (0,4)P 22144x y -=22188x y -=22148x y -=22184x y -=()f x ()()g x xf x =2(log 5.1)a g =-0.8(2)b g =(3)c g =(A ) (B )(C )(D ) (7)设函数,,其中,.若,,且的最小正周期大于,则【A 】(A ),(B ),(C ),(D ),(8)已知函数设,若关于x 的不等式在R 上恒成立,则a 的取值范围是【A 】(A )(B ) (C )(D )第Ⅰ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)

2017年高考理科数学天津卷(含答案解析)

数学试卷 第1页(共20页) 数学试卷 第2页(共20页)绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数 学(理工类)本试卷分为Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷参考公式:·如果事件,A B 互斥,那么()()()P AB P A P B =+.·如果事件,A B 相互独立,那么()()()P AB P A P B =.·棱柱的体积公式V Sh =.其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高. ·球的体积公式343V R π=.其中R 表示球的半径. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,6A =,{}2,4B =,{}|15C x R x =∈-≤≤,则()A B C =A .{}2B .{124},,C .16}2{4,,, D .{}1|5x R x ∈-≤≤2.设变量x ,y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为A .23B .1C .32D .33.阅读右边所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的 A .0B .1C .2D .34.设θ∈R ,则“ππ121||2θ-<”是“1sin 2θ<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F.若经过F 和()0,4P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为A .22144y x -= B .22188y x -= C .22148y x -= D .22184y x -=6.已知奇函数f x ()在R 上是增函数,g x xf x =()().若25.1a g log =-(),0.82b g =(),3c g =(),则a ,b ,c 的大小关系为A .a b c <<B .c b a <<C .b a c <<D .b c a <<7.设函数2sin f x x ωϕ=+()(),x ∈R ,其中0ω>,πϕ<.若5π28f ⎛⎫=⎪⎝⎭,11π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,且f x ()的最小正周期大于2π,则 A .2π,312ωϕ== B .211π,312ωϕ==-C .111π,324ωϕ==-D .17π,324ωϕ==8.已知函数()23,1,2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式()2f x a x ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页(共20页) 数学试卷 第4页(共20页)A .47,216⎡⎤⎢⎥⎣⎦-B .4739,1616-⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.2-⎡⎤⎣⎦D.3916-⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.已知a ∈R ,i 为虚数单位,若i2ia -+为实数,则a 的值为 . 10.已知一个正方形的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .11.在极坐标系中,直线π4cos 106ρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 .12.若a ,b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为 .13.在ABC ∆中,60A ∠=︒,3AB =,2AC =.若2BD DC =,()AE AC AB R λλ=-∈,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为 .14.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有 个.(用数字作答)三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =. (1)求b 和sin A 的值; (2)求π24sin A +()的值. 16.(本小题满分13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.(本小题满分13分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,90BAC ∠=︒.点D ,E ,N 分别为棱PA ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,4PA AC ==,2AB =.(1)求证:MN ∥平面BDE ; (2)求二面角C EM N --的正弦值;(3)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21,求线段AH 的长.数学试卷 第5页(共20页) 数学试卷 第6页(共20页)18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*n S n ∈Ν(),{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)求数列{}221n n a b -的前n 项和*n ∈N ().19.(本小题满分14分)设椭圆222210x y a ba b +=>>()的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线()220y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD ∆AP 的方程.20.(本小题满分14分)设a Z ∈,已知定义在R 上的函数()4322336f x x x x x a =+--+在区间()12,内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数. (1)求()g x 的单调区间;(2)设0012[]m x x ∈,)(,,函数()()()()0h x g x m x f m =--,求证:()()00h m h x <;(3)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p ,q ,且00[]12qx x p∈,)(,,满足041p x q Aq -≥.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________________________ _____________数学试卷 第7页(共20页) 数学试卷 第8页(共20页)2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学答案解析1.【答案】B 【解析】{}(){}1,2,4,6,1,2,4AB A BC ==,选项B 符合.【提示】解题时应根据集合的运算法则,以及集合元素的三大特征,借助数轴或图示求解.【考点】集合的运算 2.【答案】D【解析】作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示,由z x y =+得y x z =-+,作出直线y x =-,平移使之经过可行域,观察可知,最优解在()03B,处取得,故max 033z =+=,选项D 符合.【提示】常常需画出约束条件所表示的可行域,画图时一定要注意边界是实线还是虚线,求解时要注意z 的几何意义。

2017天津高考真题数学理(含解析)

2017天津高考真题数学理(含解析)

