因式分解轮换对称

数学奥林匹克竞赛轮换与对称

因式分解对称式交代式和轮换式1、基本概念(1)对称式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，式子不改变，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的对称式。

如a b +,22a ab b −+,322333a a b ab b +++等都是关于,a b 的对称式。

一般地，在一个代数式中，无论把其中哪两个字母互换，式子都不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的对称式，如a b c ++，222a b c ab bc ca ++−−−，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的对称式。

(2)交代式：在一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

如把a b −，22a b −中的两个字母,a b 互换，分别为()b a a b −=−−，2222()b a a b −=−−则a b −，22a b −就叫做关于,a b 的交代式。

(3)轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次替换(即第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，以此类推，最后一个字母换成第一个字母)，式子不变，那么这个代数式就叫做关于这些字母的轮换对称式，简称轮换式，如a b c ++，ab bc ca ++，3333a b c abc ++−等都是关于,,a b c 的轮换式。

2、齐次对称式的一般形式(1)二元齐次对称式二元一次齐次对称式：)(b a L +；二元二次齐次对称式：Mab b a L ++)(22；二元三次齐次对称式：)()(33b a Mab b a L +++。

(2)三元齐次对称式三元一次齐次对称式：)(c b a L ++；三元二次齐次对称式：)()(222ca bc ab M c b a L +++++；三元三次齐次对称式：)()([)(22233a c b c b a M c b a L ++++++Nabc b a c +++)](2。

对称式

2
3.
(a + b + c)3 − (b + c − a)3 − (c + a − b)3 − (a + b − c)3
4.
a 5 − b 5 − ( a − b)5
5.
( y − z )3 + ( z − x )3 + ( x − y )3
6.
x2y+xy2+z2x+zy2+yz2+zx2+3xyz
2、 x 3 ( y 6 − z 6 ) + y 3 ( z 6 − x 6 ) + z 3 ( x 6 − y 6 )
3、 a 2 (a + b)(a + c)(b − c) + b 2 (b + c)(b + a )(c − a ) + c 2 (c + a )(c + b)( a − b)
4、 x 2 y + xy 2 + z 2 x + zy 2 + yz 2 + zx 2 + 2 xyz
判定 mx + ny + rz 是否为多项式 f ( x, y, z ) 的因式的方法是：令 mx + ny + rz = 0 ，计算
f ( x，y，z ) ，如果 f ( x，y，z )=0 ，那么 mx + ny + rz 就是 f ( x，y，z ) 的因式，在实际操作时，
可首先考虑 mx + ny + rz 的如下特殊情形：
x，x + y，x − y，x + y + z，x − y + z

七年级(上)数学自招班--第6讲轮换对称式的分解教师版

一、基本概念：⑴对称式：在一个代数式中，如果把任意两个字母对换后，代数式保持不变，称这样的代数式为对称代数式，简称对称式．⑵轮换式：在一个代数式中，如果把所含字母顺次轮换后，代数式保持不变，称这样的代数式为轮换对称代数式，简称轮换式．把一个代数式中的字母按照某个顺序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，我们称这种变换字母的方法叫做轮换．⑶齐次式：如果一个多项式，它所有的项都具有相同的次数n ，则称这样的多项式为n 次齐次多项式．二、对称式与轮换式的性质：⑴对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式．如222x y y z z x ++是轮换式，但不是对称式．⑵关于相同字母的对称式或轮换式的和、差、积、商（商的除式不为零）仍是对称式或轮换式． ⑶若对称式或轮换式中含有某种形式的式子，则必定含有这种形式的同型式．如若关于x ，y ，z 的二次齐次对称式中若含有2ax 项，则一定含有2ay ，2az 项；若含有bxy 项，则一定含有byz ，bzx 项．⑷两个齐次式的积与商(商的除式不为零)仍为齐次式．三、常见齐次对称式与齐次轮换对称式：a c 知识导航板块一轮换对称式6轮换对称式的分解a c⑴判断多项式是否为轮换对称式；⑵对于轮换对称式，常用的方法是选定一个字母（例如x ）作主元，将其余字母看作常数，利用因式定理确定它的因式，再利用轮换对称式的性质，写出与其相关的因式（同型式）．x y【例1】分解因式：()3333a b c a b c ++--- 【解析】原式3()()()a b b c c a =+++【例2】分解因式：()()()222a b c b c a c a b -+-+-【解析】令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得()()()a b b c c a ---为原式的因式．比较其与原式的次数，设原式()()()k a b b c c a =---，k 为常数．比较等号两边2a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()a b b c c a =----．【例3】分解因式：()()()333a b c b c a c a b -+-+-【解析】令a b =，则原式0=，根据因式定理与轮换对称式的性质，得因式：()()()a b b c c a ---．比较其与原式的次数，设原式()()()()k a b b c c a a b c =---++，k 为常数．比较等号两边3a b 项的次数，得1k =-．故原式()()()()a b b c c a a b c =----++．【例4】分解因式：()()()()4444444a b c a b b c c a a b c ++-+-+-++++【解析】当0a =时，原式()()4444440b c b b c c b c =+--+-++=，因此有因式()0a -，即有因式a ．根据轮换对称式的性质，原式有因式abc ．比较原式与abc 的次数，设原式()kabc a b c =++，k 为待定系数．令1a =，1b =，1c =-，得11600111k ---+++=-，解得12k =．因此原式()12abc a b c =++．经典例题【例5】 ⑴分解因式：2222222x y xy y z yz z x zx xyz ++++++⑵分解因式：2222222x y y z z x x z y x z y xyz -+-++-【解析】 ⑴原式为关于x 、y 、z 的齐次对称式，当x y =-时，原式0=，故原式有因式()()()x y y z z x +++．设原式()()()k x y y z z x =+++，比较比较2x y 项的系数，得1k =．故原式()()()x y y z z x =+++．⑵注意原式并非关于x 、y 、z 的齐次对称式，而是关于x 、y 、z 的齐次对称式．将上题中的z 替换成z -即可，原式()()()x y y z x z =+--．【例6】已知：a ，b ，c 为ABC △三边边长．求证：()()()2223334a b c a b c b c a c a b abc ++------<．【解析】即证()()()22233340a b c a b c b c a c a b abc ++-------<，左边为轮换对称式，试根得a b c =-时，原式0=，根据因式定理及轮换对称式的性质， ()()()a b c b c a c a b +-+-+-为其因式．设左()()()k a b c b c a c a b =+-+-+-，k 为待定系数．比较系数或赋值得1k =-，故左()()()a b c b c a c a b =-+-+-+-．∵a ，b ，c 为ABC △三边边长，∴a b c +>，b c a +>，c a b +>，因此左0<，得证．欧拉公式：()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---特别地，①当0a b c ++=时，有3333a b c abc ++=． ②当3333a b c abc ++=时，则有0a b c ++=或a b c ==．【例7】 ⑴分解因式：3333a b c abc ++-⑵分解因式：()()3328a b b a -+--+⑶分解因式：()()()3332332125x y x y x y -+---【解析】 ⑴轮换对称式的因式分解：当a b c =--时，原式0=，由因式定理知原多项式有因式()a b c ++，设()()()3332223a b c abc a b c m a b c n ab bc ca ⎡⎤++-=+++++++⎣⎦令0a =，0b =，1c =，得1m =；令0a =，1b c ==，得1n =-．所以原式()()222a b c a b c ab bc ca =++++---⑵原式()()62a b b a =---⑶原式()()()152332x y x y y x =---经典例题知识导航板块二欧拉公式【例8】 ⑴计算：333201610161000300020161016---⨯⨯⑵计算：3332000100199920001001999--⨯⨯．⑶已知a ，b ，c 为ABC △的三边边长，且满足方程组33393a b c abc ⎧++=⎨=⎩，试判断ABC △的形状．【解析】 ⑴由公式3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---，故原式[][]2016(1016)(1000)0=+-+-⨯= ⑵分子=()()3333332000100199920001001999--=+-+-，又()()200010019990+-+-=，故分子()()320001001999=⨯⨯-⨯-320001001999=⨯⨯⨯因此原式3=．⑶由已知，有3333a b c abc ++=，故33330a b c abc ++-=，即()()2220a b c a b c ab bc ca ++++---=．∵a ，b ，c 为ABC △的三边长，∴0a b c ++>；∴2220a b c ab bc ca ++---=，即()()()222102a b b c c a ⎡⎤-+-+-=⎣⎦；故a b c ==，ABC △为等边三角形．【拓1】分解因式：()()()555y z z x x y -+-+-．【解析】类似之前的例题可知()()()x y y z z x ---是原式的因式。

