2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：1.6《微积分基本定理》(新人教A版选修2-2)
高中数学选修2-2学案：1.6微积分的基本定理(2)
1. 6微积分的基本定理（2）【学习目标】1．理解微积分基本定理；2．应用微积分基本定理解决综合问题； 3．了解求定积分的类型及方法．【新知自学】知识回顾：1.一般地，如果)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么=⎰dx x f ba)(_______________= ．2．计算定积分的关键是找到满足)()(x f x F ='的函数________，通常，可以用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从_________方向上求出)(x F ．新知梳理：1. 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0．(1)当对应的曲边梯形位于x 轴上方时(图1)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形的________ ；(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2)，定积分的值取_______ 且等于曲边梯形______ 的相反数；(3)当位于x 轴上方的曲边梯形的面积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为 _______ (如图3)且等于位于x 轴_____ 的曲边梯形的面积减去位于 ______ 的曲边梯形的面积． 2.活用定积分的三个性质(1)⎠⎛a bkf (x )d x ＝ ； (2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝(3)⎠⎛a bf (x )d x ＝⎠⎛a cf (x )d x ＋⎠⎛c bf (x )d x (其中a <c <b )．对点练习：1.设[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,)(2x x x x x f ，则dx x f ⎰20)(等于 ( )A.43 B.54C.65 D.不存在2．求下列定积分: （1）求=⎰edx x11； （2）()=+-⎰dx ex xπ23sin 2_____________．（3）()=+⎰dx x x 20cos 2sin π_________ ．3.设()f x 是奇函数，则=⎰-aadx x f )( .4.求⎰-aadx x 2．【合作探究】典例精析：例1. 计算定积分 （1）dx ⎰+4|)3-x ||1-x (|;；（2）设函数⎩⎨⎧≤≤<≤=21,110,)(2x x x x f ，求dx x f ⎰20)(.变式练习：()dx x x ⎰--++332332=___________________.例2.求使dx c x 212)+⎰（最小的c 的值.规律总结：(1)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a ＜b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≥0]围成的曲边梯形的面积(如图1)：S ＝⎠⎛abf (x )d x .(2)由三条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、x 轴、一条曲线y ＝f (x )[f (x )≤0]围成的曲边梯形的面积(如图2)：S ＝|⎠⎛a bf (x )d x |＝－⎠⎛a bf (x )d x .(3)由两条直线x ＝a 、x ＝b (a <b )、两条曲线y ＝f (x )、y ＝g (x )[f (x )≥g (x )]围成的平面图形的面积(如图3)：S ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x .【课堂小结】【当堂达标】1.曲线)0(sin π≤≤=x x y 与直线21=y 围成的封闭图形的面积是 ( ) A.3 B.32-C.32π- D.33π-2.dx t ⎰+21)2(=______________.3.求直线x=-1,x=1, y=0,以及y=|x|-2所围成的图形的面积.4.如图，求阴影部分的面积.【课时作业】1. 由曲线2x y =和直线()1,0,,1,02∈===t t y x x ，所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为A.41B.31C.21D.322.dx x |4|12⎰-=________________.3.设函数()0)(2≠+=a c ax x f ，若⎰=10)()(x f dx x f ，100≤≤x ，则0x 的值为 ．4.计算由抛物线x y 22=与直线4-=x y 所围成图形的面积．5.求定积分dx x x ⎰-326．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.6 微积分基本定理 Word版含答案.docx
1.6 微积分基本定理[学习目标]1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． [知识链接]1．导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答 根据定积分与曲边梯形的面积的关系知： 图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .[预习导引] 1．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．函数f (x )与其一个原函数的关系 (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln_x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos_x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin_x .要点一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分 (1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以⎠⎛2(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以⎠⎛21(x －1)5d x＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )． (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c .跟踪演练1 求下列定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln2)－(e －0) ＝e 2－e －ln2.要点二 求较复杂函数的定积分 例2 求下列定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ， 又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln2＋2x ′＝2x ＋1x，∴⎠⎛41(2x ＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2xln2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln2＋2＝14ln2＋2. 规律方法 求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限． 跟踪演练2 计算下列定积分： (1)∫π30(sin x －sin2x )d x ；(2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x .解 (1)sin x －sin2x 的一个原函数是－cos x ＋ 12cos2x ，所以∫π30(sin x －sin2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ， ∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2x d x＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln2＝e ln2＋12e 2ln2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用． 跟踪演练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值．解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0， ②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 要点四 求分段函数的定积分 例4 计算下列定积分：(1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin0－0) ＝43－π2.(2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论． 跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.1．∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴⎪⎪∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x 错误!＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln2，解得a ＝2. 3．⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫π20f (x )d x ＋错误!f (x )d x＝∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，则F 1′(x )＝4x －2π； 取F 2(x )＝sin x ，则F 2′(x )＝cos x .所以∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ＝(2x 2－2πx )错误!＋sin x 错误!，即错误!f (x )d x ＝－错误!π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和． (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、基础达标1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞i ＝1nb －ans ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e. 4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－23答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________．答案33解析 由已知得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(2013·湖南)若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．已知⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，②由①②得a ＝－3，b ＝－9. 二、能力提升8．∫π20sin 2x2d x 等于( )A.π4 B ．π2－1C ．2D ．π－24答案 D解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 9．(2013·江西)若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a1b x d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3.12．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值．解 由积分的性质，知：经典小初高讲义小初高优秀教案 ⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221 ⎪⎪＋2x ln232 ＝14＋432－23＋8ln2－4ln2＝－512＋432＋4ln2. 三、探究与创新13．求定积分⎠⎛3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛3－4(x ＋a )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛3－a(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛3－4[－(x ＋a )]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 22－ax 3－4＝ －7a ＋72. 综上，得⎠⎛3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
高中数学 专题1.6 微积分基本定理练习(含解析)新人教A版选修2-2(2021年整理)
微积分基本定理(时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1。
ʃ1，0(e x ＋2x ）d x 等于（ ）A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1【答案】 C【解析】 ʃ错误!(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2）|错误!＝(e 1＋12)－（e 0＋02)＝e.2．sin 2错误!d x 等于（ ）A.错误!B.错误!－1C ．2D 。
错误! 【答案】 D3。
若ʃ错误!（2x ＋k )d x ＝2，则k ＝（ ）A 。
1B 。
2 C.3 D.4【答案】 A【解析】 ∵ʃ1，0(2x ＋k ）d x ＝(x 2＋kx )|错误!＝1＋k ＝2,∴k ＝1。
4．已知，若成立，则a = . A.或 B 。
C. D 。
0【答案】 A【解析】取，则,， 所以，所以，所以。
即，解得或.5．等于( ）20⎰()2321f x x x =++()()112f xd x f a -=⎰1-13131-()32F x x x x =++()13F =()11F -=-()()()11114f x F d xF ---==⎰()24f a =()2f a =23212a a ++=1a =-1311x dx -⎰A 。
B. C 。
D 。
【答案】C【解析】|x ｜＝∴＝，选C 。
6．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为（ ）．【答案】A＝n （n ＋1)(2n ＋1)＋ ＝＋＝，∴所求面积S ＝. 7．设f （x )是一次函数，且ʃ1，0f (x )d x ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝错误!，则f (x )的解析式为________．【答案】 f (x )＝4x ＋3 【解析】 ∵f （x ）是一次函数，设f （x )＝ax ＋b (a ≠0），则ʃ错误!f （x )d x ＝ʃ错误!（ax ＋b )d x ＝ʃ错误!ax d x ＋ʃ错误!b d x ＝错误!a ＋b ＝5，ʃ错误!xf （x )d x ＝ʃ错误!x （ax ＋b ）d x ＝ʃ错误!(ax 2）d x ＋ʃ错误!bx d x ＝错误!a ＋错误!b ＝错误!。
【VIP专享】2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：2章《推理与证明》(新人教A版选修2-2)
[解析] 大小前提都正确，其推理形式错误．故应选 C.