2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第I卷一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分):在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. (1)已知全集,集合,集合,则集合(A)(B)(C)(D)(2)设变量、满足约束条件,则目标函数的最大值为(A)(B)(C)(D)(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为(A)(B)(C)(D)(4)设,则“”是“”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(5)如图,在圆中,、是弦的三等分点,弦、分别经过点、.若,,,则线段的长为(A)(B)(C)(D)(6)已知双曲线的一条渐近线过点,且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上,则双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)(7)已知定义在上的函数(为实数)为偶函数,记,,,则、、的大小关系为(A)(B)(C)(D)(8)已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是(A)(B)(C)(D)第II卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分).(9)是虚数单位,若复数是纯虚数,则实数的值为.(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的体积为.(11)曲线与直线所围成的封闭图形的面积为.(12)在的展开式中,的系数为.(13)在中,内角、、所对的边分别为、、,已知的面积为,,则的值为.(14)在等腰梯形中,已知,,,,动点和分别在线段和上,且,,则的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分),解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)已知函数,(I)求最小正周期;(II)求在区间上的最大值和最小值.16.(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员名,其中种子选手名;乙协会的运动员名,其中种子选手名.从这名运动员中随机选择人参加比赛.(I)设为事件“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率;(II)设为选出的人中种子选手的人数,求随机变量的分布列和数学期望.17.(本小题满分13分)如图,在四棱柱中,侧棱底面,,,,,且点和分别为和的中点.(I)求证:平面;(II)求二面角的正弦值;(III)设为棱上的点,若直线和平面所成角的正弦值为,求线段的长18.(本小题满分13分)已知数列满足(为实数,且),,,,且,,成等差数列.(I)求的值和的通项公式;(II)设(),求数列的前项和.19.(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,离心率为,点在椭圆上且位于第一象限,直线被圆截得的线段的长为,.(I)求直线的斜率;(II)求椭圆的方程;(III)设动点在椭圆上,若直线的斜率大于,求直线(为原点)的斜率的取值范围.20.(本小题满分14分)已知函数(),其中,.(I)讨论的单调性;(II)设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;(III)若关于的方程(为实数)有两个正实根、,求证:.2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)第I卷一、选择题(满分40分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C B A A D C D二、填空题(满分30分)9.10.11.12.13.14.三、解答题(满分80分)15.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意可知所以.(Ⅱ)因为,所以,,所以的最小值为,最大值为.16.(本小题满分13分)解:(Ⅰ)设事件:“选出的人中恰有名种子选手,且这名种子选手来自同一个协会”.由题意可知,.(Ⅱ)由题意,的可能取值为,,,.由题意可知,,,,.所以的分布列为:所以.17.(本小题满分14分)证明:(Ⅰ)在,且与交于点,由题意可知四棱柱中,所以,又因为为的中点,所以,,又因为为的中点,所以,.所以四边形是平行四边形.所以.平面因为平面,所以平面.(Ⅱ)以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系,如图:则,,,,,,平面的法向量为,为,,,令得,.设平面的法向量为,、为,,,令得,.所以,因为二面角为锐角,所以二面角的正弦值为.(Ⅲ)设,,,.所以.平面的法向量为,由已知得,,解得,所以,线段的长为.18.(本小题满分13分)解:(I)依题意,,.因为,,成等差数列,所以,所以,或者(舍)当时,;当时,。

2017年高考理科数学天津卷含答案

2017年高考理科数学天津卷含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:·如果事件A,B互斥,那么·如果事件A,B相互独立,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A) P(B).·棱柱的体积公式V=Sh. ·球的体积公式343V R =π.其中S表示棱柱的底面面积,其中R表示球的半径.h表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x===∈-≤≤R,则()A B C=【B】(A ){2} (B ){1,2,4}(C ){1,2,4,6}(D ){|15}x x ∈-≤≤R(2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为【D 】 (A )23 (B )1(C )32 (D )3(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为【C 】(A )0 (B )1(C )2(D )3(4)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的【A 】(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为【B 】(A )22144x y -= (B )22188x y -=(C )22148x y -=(D )22184x y -=(6)已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为【C 】(A )a b c << (B )c b a <<(C )b a c <<(D )b c a << (7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5(28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则【A 】(A )23ω=,12ϕπ=(B )23ω=,12ϕ11π=-(C )13ω=,24ϕ11π=-(D )13ω=,24ϕ7π=(8)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是【A 】(A )47[,2]16-(B )4739[,]1616-(C)[-(D)39[16-第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017年高考真题——数学(理)(天津卷) 含答案

2017年高考真题——数学(理)(天津卷) 含答案

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:·如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么 P (A ∪B )=P (A )+P (B ). P (AB )=P (A ) P (B ). ·棱柱的体积公式V =Sh .·球的体积公式343V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积,其中R 表示球的半径.h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =(A ){2} (B ){1,2,4}(C ){1,2,4,6}(D ){|15}x x ∈-≤≤R(2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为(A )23 (B )1(C )32(D )3 (3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为(A )0 (B )1(C )2(D )3 (4)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )既不充分也不必要条件(5)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F,离心率为.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为(A )22144x y -= (B )22188x y -=(C )22148x y -=(D )22184x y -=(6)已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为(A )a b c << (B )c b a << (C )b a c << (D )b c a <<(7)设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5()28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则 (A )23ω=,12ϕπ= (B )23ω=,12ϕ11π=- (C )13ω=,24ϕ11π=-(D )13ω=,24ϕ7π=(8)已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立,则a 的取值范围是 (A )47[,2]16-(B )4739[,]1616-(C)[- (D)39[]16- 第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2017高考数学天津卷理(附参考答案及详解)

