高中数学第一章集合12集合之间的关系与运算学习导航学案新人教B版1

1.2 集合之间的关系与运算自主整理1.集合之间的关系(1)如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作A⊆B或B⊇A;若集合P中存在元素不是集合Q的元素,那么P不包含于Q,或Q不包含P,记作P Q.(2)若集合A是集合B的子集,且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作A B.(3)Venn图(维恩图):在平面内用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合,用这种图形可以形象地表示集合之间的关系,如图1-2-1:图1-2-1(4)简单性质:①A⊆A,也就是说任何集合是它本身的子集.②空集是任意集合的子集,也就是说,对任意集合A,都有∅空集是任意非空集合的真子集.③若A⊆B,B⊆C,则A⊆C;若A B,B C,则A C.④集合相等:构成两个集合的元素完全一样.若A⊆B且B⊆A,则A=B;反之,若A=B,则A⊆B 且B⊆A.(5)集合关系与其特征性质之间的关系:一般地,设A={x|p(x)},B={x|q(x)}.如果A⊆B,则x∈A⇒x∈B;反之,如果p(x)⇒q(x),则A一定是B的子集.如果A=B,则p(x)⇔q(x);反之,如果p(x)⇔q(x),则A=B.2.交集与并集(1)一般地,对于给定的两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素构成的集合,叫做集合A、B的交集,记作A∩B,即交集A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)一般地,对于给定的两个集合A、B,由两个集合的所有元素构成的集合,称为集合A与B 的并集.记作A∪B,即并集A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)简单性质:①A∩A=A,A∩∅=∅,A∩B=B∩A;②A∪A=A,A∪∅=∅∪A=A,A∪B=B∪A;③A∩B⊆A∪B;④A⊆B⇔A∩B=A,A⊆B⇔A∪B=B.3.全集与补集(1)如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,通常记作U.(2)如果给定集合A是全集U的一个子集,由U中不属于A的所有元素构成的集合,叫做A在U中的补集,即若U是一个集合,A⊆U,则A={x|x∈U且x∉A},全集通常用矩形区域表示,如图1-2-2.图1-2-2(3)简单性质:①(A)=A;②A∩A=∅;③A∪A=U.高手笔记1.对于给定的问题,首先要做的是判断到底是元素与集合的关系还是集合与集合之间的关系,然后再应用相应的符号.“∈”与“⊆”这两个符号无论在意义上还是在书写上都很相近,要仔细识别和书写.判断集合与集合间的关系关键是要弄清集合中的元素是什么.2.注意子集符号的应用.A⊆B是指A B或A=B.若A B,可形象理解为B中元素至少比A中元素多一个.A=B可从A的元素与B的元素完全一样去理解.3.一个含有n个元素的集合,共有2n个子集.再结合空集、真子集的知识,可以进一步得出:共有2n-1个非空子集,2n-1个真子集,2n-2个非空真子集.4.在学习中应了解子集、全集、补集的概念实质上即是生活中的“部分”“全体”“剩余”等概念在数学中的抽象与反映.5.“集合用图很方便,子交并补很明显”,将满足条件的集合用Venn图或数轴一一表示出来,从而求集合的交集、并集、补集.这是既简单又直观且是最基本、最常见的方法,要注意灵活运用.名师解惑1.如何正确理解集合的交、并、补运算？剖析:(1)集合间交、补、并运算的结果仍然是一个集合.就如同两个数进行加减等运算后结果仍然是一个数一样.(2)交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B来理解,要理解这里的“且”.①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为∅,同时结合集合的一些特征去理解.(3)并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A,x∈B,x同时属于A与B这三种情况.(4)补集是在相对于有全集的情况下才有的,所以谈到补集,一定要首先给出全集.2.处理集合运算问题时应注意什么？剖析:(1)处理集合运算问题时,要注意化简集合的表达式.如果集合中含有字母,要注意对字母分类讨论.(2)在解决有关集合运算题目时,一要把握概念中的关键词,如“所有”“且”“或”等;二要把握它们各自的实质;三要借助数轴,应用数形结合的思想.