一起学奥数_余数问题

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二年级奥数：巧用余数(二)教案含解析答案

第四讲巧用余数（二）【专题简析】我们已经学习了有余数的除法，都知道，在有余数的除法里，余数要比除数小。

利用余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用余数了。

解答习题时，首先要把重复出现的部分作为一组，再想总数里有几个这样的一组，如果除后有余数，那么余数是几，某个物体（或数字）就是一组中的第几个，从而解出所求问题，如果除后没有余数，说明某个（或数字）是一组中的最后一个。

【例题1】一串珠子，按下图排列，第25颗是什么珠子？第36颗是什么珠子？思路导航：这串珠子的排列是有规律的，即按“”不断的重复出现，每6颗珠子为一组，先算出25颗珠子形成几组：25÷6＝4……1，商是4，表明有4组，余数是1，表明第25颗是第5组的第1颗珠子，即“”，36÷6＝6，表明36颗珠子正好排完6组，第36颗珠子就是“”。

解：25÷6＝4（组）……1（颗）36÷6＝6（组）答：第25颗珠子是，第36颗珠子是。

练习11.有一张纸上很整齐地写着一排字：喜羊羊与灰太狼喜羊羊与灰太狼……问第38个字是什么字？2.有一列数：4 3 2 4 3 2 4 3 2 4……（1）这列数的第29个数是几？（2）这列数的第31个数是几？3.请推算出第20个图形是什么？第42个图形又是什么？☆△△□□○☆△△□□○……【例题2】节日里街上挂起彩灯，从第一盏灯开始，按照红、黄、蓝、绿各一盏的顺序依次重复排下去，（1）第50盏灯是什么颜色？（2）这50盏灯里红灯有几盏？思路导航：因为彩灯的排列顺序为红、黄、蓝、绿各一盏依次重复排下去，也就是说把4盏灯作为一个周期，所以根据这一规律能先算出50盏灯里有几个周期：50÷4＝12 (2)（1）以上算式表示50盏灯共有12个周期，余2表示多2盏灯，即从下一个周期起，从红灯开始数起的第二盏灯为黄灯，所以第50盏灯的颜色是黄颜色。

（2）因为每个周期里有1盏红灯，这50盏灯里有12个周期，就有12盏红灯，再加上多出来的2盏灯里有1盏是红灯，所以这50盏灯时的红灯一共有13盏，即12+1＝13（盏）。

