行列式的计算技巧与方法总结

合集下载

行列式的计算技巧和方法总结

行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。

下面将总结行列式的计算技巧和方法。

一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。

设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。

行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。

2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。

3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。

4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。

5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。

二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。

选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A •=0， nn nn nnnn nn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa a a n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n a a a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D=n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

行列式计算7种技巧

行列式计算7种技巧7种手段编者:Castelu韩【编写说明】行列式是线性代数的一个重要研究对象,是线性代数中的一个最基本,最常用的工具,记为det(A).本质上,行列式描述的是在n 维空间中,一个线性变换所形成的平行多面体的体积,它被广泛应用于解线性方程组,矩阵运算,计算微积分等.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻,因此,本人结合自己的学习心得,将几种常见的行列式计算技巧和手段归纳于此,供已具有行列式学习基础的读者阅读一.7种技巧:【技巧】所谓行列式计算的技巧,即在计算行列式时,对已给出的原始行列式进行化简,使之转化成能够直接计算的行列式,由此可知,运用技巧只能化简行列式,而不能直接计算出行列式技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212n n n n n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面1111121111121221222222122211212n n nn n n i n n n n n nnn n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a b b a b a b a a a a ==∏技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212nnn t t t t tn tn t t tn t t tn n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212n n s s sns t s t sn tnt t tn t t tn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000m m nm mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.7种手段:【手段】所谓行列式计算的手段,即在计算行列式时,观察已给出的原始行列式或进行化简后的行列式,只要它们符合已知的几种行列式模型,就可以直接计算出这些行列式手段1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---手段2:对于4阶以上的行列式,若行列式中有很多元素为零,则根据定义进行计算较为方便,否则较为复杂(常见于计算机程序和数学1212121112121222()1212(1)n nnn n p p p p p np p p p n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑运用数学软件Matlab 按定义计算4阶行列式: >> syms a b c d e f g h i j k l m n o p >> A=[a,b,c,d;e,f,g,h;i,j,k,l;m,n,o,p] A = [ a, b, c, d] [ e, f, g, h] [ i, j, k, l] [ m, n, o, p] >> det(A) ans =a*f*k*p-a*f*l*o-i*a*g*p+i*a*h*o+a*n*g*l-a*n*h*k-e*b*k*p+e*b *l*o+i*e*c*p-i*e*d*o-e*n*c*l+e*n*d*k+i*b*g*p-i*b*h*o-i*f*c*p +i*f*d*o+i*n*c*h-i*n*d*g-m*b*g*l+m*b*h*k+m*f*c*l-m*f*d*k-i*m*c*h+i*m*d*g手段3:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn iii nna a a a a a a ==∏,11212211200niii n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零手段4:若行列式中有两行( 列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f j c c g k ddhl =手段5:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f j c g k dhl =手段6:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f j c kc g k dkdhl =手段7:范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()n n i j n i j n n n nx x x x x x x x x x x ≥>≥---=-∏三.跟踪训练【解题思路】为了使读者能够巩固前文叙述的7种技巧和7种手段,本人附上一些行列式的习题以供参考.解题时,一般先观察题目所给出的原始行列式,若原始行列式能够用7种手段的其中一种进行计算,则可直接得出答案,否则,一般先利用7种技巧对原始行列式进行化简,使之转化成能够用7种手段的其中一种进行计算的行列式,再得出答案.读者在利用7种技巧时,要注意技巧之间的搭配使用计算下列行列式的值: 习题1:120114318---解答:1201141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--[手段1] 习题2:0000000000b f d a ce解答:123412341234()12341234123433112432400000(1)0000004,3,1,4,2,()(3142)3,00000(1)00000p p p p p p p p p p p p b f d a a a a a ce p p p p p p p p bf d a a a a abcda ceτττ=-=======-=-∑观察行列式中元素的位置及由级排列中各数不能相等知因此[手段2]习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-[技巧5,手段4] 习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:4122131414233333333333333333333333333333133313331333001333001333001333000000ii x x x x x x c c x x x x x x x r r x x x x r r x x x x r r xx x xr r xx x x x=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑[技巧2,技巧3,技巧5,手段3] 习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏[技巧7,手段1,手段6]习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==[技巧2,手段7] 习题7:12211000010000000001nn n x x x x a a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)000011,,,,,,n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n D x D xD a xx DxD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:[技巧7,手段3]习题8:()ab a bc dc d 其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)00()()()n n n n nn n D n n n n n n a bc dabD ab c d c d D D ad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得[技巧2,技巧6]。

线性代数技巧行列式的计算方法

线性代数技巧行列式的计算方法行列式是线性代数中重要的概念，它是一个数，可以用来描述矩阵的性质。

在计算行列式时，可以使用不同的方法，如拉普拉斯展开、余子式法、矩阵分解等。

下面我将详细介绍三种常用的行列式计算方法。

1.拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是计算行列式最常用的方法之一、对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a1jC1j + a2jC2j + ... + anjCnj其中，a1j、a2j、..、anj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j 列元素，C1j、C2j、..、Cnj 表示第1行、第2行、..、第n行的第j列的余子式。

在计算过程中，我们可以选择第i行或第j列，将行列式分成两个更小的行列式，然后递归计算这两个行列式的值。

这种方法的计算复杂度为O(n!)，在计算较大的行列式时效率较低。

2.余子式法余子式法是计算行列式的另一种常用方法，它的基本思想是利用代数余子式的概念来计算行列式。

对于一个n阶方阵A，它的行列式可以用下式计算：det(A) = a11A11 + a12A12 + ... + a1nAn其中，a11、a12、..、a1n表示第1行的各个元素，A11、A12、..、An表示对应元素所在的代数余子式。

代数余子式的计算公式如下：Ai = (-1)^(i+1) × det(Mi)其中，Mi表示去掉第1行和第i列之后的(n-1)阶方阵。

通过递归计算，可以将大的行列式转化为多个小的行列式的计算，从而提高计算效率。

3.矩阵分解法矩阵分解法是一种便捷的计算行列式的方法。

对于特殊的矩阵，如三对角矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵等，可以通过矩阵的分解来简化行列式的计算。

例如，对于上（下）三角矩阵A，它的行列式等于主对角线上的元素相乘：det(A) = a11 × a22 × ... × ann这种方法的计算复杂度为O(n)，适用于这类特殊矩阵。

行列式的计算技巧与方法总结讲解

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nn nn nnB A BC A ∙=0， nn nn nnnn nn B A B C A ∙=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--∙-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：100100000100000101111)1n D ------=（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ∙-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n =.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--∙+∙=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-11010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nnn a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n n n b b b a a c a c a c 211122，nn na b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∙-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()12211122110001000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .。

线性代数技巧行列式的计算方法

计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。

下面介绍几种常用的方法，并举例说明。

1．利用行列式定义直接计算例1 计算行列式00100201000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n n n nnn a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。

因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b Dbb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b ab b D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

