高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题
高考专题突破 高考中的三角函数与解三角形问题
题型一 三角函数的图像和性质
例1 (2016·山东)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；
(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π
3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ????π6的值. 解 (1)由f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ?
???2x －π
3＋3－1. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z ).
所以f (x )的递增区间是????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )????或????k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z ). (2)由(1)知f (x )＝2sin ?
???2x －π
3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ????x －π
3＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π
3个单位长度，
得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1. 所以g ????π6＝2sin π
6
＋3－1＝ 3. 思维升华 三角函数的图像与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后将t ＝ωx ＋φ视为一个整体，结合y ＝sin t 的图像求解. 跟踪训练1 已知函数f (x )＝5sin x cos x －53cos 2x ＋532(其中x ∈R )，求：
(1)函数f (x )的最小正周期； (2)函数f (x )的单调区间；
(3)函数f (x )图像的对称轴和对称中心.
解 (1)因为f (x )＝52sin 2x －532(1＋cos 2x )＋53
2
＝5????12sin 2x －3
2cos 2x ＝5sin ????2x －π3， 所以函数的最小正周期T ＝
2π2
＝π. (2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2(k ∈Z )，
得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递增区间为????k π－π12，k π＋5π
12(k ∈Z ). 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π
2(k ∈Z )，
得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的递减区间为????k π＋5π12，k π＋11π
12(k ∈Z ). (3)由2x －π3＝k π＋π
2(k ∈Z )，
得x ＝k π2＋5π
12
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋5π
12(k ∈Z ).
由2x －π
3＝k π(k ∈Z )，
得x ＝k π2＋π
6
(k ∈Z )，
所以函数f (x )的对称中心为????
k π2＋π6，0(k ∈Z ). 题型二 解三角形
例2 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋3cos A ＝0，a ＝27，b ＝2.
(1)求角A 和边长c ；
(2)设D 为BC 边上一点，且AD ⊥AC ，求△ABD 的面积. 解 (1)∵sin A ＋3cos A ＝0，
∴tan A ＝－3， 又0 3 ， 由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即28＝4＋c 2－2×2c ×??? ?－12， 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)或c ＝4，故c ＝4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C ， ∴cos C ＝ 27 ，∴CD ＝AC cos C ＝2 27 ＝7， ∴CD ＝12BC ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ＝12×4×2×3 2＝23， ∴S △ABD ＝1 2 S △ABC ＝ 3. 思维升华 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍. 跟踪训练2 (2017·北京)在△ABC 中，∠A ＝60°，c ＝3 7a . (1)求sin C 的值； (2)若a ＝7，求△ABC 的面积. 解 (1)在△ABC 中，因为∠A ＝60°，c ＝3 7a ， 所以由正弦定理得sin C ＝c sin A a ＝37×32＝33 14. (2)因为a ＝7，所以c ＝3 7×7＝3. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得 72＝b 2＋32－2b ×3×1 2， 解得b ＝8或b ＝－5(舍去). 所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×8×3×3 2＝6 3. 题型三 三角函数和解三角形的综合应用 例3 如图，某机械厂欲从AB ＝2米，AD ＝2 2 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF 加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E ，F 分别在边BC ，AD 上，且EB ＝EF ，AF (1)求f (θ)关于θ的函数关系式，求出定义域； (2)当BE ，AF 的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，并求出最小值. 解 (1)过点F 作FM ⊥BE ，垂足为M . 在Rt △FME 中，MF ＝2，∠EMF ＝π 2，∠FEM ＝θ， 所以EF ＝2sin θ，ME ＝2 tan θ， 故AF ＝BM ＝EF －EM ＝2sin θ－2 tan θ， 所以f (θ)＝1 2 (AF ＋BE )×AB ＝12×????2sin θ－2tan θ＋2sin θ×2＝4sin θ－2tan θ， 由题意可知，AF ， 且当点E 重合于点C 时，EF ＝EB ＝22，FM ＝2，θ＝π 4， 所以函数f (θ)＝4sin θ－2 tan θ的定义域为????π4，π2. (2)由(1)可知， f (θ)＝4sin θ－2tan θ＝4????sin 2θ2＋cos 2θ 22sin θ2cos θ2－2 2tan θ 2 1－tan 2 θ 2 ＝2? ????tan θ2 ＋1tan θ2－? ?? ?? 1tan θ2－tan θ2 ＝3tan θ2＋1tan θ 2≥2 3tan θ2·1tan θ2 ＝23， 当且仅当3tan θ2＝1 tan θ 2时，等号成立， 又θ∈????π4，π2，θ2∈????π8，π4， 故当tan θ2＝33，即θ2＝π6，θ＝π 3时，四边形ABEF 的面积最小， 此时BE ＝2sin θ＝433，AF ＝2sin θ－2tan θ＝233，f (θ)＝4sin θ－2 tan θ ＝2 3. 答 当BE ，AF 的长度分别为433 米，23 3 米时，裁剪出的四边形ABEF 的面积最小，最小 值为2 3 平方米. 