(3)Venn 图在集合中起到数形结合的作用,由图可以把一些不明确的数量关系直观地表现出来,起到化繁为简,化抽象为直观的作用.(4)在学习子、交、并、补集的概念时,应注意对“任何一个”“都”“所有”“或”“且”等词的理解,“交集”是指两个集合中所有公共元素所组成的集合,忽略了“交集”概念中的“所有”两个字就会错误地认为“若A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2}”.“并集”概念中的“或”与生活用语中的“或”含义不同,生活用语中的“或”一般是或此或彼,必具其一,不兼有,“并集”概念中的“或”是可兼有的,但不必须兼有.讲练互动【例题1】设集合A={-1,1},集合B={x|x 2-2ax+b=0},若B≠∅,B ⊆A,求a 、b 的值.分析:由B≠∅,B ⊆A,可见B 是A 的子集.而A 的子集有三个:{-1}、{1}、{-1,1}.所以B 要分三种情形讨论.解：由B ⊆A,知B 中的所有元素都属于集合A.又B≠∅,故集合B 有三种情形:B={-1}或B={1}或B={-1,1}.当B={-1}时,B={x|x 2+2x+1=0},故a=-1,b=1;当B={1}时,B={x|x 2-2x+1=0},故a=b=1;当B={-1,1}时,B={x|x 2-1=0},故a=0,b=-1.综上所述,a 、b 的值为⎩⎨⎧==1b -1,a 或⎩⎨⎧==1b 1,a 或⎩⎨⎧==-1.b 0,a 绿色通道利用分类讨论的思想,考虑到集合B 的所有可能的情况,这是处理集合与其子集之间关系的常用方法.另外,此题也可以利用韦达定理结合根的判别式求解.此题容易发生的错误是:没有注意题中的已知条件,又多加上B=∅的情形,从而画蛇添足!变式训练1.已知A={x|x 2+4x=0,x∈R },B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0,a∈R ,x∈R },若B ⊆A,求实数a 的取值范围.分析:含参数的二元一次方程的解集可能是空集、单个元素集或含有两个元素的集合,需要对此进行讨论.对于条件B ⊆A 不能忽略了B=∅这种情况.解：由已知得A={0,-4}.由于集合B 是一元二次方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的实数解的集合,该方程对应的解有两个、一个或者无解,因此集合B 有如下几种可能:(1)A=B,即B={0,-4}.∵0和-4是方程x 2+2(a+1)x+a 2-1=0的两根, 由韦达定理有⎩⎨⎧==+0.1-a -4,1)2(a -2解得a=1. (2)B A,此时又可以分两种情况:①当B ≠∅,即B={0}或B={-4}时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1.代入方程得x=0,因此B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1.综上,所求实数a 的取值范围是a≤-1或a=1.【例题2】已知集合A={x|x<-1或x>2},集合B={x|4x+p<0}.当B ⊆A 时,求实数p 的取值范围.分析:由B ⊆A,可知B 是A 的子集,利用数轴图示的方法,先把A 表示出来,然后再画出A 的子集即可求出B.解：集合A 、B 都是以不等式的形式给出的数集,欲求满足B ⊆A 的实数p,可先将“定集合A”在数轴上表示,然后再根据集合B 中不等式的方向,确定p 与集合A 中端点-1或2的关系. ∵B={x|4x+p<0}={x|x<4p -},将集合A 在数轴上表示出来(如图1-2-3).图1-2-3∵B ⊆A,∴4p -≤-1,即p≥4. 绿色通道若给出两个与不等式有关的数集之间的包含关系求参数范围时,常借助于数轴表示数集,以帮助解题,将各个集合在数轴上画出来,从而直观、清晰地反映它们之间的关系.运用分类讨论、等价转化、数形结合思想常使集合问题简捷化.变式训练2.(2007广东惠州高三第一次调研考试,文1)设集合A={x|-1≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则A∩B 等于( )A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}解析：在同一条数轴上表示出集合A 、B,如图所示.由图得A∩B={x|0≤x≤2}.答案：A3.A={-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m -1},B ⊆A,求m 的值.分析:解与不等式有关的集合问题通常可以借助数轴,本题需要对集合B 进行讨论.解：①当B=∅时,∅⊆A,符合题意,此时m+1>2m-1,解得m<2.