小量近似
质心教育原创物理竞赛模拟题第五套答案及评分标准
动能减少为 E kQq R
设末态 m 速度为 vm ，末态 M 速度为 vM
由动量守恒， mvm MvM mv0
由能量守恒，
1 2
mv02
1 2
mvm2
1 2
MvM2
kQq R
解得： vm
mv0 mM
M mM
v02
2kQq(m RmM
M
)
（2）电荷全部到达外表面后：
（3）读出图中中间段的的斜率 k 8.25s2
8
https:///
v
当卫星飞过头顶时，经过 t 后，角度变化为 vt ， h 为高度 h
频率变化 f f v(sin ) f v2t
c
hc
解得： h fv2 4.1105 m kc
e
作 A'H AF2 于 H ，有 |AM|=|AH| （双曲线线上点到两焦点距离之差不变）
由双曲线性质 | AF1 | | F2A | 2a
MAA' 与 HA'A 中
| AA' | cosAA'M=|A'M|= 1 | AH | cosAA'H|AA'| 1
e
e
sin 1 sin i e
力公式计算，金属球壳外表面导电性能良好，不考虑电磁辐射）
（1）求出当金属球进入球壳后达到球心时，金属球的速度为多少？
（2）金属球与球壳发生完全非弹性碰撞后连为一体，求整个过程中的发热 。
（ 以 下 不 是 试 题 ： 求 出 能 够 让 金 属 球 打 入 球 壳 所 需 的 最 小 速 度 v0 。 仔 细 想 哦 。 答 案 得 到
程稼夫电磁学第二版第一章习题解析
程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律：由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有：算得1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ：这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T：解得1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消：解得：（2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消：解得：1-4设向上位移为x，则有：结合牛顿第二定律以及略去高次项有：1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间：先由库仑定律写出静电力标量式：有几何关系：联立解得由库仑定律矢量式得：解得1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡（2）对一个负电荷，合外力提供向心力：解得1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势能：对势能求导得到受力：小量近似，略去高阶量：当q＞0时，；当q＜0时，（2）由上知1-8设q位移x，势能：对势能求导得到受力：小量展开有：，知1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0：，解得设它在平衡位置移动一个小位移x，有：小量展开化简有：受力指向平衡位置，微小谐振周期（2）1-101-11先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.有：显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等.利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0.1-12（1）如图，取θ和，设线电荷密度λ，有：积分得（2）（3）用圆心在场点处，半径，电荷线密度与直线段相等的，张角为θ0 （）的一段圆弧替代直线段，计算这段带电圆弧产生的场强大小，可以用其所张角对应的弦长与圆弧上单位长度所产生的电场强度大小的积求得：1-13我们先分析一个电荷密度为ρ，厚度为x的无穷大带电面（图中只画出有限大），取如图所示高斯面，其中高斯面的两个相对面平行于电荷平面，面积为S，由高斯定理：算得，发现这个无穷大平面在外部产生的电场是匀强电场，且左右两边电场强度相同，大小相反.回到原题，由叠加原理以及，算得在不存在电荷的区域电场强度为0（正负电荷层相互抵消.）在存在电荷的区域，若在p区，此时x处的电场由三个电荷层叠加而成，分别是左边的n区，0到x范围内的p区，以及右边的p区，有：，算得同理算出n区时场强，综上可得1-14（1）取半径为r的球形高斯面，有：，解得（2）设球心为O1，空腔中心为O2，空腔中充斥着电荷密度为−ρ的电荷，在空腔中任意一点A处产生的电场为：（借助第一问结论）同时在A处还有一个电荷密度为+ρ则有：1-15取金属球上一面元d S，此面元在金属球内侧产生指向内的电场强度，由于导体内部电场处处为0，所以金属球上除该面元外的其他电荷在该面元处产生的电场强度为所以该面元受到其他电荷施加的静电力：球面上单位面积受力大小：半球面受到的静电力可用与其电荷面密度相等的，该半球面的截口圆面的面积乘该半球面的单位面积受力求得：1-16设轴线上一点到环心距离为x，有：令其对x导数为0：解得1-17写出初态体系总电势能：1-18系统静电势能大小为：1-19由对称性，可以认为四个面分别在中心处产生的电势，故取走后，；设BCD，ACD，ABD在P2处产生的电势为U，而ABD在P2处产生的电势为，有：；取走后：，解得1-20构造如下六个带电正方体（1到6号），它们的各面电荷分布彼此不相同，但都能通过一定的旋转从程中电荷直接相加而不重新分布）.这个带电正方体各面电势完全相同，都为.容易证明，正方体内部的每一个点的电势也都为（若不然，正方体内部必存在电场线，这样的电场线必定会凭空产生，或凭空消失，或形成环状，都与静电场原理不符）.故此时中心电势同样为1-21 O4处电势：O1处电势：故电势差为：1-22从对称性方面考虑，先将半球面补全为整个球面.再由电势叠加原理，即一个半球面产生的电势为它的一半，从而计算出半球面在底面上的电势分布.即1-23设上极板下版面面电荷密度为，下极板上版面面电荷密度为.取一个长方体型的高斯面，其形状是是两极板中间间隔的长方体，并且把和囊括进去.注意到金属导体内部没有电场，故这个高斯面电通量为0，其中净电荷为0，有：再注意到上下极板电势相等，其中E1方向向上，E2方向向下：再由高斯定理得出的结论：解得1-24先把半圆补成整圆，补后P、Q和O.这说明，新补上的半圆对P产生的电势为，而由于对称性，这个电势恰好也是半球面ACB对Q产生的电势.故：1-25在水平方向上，设质点质量m，电量为q：运动学：整体带入得：1-26（1）先将半球面补全为整个球面，容易计算出此时半球底面的电势.再注意到这个电势由对称的两个半球面产生的电势叠加得到，即一个半球面产生的电势为它的一半，即可求出一个半球面对底面产生的电势恒为定值，故底面为等势面，由E点缓慢移至A点外力做功为W1=0.（2）由上一问的分析知由E点缓慢移至O点外力不做功，记电势能为E，E的右下标表示所代表的点，则有：依然将半球面补为整球面，此时q在球壳内部任意一点电势能为2EO.此时对于T点，其电势能为上下两个球面叠加产生，由对称性，有：综上有W2=−W.1-27小球受电场力方程：将a与g合成为一个等效的g′：方向与竖直夹角再将加速度分解到垂直于g′和平行与g′的方向上.注意到与g′平行的分量最小为0，而垂直的分量则保持不变，故速度的最小值为垂直分量：1-28假设给外球壳带上电量q2，先考虑q2在内外表面各分布了多少.取一个以内球壳外表面和外球壳内表面为边界的高斯面，并把内球壳外表面和外球壳内表面上的电荷囊括进去，真正的高斯面边界在金属内部.由于金属内部无电场，高斯面电通量为0，高斯面内电荷总量为0，得到外球壳内表面分布了−q1电荷，外表面分布了q2+q1电荷.由电势叠加原理知球心处的电势：解得由电势叠加原理及静电屏蔽：1-29设质点初速度为v0，质量为m，加速度为a，有：，其中.设时竖直向下速度为v1，动能为Ek1，初动能为Ek0，有：解得1-30球1依次与球2、球3接触后，电量分别为.当球1、4接触时满足由于解得.注：若此处利用，略去二阶小量则可以大大简便计算，有意思的是，算出的答案与笔者考虑二阶小量繁重化简过后所得结果完全一致，这是因为在最后的表达式中没有r与a的和或差的项的缘故。
