(完整word版)重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关

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2021年九年级数学重庆中考26题几何综合专题(2)(无答案)

2021重庆年中考26题几何综合专题（2）1. （巴蜀2021级初三上第一次月考）如图1，在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，点E 在线段AD 上，点F 在线段AC 上，连接EF ，且EF//CD 。

（1）连接BE ，若AE=3，AB=BE 的长。

（2）将△AFE 绕A 点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接BF 、CF ，CF 交AE 边于点P ，延长BF 交AE 于M ，且M 为AE 的中点，求证：AE+BF=2AP（3）如图3，将△AEF 绕A 点沿逆时针方向旋转，连接CF ，N 为CF 的中点，连接BN 、AN，若5AB AF ,在旋转的过程中，当线段BN 的长最大时，请直接写出ACN BCNSS的值。

2（重庆一外2021级九上第一次月考）如图，在菱形ABCD中，其对角线AC、BD交于点O，以边CD为斜边构造Rt△CDE，连接OE；（1）如图一，若△CDE为等腰直角三角形，且∠ABC=60，OC=2，求OE的长；（2）如图一，若△CDE为等腰直角三角形，求证：（3）如图二，若菱形的边长为BD=6，OE的中点为H，连接BH，求BU的最大值.3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）在△ABC中，AC=BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥于点F，点D为AB的中点，连接DF，（1）如图1，如果∠ACB=90，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG=1.求线段BG 的长；（2）如图2，如果∠ACB=90且G在CB边上，求证，（3）如图3，如果∠ACB=90且G在CB的延长线上，∠BAG=15，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论。

4（重庆一中2021级九上第一次月考）如图所示，正方形ABCD和正方形AEFG共顶点A，正方形ABCD绕点A 顺时针方向旋转，连接DG,BE,BE与AC相交于点H.（1）如图1，在旋转过程中，当G ，A ，H ，C 恰好在同一直线上时，若，AB=1,求线段DG 的长; （2）如图2，连接HG ，阿紫旋转过程中，若∠DGH=2∠ABE ，求证：HG=HB ；（3）如图3，BE 与DG 相交于点O ，点K 为线段AG 上一点，连接OK ，若AE=3，AK=1，在旋转过程中，直接次写出线段OK 的最小值。

重庆市中考数学阅读理解题（专题二）含答案

学习必备欢迎下载重庆市2016中考数学阅读理解题（专题二）1、若x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx+c=0的两个实数根，且的两个实数根，且|x |x 1|+|x 2|=2|k||=2|k|（（k 是整数），则称方程x 2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x 2﹣6x 6x﹣﹣27=027=0，，x 2﹣2x 2x﹣﹣8=08=0，，，x 2+6x +6x﹣﹣27=027=0，，x 2+4x+4=0+4x+4=0，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x 2+x +x﹣﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b ，是否存在实数c ，使得关于x 的方程x 2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．2、阅读材料：若a ，b 都是非负实数，则a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．证明：∵（）2≥0，∴a﹣+b≥0．∴a+b≥．当且仅当a=b 时，“=”成立．举例应用：已知x ＞0，求函数y=2x+的最小值．解：解：y=2x+y=2x+≥=4=4．当且仅当．当且仅当2x=，即x=1时，“=”成立．当x=1时，函数取得最小值，时，函数取得最小值，y y 最小=4=4．．问题解决：汽车的经济时速是指汽车最省油的行驶速度．某种汽车在每小时7070～～110公里之间行驶时（含70公里和110公里），每公里耗油（+）升．若该汽车以每小时x 公里的速度匀速行驶，1小时的耗油量为y 升．（1）求y 关于x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）；（2）求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量（结果保留小数点后一位）．3、在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”“梦之点”，例如点（1,11,1）），（-2-2，，-2-2）），22（，），…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个。

重庆中考数学新题型阅读理解型问题

阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视..这类问题一般文字叙述较长，问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题. . 二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. . 三、中考考点类型精讲代数类1．在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P x y 经过变换t 得到点(,)P x y ¢¢¢，该变换记作),(),(y x y x ¢¢=t ，其中îíì-=¢+=¢by ax y by ax x ,(,a b 为常数)．例如，当1a =，且1b =时，)5,1()3,2(-=-t ．(1) (1) 当当1a =，且2b =-时，(0,1)t = = ；； (2) (2) 若若(1,2)(0,2)t =-，则a = = ，，b = = ；；(3) (3) 设点设点(,)P x y 是直线2y x =上的任意一点，点P 经过变换t 得到点(,)P x y ¢¢¢．若点P 与点¢P 重合，求a 和b 的值．的值．2、一动点沿着数轴向右平移5个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移3个单位．用实数加法表示为实数加法表示为 5+ 5+ 5+（（2-）=3=3．．若平面直角坐标系xOy 中的点作如下平移：沿x 轴方向平移的数量为a （向右为正，向左为负，平移a 个单位），沿y 轴方向平移的数量为b （向上为正，向下为负，平移b 个单位），则把有序数对个单位），则把有序数对{{a ，b }叫做这一平移的“平移量”．规定“平移量”{a ，b }与“平移量”{c ，d }的加法运算法则为}{}{}{d b c a d c b a ++=+，，，．（1）计算：）计算：{3{3{3，，1}+{11}+{1，，2}2}；；（2）若一动点从点A （1，1）出发，先按照“平移量”{2，）出发，先按照“平移量”{2，1}1}1}平移到点平移到点B ，再按照“平移量”量”{－1，2}2}平移到点平移到点C ；最后按照“平移量”{－；最后按照“平移量”{－22，－，－1}1}1}平移到点平移到点D ，在图中画出四边形ABCD ，并直接写出点D 的坐标；的坐标；（3）将（）将（22）中的四边形ABCD 以点A 为中心，顺时针旋转90°，点B 旋转到点E ，连结AE 、BE 若动点P 从点A 出发，沿△AEB 的三边AE 、EB 、BA 平移一周．平移一周．请用“平移量”加法算式表示动点P 的平移过程．yxO 112. 2. （（03青岛）九年义务教育三年制初级中学教科书《代数》第三册第52页的例2是这样的：“解方程05624=+-x x ”．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设2x ＝y ，那么4x ＝2y ，于是原方程可变为0562=+-y y ……①，解这个方程得：得：y y 1＝1，y 2＝5．当y ＝1时，2x ＝1，∴，∴ x x x＝土＝土1；当；当 y y y＝＝5时，2x ＝5，∴，∴ x x x＝土＝土5。

中考数学重庆往年重点题型专题突破专题九几何计算、证明及探究综合型问题

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(完整word版)重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(一)