高斯小学奥数五年级上册含答案_余数的性质与计算

第二十一讲余数的性质与计算37』桂除的余数足多少？我知沽玳，余数昂7!^1这一讲我们来学习余数问题.在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况. 当不能整除时，就会产生余数.一般地，如果a是整数，b是整数（b丰0）,若有a+ b=q r （也就是a b q r ）, 0当r 0 时，我们称a 能被b 整除；当r 0 时，我们称a 不能被b 整除，r 为a 除以b 的余数，q 为a 除以b 的商余数问题和整除问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数，就能和整除问题联系在一起了．余数有如下一些重要性质．基本性质：被除数=除数X商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）*商；商=（被除数-余数）十除数.余数小于除数．理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了．例题1．用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？「分析」如果设除数为a,被除数可以表示为什么？练习1．甲、乙两数的和是2014,甲数除以乙数商99余14,求甲、乙两数．我们之前学过一些特殊数（如2、3、4、5、7、8、9、11、13、25、99、125）的整除特性．这些数的整除特性稍加改造,即可成为求解余数的一类简便算法：1）一个数除以2或5的余数,等于这个数的个位数字除以2或5的余数；一个数除以4或25的余数,等于这个数的末两位数除以4或25的余数；一个数除以8或125的余数,等于这个数的末三位数除以8或125 的余数；2）一个数除以3或9的余数,等于这个数的各位数字和除以3或9的余数；一个数除以99（包括11、33）的余数,等于将它两位截断再求和之后的余数；此外,求3和9的余数还可应用乱切的方法．（3）一个数除以11 的余数，等于它的奇位数字和减去偶位数字和除以11的余数，如果奇位数字和比偶位数字和小，则先加上若干个11 再减即可．（4）一个数除以7、11和13的余数，等于将它三位截断之后，奇数段之和减去偶数段之和除以7、11 和13 的余数，如果奇数段之和比偶数段之和小，则加上若干个7、11 或13再减即可．这种利用整除特性来计算余数的方法叫做特性求余法．例题2．1）20132013 除以4和8 的余数分别是多少？2）20142014 除以3和9 的余数分别是多少？分析」根据4、8、3、9 的特性，可以很快计算出结果．练习2．（1）20121221 除以5和25 的余数分别是多少？（2）20130209 除以3和9 的余数分别是多少？例题3．（1）123456789 除以7和11的余数分别是多少？87654321 呢？（2）360360360 除以99 的余数是多少？「分析」根据7、1、99 的特性，可以计算出结果．在截断的时候要特别小心．练习3．201420132012 除以13和99 的余数分别是多少？为了更好地了解余数的其它一些重要性质，我们再来做几个练习：1）211除以9的余数是 _______ ；（2）137除以9的余数是_________(3) 211 137的和除以9的余数是___________ ; ( 4) 211 137的差除以9的余数是(5)211 137的积除以9的余数是__________ ; (6) 1372除以9的余数是________比较上面的结果，我们发现余数还有一些很好的性质：和的余数等于余数的和；差的余数等于余数的差；积的余数等于余数的积•这三条性质分别称为余数的可加性、可减性和可乘性•在计算一个算式的结果除以某个数的余数时，可以利用上述性每个数都用它除以7的质进行简算.例如计算33 37 15 80的结果除以7的余数就可以像右侧这样计算•这一简算方法又称替换求余法•需要提醒大家的是，虽然上述三条计算余数的口诀朗朗上口，但并不严格，在使用时还需要注意：(1)如果替换之后余数的计算结果大于除数，还需要再次计算结果的余数.例如：在计算423 317除以6的余数时，利用“和的余数等于余数的和”，结果就变成了3 5 8, 8 6，所以还需要再次计算8除以6的余数是2,才是423 317除以6最后的余数•再比如：在计算423 317除以6的余数时，也会遇到3 5 15 6的情况，同样的还需要计算15除以6的余数是3，才是最终的结果.(2)在计算减法时，会出现余数不够减的情况，这时只要再加上除数或除数的倍数即可•例如：在计算423 317除以6的余数时，会发现结果变成了3 5不够减.此时，只要再加上6,用6 3 5 4来计算即可.例题4.一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个•年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个.请问：最后一包有多少个零件？「分析」最后一包的零件数实际上就是零件总数除以19的余数.练习4．（1）123 456 789除以111 的余数是多少？（2）224468 6678 的结果除以22 余数是多少？如果我们将“特性求余法”和“替换求余法”相结合，便可大大简化余数的计算．例题5．（1）87784 49235 81368除以4、9 的余数分别是多少？（2）365366+367368 369370除以7、11、13的余数分别是多少？「分析」要把结果算出来，再求余数，计算量很大．看看如何利用“替换求余”以及“特性求余”的方法来进行求解．例题6．（1）2100的个位数字是多少？32014除以10 的余数是多少？（2）32014除以7 的余数是多少？「分析」一个数的个位数字就是它除以10 的余数，大家来找一下个位数字的变化规律．小熊分粽子今天是端午节，猴爸爸一大早就领着猴儿们去观看龙舟比赛。

数论之同余问题

13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
因为13903 13511 392,14589 13903 686,
由于13511,13903,14589要被同一个数除时,
余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除.（392,686） 98，所以所求的最大整数是98.
（2003年南京市少年数学智力冬令营试题）22003与
定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数
【解析】我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,
所以每198个数一次.
1〜198之间只有1,2,3，…，17,198（余0）
这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999±198=5…•…9,所以共有5X18+9=99个
这样的数.
【巩固】（2008年仁华考题）一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
1998,2000,2003
2000,2003,2001,1995,1998,2000,2003,2001,1995.
［例4】（2005年全国小学数学奥林匹克试题）有一个整
数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之
和是50,那么这个整数是.
【解析】（70 110 160） 50 290,50 316……2,除数应当是290的大于
【解析】设这个三位数为s'它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n,则s 17a m 19b n.
根据题意可知a m b n,所以s am s b n，即16a 18b,得8a 9..所以a是9的倍数，b是8的倍数.此时,
由于s为三位数，最小为100,最大为999，所以

