浅谈几种行列式的解法

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行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A •=0， nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式的计算技巧和方法总结

计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做 1、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=2、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =.332112322311312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++ 例1计算三阶行列式601504321-解 =-601504321601⨯⨯)1(52-⨯+043⨯⨯+)1(03-⨯⨯-051⨯⨯-624⨯⨯-4810--=.58-=但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。

但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。

以便计算。

计算上三角形行列式nn nnn n a a a a a a a a a 221122211211000=下三角形行列式 nnn n a a a a a a 21222111000.2211nn a a a =对角行列式nn nnn n a a a a a a a a a221121222111000=二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为T D 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D=则 nnn n n n T a a a a a a a a a D212221212111=. 性质1 行列式与它的转置行列式相等, 即.T D D = 注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i ⨯γ(或k C i ⨯).推论1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. 推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零. 性质4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n in in i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作j i kr r +; 以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作j i kc c +.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若21101321-=D , 则.213102011D D T =-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）.（2）1211021101211121---=--（第二、三列互换）（3）072501111=（第一、二两行相等）（4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍. （2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--.例6 设,1333231232221131211=a a a a a a a a a 求.53531026333231232221131211a a a a a a a a a ---- 解利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a 15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=. 例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-.因此221312303212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D . 解先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-72160112064802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r -+ 1510001080011202131---- 3445r r +.4025001080011202131＝--- 例12计算.3111131111311113=D 解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r r r r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a --- 解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a = 例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a a dc b a cb a ba a d c baD ++++++++++++++++++=解从第4行开始，后一行减前一行：Drr r r r r ---33412 .363023200c b a b a a c b a b a a c b a b a a d c b a +++++++++ 3423r r r r -- .20200ba a ab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dc ba =++++三、行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ij a 的余子式, 记为ij M , 再记ij j i ij M A +-=)1(称ij A 为元素ij a 的代数余子式.引理（常用）一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ij a 外都为零，则该行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积，即 ij ij A a D =定理1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++= 或 ).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++或 .,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kkj j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中k i i ,,1 为k 阶子式M 在D 中的行标,k j j j ,,,21 为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质. 定理2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2) .3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式 .5021011321014321---=D解 521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式 .0532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D 53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证 21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn ----- 1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ---- 11011100111101111111111)1(1xx x xn -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x x xx例19设,3142313150111253------=D D 中元素ij a 的余子式和代数余子式依次记作ij M 和ij A ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解注意到14131211A A A A +++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A 3413r r r r +- 0011202250111111---11222511---=12c c + .4205201202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M 34r r + 311501121)1(0010313150111251---=---- 312r r - .0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式2100321003210032 的值. 解按第一行和第二行展开..;2132132132=2132)1(21322121+++-⨯231)1(3123121+++-⨯+23)1(3233221+++-⨯+121+-=.11-=。

行列式的计算技巧与方法总结讲解

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式的计算技巧

行列式的计算技巧行列式的计算技巧很多，在这里，我们介绍常见的一些行列式的计算技巧,主要包括行和或列和相等，爪型（歪爪型）、范德蒙（伪范德蒙）、加边法、递推降阶法、层层递加（减）法等等。

方法1 行（列）和相等这类行列式的计算一般把行列式的行全部加到第一行，或者把所有的列全部加到第一列，习惯上，我们可以全部加到第一列，提取公因子后，第一列全部变成1，从而方便我们植1造0，或者在此时观察行列式的特点，进一步化成上三角或者下三角来进行计算。

例1 .兰州大学2004招收攻读硕士研究生考试工试题第四大题第（1）小题。

求如下行列式的值。

12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式，这样行列式的次数就降了一次。

解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑对行列式xa a a a a a a x a a a n nn 32322211111 进行观察，此时一般有两种途径，一种是在第一列造0，把第二行开始后的每一行都减去第一行，或者利用第一列的1，把第一列的倍数加到其他列来造0，具体采用哪个看具体问题，在本题中，可以考虑把第一列的1a -倍加到第2列，第一列的2a -倍加到第3列，，第一列的n a -倍加到最后一列，。

从而有)())()((1010010001)(1111)(2112312231211323222111n n i i nni i n n n ni i n a x a x a x x a a x a a a a a a a a a x x a xa a a a a a a xa a a x a D ---+=------+=+=∑∑∑===+方法2 爪（歪爪）型行列式此类行列式有三条线构成，类似一个爪子，或者歪爪，可以采用去爪的方法来做，特别注意歪爪只能去掉歪了的爪子，在去爪的过程中，利用主对角线上的元素来去爪子，层层递进即可。

八大类型行列式及其解法

八大类型行列式及其解法一、行列式的定义行列式是一个重要的线性代数概念，用于刻画矩阵的性质和求解线性方程组。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作det(A)或|A|。

行列式的定义如下：对于2阶方阵A = [a11 a12] ，其行列式定义为det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。

对于3阶及以上的方阵，行列式的定义并不直观，可以通过划线法、拉普拉斯展开等方法进行计算。

接下来，我们将介绍八大类型的行列式及其解法。

二、二阶行列式二阶行列式的计算非常简单，直接应用行列式的定义即可。

对于2阶方阵A =[a11 a12；a21 a22] ，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 - a12 * a21。

三、对角行列式对角行列式是指所有非对角元素都为0的行列式。

对于n阶对角行列式A =diag(a1, a2, …, an)，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。

四、三角行列式三角行列式是指所有主对角线以下元素为0的行列式。

对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：de t(A) = a11 * a22 * … * ann。

五、上三角行列式上三角行列式是指所有主对角线及以上元素为0的行列式。

对于n阶上三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。

六、下三角行列式下三角行列式是指所有主对角线及以下元素为0的行列式。

对于n阶下三角行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a11 * a22 * … * ann。