2017高考数学天津卷理(附参考答案及详解)

第卷
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2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年高考数学天津卷(理科)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1、设集合A ={1,2,6},B ={2,4},C ={51≤≤-∈x R x },则=C B A )(( ) A 、{2} B 、{1,2,4} C 、{1,2,4,5} D 、{51≤≤-∈x R x }2、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≥-+≥+302202y x y x y x ,则目标函数y x z +=的最大值为( )A 、32B 、1C 、23 D 、3 3、阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为( )A 、0B 、1C 、2D 、34、设R ∈θ,则“1212ππθ<-”是“21sin <θ”的( ) A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、已知双曲线12222=-by a x (0>a ,0>b )的左焦点为F ,离心率为2,若经过F 和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为( )A 、14422=-y xB 、18822=-y xC 、18422=-y xD 、14822=-y x 6、已知奇函数)(x f 在R 上是增函数,)()(x xf x g =,若)1.5log (2-=g a ,)2(8.0g b =,)3(g c =,则a 、b 、c 的大小关系为( )A 、c b a <<B 、a b c <<C 、c a b <<D 、a c b <<7、设函数)sin(2)(ϕω+=x x f ,R x ∈,其中0>ω,πϕ<,若2)85(=πf ,0)811(=πf ,且)(x f 的最小正周期大于π2,则( )A 、2=ω,πϕ= B 、2=ω,11πϕ-=C 、31=ω,2411πϕ-=D 、31=ω,247πϕ= 8、已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+-=1213)(2x x x x x x x f ,,,设R a ∈,若关于x 的不等式a x x f +≥2)(在R 上恒成立,则a 的取值范围是( )A 、[1647-,2]B 、[1647-,1639]C 、[-32,2]D 、[-32,1639] 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分) 9、已知R a ∈,i 为虚数单位,若i i a +-2为实数,则a 的值为 10、已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为11、在极坐标系中,直线01)6cos(4=+-πθρ与圆θρsin 2=的公共点的个数为12、若a 、R b ∈,0>ab ,则abb a 1444++的最小值为 13、在ABC ∆中,︒=∠60A ,3=AB ,2=AC ,若DC BD 2=,AB AC AE -=λ(R ∈λ),且4-=⋅AE AD ,则λ的值为14、用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共 个。

