高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数二倍角的正逆变三用素材北师大版4剖析

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高中数学第3章三角恒等变换3二倍角的三角函数课件北师大版必修4

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[基础·初探] 教材整理二倍角公式与半角公式阅读教材P124～P127练习2以上部分，完成下列问题． 1．二倍角公式
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2．半角公式 (1)sinα2＝± (2)cosα2＝± (3)tanα2＝±
1－cos α 2
1＋cos α 2
1－cos α 1＋cos α
∴
1＋sin 1＋cos α－
α 1－cos
＋ α
1－sin α 1＋cos α＋ 1－cos α
＝－
21＋cossα2in＋αsinα2＋
1－sin α
2sin
α2－cos
α 2
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＝－co2scoα2s＋α2s＋in siα2n2
α＋ 2
sin
α2－cos
α22
2sin
α2－cos
α 2
＝－
2cos
α 2.
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已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为： (1)先化简已知或所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
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[再练一题]
2．设α∈32π，2π，化简：【解】 ∵α∈32π，2π，
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

高中数学第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)北师大版必修4

π2，－π4，求 sin α＋cos α 的值．解因为 α∈－π2，－π4，所以 sin α＋cos α＜0 (sin α＋cos α)2＝1＋sin 2α＝215，所以 sin α＋cos α＝－15.
【迁移2】在(1)中的条件下求tan α的值．
解因为 sin 2α＝2sin αcos α ＝s2ins2inα＋αccoossα2α＝－2245，故ta2nt2aαn＋α1＝－2245，解得 tan α＝－43或－34，因为 α∈－π4，0，tan α＞－1，故 tan α＝－34.
tan α＋tan β
2tan α
3．tan(α＋β)＝1－tan αtan β，令β＝α，得tan 2α＝1－tan2α .
【预习评价】
1．计算 1－2sin215°的结果为( )
1 A.2
3 C. 2
2 B. 2 D．1
答案 C
2．sin 105°cos 105°的值为( 1
A.4
) B．－14
ππ π 解 (1)原式＝2sin122cos12＝si2n6＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500° ＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°) ＝－tan 60°＝－ 3.
【训练 1】求下列各式的值．
(1)cos
72°cos
36°；(2)sin150°＋cos
3 50°.
解
(1)cos
72°cos
36°＝2sin
36°cos 2sin
36°cos 36°
72°＝2sin47si2n°c3o6s°72°＝