五年级培优竞赛二合一精讲系列之9 余数(例题练习课后作业一条龙)

第十讲：数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

许多孩子都接触过余数的有关问题，并有不少孩子说“遇到余数的问题就基本晕菜了！”余数问题主要包括了带余除法的定义，三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），及中国剩余定理和有关弃九法原理的应用。

知识点拨：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(1)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商(2)当0一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

小学奥数—中国剩余定理及余数性质拓展

．
【例 22】在 200 至 300 之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被 3 整除，中间的能被 7 整除，最大的能被 13 整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展.题库
学生版
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【例 23】有三个连续自然数，其中最小的能被 15 整除，中间的能被 17 整除，最大的能被 19 整除，请写出一组这样的三个连续自然数．
【例 7】某个自然数除以 2 余 1，除以 3 余 2，除以 4 余 1，除以 5 也余 1，则这个数最小是
。
【例 8】一个大于 10 的自然数，除以 5 余 3，除以 7 余 1，除以 9 余 8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【巩固】一个大于 10 的数，除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 11 余 7，问满足条件的最小自然数是多少？
【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到 100 个)，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到 A 孔．他先试着每隔 2 孔跳一步，结果只能跳到 B 孔．他又试着每隔 4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔．最后他每隔 6 孔跳一步，正好跳回到 A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?
与 7 整除的数；21 是 5 除余 1，被 3 与 7 整除的数，因此 21b 是被 5 除余 b，被 3 与 7 整除的数；同理 15c 是被 7 除余 c，被 3、5 整除的数，105 是 3，5，7 的最小公倍数．也就是说， 70a 21b 15c 是被 3 除余 a，被 5 除余 b，被 7 除余 c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．
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数论之余数问题---学生版

数论之余数问题余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

【知识点拨】1.余数的加法定理①a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

2.余数的乘法定理①a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

②当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例 1】用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【巩固】1、 (清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．2、一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

【例 2】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？【例 3】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

【巩固】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．【例 4】有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?【巩固】一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．【例 5】有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.巩固1、有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.2、在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)【例 6】两位自然数ab与ba除以7都余1，并且a b⨯．>，求ab ba【巩固】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．【例 7】20032与22003的和除以7的余数是________．【例 8】有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________【巩固】号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?【例 9】(《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．【巩固】(全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【例 10】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【巩固】 (华罗庚金杯赛模拟试题)求478296351⨯⨯除以17的余数．【巩固】"2"20002222个除以13所得余数是_____.【巩固】求89143除以7的余数．【巩固】 222212320012002+++++除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【巩固】 1996777777⋅⋅⋅个除以41的余数是多少？【例 11】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为a，2a+，则这个自然数是多少？a+，5【巩固】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【例 12】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】（2009年走美初赛六年级）有一串数：1，1，2，3，5，8，……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【例 13】托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数．现知这三余数的和是15．试求该数除以18的余数．课后作业练习1. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．练习2. 已知2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？练习3. 1013除以一个两位数，余数是12．求出符合条件的所有的两位数．练习4：有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？练习5：若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．练习6：2008222008+除以7的余数是多少？【备选5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．。

5余数问题

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r（也就是a=b×q+r）, 0≤r＜b；当r=0时，我们称a能被b整除；当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的商余数问题和整除性问题是有密切关系的，因为只要我们去掉余数那么就能和整除性问题联系在一起了。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

法2：将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11+1）倍，所以得到：乙数=1056÷12=88 ，甲数=1088-88=1000 。

【例2】 1013除以一个两位数，余数是12。

求出符合条件的所有的两位数。

分析：1013-12=1001，1001=7×11×13，那么符合条件的所有的两位数有13、77、91 有的同学可能会粗心的认为11也是。

11小于12，所以不行。

大家做题时要仔细认真。

【例3】（小学数学奥林匹克初赛）有苹果、桔子各一筐，苹果有240个、桔子有313个，把这两筐水果分给一些小朋友，已知苹果等分到最后余2个不够分，桔子分封最后还余7个桔子不够再分，求最多有多少个小朋友参加分水果?分析：此题是一道求除数的问题。

