对称式和轮换对称式及答案
初中数学竞赛专题选讲 对称式(含答案)
初中数学竞赛专题选讲（初三.5）对称式一、内容提要一.定义1. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如： 代数式x+y ， xy ， x 3+y 3+z 3－3xyz, x 5+y 5+xy, yx 11+， xyzx z xyz z y xyz y x +++++. 都是对称式. 其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.2. 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 循环变换后代数式的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式.例如：代数式 a 2(b －c)+b 2(c －a)+c 2(a －b), 2x 2y+2y 2z+2z 2x, abc c b a 1111-++， （xy+yz+zx ）()111z y x ++， 222222222111b a c a c b c b a -++-++-+. 都是轮换式. 显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1.含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.这将在下一讲介绍.2. 对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有，该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x, y, z 的齐二次对称多项式中，如果含有x 2项，则必同时有y 2, z 2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x 2+y 2+z 2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.3. 轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有，该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)中，有因式a －b 一项, 必有同型式b －c 和 c －a 两项.4. 两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）. 例如：∵x+y, xy 都是对称式，∴x+y ＋xy ， （x+y ）xy ， xyy x +等也都是对称式. ∵xy+yz+zx 和zy x 111++都是轮换式， ∴z y x 111++＋xy+yz+z ， （zy x 111++）（xy+yz+z ）. 也都是轮换式.. 二、例题例1.计算：（xy+yz+zx ）()111z y x ++－xyz()111222zy x ++. 分析：∵（xy+yz+zx ）()111zy x ++是关于x,y,z 的轮换式，由性质2，在乘法展开时，只要用xy 分别乘以x 1，y 1，z1连同它的同型式一齐写下. 解：原式＝（z xy y zx x yz ＋+）＋（z+x ＋y ）+(y+z+x)－(zxy y zx x yz ＋+) ＝2x+2y+2z.例2. 已知：a+b+c=0, abc ≠0.求代数式 222222222111ba c a cbc b a -++-++-+的值 分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 解：∵2221c b a -+＝222)(1b a b a ---+＝ab 21-， ∴222222222111b a c a c b c b a -++-++-+＝－ab 21－bc 21－ca 21 ＝ －abc b a c 2++＝0. 例3. 计算：（a+b+c ）3分析：展开式是含字母 a, b, c 的三次齐次的对称式，其同型式的系数相等，可用待定系数法.例4. 解：设（a+b+c ）3＝m(a 3+b 3+c 3)+n(a 2b+a 2c+b 2c+b 2a+c 2a+c 2b)+pabc.（m, n, p 是待定系数）令 a=1,b=0,c=0 . 比较左右两边系数得 m=1；令 a=1,b=1,c=0 比较左右两边系数得 2m+2n=8；令 a=1,b=1,c=1 比较左右两边系数得 3m+6n+p=27.解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=27638221p n m n m m 得⎪⎩⎪⎨⎧===631p n m∴（a+b+c ）3＝a 3+b 3+c 3+3a 2b+3a 2c+3b 2c+3b 2a+3c 2a+3c 2b+6abc.例5. 因式分解：① a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)；② （x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5.解：①∵当a=b 时，a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝0.∴有因式a －b 及其同型式b －c, c －a.∵原式是四次齐次轮换式，除以三次齐次轮换式（a －b ）(b －c)(c －a)，可得 一次齐次的轮换式a+b+c.用待定系数法：得 a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝m(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a)比较左右两边a 3b 的系数，得m=－1.∴a 3(b －c)+b 3(c －a)+c 3(a －b)＝－(a+b+c)（a －b ）(b －c)(c －a).② x=0时，（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝0∴有因式x ，以及它的同型式y 和z.∵原式是五次齐次轮换式，除以三次轮换式xyz ，其商是二次齐次轮换式.∴用待定系数法：可设（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝xyz ［m(x+y+z)+n(xy+yz+zx)］.令 x=1,y=1,z=1 . 比较左右两边系数， 得 80=m+n ；令 x=1,y=1,z=2. 比较左右两边系数， 得 480=6m+n.解方程组⎩⎨⎧=+=+480680n m n m得⎩⎨⎧==080n m . ∴（x+y+z ）5－（y+z －x ）5－（z+x －y ）5－（x+y －z ）5＝80xyz(x+y+z).三、练习1.已知含字母x,y,z 的轮换式的三项x 3+x 2y －2xy 2,试接着写完全代数式＿＿＿＿＿＿ 2. 已知有含字母a,b,c,d 的八项轮换式的前二项是a 3b －(a －b)，试接着写完全代数式_________________________________.3. 利用对称式性质做乘法，直接写出结果：① （x 2y+y 2z+z 2x ）（xy 2+yz 2+zx 2）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. ② （x+y+z ）（x 2+y 2+z 2－xy －yz －zx ）＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4. 计算：（x+y ）5.5. 求（x+y ）(y+z)(z+x)+xyz 除以x+y+z 所得的商.6. 因式分解：① ab(a －b)+bc(b －c)+ca(c －a)；② (x+y+z)3－(x 3+y 3+z 3)；③ （ab+bc+ca ）(a+b+c)－abc ；④ a(b －c)3+b(c －a)3+c(a －b)3.7. 已知：abcc b a 1111=++. 