变量之间的关系专题训练
2020届高考文科数学复习练习题(二)：函数 专题训练
专题二函数函数是中学数学中的重点内容，是描述变量之间依赖关系的重要数学模型．本章内容有两条主线：一是对函数性质作一般性的研究，二是研究几种具体的基本初等函数——一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数．研究函数的问题主要围绕以下几个方面：函数的概念，函数的图象与性质，函数的有关应用等．§2－1 函数【知识要点】要了解映射的概念，映射是学习、研究函数的基础，对函数概念、函数性质的深刻理解在很多情况下要借助映射这一概念．1、设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．记作f：A→B，其中x叫原象，y叫象．2、设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种映射叫做集合A上的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域．所有函数值构成的集合{y｜y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域．函数的值域由定义域与对应法则完全确定．3、函数是一种特殊的映射．其定义域和值域都是非空的数集，值域中的每一个元素都有原象．构成函数的三要素：定义域，值域和对应法则．其中定义域和对应法则是核心．【复习要求】1．了解映射的意义，对于给出对应关系的映射会求映射中指定元素的象与原象．2．能根据函数三要素判断两个函数是否为同一函数．3．掌握函数的三种表示法(列表法、图象法和解析法)，理解函数符号f(x)(对应法则)，能依据一定的条件求出函数的对应法则．4．理解定义域在三要素的地位，并会求定义域．【例题分析】例1 设集合A和B都是自然数集合N．映射f：A→B把集合A中的元素x映射到集合B中的元素2x＋x，则在映射f作用下，2的象是______；20的原象是______．【分析】由已知，在映射f作用下x的象为2x＋x．所以，2的象是22＋2＝6；设象20的原象为x，则x的象为20，即2x＋x＝20．由于x∈N，2x＋x随着x的增大而增大，又可以发现24＋4＝20，所以20的原象是4．例2 设函数则f(1)＝______；若f(0)＋f(a)＝－2，则a的所有可能值为______．【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则．所以f(1)＝3．又f(0)＝－1，所以f(a)＝－1，当a≤0时，由a－1＝－1得a＝0；当a＞0时，由－a2＋2a＋2＝－1，即a2－2a－3＝0得a＝3或a＝－1(舍)．综上，a＝0或a＝3．例3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )(A) (B)(C) (D)【分析】(A)(C)(D)中两个函数的定义域均不同，所以不是同一函数．(B)中两个函数的定义域相同，化简后为y＝｜x｜及y＝｜t｜，法则也相同，所以选(B)．【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进行合理变形的情况下，看法则是否一致．例4 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)解：(1)由｜x－1｜－1≥0，得｜x－1｜≥1，所以x－1≥1或x－1≤－1，所以x≥2或x≤0．所以，所求函数的定义域为{x｜x≥2或x≤0}．(2)由x2＋2x－3＞0得，x＞1或x＜－3．所以，所求函数的定义域为{x｜x＞1或x＜－3}．(3)由得x＜3，且x≠0，x≠1，所以，所求函数的定义域为{x|x＜3，且x≠0，x≠1}(4)由所以－1≤x≤1，且x≠0．所以，所求函数定义域为{x｜－1≤x≤1，且x≠0}．例5 已知函数f(x)的定义域为(0，1)，求函数f(x＋1)及f(x2)的定义域．【分析】此题的题设条件中未给出函数f(x)的解析式，这就要求我们根据函数三要素之间的相互制约关系明确两件事情：①定义域是指x的取值范围；②受对应法则f制约的量的取值范围在“已知”和“求”当中是一致的．那么由f(x)的定义域是(0，1)可知法则f制约的量的取值范围是(0，1)，而在函数f(x＋1)中，受f直接制约的是x＋1，而定义域是指x的范围，因此通过解不等式0＜x＋1＜1得－1＜x＜0，即f(x＋1)的定义域是(－1，0)．同理可得f(x2)的定义域为{x｜－1＜x＜1，且x≠0}．例6 如图，用长为l的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为2x，求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并指出定义域．解：根据题意，AB＝2x．所以，根据问题的实际意义．AD＞0，x＞0．解所以，所求函数定义域为【评析】求函数定义域问题一般有以下三种类型问题．(1)给出函数解析式求定义域(如例4)，这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围．正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的．中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有：①分式中分母不为零；②偶次方根下被开方数非负；③零次幂的底数要求不为零；④对数中的真数大于零，底数大于零且不等于1；⑤y＝tan x，则，k∈Z．(2)不给出f(x)的解析式而求定义域(如例5)．其解决办法见例5的分析．(3)在实际问题中求函数的定义域(如例6)．在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制，还应考虑实际问题对自变量的限制．另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的．比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域．例7 (1)已知，求f(x)的解析式；(2)已知，求f(3)的值；(3)如果f(x)为二次函数，f(0)＝2，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，求f(x)的解析式；(4)*已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于直线x＝1对称，求f(x)的解析式．【分析】(1)求函数f(x)的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决(1)这样的问题．方法一．通过这样“凑型”的方法，我们可以明确看到法则f是“原象对应于原象除以原象的平方减1”．所以，方法二．设，则．则，所以这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么．(2)用“凑型”的方法，(3)因为f(x)为二次函数，并且当x＝1时，f(x)取得最小值－1，所以，可设f(x)＝a(x－1)2－1，又f(0)＝2，所以a(0－1)2－1＝2，所以a＝3．f(x)＝3(x－1)2－1＝3x2－6x＋2．(4)这个问题相当于已知f(x)的图象满足一定的条件，进而求函数f(x)的解析式．所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求f(x)的解析式．设f(x)的图象上任意一点坐标为P(x，y)，则P关于x＝1对称点的坐标为Q(2－x，y)，由已知，点Q在函数y＝g(x)的图象上，所以，点Q的坐标(2－x，y)满足y＝g(x)的解析式，即y＝g(2－x)＝22－x，所以，f(x)＝22－x．【评析】由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有象(1)(2)所用到的“凑形”及“换元”的方法；有象(3)所用到的待定系数法；也有象(4)所用到的解析法．值得注意的是(4)中所用的解析法．在求函数解析式或者求轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法．同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的联系．例8 已知二次函数f(x)的对称轴为x＝1，且图象在y轴上的截距为－3，被x轴截得的线段长为4，求f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(x)的对称轴为x＝1，可得b＝－2a；由图象在y轴上的截距为－3，可得c＝－3；由图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程ax2＋bx＋c＝0的根．所以f(－1)＝0，即a－b＋c＝0，所以a＝1．f(x)＝x2－2x－3．解法二因为图象被x轴截得的线段长为4，可得x＝－1，x＝3均为方程f(x)＝0的根．所以，设f(x)＝a(x＋1)(x－3)，又f(x)图象在y轴上的截距为－3，即函数图象过(0，－3)点．即－3a＝－3，a＝1．所以f(x)＝x2－2x－3．【评析】二次函数是非常常见的一种函数模型，在高中数学中地位很重．二次函数的解析式有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c；顶点式y＝a(x－h)2＋k，其中(h，k)为顶点坐标；双根式y＝a(x－x1)(x－x2)，其中x1，x2为函数图象与x轴交点的横坐标，即二次函数所对应的一元二次方程的两个根．例9 某地区上年度电价为0.8元／kW·h，年用电量为a kW·h．本年度计划将电价降到0.55元／kW·h至0.75元／kW·h之间，而用户期望电价为0.40元／kW·h．经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.30元／kW·h．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％?解：(1)依题意，当实际电价为x元／kW·h时，用电量将增加至故电力部门的收益为．(2)易知，上年度的收益为(0.8－0.3)a，依题意，且0.55≤x≤0.75，解得0.60≤x≤0.75．所以，当电价最低定为0.60元／kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20％．练习2－1一、选择题1．已知函数的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N＝( )(A){x｜x＞1} (B){x｜x＜1} (C){x｜－1＜x＜1} (D)2．图中的图象所表示的函数的解析式为( )(A)(B)(C)(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)3．已知f(x－1)＝x2＋2x，则( )(A) (B) (C) (D)4．已知若f(x)＝3，则x的值是( )(A)0 (B)0或 (C) (D)二、填空题5．给定映射f：(x，y)→(x＋2y，x－2y)，在映射f下(0，1)的象是______；(3，1)的原象是______．6．函数的定义域是______．7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 1 2 3 x 1 2 3f(x) 1 3 1 g(x) 3 2 1则f[g(1)]的值为______；满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值是______．8．已知函数y＝f(x)与函数y＝g(x)＝2x的图象关于点(0，1)对称，则f(x)的解析式为______．三、解答题9．已知f(x)＝2x＋x－1，求g(－1)，g[f(1)]的值．10．在如图所示的直角坐标系中，一运动物体经过点A(0，9)，其轨迹方程为y＝ax2＋c(a＜0)，D＝(6，7)为x轴上的给定区间．为使物体落在区间D内，求a的取值范围．11．如图，直角边长为2cm的等腰Rt△ABC，以2cm／s的速度沿直线l向右运动，求该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(cm2)与时间t的函数关系(设0≤t≤3)，并求出y的最大值．§2－2 函数的性质【知识要点】函数的性质包括函数的定义域、值域及值的某些特征、单调性、奇偶性、周期性与对称性等等．本章着重研究后四个方面的性质．本节的重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用．数形结合是本节常用的思想方法．1．设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数．设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对于D内任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数．由奇函数定义可知，对于奇函数y＝f(x)，点P(x，f(x))与点(－x，－f(x))都在其图象上．又点P与点关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形．2．一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间MA．如果取区间M中的任意两个值x1，x2，改变量x＝x2－x1＞0，则当y＝f(x2)－f(x1)＞0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数；当y＝f(x2)－f(x1)＜0时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数．如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为单调区间．在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．3．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域中的每一个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期．4．一般的，对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数a，使得当x取定义域中的每一个值时，f(a＋x)＝f(a－x)都成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．【复习要求】1．理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；会用定义证明函数的单调性，会利用函数的单调性处理有关的不等式问题；2．了解函数奇偶性的含义．能判断简单函数的奇偶性．3．了解函数周期性的含义．4．了解函数单调性、奇偶性和周期性之间的联系，并能解决相关的简单问题．【例题分析】例1 判断下列函数的奇偶性．(1) (2)(3)f(x)＝x3－3x； (4)(5)解：(1)解，得到函数的定义域为{x｜x＞1或x≤0}，定义域区间关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数．(2)函数的定义域为{x｜x≠0}，但是，由于f(1)＝2，f(－1)＝0，即f(1)≠f(－1)，且f(1)≠－f(－1)，所以此函数为非奇非偶函数．(3)函数的定义域为R，又f(－x)＝(－x)3－3(－x)＝－x3＋3x＝－f(x)，所以此函数为奇函数．(4)解，得－1＜x＜1，又所以此函数为奇函数．(5)函数的定义域为R，又，所以此函数为奇函数．【评析】由函数奇偶性的定义，可以得到下面几个结论：①一个函数是奇(或偶)函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称；②f(x)是奇函数，并且f(x)在x＝0时有定义，则必有f(0)＝0；③既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为f(x)＝0．判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个步骤：①判断函数的定义域是否关于原点对称；②考察f(－x)与f(x)的关系．由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类．例2 设函数f(x)在R上有定义，给出下列函数：①y＝－｜f(x)｜；②y＝xf(x2)；③y＝－f(－x)；④y＝f(x)－f(－x)．其中必为奇函数的有______．(填写所有正确答案的序号)【分析】①令F(x)＝－｜f(x)｜，则F(－x)＝－｜f(－x)｜，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．②令F(x)＝xf(x2)，则F(－x)＝－xf[(－x)2]＝－xf(x2)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．③令F(x)＝－f(－x)，则F(－x)＝－f[－(－x)]＝－f(x)，由于f(x)与f(－x)关系不明确，所以此函数的奇偶性无法确定．④令F(x)＝f(x)－f(－x)，则F(－x)＝f(－x)－f[－(－x)]＝f(－x)－f(x)＝－F(x)，所以F(x)为奇函数．所以，②④为奇函数．例3 设函数f(x)在R上有定义，f(x)的值不恒为零，对于任意的x，y∈R，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则函数f(x)的奇偶性为______．解：令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，所以f(0)＝0，再令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(x)的值不恒为零，故f(x)是奇函数而非偶函数．【评析】关于函数方程“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”的使用一般有以下两个思路：令x，y为某些特殊的值，如本题解法中，令x＝y＝0得到了f(0)＝0．当然，如果令x＝y＝1则可以得到f(2)＝2f(1)，等等．令x，y具有某种特殊的关系，如本题解法中，令y＝－x．得到f(2x)＝2f(x)，在某些情况下也可令y＝，y＝x，等等．总之，函数方程的使用比较灵活，要根据具体情况作适当处理．在不是很熟悉的时候，要有试一试的勇气．例4 已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c满足f(1＋x)＝f(1－x)，求b的值，并比较f(－1)与f(4)的大小．解：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以x＝1为二次函数图象的对称轴，所以，b＝－2．根据对称性，f(－1)＝f(3)，又函数在[1，＋∞)上单调递增，所以f(3)＜f(4)，即f(－1)＜f(4)．例5已知f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，(1)求f(－1)的值；(2)当x＜0时，求f(x)的解析式．解：(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(12－2×1)＝1．(2)方法一：当x＜0时，－x＞0．所以，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x．方法二：设(x，y)是f(x)在x＜0时图象上一点，则(－x，－y)一定在f(x)在x＞0时的图象上．所以，－y＝(－x)2－2(－x)，所以y＝－x2－2x．例6 用函数单调性定义证明，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．证明：设，且x1＜x2f(x2)－f(x1)＝(ax22＋bx2＋c)－(ax12＋bx1＋c)＝a(x22－x12)＋b(x2－x1)＝a(x2＋x1)(x2－x1)＋b(x2－x1)＝(x2－x1)[a(x1＋x2)＋b]因为x1＜x2，所以x2－x1＞0，又因为，所以，所以f(x2)－f(x1)＞0，函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间上为增函数．例7 已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数．(1)比较f(a2＋2)与f(2a)的大小；(2)若f(a2)＞f(a＋6)，求实数a的取值范围．解：(1)因为a2＋2－2a＝(a－1)2＋1＞0，所以a2＋2＞2a，由已知，f(x)是单调增函数，所以f(a2＋2)＞f(2a)．(2)因为f(x)是单调增函数，且f(a2)＞f(a＋6)，所以a2＞a＋6，解得a＞3或a＜－2．【评析】回顾单调增函数的定义，在x1，x2为区间任意两个值的前提下，有三个重要的问题：x＝x2－x1的符号；y＝f(x2)－f(x1)的符号；函数y＝f(x)在区间上是增还是减．由定义可知：对于任取的x1，x2，若x2＞x1，且f(x2)＞f(x1)，则函数y＝f(x)在区间上是增函数；不仅如此，若x2＞x1，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则f(x2)＞f(x1)；若f(x2)＞f(x1)，且函数y＝f(x)在区间上是增函数，则x2＞x1；于是，我们可以清晰地看到，函数的单调性与不等式有着天然的联系．请结合例5例6体会这一点．函数的单调性是极为重要的函数性质，其与其他问题的联系、自身的应用都很广泛，在复习中要予以充分注意．例8 设f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，且它在区间(－∞，0)上是减函数．(1)试比较f(－2)与－f(3)的大小；(2)若mn＜0，且m＋n＜0，求证：f(m)＋f(n)＞0．解：(1)因为f(x)是奇函数，所以－f(3)＝f(－3)，又f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(－3)＞f(－2)，即－f(3)＞f(－2)．