思维升华 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响. 跟踪训练3 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin B －b cos C ＝c cos B . (1)判断△ABC 的形状； (2)若f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋1 2，求f (A )的取值范围. 解 (1)因为a sin B －b cos C ＝c cos B ， 由正弦定理可得sin A sin B －sin B cos C ＝sin C cos B . 即sin A sin B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以sin(C ＋B )＝sin A sin B . 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin A sin B ， 又sin A ≠0，所以sin B ＝1，B ＝π 2，所以△ABC 为直角三角形. (2)因为f (x )＝12cos 2x －23cos x ＋1 2 ＝cos 2x －23cos x ＝????cos x －132－1 9， 所以f (A )＝? ???cos A －132－19， 因为△ABC 是直角三角形，所以0 2，且0 所以当cos A ＝13时，f (A )有最小值－1 9. 所以f (A )的取值范围是??? ?－19，1 3. 1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)??? ?A >0，ω>0，|φ|<π 2，x ∈R 的部分图像如图. (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )在区间????0，5π 12上的最值，并求出相应的x 值. 解 (1)由题干图像可知|A |＝2， 又A >0，故A ＝2. 周期T ＝43×????13π12－π3＝43×3π 4＝π， 又T ＝2π ω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 由题干图像知f ????π3＝2sin ????2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，φ＝－π 6＋2k π，k ∈Z ， 又|φ|<π2，∴φ＝－π6， 故f (x )＝2sin ????2x －π 6. (2)∵x ∈????0，5π12， ∴2x －π 6∈??? ?－π6，2π3， ∴sin ????2x －π6∈????－12，1，2sin ????2x －π 6∈[－1，2]. 当2x －π6＝π2，即x ＝π 3时，f (x )取得最大值， f (x )max ＝f ????π3＝2. 当2x －π6＝－π 6 ， 即x ＝0时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝f (0)＝－1. 2.(2018·重庆联考)设函数f (x )＝2tan x 4·cos 2x 4－2cos 2????x 4＋π12＋1. (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )在[－π，0]上的最值. 解 (1)f (x )＝2sin x 4cos x 4－cos ????x 2＋π6 ＝sin x 2－cos ????x 2＋π6＝sin x 2－32cos x 2＋12sin x 2 ＝3sin ???? x 2－π6. 由x 4≠π 2 ＋k π(k ∈Z )， 得f (x )的定义域为{x |x ≠2π＋4k π(k ∈Z )}， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π 12＝4π. (2)∵－π≤x ≤0， ∴－2π3≤x 2－π6≤－π6. ∴当x 2－π 6∈????－2π3 ，－π2， 即x ∈????－π，－2π 3时，f (x )是减少的， 当x 2－π 6∈????－π2 ，－π6， 即x ∈????－2π 3，0时，f (x )是增加的， ∴f (x )min ＝f ????－2π 3＝－3， 又f (0)＝－ 32，f (－π)＝－32 ， ∴f (x )max ＝f (0)＝－ 3 2 . 3.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)????A >0，ω>0，|φ|<π2的图像过点P ????π 12，0，图像上与P 点最近的一个最高点坐标为???? π3，6. (1)求函数f (x )的解析式； (2)若f (x )<3，求x 的取值范围. 解 (1)由题意得A ＝6，T 4＝π3－π12＝π 4，∴T ＝π， ∴2π ω＝π，∴ω＝2. ∴f (x )＝6sin(2x ＋φ)， 又f (x )过点????π3，6，∴6sin ????2×π 3＋φ＝6， ∴2×π3＋φ＝2k π＋π 2，k ∈Z ， ∴φ＝2k π－π 6，k ∈Z . 又|φ|<π2，∴φ＝－π6， ∴f (x )＝6sin ????2x －π 6. (2)6sin ????2x －π 6<3， 即sin ? ???2x －π6<12， 在区间????－3π2，π2中，要使sin ????2x －π6<12， 则－7π6<2x －π6<π 6 ， 所以－7π6＋2k π<2x －π6<π 6＋2k π，k ∈Z ， 解得k π－π2 6 ，k ∈Z . 所以x 的取值范围为? ??? ??x ? ? k π－π2 6，k ∈Z . 4.已知点P (3，1)，Q (cos x ，sin x )，O 为坐标原点，函数f (x )＝OP →·QP → . (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若A 为△ABC 的内角，f (A )＝4，BC ＝3，求△ABC 周长的最大值. 解 (1)由已知，得OP →＝(3，1)，QP → ＝(3－cos x,1－sin x )， 所以f (x )＝OP →·QP → ＝3－3cos x ＋1－sin x ＝4－2sin ??? ?x ＋π 3， 所以函数f (x )的最小正周期为2π. (2)因为f (A )＝4，所以sin ??? ?A ＋π 3＝0， 又0 3. 因为BC ＝3， 所以由正弦定理，得AC ＝23sin B ，AB ＝23sin C ， 所以△ABC 的周长为3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ????π 3－B ＝3＋23sin ??? ?B ＋π 3. 因为0 3， 所以当B ＋π3＝π2，即B ＝π 6 时， △ABC 的周长取得最大值，最大值为3＋2 3. 5.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ； (2)若AD 为BC 边上的中线，cos B ＝17，AD ＝129 2，求△ABC 的面积. 解 (1)a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0， 由正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， 即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ， 亦即sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C ， 则3sin A sin C －cos A sin C ＝sin C . 又sin C ≠0，所以3sin A －cos A ＝1，所以sin(A －30°)＝1 2.