求证：a, b, c 三者中，至少有两个是互为相反数.8. 计算：bc ac ab a a +--22＋ca ba bc b b +--22＋abcb ca c c +--22. 9. 已知：S ＝21（a+b+c ）. 求证：16)(416)(416)(4222222222222222b a c a c a c b c b c b a b a -+-+-+-+-+- ＝3S （S －a ）(S －b)(S －c).10. 若x,y 满足等式 x=1+y 1和y=1+x1且xy ≠0，那么y 的值是（ ） （A ）x －1. （B ）1－x. （C ）x. （D ）1+x.参考答案1. y 3+z 3+y 2z+z 2x －2y 2z －2z 2x2. b 3c+c 3d+d 3a －(b －c)－(c －d)－(d －a)3. ②x 3+y 3+z 3－3xyz4. 设(x+y)5=a(x 5+y 5)+b(x 4y+xy 4)+c(x 3y 2+x 2y 3), a=1, b=5, c=10.5. 设原式＝（x+y+z ）［a(x 2+y 2+z 2)+b(xy+yz+zx)］, a=0, b=1.6 .③当a=－b 时，原式＝0， 原式＝m(a+b)(b+c)(c+a) m=17. 由已知等式去分母后，使右边为0， 因式分解8. 19. 一个分式化为S （S －a ）(S －b)(S －c)10. 选 C。
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八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
初二对称式和轮换对称式分解因式题
初二对称式和轮换对称式分解因式题①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz先说明一下,这三题比较难,省略了一些过程,请你自己补充完整.(1) 分析:将原式看成X的多项式,可知当X=－Y时,原式=(－Y＋Y＋Z)^5－(－Y)^5－Y^5－Z^5=0所以原式有因式(X＋Y),同理原式还有因式(Y＋Z),(Z＋X)设原式=(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)[K(X^2＋Y^2＋Z^2)＋T(XY＋YZ＋ZX)]令X=1,Y=1,Z=0,代入得30=2(2K＋T);令X=1,Y=－1,Z=0,代入得－30=－2(5K－2T)解得K=5,T=5所以原式=5(X＋Y)(Y＋Z)(Z＋X)(X^2＋Y^2＋Z^2＋XY＋YZ＋ZX)2) 分析设原式=[(2A＋2B＋2C)^3－(B＋C)^3]－[(C＋A)^3＋(A＋B)^3]然后利用立方差和立方和公式展开,并令整理后的式子=(2A＋B＋C)(M－N)其中由轮换多项式可确定(M－N)中含有(A＋2B＋C),(A＋B＋2C)比较系数的原式=3(2A＋B＋C) (A＋2B＋C)(A＋B＋2C)(3)分析设X=Y＋Z,则有原式=(X＋Y)^3＋Y^2(2Z＋Y)＋Z^2(2Y＋Z)－[(Y＋Z)^3＋Y^3＋Z^3]－2(Y＋Z)YZ=(Y＋Z)^3＋2Y^2Z＋Y^3＋2YZ^2＋Z^3－(Y＋Z)^3－Y^3－Z^3－2Y^2Z－2YZ^2=0所以原式有因式(Y＋Z－X),同理有因式(Z＋X－Y),(X＋Y－Z)设原式=K(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)其中K为待定系数,比较等式两边XYZ项的系数右=K(1－1＋1－1－1－1)=－2K左=－2所以解得K=1所以原式=(Y＋Z－X)(X＋Y－Z)(Z＋X－Y)①(a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz ②③可以参考第①题a+b+c)^5-a^5-b^5-c^5＝[-a^4×(b-c)-b^4 ×(c-a)-c^4 ×(a-b)]×(-5)＝-5(a-b)(b-c)(c-a)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)②8(a+b+c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3＝(2a+2b+2c)^3-(b+c)^3-(c+a)^3-(a+b)^3…………③x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)-(x^3+y^3+z^3)-2xyz 依此类推。
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
因式分解的高级方法(解析版)
因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。
2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤： （1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ． 二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
轮换对称式因式分解对称轮换式
轮换对称式因式分解对称轮换式对称多项式和轮换多项式的因式分解【定义1】一个n元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为n元对称式，简称对称式。
多项式中的任意两个字母互换，多项式保持不变例如，x y，xyx y，x2 y2 z2，xy y z z x都是对称式。
xy由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式中，若有ax项，则必有ay3，az3项；若有bx2y项，则必有bxz，by2z，by2x，bz2x，bz2y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
【定义2】一个n元代数式中的所有字母顺次轮换（如x y,y z,z,... x）后，代数式保持不变，那么称这个代数式为n元轮换对称式，简称轮换式。
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，a(x2 y2 z2)是对称式也是轮换式；b(x2y y2z z2x)是轮换式，但不是对称式。
对称式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是轮换式；齐次（各项的次数均等于同一个常数r）对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式一次：a(x y)，二次：a(x2 y2) b xy；三次：a(x3 y3) b xy(x y)（2）三元齐次对称多项式一次：a(x y z)；二次：a(x2 y2 z2) b(xy y z z x)333222x(y z) y(z x) z(x y) 三次：a(x y z) b c xyz 322．分解因式（1）f(x，y) (x x y y) 4xy(x y)3（3）f(x，y，z) (x y) y z z x3322222（4）f(x，y，z) x y y z z x x y z x yz（5）f(x，y，z) x4 y z y4 z x z4 x y333（6）f(x，y，z) x y z x y z333222222（7）f(x，y，z) x y z x y z y z x z x y2xyz 3（8）f(x，y，z) x2y x y2 x2z x z2 y2z y z2 3xyz222333（9）f(x，y，z) x y z y z x z x y x y z2xyz（10）f(a，b，c，d) b cd c da d ab a bc b c a d c d a b d b a c2练习答案与提示：1．5(x y)(y z)(z x)(x2 y2 z2 x y y z z x)2．（1）可设f k(x2 A xy y2)(x2 B xy y2)，可求得k 1，A B 1（2）可设f kxyz(x y z)，可求出k 12（3）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 3（4）可设f k(x y)(y z)(z x)，可求出k 1222（5）f (x y)(y z)(z x) A(x y z) B(xy y z z x) ，可求出A B 1（6）3(x y)(y z)(z x)（7）(x y z)(y z x)(z x y)（8）(x y z)(xy y z z x)（9）(x y z)(y z x)(z x y)（10）当a b c d时，f 0，∴f有abcd的因式，可设2222f abcd A(a b c d) B(ab b c c d d a a c b d) ，，B 2，∴f abcd(a b c d) 可求得A 12百度搜索“就爱阅读”,专业资料,生活学习,尽在就爱阅读网,您的在线图书馆。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。