七、轮换行列式轮换行列式的计算是一种常用的方法，可以通过对行列式中元素的位置进行变换，从而简化计算过程。

对于n阶轮换行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = a1 * a2 * … * an。

八、范德蒙行列式范德蒙行列式是一类特殊的行列式，可以应用于插值、多项式拟合等问题中。

对于n阶范德蒙行列式A，其行列式计算公式为：det(A) = Π i<j (xi - xj)。

(完整版)行列式的计算方法总结

行列式的计算方法总结:1. 利用行列式性质把行列式化为上、下三角形行列式.2. 行列式按一行(一列)展开,或按多行(多列)展开(Laplace 定理). 几个特别的行列式:B A BC A BC A ==0021,B A BA D DB Amn )1(0021-==,其中B A ,分别是n m ,阶的方阵. 例子: nn abab ab b a b abaD 22=,利用Laplace 定理,按第1,+n n 行展开,除2级子式ab ba 外其余由第1,+n n 行所得的2级子式均为零. 故222222112)()1(--+++++-=-=n n n n n n n D b a D ab b a D ,此为递推公式,应用可得n n n n b a D b a D b a D )()()(224222222222-==-=-=-- .3. 箭头形行列式或者可以化为箭头形的行列式.例:nn n n n n n a x x a a x x a a x x a a a a x x a a a a x a a a a x a a a a x ------=0001133112211321321321321321 -----(倍加到其余各行第一行的1-) 100101010011)(3332221111-------⋅-=∏=nn n n i i i a x a a x a a x a a x x a x --------(每一列提出相应的公因子i i a x -) 1001000010)(33322221111nn n ni ii i n i i i a x a a x a a x a a x a a x x a x ----+-⋅-=∑∏== --------(将第n ,,3,2 列加到第一列)其它的例子：特点是除了主对角线,其余位置上的元素各行或各列都相同.n x a aa a a x a a a a a x a a a aa x a ++++ 321,nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++ 321321321321. 4. 逐行逐列相减法.行列式特点是每相邻两行(列)之间有许多元素相同.用逐行(列)相减可以化出零. 5. 升阶法(或加边法, 添加一行一列,利于计算,但同时保持行列式不变).例子:nn n n nnn n nn n n nn b a b a b a a b a b a b a a b a b a b a a b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a ++++-++++-++++----=++++++++++++10101010000011112122212212111121212221212111∑∑∑∑∑∑======+--+=---+--+=------=ni in i i i ni in ni i n i i i ni in n b b a na b b b b b a na a a ab b b 1112111121211110100000101111111010100111011101∑∑∑∑∑∑∑=≠======-+++=-++=nj nji i j i j ni i ni i ni i i ni i ni i a a b b a b a n b a 1111111)(1)1)(1(.例子:nnx a aaaa x a a a a a x a a a a a x a a a a a x a aaaa x a a a a a x a aa a a x a ++++=++++0001321321).1(00000000000010100010001000111213211321∑∑==+=+=----=ni in nni inx a x x x x x x x a a a a x a x x x x a a a a6. 利用范德蒙德行列式.计算行列式: n nn n nn nn n n nnx x x x x x x x x x x x x x x x D321223222122322213211111----=解: 令: nnnn nn n nn n n n nn n n ny x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D211112112222212222212111111--------=,这是一个1+n 级范德蒙德行列式. 一方面,由范德蒙德行列式得)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ .可看做是关于y 的一个n 次多项式.另一方面,将1D 按最后一列展开,可得一个关于y 的多项式01111p y p y p y p D n n n n ++++=-- ,其中1-n y 的系数1-n p 与所求行列式D 的关系为1--=n p D .由)())(()(2111n ni j j ix y x y x y x xD ---⋅-=∏≤<≤ 来计算1-n y的系数1-n p 得:∑∏=≤<≤-⋅--=ni i ni j j in x x xp 111)(,故有∑∏=≤<≤-⋅-=-=ni i ni j j in x x xp D 111)(其它的例子:=+-+++-++-++------n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n nb b a b a b a a b b a b a b a a b b a b a b a a 111121211111212222222122111121211111……每一行提公因子n i a ,nn n n n n n n n n n n n n nn n n a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a ba b a a a )()()()(1)()()()(1)()()()(1111112111122122222221111121111121++-++++++--+=).(1121∏≤<≤+-=n i j j j ii nn n n a b a b a a a7.利用数学归纳法证明行列式.(对行列式的级数归纳)证明当βα≠时,,1000001000100011βαβαβααββαβααββααββα--=+++++=++n n n D证明时,将n D 按第一行(或第一列)展开得21)(---+=n n n D D D αββα,利用归纳假设可得. 8. 利用递推公式.例子: 计算行列式,10000010001000βααββαβααββααββα+++++=n D 解: 按第一行展开得: 21)(---+=n n n D D D αββα,将此式化为:(1) )(211----=-n n n n D D D D αβα或 (2) )(211----=-n n n n D D D D βαβ 利用递推公式(1)得:n n n n n n n n D D D D D D D D βαβαβαβα=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D βα+=-1. (3)利用递推公式(2)得:n n n n n n n n D D D D D D D D αβαβαβαβ=-==-=-=-------)()()(122322211 ,即n n n D D αβ+=-1. (4)由(3)(4) 解得: ,,)1(,11⎪⎩⎪⎨⎧=+≠--=++βααβαβαβαn n n n n D其它的例子nn acb a ac b a c b a D00000000000=,按第一行展开可得21---=n n n bcD aD D ,此时令,,bc a ==+αββα则21)(---+=n n n D D D αββα,变形为211)(----=-n n n n D D D D αβα,此为递推公式.利用刚才的例子可求得结果. 这里,,bc a ==+αββα即βα,是方程02=+-bc ax x 的两个根.9. 分拆法.将行列式的其中一行或者一列拆成两个数的和,将行列式分解成两个容易求的行列式的和.例子:accccb ac c c bb ac c bbbac b b b b c a c accccb ac c c bb ac c bbbacb b b b a D n-+==210000V V acccb ac c b b a c b b b a b b b b c a accccb ac c c b b a c c b b b a c b b b b c +=-+=1V : 除第一行外,其余各行加上第一行的1-倍,所得行列式按第一列展开,2V 按第一列展开.11)(0000000--=----------=n b a c ba b c b c bc ba b c b c b b b a b c ba b b b b c V12)(--=n D c a V , 故11)()(---+-=n n n D c a b a c D ,由c b ,的对称性质,亦可得11)()(---+-=n n n D b a c a b D ,这两个式子中削去1-n D ,可得结论,bc c a b b a c D nn n ----=)()(.注: (1) 同一个行列式,可有多种计算方法.要利用行列式自身元素的特点,选择合适的计算方法. (2) 以上的各种方法并不是互相独立的,计算一个行列式时,有时需要综合运用以上方法,。

