对称式与轮换对称式
10. 因式分解技巧-轮换式与对称式 -单墫
10 .轮换式与对称式关于x 、y 的多项式)1(,,,*,,223322 xy y x y x y x xy y x ++++在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 的对称式.类似地，关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)2(,,22/2222 xyz y z x z x y z y z x y x +++++在字母x 、y 、z 中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 、z 的对称式．关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)3(,,,222222 xyz zx yz xy x z z y y x ++++在将字母x 、y 、z 轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变，这样的多项式称为x 、y 、z 的轮换式，显然，关于x 、y 、z 的对称式一定是x 、y 、z 的轮换式．但是，关于x 、y.z 的轮换式不一定是对称式．例如，x z z y y x 222++就不是对称式，次数低于3的轮换式同时也是对称式，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）． 轮换式与对称式反映了数学的美．它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的．10.1 典 型 方法例1 分解因式：).()()(222y x z x z y z y x -+-+- 解 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-是关于x 、y 、z 的轮换式．如果把)()()(222y x z x z y z y x -+-+-看作关于x 的多项式，那么在y x= 时，它的值为 .0)()()(222=-+-+-y y z y z y z y y因此，根据第8单元，y x -是)()()(222y x z x z y z y x -+-+-的因式．由于）（y x z x z y z y x -+-+-222)()(是x 、y 、z 的轮换式，所以可知z y -与x z -也是它的因式，从而它们的积))()((x z z y y x --- (4)是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+- (5)的因式．由于(4)、(5)都是x 、y 、z 的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有).)()(()()()(222x z z y y x k y x z x z y z y x ---=-+-+- (6)现在我们来确定常数k 的值．为此，比较(6)的两边y x 2的系数：左边系数为1，右边系数为-k ，因此，于是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-).)()((x z z y y x ----=例2 分解因式：).()()(333b a c a c b c b a -+-+-解 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-是关于a 、b 、C 的轮换式．与例1类似，它有三次因式 ).)()((a c c b b a ---由于原式是a 、b 、c 的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a 、b 、c 的四次齐次式，所以这个一次因式也是a 、b 、c 的一次齐次式，即它的常数项是0（否则，它的常数项与三次式))()((a c c b b a ---相乘得到一个三次式）．这个一次齐次式是a 、b 、c 的轮换式，它的形状应当是k c b k ),(++α是常数．即有)()()(333b a C a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a k ---++= (7)比较两边b a 3的系数，得k=-1．于是 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a ---++-=上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使0))()()((=/---++a c c b b a c b a的数代替a 、b 、c ，从而定出k ，例如，令,0,1,2===c b a把它代入(7)，得),2(3028-⋅⋅=+-k即 .1-=k以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．例3 分解因式.)()()()(3333c b a b a c a c b C b a -+--+--+-++解 在0=a 时，原式的值为,0)()()()(3333=----+-+c b b c c b c b所以a 是原式的因式．由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以b 、c 也是它的因式，从而有,)()()()(3333kabc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++ (8)其中k 是待定系数．令,1===c b a 得,11133333k =---即 ,24=k所以.24)()()()(3333abc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++在(3)中列出的各式称为基本的轮换式．每一个轮换式都能由它们组成，例如：一次齐次的轮换式是);(z y x l ++二次齐次的轮换式是);()(222zx yz xy m z y x l +++++三次齐次的轮换式是.)()()(222222333kxyz zx yz xy n x z z y y x m z y x l +++++⋅++++这里，L 、m 、n 、k 都是待定的常数．10.2 齐 次 与 非 齐 次例4 分解因式：.)()()(555y x x z z y -+-+- 解 用上面的方法易知原式有因式).)()((x z z y y x ---因为原式是x 、y 、z 的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设555)()()(y x x z z y -+-+-)].()()[)()((222zx yz xy m z y x l x z z y y x +++++---= （9）令,0,1,2===z y x 得),25(21321m l +-=+-即 .1525=+m l （10）令,1,0,1-===z y x 得),2(21321m l --=+-即 .152=-m l （11）由(10)、(11)这两个方程，解得⎩⎨⎧-==,5,5m l 于是 555)()()(y x x z z y -+-+-)](5)(5)[)()((222zx yz xy z y x x z z y y x ++-++---=).)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=在例4中，任给一组x 、y 、z 的值(当然不能使(x- y) (y-z) (z-x)为0)，都可以得到一个形如(10)或(11)的方程，不过为了便于计算，以较小的值代人为好．在例4中，如果注意到,5)(455 +-=-z y y z y那么比较(9)式两边z y 4的系数，可以得 ,5l -=-再结合(10)或(11)中的任一个，可以得出.5-=m 这种做法更简单一些．例5 分解因式：.)(555b a b a ---解 原式在a 、b 互换时变号，它不是a 、b 的轮换式（二元的对称式与轮换式是一致的）．但是，如果改记-b 为c ，那么原式成为,)(555c a c a +-+是a 、c 的轮换式，因而也可以采用前面的方法去处理．不过，应当注意到，更简单的办法是在例4中令,,b C x z a z y -==-=-那么 ,a b y x -=-555)(b a b a ---555)()()(y x x z z y -+-+-=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=2)()()().(5222x z z y y x b a ab -+-+--= 2)().(5222a b b a b a ab -++-= ).)((522ab b a b a ab -+-=由此可以看出，做题的时候应当充分利用已有的结果．例6 分解因式：).1)(()1)(1)((2222yz x z xz xy z y +-+++-).1)(1)(()1(22zy zx y x yx ++-++ 解 这是x 、y 、z 的轮换式，容易知道它有因式),)()((y x x z z y ---但是另一个因式是什么呢？原式并非齐次式，为了便于处理，我们按照次数把它整理一下．由于,1)()1)(1(+++⋅=++z y x x xyz xz xy所以 )1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+ )]()()([222222y x z x z y z y x xyz -+-⋅+-=)]()()[(222222y x x z z y -+-+-+)])(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++)]()()([222222y x z x x y z y x xyz -+-+-= )].)(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面所说的方法可得齐次式)()()(222222y x z x z y z y x -+-+-),)()((x z z y y x ---=))(())(())((222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-+).)()()((z y x x z z y y x ++---=所以得)1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+).)()()((z y x xyz x z z y y x +++---=10.3 abC C b a 3333-++例7 分解因式：.3333abc c b a -++解 在)(c b a +-=时，有abc C b a 3333-++)(3)(333c b bc C b c b +++++-=2233322333)33(bc c b C b c bc c b b +++++++-=,0=所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式，显然，abc c b a 3333-++是a 、b 、c 的三次齐次轮换式，我们设abc C b a 3333-++)].()()[(222ca bc ab m C b a l c b a +++++++=（12） 比较两边3a 的系数得,1=l 比较abc 的系数得,33m =-即 ,1-=m所以 abc c b a 3333-++ ).)((222ca bc ab c b a c b a ---++++= （13）有的时候也把(13)写成abc c b a 3333-++)13].(2)()())[((2122a c c b b a c b a -+-+-++=(13)与)13(/也可以作为公式来使用．例8 分解因式：-+--++-++-+b a b a c a c b c b a (3)()()(333).)()(b a c a c b c -+-+ 解 由公式),13(/得333)()()(b a c a c b c b a -++-++-+))()((3b a c a c b c b a -+-+-+-)].()()[(21b a c a c b c b a -++-++-+=22)]()[()](){[(b a c a c b a c b c b a -+--++-+--+})]()[(2c b a b a c -+--++ ])(4)(4)(4)[(21222b c a b c a c b a -+-+-++= ])()())[((2222b c a b c a c b a -+-+-++=).)((4222Ca bc ab C b a C b a ---++++=本题的结果表明将abc c b a 3333-++中的a 、b 、c 分别用a+b-c 、b a c a c b -+-+、代替后，所得的式子为原来的4倍，从(13)可以看出，如果,0=++c b a 那么,3333abc c b a =++这也是一个有用的结论．例9 分解因式：.)()()(333y x x z z y -+-+- 解 因为 ,0)()()(=-+-+-y x x z z y所以 333)()()(y x x z z y -+-+- ).)()((3y x x z z y ---=10.4 焉 用 牛 刀例10 分解因式：.2)()()(222333xyz y x z x z y z y x z y x -++++++---解 在z y x +=时，有原式)(2)2()2()()(22333z y yz z y z y z y z y z y z y +-++++++--+-=β)(2)]2([)]2([2323z y yz z y z z y z y y +-++-+++-=y z z y z z y z y y z y 222222)2()2(---++-+=y zz y y x z y 22222222 ⋅--+= ,0=所以，x- y-z 是原式的因式．由于原式为x 、y 、z 的三次轮换式，我们设xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++--- ),)()((y x z x z y z y x k ------=比较3x 的系数，得k=-1，于是 xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++---))()((y x z x z y z y x -------=).)()((z y x y x z x z y -+-+-+=例11 分解因式：.3222222xyz zx yz xy x z z y y x ++++++解 这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式是齐次的轮换式，即x+y+z ．事实上，把x 用一(y+z)代入后原式为0.不过，没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解．由 ),(22z y x xy xyz xy y x ++=++),(22z y x yz xyz yz z y ++=++),(22z y x zx xyz zx x z ++=++可得 xyz zx yz xy x z z y y x 3222222++++++ )./)((zx yz xy z y x ++++=杀鸡焉用牛刀！特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每一道题都非得用一般的方法去对付不可．10.5 整 除 问 题例12 证明：322243222432224)()()(c b a c b a C b a c b a -++-++-+能被222222444222a c c b b a c b a ---++整除．证明 由第4单元例6，可得222222444222a c c b b a c b a ---++),)()()((c b a b a c a c b C b a -+-+-+++-=因此，只要证明 ))()()((c b a b a c a c b c b a -+-+-+++是.)()()(322243222432224C b a c b a c b a C b a -++-++-+ (14)的因式即可，在a=b+c 时，(14)式的值为4222432224])([])([)(b c b C b c b c b c b -++++-++32224])[(c b c b c -+++32432434)22()22()2()(bc b c bc cb bc c b ++++-+= 343334433)(8)(8)(8c b c b c b c b c b c b +++++-=])([)(8333c b c b C b c b +++-+=,0=所以c b a --是(14)的因式．由于在a 变号时，(14)的值不变，所以)(c b a +-=时，(14)的值仍然为0．即c b a ++也是(14)的因式．(14)是a 、b 、c 的轮换式；因而b a c a c b ----、也是它的因式，从而))()()((b a c a c b c b a c b a ------++是(14)的因式，这就是要证明的结论．