数学竞赛题精讲_复杂的因式分解问题

轮换对称式的因式分解问题多元高次轮换对称式的因式分解问题往往是因式分解中的难点，很多初中学生感到棘手。

但笔者却认为，这类问题往往是有迹可循的。

我们今天就通过几个例子讲一讲把“求根”和“待定系数”相结合进行因式分解的方法。

例1 分解因式：【分析与解答】首先观察发现，当时，原式的值为0。

即，如果将原式看作a 的函数，将b看作常数，则是函数的一个根。

故是原式的因式，同理及也是原式的因式。

故是原式的因式，观察发现原式是的三次式，也是三次式，故两式必然只差一个常数。

用待定系数法，设代入，得到，故原式的因式分解结果是例2 分解因式：【分析与解答】和例1类似，首先观察发现，当时，原式的值为0。

故是原式的因式，同理及也是原式的因式。

故是原式的因式，观察发现原式是的五次式，是三次式。

两者都是的轮换对称式，故原式一定可以表示成如下结果：代入，得到代入，得到解得故原式的因式分解结果是例3 化简：【分析与解答】这里虽然是化简而非因式分解，但我们发现分别展开以上四个式子太过复杂，耗时且易错，所以我们仿照例1和例2的方法首先用观察法“求根”以发现因式。

