数字信号处理第二章2.4
数字信号处理DSP第二章2.4.3
ZT[ x(n)] = X ( z ) Rx− < z < Rx+
⎛z⎞ ZT[a x(n)] = X ⎜ ⎟ a为任意常数 ⎝a⎠ a Rx − < z < a Rx + z = z1 ⇒ a − 1 z = z1 , z = a z1
n n −n ( ) a x n z ∑
证： ZT[a n x(n)] =
z >b z >b
n
Im[ z ]
b
y (n) = x(n) * h(n) = IZT[Y ( z )] = b u (n)
0
a
Re[ z ]
10、序列相乘（z域复卷积定理） 若
y (n ) = x(n ) ⋅ h(n ) 且 X ( z ) = ZT[ x ( n)] R − < z < R + x x
解：X ( z ) = ZT[u (n) − u (n − 3)]
= ZT[u (n)] − ZT[u (n − 3)] z z −3 = −z , z >1 z −1 z −1 3 z −1 = 2 z ( z − 1)
z + z +1 = , 2 z
2
z >0
2、时移性质
ZT[ x(n)] = X ( z ), Rx− < z < Rx+
若 则
ZT[ x(n)] = X ( z )
* * *
Rx− < z < Rx+
∞
ZT[ x (n)] = X ( z ) Rx − < z < Rx +
* n =−∞
证： ZT[ x ( n)] =
数字信号处理第二章
回到本节
返回
2.2.4 时域离散信号傅里叶变换的性质
时域离散信号傅里叶变换有很多重要的性质，其中一些 性质和模拟信号的傅里叶变换性质类似，参考教材中表 。 本小节重点介绍： 傅里叶变换的周期性 频域卷积定理 傅里叶变换的对称性
回到本节
返回
此定理亦称为调制定理
傅里叶变换的周期性：
1
频域卷积定理：
2
回到本节
返回
傅里叶变换的对称性： 一般不做特殊说明，序列x(n)就是复序列。用下标r表 示它的实部，用下标i表示它的虚部： 复序列中有共轭对称序列和反共轭对称序列，分别用下 标e和o表示 共轭对称序列满足 复反共轭对称序列满足
返回
回到本节
一般序列傅里叶变换的对称性质ຫໍສະໝຸດ 一般序列可以表示为返回
回到本节
左序列Z变换的收敛域
01
回到本节
返回
上式右边：
第一项的收敛域为0 ≤|z|<Rx+， 第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 将两个收敛域相与，得到左序列的收敛域为0<|z|< Rx+ 。 如果n1<0，则收敛域为0 ≤|z|<Rx+。
回到本节
返回
双边序列Z变换的收敛域 双边序列就是在-∞～+∞之间均有非零值的序列。 双边序列的Z变换
回到本节
返回
例2.4： ，求Z反变换
回到本节
返回
Z变换和傅里叶变换之间的关系 Z变换 令上式中的 ，得到 式中，r是z的模，ω是它的相位，也就是数字频率。这 样， 就是序列x(n)乘以实指数序列r-n后的傅里叶 变换。
回到本节
返回
如果r= =1，Z变换就变成了傅里叶变换了，即 r=1指的是Z平面上的单位圆，因此傅里叶变换就 是Z平面单位圆上的Z变换。
数字信号处理第二章
Ω0
kΩ 0
此时，时域是连续变量的周期信号，而频域是离散等间 隔的。频域谱线的间隔与时域重复的周期之间的关系：
2π Ω0 = T0
3
0
n
0 1 2 N − 1N
n
时域周期化，使对应着频域离散化。频域离散的间隔：
2π N
6
1
第2章
离散傅里叶变换（DFT）
1、时域周期化→频域离散化
~ x(t)
& (kΩ ) = 1 X 0 T0
T0 2
0 −2
x (t )e ∫~
T
− jkΩ0t
dt
− T0
T0
2T0
t
& ( jΩ) X
~ x (t ) =
k = −∞
& ( kΩ ∑X
∞
0
) e jk Ω 0 t
• 一、时域频域离散与离散傅里叶级数（DFS） • 1、时域周期化→频域离散化： • 离散时间傅里叶变换是连续变量ω的函数，不方便与 计算机处理，为此将它离散化，也变成离散信号处理。 为此，将离散时间信号周期延展。 x ( n) ⎯ ⎯→ ~ x (n) ~ x(n) x(n)
n=0
N −1
2π − j kn N
0 1 2 N − 1N
n
1 ~ x ( n) = N
N −1 k =0
∑ X ( k )e
~
j
2π kn N
−N
⎛ j 2πk ⎞ ~ X⎜e N ⎟ = X (k) ⎜ ⎟ 1 ⎝ ⎠
Ts
~ x ( n) = x (( n)) N
0 1 2
N −1
N
n
0 1 2