物理竞赛——小量近似方法应用两则
④
由②④两式得
当小球运动方向水平向右时速度最大，此时两分运动速度方向相同
小球距边界AC的距离最大
讨论 那么小球实际运动的轨迹到底是怎样的呢？
从以上求解过程容易联想到生活中的物理模型-—无滑动的纯滚动车轮轮缘上一个质点的运动轨迹情况，下面来分析这个问题：
如图2，建立平面直角坐标系xoy
设M为车轮圆心，R为半径，车轮以速度v匀速直线行驶。考虑车轮边缘上的某一点P，其初始位置在坐标原点，θ为运动过程中转过的角度，设t时刻位置坐标为（x,y）。
⑵对于m ⑥
对于M ⑦
联立④⑤⑥⑦得
例2长分别为L1和L2的不可伸长的轻绳悬挂质量都是m的m1和m2，如图5所示，原先它们处于静止状态。突然，连接两绳的中间小球受到水平向右的冲击，短时间内获得水平向右的初速度v0，求这一瞬间连接m2的绳的拉力为多少？
分析与解小球m1受到冲击获得初速度v0，由于受到上端固定在O点的绳L1的牵制，而绕O点做圆周运动，此刻的加速度竖直向上，大小为 。下面的小球m2此刻相对于地面的速度为零，但以m1为参照，m2的速度为v0，方向向左，且绕m1做圆周运动，这时m2受到三个力的作用：竖直向下的重力mg，绳子的拉力T2，惯性力 ，方向竖直向下，如图6所示。由牛顿第二定律和向心力公式可得
即
故
通过这样两道例题我们可以发现，引入惯性力以后，可以使一些动力学问题的求解变得简单，从而给解题带来很大的方便，因此在学习过程中，我们应该很好地掌握这种方法。
练习如图7所示，一光滑细杆绕竖直轴以匀角速度ω转动，细杆与竖直轴夹角θ保持不变。一个相对细杆静止的小环自离地面h高处沿细杆下滑，求小球滑到细杆下端时的速度。（参考答案： ）
一、欧拉公式
十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系： ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底）， 代表绳和桩子之间的摩擦系数， 代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
“小量近似”在高考和竞赛中的应用
“小量近似”在高考和竞赛中的应用作者：余建刚来源：《理科考试研究·高中》2019年第10期摘;要：本文由一道2019年全国高考理科数学题引出“小量近似”在高考和竞赛中的应用，简要地阐述了小量近似的定义及数学来源、小量近似的近似程度及典例说明.关键词：小量近似;物理竞赛;高考2019年全国高考理科数学Ⅱ卷第4题，题目如下：2019年1月3日嫦娥四號探测器成功实现人类历史上首次月球软着陆，我们航空事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为了解决这个问题，发射了嫦娥四号中继卫星“鹊桥”.鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行，L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿定律和万有引力定律，r满足方程M1（R+r）2+M2r2=（R+r）M1R3.设α=rR，由于α的值很小，因此近似计算中3α3+3α4+α5（1+α）2≈3α3，则r的近似值为（;）A.M2M1R;B.M22M1R;C.33M2M1R;D.3M23M1R无独有偶，第32届全国中学生物理预赛题也曾有类似的数学处理方法，题目如下：2011年8月中国发射的宇宙飞船“嫦娥二号”在完成探月任务后，首次从绕月轨道飞向日地延长线上的拉格朗日点，在该点，“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.已知太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为，由此解得x≈.（已知当λl时，（1+λ）n≈1+nλ）此二题在计算过程均涉及到小量近似的处理方法，其实小量近似在中学物理竞赛中，是比较普遍的数学处理方法，屡见不鲜.但对普通的高考生而言或许有点陌生.故笔者撰写本文简述“小量近似”在高考和竞赛中的应用，以期达到抛砖引玉之效.1;小量近似的定义及数学来源在数学中，我们把以零为极限（即无限趋近于零但又不为零）的变量，称为无穷小量，即小量.小量近似，就是指在运算中为了简化运算结果，但又不影响结果正确性的前提下，将一些相对较小的项忽略不计的运算方法.数学上，有一个有名的公式称泰勒Taylor展开公式（或称泰勒公式），将任意一个函数写成多项式的形式，各项分别为零阶小量、一阶小量、二阶小量…….公式如下：f（x0+Δx）=f（x0）+f ′（x0）Δx+f″（x0）2！Δx2+……+f（n）（x0）n！Δxn+o（Δxn）（注：公式最后一项o（Δxn）表示剩下所有的项，相对于Δxn都是小量.）常见函数在x0=0处的泰勒展开：sinx=x-x33！+x55！-x77！+…+（-1）kx2k+1（2k+1）！+o（x2k+1）cosx=1-x22！+x44！-x66！+…+（-1）k（2k）！x2k+o（x2k）.（1+x）μ=1+μx+μ（μ-1）2！x2+…+μ（μ-1）…（μ-n+1）n！xn+o（xn）.11+x=1-x+x2-x3+…+（-1）nxn+o（xn）.ex=1+x+x22！+…+xnn！+o（xn）.ln（1+x）=x-x22+x33-x44+…+（-1）n-1xnn+o（xn）.注：不是所有的函数在所有的位置都可以进行泰勒展开.只有当高阶项越来越小且趋近于0时才能用泰勒展开的前几项之和来近似原函数的值.高中阶段能够见到的小量近似公式全部可以用泰勒公式展开得到.用泰勒公式展开，忽略高阶小量，只取一阶近似，可得到物理竞赛中常见的如下近似公式：sinx=x;cosx=0;ex=1+x;ln（1+x）=x（1±x）n=1±nx（以上公式中的x均为小量）2;小量近似的方法（1）对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即θ≈sinθ≈tanθ.小角量θ所对应的弧长与弦长也相等.（2）在研究一个普通量时，可以将小量忽略不计.如计算常量A与小量Δ β之和，可以忽略后面小量，结果直接为A.（3）在研究小量时，可以忽略比它阶数高的小量.比如Δβ是小量，Δβ2、Δβ3、Δβ4等都是比Δβ更高阶的小量，我们就可以将其忽略不计.3;小量近似的近似程度在物理竞赛中应用小量近似，应近似到什么程度？