对称式和轮换对称式及答案
•填空题（共10小题）1.已知，a , b , C 是△KBC 的边，且_, l+c 2 l+a 222222.已知实数 a 、b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2 的值为 .(a+c+e )-( b+d+f )的值为222已知 bc - a =5, Ca - b = - 1, ac - C = - 7,贝U 6a+7b+8c=2 2 2 2x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 - x 1y 2=1, x 1y 1+x 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 =10.设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且X+—=y+ =z+ ,则XyZ=y ZX对称式和轮换对称式- ,则此三角形的面积是:l+b 23. 已知正数a , b , c , d , e , f 满足abcdef =4 acde f=9 abde f =16 abce f = l . 訪Cdf = I =4, ∏ =9 , =l6, : I ； . a T , b C d 4 e 9 abcde 1 16,4. 5. 6. 设 a =亠，b<. ., C =「.，且X+y+Z旳，则已知m 亠其中一式，贝H a+b+c= ____________ .7.a ,b , C 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第&设 2 ( 3x - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2(3z — 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x ,贝U X=9.若数组（X , y , Z ）满足下列三个方程:尢-L 「、尢一；，则 XyZ =二.选择题（共2小题）11.已知■' 'a+b 15' b+c 17 1A.二-丄，则.二 的值是（ ）、 ab+bc+cac+a 16 C .12 .如果a, A . 672C 均为正数, B . 688 a (b+c ) C . 720=152 , b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170 ,那么 abc 的值是( )D . 750三.解答题（共13.已知 b ≥）, 1小题)且 a+b=c+1, b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求 a+b+c+d 的最大值.答案与评分标准 一•填空题(共10小题)2 2 2 2 2∙已知实数 a 、b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a, x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 23.2的值为 「.一 b —考点：对称式和轮换对称式。
对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
均值不等式的轮转对称解法
例题 2：
显然不是轮换对称式。看看能不能构造成轮换对称式呢？ 思考. . . 令 2y=t,原式变为： x t 2, 求 x t 的最大值
2 搞定：x=t=1,得 xy≥1/2
总结：注意结构的特殊性。对称性是数学中非常重要的性质。
均值定理之轮数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 任意交换两 个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式。 2、在含有多个字母的代数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 循环变换后代数式 的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式。 比如： a2 b2 c2 就是一个轮换对称式。 例题 1：
奥数-因式分解-3师
因式分解3：对称式、轮换式、及应用一、对称式和轮换对称式对称式和轮换对称式是特殊的代数式，根据其结构对称的特点，可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质，利用这些性质，可以简便地解决有关对称的问题.(1) （完全）对称式如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么就说原来的代数式关于这些字母呈对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.例如，a b c ++，222x xy y ++，1ab，3333a b c abc ++-等都是对称式，但a b c --、1x y -、23a b c ++就不是对称式.(2) 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，我们把这种变换字母的方法叫作轮换.如果通过轮换后所得到的代数式和原来的代数式恒等，那么就把原来的代数式叫作关于这些字母的轮换对称式.例如，222x y y z z x ++中将x 以y 代换，y 以z 代换，z 以x 代换，则得222y z z x x y ++，它与原式完全相同，所以222y z z x x y ++是关于x 、y 、z 的轮换对称式.（3）交代对称式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
(4) 齐次轮换对称式如果轮换对称式中的各项的次数相等，那么就把这样的代数式叫作齐次轮换对称式.(5) 基本性质① 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.② 对称式的和、差、积、商也是对称式.③ 轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.④ 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.⑤ 一个m 次对称式乘一个n 次对称式，其积必为一个m n +次对称式．(6) 齐次轮换、对称式的因式分解：因式定理、待定系数法结合因式定理、待定系数法来分解因式，例如齐次轮换式()()()222a b c b c a c a b -+-+-，当a b =时，原式的值为0．根据因式定理可知：原式必有因式()a b -，同样的必有因式()b c -和()c a -，所以()()()()()()222a b c b c a c a b k a b b c c a -+-+-=---，可求得1k =-．