4．用数学归纳法证明等式 1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝
n＝1，左边应取的项是( )
A．1
B．1＋2
C．1＋2＋3
D．1＋2＋3＋4
[答案] D
[解析] 当 n＝1 时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选 D.
5．在 R 上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1 对任意实数 x
都成立，则( )
A．－1＜a＜1
B．0＜a＜2
13 C．－2＜a＜2
31 D．－2＜a＜2
[答案] C
[解析] 类比题目所给运算的形式，得到不等式(x－a)⊗(x＋a)<1 的简化形式，再求
其恒成立时 a 的取值范围．
(x－a)⊗(x＋a)<1⇔(x－a)(1－x－a)<1
即 x2－x－a2＋a＋1>0
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
高中数学选修2-2单元配套练习试题1.6微积分基本定理及参考答案解析
1.6微积分基本定理姓名:___________班级:______________________一、选择题1.10(e2)xx dx +⎰等于( )A.1B.e 1-C.eD.e+1 2.π23012sin 2d θθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为( )A.2-12- C.12D.2 3.若()1200xmx dx +=⎰,则实数m 的值为( )A.13-B.23- C.1- D.2- 4.若()02023kx x dx -=⎰,则k 等于( )A.0B.1C.0或1D.不确定 5.若2211s d x x =⎰,2211s d x x=⎰,231s e d x x =⎰则s 1,s 2,s 3的大小关系为( )A.s 1＜s 2＜s 3B.s 2＜s 1＜s 3C.s 2＜s 3＜s 1D.s 3＜s 2＜s 1 6.()3baf x dx '⎰＝( )A.f(b)－f(a)B.f(3b)－f(3a)C.13[f(3b)－f(3a)] D.3[f(3b)－f(3a)] 7.设()()()201,212,x x f x x x ⎧≤<⎪=⎨-≤≤⎪⎩则()20f x dx ⎰等于( )A.34 B.45 C.56D.不存在 8.若函数()f x ,()g x 满足11()()d 0f x g x x -=⎰,则称(),()f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数,给出三组函数:①11()sin,()cos 22f x xg x x ==; ②()1,g()1f x x x x =+=-;③2(),g()f x x x x ==.其中为区间[]1,1-上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题9.已知f(x)＝3x 2＋2x ＋1,若()()112f x dx f a -=⎰成立,则a ＝_______.10.设2lg ,0,()3,0,ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1f f =,则a =_____________. 11.π24π42cos tan 2x x dx -⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰_____________.三、解答题12.计算下列定积分: (1)502xdx ⎰;(2)()1202xx dx -⎰;(3)()()220424x x dx --⎰; (4)22123x x dx x+-⎰. 13.计算:πsin cos x x dx -⎰.14.(1)已知()()02122f a axa x dx =-⎰,求f(a)的最大值.(2)已知f(x)＝ax 2+bx+c(a≠0),且()1f -＝2,f′(0)＝0,()1=2f x dx -⎰,求a,b,c 的值.参考答案1.C 【解析】被积函数2e e 2(),x x x x c y c y =+=++的原函数为为常数1121200(e 2)(e )1)(e 0) e.xx x dx x ∴+=++-+=⎰｜＝(e考点:定积分的计算. 2.D【解析】因为212sin cos 2θθ-=,所以πππ23330012sin cos sin 22d d θθθθθ⎛⎫-===⎪⎝⎭⎰⎰. 考点:定积分的计算. 3.B 【解析】()1232100111103232x mx dx x mx m ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰,故实数m 的值为23-. 考点:定积分的计算.4.B 【解析】()()223230023kk dx x xx k x k =-=--=⎰,所以k ＝1或k ＝0(舍去).考点:定积分的计算. 5.B 【解析】因为s 132331117|(21)3333x ==-=<;s 221ln |ln 2ln1ln 21x ==-=<;s 3221e |e e 3x ==->,所以s 2＜s 1＜s 3.考点:定积分的计算. 6.C【解析】∵()()1333f x f x '⎡⎤'=⎢⎥⎣⎦,∴取F(x)＝13f(3x),则()3baf x dx '⎰＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)].故选C.考点:导数与定积分的关系. 【答案】C 【解析】()()2122012f x dx x dx x dx =+-⎰⎰⎰,取F 1(x)＝13x 3,F 2(x)＝2x －12x 2, 则F′1(x)＝x 2,F′2(x)＝2－x∴()2f x dx ⎰＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－212112⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭＝56.故选C.考点:分段函数定积分的计算.8.C【解析】对于①,1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数;对于②,1123111114(1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x ---+-=-=-=-≠⎰⎰,则)(x f 、)(x g 不为区间]1,1[-上的正交函数;对于③,1341111()|04x dx x --==⎰,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.考点:定积分的计算. 【答案】－1或13【解析】取F(x)＝x 3＋x 2＋x,则F(1)＝3,F(－1)＝－1, ∴()11f x dx -⎰＝F(1)－F(－1)＝4,∴2f(a)＝4,∴f(a)＝2. 即3a 2＋2a ＋1＝2,解得a ＝－1或13. 考点:定积分的计算. 10.1【解析】因为10x =>,所以(1)lg10f ==,又因为x≤0时,23()3af x x t dt x a =+=+⎰,所以3(0)f a =,所以31a =,1a =.考点:分段函数定积分的计算.11.π2+【解析】因为函数y ＝tanx 为奇函数,y ＝2cos 22x为偶函数,故ππππ2224444πππ04442cos tan 2cos tan 22cos 0222x x x x dx dx xdx dx ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰()π4021cos x dx =+⎰＝2(x+sinx)π40＝π2+考点:定积分的计算. 12.(1)25 (2)23-(3)403(4)73ln 22- 【解析】(1)52xdx ⎰＝x 250＝25－0＝25.(2)()122xx dx -⎰＝120x dx ⎰－12xdx ⎰＝13x 310－x 210＝13－1＝23-. (3)()()22424x x dx --⎰＝20(⎰16－8x －4x 2＋2x 3)dx ＝(2342041164)32x x x x --+ ＝32－16－323＋8＝403.(4)22123x x dx x +-⎰＝213(2)x x+-⎰dx＝221123ln 2x x x ⎛⎫+-⎪⎝⎭＝73ln 22-.考点:定积分的计算.13.【解析】()()πππ4π04sin cos cos sin sin cos x x dx x x dx x x dx -+--=⎰⎰⎰()()))ππ40π4sin cos cos sin 11x x x x +--=+=+=考点:定积分的计算.14.(1)29(2)a ＝6,b ＝0,4c =- 【解析】(1)取()3222132F x ax a x =-,则()222F x ax a x '=-,所以()()()22120221()12221032239f a ax F F a a a a x dx ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭=+-⎰,所以当23a =时,()f a 有最大值29. (2)因为()1f -＝2, 所以2a b c -+=,① 又因为()2f x ax b '=+, 所以()00f b '==,② 而()()211=x dx ax f bx c dx ++⎰⎰,取()321132F x ax bx cx =++, 则()2F x ax bx c '=++,所以()()()11110232x dx F f F a b c -=++==-⎰,③ 由①②③解得a ＝6,b ＝0,4c =-.考点:导数、定积分的计算.。
2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：1.3.1《函数的单调性与导数》(新人教A版选
2014-2014学年甘肃省会宁二中高二数学课时练习：1.3.1《函数的单调性与导数》(新人教A 版选修2-2)DB.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝⎛⎭⎪⎫0，π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π [答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 6．下列命题成立的是( )A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存在D．若f′(x)在(a，b)上都存在，则f(x)必为单调函数[答案] B[解析] 若f(x)在(a，b)内是增函数，则f′(x)≥0，故A错；f(x)在(a，b)内是单调函数与f′(x)是否存在无必然联系，故C错；f(x)＝2在(a，b)上的导数为f′(x)＝0存在，但f(x)无单调性，故D错．7．(2007·福建理，11)已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时( )A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0[答案] B[解析] f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，奇(偶)函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)，∴x<0时，f′(x)>0，g′(x)<0.8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a、b，若a<b，则必有( )A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a)D．bf(a)≤af(b)[答案] C[解析] ∵xf′(x)＋f(x)≤0，且x>0，f(x)≥0，∴f′(x)≤－f(x)x，即f(x)在(0，＋∞)上是减函数，又0＜a＜b，∴af(b)≤bf(a)．9．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)[答案] C[解析] 由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．故应选C.10．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.二、填空题11．已知y＝13x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．[答案] b<－1或b>2[解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.12．已知函数f(x)＝ax－ln x，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．[答案] a≥1[解析] 由已知a＞1＋ln xx在区间(1，＋∞)内恒成立．设g(x)＝1＋ln xx，则g′(x)＝－ln xx2＜0(x＞1)，∴g(x)＝1＋ln xx在区间(1，＋∞)内单调递减，∴g(x)＜g(1)，∵g(1)＝1，∴1＋ln xx＜1在区间(1，＋∞)内恒成立，∴a≥1.13．