中考专题训练九阅读理解题型问题一、“新概念新方法”型阅读理解例题1.在因式分解中, 把多项式中某些部分看作一个整体, 用一个新的字母代替（即换元）, 不仅可以简化要分解的多项式的结构, 而且能使式子的特点更加明显, 便于观察处如何进行因式分解, 这种方法就是换元法.例如: 分解因式时, 可以先将原式中的、分别计算, 得:, , 观察后设, 则原式222222(2)2()(66)A x A x A Ax x A x x x又如: 分解因式时, 考虑到系数的对称性, 如果提取中间项的字母及指数后, 就可以使用换元法, 具体过程如下:4322222221241141217124(41217)[4()12()17]x x x x x x x x x x x x x x令, 则原式,（1）请参照阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解:（2）22(53)(57)4a a a a （3）22(1)(34)(4)x x x x x（4）4324241x x x x例题2.阅读下列材料, 解决教材后的问题:材料一: 我们知道对于x 轴上的任意两点,有, 而对于平面直角坐标系中的任意两点, ,我们把称为两点间的直角距离, 记作, , 及121212(,)=+d P P x x y y --.材料二: 对非负实数“四舍五入”到个位的值记为, 及当为非负数时, 若, 则,(1) 如: ,…①已知点为坐标原点, 动点满足=4,则(2) ②如果, 则实数的取值范围为若为满足的最大值, 求点到直线的最小直角距离.练习：对于一元二次方程解的范围, 我们可以用如下的方法进行估计:当时, ,当时, ,所以方程有一个根在5和2之间.（1）参照上面的方法, 找到方程的另外一个根在哪两个连续的整数之间；若方程有一个根在0和1之间, 求的取值范围.表示n 变形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点）, 如果这些交点都不重合, 那么与n 的关系式为:（1）（其中是常数, ）（2）通过画图, 可得四边形时, （填数字）；五边形时, （填数字）若, 求的值.若关于x 的一元二次方程有两个实数根, 且两根满足:①若一个是实数根比另一个实数根大1, 则我们称该方程为“邻根方程”；（1）②若一个是实数根是另一个实数根的整数倍, 则我们称该方程为“倍根方程”；（2）请写出一个一元二次方程, 改方程的二次项系数是“1”, 且方程既是“邻根方程”又是“倍根方程”；若关于x 的“邻根方程”（且均为正整数）较小的一个实数根为t, 且关于x 的方程是“倍根方程”, 求.进制也就是进位制, 是人们规定的一种进位方法, 对于任何一种进制——进制, 就表示某一位置上的数运算时是逢进一位, 十进制就是逢十进一, 十六进制就是逢十六进一, 二进制就是逢二进一, 以此类推, 进制就是逢进位, 为与十进制进行区分, 我们常把进制表示的数写成.类比于十进制, 我们可以知道：进制表示的数中, 右起第一位上的1表示, 第二位上的1表示, 第三位上的1表示, 第四位上的1表示, 。

重庆中考25题几何综合专题

几何综合专题复习（二）例1、现有两个具有一个公共顶点的等腰直角三角形△ADE和△ABC，其中∠ACB和∠AED=90°，且AC=BC，AE=DE，CF⊥AB于F，M为线段BD中点，连接CM，EM.（1）如图1，当A、B、D在同一条直线上时，若AC=1，AE=2，求FM的长度；（2）如图1，当A、B、D在同一条直线上时，求证：CM=EM；（3）如图2，当A、B、D不在同一条直线上时，请探究CM，EM的数量关系和位置关系，请先给出结论，然后证明。

例1、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上一点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连结BE，点G是BE的中点，连结AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，已知AC=，CD=2，求AG的长度；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，AG与DG有怎样的位置和数量关系，并证明；（3）当∠BAC=∠DCF=α时，试探究AG与DG的位置和数量关系（数量关系用含α的式子表达）．例3、在ABC △中，AB AC =，D 为射线BC 上一点，DB DA =，E 为射线AD 上一点，且AE CD =，连接BE ．（1）如图1，若120ADB ∠=︒，AC =DE 的长；（2）如图2，若2BE CD =，连接CE 并延长，交AB 于点F ，求证：2CE EF =；（3）如图3，若BE AD ⊥，垂足为点E ，直接写出AE 、BE 、AD 三者之间的关系．例4、已知：在△ABC 中，∠BAC=60°．（1）如图1，若AB=AC ，点P 在△ABC 内，且PB=5，PA=3，PC=4．直接写出∠APC 的度数（2）如图2，若AB=AC ，点P 在△ABC 外，且PA=3，PB=5，PC=4，求∠APC 的度数；（3）如图3，若AB=2AC ，点P 在△ABC 内，且PA=，PB=5，∠APC=120°，直接写出PC 的长．BCEA图3图2BCE FA图1B CDEA例5、如图1，以△ABC 中的AB和AC为斜边，分别向△ABC的外侧作等腰直角三角形△ADB和等腰直角△AEC，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F,连接FM．（1）如图1，若MF=3，求AC的长；（2）如图1，求证：MD=ME；（3）如图2，在△ABC中，仍分别以AB和AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC的中点，连接MD和ME，过点D作DF⊥AB于F,连接FM，猜想：△MDE是否是等腰直角三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．例6、等腰Rt ABC∠=︒，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过B作ABC∆中，90⊥交CF于G，交AC于H，延长BH到点E，连结AE.BH CF(1)当90∠=︒，AE=1，F为AB的三等分点时，求HB的长；EAB(2)当45∠=︒时，求证：EG=CG；E(3)在AB上取点K，使AK=BF连结HK并延长与CF的延长线交于点P，若G为CP的中点，请直接写出AH、BH与CP间的数量关系.例7、在ABC∆中，AB=AC，AD是BC边上的中线，点E是AC边上一点，且AE=13 AC，连接BE.（1）如图1，连接DE，若∠ABC=60°，AC=12，求DE的长（2）如图2，若点F是BE的中点，连接AF并延长交BC于点G，求证：DC=2BG （3）如图3，若∠BAC=90°，过点A作AN⊥BE交BE于点M，连接DM，请直接写出DM与AB的数量关系。