例13 n 是大于1的自然数，证明n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ )15(能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （16）整除，证明 在x=0时，(15)的值为,0)()(222222=++--+-+n n n n n n z y y z z y z y因此，x 是(15)的因式．在)(z y x +-=时，(15)的值为,0)()(222222=--++--+-n n n n n n z y z y z y z y因此，z y x ++是(15)的因式．由于(15)是轮换式，所以)(z y x xyz ++ （17）是它的因式．特别地，在n=2时得到(17)是(16)的因式．(16)与(17)都是四次式，因此它们至多相差一个常数．(15)能够被(17)整除，所以(15)也能够被(16)整除，10.6 原 来 是 零例14 分解因式： -----+-+-c c b b a b a a c c b ()()9)()()(22666（----332)()(2)c a b a a .)()(2)()(23333b c a c a b c b ----- )18( 解 易知b a =时(18)为0，从而导出(18)有因式).)()((a c c b b a ---在a=0时，(18)的值为333333222666)(2)(22)(9)(b c c b c b c b c b c b b c c b -------++-)2()(9]22)[()(33662223333c b c b c b c b c b c b c b -++--+---=-+--+--+--=32223332233)(9]2233[)(b c b c b c b C bc c b b c b （23)cbc b c b c b c b c b bc b c c b +-+---+--=2222222333)()(9)]33()[()(（22)c +2222223)[()()](3))([()(c bc b c b b c bc b bc c b c c b ++-+-+++--=])3(2bc -22222224)(3()()4()(c bc b bc c bc b c b b bc c c b +++++-+++--=)3bc -)4()()4()(224224C bc b c b b bc C c b ++-+++--=,0=于是a 是(18)的因式，从而))()((a c c b b a abc ---是(18)的因式．由于(18)的次数为6，所以设222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------).)()((a c c b b a kabc ---=令,1,2,3===c b a 得3333222666)1(.122122119121-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-++33)1()2(2-⨯-⨯-,12k -=即 ,012=-k于是 ,0=k从而 222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------.0=表面上(18)是一个6次式，实质上，它等于0，这是有一点出乎意料的．0无需进行分解，每一个（非零）多项式都是它的因式．例15 分 解 因 式：).2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+-解 容易验证在a=0与a=b 时，原式的值为0．因此，a(a-b)是它的因式，由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以))()((a c c b b a abc --- (19)是它的因式．但(19)是6次式，而原式的次数≤4，这说明原式必须为0，即.0)2()()2()()2()(333=-+-+-+-+-+-c b a b a b a c a c ac b c b )20( 例16 证明.0)2)(()2)(()2)((333=-+-+-+-+-+-z y x y x y x z x z x z y z y分析 本题可以按照例15的办法处理．不过，更简单地是在(20)中令,,,y x c x z b z y a -=-=-=便得到)33()2()33()2(33x x y z x y z x y z --++--+)33()2(3x y z x y --++,0=从而导出了要证明的结论．10.7 四 元 多项 式例17 分解因式：.)())(()(44d b a c d a c b d a c b --++----+).)(()())((4d c b a d c b a d b a c ----++--解 原式是a 、b 、c 的轮换式，用前面的方法易知它有因式 ).)()((a c c b b a ---另一方面，把原式看成d 的多项式，在d=a 时，易知它的值为0．因此，原式有因式d -a ．再由轮换性，它也有因式d-b ，d-c 于是))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，因为原式是a 、b 、c 、d 的6次式，我们设 ))(()())(()(44d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----+))(()(4d c b a d c b a ----++ ).)()()()()((c d b d a d a c c b b a k ------=令,2,1,0,1=-===d c b a 得.16=k 即原式 ).)()()()()((16c d b d a d a c c b b a ------=例18 分解因式：).)(())()((222222a d d c a d c b d d c c b d c b ------)()(222a d b a k c a -- ).)()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------解 原式是a 、b 、c 的轮换式，和上题类似，可得))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，则))()(())()(([222222c a a d d c a d c b d d c c b d c b -------)(222a d b a d -+)])()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------))()([(a c c b b a ---÷)])()((c b b d a d ---所得商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次式，并且，在a 、b 、c 、d 中，任意两个字母互换时，商式保持都不变（请读者自己观察一下），说明商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次对称式．又原式对每一个字母来说，都是四次多项式，----d a c c b b a )()()(())()(c d b d a --对每一个字母来说，都是三次多项式，所以商式对每个字母来说，是一次多项式，因此，商式的形式是).(dab cda bcd abc l +++由待定系数法易知L=l ，于是原式).)()()()()()((dab cda bcd abc c d b d a d a c c b b a +++------=小 结轮换式与对称式的分解通常是：首先，把它看成一个字母的多项式，用第8单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式．非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分解．特殊的轮换式可能有比较简便的特殊的方法，不一定非用一般的方法去分解．))((3222333ca bc ab C b a C b a abc c b a ---++++=-++可以作为一个公式使用，在0=++c b a 时，.3333abc C b a =++这两个结论都有不少应用．习 题10将以下各式分解因式：1 ).()()(b a ab a c ca c b bc -+-+-2 .2222222abc ab b a ca a c bc c b ++++++3 .2222222abc bc c b ac c a ab b a -++-+-4 ).()()(222222b a c a C b c b a -+-+-5 .)(3333z y x z y x ---++6 .))(())(())((222b a b a a c a c c b c b +-++-++-7 ).())()(())()((b a a c b a c b a c c b a c b a c b -+-++--+-++--)(b a c +-).(b a c -+8 .4)()()(222xyz y x z x z y z y x -+++++9 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-+--++-++-+).(c b a -+ 10 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-++-++-++-+).(c b a -+11 ).())(())((a c b c a c b c b a b c b a b a c a -++-+-++-+-+)()(a c b b a c -++-+ ).)((c b a b a c -+-+12 ).)(())(())((5333b c a c c a b c b b c a b a a abc C b a ---------+++ 13 ).()()(333b a ab a c ca C b bc C b a ++++++++14 +--+-++-++-+))((2)2()2()2(22222c a b a c b a c b a c b a c b a ))((222a b c b -- ).)((222b c a C --+15 .1333-++ab b a16 .8)1(1827)1(2332+++-+y x y x 17 .)()()(333333bx ay C az cx b cy bz a -+-+-18 .)()()(333b a c a c b c b a -+-+-19 .))(())(())((333b a b a a c a c c b c b +-++-++-20 )()()()()(222222222c b a c b a abc b a c a c b c b a +++++++++++).(ca bc ab ++ 21 ).()()(444b a c a c b c b a -+-+-22 ).()()(222222b a b a a c a c c b c b -+-+- 23 ).()()(444444b a c a c b c b a -+-+-24 .)(555b a b a --+25 .)(5555z y x z y x ---++26 .)()()()(5555c b a b a C a c b c b a -+--+--+-++ 27 .)()()(323232y x z x z y z y x -+-+-28 .))(())(())((444b a b a a c a c c b c b +-++-++- 29 ).)(())()(())()((222b c a c c a c a b c b b c b c a b a a +++-+++-++).(b a -30 ++++-++-++-+)()()()(222232323C b a abc c b a c b a c b a c b a ab c b a -++222（ ).)()()(c b a b a c a c b ca bc -+-+-+--31 ).()()(224224224b a c a c b c b a -+-+-32 ).()()(555b a c a c b c b a -+-+- 33 .)()()(555b a c a c b c b a -+-+-34 .)2()2()()(4222322b a b a b a b ab a ++--++35 .)(777y x y x +-+36 ).()()(333333b a b a a c a c c b c b -+-+- 37 ).()()(663663663y x z x z y z y x -+-+-38 ).)(())()(())()((333b a a d c c a a d d c b b d d c c b a --+-------3)(d d b --)(b a - ).)((a c c b --习题答案。
对称式与轮换对称式.doc
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
对称式和轮换对称式的因式分解
在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.对称式的因式分解在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式.例7分解因式x4+(x+y)4+y4分析这是一个二元对称式,二元对称式的基本对称式是x+y,xy任何二元对称多项式都可用x+y,xy表示,如x2+y2=(x+y)2-2xy,二元对称多项式的分解方法之一是:先将其用xy,x+y表示,再行分解.解∵x4+y4=(x+y)4-4x3y-6x2y2-4xy2=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2.∴原式=(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2+(x+y)4=2(x+y)4-4xy(x+y)2+2x2y2=2[(x+y)4-2xy(x+y)2+(xy)2]=2[(x+y)2-xy]2-2(x2+y2+xy)2,例8分解因式a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b).此题中若将式中的b换成a,c换成b,a换成c,即为c2(a-b)+a2(b-c)+b2(c-a),,原式不变,这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单，下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号f(x)、f(a)如对一元多项式3x2-5x-2可记作f(x)=3x2-5x-2,f(a)即表示当x=a时多项式的值，如x=1时多项式3x2-5x-2的值为f(1)=3×12-5×1-2=-4,当x=2时多项式3x2-5x-2的值为f(2)=3×22-5×2-2=0.因式定理如果x=a时多项式f(x)的值为零,即f(a)=0,则f(x)能被x-a整除(即含有x-a之因式).如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=2时,f(2)=0,即f(x)含有x-2的因式,事实上f(x)=3x2-5x-2=(3x+1)(x-2).证明设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,若f(a)=0,则f(x)=f(x)-f(a)=(anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0)=(anan+an-1an-1+…+a1a+a0)=an(xn-an)+an-1(xn-1-an-1)+…+a1(x-a),由于(x-a)|(xn-an),(x-a)|(xn-1-an-1),…,(x-a)|(x-a),∴(x-a)|f(x),对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.现在我们用因式定理来解例8.解这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b),易知当a=b和a=c时，都有f(a)=0,故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a),其中k为待定系数，令a=0,b=1,c=-1可得k=-1.∴a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)=-(a-b)(b-c)(c-a).例9分解因式a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b).分析这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知a-b,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是a+b+c，故可设a3(b-c)+b3(c-a)+c3(a-b)=k(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)（其中k为待定系数），取，a=0,b=1,c=-1可得k=-1,所以原式=-(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数召,心“,“书入.