高二人教A版数学选修1-1同步练习2-2-2双曲线的简单几何性质 Word版含答案]

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2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1习题：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含

2.2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升基础巩固1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于()A.6B.8C.9D.10(-5,0),右顶点(3,0),所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等,一个焦点到一条渐近线的距离为,则双曲线方程为()A.x2-y2=1B.x2-y2=2C.x2-y2=D.x2-y2=,设双曲线方程为=1(a>0),则c=a,一条渐近线为y=x,∴,∴a2=2.∴双曲线方程为x2-y2=2.3.若实数k满足0<k<9,则曲线=1与曲线=1的()A.焦距相同B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等0<k<9,则9-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0);25-k>0,即曲线=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(,0),故两曲线的焦距相同,故选A.4.下列双曲线中,不是以2x±3y=0为渐近线的是()A.=1B.=1C.=1D.=1项中的双曲线=1,焦点在x轴上,渐近线方程为y=±x,不是2x±3y=0.5.两正数a,b的等差中项为,等比中项为,且a>b,则双曲线=1的离心率e为()A. B. C. D.a,b的等差中项为,等比中项为,所以解得因为a>b,所以所以e=.故选D.6.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是.双曲线x2-=1(b>0)过点(3,4),∴32-=1,解得b2=2,即b=或b=-(舍去).∵a=1,且双曲线的焦点在x轴上,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.±x7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的标准方程为.=2,c=5,所以c2=a2+b2=5a2=25,解得a2=5,b2=20,所以所求双曲线的方程为=1.18.若一条双曲线与-y2=1有共同渐近线,且与椭圆=1有相同的焦点,则此双曲线的方程为.=1得a2=20,b2=2,所以c2=20-2=18,得c=3.设与双曲线-y2=1有相同渐近线的双曲线方程为-y2=λ(λ≠0),因为所求双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程化为=1,根据椭圆和双曲线共焦点,所以有8λ+λ=18,解得λ=2,所以所求双曲线的方程为=1.19.椭圆与双曲线有共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点,试求椭圆的方程与双曲线的方程.F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为=1(a2>25),双曲线方程为=1(0<b<5),点P(3,4)在椭圆上,所以=1,得a2=40,双曲线过点P(3,4)的渐近线为y=x,即4=×3,所以b2=16,故椭圆方程为=1,双曲线方程为=1.10.已知双曲线=1的右焦点为(2,0).(1)求双曲线的方程;(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.∵双曲线的右焦点的坐标为(2,0),且双曲线的方程为=1,∴c2=a2+b2=3+b2=4,∴b2=1,∴双曲线的方程为-y2=1.(2)∵a=,b=1,∴双曲线的渐近线方程为y=±x.令x=-2,则y=±,设直线x=-2与双曲线的渐近线的交点为A,B,则|AB|=.记双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积为S,则S=×2=.能力提升1.我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”.已知双曲线C:=1,则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的是()A.x2-y2=1B.x2-=1C.y2-2x2=1D.=1C的离心率为2,对于A,其离心率为,不符合题意;对于B,其离心率为,符合题意;对于C,其离心率为,不符合题意;对于D,其离心率为3,不符合题意.故选B.2.若在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上,到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e>B.1<e<C.e>2D.1<e<2O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意,在双曲线=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2,故选C.3.已知a>b>0,若椭圆=1与双曲线=1的离心率之积为,则双曲线的渐近线方程为.,得,解得,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0.±y=04.若中心在原点,焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线经过点(8,-6),则其离心率等于.y=kx,由-6=8k,得k=-,所以渐近线方程为y=±x.若焦点在x轴上,则,于是离心率e=;若焦点在y轴上,则,于是离心率e=.5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=;(2)经过点C(-),且与双曲线=1有共同的渐近线.设所求双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则2b=8,e=,从而b=4,,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为=1.(2)由题意可设所求双曲线方程为=λ(λ≠0),将点C(-)的坐标代入,得=λ,解得λ=,所以所求双曲线的标准方程为=1.6.已知椭圆C1的中心在原点,离心率为,焦点在x轴上且长轴长为10.过双曲线C2:=1(a>0,b>0)的右焦点F2作垂直于x轴的直线交双曲线C2于M,N两点.(1)求椭圆C1的标准方程;(2)若双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,且以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,求双曲线C2的标准方程.设椭圆C1的标准方程为=1(a1>b1>0),根据题意得2a1=10,则a1=5.又e1=,∴c1=4,b1=3,∴椭圆C1的标准方程为=1.(2)设双曲线的右焦点F2(c,0),将x=c代入双曲线方程,得y=±,∴|MN|=.∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的左顶点A,且|AF2|=a+c,∴a+c=,即a2+ac=b2=c2-a2,整理得2a2+ac-c2=0,即有e2-e-2=0.又e>1,∴e=2.又双曲线C2与椭圆C1有公共的焦点,∴c=4,∴a2=4,b2=12,∴双曲线C2的标准方程为=1.莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。

2020-2021高中数学人教版1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析

2020-2021学年高中数学人教A版选修1-1配套作业：2.2.2 双曲线的简单几何性质含解析第二章2。

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2.2A级基础巩固一、选择题1．以椭圆错误!＋错误!＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为（C)A．错误!－错误!＝1B．错误!－错误!＝1C．错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1D．以上都不对[解析］当顶点为（±4,0)时，a＝4，c＝8，b＝43,双曲线方程为错误!－错误!＝1；当顶点为（0,±3)时，a＝3，c＝6，b＝3错误!,双曲线方程为错误!－错误!＝1。

2．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是（C)A．2B．2错误!C．4D．42[解析]双曲线2x2－y2＝8化为标准形式为x24－y28＝1，∴a＝2,∴实轴长为2a＝4。

3．(全国Ⅱ文,5）若a〉1，则双曲线x2a2－y2＝1的离心率的取值范围是（C)A．(错误!，＋∞) B．（错误!，2 ）C．(1,错误!) D．（1,2）[解析]由题意得双曲线的离心率e＝错误!.∴c2＝a2＋1a2＝1＋错误!.∵a>1，∴0〈错误!<1，∴1<1＋错误!〈2，∴1〈e〈错误!.故选C．4．（2018·全国Ⅲ文，10)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0,b>0）的离心率为错误!,则点(4,0）到C的渐近线的距离为(D) A． 2 B．2C．错误!D．2错误!［解析］由题意，得e＝错误!＝错误!,c2＝a2＋b2，得a2＝b2。

又因为a〉0,b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，点（4,0）到渐近线的距离为错误!＝2错误!，故选D．5．(2019·全国Ⅲ卷理,10)双曲线C：错误!－错误!＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO｜＝|PF|，则△PFO的面积为（A)A．错误!B．错误!C．2错误!D．3错误![解析]双曲线错误!－错误!＝1的右焦点坐标为(错误!，0），一条渐近线的方程为y＝错误!x,不妨设点P在第一象限，由于｜PO｜＝|PF|,则点P的横坐标为错误!，纵坐标为错误!×错误!＝错误!，即△PFO 的底边长为错误!，高为错误!，所以它的面积为错误!×错误!×错误!＝错误!。