数字信号处理 答案 第二章(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n )（2）x(n)=)8(π-ne j （3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1222222 3333444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2) y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)= ∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λn u(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()( =∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0 即y(n)=(n+1)u(n)(2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解ω(n)=x(n)*h1(n)=∑∞-∞=k ku)([δ(n-k)-δ(n-k-4)] =u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h2(n)=∑∞-∞=k k k ua)([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3nk ka,n≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理第三版第二章
(2.2.23) (2.2.24)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
FT的对称性
(a) 将序列x(n)分成实结部论xr(：n)与虚部xi(n)
进行FT，得： x(nx) (=n)xr(=n)x+r(njx)i(+n)jxi(n)
X(e jω) X(e
j=ω)X=e(Xe ejω(e)
j+ω)X+o(Xe ojω(e)
第1章 时域离散信号和时域离散系统
[例2.3.1] 设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行
周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列
，
周期x(为n)8，求DFS［
］。 x(n)
解
jπ k4
7
j2π kn
3 jπ kn
X (k) x(n)e 8 e 4
n0
பைடு நூலகம்
n0
1
e
4 jπk
定义：设序列xe(n)满足 xe(n)=x*e(-n) 则称xe(n)为共轭 对称序列。
共轭对称序列的性质：
将xe(n)用其实部与虚部表示： xe(n) = xer(n)+jxei(n)
两边 n 用 –n 代替，并取共轭，得：
对比两式，
x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-n)
得：
xer(n) = xer(-n)
jω)
式中
xr(n)和xi(n)都是实数序列。
Xe(ejω) 具有共轭对称性，其实部是偶函数，虚部是奇函数。 Xo(ejω) 具有共轭反对称性质，其实部是奇函数，虚部是偶函数。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
(b) 将序列分成共轭对称部分xe(n)和共轭反对称部 分xo(n)，即：
数字信号处理第二章
第二章离散系统的频域分析与系统结构学习重点★掌握Z变换的定义，性质，反变换的求法。
★掌握常用的Z变换并理解收敛域的含义。
★掌握序列傅里叶变换(FT)的定义和性质。
★掌握离散系统的变换域分析方法。
★理解Z变换与傅里叶变换的关系。
★理解系统函数和频率响应的定义和关系。
★掌握系统特性与系统函数的关系。
★掌握IIR和FIR系统结构流图的画法。
2.1 引言离散系统的分析方法通常分为时域分析和变换域分析两大类。
其中，时域分析法一般是采用直接解差分方程或者利用线性卷积的方法来求系统的响应，该部分内容在本书前文有所交代，此处不再赘述，本章将重点讲述离散系统的变换域分析方法，这是另一种很常见的系统分析方法，在实际中有很广泛的应用。
变换分析方法通常又分为频域分析和Z域分析法。
本章前半部分我们将着重学习序列傅里叶变换和Z变换的相关内容，以及基于Z变换的离散系统Z域分析法。
Z变换作为序列傅里叶变换的推广，在系统分析中占据着重要地位，这是因为在系统分析中引入Z变换和Z域分析后，可以把离散系统的差分方程转换为代数方程，使求解过程大大简化。
另一方面，作为单位脉冲响应的Z变换，系统函数的零极点在Z平面的分布也完整的刻画了系统的稳定性和因果性。
因此，序列傅里叶变换，Z变换及其性质是本章的核心内容，是变换域分析的重要数学手段，读者应熟练理解和掌握。
本章后半部分将重点介绍如何根据系统的差分方程和系统函数，画出离散系统的多种结构流图。
尽管同样的一个系统可以用不同的结构流图去实现，但不同的系统结构图代表着不同的系统算法，不同的算法直接影响系统的运算速度，误差和系统的复杂程度，因此研究实现信号处理的算法和结构是信号分析中一个重要问题。
这一部分我们将介绍不同的系统流图结构，分析各自的优缺点，从而为离散系统的具体物理实现提供了依据和方法。
2.2 序列Z 变换的定义和收敛域 1. Z 变换定义：Z 变换（简称为Z T ）是一种常用的数学变换,根据求和下限的不同取值，又分为双边和单边两种，其中序列的双边Z 变换定义如下：设()x n 为任意序列，则（2-2-1）称为序列()x n 的双边Z 变换。
数字信号处理(第三版)第2章习题答案
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
2.3