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数教案北师大版必修4

⾼中数学第三章三⾓恒等变换3.3⼆倍⾓的三⾓函数教案北师⼤版必修41.3 ⼆倍⾓的三⾓函数整体设计教学分析“⼆倍⾓的三⾓函数”是在研究了两⾓和与差的三⾓函数的基础上，进⼀步研究具有“⼆倍⾓”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，⼜为以后求三⾓函数值、化简、证明提供了⾮常有⽤的理论⼯具.通过对⼆倍⾓的推导知道，⼆倍⾓的内涵是：揭⽰具有倍数关系的两个三⾓函数的运算规律.通过推导还让学⽣加深理解了⾼中数学由⼀般到特殊的化归思想.因此本节内容也是培养学⽣运算和逻辑推理能⼒的重要内容，对培养学⽣的探索精神和创新能⼒、发现问题和解决问题的能⼒都有着⼗分重要的意义.本节课通过教师提出问题、设置情境及对和⾓公式中α,β关系的特殊情形α=β时的简化，让学⽣在探究中既感到⾃然、易于接受，还可清晰知道和⾓的三⾓函数与倍⾓公式的联系，同时也让学⽣学会怎样发现规律及体会由⼀般到特殊的化归思想.这⼀切教师要引导学⽣⾃⼰去做,因为《数学课程标准》提出：“要让学⽣在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得⼀些体验”.在实际教学过程中不要过多地补充⼀些⾼技巧、⾼难度的练习，更不要再补充⼀些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理. 三维⽬标1.通过让学⽣探索、发现并推导⼆倍⾓公式,了解它们之间、以及它们与和⾓公式之间的内在联系,并通过强化题⽬的训练,加深对⼆倍⾓公式的理解，培养运算能⼒及逻辑推理能⼒,从⽽提⾼解决问题的能⼒.2.通过⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式的运⽤，会进⾏简单的求值、化简、恒等证明.体会化归这⼀基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作⽤.使学⽣进⼀步掌握联系变化的观点，⾃觉地利⽤联系变化的观点来分析问题，提⾼学⽣分析问题、解决问题的能⼒.3.通过本节学习，引导学⽣领悟寻找数学规律的⽅法，培养学⽣的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神. 重点难点教学重点：⼆倍⾓公式推导及其应⽤.教学难点：如何灵活应⽤和、差、倍⾓公式进⾏三⾓式化简、求值、证明恒等式. 课时安排 2课时教学过程第1课时导⼊新课思路1.(复习导⼊)请学⽣回忆上两节共同探讨的和⾓公式、差⾓公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学⽣默写这六个公式.教师引导学⽣：和⾓公式与差⾓公式是可以互相化归的.当两⾓相等时,两⾓之和便为此⾓的⼆倍,那么是否可把和⾓公式化归为⼆倍⾓公式呢?今天,我们进⼀步探讨⼀下⼆倍⾓的问题，请同学们思考⼀下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导⼊)出⽰问题，让学⽣计算，若sin α=53,α∈(2,π),求sin2α，cos2α的值.学⽣会很容易看出：sin2α=sin(α+α)=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式. 推进新课新知探究提出问题①还记得和⾓的正弦、余弦、正切公式吗？(请学⽣默写出来，并由⼀名学⽣到⿊板默写) ②你写的这三个公式中⾓α,β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？③在得到的C 2α公式中，还有其他表⽰形式吗？④细⼼观察⼆倍⾓公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中⾓的含义吗？思考过公式成⽴的条件吗？⑥让学⽣填空：⽼师随机给出等号⼀边括号内的⾓，学⽣回答等号另⼀边括号内的⾓，稍后两⼈为⼀组，做填数游戏：sin()=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ).⑦思考过公式的逆⽤吗？想⼀想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α吗？活动：问题①,学⽣默写完后，教师打出课件，然后引导学⽣观察正弦、余弦的和⾓公式，提醒学⽣注意公式中的α,β，既然可以是任意⾓，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并⿎励学⽣⼤胆试⼀试.如果学⽣想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进⼊下⼀个问题，如果学⽣没想到这种特殊情况，教师适当点拨进⼊问题②，然后找⼀名学⽣到⿊板进⾏简化，其他学⽣在⾃⼰的坐位上简化.教师再与学⽣⼀起集体订正⿊板上的书写，最后学⽣都不难得出以下式⼦，⿎励学⽣尝试⼀下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学⽣去思考、去探究，并初步地感受⼆倍⾓的意义.同时开拓学⽣的思维空间，为学⽣将来遇到的3α或3β等⾓的探究附设类⽐联想的源泉. sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β?sin2α=2sin αcos α（S 2α）; cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β?cos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α);tan(α+β)=a aa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=?-+ββ(T 2α).这时教师适时地向学⽣指出，我们把这三个公式分别叫作⼆倍⾓的正弦，余弦，正切公式，并指导学⽣阅读教科书，确切明了⼆倍⾓的含义，以后的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”.教师适时提出问题③，点拨学⽣结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此⼆倍⾓的余弦公式⼜可表⽰为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫作倍⾓公式（⽤多媒体演⽰）.倍⾓公式给出了α的三⾓函数与2α的三⾓函数之间的关系.