观察发现，当时，原式为故，是原式的一个因式，同理也是原式的因式。

故是原式的因式。

观察发现原式是的三次式，也是三次式，两式必然只差一个常数。

用待定系数法，设代入，得到，故原式的化简结果是配方法及其应用林达复杂的因式分解不仅可以是轮换对称式的因式分解，很多难以直接提出因式的高次多项式也难以分解。

对于这类多项式，配方法往往能出奇效。

相对于更一般的待定系数法，配方法的计算要简单很多。

配方法，顾名思义，就是将多项式或其中的某些项配成平方式或更高次方式（一般配成平方式，有时也可能直接配成三次方式，但更高次的配方很少出现）。

下面我们看几道例题。

例1分解因式：【分析与解答】通过观察或一般的十字相乘法，难以发现这个多项式的因式，这时我们根据这两项想到了配方法——配出平方项。

最后一步用了平方差公式。

10. 因式分解技巧-轮换式与对称式 -单墫

10 .轮换式与对称式关于x 、y 的多项式)1(,,,*,,223322 xy y x y x y x xy y x ++++在字母x 与y 互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 的对称式.类似地，关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)2(,,22/2222 xyz y z x z x y z y z x y x +++++在字母x 、y 、z 中任意两字互换时，保持不变．这样的多项式称为x 、y 、z 的对称式．关于x 、y 、z 的多项式,,,,333222z y x zx yz xy z y x z y x ++++++++)3(,,,222222 xyz zx yz xy x z z y y x ++++在将字母x 、y 、z 轮换（即将x 换成y ，y 换成z ，z 换成x ）时，保持不变，这样的多项式称为x 、y 、z 的轮换式，显然，关于x 、y 、z 的对称式一定是x 、y 、z 的轮换式．但是，关于x 、y.z 的轮换式不一定是对称式．例如，x z z y y x 222++就不是对称式，次数低于3的轮换式同时也是对称式，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商（假定被除式能被除式整除）仍然是轮换式（对称式）．轮换式与对称式反映了数学的美．它们的因式分解也是井然有序，可以按照一定的规律去做的．10.1 典型方法例1 分解因式：).()()(222y x z x z y z y x -+-+- 解 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-是关于x 、y 、z 的轮换式．如果把)()()(222y x z x z y z y x -+-+-看作关于x 的多项式，那么在y x= 时，它的值为 .0)()()(222=-+-+-y y z y z y z y y因此，根据第8单元，y x -是)()()(222y x z x z y z y x -+-+-的因式．由于）（y x z x z y z y x -+-+-222)()(是x 、y 、z 的轮换式，所以可知z y -与x z -也是它的因式，从而它们的积))()((x z z y y x --- (4)是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+- (5)的因式．由于(4)、(5)都是x 、y 、z 的三次多项式，所以两者至多相差一个常数因数k ，即有).)()(()()()(222x z z y y x k y x z x z y z y x ---=-+-+- (6)现在我们来确定常数k 的值．为此，比较(6)的两边y x 2的系数：左边系数为1，右边系数为-k ，因此，于是 )()()(222y x z x z y z y x -+-+-).)()((x z z y y x ----=例2 分解因式：).()()(333b a c a c b c b a -+-+-解 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-是关于a 、b 、C 的轮换式．与例1类似，它有三次因式 ).)()((a c c b b a ---由于原式是a 、b 、c 的四次式，所以还应当有一个一次因式．原式是a 、b 、c 的四次齐次式，所以这个一次因式也是a 、b 、c 的一次齐次式，即它的常数项是0（否则，它的常数项与三次式))()((a c c b b a ---相乘得到一个三次式）．这个一次齐次式是a 、b 、c 的轮换式，它的形状应当是k c b k ),(++α是常数．即有)()()(333b a C a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a k ---++= (7)比较两边b a 3的系数，得k=-1．于是 )()()(333b a c a c b c b a -+-+-).)()()((a c c b b a c b a ---++-=上面求k 的方法是比较系数，也可以改用另一种方法，即适当选一组使0))()()((=/---++a c c b b a c b a的数代替a 、b 、c ，从而定出k ，例如，令,0,1,2===c b a把它代入(7)，得),2(3028-⋅⋅=+-k即 .1-=k以上两种确定系数的方法可以结合起来使用．例3 分解因式.)()()()(3333c b a b a c a c b C b a -+--+--+-++解在0=a 时，原式的值为,0)()()()(3333=----+-+c b b c c b c b所以a 是原式的因式．由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以b 、c 也是它的因式，从而有,)()()()(3333kabc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++ (8)其中k 是待定系数．令,1===c b a 得,11133333k =---即 ,24=k所以.24)()()()(3333abc c b a b a c a c b c b a =-+--+--+-++在(3)中列出的各式称为基本的轮换式．每一个轮换式都能由它们组成，例如：一次齐次的轮换式是);(z y x l ++二次齐次的轮换式是);()(222zx yz xy m z y x l +++++三次齐次的轮换式是.)()()(222222333kxyz zx yz xy n x z z y y x m z y x l +++++⋅++++这里，L 、m 、n 、k 都是待定的常数．10.2 齐次与非齐次例4 分解因式：.)()()(555y x x z z y -+-+- 解用上面的方法易知原式有因式).)()((x z z y y x ---因为原式是x 、y 、z 的五次齐次轮换式，所以还有一个因式是二次齐次轮换式，我们设555)()()(y x x z z y -+-+-)].()()[)()((222zx yz xy m z y x l x z z y y x +++++---= （9）令,0,1,2===z y x 得),25(21321m l +-=+-即 .1525=+m l （10）令,1,0,1-===z y x 得),2(21321m l --=+-即 .152=-m l （11）由(10)、(11)这两个方程，解得⎩⎨⎧-==,5,5m l 于是 555)()()(y x x z z y -+-+-)](5)(5)[)()((222zx yz xy z y x x z z y y x ++-++---=).)()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=在例4中，任给一组x 、y 、z 的值(当然不能使(x- y) (y-z) (z-x)为0)，都可以得到一个形如(10)或(11)的方程，不过为了便于计算，以较小的值代人为好．在例4中，如果注意到,5)(455 +-=-z y y z y那么比较(9)式两边z y 4的系数，可以得 ,5l -=-再结合(10)或(11)中的任一个，可以得出.5-=m 这种做法更简单一些．例5 分解因式：.)(555b a b a ---解原式在a 、b 互换时变号，它不是a 、b 的轮换式（二元的对称式与轮换式是一致的）．但是，如果改记-b 为c ，那么原式成为,)(555c a c a +-+是a 、c 的轮换式，因而也可以采用前面的方法去处理．不过，应当注意到，更简单的办法是在例4中令,,b C x z a z y -==-=-那么 ,a b y x -=-555)(b a b a ---555)()()(y x x z z y -+-+-=))()()((5222zx yz xy z y x x z z y y x ---++---=2)()()().(5222x z z y y x b a ab -+-+--= 2)().(5222a b b a b a ab -++-= ).)((522ab b a b a ab -+-=由此可以看出，做题的时候应当充分利用已有的结果．例6 分解因式：).1)(()1)(1)((2222yz x z xz xy z y +-+++-).1)(1)(()1(22zy zx y x yx ++-++ 解这是x 、y 、z 的轮换式，容易知道它有因式),)()((y x x z z y ---但是另一个因式是什么呢？原式并非齐次式，为了便于处理，我们按照次数把它整理一下．由于,1)()1)(1(+++⋅=++z y x x xyz xz xy所以 )1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+ )]()()([222222y x z x z y z y x xyz -+-⋅+-=)]()()[(222222y x x z z y -+-+-+)])(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++)]()()([222222y x z x x y z y x xyz -+-+-= )].)(())(())(([222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-++于是，例题中的非齐次式化为两个齐次式的和，用前面所说的方法可得齐次式)()()(222222y x z x z y z y x -+-+-),)()((x z z y y x ---=))(())(())((222222y x y x z x z x z y z y z y x -++-++-+).)()()((z y x x z z y y x ++---=所以得)1)(1)(()1)(1)((2222yx yz x z xz xy z y ++-+++-)1)(1)((22zy zx y x ++-+).)()()((z y x xyz x z z y y x +++---=10.3 abC C b a 3333-++例7 分解因式：.3333abc c b a -++解在)(c b a +-=时，有abc C b a 3333-++)(3)(333c b bc C b c b +++++-=2233322333)33(bc c b C b c bc c b b +++++++-=,0=所以c b a ++是abc c b a 3333-++的因式，显然，abc c b a 3333-++是a 、b 、c 的三次齐次轮换式，我们设abc C b a 3333-++)].()()[(222ca bc ab m C b a l c b a +++++++=（12）比较两边3a 的系数得,1=l 比较abc 的系数得,33m =-即 ,1-=m所以 abc c b a 3333-++ ).)((222ca bc ab c b a c b a ---++++= （13）有的时候也把(13)写成abc c b a 3333-++)13].(2)()())[((2122a c c b b a c b a -+-+-++=(13)与)13(/也可以作为公式来使用．例8 分解因式：-+--++-++-+b a b a c a c b c b a (3)()()(333).)()(b a c a c b c -+-+ 解由公式),13(/得333)()()(b a c a c b c b a -++-++-+))()((3b a c a c b c b a -+-+-+-)].()()[(21b a c a c b c b a -++-++-+=22)]()[()](){[(b a c a c b a c b c b a -+--++-+--+})]()[(2c b a b a c -+--++ ])(4)(4)(4)[(21222b c a b c a c b a -+-+-++= ])()())[((2222b c a b c a c b a -+-+-++=).)((4222Ca bc ab C b a C b a ---++++=本题的结果表明将abc c b a 3333-++中的a 、b 、c 分别用a+b-c 、b a c a c b -+-+、代替后，所得的式子为原来的4倍，从(13)可以看出，如果,0=++c b a 那么,3333abc c b a =++这也是一个有用的结论．例9 分解因式：.)()()(333y x x z z y -+-+- 解因为 ,0)()()(=-+-+-y x x z z y所以 333)()()(y x x z z y -+-+- ).)()((3y x x z z y ---=10.4 焉用牛刀例10 分解因式：.2)()()(222333xyz y x z x z y z y x z y x -++++++---解在z y x +=时，有原式)(2)2()2()()(22333z y yz z y z y z y z y z y z y +-++++++--+-=β)(2)]2([)]2([2323z y yz z y z z y z y y +-++-+++-=y z z y z z y z y y z y 222222)2()2(---++-+=y zz y y x z y 22222222 ⋅--+= ,0=所以，x- y-z 是原式的因式．由于原式为x 、y 、z 的三次轮换式，我们设xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++--- ),)()((y x z x z y z y x k ------=比较3x 的系数，得k=-1，于是 xyz y x z x z y z y x z y x 2)()()(222333-++++++---))()((y x z x z y z y x -------=).)()((z y x y x z x z y -+-+-+=例11 分解因式：.3222222xyz zx yz xy x z z y y x ++++++解这个三次式如果能分解，那么它必有一次因式，这一次因式是齐次的轮换式，即x+y+z ．