例1 333()()()x y z y z x z x y -+-+-答案：33333333322()()()()()()()[()()]()()()()x y z y z x z x y x y z x z y zy z y y z x z zy y x zy y z y z z x x y x y z -+-+-=-+-+-=--++++=------例2 ()()ab bc ca a b c abc ++++-答案：上式中令0a b +=，则()()[()][())]0ab bc ca a b c abc ab b a c a b c abc abc abc ++++-=++++-=-=即a b +为上式中的一个因式，由轮换性知，,b c c a ++都是上式的一个因式 设()()()()()ab bc ca a b c abc k a b b c c a ++++-=+++ 待定系数法得1k =()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++例3 3333()x y z x y z ++---答案：上式中令0x y +=，则33333333()()0x y z x y z z x x z ++---=----=即x y +为上式中的一个因式，由轮换性知，,y z z x ++都是上式的一个因式设3333()()()()x y z x y z k x y y z z x ++---=+++待定系数法得3k =3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++例4 555()a b a b +--答案：法一： 55555554322344432234322322()()()()()()()[()()]()(555)5()()a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a b a b ab ab a b a ab b +--=+-+=+-+-+-+=++--+-+=+++=+++法二：555()a b a b +--分别令0,0,a b a b ===-，上式都为0，则()ab a b +为上式的因子设55522()()[()]a b a b kab a b m a b nab +--=+++ 分别令122,,,113a a a b b b =⎧==⎧⎧⎨⎨⎨==-=-⎩⎩⎩解答51k m n =⎧⎨==⎩即55522()5()()a b a b ab a b a b ab +--=+++例5 333()()()b c c a a b -+-+-=3（a-b ）（b-c ）（c-a ）例6 3333x y z xyz ++-=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx);因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据立方系数为1，用待定系数法可设(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)]例7 ()()()y z z x x y xyz ++++=(x+y+z)(xy+yz+zx) 因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据无立方项，且其它各项系数为1，故显然为(x+y+z)(xy+yz+zx)例8 ()()a b c ab bc ca abc ++++-=（a+b ）（b+c ）（c+a ） 这是例7的变形，或者利用a=-b 是根例9．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(222222x z zx z y yz y x xy -+-+-解析：原式是四次轮换式，由因式定理，可知x z z y y x ---,,都是它的因式.由轮换性，它的另一个一次因式只能是z y x ++，不可能是别的形式，否则与次数为四次不符.设原式))()()((x z z y y x z y x k ---++=.令,2,1,0===z y x 解得1-=k .也可以比较等式两边同类项的系数，得出1-=k .故原式))()()((x z z y y x z y x ---++-=例10．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a解析：考虑原式左边.令c b a +=，得到原式左边的代数式值为0，故c b a --是它的一个因式.由轮换对称性，b a c a c b ----,都是它的因式.因为原式左边是关于c b a ,,的三次式，故可设左边))()((b a c a c b c b a k ------=.比较两边的系数，或者设特殊值，可得1=k .所以左边))()((b a c a c b c b a ------=.由三角形两边之和大于第三边，原不等式可证.二、 因式分解的应用例1. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例2：若n 为整数，求证：()()()222222111++=++++n n n n n n 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。
(完整word版)对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式一．填空题共10小题1．已知,a,b,c是△ABC的边,且,,,则此三角形的面积是：_________ ．2．已知实数a、b、c,且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22的值为_________ ．3．已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=；=,=,则a+c+e﹣b+d+f的值为_________ ．4．已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c= _________ ．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3．则y12+y22= _________ ．6．设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则= _________ ．7．已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式的m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c= _________ ．8．设23x﹣2+3=y,23y﹣2+3=z,23z﹣2+3=u且23u﹣2+3=x,则x= _________ ．9．若数组x,y,z满足下列三个方程：、、,则xyz=_________ ．10．设x、y、z是三个互不相等的数,且x+=y+=z+,则xyz= _________ ．二．选择题共2小题11．已知,,,则的值是A．B．C．D．12．如果a,b,c均为正数,且ab+c=152,bc+a=162,ca+b=170,那么abc的值是A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题共1小题13．已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值．答案与评分标准一．填空题共10小题1．已知,a,b,c是△ABC的边,且,,,则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式;分析：首先将将三式全部取倒数,然后再将所得三式相加,即可得：++=+++,再整理,配方即可得：﹣12+﹣12+﹣12=0,则可得此三角形是边长为1的等边三角形,则可求得此三角形的面积．解答：解：∵a=,b=,c=,∴全部取倒数得：=+,=+,=+,将三式相加得：++=+++,两边同乘以2,并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0,配方得：﹣12+﹣12+﹣12=0,∴﹣1=0,﹣1=0,﹣1=0,解得：a=b=c=1,∴△ABC是等边三角形,∴△ABC的面积=×1×=．