锐角三角函数及解直角三角形的应用练习题

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初中数学,锐角三角函数,解直角三角形及其应用练习题及答案

锐角三角函数——解直角三角形及其应用一、解直角三角形1．任何一个三角形都有六个元素，三条边、三个角，在直角三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出未知元素的过程，叫做_______________.2．在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c . （1）两锐角互余，即∠A ＋∠B ＝_______________；（2）三边满足勾股定理，即a 2＋b 2＝_______________；（3）边与角关系sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ，tan A ＝_______________，tan B ＝_______________.二、解直角三角形在实际问题中的应用（一）俯角、仰角在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做_______________；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做_______________.(二)方向角1．方向角是以观察点为中心(方向角的顶点)，以正_______________或正_______________为始边，旋转到观察目标的方向线所成的_______________，方向角也称象限角．2．如图，我们说点A 在O 的北偏东30°方向上，点B 在点O 的南偏西45°方向上，或者点B 在点O 的西南方向．(三)坡度、坡角1．坡度通常写成1∶________的形式．坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl ＝_________.2．一斜坡的坡角为30°，则它的坡度为________.(四)利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1．将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的函数模型)；2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用解直角三角形的有关性质解直角三角形；3．得到数学问题的答案；4．得到实际问题的答案．一、解直角三角形【例1】在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）已知a＝4，b＝8，求c；（2）已知b＝10，∠B＝60°，求a，c；（3）已知c＝20，∠A＝60°，求a，b.二、解直角三角形在实际问题中的应用【例2】如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21 m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°(A、B、C在同一条直线上)，则河的宽度AB约是多少？(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【例3】如图，某大楼顶部有一旗杆AB，甲、乙两人分别在相距6米的C、D两处测得点B和点A的仰角分别是42°和65°，且C、D、E在一条直线上．如果DE＝15米，求旗杆AB的长大约是多少米？(结果保留整数，参考数据：sin 42°≈0.67，tan 42°≈0.9，sin 65°≈0.91，tan 65°≈2.1)【例4】如图，海中一小岛A，该岛四周10海里内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？（参考数据：tan55°≈1.43，tan25°≈0.47）【例5】如图，铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC＝9.8 m，路基高BE＝5.8 m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.6，斜坡CD的坡度i′＝1∶2.5，求铁路路基下底宽AD的值(精确到0.1 m)．【例6】如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=4，AB=33，求BC的长.基础练习题1．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC=6，∠C=45°，tan∠ABC=3，则BD等于A．2 B．3 C．32D．232．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°3．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米4．如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知100CD=米，点C在BD 上，则山高AB=A．100米B．3C．502米D．)5031米5．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB 的坡度是1:3，堤坝高为40m ，则迎水坡面AB 的长度是A ．80mB ．803mC ．40mD ．403m6．下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB 、CD 分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC =150°，BC 的长是8m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是__________m ．7．如图，在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8．若∠BPC =12∠BAC ，则sin ∠BPC =__________.8．如图，小明沿着一个斜坡从坡底A 向坡顶B 行走的过程中发现，他毎向前走60m ，他的高度就升高36m ，则这个斜坡的坡度等于__________．9．如图，在菱形ABCD 中，AE DC ⊥于E ，8cm AE =，2sin 3D =，则菱形ABCD 的面积是__________．10．一艘货轮以182km/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是__________km.11．某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．12．如图，AD是△ABC的角平分线，且AD=16315，∠C=90°，AC=85，求BC及AB．13．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝8cm ，AC ＝10cm ，求AB ，BD的长.能力提升14．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBC =23，则AD 的长为A ．2B ．4C ．2D ．3215．如图，在四边形ABCD 中，60,90,2,3,A B D BC CD ∠=∠=∠===则AB ＝A ．4B ．5C ．3D 83316．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔60n mile的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离为A．603n mile B．602n mileC．303n mile D．302n mile17．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向上，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置B处，海轮航行的距离AB长是A．2 海里B．2sin55海里C．2cos55海里D．2tan55海里18．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，BC=23，则AB=______________．19．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45和30.若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为______________米(结果保留根号)．20．如图，小明为了测量校园里旗杆AB的高度，将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置，在D 处测得旗杆顶端A的仰角为53°，若测角仪的高度是1.5m，则旗杆AB的高度约为______m．（精确到0.1m．参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）21．随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A地到B地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将约缩短多少公里？（参考数据：3≈1.7，2≈1.4）22．如图，某日在我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留小数点后一位）参考数据：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236．23．某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在D点测得旗杆顶端E点的仰角为30°.已知小明和小军的距离BD＝6 m，小明的身高AB＝1.5 m，小军的身高CD＝1.75 m，求旗杆的高EF.(结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)真题练习24．（2018·益阳市）如图，小刚从山脚A出发，沿坡角为α的山坡向上走了300米到达B点，则小刚上升了A．300sinα米B．300cosα米C．300tanα米D．300 tanα米25．（2018·重庆市b卷）如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）A．21.7米B．22.4米C．27.4米D．28.8米26．（2018·长春市）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B 地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为A．800sinα米B．800tanα米C．800sinα米D．800tanα米27．（2018·阜新市）如图，在点B处测得塔顶A的仰角为30°，点B到塔底C的水平距离BC是30m，那么塔AC的高度为_____________m（结果保留根号）．28．（2018·无锡市）已知△ABC中，AB=10，AC=27，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____________．29．（2018·黄石市）如图，无人机在空中C处测得地面A、B两点的俯角分别为60°、45°，如果无人机距地面高度CD为1003米，点A、D、B在同一水平直线上，则A、B两点间的距离是_____________米．（结果保留根号）30．（2018·锦州市）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B处的求救者后，又发现点B正上方点C处还有一名求救者.在消防车上点A处测得点B和点C的仰角分别是45°和65°，点A距地面2.5米，点B距地面10.5米.为救出点C处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC约为多少米？（结果保留整数.参考数据：tan65°≈2.1,sin65°≈0.9,cos65°≈0.4,2≈1.4）31．（2018·本溪市）如图，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF =23°，量得树干倾斜角∠BAC =38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC =60°，AD =4m ．（1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度？（结果精确到个位，参考数据：2 1.4≈，3 1.7≈，6 2.4≈）．32．（2018·兰州市）如图，斜坡BE ，坡顶B 到水平地面的距离AB 为3米，坡底AE 为18米，在B 处，E处分别测得CD 顶部点D 的仰角为30，60，求CD 的高度.(结果保留根号)33．（2018·青海省）如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度.小宇同学在A 处观测对岸点C ，测得45CAD ∠=，小英同学在距点A 处60米远的B 点测得30CBD ∠=，请根据这些数据算出河宽(精确到0.01米，2 1.414≈，3 1.732)≈．34．（2018·莱芜市）在小水池旁有一盏路灯，已知支架AB的长是0.8m，A端到地面的距离AC是4m，支架AB与灯柱AC的夹角为65°．小明在水池的外沿D测得支架B端的仰角是45°，在水池的内沿E测（sin65°≈0.9，得支架A端的仰角是50°（点C、E、D在同一直线上），求小水池的宽DE．（结果精确到0.1m）cos65°≈0.4，tan50°≈1.2）35．（2018·镇江市）如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB，CD，大楼的底部B，D在同一平面上，两幢楼之间的距离BD长为24米，小明在点E（B，E，D在一条直线上）处测得教学楼AB顶部的仰角为45°，然后沿EB方向前进8米到达点G处，测得教学楼CD顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F，H距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB的高度．（精确到0.1米）参考值：2≈1.41，3≈1.73．36．（2018·盘锦市）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．37．（2018·大庆市）如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：6≈2.449，结果保留整数）38．（2018·徐州巿）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：2≈1.414，3≈1.732.参考答案1．A；2．C；3．D；4．D；5．A6．47．4 58．1：4 39．296cm10．1811．C点到地面AD的距离为：（）m．12．BC AB13．AB=503，BD=32314．A；15．D；16．B；17．C18．419．)1200120．9.521．22422．23．约为10.3 m24．A；25．A；26．D27．28．29．100（30．云梯需要继续上升的高度BC约为9米. 31．（1）75°；（2）这棵大树折断前高约10米．32．CD的高度是92⎛⎫⎪⎝⎭米．33．河宽为81.96米．34．小水池的宽DE为1.7米．35．教学楼AB的高度AB长13.3m．36．（1）此刻B楼的影子落在A楼的第5层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为45度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部．38．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是98海里．38．该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．。