事实上，把x 用一(y+z)代入后原式为0.不过，没有必要去验证这一点，因为原式不难直接分解．由 ),(22z y x xy xyz xy y x ++=++),(22z y x yz xyz yz z y ++=++),(22z y x zx xyz zx x z ++=++可得 xyz zx yz xy x z z y y x 3222222++++++ )./)((zx yz xy z y x ++++=杀鸡焉用牛刀！特殊的问题可以用特殊的方法处理，并不是每一道题都非得用一般的方法去对付不可．10.5 整除问题例12 证明：322243222432224)()()(c b a c b a C b a c b a -++-++-+能被222222444222a c c b b a c b a ---++整除．证明由第4单元例6，可得222222444222a c c b b a c b a ---++),)()()((c b a b a c a c b C b a -+-+-+++-=因此，只要证明 ))()()((c b a b a c a c b c b a -+-+-+++是.)()()(322243222432224C b a c b a c b a C b a -++-++-+ (14)的因式即可，在a=b+c 时，(14)式的值为4222432224])([])([)(b c b C b c b c b c b -++++-++32224])[(c b c b c -+++32432434)22()22()2()(bc b c bc cb bc c b ++++-+= 343334433)(8)(8)(8c b c b c b c b c b c b +++++-=])([)(8333c b c b C b c b +++-+=,0=所以c b a --是(14)的因式．由于在a 变号时，(14)的值不变，所以)(c b a +-=时，(14)的值仍然为0．即c b a ++也是(14)的因式．(14)是a 、b 、c 的轮换式；因而b a c a c b ----、也是它的因式，从而))()()((b a c a c b c b a c b a ------++是(14)的因式，这就是要证明的结论．例13 n 是大于1的自然数，证明n n n n n n n z y x y x x z z y z y x 2222222)()()()(++++-+-+-++ )15(能被4444444)()()()(z y x y x x z z y z y x ++++-+-+-++ （16）整除，证明在x=0时，(15)的值为,0)()(222222=++--+-+n n n n n n z y y z z y z y因此，x 是(15)的因式．在)(z y x +-=时，(15)的值为,0)()(222222=--++--+-n n n n n n z y z y z y z y因此，z y x ++是(15)的因式．由于(15)是轮换式，所以)(z y x xyz ++ （17）是它的因式．特别地，在n=2时得到(17)是(16)的因式．(16)与(17)都是四次式，因此它们至多相差一个常数．(15)能够被(17)整除，所以(15)也能够被(16)整除，10.6 原来是零例14 分解因式： -----+-+-c c b b a b a a c c b ()()9)()()(22666（----332)()(2)c a b a a .)()(2)()(23333b c a c a b c b ----- )18( 解易知b a =时(18)为0，从而导出(18)有因式).)()((a c c b b a ---在a=0时，(18)的值为333333222666)(2)(22)(9)(b c c b c b c b c b c b b c c b -------++-)2()(9]22)[()(33662223333c b c b c b c b c b c b c b -++--+---=-+--+--+--=32223332233)(9]2233[)(b c b c b c b C bc c b b c b （23)cbc b c b c b c b c b bc b c c b +-+---+--=2222222333)()(9)]33()[()(（22)c +2222223)[()()](3))([()(c bc b c b b c bc b bc c b c c b ++-+-+++--=])3(2bc -22222224)(3()()4()(c bc b bc c bc b c b b bc c c b +++++-+++--=)3bc -)4()()4()(224224C bc b c b b bc C c b ++-+++--=,0=于是a 是(18)的因式，从而))()((a c c b b a abc ---是(18)的因式．由于(18)的次数为6，所以设222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------).)()((a c c b b a kabc ---=令,1,2,3===c b a 得3333222666)1(.122122119121-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-++33)1()2(2-⨯-⨯-,12k -=即 ,012=-k于是 ,0=k从而 222666)()()(9)()()(a c c b b a b a a c c b -----+-+-333333)()(2)()(2)()(2b c a c a b c b c a b a ---------.0=表面上(18)是一个6次式，实质上，它等于0，这是有一点出乎意料的．0无需进行分解，每一个（非零）多项式都是它的因式．例15 分解因式：).2()()2()()2()(333c b a b a b a c a c a c b c b -+-+-+-+-+-解容易验证在a=0与a=b 时，原式的值为0．因此，a(a-b)是它的因式，由于原式是a 、b 、c 的轮换式，所以))()((a c c b b a abc --- (19)是它的因式．但(19)是6次式，而原式的次数≤4，这说明原式必须为0，即.0)2()()2()()2()(333=-+-+-+-+-+-c b a b a b a c a c ac b c b )20( 例16 证明.0)2)(()2)(()2)((333=-+-+-+-+-+-z y x y x y x z x z x z y z y分析本题可以按照例15的办法处理．不过，更简单地是在(20)中令,,,y x c x z b z y a -=-=-=便得到)33()2()33()2(33x x y z x y z x y z --++--+)33()2(3x y z x y --++,0=从而导出了要证明的结论．10.7 四元多项式例17 分解因式：.)())(()(44d b a c d a c b d a c b --++----+).)(()())((4d c b a d c b a d b a c ----++--解原式是a 、b 、c 的轮换式，用前面的方法易知它有因式 ).)()((a c c b b a ---另一方面，把原式看成d 的多项式，在d=a 时，易知它的值为0．因此，原式有因式d -a ．再由轮换性，它也有因式d-b ，d-c 于是))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，因为原式是a 、b 、c 、d 的6次式，我们设 ))(()())(()(44d b a c d b a c d a c b d a c b ----++----+))(()(4d c b a d c b a ----++ ).)()()()()((c d b d a d a c c b b a k ------=令,2,1,0,1=-===d c b a 得.16=k 即原式 ).)()()()()((16c d b d a d a c c b b a ------=例18 分解因式：).)(())()((222222a d d c a d c b d d c c b d c b ------)()(222a d b a k c a -- ).)()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------解原式是a 、b 、c 的轮换式，和上题类似，可得))()()()()((c d b d a d a c c b b a ------是它的因式，则))()(())()(([222222c a a d d c a d c b d d c c b d c b -------)(222a d b a d -+)])()(())((222a c c b b a c b a d b b a ------))()([(a c c b b a ---÷)])()((c b b d a d ---所得商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次式，并且，在a 、b 、c 、d 中，任意两个字母互换时，商式保持都不变（请读者自己观察一下），说明商式是a 、b 、c 、d 的三次齐次对称式．又原式对每一个字母来说，都是四次多项式，----d a c c b b a )()()(())()(c d b d a --对每一个字母来说，都是三次多项式，所以商式对每个字母来说，是一次多项式，因此，商式的形式是).(dab cda bcd abc l +++由待定系数法易知L=l ，于是原式).)()()()()()((dab cda bcd abc c d b d a d a c c b b a +++------=小结轮换式与对称式的分解通常是：首先，把它看成一个字母的多项式，用第8单元的方法导出一些因式；然后，根据轮换式的特点，导出更多的因式；最后，用待定系数法求出其余的因式．非齐次的轮换式可以先按照次数分为几个齐次轮换式的和，对每个齐次轮换式进行分解，再相加后分解．特殊的轮换式可能有比较简便的特殊的方法，不一定非用一般的方法去分解．))((3222333ca bc ab C b a C b a abc c b a ---++++=-++可以作为一个公式使用，在0=++c b a 时，.3333abc C b a =++这两个结论都有不少应用．习题10将以下各式分解因式：1 ).()()(b a ab a c ca c b bc -+-+-2 .2222222abc ab b a ca a c bc c b ++++++3 .2222222abc bc c b ac c a ab b a -++-+-4 ).()()(222222b a c a C b c b a -+-+-5 .)(3333z y x z y x ---++6 .))(())(())((222b a b a a c a c c b c b +-++-++-7 ).())()(())()((b a a c b a c b a c c b a c b a c b -+-++--+-++--)(b a c +-).(b a c -+8 .4)()()(222xyz y x z x z y z y x -+++++9 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-+--++-++-+).(c b a -+ 10 ).)(()()()(222b a c a c b c b a c b a c b a c b a -+-++-++-++-+).(c b a -+11 ).())(())((a c b c a c b c b a b c b a b a c a -++-+-++-+-+)()(a c b b a c -++-+ ).)((c b a b a c -+-+12 ).)(())(())((5333b c a c c a b c b b c a b a a abc C b a ---------+++ 13 ).()()(333b a ab a c ca C b bc C b a ++++++++14 +--+-++-++-+))((2)2()2()2(22222c a b a c b a c b a c b a c b a ))((222a b c b -- ).)((222b c a C --+15 .1333-++ab b a16 .8)1(1827)1(2332+++-+y x y x 17 .)()()(333333bx ay C az cx b cy bz a -+-+-18 .)()()(333b a c a c b c b a -+-+-19 .))(())(())((333b a b a a c a c c b c b +-++-++-20 )()()()()(222222222c b a c b a abc b a c a c b c b a +++++++++++).(ca bc ab ++ 21 ).()()(444b a c a c b c b a -+-+-22 ).()()(222222b a b a a c a c c b c b -+-+- 23 ).()()(444444b a c a c b c b a -+-+-24 .)(555b a b a --+25 .)(5555z y x z y x ---++26 .)()()()(5555c b a b a C a c b c b a -+--+--+-++ 27 .)()()(323232y x z x z y z y x -+-+-28 .))(())(())((444b a b a a c a c c b c b +-++-++- 29 ).)(())()(())()((222b c a c c a c a b c b b c b c a b a a +++-+++-++).(b a -30 ++++-++-++-+)()()()(222232323C b a abc c b a c b a c b a c b a ab c b a -++222（ ).)()()(c b a b a c a c b ca bc -+-+-+--31 ).()()(224224224b a c a c b c b a -+-+-32 ).()()(555b a c a c b c b a -+-+- 33 .)()()(555b a c a c b c b a -+-+-34 .)2()2()()(4222322b a b a b a b ab a ++--++35 .)(777y x y x +-+36 ).()()(333333b a b a a c a c c b c b -+-+- 37 ).()()(663663663y x z x z y z y x -+-+-38 ).)(())()(())()((333b a a d c c a a d d c b b d d c c b a --+-------3)(d d b --)(b a - ).)((a c c b --习题答案。