物理竞赛中的小量近似，既要体现出小量对函数的影响，又要达到简化运算的目的，所以绝大多数情况，泰勒公式展开后，取一阶近似即可，二阶和更高阶的小量可忽略.但有两种情况例外：（1）若函数本身为小量，为了体现更高阶小量对函数的影响，则可保留更高一阶的小量.（2）若取一阶近似无法体现出小量对函数的影响，则可取更高一阶的近似.比如单由度保守力场中，在平衡位置附近对势能函数的展开，设势能函数为U（x），平衡位置为x0，在平衡位置x0附近展开势能函数则有U（x）=U（x0）+U（1）（x-x0）+12U（2）（x-x0）2+O （x-x0）n由于势能函数的导数值在平衡位置取零，即U（1）（x-x0）=0 ，所以势能函数一阶小量为零，若只取一阶近似，则无法体现出小量对势能函数的影响，于是二阶小量12U（2）（x-x0）2也应保留.4;小量近似的应用典例（1）小角度近似对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即当θ→0时，θ≈sinθ≈tanθ. 譬如，证明小角度近似下单摆可以近似为一个简谐运动.证明如下：证明：如图1，在很小角度下物体受回复力：F回=-mgsinθ≈-mgθ=-mgxL=-kx，具有简谐运动回复力的特征，k=mgL，周期为：T=2πmk=2πLg.又如光学中近轴光学入射，观察水中的鱼或玻璃中物体的视深公式.证明：如图2，由光的折射定律：1×sini=n×sinr根据小角度近似，有sini≈tani=OAh′，sinr≈tanr=OAh整理，得1×OAh′=n×OAh ，因此，像的位置h′=hn（2）一阶小量近似物理过程运算关系式常以多项式形式出现，这时可以运用以下的近似处理（1±x）n=1±nxx1.其依据就是当要求精度不高的时候，应当略去 x 的高阶小量，而保留 x 的一阶量，泰勒公式展开，略去高阶小量，只保留一阶小量.譬如，本文开篇所提到的32届预赛题，已知拉格朗日点处“嫦娥二号”和地球一起同步绕太阳做圆周运动.太阳和地球的质量分别为MS和ME，日地距离为R.求该拉格朗日点离地球的距离x满足的方程为和位置x .我们不妨用小量近似求解一下.解：根据万有引力定律和牛顿第二定律，有Gmsm（R+x）2+GmEmx2=mω2（x+R）GmsmER2=mEω2（x+R）联立，得 GmsmR（1+xR）2+GmEmx2=GmsR2（1+xR）由于xR，则（1+xR）-2=1-2xR即mE x2≈ms R2·3xR，解得x = （mE 3ms ）13R（3）二阶小量近似在小量近似处理中，当取一阶近似时，无法体现出小量对所求函数造成的影响，因而要继续去二阶小量近似.譬如下题：一块厚度为 h 的匀质长方形物块，静止地放在半径为 R 的半圆柱顶面上，如图 3（a）所示.设摩擦系数足够大，长方形物块与柱面不发生滑动.求此静止位置为稳定平衡的条件.物体平衡位置为稳定平衡位置的条件是：当此物体稍微偏离平衡位置时，将受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物体回到平衡位置.从势能的角度看，如果物体向两侧移动一个微小的距离，物体的重心提高了，即重力势能增加了，则物体将在重力的作用下回复到平衡位置，为稳定平衡;若重力势能减小则不是稳定平衡.由此依据可得.解：设长方形物体稍微离开平衡位置转过微小角度θ，如图 3（b）.则此时物块重心位置为：y=（R+h2）cosθ+Rθsinθ≈（R+h2）（1-θ22）+Rθ2=（R+h2）+θ22（R-h2）稳定平衡的条件是y>R+h，得θ22（R-h2）>0因此，穩定平衡的条件为R>h2.从上面的解题过程中，当小角度近似时，sinθ≈θ 采用一阶小量近似，而cosθ则采用二阶小量，其原因是cosθ若取一阶小量近似时cosθ≈1，无法体现出小量对所求函数造成影响，因而要继续取二阶小量近似，即cosθ≈1-θ22.。
物理竞赛——小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的。
这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有θθ=sin ，1cos =θ；在研究一个普通量时，可以忽略小量。
一、欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：μθe F F 12=，其中F 1代表我们所用的力，F 2代表我们所要对抗的力，e 代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比。
若取2.0=μ，πθ12=，则2000188112≈=F F 。
所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物。
下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧l ∆为研究对象，受力分析如图所示，F 和F F ∆+为小弧两端所受张力，N F 为柱体对绳的压力，f 为静摩擦力。
根据平衡方程，得：()2sin2sinθθ∆∆++∆=F F F F N （1） ()f F F F +∆=∆∆+2cos 2cos θθ （2）临界情况N F f μ= （3）θ∆很小，有22sin θθ∆=∆，12cos =∆θ所以 θ∆=F F Nf F =∆即 θμ∆=∆F F 或θμ∆=∆FF两边求和θμ∆∑=∆∑FFθμ∑∆=∑∆F lnμθ=-12ln ln F F或 μθ=12lnF F 故 μθeF F 12=即两张力之比按包角呈指数变化。
儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面。
不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上。
他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟。
近似数与有效数字的概念
近似数与有效数字的关系是 相互依存的，有效数字的位
数越多，近似数越精确。
有效数字的位数越少，近似 数越不精确，但计算和表示
起来更简单。
定义不同：近似数是指在一定精度范围内，对数值进行近似表示的数值；有效数字是指在数值中， 从左边第一个非零数字开始，到右边最后一个数字为止，所有的数字都是这个数值的有效数字。
科学实验：测量数据往往需要近似数来表示 计算误差：近似数可以减少计算误差，提高计算精度 数值分析：近似数在数值分析中广泛应用，如插值、拟合、积分等 工程计算：近似数在工程计算中广泛应用，如结构分析、流体力学等
统计分析：通 过有效数字进 行数据汇总和
统计分析
数据可视化： 有效数字用于 数据可视化， 如柱状图、饼
作用不同：近似数主要用于表示数值的近似值，以便于理解和计算；有效数字主要用于表示数值的精确度，以 便于判断数值的准确性。
表示方法不同：近似数通常用四舍五入法、截断法等方法表示；有效数字通常用科学计数法、工程计数法等方法 表示。
应用范围不同：近似数广泛应用于各种计算、测量、统计等领域；有效数字主要应用于科学研究、工程计算、 数据处理等领域。
保留两位有效数字：保 留整数部分和小数点后
的前两位数字
保留四位有效数字：保 留整数部分和小数点后
的前四位数字
保留六位有效数字：保 留整数部分和小数点后
的前六位数字
保留八位有效数字：保 留整数部分和小数点后
的前八位数字
保留十位有效数字：保 留整数部分和小数点后
的前十位数字
保留一位有效数字：保 留整数部分和小数点后
