高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案 新人教A版必修4
2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版
姓名，年级：时间：2．1 平面向量的实际背景及基本概念[教材研读]预习课本P74～76，思考以下问题1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些?3．两个向量（向量的模）能否比较大小？4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］1．向量的概念和表示方法（1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示2.向量的长度（或称模）与特殊向量（1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）．（2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。
(3）特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．3．向量间的关系（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。
（2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．［自我诊断]判断(正确的打“√"，错误的打“×”)1．两个向量能比较大小．（)2．向量的模是一个正实数．（)3．单位向量的模都相等．( ）4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( )［答案］1。
×2。
× 3.√ 4.×错误!思考：已知下列各量:①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力;⑨路程;⑩密度．其中是数量的有__________，是向量的有__________．提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧下列说法正确的有__________．（填序号)①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；③由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行；④向量a与向量b平行,则向量a与b方向相同或相反；⑤起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量．［思路导引] 利用向量的有关概念逐一判断．[解析] ①不正确．由|a|＝｜b|只能判断两向量长度相等,不能确定它们方向的关系．②正确．因为|a｜＝｜b｜，且a与b同向，由两向量相等的条件,可得a＝b.③不正确．依据规定：0与任一向量平行．④不正确．因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定．⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任意移动的．[答案] ②⑤解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,如:共线向量的核心是方向相同或相反,长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0;规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．［跟踪训练]下列说法错误的有__________．（填上你认为所有符合的序号)①两个单位向量不可能平行；②两个非零向量平行，则它们所在直线平行;③当两个向量a，b共线且方向相同时，若｜a｜〉｜b｜，则a>b.[解析］①错误，单位向量也可以平行；②错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合；③错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．[答案] ①②③错误!思考：向量就是有向线段，这种说法对吗？提示:不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以用有向线段表示向量．在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用直尺和圆规画出下列向量:（1）错误!,使|错误!|＝4错误!，点A在点O北偏东45°；（2)错误!，使｜错误!|＝4，点B在点A正东；（3)错误!，使｜错误!|＝6，点C在点B北偏东30°。
2018版高中数学平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4含解析
2.1平面向量的实际背景及基本概念【学习目标！1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.ET问题导学--------------------------知识点一向量的概念思考i在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？答案面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？答案数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小梳理向量与数量（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量（2）数量：只有大小，没有方向的量称为数量.知识点二向量的表示方法思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？答案可以用一条有向线段表示.思考2 0的模长是多少？ 0有方向吗？答案 0的模长为0,方向任意.思考3单位向量的模长是多少？答案单位向量的模长为1个单位长度.梳理（1）向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A为起点、B为终点的有向线段记作X B⑵向量的字母表示：向量可以用字母a, b , c，…表示（印刷用黑体a, b, c,书写时用b , c).⑶向量AB勺大小，也就是向量AB勺长度（或称模），即有向线段AB勺长度，记作|AB.长度为0的向量叫做零向量，记作 0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量 .知识点三相等向量与共线向量思考1已知A B为平面上不同两点，那么向量AB和向量BAf等吗？它们共线吗?答案因为向量昭和向量BA方向不同，所以二者不相等•又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.思考2向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？答案不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动•由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合•思考3若a// b, b// c,那么一定有a// c吗？答案不一定•因为当b= 0时，a, c可以是任意向量•梳理⑴相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量⑵平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量①记法：向量a平行于b,记作a//b.②规定：零向量与任一向量平行•(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量•也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆•类型一向量的概念例i下列说法正确的是( )A.向量AB与向量BA勺长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量没有方向D.任意两个单位向量都相等答案 A解析两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B, C, D都错误，A正确•故选A.反思与感悟解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题•跟踪训练1下列说法正确的有•(1)若| a| = | b|，则a= b或a=—b；⑵ 向量AB^CD是共线向量，贝U A B C D四点必在同一条直线上;⑶向量ABW BA 是平行向量. 答案⑶解析(1)错误.| a | = | b |仅说明a 与b 的模相等，不能说明它们方向的关系 .(2)错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量 AB &必须在同一直线上，因此点 A B 、G D 不一定在同一条直线上•⑶ 正确•向量AB 和BA 是长度相等，方向相反的两个向量 •类型二共线向量与相等向量例2如图所示，△ ABG 勺三边均不相等，E 、F 、D 分别是AG AB BC 的中点•(1)写出与EF 共线的向量；⑵ 写出与EF 的模大小相等的向量；(3)写出与EF 相等的向量•解⑴因为E F 分别是AC AB 的中点, 1所以EF 綊j BC 又因为D 是BC 的中点，所以与 吝共线的向量有F^E BD DB D C CD , B C , C B⑵ 与&模相等的向量有F E, E3D, DB D C , C D ⑶ 与EF 相等的向量有C D反思与感悟(i)非零向量共线是指向量的方向相同或相反相等的向量一定共线•跟踪训练2 如图所示,O 是正六边形 ABCDE 的中心•(1)与0A 勺模相等的向量有多少个?(2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个?⑶与0A 共线的向量有哪些?• (2)共线的向量不一定相等，但解（1）与0A勺模相等的线段是六条边和六条半径（如OB，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有 23个.⑵ 存在.