2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1 C.D.33.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0 B.1 C.2 D.34.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=16.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f ()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f (x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为.14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.18.(13分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N+),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和(n∈N+).19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.2017年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.【解答】解:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选:B.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1 C.D.3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3.故选:D.【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用.3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,输出N=2,故选:C【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.【解答】解:|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,则(0,)⊂[﹣+2kπ,+2kπ],k∈Z,可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题.5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1【分析】由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x,根据直线的斜率公式,即可求得c的值,求得a和b的值,即可求得双曲线方程.【解答】解:设双曲线的左焦点F(﹣c,0),离心率e==,c=a,则双曲线为等轴双曲线,即a=b,双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,则经过F和P(0,4)两点的直线的斜率k==,则=1,c=4,则a=b=2,∴双曲线的标准方程:;故选B.【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题.6.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a【分析】由奇函数f(x)在R上是增函数,则g(x)=xf(x)偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,即可求得b<a<c【解答】解:奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0,f(x)>f(0)=0,且f′(x)>0,∴g(x)=xf(x),则g′(x)=f(x)+xf′(x)>0,∴g(x)在(0,+∞)单调递增,且g(x)=xf(x)偶函数,∴a=g(﹣log25.1)=g(log25.1),则2<﹣log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在(0,+∞)单调递增,则g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c,故选C.【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题.7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<x.若f ()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=【分析】由题意求得,再由周期公式求得ω,最后由若f()=2求得φ值.【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2π,得,又f()=2,f()=0,得,∴T=3π,则,即.∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),由f()=,得sin(φ+)=1.∴φ+=,k∈Z.取k=0,得φ=<π.∴,φ=.故选:A.【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f (x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,则﹣≤a≤①当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣(x+)≤+a≤x+,即有﹣(x+)≤a≤+,由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.则﹣2≤a≤2②由①②可得,﹣≤a≤2.故选:A.【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为﹣2 .【分析】运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.【解答】解:a∈R,i为虚数单位,===﹣i由为实数,可得﹣=0,解得a=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6a2=18,则a2=3,即a=,∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,即a=2R,即R=,则球的体积V=π•()3=;故答案为:.【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 .【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.【解答】解:直线4ρcos(θ﹣)+1=0展开为:4ρ+1=0,化为:2x+2y+1=0.圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.∴圆心C(0,1)到直线的距离d==<1=R.∴直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2.故答案为:2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 .【分析】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.【解答】解:a,b∈R,ab>0,∴≥==4ab+≥2=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4.故答案为:4.【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为.【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.【解答】解:如图所示,△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,∴=+=+=+(﹣)=+,又=λ﹣(λ∈R),∴=(+)•(λ﹣)=(λ﹣)•﹣+λ=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,∴λ=1,解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有1080 个.(用数字作答)【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数;②、四位数中只有一个偶数数字,在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C53•C41=40种取法,将取出的4个数字全排列,有A44=24种顺序,则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数;则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个;故答案为:1080.【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC中,∵a>b,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有=13,∴b=.由正弦定理,得sinA=.∴b=,sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1﹣2sin2A=﹣.故sin(2A+)==.【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题.16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【分析】(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,写出它的分布列,计算数学期望值;(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.【解答】解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=,P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=,P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=,P(X=3)=××=;所以,随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)=×+×=;所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题.17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【分析】(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值;(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,∵M为AD中点,∴MF∥BD,∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.∵N为BC中点,∴NF∥AC,又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.又MF∩NF=F.∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵PA=AC=4,AB=2,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2),则,,设平面MEN的一个法向量为,由,得,取z=2,得.由图可得平面CME的一个法向量为.∴cos<>=.∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为,则正弦值为;(Ⅲ)解:设AH=t,则H(0,0,t),,.∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为,∴|cos<>|=||=||=.解得:t=4.∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.18.(13分)已知{a n}为等差数列,前n项和为S n(n∈N+),{b n}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4﹣2a1,S11=11b4.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)求数列{a2n b2n﹣1}的前n项和(n∈N+).【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(I)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q+q2﹣6=0.又因为q>0,解得q=2.所以,b n=2n.由b3=a4﹣2a1,可得3d﹣a1=8①.由S11=11b4,可得a1+5d=16②,联立①②,解得a1=1,d=3,由此可得a n=3n﹣2.所以,数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2,数列{b n}的通项公式为b n=2n.(II)设数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为T n,由a2n=6n﹣2,b2n﹣1=4n,有a2n b2n﹣1=(3n﹣1)4n,故T n=2×4+5×42+8×43+…+(3n﹣1)4n,4T n=2×42+5×43+8×44+…+(3n﹣1)4n+1,上述两式相减,得﹣3T n=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣(3n﹣1)4n+1==﹣(3n﹣2)4n+1﹣8得T n=.所以,数列{a2n b2n﹣1}的前n项和为.【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力.19.(14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.【解答】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.∴B(,).∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D(,0).∴|AD|=1﹣=.又∵△APD的面积为,∴×=,整理得3m2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±.∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0,或3x﹣y﹣3=0.【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.20.(14分)设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),推出h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),求出导函数H′1(x)利用(Ⅰ)知,推出h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h (x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,当m∈(x0,2]时,通过h(x)的零点.转化推出|﹣x0|=≥=.推出|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.然后推出结果.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,﹣1)(﹣1,)(,+∞)g′(x)+﹣+g(x)↗↘↗所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m ﹣x0)﹣f(m),h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g′(x0)﹣g (x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.所以,h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),于是|﹣x0|=≥=.因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目.参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;qiss;maths;双曲线;铭灏2016;沂蒙松;742048;danbo7801(排名不分先后)菁优网2017年6月9日。

2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年天津市高考数学试卷(理科)