问题④,教师指导学⽣，这组公式⽤途很⼴，并与学⽣⼀起观察公式的特征，⾸先公式左边⾓是右边⾓的2倍；左边是2α的三⾓函数的⼀次式，右边是α的三⾓函数的⼆次式，即左到右→升幂缩⾓，右到左→降幂扩⾓.⼆倍⾓的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应⽤，对公式中的含义学⽣可能还理解不到位，教师要引导学⽣观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这⾥的“倍⾓”专指“⼆倍⾓”,遇到“三倍⾓”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过⼆倍⾓公式,可以⽤单⾓的三⾓函数表⽰⼆倍⾓的三⾓函数； (Ⅲ)⼆倍⾓公式是两⾓和的三⾓函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的⾓α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠2πk +4π和α≠k π+2π(k∈Z )时才成⽴，这⼀条件限制要引起学⽣的注意.但是当α=k π+2π,k∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能⽤此公式，但tan2α是存在的,故可改⽤诱导公式. 问题⑥,填空是为了让学⽣明了⼆倍⾓的相对性，即⼆倍⾓公式不仅限于2α是α的⼆倍的形式,其他如4α是2α的⼆倍,2α是4α的⼆倍,3α是23α的⼆倍,3α是6α的⼆倍，2π-α是4π-2α的⼆倍等,所有这些都可以应⽤⼆倍⾓公式. 例如:sin 2α=2sin 4αcos 4α,cos 3α=cos 26α-sin 26α等等. 问题⑦,本组公式的灵活运⽤还在于它的逆⽤以及它的变形⽤，这点教师更要提醒学⽣引起⾜够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2(2sin 4αcos 4α)=2sin 2α,40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α(1-tan 2α)等等.问题⑧,⼀般情况下:sin2α≠2sin α,cos2α≠2cos α,tan2α≠2tan α.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=k π(k∈Z ). 若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去).若tan2α=2tan α,则αα2tan 1tan 2-2tan α,∴tan α=0.结合tan α≠±1,∴α=k π(k∈Z ).解答：①—⑧（略）. 应⽤⽰例思路1例1 已知tan α=21,求tan2α的值.解:tan2α=34tan 2tan 22=-αα. 例2 设α是第⼆象限⾓,已知cos α=-0.6,求sin2α,cos2α和tan2α的值.解:因为α是第⼆象限⾓,所以sin α＞0,tan α＜0. 由于cos α=-0.6,故sin α=α2cos 1-=0.8. 可得sin2α=2sin α2cos α=-0.96, cos2α=2cos 2α-1=23(-0.6)2-1=-0.28, tan2α=7242cos 2sin =αα.例3 在△ABC 中,已知AB=AC=2BC(如图1),求⾓A 的正弦值.图1解:作AD⊥BC 于D,设∠BAD=θ,那么∠A=2θ. 因为BD=21BC=41AB, 所以sin θ=AB BD =41. 因为0＜2θ＜π,所以0＜θ＜2π,于是cos θ=415, 故sinA=sin2θ=815. 4.要把半径为R 的半圆形⽊料截成长⽅形(如图2),应怎样截取,才能使长⽅形⾯积最⼤?图2解:如图2,设圆⼼为O,长⽅形⾯积为S,∠AOB=α,则 AB=Rsin α,OB=Rcos α, S=(Rsin α)22(Rcos α) =2R 2sin α2cos α =R 2sin2α.当sin2α取最⼤值,即sin2α=1时,截⾯⾯积最⼤.不难推出α=4π时,长⽅形截⾯⾯积最⼤,最⼤截⾯⾯积等于R 2.例5 已知sin2α=135,4π＜α＜2π,求sin4α,cos4α,tan4α的值. 活动：教师引导学⽣分析题⽬中⾓的关系，观察所给条件与结论的结构，注意⼆倍⾓公式的选⽤，领悟“倍⾓”是相对的这⼀换元思想.让学⽣体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的.本题中的已知条件给出了2α的正弦值.由于4α是2α的⼆倍⾓,因此可以考虑⽤倍⾓公式.本例是直接应⽤⼆倍⾓公式解题，⽬的是为了让学⽣初步熟悉⼆倍⾓的应⽤，理解⼆倍⾓的相对性，教师⼤胆放⼿，可让学⽣⾃⼰独⽴探究完成. 解:由4π＜α＜2π,得2π＜2α＜π.⼜∵sin2α=135,∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312.于是sin4α=sin[23(2α)]=2sin2αcos2α=231353(-1312)=-169120;cos4α=cos[23(2α)]=1-2sin 22α=1-23(135)2=169119; tan4α=a a 4cos 4sin =(-169120)3119169=-119120.点评：学⽣由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学⽣注意,在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙,规范，并达到熟练掌握的程度.本节公式的基本应⽤是⾼考的热点. 变式训练1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ . 点评：本题在两⾓和与差的学习中已经解决过，现⽤⼆倍⾓公式给出另外的解法，让学⽣体会它们之间的联系，体会数学变化的魅⼒. 2.(2007⾼考海南,宁夏卷,9)若22)4sin(2cos -=-παα,则cos α+sin α的值为( ) A.-27 B.-21 C.21D.27 答案:C3.(2007⾼考重庆卷,6)下列各式中,值为23的是( ) A.2sin15°-cos15° B.cos 215°-sin 215°C.2sin 215°-1D.sin 215°+cos 215° 答案:B例6 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan θ.活动：教师先让学⽣思考⼀会，⿎励学⽣充分发挥聪明才智，战胜它，并⼒争⼀题多解.