(2)因为mn＜0，所以m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，因为m＋n＜0，所以n＜－m，因为n，－m∈(－∞，0)，n＜－m，f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，所以f(n)＞f(－m)，因为f(x)是奇函数，所以f(－m)＝－f(m)，所以f(n)＞－f(m)，即f(m)＋f(n)＞0．例9函数f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)＝x2，x∈[－1，1]．(1)求f(7.5)的值；(2)求f(x)在区间[2n－1，2n＋1]上的解析式．解：(1)因为函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(x＋2k)＝f(x)，k∈Z．所以f(7.5)＝f(－0.5＋8)＝f(－0.5)＝．(2)设x∈[2n－1，2n＋1]，则x－2n∈[－1，1]．所以f(x)＝f(x－2n)＝(x－2n)2，x∈[2n－1，2n＋1]．练习2－2一、选择题1．下列函数中，在(1，＋∞)上为增函数的是( )(A)y＝x2－4x (B)y＝｜x｜ (C) (D)y＝x2＋2x2．下列判断正确的是( )(A)定义在R上的函数f(x)，若f(－1)＝f(1)，且f(－2)＝f(2)，则f(x)是偶函数(B)定义在R上的函数f(x)满足f(2)＞f(1)，则f(x)在R上不是减函数(C)定义在R上的函数f(x)在区间(－∞，0]上是减函数，在区间(0，＋∞)上也是减函数，则f(x)在R上是减函数(D)不存在既是奇函数又是偶函数的函数3．已知函数f(x)是R上的奇函数，并且是周期为3的周期函数，又知f(1)＝2．则f(2)＝( )(A)－2 (B)2 (C)1 (D)－14．设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是( )(A)f(x)f(－x)是奇函数 (B)f(x)｜f(－x)｜是奇函数(C)f(x)－f(－x)是偶函数 (D)f(x)＋f(－x)是偶函数二、填空题5．若函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)是增函数，则m的取值范围是______；f(1)的取值范围是______．6．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数．当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x－x4，则当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝______．7．设函数为奇函数，则实数a＝______．8．已知函数f(x)＝x2－cos x，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②③｜x1｜＞x2．其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是______三、解答题9．已知函数f(x)是单调减函数．(1)若a＞0，比较与f(3)的大小；(2)若f(｜a－1｜)＞f(3)，求实数a的取值范围．10．已知函数(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)当a＝1时，证明函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．11．定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足①f(2)＝1；②f(xy)＝f(x)＋f(y)，其中x，y 为任意正实数，③任意正实数x，y满足x≠y时，(x－y)[f(x)－f(y)]＞0恒成立．(1)求f(1)，f(4)的值；(2)试判断函数f(x)的单调性；(3)如果f(x)＋f(x－3)≤2，试求x的取值范围．§2－3 基本初等函数(Ⅰ)本节复习的基本初等函数包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，三角函数在三角部分复习．函数的图象上直观地反映着函数的性质，学习函数的“捷径”是熟知函数的图象．熟知函数图象包括三个方面：作图，读图，用图．掌握初等函数一般包括以下一些内容：首先是函数的定义，之后是函数的图象和性质．函数的性质一般包括定义域，值域，图象特征，单调性，奇偶性，周期性，零点、最值以及值的变化特点等，研究和记忆函数性质的时候应全面考虑．函数的定义(通常情况下是解析式)决定着函数的性质，我们可以通过解析式研究函数的性质，也可以通过解析式画出函数的图象，进而直观的发现函数的性质．【知识要点】1．一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(1)定义域为R，值域为R；(2)图象如图所示，为一条直线；(3)k＞0时，函数为增函数，k＜0时，函数为减函数；(4)当且仅当b＝0时一次函数是奇函数．一次函数不可能是偶函数．(5)函数y＝kx＋b的零点为2．二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方，函数的解析式可以变形为(1)定义域为R：当a＞0时，值域为；当a＜0时，值域为；(2)图象为抛物线，抛物线的对称轴为，顶点坐标为．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．(3)当a＞0时，是减区间，是增区间；当a＜0时，是增区间，是减区间．(4)当且仅当b＝0时，二次函数是偶函数；二次函数不可能是奇函数．(5)当判别式＝b2－4ac＞0时，函数有两个变号零点；当判别式＝b2－4ac＝0时，函数有一个不变号零点；当判别式＝b2－4ac＜0时，函数没有零点．3．指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)(1)定义域为R；值域为(0，＋∞)．(2)a＞1时，指数函数为增函数；0＜a＜1时，指数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，也没有零点．4．对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数．(1)定义域为(0，＋∞)；值域为R．(2)a＞1时，对数函数为增函数；0＜a＜1时，对数函数为减函数；(3)函数图象如图所示．不具有奇偶性、周期性，(4)函数的零点为1．5．幂函数y＝xα(α∈R)幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1，1)；(2)如果α＞0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数；(3)如果α＜0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地接近y轴，当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地接近x轴．要注意：因为所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且当x∈(0，＋∞)时，xα＞0，所以所有的幂函数y＝xα(α∈R)在第一象限都有图象．根据幂函数的共同性质，可以比较容易的画出一个幂函数在第一象限的图象，再根据幂函数的定义域和奇偶性，我们可以得到这个幂函数在其他象限的图象，这样就能够得到这个幂函数的大致图象．6．指数与对数(1)如果存在实数x，使得x n＝a (a∈R，n＞1，n∈N＋)，则x叫做a的n次方根．负数没有偶次方根．；(2)分数指数幂，；n，m∈N*，且为既约分数)．，且为既约分数)．(3)幂的运算性质a m a n＝a m＋n，(a m)n＝a mn，(ab)n＝a nb n，a0＝1(a≠0)．(4)一般地，对于指数式a b＝N，我们把“b叫做以a为底N的对数”记为log a N，即b＝log a N(a＞0，且a≠1)．(5)对数恒等式：＝N．(6)对数的性质：零和负数没有对数(对数的真数必须大于零!)；底的对数是1，1的对数是0．(7)对数的运算法则及换底公式：；；.(其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，M＞0，N＞0).【复习要求】1．掌握基本初等函数的概念，图象和性质，能运用这些知识解决有关的问题；其中幂函数主要掌握y＝x，y＝x2，y＝x3，这五个具体的幂函数的图象与性质．2．准确、熟练的掌握指数、对数运算；3．整体把握函数的图象和性质，解决与函数有关的综合问题．【例题分析】例1化简下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)log2[log3(log464)]；(5)．解：(1)(2)(3)(4)log2[log3(log464)]＝log2[log3(log443)]＝log2[log33]＝log21＝0．(5)【评析】指数、对数运算是两种重要的运算，在运算过程中公式、法则的准确、灵活使用是关键．例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值为8，试确定f(x)的解析式．解：解法一设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，依题意解之得所以所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7．解法二f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，为f(2)＝－1，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为，又f(x)的最大值为8，所以.因为(－1，－1)点在抛物线上，所以，解得a＝－4．所以所求二次函数为.例3 (1)如果二次函数f(x)＝x2＋(a＋2)x＋5在区间(2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是______．(2)二次函数y＝ax2－4x＋a－3的最大值恒为负，则a的取值范围是______．(3)函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，则f(1)，f(2)，f(4)的大小关系是_______．解：(1)由于此抛物线开口向上，且在(2，＋∞)上是增函数，画简图可知此抛物线对称轴或与直线x＝2重合，或位于直线x＝2的左侧，于是有，解之得.(2)分析二次函数图象可知，二次函数最大值恒为负的充要条件是“二次项系数a＜0，且判别式＜0”，即，解得a∈(－∞，－1)．(3)因为对于任意t∈R均有f(2＋t)＝f(2－t)，所以抛物线对称轴为x＝2，又抛物线开口向上，做出函数图象简图可得f(2)＜f(1)＜f(4)．例4已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m的范围．解：当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，其图象与x轴的交点为，符合题意；当m＜0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向下，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点两侧．所以m＜0符合题意；当m＞0时，注意到f(0)＝1，又抛物线开口向上，所以抛物线与x轴的两个交点必在原点同侧(如果存在)，所以若满足题意，则解得0＜m≤1．综上，m∈(－∞，1]．【评析】在高中阶段，凡“二次”皆重点，二次函数，一元二次方程，一元二次不等式，二次曲线都应着重去理解、掌握．例2、3、4 三个题目充分体现了数形结合思想及运动变化思想的运用．这两种数学思想在函数问题的解决中被普遍使用．例5 (1)当a≠0时，函数y＝ax＋b与y＝b ax的图象只可能是( )(2)函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象分别是图中的①、②、③、④，则a，b，c，d的大小关系是______．【分析】(1)在选项(A)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，b＞1，所以b a＜b0＝1(根据以为底的指数函数的性质)，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．在选项(B)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，b＞1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．在选项(C)中，由y＝ax＋b图象可知a＞0，0＜b＜1，所以b a＜b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为减函数．与图形提供的信息相符．在选项(D)中，由y＝ax＋b图象可知a＜0，0＜b＜1，所以b a＞b0＝1，所以y＝b ax＝(b a)x应为增函数．综上，选C．(2)如图，作直线y＝1与函数y＝log a x，y＝log b x，y＝log c x，y＝log d x的图象依次交于A，B，C，D四点，则A，B，C，D四点的横坐标分别为a，b，c，d，显然，c＜d＜a＜b．【评析】在本题的解决过程中，对函数图象的深入分析起到了至关重要的作用．这里，对基本初等函数图象的熟悉是前提，对图象的形态的进一步研究与关注是解决深层问题要重点学习的，例4中“注意到f(0)＝1”，例5中“作直线y＝1”就是具体的表现，没有“熟悉”和“深入的研究”是不可能“注意到”的，也作不出“直线y＝1”．例6已知幂函数．(1)若f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求k的取值范围．解：(1)因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以，解得－1＜k＜3，因为k∈Z，所以k＝0，1，2，又因为f(x)为偶函数，所以k＝1，f(x)＝x2．(2)因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以，解得k＜－1，或k＞3(k∈Z)．例7比较下列各小题中各数的大小(1)；(2)lg2与lg(x2－x＋3)；(3)0.50.2与0.20.5；(4)；(5)；(6)a m＋a－m与a n＋a－n(a＞0，a≠1，m＞n＞0)【分析】(1)函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是增函数，所以log20.6＜log21＝0，函数y＝log0.6x在区间(0，＋∞)上是减函数，所以所以.(2)由于，所以lg2＜lg(x2－x＋3)．(3)利用幂函数和指数函数单调性．0.50.2＞0.20.2＞0.20.5．(4)因为.根据不等式的性质有(5)因为比较与log32，只需比较与log32，因为y＝log3x是增函数，所以只需比较与2的大小，因为，所以，所以，综上，(6)，当a＞1时，因为m＞n＞0，a m＞a n，a m＋n＞1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n；当0＜a＜1时，因为m＞n＞0，a m＜a n，a m＋n＜1，所以a m＋a－m＞a n＋a－n．综上，a m＋a－m＞a n＋a－n．例8已知a＞2，b＞2，比较a＋b，ab的大小．【分析】方法一(作商比较法)，又a＞2，b＞2，所以，所以，所以a＋b＜ab．方法二(作差比较法)，因为a＞2，b＞2，所以2－a＜0，2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．方法三(构造函数)令y＝f(a)＝a＋b－ab＝(1－b)a＋b，将y看作是关于a的一次函数，因为1－b＜0，所以此函数为减函数，又a∈(2，＋∞)，y最大＜f(2)＝(1－b)×2＋b＝2－b＜0，所以a＋b－ab＜0，即a＋b＜ab．【评析】两个数比较大小的基本思路：如果直接比较，可以考虑用比较法(包括“作差比较法”与“作商比较法”，如例8的方法一与方法二)，或者利用函数的单调性来比较(如例7(1)(2)(3)，例8的方法三)．如果用间接的方法可以尝试对要比较的两数进行适当的变形，转化成对另两个数的比较，也可以考虑借助中间量来比较(如例7(4)(5)(6))．例9若log2(x－1)＜2，则x的取值范围是______．解：log2(x－1)＜2，即log2(x－1)＜log24，根据函数y＝log2x的单调性，可得x－1＜4，所以x＜5，结合x－1＞0，所以x的取值范围是1＜x＜5．例10 已知A，B为函数y＝log8x的图象上两点，分别过A，B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C，D两点．(1)如果A，B两点的连线经过原点O，请问C，D，O三点也共线么?证明你的结论．(2)当A，B，O三点共线并且BC与x轴平行时，求A点的坐标．略解：(1)设A(x1，log8x1)，B(x2，log8x2)，由于A，B，O在同一条直线上，所以又设C(x1，log2x1)，D(x2，log2x2)，于是有同样可得结合①式，有k OC＝k OD，即C，D，O三点共线．(2)当BC∥x轴时，即。
高校教师岗前培训考试在线练习
1。
()允许自变量和因变量含有测量误差,精确估计观察变量与潜在变量之间的关系. ［单选题］*分值：1您的回答为：C、因子分析正确答案为：Ｂ、结构方程建模法2．在（)中,要能准确清晰地表达项目的研究目的、目标,拟采取的研究方法和技术路线,需要达到的主要技术指标,预期效果等内容。
[单选题]*分值：1您的回答为:A、科研立项申报书（得分:１）3. 现代教育技术总的目的是为了促进学生的学习,但是由于教育对象不同，教学内容不同，采用的技术手段和操作方法也就不同,从而形成了三个主要的相对独立的应用实践领域:课堂教学领域、远程教学领域、（）。
[单选题]＊分值:1您的回答为：A、网络教学领域ﻫ正确答案为:Ｂ、企业培训领域4．利用人工智能技术构建的（)系统，能够根据学生的不同个性特点和需求进行教学和提供帮助。
[单选题］*分值：1您的回答为：D、智能教师ﻫ正确答案为：C、智能导师5。
对于现代教育技术与教育变革的关系，可以这样理解：以多媒体和网络技术为核心的（)在教育中的应用，必将对教育教学产生根本性的变革. ［单选题]＊分值：1您的回答为：Ｃ、现代教育技术（得分:1)6. 以下不属于常用的文档文件格式是(). [单选题]*分值：1您的回答为:D、mpg （得分:1)7. 下面的(）不属于网络课程的形式。
［单选题］＊分值：1您的回答为:Ａ、课堂授课型ﻫ正确答案为：D、互动教学型8。
专题学习网站的类型：资源型的专题学习网站、()、课堂互动型专题学习网站. ［单选题］*分值:1您的回答为：C、自主学习型专题网站(得分：１)9. 微博的内容不应太长,一般限制在()内。
[单选题］*分值:１您的回答为:C、140字（得分：1）10. 以下不属于讲授教学法的是(）。
[单选题］*分值：１您的回答为:C、讲演法ﻫ正确答案为:D、讲义法11. 最初形成教学设计构想的代表人物是美国教育家(）。
[单选题］＊分值: 1您的回答为:A、桑代克正确答案为：C、杜威12。
2021-2022学年鲁教版(五四制)六年级数学下册第九章变量之间的关系专题训练试题(含解析)