有效数字的位数越 多，表示测量或计 算结果的精度越高 。
有效数字的位数越 少，表示测量或计 算结果的精度越低 。
高中物理竞赛微积分基础
高中物理竞赛微积分基础-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1、常用等价无穷小关系（0x →） 小量近似①sin x x = ；②tan x x = ；③211cos 2x x -= ；④()ln 1x x += ；⑤1x e x -= 2、基本函数的导数公式 小量比值（1）y ＝f （x ）＝C （常量）（2）y=f （x ）＝x（3）y ＝f （x ）=x 2⑴ 导数的四则运算①d(u±v)d t =du d t ± dv d t ③d(u v )d t = du d t ·v - u ·dv d t u v v 2②d(u ·v)d t =du d t ·v + u ·dv d t u v ⑵ 常见函数的导数①dC dt =0(C 为常数)； ②dt n dt =nt n-1 (n 为实数)； ③dsint dt =cost ； ④ dcost dt =-sint ；⑶ 复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t))称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。
du(v(t))d t =du(v(t))d v(t) ·dv(t)d t导数的数学意义：变化率导数的几何意义：图线切线斜率导数的物理意义:定义物理量（速度、加速度等）3、定积分 小量累计函数，b 和a 分别叫做定积分的上限和下限。
f(x)是Ф(x)的导数，Ф(x)是f(x)的逆导数或原函数。
求f(x)的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数（不定积分）。
4、不定积分通常把求一个导函数f(x)的逆导数的通式Ф(x)＋C叫做它的不定积分。
铁路大提速下的弯道设计4
摘要：本文研究的是铁路大提速下弯道的设计问题，目的是为了在保证列车行驶安全的基础下通过对弯道的设计尽可能的提高列车允许的运行速度。
根据题目的要求，我们引入了安全系数的概念，在较为一般情况下讨论了轨道倾斜度、列车重心高度与曲率半径等变量之间的关系，得到了列车转弯时最佳运行速度与倾斜度、曲率半径的二元关系式，以及安全运行下列车速度的上限。
在此基础上，通过对乘客乘坐舒适度的考虑，我们进一步算得转弯时列车运行速度的适宜变化范围，并在适当近似后，得到速度变化范围与曲率半径的二次关系式。
在弯道形状设计问题中，我们首先对实际情况中的多轮车厢进行简化，采用了三轴车模型，从而分别在强制内接与自由内接情形下算得具一定适用性的轨道加宽量；然后基于轨道的实际要求，我们选取正弦函数模拟缓和曲线，利用曲线水平与竖直两个方向的牵连关系，得到此种情况中缓和曲线长度、弯道曲率半径与可允许速度之间的函数表达式。
最后，我们综合了安全舒适性与缓和曲线长的条件，得出列车转弯时的最终速度限制范围，并就我国国情对提速问题进行了相应讨论。
一、问题重述1．背景我国铁路自1997年来先后已进行了5次大提速。
由于我国经济的持续快速发展，我国的铁路干线依然很繁忙。
然而，根据我国供需关系有必要进一步提速，我国铁路也有能力提速，但需要保证列车安全运行。
而铁路弯道的设计是保证列车高速安全运行的关键问题之一。
2．问题分析研究与弯道设计和列车安全运行有关的因素之间的关系，并在根据中国国情建立模型设计弯道，通过对弯曲度和倾斜度等问题进行研究，保证列车安全运行。
同时按照设计方案，对列车的最低允许速度、最高允许速度和相应的可靠性，以及进一步提速的可靠性进行讨论。
二、问题分析我们应该在保证列车运行安全的前提下，根据已有的轨道参数限制及我国的铁路标准，设计铁路弯道以尽可能提高在安全范围内列车可以达到的最大速度。
我们将该问题分解为以下三部分：弯道设计轨道加高轨道加宽缓和曲线其中，通过静力学与动力学平衡方程可以求得在重心高度和曲率半径固定的情况下轨道最大允许加高量，以及相应的最大允许速度。
例谈小量近似法在解决高中物理问题
近似思想在解决物理问题中最普遍的应用就是小量的近似计算，主要体现在物理量趋向于无穷小、物理量呈现线性变化的关系以及小角度的几何计算等方面.这些内容均属于教学的难点，是近年来物理选考以及竞赛的重点考查内容，也是学生不容易理解与掌握的知识要点.本文从比值定义法、图像法以及三角的几何关系来对教材中所涉及的小量计算进行一定的分析说明，从近似关系的应用上结合数学工具对几个常见的涉及小量计算的问题加以探讨，体现出小量近似法在解决具体物理问题中的重要性.1比值定义法中的小量近似计算1.1教材中比值定义法的体现与应用人教版物理必修1教材中写道：平均速度只能粗略地描述物体的快慢.为了描述精确些，可以把Δt取得小一些，物体在从t到t+Δt这样一个较小的时间间隔内，运动快慢的差异性就小一些.Δt越小，运动的描述就越精确.当Δt非常小时，我们就把ΔxΔt称作物体在时刻t时的瞬时速度[1].此处所说的“Δt非常小”渗透了无穷小的数学思想，但是对于学生而言，可能存在疑惑.首先，瞬时速度描述的是某一时刻的运动快慢，而不是一段时间里的运动快慢，即便是Δt非常小，还是一段时间；再者，瞬时速度描述的是某一时刻的速度，其对应的应该是该时刻物体所处的一个位置坐标，而非位移，显然不满足速度的比值定义法.事实上，物体运动经过某一个位置，虽然这个位置固定不动，但是运动的物体不是停留在这一点，只是经过这一点.所以在这一点的速度应该理解为在该位置附近很短时间内ΔxΔt的值[2].为了加深学生的认识与理解，结合数学计算的工具，可以设置这样的一个问题：假定一个物体做变速直线运动，其位置坐标随时间变化的关系为x=t2，求物体在t到t+Δt这段时间内的平均速度.例谈小量近似法在解决高中物理问题中的体现与运用浙江省湖州市菱湖中学沈卫313018摘要：小量近似思想作为一种重要的思想方法在高中物理教学中具有重要的作用，在教学过程中针对学生的实际情况适时地对小量近似计算的方法进行一定的渗透讲解有助于发展学生思考难点、解决难题的思维与能力.本文将从比值法、图像法与几何关系的角度出发，来对教学中涉及小量近似运算的典型例子进行一定的分析说明.关键词：小量近似；比值定义法；图像面积；几何关系F 0Δm gΔx在极短的一段时间Δt 内被加速到v 0并被提起的长为Δx 的绳子体元经过理论推导，可得到在这段时间间隔内的平均速度满足：v =Δx Δt =(t +Δt )2-t 2Δt==t 2+2t Δt +Δt 2-t 2Δt=2t +Δt .当Δt 趋向于0时，计算所得的平均速度就会趋向于一个确定的速度2t .因此从近似计算的角度，当时间间隔Δt 取趋向于0的小量时，利用速度的比值定义法v =Δx Δt就可以求解物体在t时刻的瞬时速度.1.2利用比值定义法解决小量计算的具体问题问题呈现1：如图1所示，光滑水平桌面上盘绕着长为L ，质量为m 的均质柔软细绳，绳子的一端以恒定的速度v 0被匀速向上提起，当绳子被提起l 的长度时，上端作用力F 有多大？分析：对于这个问题，多数学生只以为是一个简单的平衡问题，既不会考虑小量也不会考虑近似，更加不会把它和比值定义挂上钩.因为在对绳子进行受力分析后得出的结论是：提起的长为l 的绳子，受到自身重力与向上的拉力的作用，且绳子处于匀速运动状态，由受力平衡得出F =m g lL.