求信号与系统的频域特性要用傅里叶变换。 但分析频 率特性使用Z变换却更方便。 我们已经知道系统函数的极、 零点分布完全决定了系统的频率特性， 因此可以用分析极、 零点分布的方法分析系统的频率特性， 包括定性地画幅频 特性， 估计峰值频率或者谷值频率， 判定滤波器是高通、 低通等滤波特性， 以及设计简单的滤波器（内容在教材第5 章）等。
X e (e j ) FT[xr (n)]
Hale Waihona Puke 1 1 ej2 1 e j2 1 (1 cos 2)
24
4
2
因为 所以
Xe
(e j
)
1 2
[X
(e j
)
X
(e j
)]
X(ejω)=0π≤ω≤2π
X(e-jω)=X(ej(2π-ω))=0 0≤ω≤π
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
当0≤ω≤π时，
用留数定理求其逆变换， 或者将z=ejω代入X(ejω)中， 得到X(z)函数， 再用求逆Z变换的方法求原序列。 注意收 敛域要取能包含单位圆的收敛域， 或者说封闭曲线c可取 单位圆。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
例如， 已知序列x(n)的傅里叶变换为
X
(e
j
)
1
1 ae
j
a 1
1 求其反变换x(n)。 将z=ejω代入X(ejω)中， 得到 X (z) 1 az 1
三种变换互有联系， 但又不同。 表征一个信号和系统 的频域特性是用傅里叶变换。 Z变换是傅里叶变换的一种推 广， 单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
第２章 时域离散信号和系统的频域分析
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第2章
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即
Rxd Rxxh
对上式求逆，得到
h Rxx1Rxd
(2.2.23)
(2.2.24)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 a j b j
记
j=0, 1, 2, … （2.2.6）
j j a j b j
j=0, 1, 2, …
（2.2.７）
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为
j E[| e(n) |2 ] 0
j 0
(2.2.16)
假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
(2.2.17)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
d(n) eo pt(n)
yo pt(n)
图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系
方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概
念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n),
数字信号处理DSP第二章2.4.2
x(n)是因果序列，即x(n) = 0，n < 0 当n ≥ 0时 F ( z )在围线c内有一阶极点
a −1
z = a，a
2 n
−1
0
a
பைடு நூலகம்
Re[ z ]
x(n) = Re s[ F ( z )]z =a + Re s[ F ( z )]z =a −1
2 n ⎡ ⎤ − ( a 1) z ⎡ ⎤ (a − 1) z −1 + ⎢( z − a ) = ⎢( z − a) ⎥ ⎥ −1 −1 − − a ( z a )( z a ) − − a ( z a )( z a ) ⎣ ⎦ z =a ⎣ ⎦ z =a−1
x(n) = −∑ Re s[ F ( z )]z = zm
m
函数F(z)沿围线c反时针方向的积分等于F(z)在围线c外部 各极点的留数之和的相反数。
如何求X(z)zn-1在任一极点zr处的留数？ 1、单阶极点留数的计算公式
Re s[ F ( z )]z = zr = [ F ( z )( z − zr )]z = zr
1
1
=
m =−∞
∑ x(m) 2π j ∫
c
∞
1
c
z
( n − m ) −1
dz
∫ 2π j
1
z
( n − m ) −1
dz
令n-m=k 为整数
选择积分路径c在半径为R的圆上，即
z=Re jθ
Rx-<R<Rx+
z v ∫ 2π j
c
1
k −1
dz =
k
R v ∫ 2π j
c
1
k −1 j ( k −1)θ
现代数字信号处理第二章
2.2.2 非因果IIR维纳滤波器
非因果IIR维纳滤波器的维纳-霍夫方程为：
Rsx (m) = ∑h(i)Rxx (m−i) −∞ ≤ m ≤ ∞
i=−∞
∞
= h(m) ∗ Rxx (m)
这种线性过滤问题，可以看成一种估计问题。
ˆ x(n) = s(n) + v(n) → h(n) → y(n) = s(n)
s(n)
表示信号
v(n)
表示噪声
N
y(n)
表示输出
ˆ y(n) = s(n) = ∑h(i)x(n −i)
