教案(平面向量的数量积及运算律)

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平面向量数量积的坐标表示教案

平面向量数量积的坐标表示教案
教学目标：
1. 理解平面向量数量积的定义和性质。

2. 掌握平面向量数量积的坐标表示方法。

3. 能够通过坐标表示计算平面向量数量积。

教学步骤：
一、引入
1. 提问：你们知道什么是平面向量数量积吗？它有什么作用？
2. 引导学生回忆和复习向量的定义和性质。

二、概念讲解
1. 给出平面向量数量积的定义：设有向量a(x₁, y₁)和向量b(x₂, y₂)，则它们的数量积(a·b) = x₁x₂ + y₁y₂。

2. 解释数量积的几何意义：数量积的结果是一个实数，它等于向量a在向量b上的投影的长度乘以向量b的模长。

三、坐标表示及计算方法
1. 说明如何利用向量的坐标表示来计算数量积，即将向量的坐标代入数量积定义的公式进行计算。

2. 给出一个例子，让学生分组演示如何通过坐标表示计算向量数量积。

引导学生思考其中的计算思想和规律。

四、数量积的性质
1. 介绍数量积的一些重要性质，如交换律、分配律、零向量的数量积等。

2. 提出相关练习题，让学生进行思考和讨论。

五、练习与巩固
1. 提供一些练习题，让学生通过坐标表示计算数量积。

2. 布置课后作业，要求学生完成更多的相关练习题，以巩固所学知识。

教学资源与评价方式：
1. 教师提供教学引导和示范。

2. 学生课堂参与和讨论。

3. 学生课后完成的作业和练习题。

教学延伸：
1. 引导学生思考平面向量数量积与向量夹角的关系，并介绍夹角余弦公式。

2. 提供更多复杂的计算题目，让学生进一步巩固和应用所学知识。

向量的教案5篇

向量的教案5篇(实用版)编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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2.4《平面向量的数量积》教案(新人教必修4)