这种分析方式忽略了绳子被提起时由静到动所需要的作用力F 0，如图2所示，这个作用力使未被提起的绳子由静止加速到v 0，同时又保证被提起部分达到受力平衡的状态.因此解决这个问题就应该从这两个方面考虑.解析：①对于被提起的长为l 的绳子，根据匀速运动的平衡关系可以得到F =F 0+m g lL，显然F 0未知，无法根据这个关系直接得出拉力F 的大小.②设该段绳子的线密度为λ，则有λ=m L，其中盘绕在水平桌面上的绳子在极短的一段时间Δt （Δt 趋向于0）内，有很短的一段绳子体元Δx 会被加速到v 0的速度并被提起.该过程中的加速度满足牛顿第二定律：F 0-Δm g =Δma ，由于Δm =λΔx ，Δt 趋向于0，根据近似思想可略去小量Δm g ，因此该动力学方程可转化为F 0=λΔxa ，同时在Δt 时间内，绳子做匀速直线运动而被提起的长度Δx =v 0Δt ，根据加速度的比值定义法：a =Δv Δt =v 0-0Δt =v 0Δt.结合上述各式可以得到F 0=λv 0Δt v 0Δt=mv 20L .因此，当绳子被提起l 长度时，上端的作用力F =m g l L +mv 20L.其中mv20L即为提起的绳子部分与桌面绳子部分的相互作用力，而小量近似下的比值定义法能够很好地解决这个相互作用力，并且容易被学生所接受与理解.2物理量呈线性变化下的小量运算问题2.1变力做功问题——弹簧弹力做功的求解在必修2教材中，针对弹簧弹力这个变l F图1FF 0m g lL被提起的长为l 的绳子部分图2Δl 1Δl 2Δl 3Δl 4Δl 5F 1F 2F 3F 4F 5力做功的求解，所采用的方法是将弹簧拉长的过程细分成无穷多的小段Δl ，且这些小段足够的小以至于在这些小段上可近似认为弹簧的弹力是恒定不变的，从而达到化变为恒的效果，如图3所示.可以得到弹簧被拉长过程中弹簧弹力做的总功为W =F 1Δl 1+F 2Δl 2+F 3Δl 3+F 4Δl 4……由于弹簧弹力的公式满足胡克定律F =kL ，类比于应用v -t 图像中的图形面积求解匀加速直线运动的位移，在这里也可以利用F -L 图像（弹簧弹力—弹簧伸长量的图像）的图形面积求解弹簧弹力在弹簧被拉长过程中所做的功，如图4所示.2.2运用图像法求解非匀变速直线运动的时间问题呈现2：如图5，水平面内有一固定金属导轨，其MN 、PQ 边的电阻不计，MP边的电阻阻值R =1.5Ω，MN 与MP 的夹角为135°，PQ 与MP 垂直，MP 边长度小于1m.将质量m =2kg 、电阻不计的足够长直导体棒搁在导轨上，并与MP 平行，棒与轨道间动摩擦因数μ=0.1.棒与MN 、PQ 交点G 、H 间的距离L =4m ，空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B =0.5T .在与棒垂直的水平拉力作用下，棒由GH 处以一定的初速度水平向左做直线运动，运动时回路中的电流强度始终与初始时的电流强度相等.问：若初速度v 0=3m/s ，求导体棒向左移动距离2m 到达EF 所需时间Δt .分析：导体棒的切割速度在不断增大，但是运动并不是匀加速直线运动，因此运用匀变速直线运动的平均速度公式无法求解该过程的时间.由导轨的几何条件可以知道，当导体棒左移x 的距离，其切割的有效长度也变为L -x ，且切割长度随前进的距离呈现线性变化.回路中电流强度不变可知导体棒切割的感应电动势不变，由此在变化的物理过程中建立起恒定不变的物理关系BLv 0=B (L -x )v .依据小量近似思想，取极短的一段时间Δt ，对应导体棒运动了距离Δx ，此过程中导体棒的运动近似看成是匀速直线运动且导体棒切割的有效长度不变.解析：根据分析说明，可以得出v =Δx Δt，Lv 0=(L -x )v =(L -x )Δx Δt，因此有Δt =L -x Lv 0Δx ，代入数据得Δt =(13-x 12)Δx .取t (x )=13-x 12，可作出t (x )-x 图像如图6所示.显然图中阴FOLOLF以小矩形面积表示一小段位移内弹力做的功，矩形面积之和可以粗略表示整个过程的位移如果位移分得非常细，他们的面积就等于图线与两个坐标轴围成的梯形的面积图4图3MR PFHQEGN图5影部分的梯形面积表示的就是导体棒左移2m距离所需的时间，大小为Δt=0.5s.虽然对于该题的解法还可以根据电流大小恒定不变,采用电磁感应中的电荷量与磁通变化量的关系式及电流的定义式来解决，但是运用小量近似结合图像法解决问题也不失为一种可行的方式.在平时的教学实践与问题解决的过程中依据问题的条件适时地引入小量近似法可突出化变为恒、数形结合的基本思想，从而有助于锻炼学生的思维，拓宽学生考虑问题的思路与角度.3几何近似极限下的小角度运算3.1向心加速度公式推导过程中的小角度近似运算如图7所示，在一个小时间段Δt→0内，Δθ→0.根据图中的几何关系，在弧度制下，速度的改变量Δv=v·Δθ，则向心加速度a=ΔvΔt=vΔθΔt=vω=ω2r=v2r[3].这种推导过程简单明了，充分体现出了小量近似思想在物理模型运算与解析中的作用，也说明这是帮助学生理解教材内容，透析概念与规律的良好方式与途径.3.2运用几何法的三角近似关系解决实际问题问题呈现3：如图8所示，两劲度系数均为k的同样的轻弹性绳的上端固定在一水平面上，下端悬挂一个质量为m 的小物块.平衡时，轻弹性绳与水平面的夹角为α0，弹性绳的长度为l0.现将小物块向下拉一段微小的距离后从静止释放，证明小物块做简谐运动.分析：当物体处于平衡状态下，可以设弹性绳的形变量为Δl，因此有2kΔl sinα0=m g，如果物体在下拉一段微小的距离x并放手后物体做的是简谐运动，那么该处就是平衡位置，而x则属于位移小量，左边的弹性绳在物体下拉后的形变如图9所示，假定弹性绳的形变量变为Δl′，则Δl′=Δl+x sinα，这个关系的得出取决于x是微小量，因此做BC垂直于AD，那么∠DBC近似等于α0.取竖直向下为物体运动的正方向，由小物块的受力条件可以得出其所受的合力F=m g-2kΔl′sin(α+α0).由二角和公式sin(α+α0)=sinαcosα0+cosαsinα0.物体被下拉微小距离x导致弹性绳与水平面的夹角变化也是极小的，所以角度变化量α属于小量且趋向于0，如此不妨取α= 0，则有cosα=1，sinα=α.在无穷小近似的情况下，圆弧的弧长近似等于圆弧上两点间的弦长，如图9的△ABC可近似看成以A 为圆心，l0为半径的扇形，在弧度制下有||BC=||BD cosα0=x cosα0，sinα=α=x sinα0l0.解析：在分析过程中渗透的小量近似计算的思想，解决了模型构建的数学分析t(x)13O24x/m图6vΔθvΔθv′图7l0α0图8α0αα0ABDC x图9问题.对于小物块是否做简谐运动，只需要证明小物块所受的回复力F满足F=-kx 即可.根据分析所得的结果，可以得到小物块在被下拉微小距离x之后所受合力F 的关系式为F=m g-2k(Δl+x sinα0)⋅(sinα0+x cos2α0 l0)，整理之后得F=m g-(2kΔl sinα+2kΔlx cos2αl0+2kx sin2α+2kx2sinα0cos2α0l0),由x的无穷小量特征，略去x的高阶无穷小，且2kΔl sinα0=m g，故有F=-(m g cos2α0 l0sinα0+2k sin2α)x，满足回复力公式，故证明物块的运动为简谐运动.4结束语思想的体现与方法的运用要依托于具体的问题载体，因此在教学中教师要善于整理、归纳、总结，对于常见的问题载体与对应方法的运用进行提炼、加工、深化，从而基于有限的问题资源将方法运用的物理实质加以呈现，突出思想与方法在解决不同问题时所具备的共性，从而引导学生在掌握解决问题方法的同时提升自身的思维能力.