二次函数的解析式的三种形式
二次函数三种解析式的求法
二次函数三种解析式的求法二次函数是高中数学中的重要概念，它的解析式有三种常见的求法。
本文将分别介绍这三种求法，并且给出相应的例题加以说明。
第一种求法是通过顶点坐标和另一点坐标来确定二次函数的解析式。
二次函数的标准形式为f(x) = a(x-h)² + k，其中(h,k)为顶点坐标。
假设已知顶点坐标为(h,k)，另一个已知点的坐标为(x₁,y₁)，我们可以将这两个点的坐标代入二次函数的标准形式，得到两个方程：k = a(x-h)²y₁ = a(x₁-h)² + k通过解方程组，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，我们可以代入上述方程组进行求解。
将顶点坐标代入第一个方程，可得：3 = a(2-(-1))²解得a = 1/3。
然后将a的值代入第二个方程，可得：5 = (1/3)(2-(-1))² + 3化简后得到二次函数的解析式为f(x) = (1/3)(x+1)² + 3。
第二种求法是通过顶点坐标和对称轴与顶点的距离来确定二次函数的解析式。
对称轴与顶点的距离等于顶点的纵坐标的绝对值，即|k|。
假设已知顶点坐标为(h,k)，对称轴与顶点的距离为|k|，我们可以将这些信息代入二次函数的标准形式，得到方程：f(x) = a(x-h)² + k代入|k|，可得：f(x) = a(x-h)² + |k|通过解这个方程，我们可以求解出a的值，进而得到二次函数的解析式。
例如，已知二次函数过点(2,5)，顶点坐标为(-1,3)，对称轴与顶点的距离为3。
我们可以代入上述方程进行求解。
将顶点坐标代入方程，可得：5 = a(2-(-1))² + 3化简后得到a = 1/3。
然后将a的值代入方程，可得：f(x) = (1/3)(x+1)² + 3这就是二次函数的解析式。
求二次函数的解析式
根据题意得： (m 5) 2
n 1 0
m 3 n 1
∴y=a（x-3）2+1=ax2-6ax+9a+1 ∴a-6a&#
3、 已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示： y （1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y>0？
（2）当x取何值时，y>0？
（3）将抛物线作怎样的一次 A -1 o -2.5 D C B 5 x
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
试一试：
2、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移1个单位， 再向左平移5个单位时的顶点坐标为（-2，0）， 且a+b+c=0，求a、b、c的值。 点拔： 设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n 则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1
平移,才能使它与坐标轴仅有
两个交点,并写出此时抛物线
的解析式。
讲例： 4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+4相交
于A（1，m），B（4，8）两点，与x轴交于原点
及C点，（1）求直线和抛物线的解析式；（2） 3 在抛物线上是否存在点D，使S△OCD= S△OCB， 2 若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。 y （1）y=x+4 A（1，5） B a b c 5
(
4)y=ax2+bx+c且a:b:c=2:3:4,函数有最
abc2 0
(5)若抛物线y=2x2+bx+c过点(2,3)，且顶点在直线y=3x-2上 解法：可抓住顶点在直线y=3x-2上,设抛物线的顶点坐标为（m,3m-2)来解 所求得的抛物线解析式为
初中数学-二次函数的解析式
∴a(2-1)2-2=3，得：a=5,
∴解析式为y=5(x- 1)2-2
注：此题运用了二次函数的顶点式
2.已知抛物线过三点：A（－1，2），B（0，1）， C（2，－7），求二次函数的解析式.