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为__________．[答案] (－∞，－1)[解析] 函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1<0，得x<12，∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．14．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>32x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.三、解答题15．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a、b的值；(2)讨论函数f(x)的单调性．[解析] (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax＋3b.由于f(x)的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即⎩⎨⎧ 1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3) ＝3(x ＋1)(x －3)．令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3；又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.所以当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数．16．求证：方程x －12sin x ＝0只有一个根x ＝0.[证明] 设f (x )＝x －12sin x ，x ∈(－∞，＋∞)，则f ′(x )＝1－12cos x ＞0， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数． 而当x ＝0时，f (x )＝0，∴方程x －12sin x ＝0有唯一的根x ＝0. 17．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．[分析] 可先由函数y ＝ax 与y ＝－b x的单调性确定a 、b 的取值范围，再根据a 、b 的取值范围去确定y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间． [解析] ∵函数y ＝ax 与y ＝－b x在(0，＋∞)上都是减函数，∴a ＜0，b ＜0.由y ＝ax 3＋bx 2＋5得y ′＝3ax 2＋2bx .令y ′＞0，得3ax 2＋2bx ＞0，∴－2b 3a ＜x ＜0.∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a ，0时，函数为增函数． 令y ′＜0，即3ax 2＋2bx ＜0，∴x ＜－2b 3a，或x ＞0. ∴在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－2b 3a ，(0，＋∞)上时，函数为减函数．18．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.(1)若a ＝12，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．[解析] (1)a ＝12时，f (x )＝x (e x －1)－12x 2， f ′(x )＝e x －1＋xe x －x ＝(e x－1)(x ＋1)． 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0；当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f(x)在(－∞，－1]，[0，＋∞)上单调递增，在[－1,0]上单调递减．(2)f(x)＝x(e x－1－ax)．令g(x)＝e x－1－ax，则g′(x)＝e x－a.若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.当a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x)<0，即f(x)<0.综合得a的取值范围为(－∞，1]．。
2014年高中数学 选修22课时训练9 微积分基本定理
课时训练9微积分基本定理1、(sin x-cos x)d x等于()A、0B、1C、2D、解析:(sin x-cos x)d x=(-cos x-sin x)=0、答案:A2、m=e x d x与n=d x的大小关系就是()A、m>nB、m<nC、m=nD、无法确定解析:m=e x d x=e x=e-1,n=d x=ln x=1,则m>n、答案:A3、已知函数f(a)=sin x d x,则f=()A、1B、1-cos 1C、0D、cos 1-1解析:f(a)=sin x d x=(-cos x)=1-cos a,于就是f=f=f(1)=1-cos 1、答案:B4、(e x+2x)d x等于()A、1B、e-1C、eD、e+1解析:∵被积函数e x+2x的原函数为e x+x2,∴(e x+2x)d x=(e x+x2)=(e1+12)-(e0+0)=e、答案:C5、若f(x)=(e为自然对数的底数),则f(x)d x=()A、+e2-eB、+eC、+e-e2D、-+e-e2解析:f(x)d x=|x|d x+(-e x)d x=x d x+(-e x)d x=x2+(-e x)=+e-e2、答案:C6、若函数f(x)=x m+nx的导函数就是f'(x)=2x+1,则f(-x)d x=()A、B、C、D、解析:∵f(x)=x m+nx的导函数就是f'(x)=2x+1,∴f(x)=x2+x、于就是f(-x)d x=(x2-x)d x=、答案:A7、设f(x)=若f(f(1))=1,则a=、解析:∵1>0,∴f(1)=lg1=0,∴f(f(1))=f(0)、又∵0≤0,∴f(f(1))=f(0)=0+3t2d t=t3=a3=1,∴a=1、答案:18、若d x=3+ln 2,则a=、解析:d x=(x2+ln x)=a2+ln a-1,∴a2+ln a-1=3+ln 2、∴a=2、答案:29、设f(x)=ax+b且f2(x)d x=1,求f(a)的取值范围、解:由于f(x)=ax+b,所以f2(x)d x=(ax+b)2d x=(a2x2+2abx+b2)d x==a2+ab+b2+a2-ab+b2=a2+2b2=1,即2a2+6b2=3,由此可得a2=,所以-≤b≤、因此f(a)=a2+b=-3b2+b=-3,故有-≤f(a)≤,即f(a)的取值范围就是-≤f(a)≤、10、F(x)=(t2+2t-8)d t、(1)求F(x)的单调区间;(2)求F(x)在[1,3]上的最值、解:依题意:F(x)=(t2+2t-8)d t=x3+x2-8x,定义域就是(0,+∞)、(1)F'(x)=x2+2x-8、令F'(x)>0,得x>2,或x<-4、令F'(x)<0,得-4<x<2、由于定义域就是(0,+∞),∴函数的单调递增区间就是(2,+∞),单调递减区间就是(0,2)、(2)令F'(x)=0,得x=2(x=-4舍去)、由于F(1)=-,F(2)=-,F(3)=-6,∴F(x)在[1,3]上的最大值就是F(3)=-6,最小值就是F(2)=-、。
高中数学 1.6 微积分基本定理课时练 新人教A版选修22
【金版新学案】2014-2015学年高中数学 1.6 微积分基本定理课时练 新人教A 版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列各式中错误的是( )A ．sin φd φ＝1 B.cos φd φ＝1C ．⎠⎛1ee xd x ＝－1D ．⎠⎛1e1x d x ＝1解析：sin φd φ＝(－cos φ)|＝－0－(－1)＝1，cos φd φ＝sin φ|＝1－0＝1，⎠⎛1ee x d x ＝e x | e1＝e e －e ， ⎠⎛1e1xd x ＝ln x | e1＝ln e －0＝1. 故选C. 答案： C2．已知f (x )是一次函数且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋3D ．－3x ＋4解析： 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则xf (x )＝ax 2＋bx ，⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x 2＋bx | 10＝a 2＋b ＝5， ① ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋b 2x 2| 10＝a 3＋b 2＝176， ②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧a2＋b ＝5a 3＋b 2＝176⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3，∴f (x )＝4x ＋3，故选A. 答案： A3．若⎠⎛1b1x 2d x ＝12，则b ＝( ) A ．32 B ．2 C ．3D ．4解析： ⎠⎛1b 1x 2d x ＝－1x | b 1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1＝12，解得b ＝2. 答案： B4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A ．34B ．56 C ．45D ．不存在解析： ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2| 21＝56.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________. 解析： 由⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝－1， 知⎠⎛12f (x )d x ＝－1－⎠⎛01f (x )d x ＝－2.答案： －26．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析： ⎠⎛01f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx | 10＝a 3＋c ，又f (x 0)＝⎠⎛01f (x )d x ，∴a 3＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13， ∴x 0＝±33，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 答案：33三、解答题(每小题10分，共20分) 7．计算下列定积分．(1) ⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ； (2) ⎠⎛25 (3x 2－2x ＋5)d x ；(3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ；(4)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x d x . 解析： (1)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ＝⎠⎛131d x ＋⎠⎛13x d x ＋⎠⎛13x 2d x＝x | 31＋12x 2| 31＋13x 3| 31＝(3－1)＋12(32－12)＋13(33－13)＝443. (2)⎠⎛25(3x 2－2x ＋5)d x ＝⎠⎛253x 2d x －⎠⎛252x d x ＋⎠⎛255d x＝x 3| 52－x 2| 52＋5x | 52＝(53－23)－(52－22)＋5(5－2)＝111.(3)⎠⎛02π(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )| 2π＝(sin 2π＋cos 2π)－(sin 0＋cos 0)＝0.(4)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x d x ＝(e x －ln x )| 21 ＝(e 2－ln 2)－(e 1－ln 1) ＝e 2－e －ln 2.8．(1)求函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3， x ∈[0，1，x ， x ∈[1，2，2x， x ∈[2，3]，在区间[0,3]上的定积分；(2)求⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析： (1)⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232xd x＝14x 4| 10＋23x 32| 21＋2xln 2| 32＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.(2)∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ， x <－32，6， －32≤x ≤32，4x ， x >32，∴⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x尖子生题库☆☆☆(10分)已知函数f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f (1)－f (－1)＝13，试求a ，b 的值．解析： f (x )＝⎠⎛0x(at 2＋bt ＋1)d t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3t 3＋b 2t 2＋t | x 0＝a 3x 3＋b2x 2＋x .∵f (x )为奇函数， ∴b2＝0，即b ＝0. 又∵f (1)－f (－1)＝13，∴a 3＋1＋a 3＋1＝13，∴a ＝－52.。