论文浅谈行列式的计算方法

浅析行列式的计算方法刘欣（数学科学学院,2007（4）班，07211448）[摘要]行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍几种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法. [关键词]行列式加边法递推公式法行列式是线性代数中的一个基本工具.无论是高等数学领域里的高深理论，还是现实生活里的实际问题，都或多或少的与行列式有直接或间接的联系，所以本文针对几种行列式的结构特点归纳了行列式计算的常用计算方法，并以实例加以说明.一、按照行列式的性质将行列式化成上三角(下三角或反三角)法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径,大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质,将行列式化成上三角(下三角或反三角)的形式,再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式,而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换(列变换),变成阶梯形(上三角)的行列式,再根据定义计算即可. 其计算步骤可归纳如下:(1)看行列式的行和(列和),如果行列和相等,则均加到某一列(行) (2)有公因子的提出公因子.(3)进行初等行变换(列变换)化成上三角(下三角或反三角)的行列式. (4)由行列式的定义进行计算.由以上四步,计算一般行列式都简洁多了.例1 计算行列式3214214314324321.解显而易见,该行列式的行和相等,知32102140143043203214214314324321=1112220311*******321121411431432110-----==例2 计算n 阶行列式ab bb a b b b a D n=.解 ()[]a b bab b b n a D n1111-+=()[]ba b a b bb n a ---+=0011()[]1)(1---+=n b a b n a .二、行列式的乘法原理法行列式的乘法原理:对任意两个同阶矩阵A ,B ,都有B A AB ⨯=,大家都知道,对于矩阵的乘法已是非常麻烦了.尤其是对高阶矩阵而言,其难度越明显.若按照常规办法,先计算AB 再计算AB ,显然过于烦琐.直接应用行列式的原理,就显得方便简洁.同样,如果D=AB ,其中A ,B 为同阶方阵,则B A AB ⨯=,从而达到优化计算的目的,应用行列式的乘法原理,主要是会将一个方阵拆成两个易计算行列式的同阶方阵,使矩阵的行列式计算简洁化.⋅=---=160444003110432110例3 设221;,2,1,0,-+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=j i ij k n k k k S a k x x x S .),,3,2,1,(n j i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=求ij a .解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---22121110)(n nn n n ij s s s s s s s s s a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++++++++=------222211111122111111n nn nn nn n n nn nnn n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x n⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=------11221111121121111111n n nn n n n n n n x x x x x x x x x x x x，由行列式的乘法原理：ij a 11221111121121111111------⨯=n nnn n n nn n n x x x x x x x x x x x x∏∏<<--=j i i j ji i jx x x x)()(2)(∏<-=ji i j x x .三、递推公式法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用.适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一行（列）展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值.运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式: （1）若1-=n n pD D 时，则11D p D n n -=（2）若2211--+=n n n D A D A D 时，则122111--+=n n n t A t A D （其中1A ，2A 为待定系数）由（1）的计算过程显然易见，而（2）中却出现了两个未知数，1t ,2t ,这两个未知数可以通过0212=--A x A x 的两根来确定.例4 计算n 阶行列式ba ab b a b a ab b a ab b a D n +++++=0000010001000.解将n D 按第一行展开，得ba ab b a b a ab ab D b a D n n +++-+=-100000001)(1，于是得到一个递推关系21)(---+=n n n abD D b a D ，变形得)(111-----=n b n n b n D D a D D ，易知)()(4333221--------==n b n n b n n b n D D a D D a D D[]nn bn a b a b ab b a aD D a=+--+==---)()()(22122，所以1-+=n n n bD a D ，据此关系式在递推，有22121)(----++=++=n n nn n nn D b b aabD ab aDnn n nn n n nbab b aa D bb a b a a ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=-----1111221，如果我们将n D 的第一行元素看作b a +，1+0,…0+0,按第一行拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式如下：1-+=n nn bD aD ，同样可得nD 的值.例5 计算n 阶行列式accb ac b b aD n=，其中0,≠≠bc c b .解将n D 的第一行视为c c c c a +++-0,,0,)( ，据行列式的性质，得accb ac b b c a cb a b bc a a ccb ac b b c c a D n+-=+++-=000因为11)()(---+-=n n n b a c D c a D （1）由b 与c 的对称性，不难得到11)()(---+-=n n n c a b D b a D （2）所以联立（1），（2）解之，得[]n n n b a c c a b c b D )()()(1----=-用递推公式法计算行列式，逻辑性较强，其适用于计算那些有一定规律但却十分费解的行列式.四、提取公因式法若行列式满足下列条件之一，则可以用此法：（1）有一行（列）元素相同，称为“a a a ,,, 型”.（2）有两行（列）的对应元素之和或差相等，称为“邻和型”. （3）各行（列）元素之和相等，称为“全和型”.满足条件（1）的行列式可直接提取公因式a 变为“1，1，…，1型”，于是应用按行（列）展开定理，使行列式降一阶.满足（2）和（3）的行列式都可以根据行列式的性质变为满足条件（1）的行列式，间接使用提取公因式法.例6 计算行列式nn n n a x a a a a x a a a a x D +++=212121.解该行列式各行元素之和等于∑=+ni i a x 1，属于“全和型”，所以nn n ni i n a x a a a x a a a x D +++=∑= 2221111)(xx a a a x n ni i001)(21∑=+=)(11∑=-+=ni in a x xabb a abb a n ⨯=-1nb a )(22-=.五、加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。

解行列式的方法

解行列式的方法
哇塞，解行列式可是线性代数中超级重要的一部分呢！那到底怎么解行列式呢？这就来详细说说。

首先呢，最常见的方法就是按行或按列展开。

就像剥洋葱一样，一层一层地把行列式展开。

步骤就是选定一行或一列，然后用这一行或一列的元素分别乘以它们对应的代数余子式，再把这些乘积加起来。

这里要注意哦，代数余子式的符号可不能搞错啦！这个方法简单直接，但有时候计算量可能会有点大哦。

在解行列式的过程中呀，安全性那是杠杠的，只要你按照步骤来，一步一步认真算，就不太会出错。

稳定性也很高呀，不管行列式多大，都可以用这个方法慢慢解出来。

那它都有啥应用场景和优势呢？哎呀呀，那可多了去啦！在很多工程问题、物理问题中都有它的身影呢。

它的优势就在于能把复杂的问题转化为行列式的计算，让我们可以有条理地去解决。

而且一旦掌握了方法，就像拿到了一把钥匙，能打开很多知识的大门呢！
来举个实际案例吧。

比如说在研究电路网络的时候，通过建立行列式就能分析出电流的分布情况。

哇，是不是很神奇？就像我们找到了一个神奇的工具，能让复杂的电路变得清晰明了。

所以呀，解行列式真的是超级厉害的工具呢！它能帮我们解决好多难题，让我们在数学和其他领域都能游刃有余呀！。

浅谈求解行列式的几种方法

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浅谈求解行列式的几种方法
作者：李晓颖
来源：《中国校外教育·理论》2012年第04期
行列式在线性代数中起了一个非常重要的作用，本文总结了几种计算行列式的方法.
行列式计算线性代数
行列式是线性代数中的一大重点，也是考研的一个必考题型，它在线性代数中起到了一个非常重要的作用。