重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(二)几何相关

中考专题训练九阅读理解题型问题（二）二、综合型阅读理解例3.对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和线段AB ，其中(,0)A t 、(2,0)B t +两点，给出如下定义：若在线段AB 上存在一点Q ，使得P ，Q 两点间的距离不大于1，则称P 为线段AB 的“环绕点”．（1）当3t =-时，①在点1(0,1)M ，2(0,0)M ，3(2,1)M --中，线段AB 的伴随点是；②在直线2y x b =+上存在线段AB “环绕点”M 、N ，且MN =，求b 的取值范围；（2）线段AB 的中点关于点(2,0)的对称点是C ，将射线CO 以点C 为中心，顺时针旋转30︒得到射线l ，若射线l 上存在线段AB 的“环绕点”，直接写出t 的取值范围．例4.“构造图形解题”，它的应用十分广泛，特别是有些技巧性很强的题目，如果不能发现题目中所隐含的几何意义，而用通常的代数方法去思考，经常让我们手足无措，难以下手，这时，如果能转换思维，发现题目中隐含的几何条件，通过构造适合的几何图形，将会得到事半功倍的效果，下面介绍两则实例：实例一：1876年，美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理：由ABC ADE ABE ABCD S S S S ∆∆∆=++四边形得：22111()2222a b ab c +=⨯+，化简得：222a b c +=．实例二：欧几里得的《几何原本》记载，关于x 的方程22x ax b +=的图解法是：画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，2a BC =，||ACb =，再在斜边AB 上截取2aBD =，则AD 的长就是该方程的一个正根（如实例二图）．请根据以上阅读材料回答下面的问题：（1）①如果,αβ都为锐角，且11tan ,tan 23αβ==，结合条件作出图1，则由图1可得αβ+= 。