小量近似的思想与计算方法在教材中的体现颇多，是高中物理学科中所运用到的重要思想与方法，如果能够在平时的教学实践与问题解决中加以深化拓展，对于提升学生解决问题的能力、培养学生建立严谨科学的思维模式可以起到重要的作用.参考文献[1]人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书物理必修1[M].北京：人民教育出版社，2010：16.[2]魏佳兵.“瞬时速度”的概念教学宜逐步推进[J].物理教学探讨，2011，29（09）:24-25. [3]胡杨洋，石尧.显化科学方法的高中物理教材编写研究[J].中学物理教学参考，2015，44（05）：16-17.解析：（1）当n=1时，a1=S1=1；当n 2时，an =Sn-Sn-1=n2+n2-(n-1)2+(n-1)2=n.a1也满足an=n，故数列{}a n的通项公式为an=n.（2）由（1）知bn=2n+(-1)n⋅n.当n为偶数时，Tn=(21+22+⋯+2n)+[-1+2-3+4-⋯-(n-1)+n]=2(1-2n)1-2+n2=2n+1+n2-2；当n为奇数时，Tn =（21＋22＋…＋2n）＋[-1+2-3+4-⋯-(n-2)+(n-1)-n]=2n+1-2+n-12-n=2n+1-n2-52.所以T n=ìíîïï2n+1+n2-2(n为偶数)2n+1-n2-52(n为奇数)．点评：在求前n项和时，一般是先求出n为偶数时的和，而当n为奇数时，则前面的n-1项和可仿照前面n为偶数时的求和，然后再加上最后的第n项得到．(上接第19页)。
绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试(二模) 物理试题(含答案)
绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试（二模）物理试题可能用到的相关公式或参数：重力加速度g均取10m/s2。
选择题部分一、选择题I(本题共13小题，每小题3分，共39分)1.如图所示是我国自主建造的射电望远镜，与一般太空望远镜不同的是，它是通过“听”而不是通过观测来收集天体的重要信息，它能够收集到137亿光年之外的电磁信号，人们将其称为“天眼”，其中“光年”指的是A.长度单位B.时间单位C.速度单位D.能量单位2.下列说法正确的是A.声波能发生干涉，电磁波不能发生衍射B.英国物理学家托马斯·杨的干涉实验证明了光具有波动性C.实际的LC振荡电路中，振荡电路的能量将变小但振幅保持不变D.玻尔理论不但解释了氢原子光谱的实验规律而且完全揭示了微观粒子的运动规律3.如图所示是甲、乙两辆推车在光滑水平面上发生碰撞的a－t图像，则A.乙车的质量为甲车质量的两倍B.两辆推车碰撞过程中甲车加速度方向与乙车加速度方向相同C.两辆推车碰撞过程中甲车对乙车的作用力大于乙车对甲车的作用力D.两辆推车碰撞过程中甲车对乙车的冲量约为乙车对甲车的冲量的两倍4.汽车的“点火线圈”实际上是一个变压器，低压直流通过一个开关输入初级线圈，在开关断开或闭合的瞬间，将会在次级线圈中产生脉冲高电压形成电火花。
图1和图2分别是初级线圈、次级线圈电压随时间变化的图像，则A.t1时刻开关刚断开B.次级线圈的匝数比初级线圈要多C.t2至t3间穿过次级线圈的磁通量为零D.开关断开与闭合瞬间次级线圈产生的感应电动势方向相同5.如图所示，横截面都是正方形的三段导体，它们的材料和长度都相同，导体B刚好能嵌入导体A，导体C 刚好能嵌入导体B，现将三段导体串联接入到同一电路中，则A.导体C的电阻最大B.导体A两端的电压最大C.导体B消耗的电功率最大D.三段导体在相等时间内产生的热量相等6.有6个小金属球分别固定在如图所示的正六边形的顶点上，球7处于正六边形中心位置，现使球2带正电，球7带负电，要使球7在中心位置获得水平向右的加速度，下列说法正确的是A.使球1带上正电荷，其他球不带电B.使球4、5同时带上电荷，其他球不带电C.不可能只让球4带上电荷，其他球不带电D.不可能让球3、4、5、6同时带上电荷，其他球不带电7.如图所示，在架子上吊着一根绝缘导线，右侧导线下部某处装有一个铅坠，使导线保持竖直状态，下端连接着一个铝箔刷子，刷子下方放置一张铝箔，调整刷子的高度使之下端刚好与铝箔接触。
小量近似
小量及其小量近似1.小量及小量近似的定义1.1 小量在数学中，我们把以零为极限（即无限趋近于零但又不为零）的变量，称为无穷小量，也就是我们所说的小量。
1.2小量近似小量近似，就是指在运算中为了简化运算结果，但又不影响结果正确性的前提下，将一些相对较小的项忽略不计的运算方法。
2.小量近似的方法2.1小量的性质（1）有限个小量的代数和是小量。
（2）常量与小量的乘积是小量。
（3）有限个小量的乘积是小量。
2.2小量近似的方法（1）对一个小角量θ来说，它的正弦值、正切值与其本身相等，即θ=sin θ=tan θ;小角量θ所对应的弧长与弦长也相等。
（2）在研究一个普通量时，可以将小量忽略不计。
如计算常量A 与小量Δ β之和，可以忽略后面小量，结果直接为A 。
（3）在研究小量时，可以忽略比它阶数高的小量。
比如β∆是小量，()2β∆、()3β∆、()4β∆等都是比β∆更高阶的小量，我们就可以将其忽略不计，因此利用二项式公式展开以下式子，就可以得到以下结论 ()()()211112N N N N N ββββ-+∆=+∆+∆+⋅⋅⋅=+∆ 。
3.小量近似在物理中的应用例举在物理中，平常在小量前加上Δ（间隔量），如对速度的定义x v t∆=∆，我们把x ∆、t ∆称为位移和时间的小量；对加速度的定义v a t ∆=∆，我们把 v ∆ 、t ∆称为速度和时间的小量等。
小量近似作为一种简化的运算方法，不仅可以用来推导新的物理量，而且可以用来解决物理问题，无论是力学、热学、光学，还是电学。
3.1利用小量近似推导其它物理量设质点在做匀速圆周运动，在t ∆时间内有位置1运动到位置2，对应的圆心角w t θ∆=∆，对应的弧长s R R w t θ∆=∆=∆。
当时间很小时，对应的弧长与弦长相等，依据三角形相似原理，可知：v s R w t v R R ∆∆∆==，计算可得匀速圆周运动的向心加速度：22v a v w R w R ===。
新课标求一个小数的近似数课件
3
地理测量
地理测量中，由于地球的曲率和地形等因素的影 响，测量结果通常需要用近似数来表示。
商业决策中的近似数实例
市场预测
市场预测中，由于市场变化的不确定性，预测结果通常需要用近似 数来表示。
成本估算
企业在制定项目计划时，需要对项目成本进行估算，由于各种因素 的影响，估算结果通常需要用近似数来表示。
进阶练习题
总结词
提高计算能力和应用能力
详细描述
进阶练习题相对于基础练习题难度有所提升，题目涉及的范围更广，计算量更大，需要学生具备一定 的计算能力和应用能力。这些题目通常会结合实际情境，让学生在实际问题中运用所学知识进行求解 。
综合练习题
总结词
全面提升综合应用能力和思维水平
VS
详细描述
综合练习题是难度最大的练习题类型，题 目通常涉及多个知识点和计算方法的综合 运用，需要学生具备较高的思维水平和综 合应用能力。这些题目通常会设计一些复 杂的实际情境，让学生通过分析和解决实 际问题来提升自己的思维水平和综合应用 能力。
07
总结与反思
本节课的收获
掌握了求小数近似数的方法