六年级数学下册第九章变量之间的关系专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示：下列说法错误的是（）A．自变量是温度，因变量是传播速度B．温度越高，传播速度越快C．当温度为10℃时，声音5s可以传播1655mD．温度每升高10℃，传播速度增加6m/s2、在实验课上，小亮利用同一块木板测得小车从不同高度（h）与下滑的时间（t）的关系如下表：以下结论错误的是（）A．当h＝40时，t约2.66秒B．随高度增加，下滑时间越来越短C．估计当h＝80cm时，t一定小于2.56秒D．高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒3、某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度y与空气温度x关系的一些数据（如下表）：下列说法错误的是（）A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速B．温度越高，声速越快C．当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1740m D．温度每升高10℃，声速提高6m/s.4、某种蔬菜的价格随季节变化如下表，根据表中信息，下列结论错误的是（）A．x是自变量，y是因变量B．2月份这种蔬菜价格最高，为5.50元/千克C．2-8月份这种蔬菜价格一直在下降D．8-12月份这种蔬菜价格一直在上升5、某油箱容量为60升的汽车，加满汽油后行驶了100千米时，邮箱中的汽油大约消耗了15，如果加满后汽车的行驶路程为x 千米，邮箱中剩余油量为y 升，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．y =0.12xB ．y =60+0.12xC ．y =-60+0.12xD ．y =60-0.12x6、一辆汽车以50 km/h 的速度行驶，行驶的路程s km 与行驶的时间t h 之间的关系式为s ＝50 t ，其中变量是（ ）A ．速度与路程B ．速度与时间C ．路程与时间D ．三者均为变量7、下表为某旅游景点旺季时的售票量、售票收入的变化情况，在该变化过程中，常量是( )．A ．票价B ．售票量C ．日期D ．售票收入8、世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x （单位：千瓦时）时，收取电费为y （单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是（ ）A ．x 是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B ．y 是自变量，x 是因变量C ．0.6元/千瓦时是自变量，y 是因变量D ．x 是自变量，y 是因变量，0.6元/千瓦时是常量．9、在球的体积公式343V R π=中，下列说法正确的是（ ）A．V、π、R是变量，43为常量B．V、π是变量，R为常量C．V、R是变量，43、π为常量D．以上都不对10、从地面竖直向上抛射一个物体，经测量，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）与运动时间t （s）之间有如下的对应关系，则速度v与时间t之间的函数关系式可能是（）A．v＝25t B．v＝﹣10t＋25 C．v＝t2＋25 D．v＝5t＋10第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（8小题，每小题5分，共计40分）1、如果用总长为60m的篱笆围成一个长方形场地，设长方形的面积为()2mS，一边长为()ma，那么在60，S，a中，变量有________________个．2、一个梯形的高为8厘米，上底长为5厘米，当梯形下底x（厘米）由长变短时，梯形的面积y（厘米）也随之发生变化，请写出y与x之间的关系式________．3、将长为23cm、宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为2cm，设x 张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为___________．4、如图，某计算装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，如表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果按照这个计算装置的计算规律，若输入的数是n，则输出的数是________．5、一空水池，现需注满水，水池深4.9m ，现以均匀的流量注水，如下表：由上表信息，我们可以推断出注满水池所需的时间是______h ．6、小颖准备乘出租车到距家超过3km 的科技馆参观，出租车的收费标准如下：则小颖应付车费y (元)与行驶里程数x (km )之间的关系式为____．7、汽车离开甲站10km 后，以60/km h 的速度匀速前进了th ，则汽车离开甲站所走的路程()s km 与时间()t h 之间的关系式是_____.8、快餐每盒5元，买n 盒需付m 元，则其中常量是_____．三、解答题（3小题，每小题10分，共计30分）1、下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：（1）时间是8分钟时，水的温度为_____；（2）此表反映了变量_____和_____之间的关系，其中_____是自变量，_____是因变量；2、阅读下面材料并填空．当x 分别取0，1，－1，2，－2，……时，求多项式2x --的值．当0x =时，2x --=______．当1x =时，2x --=______．当1x =-时，2x --=______．当2x =时，2x --=______．当2x =-时，2x --=______．……以上的求解过程中，______和______都是变化的，是______的变化引起了______的变化．3、如图，在Rt △ABC 中，已知∠C=90°，边AC=4cm ，BC=5cm ，点P 为CB 边上一点，当动点P 沿CB 从点C 向点B 运动时，△APC 的面积发生了变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）如果设CP 长为x cm ，△APC 的面积为y cm ，则y 与x 的关系可表示为_____；（3）当点P 从点D （D 为BC 的中点）运动到点B 时，则△APC 的面积从____cm 2变到_____cm 2．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据自变量和因变量的概念判断A，根据表格中声音的传播速度与温度的变化情况判断B，根据路程＝速度×时间计算C，根据速度的变化情况判断D．【详解】解：A选项，自变量是温度，因变量是传播速度，故该选项正确，不符合题意；B选项，温度越高，传播速度越快，故该选项正确，不符合题意；C选项，当温度为10℃时，声音的传播速度为337m/s，所以5秒可以传播337×5＝1685m，故该选项错误，符合题意；D选项，温度每升高10℃，传播速度增加6m/s，故该选项正确，不符合题意；故选C．【点睛】此题主要考查了常量与变量和通过表格获取信息，关键是掌握在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．2、D【解析】【分析】根据表格中数量的变化情况，分别进行判断即可．【详解】解：当支撑物高度从10cm升高到20cm，下滑时间的减少0.24s，从20cm升高到30cm时，下滑时间就减少0.2s，从30cm升高到40cm时，下滑时间就减少0.15s，从40cm升高到50cm时，下滑时间就减少0.1s，因此，“高度每增加了10cm，时间就会减少0.24秒”是错误的，故选：D．【点睛】本题考查变量之间的关系，理解表格中两个变量之间的变化关系是正确判断的前提．3、C【解析】【分析】根据自变量、因变量的含义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，∴选项A正确；根据数据表，可得温度越高，声速越快，∴选项B正确；342×5=1710（m），∴当空气温度为20℃时，声音5s可以传播1710m，∴选项C错误；324-318=6（m/s），330-324=6（m/s），336-330=6（m/s），342-336=6（m/s），348-342=6（m/s），∴当温度每升高10℃，声速增加6m/s，∴选项D正确；故选C．【点睛】此题主要考查了自变量、因变量的含义和判断，要熟练掌握．4、D【解析】【分析】根据表格提供的数据信息逐一进行判断即可.【详解】解：A、由题意，蔬菜的价格随季节变化而变化，所以月份x是自变量，蔬菜价格y是因变量，所以A正确；B、观察表格可知，2月份时蔬菜价格为5.50元/千克，是各月份的最高价格，所以B正确；C、2-8月份这种蔬菜由5.50元/千克一直下降到0.90元/千克，所以C正确；D、8-12月份这种蔬菜价格分别是：0.90、1.50、3.00、2.50、3.50（元/千克），不是一直在上升，所以本选项错误.故选D.【点睛】本题考查的是用表格表示变量之间的关系，读懂题意，弄清表格数据所提供的数据信息是解题的关键.5、D【解析】【分析】先求出1千米的耗油量，再求行驶x千米的耗油量，最后求油箱中剩余的油量即可．【详解】解：∵每千米的耗油量为：60×15÷100=0.12（升/千米），∴y=60-0.12x，故选：D．【点睛】本题考查了函数关系式，求出1千米的耗油量是解题的关键．6、C【解析】【分析】在函数中，给一个变量x一个值，另一个变量y就有对应的值，则x是自变量，y是因变量，据此即可判断．【详解】解：由题意得：s＝50 t，路程随时间的变化而变化，则行驶时间是自变量，行驶路程是因变量．故选C．【点睛】此题主要考查了自变量和因变量，正确理解自变量与因变量的定义，是需要熟记的内容．7、A【解析】【分析】结合题意，根据变量和常量的定义分析，即可得到答案．【详解】根据题意，10月1日到10月7日的数据计算，得票价均为100元∴常量是票价故选：A．【点睛】本题考查了函数的基础知识；解题的关键是熟练掌握变量和常量的性质，从而完成求解．8、D【解析】【分析】根据自变量、因变量和常量的定义逐项判断即得答案．【详解】解：A 、x 是自变量，0.6元/千瓦时是常量，故本选项说法错误，不符合题意；B 、y 是因变量，x 是自变量，故本选项说法错误，不符合题意；C 、0.6元/千瓦时是常量，y 是因变量，故本选项说法错误，不符合题意；D 、x 是自变量，y 是因变量，0.6元/千瓦时是常量，故本选项说法正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了自变量、因变量和常量的定义，属于基础知识题型，熟知概念是关键．9、C【解析】【分析】根据常量与变量的定义解答即可．【详解】 解：在球的体积公式343V R π=中，V 、R 是变量，43、π为常量， 故选C ．【点睛】本题考查了常量与变量，在某一问题中，保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量．10、B【解析】【分析】根据表格中的数据，把对应的数据代入函数关系式中进行求解即可得到答案．【详解】解：A 、当0=t 时，25v =，不满足25v t =，故此选项不符合题意；B 、当0=t 时，25v =，满足1025v t =-+，当1t =时，15v =，满足1025v t =-+，当2t =时，5v =，满足1025v t =-+，当3t =时，5v =-，满足1025v t =-+，故此选项符合题意；C 、当1t =时，15v =，不满足225v t =+，故此选项符合题意；D 、当0=t 时，25v =，不满足510v t =+，故此选项符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握用表格表示变量间的关系．二、填空题1、2【解析】【分析】根据变量与常量的定义：变量是在某一变化过程中，发生变化的量，常量是某一变化过程中，不发生变化的量，进行求解即可【详解】解：∵篱笆的总长为60米，∴S =(30-a )a =30a -a 2，∴面积S 随一边长a 变化而变化，∴S 与a 是变量，60是常量故答案为：2．【点睛】本题考查了常量与变量的知识，解题的关键是能够根据篱笆总长不变确定定值，然后确定变量．2、y =4x +20【解析】【分析】根据梯形的面积公式求出y 与x 之间的关系式即可.【详解】解：根据梯形的面积公式得：()584202x y x +=⨯=+， 故答案为：420y x =+.【点睛】本题主要考查了梯形的面积公式，求两个变量之间的函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握梯形的面积公式.3、y=21x+2【解析】【分析】等量关系为：纸条总长度=23×纸条的张数-（纸条张数-1）×2，把相关数值代入即可求解．【详解】每张纸条的长度是23cm ，x 张应是23xcm ，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x 张纸条之间有（x-1）个粘合，应从总长度中减去．∴y 与x 的函数关系式为：y=23x-（x-1）×2=21x+2．故答案为：y=21x+2．【点睛】此题考查函数关系式，找到纸条总长度和纸条张数的等量关系是解题的关键．4、21n +【解析】【分析】分析表格：222211,521,1031,...=+=+=+得出规律，输入n 时，输出的数是21n +．【详解】分析表格知：当1A =时，2211B ==+;当2A =时，2521B ==+;当3A =时，21031B ==+得出规律：当A n =时，21B n =+故答案为：21n +【点睛】本题考查数字寻找规律，根据表格的数字寻找出相关规律是解题关键．5、3.5【解析】【分析】由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m ，由此得出答案；【详解】解：由表格中的数据得出注水时间每增加0.5个小时，水的深度就加深0.7m ，∴注水时间每增加1个小时，水的深度就加深1.4m ，∴4.9÷1.4=3.5（小时）∴推断出注满水池所需的时间是3.5小时；故答案为：3.5【点睛】本题考查了用表格表示的变量之间的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．6、y=1.8x+2.6（x≥3）【解析】【分析】根据3千米以内收费8元，超过3千米，每增加1千米收费1.8元列代数式即可解答．【详解】解：由题意得，所付车费y=1.8（x-3）+8=1.8x+2.6（x≥3）．故答案为：y=1.8x+2.6（x≥3）．【点睛】本题考查了通过列代数式确定函数解析式，读懂题意、列出代数式是解答本题的关键．7、6010S t =+【解析】【分析】根据路程与时间的关系，可得函数解析式．【详解】汽车离开甲站所走的路程=速度×时间+初始路程，故6010S t =+.【点睛】本题考查用关系式表示变量之间的关系，解决本题的关键是能找出因变量和自变量之间的等量关系.8、5【解析】【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．【详解】解：单价5元固定，是常量．故答案为：5．【点睛】考核知识点：函数.理解函数相关意义是关键.三、解答题1、（1）100℃；（2）温度，时间，时间，温度【解析】【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；（2）观察表格可知，反映的是温度随时间的变化而变化由此即可得到答案．【详解】解：（1）观察表格可知：第8分钟时水的温度为100℃；（2）观察表格可知反映的是温度随着时间的变化而变化的，时间是自变量，温度是因变量； 故答案为（1）100℃；（2）温度，时间，时间，温度．【点睛】本题主要考查了用表格表示变量之间的关系，解题的关键在于能够熟练掌握自变量与因变量的定义．2、x ， 2x --；x ， 2x --．【解析】【分析】分别将x 的值代入各式子，即可求解．【详解】当x 分别取0，1，－1，2，－2，……时，求多项式2x --的值．当0x =时，22x --=-．当1x =时，23x --=-．当1x =-时，21x --=-．当2x =时，24x --=-．当2x =-时，20x --=．……以上的求解过程中，x 和2x --都是变化的，是x 的变化引起了2x --的变化【点睛】本题考查常量与变量、代数式的值等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．3、 (1) 自变量是CP 的长，因变量是△APC 的面积；(2) y=2x ；(3)5,10【解析】【分析】（1）根据函数自变量和因变量的概念解答即可；（2）根据三角形的面积公式列出关系式；（3）计算出CD 的长度，求出相应的面积，求差得到答案．【详解】（1）自变量是CP 的长，因变量是△APC 的面积；（2）y=12×4×x=2x所以y与x的关系可表示为y=2x；（3）当x=52时，y=5；当x=5时，y=10，所以△APC的面积从5cm2变到10cm2．【点睛】考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值的知识，属于基础题，学生认真阅读题意即可作答．。
专题13 函数基础知识人教版八年级下册专项训练
专题13函数基础知识一、知识点1．函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有________的值与它对应，那么就称y是x的________，x叫做自变量．2．函数的表示方法有三种：________法、________法、________法．3．画函数图像的一般步骤：________、________、________．4．求函数自变量的取值范围，一般有三种情况：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，需满足分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，需满足被开方数为非负数．二次根式和分式组成的“复合”形式，则要注意使函数表达式中的二次根式与分式均要有意义．二、标准例题例1：下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x和y，其中y不是x的函数的选项是() A．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号C．y：圆的面积，x：这个圆的直径D．y：一个正数的平方根，x：这个正数例2：下列各图象中不表示y是x的函数的是( )例3：星期六早晨小明妈妈从家里出发去公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回家，图中的折线段OA→AB→BC是她出发后所在位置离家的距离S(km)与行走时间t（分钟）之间的关系示意图，则下列图形中可以大致描述小明妈妈行走路线的是（）A．B．C．D．例4：如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的1（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至4注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；⑵求A的高度h A及注水的速度v；⑶求注满容器所需时间及容器的高度．例5：如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；（2）当点P运动的路程x=4时，△ABP的面积为y=；（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．三、练习1．函数中，自变量的取值范围是( ).A．B．C．D．2．下列各曲线中，能表示y 是x 的函数的是（）A．B．C．D．3．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣74．如图是张华放学后回家行进的路程s(m)与时间t(min)的函数图象，观察图象，从中得到如下信息，其中不正确的是()A．学校离张华家1000 m B．张华用了20 min到家C．张华前10 min走了路程的一半D．张华后10 min比前10 min走得快5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的容器，且中间有管道连通，现要向甲容器注水．若单位时间内的注水量不变，则从注水开始，乙容器水面上升的高度h与注水时间t之间的关系图象可能是()A．B．C．D．6．如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒钟后，甲超过了乙其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①③④7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．8．星期天，小明和爸爸去大剧院看电影．爸爸步行先走，小明在爸爸离开家一段时间后骑自行车去，两人按相同的路线前往大剧院，他们所走的路程s（米）和时间t（分）的关系如图所示．则小明追上爸爸时，爸爸共走了（）A．12分钟B．15分钟C．18分钟D．21分钟9．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S 随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．10．函数y=+的自变量x的取值范围是11．江山村的耕地面积是106(m2)，这个村人均占有耕地面积x(m2)与人数n的关系是________．12．汽车油箱内存油45L，每行驶100km耗油10L，行驶过程中油箱内剩余油量y L与行驶路程s km的函数关系式是_____．13．将长为20cm，宽为8cm的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm，设x张白纸粘合后的总长度为ycm，y与x的函数关系式为_____．14．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①小明中途休息用了20分钟；②小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米；③小明在上述过程中所走的路程为6600米；④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度．其中正确的是________(填序号)．15．如图描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①第3分钟时，汽车的速度是40千米/时；②第12分钟时，汽车的速度是0千米/时；③从第3分钟到第6分钟，汽车行驶了120千米；④从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减小到0千米/时．16．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示接受能力越强．(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．17．如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r(cm)变化时，圆柱的体积V(cm3)也随之变化．(1)在这个变化过程中，写出自变量，因变量；(2) 写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；(3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3.18．已知：函数y=√x+2，求x的取值范围，并在数轴上表示．19．一种树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中_____是自变量，_____是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n的关系式为_____；（3）栽种后_____后，树苗能长到280厘米．20．老师告诉小红：“离地面越高，温度越低”．并给小红出示了下面的表格：根据上表，老师还给小红出了下面几个问题，请你和小红一起来回答（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，请你用关于h的式子表示t；（3）请你利用（2）的结论求①距离地面5千米的高空温度是多少？②当高空某处温度为﹣40度时，求该处的高度．21．某商店为减少A商品的积压,采取降价销售的策略,A商品原价为520元,随着不同幅度的降价,日销量(单位:件)发生相应的变化(如表):(1)从表中可以看出每降价10元,日销量增加多少件?(2)估计降价之前的日销量为多少件?(3)由表格求出日销量y(件)与降价x(元)之间的函数解析式.(4)如果售价为440元时,日销量为多少件?27．