教师可点拨学⽣想⼀想，到现在为⽌，所学的证明三⾓恒等式的⽅法⼤致有⼏种：从复杂⼀端化向简单⼀端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利⽤分析综合法解决，有时⼏种⽅法会同时使⽤等.对找不到思考⽅向的学⽣，教师点出：可否再添加⼀种，化倍⾓为单⾓？这可否成为证明三⾓恒等式的⼀种⽅法？再适时引导，前⾯学习同⾓三⾓函数的基本关系时曾⽤到“1”的代换，对“1”的妙⽤⼤家深有体会，这⾥可否在“1”上做做⽂章？待学⽣探究解决⽅法后，可找⼏个学⽣到⿊板书写解答过程，以便对照点评给学⽣以启发.点评时对能够善于运⽤所学的新知识解决问题的学⽣给予赞扬；对暂时找不到思路的学⽣给予点拨,⿎励.强调“1”的妙⽤很妙，妙在它在三⾓恒等式中⼀旦出现，在证明过程中就会起到⾄关重要的作⽤，在今后的证题中，万万不要忽视它. 证明:⽅法⼀:左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+ )cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tan θ=右边,所以,原式成⽴. ⽅法⼆:左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边.所以，原式成⽴. ⽅法三:左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+?++--?++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+ =θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin ?+?+=-+++-+++=tan θ=右边. 所以，原式成⽴.点评：以上⼏种⽅法⼤致遵循以下规律：⾸先从复杂端化向简单端；第⼆，化倍⾓为单⾓，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙⽤，请同学们在探究中仔细体会这点.在这道题中通常⽤的⼏种⽅法都⽤到了，不论⽤哪⼀种⽅法，都要思路清晰，书写规范才是.思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是⼀道灵活应⽤⼆倍⾓公式的经典例题，有⼀定难度，但也是训练学⽣思维能⼒的⼀道好题.本题需要公式的逆⽤，逆⽤公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运⽤公式.教学中教师可让学⽣充分进⾏讨论探究，不要轻易告诉学⽣解法，可适时点拨学⽣需要做怎样的变化，⼜需怎样应⽤⼆倍⾓公式,并点拨学⽣结合诱导公式思考.学⽣经过探索发现，如果⽤诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊⾓,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考虑逆⽤⼆倍⾓公式. 解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===??.点评：⼆倍⾓公式是中学数学中的重要知识点之⼀，⼜是解答许多数学问题的重要模型和⼯具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细⼼体会其变化规律.例2 在△ABC 中,cosA=54,tanB=2,求tan(2A+2B)的值. 活动：这是本节课本上最后⼀个例题，结合三⾓形，具有⼀定的综合性,同时也是和与差公式的应⽤问题.教师可引导学⽣注意在三⾓形的背景下研究问题,会带来⼀些隐含的条件,如A+B+C=π,0＜A ＜π,0＜B ＜π,0＜C ＜π,就是其中的⼀个隐含条件.可先让学⽣讨论探究，教师适时点拨.学⽣探究解法时教师进⼀步启发学⽣思考由条件到结果的函数及⾓的联系.由于对2A+2B 与A,B 之间关系的看法不同会产⽣不同的解题思路,所以学⽣会产⽣不同的解法，不过它们都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤，本质上没有区别.不论学⽣的解答正确与否，教师都不要直接⼲预.在学⽣⾃⼰尝试解决问题后,教师可与学⽣⼀起⽐较各种不同的解法，并引导学⽣进⾏解题⽅法的归纳总结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C 的值. 解：⽅法⼀:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A , tanA=724)43(1432tan 1tan 222=-?=-A A , ⼜tanB=2, 所以tan2B=342122tan 1tan 222-=-?=-B B . 于是tan(2A+2B)=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-?--=-+BA B A . ⽅法⼆:在△ABC 中,由cosA=54,0＜A ＜π,得 sinA=53)54(1cos 122=-=-A .所以tanA=434553cos sin =?=A A .⼜tanB=2, 所以tan(A+B)=2112 431243tan tan 1tan tan -=?-+=-+B A B A .于是tan(2A+2B)=tan[2(A+B)]=11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---=+-+B A B A . 点评：以上两种⽅法都是对倍⾓公式、和⾓公式的联合运⽤,本质上没有区别,其⽬的是为了⿎励学⽣⽤不同的思路去思考,以拓展学⽣的视野. 变式训练1.(2007⼴东东莞)设向量a =(cos α,21)的模为22,则cos2α等于…( )A.-41B.-21C.21D.23解析:由|a |=41cos2+α=22,得cos 2α+41=21,cos 2α=41,∴cos2α=2cos 2α-1=2341-1=-21. 答案:B 2.化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++.解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot2α.知能训练(2007四川卷,17)已知cos α=71,cos(α-β)=1413,且0＜β＜α＜2π, (1)求tan2α的值; (2)求β. 解:(1)由cos α=71,0＜α＜2π,得sin α=734)71(1cos 122=-=-α. ∴tan α=3471734cos sin =?=αα.