下面谈谈计算行列式几种常见的方法：
第一种方法完全展开式法：简单的行列式可以利用定义把行列式完全展开进行计算。

第二种方法利用行列式的性质计算行列式：
第三种方法递推法：
第四种方法数学归纳法：
第五种方法利用范德蒙行列式：
以上五种方法是计算行列式常用的重要方法，掌握这几种方法一般行列式都可以迎刃而解，有时一个行列式也可以用多种方法，计算行列式是线性代数中的基础，也是重点。

参考文献：。

线性代数之行列式问题求解方法总结

线性代数之行列式问题求解方法总结
在考研数学中，行列式是线性代数中最基本的知识点，也是线性代数必考知识点之一，是历年线性代数中非常基础和重要的知识点，是各位考生比较容易出错的一个知识点。

考研数学线性代数对行列式的的要求，不仅要会计算行列式，更要能够快速高效解决行列式的计算。

下面我总结了一些计算行列式的解法，希望对正在备考2020年考研和即将备考同学们有些帮助。

计算行列式的方法主要有：
（1）三角法：
一个行列式通过各种变换化简成上(下)三角，然后通过对角线相乘，得到行列式的值。

（2）利用行列式的性质
（3）加边法：
（4）把行列式各列各行都加到某一列或某一行：
只要行列式各行或各列加和相等，就可以把行列式各列各行都加到某一列或某一行，然后利用行列式的性质化简该行列式
（5）利用范德蒙行列式
（6）利用递推法
（7）按行列式的某行或某列展开
几个重要结论：
（1）主(次)对角行列式
题型一：利用行列式的性质
例1：
解：
题型二：把行列式各列各行都加到某一列或某一行例2：
解：。

n行列式解法

n行列式解法
n行列式是一个方阵，其有n行n列。

我们可以使用不同的方法来解决n行列式问题。

1. 全展开法：对于一个n行列式，我们可以使用全展开法来求解。

即将该行列式按照任意一行或一列展开为n个n-1阶行列式的乘积之和。

这样我们就可以逐步求解出所有的n-1阶行列式，直到得到1阶行列式为止。

2. 克拉默法则：对于一个n行n列的线性方程组，我们可以使用克拉默法则来求解n行列式。

该方法利用了行列式的性质，通过求解系数矩阵的各个子行列式来得到未知数的值。

3. 初等变换法：对于一个n行n列的行列式，我们可以利用初等变换法来求解。

通过对行列式进行一系列的初等行变换或初等列变换，将其转化为一个简单的行列式，从而求解出行列式的值。

这些方法都可以用来解决n行列式的问题，具体选择哪种方法取决于具体情况和个人偏好。

希望以上能对您有所帮助！如果有任何其他问题，请随时提问。

浅谈行列式的计算方法

浅谈行列式的计算方法
在线性代数中，行列式是一个重要的基本工具，因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。

下面结合几年来的教学实践，谈谈计算行列式的常用方法。

(一)定义法
即把行列式按第一行进行展开，其值等于该行所有元素与其相应的代数余子式乘积之和而得到，请看：
通过此题的计算，我们体会到第一行的零元素越多，按第一行展开时，计算就越简便。

(二)三角形法
这是计算行列式的一种基本方法。

它是把一个行列式通过行列式的性质，设法把它们化为三角形行列式，然后求其值。

请看：
方法：把第一行乘以(－1)分别加到第2行、第3行、……、第n行，然后再按第一列进行展开。

从本例可以看出，如果在一个行列式中，位于主对角线上(下)边各个元素与第1行(或)列中，同列(或)行的元素都相同或互为相反数，那么把它化为三角形行列式将是较为方便的。

(三)降阶法
即利用行列式的有关理论降低行列式的阶数，然后计算行列式。

方法：因第3行只有一个元素不是零，故按这一行进行展开。

(1行、3行对应元素成比例)
(四)拆开法
如果行列式的某些行(或)列的元素有规律地表示为两项的和，就可以把该行列式拆开为两个行列式之和，然后再进行计算。

此外，还有递推法、利用反对称行列式的性质来计算行列式的方法，本文暂不做阐释。

从以上我们介绍的几种计算行列式的方法中，我们可以清楚地看到，许多方法不是单独使用的，这就要求我们要仔细观察行列式的结构，以找出切实可行的办法来达到快速、准确、方便地计算行列式。

行列式的求解方法

行列式的求解方法
行列式是线性代数中重要的概念，可以用来计算矩阵的逆、转置、特征值、特征向量等。

以下是行列式的求解方法的相关参考内容：
1. Laplace展开法：将行列式按照某一行或列展开为多个次小
的行列式之和，再依次递归求解。

详见线性代数教材。

2. 三角形式法：通过初等行变换将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，此时行列式为对角线元素的乘积。