圣诞老人上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市回到家中，圣诞老人离家的距离s(千米)和所经过的时间t(分钟)之间的关系如图所示，请根据图象回答问题：(1)圣诞老人去超市途中的速度是多少？回家途中的速度是多少？(2)圣诞老人在超市逗留了多长时间？(3)圣诞老人在来去的途中，离家2千米处的时间是几时几分？22．甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离y(千米)与时间t(时)的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：(1)货车在乙地卸货停留了多长时间？(2)货车往返速度，哪个快？返回速度是多少？23．小红帮弟弟荡秋千（如图1），秋千离地面的高度ℎ(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示.（1）根据函数的定义，请判断变量ℎ是否为关于t的函数？（2）结合图象回答：①当t=0.7s时，ℎ的值是多少？并说明它的实际意义.②秋千摆动第一个来回需多少时间？专题13函数基础知识一、知识点1．函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x ，y ，如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有________的值与它对应，那么就称y 是x 的________，x 叫做自变量．2．函数的表示方法有三种：________法、________法、________法． 3．画函数图像的一般步骤：________、________、________． 4．求函数自变量的取值范围，一般有三种情况： (1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； (2)当函数表达式是分式时，需满足分式的分母不能为0； (3)当函数表达式是二次根式时，需满足被开方数为非负数．二次根式和分式组成的“复合”形式，则要注意使函数表达式中的二次根式与分式均要有意义． 二、标准例题例1：下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个变量x 和y ，其中y 不是x 的函数的选项是( ) A ．y ：正方形的面积，x ：这个正方形的周长 B ．y ：某班学生的身高，x ：这个班学生的学号 C ．y ：圆的面积，x ：这个圆的直径 D ．y ：一个正数的平方根，x ：这个正数 【答案】D 【解析】A. y=(14x)2=116x 2，y 是x 的函数，故A 选项错误；B. 每一个学生对应一个身高，y 是x 的函数，故B 选项错误；C. y=π(12x)2=14πx 2，y 是x 的函数，故C 选项错误；D. y=±√x ，每一个x 的值对应两个y 值，y 不是x 的函数，故D 选项正确. 故答案选：D.总结：本题考查的知识点是函数的概念，解题的关键是熟练的掌握函数的概念 例2：下列各图象中不表示y 是x 的函数的是( )A．A B．B C．C D．D【答案】D【解析】圆不能表示y是x的函数，因为对x的某一部分的取值，y的对应值不唯一，不符合函数的定义，因此答案选D.例3：星期六早晨小明妈妈从家里出发去公园锻炼，她连续、匀速走了60分钟后回家，图中的折线段OA→AB→BC是她出发后所在位置离家的距离S(km)与行走时间t（分钟）之间的关系示意图，则下列图形中可以大致描述小明妈妈行走路线的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】观察s关于t的函数图象,发现:在图象AB段,该时间段蕊蕊妈妈离家的距离相等,即绕以家为圆心的圆弧进行运动,可以大致描述蕊蕊妈妈行走的路线是B.故选B..总结：本题考查了函数的图象，由图象分析出大致的运动路径是解题的关键.例4：如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的1（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至4注满为止．图2是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；⑵求A的高度h A及注水的速度v；⑶求注满容器所需时间及容器的高度．【答案】（1）10s，8s（2）A的高度hA为4 cm，注水速度v为10 cm3/s（3）注满这个容器所需时间24 s，容器的高度为24 cm【解析】（1）看函数图象可知，注满A所用时间为10s，再注满B又用了8s；（2）根据题意和函数图象得，{ℎA＝10v2512−ℎA＝8v10，解得{ℎA＝ 4v＝10；答：A的高度hA是4cm，注水的速度v是10cm3/s；（3）设C的容积为ycm3，则有，4y=10v+8v+y，将v=10代入计算得y=60，那么容器C的高度为：60÷5=12（cm），故这个容器的高度是：12+12=24（cm），∵B的注水时间为8s，底面积为10cm2，v=10cm3/s，∴B的高度=8×10÷10=8（cm），注满C的时间是：60÷v=60÷10=6（s），故注满这个容器的时间为：10+8+6=24（s）．答：注满容器所需时间为24s，容器的高度为24cm．总结：本题考查了识别函数图象的能力，是一道较为简单的题，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．例5：如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是 、 ；（2）当点P 运动的路程x=4时，△ABP 的面积为y= ；（3）求AB 的长和梯形ABCD 的面积．【答案】（1）x ，y ；（2）16；（3）AB=8，梯形ABCD 的面积=26．【解析】（1）∵点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，∴自变量为x ，因变量为y ．故答案为：x ，y ；（2）由图可得：当点P 运动的路程x=4时，△ABP 的面积为y=16．故答案为：16；（3）根据图象得：BC=4，此时△ABP 为16，∴12AB•BC=16，即12×AB×4=16，解得：AB=8；由图象得：DC=9﹣4=5，则S 梯形ABCD=12×BC×（DC+AB ）=12×4×（5+8）=26． 总结：本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．三、练习1．函数中，自变量的取值范围是 ( ). A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】由题意得6-x ≥0,解得故选A2．下列各曲线中，能表示 y 是 x 的函数的是（ ） A ． B ． C ． D ．【解析】解：由函数的定义可知,x与y的对应关系应该是一对一的关系或多对一的关系,据此排除A,B,C,故选D.3．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（）A．9 B．7 C．﹣9 D．﹣7【答案】C【解析】∵当x=7时，y=6-7=-1，∴当x=4时，y=2×4+b=-1，解得：b=-9，故选C．4．如图是张华放学后回家行进的路程s(m)与时间t(min)的函数图象，观察图象，从中得到如下信息，其中不正确的是()A．学校离张华家1000 m B．张华用了20 min到家C．张华前10 min走了路程的一半D．张华后10 min比前10 min走得快【答案】C【解析】根据函数图象可知：学校离张华家1000m；张华用了20min到家；张华前10min走了路程的不到一半；张华后10min所走的路程比前10min多，所以走得快.5．如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的容器，且中间有管道连通，现要向甲容器注水．若单位时间内的注水量不变，则从注水开始，乙容器水面上升的高度h与注水时间t之间的关系图象可能是()A．B．C．D．【答案】D【解析】①先注甲池水未达连接地方时，乙水池中的水面高度没变化；②当甲池中水到达连接的地方，乙水池中水面快速上升；③当乙到达连接处时，乙水池的水面持续增长较慢；④最后超过连接处时，乙水池的水上升较快，但比第②段要慢．故选：D．6．如图：图中的两条射线分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线AB表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑了12米；④8秒钟后，甲超过了乙其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①③④【答案】B根据函数图象的意义，①已知甲的速度比乙快，故射线OB表示甲的路程与时间的函数关系；错误；②甲的速度比乙快1.5米/秒，正确；③甲让乙先跑了12米，正确；④8秒钟后，甲超过了乙，正确；故选：B．7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：根据题意和图形可知：点P按B→C→D→A的顺序在边长为1的正方形边上运动，△APB的面积分为3段；当点P在BC上移动时，底边不变高逐渐变大，故面积逐渐变大；当点P在CD上移动时，底边不变，高不变，故面积不变；当点P在AD上时，高不变，底边变小，故面积越来越小直到0为止．故选：B．8．星期天，小明和爸爸去大剧院看电影．爸爸步行先走，小明在爸爸离开家一段时间后骑自行车去，两人按相同的路线前往大剧院，他们所走的路程s（米）和时间t（分）的关系如图所示．则小明追上爸爸时，爸爸共走了（）A．12分钟B．15分钟C．18分钟D．21分钟【答案】C【解析】x＝80x，小明解析式为：解得：k＝180，爸爸的解析式y1＝360045b＝－1800，即y2＝180x－1800，联立两直线解析式可得：80x＝180x－1800，解得：x＝18，故答案选C.9．如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S 随着时间t变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设点P单位时间匀速运动的距离为1，由图形可知点P到线段AB的距离即为∆ABP的高，记住ℎ.×AB×t=t，图象是一条向上倾斜的正比例函数图象；当点P在线段AD上时，∆ABP为正三角形，S=12×AB×ℎ=2，图象是一条平行于x轴的常数函数图象；当点P在线段DE上时，S=12当点P 在线段EF 上时，ℎ=AD −EP =2−(t −3)=5−t ，S =12×AB ×ℎ=5−t ，图象是一条向下倾斜的一次函数图象；当点P 在线段FG 上时，ℎ=GB =1，S =12×AB ×ℎ=1，图象是一条平行于x 轴的常数函数图象 当点P 在线段GB 上时，ℎ=GB −GP =1−(t −5)=6−t ，S =12×AB ×ℎ=6−t ，图象是一条向下倾斜的一次函数图象.综上所述只有B 项的图像符合题意. 10．函数y=+的自变量x 的取值范围是【答案】x≤3且x≠2【解析】根据题意得{x−2≠03−x≥0，解得x≤3且x≠2.11．江山村的耕地面积是106(m 2)，这个村人均占有耕地面积x(m 2)与人数n 的关系是________．【答案】x =106n 【解析】根据题意得：x =106n ． 故答案得：x =106n12．汽车油箱内存油45L ，每行驶100km 耗油10L ，行驶过程中油箱内剩余油量y L 与行驶路程s km 的函数关系式是_____．【答案】y=45﹣0.1s （0≤s≤450）【解析】单位耗油量10÷100=0.1L ，行驶s 千米的耗油量为0.1s ，则行驶过程中油箱内剩余油量：y=45﹣0.1s （0≤s≤450）． 故答案为：y=45﹣0.1s （0≤s≤450）．13．将长为20cm ，宽为8cm 的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为3cm ，设x 张白纸粘合后的总长度为ycm ，y 与x 的函数关系式为_____．【答案】y=17x+3【解析】由题意可得：y=20x-3(x-1)=17x+3，即：y与x间的函数关系式为：y=17x+3.故答案为：y=17x+3.14．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t(分钟)，所走的路程为s(米)，s与t之间的函数关系如图所示．下列四种说法：①小明中途休息用了20分钟；②小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米；③小明在上述过程中所走的路程为6600米；④小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度．其中正确的是________(填序号)．【答案】①②④【解析】解：①小明中途休息的时间是：60-40=20分钟，故本选项正确；=70（米/分钟），故本选项正确；②小明休息前爬山的速度为280040③小明在上述过程中所走路程为3800米，故本选项错误；’=25（米/分钟），所以小明休息前爬山的平均速度大于小明休息④因为小明休息后爬山的速度是3800−2800100−60前后爬山的平均速度，故本选项正确；故答案为：①②④．15．如图描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的关系，下列说法中正确的是________．(填序号)①第3分钟时，汽车的速度是40千米/时；②第12分钟时，汽车的速度是0千米/时；③从第3分钟到第6分钟，汽车行驶了120千米；④从第9分钟到第12分钟，汽车的速度从60千米/时减小到0千米/时．【答案】①②④【解析】从图中可获取的信息是：①第3分时汽车的速度是40千米/时；②从第3分到第6分，汽车的速度是40千米/时；=2千米；③从第3分到第6分，汽车行驶了40×360④从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时．故错误的是③．故正确的有：①②④．16．心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足关系式y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y的值越大，表示接受能力越强．(1)若用10分钟提出概念，则学生的接受能力y的值是多少？(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．【答案】（1）59；（2）用8分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了；用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了．【解析】解：(1)当x＝10时，y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×102＋2.6×10＋43＝59.(2)当x＝8时，y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×82＋2.6×8＋43＝57.4<59，所以用8分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力减弱了．当x＝15时，y＝－0.1x2＋2.6x＋43＝－0.1×152＋2.6×15＋43＝59.5>59.所以用15分钟提出概念与用10分钟提出概念相比，学生的接受能力增强了．17．如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r(cm)变化时，圆柱的体积V(cm3)也随之变化．(1)在这个变化过程中，写出自变量，因变量；(2) 写出圆柱的体积V与底面半径r的关系式；(3)当圆柱的底面半径由2cm变化到8cm时，圆柱的体积由多少cm3变化到多少cm3.【答案】(1)半径r体积V；(2)V＝4πr2；(3) 圆柱的体积由16πcm3变化到256πcm3.【解析】解：(1)在这个变化过程中，自变量是r，因变量是V.(2)圆柱的体积V与底面半径r的关系式是V=4πr2.(3)当圆柱的底面半径由2变化到8时,圆柱的体积由16πcm3变化到256πcm3.故答案为：(1)r，V；(2)V=4πr2；(3)16π，256π.18．已知：函数y=√x+2，求x的取值范围，并在数轴上表示．【答案】x≥−2，数轴表示见解析.【解析】解：由函数y=√x+2，得x+2≥0，解得x≥−2，把x≥−2表示在数轴上，得19．一种树苗，栽种时高度约为80厘米，为研究它的生长情况，测得数据如下表：（1）此变化过程中_____是自变量，_____是因变量；（2）树苗高度h与栽种的年数n的关系式为_____；（3）栽种后_____后，树苗能长到280厘米．【答案】栽种以后的年数树苗的高度h=80+25n8年【解析】根据题意和表格中数据可知，(1)此变化过程中是自变量栽种以后的年数，树苗的高度是因变量；(2)树苗高度h与栽种的年数n的关系式为h=80+25n；(3)当h=280时，n=8，故栽种后8年后，树苗能长到280厘米。
【重点突围】2023学年九年级数学上册专题提优训练(人教版) 用二次函数解决实际问题(解析版)
用二次函数解决实际问题考点一 用二次函数解决增长率问题 考点二 用二次函数解决销售问题考点三 用二次函数解决拱桥问题 考点四 用二次函数解决喷水问题考点五 用二次函数解决投球问题 考点六 用二次函数解决图形问题考点七 用二次函数解决图形运动问题考点一 用二次函数解决增长率问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）某工厂实行技术改造 产量年均增长率为x 已知2020年产量为1万件 那么2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为___________．【答案】2(1)y x =+【解析】【分析】因为产量的平均增长率相同 所以2021的产量为()11+x ⨯ 2022年的产量为()()11+1+x x ⨯⨯ 由此即可知道2022年的产量y （万件）与x 间的关系式．【详解】解：∵2020年产量为1万件 且产量年均增长率为x ．∴2021年产量为()11+x ⨯；2022年的产量为()()()211+1+=1x x x ⨯⨯+． ∴2022年的产量y （万件）与x 间的关系式为2(1)y x =+．故答案为：2(1+)y x =【点睛】本题考查二次函数的实际问题 能够根据题意分步列出相关的代数式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江西萍乡·七年级期末）某厂有一种产品现在的年产量是2万件 计划今后两年增加产量 如果每年都比上一年的产量增加x 倍 那么两年后这种产品的产量y （万件）将随计划所定的x 的值而确定 那么y 与x 之间的关系式应表示为________．【答案】2242y x x =++或22(1)y x =+【解析】【分析】根据平均增长问题 可得答案．【详解】解：y 与x 之间的关系应表示为y ＝2（x +1）2．故答案为：y ＝2（x +1）2．【点睛】本题考查了函数关系式 利用增长问题获得函数解析式是解题关键 注意增加x 倍是原来的（x +1）倍． 2．（2022·全国·九年级专题练习）为积极响应国家“旧房改造”工程 该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设 改善民生 优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户 求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造 如果计划改造300户 计划投入改造费用平均20000元/户 且计划改造的户数每增加1户 投入改造费平均减少50元/户 求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【解析】【分析】（1）设平均增长率为x 根据题意列式求解即可；（2）设多改造y 户 最高投入费用为w 元 根据题意列式()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+ 然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x 则x >0由题意得：()231+ 4.32x =解得：x =0.2或x =-2.2（舍）答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a 户 最高投入费用为w 元由题意得：()()()230020000505050612500w a a a =+⨯-=--+∵a =-50 抛物线开口向下∴当a -50=0 即a =50时 w 最大 此时w =612500元答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用 解题的关键是正确读懂题意列出式子 然后根据二次函数的性质进行求解．考点二 用二次函数解决销售问题例题：（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）一商店销售某种商品 平均每天可售出20件 每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利 该店采取了降价措施 在每件盈利不少于25元的前提下 经过一段时间销售 发现销售单价每降低1元 平均每天可多售出2件．(1)若降价3元 则平均每天销售数量为件：(2)当每件商品降价多少元时 该商店每天销售利润最大？【答案】(1)26(2)当每件商品降价15元时 该商店每天销售利润最大．【解析】【分析】（1）由题意可直接进行求解；（2）设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意可列出函数关系式 进而问题可求解．(1)解：由题意得：平均每天销售数量为202326+⨯=（件）；故答案为26；(2)解：设每件商品降价x 元 每天销售利润为w 元 由题意得：()()()22402022608002151250w x x x x x =-+=-++=--+∵每件盈利不少于25元∴4025x -≥ 解得：15x ≤∵-2＜0 对称轴为直线15x =∴当15x 时w有最大值答：当每件商品降价15元时该商店每天销售利润最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．