§2.4平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件. 教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律. 教学过程：一、复习引入：1．向量共线定理向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .2．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a 把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a 4．平面向量的坐标运算若),(11y x a ，),(22y x b ，则b a ),(2121y y x x ，b a ),(2121y y x x ，),(y x a .若),(11y x A ，),(22y x B ，则 1212,y y x x AB5．a ∥b (b0)的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=06．线段的定比分点及λP 1， P 2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P 1， P 2的任一点，存在实数λ，使 P P 1=λ2PP，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7. 定比分点坐标公式：若点P １(x 1，y 1) ，Ｐ２(x 2，y 2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，则点P 的坐标为（1,12121y y x x ），我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8. 点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1 )时，P P 1与2PP 反向共线，这时称点P 为21P P 的外分点. 9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a1111.10．力做的功：W = |F | |s |cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0 ≤ ≤1802．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. （3）在实数中，若a 0，且a b =0，则b =0；但是在数量积中，若a 0，且a b =0，不能推出b =0.因为其中cos有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b 0)，则ab=bc a=c .但是a b = b c a = c如右图：a b = |a ||b |cos= |b ||OA|，b c = |b ||c |cos = |b ||OA|a b = b c 但ac(5)在实数中，有(a b )c = a (b c )，但是(a b )ca (bc )显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3．“投影”的概念：作图定义：|b |cos叫做向量b 在a 方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当C为直角时投影为0；当 = 0时投影为 |b |；当 = 180时投影为 |b |.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos2 aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba5|a b | ≤ |a ||b |三、讲解范例：例1 已知|a |=5， |b |=4， a 与b 的夹角θ=120o ，求a ·b . 例2 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a-3b).例3 已知|a |=3， |b |=4，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直. 例4 判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２. 解：上述8个命题中只有③⑧正确；对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·ａ＝０；对于②：应有０·ａ＝0；对于④：由数量积定义有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜cos θ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；对于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０；对于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；对于⑦：若ａ与с共线，记ａ＝λс.则ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с）， ∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ若ａ与с不共线，则(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ.评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.例6 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°， ∴ａ·ｂ＝０；③当ａ与ｂ的夹角是60°时，有ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°＝3×6×21＝9评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°或180°两种可能. 四、课堂练习：1.已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A.60° B .30° C.135° D.４５°2.已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为3，那么向量m =a -4b 的模为（） A.2 B .23 C.6 D.12 3.已知a 、b 是非零向量，则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的（） A.充分但不必要条件 B .必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知向量a 、b 的夹角为3，|a |=2，|b |=1，则|a +b |·|a -b |= . 5.已知a +b =2i -8j ，a -b =-8i +16j ，其中i 、j 是直角坐标系中x 轴、y 轴正方向上的单位向量，那么a ·b = . 6.已知a ⊥b 、c 与a 、b 的夹角均为60°，且|a |=1，|b |=2，|c |=3，则(a +2b -c )２＝______. 7.已知|a |=1，|b |=2，(1)若a ∥b ，求a ·b ；(2)若a 、b 的夹角为６０°，求|a +b |；(3)若a -b 与a 垂直，求a 与b 的夹角.8.设m 、n 是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a =2m +n 与b =2n -3m 的夹角. 9.对于两个非零向量a 、b ，求使|a +tb |最小时的t 值，并求此时b 与a +tb 的夹角. 五、小结（略）六、课后作业（略）七、教学后记：第8课时二、平面向量数量积的运算律教学目的：1.掌握平面向量数量积运算规律；2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b |cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.3．“投影”的概念：作图C定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当= 0时投影为|b|；当= 180时投影为|b|.4．向量的数量积的几何意义：数量积a b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积.5．两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 e a = a e =|a |cos ；2 a b a b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b =|a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |二、讲解新课：平面向量数量积的运算律 1．交换律：a b = b a证：设a ，b 夹角为，则a b = |a ||b |cos ，b a = |b ||a |cos∴a b = b a2．数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 证：若 > 0，( a ) b = |a ||b |cos ， (a b ) = |a ||b |cos，a ( b ) = |a ||b |cos ，若 < 0，( a ) b =| a ||b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos， (a b )= |a ||b |cos ，a (b ) =|a || b |cos() =|a ||b |(cos) = |a ||b |cos.3．分配律：(a + b ) c = a c + b c在平面内取一点O ，作OA = a ， AB = b ，OC = c ， ∵a + b （即OB ）在c 方向上的投影等于a 、b 在c 方向上的投影和，即 |a + b | cos = |a | cos 1 + |b | cos 2∴| c | |a + b | cos =|c | |a | cos1 + |c | |b | cos2，∴c (a + b ) = c a + c b 即：(a + b ) c= a c + b c说明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0ａ＝ｂ（3）有如下常用性质：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ (ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、讲解范例：例1 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与7a2b 垂直，求a 与b 的夹角. 解：由(a + 3b )(7a 5b ) = 0 7a 2 + 16a b 15b 2 = 0 ①(a4b )(7a2b ) = 0 7a 230a b + 8b 2 = 0 ②两式相减：2a b = b 2 代入①或②得：a 2 = b 2设a 、b 的夹角为，则cos=21222 ||||||b b b a b a ∴ = 60例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB ，BC AD ，AC =AD AB ∴|AC|2=AD AB AD AB AD AB 2||222而BD =AD AB ， ∴|BD|2=AD AB AD AB AD AB 2||222∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB = 2222||||||||AD DC BC AB例3 四边形ABCD 中，AB ＝ａ，BC ＝ｂ，CD ＝с，DA ＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２① 同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等. ∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. 四、课堂练习：1.下列叙述不正确的是（）A.向量的数量积满足交换律 B .向量的数量积满足分配律 C.向量的数量积满足结合律 D.a ·b 是一个实数2.已知|a |=6，|b |=4，a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（） A.72 B .-72 C.36 D.-363.|a |=3，|b |=4，向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .垂直 C.夹角为3D.不平行也不垂直 4.已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝ . 5.已知|a |=2，|b |=5，a ·b =-3，则|a +b |=______，|a -b |= . 6.设|a |=3，|b |=5，且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ . 五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：第9课时三、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角教学目的：⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式. ⑶能用所学知识解决有关综合问题. 教学重点：平面向量数量积的坐标表示教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos 叫ａ与ｂ的数量积，记作a b ，即有a b = |a ||b |cos ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0. 3．向量的数量积的几何意义：C数量积a b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积.4．两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量. 1 e a = a e =|a |cos； 2aba b = 03当a 与b 同向时，a b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a b = |a ||b |. 特别的a a = |a |2或a a a ||4 cos =||||b a ba ；5|a b | ≤ |a ||b |5．平面向量数量积的运算律交换律：a b = b a数乘结合律：( a ) b = (a b ) = a ( b ) 分配律：(a + b ) c = a c + b c 二、讲解新课：⒈ 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a ，),(22y x b ，试用a 和b 的坐标表示b a .设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11 ，j y i x b 22 所以))((2211j y i x j y i x b a 2211221221j y y j i y x j i y x i x x 又1 i i ，1 j j ，0 i j j i ，所以b a 2121y y x x这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a 2121y y x x 2. 平面内两点间的距离公式一、设),(y x a ，则222||y x a 或22||y x a.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a (平面内两点间的距离公式)二、向量垂直的判定设),(11y x a ，),(22y x b ，则b a 02121 y y x x 三、两向量夹角的余弦（ 0）co s =||||b a ba 222221212121y x y x y y x x四、讲解范例：五、设a = (5， 7)，b = ( 6， 4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o ) 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C ( 2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明. 例3 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足x a = 9与x b = 4的向量x . 解：设x = (t ， s )，由429349s t s t b x a x32s t ∴x = (2， 3) 例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值. 解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.例5 如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使 B = 90 ，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x 5， y 2) ∵OB AB ∴x (x 5) + y (y 2) = 0即：x 2 + y 2 5x 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x 5)2 + (y 2)2即：10x + 4y = 29由2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或∴B 点坐标)23,27( 或)27,23(；AB =)27,23( 或)23,27(例6 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.解：当A = 90 时，AB AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =23当B = 90 时，AB BC = 0，BC =AC AB = (1 2， k 3) = ( 1， k 3) ∴2×( 1) +3×(k 3) = 0 ∴k =311 当C = 90 时，AC BC = 0，∴ 1 + k (k 3) = 0 ∴k =2133 六、课堂练习：1.若a =(-4，3)，b =(5，6)，则3|a |２－４a ·b ＝（） A.23 B .57 C.63 D.83 2.已知A (1，2)，B (2，3)，C (-2，5)，则△ABC 为（）A.直角三角形 B .锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 3.已知a =(4，3)，向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（） A.)54,53(或)53,54( B .)54,53(或)54,53( C.)54,53( 或)53,54(D.)54,53( 或)54,53(4.a =(2，3)，b =(-2，4)，则(a +b )·(a -b )= .5.已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 6.已知A (1，0)，B (3，1)，C (2，0)，且a =，b =，则a 与b 的夹角为 . 七、小结（略）八、课后作业（略）九、板书设计（略）十、课后记：。