四阶行列式计算方法及技巧

四阶行列式计算方法及技巧
1. 嘿，你知道吗？计算四阶行列式可以先按行或列展开呀！就像搭积木一样，一层一层来。

比如行列式[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 1 2 3; 4 5 6 7]，我们就可以找一行或一列来展开计算，是不是很有意思？
2. 哇塞，还有一种技巧呢，就是利用行列式的性质化简呀！好比给行列式来个瘦身操。

举个例子，对于行列式[2 4 6 8; 1 2 3 4; 3 6 9 12; 5 10 15 20]，通过一些性质可以让它变得简单很多哦，你不想试试吗？
3. 嘿呀，观察法也很重要哦！要像侦探一样仔细观察行列式的特点。

比如说行列式[1 0 0 1; 2 3 4 5; 6 7 8 9; 10 11 12 13]，说不定一眼就能看出一些
特别的地方呢，多神奇啊！
4. 哦哟，别忘了特殊行列式的公式呀！这就像是个秘密武器。

比如遇到对角线行列式[1 0 0 0; 0 2 0 0; 0 0 3 0; 0 0 0 4]，直接用公式就能快速算出结果啦，是不是超爽？
5. 哈哈，转换行列式的形式也有门道呢！就像变魔术一样。

打个比方，对于行列式[3 4 1 2; 6 8 3 4; 9 12 5 6; 12 16 7 8]，转换一下能让计算更容易，你难道不想掌握这个魔法吗？
6. 哎呀呀，行列互换也是个好用的招儿呀！这就好像乾坤大挪移。

就像行列式[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]，换一下行和列，可能会有
新发现哦！
我的观点结论：四阶行列式的计算方法和技巧真的很多很有趣，学会了就能在数学的世界里畅游啦！。

行列式的计算技巧与方法总结(修改版)

资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载行列式的计算技巧与方法总结(修改版)地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容行列式的若干计算技巧与方法内容摘要 TOC \o "1-2" \h \z \uHYPERLINK \l "_Toc324514436" 1. 行列式的性质HYPERLINK \l "_Toc324514437" 2.行列式计算的几种常见技巧和方法HYPERLINK \l "_Toc324514438" 2.1 定义法HYPERLINK \l "_Toc324514439" 2.2 利用行列式的性质HYPERLINK \l "_Toc324514441" 2.3 降阶法HYPERLINK \l "_Toc324514442" 2.4 升阶法（加边法）HYPERLINK \l "_Toc324514443" 2.5 数学归纳法HYPERLINK \l "_Toc324514444" 2.6 递推法HYPERLINK \l "_Toc324514446" 3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法HYPERLINK \l "_Toc324514447" 3.1 拆行（列）法HYPERLINK \l "_Toc324514448" 3.2 构造法HYPERLINK \l "_Toc324514449" 3.3 特征值法HYPERLINK \l "_Toc324514450" 4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法HYPERLINK \l "_Toc324514451" 4.1 三角形行列式HYPERLINK \l "_Toc324514452" 4.2 “爪”字型行列式HYPERLINK \l "_Toc324514453" 4.3 “么”字型行列式 HYPERLINK \l "_Toc324514453" 4.4 “两线”型行列式HYPERLINK \l "_Toc324514453" 4.5 “三对角”型行列式HYPERLINK \l "_Toc324514453" 4.6 范德蒙德行列式HYPERLINK \l "_Toc324514453" 5. 行列式的计算方法的综合运用HYPERLINK \l "_Toc324514453" 5.1 降阶法和递推法HYPERLINK \l "_Toc324514453" 5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式HYPERLINK \l "_Toc324514453" 5.3 构造法和套用范德蒙德行列式1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即.性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即k.性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即=0.性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即.性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即=-.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是．显然，如果，那么，从而这个项就等于零．因此只须考虑的项，同理只须考虑的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有，而，所以此项取正号．故=.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：，.例2 计算行列式.解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3…（）行上去，可得.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式.解： .2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式.解：从最后一行开始每行减去上一行，有.2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式.解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式.解：按最后一行展开，得.2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D中任意选定了个行.由这k 行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即，其中是子式对应的代数余子式．即，.例7 解行列式.解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得.2.4 升阶法就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=.解：使行列式D变成阶行列式，即.再将第一行的倍加到其他各行，得：D=.从第二列开始，每列乘以加到第一列，得：.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式.解:用数学归纳法证明.当时，.当时，.猜想，.由上可知，当，时，结论成立．假设当时，结论成立．即：.现证当时，结论也成立．当时，.将按最后一行展开，得.因为，，所以这就证明了当时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：.2.6 递推法技巧分析：若阶行列式满足关系式.则作特征方程.若，则特征方程有两个不等根，则．若，则特征方程有重根，则．在①②中， A，B均为待定系数，可令求出．例10 计算行列式.解：按第一列展开，得.即．作特征方程.解得..当时，；当时，.解得，所以.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和．3.1.2 例题解析例11 计算行列式.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得上面第一个行列式的值为1，所以.这个式子在对于任何都成立，因此有.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值．3.2.2 例题解析例12 求行列式.解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．构造阶的范德蒙德行列式，得.将按第列展开，得，其中，的系数为.又根据范德蒙德行列式的结果知.由上式可求得的系数为.故有.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设是级矩阵的全部特征值，则有公式.故只要能求出矩阵的全部特征值，那么就可以计算出的行列式．3.3.2 例题解析例13 若是级矩阵的全部特征值，证明：可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为，则可逆.即可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如，这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，,.4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如，，，这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式．4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横．4.2.3 例题解析例14 计算行列式，其中分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第列元素乘以后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:.4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如，，，，，，，这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式．4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用消去，然后再用消去，依次类推．4.3.3 例题解析例15 计算阶行列式.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如这样的行列式叫做“两线型”行列式．4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解．4.4.3 例题解析例16 求行列式.解：按第一列展开，得.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明．4.5.3 例题解析例17 求行列式.解：按第一列展开，得.变形，得.由于，从而利用上述递推公式得.故.4.6 Vandermonde行列式4.6.1 概念形如这样的行列式，成为级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得.4.6.3 例题解析例18 求行列式.解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．构造阶的范德蒙德行列式，得.将按第列展开，得，其中，的系数为.又根据范德蒙德行列式的结果知.由上式可求得的系数为,故有.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式.分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得.即.∴.∴.5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式解：从第一行开始，依次用上一行的倍加到下一行，进行逐行相加，得.再由范德蒙德行列式，得.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式.解：虽然不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造阶的范德蒙德行列式来间接求出的值．构造阶的范德蒙德行列式，得.将按第列展开，得，其中，的系数为.又根据范德蒙德行列式的结果知.由上式可求得的系数为.故有：.。