s 称 y(n) 是ˆ(n) 的估计值。 h(n) 为估计器。这种滤波器 称为最佳滤波器。 s 如果： (n) 和 v(n) 的谱在频域上是分离的，容易设计一个 线性滤波器抑制噪声并提取信号。这是本科中经典数字信号 处理理论中详细讨论过的数字滤波器的设计问题。但是 s(n) 和 v(n) 的谱有一部分相互重叠，则问题就要复杂的多。 一般而言，这是信号的最佳估计问题，所谓“最佳”是以一 定的准则来衡量的，通常有四种准则：
解出： 即
[h] =[h]opt =[Rxx ]−1[Rs x ]
hopt = R−1P
用有限长 h(n) 来实现维纳滤波器时（当已知 Rx x和 Rs x 时），可解得满足因果解的 hopt 。 但当N大时，计算工作量大，需要知道 Rs x 和 Rx x 的逆运 算。因此，最小均方误差准则的维纳滤波器，用有限冲激响 应的FIR滤波器来实现并非有效的方法。
Rxx (z) = Rεε (z)B(z)B(z−1) =σε2 B(z)B(z−1)
数字信号处理课件第2章
| e jZ pk |
M
r 1 N
z
e jw
| H (e jZ ) | g
| e jZ zr |
M
| e
k 1
r 1 N
e jZ
0
| e jZ zr |
0
pk
Zc Z
jZ
e jZ
pk |
zr
arg[ H (e )] arg[e
'
n f
¦
f
x ( nTs )e snTs
X ( e sTs )
z e
X ( z)
z
re
jZ
e
V Ts
(V j: ) Ts
n f
x ( n ) z n ¦
f
e
s
V Ts
e
j:Ts
^
e Z :Ts
r
z
z
re jZ |r :Ts
1
e jZ
Z
2S f f s
n f
X (e jZ )
¦
f
1, n 0 ° ® 1, n 5 °0, n ¯
Y z
X z X z z 5
X z 1 z 5
H z Y z X z 1 z 5
z
H e
jw
e jw
j 5w
1 e
e
j 5w 2
j 5w § j 5w · e 2 e 2 ¸ ¨ © ¹
n 0 f S
c n 0 f
x( n) z n z m 1dz ¦
S
x( n) v z m n 1dz ¦ ³
c
¦ x(n) jR
数字信号处理 答案 第二章
第二章2.1 判断下列序列是否是周期序列。
若是，请确定它的最小周期。
（1）x(n)=Acos(685ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-ne j（3）x(n)=Asin(343ππ+n )解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。
因此5162=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)5(16516取k k =。
（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出81=ω。
因此πωπ162=是无理数，所以不是周期序列。
（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π343ππ-n )＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。
因此382=ωπ是有理数，所以是周期序列。
最小周期等于N=)3(838取k k =2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。
计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。
(a)1111(b)(c)111110 0-1-1-1-1-1-1-1-1222222 3333 3444………nnn nnnx(n)x(n)x(n)h(n)h(n)h(n)21u(n)u(n)u(n)a n ===22解 利用线性卷积公式y(n)=∑∞-∞=-k k n h k x )()(按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。
(a) y(0)=x(O)h(0)=1y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=∑∞-∞=--k kn k n u k u a)()(=∑∞-∞=-k kn a=aa n --+111u(n)2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λnu(n)*u(n)解：(1) y(n)=∑∞-∞=-k k n u k u )()(=∑∞=-0)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞-∞=-k k k n u k u )()(λ=∑∞=-0)()(k kk n u k u λ=λλ--+111n ,n ≥0即y(n)=λλ--+111n u(n)2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n u(n),|a|<1,求系统的输出y(n).解 ω(n)=x(n)*h 1(n) =∑∞-∞=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]=u(n)-u(n-4)y(n)=ω(n)*h 2(n) =∑∞-∞=k kk u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]=∑∞-=3n k ka,n ≥32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=an-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。