于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-?=-αα (2)由0＜β＜α＜2π,得0＜α-β＜2π.⼜∵cos(α-β)=1413,∴sin(α-β)=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα. 由β=α-(β-α),得cos β=cos ［α-(α-β)］=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=7131413+7343211433=. ∴β=3π.点评:本题主要考查三⾓恒等变形的主要基本公式,三⾓函数值的符号,已知三⾓函数值求⾓以及计算能⼒. 作业课本习题3—2 A 组1—4. 课题⼩结1.先由学⽣回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前⾯学过的两⾓和公式有什么新的认识？对三⾓函数式⼦的变化有什么新的认识？怎样⽤⼆倍⾓公式进⾏简单三⾓函数式的化简、求值与恒等式证明.2.教师画龙点睛：本节课要理解并掌握⼆倍⾓公式及其推导，明⽩从⼀般到特殊的思想，并要正确熟练地运⽤⼆倍⾓公式解题.在解题时要注意分析三⾓函数名称、⾓的关系，⼀个题⽬能给出多种解法，从中⽐较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想⽅法之⽬的.设计感想1.新课改的核⼼理念是：以学⽣发展为本.本节课的设计流程从回顾→探索→应⽤，充分体现了“学⽣主体、主动探索、培养能⼒”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式.本节在学⽣探究和⾓公式的特殊情形中得到了⼆倍⾓公式，在这个活动过程中，由⼀般化归为特殊的基本数学思想⽅法就深深地留在了学⽣记忆中.本节课的教学设计流程还是⽐较流畅的.2.纵观本教案的设计，学⽣发现⼆倍⾓后就是应⽤，⾄于如何训练⼆倍⾓公式正⽤，逆⽤，变形⽤倒成了次要的了.⽽学⽣从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，⼜发现了怎样逆⽤公式及活⽤公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终⽬的.3.教学⽭盾的主要⽅⾯是学⽣的学，学是中⼼，会学是⽬的，根据⾼中三⾓函数的推理特点，本节主要是教给学⽣“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应⽤”的探索创新式学习⽅法.这样做增加了学⽣温故知新的空间，增强了学⽣的参与意识，教给了学⽣发现规律、探索推导,获取新知的途径，让学⽣真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体.学⽣会体会到数学的美，产⽣⼀种成功感，从⽽提⾼了学习数学的兴趣.第2课时导⼊新课思路1.我们知道变换是数学的重要⼯具，也是数学学习的主要对象之⼀，三⾓函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引⼊辅助⾓的变换.前⾯已经利⽤倍⾓公式进⾏了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利⽤⼆倍⾓公式的逆⽤推导出半⾓公式,并⽤它来解决⼀些三⾓函数式的化简,求值等.思路2.先让学⽣写出上节课学习的⼆倍⾓公式,接着出⽰课本例5让学⽣探究,由此展开新课.推进新课新知探究提出问题①α与2α有什么关系? ②如何建⽴cos α与sin22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式⼦有什么共同特点？④通过上⾯的三个问题，你能感觉到代数变换与三⾓变换有哪些不同吗?活动：教师引导学⽣联想关于余弦的⼆倍⾓公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α⽤2α代替,解出sin22α即可. 教师对学⽣的讨论进⾏提问，学⽣可以发现：α是2α的⼆倍⾓.在倍⾓公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α, 所以sin 22α=2cos 1α-①在倍⾓公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan22α=αtanααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2+=??==;④tanαααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2-=??==.⑤这样我们就得到另外两个公式: tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半⾓三⾓函数的公式,称之为半⾓公式. 在这些公式中,根号前⾯的符号由2α所在象限相应的三⾓函数值的符号确定,如果2α所在象限⽆法确定,则应保留根号前⾯的正,负两个符号.教师引导学⽣观察上⾯的①②③④⑤式，可让学⽣总结出下列特点： (1)⽤单⾓的三⾓函数表⽰它们的⼀半即是半⾓的三⾓函数;(2)由左式的“⼆次式”转化为右式的“⼀次式”(即⽤此式可达到“降次”的⽬的).2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半⾓公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定. 教师引导学⽣通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三⾓变换,由于不同的三⾓函数式不仅会有结构形式⽅⾯的差异，⽽且还有所包含的⾓，以及这些⾓的三⾓函数种类⽅⾯的差异.因此，三⾓恒等变换常常先寻找式⼦所包含的各个⾓间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三⾓恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式⼦结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的⼆倍⾓. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）.应⽤⽰例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半⾓公式的应⽤，利⽤半⾓公式进⾏化简解题.教师提醒学⽣注意半⾓公式和倍⾓公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对⽴统⼀的关系.解:sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+4532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学⽣理解倍⾓公式与半⾓公式的内在联系.变式训练(2005北京东城)已知θ为第⼆象限⾓,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54解析:∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. ⼜θ为第⼆象限⾓,∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, ⽽2θ在第⼀,三象限,∴cos2θ=±53.答案:C例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜23π,求tan α. 解:因为π＜2α＜23π,故2π＜α＜43π,α是2α的⼀半,运⽤半⾓公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a , 所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=1,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学⽣利⽤⽴⽅差公式进⾏对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a 3-b==(a-b)=+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学⽣深挖本例的思想⽅法,由sinx2cosx 与sinx±cosx 之间的转化,提升学⽣的运算,化简能⼒及整体代换思想.本题也可直接应⽤上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此⽅法往往适⽤于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41, ∴sinxcosx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运⽤和化简的⽅法. 变式训练(2007⾼考浙江卷,12) 已知sin θ+cos θ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是___________. 答案:-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证:ABA B 2424sin sin cos cos +=1.活动：此题可从多个⾓度进⾏探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式⼀致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式⼊⼿,⽽条件等式中含有A,B ⾓的正、余弦,可利⽤平⽅关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利⽤三⾓代换.∴cos 4A2sin 2B+sin 4A2cos 2B=sin 2B2cos 2B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A2cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴A B A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B+sin 2B=1. 证法⼆:令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2k π(k∈Z ),即B=2k π+α(k∈Z ). ∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的⾓度来观察问题,本例从⾓与函数的种类两⽅⾯观察,利⽤平⽅关系进⾏了合理消元. 变式训练在锐⾓△ABC 中,A,B,C 是它的三个内⾓,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S ＜1. 证明:∵S=B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++⼜A+B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tanA＞tan(90°-B)=cotB ＞0. ∴tanA2tanB＞1.∴S＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21=- . ⼜1 005°=23360°+285°是第四象限的⾓,所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=- ,cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+ ,tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-=.例2 证明x x cos sin 1+=tan(24x+π). 活动：教师引导学⽣思考，对于三⾓恒等式的证明，可从三个⾓度进⾏推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以⿎励学⽣试着多⾓度的化简推导.注意式⼦左边包含的⾓为x,三⾓函数的种类为正弦，余弦，右边是半⾓2x，三⾓函数的种类为正切.解：⽅法⼀：从右边⼊⼿，切化弦，得tan(24x +π)=2sin2cos 2sin2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的⾓之间的关系，想到分⼦分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. ⽅法⼆：从左边⼊⼿，分⼦分母运⽤⼆倍⾓公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sinx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三⾓函数的种类差异，想到弦化切，即分⼦分母同除以cos2x,得 )24tan(2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x x xx x +=-+=-+πππ点评：本题考查的是半⾓公式的灵活运⽤，以及恒等式的证明所要注意的步骤与⽅法.