人教版数学高二课时作业31.6微积分基本定理
1.6 微积分基本定理基础巩固一、选择题1.由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2，t ∈(0,1)所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为 ()A. 14 B ．13C. 12D. 232．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)，2－x (1≤x ≤2).则⎠⎛02f (x )d x 等于 ( )A. 34 B ．45C. 56D ．不存在3．已知函数f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2，则⎠⎛13f (－x )d x ＝ ( )A ．0B ．3C ．－23D. 234．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是 ( )A ．f ′(x )＝cos xB ．f ′(x )＝sin xC ．f ′(x )＝－cos xD ．f ′(x )＝－sin x5．若直线l 1：x ＋ay －1＝0与l 2：4x －2y ＋3＝0垂直，则积分⎠⎛-a a (x 3＋sin x －5)d x 的值为 ( )A ．6＋2sin 2B ．－6－2cos 2C ．20D ．－206．⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ的值为 ( ) A ．－32B ．－12C. 12D.32二、填空题 7．计算定积分： ①⎠⎛－11x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝________ ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________④⎠⎜⎛-π20|sin x |d x ＝________8.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________.9．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛－11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.三、解答题10．计算下列定积分： (1)⎠⎛2(4－2x )(4－x 2)d x;(2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .能力提升一、选择题1．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为 ( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 12．定义在R 上的可导函数y ＝f (x )，如果存在x 0∈，使得f (x 0)＝⎠⎛abf (x )d x b －a成立，则称x 0为函数f (x )在区间上的“平均值点”，那么函数f (x )＝x 3－3x 在区间上“平均值点”的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题3．⎠⎜⎜⎛-π2π2(x ＋cos x )d x ＝________. 4.函数y ＝x 2与y ＝k x(k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________.三、解答题5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.6．如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值.参考答案基础巩固一、选择题 1.【答案】 A【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝t 2x >0得，x ＝t ，故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x ＝(t 2x －13x 3)|t 0＋(13x 3－t 2x )|1t ＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，∵0<t <1，∴t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14.2．【答案】 C【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ， 取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ， ∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故应选C. 3．【答案】 D【解析】 ∵f (x )＝x n ＋mx 的导函数f ′(x )＝2x ＋2， ∴nx n －1＋m ＝2x ＋2， 解得n ＝2，m ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ， ∴f (－x )＝x 2－2x ，∴⎠⎛13f (－x )d x ＝⎠⎛13(x 2－2x )d x ＝(13x 3－x 2)|31＝9－9－13＋1＝23，故选D. 4．【答案】 A【解析】 F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x 0＝sin x －sin0＝sin x .所以f ′(x )＝cos x ，故应选A. 5．【答案】 D【解析】 由l 1⊥l 2得4－2a ＝0即a ＝2，∴原式＝⎠⎛－22(x 3＋sin x －5)d x ＝⎠⎛－22(x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛－22(－5)d x ＝0－20＝－20.6．【答案】 D【解析】 ∵1－2sin 2θ2＝cos θ，∴⎠⎜⎛0π3⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2d θ＝⎠⎜⎛0π3cos θd θ ＝sin θ⎪⎪⎪π30＝32，故应选D.二、填空题7．【答案】 ①23 ②436 ③2 ④1【解析】 ①⎠⎛－11x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎫3x －2x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋2x | 32＝436. ③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝⎝⎛⎭⎫x －13x 3| 10＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x | 21＝2. ④⎠⎜⎛-π20|sin x |d x ＝⎠⎜⎛-π20(－sin x )d x ＝cos x ⎪⎪⎪-π2＝1.8.【答案】 13【解析】 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.9．【答案】 －1或13【解析】 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛－11f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题10．解：(1)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403. (2)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x ＋2－3x d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2. 能力提升一、选择题 1．【答案】 B 【解析】 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121x d x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2.S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 2．【答案】 C【解析】 由已知得：f (x 0)＝⎠⎛－22(x 3－3x )d x 4＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫14x 4－32x 22－24＝0，即x 30－3x 0＝0， 解得：x 0＝0或x 0＝±3，∴f (x )的平均值点有3个，故选C. 二、填空题 3．【答案】 2【解析】 ⎠⎜⎜⎛-π2π2(x ＋cos x )d x ＝(12x 2＋sin x )⎪⎪⎪π2-π2＝2.4. 【答案】 3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2.由题意得，⎠⎛0k (kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3)|k 0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3.三、解答题5．解：∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2.① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.6．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛1(x －x 2)dx ＝(x 22－x 33)|10＝12－13＝16. 抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为x ′1＝0，x ′2＝1－k ， 所以S 2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )dx ＝(1－k 2x 2－x 33)|1－k 0＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12.于是k ＝1－312＝1－342.。
人教版数学高二作业 1.6 微积分基本定理