由正六边形的性质可知，BC// AO/ EF,所以与OA勺长度相等、方向相反的向量有X Q 5D F E BC 共 4 个.⑶ 由⑵ 知，BC/ OA/ EF,线段OD AD与0A在同一条直线上，所以与OA共线的向量有EBCCB X，FE, AO O D DO A D DA 共 9 个.类型三向量的表示及应用例3 一辆汽车从A点出发向西行驶了 100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了 200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点.（1）作出向量X B B C CD⑵求|AD.解⑴向量屁BC CD如图所示.⑵ 由题意，易知A B W CD方向相反，故A B W A[共线，•••I X B = |CD,•••在四边形ABCD^ , AB綊CD•••四边形ABC曲平行四边形，• AD= BC, •I AD = | BC = 200 km.反思与感悟准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.跟踪训练3在如图的方格纸上，已知向量 a ,每个小正方形的边长为 1.（1）试以B为终点画一个向量b,使b= a；（2）在图中画一个以A为起点的向量c ,使|c|=[ 5 ,并说出向量c的终点的轨迹是什么?解（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等（作图略）.⑵ 由平面几何知识可知所有这样的向量 c 的终点的轨迹是以 A 为圆心，半径为：5的圆（作图1. 下列结论正确的个数是（ ） ①温度含零上和零下温度，所以温度是向量;②向量的模是一个正实数;③ 向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量; ④ 若 |a |>| b |，则 a >b . A. 0 B.1 C.2 D.3 答案 B解析 ①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若 a ， b 中有一个为零向量，则 a 与b 必共线，故a 与b 不共 线，则应均为非零向量，故③对 • 2.下列说法错误的是（ ）A. 若 a = 0,则 | a | = 0B. 零向量是没有方向的C. 零向量与任一向量平行D. 零向量的方向是任意的 答案 B解析 零向量的长度为 0,方向是任意的，它与任何向量都平行，所以 B 是错误的•3. 如图所示，梯形 ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量 ABW DC 勺关系是（A .AB = DC C .A B >D C答案 B 解析| AB 与|DC 表示等腰梯形两腰的长度，故相等 .4. 如图所示，以1X2方格纸中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中⑴写出与XF> AE 相等的向量；当堂训练B.| AB = |D Q D.AB^DC(2)写出与忌莫相等的向量.-> -> -> -> -> -> -> ->解⑴ AF= BE= CD, AE= BD(2) DA CF, FC厂规律与方法----- -------------------------------- ■]1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用•2.共线向量与平行向量是一组等价的概念•两个共线向量不一定要在一条直线上•当然，同一直线上的向量也是平行向量.3.注意两个特殊向量一一零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆课时作业一、选择题1.下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程•其中是向量的有( )A.2个B.3 个C.4个D.5个答案 C解析②③④⑤是向量•2.下列说法中正确的个数是( )①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0;③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等A.0B.1C.2D.3答案 C3.下列说法正确的是( )A.若a// b,贝U a与b的方向相同或相反B.若a / b, b / c,贝U a / cC.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D.若a= b, b = c,贝U a = c答案 D4.如图，在四边形ABC即，若云B= DC则图中相等的向量是( )A.疋与CBC .X C 与 B DD.°与 OC答案 D解析 •/ °B=OC •••四边形 ABCD 是平行四边形，••• AC BD 互相平分，••• °O= OC 5.如图，在菱形 ABCC 中，/ BA* 120° 则以下说法错误的是（ ）A.与AB 相等的向量只有一个（不含AB B •与AB 勺模相等的向量有 9个（不含AB C.BD 勺模恰为［°勺勺模的：3倍D .C BI DA 不共线答案 D解析 由于AB = D C ,因此与AB 相等的向量只有 D C ,而与AB 的模相等的向量有 D A De Ac , °B °D°D C A BC , B A 因此选项B 正确.而 Rt △ AOD 中, •••/ADO= 30°,A| D O =¥I DA ，故|DB = _.''3| DA ，因此选项 C 正确.由于CB = DA 因此cB<DA 是共线的，故选 D . 6.如图所示，四边形 ABCD CEFG CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是 （ ）A.|= | E FB .A BI °共线 C.B ［与 EH 共线 D .°= F G 答案 C7. 以下命题：①| a |与| b |是否相等与a , b 的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定 是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量其中，正B. OB OD确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案 C解析②④错误•二、填空题8.在四边形ABCDh若AB= BC a |A B = | A[D，则四边形的形状为.答案菱形解析•/ XB=D C ••• AB綊DC•••四边形ABC[是平行四边形，•••|A B = I AD，•四边形ABCD是菱形.9.给出以下5个条件：①a = b；②| a| = | b| :③a与b的方向相反；④| a| = 0或| b| = 0:⑤a与b都是单位向量其中能使a // b成立的是.( 填序号)答案①③④解析相等向量一定是共线向量，故①能使 a / b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a / b；零向量与任一向量平行，故④成立10.如图，若四边形ABCC为正方形，△ BCE为等腰直角三角形，则：\A(1)____________________________ 图中与AB共线的向量有；⑵图中与AB相等的向量有__________ ；(3)________________________________ 图中与AB勺模相等的向量有；⑷图中与ECW等的向量有.答案⑴ 6C E3E, B A CD EB, A E E A⑵ D C E3E⑶ A A BE E B, DC C D X D DA BC CB⑷BD三、解答题11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地•rt(1) 画出X D 5C , CB X B(2) 求B 地相对于A 地的位置向量 解 ⑴向量死 DC CB AB 如图所示•⑵由题意知AD = B e••• AD 綊BC 则四边形ABCD^平行四边形,••• AB= DC 贝U B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东 60°,长度为6千米”12.如图，已知A A = B B = C C .求证：cn 1(2) X B = —, AC=—厂& 证明(1)••• A X = B A,••I A X | = | B E? |，且点 // B 目. 又•••点 A 不在B E?上，• AA // BB ,•四边形AA B' B 是平行四边形， • I X B = | A ' ~B ' |.同理 |AC = 1 &A| , I BC = 1 —&—A|.• △ ABC2AA 'B ' C'.⑵•/四边形 AA B ' B 是平行四边形， • AB// ———A，且 | AB = |———A|,••• AB=———.同理可证 AC= A——.13.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A, B 点C 为小正方形的顶点，且|AC = '5.(1)画出所有的向量(2)求|B C|的最大值与最小值.解(1)画出所有的向量A C如图所示(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C或C2时，| B C取得最小值，：12+ 22= ：5;②当点C位于点G或C6时，| B C取得最大值，：42+ 52= 41.所以| BC的最大值为，41，最小值为.''5.四、探究与拓展14.设a o，b o是两个单位向量，则下列结论中正确的是①a o= b o；②a o=—b o；③| a o| + | b o| = 2；④a。
高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念教案2 新人教A版必修4
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
一、三维目标
1、知识与技能
（1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；
（2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；
并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系
（3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、过程与方法