同时满足= 空込泊=2, 沁色=3,X] 吃“兀泊空£ = 6, 土込竺=9,则X,+X,+X3+X4+X5+A-6的值是多少？若将六式左右分别相乘得(X1W4X5A6)4 =64 ,因此XMP)兀乓兀=6,将已知式分别代入上式可得X| = "\/6 , = \/^» A"j = 5/2" , X4 = , X5 =1 ------- ，兀6 = • Ml" 以2 3X, +A-2+x3+A-4+x5+x6=l + V2 + V3 + lb^视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结6构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】1.对称多项式观察"+ /? + c , ah + be + ca » 1/ + b' + c' —3ab — 3/>c —3ca » a'h + b z c + c2a + ab~ + be2 + ca z等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式(简称对称式)• 上述四个式子也可分別称为三元对称多项式，又如A-4+(X+>-)4+/是二元对称多项式.2.轮换对称多项式一个关于儿八z…、w的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换(如把x换成y, y换成z, w换成X)，多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式(简称轮换式)•例如x'y + y'z + Fx , (“一b+c)( b—c+")( c—a+b)都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一上是对称多项式，如：+ + 是轮换式，但因互换儿y得到的是bx + Fz + Fy已不是原式，所以原式不是对称式.同样对(b-c)(c-a)(a-b)^是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式.但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式.3.对称式的性质(1)关于小y的对称式总可以用x+y和小来表示.(2)两个对称式的和、差、积、商也是对称式(3)齐次对称多项式的积、幕仍是齐次对称多项式.4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待立系数法.一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1已知卩一尤一)，=4,贝|J(Q —1)2_2疋〉，一2心2+十+〉,2+6卩—2x —2y的值等于____ .解析可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x、y的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x+y和卩来表示，先化简后再求值.解设x+y=“，AJ=V,由题设得vr=4,贝IJ原式=(Ay-1)2 - 2AJ(X +y) + [(牙 + y)2 - Zyy] + 6xy- 2(x + y)=(v—If—2vz/+if—2v+6v~2w=v2-2 vu+/+2 ” 一2 u +1=(v—w+l)==25 ・点评：对称换元有利于简化解题过程.例2 计算：(x+y-iz)(xy+yz+zx).解析因为x+y+z和xy+w+旷都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式.因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写岀其余各项.解:T x(xy-\-yz+vc)=+y+xyz+vC,原式+yz+yzx+xy^+厶+砂+yf=x:y+y：z+zH+亍+yz"+zx' + 3QZ ■点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的英他，这样解题就会既简明又准确.二、对称式的因式分解例3 分解因式：z)+y'(z—x)+z'(x—刃.解析这是一个关于八y. 2的四次齐次轮换对称式，当x=y时，原式的值为零，根据余式泄理知x —y是它的一个因式.由轮换对称的性质知y—z和z—x也是它的因式.因为(x—y)(y—z)(z—x)是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为Hr+y+z),从而有x(y—z)+yXz~x)+z(x—y)=k(x+y+z)(x—y)(y~x)(z—x)・取x=2t y=l, z=0,得k= — l.:.x(y—z)+y(z—x)+z z(x—y)= —(x+y+z)(x—y)(y—z)(z—x)・点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法.例4把2+U+)A+y分解因式.解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x+y> xy表示出来再进行分解.解：£+(x+y)'+h=(r+)」)+(x+)A=(F+『亍一2汐+(x+)A=[(x+y)'—2xyf一2xy+(A4-y):=2(x+y)1- 4x)<x+y)3+ 2xy=2[(x+yY-xy]2=2(卫+小+护)2・点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x+y、小表示出来，对于给泄的对称式，往往是寻求这种具体表示方法.在解决本题时；实际可以直接由(x+)y的展开形式，宜接将屮+讯用x+y、心来表示，即x4+y* = (x+)y — 4・py — 6xV — 4巧3 = (x+y)4-4xy(x+y)2 + 2(Q)2.例5 分解因式：(X->')5+(.V-X)5+(Z-A)5.解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的期两个因式，若在原多项式中令x=y,则原式= (x-zP+(z-x)5=0.根据因式泄理，则x-y是原式的一个因式，于是y 一z、z-x也是它的因式.解：因为当x=y时，(x—yp+(y—xp+(z—xp=O,所以原多项式有因式(x~y)Cv—z)(z—x).由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x—y)5+(v—z)5+(z—X)5=(x—y)(y—z)(z—x)[“("+尸+z2)+b(Ay+yx+zx)]①其中“、〃是待立系数.取x=lt y= — L z=0代入①式得2d—b=\5・②取x=2, y=l, z=0代人①式得5a+2b=15・③将②、③两式联立解得“=5, b=-5.所以(x-y)5+(y-z)5 + (z-x)5=5 (x—y)(y—z)(z—x)(x2+y2+z?—xy—yx—zx)・点评：在解本题的过程中，设了一个因式为“(界+尸+刊+风巧+严+旳，若不是这种形式，不妨设为0_y2 + z2,由轮换式，就会有另两个因式严一Q+W及艺一川+尸，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为“(工+护+刃+反巧+皿+旷).也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数<3,则也一立为对称多项式.三、综合应用例6 已知“+b>c b+c>a> u+c>b,求证：c)2—b(c—6/)2—c(t/—b)2—4</Z?c<0.解析要证明多项式的值小于0,可先将它分解因式，只要判左各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定.证明：设T= a3+Z?3+c3—1/(/?—c)2—h(c~a)2—c(a~b)2—4cibc・把该多项式看作是关于“的3次多项式，令"=b+c,则T= (b+cP+沪+R—(b+c)(b—c)2—沪一R—4(b+c)bc=2(，+")+32c+3bc2— 2(夕+c3)+Qc+be2—4b2c—4bc2=0.由因式泄理知，"一(b+c)是T的一个因式.又由于丁是一个轮换对称式，于是b —(c+“)，c-(a+b)也是7的因式，因为T是关于"、b、c的3 次式，所以可设T— k(a—b—c)(b—c—a)(c—a~b)・比较两边/的系数可得k=\.故T= (a—b—c)(b—c—a)(c—a—b)・根据题意"+b>c, d +则有c—a—b<0, a—b—c<0, b—a—c<0.所以TVO.即原不等式成立.例7设△ABC的三边长分别为心b、c,且上二L+ —+上二£=0,试判断ZBC的形状.1 + ah \+bc 1 + ca解析已知等式去分母，得(t/—Z?)( 14- bc)( 1 + ca) 4- (/?—c)( 1 +c“)(l +")+(c—")(1 +")(1 +处)=0・上式的左边是关于a、b、c的轮换对称式,把,(a—b)(l+bc)(l+ca)展开、整理，得a-b—b2c-}-ca2+ "2力一於C2•根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项.由此，上式可写为a~b~ b2c+"+a2bc2—al^c2+b—c—c2a+ah2+b2ca2—berer+c—a —a2b+be2+crab1— ca2b2=0 ・整理，得ab2+be2+ca2—a2b—b2c—c2a=0.设M=ab2 -b be2+ca2—a2b—b2c—c2a ・当"=b时，A/=0,由因式泄理知"一b是M的一个因式.而M是关于“、b、c的三次齐次轮换对称式，故M含有因式(a—b)(h—c)(c—u).又(“一b)(b—c)(c—a)也是三次齐次轮换对称式，则M还应有一个常因子，于是可设ab2+be2+ca2—erb — b2c•—(rci=k(a~b)(b—c)(c ~a).取a=2, h=\9 c=0,得k=\.M=(a — b)(b—c*)(c—a)=0 ・:・u=b或b=e或c=a,即"、b、c中至少有两个相等.故△ABC必为等腰三角形.好题妙解】佳题新题品味例分解因式l)(y-z)+Ay+ l)(z-x)+z3(z+ l)(x~y)・解析由于原式是X, y, z的轮换式但不是齐次式，所以当求得©—2)(z-x)仗一刃的因式后，剩下的因式是A(x2+y2+z2)+B(yz+zx+xy)+CC¥+y+z)+£)・解：当时，原式=0..・・y-z是原式的一个因式.设原式=(y~z)(z—x)(x—y)[ A("+y2+z2)+B(yz+乙t+xy)+C(x+y+z)+D]・由于原式最低为四次项，.・.D=0.•••原式=(y—z)(z—x)(x—y)[ A(x2 -+-y24-z2)+B(yz++C(x+y+z)].令x=h y= —L z=0 得2A—B= —1；①令x=-h y=0, z=2 得5A-2B+C=-4；②令x=l； y=-L z=2 得6A-B+2C=-7・③解①，②，③组成的方程组，得A=B=C=-1.故原^=—(y—z)(z—x)(x—y)(x2+y1+z1+yz+zx+xy+x+y+z)・中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6兀一6)，—9W+18•巧一9屮一1.解析关于X, y的对称式可用含x+y, x-y,小的式子表示，考虑分组.解：6x—6y—9W+ 18小一9)卫一1 = — (9X2— 18xy+9)^)+(6x—6y) — 1=—[9(工一Zxy+〉') _ 6(x _ y) + 1 ]=一[9(A—y)2-2X 3(x-y) +1]= -[3(xp)— IF= _(3x_3y_ 1)2.竞赛样题展示例分解因式(a-\-b+c)5—a5—b5—c5・解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找岀与它同类型的另两个因式.如果在多项式中令a = -b,则原式=c5-c5=O,根据因式上理，则“+b是原式的一个因式，于是(b+c)、(c +")也是它的因式.解：因为当"=—b时，(a+b+cp—cP—“5—芒=0,所以原式有因式(a+b)(b+c)(c+a)・由于原式是5次对称多项式，根据英特点，可设(“ + b + c)5 — "5—/一小=(“+b)(b+c)(c+a)[k(cr+b?+c?)+m(ab+bc+ca)]・①其中£、加是有待确左的系数.令么=1, b=l, c=0,代人①式得30=2("+〃?)，即2k+m=15・又令“=0, b=\, c=2,代人①式得210=6(5£+加)，即5«+加= 35.由此解得k=5t m=5.所以(a+b-^c)s—a5—b5—c5=5(a+b)(h+c)(c+a)(a2-^b2+c2+ab-\-bc-^ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待立系数法确定剩下的其他因式.过关检测】A级1.在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )① 3x+2y+z ②+y 彳+z4 + 巧』z?③jty2 + y2^+④卫+y3+z3—x2—y2—z2A. 0个B・1个C・2个D・3个2.x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx24-3xy f z=y+z)(xy'-\-yz+zx),则k 的值是( )A. 1 B・ 1 C・ 3 D・一123•设Of=xi+X2+X3, 0 =X1X2+X2X3+X3AS / =A1X2X3> 用Q、卩、丫表示岀X)3+x23+x33的结果是( )A. a'— 3a卩+3?B・0‘一3矽+3卩C・ a'+3a0—3/ D・ 0'—3a0+3y4 ・分解因式：xy^x2一y2) +yz(y2—z2)+zx(z2—x2)・5.分解因式：Ty+^+Wz+^+FCv+y)—W+h+R-Zryz.6.化简:“(b+c—“)2+b(c+“一Z?)2+d"+/?—c)2+(b+c—")(©+" —b)(“+b—c)・7.已知"+b+c+〃=O, R+b3+c3+〃3=3.(1)求证：(a+b)34-(c+J)3=0:(2)求证：ab(c+J)+cd(a+Z?) = 1 ・1.若——-—— + ——-—— + ——-——=1,则儿八x的取值情况是()(X + z)(y + z) (>■ + x)(z + A) (z + y)(x + y)A.全为零B.只有两个为零C.只有一个为零D.全不为零2.已知⑴b、c均为正数，设p=“+b+c 尸竺+竺+竺,则“与g的大小关系是( )a h cA・P>q B・ p<q C・ pPq D・pWq3.已知x+y=3,戏+尸_小=4,则十+屮+兀3$+与,3的值等于 _____________ ・4.如图2-1,正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个而上二数之和都相等.如果13、9、3的对面的数分别是"、b、c9试求a1+b2+c1—ab—bc—ca的值，5・分解因式:(x+y)(y+z)(z+x)+xyz.6.分解因式:G(a+ l)(b—c)+b'(b+ l)(c—”)+c3(c+ \)(a~b).第二讲对称式和轮换对称式A级1. B2. B3. A4.-(x+/H-z)(x-y)(y-z)5.- (x-y-z)(/-z-a)(z - x - y).提示:令丁= y原式为0;同理7 =x十乙时，原式为0;z” ”时,原式为0・设原式-A(x- -y)-6.4a6c提示：当a=0时，原式=0；故设原式= kabj取a = 6=c=U.得&=4・7・ a，46’+c?+d'=(a+6)'-3a6(a・6) + (c • -3cJ(c+d).又a 十6 = 一(c + d),所以(a *b)‘ + (c+/)‘ =0•故3 =3a6(c + d) +3cd(a +6),即a6(c +d) +cd(c+6) = 1B级L・C提示:化简已知等式得xyz=0.2.D提示:运用作差比较.3・ 36 ^4.76 提示:原式=y[(a-6)2 + (6-c)2 + (c-a)2]5.(x+y+«) (xy+-yz+a)6・一(a - 6)(6*-c)(c-a)(a2+c2十 ab + be +co + a+ 6 +c)提示：原:式为非齐次轮换式，可视作以a为主元的多项式.当a M时，原式=0.所以a・6是原式的一个因式.由对称性知也是原式的因式.剰下的因式应是非齐次对称性•设原式=(a-6)(6-c)(c-a)(A:(a2 + + c2) +2( a6 + 6c 4-ca) +m(a+6 + c) +a]・取恃值求得A = - 1 fI = -l,m = =1』=0.。
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式(解析版)
