双曲线的几何性质(习题)

合集下载

双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3.2.2双双双双双双双双双双(2)一、单选题1. 已知斜率为1的直线l 与双曲线2214x y -=的右支交于A ，B 两点，若||8AB =，则直线l 的方程为 ( )A. 21y x =B. 21y x =C. 35y x = D. 35y x =2. 已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A. 3)B. (1,2]C. 3,)+∞D. [2,)+∞3. 设12,F F 是双曲线22:-=145x y C 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||3OP =，则12PF F 的面积为( )A. 3B.72C.532D. 54. 已知1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点，12||23F F =，600(,)M x y 是双曲线C 上的一点，若120MF MF ⋅<，则0y 的取值范围是( )A. 33(B. 33(C. 2222(33-D. 2323( 5. 若直线2y x =与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A. 5)B. 5,)+∞C. 5]D. 5,)+∞6. 已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有( )A. 4条B. 3条C. 2条D. 1条7. 已知双曲线C ：2212x y -=，若直线l ：(0)y kx m km =+≠与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且M ，N 都在以(0,1)A -为圆心的圆上，则m 的取值范围是( )A. 1(,0)(3,)3-⋃+∞B. (3,)+∞C. (,0)(3,)-∞⋃+∞D. 1(,3)3-二、多选题8. 已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近线于A ，B 两点，若223||||F A F B =，则双曲线C 的离心率可能为( )A.141B.6 C. 3 D. 59. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，左、右顶点分别为A 、B ，O 为坐标原点．点P 为双曲线上任意一点(异于实轴端点)，过点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为Q ，连接.OQ 则下列结论正确的有.( )A. 2//OQ PFB. ||OQ a =C. 22||||2PF PF b ⋅=D. 2max()ABQ Sa =三、填空题10. 若直线0x y m -+=与双曲线2212y x -=交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，则m 的值为__________.11. 直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于不同的两点,.A B 若点,A B 分别在双曲线的左、右两支上，则实数k 的取值范围为__________；若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，则实数k 的值为__________.12. 已知双曲线C ：22145x y -=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，若||5AB =，则满足条件的l 的条数为__________.13. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，1F ，2F 分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)M a -，(0,)N b ，点P 为线段MN 上的动点，当12PF PF ⋅取得最小值和最大值时，12PF F 的面积分别为1S ，2S ，则21S S =__________. 四、解答题14. 设A ，B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右顶点，双曲线的实轴长为43 3.(1)求双曲线的方程； (2)已知直线32y x =-与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM ON tOD +=，求t 的值及点D 的坐标.15. 如图，平面上，P 、Q 两地间距离为4，O 为PO 中点，M 处为一基站，设其发射的电波为直线，测量得60MOQ ︒∠=，且O 、M 间距离为23N 正在运行，它在运行过程中始终保持到P 地的距离比到Q 地的距离大2(P 、O 、M 、N 及电波直线均共面)，请建立适当的平面直角坐标系.(1)求出机器人N 运行的轨迹方程；(2)为了使机器人N 免受M 处发射的电波的影响(即机器人接触不到过点M 的直线)，求出电波所在直线斜率k 的取值范围.16. 已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =，且点(2,3)P 为E 上一点．(1)求E 的标准方程；(2)设M 为E 在第一象限的任一点，过M 的直线与E 恰有一个公共点，且分别与E 的两条渐近线交于点A ，B ，设O 为坐标原点，证明：AOB 面积为定值．17. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，过点且斜率为1的直线l 交双曲线C 于A ，B 两点.且 3.OA OB ⋅=(1)求双曲线C 的标准方程.(2)设Q 为双曲线C 右支上的一个动点，F 为双曲线C 的右焦点，在x 轴的负半轴上是否存在定点.M 使得2QFM QMF ∠=∠？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.答案和解析1.【答案】B解：设直线l 的方程为y x m =+，，由2214y x m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得2238440x mx m +++=，则212443m x x +=，1283m x x +=-，又因为||8AB =，且A 、B 是直线l 与双曲线2214x y -=右支的交点，所以，且803m->，即，且0m <，解得221m =，且0m <，所以21m =-，所以直线l 的方程为21.y x =- 故选.B2.【答案】B解：由题意，圆心到直线的距离231d k ==+，3k ∴= 圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>没有公共点，与其中一条渐近线by x a=斜率比较即可， 3b a∴，2214b a+，∴双曲线C 的离心率的取值范围是(1,2].故答案选：.B11(,)A x y3.【答案】D解：由已知得2, 3.a c == 设(,)P x y ，由||3OP =，得229x y +=，所以229x y =-，代入22145x y -=，解得5.3y =± 所以1212115||||6||5223F F PSF F y ==⨯⨯±=，故选.D4.【答案】A解：由题意，3c =2a =1b =，∴双曲线方程为22 1.2x y -=120MF MF ⋅<，220030x y ∴+-<， 220022x y =+， 20310y ∴-<，03333y ∴-<<，故选：.A5.【答案】B解：双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a=±，由双曲线与直线2y x =有交点，则有2ba>，即有22221()145c a b b e a a a+===+>+=则双曲线的离心率的取值范围为(5,).+∞ 故选：.B6.【答案】B解：由题意可得：双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±，点(1,0)P 是双曲线的右顶点，故直线1x =与双曲线只有一个公共点；过点(1,0)P 平行于渐近线2y x =±时，直线L 与双曲线只有一个公共点，有2条，所以，过(1,0)P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，这样的直线共有3条. 故选.B7.【答案】A解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由，则①，且122412mkx x k+=-，21222(1)12m x x k -+=-，设MN 的中点为00(,)G x y ，则02212km x k =-，0212my k=-， M ，N 在以A 为圆心的圆上，，G 为MN 的中点，AG MN ∴⊥，21212m k k km+-∴⋅=-，2231k m ∴=+②，由①②得103m -<<或3m >，故选.A8.【答案】BC解：由题意得直线 l 垂直于渐近线by x a=，则2OA BF ⊥，由双曲线性质得2||AF b =，||OA a =，由223||||F A F B =，得2||2||2AB AF b ==或2||4||4.AB AF b == 当2||2||2AB AF b ==时，如图：在Rt BOA 中，2tan b BOA a∠=，由双曲线渐近线性质得21AOF BOF ∠=∠，2tan b AOF a∠=，因此有22tan tan(2)tan(2)BOA AOF AOF π∠=-∠=-∠2222222tan 21tan 1bAOF b a b AOF a a⨯∠=-=-=-∠-，化简得2b a =，故离心率2213b e a=+=；当||4AB b =时，如图：在2Rt AOF 中，2tan b AOF a∠=，在Rt AOB 中，4tan b AOB a ∠=，因为22AOB AOF ∠=∠，利用二倍角公式，得2241()bb a b a a⨯=-，化简得21()2b a =，故离心率2261.2b e a =+=综上所述，离心率e 的值为3或6.2故选.BC9.【答案】ABD解：如图所示：A 选项，延长1F Q 交2PF 于点C ，因为PQ 为12F PF ∠的平分线，1PQ F Q ⊥，故Q 为1F C 的中点，1||||F Q QC =，又因为12||||FO F O =，即O 为12F F 的中点，故OQ 为12F F C 的中位线，所以2||2||F C OQ =，2//OQ F C ，又因为P 、2F 、C 共线，故2//OQ PF ，故A 正确；B 选项，由定义可知12||||2PF PF a -=，因为1||||F P PC =，而12||||2F P PF a -=，故22||||||2PC PF F C a -==，而2||2||F C OQ =，故1||22OQ a a =⨯=，故B 正确； C 选项，若212||||2PF PF b ⋅=，则222222212121212||||(||||)2||||444()PF PF PF PF PF PF a b c F F +=-+=+==，则1290F PF ∠=︒，题中无说明，故不成立，故C 错误； D 选项，因为||2AB a =，||OQ a =，当OQ x ⊥轴时，2max1()22ABQ Sa a a =⨯⨯=，故D 正确.故选：.ABD10.【答案】1±解：设A ，B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的中点为00(,).M x y 由得22220(0)x mx m ---=∆>，则212122,2x x m x x m +==--，1202x x x m +∴==，002.y x m m =+= 点00(,)M x y 在圆225x y +=上，22(2)5m m ∴+=， 1.m ∴=±故答案为 1.±11.【答案】1±解：(1)由直线1y kx =+与双曲线2231x y -=，得22(3)220k x kx ---=，因为A ， B 在双曲线的左右两支上，所以230k -≠，2203k -<- 解得33;k -<<(2)假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=，1212(1)(1)0x x kx kx ∴+++=，即21212(1)()10k x x k x x ++++=，22222(1)1033kk k k k -∴+⋅+⋅+=--，整理得21k =，符合条件，1.k ∴=±故答案为； 1.±12.【答案】3解：24a =，25b =，29c =，则(3,0)F ，若A 、B 都在右支上，当AB 垂直于x 轴时，将3x =代入22145x y -=得52y =±，则||5AB =，满足，若A 、B 分别在两支上，2a =，∴两顶点的距离为2245+=<，∴满足||5AB =的直线有2条，且关于x 轴对称，综上满足条件的l 的条数为3. 故答案为：3.13.【答案】4解：离心率为2ce a==，即2c a =，3b a =， (,0)M a -，(0,)N b ，可得MN 的方程为0bx ay ab -+=，设(,)P m n ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，可得22212(,)(,)PF PF c m n c m n m n c ⋅=---⋅--=+-，由22222()m n m n +=+表示原点O 与P 的距离的平方，显然OP 垂直于MN 时，||OP 最小，由OP ：ay x b=-，即33y x =-330x y a -+=，可得33(,)44P a a -，即211332242S c a a =⋅⋅=，当P 与N 重合时，可得||OP 最大，可得2212232S c b a =⋅⋅=，即有222123 4.3S a S a ==故答案为：4.14.【答案】解：(1)双曲线的渐近方程为by x a=±，焦点为(,0)F c ±， ∴焦点到渐近线的距离为，又243a =，23a ∴=，双曲线的方程为221.123x y -=(2)设点112200(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，由得： 2163840x x -+=，1212123163,()4123x x y y x x ∴+=+=+-=， OM ON tOD +=，0,01212()(,)t x y x x y y ∴=++，有，又点00(,)D x y 在双曲线上， 2216312()()1123t t ∴-=，解得216t =，点D 在双曲线的右支上，0t ∴>，4t ∴=，此时点(43,3).D15.【答案】解：(1)如图所示，以点O 为坐标原点，以PQ 所在的直线为x 轴建立直角坐标系，则(2,0),(2,0)P Q -，设点(,)N x y ，则||||2||4NP NQ PQ -=<=，所以动点N 是以点,P Q 为焦点的双曲线的右支，由题得22,2,1a c a ===，所以2413b =-=，所以动点N 的轨迹方程为221(1).3y x x -= (2)由题得点M 的坐标为3,3)，设直线的方程为3(3)y k x -=，即：(3)3y k x =-+，联立直线和221(1)3y x x -=，消去y 得2222(3)(236)633120k x k k x k k -+-+--=当230k -=时，若3k =当3k =当230k -≠时，由0∆<得2222(236)4(3)(63312)0k k k k k -----<，所以(3)(3)0k k --<， 32 3.k << 32 3.k <所以电波所在直线斜率k 的取值范围16.【答案】解：(1)当3ba =E 的标准方程为222213x y a a -=，代入(2,3)，解得2 1.a =故E 的标准方程为221.3y x -=(2)直线斜率显然存在，设直线方程为y kx t =+，与2213y x -=联立得：222(3)230.k x ktx t -+++=由题意，3k ≠222244(3)(3)0k t k t ∆=--+=，化简得：2230.t k -+=设1122(,),(,)A x y B x y ，将y kx t =+与3y x =联立，解得13x k =-；与3y x =-联立，解得23x k=+ 212122113||||sin |2||2|sin1203|.22|3|AOBt S OA OB AOB x x x x k ︒∆=⋅⋅∠=⋅⋅==- 由2230t k -+=，3AOB S ∆∴AOB 3.17.【答案】解：(1)设双曲线C 的焦距为2c ，由双曲线C 的离心率为2知2c a =，所以223b c a a -=，从而双曲线C 的方程可化为222213x y a a-=，由得22226630x x a ---=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，因为，所以126x x +=，212332x x a ⋅=--，因为3OA OB ⋅=，所以12121212(6)(6)3x x y y x x x x +=+=，于是21212326()62(3)66632x x x x a ++=⨯--=，解得1a =，所以双曲线C 的标准方程为2213y x -=； (2)假设存在，点(,0)(0)M t t <满足题设条件．由(1)知双曲线C 的右焦点为，设为双曲线C 右支上一点，当02x =时，因为290QFM QMF ︒∠=∠=，所以45QMF ︒∠=，于是，所以 1.t =-当02x ≠时，00tan 2QF y QFM k x ∠=-=--，00tan QM y QMF k x t∠==-，因为2QFM QMF ∠=∠，所以0002000221()y y x ty x x t⨯--=---，将220033y x =-代入并整理得22200002(42)4223x t x t x tx t -++-=--++，所以，解得 1.t =-综上，满足条件的点M 存在，其坐标为。