【精品奥数】五年级上册数学思维训练讲义-第一讲尾数和余数人教版(含答案)

第一讲尾数和余数第一部分：趣味数学兄弟分绢今有孟、仲、季兄弟三人，各持绢不知匹数。

大兄谓二弟曰：“我得汝等各半，得满七点九匹。

”中弟日：“我得兄弟绢各半，得满六点八匹。

”小弟日：“我得二兄绢各半，得满五点七匹。

”问兄弟本持绢各几何?——摘自《张邱建算经》。

据考证《张邱建算经》成书时代是在5世纪中期，是北魏时期数学家张邱建著。

《张邱建算经》卷中之尾卷下之首残缺，流传到现在的有92个问题，内容继承了《九章算术》的数学遗产，另外还有等差级数问题、最大公约数和最小公倍数应用问题。

卷下最后一题是有名的百鸡问题，是中国数学史上最早出现的不定方程问题。

赏析：有兄弟三人，各有绢若干匹。

大哥对两个弟弟说：“我得到你俩每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起就有7.9匹。

”二哥对大哥和三弟说：“我得到兄绢的一半，弟绢的一半，与我有的绢合在一起是6.8匹。

”三弟对两个哥哥说：“我得到两个哥哥每人所有绢的一半，与我有的绢合在一起是5.7匹。

”问兄弟三人原来各有绢多少匹?分析：7.9匹包括大哥的绢全部+二哥绢一半+三弟的绢一半；6.8匹包括大哥的绢一半+二哥绢全部+三弟的绢一半；5.7匹包括大哥的绢一半+二哥绢一半+三弟的绢全部；那么，7.9+6.8+5.7就包括大哥的绢2倍+二哥绢2倍+三弟的绢2倍；所以，三兄弟绢的总数为（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹），而7.9 × 2就包括大哥的绢2倍+二哥绢全部+三弟的绢全部7.9 × 2－10.2＝5.6（匹）……大哥的绢数。

同理：6.8 × 2－10.2＝3.4（匹）……二哥的绢数。

5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）……三弟的绢数。

解答：（7.9+6.8+5.7）÷2＝10.2（匹）7.9 × 2－10.2＝5.6（匹） 6.8 × 2－10.2＝3.4（匹） 5.7 × 2－10.2＝1.2（匹）第二部分：奥数小练一、知识要点自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。

小学五年级数学思维能力(奥数)《有余数的除法》训练题

小学五年级数学思维能力（奥数）《有余数的除法》训练题1.用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．2.一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

3.有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？4.两个整数相处商是12,余数是6,已知被除数,除数商与余数的差是204,除数是多少？5.三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

6.一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________．7.有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．问：第二组有多少人?8.一个两位数除以13的商是6，除以11所得的余数是6，求这个两位数．9. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.10.两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求abba．11. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？12.在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．13.20032与22003的和除以7的余数是________．14.在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被9除余7，则将这几个数归为一组．这样的数组共有______组．15.有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是______．16.用自然数n去除63，91，129得到的三个余数之和为25，那么n=________17.号码分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛,规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?18.六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．。

奥数数论题库17-余数问题_知识例题精讲

余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富，题目难度较大的知识体系，也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点，所以学好本讲对于学生来说非常重要。

一、带余除法的定义及性质一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当0r=时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商(2)当0r≠时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

知识点拨教学目标5-6余数问题例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

【小学精品奥数】中国剩余定理及余数性质拓展.学生版

1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用一、中国剩余定理——中国古代趣题（1）趣题一中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。

”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．知识点拨教学目标5-5-4.中国剩余定理及余数性质拓展五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233⨯+⨯+⨯=，-=233105128-=，12810523为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115++是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不a b c一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．二、核心思想和方法对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