上海自招数学专题11 对称式和轮换对称式考点点拨典例精选1．（黄冈校级）已知aba+b =115，bcb+c=117，cac+a=116，则abcab+bc+ca的值是（）A．121B．122C．123D．124【点拨】先将上面三式相加，求出1a +1b，1b+1c，1a+1c，再将abcab+bc+ca化简即可得出结果．【解析】解：∵aba+b =115，∴1a+1b=15①，∵bcb+c =117，∴1b+1c=17②；∵cac+a =116，∴1a+1c=16③，∴①+②+③得，2（1a +1b+1c）＝48，∴1a +1b+1c=24，则abcab+bc+ca =1ab+bc+acabc=11c+1a+1b=124，故选：D．【点睛】本题考查了对称式和轮换对称式，是基础知识要熟练掌握．2．（大观区校级自主招生）若abc＝1，且x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2003．则x等于（）A．1 B．2003 C．4006 D．2008【点拨】先将原式根据条件变形为x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，再整理成：x1+a+ab+axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，再通过等式的性质去分母后就可以求出其值．【解析】解：∵abc＝1，且x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2003．∴x1+a+ab +axa+ab+abc+xabc+c+ac=2003，∴x1+a+ab +axa+ab+1+xc(ab+1+a)=2003，∴cx+acx+x＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+1）＝2003c（ab+a+1），∴x（c+ac+abc）＝2003c（ab+a+1），∴xc（ab+a+1）＝2003c（ab+a+1），∴x＝2003．故选：B．【点睛】本题考查了方程中的对称式和轮换对称式的运用及解此类方程的一般方法的运用．3．（梁子湖区校级自主招生）设x、y、z是三个互不相等的数，且x+1y=y+1z=z+1x，则xyz＝±1．【点拨】分析本题x，y，z具有轮换对称的特点，我们不妨先看二元的情形，由左边的两个等式可得出zy=y−zx−y，同理可得出zx=z−xy−z，xy=x−yz−x，三式相乘可得出xyz的值．【解析】解：由已知x+1y=y+1z=z+1x，得出x+1y=y+1z，∴x﹣y=1z−1y=y−zzy，∴zy=y−zx−y①同理得出：zx=z−xy−z②，xy=x−yz−x③，①×②×③得x2y2z2＝1，即可得出xyz＝±1．故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换式的知识，有一定的难度，解答本题的关键是分别求出yz、zx、xy的表达式，技巧性较强，要注意观察所给的等式的特点．4．（宁海县校级自主招生）x1、x2、y1、y2满足x12+x22＝2，x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3．则y12+y22＝5．【点拨】根据题意令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，列出方程组解出y1和y2，然后求出y12+y22的值．【解析】解：令x1=√2sinθ，x2=√2cosθ，又知x2y1﹣x1y2＝1，x1y1+x2y2＝3，故{√2cosθy1−√2sinθy2=1√2sinθy1+√2cosθy2=3，解得：√2y1＝cosθ+3sinθ，√2y2＝3cosθ﹣sinθ，故y12+y22＝5．故答案为5．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令x1=√2cosθ，x2=√2sinθ，此题难度不大．5．（余姚市校级自主招生）设a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，且x+y+z≠0，则aa+1+bb+1+cc+1=1．【点拨】∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y分别代入aa+1，bb+1，cc+1表示出aa+1，bb+1，cc+1的值，然后化简就可以求出结果了．【解析】解：∵a=xy+z，b=yz+x，c=zx+y，∴aa+1=xx+y+zbb+1=yx+y+zcc+1=zx+y+z∴aa+1+bb+1+cc+1=xx+y+z+yx+y+z+zx+y+z=x+y+zx+y+z∵x+y+z≠0∴原式＝1．故答案为：1．【点睛】本题是一道代数式的化简求值的题，考查了代数式的对称式和轮换对称式在化简求值中的运用．具有一定的难度．6．（鹿城区校级自主招生）已知互不相等的实数a，b，c满足a+1b=b+1c=c+1a=t，则t＝±1．【点拨】首先设a+1b=t，可得b=1t−a，代入b+1c=t，整理可得ct2﹣（ac+1）t+（a﹣c）＝0 ①，又由c+1a=t，可得ac+1＝at②，将②代入①，即可得（c﹣a）（t2﹣1）＝0，又由实数a，b，c互不相等，即可求得答案．【解析】解：设a +1b=t ，则b =1t−a ， 代入b +1c =t ，得：1t−a+1c=t ，整理得：ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①又由c +1a =t ，可得ac +1＝at ②， 把②代入①式得ct 2﹣at 2+（a ﹣c ）＝0， 即（c ﹣a ）（t 2﹣1）＝0， 又∵c ≠a ， ∴t 2﹣1＝0， ∴t ＝±1．验证可知：b =11−a ，c =a−1a 时，t ＝1；b =−11+a ，c =−a+1a 时，t ＝﹣1． ∴t ＝±1． 故答案为：±1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识．此题难度比较大，注意设a +1b=t ，从而得到方程ct 2﹣（ac +1）t +（a ﹣c ）＝0 ①与ac +1＝at ②是解此题的关键．7．（抚州校级）已知xyx+y=2，xzx+z =3，yz y+z =4，求7x +5y ﹣2z 的值．【点拨】先根据题意得出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14，求出1x+1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的值，进而得出x 、y 、z 的值，再代入所求代数式进行计算即可．【解析】解：∵xyx+y=2，xzx+z=3，yz y+z=4，∴1x+1y =12，1x +1z=13，1y +1z=14，解得：1x =724，1y=524，1z=124，∴x =247，y =245，z ＝24， ∴原式＝7×247+5×245−2×24 ＝24+24﹣48 ＝0．【点睛】本题考查的是对称式和轮换对称式，根据题意把原式化为1x +1y=12，1x+1z=13，1y+1z=14的形式是解答此题的关键．8．（龙湾区校级）已知b ≥0，且a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3，求a +b +c +d 的最大值．【点拨】分别表示出a ，b ，c ，d ，然后通过分别代入，使最后成为只含b 的代数式，b 的范围知道从而得解．【解析】解：∵a +b ＝c +1，b +c ＝d +2，c +d ＝a +3， ∴2b +c ＝6，c ＝6﹣2b ， 代入a +b ＝c +1得a ＝7﹣3b ， 代入b +c ＝d +2得d ＝4﹣b ， 则a +b +c +d ＝17﹣5b ， 因为b ≥0，所以当b 取0时，a +b +c +d 的最大值为17．【点睛】本题对称式和轮换对称式，关键是根据代数式的运算，用代入法，转换成关于b 的代数式，从而求出取值范围．9．（文登市校级）设a ，b ，c ，满足aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，求abcab+bc+ca 的值．【点拨】利用分式的基本性质得出a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc=1b+1c=4②a+c ac=1a+1c=5③，进而求出答案．【解析】解：∵aba+b=13，bcb+c=14，ac a+c=15，∴a+b ab=1a+1b=3①，b+c bc =1b +1c =4②a+c ac=1a+1c=5③，①+②+③得： 2（1a +1b+1c ）＝12，故1a+1b+1c=ab+bc+caabc =6，则abc ab+bc+ca=16．【点睛】此题主要考查了对称式和轮换对称式，得出2（1a+1b+1c）＝12是解题关键．10．（黄冈校级自主招生）已知1x +1y+z =12，1y +1z+x =13，1z+1x+y =14，求2x +3y +4z的值．【点拨】由1x+1y+z=12，1y+1z+x=13，1z+1x+y=14，易得1x=y+z 2(x+y+z)，1y=z+x 3(x+y+z)，1z=x+y 4(x+y+z)，然后代入即可求得答案．【解析】解：∵1x+1y+z=12，∴x+y+z x(y+z)=12，∴x （y +z ）＝2（x +y +z ），∴x=2(x+y+z)y+z，即：1x =y+z2(x+y+z)，同理：1y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)，∴2x +3y+4z=2(y+z)2(x+y+z)+3(z+x)3(x+y+z)+4(x+y)4(x+y+z)=y+zx+y+z+x+zx+y+z+x+yx+y+z=2(x+y+z)x+y+z=2．【点睛】此题考查了对称式与轮换对称式的知识．此题难度适中，解题的关键是得到：1x =y+z2(x+y+z)，1 y =z+x3(x+y+z)，1z=x+y4(x+y+z)．精准预测1．若交换代数式中的任意两个字母，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a+b+c就是一个完全对称式．已知三个代数式：①a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）；②a2bc+b2ac+c2ab；③a2+b2+c2﹣ab﹣bc ﹣ac．其中是完全对称式的（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．有①②③【点拨】根据完全对称式的含义，把式子中任意两个字母交换，根据乘法的交换律和加法的交换律即可求出答案．【解析】解：根据完全对称式的含义：把a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）中任意两个字母交换，如a和c 交换得到：c（b+a）+b（c+a）+a（c+b）＝a（b+c）+b（a+c）+c（a+b），交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴①正确；根据完全对称式的含义：把a2bc+b2ac+c2ab中任意两个字母交换，如b和c交换得到：a2cb+c2ab+b2ac ＝a2bc+b2ac+c2ab，交换其它的任意的两个字母也和原式相等∴②正确；根据完全对称式的含义：把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac中任意两个字母交换，如b和a交换得到：b2+a2+c2﹣ba﹣ac﹣bc＝a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac，交换其它的任意的两个字母也和原式相等，∴③正确．故选：D．【点睛】本题主要考查对对称式和轮换对称式的理解和掌握，能熟练地根据完全对称式的含义进行判断是解此题的关键．2．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750【点拨】首先将a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170分别展开，即可求得ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，然后将三式相加，即可求得ab+bc+ca值，继而求得bc，ca，ab的值，将它们相乘再开方，即可求得abc的值．【解析】解：∵a（b+c）＝152，b（c+a）＝162，c（a+b）＝170，∴ab+ac＝152 ①，bc+ba＝162 ②，ca+cb＝170 ③，∴①+②+③，并化简，得：ab+bc+ca＝242 ④，④﹣①得：bc＝90，④﹣②得：ca＝80，④﹣③得：ab＝72，∴bc•ca•ab＝90×80×72，即（abc）2＝7202，∵a，b，c均为正数，∴abc＝720．故选：C．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式的知识，考查了方程组的求解方法．此题难度较大，解题的关键是将ab，ca，bc看作整体，利用整体思想与方程思想求解．3．已知3x+y =4y+z=5z+x，则xyz(x+y)(y+z)(x+z)的值为110．【点拨】利用3x+y =4y+z=5z+x=k，得出方程组，解出x，y，z代入求值即可．【解析】解：设3x+y =4y+z=5z+x=k，得{x+y=3ky+z=4kz+x=5k，解得{x=2ky=1kz=3k，所以xyz(x+y)(y+z)(x+z)=2k⋅1k⋅3k(2k+1k)(1k+3k)(2k+3k)=6k360k3=110．故答案为：110．【点睛】本题主要考查了对称式和轮换对称式，解题的关键是用k表示x，y，z的值．4．已知aba+b =2，aca+c=4，cbc+b=3．则a＝245，b＝247c＝24．【点拨】根据aba+b =2可得1a+1b=12，同理求出1b+1c=13，1a+1c=14，三式相加后再分别减去各式即可得到1a 、1b和1c的值，于是a、b和c的值求出．【解析】解：∵aba+b=2，∴1a +1b=12⋯①，同理可知：1a +1c=14⋯②，1 b +1c=13⋯③，①+②+③＝2（1a +1b+1c）=1312，即（1a+1b+1c）=1324⋯④，④﹣①=1c =1324−12=124， 即c ＝24，④﹣②=1b =724， 即b =247， ④﹣③=1a =524， 即a =245， 故答案为245、247、24．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是求出1a+1b+1c的值，此题难度不大．5．已知m+9n9m+5n=P Q，P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n，其中a ，b ，c 为常数，使得凡满足第一式的m ，n ，P ，Q ，也满足第二式，则a +b +c ＝ 19 ．【点拨】令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），由P+aQ bP+cQ=m+n 5m−12n可得：m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)═(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解出a 、b 和c 的值即可．【解析】解：令P ＝（m +9n ）x ，Q ＝（9m +5n ）x （x ≠0），又知P+aQbP+cQ=m+n 5m−12n，即m+9n+a(9m+5n)b(m+9n)+c(9m+5n)=(9a+1)m+(5a+9)n (9c+b)m+(9b+5c)n=m+n 5m−12n，解得a ＝2，c =574，b =−1334，即a+b+c＝2−1334+574=−17．故答案为﹣17．【点睛】本题主要考查对称式和轮换对称式的知识点，解答本题的关键是令P＝（m+9n）x，Q＝（9m+5n）x，此题难度不大．6．已知abc＝1，则关于x的方程x1+a+ab +x1+b+bc+x1+c+ac=2012的解为x＝2012．【点拨】根据abc＝1，可以得到ab=1c，bc=1ab，代入11+a+ab，11+b+bc进行化简，即可求得（11+a+ab+11+b+bc +11+c+ac）的值，从而求解．【解析】解：∵abc＝1，∴ab=1c，bc=1a，∴11+a+ab =11+a+1c=c1+c+ac，11+b+bc =11+b+1a=a1+a+ab，∴11+b+bc =ac1+c+ac，∴关于x的方程x1+a+ab+x1+b+bc+x1+c+ac=2012即（11+a+ab+11+b+bc+11+c+ac）x＝2012，即（c1+c+ac +ac1+c+ac+11+c+ac）x＝2012，1+c+ac1+c+acx＝2012，∴x＝2012．故答案是：x＝2012．【点睛】本题考查了方程的解法，正确求得11+a+ab +11+b+bc+11+c+ac的值是关键．7．已知实数a 、b 、c ，且b ≠0．若实数x 1、x 2、y 1、y 2满足x 12+ax 22＝b ，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ，x 1y 1+ax 2y 2＝c ，则y 12+ay 22的值为a 3+c 2b．