详见线性代数教材。

3. 克拉默法则：用未知数所在的列代替系数矩阵的一列，再将行列式按照某一行或列展开，可得到未知数的值。

详见线性代数教材。

4. 行列式性质：行列式具有线性性、交换行列式的值变号、行互换变号等性质，可用于简化计算。

详见线性代数教材。

5. 求解3阶、4阶行列式的特定方法：对于3阶行列式，可用
对角线乘积减去反对角线乘积计算；对于4阶行列式，可用Sarrus法则计算。

详见线性代数教材。

综上所述，行列式的求解方法有多种，具体选择何种方法取决于所面对的具体问题。

常见行列式求法

常见行列式求解方法
说起这常见行列式求解方法，咱们四川人讲究的就是个直截了当，不搞那些弯弯绕绕。

首先呢，你得晓得啥子是行列式，简单说，就是个方方正正的数字阵。

要求解它，有几种法子，咱一个个来摆。

第一种，直接计算法，适合那些小打小闹的行列式，三乘三啊，四乘四的，直接套公式，加减乘除一顿操作，答案就出来了。

但要是大了点，这法子就恼火了，容易把人绕晕。

第二种，利用性质化简，这法子讲究个技巧，通过行列式的性质，比如换行换列、数乘啊，把这些数字整得简单点，再求解就轻松多了。

第三种，递归法，遇到那种高阶行列式，直接计算行不通，咱就分而治之，把它拆成小的行列式来求，像剥洋葱一样，一层一层来，最后汇总一下，答案也就有了。

还有种高级的，叫拉普拉斯展开定理，这玩意儿有点深奥，一般场合用不上，但要是碰到了复杂的行列式，这法子能派上大用场，不过得有点儿数学功底才行。

总之呢，求解行列式，关键是要根据具体情况，选对方法，别一股脑儿地蛮干。

学会了这些技巧，以后遇到行列式，咱也能游刃有余，轻松搞定。

行列式的若干解法

行列式的若干解法一、定义法注意到“上下三角形”行列式的值等于对角线元素的乘积，由行列式的定义可直接计算元素非常稀疏或本身就是上下三角形式的简单行列式．例1 nn D n 000000100200100-=计算行列式　.解：　n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=.二、行列式在初等变换下的性质行列式经初等行变换和初等列变换，行列式值的变化有一定规律： 1．行列式的行列互换（即方阵转置），行列式不变； 2．互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3．行列式中某行各元同时乘以一个数等于行列式乘以这个数；4．行列式中某行（列）各元同时乘以一个数，加到另外一行（列）上，行列式不变； 5．行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零；6．行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆成另两个行列式的和；7．行列式各行或各列若线性相关，行列式为零．一些特征明显的行列式可以直接用行列式的性质求解．例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称为反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明：由　ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312 nn nn nn n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，000)1(0000321323132231211312321323132231211312 nn n n nnn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n ,　n n D D -=因而得0=n D .三、高斯消元法由行列式的定义，计算一般n 阶行列式的值的复杂度为(!)O n ，对n ≥4的非稀疏方阵并不实用，因此有必要寻找更好的方法．用行（列）初等变换将方阵化为上（下）三角形状，是计算行列式的基本方法．原则上，每个行列式都可利用行列式在初等变换下的性质化为三角形行列式．这个变换过程可用解线性方程组的算法（高斯消元法）严格描述，其复杂度为3()O n ，由原来的指数阶复杂度降低到了多项式阶复杂度．例3 计算行列式2101044614753124025973313211----------=D . 解：这是一个阶数不高的数值行列式，通常将它化为上（下）三角行列式来计算．()()()()()()()()()()2313214315412311231112310010202041020410010202153021530022200222D +---↔----------------- ()()()()()()43523421-12-31112310204-10304100-10-200102001-12000100022-200026+++---------()()524112310204112(1)(1)(6)12 001020001000006+----=-⋅---=----．四、行列初等变换成上下三角形式但对于阶数高的行列式，高斯消元法仍然有着较高的复杂度，且仅适用于数值行列式的计算，难以推广到含参数行列式．因此，对元素排列较有规律的行列式，应利用行列式的性质将其变形成三角形行列式，而不是直接使用解线性方程组的高斯消元法．例4 计算n 阶行列式a b b b b a bb D bb ab b b ba=. 解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得ab b b abb b a b b b b n a ab b b n a b abbn a b b a b n a b b b b n a D1111])1([)1()1()1()1( -+=-+-+-+-+=[]])(])1([00000001)1(1---+=----+=n b a b n a ba b a b a bb b b n a .五、Laplace 展开法Laplace 展开的四种特殊情形： 1）0nn nn mm mn mm A A B C B =⋅ 2）0nn nm nn mm mm A C A B B =⋅3）0(1)nn mn nn mm mmmnA AB BC =-⋅ 4）(1)0nm nn mn nn mm mmC A A B B =-⋅应用行列式的Laplace 展开，把一个n 阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n 阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．［注意］用此方法一定要看Laplace 展开后的行列式是否具有较低阶的相同结构．如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法．例5 证明如下行列式：0001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++11,n n n D αβαβαβ++-=≠-证明　：其中［分析］虽然这是一道证明题，但我们可以直接求出其值，从而证之．此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式．从行列式的左上方往右下方看，即知1n D -与n D 具有相同的结构．因此可考虑利用递推关系式计算．证明：按第1列展开，再将展开后的第二项中n-1阶行列式按第一行展开有：12n n n D D D αβαβ=－－（＋）－这是由D n-1 和D n-2表示D n 的递推关系式．若由上面的递推关系式从n 阶逐阶往低阶递推，计算较繁，注意到上面的递推关系式是由n-1阶和n-2阶行列式表示n 阶行列式，因此，可考虑将其变形为：11212n n n n n n D D D D D D αβαββα－－－－－－＝－＝（－）或 11212n n n n n n D D D D D D βααβαβ－－－－－－＝－＝（－）现可反复用低阶代替高阶，有：23112233422221[()()](1)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D αβαβαβαβαβαβαβααββ-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=同样有：23112233422221[()()](2)n n n n n n n n n n nD D D D D D D D D D βαβαβαβαβααβαββαβα-+--+=－－－－－－－－－＝（－）＝（－）＝（－）＝＝（－）=因此当αβ≠时由（1）（2）式可解得：11n n n D αβαβ++-=-证毕．例6 计算行列式 xa a a a a x xx D n n n +---=--1232100000100001. ［分析］对一时看不出从何下手的行列式，可以先对低阶情况求值，利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．解：当2=n 时，21221222)(1a x a x a a x x a x a x D ++=++=+-= 假设k n =时，有k k k k k k a x a x a x a x D +++++=---12211则当1+=k n 时，把1+k D 按第一列展开，得11221111)(+---++++++++=+=k k k k k k k k k a a x a x a x a x x a xD D 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=+++++由此，对任意的正整数n ，有n n n n n n a x a x a x a x D +++++=---12211 .六、加边法有时为了计算行列式，特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法称为加边法．当然，加边后所得的高一阶行列式要较易计算．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母，也可用于其列（行）的元素分别为n-1个元素的倍数的情况．加边法的一般做法是：1111111111121221222121111100000n n n n n n n n n nnn nnnn nna a a a a ab a a a a D a a b a a a a a a b a a === 特殊情况取121n a a a ==== 或 121n b b b ====加边法能否顺利应用，关键是观察每行或每列是否有相同的因子．例7 计算n 阶行列式：21121221221221212111n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+［分析］我们先把主对角线的数都减1，这样我们就可明显地看出第一行为x 1与x 1,x 2,…, x n 相乘，第二行为x 2与x 1,x 2,…, x n 相乘，……，第n 行为x n 与 x 1,x 2,…, x n 相乘．