向量数量积教案

向量数量积教案【篇一：向量数量积教案】平面向量数量积的教学设计及反思教学目的： 1.了解平面向量数量积的物理背景及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系及数量积的几何意义 3．理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；教学重难点：重点：1.平面向量数量数量积的概念和性质 2．平面向量数量数量积的运算律的探究和应用难点：平面向量数量数量积的定义及对运算律的探究平面向量数量数量积的应用课时安排： 2 课时教学过程一．导入 ??的作用下产生位移 s??，那么力 f一个物体在力 f??所做的功：coss??fw??=，即功的大小是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积。

f??是力的大小，是数量也就是物理上的标量， s??是位移的大小是标量， cos是力与位移夹角的余弦值，也是标量，所以w 是一个标量，它是由力和位移这两个向量决定的。

这给我们一个启示：功是否是两个向量的某种运算的结果呢？二．新授 1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a??与 b??，它们的夹角是，则数量| a??| | b??| cos 叫 a??与 b??的数量积（内积），记作 a?? b??，即 a?? b?? = | a??| | b??| cos ， (0) ，前面所说的功就是力与位移的数量积。

并规定 0??与任何向量的数量积为 0 注意：（1）不能省略，也不能用 ???? 代替。

(2 ) 00a =,而不是00a?? =????。

2．牛刀小试：例 1. 已知| a??|=5， |b??|=4，（1） a??与 b??的夹角是 60 ；（2） a??与 b??的夹角是 120 ；（3） a??与 b??垂直；（4） a??与 b??平行，求 a?? b?? 解： (1) a?? b??=|a??||b??|cos60 =10 (2) a?? b??=| a??||b??|cos120 =-10 (3) a?? b??=| a??||b??|cos90 =0 （4） a??与 b??同向时a?? b??=|a??||b??|cos0 =20 a??与 b??反向时a?? b??=| a??||b??|cos180 =-20 3．投影（也叫射影）的概念及数量积的几何意义： ?? = | a??||b由数量积定义 a?? b??|cos 可知影响数量积大小的因素有| a??|， |b??|， cos ，投影的定义：我们把│ b │ cos （│ a │ cos ）叫做向量b 在 a 方向上（ a 在b方向上）的投影，记做：ob1=│b │ cos （投影的几何图形） b??在 a??方向上的投影：（1）投影│ b │ cos 是一个数量，不是向量。

平面向量的数量积及运算律(一)教案

●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积在物理学中学过功的概念，一个物体在力F 的作用下产生位移S ，那么力F 所作的功W=FScos θ。

思考：W 是什么量？F 和S 是什么量？和向量有什么关系？W 是标量（实数），F 和S 是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。

我们学过的向量运算a b,a b,a +-λ结果都是向量。

因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。

●（二）、新课学习★新课学习阶梯一 ——怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：a b a b cos ⋅=θ思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义 a *b a b sin =θ，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。

1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a 与b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a 与b 的夹角（右图的夹角分别是什么） 2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ 叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）并规定0与任何向量的数量积为0 思考：功怎么用数量积表示：F S ⋅数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。

★新课学习阶梯二 ——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。

1几何意义：“投影”的概念：作图A BO ab θ AB O a b θ定义：|b |cos θ 叫做向量b 在a 方向上的投影思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔ a ⋅b= 0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a 与b ，当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos θ =||||a b a b ⋅（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）a ⋅a = |a |2，||a a a =⋅，a ba b cos ⋅=θ（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|a ⋅b | ≤ |a ||b |（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律） ab=baa b?b a ⋅⋅ √ （结合律）(ab)c=a(bc)(a b)c?a (b c)⋅⋅⋅⋅ × （分配律）a(b+c)=ab+aca (b c)?a b ac ⋅+⋅+⋅ √ (a)b?(a b)?a (b)λ⋅λ⋅⋅λ √思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。

平面向量的数量积及运算律(1)

平面向量的数量积及运算律（1）引言平面向量是线性代数的重要概念之一，数量积是平面向量运算中的重要操作之一。

本文将介绍平面向量的数量积的定义、性质以及运算律。

数量积的定义平面向量数量积，也称为点积或内积，是一种向量运算，用来确定两个向量之间的夹角和方向关系。

给定平面上两个向量a和b，数量积的定义如下：a ·b = |a| |b| cosθ其中，|a|是向量a的模长，|b|是向量b的模长，θ是a和b之间的夹角。

数量积的性质1. 交换律a ·b = b ·a根据定义可知，数量积是两个向量模长的乘积与夹角余弦的乘积，因此根据夹角余弦函数的对称性，数量积满足交换律。

2. 分配律a · (b + c) = a ·b + a ·c根据定义可知，数量积是线性的，即满足分配律。

3. 数量积的性质•如果a ·b = 0，则a与b是垂直关系。

•如果a ·b > 0，则a与b夹角为锐角。

•如果a ·b < 0，则a与b夹角为钝角。

数量积的运算律1. 向量与自身的数量积a ·a = |a|^2根据定义可知，向量a与自身的夹角为0度，夹角的余弦为1，因此向量与自身的数量积等于向量模长的平方。

2. 平行向量的数量积如果两个向量a和b平行，则它们之间的夹角θ为0度或180度的整数倍。

根据定义可知，夹角余弦值为1或-1，因此平行向量的数量积满足以下关系：a ·b = ± |a| |b|3. 零向量的数量积0 ·a = 0根据定义可知，零向量与任意向量的夹角为0度或180度的整数倍，夹角的余弦为1或-1，因此零向量与任意向量的数量积为0。