故答案为：．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识,考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大,解题的关键是将三式取倒数,再利用配方法求解,得到此三角形是边长为1的等边三角形．2．已知实数a、b、c,且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b,x2y1﹣x1y2=a,x1y1+ax2y2=c,则y12+ay22的值为．考点：对称式和轮换对称式;分析：∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组,变形把x1、x2表示出来,在讲将x1、x2的值代入①,通过化简就可以求出结论．解答：解：∵x12+ax22=b①,x2y1﹣x1y2=a②,x1y1+ax2y2=c③．由②,得④,把④代入③,得⑤把⑤代入③,得⑥把⑤、⑥代入①,得+=b ∴,∴a3+c2y12+ay22=by12+ay222∴y12+ay22=．故答案为：点评：本题是一道代数式的转化问题,考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．3．已知正数a,b,c,d,e,f满足=4,=9,=16,=；=,=,则a+c+e﹣b+d+f的值为﹣．考点：对称式和轮换对称式;分析：根据题意将六个式子相乘可得abcdef4=1,又a,b,c,d,e,f为正数,即abcdef=1,再根据所给式子即可求出a,b,c,d,e,f的值,继而求出答案．解答：解：根据题意将六个式子相乘可得abcdef4=1,且a,b,c,d,e,f为正数,∴abcdef=1,∴bcdef=,∵=4,∴bcdef=4a,∴4a=,∴a=．同理可求出：b=,c=,d=2,e=3,f=4．∴原式=++3﹣﹣2﹣4,=．故答案为：﹣．点评：本题是一道分式的化简求值试题,考查了分式的轮换对称的特征来解答本题,有一定难度,根据所给条件求出a,b,c,d,e,f的值是关键．4．已知bc﹣a2=5,ca﹣b2=﹣1,ac﹣c2=﹣7,则6a+7b+8c= 44或﹣44 ．考点：对称式和轮换对称式;分析：令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,用①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=cb﹣a+b+ab﹣a=a+b+cb﹣a=6,②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=ac﹣b+c+bc﹣b=a+b+cc ﹣b=6,于是求出b和a、c之间的关系,进一步讨论求出a、b和c的值,6a+7b+8c的值即可求出．解答：解：令bc﹣a2=5…①,ca﹣b2=﹣1…②,ac﹣c2=﹣7…③,①式减②式得 bc﹣a2﹣ca+b2=cb﹣a+b+ab﹣a=a+b+cb﹣a=6,②式减③式得 ca﹣b2﹣ab+c2=ac﹣b+c+bc﹣b=a+b+cc﹣b=6,所以b﹣a=c﹣b,即b=,代入②得 ca﹣=﹣1,4ac﹣a+c2=﹣4,a﹣c2=4,a﹣c=2或a﹣c=4,当a﹣c=2时,a=c+2,b==c+1,代入③式得c+2c+1﹣c2=﹣7,3c+2=﹣7,c=﹣3,所以a=﹣1,b=﹣2,此时6a+7b+8c=6×﹣1+7×﹣2+8×﹣3=﹣44,当a﹣c=﹣2时,a=c﹣2,b==c﹣1,代入③式得c﹣2c﹣1﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7,c=3,所以a=1,b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44,所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44,故答案为44或﹣44．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是求出b=,此题难度不大．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2,x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3．则y12+y22= 5 ．考点：对称式和轮换对称式;分析：根据题意令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,列出方程组解出y1和y2,然后求出y12+y22的值．解答：解：令x1=sinθ,x2=cosθ,又知x2y1﹣x1y2=1,x1y1+x2y2=3,故,解得：y1=cosθ+3sinθ,y2=3cosθ﹣sinθ,故y12+y22=5．故答案为5．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是令x1=cosθ,x2=sinθ,此题难度不大．6．设a=,b=,c=,且x+y+z≠0,则= 1 ．考点：对称式和轮换对称式;分析：∵a=,b=,c=分别代入,,表示出,,的值,然后化简就可以求出结果了．解答：解：∵a=,b=,c=,∴===∴=++=∵x+y+z≠0∴原式=1．故答案为：1．点评：本题是一道代数式的化简求值的题,考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．7．已知,,其中a,b,c为常数,使得凡满足第一式的m,n,P,Q,也满足第二式,则a+b+c= ．考点：对称式和轮换对称式;分析：令P=m+9nx,Q=9m+5nxx≠0,由可得：==,解出a、b和c的值即可．解答：解：令P=m+9nx,Q=9m+5nxx≠0,又知,即==,解得a=2,c=,b=﹣,即a+b+c=2﹣+=．故答案为．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点,解答本题的关键是令P=m+9nx,Q=9m+5nx,此题难度不大．8．设23x﹣2+3=y,23y﹣2+3=z,23z﹣2+3=u且23u﹣2+3=x,则x= ．考点：对称式和轮换对称式;专题：计算题;分析：先化简各式,将各式联立相加,然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u,即可求出x的值．解答：解：将各式化简得：,1+2+3+4得：x+y+z+u=⑤,分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中,得：x+6x﹣1+66x﹣1﹣1+=,解得：x=．故答案为：．点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识,难度适中,解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u．9．若数组x,y,z满足下列三个方程：、、,则xyz= 162 ．考点：对称式和轮换对称式;分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程,再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y用含z的式子表示出来,然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值,从而求出其结果．解答：解：由①÷②,得y=④由①÷③,得x=⑤把④、⑤代入①,得,解得z=9∴y=6,x=3∴原方程组的解为：∴xyz=3×6×9=162．故答案为：162．点评：本题是一道三元高次分式方程组,考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法,解方程组的过程以及求代数式的值的方法．