专题28.17 锐角三角函数(中考常考考点专题)(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级

专题28.17 锐角三角函数（中考常考考点专题）（基础篇）（专项练习）一、单选题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析1．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A ，变幅索的底端记为点B ，AD 垂直地面，垂足为点D ，BC AD ⊥，垂足为点C ．设ABC α∠=，下列关系式正确的是（）A ．sin AB BC α= B ．sin BC AB α= C ．sin AB AC α=D ．sin AC AB α= 2．（2022·湖北湖北·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，BD 是斜边AC 上的高，AB BC ≠，则下列比值中等于sin A 的是（）．A ．AD AB B ．BD ADC ．BD BC D ．DC BC【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值3．（2022·浙江宁波·三模）如图，将ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是（）A B C ．2 D ．124．（2022·福建省厦门第二中学模拟预测）如图，在Rt ABC 中，90,2C BC AC ∠=︒=，则sin B =（）A ．12 B ．2 C D 【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长5．（2020·四川雅安·中考真题）如图，在Rt ACB 中，900.5C sinB ∠=︒=，，若6AC =，则BC 的长为（）A ．8B ．12C ．D ．6．（2022·吉林·长春市赫行实验学校一模）如图要测量小河两岸相对的两点P 、A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得50PC =米，44PCA ∠=︒，则小河宽PA 为（）米A ．50sin44︒B ．50cos44︒C ．50tan 44︒D ．50tan46︒【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值7．（2016·江苏无锡·中考真题）sin30°的值为（）A ．12 B C ．2 D 8．（2021·广东深圳·中考真题）计算|1tan 60|-︒的值为（）A ．1B ．0C 1D ．1【考点二】函数值➽➸特殊锐角9．（2022·河南焦作·()101α+︒=，则锐角α的度数为（）A ．40°B ．30°C ．20°D ．10°10．（2021·江苏无锡·一模）已知cos A A =∠是锐角，则A ∠的度数为（） A ．30︒ B ．45︒ C ．60︒ D ．90︒【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式11．（2021·山东泰安·模拟预测）计算：202122sin 60|1(1)2-︒----的结果是（）A ．74B ．4C ．14D ．1412．（2021·山东省日照市实验中学二模）计算（tan30°）﹣1﹣2|）0的结果是（）A ．6B ．12C ．2D ．2＋【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状13．（2021·贵州黔西·模拟预测）在ABC 中，若A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =，则ABC 的形状是（） A ．钝角三角形 B ．等腰三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形14．（2020·山东德州·二模）如果△ABC 中，sin A =cos B 2，则下列最确切的结论是（） A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形 C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形15．（2022·陕西·中考真题）如图，AD 是ABC 的高，若26BD CD ==，tan 2C ∠=，则边AB 的长为（）A ．B ．C ．D ．16．（2022·四川广元·中考真题）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（）A ．52B ．3C ．D ．103【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之17．（2019·河北石家庄·二模）在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港沿东北方向以5海里/时的速度出发，同时乙货船从B 港口沿北偏西60︒方向出发，2h 后相遇在点P 处，如图所示．问A 港与B 港相距（）海里．A．B ． C ．10+D ．2018．（2019·重庆·一模）缙云山是国家级自然风景名胜区，上周周末，小明和妈妈到缙云山游玩，登上了香炉峰观景塔，从观景塔底中心D 处水平向前走14米到A 点处，再沿着坡度为0.75的斜坡AB 走一段距离到达B 点，此时回望观景塔，更显气势宏伟，在B 点观察到观景塔顶端的仰角为45︒再往前沿水平方向走27米到C 处，观察到观景塔顶端的仰角是22︒，则观景塔的高度DE 为（）（tan22°≈0.4）A ．21米B ．24米C ．36米D ．45米【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之19．（2019·重庆九龙坡·模拟预测）如图是重庆轻轨10号线龙头寺公园站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3:2的扶梯AB ，扶梯总长为度大陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC 、DE 两段扶梯，并减缓各扶梯的坡度，其中扶梯AC 和平台CD 形成的ACD ∠为135°，从E 点看D 点的仰角为36.5°，AC 段扶梯长则DE 段扶梯长度约为（）米（参考数据：3sin 36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan 36.54︒≈）A ．43B ．45C ．47D ．4920．（2018·河北·模拟预测）如图（1）是一个六角星的纸板，其中六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，每条边都相等，现将该纸板按图（2）切割，并无缝隙无重叠地拼成矩形ABCD ．若六角星纸板的面积为2，则矩形ABCD 的周长为（）A ．18cmB ．C ．（）cmD ．（）cm【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角21．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD 的高度，在点A 处测得树顶C 的仰角为45︒，在点B 处测得树顶C 的仰角为60︒，且A ，B ，D 三点在同一直线上，若16m AB =，则这棵树CD 的高度是（）A ．8(3B ．8(3+C ．6(3D ．6(3+22．（2021·山东济南·中考真题）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧出界N 处俯角为43︒，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35︒，则M ，N 之间的距离为（参考数据：tan 430.9︒≈，sin 430.7︒≈，cos350.8︒≈，tan350.7︒≈，结果保留整数）（）A ．188mB ．269mC ．286mD ．312m【考点二】解直角三角形➽➸方位角23．（2022·河北·模拟预测）从观测点A 测得海岛B 在其北偏东60°方向上，测得海岛C 在其北偏东80°方向上，若一艘小船从海岛B 出发沿南偏西40°方向以每小时40海里的速度，行驶2小时到C 海岛，则C 海岛到观测点A 的距离是（）A．20海里B．40海里C．60海里D．80海里24．（2022·山东·济南市市中区泉秀学校一模）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是（）B．（15）海里A．C．（）海里D．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比25．（2022·贵州毕节·中考真题）如图，某地修建一座高5mBC=的天桥，已知天桥斜面AB的坡度为AB的长度为（）A．10m B．C．5m D．26．（2021·湖南衡阳·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为︒≈︒≈︒≈）（）．（sin370.6,cos370.8,tan370.75A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米【考点四】解直角三角形➽➸其他问题27．（2022·广西·中考真题）如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB 的长为12米，AB 与AC 的夹角为α，则高BC 是（）A ．12sin α米B ．12cos α米C ．12sin α米D ．12cos α米 28．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB ，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC 长为m ，则大树AB 的高为（）A ．()cos sin m αα-B ．()sin cos m αα-C ．()cos tan m αα-D ．sin cos m m αα- 二、填空题【类型一】锐角三角函数【考点一】（正弦✮✮余弦✮✮正切）概念➽➸辨析29．（2022·上海市青浦区教育局二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A 点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B 点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为________米．30．（2021·福建厦门·一模）在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝AB＝10，则△B＝_____．【考点二】角➽➸（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值31．（2021·四川乐山·三模）如图，在3×3的正方形网格中，A、B均为格点，以点A为圆心，AB长为半径画弧，图中的点C是该弧与网格线的交点．则sin△BAC的值等于_____．32．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，若sin A＝45，则cos B＝_____．【考点三】（正弦✮✮余弦✮✮正切）函数值➽➸求边长33．（2022·广东深圳·二模）如图，直角ABC中，90C∠=︒，根据作图痕迹，若3cmCA=，3tan4B=，则DE=________cm．34．（2021·湖南邵阳·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥，垂足为点E ．若4sin 5ADE ∠=，4=AD ，则AB 的长为______．【类型二】特殊锐角三角函数【考点一】特殊锐角➽➸函数值35．（2021·西藏·中考真题）计算：（π﹣3）0＋（﹣12）﹣2﹣4sin30°＝___． 36．（2020·湖南湘潭·中考真题）计算：sin 45︒=________．【考点二】函数值➽➸特殊锐角37．（2022·陕西·西安辅轮中学三模）若sin(α+15°)=1，则△α等于_____________度． 38．（2020·湖北·武汉二中广雅中学三模）若sin A ＝12，则tan A ＝_____．【考点三】混合运算➽➸特殊锐角✮✮二次根式39．（2022·重庆·模拟预测）计算：sin45°+212-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝_____．40．（2022·湖北荆门·一模）计算：)02112sin 45()2-+-︒--=________．【考点四】特殊锐角值➽➸判断三角形形状41．（2020·江苏淮安·三模）在ABC ∆中,若21 02sinA tanB -+⎛ ⎝⎭= ，则ABC ∆是_____三角形．42．（2019·四川自贡·一模）在△ABC 中，（cos A ﹣12）2+|tan B ﹣1|＝0，则△C ＝_____．【类型三】解直角三角形【考点一】解直角三角形➽➸直接解直角三角形43．（2019·辽宁大连·中考真题）如图，ABC ∆是等边三角形，延长BC 到点D ，使CD AC =，连接AD．若2AB=，则AD的长为_____．44．（2015·广西玉林·中考真题）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点△BOC绕C点顺时针方向旋转到△AQC的位置，则O分斜边AB为BO：OA=1△AQC=___________．【考点二】解非直角三角形➽➸转化为直角三角形并解之45．（2021·湖北武汉·模拟预测）如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB的倾斜角是30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角是60°，则自动扶梯的垂直高度BD=___________m． 1.732，结果精确到0.1米）46．（2020·安徽阜阳·二模）如图，在一条东西方向笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头A的北偏东60°方向、在码头B的北偏西45°方向，AC＝4千米．那么码头A、B之间的距离等于_____千米．（结果保留根号）【考点三】解不规则图形➽➸构造直角三角形并解之47．（2021·湖北湖北·中考真题）如图，某活动小组利用无人机航拍校园，已知无人机的飞行速度为3m/s，从A处沿水平方向飞行至B处需10s，同时在地面C处分别测得A处的仰角为75︒，B处的仰角为30︒．则这架无人机的飞行高度大约是_______m 1.732≈，结果保留整数）48．（2019·辽宁辽阳·中考真题）某数学小组三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在一段笔直的公路旁且距公路100米的点A处，如图所示，直线l表示公路，一辆小汽车由公路上的B处向C处匀速行驶，用时5秒，经测量，点B在点A北偏东45°方向上，点C在点A北偏东60°方向上，这段公路最高限速60千米/小时，此车_____（填“超速”或“没有超速”） 1.732）【类型四】解直角三角形的应用【考点一】解直角三角形➽➸仰角✮✮俯角49．（2021·山东烟台·中考真题）数学兴趣小组利用无人机测量学校旗杆高度，已知无人机的飞行高度为40米，当无人机与旗杆的水平距离是45米时，观测旗杆顶部的俯角为30°，则旗杆的高度约为______________米．（结果精确到1米， 1.41≈ 1.73）50．（2021·四川乐山·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30︒，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）【考点二】解直角三角形➽➸方位角51．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）一艘轮船位于灯塔P 的南偏东60︒方向，距离灯塔30海里的A 处，它沿北偏东30︒方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的北偏东67︒方向上的B 处，此时与灯塔P 的距离约为________海里．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）52．（2022·辽宁沈阳·二模）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行______海里与钓鱼岛A 的距离最近．【考点三】解直角三角形➽➸坡度坡比53．（2022·广西柳州·中考真题）如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sin α＝35，堤坝高BC ＝30m ，则迎水坡面AB 的长度为 ____m ．54．（2021·江苏无锡·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．【考点四】解直角三角形➽➸其他问题55．（2022·山东泰安·中考真题）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角30DPC ∠=︒，已知窗户的高度2m AF =，窗台的高度1m CF =，窗外水平遮阳篷的宽0.8m AD =，则CP 的长度为______（结果精确到0.1m ）．56．（2021·广西梧州·中考真题）某市跨江大桥即将竣工，某学生做了一个平面示意图（如图），点A 到桥的距离是40米，测得△A ＝83°，则大桥BC 的长度是 ___米．（结果精确到1米）（参考数据：sin83°≈0.99，cos83°≈0.12，tan83°≈8.14）参考答案1．D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．解：△BC△AC，△△ABC 是直角三角形， △△ABC =α， △sin ACABα=，故选：D ．【点拨】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角△A 的对边与斜边之比叫做△A 的正弦，记作sin△A ．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．2．D【分析】由同角的余角相等求得△A =△DBC ，根据正弦三角函数的定义判断即可；解：△△ABD +△A =90°，△ABD +△DBC =90°， △△A =△DBC ， A ．ADAB=cos A ，不符合题意； B ．BDAD=tan A ，不符合题意； C ．BDBC=cos△DBC =cos A ，不符合题意； D ．DCBC=sin△DBC =sin A ，符合题意；故选： D ．【点拨】本题考查了三角函数的概念，掌握直角三角形中锐角的正弦为对边比斜边是解题关键．3．D【分析】首先构造以△A 为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．解：连接BD ，如图所示：根据网格特点可知，BD AC ⊥， △90ADB ∠=︒，△BD AD =△在Rt△ABD 中，tan A ＝BD AD 12=，故D 正确．故选：D ．【点拨】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．4．C【分析】根据勾股定理，可得AB 与BC 的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．解：△△C =90°，2BC AC =，△AB ，sinAC B AB ==C 正确．故选：C ．【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出AB 与AC 的关系，再利用正弦函数的定义．5．C【分析】利用正弦的定义得出AB 的长，再用勾股定理求出BC. 解：△sinB=ACAB=0.5， △AB=2AC ， △AC=6， △AB=12，故选C.【点拨】本题考查了正弦的定义，以及勾股定理，解题的关键是先求出AB 的长. 6．C【分析】在直角三角形APC 中根据△PCA 的正切函数可求小河宽P A 的长度．解：△P A △PB ， △△APC =90°，△PC =50米，△PCA =44°，△tan44°=PA PC，△小河宽P A=PCtan△PCA=50•tan44°米．故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：△将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．△根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．7．A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：sin30°=12故答案为：A．【点拨】本题考查了锐角三角函数的问题，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．8．C【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．解：|1tan60||11-︒==故选C．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．9．C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．解：（α+10°）=1，△tan（α+10°）△α为锐角，△α+10°=30°，α=20°．故选C．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解答此题的关键．10．A【分析】根据特殊角的三角函数值以及三角函数的定义，即可得到答案．解：△cos A A =∠是锐角， △A ∠=30°，故选A ．【点拨】本题主要考查锐角三角函数，掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 11．A【分析】原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，乘方的意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．解：原式121)(1)4=--- 1114=+-74=．故选：A ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握运算顺序是解决为题的关键，先乘方、再乘除、最后加减，注意牢记特殊角的三角函数值．12．D【分析】原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及立方根定义计算即可求出值．解：原式＝1-⎝⎭﹣（2+3+1＝．故选：D ．【点拨】本题考查实数的运算，掌握正确的运算顺序是解决问题的关键. 13．D【分析】根据特殊角的三角函数值可判断30A ∠=︒，=60B ∠︒，从而可求出90C ∠=︒，即证明ABC 的形状是直角三角形．解：△A ∠，B ∠都是锐角，且1sin 2A =，1cos 2B =， △30A ∠=︒，=60B ∠︒，△180180306090C A B ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，△ABC 的形状是直角三角形．故选D ．【点拨】本题考查由特殊角的三角函数值判断三角形形状，三角形内角和定理．熟记特殊角的三角函数值是解题关键．14．C解：△sin A =cos B ， △△A =△B =45°，△△ABC 是等腰直角三角形．故选：C ． 15．D【分析】先解直角ABC 求出AD ，再在直角ABD △中应用勾股定理即可求出AB ．解：△26BD CD ==， △3CD =，△直角ADC 中，tan 2C ∠=， △tan 326AD CD C =⋅∠=⨯=，△直角ABD △中，由勾股定理可得，AB = 故选D ．【点拨】本题考查利用锐角函数解直角三角形和勾股定理，难度较小，熟练掌握三角函数的意义是解题的关键．16．A【分析】由题意易得MN 垂直平分AD ，AB =10，则有AD =4，AF =2，然后可得4cos 5AC A AB ∠==，进而问题可求解．解：由题意得：MN 垂直平分AD ，6BD BC ==， △1,902AF AD AFE =∠=︒， △BC ＝6，AC ＝8，△C ＝90°，△10AB =，△AD =4，AF =2，4cos 5AC AF A AB AE ∠===， △5cos 2AF AE A ==∠；故选A ．【点拨】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．17．B【分析】先作PC AB ⊥于点C ，根据甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，求出PAC ∠和AP ，从而得出PC 的值，得出BC 的值，即可求出答案．解：作PC AB ⊥于点C ，甲货船从A 港沿东北的方向以5海里/小时的速度出发，45PAC ∴∠=︒，5210AP =⨯=，PC AC ∴==乙货船从B 港沿西北方向出发，60PBC ∴∠=︒，BC ∴=AB AC BC ∴=+=，答：A 港与B 港相距海里，故选：B ．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口.18．A【分析】作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,根据AB 的坡度，设3,4,BN k AN k ==表示出144,3,MB DN k DM BN k ==+==414,CM k =+在Rt EBM 中，144,EM BM k ==+ 在Rt ECM 中，根据tan 0.4,EM C CM == 列出式子，求出k 的值，即可求解.解：如图，作BN DA ⊥交DA 的延长线于N ，延长CB 交DE 于M ，则四边形DMBN 是矩形,:3:4,BN AN =可以假设3,4,BN k AN k ==则，144,3,MB DN k DM BN k ==+== 414,CM k =+在Rt EBM 中， 90,45,EMB EBM ∠=∠=144,EM BM k ∴==+在Rt ECM 中， tan 0.4,EM C CM== 1440.4,414k k +∴=+ 解得：1,k =3,18,DM EM ∴==21.DE DM EM =+=答：观景塔的高度DE 为21米.故选A.【点拨】考查解直角三角形，坡度问题，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.19．B【分析】首先构建直角三角形，然后利用三角函数值得出DG ，即可得解.解：作AH△EB 于H ，延长DC 交AH 于N ，作DG△EB 于G ，如图所示：△△ACD=135°△△ACN=45°在Rt△ACN 中，AC=△ACN=45°△AN=CN=18在Rt△ABH 中，AB=AH ：BH=3:2，设3,2AH k BH k ==△()()(22232k k +=解得15k =或15k =-（不符合题意，舍去）△AH=45△HN=AH -AN=45-18=27△四边形DGHN 是矩形△DG=HN=27在Rt△DEG 中，sin sin 36.5DG DEB DE ︒==∠ △274535DE ≈≈故选：B.【点拨】此题主要考查锐角三角函数的实际应用，熟练掌握，即可解题.20．D【分析】过点E 作EF△AB 于点F ，设AE=x cm ，则AD=3x ,则=AB ,然后利用AB•AD=x 的值，即可得到AD,AB 的长度，则周长可求．解：如图，过点E 作EF△AB 于点F ，△六个锐角都为60°，六个钝角都为120°，△设AE=x cm ，则AD=3x ，△△AEB=120°，△△EAB=30°，△AB=2AF=2cos30x︒，△六角星纸板的面积为2，△AB•AD=3393x x=解得x△AD=AB=3，△矩形ABCD的周长=3)26)⨯=cm．故选:D．【点拨】本题主要考查解直角三角形和一元二次方程的应用，掌握特殊角的三角函数值，利用方程的思想是解题的关键．21．A【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD 中，用△B的正切函数值即可求解．解：设CD=x，在Rt△ADC中，△A=45°，△CD=AD=x，△BD=16-x，在Rt△BCD中，△B=60°，△tanCDBBD =，即：16xx= -解得8(3x=，故选A．【点拨】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．22．C【分析】根据题意易得OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，然后根据三角函数可进行求解．解：由题意得：OA△MN，△N=43°，△M=35°，OA=135m，AB=40m，△95mOB OA AB=-=，△135==150mtan0.9OAONN=∠，95=136mtan0.7OBOMM=≈∠，△286mMN OM ON=+=；故选C．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．23．D【分析】利用平行线性质得出：△ABD=△EAB=60°，进而得出△ABC=△BAC=20°，得出BC=AC，进而得出答案．解：由题意可得出：△EAC=80°，△EAB=60°，△DBC=40°，BC=40×2=80（海里），△△BAC=80°-60°=20°，△BCA=60°，△AE△BD，△△ABD=△EAB=60°，△△DBC=40°，△△ABC=60°-40°=20°，△△ABC=△BAC=20°，△BC=AC=80（海里）．△C海岛到观测点A的距离是80海里．故选D.【点拨】本题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出BC=AC是解题的关键．24．B【分析】题中利用特殊角度，做辅助线过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，设CS＝x+2x＝AB，可得：x，可知AS＝（15）海里．解：过S作SC△AB于C，在AB上截取CD＝AC，△AS ＝DS ，△△CDS ＝△CAS ＝30°，△△ABS ＝15°，△△DSB ＝15°，△SD ＝BD ，设CS ＝x 海里，在Rt △ASC 中，△CAS ＝30°，△AC（海里），AS ＝DS ＝BD ＝2x （海里），△AB ＝30海里，+2x ＝30，解得：x △AS ＝（15）海里．故选：B ．【点拨】本题主要考查方位角问题，熟练运用特殊角三角函数是解题的关键．25．A【分析】直接利用坡度的定义得出AC 的长，再利用勾股定理得出AB 的长．解：△i =5BC m =， △5BC AC AC ==解得：AC =，则10AB m =．故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形和勾股定理的实际应用．由坡度的定义得出AC 的长是解答本题的关键． 26．D【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案．解：根据题意，得：sin 370.6BC AB ︒=≈ △6BC =米 △6100.60.6BC AB ===米故选：D ．【点拨】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解．27．A【分析】在Rt △ACB 中，利用正弦定义，sin α=BC AB ，代入AB 值即可求解．解：在Rt △ACB 中，△ACB =90°，△sin α=BC AB， △BC = sin α⋅AB =12 sin α（米），故选：A ．【点拨】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键．28．A【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．解：如图，过点C 作水平线与AB 的延长线交于点D ，则AD △CD ，△△BCD =α，△ACD =45°．在Rt △CDB 中，CD =m cos α，BD =m sin α，在Rt △CDA 中，AD =CD ×tan45°=m ×cos α×tan45°=m cos α，△AB =AD -BD=（m cos α-m sin α）=m （cosα-sin α）．故选：A ．【点拨】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．29．100tan tan tan tan αββα- 【分析】由正切的定义分别确定tan ,tan αβ的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案．解：如图，CD 为树高，点C 为树顶，则,CAD CBD αβ∠=∠=，BD =AD -100△依题意，有tan tan 100CD AD CD AD αβ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩①② 由△得tan CDAD α=③将△代入△，解得100tan tan =tan tan CD αββα- 故答案为：100tan tan tan tan αββα-．【点拨】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键．30．60°【分析】利用正弦定义计算即可．解：如图，△sinB ＝AC AB == △△B ＝60°，故答案为：60°．【点拨】此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义．31．23【分析】利用CD ∥AB ，得到△BAC =△DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，可得sin△ACD =AD AC =23，从而可得答案．解：如图：△CD ∥AB ，△△BAC ＝△DCA ．△同圆的半径相等，△AC ＝AB ＝3．在Rt ACD △中，sin△ACD ＝23AD AC ． △sin△BAC ＝sin△ACD ＝23．故答案为：23．【点拨】此题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用图形的性质进行角的等量代换．32．45【分析】根据三角函数的定义即可得到cos B ＝sin A ＝45．解：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，△sin A ＝BC AB ＝45， △cos B ＝BC AB ＝45．故答案为：45．【点拨】本题考查了三角函数的定义，由定义可推出互余两角的三角函数的关系：若△A +△B ＝90°，则sin A ＝cos B ，cos A ＝sin B ．熟知相关定义是解题关键．33．158【分析】先解直角三角形ABC 求出BC 的长，从而求出AB 的长，再由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，即可得到BE 的长，再解直角△BED 即可得到答案．解：△△C =90°，AC =3cm ，3tan =4B ， △3tan ==4AC B BC ， △BC =4cm ，△AB ，由作图方法可知DE 是线段AB 的垂直平分线，△DE △AB ，522AB AE BE cm ===， △3tan =4DE B BE =， △31548DE BE cm ==，故答案为：158．【点拨】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE 是线段AB 的垂直平分线是解题的关键．34．3【分析】在Rt ADE △中，由正弦定义解得165AE =，再由勾股定理解得DE 的长，根据同角的余角相等，得到sin sin ADE ECD ∠=∠，最后根据正弦定义解得CD 的长即可解题．解：在Rt ADE △中，4sin 5AE ADE AD ∠==165AE ∴=125DE ∴=== DE AC ⊥90ADE EDC EDC ECD ∴∠+∠=∠+∠=︒ADE ECD ∴∠=∠4sin sin 5DE ADE ECD CD ∴∠=∠== 534CD DE ∴=⋅= 在矩形ABCD 中，3AB CD ==故答案为：3．【点拨】本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．35．3【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝1＋4﹣4×12＝1＋4﹣2＝3．故答案为：3．【点拨】此题主要考查了负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．36【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．解：sin 45︒=．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．【分析】直接利用特殊角的三角函数值即可求解．解：△sin （α+15°）=1，△α+15°=90°，△α=75°，故答案为：75．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．38 【分析】先根据特殊角的三角函数值求出△A 的度数，然后求出tanA 的值．解：△sinA ＝12，△△A ＝30°，则tanA【点拨】本题考查了对特殊角的三角函数值的应用，解题的关键是检查学生能否熟练地运用进行计算．394##42+ 【分析】根据特殊角的三角函数值和负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：sin45°+2142-⎛⎫-= ⎪⎝⎭，+4．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和负整数指数幂，相关公式有：sin 452=°，()10p pa a a -=≠． 403【分析】根据绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质即可求解．解：原式124=-14=3=．3．【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、负指数幂的性质．41．等腰【分析】根据绝对值和平方的非负性求出sinA和tanB的值，再根据锐角三角函数的特殊值求出△A和△B的角度，即可得出答案.解：△210 2sinA tanB-+⎛⎝⎭=△12sinA=，tanB=△△A=30°，△B=30°△△ABC是等腰三角形故答案为等腰.【点拨】本题考查的是特殊三角函数值，比较简单，需要牢记特殊三角函数值. 42．75°．【分析】先根据非负数的性质确定cosA=12，tanB=1，再根据特殊角的三角函数解答．解：△（cos A﹣12）2+|tan B﹣1|＝0，△cos A﹣12＝0，tan B﹣1＝0，则cos A＝12，tan B＝1，△△A＝60°，△B＝45°，△△C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为75°．【点拨】熟记特殊角的三角函数值是解题的关键，同时还考查了三角形内角和定理43．【分析】AB=AC=BC=CD，即可求出△BAD=90°，△D=30°，解直角三角形即可求得．解：△ABC∆是等边三角形，△60B BAC ACB︒∠=∠=∠=，△CD AC=，。