高中数学选择性必修一双曲线(习题课)

题型四双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17，所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支．设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17，得 a＝1，b2＝c2－a2＝16，所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围．【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.

双曲线的几何性质习题4

1.双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线的离心率是（） A.2或 B.2 C. D. 2.准线方程为y=±1，离心率为的双曲线的方程是（） A.=11 B. =2 C.=2 D. =-2 3.双曲线的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角是（） A.45° B.30° C.60° D.90° 4.双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分，则它的离心率为（） A. B. C. D.2 5.双曲线4x2-9y2=36上一点P到右焦点的距离为3，则P点到左准线的距离为（） A. B.27 C. D. 6.与椭圆共焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程是（） A. B. C. D. 7.设双曲线（０＜ａ＜ｂ＝的半焦距为c，直线l过（a,0）和 (0，b)两点.已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为（）Ａ.2 Ｂ. Ｃ. Ｄ. 8.双曲线的两个焦点分别为F1、F2，P为双曲线上的任意一点，求证：｜PF1｜、｜PO｜、｜PF2｜成等比数列. 9.经过双曲线的右焦点F2作倾斜角为30°的直线，与双曲线交于A、B两点，求： (1)｜ＡＢ｜；（2）△F1AB的周长(F1是双曲线的左焦点). 参考答案： 1.A 2.C 3.D 4.B 9.(1)3 (2)3+3.
5.A
6.B
7

人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案

关闭Word文档返回原板块。

课时自测·当堂达标1.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( )A.4B.3C.2D.1【解析】选C.因为双曲线的焦点在x轴上,所以渐近线方程为y=±x,又已知渐近线方程为3x±2y=0,即y=±x,所以a=2.2.若双曲线的一个焦点为(0,-13),且离心率为,则其标准方程为( )A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选 D.依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13.又=,所以a=5,b==12,故其标准方程为-=1.3.若双曲线-=1的离心率e=2,则m= .【解析】因为a2=16,b2=m,所以a=4,b=,c2=16+m,所以e===2,解得m=48.答案:484.过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点作圆x2+y2=a2的两条切线,切点分别为A,B,若∠AOB=120°(O是坐标原点),则双曲线C的离心率为.【解析】如图,由题设条件知|OA|=a,|OF|=c,∠AOF=60°,所以e==2.答案:25.求双曲线y2-2x2=1的离心率和渐近线方程.【解析】双曲线方程化为标准方程形式为-=1.所以a2=1,b2=,焦点在y轴上.所以a=1,b=,c2=,c=.所以e==,渐近线方程为y=±x.关闭Word文档返回原板块第一章章末总结知识点一四种命题间的关系命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．例1判断下列命题的真假．(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；(2)若0<x <5，则|x －2|<3的否命题与逆否命题；(3)设a 、b 为非零向量，如果a ⊥b ，则a·b ＝0的逆命题和否命题．知识点二充要条件及其应用充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：(1)定义法(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn 图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2 若p ：－2<a <0,0<b <1；q ：关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，则p 是q 的什么条件？例3 设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0.q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0.且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．知识点三逻辑联结词的应用对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．例4 判断下列命题的真假．(1)对于任意x ，若x －3＝0，则x －3≤0；(2)若x ＝3或x ＝5，则(x －3)(x －6)＝0.例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋116a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．知识点四全称命题与特称命题全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．例6 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)3＝2；(2)5>4；(3)对任意实数x ，x >0；(4)有些质数是奇数．例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．章末总结重点解读例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3，∴0≤|x －2|<3.原命题为真，故其逆否命题为真．否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题．逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．例2 解若a ＝－1，b ＝12，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p .所以，p 是q 的必要不充分条件．例3 解设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴AB ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧ 3a ≥－2a <0，解得－23≤a <0或a ≤－4. 故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－23，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真；(2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0，∴命题为假．例5 解 p ：由ax 2－x ＋116a >0恒成立得 ⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝1－4×a ×a 16<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立，令t ＝2x ＋1>1，则x ＝t 2－12， ∴t <1＋a ·t 2－12， ∴2(t －1)<a (t 2－1)对一切t >1均成立．∴2<a (t ＋1)，∴a >2t ＋1，∴a ≥1. ∵p 或q 为真，p 且q 为假，∴p 与q 一真一假．若p 真q 假，a >2且a <1不存在．若p 假q 真，则a ≤2且a ≥1，∴1≤a ≤2.故a 的取值范围为1≤a ≤2.例6 解 (1)3≠2，真命题；(2)5≤4，假命题；(3)存在一个实数x ，x ≤0，真命题；(4)所有质数都不是奇数，假命题．例7 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )，即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。