奥数资料——周期与余数

五年级数学兴趣小组练习题——周期、余数（2014.04）班别___________ 姓名___________ 评分____________1. 一串彩色珠子，按红、黄、蓝、绿、白五种颜色排列．⑴第73颗是______颜色.⑵第10颗黄珠子是从头起第______颗.⑶第8颗红珠子与第11颗红珠子之间（不包括这两颗红珠子）共有______颗珠子.2.街上的彩灯按照5盏红灯、4盏蓝灯、1盏黄灯、……这样排下去.⑴第150盏灯是______颜色.⑵前200盏彩灯中有______盏蓝灯.3.有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是______颜色的花. 这249朵花中，______花最多，______花最少，最少的花比最多的花少______朵.4.如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，A”，第二组是“们，B”……我们爱科学我们爱科学我……A B C D E F G A B C D……⑴写出第62组是__________.⑵如果“爱，C”代表1991年，那么“科，D”代表1992年……问2008年对应的组是__________.5.小和尚在地上写了一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3…那么他写的第81个数是______.请你求出这81个数相加的和是______.6.⑴44⨯⨯……4⨯（25个4），积的个位数是______.⑵24个2相乘，积的个位数字是______.7.如右图，把1～8八个号码摆成一个圆圈，现有一个小球，第一天从1号开始按顺时针方向前进329个位置，第二天接着按逆时针方向前进485个位置，第三天又顺时针前进329个位置，第四天再逆时针前进485个位置……如此继续下去，问至少经过______天，小球又回到原来的1号位置.8.课外活动时，甲、乙、丙、丁四人排成一个圆圈依次报数．甲报“1”，乙报“2”，丙报“3”，丁报“4”，这样每人报的数总比前一个人多1．问“34”是______报的.“71”是______报的.9.公历1978年1月1日是星期日，阳历2000年1月1日是星期______.10.小童的生日是6月27日，这一年的6月1日是星期六，小童的生日是星期______.11.今天是星期三，那么从明天起第365天是星期______.12.今年的6月1日是星期六，那么这一年的10月1日是星期______.13.小区里的李奶奶腿脚不方便，方方、圆圆、长长三名同学做好事，每天早晨轮流为李奶奶取牛奶．方方第一次取奶是星期一，那么，他第100次取奶是星期______.14.甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊______次了.15. 已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期______.16. 一个月最多有5个星期日，在一年的12个月中，有5个星期日的月份最多有______个月.17．编一本故事书原先正好用了189个数字，后来又增加了10页，那么还要增加______个数字编页码．18．编一本故事书的页码，一共用了24个数字“3”，这本故事书有______页．19．一本书59页，在59个页码中，不含数字“0”和“1”的页码有______个．20．一本书有123 页，在这本书的页码中，数字“1”出现了______次．21．一本书900页，编上页码1、2、3…问数字“0”在页码中共出现______次．22. 用某自然数a 去除1992，得到商是46，余数是r ，则a 是______,r 是______．23. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，则甲是______、乙是______．24. 一个两位数除310，余数是37，这样的两位数有______和______.25. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是______.26. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于415，则被除数是_______．27. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是_________.28. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够．如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够．那么第二组有______人.29. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，则这个数是______.30. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．那么学校共有______个班.31. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，这个整数是______.32. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》．一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本．这种《成语大词典》的定价是________元．33. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．34. 求2461135604711⨯⨯÷的余数是______．35. 2000"2"2222个除以13所得余数是______.36. 一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小是______.。

二年级奥数第24讲——余数妙用(二)