计算行列式的方法

计算行列式的方法方法一，按定义展开计算。

行列式的定义展开计算是最直接的方法，但对于较大的矩阵来说，计算量会非常大。

行列式的定义展开计算是通过对矩阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。

这种方法需要耐心和细心，但是可以保证结果的准确性。

方法二，利用性质简化计算。

行列式有一些性质，可以利用这些性质来简化计算。

比如，行列式的某一行（列）乘以一个数然后加到另一行（列）上，行列式的值不变；行列式的两行（列）对换，行列式的值取相反数等。

通过利用这些性质，可以将一个复杂的行列式化简为一个或多个简单的行列式的和或差，从而简化计算的过程。

方法三，高斯消元法。

高斯消元法是一种利用矩阵的初等变换将矩阵化为阶梯形矩阵或行最简形矩阵的方法。

通过高斯消元法，可以将一个矩阵化为上（下）三角矩阵，然后再计算行列式的值。

这种方法在计算较大的矩阵的行列式时，具有较高的效率和准确性。

方法四，利用特殊矩阵的性质。

对于一些特殊的矩阵，比如对角矩阵、三角矩阵等，它们的行列式的计算可以通过直接取主对角线上元素的乘积来得到。

这种方法适用于特殊结构的矩阵，可以大大简化计算的过程。

方法五，利用行列式的几何意义。

行列式在几何学中有着重要的几何意义，它可以表示向量的数量积、平行四边形的面积、三角形的有向面积等。

通过利用行列式的几何意义，可以将行列式的计算问题转化为几何性质的计算问题，从而得到行列式的值。

综上所述，计算行列式的方法有很多种，每种方法都有其适用的场景和特点。

在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来计算行列式，以达到高效、准确地求解行列式的目的。

希望以上内容对您有所帮助。

行列式的计算方法和技巧大总结

行列式的计算方法和技巧大总结行列式是线性代数中的一个重要概念，用于表示线性方程组的性质和解的情况。

在计算行列式时，有许多方法和技巧可以帮助我们简化计算过程。

以下是行列式计算方法和技巧的大总结。

1. 二阶矩阵行列式：对于一个2x2的矩阵A，行列式的计算方法是ad-bc，其中a、b、c和d分别为矩阵A的元素。

2. 三阶矩阵行列式：对于一个3x3的矩阵A，行列式的计算方法是a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)，其中a、b、c、d、e、f、g和h分别为矩阵A的元素。

3.行变换法：行变换是一种常用的简化计算行列式的方法。

行变换可以通过交换行、倍乘行和行加减法三种操作来实现。

当进行行变换时，行列式的值保持不变。

4.行列式的性质：行列式有以下性质：a)交换行，行列式的值相反；b)两行交换位置，行列式的值相反；c)同行相等，行列式的值为0；d)其中一行乘以一个数k，行列式的值变为原来的k倍；e)两行相加（减），行列式的值保持不变。