引导发现法与讨论相结合。
这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。
体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。
3、情感目标与价值观
通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。
二、教学重点及难点
1重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示等
2难点：向量的概念和共线向量的概念。
人教A版数学必修四 2.1 平面向量的实际背景及基本概念.doc
2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级________学号________姓名____________一、选择题1.在四边形ABCD 中，,||||AB CD AB CD =≠u u u r u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是（ ）.A 梯形 .B 平行四边形 .C 矩形 .D 正方形2.判断下列各命题的真假：① 向量AB uu u r 的长度与向量BA uu r的长度相等；② 非零 向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④ 两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB uu u r与向量CD uuu r 是共线向量，则点,,,A B C D 必在同一条直线上。
其中假命题的个数是（ ）.A 2 .B 3 .C 4 .D 53.下列命题中正确的是（ ）.A 若||||=a b ，则=a b .B 若||||>a b ，则>a b .C 若=a b ，则//a b .D 若//,//a b b c ，则//a c4.以下说法正确的有________个。
（ ）① 单位向量均相等；② 单位向量共线；③ 共线的单位向量必相等；④ 单位向量的模相等；⑤ 零向量必相等。
.A 1 .B 2 .C 3 .D 4二、填空题5.如图，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形。
（1）与向量ED uuu r相等的向量有_________________；（2）若||3AB =uu u r ，则向量EC uu u r 的模等于________。
6.如图所示，,B C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，与CA uu r相等的向量是________。
三、解答题7.在如图所示的方格纸上（每个小方格边长均为1）， 已知向量a 。
（1）试以B 为起点画一个向量b ，使=b a ； （2）画一个以C 为起点的向量c ，使||2=c ，并 说明出c 的终点的轨迹是什么。
2014-2015学年高中数学人教A版必修四平面向量导学案
§2.1平面向量的实际背景及基本概念导学案【学习要求】1．能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别．2．会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量．3．理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．【学法指导】本节内容涉及的概念较多，必须认真辨析易混淆的概念，如向量与数量、向量与矢量、向量与有向线段、平行向量与共线向量、相等向量等．这些内容是平面向量的起始内容，是构建向量理论体系的基础，要注意认真体会概念的内涵.【知识要点】1．向量：既有 ，又有 的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作____. 3．向量的有关概念：（1）零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作 .（2）单位向量：长度等于 个单位的向量，叫做单位向量． （3）相等向量： 且 的向量叫做相等向量．（4）平行向量(共线向量)：方向 的 向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作 . ②规定：零向量与 平行.【问题探究】探究点一 向量的概念和几何表示（1）我们知道，力和位移都是既有大小，又有方向的量．数学中，我们把这种既有大小，又有方向的量叫做向量．而把那些只有大小，没有方向的量称为数量．例如，已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度． 其中是数量的有 ，是向量的有 . 向量的模是非负数，可以比较大小，向量不能比较大小．（2）带有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段来表示．有向线段AB →的长度就是向量AB →的长度(简称模)，记作|AB →|；有向线段AB →箭头表示向量AB →的方向．假设下图每个格子是边长为1 cm ，比例尺为1∶100，请求出下列各向量的模． |AB →|＝ ，|CD →|＝ ，|EF →|＝ ，|GH →|＝ ，|a |＝ .探究点二 几个向量概念的理解（1）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0，它的方向是任意的． （2）单位向量：长度(或模)为1的向量叫做单位向量．（2）相等向量：长度相等方向相同的向量叫做相等向量．若向量a 与b 相等，记作a ＝b .研究向量问题时要注意，从大小和方向两个方面考虑，不可忽略其中任何一个要素．对于初学者来讲，由于向量是一个相对新的概念，常常因忽略向量的方向性而致错．例如：下列说法中正确的是________．①3牛顿的力一定大于2牛顿的力；②长度相等的向量叫作相等向量；③一个向量的相等向量有无数多个；④若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；⑤单位向量都大于零向量． 想一想，在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是什么？ 探究点三 平行向量与共线向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．向量a 、b 平行，通常记作a ∥b .规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a .a 、b 、c 是一组平行向量，任作一条与a 所在直线平行的直线l ，在l 上任取一点O ，则可在l 上分别作出OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .由于任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆． 练一练，如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，（1）写出与BC →相等的向量：________.（2）写出与BC →共线的向量：________. 想一想，向量平行具备传递性吗？【典型例题】例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0； ⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 跟踪训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；（2）若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； （3）对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； （4）向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．（1）作出向量AB →、BC →、CD →；（2）求|AD →|.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1. （1）试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；（2）在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．（1）写出与EF →共线的向量；（2）写出与EF →的模大小相等的向量；（3）写出与EF →相等的向量．跟踪训练3 如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点．（1）写出图中所示向量与向量DE →长度相等的向量；（2）写出图中所示向量与向量FD →相等的向量；（3）分别写出图中所示向量与向量DE →，FD →共线的向量．【当堂检测】1．下列说法正确的是( )A ．方向相同或相反的向量是平行向量B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量 2．下列命题正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上 3．在下图所示的坐标纸上，用直尺和圆规画出下列向量．（1）OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 东偏北45°； （2）AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东方向； （3）BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 正北方向． 4．如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段 的交点)为起点和终点的向量中．（1）写出与AF →、AE →相等的向量；（2）写出与AD →模相等的向量．【课堂小结】1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．规定：零向量与任一向量都平行.【拓展提高】§2.2.1 向量加法运算及其几何意义【学习要求】1．理解并掌握加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算． 