解：设二次函数的解析式为： y ax bx 1
2
a b 1 2 由已知得： 4a 2b 1 7
∵抛物线过点C（1，2）
注：此题运用了
二次函数的双根式
解析式为: 1 y ( x 1)(x 3) 2
∴ a (1 1)(1 3) 2
4a 2 1 a 2
3 3.已知抛物线和y轴的交点（0，－ 2 ）
和x 轴的一个交点（-1，0），对称轴是x =1. （1）求图象是这条抛物线的二次函数的解析式； （2）判断这个二次函数是有最大值还是有最小值， 并求出这个最大值或最小值
2 2
y
A O
B
x
公式：AB | x2 x1 | |a|
b 2 4ac |a| |a|
y ax2 bx c, (a 0)
6.抛物线y=-2x2+4x+1 在 x轴上截得的线段长度
为
6
.
y
16 8 6 解: AB |a| 2
A O B
当x
b 1 1时 1 2a 2 2
y最小值
4ac b 2 4a
1 3 4 ( ) (1) 2 2 ＝ 2 ＝－2 1 4 2
b 1 当x 1时函数有最小值 1 2a 2 2 1 2 3 y最小值 1 1 2 2 2
x1, x2 为方程： a(x－x1)(x－x2)=0的两个 根，即抛物线与x的两个交点的横坐标，
二次函数的解析式的三种形式
二次函数的解析式的三种形式二次函数是一种标准形式为y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在数学中，为了研究和解答与二次函数相关的问题，有时会使用不同的解析式表达二次函数。
下面将详细介绍二次函数的三种常见解析式形式。
第一种形式：标准形式二次函数的标准形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于零。
在标准形式中，a控制着二次曲线的开口方向和形状，b控制着二次曲线的位置和对称轴的斜率，c控制着二次曲线与y轴的交点。
通过标准形式，可以直观地根据a、b、c的值来了解二次函数的特征。
在二次函数的标准形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。
当a大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。
当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
接下来，我们将讨论二次函数标准形式中各系数的作用：1.系数a：控制二次曲线的开口方向和形状。
二次曲线开口向上或向下，其开口的角度与a的大小有关。
当a的值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
2.系数b：控制二次曲线的位置和对称轴的斜率。
当b的值等于零时，二次曲线在y轴上对称；当b的值不等于零时，二次曲线发生平移。
3.系数c：控制二次曲线与y轴的交点。
当c的值等于零时，二次曲线过原点。
第二种形式：顶点形式二次函数的顶点形式是y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k为实数且a不等于零。
在顶点形式中，顶点坐标为(h,k)，a控制二次曲线的开口方向和形状，h控制二次曲线沿x轴平移，k控制二次曲线沿y轴平移。
在二次函数的顶点形式中，a的值决定了二次曲线的开口方向。
当a 大于零时，二次曲线的开口朝上；当a小于零时，二次曲线的开口朝下。
当a的绝对值越接近于零时，二次曲线越趋近于直线。
顶点形式中，二次函数的顶点坐标为(h,k)。
顶点坐标(h,k)表示二次曲线的最低或最高点，也是对称轴与x轴的交点。
通过顶点形式，我们可以直观地了解二次函数的特征和性质。
九年级数学讲义二次函数解析式的三种形式及求法讲解
二次函数是一种常见的数学函数，其解析式可以有三种常见的形式。
下面我将逐一介绍这三种形式及其求法。
1.顶点形式：y=a(x-h)²+k顶点形式是一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，h和k分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，h表示抛物线的横向平移，k表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数顶点形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后找出顶点坐标(h,k)，其中h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。
2. 一般形式：y = ax² + bx + c一般形式是另一种常见的二次函数解析式形式。
其中a，b和c分别表示二次函数的相关参数，其中a表示抛物线的开口方向和大小，b表示抛物线的横向平移，c表示抛物线的纵向平移。
求解二次函数一般形式的步骤如下：首先确定a的值，根据函数图像的开口方向确定a的正负；然后利用求根公式(-b ± √(b² - 4ac)) / 2a，计算出二次函数的根；接着可以利用根的性质求出顶点的横坐标-x = b / 2a，并将x代入二次函数求得顶点的纵坐标y。
3.描点形式：y-y₁=a(x-x₁)(x-x₂)描点形式是一种通过抛物线上两个已知点求解二次函数解析式的形式。
其中a表示抛物线的开口方向和大小，(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别表示已知点的坐标。
求解二次函数描点形式的步骤如下：首先计算a的值，可以利用已知点的坐标代入公式求解；接着将(x₁,y₁)和(x₂,y₂)分别代入描点形式，得到两个方程，再解这个方程组得到二次函数的解析式。
以上介绍了二次函数解析式的三种形式及其求法。
不同形式的解析式适合不同的问题，根据具体情况选取合适的形式求解可以提高解题效率。
希望对你的学习有所帮助！。
艺术生高考数学专题讲义：考点6 二次函数与函数的最值