5.定义展开法：行列式的定义展开法可以通过选取任意一行或一列对行列式进行展开。

展开定理是一种递归的方法，它将一个复杂的行列式分解成若干个简单的行列式，从而简化计算过程。

6.三角矩阵行列式：对于一个上（下）三角矩阵，它的行列式等于对角线上的元素相乘。

这是因为在上（下）三角矩阵中，除了对角线上的元素外，其他元素都为0，因此它们的乘积为0。

7.克拉默法则：克拉默法则适用于解线性方程组时的行列式计算。

克拉默法则使用行列式来计算方程组的解。

具体来说，对于n个方程n个未知数的线性方程组，如果系数矩阵的行列式不为零，那么该方程组有唯一解，可以通过求解该方程组的克拉默行列式来得到方程组的解。

8.外积法则：在向量代数中，我们可以使用外积法则计算向量的叉乘。

对于两个三维向量a和b，它们的叉乘可以表示为a×b，它的模就是行列式的值。

具体计算方法是：ijka1a2a3b1b2b3其中，i、j和k是单位向量，a1、a2、a3和b1、b2、b3分别为向量a和向量b的坐标。

行列式的计算技巧与方法总结

行列式的计算技巧与方法总结1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D 的行与列互换后得到的行列式,称为D 的转置行列式,记为TD 或'D ,即若,212222111211nnn n n n a a a a a a a a a D =则nnnn n n T a a a a a a a a a D212221212111=.性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即.TD D =注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3 用数k 乘行列式的某一行(列), 等于用数k 乘此行列式, 即.2121112112121112111kD a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a D nnn n in i i n nnn n in i i n ===第i 行(列)乘以k ,记为k i⨯γ(或k C i⨯).推论 1 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质 4 若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和, 例如,nnn n inin i i i i n a a a c b c b c b a a a D21221111211+++=.则21212111211212111211D D a a a c c c a a a a a a b b b a a a D nnn n in i i n nn n n in i i n +=+=.性质 5 将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式不变.注: 以数k 乘第j 行加到第i 行上,记作jikr r +;以数k 乘第j 列加到第i 列上，记作jikc c +.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算. 例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0, 先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0; 然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若210101321-=D , 则.213102011D DT=-=例3（1）01212111001211121---=--（第一、二行互换）. （2）12110211012110121---=--（第二、三列互换）（3）0725011011=（第一、二两行相等）（4）0337224112=---（第二、三列相等）例4（1）02222510211=--因为第三行是第一行的2倍.（2）075414153820141=---因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201--=D , 则D 2121013201)2(121013402-=---=----又 D 412101320141240112204=--=--. 例6 设,1333231232221131211=a a a a a aa a a 求.53531026333231232221131211a a a a a aa a a ----解利用行列式性质，有33323123222113121153531026a a a a a a a a a ----=3332312322211312115353522a a a a a a a a a ---5)3(2⋅-⋅-=333231232221131211a a a a a a a a a15)3(2⋅⋅-⋅-=.30=例7（1）.110111311103111132+=++=（2）()1)2(1272305)2(11121272305211--+--++=----+122720521112730511---+--=.例8 因为,12310403212213==++--+而15)40()29(02213123=+++=-+-. 因此022131233212213-+-≠++--+.注: 一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111b b b b a a a a b a b a b a b a +≠++++.例9（1）13201013113214113112----r r ,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去, 其值不变.（2）33204103113214113113c c +--,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去, 其值不变.例10计算行列式2150321263-=D .解先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263-=-再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213=⨯====----=-=D例11 计算.3351110243152113------=D解 21c c D→3315112043512131-------14125r r r r +-7216011264802131------32r r ↔72160648011202131----- 242384r r r r-+ 15100010811202131----3445r r +.4025001080011202131＝---例12计算.3111131111311113=D解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321r r r r +++311113111131111163111131111316666= 141312r r r rr r --- .4820000200002011116=注：仿照上述方法可得到更一般的结果:.)]()1([1---+=n b a b n a abbbb b a b b b b a例13 计算.1111000000332211a a a a a a ---解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将第2列加至第3列，再将第3列加至第4列，目的是使4D 中的零元素增多.4D12c c +1121000000033221a a a a a --23c c +1321000000003321a a a a -34c c +.44321000000000321321a a a a a a =例14 计算.3610363234232dc b a c b a b a a dc b a cb a b a ad c b a cb a ba ad c b aD ++++++++++++++++++=解从第4行开始，后一行减前一行：Dr r r r r r ---33412.363023200c b a b a a c b a b a a cb a b a a dc b a +++++++++3423r r r r --.20200ba aab a a a cb a b a a dc b a +++++34r r -..0020004a ab a a cb a b a a dcba =++++三、行列式按行(列)展开（降阶法）1、行列式按一行(列)展开定义1 在n 阶行列式D 中,去掉元素ija 所在的第i 行和第j 列后,余下的1-n 阶行列式,称为D 中元素ija 的余子式, 记为ijM , 再记ijj i ij M A +-=)1(称ijA 为元素ija 的代数余子式.引理（常用）一个n 阶行列式D , 若其中第i 行所有元素除ija 外都为零，则该行列式等于ija与它的代数余子式的乘积，即ijij A a D =定理 1 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和, 即),,,2,1(2211n i A a A a A a D inin i i i i =+++=或).,,2,1(2211n j A a A a A a D njnj j j j j =+++=推论行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零, 即,,02211j i A a A a A a jninj i j i ≠=+++或.,02211j i A a A a A a nj ni j i j i ≠=+++2、用降价法计算行列式（常用）直接应用按行(列)展开法则计算行列式, 运算量较大, 尤其是高阶行列式. 因此, 计算行列式时，一般可先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素, 再按此行(列)展开,化为低一阶的行列式, 如此继续下去直到化为三阶或二阶行列式.3、拉普拉斯定理（一般少用）定义 2 在n 阶行列式D 中,任意选定k 行k 列)1(n k ≤≤, 位于这些行和列交叉处的2k 个元素,按原来顺序构成一个k 阶行列式M , 称为D 的一个k 阶子式,划去这k 行k 列, 余下的元素按原来的顺序构成k n -阶行列式,在其前面冠以符号kk j j i i +++++- 11)1(,称为M 的代数余子式,其中ki i ,,1为k 阶子式M 在D 中的行标,kj j j ,,,21为M 在D 中的列标.注：行列式D 的k 阶子式与其代数余子式之间有类似行列式按行（列）展开的性质.定理 2 (拉普拉斯定理) 在n 阶行列式D 中, 任意取定k 行(列))11(-≤≤n k ,由这k 行(列)组成的所有k阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D .例15求下列行列式的值:（1）214121312-- （2）120250723解 (1) 213142131)1(21122214121312-⨯+-⨯--⨯=--.272856)61(4)32()14(2-=--=--+--+-=(2).3)45(312253120250723=-=⨯=例16计算行列式.5021011321014321---=D解521011321014321---=D 313422r r r r ++520711321014107----109211206527211417)1()1(2123223-=---⨯-=-++r r r r.241861926)1(122-=--=--⨯=+例17计算行列式.532004140013202527102135----=D解 53204140132021352)1(053200414001320252710213552-----=----=+D53241413252---⋅-=1213)2(r r r r -++6627013210---.1080)1242(206627)2(10-=--=--⋅-=例18求证21)1(11213112211132114321-+-=---n n x x xxx x x n xxn x n n.证 D3221143r r r r r r r r nn -----1111111111000011000111001111011110xxxx x x x ----1100011100111101111111111)1(1x x x x n -----=+3221143r r r r r r r r nn ----- .)1(110000000100001000010000)1(211-++-=-----n n n x xxx x x xxx例19设,3142313*********------=D D 中元素ija 的余子式和代数余子式依次记作ijM 和ijA ,求14131211A A A A +++及41312111M M M M +++.解注意到14131211A A A A+++等于用1,1,1,1代替D 的第1行所得的行列式,即314231315011111114131211-----=+++A A A A3413r r r r +-11202250111111---11222511---=12c c +.42052001202511=-=--又按定义知,31413131501112514131211141312111-------=-+-=+++A A A A M M M M34r r +311501121)1(0010313150111251---=----312r r -.0311501501=-----例20 用拉普拉斯定理求行列式 2100321003210032 的值.解按第一行和第二行展开2100321003210032=2132)1(21322121+++-⨯2031)1(31023121+++-⨯+2030)1(32033221+++-⨯+0121+-=.11-=。

线性代数行列式计算总结

11
返回
故 An - An－1 是以为公比的等比数列(n 3, 4,L ).
A2 ( )2 2 2 ,
即归纳可得，
同理,
A2 ( ) 2
A2 A1 2，
An An1 n，
An An1 n.
00
196 10
2
返回
2. 用倍加变换化零按一行（列）展开，降阶法（基本方法）1 4 1 4
例10. 计算
2 D
1
4
3
4 2 3 11
解.
30 9 2
7 0 17 8
7 17 8
21 4 D
3 (1)22 0 5 5
0 0 5 5
392
30 9 2
7 25 8
c2
c3
L
cn
0
Dn
0
a2 a3

n i2
ai a1

n i2
bi ai
ci

M
O
0
4 an
返回
3. 各行（列）相加法，“加边”法。
适用于各行（或列）的和相等；或各行（列）元有相同规律，而主对角线元与众不同的情况。
例12. 计算解. 法一
x y y y x y Dn y y x
8
返回
法二：
1 a1 a2 L
Dn
a1 L
1 a2 L LL
a1
a2 L
n
1 ai
a2
L
an
i 1
n
an L
1 i1 ai 1 a2 L