数字信号处理 第二章
例3 x(n) R4 (n)，求 x(n) 的FT 解
X (e jω ) e jωn
1 π jω jωn x ( n) X ( e )e dω 2π π
例1、x(n) a n u(n)，a 1，求X (e jω )
解：由定义 X (e ) a e
jω n 0
n jωn
(ae jω )n
n 0
jω ae 1 ，则： X (e jω ) 因为: a 1 ，所以
(b) x(n) xe (n) x o (n)
结论：将序列分为共轭对称部分和共轭反对称 部分，序列的共轭对称部分对应着FT的实部， X (e jω ) X R (e jω ) jX I (e jω ) 序列的共轭反对称部分对应着FT的虚部和 j。
实序列傅立叶变换的共轭对称性可分下面几种情况 时域
例 x( n) cos ωn
当 ω 2πM 时， x (n) 序列值的波形如图(a) 所示， 它代表直流分量。 当 ω (2π 1) M 时，x (n)序列值的波形如图(b)所示，它代表最高频率分量。
cosωn
1 … -1 0 1 2 3 4 5
ω 2πM
cosωn
ω (2 M 1)π
根据定义推出
n
l
l
4.对称性
准备知识：
满足 xe (n) xe (n) 的序列 xe (n) 叫共轭对称序列。 对于实序列称偶对称；
数字信号处理(程佩青)_第二章_Z变换
2. z变换的收敛域
一种最重要的右边序列：因果序列——是指在 n≥0时x(n)有值，n<0时x(n)=0的序列。其收敛
序列为：
在|z|=∞处z变换收敛是因果序列的特征。
18
2. z变换的收敛域
因果序列及其收敛域（包括z=∞ ）
19
2. z变换的收敛域
（3）左边序列
在 时 有值，在 时 的序列 。其z变换为：
有一个
一阶极点。所以
31
1.围线积分法（留数法）
(2)当n≤-2时：函数 有一个 4 一阶极点。所以 在围线C外只
综合可得：
32
2.部分分式展开法
当X(z)为有理函数时，可以表示成
X(z) 可以展成下面的部分分式形式：
其中zi是X(z)的一个r阶极点 ，zk是X(z)的单极点（k=1,2……N-r），Bn是 整式部分的系数（M≥N时存在，M=N时，只有B0 项；M<N时Bn =0）。
59
任一序列总能表示成一个共轭对称序列与 一个共轭反对称序列之和。
要证明这一点，需要找到xe(n) 和xo(n) ，这 只要令xe(n) 和xo(n)满足下式即可 ：
60
同样，一个序列x(n)的傅里叶变换也可以分 解成共轭对称分量与共轭反对称分量之和：
其中 ，是共轭对称的， 轭反对称的。
是共
61
(5)
若已知 X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
则有： Z [ x * (n)] X * ( z * )
(6)
若已知 则有： X(z) = Z[x(n)] Rx_＜|z|＜Rx+
1 Z [ x(n)] X ( ) z
48
《数字信号处理》课件第2章 (2)
|z|>a的整个区域。
序列的性质决定了Z变换的收敛域。为了进一步搞清这种
关系，我们专门讨论几种特殊序列的情景。
第二章 Z 变 换
Z平面 Im
收敛 域
a
Re
图2.1 序列anu(n)的Z平面上的零、极点与收敛域
第二章 Z 变 换
1 假设该序列只有有限多个序列值不为零， 因而
n2
X (z) x(n)zn
n
n0
等式右边第一项的收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项的收敛域为0<|z|≤∞， 所以X(z)的收敛域为0<|z|<Rx+，同样处于以Rx+为半径的一个圆的 里边， 但Z平面的原点已不包括在收敛域之内。
第二章 Z 变 换 4. 双边序列 双边序列是从n=-∞ 延伸到n=∞的序列， 通常可写成
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn （2-10）
（2-5）
nn1
对这个Z变换而言，z=0及z=∞有可能是它的极点， 这要视n的具
体取值而定。首先，如果n1≥0，x(n)为因果序列, 此时z=∞将不再 是极点，因而其收敛域应该是0<|z|≤∞，即z=∞ 也在其收敛域内。
其次，如果n2<0（即n<0），这时z=0已不是极点，收敛域将是 0≤|z|<∞，Z平面的原点也处于其收敛域内。最一般的情况可能是
x(n) 1 2πj
C'
X
1 p
pn1
p2dp
（2-22）
第二章 Z 变 换
第二章 Z 变 换
对于有理Z变换而言，围线积分用留数定理求值较方便。此时
x(n) 1 X (z)zk1dz [ X (z)zn1在C之内的极点上的留数 ]
数字信号处理 第2章
x(n)21
π
2
x(ej) d
n
2ππ
（2.2.35）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