考点六 二次函数与函数的最值知识梳理1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称① 二次函数f (x )的顶点坐标为(a ,b )，则对称轴为x =a ； ② 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (x )=f (a )，则对称轴为x ； ③ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (a )，则对称轴为x a ；④ 二次函数f (x )满足对任意x 总有f (a +x )=f (b )，则对称轴为x.2．函数的最值前提 函数y ＝f (x )的定义域为D条件 (1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≤M .(1)存在x 0∈D ，使得f (x 0)＝M ； (2)对于任意x ∈D ，都有f (x )≥M .结论M 为最大值M 为最小值说明：闭区间上的二次函数必有最值. 求二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：定轴定区间、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．典例剖析题型一 二次函数的解析式例1 二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式为________． 答案 f (x )＝12(x －2)2－1解析 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1， 又其图象过点(0，1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12.∴f (x )＝12(x －2)2－1.变式训练 已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式． 答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.解题要点 二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x 轴两交点坐标，宜选用零点式． 题型二 二次函数的图象和性质例2 两个二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 与g (x )＝bx 2＋ax ＋c 的图象可能是________．(填序号)①② ③④答案 ④解析 函数f (x )图象的对称轴为x ＝－b 2a ，函数g (x )图象的对称轴为x ＝－a 2b ，显然－b2a 与－a2b同号，故两个函数图象的对称轴应该在y 轴的同侧．只有④满足． 变式训练 如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________． 答案 5解析 由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. ∴ f (x )的最小值为5.题型三 闭区间上二次函数最值例3 函数f (x )＝2x 2－2ax ＋3在区间[－1，1]上最小值记为g (a )，求g (a )的函数表达式． 解析 当a <－2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2<－1，则g (a )＝f (－1)＝2a ＋5；②当－2≤a ≤2时，函数f (x )的对称轴x ＝a 2∈[－1，1]，则g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝3－a 22；③当a >2时，函数f (x )的对称轴x ＝a2>1，则g (a )＝f (1) ＝5－2a .综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋5（a <－2），3－a22（－2≤a ≤2），5－2a （a >2）.变式训练 设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，求g (a )． 解析 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ； 当a >1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a ≤1，－1，a >1.解题要点 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论题型四 二次函数恒成立问题例4 对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧5－a ＞0，36－4(5－a )(a ＋5)＜0，解得－4＜a ＜4.变式训练 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，求实数a 的取值范围．解析 2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a ＜32⎝⎛⎭⎫1x －132－16， 因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a ＜12.综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 解题要点 1.二次函数在R 上恒成立的两个常见结论：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则对于x ∈R ， 二次函数f (x )>0恒成立， 二次函数f (x )<0恒成立.2.对于二次函数在某区间上恒成立问题，可以采取分离参数法，然后根据a > f (x )恒成立，则a > f (x )max ，a <f (x )恒成立，则a < f (x )min .当堂练习1．若二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，则f (x )的表达式为______________． 