10．设x、y、z是三个互不相等的数,且x+=y+=z+,则xyz= ±1．考点：对称式和轮换对称式;专题：计算题;分析：分析本题x,y,z具有轮换对称的特点,我们不妨先看二元的情形,由左边的两个等式可得出zy=,同理可得出zx=,xy=,三式相乘可得出xyz的值．解答：解：由已知x+=y+=z+,得出x+=y+,∴x﹣y=﹣=,∴zy=①同理得出：zx=②,xy=③,①×②×③得x2y2z2=1,即可得出xyz=±1．故答案为：±1．点评：此题考查了对称式和轮换式的知识,有一定的难度,解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式,技巧性较强,要注意观察所给的等式的特点．二．选择题共2小题11．已知,,,则的值是A．B．C．D．考点：对称式和轮换对称式;专题：计算题;分析：先将上面三式相加,求出+,+,+,再将化简即可得出结果．解答：解：∵,∴+=15①,∵,∴+=17②；∵,∴+=16③,∴①+②+③得,2++=48,∴++=24,则===,故选D．点评：本题考查了对称式和轮换对称式,是基础知识要熟练掌握．12．如果a,b,c均为正数,且ab+c=152,bc+a=162,ca+b=170,那么abc的值是A．672 B．688 C．720 D．750考点：对称式和轮换对称式;分析：首先将ab+c=152,bc+a=162,ca+b=170分别展开,即可求得ab+ac=152 ①,bc+ba=162 ②,ca+cb=170 ③,然后将三式相加,即可求得ab+bc+ca值,继而求得bc,ca,ab的值,将它们相乘再开方,即可求得abc的值．解答：解：∵ab+c=152,bc+a=162,ca+b=170,∴ab+ac=152 ①,bc+ba=162 ②,ca+cb=170 ③,∴①+②+③得：ab+bc+ca=242 ④,④﹣①得：bc=90,④﹣②得：ca=80,④﹣③得：ab=72,∴bccaab=90×80×72,即abc2=7202,∵a,b,c均为正数,∴abc=720．故选C．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识,考查了方程组的求解方法．此题难度较大,解题的关键是将ab,ca,bc看作整体,利用整体思想与方程思想求解．三．解答题共1小题13．已知b≥0,且a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,求a+b+c+d的最大值．考点：对称式和轮换对称式;分析：分别表示出a,b,c,d,然后通过分别代入,使最后成为只含b的代数式,b的范围知道从而得解．解答：解：∵a+b=c+1,b+c=d+2,c+d=a+3,∴2b+c=6,c=6﹣2b,代入a+b=c+1得a=7﹣3b,代入b+c=d+2得d=4﹣b,则a+b+c+d=17﹣5b,因为b≥0,所以当b取0时,a+b+c+d的最大值为17．点评：本题对称式和轮换对称式,关键是根据代数式的运算,用代入法,转换成关于b的代数式,从而求出取值范围．。
对称式和轮换对称式及问题详解
•填空题（共10小题）1 •已知，a , b ,2 22 2b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2(a+c+e )-( b+d+f )的值为222已知 bc - a =5, Ca - b = - 1, ac - C = - 7,贝U 6a+7b+8c=2 2 2 2x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 - x 1y 2=1, x 1y 1+x 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 =10.设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且 X+—=y+ =z+ ,则XyZ=y ZX对称式和轮换对称式3. 已知正数a , b , C , d , e , f 满足a.bcdef =4 acdef =9 abdef =16 abc 亡f = l . 訪Cdf = I =4, ∏=9 , =l6, : I ； .a T ,b C d 4 e 9abcde 116,2.已知实数a 、的值为 _______4. 5. 6.设 a =亠,b <. ., C =,且 X+y+Z 旳,则 已知m ——,其中一式,贝H a+b+c= _____________ .7.a ,b , C 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第&设 2 ( 3x - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2(3z — 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x ,贝U X=9.若数组（X , y , Z ）满足下列三个方程:尢—•、「「、尢一；,则 XyZ =二.选择题（共2小题）11.已知■' 'a+b 15, b+c 17 1A.二-丄贝U .二 的值是（ ）、 ab+bc+cac+a 16 C .12 .如果a,A . 672C 均为正数, B . 688 a (b+c ) C . 720=152 , b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170 ,那么 abc 的值是( )D . 750三.解答题（共13.已知 b≥）, 1小题)且 a+b=c+1, b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求 a+b+c+d 的最大值.C 是厶ABC 的边，且,- ,则此三角形的面积是:l+}√答案与评分标准 一•填空题(共10小题)考点：对称式和轮换对称式。
对称式与轮换对称式
1.基本概念【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代数式不变，即对于任意的i , j (1 <i c j < n )，都有f (X1… Xi … Xj ,HlXn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn)那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。
x + y 2 2 2例如，x + y , xy ,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。
xy如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式f (X ,y , z)中，若有ax 3项，则必有ay 3, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，2 2 2 2by Z, by x , bz x , bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三 个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数 式均改变符号，即对于任意的i , j (1<i c j < n )，都有f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )那么就称这个代数式为 n 元交代式。
例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。
X + y【定义4】如果一个n 交代数式f (X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代竞赛专题对称式与轮换对称式nc Xj, 由定义2知，n 元多项式X 2,D,X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r f(X i , X 2口,X n )。