(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。

2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。

定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。

当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。

无限接近，但不可以相交。

例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。

注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。

【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。

练习。

焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。

求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。

2-2-2 双曲线的简单几何性质

能力拓展提升一、选择题11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D[解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知ba <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D.12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14x B ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x[答案] C[解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±12x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系．13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±32x B ．y ＝±12x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x[答案] A[解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2＝4b 2，∴b a ＝32.∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±32x .14．中心在坐标原点，离心率为53的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( )A ．y ＝±54x B ．y ＝±45x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x[答案] D[解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝259，∴b 2a 2＝169，∴b a ＝43，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±43y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题15．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于________．[答案] 1[解析] 双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的渐近线方程为y ＝±b 2x ，∴b 2＝12，即b ＝1.16．已知双曲线与椭圆x 2＋4y 2＝64共焦点，它的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则双曲线的方程为________．[答案] x 236－y 212＝1[解析] 解法一：由于双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则另一条为x ＋3y ＝0，可设双曲线方程为x 2－3y 2＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 2λ3＝1由椭圆方程x 264＋y 216＝1可知 c 2＝a 2－b 2＝64－16＝48双曲线与椭圆共焦点，则λ＋λ3＝48 ∴λ＝36.故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.解法二：双曲线与椭圆共焦点，可设双曲线方程为 x 264－λ－y 2λ－16＝1 由渐近线方程x －3y ＝0可得λ－1664－λ＝13∴λ＝28故所求双曲线方程为x 236－y 212＝1.解法三：椭圆x 264＋y 216＝1中，c 2＝64－16＝48.设双曲线的实半轴长，虚半轴长分别为a 、b ，则由条件知⎩⎨⎧a 2＋b 2＝48b a ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36b 2＝12，∴双曲线方程为x 236－y 212＝1. 三、解答题17．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)，(0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．[分析] 由截距式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而求出ca .[解析] 由l 过两点(a,0)、(0，b )，得 l 的方程为bx ＋ay －ab ＝0.由原点到l 的距离为34c ，得ab a 2＋b 2＝34c .将b ＝c 2－a 2代入，平方后整理，得16⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 22－16×a 2c 2＋3＝0.令a2c 2＝x ，则16x 2－16x ＋3＝0，解得x ＝34或x ＝14.由e ＝ca 有e ＝1x .故e ＝233或e ＝2.因0<a <b ，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋b 2a 2>2，所以应舍去e ＝233，故所求离心率e ＝2.18．焦点在x 轴上的双曲线过点P (42，－3)，且点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，求此双曲线的标准方程．[解析] 因为双曲线焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)．因为双曲线过点P (42，－3)，所以32a 2－9b 2＝1.①又因为点Q (0,5)与两焦点的连线互相垂直，所以QF 1→·QF 2→＝0，即－c 2＋25＝0. 所以c 2＝25.② 又c 2＝a 2＋b 2，③所以由①②③可解得a 2＝16或a 2＝50(舍去)．所以b 2＝9，所以所求的双曲线的标准方程是x 216－y 29＝1.。

双曲线的几何性质

4.双曲线2mx2-my2=2,有一条准线方程是y=1,则m应等于
A.-4是
1 B.- 2
C.-2
4 D.- 3
第 1 页，共 12 页
x 2 ( y 1) 2 17 1 P(m , ) 2 ，则P点到双曲线右焦点的距离是__________. 5 5.双曲线 4 ，经过第一象限内的点
x2 y2 1 16 6.双曲线 9 的一个焦点到一条渐近线的距离等于
6.直线y－ax－1=0和双曲线3x2－y2=1相交于A、B两点，a为何值时，以AB为直径的圆经过原点.
第 6 页，共 12 页
x2 y2 2 1 2 b 7.已知F`1,F2为双曲线 a （a>0,b>0）的焦点。过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2=30 .
求双曲线的渐近线方程.
A.(1,-2) B.(0,-2) C.(1,-4) D.(-2,-1)
15.双曲线的焦点F1，F2，过F1且与实轴垂直的弦为PQ，若
PF2 Q

2 则双曲线离心
率的值是
A. 2 1
B. 2
C. 2 1
x2
2 1 D. 2
16.过点P(1,1)且与双曲线
y2 1 4 有且仅有一个共点的直线共有
A.
2
x 2 y 2 10 x 9 0
2
B.
x 2 y 2 10 x 9 0
C.
x 2 y 2 10 x 9 0
D. x y 10 x 9 0
x2 y2 π 2 1 2 a b 12.双曲线 (a>0,b>0)的渐近线与x轴的夹角为α(0<α< 2 ),则过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度

双曲线简单几何性质练习题

双曲线的简单几何性质练习题班级姓名学号1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12x D ．y ＝±x 3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝45．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B.2C.52D.226．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0) B ．(－12,0)C ．(－3,0) D ．(－60，－12)7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________． 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为．10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．11．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．12．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e＝5 2；(2)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P(4，－10)．14．已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，且a2c＝33.(1)求双曲线C的方程；(2)已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值．参考答案1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上，所以⎝⎛⎭⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a ＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线方程为x 24－y 212＝1. 2．(新课标卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x 解析：选C 因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax .又离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x .3．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确． 4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4 解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.3B. 2 C.52D.22解析：选B 由题意可知，此双曲线为等轴双曲线．等轴双曲线的实轴与虚轴相等，则a ＝b ，c ＝ a 2＋b 2＝2a ，于是e ＝c a＝ 2. 6．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12)解析：选B 由题意知k <0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又e ∈(1,2)，∴1<1－k 4<4，∴－12<k <0. 7．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 1)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2，代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1. 8．(江苏高考)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析：令x 216－y 29＝0，解得y ＝±34x . 答案：y ＝±34x 9．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4，∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1. 答案：x 29－y 216＝1 10．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，将直线AB 方程：y ＝33(x ＋2)代入双曲线方程，得8x 2－4x －13＝0.显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋13×⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－138＝3. 答案：311．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：212．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x . 不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215. 13．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)．解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．因为双曲线过点(3，－2)，则9a 2－2b2＝1.① 又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. 若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1. (2)由2a ＝2b 得a ＝b ，∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点P (4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1. 14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3. 所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ>0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m . 因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。

双曲线的简单几何性质习题集

2．3.2 双曲线的简单几何性质自测自评1．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±23xB ．y ＝±49xC ．y ＝±32xD ．y ＝±94x2．双曲线x 22－y 214＝1的离心率为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．43．中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是( ) A.x 225－y 29＝1 B.x 225－y 29＝1或y 225－x 29＝1 C.x 2100－y 236＝1 D.x 2100－y 236＝1或y 2100－x 236＝1 自测自评1．解析：a 2＝4，b 2＝9，焦点在x 轴上，∴渐近线方程为y ＝±b a x ＝±32x .答案：C2．解析：∵a 2＝2，∴a ＝ 2.又b 2＝14，∴c 2＝a 2＋b 2＝16.∴c ＝4.∴e ＝ca＝2 2. 答案：B3．解析：考虑焦点在x 轴或y 轴两种情况，选B. 答案：B忽略标准方程与渐近线的对应关系致错．基础巩固1．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．4 21．解析：双曲线方程可变形为x 24－y 28＝1，所以a 2＝4，a ＝2，2a ＝4.故选C.答案：C2．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 24＝1 2．解析：2a ＋2b ＝22c ，即a ＋b ＝2c ，又a ＝2，且a 2＋b 2＝c 2，∴a ＝2，b ＝2. 答案：B3．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A.31414 B.324 C.32 D.433．解析：根据离心率的定义求解．由双曲线中a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2，得32＝a 2＋5，∴a 2＝4，∴e ＝c a ＝32.答案：C4．椭圆x 24＋y 2a ＝1与双曲线x 2a －y 22＝1有相同的焦点，则a 的值是________．4．解析：∵a >0，∴焦点在x 轴上，∴4－a ＝a ＋2，∴a ＝1. 答案：1 能力提升5．(2014·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 5．解析：由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.答案：A6．(2014·重庆卷)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P ，使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 6．解析：不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43(负值舍去)，∴e ＝ca＝1＋（ba）2＝1＋（43）2＝53.答案：B7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．7．解析：由题意得m ＞0，所以a ＝m ，b ＝m 2＋4，c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2.答案：28．双曲线C 1与椭圆C 2：x 29＋y 225＝1共焦点，且C 1与C 2的离心率之和为145，则双曲线C 1的标准方程为______________．8．解析：椭圆的焦点是(0，4)，(0，－4)，所以c ＝4，e ＝45，所以双曲线的离心率等于145－45＝2，所以4a＝2，所以a ＝2，所以b 2＝42－22＝12.所以双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.答案：y 24－x 212＝19．设F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．9．解析：双曲线x 29－y 216＝1中a ＝3，c ＝5，不妨设|PF 1|＞|PF 2|，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，而|F 1F 2|＝2c ＝10，得|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝ (|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝100，即|PF 1|·|PF 2|＝64，S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝16 3.10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．10．解析：(1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点P (4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6. 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)由(1)可知，双曲线中a ＝b ＝6，所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以kMF 1＝m 3＋23，kMF 2＝m3－23，所以kMF 1·kMF 2＝m 29－12＝－m 23，因为点M (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，得m 2＝3.故kMF 1·kMF 2＝－1，所以MF 1⊥MF 2，所以MF 1→·MF 2→＝0. (3)△F 1MF 2的底边|F 1F 2|＝43，底边F 1F 2上的高h ＝|m |＝3，所以S △F 1MF 2＝6.。