专题22 锐角三角函数及其应用(共30道)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题22锐角三角函数及其应用（30题）一、单选题1．（2023·江苏南通·统考中考真题）如图，从航拍无人机A 看一栋楼顶部B 的仰角α为30︒，看这栋楼底部C 的俯角β为60︒，无人机与楼的水平距离为120m ，则这栋楼的高度为（）A ．1403mB ．1603mC ．1803mD ．2003m2．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有三点()0,1A ，()4,1B ，()5,6C ，则sin BAC ∠=（）A ．12B ．135C ．22D ．323．（2023·山东日照·统考中考真题）日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B 处测得灯塔最高点A 的仰角45ABD ∠=︒，再沿BD 方向前进至C 处测得最高点A 的仰角60ACD ∠=︒，15.3m BC =，则灯塔的高度AD 大约是（）（结果精确到1m ，参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）A ．31mB ．36mC ．42mD ．53mA．32sin25二、解答题5．（2023·辽宁盘锦两点时，一架无人机从空中的6．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）某商店窗前计划安装如图面图中，墙面BC垂直于地面CE∠=∠所在墙面BC垂直，即ABC∠线恰好照射在地面点D处，则ADE7．（2023·辽宁阜新·统考中考真题）如图，小颖家所在居民楼高AB 为46m ，从楼顶A 处测得另一座大厦顶部C 的仰角α是45︒，而大厦底部D 的俯角β是37︒．(1)求两楼之间的距离BD ．(2)求大厦的高度CD ．（结果精确到0.1m ．参考数据：sin 370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan 370.75︒≈）8．（2023·陕西·统考中考真题）一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高AB ．如图所示，当小明爸爸站在点D 处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF ，测得2.4m DF =；当小明站在爸爸影子的顶端F 处时，测得点A 的仰角α为266︒.．已知爸爸的身高 1.8m CD =，小明眼睛到地面的距离 1.6m EF =，点F 、D 、B 在同一条直线上，EF FB ⊥，CD FB ⊥，AB FB ⊥．求该景观灯的高AB ．（参考数据：sin 26.60.45︒≈，cos26.60.89︒≈，tan 26.60.50)︒≈10．（2023·山东济南·统考中考真题）图1是某越野车的侧面示意图，BC=，1230.6mAO=．如图2，打开后备箱，车后盖ABC∠=︒，该车的高度 1.7m(1)求打开后备箱后，车后盖最高点B'到地面l的距离；(2)若小琳爸爸的身高为1.8m，他从打开的车后盖C'处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．位于码头A北偏东60︒方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西30︒方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东15︒方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）12．（2023·浙江·统考中考真题）图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能OA=，识别的最远水平距被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15︒，摄像头高度160cm OB=．离150cm(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin200.34,cos200.94,tan200.3613．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即【活动探究】观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）动至1E处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端到广告牌的底端A，测出2DE告牌AG的高度．【应用拓展】小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶（即8tan15ADG∠=）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔14．（2023·辽宁·统考中考真题）小亮利用所学的知识对大厦的高度大厦底部的俯角是30︒，测得大厦顶部的仰角是37︒，已知他家楼顶B 处距地面的高度BA 为40米（图中点A ，B ，C ，D 均在同一平面内）．(1)求两楼之间的距离AC （结果保留根号）；(2)求大厦的高度CD （结果取整数）．（参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73≈）15．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，堤坝AB 长为10m ，坡度i 为1:0.75，底端A 在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D 处立有高20m 的铁塔CD ．小明欲测量山高DE ，他在A 处看到铁塔顶端C 刚好在视线AB 上，又在坝顶B 处测得塔底D 的仰角α为2635︒'．求堤坝高及山高DE ．（sin 26350.45'︒≈，cos 26350.89'︒≈，tan 26350.50'︒≈，小明身高忽略不计，结果精确到1m ）16．（2023·湖南娄底·统考中考真题）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发17．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）某风景区观景缆车路线如图所示，缆车从点AB=米，达山顶P，其中400与水平方向的夹角为30︒，求垂直高度︒≈）tan150.26818．（2023·宁夏·统考中考真题）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为成30︒角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转19．（2023·湖北恩施·统考中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A ，B 处测出点D 的仰角度数，可以求出信号塔DE 的高．如图，AB 的长为5m ，高BC 为3m ．他在点A 处测得点D 的仰角为45︒，在点B 处测得点D 的仰角为38.7︒，A B C D E ，，，，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE 的高吗？若能，请求出信号塔DE 的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin 38.70.625︒≈，cos38.70.780︒≈，tan 38.70.80︒≈，结果保留整数）20．（2023·辽宁营口·统考中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A 和科技智能馆B 参观学习，学生从学校出发，走到C 处时，发现A 位于C 的北偏西25︒方向上，B 位于C 的北偏西55︒方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A 地，乙组前往B 地，已知B 在A 的南偏西20︒方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据：2 1.41≈，6 2.45≈）21．（2023·山东·统考中考真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽 6.5AB =米，该地区一(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）24．（2023·贵州·统考中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D 处，中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m ．索道AB 与AF 的夹角为15︒，CD 与水平线夹角为45︒，A B 、两处的水平距离AE 为576m ，DF AF ⊥，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点A E F 、、在同一水平线上）(1)求索道AB 的长（结果精确到1m ）；(2)求水平距离AF 的长（结果精确到1m ）．（参考数据：sin150.25︒≈，cos150.96︒≈，tan150.26︒≈，2 1.41≈）25．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）鄂州市莲花山是国家4A 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G 处挂一条大型竖直条幅到点E 处，挂好后，小明进行实地测(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）甘肃兰州·统考中考真题）如图127．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为的南偏东25︒方向32km处，C点在A点的北偏东45︒．的度数；(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角BCA(2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．28．（2023·吉林·统考中考真题）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程【步骤一】设计测量方案小组成员讨论后，画出如图①的测量草图，确定需测的几何量．【步骤二】准备测量工具自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用α=________．AB=．1.54mBD=．10m三、填空题m ．（精确到1m ．参考数据：tan 50 1.2tan 26.60.5︒≈︒≈，）30．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对A 地和B 地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A 地去往B 地需要绕行到C 地的路线，改造成可以直线通行的公路AB ．如图，经勘测，6AC =千米，60CAB ∠=︒，37CBA ∠=︒，则改造后公路AB 的长是千米（精确到0.1千米；参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73≈）．。