2017年天津市高考数学试卷(理科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1 C.D.33.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0 B.1 C.2 D.34.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=16.(5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(﹣log5.1),2b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为.13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为.14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sinB=.(Ⅰ)求b和sinA的值;(Ⅱ)求sin(2A+)的值.16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.18.(13分)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N +),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4﹣2a 1,S 11=11b 4. (Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和(n ∈N +). 19.(14分)设椭圆+=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为. (I )求椭圆的方程和抛物线的方程;(II )设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若△APD 的面积为,求直线AP 的方程.20.(14分)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数f (x )=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g (x )为f (x )的导函数. (Ⅰ)求g (x )的单调区间;(Ⅱ)设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ),求证:h (m )h (x 0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p ,q ,且∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|﹣x 0|≥.2017年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(5分)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|﹣1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,5} D.{x∈R|﹣1≤x≤5}【分析】由并集概念求得A∪B,再由交集概念得答案.【解答】解:∵A={1,2,6},B={2,4},∴A∪B={1,2,4,6},又C={x∈R|﹣1≤x≤5},∴(A∪B)∩C={1,2,4}.故选:B.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,是基础题.2.(5分)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值为()A.B.1 C.D.3【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.【解答】解:变量x,y满足约束条件的可行域如图:目标函数z=x+y结果可行域的A点时,目标函数取得最大值,由可得A(0,3),目标函数z=x+y的最大值为:3.故选:D.【点评】本题考查线性规划的简单应用,考查计算能力以及数形结合思想的应用.3.(5分)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0 B.1 C.2 D.3【分析】根据程序框图,进行模拟计算即可.【解答】解:第一次N=24,能被3整除,N=≤3不成立,第二次N=8,8不能被3整除,N=8﹣1=7,N=7≤3不成立,第三次N=7,不能被3整除,N=7﹣1=6,N==2≤3成立,输出N=2,故选:C.【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟计算是解决本题的关键.4.(5分)设θ∈R,则“|θ﹣|<”是“sinθ<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质,化简两已知不等式,结合充分必要条件的定义,即可得到结论.【解答】解:|θ﹣|<⇔﹣<θ﹣<⇔0<θ<,sinθ<⇔﹣+2kπ<θ<+2kπ,k∈Z,则(0,)⊊(﹣+2kπ,+2kπ),k∈Z,可得“|θ﹣|<”是“sinθ<”的充分不必要条件.故选:A.【点评】本题考查充分必要条件的判断,同时考查正弦函数的图象和性质,运用定义法和正确解不等式是解题的关键,属于基础题.5.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1 B.=1 C.=1 D.=1【分析】由双曲线的离心率为,则双曲线为等轴双曲线,即渐近线方程为y=±x ,根据直线的斜率公式,即可求得c 的值,求得a 和b 的值,即可求得双曲线方程.【解答】解:设双曲线的左焦点F (﹣c ,0),离心率e==,c=a ,则双曲线为等轴双曲线,即a=b , 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x , 则经过F 和P (0,4)两点的直线的斜率k==,则=1,c=4,则a=b=2,∴双曲线的标准方程:;故选:B .【点评】本题考查双曲线的简单几何性质,等轴双曲线的应用,属于中档题.6.(5分)已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (﹣log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A .a <b <c B .c <b <a C .b <a <c D .b <c <a【分析】由奇函数f (x )在R 上是增函数,则g (x )=xf (x )偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则a=g (﹣log 25.1)=g (log 25.1),则2<log 25.1<3,1<20.8<2,即可求得b <a <c【解答】解:奇函数f (x )在R 上是增函数,当x >0,f (x )>f (0)=0,且f′(x )>0,∴g (x )=xf (x ),则g′(x )=f (x )+xf′(x )>0, ∴g (x )在(0,+∞)单调递增,且g (x )=xf (x )偶函数, ∴a=g (﹣log 25.1)=g (log 25.1), 则2<log 25.1<3,1<20.8<2,由g (x )在(0,+∞)单调递增,则g (20.8)<g (log 25.1)<g (3),∴b<a<c,故选:C.【点评】本题考查函数奇偶性,考查函数单调性的应用,考查转化思想,属于基础题.7.(5分)设函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f()=2,f()=0,且f(x)的最小正周期大于2π,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=﹣C.ω=,φ=﹣D.ω=,φ=【分析】由题意求得,再由周期公式求得ω,最后由若f()=2求得φ值.【解答】解:由f(x)的最小正周期大于2π,得,又f()=2,f()=0,得,∴T=3π,则,即.∴f(x)=2sin(ωx+φ)=2sin(x+φ),由f()=,得sin(φ+)=1.∴φ+=,k∈Z.取k=0,得φ=<π.∴,φ=.故选:A.【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的性质,是中档题.8.(5分)已知函数f(x)=,设a∈R,若关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,则a的取值范围是()A.[﹣,2] B.[﹣,] C.[﹣2,2] D.[﹣2,]【分析】讨论当x≤1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得﹣x2+x ﹣3≤a≤x2﹣x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的范围;讨论当x>1时,同样可得﹣(x+)≤a≤+,再由基本不等式可得最值,可得a的范围,求交集即可得到所求范围.【解答】解:当x≤1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3,即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3,由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最大值﹣;由y=x2﹣x+3的对称轴为x=<1,可得x=处取得最小值,则﹣≤a≤①当x>1时,关于x的不等式f(x)≥|+a|在R上恒成立,即为﹣(x+)≤+a≤x+,即有﹣(x+)≤a≤+,由y=﹣(x+)≤﹣2=﹣2(当且仅当x=>1)取得最大值﹣2;由y=x+≥2=2(当且仅当x=2>1)取得最小值2.则﹣2≤a≤2②由①②可得,﹣≤a≤2.另解:作出f(x)的图象和折线y=|+a|当x≤1时,y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1,由2x﹣1=﹣,可得x=,切点为(,)代入y=﹣﹣a,解得a=﹣;当x>1时,y=x+的导数为y′=1﹣,由1﹣=,可得x=2(﹣2舍去),切点为(2,3),代入y=+a,解得a=2.