对称式与轮换对称式.doc

八年级实验班竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：222()()()a x y z b xy yz zx c x y z d +++++++++【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有 11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =-，，，，，，，，，，，，那么就称这个代数式为n 元交代式。

因式分解的高级方法(解析版)

因式分解的高级方法一．双十字相乘法1．双十字相乘法原理计算()()22235316731385x y x y x xy y x y -++-=--++-．从计算过程可以发现，乘积中的二次项22673x xy y --只和乘式中的一次项有关，而与常数项无关；乘积中的一次项138x y +，只和乘式中的一次项及常数项有关系；乘积中的常数项，只和乘式中的常数项有关系。

2．所以运用双十字乘法对22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++型的多项式分解因式的步骤：（1）用十字相乘法分解前三项组成的二次三项式；（2）在这个十字相乘图右边再画一个十字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字的右端，使这两个因数在第二个十字中交叉之积之和，等于原式中含y 的一次项的系数E ，同是还必须与第一个十字中左列的两个因数交叉相乘，使其交叉之积之和等于原式中含x 的一次项的系数D ．二．对称式与轮换对称式【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x g g g ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有11()()i j n j i n f x x x x f x x x x =g g g g g g g g g g g g g g g g g g ，，，，，，，，，，，，那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x yx y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

对称式与轮换对称式

竞赛专题-------对称式与轮换对称式1．基本概念【定义1】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的i j ，（1i j n ≤<≤），都有那么，就称这个代数式为n 元对称式，简称对称式。

例如，222x y x y xy x y z xy yz zx xy++++++，，，，都是对称式。

如果n 元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为n 元对称多项式。

由定义1知，在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项，例如，在对称多项式()f x y z ，，中，若有3ax 项，则必有33ay az ，项；若有2bx y 项，则必有2bx z ，2222by z by x bz x bz y ，，，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同。

根据对称多项式的定义，可以写出含n 个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母x y z ，，的二次对称多项式的般形式是：【定义2】如果一个n 元多项式的各项的次数均等于同一个常数r ，那么称这个多项式为n 元r 次齐次多项式。