答案 f (x )＝x 2－x ＋1 解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x .故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f (x )＝x 2－x ＋1.2．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则f (－3)、c 、f (52) 的大小关系是______________．答案 c ＜f (52)＜f (－3)解析 选.由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称．又f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)＞f (52)＞f (2)＝f (0)＝c .3. 函数y ＝2x 2－8x ＋2在区间[－1，3]上的值域为________． 答案 [－6，12]解析 y ＝2(x －2)2－6.当x ＝2时，y 最小为－6；当x ＝－1时，y 最大为12.4．已知f (x )＝x 2－2mx ＋5在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]5．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1，1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析 (1)由f (0)＝1，得c ＝1，∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x .∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 因此，所求解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在区间[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在区间[－1，1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0，得m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．课后作业一、 填空题1．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 答案 －1解析 函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32＞1，∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数，∴y min ＝2－6＋3＝－1.2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列说法正确的是________．(填序号)①a >0,4a ＋b ＝0 ②a <0,4a ＋b ＝0 ③a >0,2a ＋b ＝0 ④a <0,2a ＋b ＝0 答案 ①解析 由f (0)＝f (4)可知x ＝－b2a ＝2，∴b ＋4a ＝0，又f (0)>f (1)知f (x )先减后增，即a >0.3．函数f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上恒满足f (x )<0，则a 的取值范围是________． 答案 －4<a ≤0解析 当a ＝0时，f (x )＝－1在R 上恒有f (x )<0；当a ≠0时，∵f (x )在R 上恒有f (x )<0，∴⎩⎨⎧a <0a 2＋4a <0，∴－4<a <0.综上可知：－4<a ≤0.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么f (1)、f (2)、f (4)的大小关系是________． 答案 f (2)<f (1)<f (4)解析 ∵f (2＋t )＝f (2－t )，∴f (x )关于x ＝2对称，又开口向上．∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增，且f (1)＝f (3)．∴f (2)<f (3)<f (4)，即f (2)<f (1)<f (4). 5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a (x ∈[0,1])，若f (x )有最小值－2，则a 的值为________． 答案 －2解析 ∵f (x )＝－x 2＋4x ＋a ＝－(x －2)2＋4＋a ，且x ∈[0,1]， ∴f (x )min ＝f (0)＝a ＝－2，∴a ＝－2.6．已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a 的取值范围是________． 答案 a ≤2或a ≥3解析 对称轴a ≤2或a ≥3，函数在(2,3)内单调递增．7．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1，2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1，2]．8．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于________． 答案 2解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1在[1，b ]上递增，由已知条件⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1f (b )＝bb ＞1，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2－3b ＋2＝0b ＞1，解得b ＝2.9．