②B≠∅,由题意画出数轴如图所示:则⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+.51221,121m m m m解之,得2≤m≤3.综合①②,得m 的取值范围是m≤3.【例题3】设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A ⊆B ⊆I,则下列各式中错误的是( ) A.(A)∪B=I B.(A)∪(B)=I C.A∩(B)=∅ D.(A)∩(B)= B 解析：思路一:根据题意画出维恩图如图1--2-4,借助于图形的直观性,对照选项A 、B 、C 、D即可选出错误选项.图1--2-4思路二:根据题意A⊆B⊆I构造集合A、B、I,不妨设A={1},B={1,2},I={1,2,3},利用特殊值代入法可选出错误选项.思路三:根据集合的反演律选出错误选项.即(A∪B)=(A)∩(B);(A∩B)=(A)∪(B).对A选项,(A)∪B=(A∩(B))=I;对B选项,(A)∪(B)=(A∩B)=A;对C选项,A∩(B)=(A∪B)=∅;对D选项,(A)∩(B)=(A∪B)= B.答案：B绿色通道对于有关集合运算的问题,如果题目给出的集合是无限数集,可以结合数轴来帮助解决;如果给出的集合是有限集合,可以借助Venn图帮助解决问题.另外,通过此题的求解我们还可以得到如下结论:(A)∩(B)=(A∪B),(A)∪(B)=(A∩B).变式训练4.(2007吉林高三期末统考,文1)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(A)∩(B)等于( )A.{1,6}B.{4,5}C.{2,3,4,5,7}D.{1,2,3,6,7}解析：思路一:观察或用Venn图得(A)∩(B)={1,3,6}∩{1,2,6,7}={1,6};思路二:观察或用Venn图得A∪B={2,3,4,5,7},则(A)∩(B)=(A∪B)={1,6}.答案：A5.已知集合U={x|1<x≤7},A={x|2≤x<5},B={x|3≤x<7}.求:(1)(A)∩(B);(2)(A∪B);(3)(A)∪B);(4)(A∩B).分析:首先把题目给出的集合(数集)在数轴上正确表示出来,在正确识别题目给出的集合符号后就可以得出结果.解：在数轴上分别表示出集合U 、A 、B,求出A∩B={x|3≤x<5},A∪B={x|2≤x<7},A={x|1<x<2或5≤x≤7},B={x|1<x<3或x=7}, 于是得 (1)(A)∩(B)={x|1<x<2或x=7}; (2)(A∪B)={x|1<x<2或x=7}; (3)(A)∪(B)={x|1<x<3或5≤x≤7}; (4)(A∩B)={x|1<x<3或5≤x≤7}.【例题4】设a 、b 是两个实数,集合A={(x,y)|y=ax+b,x∈Z },B={(x,y)|y=3x 2+15,x∈Z },C={(x,y)|x 2+y 2≤144},讨论是否存在实数a 和b 使得A∩B≠∅,(a,b)∈C 同时成立. 分析:把A∩B≠∅转化为方程组有解的问题.解：由A∩B≠∅,知方程组⎩⎨⎧+=+=153x y b,ax y 2有解, 即方程3x 2-ax+15-b=0有解.∴Δ=a 2-4×3×(15-b)=a 2+12b-180≥0. ①由(a,b)∈C,得144≥a 2+b 2. ②由①②,得180-12b≤a 2≤144-b 2. ③由③,得(b-6)2≤0⇒b=6.把b=6代入③,得108≤a 2≤108,∴a 2=108,即a=±63. 把a=±63,b=6代入方程3x 2-ax+15-b=0, 解得x=±3,这与x∈Z 矛盾.故不存在实数a 、b 满足条件.黑色陷阱本题容易出现求到不等式②后由于该二元二次不等式组难以求解,半途而废,不了了之. 或者求出a=±63,b=6后下结论:存在实数a 、b 满足条件.后一种错误忽略了集合A 、B 中x∈Z 的条件,造成结论的错误.事实上,本题解法较多但由于题中所含字母较多,若不善于梳理,就容易造成思路混乱.变式训练6.已知A={x|-m 2≤x<4},B={x|2<x<-4m+1},若A∪B={x|-1≤x<5},求m 的值.分析:由于集合A 、B 都是无限数集,A∪B 可以借助于数轴的直观性进行分析,因为A∪B 有元素-1,故只能-m 2=-1,同时-4m+1=5.如图:解：由已知作出数轴如图,根据题意,可知⎩⎨⎧=+= 5.14m --1,m -2解得m=-1. 教材链接1.［思考与讨论］两个非空集合的交集能等于空集吗?举例说明.答:能,当A 与B 无公共元素时,如A={1,2},B={3,4},显然有A∩B=∅.2.［思考与讨论］如何用集合的语言表示平面内的两条直线的平行与重合?答:设两条直线分别为l 1,l 2,则当l 1∩l 2时,我们就说这两条直线平行,当l 1∩l 2=l 1=l 2时,我们就说这两条直线重合.。