3．了解向量加法的交换律和结合律，并能依几何意义作图解释加法运算律的合理性．【学法指导】1．使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”．和向量的特征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点．向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0，而不应写成0.2．向量的三角形法则可推广到n 个向量求和——多边形法则，即n 个首尾相连的向量的和对应的向量是由第一个向量起点指向第n 个向量的终点的向量．3．当两向量不共线时，向量加法的三角形法则与平行四边形法则是一致的．而当两个向量共线时，三角形法则适用，平行四边形法则就不适用了.【知识要点】1．向量的加法法则 （1）三角形法则如图所示，已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB →＝a ，BC →＝b ，则向量____叫做a 与b 的和(或和向量)，记作_____，即a ＋b ＝AB →＋BC →＝_____.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a 的和有a ＋0＝__＋__＝__. （2）平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则O 、A 、B 三点不共线，以 ， 为邻边作 ，则对角线上的向量 ＝a ＋b ，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 2．向量加法的运算律（1）交换律：a ＋b ＝ .（2）结合律：(a ＋b )＋c ＝ .【问题探究】探究点一 向量加法的三角形法则如图所示，是上海到台北的航线示意图：一是经香港转停到台北；二是由上海直接飞往台北．问题1 当向量a ，b 是共线向量时，a ＋b 又如何作出？ 问题2 想一想，|a ＋b |与|a |和|b |之间的大小关系如何？当a 与b 同向共线时，a ＋b 与____同向，且|a ＋b |＝_______.当a 与b 反向共线时，若|a |>|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______；若|a |<|b |，则a ＋b 与__的方向相同，且|a ＋b |＝_______.探究点二 向量加法的平行四边形法则向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以 这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是这两个已知向量的和．以点A 为起点作向量AB →＝a ，AD →＝b ，以AB 、AD 为邻边作▱ABCD ，则以A 为起点的对角线AC →就是a 与b 的和，记作a ＋b ＝AC →，如图．对于零向量与任一向量a ，我们规定：a ＋0＝0＋a ＝a .①根据下图中的平行四边形ABCD 验证向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(注：AB →＝a ，AD →＝b )．②根据下图中的四边形，验证向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．探究点三 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．即：A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋… ＋A n －1A n ＝A 1A n →.或A 1A 2→＋A 2A 3→＋… ＋A n －1A n ＋A n A 1→＝__. 这是一个极其简单却非常有用的结论(如图)．利用向量加法的多边形法则化简多个向量的和有时非常有效．例如，在正六边形ABCDEF 中， AC →＋BD →＋CE →＋DF →＋EA →＋FB →＝________.【典型例题】例1 已知向量a ，b 如图所示，试用三角形法则和平行四边形法则作出向量a ＋b . 跟踪训练1 如图，已知向量a ，b ，c ，利用三角形法则作出向量a ＋b ＋c .例2 化简：（1）BC →＋AB →； （2）DB →＋CD →＋BC →； （3）AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 跟踪训练2 如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点．（1）AB →＋AD →＝________； （2）AC →＋CD →＋DO →＝________；（3）AB →＋AD →＋CD →＝________； （4）AC →＋BA →＋DA →＝________.例3 在水流速度为4 3 h km /的河中，如果要船以12 h km /的实际航速与河岸垂直行驶，求船航行速度的大小和方向．跟踪训练3 某人在静止的水中的游泳速度为2 3 h km /，如果他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为2 h km /，那么他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？【当堂检测】1．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则下列等式中错误的是 ( )A ．FD →＋DA →＋DE →＝0B ．AD →＋BE →＋CF →＝0C ．FD →＋DE →＋AD →＝AB → D ．AD →＋EC →＋FD →＝BD →2．设E 是平行四边形ABCD 外一点，如图所示，化简下列各式：（1）DE →＋EA →＝________；（2）BE →＋AB →＋EA →＝______；（3）DE →＋CB →＋EC →＝________；（4）BA →＋DB →＋EC →＋AE →＝________. 3．如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.4．如图所示，在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋ AD →，试判断四边形的形状．【课堂小结】1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的．当两个向量首尾相连时常选用三角形法则，当两个向量共始点时，常选用平行四边形法则．2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．【拓展提高】§2.2.2 向量减法运算及其几何意义【学习要求】1．理解相反向量的含义，向量减法的意义及减法法则．2．掌握向量减法的几何意义．3．能熟练地进行向量的加、减运算．【学法指导】1．关于向量的减法，在向量代数中，常有两种理解方法：第一种方法：是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，也就是说，如果b ＋x ＝a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a －b ，这样，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，再作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b .(如图(1))第二种方法：是在相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，即已知a ，b ，定义a －b ＝a ＋(－b )，在这种定义下，作a －b 时，可先在平面内任取一点O ，作OB ′→＝－b ，OA →＝a ，则由向量加法的平行四边形法则知OC →＝a ＋(－b )，由于a ＋(－b )＝a －b ，即OC →＝a －b .(如图(2))2．关于“差向量”方向的确定，通常归纳为“指向被减向量”，这个结论成立的前提是两个“作差向量”共起点，因此几何法确定差向量的方向有两个关注点：（1）共起点；（2）指被减.【知识要点】1．我们把与向量a 长度相等且方向相反的向量称作是向量a 的相反向量，记作____，并且有a ＋(－a )＝__. 2．向量减法的定义若b ＋x ＝a ，则向量x 叫做a 与b 的 ，记为______，求两个向量差的运算，叫做 . 3．向量减法的平行四边形法则以向量AB →＝a ，AD →＝b 为邻边作 ，则对角线的向量BD →＝b －a ，DB →＝a －b . 4．向量减法的三角形法则在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA →＝a －b ，即a －b 表示从向量 的终点指向向量 的终点的向量.【问题探究】探究点一 向量的减法对照实数的减法，类比向量的减法，完成下表：对比项实数的减法向量的减法对比 内容（1）相反数绝对值相等，符号相反的两个数，互为相反数（1）相反向量的两个向量，互为相反向量 （2）零的相反数是零（2）对比项 实数的减法向量的减法对比内容（3）互为相反数的和是零（3）（4）实数的减法：减去一个数等于加上这个数的相反数（4）向量的减法：减去一个 向量相当于根据相反向量的含义，完成下列结论：（1）－AB →＝___；（2）－(－a )＝__；（3）－0＝__； （4）a ＋(－a )＝__； （5）若a 与b 互为相反向量，则有：a ＝____，b ＝____，a ＋b ＝__. 探究点二 向量减法的三角形法则（1）由于a －b ＝a ＋(－b )．因此要作出a 与b 的差向量a －b ，可以转化为作a 与－b 的和向量．已知向量a ，b 如图所示，请你利用平行四边形法则作出差向量a －b .（2）当把两个向量a ，b 的始点移到同一点时，它们的差向量a －b 可以通过下面的作法得到： ①连接两个向量(a 与b )的终点；②差向量a －b 的方向是指向被减向量的终点．这种求差向量a －b 的方法叫向量减法的三角形法则．概括为“移为共始点，连接两终点，方向指被减”．请你利用向量减法的三角形法则作出上述向量a 与b 的差向量a －b . 探究点三 |a －b |与|a |、|b |之间的关系 （1）若a 与b 共线，怎样作出a －b ?