一、基础过关1．已知物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么下列命题正确的是( )①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )|b a ；②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)；③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝lim n →∞∑=n 1i b －a ns ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝ʃb a s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( )A ．F (x )＝13x 3 B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1 D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数) 答案 B3．ʃ10(e x ＋2x )d x 等于( ) A ．1 B ．e －1 C ．e D ．e ＋1答案 C解析 ʃ10(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则ʃ1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23答案 B解析 ʃ1－1f (x )d x ＝ʃ0－1x2d x ＋ʃ101d x ＝x 33|0－1＋1＝13＋1＝43，故选B. 5．π20⎰sin 2x 2d x 等于( ) A.π4B.π2－1 C ．2D.π－24 答案 D解析 π20⎰sin 2x 2d x ＝π20⎰1－cos x 2d x ＝12(x －sin x )|π20＝π－24，故选D. 6．若ʃ10(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.答案 1解析 ∵ʃ10(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )|10＝1＋k ＝2，∴k ＝1.二、能力提升7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若ʃ10f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 答案 33解析 ʃ10(ax 2＋c )d x ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20， ∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1， ∴x 0＝33. 8．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0x ＋a 03t 2d t ，x ≤0， 若f [f (1)]＝1，则a ＝________.答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋ʃa 03t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.9．设f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，则f (x )的解析式为________． 答案 f (x )＝4x ＋3解析 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则ʃ10f (x )d x ＝ʃ10(ax ＋b )d x ＝ʃ10ax d x ＋ʃ10b d x ＝12a ＋b ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10x (ax ＋b )d x ＝ʃ10(ax 2)d x ＋ʃ10bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧ 12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3. 10．计算下列定积分：(1)ʃ21(e x ＋1x)d x ；(2)ʃ91x (1＋x )d x ； (3)ʃ200(－0.05e－0.05x ＋1)d x ； (4)ʃ211x (x ＋1)d x . 解 (1)∵(e x ＋ln x )′＝e x ＋1x， ∴ʃ21(e x ＋1x)d x ＝(e x ＋ln x )|21＝e 2＋ln 2－e. (2)∵x (1＋x )＝x ＋x ，(12x 2＋2332x )′＝x ＋x ， ∴ʃ91x (1＋x )d x ＝(12x 2＋2332x )|91＝1723. (3)∵(e －0.05x ＋1)′＝－0.05e －0.05x ＋1，∴ʃ200(－0.05e －0.05x ＋1)d x ＝e －0.05x ＋1|200＝1－e. (4)∵1x (x ＋1)＝1x －1x ＋1， (ln x )′＝1x ，(ln(x ＋1))′＝1x ＋1，∴ʃ211x (x ＋1)d x ＝ln x |21－ln(x ＋1)|21＝2ln 2－ln 3. 11．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求ʃ30f (x )d x 的值．解 由定积分的性质，知：ʃ30f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃ21f (x )d x ＋ʃ32f (x )d x＝ʃ10x 3d x ＋ʃ21x d x ＋ʃ322x d x ＝x 44|10＋23x 32|21＋2x ln 2|32 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2. 12．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵(23ax 3－12a 2x 2)′＝2ax 2－a 2x ， ∴ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12(a 2－43a ＋49)＋29 ＝－12(a －23)2＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29. 三、探究与拓展13．求定积分ʃ3－4|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时， 原式＝ʃ3－4(x ＋a )d x ＝(x 22＋ax )|3－4＝7a －72. (2)当－4<－a <3即－3<a <4时，原式＝ʃ－a －4[－(x ＋a )]d x ＋ʃ3－a (x ＋a )d x ＝(－x 22－ax )|－a －4＋(x 22＋ax )|3－a＝a 22－4a ＋8＋(a 22＋3a ＋92) ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时， 原式＝ʃ3－4[－(x ＋a )]d x ＝(－x 22－ax )|3－4 ＝－7a ＋72. 综上，得ʃ3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72 (a ≥4)a 2－a ＋252 (－3<a <4)－7a ＋72 (a ≤－3).。
高中数学 1.6 微积分基本定理基础达标(含解析)新人教A
解：如图，
∴f(x)＝max{x，x2 }
＝
∴原式＝ x2dx＋ xdx＋ x2dx＝ .
【优化方案】2013-2014学年高中数学 1.6 微积分基本定理基础达标（含解析）新人教A版选修2-2
1. (ex＋2x)dx等于()
A．1B．e－1
C．eD．e＋1
解析：选C. (ex＋2x)dx＝(ex＋x2)| ＝(e1＋1)－e0＝e，故选C.
2．(2013·高考江西卷)若S1＝ x2dx，S2＝ dx，S3＝ dx，则S1，S2，S3的大小关系为()
∴ (x2＋sinx)dx＝( x3－cosx) ＝ .
答案：
7．已知f(x)＝ (其中e为自然对数的底数)，则 f(x)dx的值为________．
解析： f(x )dx＝ x2dx＋ dx＝ x3 ＋ln ＝ ＋2＝ .
答案：
8．设f(x)＝ ，若f[f(1)]＝1，则a＝________.
解析：∵x＝1＞0，∴f(1)＝lg 1＝0.
A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3
C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1
解析：选B.S1＝ x2dx＝ x3 ＝ ×23－ ＝ ，
S2＝ d x＝lnx ＝ln 2，
S3＝ exdx＝ex ＝e2－e＝e(e－1)．ln 2＜ln e＝1，且 ＜2.5＜e(e－1)，所以ln 2＜ ＜e(e－1)，即S2＜S1＜S3.
3．设f(x)＝ 则 f(x)dx等于()
A. B.
C. D．不存在
解析：选C. f(x)dx＝ x2dx＋ (2－x)dx＝
x3 ＋ ＝ .
4．若 (2x－3x2)dx＝0，则k等于()
2014-2015学年高中数学 4.2 微积分基本定理课时作业 北师大版选修2-2
§2 微积分基本定理课时目标 1.了解微积分基本定理的内容与含义.2.会利用微积分基本定理求函数的定积分．微积分基本定理：如果连续函数f (x )是________________________，则有ʃba f (x )d x ＝__________.一、选择题1．设f (x )在[a ，b ]上连续，且(F (x )＋C )′＝f (x )(C 为常数)，则lim Δx →0F x ＋Δx －F xΔx等于( )A ．F (x )B ．f (x )C ．0D ．f ′(x )2．由曲线y ＝x 3，直线x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积为( )A ．1B.12C.13D.143．220sin cos 22x x dx π⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的值是( )A.π2B.π2＋1C ．－π2D ．04．ʃ0－4|x ＋3|d x 的值为( ) A ．－2B ．0C ．5D.125．若m ＝ʃ10e x d x ，n ＝ʃe 11xd x ，则m 与n 的大小关系是( )A ．m >nB ．m <nC ．m ＝nD ．无法确定6．ʃ421xd x 等于( )A ．－2ln 2B ．2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2 二、填空题7．ʃ10(2x k＋1)d x ＝2，则k ＝________. 8．定积分ʃ10x1＋x 2d x 的值为________．9．定积分20π⎰1－sin 2x d x 的值为__________．三、解答题10．计算：(1)ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ；(2) 22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x .11.已知f (x )＝a sin x ＋b cos x ，20π⎰f (x )d x ＝4，60π⎰f (x )d x ＝7－332，求f (x )的最大值和最小值．能力提升12．f (x )是一次函数，且ʃ10f (x )d x ＝5，ʃ10xf (x )d x ＝176，那么f (x )的解析式是( ) A ．4x ＋3 B ．3x ＋4 C ．－4x ＋2 D ．－3x ＋413．已知ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝ʃt 0(x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b .1．用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找到被积函数的原函数．2．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分． 答 案知识梳理函数F (x )的导函数，即f (x )＝F ′(x ) F (b )－F (a ) 作业设计 1．B2．D [曲边梯形面积A ＝ʃ10x 3d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 4|10＝14.]3．B [20π⎰⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22d x ＝20π⎰(1＋sin x )d x＝x |20π＋(－cos x )20π＝π2＋1.] 4．C [原式＝ʃ－3－4(－x －3)d x ＋ʃ0－3(x ＋3)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－3x |－3－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋3x |0－3＝5.] 5．A [∵m ＝ʃ10e x d x ＝e x |10＝e －1，n ＝ʃe 11xd x ＝ln x |e1＝ln e －ln 1＝1，m －n ＝e －1－1＝e －2>0，∴m >n .]6．D [ʃ421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.]7．1解析 ∵ʃ10(2x k ＋1)d x ＝ʃ102x k d x ＋ʃ10d x＝2ʃ10x k d x ＋x |10＝2x k ＋1k ＋1|10＋1 ＝2k ＋1＋1＝2，∴2k ＋1＝1， 即k ＝1. 8.12ln 2 解析 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12ln 1＋x 2′＝x 1＋x 2， ∴ʃ10x 1＋x 2d x ＝12ln(1＋x 2)|10＝12ln 2. 9．2(2－1) 解析 20π⎰cos 2x ＋sin 2x －2sin x cos x d x ＝20π⎰sin x －cos x2d x＝20π⎰|cos x －sin x |d x ＝40π⎰(cos x －sin x )d x ＋24ππ⎰(sin x －cos x )d x＝(sin x ＋cos x ) 40π－(cos x ＋sin x )24ππ＝2(2－1)．10．解 (1)∵f (x )＝sin 5x ＋x 13，x ∈[－5,5]是奇函数， ∴由定积分的几何意义知 ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝－ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ，∴ʃ5－5(sin 5x ＋x 13)d x ＝ʃ0－5(sin 5x ＋x 13)d x ＋ʃ50(sin 5x ＋x 13)d x ＝0.