人教A版高中数学选修1-1同步练习-第二章双曲线的简单几何性质

第二章圆锥曲线与方程2.2 双曲线2.2.2 双曲线的简单几何性质A 级基础巩固一、选择题1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，从而2a ＝4.答案：C2．等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6，0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 解析：由已知可得c ＝6，所以 a ＝b ＝22c ＝32，所以双曲线的标准方程是x 218－y 218＝1.答案：D3．已知双曲线x 23－y 2b 2＝1(b >0)的焦点到其渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.233D.322解析：由题意及对称性可知焦点(b 2＋3，0)到bx －3y ＝0的距离为1，即|b 2＋3·b |b 2＋3＝1，所以b ＝1，所以c ＝2，又a ＝3，所以双曲线的离心率为233. 答案：C4．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x解析：因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .又离心率为e ＝ca ＝a 2＋b 2a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .答案：C5．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y23＝1的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：方法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.方法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP→＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.答案：D 二、填空题6．已知双曲线x 2n －y 212－n ＝1(0<n <12)的离心率为3，则n 的值为________．解析：因为0<n <12，所以a 2＝n ，b 2＝12－n . 所以c 2＝a 2＋b 2＝12.所以e ＝ca ＝12n＝ 3.所以n ＝4. 答案：47．(2017·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23－y 2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x ＝32与两条渐近线y ＝±33x的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，±32，不妨设双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2，则F 1(－2，0)，F 2(2，0)，故四边形F 1PF 2Q 的面积是12|F 1F 2|·|PQ |＝12×4×3＝2 3. 答案：238．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是________．解析：双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又因为e ∈(1，2)，则1＜4－k 2＜2，解得－12＜k ＜0答案：(－12，0) 三、解答题9．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b 2＝1.①又e ＝c a＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.②由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ，所以e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.所以所求双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.10．已知双曲线E ：x 2m －y 25＝1.(1)若m ＝4，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；(2)若双曲线E 的离心率为e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝4时，双曲线方程化为x 24－y 25＝1，所以a ＝2，b ＝5，c ＝3，所以焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，顶点坐标为(－2，0)，(2，0)，渐近线方程为y ＝±52x .(2)因为e 2＝c 2a2＝m ＋5m ＝1＋5m ，又e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫62，2，所以32<1＋5m <2，解得5<m <10，所以实数m 的取值范围是(5，10)．[B 级能力提升]1．过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ．(5，52)解析：根据题意，知2<ba<3，如图．因为ba＝c2－a2a2＝e2－1，所以2<e2－1<3，所以5<e2<10.因为e>1，所以5<e<10，所以双曲线离心率的取值范围是(5，10)．答案：B2．已知F1，F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是________．解析：如图，连接F2P，P是MF1中点，则PF2⊥MF1，在正三角形MF1F2中，|F1F2|＝2c，则|PF1|＝c，|PF2|＝3c.因为P在双曲线上，所以|PF2|－|PF1|＝2a而3c－c＝2a所以ca＝23－1＝2（3＋1）（3－1）（3＋1）＝3＋1.答案：3＋13．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x，且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过点A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，所以a ＝b ，所以c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，所以a 2＝b 2＝2，所以所求双曲线的方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，所以直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，所以x 0＝3y 0.①由题意，知圆的方程为x 2＋y 2＝c 2.因为点A 在圆上，所以x 20＋y 20＝c 2.②将①代入②，得3y 20＋y 20＝c 2，又y 0>0，所以y 0＝12c ，所以x 0＝32c ，所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，把点A 的坐标代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.③ 又因为a 2＋b 2＝c 2，所以将b 2＝c 2－a 2代入③，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，所以3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，所以3e 4－8e 2＋4＝0，所以(3e 2－2)(e 2－2)＝0.因为e>1，所以e＝2，所以双曲线的离心率为 2.。

人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案 (2)

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课堂10分钟达标练1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是( )A.2B.2C.4D.4【解析】选C.双曲线标准方程为-=1，故实轴长为4.2.双曲线x2-=1的离心率大于的充分必要条件是( )A.m>B.m≥1C.m>1D.m>2【解析】选C.双曲线离心率e=>，所以m>1.3.若双曲线+=1的渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点坐标是________.【解析】由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x，所以m=-3，求得双曲线方程为-=1，从而得到焦点坐标(，0)，(-，0).答案：(，0)，(-，0)4.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线-=1有共同的渐近线，且过点(-3，2).(2)与双曲线-=1有公共焦点，且过点(3，2).【解析】(1)设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0)，将点(-3，2)代入得λ=，所以双曲线方程为-=，即-=1.(2)设双曲线方程为-=1(a>0，b>0).由题意易求c=2.又双曲线过点(3，2)，所以-=1.又因为a2+b2=(2)2，所以a2=12，b2=8.故所求双曲线的方程为-=1.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}．B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时，只需m >－4.(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .又f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4.所以，所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．。

2019-2020学年高二数学人教A版选修1-1训练：2.2.2 双曲线的简单几何性质 Word版含解析

1⊥PF2,|PF1|·|PF2|=4ab,则双曲线的离心率是 .
{|��1|2 + |��2|2 = 4��2,
解析:因为 PF1⊥PF2,所以有 |��1|·|��2| = 4��, ||��1| - |��2|| = 2��,
2
1
2 ��D.�� =± 2��
解析:由题意得 b=1,c = 3, ∴ �� = 2.
∴双曲线的渐近线方程为
y=
±
��
��,即y=
±
2
2 ��.
答案:C
2.若双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值为( )
对于双曲线16 - �� ‒ 5 = 1,实轴长为2
16 - ��,虚轴长为2
5,焦距为2
16 - �� + 5 = 2
21 - ��,因此两双曲线的焦距相等,故选 D.
答案:D
4.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程是( )
即 4c2-4a2=8ab,所以 b=2a,c2=5a2,即 e = 5. 答案: 5
9.求满足下列条件的双曲线方程:
(1)以 2x±3y=0 为渐近线,且经过点(1,2);
5
(2)离心率为4,虚半轴长为2; (3)与椭圆 x2+5y2=5 共焦点,且一条渐近线方程为 y ‒
3�� = 0.

人教A版高中数学选修1—1第二章2.2.2双曲线的简单几何性质达标过关训练

2.2.2 双曲线的简单几何性质一、选择题1.(2019·四川棠湖中学月考)双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴是实轴长的2倍，则m 的值为( )A.4B.－4C.－14D.14解析：由题可知a 2＝1，b 2＝－1m ，∵虚轴长是实轴长的2倍， ∴b ＝2a ，即b 2＝4a 2， ∴－1m ＝4， ∴m ＝－14，故选C. 答案：C2.(2019·浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是( ) A.22 B.1 C. 2D.2解析：由题可知ba ＝1，a ＝b ， ∴e ＝ 1＋b 2a 2＝2，故选C.答案：C3.(2019·吉林白山联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为34，焦距为10，则双曲线C 的方程为( )A.x 232－y 218＝1 B.x 23－y 24＝1 C.x 29－y 216＝1D.x 216－y 29＝1解析：由题可知⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，b a ＝34，c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝4，b ＝3.故所求的双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选D. 答案：D4.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A.3x ±4y ＝0B.3x ±5y ＝0C.4x ±3y ＝0D.5x ±4y ＝0解析：设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，则4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，∴(2b －a )2＝a 2＋b 2. ∴3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a . 故双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，即y ＝±43x ，故选C. 答案：C5.(2019·石家庄实验中学期末)双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率是5，过右焦点F 作渐近线l 的垂线，垂足为M ，若△OFM 的面积是1，则双曲线E 的实轴长是( )A.1B.2C. 2D.2 2解析：双曲线E 的离心率为e ＝5，∴ca ＝5， ∴c ＝5a ，∴b ＝5a 2－a 2＝2a ，∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±2x ，过右焦点F 作渐近线y ＝2x 的垂线，垂线的方程为y ＝－12(x －c )，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＝－12(x －c )，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 5，2c 5.∴S △FMO ＝12c ·25c ＝1，∴c ＝5， ∴a ＝1，故实轴长为2，故选B. 答案：B 二、填空题6.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝，b ＝ .解析：∵双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1， ∴渐近线方程为y ＝±ba x .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝2，c ＝5，c 2＝a 2＋b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.答案：1 27.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1相切，则双曲线的离心率e ＝ .解析：由x 2a 2－y 2b 2＝1，得渐近线方程为bx ±ay ＝0.依题意得2b a 2＋b 2＝1，∴a 2＝3b 2.e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝43，∴e ＝233.答案：2338.已知点A (1,4)，F 1是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|P A |＋|PF 1|的最小值为 .解析：如图，∵|PF 1|－|PF 2|＝4，∴|PF 1|＝|PF 2|＋4.∴|P A |＋|PF 1|＝|P A |＋|PF 2|＋4，当A ，P ，F 2三点共线时，|P A |＋|PF 2|最小，最小值为(1－4)2＋(4－0)2＝5.∴|P A |＋|PF 1|的最小值为9.答案：9 三、解答题9.已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程.解：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2，∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.10.如图，已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且∠PF 1F 2＝30°.求双曲线的渐近线方程.解：由题易得|PF 1|＝2|PF 2|.又由双曲线的定义，可知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，从而|PF 2|＝2a .在Rt △PF 1F 2中，|F 1F 2|＝3|PF 2|，即2c ＝23a . 所以c 2＝3a 2，b 2＝c 2－a 2＝2a 2，所以b ＝2a ，ba ＝ 2. 又双曲线的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为 y ＝±b a x .故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .。