由定义2知，n 元多项式12()n f x x x ，，，是r 次齐次多项式，当且仅当对任意实数t 有 1212()()r n n f tx tx tx t f x x x =，，，，，，。

例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：333222222()()a x y z b x y x z y x y z z x z y cxyz +++++++++。

【定义3】一个n 元代数式12()n f x x x ，，，，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，即对于任意的i j ，()1i j n ≤<≤，都有那么就称这个代数式为n 元交代式。

例如，()()()x y x y x y y z z x x y-----+，，均是交代式。

【定义4】如果一个n 交代数式12()n f x x x ，，，，如果将字母12n x x x ，，，以2x 代1x ，3x 代2n x x ，，代11n x x -，代n x 后代数式不变，即那么称这个代数式为n 元轮换对称式，简称轮换式。

学而思八年级数学之因式分解拓展(四)

轮换式：关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋y2＋z2， xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋y2z＋z2x，xy2 ＋yz2＋zx2， xyz，…在将字母x、y、z轮换 (即将x换成y，y换成z，z换成x)时，保持不变。这样的多项式称为x、y、z的轮换式。
1
显然，关于x、y、z的对称式一定是x、y、z 的轮换式。但是，关于x、y、z的轮换式不一定是对称式。
待定系数法，对称式与轮换对称式
【例1】(太原市初中数学竞赛) 关于x，y的二次式x2＋7xy＋my2－5x＋ 43y－24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是____。
【例2】设px3＋mx2＋nx＋r是x的一次式的完全立方式，求证3mr＝n2。
【例3】用待定系数法分解因式： x5＋x＋1
对称式：
x、y多项式x＋y，xy，x2＋y2，x3＋y3，x2y＋ xy2，…在字母x与y互换时，保持不变。这样的多项式称为x、y的对称式。类似的，关于x、y、z的多项式x＋y＋z，x2＋ y2＋z2，xy＋yz＋zx，x3＋y3＋z3，x2y＋x2z＋ y2z＋y2x＋z2x＋z2y，xyz，…在字母x、y、z中任意两字互换时，保持不变，这样的多项式称为x、y、z的对称式。
例如，x2y＋y2z＋z2x就不是对称式。次数低于3的轮换式同时也是对称式。
【例4】分解因式： a3(b－c)＋b3(c－a)＋c3(a－b)
【例5】分解因式： (y－z)5＋(z－x)5＋(

轮换对称式
班级姓名学号
对于一个多元多项式中，如果能将其中任意两元对换，多项式保持不变，则我们称这样的多项式为对称式。

对于一个多元多项式中，如果能将其中任意元轮换（对于三元多项式，我们将x换成y，y换成z，z换成x），多项式保持不变，则我们称这样的多项式为轮换式。

事实上，对称式一定是轮换式，而轮换式不一定是对称式，所以很多时候为了区别两者，前者被称为轮换对称式，后者被称为轮换不对称式
性质：
轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。

由于这一性质，所以我们在处理轮换式（对称式）可以按照一定规律去做
例题
1.x2y−z+y2z−x+z2x−y
2.a3b−c+b3c−a+c3a−b
3.a+b+c3−−a+b+c3−a−b+c3−a+b−c3
4.(y−z)5+(z−x)5+(x−y)5
5.a5−b5−(a−b)5
6.y2−z21+xy1+xz+z2−x21+yz1+yx+x2−y21+ zx(1+zy)
7.a3+b3+c3−3abc
8.(a+b−c)3+(a−b+c)3+(−a+b+c)3−3(a+b−c)(a+b−
c)(−a+b+c)
9.(y−z)3+(z−x)3+(x−y)3
10.a3+b3+3ab−1。

7年级因式分解第四讲

故原式= ( x y z)( xy yz zx) 奥巴马老师语录：特殊问题特殊对待，并非每道题都需要用一般方法来解决。
【例 7】（2012 某重点高中预录取）因式分解：
( x a)3 (b c) ( x b)3 (c a) ( x c)3 (a b)
奥巴马老师总结： 1. 轮换对称式因式分解的步骤：猜，轮，补，待。 2. 拓展公式 a3 b3 c3 3abc (a b c)(a2 b2 c2 ab bc ac) 当 a b c 0 时，特别的有 a3 b3 c3 3abc
【课后作业】【练习 1】因式分解： (a b)3 (b c)3 (c a)3 【解析】原式= 3(a b)(b c)(c a)
1.
猜
猜因式，即试根法。常见试根有：
x0 x y / x y x y z / x y z
根据性质 3 若含有因式 ( x y) ，则必含 ( y z)( z x) 次数缺 0 次缺1次缺2次缺3次
3 3 3
2.
轮补待
补k 补 k ( x y z) 补 k1 ( x2 y 2 z 2 ) k2 ( xy yz zx) 补
【例3】
因式分解： a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) a3 b3 c3 2abc
【解析】当 a=b+c 时，原式= a3 b3 c3 a3 b3 c3 0 设原式= k (b c a)(c a b)(a b c) 令 a 0, b 0, c 1，解得 k=-1 故原式= (b c a)(c a b)(a b c)

轮换分解定理

轮换分解定理轮换分解定理是代数学中的一个重要定理，它在多项式的因式分解问题中扮演着重要角色。

轮换分解定理可以帮助我们将一个多项式分解为多个轮换对称的因式。

在本文中，我将详细介绍轮换分解定理的定义、证明以及应用。

首先，让我们来了解一下轮换对称的概念。

如果一个多项式P(x1, x2,..., xn)对于变量的任意轮换操作（即将变量的位置互换）都保持不变，那么我们称P为轮换对称的多项式。

例如，多项式P(x1, x2, x3) = x1x2 + x2x3 + x3x1 就是一个轮换对称的多项式，因为任意对x1、x2、x3的轮换操作都不会改变它的形式。

轮换分解定理的核心思想是将一个轮换对称的多项式P(x1,x2, ..., xn)分解为若干个轮换对称的因式的乘积。

具体地说，对于一个n次的轮换对称多项式P(x1, x2, ..., xn)，轮换分解定理可以表述为：P(x1, x2, ..., xn) = c(x1 + x2 + ... + xn) + f(x1, x2, ..., xn)其中，c是常数，f(x1, x2, ..., xn)是一个轮换对称的n次齐次多项式。

接下来，我们将证明轮换分解定理的正确性。

为了证明，我们引入一个辅助函数A(x1, x2, ..., xn)，它定义为：A(x1, x2, ..., xn) = P(x1, x2, ..., xn) - [c(x1 + x2 + ... + xn) + f(x1,x2, ..., xn)]我们可以观察到，当变量中至少有两个变量相等时，A(x1,x2, ..., xn)为零。