函数y ＝x 2－2x (x ∈[2,4])的增区间为________． 答案 [2,4]10．函数f (x )＝－x 2＋3x －1，x ∈[3，5]的最小值为 ． 答案 －11解析 f (x )＝－x 2＋3x －1,其对称轴为,所以函数f (x )＝－x 2＋3x －1在[3，5]上递减， 所以当x ＝5时，函数有最小值为－11．11．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋6满足条件f (－1)＝f (3)，则f (2)的值为__________． 答案 6解析 由f (－1)＝f (3)知，对称轴x ＝－b2a ＝1，则b ＝－2a ，所以f (2)＝4a ＋2b ＋6＝6.二、解答题12．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数. 解析 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， 则函数在[－4,2)上为减函数，在(2,6]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (2)＝－1，f (x )max ＝f (－4)＝(－4)2－4×(－4)＋3＝35.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－2a2＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上为单调函数， 只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 13．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的取值范围． 解析 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1，得c ＝1， 故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1＞2x ＋m 在[－1,1]恒成立， 即x 2－3x ＋1－m ＞0在[－1,1]上恒成立， 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其对称轴为x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上单调递减，∴g (1)＝1－3＋1－m ＞0，得m ＜－1， 故m 的取值范围是m ＜－1.。
求二次函数解析式几种常用方法
求二次函数的解析式的几种方法山东省沂水县高桥镇初级中学 王瑞辉二次函数解析式的求法是二次函数知识的重点，也是中考必考内容。
现在举例，说明求二次函数解析式的常用方法，希望对同学们学习有所帮助。
一、二次函数常见的三种表达式：（1）一般式：y ax bx c a =++≠20()；（2）交点式：y a x x x x =--()()12，其中点(,)()x x 1200，，为该二次函数与x 轴的交点；（3）顶点式：()2()0y a x h k a =-+≠，其中点(),h k 为该二次函数的顶点。
二、利用待定系数法求二次函数关系式(1)、已知二次函数图象上任意三个点的坐标，可设一般式求二次函数的关系式。
例1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点（2，1）、（-1，-8）、（0，-3）．求这个抛物线的解析式． 解：根据题意得421,8,3,a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=-⎩ 解之得1,4,3,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以抛物线为243;y x x =-+-说明：用待定系数法求系数a b c 、、需要有三个独立条件，若给出的条件是任意三个点，可设解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，然后将三个点的坐标分别代入，组成一次方程组用加减消元法来求解．(2)、已知抛物线与x 轴的两个交点坐标和图象上另一个点坐标，可设交点式求二次函数的关系式。
若知道二次函数与x 轴有两个交点()()1200x x ，，，，则相当于方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根12x x ，，从而212()()ax bx c a x x x x ++=--，故二次函数可以表示为12()()(0)y a x x x x a =--≠．例2、已知一个二次函数的图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （0，－3）三点．求此二次函数的解析式．解：根据题设，设此二次函数的解析式为(1)(3)y a x x =+-．又∵该二次函数又过点（0，－3）， ∴(01)(03)3a +-=-． 解得1a =．因此，所求的二次函数解析式为(1)(3)y x x =+-，即223y x x =--．说明：在把函数与x 轴的两个交点坐标代入12()()(0)y a x x x x a =--≠求值时，要注意正确处理两个括号内的符号．(3)、已知抛物线顶点和另外一个点坐标时，设顶点式y =a (x -h )2+k (a ≠0)例3、对称轴与y 轴平行的抛物线顶点是(-2，-1)，抛物线又过(1，0)，求此抛物线的函数解析式。
二次函数的解析式三种方法
二次函数的解析式三种方法二次函数是一种常见的函数类型，在数学学习中，学生们需要对其进行深入的了解和掌握，以便于解决与二次函数相关的问题。
本文将介绍三种求解二次函数的解析式的方法，包括公式法、顶点法和描点法。
每种方法的步骤和注意事项都将被详细介绍。
一、公式法公式法是一种求解二次函数解析式的基本方法。
二次函数的标准形式可以表示为 y = ax²+bx+c，其中 a、b、c 都是实数常数，而 x 是自变量。
一个常见的二次函数的例子为y = x²。