变式训练已知α,β∈(0,2π)且满⾜:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法⼀:3sin 2α+2sin 2β=1?3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0?3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91∵α∈(0,2π),∴sin α=31. ∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α23sin 2α+cos α23sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3331=1.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法⼆:3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α23sin 2α-sin α23sin αcos α=0. ∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23πsin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tan α＞0.∴tan(2π-2β)＞0. ⼜∵β∈(0,2π),∴-2π＜2π-2β＜2π.结合tan(-2β)＞0,得0＜2π-2β＜2π.∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例3 求证:aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三⾓恒等式,⼀般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三⾓式的变换中经常使⽤的⽅法. 证明:证法⼀:左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成⽴. 证法⼆:右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+=ββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成⽴.点评：此题进⼀步训练学⽣三⾓恒等式的变形,灵活运⽤三⾓函数公式的能⼒以及逻辑推理能⼒.变式训练求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运⽤⽐例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ. 证明:原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.⽽上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成⽴,即原等式得证.知能训练1.若sin α=135,α在第⼆象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜27π,则tan 2θ=__________________.答案:1.A3.-3 课堂⼩结1.先让学⽣⾃⼰回顾本节学习的数学知识:和、差、倍⾓的正弦、余弦公式的应⽤,半⾓公式、代数式变换与三⾓变换的区别与联系.三⾓恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使⽤,换元法,⽅程思想,等价转化,三⾓恒等变形的基本⼿段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半⾓公式,积化和差,和差化积公式以及如何利⽤已有的公式进⾏简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三⾓式的结构进⾏分析，根据结构特点选择合适公式，进⾏公式变形.还要思考⼀题多解、⼀题多变，并体会其中的⼀些数学思想，如换元、⽅程思想，“1”的代换，逆⽤公式等.2.在近⼏年的⾼考中，对三⾓变换的考查仍以基本公式的应⽤为主，突出对求值的考查.特别是对平⽅关系及和⾓公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地⽅，同时要注意结合诱导公式的应⽤，应⽤诱导公式时符号问题也是常出错的地⽅.考试⼤纲对本部分的具体要求是：⽤向量的数量积推导出两⾓差的余弦公式，体会向量⽅法的作⽤.从两⾓差的余弦公式进⽽推导出两⾓和与差的正弦、余弦、正切公式，⼆倍⾓的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运⽤上述公式进⾏简单的恒等变换.备课资料备⽤习题 1.已知cos α=135(23π＜α＜2π),则tan 2a 等于( ) A.32 B.23 C.-23 D.-322.已知α为钝⾓,β为锐⾓,且sin α=54,sin β=1312,则cos 2βα-等于( ) A.7 B.-7 C.-65657 D.65657 3.(2005江苏,10)若sin(6π-α)=31,则cos(32π+2α)等于( )A.-97 B.-31 C.31 D.974.(2006北京崇⽂)已知θ是第⼆象限⾓,sin θ=54,则tan(2θ-4π)的值为( ) A.7 B.-31 C.31 D.-34参考答案: 1.D 由3π＜α＜2π可知,⾓α是第四象限的⾓, ∴sin α=-1312)135(1cos122-=--=-α. ∴tan 3213121351sin cos 12-=--=-=ααα. 2.D 由已知,得cos α=-53,cos β=135. 于是cos(α-β)=cos α2cos β+sin α2sin β =-653313125413553=?+?. ∵α为钝⾓,β为锐⾓,∴2βα-为锐⾓.∴cos2βα-=6565721653321)cos(=+=+-βα.3.A cos(32π+2α)=cos ［π-2(6π+α)］=-cos ［2(6π+α)］=2sin 2(6π-α)-1=-97.4.C由已知sin θ=54,cos θ=-53,∴tan (2θ-4π)=tan 21(θ-2θ)=31sin 1cos )cos(1) 2sin(=+-=-+-θθπθπθ.。