【变式训练】1．（2021·广东·陆丰市甲东镇钟山中学九年级期中）某商场要经营一种新上市的文具进价为20元/件试营销阶段发现：当销售单价是25元/件时每天的销售量为250件销售单价每上涨1元每天的销售量就减少10件．求销售单价为多少元时该文具每天的销售利润最大；最大利润为多少元？【答案】x＝35时w最大值2250元【解析】【分析】设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）利用每件利润×销量＝总利润进而得出w与x的函数关系式；再利用配方法求出二次函数最值进而得出答案．【详解】解：设每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）由题意可得：w＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝﹣10（x﹣20）（x﹣50）＝﹣10x2+700x﹣10000；∵w＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250∴当x＝35时w取到最大值2250即销售单价为35元时每天销售利润最大最大利润为2250元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用根据销量与售价之间的关系得出函数关系式是解题关键．2．（2022·山东德州·九年级期末）某商厦灯具部投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500 在销售过程中销售单价不低于成本价而每件的利润不高于成本价的60%．(1)设每月获得利润为w（元）求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．(2)如果想要每月获得的利润为2000元那么每月的单价定为多少元？(3)当销售单价定为多少元时 每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？【答案】(1)w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）(2)如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元(3)当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元【解析】【分析】（1）由题意得 每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数 利润=（定价-进价）×销售量 从而列出关系式；（2）把2000元代入上述二次函数关系式 根据函数性质 确定单价；（3）首先确定二次函数的对称轴 然后根据其增减性确定最大利润即可．(1)解：由题意得：w =（x -20）•y=（x -20）•（-10x +500）=-10x 2+700x -10000即w =-10x 2+700x -10000（20≤x ≤32）；(2)由题意可知：-10x 2+700x -10000=2000解这个方程得：x 1=30 x 2=40．由（1）得 20≤x ≤32∴如果张明想要每月获得的利润为2000元 张明每月的单价定为30元；(3)对于函数w =-10x 2+700x -10000的图象的对称轴是直线x =()700210-⨯-=35．又∵a =-10＜0 抛物线开口向下．∴当20≤x ≤32时 w 随着x 的增大而增大∴当x =32时 w =2160答：当销售单价定为32元时 每月可获得最大利润 最大利润是2160元．【点睛】此题考查了二次函数的应用 还考查抛物线的性质 另外将实际问题转化为求函数最值问题 从而来解决实际问题．考点三 用二次函数解决拱桥问题例题：（2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥 当拱顶离水面2米时 水面宽6米 水面下降________米 水面宽8米．【答案】149##519【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系 通过代入A 点坐标（-3 0） 求出二次函数解析式 再根据把x =4代入抛物线解析式得出下降高度 即可得出答案．【详解】解：建立平面直角坐标系 设横轴x 通过AB 纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点 则通过画图可得知O 为原点 由题意可得：AO =OB =3米 C 坐标为（0 2）通过以上条件可设顶点式y =ax 2+2 把点A 点坐标（-3 0）代入得∴920a +=∴29a =- ∴抛物线解析式为：2229y x =-+； 当水面下降 水面宽为8米时 有把4x =代入解析式 得2221442162999y =-⨯+=-⨯+=-； ∴水面下降149米； 故答案为：149； 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用 根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·山东德州·九年级期末）如图是抛物线型拱桥 当拱顶高距离水面2m 时 水面宽4m 如果水面上升1.5m 则水面宽度为________．【答案】2m【解析】【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系 设出抛物线的解析式 从而可以求得水面的宽度增加了多少 本题得以解决．【详解】解：如图建立平面直角坐标系设抛物线的解析式为y =ax 2由已知可得 点（2 -2）在此抛物线上则-2=a ×22 解得12a =-∴212y x =- 当y =-0.5时 210.52x解得x =±1 此时水面的宽度为2m故答案为：2m ．【点睛】本题考查二次函数的应用 解题的关键是明确题意 找出所求问题需要的条件 建立合适的平面直角坐标系．2．（2022·甘肃定西·模拟预测）有一个抛物线的拱形桥洞 桥洞离水面的最大高度为4m 跨度为10m 如图所示 把它的图形放在直角坐标系中．(1)求这条抛物线所对应的函数关系式；(2)如图 在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是多少？【答案】(1)()245425y x =--+ (2)在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m 【解析】【分析】（1）根据题意设抛物线解析式为顶点式 然后根据抛物线过点()0,0 代入即可求解；（2）根据对称轴为：5x = 得出对称轴右边1m 处为：6x = 代入即可求解．(1)解：由题意可得：抛物线顶点坐标为()5,4设抛物线解析式为：()254y a x =-+∵抛物线过点()0,0∴()20054a =-+ 解得：425a =- ∴这条抛物线所对应的函数关系式为：()245425y x =--+． (2)解：对称轴为：5x = 则对称轴右边1m 处为：6x =将6x =代入()245425y x =--+ 可得：()2465425y =--+ 解得：9625y = 答：在对称轴右边1m 处 桥洞离水面的高是9625m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用 解答此题的关键是明确题意 求出抛物线的解析式．考点四 用二次函数解决喷水问题例题：（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观 喷出的水柱呈抛物线形状 她对此展开研究：测得喷水头P 距地面0.7m 水柱在距喷水头P 水平距离5m 处达到最高 最高点距地面3.2m ；建立如图所示的平面直角坐标系 并设抛物线的表达式为()2y a x h k =-+ 其中x （m ）是水柱距喷水头的水平距离 y （m ）是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式．(2)爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m 身高1.6m 的小红在水柱下方走动 当她的头顶恰好接触到水柱时 求她与爸爸的水平距离．【答案】(1)()20.15 3.2y x =--+(2)2或6m【解析】【分析】（1）根据顶点()5,3.2 设抛物线的表达式为()25 3.2y a x =-+ 将点()0,0.7P 代入即可求解； （2）将 1.6y =代入（1）的解析式 求得x 的值 进而求与点()3,0的距离即可求解．(1)解：根据题意可知抛物线的顶点为()5,3.2设抛物线的解析式为()25 3.2y a x =-+将点()0,0.7代入 得0.725 3.2a =+解得0.1a =-∴抛物线的解析式为()20.15 3.2y x =--+ (2)由()20.15 3.2y x =--+ 令 1.6y =得()21.60.15 3.2x =--+解得121,9x x ==爸爸站在水柱正下方 且距喷水头P 水平距离3m∴当她的头顶恰好接触到水柱时 她与爸爸的水平距离为312-=(m ) 或936-=(m )． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用 掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·四川南充·中考真题）如图 水池中心点O 处竖直安装一水管 水管喷头喷出抛物线形水柱 喷头上下移动时 抛物线形水柱随之竖直上下平移 水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现 喷头高2.5m 时 水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时 水柱落点距O 点3m ．那么喷头高_______________m 时 水柱落点距O 点4m ．【答案】8【解析】【分析】由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化 则当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5 将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0；喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4 将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0 联立可求出a 和b 的值 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m 则此时的解析式为y =ax 2+bx +h 将（4 0）代入可求出h ．【详解】解：由题意可知 在调整喷头高度的过程中 水柱的形状不发生变化当喷头高2.5m 时 可设y =ax 2+bx +2.5将（2.5 0）代入解析式得出2.5a +b +1=0①喷头高4m 时 可设y =ax 2+bx +4将（3 0）代入解析式得9a +3b +4=0② 联立可求出23a =- 23b = 设喷头高为h 时 水柱落点距O 点4m∴此时的解析式为22233y x x h =-++ 将（4 0）代入可得22244033h -⨯+⨯+= 解得h =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用 重点是二次函数解析式的求法 直接利用二次函数的平移性质是解题关键．2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1 灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2 可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG其水平宽度3mDE=竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m高出喷水口0.5m灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．(1)若 1.5h=0.5mEF=；①求上边缘抛物线的函数解析式并求喷出水的最大射程OC；②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带求d的取值范围；(2)若1mEF=．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带请直接写出h的最小值．【答案】(1)①6m；②(2,0)；③2231d≤≤(2)65 32【解析】【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带则上边缘抛物线至少要经过F点下边缘抛物线OB d≤计算即可；（2）当喷水口高度最低且恰好能浇灌到整个绿化带时点D F恰好分别在两条抛物线上设出D、F 坐标计算即可．(1)（1）①如图1 由题意得(2,2)A 是上边缘抛物线的顶点设2(2)2y a x =-+．又∵抛物线经过点(0,1)5.∴1.542a =+∴18a =-． ∴上边缘抛物线的函数解析式为21(2)28y x =--+． 当0y =时 21(2)208x --+= ∴16x = 22x =-（舍去）．∴喷出水的最大射程OC 为6m ．图1②∵对称轴为直线2x =∴点(0,1)5.的对称点的坐标为(4,1.5)． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的即点B 是由点C 向左平移4m 得到 则点B 的坐标为(2,0)．③如图2 先看上边缘抛物线∵0.5EF =∴点F 的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F 时21(2)20.58x --+=． 解得223x =±∵0x >∴223x =+当0x >时 y 随着x 的增大而减小∴当26x ≤≤时 要使0.5y ≥则223x ≤+∵当02x ≤<时 y 随x 的增大而增大 且0x =时 1.50.5y =>∴当06x ≤≤时 要使0.5y ≥ 则023x ≤≤+∵3DE = 灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带∴d 的最大值为(23)331+-=．再看下边缘抛物线 喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB d ≤∴d 的最小值为2．综上所述 d 的取值范围是231d ≤≤．(2)h 的最小值为6532． 由题意得(2,0.5)A h +是上边缘抛物线的顶点∴设上边缘抛物线解析式为2(2)0.5y a x h =-++．∵上边缘抛物线过出水口（0 h ）∴40.5y a h h =++= 解得18a =- ∴上边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =--++ ∵对称轴为直线2x =∴点(0,)h 的对称点的坐标为(4,)h ．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m 得到的∴下边缘抛物线解析式为21(2)0.58y x h =-+++． 当喷水口高度最低 且恰好能浇灌到整个绿化带时 点D F 恰好分别在两条抛物线上∵DE =3∴设点(),0D m ()3,0E m + 213,(32)0.58F m m h ⎛⎫+-+-++ ⎪⎝⎭∵D 在下边缘抛物线上∴21(2)0.508m h -+++= ∵EF =1∴21(32)0.518m h -+-++= ∴21(32)0.58m h -+-++-21(2)0.518m h ⎡⎤-+++=⎢⎥⎣⎦解得 2.5m =代入21(2)0.508m h -+++= 得6532h =． 所以h 的最小值为6532． 【点睛】 本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题 构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．考点五 用二次函数解决投球问题例题：（2022·上海市张江集团中学八年级期末）如图 以地面为x 轴 一名男生推铅球 铅球行进高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是___米．【答案】10【解析】【分析】成绩就是当高度y =0时x 的值 所以解方程即可求解本题． 【详解】 解：当y =0时 212501233x x -++= 解得：x 1=10 x 2=-2（不合题意 舍去）所以推铅球的距离是10米；故答案为：10．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 把函数问题转化为方程问题来解 渗透了函数与方程相结合的解题思想．【变式训练】 1．（2022·重庆实验外国语学校八年级期末）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形．若实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 其中y 是实心球飞行的高度 x 是实心球飞行的水平距离．已知该同学出手点A 的坐标为16(0,)9则实心球飞行的水平距离OB 的长度为（ ）A ．7mB ．7.5mC ．8mD ．8.5m【答案】C【解析】【分析】 根据题意待定系数法求解析式 再令0y = 即可求解．【详解】解：∵实心球运动的抛物线的解析式为21(3)9y x k =--+ 点A 的坐标为16(0,)9 ∴2161399k =-⨯+ 解得259k =∴2125(3)99y x =--+令0y = 2125(3)099x --+= 即()2325x -=解得12x =-（舍去）2,8x =故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的应用 待定系数法求解析式 求二次函数与坐标轴的交点 掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2022·贵州安顺·九年级阶段练习）如图是小明站在点O 处长抛篮球的路线示意图 球在点A 处离手 且1m OA =．第一次在点D 处落地 然后弹起在点E 处落地 篮球在距O 点6m 的点B 处正上方达到最高点 最高点C 距地面的高度4m BC = 点E 到篮球框正下方的距离2m EF = 篮球框的垂直高度为3m ．据试验 两次划出的抛物线形状相同 但第二次的最大高度为第一次的12 以小明站立处点O 为原点 建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求抛物线ACD 的函数解析式；(2)求篮球第二次的落地点E 到点O 的距离．（结果保留整数）(3)若小明想一次投中篮球框 他应该向前走多少米？（结果精确到0.1m ）（参考数据：36 2.45≈）【答案】(1)()()2164043612y x x =--+≤≤ (2)篮球第二次的落地点E 到点O 的距离为23m ；(3)小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【解析】【分析】（1）设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠ 将()()0164A C ，、，代入即可求解； （2）将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得12626626x x =+=-，（3）令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-， 由()43468m OF OE EF =+=即可求解．(1)解：由题意知 ()()0164A C ，、， 设抛物线ACD 的函数解析式为()()20y a x k h a =-+≠； 将()()0164A C ，、，代入表达式得 ()21064a =-+ 解得：112a =-； ∴()216412y x =--+； 令0y =得 ()4360D ，∴抛物线ACD 的函数解析式为()()2164043612y x x =--+≤≤； (2)由题意 将()216412y x =--+向下平移两个单位得 ()216212y x =--+ 令0y =得 ()2106212x =--+ 解得：12626626x x =+=-，∴(4366264326--= ∴432662643466+= ∴()434660E ，∴()4346623m OE =≈(3)令3y =得 ()2136412x =--+ 解得：12623623x x =+=-，()43468m OF OE EF =+=(()434686234623215.3m -+=≈∴小明想一次投中篮球框 他应该向前走15.3m ．【点睛】本题主要考查二次函数的图形及性质正确解读题意并结合二次函数图像及性质进行解答是解题的关键．考点六用二次函数解决图形问题例题：（2021·江苏镇江·九年级期中）如图利用一面墙（墙长26米）用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD且中间共留两个1米的小门设栅栏BC长为x米．(1)AB＝米（用含x的代数式表示）；(2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米求栅栏BC的长；(3)能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD吗？如果能请求出最大面积；如果不能请说明理由．【答案】(1)（51﹣3x）(2)10米(3)能最大面积为867 4【解析】【分析】（1）设栅栏BC长为x米根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门即可用含x的代数式表示出AB 的长；（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米即可得出关于x的一元二次方程解之取其较大值即可得出结论；（3）根据矩形围栏ABCD面积为S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,利用二次函数最值即可求解．