1. 求取 a、b、c 的值在使用公式法求解二次函数的解析式之前，需要先计算出二次函数中的 a、b、c 值。
通常情况下，这些值可以从已知的条件中直接得到。
如果已知二次函数经过点 (2,4) 和 (−1,3)，则可以根据这些坐标计算出 a、b、c的值。
可以得到两个方程：4 = a(2)²+b(2)+c3 = a(−1)²+b(−1)+c然后，可以将这些方程化简为：4 = 4a+2b+c3 = a−b+c接下来，可以使用代数法或消元法来求解 a、b、c 的值。
可以将第二个方程中的 a解出来，然后带入第一个方程中，得到：a = 2b−14 = 8b−4+2b+cc = −8b+8可以得到二次函数的解析式为：y = (2b−1)x²+bx+8−8b2. 使用公式法求解二次函数一旦确定了二次函数中的 a、b、c 值，可以使用公式法求解二次函数的解析式。
具体而言，可以使用以下公式：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)这个公式可以得到二次函数的解析式中的两个根。
如果二次函数的解析式没有实数根，则说明这个二次函数不存在。
在上面的例子中，可以将 a、b、c 的值带入到公式中，得到：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)x = (-b ± √(b²-4(2b−1)(8−8b)))/(2(2b−1))根据这个公式，可以得到二次函数的解析式的两个实数根，也就是二次函数与 x 轴相交的点。
求二次函数解析式的三种方法
求二次函数解析式的三种基本方法四川 倪先德二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0)依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2－1 (a ≠0)又抛物线与y 轴交于点)3,0(。
∴a(0－4)2－1=3 ∴a=41 ∴这个二次函数的解析式为y=41(x －4)2－1，即y=41x 2－2x+3。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，其解析式可以有三种形式。
下面将分别介绍它们的计算公式、特点和应用。
一、顶点式顶点式是一种简洁明了的表示二次函数的方式。
它的通式为：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k分别代表二次函数的导数、顶点横坐标、顶点纵坐标。
在这个式子中，a控制函数的开口方向和缩放程度，h决定了函数图像的移动方向和距离，k则是函数图像的最低点或最高点。
使用顶点式有一个明显的好处，那就是可以轻松地推导出函数的最值和零点。
具体地说，函数的最小值为k，最大值为正负无穷，当且仅当a的符号与k的符号一致时成立；函数的零点可以通过方程y=0求解，即x=h。
二、一般式一般式是表达二次函数的另一种方式，它较为复杂但能够包括所有二次函数。
一般式的通式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c还是分别表示函数的导数、一次项系数和常数项。
使用一般式计算一般为求解函数的导数、顶点坐标和零点。
其中函数图像的顶点坐标可以用二次函数顶点公式求解，即h=-b/2a和k=-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac；函数的零点可以使用求根公式求解，即x=(-b±√Δ)/2a。
三、描点式描点式是较为简单粗暴的表示二次函数的方式。
它的基本原理是，通过描出函数图像上的若干个点，然后拟合出二次函数的解析式。
描点式解析式的范式为：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a是二次项系数，x1和x2是函数图像上任意两个不同的点对应的横坐标。
相对于顶点式和一般式，描点式的优点在于计算简单，随时可用。
但缺点也很明显，就是易受图像上的干扰影响，甚至有可能产生误差。
总结：综上所述，二次函数可以用三种解析式进行表示：顶点式、一般式和描点式。
虽然它们的计算方法不同，但本质上都是描述同一个函数。
在不同情景下，可以灵活地采用不同的解析式，以达到最佳计算效果。
2.6 二次函数
变式训练
典例分析
[例 2] (2011 年高考天津卷)对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， 设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)， x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的 b，a－b>1.
3 如图， 要使 y＝f(x)－c 与 x 轴恰有两个公共点， 则－1<c<－4或 c≤－2， 应选 B.
[答案] B
反思归纳
变式训练
1、若函数y=x2+(a+2)x+3,x∈［a,b］的图象关于x=1
对称，则b= 6
.
2．(2010·四川卷)函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线 x＝1对称的充要条件是( ) A．m＝－2 B ．m ＝2 C．m＝－1 D ．m ＝1 3.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调 函数，则实数a的取值范围是 A.a≤2或a≥3 B.2≤a≤3 （ A ）
典例分析
【例4-1】 设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题:
①c=0时,f(x)是奇函数; ②b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实根; ③f(x)的图象关于(0,c)对称;
④方程f(x)=0至多有两个实根.
其中正确的命题是(
A.①④ B.①③
).
C.①②③
D.②④
典例分析
2 ( x 1 ) , x 0, F ( x) 2 ( x 1 ) , x 0.