因式分解技巧——轮换式与对称式
因式分解技巧——轮换式与对称式先来看⼏个代数式：xy, x+y, x2y+xy2, xy+yz+xz, x3+y3+z3.交换这些式⼦中的任意两个字母，式⼦不变。
我们把这样的式⼦叫做对称式。
再看⼏个式⼦：x2y+y2z+z2x, xyz, xy2+yz2+zx2.将这些式⼦中的x换成y，将y换成z, 将z换成x,即将字母做⼀个轮换，式⼦保持不变。
我们将这样的式⼦叫做轮换式。
明显地，对称式⼀定是轮换式，但轮换式未必是对称式。
另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。
典型⽅法分解因式：x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y).我们可以看到这是⼀个关于x, y, z的轮换式. 不妨把这个式⼦看作关于x的多项式。
容易看出y是多项式的⼀个根，于是x−y是⼀个因式。
由于是轮换式，y−z, z−x也是它的因式，从⽽它们的积 (x−y)(y−z)(z−x) 也是因式。
原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差⼀个常数因数，即x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=k(x−y)(y−z)(z−x).为确定k, 我们来⽐较两边x y项的系数，易得k=−1. 于是就有分解x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=−(x−y)(y−z)(z−x).分解因式：a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b).与上例类似可知 (a−b)(b−c)(c−a) 是它的因式。
但原式是四次的，因此我们还缺⼀个⼀次因式。
原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个⼀次因式也应该是轮换。
同时根据两者的齐次性（⽆常数项），可知那个⼀次因式形如k(a+b+c)。
利⽤之前的⽐较系数法，或者取特殊值法，可求得k=−1.即分解为 $$a3(b-c)+b3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$分解因式：(a+b+c)3−(b+c−a)3−(c+a−b)3−(a+b−c)3.取a=0, 得原式为 0, 于是a是⼀个因式。
初中数学竞赛__轮换式和对称式
第2讲 轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z ++（2）222x y z ++（3）xy yz zx ++（4）333x y z ++（5）222x y y z z x ++（6）222xy yz zx ++（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z ++（2）二次齐次轮换式：222()()l x y z m xy yz zx +++++（3）三次齐次轮换式：333222222()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz +++++++++以上l m n k 、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.对于x y 、的多项式223322,,,,,x y xy x y x y x y xy ++++在字母x 与y 互换时，保持不变，这样的多项式称为x y 、的对称式。
类似的，关于x y z 、、的多项式 222333222222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y x z y z y x z x z y +++++++++++++在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
待定系数法,对称式与轮换对称式
【例1】(太原市初中数学竞赛) 关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋ 43y－24可分解为两个一次因式的乘积， 则m的值是_r是x的一次式的完全 立方式，求证3mr＝n2。
【例3】用待定系数法分解因式： x5＋x＋1
对称式：
x、y多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋ xy2，…在字母x与y互换时，保持不变。这样 的多项式称为x、y的对称式。 类似的，关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋ y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋ y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在字母x、y、z中 任意两字互换时，保持不变，这样的多项式 称为x、y、z的对称式。
轮换式： 关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2， xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2 ＋yz2＋zx2， xyz，…在将字母x、y、z轮换 (即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变。 这样的多项式称为x、y、z的轮换式。
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显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z 的轮换式。但是，关于x、y、z的轮换式不一 定是对称式。
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式。 次数低于3的轮换式同时也是对称式。
【例4】分解因式： a3(b－c)＋b3(c－a)＋c3(a－b)
【例5】分解因式： (y－z)5＋(z－x)5＋(x－y)5
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对称式和轮换对称式一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．】5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．.10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题（共1小题）&13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．答案与评分标准一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式。
分析：首先将将三式全部取倒数，然后再将所得三式相加，即可得：++=+++，再整理，配方即可得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，则可得此三角形是边长为1的等边三角形，则可求得此三角形的面积．解答：解：∵a=，b=，c=，∴全部取倒数得：=+，=+，=+，(将三式相加得：++=+++，两边同乘以2，并移项得：﹣+﹣+﹣+3=0，配方得：（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣1）2=0，∴﹣1=0，﹣1=0，﹣1=0，解得：a=b=c=1，∴△ABC是等边三角形，∴△ABC的面积=×1×=．故答案为：．点评：此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了配方法与等边三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是将三式取倒数，再利用配方法求解，得到此三角形是边长为1的等边三角形．）2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为．考点：对称式和轮换对称式。