锐角三角函数题型练习

锐角三角函数题型练习锐角三角函数一、定义。

正弦=sinθ，余弦=cosθ，正切=tanθ。

二、常见直角三角形及其角度与边长关系。

1、45°-45°-90°三角形，对边和邻边相等，斜边为对边或邻边的根号2倍。

2、30°-60°-90°三角形，对边为邻边的一半，斜边为邻边的根号3倍。

3、3-4-5三角形，边长比为3:4:5.4、5-12-13三角形，边长比为5:12:13.三、常见角的三角函数。

三角函数30°45°60°sin 1/2根号2/2根号3/2cos 根号3/2根号2/2 1/2tan 1/根号3 1.根号33.在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，AC=5，sinA=5/12，则BC=5根号119/12，CD=5/根号119.4.三角形三边长的比为5:12:13，则此三角形最小内角的正切值为3/4.5.在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值不变。

6.在△ABC中，若∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于1/2.7.在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，则AB=4.8.8.已知cosA=tanα，求cos2A。

解：cos2A=2cos^2A-1=2tan^2α-1.四、解直角三角形就是求出三角形的各边长和角度。

基础练：1、已知一边和一角。

在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，b=4，则a=2根号3，c=5，∠B=60°。

2、已知两边。

在直角三角形ABC中，c=5，b=4，且∠B=90-∠A，则sinB=3/5.9.计算：cot60=1/根号3，tan45·sin45-4sin30·cos45+6=1.10.计算：2tan30+2sin60-tan45·sin90-tan60+cos30=3.11.在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，则sinA+sinB=1.1．在直角三角形ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=-1/2.2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则tanA=4/3，sinA=4/5，cosA=3/5.12.若锐角三角形ABC中，∠A的三角函数值为sinA、cosA、tanA，则在各边长度扩大两倍后，三角函数值仍保持不变，选C。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_锐角三角函数_解直角三角形的应用-综合题专训及答案解直角三角形的应用综合题专训1、(2018扬州.中考模拟) 有一只拉杆式旅行箱（图1），其侧面示意图如图2所示．已知箱体长AB=50cm，拉杆的伸长距离最大时可达35cm，点A，B，C在同一条直线上．在箱体底端装有圆形的滚轮⊙A，⊙A与水平地面MN相切于点D．在拉杆伸长至最大的情况下，当点B距离水平地面38cm时，点C到水平地面的距离CE为59cm．设AF∥MN．（1）求⊙A的半径长；（2）当人的手自然下垂拉旅行箱时，人感到较为舒服．某人将手自然下垂在C 端拉旅行箱时，CE为80cm，=64°．求此时拉杆BC的伸长距离．（精确到1cm，参考数据：，，）2、(2017南京.中考模拟) 如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．（1）求点B到AD的距离；（2）求塔高CD（结果用根号表示）．3、(2018嘉兴.中考模拟) 已知：如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，CP切⊙O于P，弦PD⊥AB于E，过点B作BQ⊥CP于Q，交⊙O于H．（1）如图1，求证：PQ=PE；（2）如图2，G是圆上一点，∠GAB=30 ，连接AG交PD于F，连接BF，tan∠BFE= ，求∠C的度数；（3）如图3，在（2）的条件下，PD=6 ，连接QG交BC于点M，求QM的长．4、(2019金华.中考真卷) 如图，在OABC，以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B，与OC相交于点D．（1）求的度数。

（2）如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F。

若EF=AB，求∠OCE的度数．5、(2019包河.中考模拟) 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，EO⊥AB，垂足为O，EO交AC于E，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D．（1）求证：∠AEO+∠BCD=90°；（2）若AC=CD=3，求⊙O的半径。

锐角三角函数解直角三角形例题

主题：锐角三角函数解直角三角形例题【序言】直角三角形是我们初中数学学习中的一个重要内容，而锐角三角函数作为直角三角形中的一个重要概念，在解题中也扮演着重要的角色。

下面我们将通过一些例题来详细讲解锐角三角函数在直角三角形中的应用。

【例一】已知直角三角形中的一角为30°，对边长为3cm，求斜边长。

求sin30°、cos30°、tan30°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin30°=对边/斜边=3/斜边，而cos30°=邻边/斜边，tan30°=对边/邻边2. 根据30-60-90三角形的性质，可知对边为3cm，邻边为3*sqrt(3)cm，斜边为2*3cm=6cm3. 所以sin30°=1/2，cos30°=sqrt(3)/2，tan30°=1/sqrt(3)【例二】已知直角三角形中的一角为45°，斜边长为5cm，求对边和邻边的长度。

求sin45°、cos45°、tan45°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin45°=对边/斜边，cos45°=邻边/斜边，tan45°=对边/邻边2. 根据45-45-90三角形的性质，可知对边和邻边的长度相等，且均为斜边的1/sqrt(2)倍3. 所以对边和邻边的长度均为5/sqrt(2)cm，sin45°=1/sqrt(2)，cos45°=1/sqrt(2)，tan45°=1【例三】已知直角三角形中的一角为60°，对边长为4cm，求斜边和邻边的长度。

求sin60°、cos60°、tan60°的值。

1. 根据三角函数的定义，sin60°=对边/斜边，cos60°=邻边/斜边，tan60°=对边/邻边2. 根据30-60-90三角形的性质，可知对边为4cm，邻边为2*4cm=8cm，斜边为4*sqrt(3)cm3. 所以sin60°=sqrt(3)/2，cos60°=1/2，tan60°=sqrt(3)【总结】通过以上三个例题的讲解，我们可以得出在直角三角形中，根据已知角度和已知边长来求解斜边长、对边长、邻边长以及三角函数值的具体方法。