(1)解：设栅栏BC长为x米∵栅栏的全长为49米且中间共留两个1米的小门∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米）故答案为：（51﹣3x）；(2)解：依题意得：（51﹣3x）x＝210整理得：x2﹣17x+70＝0解得：x1＝7 x2＝10．当x＝7时AB＝51﹣3x＝30＞26 不合题意舍去当x＝10时AB＝51﹣3x＝21 符合题意答：栅栏BC的长为10米；(3)解：能S=(51-3x)x＝-3(x-172)2+8674,∵-3<0∴当x=172时S有最大值最大值为8674即最大面积为8674∵8674>210∴能围成比210平方米更大的矩形围栏ABCD．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用列代数式以及根的判别式解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系正确列出一元二次方程；（3）正确列出面积与BC的二次函数关系．【变式训练】1．（2021·宁夏·吴忠市利通区扁担沟中心学校九年级期中）如图利用一面墙（墙长10米）用20米的篱笆国成一个矩形场地．设垂直于墙的一边为x米．矩形场地的面积为s平方米．(1)求s与x的函数关系式并求出x的取值范围；(2)若矩形场地的面枳最大应该如何设计长与宽．【答案】(1)2220(510)s x x x=-+<．(2)当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【解析】【分析】（1）由AD x = 可得出202AB x =- 由墙长10米 可得出关于x 的一元一次不等式组 解之即可得出x 的取值范围 再利用矩形的面积公式即可得出s 关于x 的函数关系式；（2）根据（1）可利用二次函数的性质可进行求解． (1)解：AD BC x ==202AB x ∴=-．又墙长10米∴20210220x x -⎧⎨<⎩ 510x ∴<．2(202)220(510)s x x x x x ∴=-=-+<．(2)解：由（1）可知：()222202550s x x x =-+=--+∴当5x =时 矩形的场地面积最大 最大值为50；答：当矩形场地长为10米 宽为5米时 矩形的面积最大．【点睛】本题主要考查二次函数的应用 熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2．（2022·山东烟台·九年级期中）某城门的截面由一段抛物线和一个正方形（OMNE 为正方形）的三条边围成 已知城门宽度为4米 最高处距地面6米．如图1所示 现以O 点为原点 OM 所在的直线为x 轴 OE 所在的直线为y 轴建立直角坐标系．(1)求上半部分抛物线的函数表达式 并写出其自变量的取值范围；(2)有一辆宽3米 高4.5米的消防车需要通过该城门 请问该消防车能否正常进入？(3)为营造节日气氛 需要临时搭建一个矩形“装饰门”ABCD 该“装饰门”关于抛物线对称轴对称 如图2所示 其中AB AD CD 为三根承重钢支架 A 、D 在抛物线上 B C 在地面上 已知钢支架每米70元 问搭建这样一个矩形“装饰门” 仅钢支架一项 最多需要花费多少元？【答案】(1)2124(04)2y x x x =-++ (2)能正常进入 理由见解析(3)910元【解析】【分析】（1）根据所建坐标系知顶点和与y 轴交点E 的坐标 可设解析式为顶点式 进行求解 由城门宽度为4米知x 的取值范围是0≤x ≤4；（2）根据对称性当车宽3米时 x ＝12 求此时对应的纵坐标的值 与车高4.5米进行比较得出结论； （3）求三段和的最大值须先列式表示三段的和 再运用性质求最大值 可设点B 的坐标 表示三段的长度从而得出表达式．(1)解：由题意知 抛物线的顶点(2,6)∴设抛物线的表达式为2(2)6y a x =-+ 抛物线过点(0,4)E446a ∴=+12a ∴=- ∴抛物线的表达式为21(2)62y x =--+ 即2124(04)2y x x x =-++； (2)解：由题意知 当消防车走最中间时 进入的可能性最大 即当12x =时 211124 4.875 4.5222y ⎛⎫=-⨯+⨯+=> ⎪⎝⎭∴消防车能正常进入；(3)解：设B 点的横坐标为m AB AD CD ++的长度为l由题意知42BC m =-即42AD m =- 21242CD AB m m ==-++221224(42)2122l m m m m m ⎛⎫∴=⨯-+++-=-++ ⎪⎝⎭当212(1)m =-=⨯-时 l 最大 l 最大21211213=-+⨯+= ∴费用为1370910⨯=（元）答：仅钢支架一项 最多需要花费910元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．正确地求得函数解析式是解题的关键．考点七 用二次函数解决图形运动问题例题：（2022·全国·九年级课时练习）如图1 在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 已知点P 在直角边AB 上 以1cm/s 的速度从点A 向点B 运动 点Q 在直角边BC 上 以2cm/s 的速度从点B 向点C 运动．若点P Q 同时出发 当点P 到达点B 时 点Q 恰好到达点C 处．图2是BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系图像（点M 为图像的最高点） 根据相关信息 计算线段AC 的长为（ ）A ．35cmB ．45cmC ．55cmD ．65cm【答案】B【解析】【分析】根据题意 得出()cm PB a t =- 2cm BQ t = 在Rt PBQ ∆中 根据面积公式得到BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系2y t at =-+ 利用顶点式2224a a y t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭得出当2a t =时 y 有最大值为244a = 从而求出P Q 、运动时间是4t s = 求出4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理即可得出结论． 【详解】解：设运动时间()s t cm AB a = 则cm AP t = 2cm BQ t =∴在Rt PBQ ∆中 90ABC ∠=︒ ()cm PB a t =- 2cm BQ t = 则()2221122224a a y PB BQ t a t t at t ⎛⎫=⋅=⨯-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∴当2a t =时 y 有最大值为244a = 解得4a = 即2t =根据BPQ 的面积()2cm y 与点P 的运动时间()s t 之间的函数关系可知抛物线与x 轴交于()0,0和()4,0两点 即P Q 、运动时间是4t s =4cm,8cm AB BC ∴==在Rt ABC △中 90ABC ∠=︒ 4cm,8cm AB BC == 根据勾股定理可得22224845cm AC AB BC +=+故选：B ．【点睛】本题考查了几何图形中动点形成的图形面积的函数问题 涉及到三角形面积公式的运用、勾股定理、二次函数的图像与性质等知识点 看懂题意 将几何图形中点的运动情况与函数图像对应起来得到方程是解决问题的关键．【变式训练】1．（2022·宁夏·银川唐徕回民中学二模）如图 在矩形ABCD 中 BC ＞CD BC 、CD 分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根 连接BD 并过点C 作CN ⊥BD 垂足为N 点P 从B 出发 以每秒1个单位的速度沿BD 方向匀速运动到D 为止；点M 沿线段DA 以每秒1个单位的速度由点D 向点A 匀速运动 到点A 为止 点P 与点M 同时出发 设运动时间为t 秒（t ＞0）．(1)求线段CN 的长；(2)在整个运动过程中 当t 为何值时△PMN 的面积取得最大值 最大值是多少？【答案】(1)125(2)当4t =时 2425S =最大 【解析】【分析】（1）首先解一元二次方程得到BC =4 CD =2 然后利用等积法求出CN ；（2）分0＜t ≤165 和165＜t ≤4两种情况列出函数解析式 利用二次函数的性质求出最大值． (1)解：27120x x -+=解得13x = 24x =∵BC CD >∴4BC = 3CD =∵四边形ABCD 是矩形 4BC = 3CD =∴5BD =∴113422BD CN ⋅=⨯⨯ ∴125CN =； (2) 由题可知 165BN =①当1605t <≤时 过点M 作MH ⊥BD 垂足为H设△PMN 的面积为S 则221116331638962255105105125S PN MH t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵816055<≤ ∴当85t =时96125S =最大 ②当1645t ≤＜时 111632255S PN MH t t ⎛⎫=⋅=-⋅ ⎪⎝⎭ 此时 S 随t 的增大而增大∴当4t =时 2425S =最大 综合①②知 当t =4时 △PMN 的面积取得最大值 最大值是2425 ． 【点睛】本题考查利用二次函数解决面积最大问题 解决问题的关键是根据t 值分情况列出函数解析式． 2．（2021·北京·九年级期中）如图 Rt ABC ∆中 90C ∠=︒ 6AC = 8BC =．动点P Q 分别从A C 两点同时出发 点P 沿边AC 向C 以每秒3个单位长度的速度运动 点Q 沿边BC 向B 以每秒4个单位长度的速度运动 当P Q 到达终点C B 时 运动停止．设运动时间为()t s ．(1)①当运动停止时 t 的值为 ．②设P C 之间的距离为y 则y 与t 满足 （选填“正比例函数关系” “一次函数关系” “二次函数关系” )．(2)设PCQ ∆的面积为S。
中考数学复习：专题3-4 一次函数考点分析及典型试题
一次函数考点分析及典型试题【专题综述】一次函数的图象和性质正比例函数的图象和性质【方法解读】1．一次函数的意义及其图象和性质⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k≠0）的形式，则称y是x 的一次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b 的图象是经过点()(0,,0)bkb -，的一条直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．⑶．一次函数的性质：y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大；当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．⑷．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 在的关系． ①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；2．一次函数表达式的求法⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。
⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序 函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。
⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用 待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x 与y 的值，确定一次函数表达式，需要两对x 与y 的值。
类型1：正比例函数和一次函数的概念【例1】若函数(1)my m x =-是正比例函数，则该函数的图象经过第 象限．类型2：一次函数的图像【例2】（2017上海市）如果一次函数y =kx +b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）类型3：正比例函数和一次函数解析式的确定基础知识归纳：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k ．确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b ．解这类问题的一般方法是待定系数法．基本方法归纳：求正比例函数解析式只需一个点的坐标，而求一次函数解析式需要两个点的坐标． 注意问题归纳：数形结合思想，将线段长度，图形面积与点的坐标联系起来是关键，同时注意坐标与线段间的转化时符号的处理．【例3】（2017天津）用A 4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．设在同一家复印店一次复印文件的页数为x （x 为非负整数）． （1）根据题意，填写下表：一次复印页数（页） 5 10 20 30 … 甲复印店收费（元） 0.52… 乙复印店收费（元）0.62.4…（2）设在甲复印店复印收费y 1元，在乙复印店复印收费y 2元，分别写出y 1，y 2关于x 的函数关系式； （3）当x ＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．类型4：一次函数图象与坐标轴围成的三角形的面积基础知识归纳：直线y =kx +b 与x 轴的交点坐标为（bk-，0），与y 轴的交点坐标为（0，b ）；直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S△=12｜bk｜·｜b｜=22||bk．基本方法归纳：直线与两坐标轴交点是关键．注意问题归纳：对于k不明确时要分情况讨论，否则容易漏解．【例4】（2017怀化）一次函数y=﹣2x+m的图象经过点P（﹣2，3），且与x轴、y轴分别交于点A、B，则△AOB的面积是（）A．12B．14C．4D．8【例5】（2017浙江省台州市）如图，直线l1：y=2x+1与直线l2：y=mx+4相交于点P（1，b）．（1）求b，m的值；（2）垂直于x轴的直线x=a与直线l1，l2分别交于点C，D，若线段CD长为2，求a的值．类型5：一次函数的应用基础知识归纳：主要涉及到经济决策、市场经济等方面的应用．利用一次函数并与方程（组）、不等式（组）联系在一起解决实际生活中的利率、利润、租金、生产方案的设计问题．基本方法归纳：利用函数知识解应用题的一般步骤：（1）设定实际问题中的变量；（2）建立变量与变量之间的函数关系，如：一次函数，二次函数或其他复合而成的函数式；（3）确定自变量的取值范围，保证自变量具有实际意义；（4）利用函数的性质解决问题；（5）写出答案．．注意问题归纳：读图时首先要弄清横纵坐标表示的实际意义，还要会将图象上点的坐标转化成表示实际意义的量；自变量取值范围要准确，要满足实际意义．【例6】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：篮球排球进价（元/个）8050售价（元/个）10570（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？【强化训练】1．（2017内蒙古呼和浩特市）一次函数y=kx+b满足kb＞0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2017内蒙古赤峰市）将一次函数y=2x﹣3的图象沿y轴向上平移8个单位长度，所得直线的解析式为（）A．y=2x﹣5B．y=2x+5C．y=2x+8D．y=2x﹣83. （2017枣庄）如图，直线243y x=+与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，PC+PD值最小时点P的坐标为（）A．（﹣3，0）B．（﹣6，0）C．（32-，0）D．（52-，0）4.（2017山东省菏泽市）如图，函数y1=﹣2x与y2=ax+3的图象相交于点A（m，2），则关于x的不等式﹣2x＞ax+3的解集是（）A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣1D．x＜﹣15.（2017山东省泰安市）已知一次函数y=kx﹣m﹣2x的图象与y轴的负半轴相交，且函数值y随自变量x 的增大而减小，则下列结论正确的是（）A．k＜2，m＞0B．k＜2，m＜0C．k＞2，m＞0D．k＜0，m＜0 6. （2017四川省南充市）小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为km．7. （2017吉林省长春市）甲、乙两车间同时开始加工一批服装．从幵始加工到加工完这批服装甲车间工作了9小时，乙车间在中途停工一段时间维修设备，然后按停工前的工作效率继续加工，直到与甲车间同时完成这批服装的加工任务为止．设甲、乙两车间各自加工服装的数量为y（件）．甲车间加工的时间为x（时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）甲车间每小时加工服装件数为件；这批服装的总件数为件．（2）求乙车间维修设备后，乙车间加工服装数量y与x之间的函数关系式；（3）求甲、乙两车间共同加工完1000件服装时甲车间所用的时间．8. （2017宁夏）某商店分两次购进A．B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）A B购进所需费用（元）第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．9. （2017黑龙江省龙东地区）为了推动“龙江经济带”建设，我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展．2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒1.5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元．（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式．（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？（3）在（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的18在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？10. （2017四川省广安市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y=x+1上，点C1、C2、C3…在x轴上，则A n的坐标是．。
专题 用表格、关系式表示的变量间关系(知识点串讲)(学生版)
专题08用表格、关系式表示的变量间关系重难突破知识点一用表格表示的变量间关系1、常量与变量在某个变化过程中，保持同一数值的量叫常量，可以取不同数值的量叫变量．2、自变量与因变量一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量．注意：区别：自变量是先发生变化或主动发生变化的量；因变量是后发生变化或随着自变量的变化而变化的量；联系：两者都是某一变化过程中的变量；两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以相互转化．3、从表格中寻找变化规律（1）弄清表中所列的是哪两个量，即分清哪一个是自变量，哪一个是因变量；（2）结合现实情景理解两个变量之间的关系，是增加还是减少还是呈规律性的起伏变化．典例1（2021春•龙岗区校级期中）世纪花园居民小区收取电费的标准是0.6元/千瓦时，当用电量为x（单位：千瓦时）时，收取电费为y（单位：元）．在这个问题中，下列说法中正确的是()A．x是自变量，0.6元/千瓦时是因变量B．0.6元/千瓦时是自变量，y是因变量C．y是自变量，x是因变量D．x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常量（2020春•新都区期末）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度()y cm 与所挂的物体的质量()x kg 之间有下面的关系：/x kg 012345/y cm1010.51111.51212.5下列说法不正确的是()A ．x 与y 都是变量，且x 是自变量，y 是因变量B ．弹簧不挂重物时的长度为0cmC ．物体质量每增加1kg ，弹簧长度y 增加0.5cmD ．所挂物体质量为7kg 时，弹簧长度为13.5cm知识点二用关系式表示变量间关系1、用关系式表示两个变量间的关系表示自变量与因变量之间关系的数学式子叫作关系式．关系式是表示变量之间关系的另一种方法．注意:（1）关系式一般是用含自变量的代数式表示因变量的等式；（2）实际问题中，有的变量之间的关系不一定能用关系式表示出来；（3）有些问题中，自变量是有范围的，列关系式时要注明自变量的取值范围．2、利用关系式求值根据关系式求值实际上就是求代数式的值．注意：已知自变量的值利用关系式求因变量的值实质是求代数式的值，已知因变量的值利用关系式求自变量的值实质是解方程．典例1（2021春•青羊区校级期中）用m 元钱在网上书店恰好可购买100本书，但是每本书需另加邮寄费6角，购买n 本书共需带费用y 元，则可列出关系式()A ．(0.6)100m y n =+B ．(0.6100my n =-C ．100(0.6)y n m=+D ．100(0.6y n m=+（2019春•台安县期中）已知变量x ，y 满足下面的关系x⋯⋯3-2-1-123⋯⋯y⋯⋯1 1.533- 1.5-1-则x ，y 之间用关系式表示为()A ．3y x=B ．3x y =-C ．3y x=-D ．3x y =典例3（2020春•龙泉驿区期末）如图，用一段长为20米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的长方形菜园ABCD ，设AB 为x 米，则菜园的面积y （平方米）与x （米)的关系式为．（不要求写出自变量x 的取值范围）巩固训练一、单选题（共5小题）1．