（2）通过上面的作图，探究|a －b |与|a |，|b |之间的大小关系： 当a 与b 不共线时，有：_____________________； 当a 与b 同向且|a |≥|b |时，有：_______________； 当a 与b 同向且|a |≤|b |时，有：_______________.【典型例题】例1 如图所示，已知向量a 、b 、c 、d ，求作向量a －b ，c －d .跟踪训练1 如图所示，在正五边形ABCDE 中，AB →＝m ，BC →＝n ，CD →＝p ，DE →＝q ，EA →＝r ，求作向量m －p＋n －q －r .例2 化简下列式子：（1）NQ →－PQ →－NM →－MP →；（2）(AB →－CD →)－(AC →－BD →)．跟踪训练2 化简：（1）(BA →－BC →)－(ED →－EC →)；（2）(AC →＋BO →＋OA →)－(DC →－DO →－OB →)． 例3 若AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b .（1）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 垂直？ （2）当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |?（3）当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 平分a 与b 所夹的角？ （4）a ＋b 与a －b 可能是相等向量吗？跟踪训练3 如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，试求：（1）|a ＋b ＋c |；（2）|a －b ＋c |.【当堂检测】1．在平行四边形ABCD 中，AC →－AD →等于( )A ．AB → B ．BA →C ．CD → D ．DB →2．在平行四边形ABCD 中，下列结论错误的是 ( )A ．AB →－DC →＝0B ．AD →－BA →＝AC → C ．AB →－AD →＝BD →D ．AD →＋CB →＝03．在平行四边形ABCD 中，BC →－CD →＋BA →－AD →＝_______.4．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________【课堂小结】1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－AB →＝BA →就可以把减法转化为加法．即：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a －b ＝a ＋(－b )．2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减数”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．3．以平行四边形ABCD 的两邻边AB 、AD 分别表示向量AB →＝a ，AD →＝b ，则两条对角线表示的向量为AC →＝a＋b ，BD →＝b －a ，DB →＝a －b ，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并记住.【拓展提高】§2.2.3 向量数乘运算及其几何意义【学习要求】1．了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义．2．理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算．3．理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．【学法指导】1．实数λ与向量a 可作数乘，但实数λ不能与向量a 进行加、减运算，如λ＋a ，λ－a 都是无意义的．还必须明确λa 是一个向量，λ的符号与λa 的方向相关，|λ|的大小与λa 的模长有关．2．利用数乘运算的几何意义可以得到两个向量共线的判定定理及性质定理，一定要注意，向量的共线(平行)与直线共线(或平行)的区别；常用向量共线解决平面几何中的“平行”或“点共线”问题.【知识要点】1．向量数乘运算实数λ与向量a 的积是一个 ，这种运算叫做向量的 ，记作 ，其长度与方向规定如下： （1）|λa |＝ .（2）λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当 时，与a 方向相同当 时，与a 方向相反；特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝ 或λ0＝ .2．向量数乘的运算律（1）λ(μa )＝ .（2）(λ＋μ)a ＝ .（3）λ(a ＋b )＝ .特别地，有(－λ)a ＝ ＝ ；λ(a －b )＝ . 3．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使______. 4．向量的线性运算向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝ .【问题探究】探究点一 向量数乘运算的物理背景（1）一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应向量v ，那么在同方向上3秒钟的位移对应的向量用3v 表示，试在直线l 上画出3v 向量，看看向量3v 与v 的关系如何？（2）已知非零向量a ，作出a ＋a ＋a 和(－a )＋(－a )＋(－a )，你能说明它们与向量a 之间的关系吗？ （3）已知非零向量a ，你能说明实数λ与向量a 的乘积λa 的几何意义吗？ 探究点二 向量数乘的运算律根据实数与向量积的定义，可以验证下面的运算律：设λ，μ∈R ，则有 ①λ(μa )＝(λμ)a ；②(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；③λ(a ＋b )＝λa ＋λb .向量等式的证明依据是相等向量的定义，既要证明等式两边的模相等，又要证明方向相同．你能根据这两条证明其中的第①条运算律吗？ 探究点三 共线向量定理及应用由向量数乘的含义，我们容易得到向量共线的等价条件：如果a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在一个实数λ，使b ＝λa .判断两个向量是否共线可转化为存在性问题．解决存在性问题通常是假设存在，再根据已知条件找等量关系列方程(组)求解．若有解且与题目条件无矛盾则存在，反之不存在．例如，已知e 1，e 2是不共线的向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？ 探究点四 三点共线的判定由共线向量定理可得，A ，B ，C 三点共线⇔存在λ∈R ，使AC →＝λAB →.请你根据该结论证明下列常用推论：推论1：已知O 为平面ABC 内任一点，若A 、B 、C 三点共线，则存在α、β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，其中α＋β＝1.推论2：已知O 为平面ABC 内任一点，若存在α，β∈R ，使OC →＝αOA →＋βOB →，α＋β＝1，则A 、B 、C 三点共线．【典型例题】例1 计算： （1）(－3)×4a ； （2）3(a ＋b )－2(a －b )－a ； （3）(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )． 跟踪训练1 计算：（1）6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；（2）12⎣⎡⎦⎤3a ＋2b －23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； （3）6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )．例2 已知任意两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b .试判断A 、B 、C 三点之间的位置关系，并说明理由．跟踪训练2 已知两个非零向量e 1和e 2不共线，如果AB →＝2e 1＋3e 2，BC →＝6e 1＋23e 2，CD →＝4e 1－8e 2，求证：A 、B 、D 三点共线．例3 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点M ，且AB →＝a ，AD →＝b ，你能用a 、b 表示MA →、MB →、MC →和MD →吗？跟踪训练3 如图，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，求证：DE →＝12BC →.【当堂检测】1．化简：（1）8(2a －b ＋c )－6(a －2b ＋c )－2(2a ＋c )； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+)24()82(2131b a b a 2．如图，AM →＝13AB →，AN →＝13AC →.求证：MN →＝13BC →.3．已知e 1与e 2不共线，AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A 、B 、D 三点共线．4．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋b 与a ＋k b 共线，试求实数k 的值．【课堂小结】1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的．2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.【拓展提高】§2.3平面向量的基本定理及坐标表示【学习要求】1．理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义．2．在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．3．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．【学法指导】1．平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的．2．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π].