证明
n x ( n )2 n x ( n ) x * ( n ) n x * ( n ) 2 1 π π π X ( e j ) e j n d
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
交换积分与求和的次序，得到：
Y(ej)2 1 π π πH (ej) n x(n)ej( )n d
1 π H(ej)X(ej())d
2π
1 X(ej)H(ej) 2π
(2.2.34)
该定理表明，在时域两序列相乘，转移到频域时
服从卷积关系。
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
h(0) n 0
he (n )
1 2
h(n)
n0
1 2
h
(
n
)
n0
（2.2.26）
0
n0
ho (n)
1 2
h(n)
n0
1 2
h ( n )
n0
（2.2.27）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
按照上面两式，实因果序列h(n)可以分别用he(n)和 ho(n)表示为
h(n)he(n)u(n)
（2.2.1）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
FT为Fourier Transform的缩写。FT［x(n)］存在的充 分必要条件是序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：
| x(n) |
n
（2.2.2）
X(ejω)的傅里叶反变换为
x(n)IF [X T (ej) ]1πX (ej)d（2.2.3） 2π π
数字信号处理2.4
x(n)
DTFT
n
(c)
To
o
~ | X (k ) |
N点
~ x (n)
DFS
n
(d ) o
一 个 域 的 离 散 对 应 另 一 个 域 的 周 期 延 拓
k
一 个 域 的 连 续 必 对 应 另 一 个 域 的 非 周 期
o
N点
N点
2.4
DTFT与ASFT之间的关系
x(n) xa (nT )
fs 2
0.5
fs 1
f f′
2f
/ fS
或 T
s －1
s 2 0
－ 0.5 0
s 2 0.5
π
0.5
s 1
2π
1
2π
－1
π
－ 0.5
0 0
模拟频率与数字频率之间的定标关系
例: 设 xa (t ) cos(2f 0t ), f 0 50Hz ，以采样频率 f s 200Hz 对
X a ( j )
2f 0
X ( e j )
2
2
2(n)，求
xa (t )和 x(n)的FT。
X a ( j) [ ( 2f 0 ) ( 2f 0 )]
X (e )
j
k
[ ( 2 2k ) ( 2 2k )]
2f 0
~ 其中 X (k ) ~ x (n)e
n 0
N 1
j
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.1 z变换与拉氏变换关系 模拟信号的理想冲激抽样表达式为
x s (t ) x(t )
n
( t nT )
n
x(得
X s ( s)
x s (t )e
st
z
1
snT
z
n
j
j
X (s)
sT
1 e
ds
X (s) Res , sk sT 1 1 e z k
2.4.2 z变换与序列傅里叶变换关系 由s平面与z平面映射关系知道：s平面虚轴映 射到z平面单位圆上，而s平面虚轴上的拉氏变换 就是傅里叶变换。因此，单位圆上的z变换即为序 列的傅里叶变换。
总之，对连续信号可以采用拉氏变换、傅里 叶变换对它进行分析。傅里叶变换是虚轴上的拉 氏变换，反映信号频谱。对于离散信号(序列)， 相应可采用z变换及序列傅里叶变换分析。序列傅 里叶变换是单位圆上的z变换，反映的是序列频 谱 。理想抽样沟通了连续信号拉氏变换、傅里叶 变换与抽样后序列z变换以及序列傅里叶变换之间 的关系。
如果已知信号的拉氏变换，可对其求拉氏反 变换，再取样后求其Z变换可得
1 X ( z) n 0 2 j
j
j
X ( s) e
snT
n ds z ds
1 2 j 1 2 j
j
j
X ( s)
n 0
e
s j z re
j
j
re
e
( j )T
e e
T
jT
r e
T
T
以上两式表明s~z平面有如下映射关系： (1) s平面上的虚轴映射到z平面是单位圆, 其右半平面映射到z平面是单位圆的圆外, 其左半平面映射到z平面是单位圆的圆内. (2) s平面的实轴映射到z平面是正实轴 (3) s平面与z平面的映射关系不是单值的
X ( z)
ze
j
X (e )
1 2
j
n
x ( n )e
n 1
jn
x ( n)
j
X ( z) z
c
dz
如果上式中积分围线选择为单位圆，那么
x ( n)
X (e 2
1
j
)e
jn
d
j jn X (e ) x ( n) e n j jn x ( n) 1 X (e )e d 2
dt
n
x(nT ) e
nsT
X s ( s)
s
1 T
ln z
n 1 T
x(nT ) z
ln z
n
X ( z)
X s (s)
s
X ( z)
X ( z)
z e
sT
X s ( s)
sT
z e
将s表示成直角坐标形式，而将z表示成极坐标 形式，即