(2)∵f (x )＝cos 2x ＋8，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，∴22ππ-⎰(cos 2x ＋8)d x ＝220π⎰(cos 2x ＋8)d x＝20π⎰2cos 2x d x ＋20π⎰16d x＝20π⎰(1＋cos 2x )d x ＋16x20π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12sin 2x 20π＋16x2π＝172π. 11．解20π⎰f (x )d x ＝20π⎰(a sin x ＋b cos x )d x＝(b sin x －a cos x ) 20π＝b ＋a ＝4.60π⎰f (x )d x ＝(b sin x －a cos x )60π＝12b －32a ＋a ＝7－332， 解得a ＝3，b ＝1.所以f (x )＝3sin x ＋cos x ＝10sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝13)．故f (x )的最大值为10，最小值为－10. 12．A [设f (x )＝ax ＋b ，则ʃ1(ax ＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 22＋bx |10＝a2＋b ，ʃ10xf (x )d x ＝ʃ10(ax 2＋bx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 33＋bx 22|10＝a 3＋b 2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ＝5a 3＋b 2＝176，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.∴f (x )＝4x ＋3.]13．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数，∴ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＝0， ∴ʃ1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝ʃ1－1(x 3＋ax )d x ＋ʃ1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3. ① 又f (t )＝⎪⎪⎪⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 44＋a 2x 2＋3a －b x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数，∴3a －b ＝0. ② 由①②得a ＝－3，b ＝－9.。
人教新课标版数学高二-人教A版选修2-2学案 1.6微积分基本定理
1．6 微积分基本定理【学习目标】了解微积分基本定理的含义，熟练地用微积分积分定理计算微积分【重点难点】微积分基本定理 的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分一、自主学习要点1 微积分基本定理(2)如果在区间[a ，b]上，函数f(x)≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(图2)．由于b －a n >0，f(ξi )≤0，故f(ξi )b －a n≤0.从而定积分 ⎠⎛ab f(x)d x ≤0，这时它等于图2所示曲边梯形面 积的相反值，即S ＝ .(3)当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时，定积分⎠⎛ab f(x)d x 在几何上表示图3所示的几个小曲边形面积的代数和(x 轴上方的面积取正号，x 轴下方的面积取负号)，即⎠⎛a b f(x)d x ＝ .二、合作，探究，展示，点评题型一 求初等函数的定积分例1 计算下列定积分．(1)⎠⎛2105x 4d x ； (2)⎠⎛13(1＋x ＋x 2)d x ； (3)⎠⎛13(x ＋1x)26x d x.思考题1 计算定积分．(1)⎠⎛12(x 2＋1x 4)d x ； (2)⎠⎛0ln2e x (1＋e x )d x.题型二 分段函数定积分例2 (1)求函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3， x ∈[0，1)，x ， x ∈[1，2)，2x ， x ∈[2，3]在区间[0,3]上的积分．(2)求⎠⎛－33(|2x ＋3|＋|3－2x|)d x.思考题2 计算定积分⎠⎛02(|x －1|＋|x －3|)d x.题型三 定积分的应用例3 已知⎠⎛－11(x 3＋ax ＋3a －b)d x ＝2a ＋6且f(t)＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b) d x 为偶函数，求a ，b.思考题3 (1)已知函数f(x)＝⎠⎛0x (at 2＋bt ＋1)d t 为奇函数，且f(1)－f(－1)＝13，求a ，b 的值．三、知识小结1．微积分基本定理应用的理解:利用微积分基本定理计算定积分⎠⎛ab f(x)d x 的关键是找到使F ′(x)＝f(x)成立的F(x)，通常是逆向考虑基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则．求出F(x)．这个过程与求导运算互为逆运算，为避免出错，在求出F(x)后，可利用F ′(x)＝f(x)对F(x)进行求导验证．2．求定积分的基本方法．(1)利用微积分基本定理：步骤为：①求F(x)，使得F ′(x)＝f(x)．②计算F(b)－F(a)．(2)利用定积分的几何意义．如定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是14单位圆的面积．所以⎠⎛011－x 2d x ＝14π.。
高中数学人教A版选修2-2同步训练：1.6 微积分基本定理
1.6 微积分基本定理1、直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B. C. 2 D. 42、1=⎰( )A. πB. 2πC. 3πD. 4π3、若()3241cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰,则a =( )A.-1B.1C.2D.44、设()[][]20,121,2xx f x xx ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩,则()2f x dx ⎰等于( )A. 34 B. 56C. 45D.不存在5、设()f x 是一次函数,且()15f x dx =⎰,()1176xf x dx =⎰,则()f x 的解析式为( ) A. 43x + B. 34x + C. 42x -+ D. 34x -+6、23012sin 2d πθθ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰的值为( )A. 2- B. 12- C.127、()12xex dx +⎰等于( )A. 1B. 1e -C. eD. 1e + 8、若1123ln 2ax dx x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰,则a 的值是( )A.6B.4C.3D.2 9、若1111ln 32ax dx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰,且1a >,则a 的值为( ) A. 3- B. ln 3D. 310、()4sin cos 2x a x dx π-=-⎰,则实数a 等于( ) A. 1C. 1-D.3-11、如图,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中,阴影部分的面积为__________.12、设函数()()20f x ax c a =+≠,若()()1000,01f x dx f x x =≤≤⎰,则0x 的值为__________.13、已知()21214kx dx ≤+≤⎰,则实数k 的取值范围为__________.14、()f x 是一次函数,且()105f x dx =⎰,117()6xf x dx =⎰,那么()f x 的解析式是__________ 15、已知()[](]2212,212,4x x f x xx ⎧+∈-⎪=⎨+∈⎪⎩若()3340k f x dx =⎰,求实数k 的值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：由 34{y x y x ==,得2x =± ,或0x = ,所以两图象的交点坐标为()0,0,()2,8,()2,8--. 所以直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积:()2324021144|024S x x dx x x ⎛⎫=-=⨯- ⎪⎝⎭⎰11441684424=⨯⨯-⨯=-=,故选D.2答案及解析： 答案：B 解析：选B利用定积分几何意义和积分性质。
高中数学 1.6 微积分基本定理学案 新人教A版选修2-2
1.6 微积分基本定理学习目标：1.了解导数与定积分的关系以及微积分基本定理的含义．(重点、易混点)2.掌握微积分基本定理，会用微积分基本定理求定积分．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．微积分基本定理＝的函数[提示]不唯一，如F 1(x )＝x ＋1，F 2(x )＝x ＋5，…等其导数为1，故F (x )不唯一． 2．定积分和曲边梯形面积的关系设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下．则 (1)当曲边梯形在x 轴上方时，如图161①，则⎠⎛a b f (x )d x ＝S 上．(2)当曲边梯形在x 轴下方时，如图161②，则⎠⎛ab f (x )d x ＝－S 下．(3)当曲边梯形在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图161③，则⎠⎛ab f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛ab f (x )d x ＝0.图① 图② 图③图161[基础自测]1．思考辨析(1)若⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab g (x )d x ，则f (x )＝g (x )( )(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√2．若a ＝⎠⎛01(x －2)d x ，则被积函数的原函数为( )A ．f (x )＝x －2B ．f (x )＝x －2＋C C ．f (x )＝12x 2－2x ＋CD ．f (x )＝x 2－2x[答案] C 3．cos x d x ＝________.[解析][答案] 14．如图162，定积分⎠⎛a b f (x )d x 的值用阴影面积S 1，S 2，S 3表示为⎠⎛ab f (x )d x ＝________.【导学号：31062090】图162[解析] 根据定积分的几何意义知⎠⎛abf (x )d x ＝S 1－S 2＋S 3. [答案] S 1－S 2＋S 3[合 作 探 究·攻 重 难](1)⎠⎛01(2x ＋e x)d x ；(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2－cos x 22d x ；(4)⎠⎛03(x －3)(x －4)d x .[解] (1)⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )＝(1＋e 1)－(0＋e 0)＝e.(2)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x－3cos x d x ＝(ln x －3sin x )| 21＝(ln 2－3sin 2)－(ln 1－3sin 1) ＝ln 2－3sin 2＋3sin 1. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2－cos x 22＝1－2sin x 2cos x2＝1－sin x ，＝⎝⎛⎭⎪⎫π2＋cos π2－(0＋cos 0)＝π2－1. (4)∵(x －3)(x －4)＝x 2－7x ＋12， ∴⎠⎛03(x －3)(x －4)d x＝⎠⎛03(x 2－7x ＋12)d x⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－72x 2＋12x＝27－632＋36＝632.[规律方法] 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式，便于求得函数F x由微积分基本定理求定积分的步骤第一步：求被积函数f x的一个原函数F x ；第二步：计算函数的增量F b －Fa[跟踪训练]1．