（2）②如果,αβ都为锐角，且3tan 4,tan 5αβ==，则可在图2的正方形网络中，利用已作出的锐角α，画出=MON αβ∠-，由此可得αβ-= 。

《几何综合探究问题》(共48题)中考专项配套练习(重庆专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（重庆专用）专题13 几何综合探究问题（共48题）一．解析题（共10小题）1．（2020•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE．点F是DE的中点，连接CF．（1）求证：CF=√22AD；（2）如图2所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG 与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；（3）在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使P A+PB+PC的值最小．当P A+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．2．（2020•重庆）△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2√3．以AE 为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．（1）如图1，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG的长；（2）如图2，将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．当30°＜α＜120°时，猜想∠DNM的大小是否为定值，并证明你的结论；（3）连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，请直接写出△ADN的面五年中考真题积．3．（2019•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，EM⊥AE，垂足为E，交CD 于点M，AF⊥BC，垂足为F，BH⊥AE，垂足为H，交AF于点N，点P是AD上一点，连接CP．（1）若DP＝2AP＝4，CP=√17，CD＝5，求△ACD的面积．（2）若AE＝BN，AN＝CE，求证：AD=√2CM+2CE．4．（2019•重庆）在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E．（1）如图1，若∠D＝30°，AB=√6，求△ABE的面积；（2）如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB＝AF．求证：ED﹣AG＝FC．5．（2018•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；（2）若∠ACB＝45°，求证：DF=√2CG．6．（2018•重庆）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝45°，点E在对角线AC上，BE＝BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G．点H在BC的延长线上，且CH＝AG，连接EH．（1）若BC＝12√2，AB＝13，求AF的长；（2）求证：EB＝EH．7．（2017•重庆）在△ABM中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．（1）如图1，若AB＝3√2，BC＝5，求AC的长；（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF．8．（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB＝4√2，BE＝5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF＝DF时，求证：DC＝BC．9．（2016•重庆）在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE＝AF，连接EG，DG，且GE＝DF．（1）若AB ＝2√2，求BC 的长；（2）如图1，当点G 在AC 上时，求证：BD =12CG ；（3）如图2，当点G 在AC 的垂直平分线上时，直接写出ABCG 的值．10．（2016•重庆）已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，CD =12BC ，DE ⊥CE ，DE ＝CE ，连接AE ，点M 是AE 的中点．（1）如图1，若点D 在BC 边上，连接CM ，当AB ＝4时，求CM 的长；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，NE ，求证：MN ⊥AE ；（3）如图3，将图2中的△CDE 绕点C 逆时针旋转，使∠BCD ＝30°，连接BD ，点N 是BD 中点，连接MN ，探索MNAC 的值并直接写出结果．一．解答题（共38小题）1．（2020•渝中区校级二模）如图，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，点D 为AB 的中点，连接CD ；点E 为CD 的中点，EF ＝EG ＝EC ，且∠FEG ＝90°；点O 为CB 的中点，直线GO 与直线CF 交于点N ．（1）如图1，若∠FCD ＝30°，OC =√2，求CF 的长；（2）连接BG 并延长至点M ，使BG ＝MG ，连接CM ．①如图2，若NG ⊥MB ，求证：AB =√10CM ；②如图3，当点G 、F 、B 共线时，BM 交AC 于点H ，AH =14AC ，请直接写出FCMH 的值．一年模拟新题2．（2020•渝中区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于点D，E为线段CD上一点（不含端点），连接AE，设F为AE的中点，作CG⊥CF交直线AB于点G．（1）猜想：线段AG、BC、EC之间有何等量关系？并加以证明；（2）如果将题设中的条件“E为线段CD上一点（不含端点）”改变为“E为直线CD上任意一点”，试探究发现线段AG、BC、EC之间有怎样的等量关系，请直接写出你的结论，不用证明．3．（2020•沙坪坝区校级一模）在△ABC中，AE⊥CD且AE＝CD，∠CAE+2∠BAE＝90°．（1）如图1，若△ACE为等边三角形，CD＝2√3，求AB的长；（2）如图2，作EG⊥AB，求证：AD=√2BE；（3）如图3，作EG⊥AB，当点D与点G重合时，连接BF，请直接写出BF与EC之间的数量关系．4．（2020•南岸区模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，AD⊥BC于点D．点G是射线AD上一点．（1）若GE⊥GF，点E，F分别在AB，AC上，当点G与点D重合时，如图①所示，容易证明AE+AF=√2AD．当点G在线段AD外时，如图②所示，点E与点B重合，猜想并证明AE，AF与AG存在的数量关系．（2）当点G在线段AD上时，AG+BG+CG的值是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．5．（2020•南岸区校级模拟）△ABC与△ADE都是等边三角形，DE与AC交于点P，点P恰为DE的中点，延长AD交BC于点F，连结BD、CD，取CD的中点Q，连结PQ．求证：PQ=12BD．（1）如图1，理清思路，完成解答：本题证明的思路可以用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）如图2，特殊位置，求线段长：若点P为AC的中点，连接PF，已知PQ=√3，求PF的长．（3）知识迁移，探索新知：若点P是线段AC上任意一点，直接写出PF与CD的数量关系．6．（2020•九龙坡区校级模拟）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F 在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．7．（2019•渝中区校级一模）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE＝90°，点F为BE中点，连结DF，CF．（1）如图1，点D在AC上，请你判断此时线段DF，CF的关系，并证明你的判断；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时，若AD＝DE＝2，AB＝6，求此时线段CF的长．8．（2019•重庆模拟）一节数学课后，老师布置了一道课后练习：△ABC是等边三角形，点D是线段BC上的点，点E为△ABC的外角平分线上一点，且∠ADE＝60°，如图①，当点D是线段BC上（除B，C 外）任意一点时，求证：AD＝DE（1）理清思路，完成解答本题证明思路可以用下列框图表：根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程；（2）特殊位置，计算求解当点D为BC的中点时，等边△ABC的边长为6，求出DE的长；（3）知识迁移，探索新知当点D在线段BC的延长线上，且满足CD＝BC时，若AB＝2，请直接写出△ADE的面积（不必写解答过程）9．（2020•南岸区校级模拟）如图1，直角三角形△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，∠A＝60°，O为BC中点，将△ABC 绕O 点旋转180°得到△DCB ．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A →B →D 的路线匀速运动，过点P 作直线PM ⊥AC 交折线段A ﹣C ﹣D 于M ．（1）如图2，当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →D 的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN ∥PM 交折线段A ﹣C ﹣D 于N ，设点Q 的运动时间为t 秒，（0＜t ＜10）直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）如图3，当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B →C →D 的路线运动，且在BC 上以每秒√32的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀速运动，是否存在这样的P 、R ．使△BPR 为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由．10．（2019秋•沙坪坝区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，连接AC ，动点P 从A 点出发沿射线AB 方向运动，同时动点Q 从B 点出发以与P 点相同的速度沿射线BC 方向运动，连接AQ ，CP ，直线AQ 与直线CP 交于点H ．（1）如图1，当P ，Q 两点分别在线段AB 和线段BC 上时，直接写出∠CHQ 的度数；（2）如图2，当P ，Q 两点分别运动到线段AB 和线段BC 的延长线上时，试问（1）问中的结论是否成立：若成立请说明理由，若不成立，请求出∠CHQ 的度数；（3）如图3，在（2）问的前提下，连接DH ，过点D 作DE ⊥PH 交PH 延长线于点E ．求证：AH ﹣CE =12DH ．11．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点E ，点F 分别在线段OB ，线段AB 上，且AF ＝OE ，连接AE 交OF 于G ，连接DG 交AO 于H ．（1）如图1，若点E为线段BO中点，AE=√5，求BF的长；（2）如图2，若AE平分∠BAC，求证：FG＝HG；（3）如图3，点E在线段BO（含端点）上运动，连接HE，当线段HE长度取得最大值时，直接写出cos ∠HDO的值．12．（2020•沙坪坝区自主招生）在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，∠BAC＝90°，点E是对角线AC上的点，连结BE．（1）如图1．若AB＝AE，BF＝3，求BE的长；（2）如图2，若AB＝AE，点G是BE的中点，∠F AG＝∠BFG，求证：AB=√10FG；（3）如图3，以点E为直角顶点，在BE的右下方作等腰直角△BEM，若点E从点A出发，沿AC运动到点C停止，设在点E运动过程中，BM的中点N经过的路径长为m，AC的长为n，请直接写出nm的值．13．（2020•巴南区自主招生）已知，在矩形ABCD中，AB＝2，点E在边BC上，且AE⊥DE，AE＝DE，点F是BC的延长线上一点，AF与DE相交于点G，DH⊥AF，垂足为H，DH的延长线与BC相交于点K．（1）如图1，求AD的长；（2）如图2，连接KG，求证：AG＝DK+KG；（3）如图3，设△ADM与△ADH关于AD对称，点N、Q分别是MA、MD的中点，请直接写出BN+NQ 的最大值．14．