人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-2双曲线的简单几何性质(1)

2.2.2一、选择题1．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，双曲线的方程应是( )A.x 212－y 24＝1 B.x 24－y 212＝1 C ．－x 212＋y 24＝1D ．－x 24＋y 212＝1[答案] C[解析] ∵椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为(0，±4)，离心率e ＝45， ∴双曲线的焦点为(0，±4)，离心率为145－45＝105＝2， ∴双曲线方程为：y 24－x 212＝1.2．焦点为(0，±6)且与双曲线x 22－y 2＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.x 212－y 224＝1 B.y 212－x 224＝1 C.y 224－x 212＝1D.x 224－y 212＝1[答案] B[解析] 与双曲线x 22－y 2＝1有共同渐近线的双曲线方程可设为x 22－y 2＝λ(λ≠0)，又因为双曲线的焦点在y 轴上， ∴方程可写为y 2－λ－x 2－2λ＝1.又∵双曲线方程的焦点为(0，±6)， ∴－λ－2λ＝36.∴λ＝－12. ∴双曲线方程为y 212－x 224＝1.3．若0<k <a ，则双曲线x 2a 2－k 2－y 2b 2＋k 2＝1与x 2a 2－y 2b 2＝1有( )A ．相同的实轴B ．相同的虚轴C ．相同的焦点D ．相同的渐近线[答案] C[解析] ∵0<k <a ，∴a 2－k 2>0. ∴c 2＝(a 2－k 2)＋(b 2＋k 2)＝a 2＋b 2.4．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43xD ．y ＝±34x[答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，∴a b ＝34.又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±ab x ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x .6．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±22xC ．y ＝±24xD ．y ＝±3x[答案] B [解析] 如图，分别过双曲线的右顶点A ，右焦点F 作它的渐近线的垂线，B 、C 分别为垂足，则△OBA ∽△OCF ，∴OA OF ＝AB FC ＝13， ∴a c ＝13，∴ba ＝22，故渐近线方程为：y ＝±22x .8．双曲线x 29－y 216＝1的一个焦点到一条渐近线的距离等于( ) A. 3 B ．3 C ．4D ．2[答案] C[解析] ∵焦点坐标为(±5,0)，渐近线方程为y ＝±43x ，∴一个焦点(5,0)到渐近线y ＝43x 的距离为4.二、填空题12．椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2＝1焦点相同，则a ＝________. [答案] 62[解析] 由题意得4－a 2＝a 2＋1，∴2a 2＝3，a ＝62.13．双曲线以椭圆x 29＋y 225＝1的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为________．[答案] y 2254－x 2394＝1[解析] 椭圆x 29＋y 225＝1中，a ＝5，b ＝3，c 2＝16，焦点为(0，±4)，离心率e ＝c a ＝45， ∴双曲线的离心率e 1＝2e ＝85， ∴c 1a 1＝4a 1＝85，∴a 1＝52， ∴b 21＝c 21－a 21＝16－254＝394， ∴双曲线的方程为y 2254－x 2394＝1.三、解答题16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)过点A (14，5)，且点A 到双曲线的两条渐近线的距离的积为43.求此双曲线方程．[解析] 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两渐近线的方程为bx ±ay ＝0. 点A 到两渐近线的距离分别为 d 1＝|14b ＋5a |a 2＋b 2，d 2＝|14b －5a |a 2＋b 2已知d 1d 2＝43，故|14b 2－5a 2|a 2＋b 2＝43(ⅰ)又A 在双曲线上，则 14b 2－5a 2＝a 2b 2(ⅱ)(ⅱ)代入(ⅰ)，得3a 2b 2＝4a 2＋4b 2(ⅲ) 联立(ⅱ)、(ⅲ)解得b 2＝2，a 2＝4. 故所求双曲线方程为x 24－y 22＝1.17．如下图，已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，求双曲线的离心率．[解析] 设MF 1的中点为P ，在Rt △PMF 2中，|PF 2|＝|MF 2|·sin60°＝2c ·32＝3c .又由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ，所以a ＝3－12c ，e ＝c a ＝23－1＝3＋1.。

人教A版数学高二选修1-1检测 2-2-2 双曲线的简单几何性质

04 课后课时精练时间：40分钟满分：75分一、选择题(每小题5分，共30分)1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值为( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14 答案 A解析双曲线的标准方程为y 2－x 2－1m＝1，∴a 2＝1，b 2＝－1m .由题意，得b 2＝4a 2，∴－1m ＝4，∴m ＝－14.2．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.433 B ．2 3 C ．6 D ．4 3 答案 D解析由双曲线的标准方程x 2－y 23＝1得，右焦点F (2,0)，两条渐近线方程为y ＝±3x ，直线AB ：x ＝2，所以不妨取A (2，23)，B (2，－23)，则|AB |＝43，选D.3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1答案 A解析由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.4．过原点作直线，与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．4条答案 A解析设l 的方程为y ＝kx .由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＝1.显然方程不可能只有一个解．故过原点与双曲线x 2－y 2＝1恰有一个交点的直线有0条．5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y 24＝1交于A 、B 两点，P 为双曲线上不同于A 、B 的点，当直线PA 、PB 的斜率k PA 、k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49 B.12C.23 D ．与P 点位置有关答案 A解析设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，P (x ，y )， ∴k PA ·k PB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 29－1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209－1x 2－x 20＝49(x 2－x 20)x 2－x 20＝49.故选A.6．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(m >b >0)的离心率之积等于1，则以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形答案 D解析双曲线的离心率e 1＝a 2＋b 2a，椭圆的离心率e 2＝ m 2－b 2m，由e 1e 2＝1得(a 2＋b 2)(m 2－b 2)＝a 2m 2，故a 2＋b 2＝m 2，因此三角形为直角三角形．二、填空题(每小题5分，共15分)7．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案 x 24－y 2＝1解析根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.8．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，椭圆和双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则1e 21＋3e 22＝________.答案 4解析如图，设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的半实轴长为a 2，则根据椭圆及双曲线的定义：⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2，∴|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，设|F 1F 2|＝2c ，∠F 1PF 2＝π3，则在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 2＝(a 1＋a 2)2＋(a 1－a 2)2－2(a 1＋a 2)(a 1－a 2)·cos π3，化简得a 21＋3a 22＝4c 2，该式可变形为a 21c 2＋3a 22c 2＝4，∴1e 21＋3e 22＝4.9．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为________．答案 x 24－y 25＝1解析设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得，y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 三、解答题(每小题10分，共30分)10．已知双曲线E 与双曲线x 22－y 2＝1共渐近线，且过点(2，－2)，若双曲线M 以双曲线E 的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M 的标准方程．解由题意，设E 的方程为x 22－y 2＝t (t ≠0)．∵点(2，－2)在E 上，∴222－(－2)21＝t ，∴t ＝－2，∴双曲线E 的标准方程为y 22－x 24＝1，又双曲线M 与E 为共轭双曲线，则双曲线M 的标准方程为x 24－y 22＝1.11．求两条渐近线为x ±2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得弦长为833的双曲线方程．解设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．联立方程组得：⎩⎨⎧x 2－4y 2＝λ，x －y －3＝0，消去y 得，3x 2－24x ＋(36＋λ)＝0.设直线被双曲线截得的弦为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么：⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋λ3，Δ＝242－12(36＋λ)>0.那么：|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫82－4×36＋λ3 ＝8(12－λ)3＝833. 解得：λ＝4，所以，所求双曲线方程是：x 24－y 2＝1.12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝233，直线l 过A (a,0)、B (0，－b )两点，原点O 到l 的距离是32.(1)求双曲线的方程；(2)过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若OM →·ON →＝－23，求直线m 的方程．解 (1)依题意，直线l 的方程为：x a ＋y－b ＝1，即bx －ay －ab ＝0.由原点O 到l 的距离是32，得aba 2＋b 2＝abc ＝32，又e ＝c a ＝233，所以b ＝1，a ＝ 3. 故所求双曲线方程为x 23－y 2＝1.(2)显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y ＝kx －1，设点M ，N 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 23－y 2＝1消去y ，得(1－3k 2)x 2＋6kx －6＝0.(*)依题意知1－3k 2≠0，由根与系数的关系知x 1＋x 2＝6k3k 2－1， x 1x 2＝63k 2－1.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k (x 1＋x 2)＋1＝6(1＋k 2)3k 2－1－6k 23k 2－1＋1＝－23，解得k ＝±12，当k ＝±12时，判别式Δ＝15>0，方程(*)有两个不等的实数根，满足条件．故直线m 方程为y ＝12x －1或y ＝－12x －1.。