4. 数量积的运算律•(a + b) ·c = a ·c + b ·c•k(a ·b) = (k a) ·b = a · (k b)其中，a、b和c为平面向量，k为常数。

平面向量的数量积及向量的应用教案

平面向量的数量积及向量的应用教案第一章：平面向量简介1.1 向量的概念解释向量的定义：具有大小和方向的量向量表示方法：用箭头表示，箭头长度表示大小，箭头方向表示方向1.2 向量的图形表示绘制向量的方法：在坐标平面上，用箭头表示向量，箭头起点表示向量的起点，箭头终点表示向量的终点1.3 向量的性质向量的大小：向量的长度，称为模向量的方向：向量的起点指向终点的线段第二章：向量的坐标表示2.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和表示方法二维坐标系和三维坐标系的表示方法2.2 向量的坐标表示二维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标三维向量的坐标表示方法：用有序数对表示向量的起点和终点坐标2.3 向量的坐标运算向量的加法运算：对应坐标相加向量的减法运算：对应坐标相减第三章：向量的数量积3.1 向量数量积的定义介绍向量数量积的定义和表示方法向量数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ3.2 向量数量积的性质交换律：a·b = b·a分配律：a·(b+c) = a·b + a·c标量倍数：k·a = a·k（k为标量）3.3 向量数量积的应用判断两个向量的夹角：cosθ= (a·b) / (|a||b|)计算向量的长度：|a| = √(a·a)第四章：向量的线性相关与线性无关4.1 向量线性相关的定义介绍向量线性相关的定义和表示方法向量线性相关：存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.2 向量线性无关的定义介绍向量线性无关的定义和表示方法向量线性无关：不存在不全为零的标量倍数，使得一组向量相加等于零向量4.3 向量组的秩介绍向量组的秩的定义和表示方法秩的计算方法：将向量组转化为行阶梯形式，行阶梯形式的行数即为秩第五章：向量的应用5.1 向量在几何中的应用向量的几何表示：向量可以表示为起点到终点的有向线段向量的几何运算：向量的加法、减法、数乘运算5.2 向量在物理中的应用向量在物理学中的表示：速度、加速度、力等物理量都可以用向量表示向量的物理运算：速度的合成与分解、力的合成与分解等5.3 向量在其他领域的应用向量在计算机科学中的应用：图形学中的向量运算、计算机图形处理中的向量计算等向量在工程学中的应用：结构力学中的向量运算、电路分析中的向量计算等平面向量的数量积及向量的应用教案第六章：向量的线性组合与基底6.1 向量的线性组合介绍向量的线性组合的定义和表示方法向量线性组合的运算规则：标量倍数与向量的乘积6.2 基底的概念介绍基底的概念和表示方法基底的选取：线性无关的向量组可以作为基底6.3 向量在基底下的表示向量用基底表示的方法：将向量表示为基底的线性组合向量的坐标：向量在基底下的坐标表示第七章：向量的投影7.1 向量的投影概念介绍向量投影的定义和表示方法向量的正交投影和斜投影7.2 向量的正交投影向量的正交投影的计算方法：将向量垂直投影到另一向量上正交投影的性质：投影长度与投影方向无关7.3 向量的斜投影向量的斜投影的计算方法：将向量沿着非垂直方向投影到另一向量上斜投影的性质：投影长度与投影方向有关第八章：向量的夹角与余弦定理8.1 向量的夹角介绍向量夹角的定义和表示方法向量夹角的计算公式：cosθ= (a·b) / (|a||b|)8.2 余弦定理的应用介绍余弦定理的定义和表示方法余弦定理在三角形中的应用：计算三角形的边长和角度8.3 向量的夹角与余弦定理的关系向量的夹角与余弦定理的关系：夹角的大小与余弦值有关第九章：向量的模与应用9.1 向量的模介绍向量模的定义和表示方法向量模的计算公式：|a| = √(a·a)9.2 向量的模的应用向量模的几何意义：向量长度的表示向量的模在物理中的应用：计算速度、加速度等物理量的模9.3 向量的模的运算向量的模的运算规则：标量倍数与向量的模的乘积第十章：向量的运算律10.1 向量的运算律介绍向量的运算律的定义和表示方法向量的加法运算律、减法运算律、数乘运算律10.2 向量的运算律的应用向量的运算律在计算向量运算时的应用：简化计算过程向量的运算律在几何中的应用：计算向量间的夹角、距离等重点和难点解析：1. 向量的概念与图形表示：向量作为具有大小和方向的量，其图形表示方法在二维和三维坐标系中的绘制是教学的重点。