（2020春•邛崃市期中）在圆的面积公式2S R π=中，常量与变量分别是()A ．2是常量，S 、π、R 是变量B ．π是常量，S 、R 是变量C ．2是常量，R 是变量D ．2是常量，S 、R 是变量2．（2021春•龙泉驿区期中）已知声音在空气中的传播速度与空气的温度有关，在一定范围内，其关系如表所示，下列说法错误的是()温度/C ︒20-10-0102030传播速度/(/)m s 318324330336342348A ．自变量是传播速度，因变量是温度B ．温度越高，传播速度越快C ．当温度为10C ︒时，声音10s 可以传播3360mD ．温度每升高10C ︒，传播速度增加6/m s3．一个蓄水池有315m 的水，以每分钟30.5m 的速度向池中注水，蓄水池中的水量3()Q m 与注水时间t （分)间的函数表达式为()A ．0.5Q t=B ．15Q t =C ．150.5Q t=+D ．150.5Q t=-4．（2021春•福田区校级期中）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据，设鸭的质量为x 千克，烤制时间为t 分钟，估计当 5.5x =时，t 的值为()鸭的质量/千克0.51 1.52 2.53 3.54烤制时间/分406080100120140160180A ．140B ．200C ．240D ．2605．（2019秋•凤翔县期末）如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是()A ．21y n =+B ．12n y n +=+C ．2n y n =+D ．21n y n =++二、填空题（共5小题）6．（2019春•邛崃市期中）某公司销售部门发现，该公司的销售收入随销售量的变化而变化，其中是自变量，是因变量．7．（2021春•龙泉驿区期中）长方形的周长为10，其中一边为x ，另一边为y ，则y 与x 的关系式为．8．（2020春•双流区期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油4升，则油箱内余油量y （升)与行驶时间x （小时）的关系式为．9．（2020春•彭州市期末）1~6个月的婴儿生长发育得非常快，在1~6个月内，一个婴儿的体重y 与月龄x 之间的变化情况如下表：月龄/月123456体重/克470054006100680075008200在这个变化过程中，婴儿的体重y 与月龄x 之间的关系式是．10．（2021春•罗湖区期中）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h （厘米）与燃烧时间t （分)之间的关系如表：则蜡烛的高度h （厘米）与燃烧时间t （分)之间的关系式．/t 分0246810/h 厘米302928272625三、解答题（共3小题）11．（2021春•深圳期中）我市为了提倡节约，自来水收费实行阶梯水价，用水量x 吨，则需要交水费y 元，收费标准如表所示：月用水量x 吨不超过12吨部分超过12吨不超过18吨的部分超过18吨的部分收费标准（元/吨） 2.002.503.00（1）是自变量，是因变量；（2）若用水量达到15吨，则需要交水费元；（3）用户5月份交水费54元，则所用水为吨；（4）请求出：当18x >时，y 与x 的关系式．12．（2020秋•福田区校级月考）为了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验，并把试验的数据记录下来，制成如表：汽车行驶时间t （小时）0123⋯油箱剩余油量Q （升)100948882⋯（1）如表反映的两个变量中，自变量是，因变量是．（2）根据表可知，汽车行驶3小时时，该车油箱的剩余油量为升，汽车每小时耗油升．（3）请直接写出两个变量之间的关系式（用t 来表示)Q ．13．（2020春•锦江区校级期中）如图，AB a =，P 是线段AB 上一点，分别以AP ，BP 为边作正方形，AP x =，两个正方形的面积之和为S ．（1）写出S与x 之间的关系式；（2）当x 分别为12a 和13a 时，比较两个S 的大小；（3）S 存在最小值吗？如果存在，请写出S 的最小值，并说明理由；如果不存在，请说明理由．。
专题05 变量之间的关系压轴题五种模型(老师版)
专题05变量之间的关系压轴题五种模型【类型一表格表示变量之间的关系模型】例题：（2021·全国·八年级专题练习）根据心理学家研究发现，学生对一个新概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（分钟）之间有如表所示的关系：提出概念所用时间（x）257101213141720对概念的接受能力（y）47.853.556.35959.859.959.858.355（1）上表中反映的两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是多少分钟时，学生的接受能力最强？（3）学生对一个新概念的接受能力从什么时间开始逐渐减弱？【答案】（1）“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）13分钟；（3）从第13分钟以后开始逐渐减弱【解析】【分析】（1）根据表格中提供的数量的变化关系，得出答案；（2）根据表格中两个变量变化数据得出答案；（3）提供变化情况得出结论．【详解】解：（1）表格中反映的是：提出概念所用时间与对概念的接受能力这两个变量，其中“提出概念所用时间”是自变量，“对概念的接受能力”为因变量；（2）根据表格中的数据，提出概念所用时间是13分钟时，学生的接受能力最强达到59.9；（3）根据表格中的数据，学生对一个新概念的接受能力从第13分钟以后开始逐渐减弱．【点睛】本题考查用表格表示变量之间的关系，理解自变量、因变量的意义以及变化关系是解决问题的关键．【变式训练1】（2021·全国·七年级专题练习）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）．x（人）50010001500200025003000…y（元）﹣3000﹣2000﹣1000010002000…（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数x与每月利润y分别是变量和变量；（2）观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，每月利润；（2）2000人；（3）4000元【解析】【分析】（1）根据函数的定义即可求解；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，即可求解；（3）有表中的数据推理即可求解．【详解】解：（1）在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；故答案为：每月的乘车人数，每月利润；（2）根据表格可得：当每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损，故答案为：2000；（3）有表中的数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，当每月的乘车人数为2000人时，利润为0元，故每月乘车人数为4000人时，每月的利润是（4000-2000）÷500×1000=4000元．【点睛】本题考查了根据表格与函数知识，正确读懂表格，理解表格体现变化趋势是解题关键．【变式训练2】（2020·全国·八年级课时练习）一辆小汽车在告诉公路上从静止到起动10秒内的速度经测量如下表：时间（秒）012345678910速度（米/秒）0.31.32.8 1.97.611.014.118.424.228.9（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）如果用时间t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是什么？（3）当t 每增加1秒，v 的变化情况相同吗？在哪个时间段内，v 增加的最快？（4）若高速公路上小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，试估计大约还需几秒这辆小汽车的速度就将达到这个上限．【答案】（1）时间与速度；时间；速度；（2）0到3和4到10，v 随着t 的增大而增大，而3到4，v 随着t 的增大而减小；（3）不相同；第9秒时；（4）1秒．【解析】【分析】（1）根据表中的数据，即可得出两个变量以及自变量、因变量；（2）根据时间与速度之间的关系，即可求出v 的变化趋势；（3）根据表中的数据可得出V 的变化情况以及在哪1秒钟，V 的增加最大；（4）根据小汽车行驶速度的上限为120千米/小时，再根据时间与速度的关系式即可得出答案．【详解】解：（1）上表反映了时间与速度之间的关系，时间是自变量，速度是因变量；（2）如果用t 表示时间，v 表示速度，那么随着t 的变化，v 的变化趋势是0到3和4到10，v 随着t 的增大而增大，而3到4，v 随着t 的增大而减小；（3）当t 每增加1秒，v 的变化情况不相同，在第9秒时，v 的增加最大；（4）由题意得：120千米/小时=12010003600⨯（米/秒），由33.328.9 4.4-=，且28.924.2 4.7 4.4-=>，所以估计大约还需1秒．【点睛】本题主要考查函数的表示方法，常量与变量；关键是理解题意判断常量与变量，然后结合图表得到问题的答案即可．【变式训练3】（2019·广东深圳·七年级期末）某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润=收入费用-支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)；(1)在这个变化过程中，是自变量，是因变量；(填中文)(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到人以上时，该公交车才不会亏损；(3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为元？(4)若5月份想获得利润5000元，则请你估计5月份的乘客量需达人.【答案】(1)每月的乘车人数，每月利润；(2)2000；(3)3000；(4)4500.【解析】【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案；（2）直接利用表中数据分析得出答案；（3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案；（4）由（3）得出当利润为5000元时乘客人数，即可得出答案．【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数是自变量，每月利润是因变量；(2)∵观察表中数据可知，当每月乘客量达到2000人以上时，每月利润为0，∴每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损；(3)∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，∴当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元；(4)∵每月乘客量增加500人时，每月利润增加1000元，∴若5月份想获得利润5000元，5月份的乘客量需达4500人．【点睛】本题主要考查了常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键．【变式训练4】（2021·山西晋中·七年级期末）研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系：氮肥施用量/（千03467101135202259336404471克/公顷）土豆产量/（吨/15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75公顷）（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施肥氮肥呢？（3）根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由．（4）粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.【答案】（1）土豆的产量与氮肥的施用量，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；（2）32.29吨/公顷，15.18吨/公顷；（3）336千克/公顷；（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．【解析】【分析】（1）根据变量、自变量、因变量的定义，结合表格解答即可；（2）直接从表格中找出施用氮肥和不用氮肥时对应的土豆产量；（3）从表格中找出土豆的最高产量，此时施用氮肥量是最合适的；（4）根据表格中土豆产量的增长和减少数量来说明氮肥的施用量对土豆产量的影响．【详解】解：（1）上表反映了土豆的产量与氮肥的施用量的关系，氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量；（2）由表可知：当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是：32.29吨/公顷，如果不施氮肥，土豆的产量是：15.18吨/公顷；（3）当氮肥的施用量是336千克/公顷时，氮肥的施用量是比较适宜的，因为此时土豆产量最高，施肥太多或太少都会使土豆产量减产；（4）当氮肥的施用量低于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而增产，当氮肥的施用量高于336千克/公顷时，土豆产量随氮肥的施用量的增加而减产．【点睛】本题主要考查了函数的定义和结合实际土豆产量和施用氮肥量确定函数关系．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x ，y ，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则y 是x 的函数，x 叫自变量．【类型二关系式表示变量之间的关系模型】例题：（2021·山东·东营市垦利区教学研究室期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y (升），行驶路程为x （千米），则y 随x 的变化而变化．(1)在上述变化过程中，自变量是，因变量是．(2)用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量．请将表格补充完整：行驶路程x （千米）100200300400油箱内剩油量y （升）4024(3)试写出y 与x 的关系式是．(4)这辆汽车行驶350千米时，剩油量是多少？汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了多少千米?【答案】(1)行驶路程，油箱内剩油量(2)48，32(3)560.08y x =-(0700)x ≤≤(4)28升，600千米（1）因变量随自变量的变化而变化，根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，即可求解；（2）根据每行驶1千米，耗油0.08升，用油箱内原有油量减去耗油量，可以分别求出行驶100千米和300千米时的剩油量；（3）由已知条件，油箱内原有油量为56升，行驶x 千米耗油0.08x 升，根据“剩余油量＝原有油量－耗油量”即可求出函数关系式；（4）将350x =和8y =分别代入y 与x 的关系式即可求解．(1)根据题意，油箱内剩油量随行驶路程的变化而变化，故自变量是行驶路程，因变量是油箱内剩油量，故答案为：行驶路程，油箱内剩油量．(2)汽车从出发地行驶100千米时的剩油量为：560.0810056848-⨯=-=（升）；汽车从出发地行驶300千米时的剩油量为：560.0830*******-⨯=-=（升）；故答案为：48，32．(3)油箱内原有油量为56升，行驶x 千米耗油0.08x 升，560.08y x ∴=-，当0y =时解得700x =，∴x 的取值范围是0700x ≤≤，∴y 与x 的关系式是560.08y x ∴=-(0700)x ≤≤，故答案为：560.08y x =-(0700)x ≤≤．(4)当350x =千米时，560.0835*******y =-⨯=-=（升）；当8y =时，得8560.08x =-，解得600x =，故这辆汽车行驶350千米时，剩油量是28升；汽车油箱内剩油8升时，汽车行驶了600千米．【点睛】本题考查自变量与因变量的概念，求函数解析式等知识，学会用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系是解题的关键．【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）将长为40cm 、宽为15cm 的长方形白纸，按如图所示的方法黏合起来，黏合部分宽为5cm ．（1）根据图，将表格补充完整：白纸张数12345⋯纸条长度/cm40110145⋯（2）设x 张白纸黏合后的总长度为cm y ，则y 与x 之间的关系式是什么？（3）你认为白纸黏合起来总长度可能为2020cm 吗？为什么？【答案】（1）75，180；（2）355y x =+；（3）不可能，理由见解析（1）理解题意分别求得白纸张数为2和5时的长度即可；（2）根据题意，找到等量关系，列出式子即可；（3）将2020y =代入，求解x ，判断是否为正整数，即可求解．【详解】解：（1）由题意可得，白纸张数为2时，长度为4040575cm +-=当白纸张数为5时，长度为40545180cm ⨯-⨯=故答案为：75，180；（2）当白纸张数为x 张时，长度()4051355y x x x =--=+故答案为355y x =+()3不可能．理由：将2020y =代入355y x =+，得2020355x =+，解得57.6x ≈．因为x 为整数，所以总长度不可能为2020cm ．【点睛】本题主要考查了函数关系式的知识，解答本题的关键在于熟读题意发现题目中纸张长度的变化规律，并求出正确的函数关系式．【变式训练2】（2021·贵州毕节·七年级期末）威宁粮食二库需要把晾晒场上的120吨苞谷入库封存．受设备影响，每天只能入库15吨．入库所用的时间为x （单位：天），未入库苞谷数量为y （单位：吨）．（1）直接写出y 和x 间的关系式为：______．（2）二库职工经过钻研，改进了入库设备，现在每天能比原来多入库5吨．则①直接写出现在y 和x 间的关系式为：______．②求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少多少天？【答案】（1）y =120-15x ；（2）①y =120-20x ；②2【解析】【分析】（1）入库所用的时间为x ，未入库苞谷数量为y 的函数关系式为y =120-15x ；（2）①改进了入库设备，每天入库15+5=20吨；y 和x 间的关系式为：y =120-20x ；②120吨苞谷入库封存现在所需天数一原来所需天数，即可求得答案．【详解】解：（1）晾晒场上的120吨苞谷入库封存，每天只能入库15吨，入库所用的时间为x ，未入库苞谷数量为y 的函数关系式为y =120-15x ；故答案为：y ＝120-15x ；（2）①改进了入库设备，则每天入库20吨；y 和x 间的关系式为：y =120-20x ；故答案为：y =120-20x ；②12012021520-=答：求将120吨苞谷入库封存所需天数现在比原来少2天．【点睛】主要考查了函数的实际应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．【变式训练3】（2021·山东青岛·七年级期中）果实成熟从树上落到地面，它下落的高度与经过的时间有如下的关系：时间t /秒0.50.60.70.80.9…高度h /米4.90.25⨯ 4.90.36⨯ 4.90.49⨯ 4.90.64⨯ 4.90.81⨯…（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？（2）请你按照表中呈现的规律，列出果子下落的高度h （米）与时间t （秒）之间的关系式；（3）现有一颗果子经过2秒后离地面一米，请计算这颗果子开始下落时离地面的高度是多少米？【答案】（1）下落的角度h 与经过的时间t 之间的关系，自变量：经过的时间t ，因变量：下落的高度h ；（2）24.9h t =；（3）这颗果子开始下落时离地面高度为20.6m ．【解析】【分析】（1）根据自变量与因变量的定义即可求解；（2）根据表格中数据发现规律，即可得到果子落下的度h (米)与时间t (秒)之间的关系式；（3）根据一颗果子经过2秒后离地面一米计算即可求解．【详解】解：（1）下落的高度h 与经过的时间t 之间的关系自变量：经过的时间t 因变量：下落的高度h（2）根据表格中数据可得到果子落下的度h (米)与时间t (秒)之间的关系式为24.9h t =；（3）果子开始下落时离地面高度为24.92120.6⨯+=m 答：果子开始下落时离地面高度为20.6m .【点睛】本题考查了函数的图表示方法，考查了学生的探究能力，要求学生有较强的分析数据和描述数据的能力及从图象得出规律的能力．能够正确找到h 和t 的关系是解题的关键．【变式训练4】（2021·山东济南·七年级期末）某公空车每天的支出费用为600元，每天的乘车人数x （人）与每天利润（利润＝票款收入－支出费用）y （元）的变化关系，如下表所所示（每位委文的乘车票价固定不变）：x （人）…200250300350400…p （元）…－200－100100200…根据表格中的数据，回答下列问题：（1）观察表中数据可知，当乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损；（2）当一天乘客人数为500人时，利润是多少（3）请写出公交车每天利润y （元）与每天乘车人数x （人）的关系式．【答案】（1）300；（2）400；（3）y =2x -600【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，当y 大于0时，相应的x 的取值即可；（2）根据表格中的变量之间的变化关系，可得“每增加50人，利润将增加100元”，可求出答案；（3）“每增加50人，利润将增加100元”也就是“每增加1人，利润将增加2元”，根据乘坐人数可得利润即可．