这样就知道了该行列式每行有相同的因子x 1,x 2,…, x n ，从而就可考虑此法．解：11112122112121221222121212121211(1,,)(1,,)110110001010011101001001001i i i i nn n n n n n nn nin i ni i n i n r x r c x c i n x xx x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+=-+=+-=+-+-+=+∑∑对行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同的行列式，在“加边法”的框架下，有针对此种问题的特殊解法．1）在行列式D 的各元素中加上一个相同的元素x ，使新行列式*D 除主对角线外，其余元素均为0；2）计算*D 的主对角线各元素的代数余子式(1,2,)ii A i n =;3)*,1niji j D D xA==-∑例8 .求下列n 阶行列式的值：111211212111n n n D n --=-解：在n D 的各元素上加上(1)-后，则有：(1)2*0002020()(1)(1)20n n n n n n D n n ---==-⋅--又(1)1212,11(1)(1)n n n n n n A A A n ---====-⋅-，其余的为零．(1)2*,1,11(1)(1)122(1)12()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)n n nnnn n ij i n i i j i n n n n nn n n n D D A n A n n n n --+==-----∴=+=-⋅-+=-⋅-+-⋅⋅-=-⋅-∑∑［点评］诸如此类的特殊行列式称为“范式”，常见的范式还有“鸡爪”（除第一行、第一列、主对角线外全为零）、反对称方阵等，这些范式都有“专用”的解法．掌握这些范式，不仅是为了更容易求出满足这些范式的行列式的值，更是为了给解一般行列式提供变换的目标和方向，争取把一般行列式变换到这些已知容易求解的范式．如果不知道这些范式，就只能盲目的寻找各种变成“最终范式”——上下三角行列式的变换方式，从而加大了解题的难度．七、拆行（列）法由行列式的性质知道，若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，则该行列式可拆成两个行列式的和，这两个行列式的某行（列）分别以这两数之一为该行（列）的元素，而其他各行（列）的元素与原行列式的对应行（列）相同，利用行列式的这一性质，有时较容易求得行列式的值．例9 设n 阶行列式：1112121222121n n n n nna a a a a a a a a =且满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=对任意数b ，求n 阶行列式111212122212?n n n n nn a b a b a b a b a b a b a b a ba b++++++=+++[分析]该行列式的每个元素都是由两个数的和组成，且其中有一个数是常数b ，显然用拆行（列）法．可以首先举一些例子进行试验，发现待求行列式总是等于1，因此求值问题转化为证明问题，对解题过程更有启发．注意到条件中给出了一个反对称方阵的行列式，但暂时不知道该如何应用，在解题过程中要时刻注意题目条件．解：1112111121121212222122222212122n n n n n n n n n nn n n nn n nn a b a b a b a a b a b b a b a b a b a b a b a a b a b b a b a b D a b a ba b a a b a b b a ba b++++++++++++++==++++++++11121111121212222122221212111n n n n n n n n nn n nn n nn a a a b a b a b a a a a a b a b a b a a ba a ab a b a b a a ++++=++++11121111121212222122221212111111n n n n n n n n nnn nnn nna a a a a a a a a a a a a ab ba a a a a a a =+++21111nni i i i b A b A ===+++∑∑,11nij i j b A ==+∑A 又令＝111212122212n n n n nna a a a a a a a a ,,1,2,,ij ji a a i j n =-=且':1,A A A ∴==-有且 11A A A A A A⋅=＊－－＊由＝得：1A A ∴＊－＝'1''11()()()A A A A A ---===-=-＊＊又（） *A ∴也为反对称矩阵又(,1,2,,)ij A i j n =为*A 的元素1,10nij i j A ==∴=∑有从而知：1,111nn ij i j D bA ===+=∑［点评］求解到中途时，发现待解行列式的一部分变成了一个新行列式的代数余子式之和的形式，很容易联想到伴随方阵与逆矩阵行列式的关系，此时应用题目中反对称方阵的条件、转置方阵的性质，易得结论．此题也提醒我们在解行列式时，应注意与后续章节（如矩阵）的关联．八、多项式法如果行列式D 中有一些元素是变数x （或某个参变数）的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子C ，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出C 值，便可求得D=Cg(x)．具体地说，若行列式中存在两个同时含变量x 的行（列），若x 等于某一数a 1时，使得两行相同，根据行列式的性质，可得D=0．那么x -a 1便是一个一次因式．由此便可找出行列式（多项式）的若干因式．如果行列式的最高次数与这些因式乘积的次数相等，那么行列式与这些因式的乘积便成比例（只差一个常数因子）．例10 求如下行列式的值：12121123123n nn n x a a a a x a a D a a a a a a a x+=[分析] 根据该行列式的特点，当.1,2,,i x a i n ==时，有10n D +=．但大家认真看一下，该行列式D n+1是一个n+1次多项式，而这时我们只找出了n 个一次因式.1,2,,i x a i n -=,那么能否用多项式法呢？我们再仔细看一下，每行的元素的和数都是一样的，为：1ni i a x =+∑，那么我们从第2列开始到第n+1列都加到第1列，现提出公因式1ni i a x =+∑，这样行列式的次数就降了一次．解：1211221211232312323111()11ni n i nn i ni nn n i i nn i n i ni i a xa a a a a a a xxa a xa a D a x a a a a x a a a a a xa xa a x==+===++==+++∑∑∑∑∑令：122'123231111n nn n a a a x a a D a a a a a x+=显然当：.1,2,,i x a i n ==时，'10n D +=．又'1n D +为n 次多项式．'112()()()n n D C x a x a x a +∴=---设又'1n D +中x 的最高次项为nx ，系数为1，∴C=1'112()()()n n D x a x a x a +∴=---因此得：'111121()()()()()nn i n i ni n i D a x D a x x a x a x a ++===+=+---∑∑九、Vandermonde 行列式法范德蒙行列式：1232222123111111231111()n n i j j i nn n n n nx x x x x x x x x x x x x x ≤<≤----=-∏例11 计算n 阶行列式11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-11112222(1)(2)(1)(1)(2)(1)1211111n n n n n n n n n a n a n a a a n a n a a D a n a n a a ---------+-+--+-+-=-+-+-解显然该题与范德蒙行列式很相似，但还是有所不同，所以先利用行列式的性质把它化为范德蒙行列式的类型．先将的第n 行依次与第n-1行，n-2行，…,2行，1行对换，再将得到到的新的行列式的第n 行与第n-1行，n-2行，…,2行对换，继续仿此作法，直到最后将第n 行与第n-1行对换，这样，共经过（n-1）+（n-2）+…+2+1=n （n-1）/2次行对换后，得到(1)2222211111111121(1)(1)(2)(1)(1)(2)(1)n n n n n n n n n n n a n a n a aD a n a n a a a n a n a a ----------+-+-=--+-+--+-+-上式右端的行列式已是范德蒙行列式，故利用范德蒙行列式得：n m n m E AB E BAλλλ--=-(1)(1)2211(1)[()()](1)()nn n n n j i nj i nD a n i a n j i j --≤<≤≤<≤=--+--+=--∏∏［分析］从某种意义上说，范德蒙行列式也是上文中提到的一种“范式”，很多类似多项式乘积的行列式都与范德蒙行列式存在某种关联．例12 计算如下行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质．注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列．然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了．解：11(2,,)(2,,)1111111111121111100031111201111100010000001000020011(1)20002000011(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn nn n n nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]本题中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”．