平面向量的数量积优秀教案

平面向量的数量积教案目标：(i)知识目标:（1）掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示. (2)平面向量数量积的应用.(ii)能力目标:(1) 培养学生应用平面向量积解决相关问题的能力. (2)正确运用向量运算律进行推理、运算.教案重点:1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 用数量积求夹角、距离及平面向量数量积的坐标运算.教案难点: 平面向量数量积的综合应用. 教案过程：一、追溯1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b|cos θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即a ⋅b = |a ||b|cos θ，(0)θπ≤≤并规定0 与任何向量的数量积为02．平面向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积. 3．两个向量的数量积的性质设a 、为两个非零向量，e是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔a ⋅b= 03︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |,特别地a ⋅a = |a |24︒cos θ =||||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b|4.平面向量数量积的运算律①交换律：a ⋅b = b ⋅a ②数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a⋅(λb ) ③分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c+ b ⋅c5.平面向量数量积的坐标表示①已知两个向量),(11y x a = ，),(22y x b = ,则b a⋅2121y y x x +=.②设),(y x a = ，则22||y x a +=.③平面内两点间的距离公式如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=.④向量垂直的判定两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a⊥⇔02121=+y y x x .⑤两向量夹角的余弦 co s θ =||||b a ba ⋅⋅222221212121yx y x y y x x +++=（πθ≤≤0）. 二、典型例题1.平面向量数量积的运算例题1 已知下列命题:①()0a a +-=。

平面向量的数量积与应用教案

平面向量的数量积与应用教案一、引言平面向量是数学中重要的概念之一，它在几何、物理等领域具有广泛的应用。

其中，数量积作为平面向量的一种运算方式，被广泛运用于解决多种实际问题。

本教案旨在通过介绍平面向量的数量积及其应用，帮助学生掌握相关的概念和运算方法。

二、数量积的定义数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间进行的一种运算。

对于两个平面向量a 和 b，它们的数量积可以表示为a·b，即：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a| 和 |b| 分别表示向量 a 和 b 的模，θ表示向量 a 和 b 之间的夹角。

三、数量积的运算性质1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积为零的条件：若 a·b = 0，则 a 和 b 两向量垂直。

四、数量积的几何意义数量积有着重要的几何意义。

当两个向量的数量积为正时，表示它们的方向较为接近；当数量积为负时，表示它们的方向较为背离；当数量积为零时，表示它们垂直。

五、数量积的应用数量积在几何、物理等领域有着广泛的应用。

以下是其中几个常见的应用场景：1. 判断两个向量的关系：通过计算两个向量的数量积，可以判断它们的夹角大小，从而了解两个向量之间的关系，比如是否垂直或平行。

2. 求向量在某一方向上的投影：通过数量积的计算，可以求得一个向量在另一个向量上的投影长度，从而进一步计算出向量在某一方向上的投影。

3. 计算力的功：在物理学中，力的功可以通过计算力和位移之间的数量积得到。

功等于力乘以移动的距离和夹角的余弦值。

4. 计算三角形的面积：数量积还可以用来计算三角形的面积。

当给定两条边和它们之间的夹角时，可以通过数量积公式计算出三角形的面积。

六、教学活动为了帮助学生更好地理解和应用数量积，以下是一些教学活动的建议：1. 理论讲解：教师可以通过简洁明了的语言，结合实际例子，向学生讲解数量积的定义、运算性质和几何意义。

平面向量的数量积教案

2.4《平面向量的数量积》教案（第一课时）2017级应用数学专业康萍一．教学内容分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4(人教A版）§2。

4 平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律，本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程。

二．学生学习情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识,并且初步体会了研究向量运算的一般方法。

在功的计算公式和研究向量运算的一般方法的基础上，学生基本上能类比得到数量积的含义和运算律,对于运算律不一定给全或给对,对运算律的证明可能会存在一定的困难,教学中老师要注意引导学生分析判断。

三．设计思想遵循新课标以人为本的理念，以启发式教学思想和建构主义理论为指导,采用探究式教学,以多媒体手段为平台，利用问题让学生自主地参与探究,在探究过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。

四．教学目标知识与技能：以物理中功的实例认识理解平面向量数量积的含义及物理意义。

过程与方法：培养学生观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律的一般方法。

情感态度价值观：让学生经历由实例到抽象的数学定义的形成过程，性质的发现到论证过程，进一步参悟数学的本质。

五．教学重点和难点重点是平面向量数量积的概念、用平面向量数量积表示向量的模及夹角；难点是平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用.六．教学过程设计活动一：创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？答:向量的加法、减法及数乘运算。

这些运算的结果是向量.很好,那既然两个向量可以进行加法、减法运算。

我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗?【设计意图】1。

让学生明白新旧知识的联系性。

平面向量的数量积(教案)