专题22 锐角三角函数及其应用(共60题)(原卷版)-2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题22锐角三角函数及其应用（60题）一、解答题1．（2023·河南·统考中考真题）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD 为正方形，30cm AB =，顶点A 处挂了一个铅锤M ．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D ，A 与树顶E 在一条直线上，铅垂线AM 交BC 于点H ．经测量，点A 距地面1.8m ，到树EG 的距离11m AF =，20cm BH =．求树EG 的高度（结果精确到0.1m ）．2．（2023·四川宜宾·统考中考真题）渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥（如图1），桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD ，如图2．在桥面上点A 处，测得A 到左桥墩D 的距离200AD =米，左桥墩所在塔顶B 的仰角45BAD ∠=︒，左桥墩底C 的俯角15CAD ∠=︒，求CD 的长度．（结果精确到1米．参考数据：2 1.41≈，3 1.73≈）3．（2023·辽宁·统考中考真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m 高的山峰，由山底A 处先步行300m 到达B 处，再由B 处乘坐登山缆车到达山顶D 处．已知点A ，B ．D ，E ，F 在同一平面内，山坡AB 的坡角为30︒，缆车行驶路线BD 与水平面的夹角为53︒（换乘登山缆车的时间忽略不计）(1)求登山缆车上升的高度DE ；(2)若步行速度为30m/min ，登山缆车的速度为60m/min ，求从山底A 处到达山顶D 处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min ）（参考数据：sin 530.80cos530.60tan 53 1.33︒≈︒≈︒≈，，）4．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD 高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC 上，在平行于水平地面的A 处测得38BAC ∠=︒、53BAD ∠=︒，18m AB =．求“龙”字雕塑CD 的高度．（B ，C ，D 三点共线，BD AB ⊥．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin 380.62︒≈，cos380.79︒≈，tan 380.78︒≈，sin 530.80︒≈，cos530.60︒≈，tan 53 1.33︒≈）5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东72︒方向，距离灯塔100nmile 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东40︒方向上的B 处．这时，B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（参考数据：sin 720.95,cos720.31,tan 72 3.08,sin 400.64,c os 400.77,tan 400.84︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈．）6．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，斜面坡度3:4i =是指坡面的铅直高度AF 与水平宽度BF 的比．已知斜坡CD 长度为20米，18C ∠=︒，求斜坡AB 的长．（结果精确到米）（参考数据：sin180.31,cos180.95,tan180.32︒≈︒≈︒≈）7．（2023·湖南张家界·统考中考真题）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB 的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m 的P 点，测得奇楼顶端A 的俯角为15︒，再将无人机沿水平方向飞行200m 到达点Q ，测得奇楼底端B 的俯角为45︒，求奇楼AB 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）8．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知,,AE BE BC BE CD BE ⊥⊥∥，10.4m, 1.26m AC BC ==，点A 关于点C 的仰角为70︒，则楼AE 的高度为多少m ？（结果保留整数．参考数据：sin700.94,cos700.34,tan70 2.75︒︒≈︒≈≈）9．（2023·广东·统考中考真题）2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈，cos500.643︒≈，tan50 1.192︒≈)10．（2023·湖南·统考中考真题）我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F 运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图（九），有一枚运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达P 处时，地面A 处的雷达站测得AP 距离是5000m ，仰角为23︒．9s ，火箭直线到达Q 处，此时地面A 处雷达站测得Q 处的仰角为45︒．求火箭从P 到Q 处的平均速度（结果精确到1m/s ）．（参考数据：sin 230.39,cos230.92,tan 230.42︒≈︒≈︒≈）11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA 垂直地面OB ，支架CD 与OA 交于点A ，支架CG CD ⊥交OA 于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筺EF 与支架DE 在同一直线上，2.5OA =米，0.8AD =米，32AGC ∠=︒．(1)求GAC ∠的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin 320.53,cos 320.85,tan 320.62︒≈︒≈︒≈）12．（2023·浙江台州·统考中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA ，CB 及在黑板上的投影图像高度AB 抽象成如图所示的ABC ，90BAC ∠=︒．黑板上投影图像的高度120cm AB =，CB 与AB 的夹角33.7B ∠=︒，求AC 的长．（结果精确到1cm ．参考数据：sin 33.70.55︒≈，cos33.70.83︒≈，tan 33.70.67︒≈）13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD （碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A 点用测角仪测得碑顶D 的仰角为30︒，在B 点处测得碑顶D 的仰角为60︒，已知35m AB =，测角仪的高度是1.5m （A 、B 、C 在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD ．（3 1.732≈，结果保留一位小数）14．（2023·新疆·统考中考真题）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1）．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A 处，测得烽燧BC 的顶部C 处的俯角为50︒，测得烽燧BC 的底部B 处的俯角为65︒，试根据提供的数据计算烽燧BC 的高度．（参数据：sin500.8︒≈，cos500.6︒≈，tan50 1.2≈，sin650.9︒≈，cos650.4︒≈，tan65 2.1︒≈）15．（2023·四川遂宁·统考中考真题）某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到角的度数边的长度数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在ABC求：线段AB的长．（为减小结果的误差，若有需要，果保留整数．）16．（2023·四川成都·统考中考真题）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB 长为5米，与水平面的夹角为16︒，且靠墙端离地高BC 为4米，当太阳光线AD 与地面CE 的夹角为45︒时，求阴影CD 的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28,cos160.96,tan160.29︒≈︒≈︒≈）17．（2023·贵州·统考中考真题）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A 为起点，沿途修建AB 、CD 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D 处，中途设计了一段与AF 平行的观光平台BC 为50m ．索道AB 与AF 的夹角为15︒，CD 与水平线夹角为45︒，A B 、两处的水平距离AE 为576m ，DF AF ⊥，垂足为点F ．（图中所有点都在同一平面内，点A E F 、、在同一水平线上）(1)求索道AB 的长（结果精确到1m ）；(2)求水平距离AF 的长（结果精确到1m ）．（参考数据：sin150.25︒≈，cos150.96︒≈，tan150.26︒≈，2 1.41≈）18．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）鄂州市莲花山是国家4A 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）19．（2023·山东东营统考中考真题）一艘船由A30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为多少统考中考真题）超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A D B F 、、、在同一直线上．点C 、点E 到AB 的距离分别为CD EF 、，且7m,895m CD EF CE ===，在C 处测得A 点的俯角为30︒，在E 处测得B 点的俯角为45︒，小型汽车从点A 行驶到点B 所用时间为45s ．(1)求,A B 两点之间的距离（结果精确到1m ）；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A 行驶到点B 是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：2 1.4,3 1.7≈≈）21．（2023·内蒙古·统考中考真题）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A 点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B 点和C 点，行进路线为A B C A →→→．B 点在A 点的南偏东25︒方向32km 处，C 点在A 点的北偏东80︒方向，行进路线AB 和BC 所在直线的夹角ABC ∠为45︒．(1)求行进路线BC 和CA 所在直线的夹角BCA ∠的度数；(2)求检查点B 和C 之间的距离（结果保留根号）．22．（2023·湖南常德·统考中考真题）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD 与地面MN 平行，EBC 是等腰三角形且BC CE =，114.2FBA ∠=︒，靠背57cm FC =，支架43cm AN =，扶手的一部分16.4cm BE =．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F 点距地面（MN ）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin 65.80.91︒=，cos 65.80.41︒=，tan 65.8 2.23︒=）23．（2023·山东·统考中考真题）无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）24．（2023·重庆·统考中考真题）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A ，B 养殖场捕捞海产品，经测量，A 在灯塔C 的南偏西60︒方向，B 在灯塔C 的南偏东45︒方向，且在A 的正东方向，3600AC =米．(1)求B 养殖场与灯塔C 的距离（结果精确到个位）；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B 处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B 处？（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）25．（2023·山东聊城·统考中考真题）东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B 在角楼A 的正东方向520m 处，南关桥C 在城门楼B 的正南方向1200m 处．在明珠大剧院P 测得角楼A 在北偏东68.2︒方向，南关桥C 在南偏东56.31︒方向（点A ，B ，C ，P 四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤BC 的距离（结果精确到1m ）．（参考数据：sin 68.20.928︒≈，cos68.20.371︒≈，tan 68.2 2.50︒≈，sin 56.310.832︒≈，cos56.310.555︒≈，tan 56.31 1.50︒≈）26．（2023·四川·统考中考真题）“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120︒，当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时，在与塔底D 水平距离为60米的E 处，测得塔顶部O 的仰角45OED ∠=︒，风叶OA 的视角30OEA ∠=︒．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-，请利用公式计算cos 75︒；(2)求风叶OA 的长度．27．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km 的圆形轨道上，当运行到地球表面P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q ．在Rt OQF △中，6400km OP OQ =≈．（参考数据：cos160.96cos180.95cos 200.94cos 220.93π 3.14︒≈︒≈︒≈︒≈≈，，，，）(1)求cos α的值（精确到0.01）；(2)在O 中，求 PQ 的长（结果取整数）．28．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE 的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D 在同一水平线上的点A 出发，沿斜面坡度为2:3i =的斜坡AB 前进207m 到达点B ，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C ．在点C 处测得古树DE 的顶端E 的俯角为37︒，底部D 的俯角为60︒，求古树DE 的高度（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈，计算结果用根号表示，不取近似值）．29．（2023·山西·统考中考真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度（结果精确到0.1m ．参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB AE ⊥于点A ，135BCD ∠=︒，60EDC ∠=︒，6m ED =， 1.5m AE =， 3.5mCD =计(1)求COD∠的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tan现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点米，在坡顶B 处测得教学楼CF 的楼顶C 的仰角45CBF ∠=︒，离B 点4米远的E 处有一个花台，在E 处测得C 的仰角60CEF ∠=︒，CF 的延长线交水平线AM 于点D ，求DC 的长（结果保留根号）．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB ，在建筑物附近有一斜坡，坡长10CD =米，坡角30α=︒，小华在C 处测得建筑物顶端A 的仰角为60︒，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为30︒．（已知点A ，B ，C ，D 在同一平面内，B ，C 在同一水平线上）(1)求点D 到地面BC 的距离；(2)求该建筑物的高度AB ．33．（2023·天津·统考中考真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．某学习小组在观景台C 处测得塔顶部B (1)求DE 的长；(2)设塔AB 的高度为h （单位：m ）．①用含有h 的式子表示线段EA 的长（结果保留根号）②求塔AB 的高度（tan 27︒取0.5，3取34．（2023·山东临沂·统考中考真题）如图，灯塔得灯塔A 在北偏西58°方向上，继续航行航线继续向西航行，有没有触礁的危险？（参考数据：sin 320.530,cos 320.848,︒︒≈≈35．（2023·湖南永州·统考中考真题）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB 代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN 上D 处为陈树湘雕拍照，相机支架CD 高0.9米，在相机C 处观测雕像顶端A 的仰角为45︒，然后将相机架移到MN 处拍照，在相机M 处观测雕像顶端A 的仰角为30︒，求D 、N 两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3 1.732≈）36．（2023·重庆·统考中考真题）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A D C B ---；②A E B --．经勘测，点B 在点A 的正东方，点C 在点B 的正北方10千米处，点D 在点C 的正西方14千米处，点D 在点A 的北偏东45︒方向，点E 在点A 的正南方，点E 在点B 的南偏西60︒方向．（参考数据：2 1.41,3 1.73)≈≈(1)求AD 的长度．（结果精确到1千米）(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？37．（2023·江苏苏州·统考中考真题）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，,,BE CD GF 为长度固定的支架，支架在,,A D G 处与立柱AH 连接（AH 垂直于MN ，38．（2023·湖南·统考中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼243米的C处，遥控无人机旋停在点长为49.6米．已知目高CE为1.6(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于无人机刚好离开圆圆的视线EB39．（2023·山东烟台·统考中考真题）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30︒的坡地新安装了一架风力发电机，如图力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD 长16米，在地面点A 处测得风力发电机塔杆顶端P 点的仰角为45︒，利用无人机在点A 的正上方53米的点B 处测得P 点的俯角为18︒，求该风力发电机塔杆PD 的高度．（参考数据：sin180.309≈︒，cos180.951≈︒，tan180.325≈︒）40．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，某人的一器官后面A 处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A 处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为DBN ∠；再在皮肤上选择距离B 处9cm 的C 处照射新生物，检测射线与皮肤MN 的夹角为ECN ∠．测量数据35DBN ∠=︒，22ECN ∠=︒，9cmBC =请你根据上表中的测量数据，计算新生物A 处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm ）（参考数据：sin 350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan 350.70︒≈，sin 220.37︒≈，cos 220.93︒≈，tan 220.40︒≈）41．（2023·四川达州·统考中考真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角BOC ∠恰为26︒时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角AOC ∠为50︒，求座板距地面的最大高度为多少m ？（结果精确到0.1m ；参考数据：sin260.44︒≈，cos260.9︒≈，tan260.49︒≈，sin500.77︒≈，cos500.64︒≈，tan50 1.2︒≈）42．（2023·江西·统考中考真题）如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B ，A ，D ，E 均在同一直线上，AB AC AD ==，测得55 1.8m 2m B BC DE ∠=︒==，，．（结果保小数点后一位）(1)连接CD ，求证：DC BC ⊥；(2)求雕塑的高（即点E 到直线BC 的距离）．（参考数据：sin 550.82cos550.57tan 55 1.43︒≈︒≈︒≈，，）43．（2023·浙江宁波·统考中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在P 点观察所测物体最高点C ，当量角器零刻度线上A B ，两点均在视线PC 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B C ，分别测得气球A 的仰角ABD ∠为37︒，ACD ∠为45︒，地面上点B C D ，，在同一水平直线上，20m BC =，求气球A 离地面的高度AD ．（参考数据：sin 370.60,cos 370.80︒≈︒≈，tan 370.75︒≈）44．（2023·江苏连云港·统考中考真题）渔湾是国家“AAAA ”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A 处出发，沿着坡角为48︒的山坡向上走了92m 到达B 处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37︒的山坡向上走了30m 到达C 处的二龙潭瀑布．求小卓从A 处的九孔桥到C 处的二龙潭瀑布上升的高度DC 为多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：sin480.74cos480.67sin370.60cos370.80︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）45．（2023·四川广安·统考中考真题）为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE ，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C 在点A 的正东方向170米处，点E在点A 的正北方向，点B D 、都在点C 的正北方向，BD 长为100米，点B 在点A 的北偏东30︒方向，点D 在(1)求步道DE 的长度．(2)点D 处有一个小商店，某人从点达点D ，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位）（参考数据：sin 580.85,cos58︒≈46．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）图才能被识别），其示意图如图平距离150cm OB =．(1)身高208cm 的小杜，头部高度为26cm ，他站在离摄像头水平距离130cm 的点C 处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm 的小若，头部高度为15cm ，踮起脚尖可以增高3cm ，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20︒（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm ，参考数据sin150.26,cos150.97,tan150.27,sin 200.34,cos 200.94,tan 200.36︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）47．（2023·安徽·统考中考真题）如图，,O R 是同一水平线上的两点，无人机从O 点竖直上升到得A 到R 点的距离为40m,R 点的俯角为24.2︒，无人机继续竖直上升到B 点，测得R 点的俯角为人机从A 点到B 点的上升高度AB （精确到0.1m ）．参考数据：sin24.20.41,cos24.20.91,tan24.2≈≈︒︒sin36.90.60,cos36.90.80,tan36.90.75≈≈≈︒︒︒．48．（2023·浙江·统考中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A D C --，已知DC BC ⊥，,60,11m,4m AB BC A AB CD ⊥∠=︒==，求管道A D C --的总长．49．（2023·浙江温州·统考中考真题）根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之获取数据间的图上距离．推理计算计算发射塔的图上高度MN．楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．．(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB BC CD ，，，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH CQ DR ，，之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN MP ，的一端放在坡面起始端A 处，直杆MP 沿坡面AB 方向放置，在直杆MN 另一端N 用细线系小重物G ，当直杆MN 与铅垂线NG 重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB 坡角β的度数．请直接写出αβ，之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB BC CD ，，的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为243045︒︒︒，，；为求BH ，小熠同学在作业本上画了一个含24︒角的Rt TKS △（如图3），量得5cm 2cm KT TS ≈≈，．求山高DF ．（2 1.41≈，结果精确到1米）(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP 置于MN 的顶端，当MN 与铅垂线NG 重合时，转动直杆NP ，使点N ，P ，D 共线，测得MNP ∠的度数，从而得到山顶仰角1β，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角2β；画一个含1β的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为1a 厘米，1b 厘米，再画一个含2β的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为2a 厘米，2b 厘米．已知杆高MN 为1.6米，求山高DF ．（结果用不含12ββ，的字母表示）二、填空题51．（2023·广西·统考中考真题）如图，焊接一个钢架，包括底角为37︒的等腰三角形外框和3m 高的支柱，52．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，将端点重合，OA与尺下沿重合，OB放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点（结果精确到0.1cm，参考数据：53．（2023·湖南·统考中考真题）《意思是：“……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘=︒），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，矩90∠=______度．∠=欘，则CB154．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8︒，仪器与气球的水平距离且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是_________米（结果精确到sin21.80.3714,cos21.80.9285,tan21.80.4000︒≈︒≈︒≈）．55．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）为发展城乡经济，建设美丽乡村，某乡对圾填埋场进行改造，把原来A地去往B地需要绕行到C地的路线，改造成可以直线通行的公路经勘测，6AC =千米，60CAB ∠=︒，37CBA ∠=︒，则改造后公路AB 的长是___________千米（精确到0.1千米；参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈，3 1.73≈）．56．（2023·山东·统考中考真题）某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图，他们在建筑物前的平地上选择一点A ，在点A 和建筑物之间选择一点B ，测得30m AB =．用高()1m 1m AC =的测角仪在A 处测得建筑物顶部E 的仰角为30︒，在B 处测得仰角为60︒，则该建筑物的高是_________m ．57．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，无人机在空中A 处测得某校旗杆顶部B 的仰角为30 ，底部C 的俯角为60 ，无人机与旗杆的水平距离AD 为6m ，则该校的旗杆高约为___________m ．（3 1.73≈，结果精确到0.1）58．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，己知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为_____________米．（结果保留根号）59．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆6AB =米，:2:1AO OB =，支架3OM EF OM ⊥=，米，AB 可以绕着点O 自由旋转，当点A 旋转到如图所示位置时45AOM ∠=︒，此时点B 到水平地面EF 的距离为___________米．（结果保留根号）60．（2023·四川眉山·统考中考真题）一渔船在海上A 处测得灯塔C 在它的北偏东60°方向，渔船向正东方向航行12海里到达点B 处，测得灯塔C 在它的北偏东45°方向，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔C 的最短距离是____________海里．。