行列式的计算技巧总结

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要 (1)关键字 (1)1. 行列式的概念及性质 (2)1.1 n阶行列式的定义 (2)1.2 行列式的性质 (2)2. 行列式计算的几种常见技巧和方法 (4)2.1 定义法 (4)2.2 利用行列式的性质 (5)2.3 降阶法 (7)2.4 升阶法（加边法） (9)2.5 数学归纳法 (11)2.6 递推法 (12)3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法 (14)3.1 拆行（列）法 (14)3.2 构造法 (17)3.3 特征值法 (18)4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法 (19)4.1 三角形行列式 (19)4.2 “爪”字型行列式 (19)4.3 “么”字型行列式 (21)4.4 “两线”型行列式 (22)4.5 “三对角”型行列式 (23)4.6 范德蒙德行列式 (25)5. 行列式的计算方法的综合运用 (26)5.1 降阶法和递推法 (27)5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式 (27)5.3 构造法和套用范德蒙德行列式 (28)小结 (29)参考文献 (30)学习体会与建议 (31)摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及 Van dermo nde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式. 并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征.关键词：行列式计算方法1 .行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下:设有n 2个数，排成n 行n 列的数表即n 阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的aii ai2a22=a“a 22 a 12a 21 ,a11a12a13a 21a 22a 23a31a32 a33a 11a 22a 33a 12a 23a 31a 13a 21a 32a 11a 23a 32 a 12a 21 a 33 a 13a 22a 31-从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义.a 11 a 21a n1 a 12 a 22a n2 a 1n a 2na nna21乘积a ij i a2j 2 anj n ⑴j n 是1,2, , n 的一个排列，每一项⑴都按下列规j n 是偶排列时，⑴带正号；当j i j 2 j n 是奇排列时，⑴带负号.即这里表示对所有n 级排列求和.J 1J 2 J n1.2行列式的性质性质1行列互换，行列式不变.即a 11a 12 a 1na 11a 21 a n1a 21a 22 a 2na 12 a 22 a n2a n1 a n2a nna 1n a 2n a nnan a 12 a 1na11a12a1nka i1ka i2ka ink a i1a i2 aina n1 a n2 a nna n1a n2ann性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列的代数和，这里j i j 2 则带有符号：当j i j 2 ai1 ai2 a 21a 22a1 n a2 nann1j 1j 2 j nj』jna1j 1a2j 2anj n性质2一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即a11 M b c M a n1a i2 K a inb2 C2 K b n c na n2 K a nna11 a i2 K a inM M M M3 b2 K bnM M M Ma n1 a n2K a nna i1 a i2 K a inM M M MC i C2 K C nM M M Ma ni a n2K a nn性质4如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零.即a l1 a i2 a in a ii a i2 a ina i1 a i2 a in a ii a i2 a inkka i1 ka i2 ka in a ii a i2 a ina ni a n2 a nn a ni a n2 a nn=0.性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即a ii a i2a i1 ca k1 a i2 Ca k2a k1 a k2a ni 3n2a in a ii a i2 a i n a in Ca kn a ii a i2 a ina kn a ki a k2 a kna nn a ni a n2 a nn性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号•即a11 a i2 a1n a11 a12 a1na i1 a i2 a in a k1 a k2 a kna k1 a k2 a kn a i1 a i2 a ina n1 a n2 a nn a n1 a n2 a nn性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即a i1 a i2C’n-I a in0 0 0 0 0.a n1 a n2 a n,n-1 a nn2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.计算行列式0解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4 24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开式中的项的一般形式是a2j2a3j3a4j4.显然，如果h 4，那么a“0，从而这个项就等于零•因此只须考虑j i 4的项，同理只须考虑j 2 3, j 32, j 4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有1 0 = 0 02.2利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形 •该方法适用于低阶行列式.2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对an a 12 a 13a 1n0 a22a 23 a 2n 0 0 a 33a 3n0 0 0 a nnan 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31a 32a 33a 11 a 22a nn，311322 A nna i4a 23a 32a 4143216，所以此项取正号•故 4321a 14a 23a 32a 4124.1a 1 a 2a n 例2计算行列式D n 11 a 1 b 1 a2 1 a 1 a 2 a n a n b n1X 2X nmX 1 mX 2X n 例3计算行列式D nX 2mX n X iX iX 2X n mX n解：DX iX 2 mX nX i X nnX ii 1X 2 X 2 mXnX 应相同，故用第一行的 1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零•即：化为上三角形.可得222连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算•这类计算行列式的方法称为连加法.解：将该行列式第一行的倍分别加到第2,3 •••（ n 1）行上去,D n 11 0 M 0 a b M 0 a2 0 M 0 K 0O K a n 0M b nb]b 2K bi.223滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.例4计算行列式D n1 2n 22.2.4逐行相加减显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.1 2 3 n 1 n1 2 3 n 1 n111 1 12 0 00 2 D n1 1 1 1 12 2 0 0 21 11111 1 111解：从最后一行开始每行减去上一行,有nX ii 1X 2mX n 0nX i m .i 1对于有些行列式,虽然前 n 行的和全相同，但却为零•用连加法明a 1 0a 1 a 2 0 a 2 0 0 0 0 例5计算行列式D0 0 a 3 0 00 0 0 a n a r11111解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:a 1 0 0 0 a 2 02.3降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解.2.3.1按某一行（或列）展开x 1 00 x 10 0 x0 0a n a n 1 a n 2解：按最后一行展开，得D n a 1x n 1 a 2x n 2a n 1x a n .2.3.2按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式 D 中任意选定了 k1 k n-1个D0 a30 0 00 0 a nn1 n 1 a 1a 2a n n1 n 1 a 1a 2a n .例6 解行列式D n0 0 0 0 0x 1 a ? a 10 0行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即D M 1A 1 M 2A 2M n A n ，其中A i 是子式M i 对应的代数余子式.即a a a ab例7解行列式D n bb解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加 C nn0 B nn A nn ?B nn ・到第二列，得b D n0 0 b 0 0a a a 00 0 0n 1 a an 2 0 0 00 B nnA nn0 1 1n 1 a?b n 20 0n 2 n 1 ab2.4升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为 0，这样就达到简化计算的效果.其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.1 1 1 11 1 0 1 1 0解：使行列式D 变成n 1阶行列式，即1 1 1 0 0 1 0 1 0D再将第一行的 1倍加到其他各行，得:一 1 1 0例8解行列式D=1 1 1 1 1 1 0 11 01 1 0 0 0 01 0 0 11加到第一列，得:(n 1)110 1 00 0 1 D0 0 0 0 0n 11 n 1 .2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.cos 1 0 0 012 cos 1 0 0 例9计算行列式D n0 1 2 cos0 00 0 0 2 cos 112 cos解：用数学归纳法证明当 n 1 时，D 1 cos1 1 111 0 D =1 0 1 1 0 01从第二列开始，每列乘以1 1 0 0 0 0 1 0 0 11当n 2时，D 2 猜想，D n cosn 由上可知，当n 假设当n k 时, 也成立. k 1时, 将D k 因为D kcos 11 2cos2cos 2 1 cos22时，结论成立.结论成立. 即：D kcosk .现证当n1时，结论D k 1cos 1 01 2cos 10 1 2cos1按最后一行展开, 2 cos cosk ,1?2cos2 cos 11 2coscos 11 2cos 10 1 2cos2coscos 1 0 1 2cos 1 0 1 2cos D k D k1.D k 1 cos k 1 cosk cosk cos sink sin所以D k 1 2cos D k D k 1sink sin2cos cosk cosk coscosk cos sink sincos k 1.这就证明了当n k 1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：D n cos n.2.6 递推法技巧分析：若n阶行列式D满足关系式aD n bD n 1 cD n 2 0.则作特征方程ax 2 bx c 0.①若0，则特征方程有两个不等根，则D n Ax1n 1 Bx2n 1．②若0 ，则特征方程有重根x1 x2，则D n A nB x1n 1．在①②中，A，B 均为待定系数，可令n 1,n 2 求出．9 5 0 0 0 0 0 4 9 5 0 0 0 0例10计算行列式D n0 4 9 50 0 00 0 0 0 4 9 50 0 0 0 0 4 9解：按第一列展开，得D n 9D n 1 20 D n 2 .即D n 9D n 1 20D n 2 0 •作特征方程2x 9x 20 0.解得x14, x25.则D n A?4n1 B?5n1.当n 1 时，9 A B ;当n 2 时，61 4A 5B.解得A 16,B 25 ,所以D n 5n 14n 1.3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1拆行（列）法3.1.1概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和.3.1.2 例题解析1 a1 a2 0 0 01 1 a2 a3 0 0例11 计算行列式D n0 1 1 a30 00 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 1 1 a n解：把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列,得1 a1a20 0 01 0 1 a2a3 0 0D n 0 0 1 1 a30 00 0 0 0 1 a n 1 a n0 0 0 0 1 1 a n11i 1j 1a ?a ? 