[听课记录] (1)∃x∈R，f(x)<bg(x)⇒∃x∈R，x2－bx＋b<0 ⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4. (2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，
高考数学中的重难点——二次函数
高考数学中的重难点——二次函数知识梳理： 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。
(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。
(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。
2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min-=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max-=。
3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。
4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞疑点一：求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。
3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1） 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2） 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3） 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。
2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。
得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。
(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。
求此抛物线的解析式。
解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。
二次函数解析式的求法
思考：1.二次函数图象与X轴交于(2,0)(3,0)， 且函数 最小值是-3，求抛物线解析式。 分析:函数最小值为-3，即顶点纵坐标为-3 同时隐藏着抛物线开口向上这个条件 可设一般式来解.但比较繁 可设交点式来解 求得的解析式为:y=12x2-60x+72
2.抛物线y=ax2+bx+c的顶点是(-1,2), 且a+b+c+2=0，求抛物线解析式。
温馨提示：脑中有图，心中有式
二次函数解析式的求法
德惠二十九中数学组
复习导入新课 二次函数解析式常见的三种形式： (1)一般式 y ax 2 bx c ( a 0) 2 n ( a 0) 顶 点 坐 标 （ , n ) m (2)顶点式 y a ( x m)
一 般 式 ： ax2 bx c(a 0) y b 2 4ac b 2 化 成 顶 点 式 为 ： a( x ) y (a 0) 2a 4a b 4ac b 2 顶点坐标为（ , ) 2a 4a
1 2 1 所求的解析式为： ( x 2) y 3
(3)图象与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,X轴交于点(2,0)(-1,0) ∴设解析式为:y=a(x-2)(x+1) 把点(0,-2)代入 a(0-2)(0+1)=-2 解得 a=1 ∴y=(x-2)(x+1) 即:y=x2-x-2
小结(1)二次函数解析式的三种表示形式 (1)一般式
2 bx c ( a 0) y ax
y a ( x m ) 2 n ( a 0) 顶 点 坐 标 （ , n ) m (2)顶点式
(3)交点式 y a ( x x 1 )( x x 2 )( a 0)
08 二次函数解析式的三种形式(九年级数学精品课件)
林在离门脚 B 点 1 m 远的 C 处垂直立起一根 1.7 m 长的
木杆, 其顶点恰好在门上 D 处. 根据这些条件, 小林说,
他可以求出大门的高度 h. 你看, 行吗?
y
h
D
1.7 m
A
O
C Bx
18 m
1m
解: 建立如图所示直角坐标系, 根据题意
A(-9, 0)、B(9, 0)、D(8, 1.7).
注意: 不是所有的二次函数
y
都有交点式. 如右图所示的二次
函数.
O
x
1 已知抛物线通过三点(1, 2), (0, -2), (2, 8). 求此
抛物线的解析式.
解: 设抛物线的解析式为 y = ax2 + bx + c. 条件: 三个点
∵ 抛物线通过三点(1, 2), (0, -2), (2, 8),
二次函数解析式的 三种形式
1 我们知道, 一次函数的解析式为 y = kx + b(k ≠ 0, k, b 为常数).
由两个条件——两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标 可以确定
一次函数, 即可以求出这个一次函数 的解析式 y = kx + b.
2 二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0, a, b, c 为常数), 确定二次函数 的解析式需要几个条件?
c = 1, ∴ a + b + c = 2,
4a + 2b + c = 1.
解得
a = -1, b = 2, c = 1.
∴ 抛物线的解析式为 y = -x2 + 2x + 1.
A(0, 1), B(1, 2), C(2, 1).