【知识要点】 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的 向量a ， 实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2. （2）基底：把 的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内 向量的一组基底． 2． 两向量的夹角与垂直 （1）夹角：已知两个 向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角． ①范围：向量a 与b 的夹角的范围是 ．②当θ＝0°时，a 与b ． ③当θ＝180°时，a 与b ．（2）垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作______.【问题探究】探究点一 平面向量基本定理的提出（1）平面内的任何向量都能用这个平面内两个不共线的向量来表示．如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .通过观察，可得： AB →＝_______，CD →＝________，EF →＝_______，GH →＝__________，HG →＝_________，a ＝______. （2）平面向量基本定理的内容是什么？什么叫基底？ 探究点二 平面向量基本定理的证明 （1）证明定理中λ1，λ2的存在性．如图，e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a 是这一平面内任一向量，a 能否表示成λ1e 1＋λ2e 2的形式，请通过作图探究a 与e 1、e 2之间的关系． （2）证明定理中λ1，λ2的唯一性．如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量，a 是和e 1、e 2共面的任一向量，且存在实数λ1、λ2使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，证明λ1，λ2是唯一确定的．(提示：利用反证法) 探究点三 向量的夹角（1）已知a 、b 是两个非零向量，过点O 作出它们的夹角θ.（2）两个非零向量夹角的范围是怎样规定的？确定两个向量夹角时，要注意什么事项？ （3）在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角：①〈AB →，AC →〉＝ ；②〈AB →，CA →〉＝ ； ③〈BA →，CA →〉＝ ；④〈AB →，BA →〉＝ .【典型例题】例1 已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c . 跟踪训练1 如图所示，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →，AD →.例2 如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示DC →、BC →、MN →.跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →.例3 在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD与BC 交于点M ，设OA →＝a ，OB →＝b ，以a ，b为基底表示OM →.跟踪训练3 如图所示，已知△AOB 中，点C 是以A 为中心的点B 的对称点，OD →＝2DB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .（1）用a 和b 表示向量OC →、DC →；（2）若OE →＝λOA →，求实数λ的值．【当堂检测】1．等边△ABC 中，AB →与BC →的夹角是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)3．如图，已知AB →＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝________.4．已知G 为△ABC 的重心，设AB →＝a ，AC →＝b .试用a 、b 表示向量AG →.【课堂小结】1．对基底的理解 （1）基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件． （2）零向量与任意向量共线，故不能作为基底． 2．准确理解平面向量基本定理（1）平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．（2）平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．【拓展提高】§2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示§2．3.3 平面向量的坐标运算【学习要求】1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．2．掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则．3．正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．【学法指导】1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点时，则向量的终点坐标并不是向量的坐标，此时AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.【知识要点】1．平面向量的坐标表示（1）向量的正交分解：把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．（2）向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则 叫做向量a 的坐标， 叫做向量a 的坐标表示．（3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝ ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ 2．平面向量的坐标运算（1）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝ ， 即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2）若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝ ， 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．（3）若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝ ，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.【问题探究】探究点一 平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的任一向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．显然有，i ＝ ，j ＝ ，0＝ ．问题1 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1.问题2 当向量的始点坐标为原点时，终点坐标是对应向量的坐标；当向量的始点不是坐标原点时，向量AB →＝(x B －x A ，y B －y A )．所以相等向量的坐标相同，从原点出发的向量和平面直角坐标系的点是一一对应关系． 请把下列坐标系中的向量的始点移到原点，并标出向量a ，b ，c ，d 所对应的点A ，B ，C ，D .探究点二 平面向量的坐标运算问题1 已知a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，如下图所示，写出a ，b ，c 的坐标，并在直角坐标系内作出向量a ＋。
高中数学人教A版必修4教案-2.1_平面向量的实际背景及基本概念_教学设计_教案_1
教学准备
1. 教学目标
向量及向量的基本运算
2. 教学重点/难点
向量及向量的基本运算
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
任意一组平行向量都可以移到同一直线上。
⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。
相等向量经过平移后总可以重合，记为
注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。
（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。
4)实数与向量的积
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。
5)两个向量共线定理
6)平面向量的基本定理
7)特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算。
（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。
（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。
（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。
【例题选讲】
例1、判断下列各命题是否正确。
高中数学必修四(2.1平面向量的实际背景及基本概念)教案新人教A版必修4
样特征呢 ?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特
征的量呢？
②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述 , 应怎样定义这样的量呢？
③数量与向量的区别在哪里？ 活动 : 教师指导学生阅读教材 , 思考讨论并解决上述问题 , 学生讨论列举与位移一样的一
些量 . 物体受到的重力是竖直向下的 , 物体的质量越大 , 它受到的重力越大；物体在液体中受
④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗
?