【点拨】∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③．首先将第②、③组合成一个方程组，变形把x 1、x 2表示出来，在讲将x 1、x 2的值代入①，通过化简就可以求出结论． 【解析】解：∵x 12+ax 22＝b ①，x 2y 1﹣x 1y 2＝a ②，x 1y 1+ax 2y 2＝c ③． 由②，得 x 2=a+x 1y 2y 1④， 把④代入③，得x 1=cy 1−a 2y 2y 12+ay 22⑤把⑤代入③，得 x 2=ay 1+cy 2y 12+ay 22⑥ 把⑤、⑥代入①，得(cy 1−a 2y 2y 12+ay 22)2+a(ay 1+cy 2y 12+ay 22)2=b ∴(a 3+c 2)y 21+(a 3+c 2)ay 22(y 12+ay 22)=b ，∴（a 3+c 2）（y 12+ay 22）＝b （y 12+ay 22）2 ∴y 12+ay 22=a 3+c 2b． 故答案为：a 3+c 2b【点睛】本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用． 8．已知w 、x 、y 、z 四个数都不等于0，也互不相等，如果w +1x =x +1y =y +1z =z +1w ，那么w 2x 2y 2z 2＝1 ．【点拨】先根据w +1x=x +1y =y +1z =z +1w分别表示出w ﹣x ，x ﹣y ，y ﹣z ，z ﹣w 的值，再把这四个式子进行相乘，即可求出w 2x 2y 2z 2的值． 【解析】解：∵w +1x=x +1y，∴w ﹣x =1y −1x =x−y xy ， 同理可得：x ﹣y =1z −1y =y−z yz ， y ﹣z =z−wzw ， z ﹣w =w−xwx ，∴（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=x−y xy •y−z yz •z−w zw •w−xwx =(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w x y z∴w 2x 2y 2z 2＝1． 故答案为：1．【点睛】此题考查了对称式和轮换对称式；解题的关键是通过变形得出（w ﹣x ）（x ﹣y ）（y ﹣z ）（z ﹣w ）=(x−y)(y−z)(z−w)(w−x)w 2x 2y 2z 2．9．已知实数x ，y 满足(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，则x ＝ ±√2010 ，y ＝ ±√2010 ．【点拨】将等式乘以x−√x 2−2010x−√x 2−2010，然后分子可利用平方差公式进行化简，化简后移项，运用完全平方公式两次化简可得出x 和y 的关系，继而代入可解出答案． 【解析】解：∵(x +√x 2−2010)(y +√y 2−2010)−2010=0，∴(x+√x 2−2010)(x−√x 2−2010)(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴2010(y+√y 2−2010)x−√x 2−2010=2010，∴x ﹣y =√y 2−2010+√x 2−2010，两边平方整理得：2010﹣xy =√(y 2−2010)(x 2−2010)， 两边平方整理得：x 2﹣2xy +y 2＝0， 解得：x ＝y ，将x ＝y 代入代入可得：x ＝±√2010，y ＝±√2010． 故答案为：±√2010，±√2010．【点睛】此题涉及了对称式和轮换对称式，难度较大，解答本题的关键是利用平方差公式，完全平方公式进行化简计算．10．设2（3x ﹣2）+3＝y ，2（3y ﹣2）+3＝z ，2（3z ﹣2）+3＝u 且2（3u ﹣2）+3＝x ，则x ＝ 15．【点拨】先化简各式，将各式联立相加，然后分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入消去y 、z 和u ，即可求出x 的值．【解析】解：将各式化简得：{6x −1=y(1)6y −1=z(2)6z −1=y(3)6u −1=x(4)，（1）+（2）+（3）+（4）得：x +y +z +u =45⑤，分别将y 、z 和u 关于x 的式子代入⑤中，得：x +6x ﹣1+6（6x ﹣1）﹣1+x+16=45， 解得：x =15．故答案为：15．【点睛】本题考查对称式和轮换对称式的知识，难度适中，解题关键是将y 、z 和u 关于x 的式子代入消除y 、z 和u ．。
对称式和轮换对称式及答案
对称式和轮换对称式一•填空题(共10小题)1.已知，a, b, c是厶ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：—_ •r r . 2 2 2 22.已知实数a、b、c,且0.若实数X i、X2、y i、y满足x i +ax2 =b, X2y i- x i y2=a, X i y i+ax2y2=c，贝U y i+ay2 的值为_______________ .3.已知正数a, b, c, d, e, f 满足=4, =9, =16,=;=,=，则(a+c+e)-( b+d+f)的值为_^_______^_.2 2 24.已知bc- a =5, ca - b =- 1, ac- c = - 7,贝U 6a+7b+8c= _____________ .5.X1、X2、y1、y2满足xj+X22=2, x2y1 -xy2=1, X1y1+X2y2=3.贝U y12+y22= ______________ .6.设a=, b=, c=，且x+y+zz0,贝U = _______________ .7.已知，，其中a, b, c为常数，使得凡满足第一式的 ____ m n, P, Q也满足第二式，则a+b+c= .&设2 ( 3x- 2) +3=y, 2 (3y - 2) +3=z, 2 (3z - 2) +3=u 且2 (3u - 2) +3=x，贝U x= ______________ .9.若数组(x, y, z)满足下列三个方程：、、，则xyz= __________________ .10.设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，贝y xyz= .二选择题（共2小题）11 .已知，，则的值是（) A. B. C. D.12. 如杲a, b, c均为正数，且a(b+c) =152, b (c+a) =162, c (a+b) =170,那么abc 的值是( )A. 672B. 688C. 720D. 750三解答题（共1小题）13.已知b>0,且a+b=c+1, b+c=d+2, c+d=a+3，求a+b+c+d 的最大值.(-1)答案与评分标准 一•填空题(共10小题)1. _______________________________________________________ 已知，a , b , c 是厶ABC 的边，且，，，则此三角形的面积是： _____________________________________________ • 考点：对称式和轮换对称式。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
性质 2 对称式的和 、 差、 积、 商也是对称 式. 性质 3 轮换对称式的和 、 差、 积、 商也是 轮换对称式 . 性质 4 齐次轮换对称式的和 、 差、 积、 商 也是齐次轮换对称式 . 性质 5 一个 m 次对称式乘以一个 n 次对 称式 , 其积必为一个 m + n 次对称式 .
c3 d3 + = 49 B - 68 . d+ a+ b a+ b+ c
2. 5 解对称方程组
解对称方程组时 , 可以通过对称替换把原 方程组化简 . 例 8 求方程组 数解 .
由于 f 和 g 都是三次齐次轮换对称式 , 故 f 和 g 之间只差一个非零常数因子 , 即
f = k ( a - b) ( b - c) ( c - a) = 0 .
把 x 2 + y 2 + z2 = 16 代入得
xy + yz + zx = - 6 .
由 x + y + z = 2 , 得 z = 2 - x - y . 所以 ,
y + z = 16 . 则 . ( 2003 , 北 京 市 中 学 生 数 学 竞 赛 ( 初 二 决
2 2
分析 :因为已知等式是关于 a 、 b、 c 的轮换 对称式 , 可考虑先去分母 , 再通过分解因式来确 定 a、 b、 c 的关系 . 解 :将原式去分母 , 并设其为 f , 得
(1 + f = ( a - b) (1 + bc) (1 + ca) + ( b - c) ( 1 + ab) ・ ca) + ( c - a) ( 1 + bc) ( 1 + ab)
初中数学竞赛——轮换式和对称式
第2讲轮换式和对称式知识总结归纳一．基本轮换式：（1）x y z++（2）222++x y z（3）xy yz zx++（4）333++x y z（5）222++x y y z z x（6）222++xy yz zx（7）xyz二．齐次轮换式：（1）一次齐次轮换式：()l x y z++（2）二次齐次轮换式：222+++++()()l x y z m xy yz zx（3）三次齐次轮换式：333222222+++++++++()()()l x y z m x y y z z x n xy yz zx kxyz 以上l m n k、、、都是待定的常数二．轮换式与对称式的分解的一般方法：首先，把它看成一个字母的多项式，用试根法，找出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式.非齐次轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加进行分解。
特殊的轮换式可能有更简单的方法，不一定非用一般的方法去分解.、的多项式对于x y223322++++,,,,,x y xy x y x y x y xy、的对称式。
在字母x与y互换时，保持不变，这样的多项式称为x y、、的多项式类似的，关于x y z在字母x y z 、、中任意两字互换时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的对称式.关于x y z 、、的多项式222333222,,,,,,,x y z xy x y z xy yz zx x y z xyz x y y z z x ++++++++++在将字母x y z 、、轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变.这样的多项式称为x y z 、、的轮换式。
显然，关于x y z 、、的对称式一定是x y z 、、的轮换式.但是，关于x y z 、、的轮换式不一定是x y z 、、的对称式.例如222x y y z z x ++就不是对称式.两个轮换式(对称式)的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二讲 讲对称式和轮换对称式(含答案)
第二讲 讲对称式和轮换对称式趣题引路】若正数123456,,,,,x x x x x x ．同时满足2345611x x x x x x =，3456122x x x x x x =，4561233x x x x xx =，5612344x x x x x x =，6123456x x x x x x =，1234569x x x x xx =，则123456x x x x x x +++++的值是多少？ 若将六式左右分别相乘得44123456()6x x x x x x =，因此1234566x x x x x x =，将已知式分别代入上式可得61=x ，32=x ，23=x ，264=x ，15=x ，366=x ．所以6611321654321+++=+++++x x x x x x 视六数之积为整体，可巧妙地消元求解！对于具备特殊结构的代数式或方程，我们也要学会运用特殊的解题策略.知识拓展】 1.对称多项式观察a b c ++，ab bc ca ++，333333a b c ab bc ca ++---，222222a b b c c a ab bc ca +++++等多项式，如果任意互换两个元的位置，所得的多项式与原式恒等，像这样的多项式叫做对称多项式（简称对称式）.上述四个式子也可分别称为三元对称多项式，又如444()x x y y +++是二元对称多项式． 2.轮换对称多项式一个关于x 、y 、z…、w 的多元多项式，若依某种顺序把字母进行轮换（如把x 换成y ，y 换成z ，w 换成x ），多项式不变，这种多项式叫做轮换对称多项式（简称轮换式）.例如222x y y z z x ++，(a －b ＋c )( b －c ＋a )( c －a ＋b )都是三元轮换对称式.显然，对称多项式都是轮换对称多项式，而轮换对称多项式则不一定是对称多项式，如：222x y y z z x ++是轮换式，但因互换x 、y 得到的是222y x x z z y ++已不是原式，所以原式不是对称式．同样对(b －c )(c －a )(a －b )也是如此，即该式是轮换对称式而不是对称式．但只含有两个字母的轮换对称式都是对称式． 3.对称式的性质（1）关于x 、y 的对称式总可以用x ＋y 和xy 来表示． （2）两个对称式的和、差、积、商也是对称式 （3）齐次对称多项式的积、幂仍是齐次对称多项式．4.对称多项式和轮换多项式的因式分解：运用因式分解定理和待定系数法．一、对称式、轮换对称式的求值技巧例1 已知4xy x y --=，则22222(1)22622xy x y xy x y xy x y ---+++--的值等于 . 解析 可引导学生观察已知等式和所求式的特点，易见，它们都是关于x 、y 的对称式，根据对称式的性质，所求式可用x ＋y 和xy 来表示，先化简后再求值. 解 设x ＋y ＝u ，xy ＝v ，由题设得v －u ＝4，则原式＝22(1)2()()262()xy xy x y x y xy xy x y ⎡⎤--+++-+-+⎣⎦＝(v －1)2－2vu ＋u 2－2v ＋6v －2u ＝v 2－2vu ＋u 2＋2v －2u ＋1 ＝(v －u ＋1)2＝25．点评：对称换元有利于简化解题过程．例2 计算：(x ＋y ＋z )(xy ＋yz ＋zx )．解析 因为x ＋y ＋z 和xy ＋yz ＋zx 都是轮换对称式，所以它们的积也是轮换对称式．因此，做这种乘法运算时可只把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式各项，然后根据轮换对称性写出其余各项．解：∵x (xy ＋yz ＋zx )＝x 2y ＋xyz ＋zx 2，∴原式＝x 2y ＋xyz ＋zx 2＋y 2z ＋yzx ＋xy 2＋z 2x ＋zxy ＋yz 2＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x ＋xy 2＋yz 2＋zx 2＋3xyz ．点评：由已知代数式的对称性，可知其展开式亦是对称的，从而可由一项写出对称的其他，这样解题就会既简明又准确．二、对称式的因式分解例3 分解因式：x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y )．解析 这是一个关于x 、y 、z 的四次齐次轮换对称式，当x ＝y 时，原式的值为零，根据余式定理知x －y 是它的一个因式．由轮换对称的性质知y －z 和z －x 也是它的因式．因为(x －y )(y －z )(z －x )是三次轮换对称式，所以原式还应有一个一次齐次轮换对称的因式，不妨设为k (x ＋y ＋z )，从而有x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝k (x ＋y ＋z )(x －y )(y －x )(z －x )． 取x ＝2，y ＝1，z ＝0，得k ＝－1． ∴x 3(y －z )＋y 3(z －x )＋z 3(x －y ) ＝－(x ＋y ＋z )(x －y )(y －z )(z －x ) ．点评：由对称性来探究可能分解出的因式，这是因式分解的一种十分有趣的方法．例4 把x 4＋(x ＋y )4＋y 4分解因式．解析这是一个二元对称多项式，分解因式时一般将原式用x＋y、xy表示出来再进行分解．解：x4＋(x＋y)4＋y4＝(x4＋y4)＋(x＋y)4＝(x2＋y2)2－2x2y2＋(x＋y)4＝[(x＋y)2－2xy]2－2x2y2＋(x＋y)4＝2(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2x2y2＝2[(x＋y)2－xy]2＝2(x2＋xy＋y2)2．点评：实际上任何一个二元对称式都可以用x＋y、xy表示出来，对于给定的对称式，往往是寻求这种具体表示方法．在解决本题时；实际可以直接由(x＋y)4的展开形式，直接将x4＋y4用x＋y、xy来表示，即x4＋y4＝(x＋y)4－4x3y－6x2y2－4xy3＝(x＋y)4－4xy(x＋y)2＋2(xy)2．例5分解因式：(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5．