3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)

3.2.2 双曲线的简单几何性质【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【考点2：离心率的值及取值范围】【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【考点4：求共焦点的双曲线方程】【考点5：双曲线的渐近线】【考点6：等轴双曲线】【考点7：双曲线的实际应用】知识点1双曲线的标准方程和几何性质x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R知识点2 双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.【考点1：双曲线的方程、图形及性质】【典例1】双曲线9x 2−4y 2=36的一个焦点坐标为（） A ．(√13,0)B ．(0,√13)C ．(√5,0)D ．(0,√5)【变式11】已知双曲线C:x 25−y 2b 2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（）A ．√3B ．2C ．4D ．√31【变式12】若双曲线x 2m 2+1−y 2=1的实轴长为4，则正数m =（） A ．√3 B ．2C ．94D ．72【考点2：离心率的值及取值范围】【典例2】已知双曲线x2−y2=4，则其离心率是（）A．2B．√2C．√3D．√5【变式21】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,−4)，点(−6,4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．√2【变式22】已知双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为π3，则此双曲线的离心率e为（）A．2B．2√33C．2或2√33D．√3或2【变式23】若双曲线x 2a2−y2=1(a>0)的离心率为√2，则a=（）A．2B．√2C．1D．√22【考点3：根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】【典例3】已知双曲线C经过点(0,1)，离心率为√2，则C的标准方程为（）A．x2−y2=1B．x2−y23=1C．y2−x2=1D．y2−x23=1【变式31】双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=2，且点P(√6,3)在双曲线C上，则双曲线C的标准方程为（）A．x24−y212=1B．x22−y26=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【变式32】已知双曲线x 2a2−y2b2=1的虚轴长为4，离心率为√2，则该双曲线的方程为（）A．x2−y24=1B．x24−y2=1C．x24−y24=1D．x22−y22=1【变式33】以椭圆x 28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（）A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1【考点4：双曲线的渐近线】【典例4】已知双曲线C:y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√6，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√5x B．y=±√6x C．y=±√55x D．y=±√66x【变式41】双曲线x 23m −y26m=1的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√22xC．y=±2x D．y=±12x【变式42】双曲线y 24m −x22m=1的渐近线方程为（）A．y=±√22x B．y=±√2x C．y=±2x D．y=±12x【变式43】已知双曲线C1:x2+y2m=1(m≠0)与C2:x2−y2=2共焦点，则C1的渐近线方程为（）.A．x±y=0B．√2x±y=0C．x±√3y=0D．√3x±y=0【变式44】双曲线x 24−y25=1的渐近线方程为.【考点5：等轴双曲线】【典例5】已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=1【变式51】等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x【变式52】若双曲线C：x 2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−2【变式53】中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=4【考点6：共焦点的双曲线】【典例6】多选题过点(3,2)且与椭圆x 28+y23=1有相同焦点的圆锥曲线方程为（）A．x225+y220=1B．x215+y210=1C．x23−y22=1D．x22−y23=1【变式61】过点(2,3)且与椭圆5x2+9y2=45有相同焦点的双曲线的标准方程为（）A．x2−y23=1B．x29−y2=1C．x22−y29=1D．x29−y25=1【变式62】与双曲线x 216−y24=1有公共焦点，且过点(3√2,2)的双曲线方程为．【考点7：双曲线的实际应用】【典例7】3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为√10的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6√2cm，下底直径为9√2cm，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（）A．272cm B．18cm C．27√22cm D．18√2cm【变式71】单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100m，楼底的直径为50√22m，楼顶直径为50√6m，最细处距楼底300m，则该地标建筑的高为（）A．350m B．375m C．400m D．450m【变式72】祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔设计图纸，其外形的双曲线方程为x2−y24=1（−2≤y≤1），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为．【变式73】青花瓷，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一.如图是一个落地青花瓷，其外形称为单叶双曲面，且它的外形左右对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为16cm，上瓶口圆的直径为20cm，上瓶口圆与最小圆圆心间的距离为12cm，则该双曲线的离心率为.一、单选题1．已知等轴双曲线C的对称轴为坐标轴，且经过点A(4√2,2)，则双曲线C的标准方程为（）A．x236−y236=1B．y236−x236=1C．x228−y228=1D．y228−x228=12．等轴双曲线的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√3x C．y=±x D．y=±√5x3．若双曲线C：x2m +y2m2−2=1为等轴双曲线，其焦点在y轴上，则实数m=（）A．1B．−1C．2D．−24．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线x−4y+2√2=0上的等轴双曲线方程是（）A．x2−y2=8B．x2−y2=4C．y2−x2=8D．y2−x2=45．设双曲线E的中心为O，一个焦点为F，过F作E的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B．若|BF|=√2|OA|，则E的离心率等于（）A．√62B．√2C．√3D．36．若双曲线x25+y2m=1的离心率为2，则m的值为（）A．−5B．−10C．−15D．−207．已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的实半轴长为√3，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±√3x B．y=±√33x C．y=±√32x D．y=±2√33x8．双曲线E:x29−y236=1的渐近线方程为（）A．y=±14x B．y=±12x C．y=±2x D．y=±4x9．已知双曲线C:x24−y23=1，以右顶点A为圆心，r为半径的圆上一点M（M不在x轴上）处的切线与C交于S、T两点，且M为ST中点，则r的取值范围为（）A．r>2√217B．0<r<4√57C．r>67D．r>110．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，点B的坐标为（0,b），若C上存在点P使得|PB|<b成立，则C的离心率取值范围是（）A．[√2+12,+∞)B．[√5+32,+∞)C．(√2,+∞)D．(√5+12,+∞)11．双曲线y23−x26=1的焦点坐标为（）A．(±√3,0)B．(0,±√3)C．(±3,0)D．(0,±3)12．已知点A为双曲线x24−y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若△ABC是等腰直角三角形，则△ABC的面积是（）A．4B．89C．169D．329二、填空题13．双曲线x29−y27=1的右焦点坐标为.14．如果双曲线关于原点对称，它的焦点在y轴上，实轴的长为8，焦距为10．则双曲线的标准方程为．15．已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2，过F1的直线与左支交于A,B两点，若|AB|=5，且双曲线的实轴长为8，则△ABF2的周长为.三、解答题16．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为10,F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4．(1)求双曲线C的方程；(2)若点A(12,0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值．17．已知双曲线C与椭圆x24+y2=1有公共焦点，其渐近线方程为y=±√22x.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线y=x+m与双曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求实数m的值.。