这是因为轮换对称性质保证了多项式在变量轮换时保持不变。

因此，对于A(x1, x2, ..., xn)来说，如果至少有两个变量相等，那么它的值为零。

接下来，我们来考虑剩下的情况，即当变量中不存在两个相等的情况时。

这意味着变量x1, x2, ..., xn之间互不相等。

将A(x1, x2, ..., xn)展开，并将其转化为一个仅包含变量x1的多项式。

轮换对称式

一.定义在含有多个变量的代数式f (x,y,z)中，如果变量x, y, z 任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y ， xy ， x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy, 都是对称式.其中x+y 和xy 叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。

如是一个二元对称式． (x-1)(y-1)= xy-(x+y)+1 (x+1)(y+1)= xy+(x+y)+1例题求方程x+y=xy 的整数解。

分析这是一道求不定方程解的题目，当然x 与y 交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。

解： ∵ x+y=xy∴ (x-1)(y-1)=1.解之，得 x-1=1,y-1=1;或 x-1=-1, y-1=-1.∴ x=2 y=2或 x=0 y=0关于x 、y 、z 三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x 换成 y , 把y 换成 z , 把z 换成 x ），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x 、y 、z 的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式 a2(b －c)+b2(c －a)+c2(a －b),2x2y+2y2z+2z2x, , （xy+yz+zx ）， . 都是轮换式.显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x 和y 的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等. 例如：在含x, y, z 的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2, z2两项；如含有xy 项，则必同时有yz, zx 两项，且它们的系数，都分别相等. 故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx) 其中m, n 是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项. 例如：轮换式分解因式：y x 11+222()2a b a ab b +=++abc c b a 1111-++111()x y z ++222222222111b a c a c b c b a -++-++-+a ２(b －c)+b ２(c －a)+c ２(a －b)＝－ (a －b) (b －c) (c －a)例如：轮换式a3(b －c)+b3(c －a)+c3(a －b)中，有因式a －b 这一项, 必有同型式b －c 和c －a 两项.４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.等也都是对称式.又如：也都是轮换式。

轮换对称式因式分解

轮换对称式因式分解
轮换对称式因式分解是一种数学多项式的分解方法。

这种分解方法不同于分块因式分解，其最主要的思想是将给定的多项式拆分成由少量基本项构成的多项式，并由轮换组合来形成原来的多项式。

此时，可以使用轮换对称式来拆分多项式。

例如，考虑一个三阶多项式$P(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3
x^3$，要拆分它，可以使用轮换对称式：
$P(x) = (a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3) = (a_0 + a_2 x^2) + (a_1 + a_3 x^3)x = a_0 + a_2 x^2 + a_1 x + a_3 x^3$
由此可见，通过使用轮换对称式可以把整个多项式拆分成两部分，第一部分是一个不含x的常数项，第二个部分是一个幂次比原多项式低一次的多项式。

轮换对称式的证明_高中数学_概述说明以及解释

轮换对称式的证明高中数学概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文将重点介绍轮换对称式的证明方法和在高中数学中的应用。

轮换对称式是一种在数学中常见的模式，它具有特殊的性质和定义。

通过探索其证明方法以及应用领域，我们可以提高对数学概念和问题的理解能力，并且能够更好地解决相关问题。

1.2 文章结构本文分为四个主要部分进行论述。

第一部分为引言，主要从整体上概述文章内容，并介绍了本文的目的。

第二部分将详细介绍轮换对称式的定义和性质，并探讨其证明方法及具体案例分析。

第三部分将重点阐述轮换对称式在高中数学中的应用，包括几何、代数和概率统计等方面。

最后一部分为结论与总结，对全文进行回顾并指出可能存在的不足之处，同时展望未来研究方向或提出进一步讨论和思考的问题。

1.3 目的本文旨在帮助读者深入理解轮换对称式这一重要概念，并掌握相关证明方法和应用技巧。

通过详细说明、举例分析和实际应用，希望能够提高读者对数学概念的把握能力，并培养解决实际问题的数学思维和能力。

相信通过阅读本文，读者将对高中数学领域中的轮换对称式有更为全面深入的了解。

2. 轮换对称式的证明：2.1 轮换对称式的定义和性质:轮换对称式是指形如$f(x_1,x_2,...,x_n)=f(x_2,x_3,...,x_n,x_1)$的函数或表达式。

其中，$x_1, x_2, ..., x_n$是一组变量。

这种函数或表达式在变量间进行周期性的轮换，并且不会改变其值。

具体来说，一个轮换对称式是通过将变量按照某种顺序进行循环置换得到的。

例如$f(x,y,z)=xyz+yzx+zxy$就是一个轮换对称式，因为通过将$x,y,z$按照顺序进行循环置换可以得到相同的表达式。

轮换对称性在数学中具有重要的性质和应用。

首先，它可以简化复杂的计算过程，减少重复或冗余计算。

此外，在代数推导和证明中，轮换对称性可以帮助我们发现等价关系、共同特征以及隐藏规律。

因此，了解和掌握轮换对称式的证明方法对于解决高中数学问题非常有帮助。

轮换对称多项式因式分解

轮换对称多项式因式分解
因式分解是数学分析的基本操作之一，它是将一个一次对称多项式分解为几个因式的乘积。

在学习数学分析时，大家都会学习如何使用因式分解来解决问题，但实际上，因式分解的
概念可以更广泛地应用于轮换对称多项式的分解。

轮换对称多项式是指多项式中出现的变量，无论其位置怎么改变，相同变量之间的顺序必
须保持不变。

例如，<a+b+c>是轮换对称多项式，其中a,b,c是变量，a、b、c之间的顺序可以改变，例如b+c+a也是轮换对称多项式，两者具有相同的系数。

在轮换对称多项式中，因式分解首先将一个轮换对称多项式分解为几个不同的因式，然后
将每个因式与另一个特定的多项式相乘，最终完成分解。

例如，将<a+b+c>因式分解，得
到(a+b)·(b+c)·(c+a)。

轮换对称多项式的因式分解技术可以应用于多项式的分析。

它可以用来确定多项式的极限，解决带有未知变量的方程，以及计算多项式在特定条件下的结果。

因此，因式分解在轮换
对称多项式中，也能够给数学题目带来更多帮助。

总之，因式分解是一种有用的数学工具，也是轮换对称多项式的分解的重要技术。

无论是
求解多项式的极限，解决特定方程，或是计算出某些多项式的结果，因式分解都能帮助我
们更好地完成任务。

奥数-因式分解-3师

因式分解3：对称式、轮换式、及应用一、对称式和轮换对称式对称式和轮换对称式是特殊的代数式，根据其结构对称的特点，可以得到对称式和轮换对称式的一些特殊性质，利用这些性质，可以简便地解决有关对称的问题.(1) （完全）对称式如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么就说原来的代数式关于这些字母呈对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.例如，a b c ++，222x xy y ++，1ab，3333a b c abc ++-等都是对称式，但a b c --、1x y -、23a b c ++就不是对称式.(2) 轮换对称式把一个代数式里的字母按照某个秩序排列，然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母……把最后一个字母换成第一个字母，我们把这种变换字母的方法叫作轮换.如果通过轮换后所得到的代数式和原来的代数式恒等，那么就把原来的代数式叫作关于这些字母的轮换对称式.例如，222x y y z z x ++中将x 以y 代换，y 以z 代换，z 以x 代换，则得222y z z x x y ++，它与原式完全相同，所以222y z z x x y ++是关于x 、y 、z 的轮换对称式.（3）交代对称式：一个代数式中，如果把它所含的两个字母互换，得到的式子和原来的代数式只差一个符号，那么这个代数式就叫做关于这两个字母的交代式。