解析这是一个5次轮换对称多项式，只要找到它的一个因式就能找到与它同类型的另两个因式，若在原多项式中令x＝y，则原式＝(x－z)5＋(z－x)5＝0．根据因式定理，则x－y是原式的一个因式，于是y －z、z－x也是它的因式．解：因为当x＝y时，(x－y)5＋(y－x)5＋(z－x)5＝0，所以原多项式有因式(x－y)(y－z)(z－x)．由于原多项式是5次轮换对称式，根据其特点可设(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝(x－y)(y－z)(z－x)[a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)] ①其中a、b是待定系数．取x＝1，y＝－1，z＝0代入①式得2a－b＝15．②取x＝2，y＝1，z＝0代人①式得5a＋2b＝15．③将②、③两式联立解得a＝5，b＝－5．所以(x－y)5＋(y－z)5＋(z－x)5＝5(x－y)(y－z)(z－x)(x2＋y2＋z2－xy－yx－zx)．点评：在解本题的过程中，设了一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yx＋zx)，若不是这种形式，不妨设为x²－y2＋z2，由轮换式，就会有另两个因式y²－z2＋x2及z²－x2＋y2，这样原式就至少为9次，从而由对称式的特点只能设另一个因式为a(x2＋y2＋z2)＋b(xy＋yz＋zx)．也就是说三个字母的轮换对称多项式若次数＜3，则也一定为对称多项式．三、综合应用例6已知a＋b＞c，b＋c＞a，a＋c＞b，求证：a3＋b3＋c3－a(b－c)2－b(c－a)2－c(a－b)2－4abc＜0．解析 要证明多项式的值小于0，可先将它分解因式，只要判定各个因式的符号就能对原多项式的符号作出判定．证明：设T ＝a 3＋b 3＋c 3－a (b －c )2－b (c －a )2－c (a －b )2－4abc ． 把该多项式看作是关于a 的3次多项式，令a ＝b ＋c ， 则T ＝(b ＋c )3＋b 3＋c 3－(b ＋c )(b －c )2－b 3－c 3－4(b ＋c )bc ＝2(b 3＋c 3)＋3b 2c ＋3bc 2－2(b 3＋c 3)＋b 2c ＋bc 2－4b 2c －4bc 2 ＝0．由因式定理知，a －(b ＋c )是T 的一个因式．又由于T 是一个轮换对称式，于是b －(c ＋a )，c －(a ＋b )也是T 的因式，因为T 是关于a 、b 、c 的3次式，所以可设T ＝k (a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )．比较两边a 3的系数可得k ＝1． 故T ＝(a －b －c )(b －c －a )(c －a －b )． 根据题意 a ＋b ＞c ，b ＋c ＞a ，a ＋c ＞b ． 则有c －a －b ＜0，a －b －c ＜0，b －a －c ＜0． 所以T ＜0．即原不等式成立．例7 设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且1a b ab -+＋1b c bc -+＋1c aca-+＝0，试判断△ABC 的形状． 解析 已知等式去分母，得(a －b )(1＋bc )(1＋ca )＋(b －c )(1＋ca )(1＋ab )＋(c －a )(1＋ab )(1＋bc )＝0．上式的左边是关于a 、b 、c 的轮换对称式，把(a －b )(1＋bc )(1＋ca )展开、整理，得a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2．根据轮换对称式的性质，可直接写出其余各项．由此，上式可写为a －b －b 2c ＋ca 2＋a 2bc 2－ab 2c 2＋b －c －c 2a ＋ab 2＋b 2ca 2－bc 2a 2＋c －a －a 2b ＋bc 2＋c 2ab 2－ca 2b 2＝0． 整理，得ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝0． 设M ＝ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ．当a ＝b 时，M ＝0，由因式定理知a －b 是M 的一个因式．而M 是关于a 、b 、c 的三次齐次轮换对称式，故M 含有因式(a －b )(b －c )(c －a )．又(a －b )(b －c )(c －a )也是三次齐次轮换对称式，则M 还应有一个常因子，于是可设ab 2＋bc 2＋ca 2－a 2b －b 2c －c 2a ＝k (a －b )(b －c )(c －a )． 取a ＝2，b ＝1，c ＝0，得k ＝1． ∴M ＝(a －b )(b －c )(c －a )＝0．∴a ＝b 或b ＝c 或c ＝a ，即a 、b 、c 中至少有两个相等． 故△ABC 必为等腰三角形． 好题妙解】佳题新题品味例分解因式x3(x＋1)(y－z)＋y3(y＋1)(z－x)＋z3(z＋1)(x－y)．解析由于原式是x，y，z的轮换式但不是齐次式，所以当求得(y－z)(z－x)(x－y)的因式后，剩下的因式是A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D．解：当y＝z时，原式＝0．∴y－z是原式的一个因式．设原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)＋D]．由于原式最低为四次项，∴D＝0．∴原式＝(y－z)(z－x)(x－y)[ A(x2＋y2＋z2)＋B(yz＋zx＋xy)＋C(x＋y＋z)]．令x＝l，y＝－1，z＝0得2A－B＝－1；①令x＝－1，y＝0，z＝2得5A－2B＋C＝－4；②令x＝1；y＝－1，z＝2得6A－B＋2C＝－7．③解①，②，③组成的方程组，得A＝B＝C＝－1．故原式＝－(y－z)(z－x)(x－y)(x2＋y2＋z2＋yz＋zx＋xy＋x＋y＋z)．中考真题欣赏例(陕西省中考题)分解因式：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1．解析关于x，y的对称式可用含x＋y，x－y，xy的式子表示，考虑分组．解：6x－6y－9x2＋18xy－9y2－1＝－(9x2－18xy＋9y2)＋(6x－6y)－1＝－[9(x2－2xy＋y2)－6(x－y)＋1]＝－[9(x－y)2－2×3(x－y)＋1]＝－[3(x－y)－1]2＝－(3x－3y－1)2．竞赛样题展示例分解因式(a＋b＋c)5－a5－b5－c5．解析这是一个五次对称多项式，只要找到它的一个因式，就能找出与它同类型的另两个因式．如果在多项式中令a＝－b，则原式＝c5－c5＝0，根据因式定理，则a＋b是原式的一个因式，于是(b＋c)、(c ＋a)也是它的因式．解：因为当a＝－b时，(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝0，所以原式有因式(a＋b)(b＋c)(c＋a)．由于原式是5次对称多项式，根据其特点，可设(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝(a＋b)(b＋c)(c＋a)[k(a2＋b2＋c2)＋m(ab＋bc＋ca)]．①其中k、m是有待确定的系数．令a＝1，b＝1，c＝0，代人①式得30＝2(2k＋m)，即2k＋m＝15．又令a＝0，b＝1，c＝2，代人①式得210＝6(5k＋2m)，即5k＋2m＝35．由此解得k＝5，m＝5．所以(a＋b＋c)5－a5－b5－c5＝5(a＋b)(b＋c)(c＋a)(a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca)点评：先找出一个因式，再利用对称式的性质得出同型的另外一些因式，再运用待定系数法确定剩下的其他因式．过关检测】A级1．在下列四个式子中，是轮换多项式的有( )①3x＋2y＋z②x2＋y3＋z4＋x4y3z2③xy2＋y2z3＋z3x④x3＋y3＋z3－x2－y2－z2A．0个B．1个C．2个D．3个2．若x2y＋xy2＋y2z＋yz2＋z2x＋zx2＋3xyz＝k(x＋y＋z)(xy＋yz＋zx)，则k的值是( )A．12B．1 C．3 D．－13．设α＝x1＋x2＋x3，β＝x1x2＋x2x3＋x3x1，γ＝x1x2x3，用α、β、γ表示出x13＋x23＋x33的结果是( ) A．3α－3αβ＋3γB．3β－3αγ＋3γC．3α＋3αβ－3γD．3β－3αβ＋3γ4．分解因式：xy(x2－y2)＋yz(y2－z2)＋zx(z2－x2)．5．分解因式：x2(y＋z)＋y2(z＋x)＋z2(x＋y)－(x3＋y3＋z3)－2xyz．6．化简：a(b＋c－a)2＋b(c＋a－b)2＋c(a＋b－c)2＋(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)．7．已知a＋b＋c＋d＝0，a3＋b3＋c3＋d3＝3．(1)求证：(a＋b)3＋(c＋d)3＝0；(2)求证：ab(c＋d)＋cd(a＋b)＝1．B 级1．若()()xyx z y z ++＋()()yz y x z x ++＋()()zx z y x y ++＝1，则x 、y 、x 的取值情况是( )A ．全为零B ．只有两个为零C ．只有一个为零D ．全不为零 2．已知a 、b 、c 均为正数，设p ＝a ＋b ＋c ，q ＝bc a ＋ca b ＋abc，则p 与q 的大小关系是( ) A ．p ＞q B ．p ＜q C ．p ≥q D ．p ≤q 3．已知x ＋y ＝3，x 2＋y 2－xy ＝4，则x 4＋y 4＋x 3y ＋xy 3的值等于 ．4．如图2-1，正方体的每一个面上都有一个正整数，已知相对的两个面上二数之和都相等．如果13、9、3的对面的数分别是a 、b 、c ，试求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值，3913图2-15．分解因式：(x ＋y )(y ＋z )(z ＋x )＋xyz ．6．分解因式：a 3(a ＋1)(b －c )＋b 3(b ＋1)(c －a )＋c 3(c ＋1)(a －b )．。
奥数-因式分解-3师
因式分解3：对称式、轮换式、及应用一、对称式和轮换对称式对称式和轮换对称式是特殊的代数式，根据其结构对称的特点，可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质，利用这些性质，可以简便地解决有关对称的问题.(1) （完全）对称式如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么就说原来的代数式关于这些字母呈对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.例如，a b c ++，222x xy y ++，1ab，3333a b c abc ++-等都是对称式，但a b c --、1x y -、23a b c ++就不是对称式.(2) 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，我们把这种变换字母的方法叫作轮换.如果通过轮换后所得到的代数式和原来的代数式恒等，那么就把原来的代数式叫作关于这些字母的轮换对称式.例如，222x y y z z x ++中将x 以y 代换，y 以z 代换，z 以x 代换，则得222y z z x x y ++，它与原式完全相同，所以222y z z x x y ++是关于x 、y 、z 的轮换对称式.（3）交代对称式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。
例如a b -，22a b -。
(4) 齐次轮换对称式如果轮换对称式中的各项的次数相等，那么就把这样的代数式叫作齐次轮换对称式.(5) 基本性质① 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.② 对称式的和、差、积、商也是对称式.③ 轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.④ 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.⑤ 一个m 次对称式乘一个n 次对称式，其积必为一个m n +次对称式．(6) 齐次轮换、对称式的因式分解：因式定理、待定系数法结合因式定理、待定系数法来分解因式，例如齐次轮换式()()()222a b c b c a c a b -+-+-，当a b =时，原式的值为0．根据因式定理可知：原式必有因式()a b -，同样的必有因式()b c -和()c a -，所以()()()()()()222a b c b c a c a b k a b b c c a -+-+-=---，可求得1k =-．例1 333()()()x y z y z x z x y -+-+-答案：33333333322()()()()()()()[()()]()()()()x y z y z x z x y x y z x z y zy z y y z x z zy y x zy y z y z z x x y x y z -+-+-=-+-+-=--++++=------例2 ()()ab bc ca a b c abc ++++-答案：上式中令0a b +=，则()()[()][())]0ab bc ca a b c abc ab b a c a b c abc abc abc ++++-=++++-=-=即a b +为上式中的一个因式，由轮换性知，,b c c a ++都是上式的一个因式 设()()()()()ab bc ca a b c abc k a b b c c a ++++-=+++ 待定系数法得1k =()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++例3 3333()x y z x y z ++---答案：上式中令0x y +=，则33333333()()0x y z x y z z x x z ++---=----=即x y +为上式中的一个因式，由轮换性知，,y z z x ++都是上式的一个因式设3333()()()()x y z x y z k x y y z z x ++---=+++待定系数法得3k =3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++例4 555()a b a b +--答案：法一： 55555554322344432234322322()()()()()()()[()()]()(555)5()()a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a b a b ab ab a b a ab b +--=+-+=+-+-+-+=++--+-+=+++=+++法二：555()a b a b +--分别令0,0,a b a b ===-，上式都为0，则()ab a b +为上式的因子设55522()()[()]a b a b kab a b m a b nab +--=+++ 分别令122,,,113a a a b b b =⎧==⎧⎧⎨⎨⎨==-=-⎩⎩⎩解答51k m n =⎧⎨==⎩即55522()5()()a b a b ab a b a b ab +--=+++例5 333()()()b c c a a b -+-+-=3（a-b ）（b-c ）（c-a ）例6 3333x y z xyz ++-=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx);因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据立方系数为1，用待定系数法可设(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)]例7 ()()()y z z x x y xyz ++++=(x+y+z)(xy+yz+zx) 因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据无立方项，且其它各项系数为1，故显然为(x+y+z)(xy+yz+zx)例8 ()()a b c ab bc ca abc ++++-=（a+b ）（b+c ）（c+a ） 这是例7的变形，或者利用a=-b 是根例9．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(222222x z zx z y yz y x xy -+-+-解析：原式是四次轮换式，由因式定理，可知x z z y y x ---,,都是它的因式.由轮换性，它的另一个一次因式只能是z y x ++，不可能是别的形式，否则与次数为四次不符.设原式))()()((x z z y y x z y x k ---++=.令,2,1,0===z y x 解得1-=k .也可以比较等式两边同类项的系数，得出1-=k .故原式))()()((x z z y y x z y x ---++-=例10．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a解析：考虑原式左边.令c b a +=，得到原式左边的代数式值为0，故c b a --是它的一个因式.由轮换对称性，b a c a c b ----,都是它的因式.因为原式左边是关于c b a ,,的三次式，故可设左边))()((b a c a c b c b a k ------=.比较两边的系数，或者设特殊值，可得1=k .所以左边))()((b a c a c b c b a ------=.由三角形两边之和大于第三边，原不等式可证.二、 因式分解的应用例1. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例2：若n 为整数，求证：()()()222222111++=++++n n n n n n 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。