双曲线的标准方程与几何性质—题

2.3.1双曲线的标准方程1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的______________等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做________________，______________________叫做双曲线的焦距．探究点一双曲线的定义问题1取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？结论：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．问题2双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题4已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|(x＋5)2＋y2－(x－5)2＋y2|＝6；(2)(x＋4)2＋y2－(x－4)2＋y2＝6.探究点二双曲线的标准方程问题1类比椭圆标准方程的推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3如图，类比椭圆中a，b，c的意义，你能在y轴上找一点B，使|OB|＝b吗？例1 (1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．小结 (1)双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”．先看焦点所在的坐标轴是x轴还是y 轴，从而设出相应的标准方程．(2)在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为Ax 2＋By 2＝1 (AB <0)．(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共焦点的双曲线的标准方程可设为x 2a 2－λ－y 2b 2＋λ＝1(－b 2<λ<a 2)．跟踪训练1 (1)过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1 B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1(2)若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为____________．探究点三双曲线定义及标准方程的应用例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．小结双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据．在应用时，一是注意条件||PF 1|－|PF 2||＝2a (0<2a <|F 1F 2|)的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用．跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O为坐标原点，则|MO |－|MT |等于 ( )A. 3B. 5C.5－ 3D.5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距2 000 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚4 s ，且声速为330 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．小结 (1)解答与双曲线有关的应用问题时，不但要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用．(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围．跟踪训练32008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路P A、PB送到矩形灾民区ABCD中去，已知P A＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路P A送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程．1．已知A(0，－5)、B(0,5)，|P A|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为A．双曲线或一条直线B．双曲线或两条直线C．双曲线一支或一条直线D．双曲线一支或一条射线2．若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是A．焦点在x轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线．2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立．要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别．在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组．如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.2.3.2双曲线的几何性质2. 等轴双曲线实轴和虚轴______的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是________.探究点一双曲线的几何性质问题1类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的哪些几何性质？例1求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．小结讨论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，然后根据双曲线两种形式的特点得到几何性质．跟踪训练1求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．探究点二由双曲线的几何性质求标准方程例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：(1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x .小结由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得．若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的位置．跟踪训练2 求满足下列条件的双曲线方程：(1)以2x ±3y ＝0为渐近线，且经过点(1,2)；(2)离心率为54，虚半轴长为2；(3)与椭圆x 2＋5y 2＝5共焦点且一条渐近线方程为y －3x ＝0.探究点三双曲线的离心率例3 设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过A (a,0)，B (0，b )两点，且原点到直线l 的距离为34c ，求双曲线的离心率．小结 (1)求双曲线离心率的常见方法：①依据条件求出a ，c ，利用e ＝c a； ②利用e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；③依据条件，建立关于a ，b ，c 的齐次关系式，消去b 转化为离心率e 的方程求解．(2)求离心率的范围，常结合已知条件构建关于a 、b 、c 的不等关系．跟踪训练3 (1)如图，F 1和F 2分别是双曲线x 2a 2－ y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点，A 、B 是以O 为圆心、以OF 1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，双曲线的离心率e ＝________.(2)设点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上，双曲线两焦点为F 1、F 2，|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线离心率的取值范围为__________．1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝12．双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率是( ) A ．54B ．2C ．54或53D ．52或1533．若在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的右支上到原点O 和右焦点F 的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是A ．e > 2B ．1<e < 2C ．e >2D ．1<e <24．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为______________．1．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程．2．准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口．对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质．利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.。

双曲线的几何性质

1．(2011·湖南高考)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为 ( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：∵双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)，∴双曲线渐近线方程为x 2a 2－y 29＝0，即3x ±ay ＝0. 又由已知，双曲线渐近线方程为3x ±2y ＝0，∴a ＝2.答案：C2．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝( )A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析：双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，∴ m <0，且双曲线方程为－x 24＋y 2＝1，∴m ＝－14. 答案：A3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为( )A ．x 2－y 2＝1B ．x 2－y 2＝2C ．x 2－y 2＝ 2D ．x 2－y 2＝12解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，一条渐近线为y ＝x ，∴|2a |2＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2.答案：B4．(2012·湖南高考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1解析：已知c ＝5，双曲线的一条渐近线方程为y ＝b ax 经过点(2,1)，所以a ＝2b ，所以25＝4b 2＋b 2，由此得b 2＝5，a 2＝20，故所求的双曲线方程是x 220－y 25＝1. 答案：A5．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4，∴c ＝m 2＋m ＋4，由e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m＝5，解得m ＝2. 答案：26．设椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．解析：设椭圆C 1的方程为x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＝26，e ＝c 1a 1＝513，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，c 1＝5. ∴焦距为2c 1＝10.又∵8<10，∴曲线C 2是双曲线，设其方程为x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，则a 2＝4，c 2＝5，∴b 22＝52－42＝32，∴曲线C 2的方程为x 242－y 232＝1. 答案：x 216－y 29＝1 7．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在此双曲线上，求证：MF 1⊥MF 2.解：(1)∵离心率e ＝c a ＝2，∴a ＝b . 设双曲线方程为x 2－y 2＝n (n ≠0)，∵(4，－10)在双曲线上，∴n ＝42－(－10)2＝6.∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵M (3，m )在双曲线上，则m 2＝3.又F 1(－23，0)，F 2(23，0)，∴kMF 1·kMF 2＝m 3＋23·m 3－23＝－m 23＝－1. ∴MF 1⊥MF 2.8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线离心率e 的取值范围．解：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，点(－1,0)到直线l 的距离d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2. ∴s ＝d 1＋d 2＝2ab a 2＋b 2＝2ab c . 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5a c 2－a 2≥2c 2. ∵e ＝c a ，∴5e 2－1≥2e 2，∴25(e 2－1)≥4e 4，即4e 4－25e 2＋25≤0，∴54≤e 2≤5(e >1)． ∴52≤e ≤ 5. 即e 的取值范围为[ 52， 5 ]．。