1a 3 a 3a n 1 1a n a na ? a ? 1a 3 a 3a n 1a na n上面第一个行列式的值为 1,所以 D n 1 a 11 a ? 1 a 3 a 3a n1a n a n1 a 1D n 1 . 这个式子在对于任何n 都成立, 因此有D n 1a 1D na 1 1a 2D n 2n 11 da ? a nii1 a j .3.2构造法3.2.1概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值.3.2.2例题解析11 1X 1X 2X n222例12求行列式D nX 1X 2X nn 2n 2n 2X 1X 2 X nnX 1n X2n Xn1 1 1 1X 1X 2X nX2222X 1X 2X nXf Xn 2n 2n 2n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1 X 1X 2X nXnnnnX 1 X 2 X n X将f X 按第n 1列展开，得f X A,n 1 Azn i Xn 1其中，x 的系数为解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，行列式来间接求出D n 的值.构造n 1阶的范德蒙德行列式，得但可以考虑构造 n 1阶的范德蒙德A门 1 AnA n,n 1 XA n 1,n 1X，A n,n 1 ,n n 11 D n D n .又根据范德蒙德行列式的结果知f x X % X X2 X X n X i X j1 j i n由上式可求得X n 1的系数为X1 X2 X n X i X j .1 j i n故有D n X1 X2 X n X i X j .1 j i n3.3特征值法3.3.1概念及计算方法设1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式A 1 2n .故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出式.3.3.2例题解析例13若1, 2, n是n级矩阵A的全部特征值，证明：仅当它的特征值全不为零.证明：因为A 1 2 n，则A 可逆A 0 1 2 n 0 i 0i 1,2 n .A可逆当且仅当它的特征值全不为零.A的行列A可逆当且4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1三角形行列式4.1.1概念形如an a12 a13 31n ana22a23 a2na21 a22a33 a3n a31 a32 a33a nn a n1 a n2 a n3 a nn这样的行列式,形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.4.1.2计算方法由行列式的定义可知,a11 a12 a13 0a22 a23 0 0 a330 0 0 an 0 0 a21 a22 0 a31 a32 a33a n1 a n2 a n3 a1 na2na3n a11a22 a nn ,a nna nn&11&22 a nn •4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念422计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式.此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横.a ob 1 b 2b nb nb 2 b 1 a o C 1 a 1a 1 CC 2a 2a 2C 2 C na na nC n形如 C na na nC nC 2a 2a 2C 2 C 1 a 1a 〔 C [ a obi b 2 b nb n b 2b 1 a o这样的行列式，形状像个 4.2.3 例题解析例14计算行列式a 11 1a 2 a 3，其中 a i 0,i 1,2, n.分析: 这是一个典型的“爪”a n字型行列式，计算时可将行列式的第i(i 2,3,n.)列元素乘以1—后都加到第一列上，原行列式可化为三a i角形行列式.字型行列式.“爪”“爪”字，故称它们为4.3.2计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消.C n a na ob 1 b 2C 1a 1 C 2a 2C 2 a 2C 1 a 1C na ob 1 b 2 b nb na n概念形如4.3 a 1 1 11 aa 3a na n a 1“么” i 2a i字型行列式i 2 a i1 1a 2 a 3 4.3.1a n Cna 1 ca 2C 2C 2 a 2因此常称它们为“么” C 1 a 1 a oth b 2 b 1 b n字型行列式.样的行列式, 字, b 2 b 1 a oCna nb n 形状像个“么”注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用a n消去C n，然后再用a ni消去C ni，依次类推.4.3.3例题解析例15计算n 1阶行列式D n i1 111 1 1 1 b1b n 1b n解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得D n 11i 1 n1 b ii 11n n 1 n? 11 2n n 3 n1 2 1i 11b n 1 b nb nn1 b ii 1b i4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念a i 0b ia2b2形如这样的行列式叫做“两线型”行列式.0 0 0 b n 1b n 0 0 a n442计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解.4.4.3 例题解析a1 b1 0 00 a2 b2 0例16 求行列式D n .0 0 0 b n 1b n 0 0 a n解：按第一列展开，得a2b20 b 0 0/ n 1a2b20D n 1 a1 b 10 0 b n 10 0 a n 0 0 b n 1a1a2 a n 1r1b b2 b n.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念a b ab 0 0 0 0 01 a b ab 0 0 0 0形如0 1 a b ab0 0 0 这样的行列式，叫0 0 0 0 0 a b ab0 0 0 0 0 1 a b 做“三对角型”行列式.4.5.2计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明.4.5.3例题解析a b ab1 a b 例17求行列式D n0 10 00 0 解：按第一列展开,得ab 0 01 a b abD n a b D n 1 0 1a b0 0 00 0 0a b D n 1abD n 2 .0 0 0 0 0 ab 0 0 0 0 a b ab 0 0 00 0 0 a b ab0 0 0 1a b0 0 00 0 0ab 0 0a b0 a b ab0 1 a b变形，得D n aD n 1由于D1 a b, D2 a2 ab b2，从而利用上述递推公式得D n aD n 1 b D n 1 aD n 2b D n 1 aD n 2 b2 D n 2 aD n 3b n 2 D2 aD1 b n.D n aD n1 b n a aD n 2 b n 1 b n a n 1D 1 a n 2b 2ab n1 b n行列式来间接求出D n 的值.a n1bab n1b n .4.6 Van derm onde 行列式4.6.1 概念a ia 2 a 3形如 2 2 2a1a ?a n 2 a n这样的行列式,成为n 级的范德蒙德行n 1 n 1 n 1a a ? a 3列式.4.6.2计算方法n ana 1a 21a 3通过数学归纳法证明,a i a j1 j i n4.6.3例题解析1 1 1 X 1X 2X n222X 1X 2X nn 2n 2n 2X 1X 2X nnnnX 1X 2 X n解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德1n an2 2可得6a 2例18求行列式D n构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 11X 1X 2X nX2222X 1X 2X nXf Xn 2n 2n 2n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1 X 1X 2X nXnnnnX 1 X 2 X n X将f x 按第n 1列展开，得其中，X n1的系数为又根据范德蒙德行列式的结果知由上式可求得X n 1的系数为故有5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行•下面就列举几种行列式计算方法的综合应用.f X A,n 1A ?」i XA n,nn 1 i XA n n 1,n 1X,A n ,n 11n 1D nD n .f X XX-,X 2 X nX i X jnX 1X 2X nX iX jD n X 1X 2 X n1 j iX inX j5.1降阶法和递推法2 1 00 01 2 10 0 例19计算行列式D n0 1 2 0 00 0 0 2 10 0 01 2分析：乍一看该行列式，并没有什么规律•但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到n 1阶的形式.解：将行列式按第一行展开，得 D n 2D n 1 D n 2 即D n D n 1 D n 1D n 2・ D n D n 1 D n 1D n 2 D 2 D 13 2 1D n1 D n11 11D n n1n 12n 1.5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20计算行列式解：从第一行开始，依次用上一行的 1倍加到下一行，进行逐行相加，得1 sin 1 1 sin 2.2. 2sin 1 sin 1 sin 2 sin 2.2 .3 .2.3sin 1 sin 1sin2sin1 sin 31 sin 422sin 3 sin 3sin 4 sin 4.2.3.2.3sin3sin 3 sin4sin1 1D1 11行列式来间接求出D n 的值. 构造n 1阶的范德蒙德行列式，得1 1 1 1X 1 X 2 X n X2 2 2 2X 1 X 2 X n XXn 2 n 2 n 2 n 2X 1 X 2 X n X n 1 n 1 n 1 n 1X 1 X 2 Xn X n n n nX 1 X 2 X n Xsin 1 .2 sin 1 .3 sin 1 1 sin 2 .2 sin 2 .3sin 2 1 sin 3 .2 sin 3.3 sin 31sin 4 .2sin 4.3sin 4再由范德蒙德行列式,sin ・2 sin ・3 sin sin ・2 sin ・3 sin sin ・2 sin ・3 sin sin・2sin ・3sin sin i 1 j i 4sin 5.3构造法和套用范德蒙德行列式1 1 1X 1 X 2 X n2 2 2例21求行列式D n X 1 X 2 X nn 2 n 2 n 2X 1 X 2 X n n n n X 1 X 2 X n解：虽然D n 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造n 1阶的范德蒙德将f X 按第n 1列展开，得其中， X n 1 的系数为又根据范德蒙德行列式的结果知由上式可求得 X n 1的系数为故有小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献 :[1] 北大数学系代数小组 . 高等代数（第三版） [M]. 北京：高等教育出版f XA 1,n 1 A 2,n 1X A n,n 1X n1 A n n 1,n 1X ，A n,n 1 1n 1 D n D n .f X X X 1X 2 X n ji X i nX j X 1 X 2 X n X i X jD nX 1 X 2 X n 1ji X i nX j社，2003: 50〜104.[2] 钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京：中央民族大学出版社，2002: 24〜58[3] 刘家保，陈中华，陆一南. 若干类型行列式计算方法. 佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012 年3 月，30（2）.[4] 杨鹏辉. 行列式的计算技巧. 宜春学院报，2011 年4月，33（4）.[5] 丁冰. 三线型行列式的计算. 科技通报,20 1 2 年2月,28（2）.[6] 龚德仁. 高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012 年03 期.[7] 张新功. 行列式的计算方法探讨. 重庆师范大学学报（自然科学版），2011 年7 月,28（4）.[8] 王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.201 2 年第1 期.[9] 樊正华，徐新萍. 浅谈行列式的计算方法. 江苏教育学院学报（自然科学），2011 年2 月，27（1）.[10] 卢潮辉. 三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010 年3 月,9（2）.[11] 陈林. 求n 阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007 年第8 期.[12] “爪”字型和“么”字型行列式的计算. 河北理科教学研究（短文集锦）,2006 年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。