由图象平移可得,﹣≤a≤2.故选:A.【点评】本题考查分段函数的运用,不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论和分离参数法,以及转化思想的运用,分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键,属于中档题.二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为﹣2 .【分析】运用复数的除法法则,结合共轭复数,化简,再由复数为实数的条件:虚部为0,解方程即可得到所求值.【解答】解:a∈R,i为虚数单位,===﹣i由为实数,可得﹣=0,解得a=﹣2.故答案为:﹣2.【点评】本题考查复数的乘除运算,注意运用共轭复数,同时考查复数为实数的条件:虚部为0,考查运算能力,属于基础题.10.(5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为.【分析】根据正方体和球的关系,得到正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式进行计算即可.【解答】解:设正方体的棱长为a,∵这个正方体的表面积为18,∴6a2=18,则a2=3,即a=,∵一个正方体的所有顶点在一个球面上,∴正方体的体对角线等于球的直径,即a=2R,即R=,则球的体积V=π•()3=;故答案为:.【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系,利用正方体的体对角线等于直径,结合球的体积公式是解决本题的关键.11.(5分)在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为 2 .【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离d,与半径比较即可得出位置关系.【解答】解:直线4ρcos(θ﹣)+1=0展开为:4ρ+1=0,化为:2x+2y+1=0.圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ,化为直角坐标方程:x2+y2=2y,配方为:x2+(y﹣1)2=1.∴圆心C(0,1)到直线的距离d==<1=R.∴直线4ρcos(θ﹣)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2.故答案为:2.【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12.(5分)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为 4 .【分析】【方法一】两次利用基本不等式,即可求出最小值,需要注意不等式等号成立的条件是什么.【方法二】将拆成+,利用柯西不等式求出最小值.【解答】解:【解法一】a,b∈R,ab>0,∴≥==4ab+≥2=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4.【解法二】a,b∈R,ab>0,∴=+++≥4=4,当且仅当,即,即a=,b=或a=﹣,b=﹣时取“=”;∴上式的最小值为4.故答案为:4.【点评】本题考查了基本不等式的应用问题,是中档题.13.(5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为.【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.【解答】解:如图所示,△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,∴=+=+=+(﹣)=+,又=λ﹣(λ∈R),∴=(+)•(λ﹣)=(λ﹣)•﹣+λ=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,∴λ=1,解得λ=.故答案为:.【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.14.(5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有1080 个.(用数字作答)【分析】根据题意,要求四位数中至多有一个数字是偶数,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,②、四位数中只有一个偶数数字,分别求出每种情况下四位数的数目,由分类计数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:①、四位数中没有一个偶数数字,即在1、3、5、7、9种任选4个,组成一共四位数即可,有A 54=120种情况,即有120个没有一个偶数数字四位数; ②、四位数中只有一个偶数数字,在1、3、5、7、9种选出3个,在2、4、6、8中选出1个,有C 53•C 41=40种取法,将取出的4个数字全排列,有A 44=24种顺序, 则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数; 则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个; 故答案为:1080.【点评】本题考查排列、组合的综合应用,注意要分类讨论.三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a >b ,a=5,c=6,sinB=. (Ⅰ)求b 和sinA 的值; (Ⅱ)求sin (2A+)的值.【分析】(Ⅰ)由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB ,再由余弦定理求得b ,利用正弦定理求得sinA ;(Ⅱ)由同角三角函数基本关系式求得cosA ,再由倍角公式求得sin2A ,cos2A ,展开两角和的正弦得答案.【解答】解:(Ⅰ)在△ABC 中,∵a >b ,故由sinB=,可得cosB=.由已知及余弦定理,有=13,∴b=.由正弦定理,得sinA=.∴b=,sinA=;(Ⅱ)由(Ⅰ)及a<c,得cosA=,∴sin2A=2sinAcosA=,cos2A=1﹣2sin2A=﹣.故sin(2A+)==.【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查倍角公式的应用,是中档题.16.(13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为,,.(Ⅰ)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【分析】(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,求出对应的概率值,写出它的分布列,计算数学期望值;(Ⅱ)利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值.【解答】解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=,P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=,P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=,P(X=3)=××=;所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)=×+×=;所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为.【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题,是中档题.17.(13分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.(Ⅰ)求证:MN∥平面BDE;(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;(Ⅲ)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.【分析】(Ⅰ)取AB中点F,连接MF、NF,由已知可证MF∥平面BDE,NF ∥平面BDE.得到平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)由PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.可以A为原点,分别以AB、AC、AP 所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.求出平面MEN与平面CME的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值;(Ⅲ)设AH=t,则H(0,0,t),求出的坐标,结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长.【解答】(Ⅰ)证明:取AB中点F,连接MF、NF,∵M为AD中点,∴MF∥BD,∵BD⊂平面BDE,MF⊄平面BDE,∴MF∥平面BDE.∵N为BC中点,∴NF∥AC,又D、E分别为AP、PC的中点,∴DE∥AC,则NF∥DE.∵DE⊂平面BDE,NF⊄平面BDE,∴NF∥平面BDE.又MF∩NF=F.∴平面MFN∥平面BDE,则MN∥平面BDE;(Ⅱ)解:∵PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.∴以A为原点,分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.∵PA=AC=4,AB=2,∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,0),E(0,2,2), 则,,设平面MEN 的一个法向量为,由,得,取z=2,得. 