(完整word版)对称式与轮换对称式
八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1． 基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x g g g ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =g g g g g g ，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
对称式与轮换对称式
1.基本概念【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代 数式不变，即对于任意的i, j (1 <i c j < n )，都有f (X1… Xi …Xj ,Hl Xn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn) 那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。
x + y 2 2 2例如，x + y, xy,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。
xy如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式f(X, y, z)中，若有ax 3项，则必有ay3, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，2 2 2 2by Z, by x, bz x, bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三 个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i , j (1<i c j < n )，都有f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )那么就称这个代数式为 n 元交代式。
例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。
X + y【定义4】如果一个n 交代数式f(X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代竞赛专题对称式与轮换对称式nc Xj,由定义2知，n 元多项式X 2,D,X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t rf(X i , X 2口,X n )。
对称式和轮换对称式及问题详解
•填空题（共10小题）1 •已知，a , b ,2 22 2b 、c,且 b≠0.若实数 x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +ax 2 =b , x 2y 1 - x 1y 2=a , x 1y 1+ax 2y 2=c ,贝U y 1 +ay 2(a+c+e )-( b+d+f )的值为222已知 bc - a =5, Ca - b = - 1, ac - C = - 7,贝U 6a+7b+8c=2 2 2 2x 1、X 2、y 1、y 2 满足 X 1 +x 2 =2, x 2y 1 - x 1y 2=1, x 1y 1+x 2y 2=3 .贝V y 1 +y 2 =10.设X 、y 、Z 是三个互不相等的数，且 X+—=y+ =z+ ,则XyZ=y ZX对称式和轮换对称式3. 已知正数a , b , C , d , e , f 满足a.bcdef =4 acdef =9 abdef =16 abc 亡f = l . 訪Cdf = I =4, ∏=9 , =l6, : I ； .a T ,b C d 4 e 9abcde 116,2.已知实数a 、的值为 _______4. 5. 6.设 a =亠,b <. ., C =,且 X+y+Z 旳,则 已知m ——,其中一式,贝H a+b+c= _____________ .7.a ,b , C 为常数，使得凡满足第一式的 m , n , P , Q ,也满足第&设 2 ( 3x - 2) +3=y , 2 (3y - 2) +3=z , 2(3z — 2) +3=u 且 2 (3u - 2) +3=x ,贝U X=9.若数组（X , y , Z ）满足下列三个方程:尢—•、「「、尢一；,则 XyZ =二.选择题（共2小题）11.已知■' 'a+b 15, b+c 17 1A.二-丄贝U .二 的值是（ ）、 ab+bc+cac+a 16 C .12 .如果a,A . 672C 均为正数, B . 688 a (b+c ) C . 720=152 , b (c+a ) =162 , C ( a+b ) =170 ,那么 abc 的值是( )D . 750三.解答题（共13.已知 b≥）, 1小题)且 a+b=c+1, b+c=d+2 , c+d=a+3 ,求 a+b+c+d 的最大值.C 是厶ABC 的边，且,- ,则此三角形的面积是:l+}√答案与评分标准 一•填空题(共10小题)考点：对称式和轮换对称式。
对称式和轮换对称式及问题详解
-- -对称式和轮换对称式一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________ ．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________ ．3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________ ．4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c= _________ ．5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22= _________ ．6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则= _________ ．7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c= _________ ．8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x= _________ ．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz= _________ ．10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz= _________ ．二．选择题（共2小题）11．已知，，，则的值是（）A．B．C．D．12．如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）A．672 B．688 C．720 D．750三．解答题（共1小题）13．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．答案与评分标准一．填空题（共10小题）1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：．考点：对称式和轮换对称式。
因式分解技巧——轮换式与对称式
因式分解技巧——轮换式与对称式先来看⼏个代数式：xy, x+y, x2y+xy2, xy+yz+xz, x3+y3+z3.交换这些式⼦中的任意两个字母，式⼦不变。
我们把这样的式⼦叫做对称式。
再看⼏个式⼦：x2y+y2z+z2x, xyz, xy2+yz2+zx2.将这些式⼦中的x换成y，将y换成z, 将z换成x,即将字母做⼀个轮换，式⼦保持不变。
我们将这样的式⼦叫做轮换式。
明显地，对称式⼀定是轮换式，但轮换式未必是对称式。
另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。
典型⽅法分解因式：x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y).我们可以看到这是⼀个关于x, y, z的轮换式. 不妨把这个式⼦看作关于x的多项式。
容易看出y是多项式的⼀个根，于是x−y是⼀个因式。
由于是轮换式，y−z, z−x也是它的因式，从⽽它们的积 (x−y)(y−z)(z−x) 也是因式。
原式是三次多项式，这个乘积也是三次的，因此两者最多相差⼀个常数因数，即x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=k(x−y)(y−z)(z−x).为确定k, 我们来⽐较两边x y项的系数，易得k=−1. 于是就有分解x2(y−z)+y2(z−x)+z2(x−y)=−(x−y)(y−z)(z−x).分解因式：a3(b−c)+b3(c−a)+c3(a−b).与上例类似可知 (a−b)(b−c)(c−a) 是它的因式。
但原式是四次的，因此我们还缺⼀个⼀次因式。
原式是轮换的，我们找到的乘积也是轮换的，所以寻求的那个⼀次因式也应该是轮换。
同时根据两者的齐次性（⽆常数项），可知那个⼀次因式形如k(a+b+c)。
利⽤之前的⽐较系数法，或者取特殊值法，可求得k=−1.即分解为 $$a3(b-c)+b3(c-a)+c^3(a-b)=-(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a).$$分解因式：(a+b+c)3−(b+c−a)3−(c+a−b)3−(a+b−c)3.取a=0, 得原式为 0, 于是a是⼀个因式。
对称式与轮换对称式
1.基本概念【定义1】一个n 元代数式f(X 1, X 2,皿 X n )，如果交换任意两个字母的位置后， 代数式不变，即对于任意的i , j (1 <i c j < n )，都有f (X1… Xi … Xj ,HlXn)= f(X1,n] Xj ，血 Xi,工 Xn)那么，就称这个代数式为 n 元对称式，简称对称式。
x + y 2 2 2例如，x + y , xy ,—— ,X +y +z , xy + yz+zx 都是对称式。
xy如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项 式f (X ,y , z)中，若有ax 3项，则必有ay 3, az 3项；若有bx 2y 项，则必有bx 2z ，2 2 2 2by Z, by x , bz x , bz y 项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式， 例如，含有三 个字母X, y ，z 的二次对称多项式的般形式是:a(x 2 +y 2 +z 2) + b(xy + yz + zx) + c(x + y + z) + d【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数 r ,那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
【定义3】一个n 元代数式f(X i , X 2,口 X n )，如果交换任意两个字母的位置后，代数 式均改变符号，即对于任意的i , j (1<i c j < n )，都有f(X i, 口 X i ,Q, X j, 口 X n )=—f(X 1 胆 X j,JL, X i ,, X n )那么就称这个代数式为 n 元交代式。
例如，X - y,(x-y)( y-z)(z 均是交代式。
X + y【定义4】如果一个n 交代数式f (X ,, X 2 口 X n ) ，如果将字母X i , X 2——，X n 以X 2代竞赛专题对称式与轮换对称式nc Xj, 由定义2知，n 元多项式X 2,D,X n )是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 f(tX i , tX 2,口 tX n )=t r f(X i , X 2口,X n )。
对称式和轮换对称式的性质及其应用
●数学活动课程讲座●对称式和轮换对称式的性质及其应用祝朝富(四川省威远中学,642450) 收稿日期:2005-08-03 (本讲适合初中)对称式和轮换对称式是特殊的代数式.根据对称的特点,可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质,利用这些性质,可简便地解决有关对称的问题.下面介绍对称式和轮换对称式的基本性质及其在初中数学竞赛中的应用.1 预备知识1.1 对称式如果把一个代数式中的字母对调,所得的代数式和原来的代数式恒等,那么,就说原来的代数式关于这些字母成对称.原来的代数式就是关于这些字母的对称式.1.2 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列,然后依次把第一个字母换成第二个字母,把第二个字母换成第三个字母,……,把最后一个字母换成第一个字母,我们称这种变换字母的方法叫做轮换.如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等,那么,就把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.1.3 齐次轮换对称式如果轮换对称式中各项的次数相等,那么,就把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.4 基本性质不难验证,对称式和轮换对称式具有以下性质:性质1 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.性质2 对称式的和、差、积、商也是对称式.性质3 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质4 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.性质5 一个m 次对称式乘以一个n 次对称式,其积必为一个m +n 次对称式.2 基本应用2.1 多项式乘法例1 计算(x +y +z )(xy +yz +zx ).分析:因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质5知,其积也是关于x 、y 、z 的轮换对称式,于是,只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式,然后,按照轮换对称的规律写出其余各项即可.解:因x (xy +yz +zx )=x 2y +xyz +zx 2,所以,原式=x 2y +xyz +zx 2+y 2z +yzx +xy 2+z 2x +zxy +yz2=x 2y +zx 2+y 2z +xy 2+z 2x +yz 2+3xyz.2.2 因式分解由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例2 分解因式:(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy ).(1996,天津市初二数学竞赛决赛)分析:这是一个关于x、y的对称式,由性质1知,可以用它的基本对称式x+y和xy来表示.解:设x+y=u,xy=v,则原式=(v-1)2+(u-2)(u-2v)=v2-2v+1+u2-2u-2uv+4v=(u-v)2-2(u-v)+1=(u-v-1)2=(x+y-xy-1)2=(x-1)2(y-1)2.例3 设△ABC的三边长分别为a、b、c,且a-b 1+ab +b-c1+bc+c-a1+ca=0.则△ABC的形状一定是三角形.(1989,武汉市初二数学竞赛)分析:因为已知等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a、b、c的关系.解:将原式去分母,并设其为f,得f=(a-b)(1+bc)(1+ca)+(b-c)(1+ab)·(1+ ca)+(c-a)(1+bc)(1+ab)=a(b2-c2)+b(c2-a2)+c(a2-b2)=0.当a=b时,f=0,由因式定理知f有因式a- b.