双曲线的简单几何性质典型例题

典型例题一例1 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过()332-，A 点的双曲线方程及离心率．解法一：双曲线191622=-y x 的渐近线方程为：x y 43±= （1）设所求双曲线方程为12222=-by a x∵43=a b ，∴a b 43= ① ∵()332-，A 在双曲线上 ∴191222=-ba ② 由①－②，得方程组无解（2）设双曲线方程为12222=-bx a y∵43=a b ，∴a b 34= ③ ∵()332-，A 在双曲线上，∴112922=-ba ④ 由③④得492=a ，42=b∴所求双曲线方程为：144922=-x y 且离心率35=e 解法二：设与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程为：()091622≠=-λλy x ∵点()332-，A 在双曲线上，∴41991612-=-=λ ∴所求双曲线方程为：4191622-=-y x ，即144922=-x y ．说明：（1）很显然，解法二优于解法一．（2）不难证明与双曲线191622=-y x 共渐近线的双曲线方程()091622≠=-λλy x ．一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程()02222≠=-λλb y a x 求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数λ．（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．典型例题二例2 作方程21x y -=的图象．分析：∵21xy -=()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-⇔111122x x x x∴方程图象应该是圆122=+y x 及双曲线122=-y x 在x 轴上方的图象．说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是()0=y x f ，，那么点()00y x P ，在曲线C 上的充要条件是()000=y x f ，”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．典型例题三例3 求以曲线0104222=--+x y x 和222-=x y 的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．解：∵⎪⎩⎪⎨⎧-==--+2201042222x y x y x ，∴⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧-==23y x ，∴渐近线方程为x y 32±=当焦点在x 轴上时，由32=a b 且6=a ，得4=b ． ∴所求双曲线方程为1163622=-y x 当焦点在y 轴上时，由32=b a ，且6=a ，得9=b ． ∴所求双曲线方程为1813622=-x y 说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．典型例题四例 4 已知双曲线的渐近线方程为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，求双曲线标准方程．分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．解：∵双曲线渐近线方程为x y 32±=，∴设双曲线方程为()019422≠=-λλλy x （1）若0>λ，则λ42=a ，λ92=b∴准线方程为：λ131342±=±=c a x ，∴13131613138=λ，∴4=λ （2）若0<λ，则λ92-=a ，λ42-=b∴准线方程为：131392λ-±=±=c a y ，∴131316131318=-λ，∴8164-=λ ∴所求双曲线方程为：1361622=-y x 或12568164922=-x y 说明：（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便．（2）通过待定系数法求出参数N ．典型例题五例5 中心在原点，一个焦点为()01，F 的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m ，求双曲线标准方程．解：设双曲线的标准方程为12222=-b y a x ，则⎪⎩⎪⎨⎧===+mb ac b a 221222，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=11122222m b m m a∴111122222=+-+m y m mx 为所求双曲线的标准方程．说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．典型例题六例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点()31-，P 且离心率为2的双曲线标准方程．解：设所求双曲线方程为：()0122≠=-k ky k x ，则()1312=--k k ， ∴191=-kk ，∴8-=k ，∴所求双曲线方程为18822=-x y 说明：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率2=e 是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线()0222>=-m m y x ，则222m b a ==，∴22222m b a c =+=∴m c 2=，∴22===mm a c e 反之，如果一个双曲线的离心率2=e ．∴2=ac，∴a c 2=，222a c =，∴2222a b a =+，∴22b a =，b a = ∴双曲线是等轴双曲线（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．典型例题七例7 已知点()03，A ，()02，F ，在双曲线1322=-y x 上求一点P ，使PF PA 21+的值最小．解：∵1=a ，3=b ，∴2=c ，∴2=e设点P 到与焦点()02，F 相应准线的距离为d 则2=dPF∴d PF =21，∴d PA PF PA +=+21至此，将问题转化成在双曲线上求一点P ，使P 到定点A 的距离与到准线距离和最小．即到定点A 的距离与准线距离和最小为直线PA 垂直于准线时，解之得，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ．说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．典型例题八例8 已知：()11y x M ，是双曲线12222=-by a x 上一点．求：点M 到双曲线两焦点1F 、2F 的距离．分析：利用双曲线的第二定义．解：如图，设点M 到相应焦点1F 、2F 的准线的距离为1d 、2d ．当M 点在双曲线的右支上时，a x ≥1，且有e d MF d MF ==2211∴a ex c a x e ed MF +=+==12111，a ex ca x e ed MF -=-==12122 当点M 在双曲线的左支上时，a x -≤1，且有e d MF d MF ==2211∴()a ex c a x e ed MF +-=+==12111，()a ex ca x e ed MF --=-==12122 说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：在双曲线1121322-=-y x 的一支上有三个不同点()11y x A ，、()622，x B 、()33y x C ，与焦点()501，F 的距离成等差数列，求31y y +的值．解：直接利用焦半径公式，得：a ey AF -=11，a e BF -=61，a ey CF -=31 ∴1112BF CF AF =+，∴()a e a y y e 212231-=-+，即1231=+y y注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．典型例题九例9 如图所示，已知梯形ABCD 中，CD AB 2=，点E 满足EC AE λ=，双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点，当4332≤≤λ时，求双曲线离心率的取值范围．分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过A 、B 、E 的坐标及双曲线的方程求解．解法一：以直线AB 为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy ，则y CD ⊥轴，因双曲线过点C 、D ，且以A 、B 为焦点，由双曲线的对称性可知C 、D 关于y 轴对称．设()0，c A -、⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2、()00y x E ，，其中AB c 21=为双曲线的半焦距，h 是梯形的高．由λ=，即()⎪⎭⎫⎝⎛--=+00002y h x c y c x ，，λ，得()()λλ+-=1220c x ，λλ+=10h y 设双曲线方程为12222=-b y a x ，则离心率为a c e =．由点C 、E 在双曲线上，将C 、E 的坐标和ace =，代入双曲线方程得由①得14222-=e b h ，将③代入②式中，整理得：()λλ214442+=-e ∴2312+-=e λ，又∵4332≤≤λ，∴43231322≤+-≤e ，∴107≤≤e ∴双曲线的离心率取值范围为[]107，．分析二：建立直线AC 方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解题．解法二：前面部分同解法一．可求得直线AC 方程为()c x chy +=32，将其代入双曲线方程222222b a y a x b =-中，得()()094849222222222222=+---c b a h a cx h a x h a c b又∵0x 、2c为上述二次方程的两根，∴()222222222094942c b h a c b a h a x c -+=⋅ ①又∵⎪⎭⎫ ⎝⎛h cC ，2在双曲线上，∴()44222-=e b h ②∵()()1220+-=λλc x ③将②③代入①中，得：()()()()2222222222294942122c c a b e a b a b e a c c ⋅--+-=⋅+-λλ ∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一分析三：借助焦半径公式解题． ∵EC AE λ=，∴()()1220+-=λλc x ① ∴λλ+=1CAEA ，由焦半径公式，得：λλ+=⋅+--120c e a ex a ② 将①代入②，得：()()λλλλ+=⋅+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅-⋅--12122c e a c e a∵a c e =，∴2312+-=e λ 以下同解法一说明：（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：c 、h 、λ、e ）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．典型例题十例10 设双曲线12222=-by a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线l 的距离为c 43，求双曲线的离心率．分析：由两点式得直线l 的方程，再由双曲线中a 、b 、c 的关系及原点到直线l 的距离建立等式，从而解出ac的值．解：由l 过两点)0,(a ，),0(b ，得l 的方程为0=-+ab ay bx ．由点到l 的距离为c 43，得c ba ab 4322=+．将22a cb -=代入，平方后整理，得0316)(1622222=+⋅-ca c a ．令x c a =22，则0316162=+-x x ．解得43=x 或41=x ．而a ce =，有x e 1=．故332=e 或2=e ．因b a <<0，故212222>+=+==ab a b a ac e ，所以应舍去332=e ．故所求离心率2=e ．说明：此题易得出错误答案：2=e 或332=e ．其原因是未注意到题设条件)0(b a <<，从而离心率2>e ．而2332<，故应舍去．典型例题十一例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点)2,3(-P ，离心率25=e ． (2)已知双曲线的右准线为4=x ，右焦点为)0,10(F ，离心率2=e ．(3)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，且︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ，又离心率为2．分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．如双曲线的实轴在x 轴上，设12222=-b y a x 为所求．由25=e ，得4522=a c ． ①由点)2,3(-P 在双曲线上，得12922=-b a ． ②又222c b a =+，由①、②得12=a ，412=b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求．同理有4522=a c ，19222=-ba ，222c b a =+．解之，得2172-=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为1422=-y x ．(2)设双曲线上任意一点),(y x P ，因为双曲线右准线4=x ，右焦点)0,10(F ，离心率2=e ，根据双曲线的第二定义，有24)10(22=-+-x y x ，化简，得03612322=---x y x ，即14816)2(22=--y x ． ∴所求双曲线方程为14816)2(22=--y x ． (3)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==ace ，由双曲线的定义，得c a PF PF ==-221．由余弦定理，得)60cos 1(2)(21221︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 212121=︒⋅=∆PF PF S F PF ， ∴4821=⋅PF PF ．∴4832=c ，162=c ，得42=a ，122=b ．∴所求双曲线的方程为112422=-y x ．说明：对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由10=c ，42==c a x ，得402=a ，则60222=-=a c b ．故所求双曲线方程为1604022=-y x ．误解二：由焦点坐标)0,10(F ，知10=c ．又2==ace ，得5=a ．故7525100222=-=-=a c b ．∴所求双曲线方程为1752522=-y x ．误解三：由2==a ce ，42=c a ，得8=a ，16=c ，则192222=-=a c b ．故所求双曲线方程为11926422=-y x ．这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．题(3)虽属待定系数法，但要用到公式ab b a b a 2)(222+-=+和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．典型例题十二例11 在双曲线1131222=-x y 的一支上有三个点),(11y x A 、)6,(2x B 、),(33y x C 与焦点)5,0(F 的距离成等差数列．(1)求31y y +；(2)求证线段AC 的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标．分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)．解：(1)依题意，得B 在双曲线上支上，故A 、B 、C 三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为512=y ． AF 、BF 、CF 成等差数列，根据双曲线的第二定义，得 )512(1)512(1)5126(231-+-=-y e y e e ，故1231=+y y ．(2)由点A 、C 在双曲线上，故113122121=-xy ，113122323=-x y ．两式相减，得013))((12))((31313131=-+--+x x x x y y y y ．