由图可得平面CME 的一个法向量为.∴cos <>=. ∴二面角C ﹣EM ﹣N 的余弦值为,则正弦值为; (Ⅲ)解:设AH=t ,则H (0,0,t ),,.∵直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为,∴|cos <>|=||=||=.解得:t=或t=. ∴线段AH 的长为或.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.18.(13分)已知{a n }为等差数列,前n 项和为S n (n ∈N +),{b n }是首项为2的等比数列,且公比大于0,b 2+b 3=12,b 3=a 4﹣2a 1,S 11=11b 4.(Ⅰ)求{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)求数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和(n ∈N +).【分析】(Ⅰ)设出公差与公比,利用已知条件求出公差与公比,然后求解{a n }和{b n }的通项公式;(Ⅱ)化简数列的通项公式,利用错位相减法求解数列的和即可.【解答】解:(I )设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q . 由已知b 2+b 3=12,得b 1(q+q 2)=12,而b 1=2,所以q+q 2﹣6=0.又因为q >0,解得q=2.所以,b n =2n .由b 3=a 4﹣2a 1,可得3d ﹣a 1=8①.由S 11=11b 4,可得a 1+5d=16②,联立①②,解得a 1=1,d=3,由此可得a n =3n ﹣2.所以,数列{a n }的通项公式为a n =3n ﹣2,数列{b n }的通项公式为b n =2n . (II )设数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和为T n ,由a 2n =6n ﹣2,b 2n ﹣1=4n ,有a 2n b 2n ﹣1=(3n ﹣1)4n ,故T n =2×4+5×42+8×43+…+(3n ﹣1)4n ,4T n =2×42+5×43+8×44+…+(3n ﹣1)4n+1,上述两式相减,得﹣3T n =2×4+3×42+3×43+…+3×4n ﹣(3n ﹣1)4n+1==﹣(3n ﹣2)4n+1﹣8 得T n =.所以,数列{a 2n b 2n ﹣1}的前n 项和为. 【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用,数列求和的方法,考查计算能力.19.(14分)设椭圆+=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为.已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(II)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.【分析】(I)根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a,b,p即可得出方程;(II)设AP方程为x=my+1,联立方程组得出B,P,Q三点坐标,从而得出直线BQ的方程,解出D点坐标,根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案.【解答】(Ⅰ)解:设F的坐标为(﹣c,0).依题意可得,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2﹣c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(Ⅱ)解:直线l的方程为x=﹣1,设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),联立方程组,解得点P(﹣1,﹣),故Q(﹣1,).联立方程组,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=﹣.∴B(,).∴直线BQ的方程为(﹣)(x+1)﹣()(y﹣)=0,令y=0,解得x=,故D (,0). ∴|AD|=1﹣=.又∵△APD 的面积为,∴×=,整理得3m 2﹣2|m|+2=0,解得|m|=,∴m=±. ∴直线AP 的方程为3x+y ﹣3=0,或3x ﹣y ﹣3=0.【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质,直线与椭圆的位置关系,属于中档题.20.(14分)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数f (x )=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g (x )为f (x )的导函数.(Ⅰ)求g (x )的单调区间;(Ⅱ)设m ∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ),求证:h (m )h (x 0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数p ,q ,且∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|﹣x 0|≥.【分析】(Ⅰ)求出函数的导函数g (x )=f′(x )=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6,求出极值点,通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可.(Ⅱ)由h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ),推出h (m )=g (m )(m ﹣x 0)﹣f (m ),令函数H 1(x )=g (x )(x ﹣x 0)﹣f (x ),求出导函数H′1(x )利用(Ⅰ)知,推出h (m )h (x 0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p ,q ,且,令m=,函数h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ).由(Ⅱ)知,当m ∈[1,x 0)时,当m ∈(x 0,2]时,通过h (x )的零点.转化推出|﹣x 0|=≥=.推出|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1.然后推出结果.【解答】(Ⅰ)解:由f (x )=2x 4+3x 3﹣3x 2﹣6x+a ,可得g (x )=f′(x )=8x 3+9x 2﹣6x ﹣6,进而可得g′(x )=24x 2+18x ﹣6.令g′(x )=0,解得x=﹣1,或x=. 当x 变化时,g′(x ),g (x )的变化情况如下表: ,(所以,g (x )的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).(Ⅱ)证明:由h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ),得h (m )=g (m )(m ﹣x 0)﹣f (m ),h (x 0)=g (x 0)(m ﹣x 0)﹣f (m ).令函数H 1(x )=g (x )(x ﹣x 0)﹣f (x ),则H′1(x )=g′(x )(x ﹣x 0). 由(Ⅰ)知,当x ∈[1,2]时,g′(x )>0,故当x ∈[1,x 0)时,H′1(x )<0,H 1(x )单调递减;当x ∈(x 0,2]时,H′1(x )>0,H 1(x )单调递增.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 1(x )>H 1(x 0)=﹣f (x 0)=0,可得H 1(m )>0即h (m )>0,令函数H 2(x )=g (x 0)(x ﹣x 0)﹣f (x ),则H′2(x )=g (x 0)﹣g (x ).由(Ⅰ)知,g (x )在[1,2]上单调递增,故当x ∈[1,x 0)时,H′2(x )>0,H 2(x )单调递增;当x ∈(x 0,2]时,H′2(x )<0,H 2(x )单调递减.因此,当x ∈[1,x 0)∪(x 0,2]时,H 2(x )>H 2(x 0)=0,可得得H 2(m )<0即h (x 0)<0,.所以,h (m )h (x 0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p ,q ,且, 令m=,函数h (x )=g (x )(m ﹣x 0)﹣f (m ).由(Ⅱ)知,当m ∈[1,x 0)时,h (x )在区间(m ,x 0)内有零点; 当m ∈(x 0,2]时,h (x )在区间(x 0,m )内有零点.所以h (x )在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x 1,则h (x 1)=g (x 1)(﹣x 0)﹣f ()=0.由(Ⅰ)知g (x )在[1,2]上单调递增,故0<g (1)<g (x 1)<g (2),于是|﹣x 0|=≥=. 因为当x ∈[1,2]时,g (x )>0,故f (x )在[1,2]上单调递增,所以f (x )在区间[1,2]上除x 0外没有其他的零点,而≠x 0,故f ()≠0. 又因为p ,q ,a 均为整数,所以|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|是正整数, 从而|2p 4+3p 3q ﹣3p 2q 2﹣6pq 3+aq 4|≥1.所以|﹣x 0|≥.所以,只要取A=g (2),就有|﹣x 0|≥.【点评】本题考查函数的导数的综合应用,函数的单调性以及函数的最值的求法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,是难度比较大的题目.。