通过本节课的学习，我掌握了如何根据四舍五入法求一个小数的 近似数，了解了近似数的概念和意义。
提高了计算能力
通过大量的练习和操作，我的计算能力得到了锻炼和提升，对数字 的敏感度和处理能力也得到了加强。
学会了自主学习
本节课我通过自主探究和小组合作相结合的方式进行学习，学会了 如何利用网络资源进行自主学习和协作学习。
掌握四舍五入法
四舍五入法定义
四舍五入法是一种常用的求近似数的方法，其原则是在需 要保留的位数的后一位，按照“四舍六入五成双”的原则 进行舍入。
小量近似方法在竞赛中的应用
第２３卷总第２５４期 ２００５年第１０期（下半月）
理教学探讨
ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
Ｖｏｌｔ ２３ Ｎｏ．２５４ （Ｘ） １０．２００５ ．３９
角动量守恒定律在解物理竞赛题中的应用
陈宏
枝江第一中学校，湖北省枝江市４４３２００
当物体所受合外力矩等于零时，物体的角动 量保持不变，此即为角动量守恒定律。该定律适 用于物体、物体组或质点系当不受外力矩或所受 合外力矩为零的情况。角动量守恒定律在解物理 题竞赛题中有许多应用，本文对角动量守恒定律 在解物理竞赛题中的应用进行分类解析，供同学 们学习时参考。 １ 利用角动量守恒定律求解质点在有心力场中 的运动问题
解 （１）由于将透镜的平面镀银，其作用等 效于一个焦虎是３０ｃｍ的凹面镜，所以此等效凹 面镜的曲率半径是６０ｃｍ，根据凹面镜的性质，当 物点置于曲率中心Ｃ，处时，经凹面镜反射应原 路返回，物像重合（图７）。因从Ｃ。点射出的光要 原路返回，所以此光经凸面折射后必须垂直于平 面，因为ｉ和ｒ都是小角，所以有
“。一ｕ２ ２／ｐ 如图２所示，在△￡时间内，狐狸和猎犬分别 到达了Ｆ７和Ｄ’处，猎犬的运动方向转过的角度
万方数据
口一ＤＤ’／ｏ—ｕ２ ｚＳｔ／ｏ
因为Ａｔ很小，所以狐狸运动的距离ｕ，Ａｔ—ａ
·Ｌ
因此Ａｔ／ｐ一７３１Ａｔ／Ｌ
ｐ—Ｌｖ２／ｖｌ
所以ａ。一ｕ２ ２／ｏ一口１耽／Ｌ ２ 在热学中的应用
例２ 在一个横截面积为Ｓ的密闭容器中，
第２３卷总第２５４期 ２００５年第１０期（下半月）
理教学探讨
ｏｆ Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｔｅａｃｈｉｎｇ
Ｖ０１．２３ Ｎｏ。２５４ （Ｘ） ｌＯ．２００５ ．３７．
小量近似方法在竞赛中的应用
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则作者：王化银来源：《中学物理·高中》2013年第05期小量近似处理在高中物理学习中经常遇到，掌握一些重要的方法，在解决问题时是非常有用的.这里以两则应用为例，介绍常用的小量近似方法——对一个小角量θ来说，有sinθ=θ，cosθ=1；在研究一个普通量时，可以忽略小量.1欧拉公式十八世纪著名数学家欧拉，曾经确定了摩擦力跟绳索绕在桩子上的圈数之间的关系：F2=F1eμθ，其中F1代表我们所用的力，F2代表我们所要对抗的力，e代表数2.718…（自然对数的底），μ代表绳和桩子之间的摩擦系数，θ代表绕转角，也就是绳索绕成的弧的长度跟弧的半径的比.若取μ=0.2，θ=12π，则F2F1=1881≈2000.所以，就是一个小孩子，只要能把绳索在一个不动的辘轳上绕三四圈，然后抓住绳头，他的力量就能平衡一个极大的重物.下面就欧拉公式作一证明：取一小段弧Δl为研究对象，受力分析如图1所示，F和F+ΔF 为小弧两端所受张力，FN为柱体对绳的压力，f为静摩擦力.根据平衡方程，得故F2=F1eμθ，即两张力之比按包角呈指数变化.儒勒·凡尔纳在《马蒂斯·桑多尔夫》这部小说里，叙述竞技大力士马蒂夫用手拉住一条正在下水的船“特拉波科罗”号这件事，使读者印象最深：突然出现了一个人，他抓住了挂在“特拉波科罗”号前部的缆索，用力地拉，几乎把身子弯得接近了地面.不到一分钟，他已经把缆索绕在钉在地里的铁桩上.他冒着被摔死的危险，用超人的气力，用手拉住缆索大约有十秒钟.最后，缆索断了.可是这十秒钟时间已经很足够：“特拉波科罗”号进水以后，只轻微地擦了一下快艇，就向前驶了开去.理解了欧拉公式，我们明白：原来在这里帮助他们的，并不是马蒂夫异常的臂力，而是绳和桩子之间的摩擦力.2重力场中光子频率变化已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能.若从地面上某处将一束频率为ν的光射向其正上方相距为d的空间站，d远小于地球半径，令空间站接收到的光的频率为ν′，则差ν′-ν=，已知地球表面附近的重力加速度为g.（第29届全国中学生物理竞赛预赛试卷第二大题第8小题）。
物理学小量近似计算公式
物理学小量近似计算公式在物理学中，我们经常需要进行近似计算来简化复杂的问题。
小量近似是一种常见的方法，它可以帮助我们快速而准确地得到问题的解答。
在本文中，我们将介绍一些常见的物理学小量近似计算公式，并讨论它们的应用。
1. 正弦函数的小角近似。
当角度很小时，可以用正弦函数的小角近似公式来计算正弦值：sin(x) ≈ x。
这个公式在很多物理问题中都非常有用，比如在小角度摆动的情况下，可以用这个公式来计算摆动的周期和频率。
2. 余弦函数的小角近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小角度时也可以用近似公式来计算：cos(x) ≈ 1 x^2/2。
这个公式在弹簧振子和简谐振动等问题中经常被使用。
3. 指数函数的小量近似。
当指数的指数项很小时，可以用指数函数的小量近似公式来计算指数值：e^x ≈ 1 + x。
这个公式在电路分析和热传导等问题中经常被使用。
4. 对数函数的小量近似。
当参数接近1时，可以用对数函数的小量近似公式来计算对数值：ln(1+x) ≈ x。
这个公式在化学反应速率和生物学增长模型等问题中经常被使用。
5. 正弦函数的小量级相加近似。
当正弦函数的参数很小时，可以用正弦函数的小量级相加近似公式来计算：sin(x+y) ≈ sin(x) + ycos(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中经常被使用。
6. 余弦函数的小量级相加近似。
和正弦函数类似，余弦函数在小量级相加时也可以用近似公式来计算：cos(x+y) ≈ cos(x) ysin(x)。
这个公式在波的叠加和干涉等问题中也经常被使用。
以上是一些常见的物理学小量近似计算公式，它们在物理学的各个领域都有着重要的应用。
通过这些近似计算公式，我们可以快速而准确地得到问题的解答，为复杂的物理问题提供了简化的方法。
在实际应用中，我们可以根据具体的问题和参数选择合适的近似计算公式，从而提高计算的效率和准确性。
除了上述提到的公式外，物理学中还有许多其他的小量近似计算公式，它们都是为了简化复杂问题而产生的重要工具。
在物理学中应该合理使用近似忽略法
在物理学中应该合理使用近似忽略法【摘要】在物理学中，近似忽略法是一种重要的分析工具。
本文首先介绍了近似忽略法的定义和在物理学中的重要性。
接着讨论了近似忽略法的应用范围、原理和方法，以及常见的近似忽略法。
列举了近似忽略法的优缺点以及在物理学研究中的实际应用情况。
结论指出合理使用近似忽略法可以提高物理学研究效率，同时强调在具体问题中选择合适的近似忽略法非常重要。
通过本文的阐述，读者可以更好地理解近似忽略法在物理学中的作用，从而在实际研究中更加灵活和准确地应用这一方法。
【关键词】近似忽略法、物理学、应用范围、原理、方法、优缺点、实际应用、研究效率、选择、合适。