高中数学第3章三角恒等变换3二倍角的三角函数课件北师大版必修4

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意α∈R，总有sin 2α＝2sin α.( ) (2)对任意α∈R，总有cos 2α＝1－2cos2α.( )
(3)对任意α∈R，总有tan 2α＝1－2tatnanα2α.(
)
(4)sin
22°30′cos
22°30′＝
2 4 .(
)
[小组合作型] 倍角及半角公式的直接应用
1－cos sin α
α或tan
α2＝1＋sincoαs
α来处理，可以避免这些问题，尤其是tan
α2＝1－sicnoαs
α，
分母是单项式，容易计算．因此常用tanα2＝1－sincoαs α求半角的正切值．
利用倍角公式、半角公式化简
化简：(1)cocos s1700°·°·1＋1＋3ctoasn
10°； 40°
1．tan 15°等于( )
A．2＋ 3 C. 3＋1
B．2－ 3 D． 3－1
【解析】由tan α2＝1＋sicnoαs α，得tan 15°＝1＋sicno3s03°0°＝2－ 3.
【答案】 B
我还有这些不足： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________ 我的课下提升方案： (1) ________________________________________________________ (2) ________________________________________________________

高中数学第3章三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数知

3.2 二倍角的三角函数知识梳理一、倍角公式1.公式：sin2α=2sinαcosα；tan2α=αα2tan 1tan 2-； cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α.2.公式的推导：在两角和的三角函数公式S α+β、C α+β、T α+β中，令α=β，就可以得到二倍角的三角函数公式S 2α、C 2α、T 2α，如在sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中，如果α=β，则sin2α=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα，其他两个同理可得，在余弦中，再应用平方关系式，可得另外的两种形式.推导过程也说明倍角公式是两角和的三角函数公式的特例.知识导学要学好本节内容，可以从两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，通过例题的解答，对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想. 疑难突破1.二倍角公式成立的条件是何，应当如何理解两倍角公式？剖析：(1)公式成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+2π且α≠2πk +4π(k∈Z )时才成立，即首先保证tan2α和tanα的存在. (2)二倍角的理解：倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2α是4α的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.2.对二倍角公式应如何灵活的进行变式应用？剖析：对二倍角公式的应用不能只是局限于记忆，还需要对公式进行进一步的分析和深化理解，比如对公式两边的式子结构、次数、各公式之间的内在联系等多方面要进行细致考虑.。

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修 (2)

高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数1课件2北师大版必修 (2) 高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数。
二倍角的定义
一个角的两倍称为二倍角。
二倍角的正弦
正弦函数的二倍角公式：$sin2\theta = 2sin\theta cos\theta$。
二倍角的余弦
余弦函数的二倍角公式：
1 $cos2\theta =
cos^2\theta sin^2\theta$
2 $cos2\theta =
2cos^2\theta - 1$
3 $cos2\theta = 1-
2sin^2\theta$
二倍角的正切
正切函数的二倍角公式：
1 $tan2\theta = \frac{2tan\theta}{1-的三角函数变换公式可用于简化三角函数表达式。通过掌握二倍角的三角函数公式，可以更好地应对数学考试中的计算题目。

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二倍角公式的“正、逆、变”三用对于倍角公式：αααααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos ,cos sin 22sin -=-=-==，ααα2tan 1tan 22tan -=，它们是历年高考三角问题中的热点，对倍角公式不仅要会正用，还要会逆用，更要会灵活变着用。

一、正用公式例1. 已知214tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ，1）求αtan 的值；2）求ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值分析：通过已知直接由二倍角的正切公式求得αtan 的值；从而与ααα2cos 1cos 2sin 2+-取得联系求值。

解：1）21tan 1tan 14tan =-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+αααπ ，31tan -=∴α 2）6521tan 2cos 2cos sin 21cos 21cos cos sin 22cos 1cos 2sin 222-=-=-=-+-=+-ααααααααααα 【评注】这是一种三角求值中“给值求值”的一种形式，通过多次倍角公式的正用，来建立所求式与已知条件的关系。

二、逆用公式例2．已知,2,4,4124sin 24sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππααπαπ求1tan cot sin 22-+-ααα的值。

分析：如何建立与知角与所求角的三角函数的关系，才是解决问题的突破口。

解：由414cos 2142sin 2124cos 24sin 24sin 24sin ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπαπαπαπαπ 得214cos =α，又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,4ππα，125πα=∴ 1tan cot sin 22-+-ααααααααααα2sin 2cos 22cos cos sin cos sin 2cos 22-+-=-+-=()235322365cot 265cos 2cot 22cos =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=ππαα 【评注】由于半角公式不再要求掌握，此题通过化切为弦，四次逆用倍角公式使已知角απ24±与α联系起来是解题的关键。

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