轮换对称式与多项式及应用(初中数学竞赛)

x2 y2 z2 0 即： yz zx x y
例８ 已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2
分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x) 中的x分别取a、b、c时的值。 2 因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x) 是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(xc)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。
其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.
如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式 不变，这种多项式叫对称多项式。 2 如 是一个二元对称式． (a b ) a 2 2ab b 2
(x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1
(x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1
例题
求方程x+y=xy的整数解。
例４
1 1 1 1 a b c abc
，证明(2)对任何奇数n，有
1 1 1 1 an bn cn an bn cn
证明(2)
:由(1)得，不妨设a+b=0，即b= -a，因为n为奇数 ∴1 11 1 1 1 1 a n b n c n a n a n c n c n 1 1 1 n 又 n n n n n n
ca 1 c ca 1 c = ca c 1 + c 1 ca ca c 1 =
ca c 1
=1 于是命题得证。 评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。
例３ 已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0. a b c 证明： 1
bc 即
1 1 1 1 a b c abc 得
1
a

1
b

1
c

1
a b c
0，
ca ab (a b c ) abc
abc a b c
0
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0， 则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0 ∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a (bc+ca+ab)+ (b+c) (bc+ca+ab) –abc
得 a
1

1
b

1
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c

1
a b c
0，
abc a b c
0
从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0， 则 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=0 ∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc = (b+c)(bc+ca+ab)+ abc+a2c+a2b–abc =(b+c)(bc+ca+ab)+ a2(b+c) =(b+c) (a2+bc+ca+ab) =(a+b)(b+c)(c+a) ∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a 中至 少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。
a 2(b c ) b 2(c a ) c 2(a b ) (a b )(b c )(c a ) (a b )(b c )(c a ) 1 (a b )(b c )(c a )
a ac ab bc (a b )(a c )
b xz y 同理可得， 1 b x y z
c x yz 1 c x y z
所以
a b c x yz 1 1 a 1 b 1 c x y z
本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式 子化简，就可以得出相同规律.
1 1 1 1 例４设 a b c a b c ，证明
例5 求证： a 2(b c ) b 2(c a ) c 2(a b ) (a b )(b c )(a c )
例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中， 有因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
a2
例６ 若a+b+c=0，求
2a bc
分析 这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分 解因式。 解： ∵ x+y=xy ∴ (x-1)(y-1)=1. 解之，得 x-1=1,y-1=1; 或 x-1=-1, y-1=-1. ∴ x=2 y=2 或 x=0 y=0
关于x、y、z 三个变量的多项式，如果对式子 中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把 y换成 z , 把z 换成 x），所得的式子仍和原式 相同，则称这个多项式是关于x、y、z的 轮换对称式.简称轮换式. 例如：代数式 a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),
－
＝
1 2ab
－
1 2bc
－
1 2ca
＝
－
cab 2 abc
＝0.
练习1:
1 已知：S＝ 2 （a+b+c）.
求证：
4a 2 b 2 (a 2 b 2 c 2 ) 4b 2 c 2 (b 2 c 2 a 2 ) 4c 2 a 2 (c 2 a 2 b 2 ) 16 16 16
②
xz yz z2 z yz zx x y
由①+②+③ 得
x2 y2 z2 xy xz xy yz xz yz ( )( )( ) yz zx x y yz yz zx zx x y x y x yz
所以
x2 y2 z2 x yz x yz yz zx x y
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零； (2)对任何奇数n，有 1n 1n 1n n 1n
a b c
a b cn
要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证 (a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现 (a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。 证明：(1)由
＝3S（S－a）(S－b)(S－c).
a b c 1 例２ 若abc=1，试证: ab a 1 bc b 1 ca c 1
证明：∵abc=1
a b c ac b c ∴ ab a 1 bc b 1 ca c 1 = abc ac c + bc b abc ca c 1
1 a 1 b 1 c
证明：解方程组
x by cz y cz ax z ax by
(1) (2) (3)
(2)+(3)-(1) 得y+z-x=2ax，所以
a yzx 2x
，
则1 a
x yz 2x
所以
a yzx 1 a x y z
二.性质 1、含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变 量的基本对称式来表示.
２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必 含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且 系数相等. 例如：在含x, y, z的二次对称多项式中， 如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有 xy项，则必同时有yz, zx两项，且它们的系数， 都分别相等. 故可以表示为： m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n是常数.
a b c a a c c
∴
1 1 1 1 n n n n a b c a bn cn
实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对 称式。令a= -b，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(b+b+c)-(-b)bc= -b2c+ b2c=0，这就是说a+b是 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c、 a+c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有 (bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入， 求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)
３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含 有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式， 且系数相等. 例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中， 有因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项. 例如：轮换式分解因式： a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)＝－ (a－b) (b－c) (c－a)
例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有 因式a－b这一项, 必有同型式b－c和c－a两项.
４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不 为零），仍然是对称式（轮换式）. 比如：∵x+y, xy都是对称式 ∴x+y＋xy， （x+y）xy， 等也都是对称式.
x y xy
= (b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc
1 1 1 1 例４设 a b c a b c ，证明
(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零； 证明：(1)由
bc 即
ca ab a b c abc
1 1 1 1 a b c abc
初中数学竞赛系列讲座
合肥市第三十八中学
赵月和
一.定义 在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z任意交换两个后，代数式的值不变，则 称这个代数式为绝对对称式，简称对称式. 例如：代数式x+y， xy，
x5+y5+xy,
1 1 x y
x3+y3+z3－3xyz,
都是对称式.
2
x y z 1 例７. 已知x、y、z满足关系式 yz zx x y
求证： x 2 y 2 z 2 0
yz zx x y
x2 xy xz x yz zx x y
证明：将已知等式分别乘以x、y、z得 ① ③
xy y2 yz y yz zx x y
的值
c2 a2 b2
分析：这是含a, b, c 的轮换式，化简第一个分式后， 其余的两个分式，可直接写出它的同型式. 1 1 1 解：∵ ＝ ＝ a2 b2 c2 a 2 b 2 ( a b) 2 2ab
∴＝
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a b c b c a c a2 b2
1 1 1 又： ∵xy+yz+zx和 都是轮换式， x y z
1 1 1 ＋xy+yz+z， ∴ x y z 1 1 1 ）（xy+yz+z）. （ x y z
也都是轮换式。
三：例题精讲 例题１：已知：a+b+c=0, abc≠0. 1 1 1 求代数式
a2 b2 c2 b2 c2 a2
2

b2
2b ac
2

c2
2c 2 ab
的值
本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中 一个分式化简，就可以得出相同规律.
解：∵a+b+c=0，∴a＝－b－c，
2a 2 bc a 2 bc a(b c )
同理： 2b 2 ac (b a )(b c ), 2c 2 ab (c a )(c b ); a2 b2 c2 原式 + (a b )(a c ) (b a )(b c ) (c a )(c b )
2x2y+2y2z+2z2x, （xy+yz+zx） 都是轮换式.
1 1 1 1 a b c abc
,
1 1 1 . 1 1 1 ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) a b c b c a c a b x y z
很显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称 式.