§5.3 平面向量的数量积（教案）2014高考会这样考1.考查两个向量的数量积的求法；2.利用两个向量的数量积求向量的夹角、向量的模；3.利用两个向量的数量积证明两个向量垂直．复习备考要这样做1.理解数量积的意义，掌握求数量积的各种方法；2.理解数量积的运算性质；3.利用数量积解决向量的几何问题．1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b＝|a||b|cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b＝0，两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝a·a；(4)cos θ＝a·b |a||b|；(5)|a·b|__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝x2＋y2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝x1－x22＋y1－y22.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0. [难点正本疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．a·b>0是两个向量a·b夹角为锐角的必要不充分条件．因为若〈a，b〉＝0，则a·b>0，而a，b夹角不是锐角；另外还要注意区分△ABC中，AB→、BC→的夹角与角B的关系．3．计算数量积时利用数量积的几何意义是一种重要方法．1．已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝___.答案－32解析 a ·b ＝|a||b |cos 135°＝2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＝－3 2. 2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为________．答案32解析由a ⊥b 知a ·b ＝0.又3a ＋2b 与λa －b 垂直，∴(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2－2b 2 ＝3λ×22－2×32＝0.∴λ＝32.3．已知a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．答案655解析设a 和b 的夹角为θ，|a |cos θ＝|a |a ·b|a||b |＝2×－4＋3×7－42＋72＝1365＝655.4． (2011·辽宁)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k 等于( )A ．－12B ．－6C ．6D ．12答案 D解析由已知得a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2(4＋1)－(－2＋k )＝0，∴k ＝12.5．(2012·陕西)设向量a ＝(1，cos θ)与b ＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )A.22B.12C．0 D．－1答案 C解析利用向量垂直及倍角公式求解．a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos2θ＝0，∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0.题型一平面向量的数量积的运算例1(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则AB→·AC→等于( )A．－16 B．－8 C．8 D．16(2)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x等于( )A．6 B．5 C．4 D．3思维启迪：(1)由于∠C＝90°，因此选向量CA→，CB→为基底．(2)先算出8a－b，再由向量的数量积列出方程，从而求出x.答案(1)D (2)C→＝16.解析(1)AB→·AC→＝(CB→－CA→)·(－CA→)＝－CB→·CA→＋CA2(2)∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.探究提高求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．本题从不同角度创造性地解题，充分利用了已知条件．(2012·北京)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE→·CB→的值为________；DE→·DC→的最大值为________．答案 1 1解析方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，则E(t,0)，t∈[0,1]，则DE→＝(t，－1)，CB→＝(0，－1)，所以DE→·CB→＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC→＝(1,0)，所以DE→·DC→＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE→在CB→方向上的投影都是CB＝1，∴DE→·CB→＝|CB→|·1＝1，当E运动到B点时，DE→在DC→方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE→·DC→)max＝|DC→|·1＝1.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，(1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB→＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积．思维启迪：运用数量积的定义和|a |＝a ·a .解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a ＋b |＝13.(3)∵AB →与BC →的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，∴S △ABC ＝12|AB →||BC →|sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝33.探究提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．(1)已知向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝4，且a ·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(－1,0)，则|a ＋2b |等于( )A ．1B.2C ．2D ．4 答案 (1)C (2)C解析 (1)∵cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b |＝12，∴〈a ，b 〉＝π3.(2)|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4－4×1＋4＝4，∴|a ＋2b |＝2. 题型三向量数量积的综合应用例3已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)(0<α<β<π)．(1)求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；(2)若k a ＋b 与a －k b 的模相等，求β－α.(其中k 为非零实数)思维启迪：(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2 ＝(cos 2α＋sin 2α)－(cos 2β＋sin 2β)＝0， ∴a ＋b 与a －b 互相垂直．(2)解 k a ＋b ＝(k cos α＋cos β，k sin α＋sin β)，a －kb ＝(cos α－k cos β，sin α－k sin β)， |k a ＋b |＝k 2＋2k cos β－α＋1， |a －k b |＝1－2k cosβ－α＋k 2.∵|k a ＋b |＝|a －k b |，∴2k cos(β－α)＝－2k cos(β－α)．又k ≠0，∴cos(β－α)＝0.∵0<α<β<π，∴0<β－α<π，∴β－α＝π2.探究提高 (1)当向量a 与b 是坐标形式给出时，若证明a ⊥b ，则只需证明a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a ·b ＝0.(3)数量积的运算中，a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .已知平面向量a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，32. (1)证明：a ⊥b ；(2)若存在不同时为零的实数k 和t ，使c ＝a ＋(t 2－3)b ，d ＝－k a ＋t b ，且c ⊥d ，试求函数关系式k ＝f (t )． (1)证明 ∵a ·b ＝3×12－1×32＝0，∴a ⊥b .(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－k a＋t b，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－k a＋t b)＝－k a2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．三审图形抓特点典例：(5分)如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.审题路线图图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝ 2↓(非等腰三角板的特点)|BD|＝|DE|sin 60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°) AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos 45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即为y↓y＝|BD|·sin 45°＝62×22＝32.解析方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE→|·sin 60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos 45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin 45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2. 设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝ 2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos 45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边取数量积可得y＝3 2 .答案1＋3232温馨提醒突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，较方法一略显繁杂．方法与技巧1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．失误与防范1． (1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2． a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3． a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立．A 组专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于( ) A ．－1B ．－12C.12D ．1答案 D解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( )A.5 B.10 C ．25 D ．10答案 B 解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－79，－73答案 D解析设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.② 联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB→·AC →等于( )A ．－32B ．－23C.23D.32答案 D解析由于AB→·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32. 二、填空题(每小题5分，共15分)5． (2012·课标全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝32.6． (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB→·AC →＝________.答案－16 解析如图所示， AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC → ＝AM→－MB →， ∴AB→·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7．已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．答案 (－∞，－6)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－6，32解析由a ·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得：6＝－λ，即λ＝－6.因此λ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 解 (1)a ·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4，∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)．(2)由(1)知，a ·b ＝10，|a |2＝5.又c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0， ∴λb ·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b ·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)．9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由已知得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)．故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB→·BC →＝1，则BC 等于( )A.3B.7C ．22D.23答案 A解析 ∵AB→·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB→||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝3.2．已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2 答案 A解析 a ·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a ·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉， ∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． (2012·江西)在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2等于( ) A ．2B ．4C ．5D ．10答案 D解析 ∵PA→＝CA →－CP →，∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2. ∵PB→＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2. ∴|PA→|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|PA→|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10.二、填空题(每小题5分，共15分)4． (2012·安徽)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.答案2解析利用向量数量积的坐标运算求解．a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝2.5． (2012·江苏)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是________．答案2解析方法一坐标法．以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF→＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE→·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝2.方法二用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键．设DF→＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →. AB→·AF →＝AB →·(AD →＋DF →) ＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB→·AF →＝2，∴2x ＝2，∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2.6． (2012·上海)在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC→|＝|CN →||CD→|，则AM→·AN →的取值范围是________．答案 [1,4]解析利用基向量法，把AM →，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积．如图所示，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，则BM →＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD → ＝(λ－1)CD→，∴AM→·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →] ＝(λ－1)AB→·CD →＋λBC →·AD →＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM→·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN →取得最小值1.∴AM →·AN →∈[1,4]．三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32. (1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14＋34＝0，故向量a ＋b 与a －b 垂直． (2)解由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a ·b ＋|b |2＝|a |2－23a ·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a ·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a ·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0，即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ，即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，则α＝30°或α＝210°.。