人教A版选修1-1同步练习：2.2双曲线双曲线几何性质(含答案)

双曲线几何性质测试班级____________姓名______________1．动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为______________2．如果双曲线的渐近线方程为34y x =±，则离心率为____________3．过原点的直线l 与双曲线221y x -=有两个交点，则直线l 的斜率的取值范围为_____________4．已知双曲线2214x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为____________________5．已知椭圆2222135x y m n +=和双曲线2222123x y m n-=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为_____6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为__________________7．若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线的倾斜角为π02αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭，其离心率为．8．双曲线22221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为．9．设P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．10．若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点)，则双曲线的标准方程为．11．若椭圆221(0)x y m n m n +=>>和双曲线221(0)x y a b a b-=>>有相同的焦点12F F ，，点P 是两条曲线的一个交点，则12PF PF ·的值为．12．P 是双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，左支上的一点，12F F ，为其左、右焦点，且焦距为2c ，则12PF F △的内切圆圆心的横坐标为．13.过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双曲线162y -92x =1的通径的长是_______________14.双曲线16x 2-9y 2=144上一点P(x 0,y 0)(x 0＜0)到左焦点距离为4，则x 0= .15．已知双曲线2221()4x y b b *-=∈N 的左、右焦点分别为12F F ，，P 为双曲线上一点，若21212PF PF F F =·且24PF <，求双曲线的方程．16．如图，某农场在M 处有一堆肥料沿道路MA 或MB 送到大田ABCD 中去，已知6MA =，，8MB =，且AD B C ≤，90AMB ∠=°，能否在大田中确定一条界线，使位于界线一侧沿MB 送肥料较近？若能，请建立适当坐标系求出这条界线方程．17.试求以椭圆1692x +1442y =1的右焦点为圆心，且与双曲线9x 2-162y=1的渐近线相切的圆方程.1. 221(3)169x y y -+=-≤2. 53或543. (1)(1)--+，，∞∞4. 120k -<<5. x y =6. 2214x y -=7.1cos α8. 9. 7 10. 2213y x -+=11.m a - 12.a - 13. 92 14. 215-15。

人教新课标版(A)高二选修1-1 2.2.3双曲线的简单几何性质(一)同步练习题

人教新课标版（A ）高二选修1-1 2.2.3 双曲线的简单几何性质（一）同步练习题【基础演练】题型一：由双曲线的方程研究其几何性质请根据以上知识解决以下1~4题。

1. 双曲线3y x 322=-的渐近线方程是A. x 3y ±=B. x 31y ±=C. x 3y ±=D. x 33y ±= 2. 双曲线3y x 22=-的A. 顶点坐标是（3±，0），虚轴端点坐标是（0，3±）B. 顶点坐标是（0，3±），虚轴端点坐标是（3±，0）C. 顶点坐标是（3±，0），渐近线方程是x y ±=D. 虚轴端点坐标是（0，3±），渐近线方程是y x ±=3. 若a k 0<<，则双曲线1k b y k a x 2222=+--与1by a x 2222=-有A. 相同的实轴B. 相同的虚轴C. 相同的焦点D. 相同的渐近线4. 已知双曲线的渐近线方程为x 21y ±=，焦距为10，求双曲线方程。

题型二：由双曲线的几何性质求其方程充分利用双曲线的几何性质，以及a 、b 、c 间的数量关系，并结合平面几何知识，求出基本参数a 、b 、c 的值，进而求出双曲线的标准方程，请根据以上知识解决以下5~7题。

5. 双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为（0，2），则双曲线C 的方程为A. 14y 4x 22=-B. 14x 4y 22=-C. 18x 4y 22=-D. 14y 8x 22=-6. 过点（2，-2）且与1y 2x 22=-有公共渐近线的双曲线方程是A. 12y 4x 22=+-B. 12y 4x 22=-C. 14y 2x 22=+-D. 14y 2x 22=- 7. 求与双曲线19y 16x 22=-共渐近线且过点A （32，-3）的双曲线方程。

人教A版高中数学选修1-1 专题2-2-2双曲线的简单几何性

2.1.5 双曲线的简单几何性质（检测学生版）时间:50分钟总分：80分班级：姓名：一、选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为( )．A ．－14B ．－4C ．4 D.142.双曲线8kx 2-ky 2=8的一个焦点是（0，3），则k 的值是( )A.-1B.1C. 3．双曲线22+14x y k=的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是( )． A. －12<k <-1 B.0<k <12 C. －12<k <0 D.k <－12或0< k4．已知双曲线)0, 0( 12222>>=-b a by a x 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A ．02=±y xB ．02=±y xC ．034=±y xD ．043=±y x5．与椭圆C ：2211612y x +=共焦点且过点(1，的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－23y ＝1 B ．y 2－2x 2＝1 C. 22122y x -= D. 23y －x 2＝1 6双曲线1422=-y x 的顶点到渐进线的距离等于（） A. 52 B.54 C. 552 D.554 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．双曲线2212y x -=的离心率为.8．如果双曲线()222200x y a b a b-=>>，0y -=平行，则双曲线的离心率为_____．9.若双曲线M 上存在四个点,,,A B C D ，使得四边形ABCD 是正方形，则双曲线M 的离心率的取值范围是.10．过原点的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于,M N 两点，P 是双曲线上异于M ，N 的一点，若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为54，则双曲线的离心率为. 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分） 11．已知与双曲线221.169x y －＝共焦点的双曲线过点2P (－，－，求该双曲线的标准方程？12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>4．（1）求双曲线的标准方程；（2）过点()0,1，倾斜角为45︒的直线l 与双曲线C 相交于,A B 两点，O 为坐标原点，求△OAB 的面积．13．设A 、B 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右项点，双曲线的实轴长为（1）求双曲线的方程；（2）已知直线2y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D 使。