分析：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x1、x2表示出来，在讲将x1、x2的值代入①，通过化简就可以求出结论．解答：解：∵x12+ax22=b①，x2y1﹣x1y2=a②，x1y1+ax2y2=c③．由②，得④，把④代入③，得⑤把⑤代入③，得⑥|把⑤、⑥代入①，得+=b∴，∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2∴y12+ay22=．故答案为：点评：本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为﹣．考点：对称式和轮换对称式。
·分析：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，又a，b，c，d，e，f为正数，即abcdef=1，再根据所给式子即可求出a，b，c，d，e，f的值，继而求出答案．解答：解：根据题意将六个式子相乘可得（abcdef）4=1，且a，b，c，d，e，f为正数，∴abcdef=1，∴bcdef=，∵=4，∴bcdef=4a，∴4a=，∴a=．同理可求出：b=，c=，d=2，e=3，f=4．∴原式=++3﹣﹣2﹣4，？=．故答案为：﹣．点评：本题是一道分式的化简求值试题，考查了分式的轮换对称的特征来解答本题，有一定难度，根据所给条件求出a，b，c，d，e，f的值是关键．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=44或﹣44．考点：对称式和轮换对称式。
分析：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，用①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，于是求出b和a、c之间的关系，进一步讨论求出a、b和c的值，6a+7b+8c的值即可求出．解答：解：令bc﹣a2=5…①，ca﹣b2=﹣1…②，ac﹣c2=﹣7…③，①式减②式得bc﹣a2﹣ca+b2=c（b﹣a）+（b+a）（b﹣a）=（a+b+c）（b﹣a）=6，②式减③式得ca﹣b2﹣ab+c2=a（c﹣b）+（c+b）（c﹣b）=（a+b+c）（c﹣b）=6，?所以b﹣a=c﹣b，即b=，代入②得ca﹣=﹣1，4ac﹣（a+c）2=﹣4，（a﹣c）2=4，a﹣c=2或a﹣c=4，当a﹣c=2时，a=c+2，b==c+1，代入③式得（c+2）（c+1）﹣c2=﹣7，3c+2=﹣7，c=﹣3，所以a=﹣1，b=﹣2，此时6a+7b+8c=6×（﹣1）+7×（﹣2）+8×（﹣3）=﹣44，当a﹣c=﹣2时，a=c﹣2，b==c﹣1，代入③式得（c﹣2）（c﹣1）﹣c2=﹣7﹣3c+2=﹣7，c=3，所以a=1，b=2 此时6a+7b+8c=6×1+7×2+8×3=44，所以6a+7b+8c=﹣44或6a+7b+8c=44，故答案为44或﹣44．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出b=，此题难度不大．/5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=5．考点：对称式和轮换对称式。
分析：根据题意令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．解答：解：令x1=sinθ，x2=cosθ，又知x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3，故，解得：y1=cosθ+3sinθ，y2=3cosθ﹣sinθ，故y12+y22=5．故答案为5．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=cosθ，x2=sinθ，此题难度不大．—6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=1．考点：对称式和轮换对称式。
分析：∵a=，b=，c=分别代入，，表示出，，的值，然后化简就可以求出结果了．解答：解：∵a=，b=，c=，∴===∴=++=—∵x+y+z≠0∴原式=1．故答案为：1．点评：本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=．考点：对称式和轮换对称式。
分析：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），由可得：==，解出a、b和c的值即可．解答：解：令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x（x≠0），又知，?即==，解得a=2，c=，b=﹣，即a+b+c=2﹣+=．故答案为．点评：本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P=（m+9n）x，Q=（9m+5n）x，此题难度不大．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=．考点：对称式和轮换对称式。
专题：计算题。
分析：先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y、z和u关于x的式子代入消去y、z和u，即可求出x 的值．：解答：解：将各式化简得：，（1）+（2）+（3）+（4）得：x+y+z+u=⑤，分别将y、z和u关于x的式子代入⑤中，得：x+6x﹣1+6（6x﹣1）﹣1+=，解得：x=．故答案为：．点评：本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y、z和u关于x的式子代入消除y、z和u．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=162．考点：对称式和轮换对称式。
分析：将3个方程分别分别由第一个方程除以第二方程，再由第一个方程除以第三个方程．就可以把x、y 用含z的式子表示出来，然后代入第一个方程就可以求出z、x、y的值，从而求出其结果．`解答：解：由①÷②，得y=④由①÷③，得x=⑤把④、⑤代入①，得，解得z=9∴y=6，x=3∴原方程组的解为：]∴xyz=3×6×9=162．故答案为：162．点评：本题是一道三元高次分式方程组，考查了运用分式方程的轮换对称的特征解方程的方法，解方程组的过程以及求代数式的值的方法．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=±1．考点：对称式和轮换对称式。
专题：计算题。
分析：分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=，同理可得出zx=，xy=，三式相乘可得出xyz的值．解答：解：由已知x+=y+=z+，、得出x+=y+，∴x﹣y=﹣=，∴zy=①同理得出：zx=②，xy=③，①×②×③得x2y2z2=1，即可得出xyz=±1．故答案为：±1．点评：此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．(二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．考点：对称式和轮换对称式。
专题：计算题。
分析：先将上面三式相加，求出+，+，+，再将化简即可得出结果．解答：解：∵，∴+=15①，∵，∴+=17②；∵，∴+=16③，∴①+②+③得，2（++）=48，）∴++=24，则===，故选D．点评：本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750考点：对称式和轮换对称式。