2017年高考理科数学试题(天津卷)

2017年高考理科数学试题(天津卷)

2017年普通高等学校招生统一考试(天津卷)数学(理工类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。

第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,6}A =,{2,4}B =,{|15}C x x =∈-R ≤≤,则()A B C =A .{2}B .{1,2,4}C .{1,2,4,6}D .{|15}x x ∈-R ≤≤2.设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +⎧⎪+-⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≤≤则目标函数z x y =+的最大值为A .23B .1C .32D .3 3.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为A .0B .1C .2D .34.设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ,.若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为A .22144x y -=B .22188x y -=C .22148x y -=D .22184x y -= 6.已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为A .a b c <<B .c b a <<C .b a c <<D .b c a <<7.设函数()2sin()f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,||ϕ<π.若5()28f π=,()08f 11π=,且()f x 的最小正周期大于2π,则A .23ω=,12ϕπ=B .23ω=,12ϕ11π=- C .13ω=,24ϕ11π=- D .13ω=,24ϕ7π= 8.已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+⎪=⎨+>⎪⎩≤设a ∈R ,若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立,则a 的取值范围是A .47[,2]16-B .4739[,]1616- C.[- D.39[]16- 第Ⅱ卷二. 填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a ∈R ,i 为虚数单位,若i 2ia -+为实数,则a 的值为 . 10.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 .11.在极坐标系中,直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____. 12.若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为___________. 13.在ABC △中,60A =︒∠,3AB =,2AC =.若2BD DC =,AE AC AB λ=-()λ∈R ,且4AD AE ⋅=-,则λ的值为___________.14.用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)三. 解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >,5a =,6c =,3sin 5B =. (Ⅰ)求b 和sin A 的值; (Ⅱ)求πsin(2)4A +的值.16.(本小题满分13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234. (Ⅰ)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望;(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.17.(本小题满分13分)如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,90BAC ∠=︒.点D ,E ,N 分别为棱PA ,PC ,BC 的中点,M 是线段AD 的中点,4PA AC ==,2AB =. (Ⅰ)求证:MN ∥平面BDE ;(Ⅱ)求二面角C EM N --的正弦值;(Ⅲ)已知点H 在棱PA 上,且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为21,求线段AH 的长.18.(本小题满分13分)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N .19.(本小题满分14分) 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,F 到抛物线的准线l 的距离为12. (Ⅰ)求椭圆的方程和抛物线的方程;(Ⅱ)设l 上两点P ,Q 关于x 轴对称,直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A ),直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △AP 的方程. 20.(本小题满分14分) 设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数.(Ⅰ)求()g x 的单调区间;(Ⅱ)设00[1,)(,2]m x x ∈,函数0()()()()h x g x m x f m =--,求证:0()()0h m h x <; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且00[1,)(,2],p x x q ∈满足041||p x q Aq-≥.。

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2017年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数学(理工类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题考上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:
·如果事件 A ,B 互斥,那么 ·如果事件 A ,B 相互独立,那么
P (A ∪B )=P (A )+P (B ). P (AB )=P (A ) P (B ).
·棱柱的体积公式V =Sh . ·球的体积公式
343
V R =π. 其中S 表示棱柱的底面面积, 其中R 表示球的半
径.
h 表示棱柱的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ,则()A B C =
(A ){2} (B ){1,2,4}(C ){1,2,4,6}(D ){|15}x x ∈-≤≤R
(2)设变量,x y 满足约束条件20,220,0,
3,
x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为
(A )23 (B )1(C )32
(D )3
(3)阅读右面的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为24,则输出N 的值为
(A )0 (B )1(C )2(D )3
(4)设θ∈R ,则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2
θ<”的 (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件(C )充要条件(D )。

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