平面向量数量积的运算律学案

必修4 2．4．2 平面向量数量积的运算律【学习目标】1.举例说明平面向量数量积运算规律，会利用数量积性质及运算律解决有关问题；2.学会两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题．3.体会类比的数学思想和方法，进一步培养同学们抽象概括、推理论证的能力.【学习重点】平面向量数量积的运算律【难点提示】向量数量积的运算律的理解与运用.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材104105P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组组织讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备前面我们学习了向量有关知识，请对照上面知识网络，回顾其中知识内容，请对不熟悉的知识点进行复习，并填写在空白处，同时思考下列问题：1.平面向量数量积定义，向量数量积的性质、、、、 .2.向量的夹角，夹角的范围是，两个向量的夹角对这两个向量的数量积有怎样的影响；这两个向量数量积的几何意义是、；3.向量的加法与向量的数乘分别有哪些运算律？热身练习在边长为2的等边三角形ABC 中，点D 是BC 边上的中点，则___AB CA ⋅=、()2__AB =、__AD BC ⋅=,你还能求()___AB CA CB ⋅-=和()___AB CA CB ⋅+=吗？后面两问就是本节课要探究的问题！二、学习探究平面向量数量积的运算律在“学习准备”中，我们知道前面学习的向量线性运算时，在具体的运算中均要满足一些运算律，我们自然也应该联想向量的数量积又满足哪些运算律呢？为了更好的与生活联系起来，还是从物理中的问题出发来探究：问题1：如图2.4.2-1，一个人用与水平方向成θ弧度的力F 拉一装满“幸福”车厢（不计摩擦力），向前位移了S ，则这是力与位移所做的功为W=F S ⋅= ，W=S F ⋅= ，问题2：如图2.4.2-1，两个人分别用力为F 和F 0，它们与水平方向所成的角分别为θ与0θ（不计摩擦力），向前位移为S ，则这两个人的合力与与位移S 所做的功为W= ；问题3：用与水平方向成θ弧度的力F 拉一装满“幸福”车厢，若车厢与地面的摩擦力为F 0，向前位移为S ，则这是两个力的合力与位移所做的功为W= ；你能计算以上三个问题吗？请探究一下！在探究后，你能归纳一下向量数量积满足的运算律吗？这些运算律能证明吗？归纳概括 1.交换律：a b b a ⋅=⋅ ；2.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )；3.分配律：(a +b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c快乐体验1.()()22______,_______a ba b+=-=，请类比这与什么运算公式相似？ 2.请求“热身练习”中的后面两问？再求()___AB CA CB ⋅⋅=，()___AB CA CB ⋅⋅=. 3.已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为６０°，则(a +2b )·(a -3b )等于（）A.72 B .-72 C.36 D.-36 4.|a |=3,|b |=4,向量a +43b 与a -43b 的位置关系为（） A.平行 B .C.夹角为3πD.不平行也不垂直5.已知|a |=2,|b |=5,a ·b =0,则|a +b |=___,|a -b |= ，你能感悟到什么吗？6.设|a |=3,|b |=5,且a +λb 与a －λb 垂直，则λ＝ .同学们通过探究、归纳、体验，对向量数量积满足的运算律有哪些感悟，你能对它们进行深度思考和挖掘拓展吗？挖掘拓展 1.你能对上面的三个运算律加以证明吗？（链接1）2.向量的数量积满足的这三个运算律有何特点？与我们以前学习的什么运算相似呢？它还满足结合律吗？请举例说明？3. 重要的二手结论：（1）一般地，(a ·b )c ≠a （b ·c）；（2）a ·c ＝b ·c ，c≠a ＝b ；（3）a ２＝｜a ｜２，()22a b a b +=+；（4）（a ＋b ）（c ＋d ）＝a ·c ＋a ·d ＋b ·c＋b ·d ；（5）(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２；(a -b )２＝a ２-２a ·b ＋b ２；（6）若a 、b 是非零向量______a b a b a b a b +=-⇔⋅=⇔向量与；图2.4.2-1（7）若a 、b 是非零向量，则|a |=|b |与(a +b )与(a -b )垂直等价. 请联想还有没有类似与（5）的其它结论？（链接2）三、典例赏析例1.已知a 、b 都是非零向量，a + 3b 与7a - 5b 垂直， a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角．解:变式练习已知|a |=1,|b |=2,且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（） A.60° B .30° C.135° D.４５°解：例2.求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和．思路启迪:用模方关系.解:变式练习四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，＝c，＝d ，且a ·b ＝b ·c ＝c·d ＝d ·a ，试问四边形ABCD 是什么图形?思路启迪：请抓住四边形的形状由哪些量之间的关系确定，关键是怎样由题设条件变形或演变、推算该四边形的边角量上去．解:四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，你的任务完成了吗？你讲的怎样？你提问了吗？我们的学习目标达到了吗？如：向量数量积满足的运算律都理解与掌握了吗？挖掘拓展中的“二手结论”都明白了吗？2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.本节课见到那些题型，都能求解了吗？你对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与课堂美在哪里吗？五、学习评价1.下列叙述不正确的是（）A ．向量的数量积满足交换律B ．向量的数量积满足分配律C ．向量的数量积满足结合律D ．a ·b 是一个实数2．已知|a |=3，|b |=4，且a 与b 的夹角为150°，则(a +b )２＝．3.已知向量a 、b 的夹角为3π，|a |=2,|b |=1,则|a +b |·|a -b |= .4.已知|a |=12，|b |= 9，a⋅b =54-．求（1）(2)(2)a b a b +⋅-；（2）(2)(3)a b a b +⋅- 解：5.在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2PA PM =, 则()PA PB PC ⋅+等于多少？解：6. 设a 、b 是两个不共线的非零向量（R t ∈）（1）记1,,()3OA a OB tb OC a b ===+，那么当实数t 为何值时A 、B 、C 三点共线？（2）若 1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？解：7.教材P108页习题2.4A 组1、4、8，B 组1、4、5.◆承前启后现在我们学习了向量的数量积的定义、性质、运算律等知识，那么向量数量积有坐标运算吗？【学习链接】链接1. 交换律a ⋅ b = b ⋅ a ，证：设a ，b 夹角为θ，则a ⋅ b = |a ||b |cos θ，b ⋅ a = |b ||a |cos θ ∴a ⋅ b = b ⋅ a 成立.数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )证：若λ> 0，(λa )⋅b =λ|a ||b |cos θ， λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ，a ⋅(λb ) =λ|a ||b |cos θ，若λ< 0，(λa )⋅b =|λa ||b |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ，λ(a ⋅b ) =λ|a ||b |cos θ， a ⋅(λb ) =|a ||λb |cos(π-θ) = -λ|a ||b |(-cos θ) =λ|a ||b |cos θ；当0λ=呢？分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c ，证明见教材.链接2. 还有一些重要结论，如：()33322______,()()______,()()______a b a b a b +=+=-=等.。