【详解】解：（1）当y =0时，x =300，当x ＞300时，y ＞0，故答案为：300；（2）200+100×（50040050-）=400（元），答：一天乘客人数为500人时，利润是400元；（3）由表格中的数据变化可知，当乘坐人数为300人时，利润为0元，每增加50人，利润就增加100元，每减少50人，利润就减少100元，所以利润y =0+30050x -×100=2x -600，即：y =2x -600，答：公交车每天利润y （元）与每天乘车人数x （人）的关系式为y =2x -600．【点睛】y 元”与“乘坐的人数x ”之间的变化关系是正确解答的关键．【变式训练5】（2021·江西吉安·七年级期末）如图，是若干个粗细均匀的铁环最大限度的拉伸组成的链条，已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米，设铁环间处于最大限度的拉伸状态．求：（1）2个、3个、4个铁环组成的链条长分别有多少．（2）设n 个铁环长为y 厘米，请用含n 的式子表示y ；（3）若要组成2.09米长的链条，需要多少个铁环？【答案】（1）2个铁环组成的链条长8.4cm ，3个铁环组成的链条长为11.8cm ，4个铁环组成的链条长15.2cm ；（2）3.4 1.6y n =+；（3）需要61个铁环【解析】【分析】(1)根据铁环粗0.8厘米,每个铁环长5厘米,进而得出2个、3个、4个铁环组成的链条长;(2)根据铁环与环长之间的关系进而得出y 与n 的关系式;(3)由(2)得，3.4n ＋1.6＝209，进而求出即可.【详解】解：(1)由题意可得：2520.810 1.68.4()cm ⨯-⨯=-=，3540.815 3.211.8()cm ⨯-⨯=-=，4560.820 4.815.2()cm ⨯-⨯=-=．故2个铁环组成的链条长8.4cm ，3个铁环组成的链条长为11.8cm ，4个铁环组成的链条长15.2cm ；(2)由题意得：n 个铁环一共有n －1个相接的地方，∴52(1)0.8y n n =--⨯，即 3.4 1.6y n =+；(3)∵2.09米=209cm ∴据题意有3.4 1.6209n +=，解得：61n =，答：需要61个铁环.【点睛】本题主要考查了用关系式表示的变量之间的关系，利用链条结构得出链条长的变化规律是解题的关键.【类型三动点问题与关系式间变量之间的关系模型】例题：（2021·全国·七年级专题练习）如图，长方形ABCD 的边长分别为AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，点P 、Q 从点A 出发，P 沿线段AB 运动，点Q 沿线段AD 运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP ＝AQ ＝xcm 在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y (cm 2)也随之变化．（1）写出y 与x 的关系式.（2）当AP 由2cm 变到8cm ，图中阴影部分的面积y 是如何变化的？请说明理由.【答案】（1）21962y x =-；（2）y 由294cm 变到264cm ，理由见详解.【解析】【分析】（1）表示出APQ 的面积，用长方形的面积减去APQ 的面积可得y 与x 的关系式；（2）当AP 由2cm 变到8cm ，由（1）中y 与x 的关系式计算出相应的y 的值，可知其变化.【详解】解：（1）21122APQ S AP AQ x =⋅=V ，长方形的面积为212896cm ⨯=，所以21962y x =-；（2）当AP 等于2cm 时，即2x =时，221962962942y cm =-⨯=-=，当AP 等于8cm 时，即8x =时，2219689632642y cm =-⨯=-=，所以当AP 由2cm 变到8cm ，图中阴影部分的面积y 由294cm 变到264cm .【点睛】本题考查了和动点有关的图形的面积，灵活的表示出阴影部分的面积是解题的关键.【变式训练1】（2021·黑龙江大庆·七年级期中）如图所示，在三角形ABC 中，已知16BC =，高10AD =，动点Q 由点C 沿CB 向点B 移动(不与点B 重合).设CQ 的长为x ，三角形ACQ 的面积为S ，则S 与x 之间的关系式为___________________．【答案】()5016S x x =<<【解析】【分析】根据三角形的面积公式可知1=2AQC S AD CQ ⋅△，由此求解即可．【详解】∵AD 是△ABC 中BC 边上的高，CQ 的长为x ，∴1==52AQC S AD CQ x ⋅△，∴()5016S x x =<<．故答案为：()5016S x x =<<．【点睛】本题主要考查了列关系式，解题的关键在于能够熟练掌握三角形面积公式．【变式训练2】（2021·全国·七年级期末）如图在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，5cm AB =，8cm AD =，14cm BC =，点P ，Q 同时从点B 出发，其中点P 以1cm/s 的速度沿着点B A D →→运动；点Q 以2cm/s 的速度沿着点B C →运动，当点Q 到达C 点后，立即原路返回，当点P 到达D 点时，另一个动点Q 也随之停止运动．（1）当运动时间4s t =时，则三角形BPQ 的面积为_____2cm ；（2）当运动时间6s t =时，则三角形BPQ 的面积为_____2cm ；（3）当运动时间为3(s)1t t ≤时，请用含t 的式子表示三角形BPQ的面积．【答案】（1）16；（2）30；（3）当运动时间为3(s)1t t ≤时，三角形BPQ 的面积()255(57)705(713)t t t t t t ⎧⎪=<⎨⎪-<⎩【解析】【分析】（1）根据AB 、BC 的值和点Q 的速度是2cm/s ，点P 的速度是1cm/s ，求出BP 、BQ 的值，再根据三角形面积公式计算即可；（2）求出BQ 的值，再根据三角形面积公式计算即可；（3）分三种情况讨论：根据三角形面积公式列出即可．【详解】解：（1）AB =5cm ，AD =8cm ，BC =14cm ，点Q 的速度是2cm /s ，点P 的速度是1cm /s ，当运动时间t =4s 时，QB =2t =2×4=8（cm ），BP =t =4（cm ），则三角形BPQ 的面积为：()2118416cm 22BQ BP ⋅=⨯⨯=，故答案为：16；（2）当运动时间6s t =时，∵AB =5cm ，点P 的速度是1cm /s ，∴点P 运动到了AD 上，()22612cm QB t ==⨯=，则三角形BPQ 的面积为：()21112530cm 22BQ AB ⨯⋅=⨯⨯=，故答案为：30；（3）当P 在AB 上时，此时5t ≤，则三角形BPQ 的面积为211222BQ BP t t t ⋅=⋅=；当P 在AD 上，且Q 沿着点B C →运动时，∵BC =14cm ，点Q 的速度是2cm /s ，此时1452t <≤，即57t <≤，则三角形BPQ 的面积为1125522BQ AB t t ⋅=⨯⨯=；当P 在AD 上，且Q 沿着点C B →运动时，∵AB =5cm ，AD =8cm ，点P 的速度是1cm /s ，此时1371t <≤，即713t <≤，则三角形BPQ 的面积为()()112142551470522BQ AB t t t ⋅=⨯⨯-⨯=-=-；综上，当运动时间为3(s)1t t ≤时，三角形BPQ 的面积()255(57)705(713)t t t t t t ⎧⎪=<⎨⎪-<⎩．【点睛】本题考查了列代数式，三角形的面积，数形结合、分类讨论是解题的关键．【变式训练3】（2019·全国·七年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，已知∠C =90°，边AC =4cm ，BC =5cm ，点P为CB边上一点，当动点P沿CB从点C向点B运动时，△APC的面积发生了变化．（1）在这个变化过程中，自变量和因变量各是什么？（2）如果设CP长为x cm，△APC的面积为y cm，则y与x的关系可表示为_____；（3）当点P从点D（D为BC的中点）运动到点B时，则△APC的面积从____cm2变到_____cm2．【答案】(1)自变量是CP的长，因变量是△APC的面积；(2)y=2x；(3)5,10【解析】【分析】（1）根据函数自变量和因变量的概念解答即可；（2）根据三角形的面积公式列出关系式；（3）计算出CD的长度，求出相应的面积，求差得到答案．【详解】（1）自变量是CP的长，因变量是△APC的面积；（2）y=12×4×x=2x所以y与x的关系可表示为y=2x；（3）当x=52时，y=5；当x=5时，y=10，所以△APC的面积从5cm2变到10cm2．【点睛】考查的是函数关系式、自变量和因变量、求函数值的知识，属于基础题，学生认真阅读题意即可作答．【类型四动点问题与图象间变量之间的关系模型】例题：（2021·全国·八年级单元测试）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B C D→→的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示PAD△的面积y关于x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分02x ≤≤、24x <≤两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【详解】解：当02x ≤≤时，如图，则1122222y AD AB =⋅=⨯⨯=，为常数；当24x <≤时，如下图，则112(22)422y AD PD x x =⨯=⨯⨯+-=-，为一次函数；故选：D ．【点睛】本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．【变式训练1】（2017·江西景德镇·七年级期末）如图，直线l 是菱形ABCD 和矩形EFGH 的对称轴，点C 在EF 边上，若菱形ABCD 沿直线l 从左向右匀速运动直至点C 落在GH 边上停止运动．能反映菱形进入矩形内部的周长y 与运动的时间x 之间关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【详解】周长y 与运动的时间x 之间成正比关系，故选B点睛：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图象获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题能力、解决问题能力.用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图.【变式训练2】（2021·全国·八年级专题练习）如图（a ）所示，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，ABP △的面积为y ，如果y 关于x 的关系如图（b ）所示，则m 的值是________．【答案】5【解析】【分析】先根据点（2，3）在图象上得出BC 的长，然后利用三角形的面积求出AB 的长，进而可得答案．【详解】解：由图象上的点(2,3)可知：2BC =，由三角形面积公式，得：132BC AB ⨯⨯=，解得：3AB =．3CD AB ∴==，5m BC CD =+=．故答案为：5．【点睛】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型，根据题意和图象得出BC 和AB 的长是解题关键．【变式训练3】（2021·全国·七年级专题练习）如图①所示，在△ABC 中，AD 是三角形的高，且AD ＝6cm ，E 是一个动点，由B 向C ②所示，已知BC ＝8cm .(1)求当E 点在运动过程中△ABE 的面积y 与运动时间x 之间的关系式；(2)当E 点停止后，求△ABE 的面积．【答案】（1）y =9x （0＜x ≤2）；（2）△ABE 的面积是18cm 2．【解析】【分析】根据三角形的面积公式，可得答案．【详解】（1）由图2可知E 点的速度为3，∴y=12×3x×AD=9x，即y=9x（0＜x≤2）；（2）当E点停止后，BE=6，∴x=2时，y=9×2=18．∴△ABE的面积是18cm2．【点睛】本题考查了函数关系式，三角形的面积公式是解题关键．【类型五用图象表示变量之间的关系模型】例题：（2021·四川成都·七年级期末）下列各情境，分别描述了两个变量之间的关系：（1）一杯越晾越凉的开水（水温与时间的关系）；（2）一面冉冉升起的旗子（高度与时间的关系）；（3）足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）；（4）匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）．依次用图象近似刻画以上变量之间的关系，排序正确的是（）A．③④①②B．②①③④C．①④②③D．③①④②【答案】A【解析】【分析】根据题干对应图像中变量的变化趋势即可求解．【详解】解：（1）一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低，故③图象符合要求；（2）一面冉冉上升的旗子，高度随着时间的增加而越来越高，故④图象符合要求；（3）足球守门员大脚开出去的球，高度与时间成二次函数关系，故①图象符合要求；（4）匀速行驶的汽车，速度始终不变，故②图象符合要求；正确的顺序是③④①②．故选：A．【点睛】本题考查用图像表示变量之间的关系，关键是将文字描述转化成函数图像的能力．【变式训练1】（2021·广东深圳·七年级期末）一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变量之间的关系专题训练
专题一、速度随时间的变化
1、 汽车速度与行驶时间之间的关系可以用图象来表示，下图中A 、B 、C 、D 四个图象，可以分别用一句话来描述：
（1）在某段时间里，速度先越来越快，接着越来越慢。
（ ） （2）在某段时间里，汽车速度始终保持不变。
（ ） （3）在某段时间里，汽车速度越来越快。
（ ） （4）在某段时间里，汽车速度越来越慢。
（ ）
2、描述一名跳水运动员从起跳到落水这一运动过程中，速度v 与时间t 之间关系的图象大致是（ ）
4、一辆轿车在公路上行驶，不时遇到各种情况，速度随之改变，先加速，再匀速又遇到情况而减速，过后再加速然后匀速，下公路、上小路，到达目的地．图6—43哪幅图象可近似描述上面情况( )
6、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家的距离s （米）与散步所用的时间t （分）之间的关系，依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发，到了一个公共阅读报栏，看了一会儿报，就回家了. B.从家出发，到了一个公共阅报栏，看了一会儿报，继续向前走了一段后，然后回家了.
C.从家里出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D.从家里出发，散了一会儿步，就找同学去了，18分钟后才开始返回.
时间
速度 A
o
速度
D
速度
时间
C
速度 时间
B
o
o
o O
O
V
ｔ
O
V
O
V
ｔ
V
ｔ
7、A、B两地相距500千米，一辆汽车以50千米/时的速度由A地驶向B地.汽车距B地的距离y(千米)与行驶时间t(之间)的关系式为 .在这个变化过程中，自变量是，因变量是 .
时间/时0 4 8 12 16 20 24
超警戒水位/米+0.2 +0.25 +0.35 +0.5 +0.7 +0.9 +1.0
⑴时间从0时变化到24时，超警戒水位从上升到;
⑵借助表格可知，时间从到水位上升最快
9、某机动车辆出发前油箱中有油42升，行驶若干小时后，在途中
加油站加油若干.油箱中余油量Q(升)与行驶时间t(时) 之间的关系
如图，请根据图像填空：
⑴机动车辆行驶了小时后加油.⑻中途加油升.
⑵加油后油箱中的油最多可行驶小时.
⑶如果加油站距目的地还有230公里，机动车每小时走40公里，油
箱中的油能否使机动车到达目的地？答：。
10、.声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温x（℃）之间的关系如下：
气温（x℃）0 5 10 15 20
音速y（米/秒）331 334 337 340 343
从表中可知音速y随温度x的升高而__________.在气温为
20 ℃的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，
听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点______米。
11、如图，表示一骑自行车者与一骑摩托车者沿相同路线由
甲地到乙地行驶过程的图象，两地间的距离是100千米，请
根据图象回答或解决下面的问题.
（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到达乙地早？早到多
长时间？
（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
（3）指出在什么时间段内两车均行驶在途中；在这段时间
内，①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；
③自行车行驶在摩托车后面？
12、小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况（如图6－32所示）.
（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个
是因变量？
（2）10时和13时，他分别离家多远？
（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
（4）11时到12时他行驶了多少千米？
（5）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？
专题二、温度与时间的关系
1、夏天,一杯热水越来越凉，图中可表示这杯水的水温T 与时间t 的函数关系的是（ ）
2、气温与海拔高度有关，一般情况下，每升高1 km,气温下降6℃.某山地面温度为28℃，请写出气温t (℃)与高度h (km)之间的关系式：________.
3、.下面是某人某一天正常体温的变化图(如图7).
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
37 5 36 35.8 35. A
B
图7
(1)大约什么时间其体温最高？最高体温是多少？ (2)大约什么时间其体温最低？最低体温是多少？
(3)在什么时间内其体温在降低？(4)在什么时间内其体温在升高？
(5)A 、B 两点分别表示什么？ (6)从大体上说说体温在24小时内的变化情况. 4、大山在一天中的体温变化情况如图 (1)大约在_______时，大山的体温最高，这时最高体温是_____.
(2)大约在_______时，大山的体温最底，最低体温是________.
(3)大山的体温在升高的时段是_________；(4)大山的体温在降低的时段是_________.
t
T
t
T 0
t
T 0
t
T
(A)
(B)
(C)
(D)
专题三、高度（深度）与时间的变化
1、如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h 和时间t 之间的关系？( )
A B
C D
2、如图：向放在水槽底部的烧杯注水（流量一定）注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度与注水时间之间的关系大致是下列图象中的（ ）
3、.弹簧的长度与所挂物体的质量的关系如图6－29所示，由图可知不挂重物时弹簧的长度为
4、.在弹性限度内，某弹簧伸长的总长度y (cm)与所挂重物质量x (g)之间的关系如下表.
重物质量x (g) 0 1 2 3 4 5 弹簧伸长的总长度y (cm)
8
8+0.2
8+0.4
8+0.6
8+0.8
8+1.0
(1)上表反映了________和________两个量之间的关系； (2)关于y 与x 之间的关系式是________.
专题四、数学与生活
t
h
A
t
h
B
t
h
C
t
h
D
1
1998
年12月26日的日照时间.
⑴右图描述是哪两个变量之间的关系？
其中自变量是什么？因变量是什么？
⑵哪天的日照时间最短？这一天的日照
时间约是多少？
⑶哪天的日照时间最长？这一天的日照
时间约是多少？ ⑷大约在什么时间段内，日照时间在增 加？在什么时间段内，日照时间在减少？ ⑸说一说该地一年中日照时间是怎样随 时间而变化的.
2、某人用新充值的50元IC 卡打长途电话，按通话时间3分钟内收2.4元，超过1分钟加收一元钱的方式缴纳话费.若通话时间为t 分钟（t 大于等于3分钟），那么电话费用w 可以表示为 ；当通话时间达到10分钟时，卡中所剩话费从50元减少到 元
3、一种豆子每千克售2元，豆子总的售价y (元)与所售豆子的质量x (kg)之间关系如下表.
(1)在这个表中反映哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当豆子卖出5 kg 时，总价是多少？
(3)如果用x 表示豆子卖出的质量，y 表示总价，按表中给出的关系,用一个式子把x 和y 之间的关系表示出来.
(4)当豆子卖出20 kg 时，总价是多少？
4、一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x(h)，两车之间的距离为 y(km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系，根据图像进行以下探究，信息读取 （1）、甲、乙两地之间的距离为 km
一年之中第几天
（2）、请解释图中B点的意义:
(3)、求慢车和快车的速度，
（4）、求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（5）、若第二列快车也冲甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同，在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇，求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？。