（2020•南岸区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC上一点，连接AE，过点E作EM ⊥AE，交对角线AC于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，连接NE．（1）求证：AE=√2NE+ME；（2）如图2，延长EM至点F，使EF＝EA，连接AF，过点F作FH⊥DC，垂足为H．猜想CH与FH存在的数量关系，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，若点G是AF的中点，连接GH．当GH＝CH时，直接写出GH与AC之间存在的数量关系．15．（2020•北碚区自主招生）如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E为线段BO上一点，连接CE，将CE绕点C顺时针旋转90°得到CF，连接EF交CD于点G．（1）若AB＝4，BE=√2，求△CEF的面积．（2）如图2，线段FE的延长线交AB于点H，过点F作FM⊥CD于点M，求证：BH+MG=√22BE；（3）如图3，点E为射线OD上一点，线段FE的延长线交直线CD于点G，交直线AB于点H，过点F 作FM垂直直线CD于点M，请直接写出线段BH、MG、BE的数量关系．16．（2019秋•九龙坡区校级期末）已知，在平行四边形ABCD中，∠D＝60°，点F，G在边BC上，且AF＝AG．（1）如图1，若AG平分∠F AC，∠AFC＝5∠BAF，且AF＝4，求线段AC的长；（2）如图2，点E在边AB上，且BE＝EF，证明：AE＝BG；（3）在（2）的条件下，连接CE（如图3），若∠AEC＝∠ACD，你能得到AD，FG，BE怎样的数量关系？试证明你的猜想．17．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8，CD＝4，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1个单位长的速度向点A方向移动，到达A点停止运动；同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2个单位长的速度移动，到达D点停止运动，设点E移动的时间为t（秒）．（1）当t＝1时，求四边形BCFE的面积；（2）设四边形BCFE的面积为S，求S与t之间的关系式，并写出t的取值范围；（3）若F点到达D点后立即返回，并在线段CD上往返运动，当E点到达A点时它们同时停止运动，求当t为何值时，以E，F，D三点为顶点的三角形是等腰三角形，并求出此的等腰三角形的面积S△EDF．18．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知，在▱ABCD中，AB⊥BD，AB＝BD，E为射线BC上一点，连接AE 交BD于点F．（1）如图1，若点E与点C重合，且AF＝2√5，求AD的长；（2）如图2，当点E在BC边上时，过点D作DG⊥AE于G，延长DG交BC于H，连接FH．求证：AF＝DH+FH；（3）如图3，当点E在射线BC上运动时，过点D作DG⊥AE于G，M为AG的中点，点N在BC边上且BN＝1，已知AB＝4√2，请直接写出MN的最小值．19．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC．（1）如图1，若点D、E分别在BC、AC边上，且CD＝CE，连接AD、BE，点O、M、N分别是AB、AD、BE的中点．求证：△OMN是等腰直⻆三角形；（2）将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转90°如图2，O、M、N分别为AB、AD、BE中点，则（1）中的结论是否成⽴，并说明理由；（3）如图3，将图1中△CDE绕着点C顺时针旋转，记旋转⻆为α（0＜α＜360°），O、M、N分别为AB、AD、BE中点，当MN=√10，请求出四边形ABED的⽴积．20．（2019秋•九龙坡区期末）（1）如图1，四边形EFGH中，FE＝EH，∠EFG+∠EHG＝180°，点A，B分别在边FG，GH上，且∠AEB=12∠FEH，求证：AB＝AF+BH．（2）如图2，四边形EFGH中，FE＝EH，点M在边EH上，连接FM，EN平分∠FEH交FM于点N，∠ENM＝α，∠FGH＝180°﹣2α，连接GN，HN．①找出图中与NH相等的线段，并加以证明；②求∠NGH的度数（用含α的式子表示）．21．（2019秋•吉州区期末）【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．【探究展示】（1）直接写出AM、AD、MC三条线段的数量关系：；（2）AM＝DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．22．（2019春•江北区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点A （﹣2，0），线段AB＝8，线段AD＝6，且∠BAD＝60°，AD与y的交点记为E，连接BE．（1）求▱ABCD的面积．（2）如图2，在线段BE上有两个动点G、K（G在K点上方），且KG=√3，点F为BC中点，点P为线段CD上一动点，当FG+GK+KP的值最小时，求出此时P点的坐标；此时在y轴上找一点H，x轴上线一点M，使得PH+HM−√22AM取得最小值，请求出PH+HM−√22AM的最小值．（3）如图3，将△AOE沿射线EB平移到△A′O'E'的位置，线段E′A′的中点N落在x轴上，此时再将△A′O'E'绕平面内某点W旋转90°，旋转后的三角形记为△A''O''E''，若△A''O''E'恰好只有两个顶点同时落在直线BC和直线BE上，且△A''E''B''的边均不在直线BC或直线BE上，请求出满足条件的W的坐标．23．（2019秋•北碚区校级月考）已知平行四边形ABCD中，N是边BC上一点，延长DN、AB交于点Q，过A作AM⊥DN于点M，连接AN，则AD⊥AN．（1）如图①，若tan∠ADM=34，MN＝3，求BC的长；（2）如图②，过点B作BH∥DQ交AN于点H，若AM＝CN，求证：DM＝BH+NH．24．（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，过A作AE⊥CD于点E，点G，F分别为AD，BC上一点，连接CG交AE于点H，连接AF，AF＝AH，∠GCF＝∠F AE＝45°．（1）若tan∠DAE=23，GH＝4，求AF的长；（2）求证：AG+√2GH＝GC．25．（2020春•北碚区校级期末）已知在△ABC和△ADE中，∠ACB+∠AED＝180°，CA＝CB，EA＝ED，AB＝3．（1）如图1，若∠ACB＝90°，B、A、D三点共线，连接CE：①若CE=5√22，求BD长度；②如图2，若点F是BD中点，连接CF，EF，求证：CE=√2EF；（2）如图3，若点D在线段BC上，且∠CAB＝2∠EAD，试直接写出△AED面积的最小值．26．（2020春•重庆期末）已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，﹣4），M（4，﹣4）．（1）如图1，若点C与点O重合，A（﹣2，2）、B（4，4），求△ABC的面积；（2）如图2，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，若∠AOG＝55°，求∠CEF的度数；（3）如图3，AC经过坐标原点O，点C在第三象限且点C在直线DM与x轴之间，N为AC上一点，AB分别与x轴，直线DM交于点G，F，BC交DM于点E，∠NEC+∠CEF＝180°，求证：∠NEF＝2∠AOG．27．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为斜边作Rt△AEC，∠AEC＝90°，AB与CE相交于点D．（1）如图1，AB平分∠CAE，BD＝4，CD＝5，求AC；（2）如图2，若AC＝BC，点F在EA的延长线上，连接FB、FC，FB与CE相交于点G，且∠EAD＝∠ACF，求证：AF＝2GE；（3）如图3，在（2）的条件下，CE的中垂线与AB相交于点Q，连接EQ，若∠DEQ+2∠ACE＝90°，请直接写出线段FC、ED、EQ的关系．28．（2020春•沙坪坝区校级月考）已知等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC边上一点，以BD为边作等腰直角△BDE，其中BD＝BE，∠DBE＝90°，边AB与DE交于点F，点G是BC上一点．（1）如图1，若DG⊥DE，连接FG．①若∠ABD＝30°，DE=√6+√2，求BF的长度；②求证：DG＝EF﹣FG；（2）如图2，若DG⊥BD，EP⊥BE交BA的延长线于点P，连接PG，请猜想线段PG，DG，PE之间的数量关系，并证明．29．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图，在等边△ABC中，延长AB至点D，延长AC交BD的中垂线于点E，连接BE，DE．（1）如图1，若DE＝3√10，BC＝2√3，求CE的长；（2）如图2，连接CD交BE于点M，在CE上取一点F，连接DF交BE于点N，且DF＝CD，求证：AB=12EF；（3）在（2）的条件下，若∠AED＝45°，直接写出线段BD，EF，ED的等量关系．30．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF=√2DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．31．（2020春•沙坪坝区校级月考）如图所示，△ABC为等边三角形，点D，点E分别在CA，CB的延长线上，连接BD，DE，DB＝DE．（1）如图1，若CA：AD＝3：7，BE＝4，求EC的长；（2）如图2，点F在AC上，连接BE，∠DBF＝60°，连接EF，①求证：BF+EF＝BD；②如图3，若∠BDE＝30°，直接写出EFBF的值．32．（2020春•沙坪坝区校级月考）在△ABC，△CDE中，∠BAC＝∠DEC＝90°，连接BD，F为BD中点，连接AF，EF．（1）如图1，若A，C，E三点在同一直线上，∠ABC＝∠EDC＝45°，已知AB＝3，DE＝5，求线段AF的长；（2）如图2，若∠ABC＝∠EDC＝45°，求证：△AEF为等腰直角三角形；（3）如图3，若∠ABC＝∠EDC＝30°，请判断△AEF的形状，并说明理由．33．（2019秋•渝中区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AC为边作等边△ACD，连接BD．（1）如图1，若∠ACB＝90°，AB＝4，求△BCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＜90°，点E为BD中点，连接AE、CE，且AE⊥CE，延长BC至点F，连接AF，使得∠F＝30°，求证：AF＝CE+√3AE．34．（2020春•南岸区期末）把△ABC绕着点A逆时针旋转α，得到△ADE．（1）如图1，当点B恰好在ED的延长线上时，若α＝60°，求∠ABC的度数；（2）如图2，当点C恰好在ED的延长线上时，求证：CA平分∠BCE；（3）如图3，连接CD，如果DE＝DC，连接EC与AB的延长线交于点F，直接写出∠F的度数（用含α的式子表示）．35．（2020春•渝中区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以DE为边向外作正方形DEFG，将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，连接AG．（1）如图1，若AD＝2√3、DE＝2，当∠ADG＝150°时，求AG的长；（2）如图2，正方形DEFG绕点D旋转的过程中，取AG的中点M，连接DM、CE，猜想：DM和CE 之间有何等量关系？并利用图2加以证明．36．（2020春•沙坪坝区校级月考）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M是对角线BD上一动点，将线段CM绕点C顺时针旋转120°到CN，连接DN，连接NM并延长，分别交AB、CD于点P、Q．（1）如图1，若CM⊥BD且PQ＝4√3，求菱形ABCD的面积；（2）如图2，求证：PM＝QN．37．（2019秋•江津区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC＝CD，∠BAC＝90°，点E为BC边上一点，将AE绕点A顺时针旋转90°后得到线段AF，连接FB，FB⊥BC．且FB的延长线与AE的延长线交于点G，点E是AG的中点．（1）若BG＝2，BE＝1，求FG的长；（2）求证：√2AB＝BG+2BE．38．（2020春•渝北区期中）如图1，光线照射在光滑表面上时会发生反射现象，入射光线与镜面的夹角等于出射光线与镜面的夹角，即∠1＝∠2．（1）如图1，AB、BC为两个平面镜，∠B＝90°，一束光线l经两次反射后，经点D，由从点E射出，求证：DM∥EN；（2）如图2，AB、BC为两个平面镜，∠B＝122°，一束光线l经两次反射后，经点D，且由从点E射出，且EN⊥AB，求∠ADM的度数；（3）如图3，已知FL∥GS，FG⊥GS，∠LPK＝∠SQK＝30°，∠PKQ绕点K顺时针旋转，旋转速度为5°/秒，记旋转角α（0＜α≤360°），同时，射线FG绕点F顺时针旋转，旋转速度为3°/秒，记旋转角β（0＜β≤360°），当FG所在直线平行于∠PKQ边所在直线时，直接写出对应时间t的所有值．。