高中人教a版数学选修1-1课时作业2-2-2双曲线的几何性质 word版含答案

课时作业双曲线的简单几何性质．中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点(，－)，则它的离心率为( )．双曲线－＝的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )．．．．已知双曲线与椭圆＋＝共焦点，它们的离心率之和为，则双曲线的方程应是( ) －＝－＝．－＋＝．－＋＝．双曲线与椭圆＋＝有相同的焦点，它的一条渐近线为＝－，则双曲线方程为( ) ．－＝．－＝．－＝．－＝．已知双曲线－＝(>，>)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率为( ) ．．．是双曲线－＝上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且∠＝°，若△的面积是，则＋(>，>)的值等于( )．．．．．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )．已知，分别是双曲线－＝的左、右焦点，过作轴的垂线交双曲线的一个交点为，点和分别是△的内心和重心，若·＝，则此双曲线的离心率为( )．．二、填空题．双曲线的中心在原点，离心率＝，准线方程为＝±，则双曲线方程为．．设，分别是双曲线－＝(>，>)的左、右两个焦点，过且与双曲线实轴垂直的直线交双曲线于，两点，若△为正三角形，则此双曲线的渐近线方程是．．已知双曲线－＝(>，>)中，＝，则离心率＝.．在给定双曲线中，过焦点且垂直于实轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为，则该双曲线的离心率为．. [解析] 由题意知，过点(，－)的渐近线方程为＝－，∴－＝－×，∴＝.设＝，则＝，＝，∴＝＝＝.故选.[答案].[解析] 双曲线－＝的一个焦点坐标是()，一条渐近线＝，此焦点到渐近线的距离＝＝.故选.[答案].[解析] 椭圆＋＝的焦点坐标是(，±)，离心率＝，设双曲线的标准方程为－＝，则＋＝①，＝②，由①②得＝，＝，所以双曲线的方程是－＝.故选.[答案].[解析] 椭圆＋＝的焦点坐标是(，±)，设双曲线方程为－＝，则＋＝①，＝②，由①②得＝＝.所以双曲线方程为－＝.故选.[答案].[解析] ∵＝(＋)，∴＝，而＝－，∴＝－，整理，得＋－＝.∴＝＝.故选.[答案].[解析] ∵＝＝，∴＝，＝，＝.由＋＝，·＝，(－)＝－＝.解得＝，∴＋＝＋＝.故选.[答案].[解析] 设双曲线方程为－＝(>，>)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为＝，而＝－，∴·＝－，整理得＝.∴－－＝，等式两边同除以，得－－＝，解得＝或＝(舍去)．故选.[答案].[解析] 内心就是△的内切圆的圆心，利用切线长相等可得到点的横坐标也为，则点的横坐标也为，所以点的横坐标为，所以＝，。

人教新课标版数学高二数学选修1-1训练 2-2-2-2双曲线的简单几何性质

双基限时练(十一)1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成51两段，则此双曲线的离心率为( )A.32B.95C.355D.62解析由题可知b ＋c ＝5(c －b )，∴3b ＝2c . ∴9b 2＝4c 2＝9(c 2－a 2)． ∴5c 2＝9a 2，∴e 2＝95，e ＝35 5.答案 C2．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(2，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析设A (c ，y 0)代入双曲线方程得c 2a 2－y 20b 2＝1，∴y 20＝b4a2.∴|y 0|＝b 2a ，∴|AF |＝b 2a . ∵△ABE 是钝角三角形， ∴∠AEF >45°.则只需|AF |>|EF |，即b 2a >a ＋c ， ∴b 2>a 2＋ac ，即c 2－a 2>a 2＋ac ，c 2－ac －2a 2>0.∴e 2－e －2>0，解得e >2，或e <－1(舍去)．故选D. 答案 D3．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率， P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1→·PF 2→＝0，1e 21＋1e 22的值为( )A ．2 B.32 C ．4D.52解析设椭圆与双曲线的半焦距为c ，椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为m ，不妨设P 在第一象限，由题可得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，①|PF 1|－|PF 2|＝2m ，②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，③)①2＋②2得|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 2＋2m 2， ∴a 2＋m 2＝2c 2.又1e 21＋1e 22＝(a c )2＋(m c )2＝a 2＋m2c 2＝2.故选A. 答案 A4．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析设PF 1的中点为M ，由|PF 2|＝|F 1F 2|，故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中， |F 1M |＝(2c )2－(2a )2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，则4b －2c ＝2a ，即2b －a ＝c ，∴(2b －a )2＝a 2＋b 2. ∴3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a . 故双曲线的渐近线方程是y ＝±ba x ，即y ＝±43x ，故选C. 答案 C5．与曲线x 224＋y 249＝1共焦点，而与曲线x 236－y 264＝1共渐近线的双曲线方程为( )A.y 29－x 216＝1 B.x 216－y 29＝1 C.y 216－x 29＝1D.x 29－y 216＝1解析椭圆的焦点为(0，±5)，双曲线的渐近线为y ＝±43x ，验证选项知应选C.答案 C6．下列三图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边上的中点，双曲线均以图中的F 1，F 2为焦点，设图①、②、③中的双曲线的离心率分别为e 1，e 2，e 3，则( )A ．e 1>e 2>e 3B ．e 1<e 2<e 3C ．e 1＝e 3<e 2D ．e 1＝e 3>e 2解析设|F 1F 2|＝2c ，在①中2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝(3－1)c ；在②中，2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝10－22c ；在③中，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝(3－1)c .∴e 1＝e 3>e 2.答案 D7．若动点P (x ，y )到定点F (5,0)的距离是它到直线x ＝95的距离的53倍，则动点P 的轨迹方程为________．解析设P (x ，y )，则(x －5)2＋y 2|x －95|＝53，化简整理得16x 2－9y 2＝144. 答案 16x 2－9y 2＝1448．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝________.解析因为渐近线方程为y ＝x ，∴b ＝ 2. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. ∴点P 的坐标为(3，±1)．又易知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，不妨取P (3，1)． ∴PF 1→·PF 2→＝(－2－3，－1)·(2－3，－1)＝0.答案 09．已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.解析由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0，且b ＝3可得a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ⇒|PF 1|－3＝2⇒|PF 1|＝5.答案 510．已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144，F 1，F 2是其左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．解双曲线的方程可化为x 29－y 216＝1， ∴a 2＝9，b 2＝16，∴c ＝5.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6. ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|. 又|PF 1|·|PF 2|＝32，∴cos ∠F 1PF 2＝62＋2×32－4×252×32＝0.∴∠F 1PF 2的大小为90°.11．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 的中点的横坐标为－23，求此双曲线的方程．解设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，依题意c ＝7，∴方程可以化为x 2a 2－y 27－a2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 27－a 2＝1，y ＝x －1，得(7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2， ∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a 2＝－23，解得a 2＝2. ∴双曲线的方程为x 22－y 25＝1.12．设k ∈R ，讨论方程kx 2＋2y 2－8＝0所表示的曲线．解 ①当k <0时，方程变形为x 28k ＋y 24＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线；②当k ＝0时，方程为y 2－4＝0，它表示两条平行于x 轴的两条直线；③当0<k <2时，曲线x 28k＋y 24＝1表示焦点在x 轴上的椭圆；④当k ＝2时，方程变为x 2＋y 2＝4，它表示一个圆； ⑤当k >2时，曲线x 2k 8＋y 24＝1为焦点在y 轴上的椭圆．。

人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-2双曲线的简单几何性质(2)