第27讲锐角三角函数与解直角三角形(含答案)

第27讲锐角三角函数与解直角三角形（含答案）第四节锐角三角函数与解直角三角形【回顾与思考】【例题经典】锐角三角函数的定义和性质【例1】在△ABC中，∠C=90°．14，则tanB=______;（2）若coA=，则tanB=______．252【例2】（1）已知：coα=，则锐角α的取值范围是（）3（1）若coA=A．0°coθ>inθB．inθ>coθ>tanθC．tanθ>inθ>coθD．cotθ>inθ>coθ解直角三角形【例3】（1）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC∠的平分线，∠CAB=60°，CD=3，BD=23，求AC，AB的长．（2）（2005年黑龙江省）“曙光中学”有一块三角形状的花园ABC，有人已经测出∠A=30°，AC=40米，BC=25米，你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地形状如图所示，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长．【点评】设法补成含60°的直角三角形再求解．【考点精练】一、基础训练1．（2005年沈阳市）在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______．2．计算2in30°-2co60°+tan45°=________．3．（2005年辽宁省）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则inB=_____．4．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则coA=________．5．（2005年陕西省）根据如图1所示的数据，求得避雷针CD的长约为______m（结果精确到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：in43°≈0.6820，in40°≈0.6428，co43°≈0.7314，co40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）(1)(2)(3)6．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）7．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．（利2用计算器计算，结果精确到1m）8．（2005年上海市）已知Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．inB=2223B．coB=C．tanB=D．tanB=33329．点（-in60°，co60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（11133313，）B．（-，）C．（-，-）D．（-，-）2222222210．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米B．8.5米C．10.3米D．12.0米二、能力提升(4)(5)(6)12．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD为（）A．200mB．180mC．150mD．100m13．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（）A．1.8tan80°mB．1.8co80°mC．1.8mD．1.8cot80°min8014．在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长．15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角且inA=13，coB=，试判断△ABC的形状？2216．（2006年聊城市）如图所示，某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼，该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼的前面15米处要盖一栋高20米的新楼．当冬季正午的阳光与水平线的夹角为32°时．（1）问超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使超市采光不受影响，两楼应相距多少米？（结果保留整数，参考数据：in32°≈531065,tan30．，co32°≈）1001258三、应用与探究17．（2006年金华市）如图所示，设A城气象台测得台风中心在A城正西方向600km的B处，正以每小时200km的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心500km的范围内是否受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的影响有多长时间？答案:例题经典例1：（1）43（2）例2：（1）A（2）A例3：（1）AC=3，AB=633（2）能，分两种情况，S△ABC=2003-150和S△ABC=2003+150C3030CAB（3）延长BC，AD交于E，AD=400-1003，BC=2003-200．ADBD考点精练1．105°或15°2．13．374．5．4．866．177．30538．C9．A10．B11．C12．A13．D14．10（1+3）cm15．等腰三角形16．（1）超市以上居民住房采光受影响，由计算和新楼在居民楼上的投影高约11米，故受影响（2）若要使超市采光不受影响，两楼至少相距：208=20某=32（米）tan32517．（1）作AM⊥BF可计算AM=300km<500km，故A城受影响（2）受影响时间为2003=3小时．200毋意，毋必，毋固，毋我。

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形一．解答题（共60小题）1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．4．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）5．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）6．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）7．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．8．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）9．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）12．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）13．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）14．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．15．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．16．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE 的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．17．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）21．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．22．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C 的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）23．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）24．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）25．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）27．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）28．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．29．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）30．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）31．阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．解：在△ABC中，∵＝∴b＝＝＝＝3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？32．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．33．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）34．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）35．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．36．我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）37．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．38．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠P AB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）39．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）40．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）41．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．42．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．43．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）44．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．45．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．46．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）47．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）48．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）49．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．50．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）51．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB 的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）52．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）53．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA ＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）54．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．55．如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m 的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）56．求下列各式的值：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．57．计算：．58．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）59．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．60．计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°。

中考数学解直角三角形练习

中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、熟知300、450、600角的三角函数值3、会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。

4、通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。

5、了解同角三角函数的平方关系。

sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、熟知直角三角形中：300角的性质。

中招考点1、锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。

2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。

3、运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。

典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。

故应选D.。

2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。

3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。

因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析：因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53；不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。

中考数学考点系统复习第四章三角形第六节锐角三角函数与解直角三角形的实际应用

是点 E，点 F.由题意得，∠CDE＝37°.
CE
DE
在 Rt△CDE 中，sin 37°＝CD，cos 37°＝CD，
CD＝200，
∴CE＝200·sin 37°≈120，DE＝200·cos 37°≈160.
∵AB⊥BC，DE⊥BC，DF⊥AB，
∴∠B＝∠DEB＝∠DFB＝90°.
∴四边形 BEDF 是矩形，∴BE＝DF，BF＝DE＝160， ∴AF＝AB－BF＝300－160＝140.
DF 在 Rt△ADF 中，tan 65°＝AF， ∴DF＝AF·tan 65°≈140×2.14＝299.60. ∴BC＝BE＋CE＝299.60＋120≈420. 答：革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离约为 420 米．
2．(2021·丹东)如图，一架无人机在空中 A 处观测到山顶 B 的仰角为 36.87°，山顶 B 在水中的倒影 C 的俯角为 63.44°，此时无人机距水面的距离 AD＝50 米，求点 B 到水面距离 BM 的高度．(参考数据：sin 36.87°≈0.60，cos 36.87°≈0.80， tan 36.87°≈0.75，sin 63.44°≈0.89，cos 63.44°≈0.45， tan 63.44°≈2.00)
1．(2020·安徽第 8 题 4 分)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 AC
上，∠DBC＝∠A.若 AC＝4，cos A＝45，则 BD 的长度为
( C)
A.94
B.152
C.145
D．4
命题点 2：解直角三角形的实际应用(必考) 2．(2021·安徽第 17 题 8 分)学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．零件的截面如图阴影部分所示，已知四边形 AEFD 为矩形，点 B， C 分别在 EF，DF 上，∠ABC＝90°，∠BAD＝53°，AB＝10 cm， BC＝6 cm.求零件的截面面积．(参考数据：sin 53°≈0.80， cos 53°≈0.60)