——梦想从这里起飞学生课程讲义课程名称二年级奥数上课时间任课老师沈老师第24 讲，本讲课题：余数妙用二内容概要利用余数的性质，解决有趣的数学问题。

我们已经学习了有余数的除法,都知道在有余数的除法里,余数要比除数小。

利用余数,可以解决许多有趣的实}际问题,就看你会不会巧妙地应用余数了。

解答习题时,首先要把重复出现的部分作为一组,再想总数里有几个这样的一组。

如果相除没有余数,说明某个物体(或数)是一组中的最后一个;如果相除有余数,那么余数是几,某个物体(或数)就是一组中的第几个,从而解出所求问题。

【例1】王老师把1~40号卡片依次发给小亮、小红、小云、小强4个同学,第26张卡片应发给谁?举一反三1.1.把1—50号卡片依次发给甲、乙、丙、丁4个同学,已知1号发给甲,40号应发给谁?2.小亮练习书法,他把“我爱伟大的祖国”这句话依次反复书写,第58个字应写什么?3.把10~40号卡片依次发给甲、乙、丙、丁4个同学,已知10号发给甲,30号卡片应发给谁?——梦想从这里起飞【例2】有一列数3,1,2,3,1,2,3,1,2……,第20个数是多少?这20个数的和是多少?随堂练习21.有一列数4,0,2,1,4,0,2,1,4,0,2,1,…,第30个数是多少?这30个数的和是多少？2.有一列数2,1,0,3,4,2,1,0,3,4,2,1,0,3,4…第64个数是多少？这64个数的和是多少？3.一串字母共有43个,按ABCDEABCDEABCDE…排列,最后一个是什么字母?这串字母中A、B、C、D、E各有多少个？【例3】小明问小刚:“今天是星期五,再过31天，是星期几?”同学们,你能帮助小刚回答这个问题吗？随堂练习31.2015年6月29日是星期一,2015年8月1日是星期几?2.2015年10月1日是星期四,2016年1月1日是星期几?——梦想从这里起飞3.2016年11月1日是星期二2017年1月1日是星期几？【例4】 8个队员围成一圈做游戏,从1号队员开始，按箭头方向向下一个人传球，在传球时按顺序报数，当报到75时，球在几号队员手上？随堂练习41.把1~38号卡片依次发给小青、小红、小明、小华4个人,已知1号发给小青,20号该发给谁?38号呢?2.6个小朋友围在一起做“传花”游戏,从A 开始按箭头方向向下一个人传花。

小学奥数同余问题

同余问题（一）在平时解题中，我们经常会遇到把着眼点放在余数上的问题。

如：现在时刻是7时30分，再过52小时是几时几分？我们知道一天是24小时，，也就是说52小时里包含两个整天再加上4小时，这样就在7时30分的基础上加上4小时，就是11时30分。

很明显这个问题的着眼点是放在余数上了。

1. 同余的表达式和特殊符号37和44同除以7，余数都是2，把除数7称作“模7”，37、44对于模7同余。

记作：（mod7）“”读作同余。

一般地，两个整数a和b，除以大于1的自然数m所得的余数相同，就称a、b对于模m同余，记作：2. 同余的性质（1）（每个整数都与自身同余，称为同余的反身性。

）（2）若，那么（这称作同余的对称性）（3）若，，则（这称为同余的传递性）（4）若，，则（）（这称为同余的可加性、可减性）（称为同余的可乘性）（5）若，则，n为正整数，同余还有一个非常有趣的现象：如果那么（的差一定能被k整除）这是为什么呢？k也就是的公约数，所以有下面我们应用同余的这些性质解题。

【例题分析】例1. 用412、133和257除以一个相同的自然数，所得的余数相同，这个自然数最大是几？分析与解答：假设这个自然数是a，因为412、133和257除以a所得的余数相同，所以，，说明a是以上三个数中任意两数差的约数，要求最大是几，就是求这三个差的最大公约数。