例如a b -，22a b -。

(4) 齐次轮换对称式如果轮换对称式中的各项的次数相等，那么就把这样的代数式叫作齐次轮换对称式.(5) 基本性质① 任何对称式都可以用它的基本对称式来表示.② 对称式的和、差、积、商也是对称式.③ 轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.④ 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是对称式.⑤ 一个m 次对称式乘一个n 次对称式，其积必为一个m n +次对称式．(6) 齐次轮换、对称式的因式分解：因式定理、待定系数法结合因式定理、待定系数法来分解因式，例如齐次轮换式()()()222a b c b c a c a b -+-+-，当a b =时，原式的值为0．根据因式定理可知：原式必有因式()a b -，同样的必有因式()b c -和()c a -，所以()()()()()()222a b c b c a c a b k a b b c c a -+-+-=---，可求得1k =-．例1 333()()()x y z y z x z x y -+-+-答案：33333333322()()()()()()()[()()]()()()()x y z y z x z x y x y z x z y zy z y y z x z zy y x zy y z y z z x x y x y z -+-+-=-+-+-=--++++=------例2 ()()ab bc ca a b c abc ++++-答案：上式中令0a b +=，则()()[()][())]0ab bc ca a b c abc ab b a c a b c abc abc abc ++++-=++++-=-=即a b +为上式中的一个因式，由轮换性知，,b c c a ++都是上式的一个因式设()()()()()ab bc ca a b c abc k a b b c c a ++++-=+++ 待定系数法得1k =()()()()()ab bc ca a b c abc a b b c c a ++++-=+++例3 3333()x y z x y z ++---答案：上式中令0x y +=，则33333333()()0x y z x y z z x x z ++---=----=即x y +为上式中的一个因式，由轮换性知，,y z z x ++都是上式的一个因式设3333()()()()x y z x y z k x y y z z x ++---=+++待定系数法得3k =3333()3()()()x y z x y z x y y z z x ++---=+++例4 555()a b a b +--答案：法一： 55555554322344432234322322()()()()()()()[()()]()(555)5()()a b a b a b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a b a b ab ab a b a ab b +--=+-+=+-+-+-+=++--+-+=+++=+++法二：555()a b a b +--分别令0,0,a b a b ===-，上式都为0，则()ab a b +为上式的因子设55522()()[()]a b a b kab a b m a b nab +--=+++ 分别令122,,,113a a a b b b =⎧==⎧⎧⎨⎨⎨==-=-⎩⎩⎩解答51k m n =⎧⎨==⎩即55522()5()()a b a b ab a b a b ab +--=+++例5 333()()()b c c a a b -+-+-=3（a-b ）（b-c ）（c-a ）例6 3333x y z xyz ++-=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx);因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据立方系数为1，用待定系数法可设(x+y+z)[x^2+y^2+z^2+k(xy+yz+zx)]例7 ()()()y z z x x y xyz ++++=(x+y+z)(xy+yz+zx) 因为原式只能写出一次对称式和二次对称式的积，根据无立方项，且其它各项系数为1，故显然为(x+y+z)(xy+yz+zx)例8 ()()a b c ab bc ca abc ++++-=（a+b ）（b+c ）（c+a ）这是例7的变形，或者利用a=-b 是根例9．（2000年天津市竞赛题）分解因式：)()()(222222x z zx z y yz y x xy -+-+-解析：原式是四次轮换式，由因式定理，可知x z z y y x ---,,都是它的因式.由轮换性，它的另一个一次因式只能是z y x ++，不可能是别的形式，否则与次数为四次不符.设原式))()()((x z z y y x z y x k ---++=.令,2,1,0===z y x 解得1-=k .也可以比较等式两边同类项的系数，得出1-=k .故原式))()()((x z z y y x z y x ---++-=例10．（2005年北京市竞赛题）设c b a ,,是三角形的三边长，求证：04)()()(222333<-------++abc b a c a c b c b a c b a解析：考虑原式左边.令c b a +=，得到原式左边的代数式值为0，故c b a --是它的一个因式.由轮换对称性，b a c a c b ----,都是它的因式.因为原式左边是关于c b a ,,的三次式，故可设左边))()((b a c a c b c b a k ------=.比较两边的系数，或者设特殊值，可得1=k .所以左边))()((b a c a c b c b a ------=.由三角形两边之和大于第三边，原不等式可证.二、因式分解的应用例1. 已知22223()()a b c a b c ++=++，求证：a b c ==例2：若n 为整数，求证：()()()222222111++=++++n n n n n n 分析：本题的证明是要把左边的代数式转化为右边的完全平方式显然要找到左边式子中符合完全平方展开试的结构式进行公式法因式分解。

对称多项式的因式分解

对称多项式的因式分解
1、基本方法
(1 )赋值法:先选择一个字母为主元,将多项式看成是一元多项式,再试验字母(主元)的某些取值使多项式的值为零,由此发现多项式含有的因式。

( 2 )待定系数法:先根据多项式的特征,发现它含有的某些因式,再根据多项式的次数及多项式的对称性确定它的其他因式,进而将多项式表示成若干多项式的积(含有待定系数)的形式,最后通过比较系数或幅值确定待定系数。

2、基本问题
( 1 )对称多项式的因式分解,通常采用赋值法,先通过试验,发现对称多项式含有某些特殊因式,然后将因式中的某两个字母互换,得到的式子仍是多项式的因式。

此外,对称多项式也可先将其用基本对称多项式表示,然后再分解。

( 2 )轮换对称多项式的因式分解,如果一个轮换对称多项式含有某种因式,那么将这个因式中的所有字母按一定顺序轮换(第一个字母换成第二个字母,第二个字母换成第三个字母，……,最后一个字母换成第一个字母) , 得到的式子仍是原多项式的因式。

( 3 )交代多项式的因式分解,任何交代多项式一定被它含有的任何两个字母的差整除。

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