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析

初中数学锐角三角函数的技巧及练习题附解析一、选择题1．如图，点O 为△ABC 边 AC 的中点，连接BO 并延长到点D,连接AD 、CD ，若BD=12，AC=8，∠AOD ＝120°，则四边形ABCD 的面积为（）A ．23B ．22C ．10D ．243【答案】D 【解析】【分析】分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，通过题意可求出AM 、CN 的长度，可计算三角形ABD 和三角形CBD 的面积，相加即为四边形ABCD 的面积. 【详解】解：分别过点A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为M 、N ，∵点O 为△ABC 边 AC 的中点，AC=8，∴AO=CO=4，∵∠AOD ＝120°，∴∠AOB=60°，∠COD=60°， ∴342AM AM sin AOB AO ===∠， 342CN CN sin COD CO ===∠， ∴AM=23CN=3 ∴12231232ABD BD AM S ⨯===g △ 12231232BD CN S ⨯===g △BCD ， ∴=123123243ABD BCD ABCD S S S +==△△四边形故选：D.【点睛】本题考查了三角函数的内容，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键.2．如图，在ABC ∆中，4AC =，60ABC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为（）A ．22B ．223C ．23D ．322【答案】C【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD 的长度，在Rt △ADB 中，由AD 的长度及∠ABD 的度数可求出BD 的长度，在Rt △EBD 中，由BD 的长度及∠EBD 的度数可求出DE 的长度，再利用AE=AD−DE 即可求出AE 的长度．【详解】∵AD ⊥BC∴∠ADC=∠ADB=90︒在Rt △ADC 中，AC=4，∠C=45︒∴AD=CD=22在Rt △ADB 中，AD=22ABD=60︒∴326． ∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°．在Rt △EBD 中，BD=263，∠EBD=30° ∴3223 ∴AE=AD −DE=22223=23 故选：C【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及利用特殊角三角函数解直角三角形．3．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）A．πB．2πC．3πD．(31)π+【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．可计算边长为2，据此即可得出表面积．【详解】解：由三视图可知：该几何体是一个圆锥，其轴截面是一个高为3的正三角形．∴正三角形的边长32 ==．∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π∴侧面积为12222ππ⨯⨯=，∵底面积为2rππ=，∴全面积是3π．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．4．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，圆心O到弦BC的距离等于3，则∠A的正切值等于（）A．35B．45C．34D．43【答案】C【解析】试题分析：如答图，过点O作OD⊥BC，垂足为D，连接OB，OC，∵OB=5，OD=3，∴根据勾股定理得BD=4.∵∠A=12∠BOC ，∴∠A=∠BOD. ∴tanA=tan ∠BOD=43BD OD =. 故选D ．考点：1.垂径定理；2.圆周角定理；3.勾股定理；4.锐角三角函数定义．5．如图，在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（）A 5B ．35C ．22D ．23【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到DEF AEF ∆≅∆，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到BED CDF ∠=，设1CD =，CF x =，则2CA CB ==，再根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，∴△DEF ≌△AEF ，∠A ＝∠EDF ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠EDF ＝45°，由三角形外角性质得∠CDF +45°＝∠BED +45°，∴∠BED ＝∠CDF ，设CD ＝1，CF ＝x ，则CA ＝CB ＝2，∴DF ＝FA ＝2﹣x ，∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2＝DF 2，即x 2+1＝（2﹣x ）2，解得：34x =， 3sin sin 5CF BED CDF DF ∴∠=∠==．故选：B ．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．6．如图，点E 从点A 出发沿AB 方向运动，点G 从点B 出发沿BC 方向运动，同时出发且速度相同，DE GF AB =<（DE 长度不变，F 在G 上方，D 在E 左边），当点D 到达点B 时，点E 停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（）A ．一直减小B ．一直不变C ．先减小后增大D ．先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，过点G 作GN ⊥AB 于N ，设AE=BG=x ，然后利用锐角三角函数求出GN 和EM ，再根据S 阴影=S △GDE ＋S △EGF 即可求出结论．【详解】解：连接GE ，过点E 作EM ⊥BC 于M ，过点G 作GN ⊥AB 于N设AE=BG=x ，则BE=AB －AE=AB －x ∴GN=BG·sinB=x·sinB ，EM=BE·sinB=（AB －x ）·sinB ∴S 阴影=S △GDE ＋S △EGF=12DE·GN ＋12GF·EM =12DE·（x·sinB ）＋12DE·[（AB －x ）·sinB] =12DE·[x·sinB ＋（AB －x ）·sinB] =12DE·AB·sinB∵DE、AB和∠B都为定值∴S阴影也为定值故选B．【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键．7．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABCV如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE，则tan CBE∠的值是（）A．247B．7C．724D．13【答案】C【解析】试题分析：根据题意，BE=AE．设BE=x，则CE=8-x．在Rt△BCE中，x2=（8-x）2+62，解得x=254，故CE=8-254=74，∴tan∠CBE=724 CECB=.故选C.考点：锐角三角函数.8．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan D的值为（）A．3B．33C．23D．23【答案】D【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝2m ，BC ＝3AC ＝3m ，∴BD ＝AB ＝2m ，DC ＝2m+3m ，∴tan ∠ADC ＝AC CD ＝23m m+＝2﹣3．故选：D ．【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若∠B=60°，则c a a b c b+++的值为（）A ．12B 2C ．1D 2【答案】C【解析】【分析】先过点A 作AD ⊥BC 于D ，构造直角三角形，结合∠B=60°，利用3sin60︒=cos60°=12,可求13,,22DB c AD c ==把这两个表达式代入到另一个Rt △ADC 的勾股定理表达式中，化简可得即a 2+c 2=b 2+ac ，再把此式代入通分后所求的分式中，可求其值等于1．【详解】解：过A 点作AD ⊥BC 于D ，在Rt △BDA 中，由于∠B=60°，∴13,,2DB c AD == 在Rt △ADC 中，DC 2=AC 2﹣AD 2， ∴2221324a c b c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即a 2+c 2=b 2+ac ，∴()()2222222 1.c a c cb a ab a c ab bc b ac ab bc a b c b a b c b ac ab bc b ac ab bc b++++++++++====++++++++++ 故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值、勾股定理的内容．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．注意作辅助线构造直角三角形是解题的好方法．10．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )A．60海里B．45海里C．3D．3【答案】D【解析】【分析】根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．【详解】解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，故AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：22303AB AP-=故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA的值是（）A．45B．35C．43D．34【答案】B【解析】【分析】根据勾股定理，可得AB的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理，得AB=22AC BC +=5cosA=AC AB =35故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．12．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25，则线段AC 的长为（）A ．1B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=25，即可求得答案．【详解】解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=25， ∵半径AO=5，∴CD=10，∴2sin 105AC AC D CD ===， ∴AC=4，故选：C.【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.13．如图，在矩形ABCD 中，4,AB DE AC =⊥，垂足为E ，设ADE α∠=，且3cos 5α=，则AC 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．165【答案】C【解析】【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE=∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD ，然后求出AC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE+∠CAD=90°，∵∠ACD+∠CAD=90°，∴∠ACD=∠ADE=α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC=∠ACD ，∵cos α=35，35AB AC ∴=， ∴AC=520433⨯=．故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．14．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ∆与ADM ∆关于AM 所在直线对称，将ADM ∆按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ∆，连接EF ，则cos EFC ∠的值是（）A 171365B 61365C 71525D ．617【答案】A【解析】【分析】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明AEH EMG V :V ，则有13EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+，在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF∠=即可求解．【详解】过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则90AHG MGE ∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=︒ ，∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=︒====，90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=︒ ，AEH EMG ∴∠=∠，AEH EMG ∴V :V ，13EH AE MG EM ∴== ．设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+在Rt AEH V 中，222AH EH AE +=Q ，222(1)(3)3x x ∴++= ，解得45x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=．在Rt EFN △ 中，由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，17cos 1365FN EFC EF ∴∠==．故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )A．5342π-B．5342π+C．23π-D．432π-【答案】A【解析】【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=323BCAB==，∴∠A=30°，∴OH=12OA=3，AH=AO•cos∠A=3332⨯=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=3，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=()2603113232322360π⨯⨯⨯-⨯⨯-=5342π-，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ∆中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ⋅=（）A ．12B ．2C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】解：∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=2∠B ，∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，∴在Rt △ABC 中，BC=sin AC B ∠=2AC ， ∴sin ∠B •sadA=1AC BC BC AC=g , 故选：C ．【点睛】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（）A ．3(23)2--B ．33(2222---C ．3(3,22--D ．(3)-【解析】【分析】过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.【详解】解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，∵2AO AB ==，120OAB ∠=︒，∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=︒，∴'0'6M B A ∠=︒，在直角△''A B M 中，3==22=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==22=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，∴OM=2+1=3，∴'B 的坐标为(3,3)-.故选：D.【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．18．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=︒，70DAC ∠=︒，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（）．A ．2sin70︒B ．2cos70︒C ．2tan70︒D ．2tan 70︒【解析】【分析】直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB，AD的长，即可得出答案．【详解】解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，∴cos60°=1 2ACAB=，则AB=2AC，∴cos70°=ACAD，∴AC=AD•cos70°，AD=cos70AC︒，∴2cos70ACACABAD=︒=2cos70°．故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．19．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，且BE∥AC，CE∥DB，连接DE，则tan∠EDC＝（）A．14B．16C．26D．310【答案】B【解析】【分析】过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与BC垂直平分，易得EF=12x，CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB：BC＝2：1，∴BC＝AD，设AB＝2x，则BC＝x．如图，过点E作EF⊥直线DC交线段DC延长线于点F，连接OE交BC于点G．∵BE∥AC，CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE与BC垂直平分，∴EF＝12AD＝12x，OE∥AB，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝2x，∴CF＝12OE＝x．∴tan∠EDC＝EFDF＝122xx x+＝16．故选：B．【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．20．如图，已知圆O的内接六边形ABCDEF的边心距2OM=，则该圆的内接正三角形ACE的面积为（）A．2 B．4 C．63D．43【答案】D【解析】【分析】连接,OC OB，过O作ON CE⊥于N，证出COB∆是等边三角形，根据锐角三角函数的定义求解即可．【详解】解：如图所示，连接,OC OB ，过O 作ON CE ⊥于N ，∵多边形ABCDEF 是正六边形，∴60COB ∠=o ，∵OC OB =，∴COB ∆是等边三角形，∴60OCM ∠=o ，∴sin OM OC OCM =•∠， ∴43()sin 60OM OC cm ︒==． ∵30OCN ∠=o ， ∴123,22ON OC CN ===， ∴24CE CN ==， ∴该圆的内接正三角形ACE 的面积123344323=⨯⨯⨯=，故选：D ．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OC 是解决问题的关键．。

中考数学专题练习：锐角三角函数与解直角三角形（含答案）

锐角三角函数与解直角三角形一、选择题1. (2018·柳州)如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，4,3BC AC ==，sin B 的值为( ) A. 35 B. 45 C. 37 D. 342. (2018·孝感)在Rt ABC D 中，90C Ð=°，10,8AB AC ==，则sin A 的值为( ) A. 35 B. 45 C. 34 D. 433. (2018·云南)在Rt ABC D 中，90C Ð=°，1,3AC BC ==，则A Ð的正切值为( ) A. 3B. 13C. 1010D. 310104. (2018·大庆)2cos60°的值为( ) A. 1 B. 3 C. 2 D. 125. (2018·天津) cos30°的值为( ) A. 22 B. 32C. 1 D. 3 6. ( 2018·日照·日照)计算11()tan30sin 602-+°°g 的结果为( ) A. 32-B. 2C. 52D. 727. ( 2018·烟台·烟台)利用计算器求值时，小明将按键顺序为(sin 30)()4xy -=的显示结果记为a ，26/3x ab c =的显示结果记为b 。