⑤有一组向量 , 它们的方向相同或相反 , 这组向量有什么关系？怎样定义平行向量 ?
⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点
O, 它们是不是平行向量？这时各向量的终点之
间有什么关系 ?
⑦数量与向量有什么区别 ?
⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别 ?
要素 : 起点、方向、长度 .
知道了有向线段的起点、方向和长度 用有向线段表示向量的方法是 :
图2 , 它的终点就唯一确定 .
1°起点是 A, 终点是 B 的有向线段 , 对应的向量记作 : AB .
这里要提醒学生注意 AB 的方向是由点 A 指向点 B, 点 A 是向量的起点 .
2°用字母 a, b, c, …表示 .( 一定要学生规范书写 : 印刷用黑体 a, 书写用 a )
第二章 平面向量
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
情境导入 ) 如图 1, 在同一时刻 , 老鼠由 A 向西北方向的 C 处逃窜 , 猫在 B 处向正
东方向的 D 处追去 , 猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论 : 追不上 , 猫的速度再快也没用 ,
因为方向错了 . 教师适时设问 : 如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课
人教A版高中数学必修4《第二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.3 相等向量与共线向量》_35
相等向量与共线向量【学习目标】1. 理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
2. 从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．【重点、难点】重点：理解平行向量，相等向量，共线向量的含义，能在图形中辨认相等向量和共线向量。
难点：从“平行向量→相等向量→共线向量”的逐步认识，充分揭示向量的两个要素及向量可以平移的特点．自主学习案【问题导学】1.向量可以用表示向量的有向线段的起点与终点字母来表示，如图所示，向量AB：起点A，终点B。
有向线段的长度表示向量的，向量的大小也叫向量的（或）；有向线段的方向表示向量的。
2.方向或的向量叫平行向量，如向量ba,平行，通常记作，规定0与任一向量。
3.任意一组平行向量都能到同一条直线上，因此，平行向量也叫共线向量。
4.长度且方向的向量叫相等向量，若向量ba,相等，记作。
【预习自测】1．下列说法不正确的是（）A．方向相同或相反的非零向量是平行向量。
B. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量C. 有公共起点的向量叫做共线向量。
D. 零向量与任一向量共线2．已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量=合作探究案【课内探究】例1．判断下列命题的真假:（1）向量AB的长度和向量BA的长度相等. （2）向量a与b平行,则b与a方向相同.（3）向量a与b平行,则b与a方向相反.（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.（5）若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
（7）如果a=b，则a与b长度相等。
（8） 如果a =b ，则与a 与b 的方向相同。
（9） 若a =b ，则a 与b 的方向相反。
（10）若a =b ，则与a 与b 的方向没有关系。
（11）已知b a ,为两个单位向量，则b a =例2.给出下列命题：（1）若b a //，c b //则c a //。
人教版高中数学必修4学案 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2．1 平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．[知识链接]1．力和位移都是既有大小，又有方向的量，在物理学中常称为矢量，在数学中称为向量；而把那些只有大小，没有方向的量，在数学中称为数量，在物理学中常称为标量． 2．已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有②④⑤⑨⑩，是向量的有①③⑥⑦⑧. 3．向量与数量有什么联系和区别？答 联系是向量与数量都是有大小的量；区别是向量有方向且不能比较大小，数量无方向且能比较大小． [预习导引]1．向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．2．向量的几何表示：以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →. 3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为0的向量，叫做零向量，记作0. (2)单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量． (3)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量． ①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行.要点一 向量的概念 例1 给出下列各命题： (1)零向量没有方向； (2)若|a |＝|b |，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段；(5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同； (6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；(8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________． 答案 (5)(6)解析 (1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，|a |＝|b |只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同； (3)该命题不正确，单位向量只是模为单位长度1，而对方向没要求；(4)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(5)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(6)该命题正确．由向量相等的定义知，a 与b 的模相等，b 与c 的模相等，从而a 与c 的模相等；又a 与b 的方向相同，b 与c 的方向相同，从而a 与c 的方向也必相同，故a ＝c ； (7)该命题不正确．因若b ＝0，则对两不共线的向量a 与c ，也有a ∥0，0∥c ，但a c 不成立；(8)该命题不正确．如图所示，显然有AB →≠CD →，BC →≠DA →.规律方法 要充分理解与向量有关的概念，明白它们各自所表示的含义，搞清它们之间的区别是解决与向量概念有关问题的关键． 跟踪演练1 下列命题中，正确的是( ) A ．a ，b 是两个单位向量，则a 与b 相等 B ．若向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量 C ．两个相等的向量，起点、方向、长度必须都相同 D ．共线的单位向量必是相等向量 答案 B解析 若a 与b 中有一个是零向量，则a 与b 是平行向量． 要点二 向量的表示例2 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°； (2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东； (3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.解 (1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．规律方法 在画图时，向量是用有向线段来表示的，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．应该注意的是有向线段是向量的表示，并不是说向量就是有向线段．跟踪演练2 中国象棋中规定：马走“日”字．下图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量AA 1→或AA 2→表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解 根据规则，画出符合要求的所有向量． 