所以a最大是31。

例2. 除以19，余数是几？分析与解答：如果把三个数相乘的积求出来再除以19，就太麻烦了，利用同余思想解决就容易了。

所以此题应用了同余的可乘性，同余的传递性。

例3. 有一个1997位数，它的每个数位都是2，这个数除以13，商的第100位是几？最后余数是几？分析与解答：这个数除以13，商是有规律的。

商是170940六个数循环，那么，即，我们从左向右数“170940”的第4个数就是我们找的那个数“9”，所以商的第100位是9。

余数是几呢？则所以商的个位数字应是“170940”中的第4个，商应是9，相应的余数是5。

带余数的除法奥数题道带余数的除法奥数题及答案

带余数的除法奥数题道带余数的除法奥数题及答案题目1小明手上有45个苹果，要均分给他的3个朋友。

请问小明每人能分到几个苹果，还有剩余几个苹果？解答将45除以3得到商15，余数为0。

小明每人能分到15个苹果，没有剩余。

题目2小红收到了30本书，想要将它们平均分成4堆。

请问每堆书有几本，还有剩余几本书？解答将30除以4得到商7，余数2。

小红每堆书有7本，还剩下2本。

题目3小华手上有65只纸鹤，他想把它们放在3本相同大小的笔记本中。

请问每本笔记本里有几只纸鹤，还有剩余几只？解答将65除以3得到商21，余数2。

每本笔记本里有21只纸鹤，还剩下2只。

题目4有100个学生参加足球比赛，要将他们平均分到10个队中。

请问每个队有几个学生，还有剩余几个学生？解答将100除以10得到商10，余数0。

每个队有10个学生，没有剩余。

题目5小李有17本漫画书，要将它们分成5堆。

请问每堆有几本书，还有剩余几本？解答将17除以5得到商3，余数2。

每堆有3本书，还剩下2本。

题目6小明买了23根铅笔，要均分给他的4个朋友。

请问每人能分到几根铅笔，还有剩余几根？解答将23除以4得到商5，余数3。

每人能分到5根铅笔，还剩下3根。

题目7小华有98个糖果，他想将它们平均分给他的7个同学。

请问每个同学能分到几个糖果，还有剩余几个糖果？解答将98除以7得到商14，余数0。

每个同学能分到14个糖果，没有剩余。

题目8小红有53块巧克力，她想将它们分成4堆。

请问每堆有几块巧克力，还有剩余几块？解答将53除以4得到商13，余数1。

每堆有13块巧克力，还剩下1块。

题目9小李有63颗石头，他想将它们放在4个箱子中。

请问每个箱子里有几颗石头，还有剩余几颗？解答将63除以4得到商15，余数3。

每个箱子里有15颗石头，还剩下3颗。

题目10有30个学生参加篮球比赛，要将他们平均分到6个队中。

请问每个队有几个学生，还有剩余几个学生？解答将30除以6得到商5，余数0。

第五讲余数问题-(带完整答案)五年级奥数

第五讲余数问题内容概述从此讲开始，我们来进一步研究数论的有关知识。

小学奥数中的数论问题，涉及到整数的整除性、余数问题、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

在整数的除法中，只有能整除和不能整除两种情况。

当不能整除时，就产生余数，余数问题在小学数学中非常重要。

余数有如下一些重要性质，我们将通过例题给大家讲解。

例题讲析基本性质1：被除数=除数×商（当余数大于0时也可称为不完全商）+余数除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

余数小于除数。

理解这条性质时，要与整除性联系起来，从被除数中减掉余数，那么所得到的差就能够被除数整除了。

在一些题目中因为余数的存在，不便于我们计算，去掉余数，回到我们比较熟悉的整除性问题，那么问题就会变得简单了。

【例1】（清华附中小升初分班考试）甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

分析：法1：因为甲=乙×11+32，所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088；则乙=（1088-32）÷12=88，甲=1088-乙=1000。

【例2】（第十三届迎春杯决赛）已知一个两位数除1477，余数是49.那么，满足那样条件的所有两位数是 .分析：1477-49=1428是这两位数的倍数，又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17，因此所求的两位数51或68或84.【例3】（第十届迎春杯决赛）一个自然数除以8得到的商加上这个数除以9的余数，其和是13.求所有满足条件的自然数.分析：设这个数为n，除以9所得余数r≤8，所以除以8得到的商q≥13—8=5，又显然q≤13.q=5时，r=8，n=5×8+4=44；q=6时，r=7，n=6×8+4=52；q=7时，r=6，n=7×8+4=60；q=8时，r=5，n=8×8+4=68；q=9时，r=4，n=9×8+4=76；q=10时，r=3，n=10×8+4=84；q=11时，r=2，n=11×8+4=92；q=12时，r=1，n=12×8+4=100；q=13时，r=0，n=13×8+4=108.满足条件的自然数共有9个：108，100，92，84，76，68，60，52，44.【例4】（北京八中小升初入学测试题）有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。

余数学生用

课题名称：余数问题授课教师：刘彬教学目标1：余数的定义2：余数的三大定理知识点一、余数的定义一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≢r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

例1 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r．【解析】因为1992是a的46倍还多r,得到19924643 (14)a=，=⨯+，所以43÷=，得1992464314r=．14【巩固】(清华附中小升初分班考试)甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数．【巩固】一个两位数除310，余数是37，求这样的两位数。

例2 (2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被除数+除数+商+余数=被除数+除数+17+13=2113，所以被除数+除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．【巩固】用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是16.被除数、除数、商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？例 3 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。