7．双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2B. 3C. 2D.32[答案] C[解析] 双曲线的两条渐近线互相垂直，则渐近线方程为：y ＝±x ，∴b a ＝1，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝1， ∴c 2＝2a 2，e ＝c a ＝ 2. 9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P 引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则·的值为( )A ．a 2B ．b 2C ．2abD ．a 2＋b 2 [答案] A[解析] 特值法：当点P 在双曲线的一个顶点时，·＝a 2.10．(2010·浙江理，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0[答案] C[解析] 如图：由条件|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c又知|PF 2|＝|F 1F 2|，知A 为PF 1中点，由a 2＋b 2＝c 2，有|PF 1|＝4b 由双曲线定义：|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则4b －2c ＝2a∴2b ＝c ＋a ，又有c 2＝a 2＋b 2，(2b －a )2＝a 2＋b 2， ∴4b 2－4ab ＋a 2＝a 2＋b 23b 2＝4ab ，∴b a ＝43，∴渐近线方程：y ＝±43x .故选C.11．双曲线x 24＋y 2b ＝1的离心率e ∈(1,2)，则b 的取值范围是________．[答案] －12<b <0[解析] ∵b <0，∴离心率e ＝4－b 2∈(1,2)，∴－12<b <0.14．(2009·全国Ⅱ文，8改编)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查双曲线的几何性质、直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±36x ＝±22x ， ∴2x ±2y ＝0，由题意，得r ＝326＝ 3. 15．已知动圆与⊙C 1：(x ＋3)2＋y 2＝9外切，且与⊙C 2：(x －3)2＋y 2＝1内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解析] 设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，半径为r ，则|MC 1|＝r ＋3，|MC 2|＝r －1，∴|MC 1|－|MC 2|＝r ＋3－r ＋1＝4<|C 1C 2|＝6，由双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1、C 2为焦点的双曲线的右支，且2a ＝4，a ＝2，双曲线的方程为：x 24－y 25＝1(x ≥2)．18．是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程；若不存在，说明理由．(1)渐近线方程为x ＋2y ＝0及x －2y ＝0； (2)点A (5,0)到双曲线上动点P 的距离的最小值为 6.[解析] 假设存在同时满足题中的两条件的双曲线．(1)若双曲线的焦点在x 轴上，因为渐近线方程为y ＝±12x ，所以由条件(1)，设双曲线方程为x 24b 2－y 2b 2＝1，设动点P 的坐标为(x ，y )，则|AP |＝(x －5)2＋y 2＝54(x －4)2＋5－b 2，由条件(2)，若2b ≤4，即b ≤2，则当x ＝4时，|AP |最小＝5－b 2＝6，b 2＝－1，这不可能，无解；若2b >4，则当x＝2b 时，|AP |最小＝|2b －5|＝6，解得b ＝5＋62⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－62<2，应舍去，此时存在双曲线方程为x 2(5＋6)2－y 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋622＝1.(2)若双曲线的焦点在y 轴上，则可设双曲线方程为y 2a 2－x 24a 2＝1(x ∈R )，所以|AP |＝54(x －4)2＋a 2＋5，因为x ∈R ，所以当x ＝4时，|AP |最小＝a 2＋5＝ 6. 所以a 2＝1，此时存在双曲线方程为y 2－x 24＝1.。

高二数学人教A版选修1-1同步课时作业(14)双曲线的简单几何性质 Word版含解析

2020-2021学年高二数学人教A 版选修1-1同步课时作业（14）双曲线的简单几何性质1.已知双曲线222=1(0)4x y b b->,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A B C D 、、、四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为( )A.223=144x y - B.224=143x y - C.22144x y -= D.22=1412x y - 2.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>,若存在过右焦点F 的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =,则双曲线离心率的最小值为( )23C.2D.23.已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为( ) 307 307 D.56或7 4.设12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得121293,4PF PF b PF PF ab +=⋅=，则双曲线的离心率为( ) A.43B.53C.94D.35.已知00(,)M x y 是双曲线22:12x C y -=上一点，12,F F 是双曲线C 的两个焦点.若120MF MF ⋅<,则0y 的取值范围是( )A.33⎛ ⎝⎭B.33⎛ ⎝⎭C.2222⎛ ⎝⎭D.2323⎛ ⎝⎭6.已知点2F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，P 为双曲线右支上的一点.O 为坐标原点.若21()2OM OP OF =+,2222OF F M =,且22222OF F M a b ⋅=+，则该双曲线的离心率为( ) A.312+ B.32C.3D.237.下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是( )A.2214y x -=B.2214x y -= C.2214y x -=D.2214x y -=8.已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的离心率为2,则C 的渐近线的斜率为( )A.3±B.3±C.13±D.3±9.已知双曲线221(0)y x m m-=>的焦点为12,F F ,渐近线为12,l l ,过点2F 且与1l 平行的直线交2l 于M ,若120F M F M ⋅=,则m 的值为( ) A.1B.3C.2D.310.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点O 为坐标原点,点P 在双曲线右支上,12PF F △内切圆的圆心为Q ,圆Q 与x 轴相切于点A ,过2F 作直线PQ 的垂线,垂足为B ,则OA 与OB 的长度依次为( ) A.,a aB.22,a a b +C.3,22a a D.,2a a 11.如图,以AB 为直径的圆有一内接梯形ABCD ,且//AB CD .若双曲线1C 以,A B 为焦点,且过,C D 两点,则当梯形的周长最大时,双曲线1C 的离心率为_________.12.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作一条直线,当直线斜率为1时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率e 的取值范围为__________.13.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F ,直线1y x =-与其相交于,M N 两点,MN 的中点的横坐标为23-,则此双曲线的标准方程是_________.14.如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>两渐近线的夹角是60︒,则该双曲线的离心率是__________.15.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的焦距为4，且过点(3,-.1.求双曲线的方程及其渐近线方程；2.若直线:2l y kx =+与双曲线C 有且只有一个公共点，求实数k 的值.答案以及解析1.答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形.双曲线的渐近线方程为2b y x =±，圆的方程为224x y +=.不妨设交点A 在第一象限，由22,42by x x y =+=得22,44A A x y b b ==++，故四边形ABCD 的面积为232424A A bx y b b==+，解得212b =，故所求的双曲线方程为221412x y -=，故选D 2.答案：C解析：因为过右焦点的直线与双曲线 C 相交于,A B 两点且3AF BF =, 故直线与双曲线相交只能如图所示的情况, 即A 点在双曲线的左支,B 点在右支,设()()1122,,,A x y B x y ,右焦点()(),00F c c >, 因为3AF BF =,所以()12212,32c x c x x x c -=--=, 由图可知,12,x a x a ≤-≥, 所以12,33x a x a -≥≥, 故2134x x a -≥, 即24,2cc a a≥≥, 即2e ≥,故选C.3.答案：C解析：∵4,,9m 构成等比数列，∴236,6m m ==±.当6m =时，圆锥曲线方程为2216x y +=，其离心率为6；当6m =-时，圆锥曲线方程为2216x y -=.故选C 4.答案：B解析：根据双曲线的定义122PF PF a -=，可得222112224PF PF PF PF a -+=.由已知可得222112229PF PF PF PF b ++=.两式作差得2212449PF PF a b -=-.又1294PF PF ab =，所以224990a ab b +-=，即(43)(3)0a b a b -+=，得43a b =.两边平方得22169a b =，即222169()a c a =-，即22259a c =，则22259c a =，所以双曲线的离心率53e =，故选B5.答案：A解析：根据双曲线的标准方程，可知12(F F .因为00(,)M x y 在双曲线上，所以220012x y -=，即220022x y =+，所以120000(,),)MF MF x y x y ⋅=--⋅-22003x y =-+2031y =-.由20310y -<得2013y <，解得0y <<. 6.答案：A 解析：∵21()2OM OP OF =+,∴M 是2PF 的中点.∵2222OF F M =,∴22OF F M c ==,∴222222222cos()OF F M c OF M a b c ⋅=π-∠=+=，∴223OF M π∠=.∴32c M ⎛ ⎝⎭.∵2(,0)F c ，M 是2PF 的中点，∴(2)P c .∵点P 在双曲线上，∴2222431c c a b-=，即222222430b c a c a b --=.∵222b c a =-，∴222222224()3()0c c a a c a c a ----=，即4224480c a c a -+=，∵c e a=，∴424810e e -+=，解得21e =+或21e =(舍)，∴e ==，故选A 7.答案：C解析：由题意，选项A,B 表示的双曲线的焦点在x 轴上，故排除A,B ；选项C 表示的双曲线的渐近线方程为2204y x -=，即2y x =±，故选C 8.答案：A解析：∵双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>的离心率为2,∴2ca=,∴224c a =,∴2224a b a +=,∴a b =,∴C的渐近线方程为y x =,∴C的渐近线的斜率为,故选A. 9.答案：D解析：不妨设1212:,:,(l y l y F F ==,所以过点2F 且与渐近线1l 平行的直线方程为y x ,由y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩,解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以M ,所以12(1)31(1,),(22m m F M m F M +=+-=-.因为120F M F M ⋅=,所以3(1)(1)044m m m +-++=,即3(1)()044mm +-+=,解得3m =或1m =-(舍去).故选D. 10.答案：A解析：由题意,可知12(,0),(,0)F c F c -,内切圆与x 轴的切点是点A ,由122PF PF a -=及圆的知识,知122AF AF a -=,设内切圆的圆心Q 的横坐标为x ,则()()2x c c x a +--=,所以x a =,所以OA a =.延长2F B 交1PF 于点C ,则2PF C △为等腰三角形,且22,PC PF CB F B ==,在12F CF △中,11121111()()22222OB CF PF PC PF PF a a ==-=-=⨯=,故选A. 11.1解析：连接AC ,设,2BAC AB R θ∠==,作CE AB ⊥于点E ,则22sin ,cos(90)2sin BC R EB BC R θθθ==︒-=,所以224sin CD R R θ=-,梯形的周长221224sin 24sin 4(sin )52l AB BC CD R R R R R R θθθ=++=++-=--+.当1sin 2θ=,即30θ=︒时,l 有最大值5R ,这时,11,,()1),122cBC R AC a AC BC R e a==-===.12.答案：解析：双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为by x a=±.由过双曲线的右焦点、且斜率为1的直线与双曲线左、右两支各有一个交点,得1ba>,即22b a >,所以222c a >,可得e >由过双曲线的右焦点、且斜率为3的直线与双曲线右支有两个不同的交点,得3ba<,即229b a <,所以2210c a <,可得e <综上,双曲线的离心率e的取值范围为.13.答案：22125x y -=解析：由题意,设双曲线的方程为221(0,0)x y m n m n -=>>,由2211x y m ny x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩,得2()20n m x mx m mn -+--=,所以222()3M N m x x n m +=-=⨯--,解得25m n =.又2m n +=,所以2,5m n ==,即双曲线的标准方程为22125x y -=.14.2 解析：易知双曲线的渐近线的斜率是b a ±.又两渐近线的夹角为60︒,则tan 30b a =︒或tan 60ba=︒,即2113e -=或213e -=,又1e >,所以e =或2e =,2.15.答案：1.由题意得222249241a b a b⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得2213a b ⎧=⎨=⎩∴双曲线的方程为2213y x -=，其渐近线方程为y =. 2.由22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得22(3)470k x kx ---=.由题意得222301628(3)0k k k ⎧-≠⎨∆=+-=⎩∴27k =，∴k =当直线l 与双曲线C 的渐近线y =平行，即k =直线l 与双曲线C 只有一个公共点，∴k =k =解析：。