从而推广到一般，求下列行列式：0121101223411230(,0,1,,1)n n n n i a a a a a a a a D a c i n a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=∈=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦解：令 0121101223411230n n n a a a a aa a a A a a a a a a a a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦首先注意，若u 为n 次单位根（即u n=1），则有：1011110212123111120101120112123011101(1,n n n n n n n n n n n n nn n n n n n a a u a u u a a u a u A u u u u a a u a uu a a u a u a a u a u a u a u a u a u a u a u a u a -----+-----------⎡⎤+++⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅==∴=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦++++++=++++这里用到等）12011122111201111()1()()n n n n n n n n n u a a u a u u u u a u u f u f u a a u a u u u --------⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中2122cossin 1,1(0)1,,,,n k n k kw n nw w k n w w w ππ-=∴=≠<<设+i 为n 次本原单位根有:于是：互异且为单位根()2011(1)01101011001111,(0,1,,1)(,,,)(,,,)((),(),,())()(,,,)(j jj n n j i j j n n n n n w w j n w w w w w w A w f w w Aw Aw Aw Aw f w w f w w f w w f w w w w f w -------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⋅=⋅==⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦记：方阵则由上述知：故）122(1)0111(1)(1)1111(,,,)11n n n n n n w w w w w w w ww w ------⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦显然为范德蒙行列式110A (1)()()(1)()()n n n w w w f f w f w A w A D f f w f w --∴≠=⋅⋅⋅⋅=⋅∴==⋅⋅⋅从而有：又例12中，循环的方向与该推广在方向上相反所以例12与11120'102n n n n a a a a a a D a a a ---=相对应(1)(2)'21n n n n D D --而与只相差（－）个符号(1)(2)'1201,121(1)2(1)()(),,)(1,2,,)1,()123(1)12n n n n n k n n n D f f w f w a a a n u w f u u u nu f n -----+⋅⋅⋅⋅==≠=++++=+++=即得：=(-1)从而当（时对单位根总有：21()()1()1n f u uf u u u u n nnf u u-∴-=++++-=--∴=-1211111()1,11(1)111 n n k n k n k k x x w x x x x x w n--=-=-=-=++++-=-==∏∏而又令则有：＋＋＋(1)(2)'12(1)(2)1221(1)1211(1)2(1)12(1)()()(1)111()()2111(1)(1)2(1)1(1)21(1)2n n n n n n n n n n n n k k n n nn n n D f f w f w n n n w wwn n nw n n nn n ----------=---=⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅-⋅⋅⋅⋅---+-⋅⋅=-+-⋅⋅=+=-⋅⋅∏从而有：(-1)(-1)与例12的答案一致．［点评］例12本身并不困难，但在“循环行列式”的推广中，运用了多项式单位根的相关理论，是比较难以想到的．由上述问题的求解可知，行列式的求值有时需要综合利用多种方法，上例就用到了Vandermonde 行列式和多项式理论．十、矩阵理论法有些行列式通过“矩阵”一章与行列式相关的某些等式，可以快速求解．引理：设A 为n m ⨯型矩阵，B 为m n ⨯型矩阵，n E ，m E 分别表示n 阶，m 阶单位矩阵，则有det()det()nmE BA E BA =证明：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 00nn nn n m m m m mE A E E A E AB AE AB E BE B E BE E λλλλ-===--n E AB λ=- 又11n n nm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭同样两边取行列式有：11n n n nmmmmE E A E A E ABE BE BBA E E λλλλλ-==-+()11nn m n m m m E BA E E BA E BA λλλλλλλ-=-+=-=- 得证．那么对于,A B 分别是n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠能否得到：n m n m E AB E BA λλλ-+=+答案是肯定的．证：00n n n m m m E A E E AB A B E B E E λλ-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 有：nn mE AE AB BE λλ-=+ 又 11n nnm m m E E A E A BE B BA E E λλλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1nn m n m m m E A E BA E E BA BE λλλλλ--∴=+=+ n m n m E AB E BA λλλ-∴+=+即得：对,A B 分别为n m ⨯和m n ⨯矩阵，0λ≠时，有：n m nmE AB E BA λλλ-=则当1λ=时，有：nmE AB E BA =∴引理得证．例13 计算如下行列式的值：1231231233123n n n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a a b++=++解：令矩阵1231231233123n n n n a b a a a a a ba a A a a ab a a a a a a b++=++则可得：()123123121233123111,,,n nn n n n na a a a a a a a A bE bE a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11n n n bE B C ⨯⨯=+ 其中 ()()1112111,,,,Tn n n B C a a a ⨯⨯==那么根据上面所提到的引理可得：111n n n n n D bE BC b b C B -⨯⨯=+=+又 ()11121111,,,n n n n i i C B a a a a ⨯⨯=⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑可得：11()nn n i i D b a b -==+∑［点评］例13还可用加边法解决，不过这里的解法显然更简洁，且其中蕴含的理论更深刻．十一、高等数学法有些行列式可以看成函数，运用高等数学的求导、积分等方法解决．例14 求下列行列式的值：...........................n x y y y z x y yD z z x y z z z x=解：把n D 看作是x 的函数（即x 的n 次多项式），记作()n D x ，按Taylor 公式在z 处展开：()2'()''()()()()()()...1!2!!n n n n n n D z D z D z D x D z x z x z n =+-+-++，则 ......()=.....................n zy y y z z y yD z z z z y z z z z将()n D z 第一列减去第二列，第二列减去第三列，……，第n-1列减去第n 列，则有0..,00...0()...............00 0...0n z yy z y y D z z y y z--=- 故有1()()k k D z z z y -=-，1,2,...,k n = （*）将()n D z 对x 求导，结果是n 个行列式之和，而每个行列式是由()n D x 对每一行求导而其余各行不变得到的．例如，对第一行求导得到100...0........................z x y yz z x y z z z x将上述行列式按第一行展开，得到1()n D x -．类似地，对任意的第k 行求导，同样得到1()n D x -．因此1'()()n n D x nD x -=．类似地有12'()(1)()n n D x n D x --=-，……，21'()2()D x D x =，1'()1D x =（由于1()D x x =）取x z =处地导数，由（*）得1'()()n n D z nz z y -=-，2''()(1)()n n D z n n z z y -=--，……，(1)()(1)...2n nD z n n z -=-，()()(1)...1!n n D z n n n =-=代入Taylor 展开式，得12!()()()()...()1!!n n n n n n D x z z y z z y x z x z n --=-+--++- 当y z =时，上式简化为1()0...0()()n n n D x ny x y x y -=+++-+-1()[(1)]n x y x n y -=-+-当y z ≠时，上式简化为1()[()()()...()]()1!n n n n n z n y D x z y z y x z x z x z z y z y-=-+--++----- [()()]()n n z y z y x z x z z y z y=-+----- ()()n n z x y y x z z y---=-总结行列式问题变化多端，但方法和范式只有若干种．对于正常难度的问题，首先运用初等变换的方式看能否容易地变成各种已知解法的“范式”；若不易求出，则应对低阶情况下的行列式进行试验，尝试找出规律，再用数学归纳法证明，或利用初等变换、多项式法等，向结论“靠拢”．。