行列式化简计算技巧实题

行列式化简计算技巧和实题操练——Zachary一.技巧:技巧1:行列式与它的转置行列式的值相等,即D=D T111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a =技巧2:互换行列式的任意两行(列),行列式的值将改变正负号111212122221222111211212n n n n n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a =-技巧3:行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面1111121111121221222222122211212n n nn n ni n n n n n nnn n nnb a b a b a a a a b a b a b a a a a bb a b a b a a a a ==∏技巧4:行列式具有分行(列)相加性11121111211112111221212121212n n n t t t t tn tn t t tn t t tn n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+技巧5:将行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数k 后加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变111211112112112212121212n ns s sns t s t sn tnt t tn tt tn n n nnn n nna a a a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a +++=技巧6:分块行列式的值等于其主对角线上两个子块行列式的值的乘积111111111111111111110000m m nm mm m n m mm n nnn nmn nna a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =技巧7:[拉普拉斯按一行(列)展开定理] 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和11(1,2,,)(1,2,,)nnik ik kj kj k k D a A i n a A j n ======∑∑二.解题方法:方法1:对于2阶行列式和3阶行列式,可以直接使用对角线法则进行计算1112112212212122a a a a a a a a =-,111213212223112233122331132132112332122133132231313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---方法2:上三角行列式,下三角行列式,主对角线行列式,副对角线行列式11121222100n nn ii i nna a a a a a a ==∏,112122112000nii i n n nna a a a a a a ==∏,1212()n nλλλλλλ=其余未写出元素均为零,1(1)2212(1)()n n n nλλλλλλ-=-其余未写出元素均为零方法3:若行列式中有两行(列)对应元素相等,则此行列式的值等于零0a a e i b b f j c c g k ddhl =方法4:若行列式中有一行(列)的元素全为零,则此行列式的值为零00000a e i b f jc g k dhl=方法5:若行列式中有两行(列)元素成比例,则此行列式的值等于零0a ka e i b kb f jc kc g k dkdhl=实题操练：计算下列行列式的值: 习题1:120114318--- 解答:1201141182(4)30(1)(1)0132(1)81(4)(1)4318--=⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯--⨯⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-=--习题3:12345678910111213141516解答:21431234113156785171091011129111113141516131151c c c c -=-习题4:3333333333333333x x x x ---+---+--解答:4122131414233333333333333333333333333333133313331333001333001333013330000000ii x x x x x x c c x x x x x x x r r x x x x r r x x x x r r xx x xr r x x x xx=-----+--+-+----+----------+--=-----------↔-=--∑习题5:11121314122223241323333414243444a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b解答:1112131412222324132333341424344422232412131412131411233334122333341322232414243444243444243444,a b a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b =-+-按第一列展开1213142223242333341213141213142223242223242434442333342342342121423333412423333412234234,0,(b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b b b D a a b b a b a b a b a b b a b a b a b a a a a a a a a =-=由于行列式和有两行元素成比例因此值为3234214124233334234222121412434232334243241421124332233423321421123223433414122123)()()()[()()]()()()()(b b b b b a b b a b a b a b a a a a a b b a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -=-+--=--+-=---=--323443314111)()()i i i i i a b a b a b a b a b a b ++=--=--∏习题6:444443333322222(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)123411111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------------- 解答:432122222533333444444321432122222,111111234(1)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)111114321(1)(1)(4)(3)(2)(1)(4)a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++----=-----------------=-------将行列式上下翻转后再左右翻转不难得3333344444(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)4!3!2!1!288a a a a a a a a a -------==习题7:12211000010000000001nn n x x x x a a a a x a -----+解答:111121232212112112121,1000100(1)00011,,,,,,n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nD x D xD a x x D xD a D xD a D xD a D xD a D x a x x x D x a x a x a x a +--------------=+--⇒=+=+=+=+=+=+++++按第一列展开得的递推公式将上述各式的两边分别乘以后全部相加并化简得:习题8:()aba b c dcd其余未写出元素均为零:解答:22(22)2122(1)2(1)2221,23,,2,221,23,,2,000000(1)0()()()n n n n nn n D n n n n n n a b c d abDa b cdcdD Dad bc Dad bc D ad bc --------=-==-==-=-将中的第行依此与第行行第行对调再将第列依此与第列列第列对调得鱼儿，在水中串上串下，吐着顽皮的泡泡；鸟儿从荷叶上空飞过，想亲吻荷花姑娘的芳泽。