则,a b 的大小关系为( ) A. a b <B. a b > C . a b = D.不能比较不能比较8. 8. (2018(2018·葫芦岛)如图，AB 是⊙O 的直径，,C D 是⊙O 上AB 两侧的点.若30D Ð=°，则tan ABC Ð的值为( ) A. 12B. 32C. 3D. 339. (2018·贺州)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知3sin 5CDB Ð=，5BD =，则AH 的长为( ) A. 253B. 163C. 256D. 16610. 10. (2018(2018·自贡)如图，若ABC D 内接于半径为R 的⊙O ，且60A Ð=°，连接,OB OC ，则边BC 的长为( ) A. 2RB. 32RC. 22R D. 3R11.(2018·娄底)如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sin cos a a -的值为( ) A. 513 B. 513- C. 713 D. 713- 12. (2018·枣庄)如图，在矩形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE BD ^，垂足为F ，则tan BDE Ð的值是( ) A. 24B. 14C. 13D. 2313. (2018·无锡)如图，E 是矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，正方形EFGH 的顶点,G H 都在边AD 上.若3,4AB BC ==，则tan AFE Ð的值( ) A.等于37B.等于33C.等于34D.随点E 位置的变化而变化位置的变化而变化 14. (2018·贵阳)如图，,,A B C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则t a n BAC Ð的值为( ) 15. (2018·常州)某数学研究性学习小组制作了如图所示的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA 的0刻度固定在半圆的圆心O 处，刻度尺可以绕点O 转，从图中所示的图尺可读出sin AOB Ð的值是( ) A. 58 B. 78 C. 710 D. 4516. (2018·荆州)如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过三点(8,0)A ，(0,0)O ，(0,6)B ，D 是⊙P 上的一动点.当点D D 到弦OB 的距离最大时，tan BOD Ð的值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 17. (2018·陕西)如图。

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数和解直角三角形》经典题型及测试题（含答案）知识点一：锐角三角函数的定义 1.锐角三角函数正弦: sin A ＝∠A 的对边斜边＝ac余弦: cos A ＝∠A 的邻边斜边＝bc正切: tan A ＝∠A 的对边∠A 的邻边＝ab.来源:学&科&网]2.特殊角的三角函数值[来度数三角函数[来源:Z 。

xx 。

]30°[来源:学#科#网] 45° 60°sinA1222 32 cosA32 2212tanA 331 33、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）变式练习1：如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为注意：根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.[(4，3)，那么cos α的值是( ) A. 34 B. 43 C. 35 D. 45【解析】D 如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.变式练习2：在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则sinA ＝________．【解析】∵在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝22AB BC +＝32＋42＝5，∴sin A ＝BC AC ＝45. 变式练习3：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，BC ＝6，则AB ＝( D )A ．4B ．6C ．8D ．10变式练习4：如图，若点A 的坐标为(1，3)，则sin ∠1＝__32__. ,知识点二：解直角三角形 1.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2.解直角三角形的常用关系在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；(2)锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°； (3)边角之间的关系：,tan ,cos ,sin ;,tan ,cos ,sin abB c a B c b B b a A c b A c a A ======（sinA＝=cosB=ac，c osA＝sinB=bc，tanA＝ab.）变式练习1：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.变式练习2：如图，Rt△ACB中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于D.以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E＝30°，∠DCE＝90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG＝90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI ＝90°.若AC＝a，求CI的长．解：在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＝60°，∵AC＝a，∴CD＝AC·sin60°＝32a，依此类推CH＝(32)3a＝338a，在Rt△CHI中，∵∠CHI＝60°，∴CI＝CH·tan60°＝338a×3＝98a.变式练习3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是( D )A.433B．4 C．8 3 D．4 3,灵活选择解直角三角形的方法顺口溜：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.变式练习4：如图，一山坡的坡度为i＝1∶3，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了__100__米．, ,变式练习5：一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为___40＋4033___海里/小时．知识点三：解直角三角形的应用1.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα.（如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）2.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．注意：解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解变式练习1：如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10 m ，到达B 点，点B 处测得树顶C 的仰角为60°(A 、B 、D 三点在同一直线上)．请你根据他们的测量数据计算这棵树CD 的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈ 1.732)解：如解图，由题意可知∠CAB ＝30°，∠CBD ＝60°，AB ＝10 m ，∵∠CBD ＝∠CAB ＋∠BCA ，∴∠BCA ＝∠CBD －∠CAB ＝60°－30°＝30°＝∠CAB ， ∴BC ＝AB ＝10 m ．在Rt △BCD 中，∵sin ∠CBD ＝CDBC，∴CD ＝BC ·sin ∠CBD ＝10×sin60°＝10×32＝53≈5×1.732≈8.7 m ．答：这棵树CD 的高度大约是8.7 m ．变式练习2：如图，小山岗的斜坡AC 的坡度是tan α＝34，在与山脚C 距离200米的D 处，测得山顶A 的仰角为26.6°，求小山岗的高AB (结果取整数；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50)．解：设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∠D ＝26.6°，∴BD ＝tan 26.6x≈2x ，在Rt △ABC 中，tan α＝AB BC ＝34，∴BC ＝43x ，∵BD －BC ＝CD ，CD ＝200，∴2x－43x＝200，解得x＝300.答：小山岗的高AB约为300米．变式练习3：如图，小明所在教学楼的每层高度为3.5 m，为了测量旗杆MN的高度，他在教学楼一楼的窗台A处测得旗杆顶部M的仰角为45°，他在二楼窗台B 处测得M的仰角为30°，已知每层楼的窗台离该层的地面高度均为1 m，求旗杆MN的高度(结果精确到0.1 m)．(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：如解图，过点M的水平线交直线AB于点H，由题意，得∠AMH＝∠MAH＝45°，∠BMH＝30°，AB＝3.5 m，设MH＝x m，则AH＝x m，BH＝x·tan30°＝33x≈0.58x m，∴AB＝AH－BH＝x－0.58x＝0.42x＝3.5 m，解得x≈8.3，则MN＝x＋1＝9.3 m.答：旗杆MN的高度约为9.3 m.变式练习4：小明去爬山，如图，在山脚看山顶的角度为30°，小明在坡比为5∶12的山坡上走了1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为( )A. (600－2505)米B. (6003－250)米C. (350＋3503)米D. 500 3 米【解析】B如解图，∵BE∶AE＝5∶12，∴设BE＝5k，AE＝12k，∴AB＝2()5K＋(12k)2＝13k，∴BE∶AE∶AB＝5∶12∶13，∵AB＝1300米，∴AE＝1200米，BE ＝500米，设EC＝FB＝x米，∵∠DBF＝60°，∴DF＝3x米，则DC＝(3x＋500)米，又∵∠DAC＝30°，∴AC＝3CD，即1200＋x＝3(3x＋500)，解得x＝600－2503，∴DF＝3x＝(6003－750)米，∴CD＝DF＋CF＝(6003－250)米，即山高CD为(6003－250)米．变式练习5：某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°.已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．(结果保留根号)解：如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D，过点B作BH⊥水平线交水平线于点H，由题意∠ACH＝75°，∠BCH＝30°，AB∥CH，∴∠ABC＝30°，∠ACB＝45°，∵AB＝4×8＝32米，∴CD＝AD＝AB·sin30°＝16米，BD＝AB·cos30°＝32×32＝163米，∴BC＝CD＋BD＝(16＋163)米，∴BH＝BC·sin30°＝(16＋163)×12＝(8＋83)米．答：这架无人飞机的飞行高度为(8＋83)米．变式练习6：如图，我国渔政船在钓鱼岛海域C处测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西30°的方向上，随后渔政船以80海里/小时的速度向北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在渔政船的北偏西60°的方向上，求此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB.(结果保留小数点后一位，其中3≈1.732) 解：∵CD∥BE，∴∠EBC＋∠DCB＝180°.∵∠ABE＝60°，∠DCB＝30°，∴∠ABC＝90°.…………(4分)由题知，BC＝80×12＝40(海里)，∠ACB＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tan60°＝403≈40×1.732≈69.3(海里)．答：此时渔政船距钓鱼岛A的距离AB的长约为69.3海里．。

九年级数学锐角三角函数---解直角三角形训练

九年级数学锐角三角函数---解直角三角形训练一、选择题1.如图，在中，，，点D △ABC AC ⊥BC ∠ABC =30°是CB 延长线上的一点，且，则BD =BA tan ∠DAC 的值为( )A. B. C. D. 2+3233+3332.如图，小华剪了两条宽均为的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为，360°则它们重叠部分的面积为( )A. 2B. 1C. 233D. 233.在中，，，，则Rt △ABC ∠C =90°sinA =35BC =6AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 104.如图，在的正方形方格网中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在4×4△ABC 格点上，则图中的余弦值是∠ABC ( )A. 55B.255C. 12D. 25.如图，在中，，，，Rt △ABC ∠C =90°AC =4tanA =12则BC 的长度为( )A. 2B. 8C.D. 43456.如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 中点，若，，，则tan C 等于EF =2BC =5CD =3( )A. B. C. D. 433435457.如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 的中点，且于点F ，则下列结论中错误BE ⊥AC 的是( )A. AF =12CFB. ∠DCF =∠DFCC. 图中与相似的三角形共有4个△AEFD. tan ∠CAD =228.在中，，，则cos A 的值为△ABC ∠C =90°tanA =13( )A.B. C. D.1010233431010二、填空题9.如图，中，，，，则Rt △ABC ∠C =90°BC =15tanA =158______．AB =10.在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若，，AB =4BD =10sin ∠BDC =35，则▱ABCD 的面积是______ ．11.已知，是锐角，则______．tanα=512αsinα=12.如图，在中，，，，△ABC AC =6BC =10tanC =34点D 是AC 边上的动点不与点C 重合，过D 作()DE ，垂足为E ，点F 是BD 的中点，连接EF ，设⊥BC ，的面积为S ，则S 与x 之间的函数关CD =x △DEF 系式为______．13.如图，矩形ABCD 中，，将矩形ABCD 绕点AB =4C 顺时针旋转，点B 、D 分别落在点，处，90°B 'D '且点A ，，在同一直线上，则B 'D 'tan ∠DAD '______．14.如图，在菱形ABCD 中，，M ，N 分别在tanA =43边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当时，EF ⊥AD 的值为______．BNCN15.如图，点P 在等边的内部，且，△ABC PC =6PA，，将线段PC 绕点C 顺时针旋转=8PB =1060°得到，连接，则的值为______．16.如图，中，，，，△ABC ∠ACB =90°sinA =513AC =12将绕点C 顺时针旋转得到，P 为线△ABC 90°段上的动点，以点P 为圆心，长为半径作⊙，当与的边相切时，的半径为P ⊙P △ABC ⊙P ______．三、解答题17.如图，在中，，AE 平分交BC 于点△ABC ∠C =90°∠BAC E ，O 是AB 上一点，经过A ，E 两点的交AB 于点⊙O D ，连接DE ，作的平分线EF 交于点F ，连接∠DEA ⊙O AF ．求证：BC 是的切线．(1)⊙O 若，，求线段AC 的长．(2)sin ∠EFA =45AF =52DB=DA18.如图，在平行四边形ABCD中，，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)DC=10tan∠DCB=3若，，求菱形AEBD的面积．⊙O⊙O19.如图，AB是的直径，PB与相切于点B，连接PA⊙O交于点C，连接BC．(1)∠BAC=∠CBP求证：；(2)P B2=PC⋅PA求证：；(3)AC=6CP=3sin∠PAB当，时，求的值．⊙O OD//BC20.如图，已知AB为的直径，AC为弦，，交ACBC=4cm于D，．(1)AC⊥OD求证：；(2)求OD的长；(3)2sinA‒1=0⊙O若，求的直径．21.如图，在四边形ABCD 中，，AD //BC ∠ABC =90°，，连接BD ，点E 在AB 上，且AB =AD ∠BDE ，，．=15°DE =43DC =221求BE 的长；(1)求四边形DEBC 的面积．(2)注意：本题中的计算过程和结果均保留根号()22.如图，在中，，AD 平分交BC 于点D ，O 为AB 上一Rt △ABC ∠C =90°∠BAC 点，经过点A ，D 的分别交AB ，AC 于点E ，F ，连接OF 交AD 于点G ．⊙O 求证：BC 是的切线；(1)⊙O 设，，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长；(2)AB =x AF =y 若，，求DG 的长，(3)BE =8sinB =51323.如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接AM ，作于点DE ⊥AM E ，于点F ，连接BE ．BF ⊥AM(1)AE=BF求证：；(2)AF=2∠EBF已知，四边形ABED的面积为24，求的正弦值。