行列式的解法小结

行列式的解法小结摘要：本文列举了行列式的几种计算方法：如化三角形法，提取公因式法等，并指明了这几种方法的使用条件。

关键词：行列式三角形行列式范德蒙行列式循环行列式行列式的计算是一个很重要的问题，也是一个复杂的问题，阶数不超过3的行列式可直接按行列式的定义求值，零元素很多的行列式（三角形行列式）也可按行列式的定义求值。

对于一般n 阶行列式，特别是当n 较大时，直接用定义计算行列式几乎是不可能的事。

因此，研究一般n 阶行列式的计算方法是十分必要的。

由于不存在计算n 阶行列式的一般方法，所以，本文只给出八种特殊的计算方法，基本上可解决一般n 阶行列式的计算问题。

1 升阶法在计算行列式时，我们往往先利用行列式的性质变换给定的行列式，再用展开定理使之降阶，从而使问题得到简化。

有时与此相反，即在原行列式的基础上添行加列使其升阶构造一个容易计算的新行列式，进而求出原行列式的值。

这种计算行列式的方法称为升阶法。

凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：除主对角线上的元素外，其余的元素都相同，或任两行（列）对应元素成比例。

升阶时，新行（列）由哪些元素组成？添加在哪个位置？这要根据原行列式的特点作出选择。

例1计算n 阶行列式 2212221212121nn n n nn a c a a a a a a a c a a a a a a a c D +++=，其中0≠c解 2212221212121210001nn n n n nn a c a a a a a a a c a a a a a a a c a a a D +++= ca c a c a a a a n n 00000012121---= 将最后一个行列式的第j 列的11--j a c 倍加到第一列（)13,2+=n j ，就可以变为上三角形行列式，其主对角线上的元素为1+∑=-ni ic c c ac121,,,,故 ∑=++=ni in n n ac c D 121例2 计算n 阶行列式n nnnn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=解好象范德蒙行列式，但并不是，为了利用范德蒙行列式的结果，令nnnn nn n nn n n n nn n n nn y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D21111211222221222221211111--------= 按第1+n 列展开，则得到一个关于y 的多项式，1-n y 的系数为n n nn D D -=-++1)1(。

高考数学技巧如何快速计算复杂的行列式

高考数学技巧如何快速计算复杂的行列式数学在高考中起着重要的作用，而行列式是其中的一个重要概念。

计算复杂的行列式是许多学生头疼的问题，但是我们可以使用一些数学技巧来快速计算。

本文将介绍几种高考数学技巧，帮助你快速计算复杂的行列式。

一、展开法展开法是计算行列式的基本方法之一。

对于一个n阶行列式，我们可以通过逐步展开来计算。

我们可以选择其中的一行或一列，然后利用代数余子式和行列式性质进行展开。

展开法的优势在于可以将一个复杂的行列式分解成多个简单的计算步骤。

二、三角形法则三角形法则是计算2阶和3阶行列式的一种快速方法。

对于2阶行列式，$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc$。

而对于3阶行列式，$\begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h &i\end{vmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$。

三角形法则可以帮助我们快速计算这些特定阶数的行列式，省去了繁琐的手工计算过程。

三、减法法则减法法则是计算行列式的另一种方法。

对于一个n阶行列式，我们可以通过将其中的某一行（或某一列）的倍数加到另一行（或另一列）上，得到一个新的行列式。

我们可以反复使用减法法则，将行列式化简为一个三角行列式，再进行计算。

四、行变换法行变换法是计算行列式的常用策略之一。

通过进行行变换，我们可以改变行列式中元素的位置，从而使得计算行列式变得更加简单。

常用的行变换包括交换两行的位置、将某行的常数倍加到另一行上以及用常数乘以某行等。

行变换法可以帮助我们将原始行列式转化为更简单的形式，从而快速计算得出结果。

五、特殊行列式的计算方法对于一些特殊的行列式，我们可以使用特定的方法来计算。

例如，当行列式中有等差或等比数列时，我们可以通过分解因式、利用数列的性质来简化计算。

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