行列式的计算技巧与方法汇总

行列式的计算技巧与方法汇总行列式是线性代数中非常重要的概念，它在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

本文将汇总一些行列式的计算技巧和方法，帮助读者更好地理解和运用行列式。

一、定义和符号行列式是一个数，是由方阵中的元素按照特定的规则计算而得到的。

行列式通常用两种符号表示，分别是方括号和竖线。

例如，一个3x3的矩阵A的行列式可以表示为det(A)，或者用竖线表示为，A。

二、一阶和二阶行列式的计算一阶行列式是一个1x1的矩阵，只有一个元素。

计算一阶行列式非常简单，即该元素本身。

二阶行列式是一个2x2的矩阵，如下所示：abcd计算二阶行列式的方法是将对角线上的两个元素相乘，并将结果减去另外两个元素的乘积。

即det(A) = ad - bc。

三、三阶行列式的计算三阶行列式是一个3x3的矩阵，如下所示：abcdefghi计算三阶行列式的方法是按照下面的规则计算：1.将每个元素与其相交的两个行和两个列组成的2x2矩阵的行列式相乘。

2.第一行的元素与第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式相乘，再加上第二行和第三行组成的2x2矩阵的行列式与符号相反。

3.将这些结果相加得到最终的行列式。

四、高阶行列式的计算对于高阶行列式，计算的方法和三阶行列式类似，也是按照逐步展开的方式计算。

五、行列式的性质行列式具有以下几个重要的性质：1.行列互换性质：交换行的位置，行列式的值不变。

2.列列互换性质：交换列的位置，行列式的值不变。

3.行列式的倍数性质：将行的倍数乘以一个数，行列式的值也乘以这个数。

4.行列式的零行性质：如果行列式的其中一行全为0，则行列式的值为0。

5.行列式的行之和性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之和，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之和。

6.行列式的行之差性质：如果行列式的其中一行的各元素都是两个数之差，那么行列式的值可以分拆成两个行列式之差。

利用这些性质，我们可以简化行列式的计算。

六、行列式的性质之递推关系行列式的递推关系是行列式计算的重要方法之一、具体来说，如果矩阵A的第k列元素全为0，那么det(A)可以根据矩阵A去掉第k列得到一个更小的矩阵来计算。

(完整版)行列式的计算技巧与方法总结,推荐文档

2 1 0 2 1 0
12 1 11 2 （2） 0 1 1 0 1 1 （第二、三列互换）
2 1 0 2 0 1
1 （3） 1
5
10 1 0 0 （第一、二两行相等） 27
2 1 1 （4） 4 2 2 0 （第二、三列相等）
7 3 3
1 例 4（1） 0
2
1 1 2
2 5 0 因为第三行是第一行的 2 倍. 22
性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D DT . 注由性质 1 知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有. 性质 2 交换行列式的两行(列),行列式变号. 推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零. 性质 3 用数 k 乘行列式的某一行(列), 等于用数 k 乘此行列式, 即
1 4 10
2 8 35
（2）
0 因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的 4
0 0 14
1 4 5 7
倍.
1 0 2 2 0 4
10 2
例 5 若 D 3 1 0 , 则 3 1 0 (2) 3 1 0 2D
1 2 1 1 2 1
1 2 1
4 0 2 10 2 又 12 1 0 4 3 1 0 4D .
1 23
例 1 计算三阶行列式 4 0 5 1 0 6
1 23 解 4 0 5 1 0 6 2 5(1) 3 4 0 3 0 (1) 1 5 0 4 2 6
1 0 6
10 48 58.
但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。
注: 以数 k 乘第 j 行加到第 i 行上,记作 ri krj ; 以数 k 乘第 j 列加到第 i 列上，记作

关于行列式的计算方法

关于行列式的计算方法行列式是线性代数中非常重要的一个概念，它在矩阵和线性方程组的求解中都有广泛的应用。

本文将介绍关于行列式的定义、计算方法及其性质，以及一些常用的行列式计算技巧。

一、行列式的定义行列式是一个方阵（只有行数和列数相等的矩阵才有行列式）所具有的一个确定的数值。

对于一个n阶的方阵，其行列式记作det(A)，其中A 表示矩阵。

行列式的计算方法主要有三种：代数余子式法、按行（列）展开法和逆序数法。

二、代数余子式法对于一个n阶方阵A，它的第i行第j列元素的代数余子式表示为Mij，定义为：将A的第i行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的n-1阶方阵的行列式。

即：Mij = det(Aij)其中Aij表示由第i行和第j列元素删去后所得到的(n-1)阶方阵。

根据代数余子式的定义，行列式的计算可以通过以下公式进行求解：det(A) = a11M11 - a12M12 + a13M13 - ... + (-1)^(i+j)aijMij + ...其中a11,a12,a13,...是第一行元素，M11,M12,M13,...是它们对应的代数余子式。

三、按行（列）展开法按行（列）展开法是行列式计算中最常用的一种方法。

对于一个n阶方阵A，选择其中任意一行或者一列，然后按照一定规律展开计算。

以按第一行展开为例，按照以下规律进行展开：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + ... + a1nC1n其中Cij表示第一行第j列元素aij的余子式，定义为：将A的第一行和第j列元素划去，然后找出剩余元素所形成的(n-1)阶方阵的行列式。

将Cij的计算公式中的行列式再按行（列）展开，可以得到更小阶的余子式，直到降阶为2阶方阵时，余子式的计算直接是两个元素之差。

四、逆序数法逆序数法是行列式计算中的另一种方法。

对于一个n阶方阵A，按照以下步骤进行计算：1.首先，将方阵A展开至最小的单位（1阶方阵）。

行列式的计算技巧与方法总结

a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k a i1
a i2 a in .
a n1 a n2 a nn
a n1 a n2 a nn
性质 3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列
式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的
各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即
从二、三阶行列式的内在规律引出 n 阶行列式的定义．
设有 n2 个数，排成 n 行 n 列的数表
a11 a12 a1n a21 a22 a2n ， an1 an2 ann
即 n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的 n 个元素的
乘积
a1j1 a2 j2 anjn
⑴
的代数和，这里 j1 j2 jn 是1，2，，n 的一个排列,每一项⑴都按下列规
1．行列式的概念及性质
1.1 n 阶行列式的定义
我们知道，二、三阶行列式的定义如下：
a 11 a 21
a 12 a 22
= a11a22 a12 a 21 ，
a11 a12 a13
a21 a31
a22 a32
a23 a33
a11a22 a33 a12 a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12 a a 21 33 a13a22 a31.
式中的项的一般形式是 a1 j1 a 2 j2 a3 j3 a4 j4 ．显然，如果 j1 4此只须考虑 j1 4 的项，同理只须考虑
j2 3, j3 2, j4 1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有
a14 a23a32 a41 ，而 4321 6 ，所以此项取正号．故
a11 0 0 0