计算下列定积分． (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x2－sin 2x 2d x ； (3)⎠⎛49x (1＋x )d x .【导学号：31062091】[解] (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x 33＋ln x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－83＋ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝ln 2＋23.＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23×27＋812－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×8＋162＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋812－163－8 ＝2716(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，0≤x <π2，1，π2≤x ≤2，x －1，2<x ≤4，求⎠⎛04f (x )d x ；(2)⎠⎛02|x 2－1|d x .[思路探究] (1)按f (x )的分段标准，分成⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2，(2,4]三段求定积分，再求和．(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分．[解] (1)(x －1)d x ＝(－cos x )＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.(2)⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.[规律方法] 1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解．2．分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行．3．带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． [跟踪训练]2．(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2x ，0≤x ≤1，x 2，1＜x ≤2，求⎠⎛02f (x )d x .(2)求|x 2－x |d x 的值.【导学号：31062092】[解] (1)⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(1＋2x )d x ＋⎠⎛12x 2d x＝(x ＋x 2)＝2＋73＝133.(2)∵|x 2－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，－2≤x ＜0，x －x 2，0≤x ≤1，x 2－x ，1＜x ≤2，∴|x 2－x |d x＝143＋16＋56＝173.[探究问题]1．求f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x 的表达式．提示：f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23ax 3－12a 2x 2＝23a －12a 2. 2．试求f (a )取得最大时a 的值． 提示：f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43a ＋49＋29＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29，∴当a ＝23时，f (a )的最大值为29.(1)已知t ＞0，f (x )＝2x －1，若⎠⎛0t f (x )d x ＝6，则t ＝________.(2)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为________．[解] (1)⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x ＝t 2－t ＝6，解得t ＝3或－2，∵t ＞0，∴t ＝3.(2)⎠⎛12(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ＝32k ＋1.由2≤32k ＋1≤4，得23≤k ≤2.母题探究：1.(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛tf (x )d x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，求t . [解] 由⎠⎛0t f (x )d x ＝⎠⎛0t (2x －1)d x＝t 2－t ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝t －1， ∴t 2－t ＝t －1，得t ＝1.2．(变条件)若将例3(1)中的条件改为⎠⎛0t f (x )d x ＝F (t )，求F (t )的最小值．[解] F (t )＝⎠⎛0t f (x )d x ＝t 2－t＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－14(t ＞0)， 当t ＝12时，F (t )min ＝－14.[规律方法] 利用定积分求参数应注意的问题利用定积分求参数时，注意方程思想的应用．一般地，首先要弄清楚积分变量和被积函数．当被积函数中含有参数时，必须分清常数和变量，再进行计算，其次要注意积分下限小于积分上限．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列值等于1的是( )【导学号：31062093】A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x C [选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22′＝x ，所以⎠⎛01x d x ＝x 22＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ＝32；选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011d x ＝x ＝1；选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠⎛0112d x ＝12x ＝12.] 2．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝()x 2＋ln x ＝a 2＋ln a －1，∴a 2－1＝3，且ln a ＝ln 2，故a ＝2.]3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝________.【导学号：31062094】[解析] ⎠⎛02⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x＝x 33－x 23＝83－43＝43[答案] 434．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝________.[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －x 22＝176.[答案]1765．已知f (x )是二次函数，其图象过点(1,0)，且f ′(0)＝2，⎠⎛01f (x )d x ＝0，求f (x )的解析式．[解] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∴a ＋b ＋c ＝0. ∵f ′(x )＝2ax ＋b ， ① ∴f ′(0)＝b ＝2.②⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx＝13a ＋12b ＋c ＝0.③由①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝2，c ＝－12，∴f (x )＝－32x 2＋2x －12.。
【高二】微积分基本定理综合测试题(有答案)
【高二】微积分基本定理综合测试题（有答案）选修2-2 1.6 微积分基本定理一、1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54C.338D.218[答案] A[解析] 2－2x2＋1x4dx＝2－2x2dx＋2－21x4dx＝13x32－2＋－13x－32－2＝13(x3－x－3)2－2＝138－18－13－8＋18＝214.故应选A.3.1－1xdx等于( )A.1－1xdxB.1－1dxC.0－1(－x)dx＋01xdxD.0－1xdx＋01(－x)dx[答案] C[解析] ∵x＝x (x≥0)－x (x<0)∴1－1xdx＝0－1xdx＋01xdx＝0－1(－x)dx＋01xdx，故应选C.4．设f(x)＝x2 (0≤x<1)2－x (1≤x≤2)，则02f(x)dx等于( ) A.34 B.45C.56 D．不存在[答案] C[解析] 02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.5.abf′(3x)dx＝( )A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)C.13[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)][答案] C[解析] ∵13f(3x)′＝f′(3x)∴取F(x)＝13f(3x)，则abf′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝13[f(3b)－f(3a)]．故应选C.6.03x2－4dx＝( )A.213B.223C.233D.253[答案] C[解析] 03x2－4dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx ＝4x－13x320＋13x3－4x32＝233.A．－32 B．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cosθ8．函数F(x)＝0xcostdt的导数是( )A．cosx B．sinxC．－cosx D．－sinx[答案] A[解析] F(x)＝0xcostdt＝sintx0＝sinx－sin0＝sinx.所以F′(x)＝cosx，故应选A.9．若0k(2x－3x2)dx＝0，则k＝( )A．0 B．1C．0或1 D．以上都不对[答案] C[解析] 0k(2x－3x2)dx＝(x2－x3)k0＝k2－k3＝0，∴k＝0或1.10．函数F(x)＝0xt(t－4)dt在[－1,5]上( )A．有最大值0，无最小值B．有最大值0和最小值－323C．有最小值－323，无最大值D．既无最大值也无最小值[答案] B[解析] F(x)＝0x(t2－4t)dt＝13t3－2t2x0＝13x3－2x2(－1≤x≤5)．F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：x(－1,0)0(0,4)4(4,5)F′(x)＋0－0＋F(x) ?极大值极小值 ?可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－323.又F(－1)＝－73，F(5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323.二、题11．计算定积分：①1－1x2dx＝________②233x－2x2dx＝________③02x2－1dx＝________④0－π2sinxdx＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①1－1x2dx＝13x31－1＝23.②233x－2x2dx＝32x2＋2x32＝436.③02x2－1dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x310＋13x3－x21＝2.[答案] 1＋π213．(2021?陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点(x，y)，则点取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x310＝1，则P＝S1S阴＝13.14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分：(1)052xdx；(2)01(x2－2x)dx；(3)02(4－2x)(4－x2)dx；(4)12x2＋2x－3xdx.[解析] (1)052xdx＝x250＝25－0＝25.