∴13)(13)(123131313131x x y y x x x x y y +=++=--．∴AC 的垂直平分线的斜率为3113x x +-．又AC 的中点坐标为)6,2(31x x +，故AC 的垂直平分线方程为当0=x 时，225=y ，故AC 的垂直平分线过定点)225,0(．说明：1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．典型例题十三例13 已知双曲线12222=-by a x 的离心率21+>e ，左、右焦点分别为1F 、2F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得1PF 是P 到l 的距离d 与2PF 的等比中项？分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．解：设在左半支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221，由双曲线的第二定义，知e PF PF dPF ==121，即12PF e PF =． ①再由双曲线的第一定义，得a PF PF 212=-． ②由①、②，解得121-=e a PF ，122-=e aePF ．在21F PF ∆中，有c PF PF 221≥+， ∴c e aee a 21212≥-+-． ③利用ac e =，从③式得0122≤--e e ．解得2121+≤≤-e ．由1>e ，得211+≤<e ，与已知21+>e 矛盾．∴符合条件的点P 不存在．说明：(1)解答探索性命题，一般可先设点P 存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明P 点不存在；否则，便得到P 点的位置．(2) 211+≤<e 是双曲线12222=-by a x 左支上存在P 点，使d PF PF ⋅=221成立的充要条件．典型例题十四例14 直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．分析：首先应写出直线l 的方程，因此需求出AB 的中点坐标，将直线1+=kx y 与双曲线方程122=-y x 联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理可得到AB 中点的坐标表达式．解：由方程组⎩⎨⎧=-+=,1,122y x kx y 消去y 得 022)1(22=---kx x k ． ①设),(11y x A 、),(22y x B ，AB 中点的坐标为),(00y x ． ∵直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点， ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．令22)1()(22---=kx x k x f ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-⋅-<->-+-=∆,0)1()1(,01,0)1(8)2(2222f k kk k k 解得21<<k ，222012k k x x x -=+=，200111kkx y -=+=．∴直线l 的方程是21201122+-+=---kkx k o y 令0=x ，得1617)41(122222+--=++-==k k k y b ． ∵21<<k ，∴22-<b 或2>b ．说明：(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，0>∆是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑0>∆，同时要考虑方程根的取值范围，以下以双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 为例作简单说明．⎪⎩⎪⎨⎧=-12222b y ax 直线方程关于x 的一元二次方程02=++s nx mx ．①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧>>+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧><+>∆≠.0,0,002121x x x x m 且③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是⎩⎨⎧<>∆≠.0,0021x x m 且典型例题十五例15 已知1l ，2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1l ，2l 与双曲线122=-x y 各有1A ，1B 和2A ，2B 两个交点．(1)求1l 的斜率1k 的取值范围；(2)若22115B A B A =，求1l ，2l 的方程； (3)若1A 恰是双曲线的一个顶点，求22B A 的值．分析：第(1)小题利用直线1l ，2l 与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到1k 满足的不等式组；第(2)小题利用弦长公式求1k ，再由点斜式方程求出直线方程；第(3)小题利用直线1l 过A 点求1k ，再由弦长公式求22B A ．解：(1)依题意，直线1l ，2l 的斜率都存在，设1l 的方程为)2(1+=x k y )0(1≠k 直线2l 的方程为)2(2+=x k y )0(2≠k ，且121-=k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(221x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2121221=-++-k x k x k ①若0121=-k ，则方程①只有一个解，即l 与双曲线只有一个交点，与题设矛盾．故0121≠-k ，即11≠k ．∵直线1l 与双曲线有两个不同交点，∴0)13(4)12)(1(4)22(2121212211>-=---=∆k k k k ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=,1),2(222x y x k y 消去y ，整理得01222)1(2222222=-++-k x k x k ②同理0122≠-k ，0)13(4222>-=∆k ．所以1l ，2l 与双曲线各有两个交点，等价于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=≠≠>->-,1,1,1,013,01321212221k k k k k k解得⎪⎩⎪⎨⎧≠<<.1,33311k k∴)3,1()1,33()33,1()1,3(1Y Y Y ----∈k ．(2)设),(111y x A ，),(221y x B ；由方程①可得122212121-=+k k x x ，112212121--=k k x x ． ∴221212122121211)1()13)(1(4))(1(--+=-+=k k k x x k B A ③ 同理，由方程②可得2222222222)1()13)(1(4--+=k k k B A ． ④ ∵121k k -=，代入④得 2212121222)1()3)(1(4k k k B A --+=． ⑤ 由22115B A B A =，得2222115B A B A =．将式③和式⑤代入得22121212212121)1()3)(1(45)1()13)(1(4k k k k k k --+⨯=--+．解得21±=k ．当21=k 时，)2(21+=x y l ：，)2(222+-=x y l ：；当21-=k 时，)2(21+-=x y l ：，)2(222+=x y l ：． (3)双曲线122=-x y 的顶点为)1,0(，)1,0(-．取)1,0(1A 时，有1)20(1=+k ，解得221=k ，于是2112-=-=k k ．将22-=k 代入方程②得03242=++x x ．设2l 与双曲线的两个交点),(332y x A ，),(442y x B ，则2443-=+x x ，343=x x ．则24322222))(1(x x k B A -+=60]34)24[(32=⨯--=．∴15222=B A ．当取)1,0(1-A 时，由双曲线关于x 轴对称，知15222=B A ．说明：(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点； ⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点； ⇔<∆0直线与双曲线无交点．若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(2)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．典型例题十六例16 已知双曲线的渐近线方程是043=+y x ，043=-y x ，求双曲线的离心率．分析：由渐近线的斜率与a ，b 的关系得到a ，c 的关系，从而求出e ．解：(1)设双曲线方程为12222=-by a x )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ， ∴43=a b ．又∵1222222-=-==e aa c ab a b ， ∴4312=-e ．∴45=e ．(2)设双曲线方程为12222=-bx a y )0,0(>>b a ．∵渐近线方程为043=+y x ，043=-y x ，∴43=b a ． ∵12-=e a b ，∴3412=-e ，35=e ． ∴离心率45=e 或35=e ．说明：(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：λ=-2222by a x )0(≠λ的形式，它们的渐近线为x aby ±=． (2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：若知双曲线方程为12222=-b y a x 或12222=-bx a y ，则它们的渐近线方程只需将常数“1”换成“0”，再写成直线方程的形式即可；若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即02222=-by a x 的形式，再设出双曲线方程λ=-2222by a x )0(≠λ；实轴长焦矩长离心率=e ；若焦点在x 轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在y 轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．典型例题十七例17 已知双曲线S 的两条渐近线过坐标原点，且与以)0,2(A 为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S 的一个顶点'A 和A 关于直线x y =对称，设直线l 过点A ，斜率为k ．(1)求双曲线S 的方程；(2)当1=k 时，在双曲线S 的上支求点B ，使其与直线l 的距离为2；(3)当10<≤k 时，若双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，求斜率k 的值及相应的点B 的坐标．分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线x y =的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．解：(1)由已知得双曲线的渐近线为x y ±=，因而S 为等轴双曲线，其中一个顶点为)2,0('A ，所以双曲线S 的方程为12222=-x y ． (2)若)2,(2+x x B 是双曲线S 的上支上到直线2-=x y l ：的距离为2的点，则22222=-+-x x ，解得2=x ，2=y ．故B 点坐标为)2,2(．(3)因为当10<≤k 时，双曲线S 的上支在直线l 的上方，所以点B 在直线l 的上方．设直线'l 与直线)2(-=x k y l ：平行，两线间的距离为2，直线'l 在直线l 的上方，双曲线S 的上支上有且只有一个点B 到直线l 的距离为2，等价于直线'l 与双曲线S 的上支有且只有一个公共点．设'l 的方程是m kx y +=，由l 上的点A 到'l 的距离为2，可知2122=++k m k ，解得)1(22k k m -+±=，其中)1(22k k m -+-=舍去．由方程222=-x y 及m kx y +=，消去y 得，022)1(222=-++-m mkx x k ． ∵12≠k ，∴)123(8)22(4222+-=+-=∆k k k k m ．令0=∆．∵10<≤k ，解得0=k ，552=k ．当0=k 时，2=m ，解得0=x ，2=y ，∴点B 的坐标为)2,0(．当552=k 时，510=m ，解得22=x ，10=y ，∴点B 的坐标为)10,22(．说明：若已知双曲线渐近线方程为0=±qy px ，则共渐近线的双曲线方程为λ=-2222p y q x ，其中λ为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为m kx y l +=：'与双曲线S 上支有且只有一个公共点问题．典型例题十八例18 如下图，给出定点)0,(a A )0(>a 和直线1-=x l ：，B 是直线l 上的动点，BOA ∠的角平分线交AB 于C ，求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系．分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出C 点横坐标与纵坐标的关系．解：依题意，记),1(b B -，R b ∈，则直线OA 与OB 的方程分别为0=y 和bx y -=，设C 点坐标为),(y x ，则有a x <≤0，由OC 平分AOB ∠，知点C 到OA 、OB 距离相等，根据点到直线的距离公式，得：21bbx y y ++=①依题设，点C 在直线AB 上，故有)(1a x aby -+-=．由0≠-a x ，得，ax ya b -+-=)1( ②将②式代入①式，得22222)1()()1(1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++a x xy a y a x y a y ．整理得：0])1(2)1[(222=++--y a ax x a y ，若0≠y ，则0)1(2)1(22=++--y a ax x a ．)0(a x <<若0=y ，则0=b ，π=∠AOB ，点C 的坐标为)0,0(，满足上式．综上，得点C 的轨迹方程为：0)1(2)1(22=++--y a ax x a )0(a x ≤≤ (1)当1=a 时，轨迹方程化为x y =2)10(<≤x ③ 此时，方程③表示抛物线弧段(2)当1≠a 时，轨迹方程为11)1()1(22222=-+---a a y a a a a x ，其中a x <≤0 ④∴当10<<a 时，方程④表示椭圆弧段，当1>a 时，方程④表示双曲线一支的弧段．说明：本题求轨迹问题，要求考生有较高的能力和扎实的基本功，同时要求对问题考虑完整和有较强的运算能力．对字母系数a 的讨论是高考重点考查的内容．典型例题十九例19 已知双曲线C 的实轴在直线2=x 上，由点)4,4(-A 发出的三束光线射到x 轴上的点P 、Q 及坐标原点O 被x 轴反射，反射线恰好分别通过双曲线的左、右焦点1F 、2F 和双曲线的中心M ．若4=PQ ，过右焦点的反射光线与右准线交点的纵坐标为98，求双曲线C 的方程和入射光线AP 、AQ 所在直线的方程．分析：光线反射的问题，实质上是寻找点关于直线的对称点的问题，而求双曲线方程，实质上是求双曲线中点),(k h M 与a 、b 的问题．解：依题意，设双曲线中心为)2,(h M ，又点A 关于x 轴的对称点为)4,4('--A ，所以直线O A '的方程为x y =，与2=y 联立，得2=h ．设双曲线方程为1)2()2(2222=---b y a x ，焦点)2,2(1c F -，)2,2(2c F +，右准线c a x 22+=，从而1'F A 的方程为：)4(664+-=+x cy ，2'F A 的方程为：)4(664++=+x cy ．在上面两式中分别令0=y ，则P 点坐标为)0,32(c -，Q 点坐标为)0,32(c，再由4=PQ ，则3=c ，∴P 点坐标为)0,2(-，Q 点坐标为)0,2(．在)4(6642'++=+x c y F A ：中，令98=y ，得310=x ，在31022=+c a 中，由3=c ，得42=a ，52=b ，所以，所求双曲线方程为15)2(4)2(22=---y x ．直线AP 的方程为042=++y x ，直线AQ 的方程为0432=-+y x ．说明：本题关键要掌握中心不在原点的双曲线的焦点坐标，准线方程的求法，通过逆向思维，求出x 轴上的点P 、Q 的坐标，从而使问题迎刃而解．。