专题9：阅读分析题(几何)

专题9：阅读分析题(几何) 姓名1.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=5，AD=6，BC=12．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于；（2）当PQ//AB 时，P 点离开D 点的时间等于秒；（3）当P 、Q 、C 三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？2. 阅读下面短文：如图（1），△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图（2）），解答问题：（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小？3.阅读理解：对于任意正实数a,b ，()ab b a b ab a ba 2,02,02≥+∴≥+-∴≥- ，只有点a=b 时，等号成立．结论：在ab b a 2≥+（a,b 均为正实数）中，若ab 为定值p ，则p b a 2≥+，只有当a=b 时，a+b 有最小值p 2．根据上述内容，回答下列问题：若m >0，只有当m = 时，mm 1+有最小值．思考验证：如图1，AB 为半圆O 的直径，C 为半圆上任意一点，（与点A,B 不重合）．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，AD =a ，DB=b ．试根据图形验证ab b a 2≥+，并指出等号成立时的条件．探索应用：如图2，已知A (-3,0),B (0,-4)，为双曲线xy 12=(x >0)上的任意一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，PO ⊥y 轴于点D ．求四边形ABCD 面积的最小值，并说明此时四边形ABCD 的形状．图1图24．如图，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的一点，AE EB BF FC DG GC AHHDk k ====>()0，阅读下段材料，然后回答后面的问题。

2019年重庆市九年级下期中考填空、选择难点题专题复习讲座二：几何图形

2019年重庆中考数学填空题专项复习讲座二——几何综合题一、近几年中考命题趋势：几何综合题一直都是重庆中考的热点和难点，近几年，除解答题外，填空题也出现了几何综合题的考察。

大多以四边形为背景，综合考察了四边形、勾股定理、相似三角形、全等三角形等几何知识，一般综合性较强，难度较大。

二、常见题型多以四边形为背景，如正方形、矩形、菱形等三、典型例题：【知识点一】正方形专题【例题1】如图，正方形A BCD 中，点E，F 分别在B C 和A B 上，BE＝3，AF＝2，BF＝4，将△ BEF 绕点E顺时针旋转，得到△GEH，当点H 落在CD 边上时，F、H 两点之间的距离为．【答案】6【例题解析】解：正方形ABCD的边长AB=6,而BE=3,则CE=3.【巩固练习】1.（重庆八中2019届九上月考）如图，E为正方形ABCD边AB上的一点，且AB＝3，BE ＝1．将△CBE翻折得到△CB'E，连接并延长DB'与CE延长线相交于点F，连接AF，则AF的长为_____．【答案】【解析】作CH⊥B′D于H，连接AC，根据翻转变换的性质、等腰直角三角形的性质和相似三角形的性质得到△AFC∽△HCD，证明△AFE∽△CBE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【详解】作CH⊥B′D于H，连接AC，由翻折变换的性质得：∠BCE＝∠B′CE，CB′＝CD，CH⊥B′D，∴∠B′CH＝∠DCH，∴∠ECH＝45°．∵∠ACF+∠BCE=45°，∴∠ACF＝∠DCH，∴，∴．又∵∠ACF＝∠DCH，∴△AFC∽△HCD，∴∠AFC＝∠DHC＝90°，∴∠AFC＝∠CBE，又∠AEF＝∠CEB，∴△AFE∽△CBE，∴，即，解得：AF．故答案为：．【点睛】本题考查了翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2.（重庆一中2018届九下期中）如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，以CE为对角线构造正方形CMEN,点N在正方形ABCD内部，连接AM,与CD边交于点F.若CF=3, DF=2,连接BN,则BN的长为 .【答案】257【解析】【知识点二】矩形专题【例题2】已知如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 的中点，连结BE ，将△ABE 沿着BE 翻折得到△FBE ，EF 交BC 于点H ，延长BF 、DC 相交于点G ，若DG=16，BC=24，则【答案】21 8【解析】【巩固练习】1.（重庆一中2018届九下期中）如图，在矩形ABCD中，AB=1,分别以点B、C为圆心，1为半径画弧，与BC边分别交于点M、N,且与对角线AC交于同一点P，则图中阴影部分的面积为 .π【答案】3【解析】2.如图，将面积为的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P,连接AP交CB于点E。

(完整word版)重庆中考专题训练九阅读理解题型问题(一)