(2)01(x2－2x)dx＝01x2dx－012xdx＝13x310－x210＝13－1＝－23.(3)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx＝16x－4x2－43x3＋12x420＝32－16－323＋8＝403.(4)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx＝12x2＋2x－3lnx21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F(x)＝12sin2x，则F′(x)＝cos2x ＝121－32＝14(2－3)．(2)取F(x)＝x22＋lnx＋2x，则F′(x)＝x＋1x＋2.∴23x＋1x2dx＝23x＋1x＋2dx＝F(3)－F(2)＝92＋ln3＋6－12×4＋ln2＋4＝92＋ln32.(3)取F(x)＝32x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx17．计算下列定积分：(1)0－4x＋2dx；(2)已知f(x)＝，求3－1f(x)dx的值．[解析] (1)∵f(x)＝x＋2＝∴0－4x＋2dx＝－－4－2(x＋2)dx＋0－2(x＋2)dx＝－12x2＋2x－2－4＋12x2＋2x0－2＝2＋2＝4.(2)∵f(x)＝∴3－1f(x)dx＝0－1f(x)dx＋01f(x)dx＋12f(x)dx＋23f(x)dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx＝x－x2210＋x22－x21＝12＋12＝1.18．(1)已知f(a)＝01(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．[解析] (1)取F(x)＝23ax3－12a2x2则F′(x)＝2ax2－a2x∴f(a)＝01(2ax2－a2x)dx＝F(1)－F(0)＝23a－12a2＝－12a－232＋29∴当a＝23时，f(a)有最大值29.(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②而01f(x)dx＝01(ax2＋bx＋c)dx取F(x)＝13ax3＋12bx2＋cx则F′(x)＝ax2＋bx＋c∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13a＋12b＋c＝－2③解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.感谢您的阅读，祝您生活愉快。
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选修2-2 1.6 微积分基本定理一、选择题1．下列积分正确的是( )[答案] AA.214B.54 C.338D.218[答案] A[解析] ⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4d x ＝⎠⎛2－2x 2d x ＋⎠⎛2－21x4d x ＝13x 3| 2－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x －3| 2－2 ＝13(x 3－x －3)| 2－2 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫8－18－13⎝ ⎛⎭⎪⎫－8＋18＝214.故应选A.3.⎠⎛1－1|x |d x 等于( )A.⎠⎛1－1x d xB.⎠⎛1－1d xC.⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d xD.⎠⎛0－1x d x ＋⎠⎛01(－x )d x[答案] C[解析] ∵|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)－x (x <0)∴⎠⎛1－1|x |d x ＝⎠⎛0－1|x |d x ＋⎠⎛01|x |d x＝⎠⎛0－1(－x )d x ＋⎠⎛01x d x ，故应选C.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(0≤x <1)2－x (1≤x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2×1－12×12＝56.故应选C.5.⎠⎛ab f ′(3x )d x ＝( )A ．f (b )－f (a )B ．f (3b )－f (3a ) C.13[f (3b )－f (3a )]D ．3[f (3b )－f (3a )][答案] C[解析] ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤13f (3x )′＝f ′(3x ) ∴取F (x )＝13f (3x )，则⎠⎛abf ′(3x )d x ＝F (b )－F (a )＝13[f (3b )－f (3a )]．故应选C. 6.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213B.223 C.233D.253[答案] C10/21/2014[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －13x 3| 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－4x | 32＝233.A ．－32B ．－12C.12D.32[答案] D[解析] ∵1－2sin2θ2＝cos θ8．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．cos xB ．sin xC ．－cos xD ．－sin x[答案] A[解析] F (x )＝⎠⎛0x cos t d t ＝sin t | x0＝sin x －sin0＝sin x .所以F ′(x )＝cos x ，故应选A. 9．若⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝0，则k ＝( )A ．0B ．1C ．0或1D ．以上都不对[答案] C[解析] ⎠⎛0k (2x －3x 2)d x ＝(x 2－x 3)| k 0＝k 2－k 3＝0，∴k ＝0或1.10．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F (x )＝⎠⎛0x (t 2－4t )d t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－2t 2| x 0＝13x 3－2x 2(－1≤x ≤5)．F ′(x )＝x 2－4x ，由F ′(x )＝0得x ＝0或x ＝4，列表如下：可见极大值F (0)＝0，极小值F (4)＝－3.又F (－1)＝－73，F (5)＝－253∴最大值为0，最小值为－323. 二、填空题 11．计算定积分： ①⎠⎛1－1x 2d x ＝________②⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝________③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝________ ④⎠⎛0－π2|sin x |d x ＝________[答案] 23；436；2；1[解析] ①⎠⎛1－1x 2d x ＝13x 3| 1－1＝23.②⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫3x －2x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x | 32＝436.③⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x | 21＝2.10/21/2014[答案] 1＋π213．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2dx ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 1S 阴＝13. 14．已知f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛1－1f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.[答案] －1或13[解析] 由已知F (x )＝x 3＋x 2＋x ，F (1)＝3，F (－1)＝－1， ∴⎠⎛1－1f (x )d x ＝F (1)－F (－1)＝4，∴2f (a )＝4，∴f (a )＝2.即3a 2＋2a ＋1＝2.解得a ＝－1或13.三、解答题15．计算下列定积分： (1)⎠⎛052x d x ；(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ；(3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ；(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x .[解析] (1)⎠⎛052x d x ＝x 2| 50＝25－0＝25.(2)⎠⎛01(x 2－2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x －⎠⎛012x d x＝13x 3| 10－x 2| 10＝13－1＝－23. (3)⎠⎛02(4－2x )(4－x 2)d x ＝⎠⎛02(16－8x －4x 2＋2x 3)d x＝⎝⎛⎭⎪⎫16x －4x 2－43x 3＋12x 4| 20＝32－16－323＋8＝403.(4)⎠⎛12x 2＋2x －3x d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－3x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －3ln x | 21＝72－3ln2.16．计算下列定积分：[解析] (1)取F (x )＝12sin2x ，则F ′(x )＝cos2x＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32＝14(2－3)． (2)取F (x )＝x 22＋ln x ＋2x ，则F ′(x )＝x ＋1x＋2.∴⎠⎛23⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2d x＝F (3)－F (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋ln3＋6－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4＋ln2＋4＝92＋ln 32. (3)取F (x )＝32x 2－cos x ，则F ′(x )＝3x ＋sin x10/21/201417．计算下列定积分： (1)⎠⎛0－4|x ＋2|d x ；(2)已知f (x )＝，求⎠⎛3－1f (x )d x 的值．[解析] (1)∵f (x )＝|x ＋2|＝∴⎠⎛0－4|x ＋2|d x ＝－⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛0－2(x ＋2)d x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | －2－4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x | 0－2 ＝2＋2＝4.(2)∵f (x )＝∴⎠⎛3－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01(1－x )d x ＋⎠⎛12(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22| 10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x | 21 ＝12＋12＝1. 18．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．[解析] (1)取F (x )＝23ax 3－12a 2x 2则F ′(x )＝2ax 2－a 2x ∴f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x＝F (1)－F (0)＝23a －12a 2＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a －232＋29∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，∴a －b ＋c ＝2① 又∵f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2③解①②③得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。