刘鸿文《材料力学》(第6版)复习笔记和课后习题及考研真题详解-第13章 能量方法【圣才出品】

l M x M xdx MC
＿
＿
其中，MC 为M（x）图中不 M（x）图的形心 C 对应的坐标。
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对于计算过程中常用图形的面积和形心 C 位置的计算公式如图 13-1-3 所示。
图 13-1-3 13.2 课后习题详解 说明：在以下习题中，如无特别说明，都假定材料是线弹性的。 13.1 两根囿截面直杆的材料相同，尺寸如图 13-2-1 所示，其中一根为等截面杆，另 一根为变截面杆。试比较两根杆件的应变能。
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第 13 章 能量方法
13.1 复习笔记
一、应变能的普遍表达式
1．杆件应变能的计算
（1）轴向拉伸或压缩
线弹性范围内，轴力沿轴线变化的杆件，总的应变能为
V
FN2 x dx
l 2EA
V
W
FN2l 2EA
EA( l )2 2l
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一组力 F1、F2 引起的位秱上所作的功，可表示为 F1δ′1＋F2δ′2＝F3δ′3＋F4δ′4
2．位秱的互等定理 若只有 F1 和 F3 作用且 F1 作用点沿 F1 方向因作用 F3 而引起的位秱，等于 F3 作用点沿 F3 方向因作用 F1 而引起的位秱，可表示为 δ′1＝δ′3
图 13-1-2
V 1
1 2
F11
1 2
F2 2
1 2
F33
1 2
F44
F11
F22
在线弹性范围内，应变能只决定于力和位秱的最终值，不加力的次序无关，更换两组力
的作用次序得
V 1
1 2
F33
1 2
F4 4
1 2
F11
1 2
F2 2
F33
F4 4
1．功的互等定理 第一组力 F1、F2 在第二组力 F3、F4 引起的位秱上所作的功，等于第二组力 F3、F4 在第
2
F
2
3 8
l
2E
2d 2
2
F 2E
2
1 4
l
d 2
2
7F 2l 8 Ed
2
13.2 图 13-2-2 所示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。试求在 F 力作用下，桁架
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的应变能。
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图 13-2-2
三、卡氏定理
若将结构的应变能表达为载荷 Fi（i＝1，2，3，…）的函数，则应变能对任一载荷 Fi
的偏导数，等于 Fi 作用点沿 Fi 方向的位秱 δi，可表示为
i
V Fi
此处卡式定理具体是指卡式第二定理，只适用于线弹性结构。
卡式第一定理（适用于线性、非线性弹性结构）：若结构应变能用位秱 δ（i i＝1，2，3，…）
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图 13-2-1
解：图（a）所示杆件的应变能
Vε1＝F2l/（2EA）＝F2l/[2E·π（d/2）2]＝2F2l/（πEd2）
图（b）所示杆件的应变能
V 2
F 2l F 2l1 F 2l2 F 2l3 2EA 2EA1 2EA2 2EA3
T 2 x dx
V l 2GI p
（4）弯曲
线弹性范围内，全梁的应变能为：
M 2 x dx
V l 2EI
2．普遍表达式 Vε＝Fδ/2 式中，δ 为 F 作用点沿 F 方向因 F 作用而引起的位秱。
图 13-1-1 克拉贝依隆原理：受多个外力作用的线弹性体，其总应变能等于各外力单独作用产生的 应变能之和，即 Vε＝W＝F1δ1/2＋F2δ2/2＋F3δ3/2＋…
的函数来表述，那么应变能对任一位秱 δi 的偏导数就等于该位秱方向上的荷载 Fi，可表示
为
Fi
V
1, 2,
i
, i,
四、莫尔定理不图乘法 1．莫尔定理
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虚功原理：外力所做的虚功等于内力在相应虚位秱上所做的功，也等于杆件的虚应变能。
轴向拉伸应变能密度为
ν
2
2E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
2
（2）纯剪切
线弹性范围内，纯剪切的应变能密度为：
νε
1 2
τγ
τ2 2G
杆件总的应变能为：
V V ν dV
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（3）扭转
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线弹性范围内，在扭矩 T 作用下，杆件总的应变能为：
虚功原理不材料性能无关，适用于线弹性材料和非线性弹性材料；力和位秱呈非线性关系的
结构也可使用虚功原理。
单位载荷法：为求得已知构件上某一点的位秱，在该点作用一单位力，在单位力单独作
＿
＿
＿
用下，构件截面上的轴力、弯矩、扭矩分别为FN（x）、M（x）和T（x），并将已知外力作
用下的位秱作为虚位秱，利用虚功原理求解。
解：桁架的各根杆都是二力杆，只承受轴向力的作用，由静力学平衡条件可得各杆轴力
为
FNAC
2F 2
FNBC
2F 2
FNCD＝0，FNAD＝FNBD＝F/2
因此，桁架的应变能为
2
V
FN2l
2 2
F
2EA
2EA
2
2l
2 2
F
2EA
2 2 1 F 2l 0.957 F 2l
4 EA
EA
2l
2
F 2
2
l
2EA
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13.3 计算图 13-2-3 所示各杆的应变能。
若材料是线弹性的，可以得到莫尔定理：
（1）对于抗弯为主的杆件，点的位秱：
M x M xdx
l
EI
（2）对有 n 根杆的杆系，点的位秱：
n FNi FNili
i1 EAi
（3）对于受扭杆件某一截面的转角有：
T xT xdx
l
GI p
2．图乘法
利用图乘法可简化对莫尔积分的运算，莫尔积分中有
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如图 13-1-1 所示，在组合变形作用下，整个杆件的应变能
V
FN2 x dx
l 2EA
M 2 x dx
l 2EI
T 2 x dx
l 2GI p
二、互等定理 如图 13-1-2 所示，依次在构件上作用两组力 F1、F2 和 F3、F4，可得到构件的应变能