2021年高二人教版数学选修1-1练习：2.2.2双曲线的简单几何性质 Word版含答案

►根底梳理1．双曲线的几何性质.2.双曲线的有关几何元素．求双曲线的顶点、焦点、轴长、离心率、渐近线方程时 ,要先将方程化成双曲线的标准形式 ,然后求a 、b ,即可得到所求．3．双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ,双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ,一般情况下 ,先求a 、b ,再写方程．两者容易混淆 ,可将双曲线方程中右边的 "1〞换成 "0〞 ,然后因式分解即得渐近线方程 ,这样就不至|于记错了．(1) 假设渐近线方程为mx ±ny ＝0 ,求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上 ,也可能在y 轴上 ,可用下面的方法来解决．方法一分两种情况设出方程进行讨论；方法二依据渐近线方程 ,设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0) ,求出λ即可．(2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． ,►自测自评1．双曲线x 24－y 2＝1的离心率是(C) A.32B ．2 C.52 D.54解析：∵a ＝2 ,b ＝1 ,c ＝a 2＋b 2＝5 ,∴e ＝52. 2．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是y ＝±32x ．解析：a 2＝4 ,b 2＝9 ,焦点在x 轴上 ,∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x . 3．中|心在原点 ,实轴长为10 ,虚轴长为6的双曲线的标准方程是x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1． 1．(2021·茂名一模)双曲线x 2m －y 25＝1(m >0)的右焦点F (3 ,0) ,那么此双曲线的离心率为(C ) A ．6 B.322 C.32 D.342．双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍 ,且一个顶点的坐标为(0 ,2) ,那么双曲线C 的方程为(B )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 3．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点 ,离心率为2的双曲线方程为________．答案：x 24－y 212＝1 4．求与双曲线x 216－y 29＝1共渐近线且过点A (2 3 ,－3)的双曲线方程．解析：设所求双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)．将点(23 ,－3)代入 ,得λ＝－14, ∴双曲线方程为y 294－x 24＝1. 5．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ,求双曲线的离心率．分析：只知渐近线方程 ,并不知焦点在哪个轴上 ,因此应分情况解答．解析：设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0) ,即x 216λ－y 29λ＝1.λ＞0 ,焦点在x 轴上 ,a 2＝16λ ,b 2＝9λ ,c 2＝a 2＋b 2＝25λ ,∴e 2＝c 2a 2＝2516 ,e ＝54. λ＜0 ,焦点在y 轴上 ,a 2＝9λ ,b 2＝16λ ,c 2＝a 2＋b 2＝25λ ,∴e 2＝c 2a 2＝259 ,e ＝53.1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的两条渐近线互相垂直 ,那么该双曲线的离心率为(C ) A ．2 B. 3C. 2D.322．(2021·茂名二模)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的虚轴长为2 ,焦距为2 3 ,那么双曲线的渐近线方程为(B )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x3．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0 ,那么双曲线的离心率e 的值为(A )A.52B.62C. 2 D ．24．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的两个焦点 ,假设F 1 ,F 2 ,P (0 ,2b )是正三角形的三个顶点 ,那么双曲线的离心率为(B )A.32 B ．2 C.52D ．3 解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2) ,那么e ＝c a＝2 ,应选B. 5．双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2 ,其中一条渐近线方程为y ＝x ,点P ( 3 ,y 0)在该双曲线上 ,那么PF 1→·PF 2→＝(C )A ．－12B ．－2C ．0D ．4解析：由得 ,b 2＝2 ,c ＝2 ,点P 为(3 ,±1) ,左、右焦点坐标分别为(－2 ,0) ,(2 ,0) ,结合向量的乘法 ,易知选C.6．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列 ,那么双曲线的离心率e 为(D )A ．2B ．3C.43D.53解析：依题意 ,得2×2b ＝2a ＋2c ,即2b ＝a ＋c ,两边平方得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2 ,将b 2＝c 2－a 2代入化简得 ,3c 2－2ac －5a 2＝0.即3e 2－2e －5＝0 ,解得e ＝ 53. 7．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0 ,两顶点间的距离为 4 ,那么双曲线的方程为________________________________________________________________________．解析：由题意知a ＝2 ,当焦点在x 轴上时 ,有b a＝2 ∴b ＝4 ,双曲线方程为x 24－y 216＝1；当焦点在y 轴上时 ,有a b＝2 ∵b ＝1 ,双曲线方程为y 24－x 2＝1. 答案：x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝1 8．假设双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2 ,那么k 的值为________．解析：∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线 , ∴k ＋4<0 ,k <－4.∴a 2＝9 ,b 2＝－(k ＋4)．∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k .∴c a ＝5－k 3＝2. ∵5－k ＝36 ,k ＝－31.答案：－319．过点P (－3 ,0)的直线l 与双曲线x 216－y 29＝1交于点A ,B ,设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0) ,弦AB 的中点为M ,OM 的斜率为k 2(O 为坐标原点) ,那么k 1·k 2＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为(x 1 ,y 1) ,(x 2 ,y 2) , ∴x 2116－y 219＝1 ,x 2216－y 229＝1.两式相减得 (x 1＋x 2 ) (x 1－x 2 )16－ (y 1＋y 2 ) (y 1－y 2 )9＝0 , 即k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝9 (x 1＋x 2 )16 (y 1＋y 2 ). ∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 y 1＋y 22, ∴k 2＝y 1＋y 2x 1＋x 2,∴k 1·k 2＝916. 答案：91610．F 1、F 2为双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点 ,点P 在双曲线上 ,且∠F 1PF 2＝90° ,那么△F 1PF 2的面积是________．解析：双曲线x 24－y 2＝－1的两个焦点是F 1(0 ,－5)、F 2(0 ,5) , ∵∠F 1PF 2＝90° ,∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2.即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.①∵|PF 1|－|PF 2|＝±2 ,∴|PF 1|2－2|PF 2|·|PF 1|＋|PF 2|2＝4.②①－②得2|PF 1|·|PF 2|＝16 ,∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝4. 答案：411．求适合以下条件的双曲线标准方程．(1)虚轴长为12 ,离心率为54； (2)顶点间距离为6 ,渐近线方程为y ＝±32x . 解析：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 ,或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0 ,b >0)．由题知2b ＝12 ,c a ＝54,且c 2＝a 2＋b 2 , ∴b ＝6 ,c ＝10 ,a ＝8 ,∴标准方程为x 264－y 236＝1 ,或y 264－x 236＝1. (2)当焦点在x 轴上时 ,由b a ＝32 ,且a ＝3 ,∴b ＝92. ∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1. 