双曲线的几何性质练习题及答案

11．已知直线l与圆相切于点T，且与双曲线C：相交于A、B两点，若T是线段AB的中点，求直线l的方程。
答案与提示
一、1．B 2．B 3．C 4．C 5．B 6．D
二、7．3条8．
三、9．（2）必过定点
10．方程为 11．l：x=-2或
8．设、是双曲线的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从引的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是__________。
三、解答题
9．在双曲线的一支上不同的三点，，与焦点F（0，5）的距离成等差数列
（1）试求；
（2）证明线段AC的垂直平分线通过一个定点，并求出该定点坐标。
10．设双曲线中心是坐标原点，准线平行于x轴，离心率为，已知点P（0，5）到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程。
双曲线的几何性质练习题及答案
1．双曲线的一条准线l与一条渐近线F是与l相应的焦点，则|PF|等于（）交于P点，F是与l相应的焦点，则|PF|等于（）
A．aB．bC．2aD．2b
2．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为（）
A． B． C．2D．3
6．已知两点，，给出下列曲线方程
①4x+2y-1=0② ③ ④
在曲线上存在点P满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）
A．①③ B．②④ C．①② 的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则如此的直线共有_________条。
A．1 B． C．2 D．4
3．双曲线的离心率为，双曲线的离心率为则的最小值是（）
A． B．2 C． D．4
4．已知双曲线的焦点为、，弦AB过且在若，双曲线的一支上，则|AB|等于（）

2020年高中数学课堂小练《双曲线的几何性质》(含答案解析)

2020年高中数学课堂小练《双曲线的几何性质》一、选择题1.等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6，0)，则它的标准方程是( )A.1181822=-x y B.1181822=-y x C.18822=-y x D.18822=-x y 2.双曲线C ：12222=-by a x (a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A.2B.2 2C.4D.4 23.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.324.已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233 B ．153 C ．2 D ．1025.已知双曲线x 2a 2－y21－a2=1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22C.13D.336.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.327.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( ) A ． 5 B ．2 C ． 3 D ． 28.若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.39.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A.一个点B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能10.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B ．12 C.23 D ．32 11.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A.一个点B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能 12.已知双曲线的标准方程为x 2a 2-y2b2=1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2=12，tan∠PF 2F 1=2，则此双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.355D. 3二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的离心率为5，则m 的值为________. 14.已知双曲线x 2m －y 23m =1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x2m=1的焦距等于4，则n=________．15.设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为12c 2，则该双曲线的离心率为________．16.已知双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为________．三、解答题17.已知双曲线13222=-by x 的右焦点为(2，0). (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.18.已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2=1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2=30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．答案解析1.答案为：B ；2.答案为：C ；3.答案为：C ；解析：双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x ，即b a =1，e=ca= 2.4.答案为：A.解析：根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，P(x ，y)，所以x 21a 2－y 21b 2=1，x 2a 2－y 2b 2=1，两式相减得x 21－x 2a 2=y 21－y 2b 2，即y 21－y 2x 21－x 2=b 2a2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB =y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x =y 21－y 2x 21－x 2=b 2a 2=13，所以双曲线的离心率为e=1＋b 2a2=1＋13=233.故选A.5.答案为：B ；解析：∵c 2=a 2＋1－a 2=1，∴c=1，又c a =2，∴a=22，故选B.6.答案为：D ；解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ―→=(1,0)，PF ―→=(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→=0，所以AP ⊥PF ，所 7.答案为：C ；解析：由题可知|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，∴|PO|=a ．在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b·2c =b c ⇒c 2=3a 2，∴e=3．故选C ．8.B. 9.C.解析：∵A 为⊙O 外一定点，P 为⊙O 上一动点线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则QA=QP ，则QA ﹣QO=QP ﹣QO=OP=R ，即动点Q 到两定点O 、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q 的轨迹是：以O ，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线故选：C.10.答案为：D.解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x 轴，又PF⊥x 轴，所以AP⊥PF，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.故选D.11.C.解析：∵A 为⊙O 外一定点，P 为⊙O 上一动点线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则QA=QP ，则QA ﹣QO=QP ﹣QO=OP=R ，即动点Q 到两定点O 、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q 的轨迹是：以O ，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线,故选：C.12.答案为：A ；解析：由tan∠PF 1F 2=12，tan∠PF 2F 1=2知，PF 1⊥PF 2，作PQ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q∽△F 2PQ ，得|F 1Q|=4|F 2Q|=85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ，代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2-a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2=a 2b 2，又a 2＋b 2=c 2，则(9c 2-5a 2)(c 2-5a 2)=0，解得c a =5或c a =53(舍)，即离心率e=5，故选A.一、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的离心率为5，则m 的值为________. 答案为：2；14.答案为：5；解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x2－m=1，即a 2=－3m ，b 2=－m ，所以c 2=－3m －m=－4m=4，解得m=－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2=1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2=n －1=4或1－n=4，解得n=5或－3(舍去)．15.答案为：2；解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，根据矩形的性质，得|MO|=|OF 1|=|OF 2|=c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2=c 2，则x=a ，所以M(a ，b)．因为△AMN 的面积为12c 2，所以2×12×a ×b=12c 2，所以4a 2(c 2－a 2)=c 4，所以e 4－4e 2＋4=0，所以e= 2.16.答案为：233；解析：如图，由题意知点A(a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y=bax ，即bx-ay=0，∴点A 到l 的距离d=aba 2＋b 2．又∠MAN=60°，|MA|=|NA|=b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d=32|MA|=32b ，即ab a 2＋b 2=32b ，∴a 2=3b 2，∴e=c a =a 2＋b 2a 2=233．17.解：18.解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M(1＋b 2，y 1)．因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2=1，得y 1=b 2，所以|F 2M|=b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=30°，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|=b 2=2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22=1.(2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y=0，l 2：2x ＋y=0. 设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|=|2x 0－y 0|3，|PP 2|=|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22=1上，所以2x 20－y 20=2，又易知cos θ=13，所以PP 1―→·PP 2―→=|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ=|2x 20－y 20|3·13=29.。

双曲线的几何性质练习题

双曲线几何性质编号：44 编制：王井雷审核：刘瑞雪时间：2011.11.291．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-by a x 有（） A ．相同的虚轴 B ．相同的实轴 C ．相同的渐近线 D ．相同的焦点2．（2011湖南文）设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．若双曲线渐近线方程为x y 34±=，则双曲线的离心率为( ) A.53 B.43 C.54 D.45或35 4．过点(2，－2)且以x y 22±=为渐近线的双曲线方程是( ) A.y 22－x 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.y 24－x 22＝1 D.x 22－y 24＝1 5．（2011全国新课标）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（）（A （B （C ）2 （D ）36．（2011福建）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF =4：3：2，则曲线C 的离心率等于（）A ．1322或 B ．223或 C ．122或 D ．2332或 7．双曲线1422=-y x 两个焦点为F 1、F 2,P 在双曲线上△F 1PF 2的面积为3则12PF PF ⋅等于（） A.2 B.3 C.-2 D.3-8．双曲线1222=-y x 的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（）A ．43B ．53C ．3D 9．过双曲线1222=-y x 的左焦点作直线l ，交双曲线于A ，B 两点，若4||=AB ，则这样的直线有（） A ． 1 B 2 C 3 D 410．已知双曲线方程为1422=-y x ，过P （1，0）的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（） A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条11.设中心在原点的椭圆与双曲线22231x y -=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为。

双曲线的几何性质(习题)

双曲线的简单几何性质(2) 同步练习-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

高中数学选择性必修一双曲线(习题课)

双曲线的几何性质习题4

人教A版高中数学选修1-1双曲线的简单几何性质习题Word版含答案

(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题

2-2-2 双曲线的简单几何性质

双曲线的几何性质

双曲线简单几何性质练习题

双曲线的简单几何性质习题集

3.2.2双曲线的简单几何性质(知识解题达标测试)(原卷版)

双曲线的标准方程与几何性质—题

双曲线的几何性质

双曲线的简单几何性质典型例题

双曲线的几何性质练习题及答案

2020年高中数学 课堂小练《双曲线的几何性质》(含答案解析)

双曲线的几何性质练习题

2020年高中数学课堂小练《双曲线的几何性质》(含答案解析)