1. 引言1.1 物理学中近似忽略法的重要性在物理学中，近似忽略法是一种非常重要的工具和方法。
在复杂的物理现象和问题中，我们往往需要简化模型或者方程来进行分析和计算。
这时候，近似忽略法就发挥了关键作用。
近似忽略法可以帮助我们快速地得到近似解，而不需要进行繁琐的精确计算。
在现实物理系统中，很多因素都会相互影响，导致问题变得复杂难解。
而通过近似忽略法，我们可以将一些次要因素或者影响较小的因素忽略掉，从而简化问题，使其更容易理解和求解。
近似忽略法也可以帮助我们更好地掌握问题的本质，深入理解物理规律。
通过对问题进行适当的简化和近似，我们可以更清晰地看到问题的主要特征和关键因素，从而更深入地研究和分析问题。
在物理学研究中，合理使用近似忽略法是非常重要的。
它不仅可以提高研究效率，还可以帮助我们更好地理解和解决复杂的物理问题。
通过合理地选择和应用近似忽略法，我们可以在研究中取得更好的成果并取得更深入的认识。
1.2 近似忽略法的定义近似忽略法是物理学中一种常用的简化方法，通过忽略一些细微的因素或进行近似处理，来简化问题的复杂度，从而更容易进行计算和分析。
在物理学研究中，往往会遇到一些复杂的问题，其中涉及到多个影响因素和复杂的相互作用。
为了更好地解决这些问题，科学家们常常使用近似忽略法来简化问题，使其更易于理解和求解。
2023届高考物理小角度近似专题复习
习中对这一知识作了充分复习准备，
在考场中就不会迷惑失措。
解：离子进入磁场后做圆周运动半径
mv
L
r
sin
qB
r
经过磁场后，离子在y方向偏转距离 y1 r (1 cos )
其中运动半径与磁分析器中相同
r
1 2
2
1
1 L
(sin ) 2 ( ) 2
1.（2020全国高考）
图中 A 为轻质绝缘弹簧，C 为位于纸面上的线圈，虚线框内有与纸面垂直的匀强磁场；随
为置于平台上的轻质小平面反射镜，轻质刚性细杆 D 的一端与 M 固连且与镜面垂直，另
一端与弹簧下端相连，PQ 为圆弧形的、带有均匀刻度的透明读数条，PQ 的圆心位于 M
的中心使用前需调零，使线圈内没有电流通过时，M 竖直且与纸面垂直；入射细光束沿水
cos
tan
0.01754
0.99985
0.01745
0.03490
0.99939
0.03492
0.05234
0.99863
0.05241
0.06976
0.99756
0.06993
0.08716
0.99619
0.08749
0.10452
0.99452
0.10510
0.12187
0.99255
2
2
三、教材中出现（或隐含的）实例复习回顾
1.单摆的振动是简谐运动及周期公式的推导
s in tan
3.
2.近轴光入射，观察水中的鱼的视深
小角度近
似处理
3.火车转弯时刚好对内外轨不发生挤压的内外轨高度差
1.7近似数
①0.45060
②2.40万
③36亿
④2.180× 1050
⑤4.03× 5000
当堂检测：
1、4.0076精确到0.001后有
它们是
。
个有效数字，
2、把3.8945保留三个有效数字的近似数 为。
3、将272500保留两个有效数字的近似数 为。
4、近似数1.5万精确到
位。
5、近似数3.14× 精确到
近似数
回顾四舍五入法取近似值
合作交流
生活中有的量很难或没有必要用准确数表示，而是用一
个有理数近似地表示出来，我们称这个有理数为这个量 的近似数。如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是 近似数。因此，我们把接近准确数而不等于准确数的数，
叫做这个数的4.35精确到个位的近似数为
。
（3）精确度是指近似数与准确数的
。
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精
确到哪一位，保留两位小数，精确到0.01，精确到百 分位等说法的含义相同。
合作交流
按括号要求取近似数 ① 12341000（精确到万位） ②2.715万 （精确到百位）
下列由四舍五入得到的近似数，它们精确到哪 一位?
①0.01020 ②1.20 ③1.50万 ④-2.30×
学习致用
1、用四舍五入法对下列和数和取近似数 ①0.00356 （精确到万分位） ②1.8935 （精确到0.001） ③1976000 （精确到万位） ④5.402亿 （精确到百分位）
2、下列近似数，精确到哪一位
位。
6、近似数9.80千克精确到
克。
小量近似方法应用两则
小量近似方法应用两则小量近似方法是一种解决连续性的数值计算问题的有效方法，其原理是将数值问题中的小量忽略不计，从而简化计算。
本文将通过两个实例来阐述小量近似方法的具体应用及其在实际问题中的运用。
实例一：热容计算中的小量近似方法在物理学和化学中，热容是一个重要的物理量，表示物体在吸收或释放热量时对温度的响应能力。
在一些情况下，我们需要计算在某一特定温度下的物质的热容，但是具体的计算公式十分复杂。
在这种情况下，小量近似方法便可发挥其作用，将问题简化。
在化学中，我们通常采用所谓的“高温近似”，即在高温下，热容通常与温度无关，因此热容的计算公式可简化为：C(T) = (3/2)R其中，T表示温度，R表示气体常数。
这种近似方法的一个重要特征是只考虑了高温区间的数据，因此，这种近似一般只适用于高温下的情况，而不能适用于低温下的情况。
实例二：光电效应中的小量近似方法光电效应是一种描述光子与物质相互作用的物理现象，是当前量子力学的重要研究领域。
在光电效应中，光子的能量会转化成电子的能量，这种转换过程可以使用小量近似方法进行简化。
在光子的能量较小的情况下，我们可以使用所谓的“伏特近似”。
即光子的能量E如果比逸出功函数φ小得多，那么出射的光电子的动能K可以近似为：K = E –φ这个近似公式的优点是简单，并且可以延伸至较复杂情况的处理。
而在光子能量足够大的情况下，即E≥φ时，需要采用更精确的计算方法。
结论小量近似方法是一种常用的数值计算方法，其优势在于其优越的计算简便性和可用性。
即使对于复杂的问题，只要涉及到小量，我们也可以使用小量近似方法来简化计算，降低计算难度。
但是需要特别注意的是，我们必须了解其适用范围和局限性，避免出现计算错误和偏差。
因此，在实际使用中，我们需要结合具体需求，谨慎并准确地应用小量近似方法。
幂指数的小量近似
幂指数的小量近似
在数学中，幂运算是一种基本的算术运算，表示一个数被另一个数重复相乘的次数。
当底数非常大或非常小时，幂运算的结果可能非常大或非常小，导致计算困难。
此时，我们常常需要使用小量近似的方法来近似计算幂运算的结果。
对于底数非常大或非常小的幂运算，小量近似的基本思想是将底数表示为一个接近于1的数和一个非常小的数的乘积。
例如，对于底数为a的幂运算a^x，我们可以将其表示为(1+ln(a))^x，其中ln(a)是a的自然对数。
由于ln(a)非常小（当a非常大或非常小时），因此(1+ln(a))^x可以近似为1^x=1。
具体来说，对于底数a非常大或非常小的幂运算a^x，我们可以使用以下公式进行小量近似：
当a非常大时：
a^x≈e^(ln(a)×x)
当a非常小时：
a^x≈e^(x×ln(1/a))
其中e是自然对数的底数，约为2.71828。
这些公式可以帮助我们快速近似计算幂运算的结果，特别是当底数非常大或非常小时。
需要注意的是，这些公式只是一种近似计算方法，其精度取决于底数的大小和幂指数的值。
对于精确度要求较高的计算，建议使用更精确的计算方法或计算器进行计算。