当焦点在y 轴上时 ,由a b ＝32,且a ＝3 ,b ＝2. ∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1. 12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B . (1)求双曲线离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ,且P A →＝512PB → ,求a 的值．解析：(1)∵曲线C 与l 相交于两个不同的点A 、B ,∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1x ＋y ＝1有两个不同的实数解 , ∴(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0 ①∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠04a 4＋8a 2 (1－a 2 )>0'解得0<a <2且a ≠1. ∴e 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2>1＋12＝32 ,∴e >62且e ≠ 2. (2)由题意知：P (0 ,1) ,设A (x 1 ,y 1)、B (x 2 ,y 2) ,由P A →＝512PB → ,得(x 1 ,y 1－1)＝512(x 2 ,y 2－1) , ∴x 1＝512x 2 ,由①可知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2a 21－a 2 x 1·x 2＝2a 21－a 2, 以上两式相联消去x 1、x 2可得－2a 21－a 2＝28960 ,由a >0 ,知a ＝1713.►体验（高|考）1．(2021·天津卷)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10 ,双曲线的一个交点在直线l 上 ,那么双曲线的方程为(A )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ,因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋10平行 ,所以b 2＝2.又因为双曲线的一个焦点在直线y ＝2x ＋10上 ,所以－2c ＋10＝0 ,所以c ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2 c ＝a 2＋b 2＝5得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5b 2＝20. 故双曲线的方程为x 25－y 220＝1. 2．(2021·重庆卷)设F 1 ,F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0 ,b >0)的左、右焦点 ,双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|－|PF 2|)2＝b 2－3ab ,那么该双曲线的离心率为(D )A. 2B.15 C ．4 D.17解析：根据条件 ,知||PF 1|－|PF 2||＝2a ,所以4a 2＝b 2－3ab ,所以b ＝4a ,双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝17 ,选择D. 3．(2021·全国大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0 ,b >0)的离心率为2 ,焦点到渐近线的距离为 3 ,那么C 的焦距等于(C ) A ．2 B ．2 2C ．4D ．4 2解析：∵e ＝c a ＝2 ,∴c ＝2a .∵双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax , 不妨取y ＝b ax ,即bx －ay ＝0 , ∵焦点F (c ,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为 3.∴bc a 2＋b 2＝3 ,∴bc c ＝3 ,∴b ＝ 3. ∵c ＝2a ,∴c 2－a 2＝b 2 ,∴4a 2－a 2＝3 ,a ＝1 ,c ＝2.4．(2021·四川卷)双曲线x 24－y 2＝1的离心率等于________．解析：因为双曲线的方程为x 24－y 2＝1 ,所以a ＝2 ,b ＝1 , 所以c ＝5 ,所以双曲线的离心率e ＝c a ＝52. 答案：525．(2021·北京卷)设双曲线C 经过点(2 ,2) ,且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线 ,那么C 的方程为________ ,渐近线方程为________．解析：设C ：y 24－x 2＝λ(λ≠0) 过(2 ,2) ,那么224－22＝λ 1－4＝λ ,λ＝－3∴C ：y 24－x 2＝－3 即x 23－y 212＝1 易得渐近线：x 3±y 23＝0 即y ＝±2x .6．(2021·新课标全国卷Ⅰ)双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的离心率为2 ,那么a ＝(D) A ．2 B.62 C.52D ．1 解析：由题意得e ＝a 2＋3a＝2 ,∴a 2＋3＝2a , ∴a 2＋3＝4a 2 ,∴a 2＝1 ,∴a ＝1.。

人教新课标版数学高二数学选修1-1练习2-2-2-1双曲线的简单几何性质

技能演练1.双曲线C 的实轴长和虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 24＝1 B.y 24－x 24＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－x 24＝1 答案 B2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2 D.32 答案 C3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1和椭圆x 2m 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，m ＞b ＞0)的离心率互为倒数，那么以a ，b ，m 为边长的三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析由题意知a 2＋b 2a 2·m 2－b 2m 2＝1，化简得a 2＋b 2＝m 2∴以a ，b ，m 为边长的三角形为直角三角形．答案 B4．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，且离心率为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝96B ．y 2－x 2＝100C ．x 2－y 2＝80D ．y 2－x 2＝24答案 D5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为( )A.53 B.43 C.54 D.32答案 A6．以椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为焦点，离心率为2的双曲线方程为________．答案 x 24－y 212＝17．双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，则双曲线的方程为________．解析由题意知a ＝2，当焦点在x 轴上时，有b a ＝2 ∴b ＝4，双曲线方程为x 24－y 216＝1；当焦点在y 轴上时，有ab ＝2 ∴b ＝1，双曲线方程为y 24－x 2＝1.答案 x 24－y 216＝1或y 24－x 2＝18．若双曲线x 2k ＋4＋y 29＝1的离心率为2，则k 的值为________．解析 ∵x 2k ＋4＋y 29＝1是双曲线，∴k ＋4＜0，k ＜－4. ∴a 2＝9，b 2＝－(k ＋4)． ∴c 2＝a 2＋b 2＝5－k . ∴c a ＝5－k3＝2. ∴5－k ＝36，k ＝－31. 答案－319．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．分析只知渐近线方程，并不知焦点在哪个轴上，因此应分情况解答．解设具有渐近线y ＝±34x 的双曲线方程为x 216－y 29＝λ(λ≠0)，即x 216λ－y 29λ＝1. 若λ＞0，焦点在x 轴上，a 2＝16λ，b 2＝9λ， c 2＝a 2＋b 2＝25λ， ∴e 2＝c 2a 2＝2516，e ＝54；若λ＜0，焦点在y 轴上，a 2＝－9λ，b 2＝－16λ， c 2＝a 2＋b 2＝－25λ，∴e 2＝c 2a 2＝－25λ－9λ＝259，∴e ＝53.∴e ＝54，或e ＝53.10．求适合下列条件的双曲线标准方程． (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1，或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题知2b ＝12，c a ＝54，且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴标准方程为x 264－y 236＝1，或y 264－x 236＝1.(2)当焦点在x 轴上时，由b a ＝32，且a ＝3，∴b ＝92.∴所求双曲线方程为x 29－4y 281＝1.当焦点在y 轴上时，由a b ＝32，且a ＝3，∴b ＝2.∴所求双曲线方程为y 29－x 24＝1.感悟高考(2010·北京)已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．答案(±4,0)3x±y＝0。