中考专题训练九阅读理解题型问题一、“新概念新方法”型阅读理解例题1.在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察处如何进行因式分解，这种方法就是换元法．例如：分解因式2(1)(2)(3)(6)x x x x x +++++时，可以先将原式中的(1)(6)x x ++、(2)(3)x x ++分别计算，得： 276x x ++，256x x ++，观察后设256x x A ++=，则原式222222(2)2()(66)A x A x A Ax x A x x x =++=++=+=++又如：分解因式43241217124x x x x -+-+时，考虑到系数的对称性，如果提取中间项的字母及指数后，就可以使用换元法，具体过程如下：4322222221241141217124(41217)[4()12()17]x x x x x x x x x x x x x x-+-+=-+-+=+-++ 令1x t x +=，则原式222222222(4129)(23)(23)(232)x t t x t x x x x x =-+=-=+-=-+，请参照阅读材料中的换元对下列各式进行因式分解：（1）22(53)(57)4a a a a -+-++ （2）22(1)(34)(4)x x x x x --+-+（3）4324241x x x x -+++例题2.阅读下列材料，解决教材后的问题：材料一：我们知道对于x 轴上的任意两点12(,0),(,0)A xB x ,有12AB x x =-，而对于平面直角坐标系中的任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y ,我们把1212+x x y y --称为12,P P 两点间的直角距离，记作，12(,)d P P ，及121212(,)=+d P P x x y y --.材料二：对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为x，及当n 为非负数时，若1122n x n -＃+，则=x n ，如：0=0.48=0, 0.64=1.4931 2=2 3.5=4.12=4=，，,…(1) ①已知点O 为坐标原点，动点(,3)P x 满足(,)d O P =4,则x =②如果38x =，则实数x 的取值范围为(2) 若m 为满足41=32m m -的最大值，求点(819,1)M m -到直线1y x =+的最小直角距离.练习：1. 对于一元二次方程22100x x +-=解的范围，我们可以用如下的方法进行估计：当2x =时，221020x x +-=-<，当5x =-时，221050x x +-=>，所以方程有一个根在5-和2之间.（1）参照上面的方法，找到方程22100x x +-=的另外一个根在哪两个连续的整数之间；（2）若方程220x x c ++=有一个根在0和1之间，求c 的取值范围. 2.nP 表示n 变形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么nP 与n 的关系式为：2(1)=()24n n n P n an b -?+（其中,a b 是常数，4n ³）（1）通过画图，可得四边形时，4=P （填数字）；五边形时，5=P （填数字）（2）若213k k P P k+-=，求k 的值.3. 若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=?有两个实数根，且两根满足: ①若一个是实数根比另一个实数根大1，则我们称该方程为“邻根方程”；②若一个是实数根是另一个实数根的整数倍，则我们称该方程为“倍根方程”；（1）请写出一个一元二次方程，改方程的二次项系数是“1”，且方程既是“邻根方程”又是“倍根方程”；（2）若关于x 的“邻根方程”250x x mn -+=（m n >且,m n 均为正整数）较小的一个实数根为t ，且关于x 的方程2440x nx m -+=是“倍根方程”，求m n +.4. 进制也就是进位制，是人们规定的一种进位方法，对于任何一种进制——X 进制，就表示某一位置上的数运算时是逢X 进一位，十进制就是逢十进一，十六进制就是逢十六进一，二进制就是逢二进一，以此类推，X 进制就是逢X 进位，为与十进制进行区分，我们常把X 进制表示的数a 写成()Xa .类比于十进制，我们可以知道：X 进制表示的数(1111)X中，右起第一位上的1表示1oX ´，第二位上的1表示11X ´，第三位上的1表示21X ´，第四位上的1表示31X ´，。

重庆数学中考几何探究训练(2)

探究型问题专题（2）考点三：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.1.（2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．2.请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF ∠=∠=<<αα，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．D AB E FC P G 图1DC G PAB E F图23.问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图 3图1 图2考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．4.（2012•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=6，点C的坐标为（﹣9，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=2，OD=2BD，求直线DE的解析式；（3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，是否存在点P，使以O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．（1）求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；（2）请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；（3）对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．五．结论探究6.已知矩形ABCD 和点P ，当点P 在BC 上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：2222PA PC PB PD +=+，请你探究：当点P 分别在图（2）、图（3）中的位置时，2222PA PB PC PD 、、和又有怎样的数量关系？请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论．答：对图（2）的探究结论为____________________________________．对图（3）的探究结论为_____________________________________．7.如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结 QE 并延长交射线BC 于点F .（1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = °，猜想∠QFC = °；（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．图2ABE QP F C 图1ACBEQF P1.阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC ，然后构造出△AEM 与△EFC 全等是解题的关键．（2）在AB 上截取AM=EC ，然后证明∠EAM=FEC ，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM 和△EFC 全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长BA 到M ，使AM=CE ，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF ，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA ，然后得到∠MAE=∠CEF ，再利用“角边角”证明△MAE 和△CEF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．2⑴ 线段PG 与PC 的位置关系是PG PC ⊥；PG PC=3． ⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．证明：如图，延长GP 交AD 于点H ，连结CH CG ，． P 是线段DF 的中点， FP DP ∴=．由题意可知AD FG ∥． GFP HDP ∴∠=∠．GPF HPD ∠=∠， G F P H D P ∴△≌△．GP HP ∴=，GF HD =．四边形ABCD 是菱形，CD CB ∴=，60HDC ABC ∠=∠=．由60ABC BEF ∠=∠=，且菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，可得60GBC ∠=． HDC GBC ∴∠=∠．四边形BEFG 是菱形，GF GB ∴=． HD GB ∴=．HDC GBC ∴△≌△． CH CG ∴=，DCH BCG ∠=∠．120DCH HCB BCG HCB ∴∠+∠=∠+∠=．即120HCG ∠=．CH CG =，PH PG =，PG PC ∴⊥，60GCP HCP ∠=∠=．3PGPC∴=．⑶ PG PC =tan(90)-α． 3.解：（1）如图，将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°，得△BP ′A ，则△BPC ≌△BP ′A ． ∴AP ′=PC=1，BP=BP ′=．连结P P ′，在Rt △BP ′P 中，∵BP=BP ′=，∠PBP ′=90°，∴ P P ′=2，∠BP ′P=45°．在△AP ′P 中， AP ′=1，P P ′=2，AP=，∵，即AP ′ 2+ PP ′ 2= AP 2．∴ △AP ′P 是直角三角形，即∠A P ′ P=90°．∴ ∠AP ′B=135°．∴ ∠BPC=∠AP ′B=135°．（2）过点B 作BE ⊥AP ′ 交AP ′ 的延长线于点E ．∴ ∠EP ′ B=45°. ∴ EP ′=BE=1.∴ AE=2.∴ 在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB=．5.解答：解：（1）过点B 作BF ⊥x 轴于F ，…在Rt △BCF 中，∵∠BCO=45°，BC=6，∴CF=BF=6，∵C 的坐标为（﹣9，0），∴AB=OF=3，∴点B 的坐标为（﹣3，6）；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，…（1分）∵AB ∥DG ，∴△ODG ∽△OBA ， ∵===，AB=3，OA=6，∴DG=2，OG=4，∴D （﹣2，4），E（0，2），设直线DE 解析式为y=kx+b （k≠0）∴，∴，…（1分）∴直线DE 解析式为y=﹣x+2； …（1分）（3）存在．由已知的OE=2，分别以O 、E 为圆心，2为半径画弧，与直线DE 相交，或作线段OE 的垂直平分线与直线DE 相交，交点即为所求．存在P 1（2，0）、P 2（1，1）、P 3（，2﹣）、P 4（﹣，2+）…（3分）（写对一个点得1分，写对两个点或三个点得2分）D C G PAB E FH5.解答：解：（1）∵二次函数y=ax 2+bx ﹣1（a≠0）的图象过点A （2，0）和B （4，3）， ∴，解得a=，b=0，∴二次函数的解析式为y=x 2﹣1，（2）令y=x 2﹣1=0，解得x=﹣2或x=2，由图象可知当﹣2＜x ＜2时＜0，（3）当m=0时，|PO|2=1，|PH|2=1；当m=2时，P 点的坐标为（2，0），|PO|2=4，|PH|2=4，当m=4时，P 点的坐标为（4，3），|PO|2=25，|PH|2=25，由此发现|PO|2=|PH|2，设P 点坐标为（m ，n ），即n=m 2﹣1|OP|=，|PH|2=n 2+4n+4=n 2+m 2，故对于任意实数m ，|PO|2=|PH|2；（4）由（3）知OP=PH ，只要OH=OP 成立，△POH 为正三角形，设P 点坐标为（m ，n ），|OP|=，|OH|=，|OP|=|OH|，即n 2=4，解得n=±2，当n=﹣2时，n=m 2﹣1不符合条件，故n=2，m=±2时可使△POH 为正三角形．7.解: （1）=∠EBF 30° QFC ∠= 60° （2）QFC ∠=60°如图1所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ....在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE ，∠BAP=∠EAQ ， AP=AQ∴△ABP ≌△AEQ （SAS ∴∠AEQ=∠ABP=90° ∴∠BEF 180180906030AEQ AEB =︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∴QFC ∠=EBF BEF ∠+∠=3030︒+︒=60° (3)在图1中，过点F 作FG ⊥BE 于点G∵△ABE 是等边三角形 ∴BE=AB=32，由（1）得=∠EBF 30°在Rt △BGF 中，32BE BG == ∴BF=2cos30BG=︒ ∴EF=2.......1分∵△ABP ≌△AEQ ∴QE=BP=x ∴QF=QE ＋EF 2x =+................2分过点Q 作QH ⊥BC ，垂足为H在Rt △QHF 中，3sin 60(2)2y QH QF x ==︒=+（x ＞0）即y 关于x 的函数关系式是：332y x =+.......................................................3分图1 A C BEQF P。