又f是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f还有因式b-c和c- a.于是,f有因式g=(a-b)(b-c)(c-a).由于f和g都是三次齐次轮换对称式,故f 和g之间只差一个非零常数因子,即f=k(a-b)(b-c)(c-a)=0.由此可知,a-b、b-c、c-a中至少有一个等于0,即a、b、c中至少有两个相等,则三角形至少有两条边相等.所以,三角形是等腰三角形.2.3 化简求值例4 已知x和y是正整数,且满足条件xy+x+y=71,x2y+xy2=880.求x2+y2的值.(第14届江苏省初中数学竞赛)分析:已知式和所求式都是对称式,可先利用对称式的性质将其化简,再求值.解:设x+y=u,xy=v.由已知等式得u+v=71,uv=880.由韦达定理知u、v是一元二次方程t2-71t+880=0的两个根.解此方程得t=16或t=55.所以,u=16,v=55或u=55,v=16,即 x+y=16,xy=55或x+y=55,xy=16.由第一个方程组得x2-16x+55=0,Δ=62,方程有整数根;由第二个方程组得x2-55x+16=0,Δ=2961,方程无整数根.只有x+y=16,xy=55符合题意.故x2+y2=(x+y)2-2xy=146.例5 已知xyz=1,x+y+z=2,x2+ y2+z2=16.则1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y= .(2003,北京市中学生数学竞赛(初二决赛))分析:这是关于x、y、z的轮换对称式,根据性质1,可用它的基本对称式来表示.解:把x+y+z=2两边平方得x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=4.把x2+y2+z2=16代入得xy+yz+zx=-6.由x+y+z=2,得z=2-x-y.所以,1xy+2z=1xy-2x-2y+4=1(x-2)(y-2).同理,1yz+2x=1(y-2)(z-2),1zx+2y=1(z-2)(x-2).故1xy+2z+1yz+2x+1zx+2y=1(x-2)(y-2)+1(y-2)(z-2)+1(z-2)(x-2)=z -2+x-2+y-2(x-2)(y-2)(z-2)=x +y+z-6xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8=2-61-2×(-6)+4×2-8=-413.2.4 证明例6 设a、b、c是互不相等的实数.求证:a4(a-b)(a-c)+b4(b-c)(b-a)+c4(c-a)(c-b)>0.(2000,太原市初中数学竞赛)解:设不等式的左边为f,通分得f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a).由于分子是一个5次齐次轮换对称式,分母是一个3次齐次轮换对称式,由性质5知,商式是一个2次齐次轮换对称式.故可设f=-(b-c)a4-(c-a)b4-(a-b)c4 (a-b)(b-c)(c-a)=k(a2+b2+c2)+p(ab+bc+ca).取a=0,b=1,c=2,得5k+2p=7;取a=1,b=2,c=3,得14k+11p=25.解得p=1,k=1.故f=(a2+b2+c2)+(ab+bc+ca)=12[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2].由于a、b、c互不相等,所以,f>0.因此,所证不等式成立.例7 设a、b是方程x2-3x+1=0的两个根,c、d是方程x2-4x+2=0的两个根.已知ab+c+d +bc+d+a+cd+a+b+da+b+c=B.求证:a2b+c+d +b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7B-7.(1991—1992年度广州、洛阳、福州、武汉、重庆初中数学联赛)证明:由韦达定理得a+b=3,ab=1;c+d=4,cd=2.则a+b+c+d=3+4=7.因为a2+b2=(a+b)2-2ab=7,c2+d2=(c+d)2-2cd=12,所以,a2+b2+c2+d2=19.故a2b+c+d=a2+7a-7ab+c+d=7a-a(7-a)b+c+d=7ab+c+d- a.由于上式是关于a、b、c、d轮换对称的,同理可得b2c+d+a=7bc+d+a-b,c2d+a+b=7cd+a+b-c,d2a+b+c=7da+b+c- d.故a2b+c+d+b2c+d+a+c2d+a+b+d2a+b+c=7ab+c+d+bc+d+a+cd+a+b+da+b+c-(a+b+c+d)=7B-7.注:用同样方法可证a3b+c+d+b3c+d+a +c3d+a+b+d3a+b+c=49B-68.2.5 解对称方程组解对称方程组时,可以通过对称替换把原方程组化简.例8 求方程组x3+x3y3+y3=17,x+xy+y=5的实数解.(1990,浙江省绍兴市初二数学竞赛)解:设x+y=u,xy=v,则原方程组可化为u 3+v 3-3uv =17,u +v =5.①②②3-①得uv =6.③由式②、③得u =2,v =3或u =3,v =2,即 x +y =2,xy =3或x +y =3,xy =2.由韦达定理知,这两方程组中的x 、y 是方程t 2-2t +3=0或t 2-3t +2=0的两个根.第一个方程无实根,解第二个方程得t =1或t =2.故原方程组的实数解是x 1=1,y 1=2;x 2=2,y 2=1.练习题1.已知x +y =3,x 2+y 2-xy =4.则x 4+y 4+x 3y +xy 3的值为.(第13届江苏省初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:36.)2.分解因式:a 2(b +c )+b 2(c +a )+c 2(a +b )-a 3-b 3-c 3-2abc.(提示:当a +b =c 时,原式=0.答案:(a +b -c )(b +c -a )(c +a -b ).)3.化简a21b-1c+b 21c-1a+c 21a-1ba1b-1c +b1c-1a+c1a-1b=.(1989,全国初中数学竞赛吉林省预选赛)(提示:先通分,设商式为k (a +b +c ).答案:a +b +c.)4.不等于0的三个数a 、b 、c 满足1a+1b+1c=1a +b +c.求证:a 、b 、c 中至少有两个互为相反数.(1999,北京市中学生数学邀请赛(初二))(提示:先通分,设f =(ab +bc +ca )(a +b +c )-abc.当a +b =0时,f =0.由此可得(a +b )(b +c )·(c +a )=0.)5.方程组x +xy +y =1,x 2+x 2y 2+y 2=17的实数解(x ,y )=.(1996,东方航空杯———上海市初中数学竞赛)(提示:设x +y =u ,xy =v.答案:x 1=3+172,y 1=3-172;x 2=3-172,y 2=3+172.)全国第六届初等数学研究学术交流会(第一轮)会议通知根据中国初等数学研究工作协调组第九次工作会议和全国第五届初等数学研究学术交流会的建议,全国第六届初等数学研究学术交流会将于2006年8月在湖北宜昌举行,由湖北大学《中学数学》编辑部和宜昌市教研中心联合承办。
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对称式与轮换对称式公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。
例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。
如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。
由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。
根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。
由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。
【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。
例如，()()()x yx y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。
【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12nx x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即12231()()n n f x x x f x x x x ≡，，，，，，，那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。
例如，222()a x y z ++是对称式也是轮换式；222()b x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式。
对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：（1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式；（2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式； （3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式； （4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式； （5）多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
【定义5】下面n 个对称多项式称为n 元基本对称多项式。
1121()nn ii x x x x σ==∑，，，2121()nn i j i j nx x x x x σ≤<≤=∑，，，… … …1212121()k k nk n i i i i i i nx x x x x x σ≤<<<≤=∑，，，… … …1212()n n n x x x x x x σ=，，，例如，二元基本对称多项式是指x y xy +，，三元基本对称式是指x y z xy yz zx xyz ++++，，当你学完了高等代数的时候就会知道，任何一个n 元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。
这个结论对解题的指导作用。
2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用为了初中学生学习的需要，我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形，只需作类似的处理即可。
下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧（1）若()f x y z ，，是对称式，则在解题中可设x y z ≤≤。
（为什么） （2）若()f x y z ，，是对称式，则当x y ，满足性质p 时，x z y z ，；，也满足性质p 。
（3）若()f x y z ，，是轮换式，则在解题中可设x 最大（小），但不能设x y z ≤≤。
（为什么）（4）若()f x y z ，，是轮换式，且x y ，满足性质p ，则y z z x ，；，也满足性质p 。
（5）若()f x y z ，，是交代多项式，则x y y z z x ---，，是()f x y z ，，的因式，即其中()g x y z ，，是对称式。
()()()()()f x y z x y y z z x g x y z =---，，，， 其中()g x y z ，，是对称式。
在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式，齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的。
齐次对称多项式的一般形式：（1）二元齐次对称多项式 一次：()a x y +， 二次：22()a x y bxy ++ 三次：33()()a x y bxy x y +++（2）三元齐次对称多项式 一次：()a x y z ++二次：222()()a x y z b xy yz zx +++++三次：333222()()()()a x y z b x y z y z x z x y cxyz ⎡⎤+++++++++⎣⎦判定mx ny rz ++是否为多项式(,,)f x y z ，的因式的方法是：令0mx ny rz ++=，计算()f x y z ，，，如果()=0f x y z ，，，那么mx ny rz ++就是()f x y z ，，的因式，在实际操作时，可首先考虑mx ny rz ++的如下特殊情形：x x y x y x y z x y z +-++-+，，，，【例1】：已知多项式222222()()()()f x y z xy x y yz y z zx z x =-+-+-，， （1）求证：()f x y z ，，是齐次式；（2）求证：()f x y z ，，是轮换式； （3）求证：()f x y z ，，是交代式；（4）分解因式()f x y z ，，。
(4)∵ ()f x y z ，，是交代多项式，∴ ()()()x y y z z x ---是它的因式。
又因为()f x y z ，，是4次齐次式，所以它还有一个一次对称式因式x y z ++。
于是，()f x y z ，，可表示为【例2】：分解因式333()3f x y z x y z xyz =++-，，。
【例3】：分解因式222222444()2()()f x y z x y y z z x x y z =++-++，，。
【例4】：分解因式5555()()f x y z x y z x y z =++---，，【例5】：分解因式444(,)()f x y x y x y =+++。
【例6】：分解因式222222()(1)(1)()(1)(1)()(1)(1)y z xy xz z x yz yx x y zx zy -+++-+++-++。
故()()()()()f x y z x y y z z x xyz x y z =---+++，，对称式与轮换对称式练习题：1．已知555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-，，（1）求证：f 为5次齐次式； （2）求证：f 为轮换式； （3）求证：f 为交代式； （4）分解因式f 。
2．分解因式（1）22222()()4()f x y x xy y xy x y =++-+，（2）4444444()()()()()f x y z x y z x y z y z z x x y =+++++-+-+-+，， （3）()()333()()f x y z x y y z z x =-+-+-，， （4）()()()f x y z xy yz zx x y z xyz =++++-，， （5）()()()444()f x y z x y z y z x z x y =-+-+-，，（6）()3333()f x y z x y z x y z =++---，，（7）()()()333222222()2f x y z x y z x y z y z x z x y xyz =++-+-+-++，， （8）222222()3f x y z x y xy x z xz y z yz xyz =++++++，，（9）()()()()222333()2f x y z x y z y z x z x y x y z xyz =+++++-++-，， （10）()()()()2()f a b c d bcd cda dab abc bc ad cd ab db ac =+++----，，，练习答案与提示：1．2225()()()()x y y z z x x y z xy yz zx ---++---2．（1）可设2222()()f k x Axy y x Bxy y =++++，可求得11k A B ===-， （2）可设()f kxyz x y z =++，可求出12k = （3）可设()()()f k x y y z z x =---，可求出3k = （4）可设()()()f k x y y z z x =+++，可求出1k =（5）222()()()()()f x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤=---+++++⎣⎦，可求出1A B ==（6）3()()()x y y z z x +++ （7）()()()x y z y z x z x y ------（8）()()x y z xy yz zx ++++ （9）()()()x y z y z x z x y +-+-+-（10）当a b c d ===时，0f =，∴f 有abcd 的因式，可设2222()()f abcd A a b c d B ab bc cd da ac bd ⎡⎤=+++++++++⎣⎦，可求得12A B ==，，∴2()f abcd a b c d =+++。