高中数学平面向量教案(精选6篇)

高中数学平面向量教案（精选6篇）为大家收集的高中数学平面向量教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

高中数学平面向量教案精选篇1教学目标1、了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理。

会用基底表示平面内任一向量。

2、掌握向量夹角的定义以及两向量垂直的定义。

学情分析前几节课已经学习了向量的基本概念和基本运算，如共线向量、向量的加法、减法和数乘运算及向量共线的充要条件等；另外学生对向量的物理背景有了初步的了解。

如：力的合成与分解、位移、速度的合成与分解等，都为学习这节课作了充分准备重点难点重点：对平面向量基本定理的探究难点：对平面向量基本定理的理解及其应用教学过程4.1第一学时教学活动活动1【导入】情景设置火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度v＝vx＋vy＝6i＋4j。

活动2【活动】探究已知平面中两个不共线向量e1，e2，c是平面内任意向量，求向量c＝___e1＋___e2（课堂上准备好几张带格子的纸张，上面有三个向量，e1，e2，c）做法：作OA＝e1，OB＝e2，OC＝c，过点C作平行于OB的直线，交直线OA于M；过点C作平行于OA的直线，交OB于N，则有且只有一对实数l1，l2，使得OM＝l1e1，ON＝l2e2。

因为OC＝OM＋ON，所以c＝6 e1＋6e2。

向量c＝__6__e1＋___6__e2活动3【练习】动手做一做请同学们自己作出一向量a，并把向量a表示成：a＝31;31;31;31;____e1＋_____（做完后，思考一下，这样的一组实数是否是唯一的呢？）（是唯一的）由刚才的几个实例，可以得出结论：如果给定向量e1，e2，平面内的任一向量a，都可以表示成a＝入1e1＋入2e2。

活动4【活动】思考问题2：如果e1，e2是平面内任意两向量，那么平面内的任一向量a还可以表示成a＝入1e1＋入2e2的形式吗?生：不行，e1，e2必须是平面内两不共线向量活动5【讲授】平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1，l2，使a＝l1e1＋l2e2。

高二数学教案设计《平面向量的数量积》

高二数学教案《平面向量的数量积》【导语】直面高二的挑战，认清高二的自己，明确高二的目标，意义重大。

因为，高二的这个岔路口，分出的是渐行渐远的两条路，指向的是人生意义上的两个截然相反的阶段性终端。

高二频道为正在奋斗的你整理了《高二数学教案《平面向量的数量积》》希望你喜欢！教案【一】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程1.平面向量数量积(内积)的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b=|a||b|cosq，(0≤θ≤π).并规定0向量与任何向量的数量积为0.×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负?2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别?(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.(2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，而a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.教案【二】教学准备教学目标1.掌握平面向量的数量积及其几何意义;2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律;3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;4.掌握向量垂直的条件.教学重难点教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学工具投影仪教学过程一、复习引入：1.向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ五，课堂小结(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些?(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课

《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课下面是我收集的《平面向量》说课稿9篇平面向量的说课，供大家参阅。

《平面向量》说课稿1说课内容：普通高中课程标准实验教科书(人教A版)《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第一课时---平面向量数量积的物理背景及其含义。

下面，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学过程设计、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的思考进行说明。

一、背景分析1、学习任务分析平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。

其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。

同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

2、学生情况分析学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型(主要是物理模型)抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。

这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的;另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。