重庆中考真题几何试卷

重庆中考真题几何试卷一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列哪个选项不是欧几里得几何中的公理？A. 两点之间可以画一条直线B. 任意直线可以无限延伸C. 任意两点可以确定一个平面D. 所有直角都相等2. 已知三角形ABC中，AB=AC，且∠A=90°，这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 如果一个圆的半径为5，那么它的周长是：A. 10πB. 20πC. 30πD. 40π4. 下列哪个图形不是中心对称图形？A. 正方形B. 等边三角形C. 圆D. 长方形5. 已知一个矩形的长为6cm，宽为4cm，那么它的对角线长度是：A. 2cmB. 5cmC. 10cmD. 2√13cm6. 一个正六边形的内角是：A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°7. 一个圆柱的底面半径为2，高为4，那么它的体积是：A. 8πB. 12πC. 16πD. 20π8. 一个圆锥的底面半径为3，高为4，那么它的体积是：A. 9πB. 12πC. 15πD. 18π9. 一个球的体积公式是：A. V = 4/3πr^3B. V = πr^2hC. V = 1/3πr^2hD. V = πr^310. 已知一个正方体的棱长为a，那么它的表面积是：A. 6a^2B. 8a^2C. 10a^2D. 12a^2二、填空题（每题2分，共20分）11. 如果一个角的余角是30°，那么这个角的度数是________。

12. 一个正五边形的外接圆半径与内切圆半径之比是________。

13. 在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么另一个锐角的度数是________。

14. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm、4cm，那么它的表面积是________。

15. 一个圆的直径是14cm，那么它的面积是________。

重庆中考复习几何题分类汇编(含答案)

重庆中考复习几何题分类汇编(含答案)类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.(1)求证：MQ＝NP；(2)求证：CN＝2CP.针对训练：1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.2．已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE.(1)如图①，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；(2)如图②，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE 于点G，连接AG.若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC.3．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；是AE上一点，连接CG，若BE＝AE＋AG，求证：CG＝AE.4．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝时，求AE′的值．(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.(1)若BE＝2EC，AB＝，求AD的长；(2)求证：EG＝BG＋FC.2．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP于点C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M.(1)若AP＝AC，BC＝4，求S△ACP；(2)若CP－BM＝2FN，求证：BC＝MC.3．如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为一边向外作菱形ABDE，连接DC，EB并延长EB交AC于F，且CB⊥AE于G.(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；(2)试问线段AE，AF，CF之间的数量关系并证明．类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.(1)求∠EBD的度数；(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.针对训练：1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.(1)求证：E是AD中点；(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.2．如图Z3－12，在菱形ABCD中，点E、F分别是BC、CD上的点，连接AE，AF，DE、EF，∠DAE＝∠BAF.(1)求证：CE＝CF；(2)若∠ABC＝120°，点G是线段AF的中点，连接DG，EG.求证：DG⊥GE.3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D与点B在AC同侧，∠ADC＞∠BAC，且DA＝DC，过点B作BE∥DA 交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME.(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD与ME的数量关系是________；(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；(3)如图③，当∠ADC＝α时，求的值．4．如图①，等边三角形ABC中，CE平分∠ACB，D为BC边上一点，且DE＝CD，连接BE.(1)若CE＝4，BC＝6 ，求线段BE的长；(2)如图②，取BE中点P，连接AP，PD，AD，求证：AP⊥PD且AP＝PD；(3)如图③，把图Z3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 ，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM的长；(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．针对训练：1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．2．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＋∠EAD＝180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.(1)求证：△ABF是等腰三角形；(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．类型5 角的和差倍分图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 ，∠BAD＝60°，且AB＞6 .(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．针对训练：1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.2．在△ACB中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是AC上一点，连接BD，过点A作AE⊥BD于E，交BC于F.(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE 于G，延长DG交BC于H.(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝，求AD的长；(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.(1)求证：BM是∠AMP的平分线；(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．。

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