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y＝0.5(x-1)(x+3) 对称轴： 顶点: (-1,-2)
与y轴的交点: (0,-1.5)
(-3,0) -1 (1,0)
(0,-1.5)
y＝-2(x-1)2-5
1
对称轴： 顶点:
与y轴的交点: (0,-7)
(0,-7)
y＝3(x+1)(x+3)
(0,9)
对称轴： 直线x=-2 顶点:
抛物线的解析式
驶向胜利 的彼岸
交点式：y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴交于 x1 x2 (x1,0) (x2,0) (x1,0) (x2,0) 2
对称轴
画出下列二次函数的示意图，并指出 它的对称轴，顶点坐标,与y轴的交点。
y＝x2-3x-5 对称轴：
顶点: 与y轴的交点: (0,-5) (0,-5)
0,
驶向胜利 的彼岸
如图是抛物线y=ax2+bx+c
1
试判断: a 0, b 0, c a+b+c 0, 4a-2b+c 0 b2-4ac 0, 2a+b 0, 2a-b 0,
0,
如图是抛物线y=ax2+bx+c
1
试判断: ac 0, A+b+c 0, b2-4ac 0, 2a+b 0, 4a+2b+c c
(-3,0) -2 (-1,0)
(-2,-3)
与y轴的交点: (0,9)
y＝2x2+5 直线x=0(即y轴) 对称轴： (0,5) 顶点: (0,5)
与y轴的交点: (0,5)
y＝-2(x+2)(x-3) 对称轴： 直线x=0.5 顶点:
(0,12)
(-2, 0)
0.5
(3,0)
与y轴的交点: (0,12)
2+bx+c的对 1.已知抛物线y=ax
称轴为x=2，且经过点(1，4) 和点(5，0)，则该抛物线的解 析式为
.
驶向胜利 的彼岸
2.求满足下列条件的二次函数解析式： （1）二次函数的图像与x轴交于点A(2,0), B(4,0),且图像过点C(1,6)
（2）二次函数当x=1时有最大值y=4,且x=0时 y=0 2
y＝2(x+1)2 对称轴： 直线x=-1 顶点: (-1,0)
-1
(0,2)
与y轴的交点: (0,2)
y＝-2(x-1)(x-3) 对称轴： 直线x=2 顶点: (2,2)
(1,0) (3,0) 2
与y轴的交点: (0,-6)
(0,-6)
(3,0)
y＝-3(x-3)2 对称轴： 直线x=3 顶点: (3,0)
3
与y轴的交点: (0,-27)
(0,-27)
y＝-(x+3)2+1 对称轴： 直线x=-3 顶点: (-3,1)
(-3,1) -3
(0,-8)
与y轴的交点: (0,-8)
y＝-2(x+2)(x-4) 对称轴： 直线x=1 顶点:
(1,18)
(-2,0)
(0,16)
(4,0) 1
与y轴的交点: (0,16)
驶向胜利 的彼岸
已知抛物线
,
(m≠0)
点A(-1,y1), B(1,y2), C(2,y3)在这条抛物线上， 比较y1，y2，y3的大小
驶向胜利 的彼岸
2+bx+c的 已知抛物线y=ax
称轴是:直线x=1 点A(-1,y1), B(1,y2), C(2,y3)在这条抛物线上， 比较y1，y2，y3的大小
设y a( x 2)( x 4)
设y a( x 1) 4
2
（3）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像 向左平移2个单位得到，且过点M(-1,-3)
y a( x 2) 1
已知抛物线
,
点A(-1,y1), B(1,y2), C(2,y3)在这条抛物线上， 比较y1，y2，y3的大小
如图是抛物线y=ax2+bx+c
-1
试判断: a 0, b 0, c a+b+c 0, a-b+c 0, 2a-b 0, 2a+b 0,
0,
驶向胜利 的彼岸
如图是抛物线y=ax2+bx+c
1
试判断: a 0, b 0, c a+b+c 0, a-b+c 0, 2-4ac b 0, 2a+b 0,
驶向胜利 的彼岸
抛物线的解析式
抛物线的解析式
2+bx+c 一般式： y=ax
驶向胜利 的彼岸
顶点
b 2a
对称轴
b 4ac b 2 , ;k 顶点式： y=a(x-h) (h,k) 顶点 (h,k)
驶向胜利 的彼岸
对称轴
h
直线:x=h
如图是抛物线y=ax2+bx+c
试判断: a 0, b 0, c 0, a+b+c 0, 4a-2b+c 0 2-4ac b 0,
如图是抛物线y=ax2+bx+c
1
试判断: a 0, b 0, c a+b+c 0, 4a-2b+c 0 2-4ac b 0, 2a+b 0,
0,