马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示； 马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．要点三 相等向量与共线向量例3 如图，在正方形ABCD 中，M ，N 分别为AB 和CD 的中点，在以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的所有向量中，相等的向量分别有多少对？解 不妨设正方形的边长为2，则以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点的向量中：(1)模为2的相等向量共有8对，AB →＝DC →，BA →＝CD →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，AD →＝MN →，DA →＝NM →，BC →＝MN →，CB →＝NM →.(2)模为1的相等向量有12对，其中与AM →同向的有MB →，DN →，NC →，这四个向量组成相等的向量有6对，即AM →＝MB →，AM →＝DN →，AM →＝NC →，MB →＝DN →，MB →＝NC →，DN →＝NC →，同理与AM→反向的也有6对．(3)模为5的相等向量共有4对，AN →＝MC →，NA →＝CM →，MD →＝BN →，DM →＝NB →.规律方法 判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可． 跟踪演练3 如图所示，O 为正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 都是正方形． (1)写出与AO →相等的向量； (2)写出与AO →共线的向量； (3)向量AO →与CO →是否相等？解 (1)与AO →相等的向量为：OC →、BF →、ED →.(2)与AO →共线的向量为：OA →、OC →、CO →、AC →、CA →、ED →、DE →、BF →、FB →. (3)向量AO →与CO →不相等，因为AO →与CO →的方向相反，所以它们不相等.1．下列说法正确的是( ) A ．零向量没有大小，没有方向 B ．零向量是唯一没有方向的向量 C ．零向量的长度为0D ．任意两个单位向量方向相同 答案 C解析 零向量的长度为0，方向是任意的，故A ，B 错误，C 正确．任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同，故D 错误．2．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( ) A.AD →与CB → B.OB →与OD → C.AC →与BD → D.AO →与OC →答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →. 3．如图，在△ABC 中，若DE ∥BC ，则图中是共线向量的有________．答案 ED →与CB →，AD →与BD →，AE →与CE →4．在四边形ABCD 中，AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，则四边形ABCD 的形状是________． 答案 梯形解析 ∵AB →∥CD →且|AB →|≠|CD →|，∴AB ∥DC ，但AB ≠DC ，∴四边形ABCD 是梯形．1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可以将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．平行向量是指向量所在直线平行或重合即可，是一种示意平行．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．一、基础达标 1．有下列说法：①若向量a 与向量b 不平行，则a 与b 方向一定不相同； ②若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →； ③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等且方向相同或相反； ④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行． 其中，正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 A解析 对于①，由共线向量的定义知，两向量不平行，方向一定不相同，故①正确； 对于②，因为向量不能比较大小，故②错误；对于③，由|a |＝|b |，只能说明a ，b 的长度相等，确定不了它们的方向，故③错误； 对于④，因为零向量与任一向量平行，故④错误．2．下列说法正确的是( )A ．数量可以比较大小，向量也可以比较大小B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小 答案 D解析 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 3．给出下列五个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若AB →＝DC →，则四边形ABCD 是正方形； ④在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →； ⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k . 其中不正确的命题的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 B解析 不正确的是①②③.4．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( ) A ．相等的向量 B ．平行的向量 C ．有相同起点的向量 D ．模相等的向量 答案 D解析 这四个向量的模相等．5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．①②③ D ．②③ 答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6.如图，等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在两腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF → 答案 D解析 由平面几何知识知，AD →与BC →方向不同，故AD →≠BC →；AC →与BD →方向不同，故AC →≠BD →；PE →与PF →模相等而方向相反，故PE →≠PF →；EP →与PF →模相等且方向相同， ∴EP →＝PF →.7．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →. 求证：DN →＝MB →.证明 ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|CD →|且AB ∥CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴|DA →|＝|CB →|，且DA ∥CB . 又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.同理可证，四边形CNAM 是平行四边形， ∴CM →＝NA →.∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|， ∴|DN →|＝|MB →|.∵DN ∥MB 且DN →与MB →的方向相同，∴DN →＝MB →. 二、能力提升8．下列结论中，正确的是( )A ．2 010 cm 长的有向线段不可能表示单位向量B ．若O 是直线l 上的一点，单位长度已选定，则l 上有且仅有两个点A ，B ，使得OA →，OB →是单位向量C ．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D ．一个从A 点向东走500米到达B 点，则向量AB →不能表示这个人从A 点到B 点的位移答案 B解析 一个单位长度取作2 010 cm 时，2 010 cm 长的有向线段刚好表示单位向量，故A 错误；B 正确；C 中两向量为平行向量；D 选项的AB →表示从点A 到点B 的位移． 9.如图，已知四边形ABCD 为正方形，△CBE 为等腰直角三角形，回答下列问题：(1)图中与AB →共线的向量有_____________________________________； (2)图中与AB →相等的向量有____________； (3)图中与AB →模相等的向量有____________． 答案 (1)BA →，BE →，EB →，AE →，EA →，CD →，DC →(2)DC →，BE →(3)BA →，BE →，EB →，DC →，CD →，AD →，DA →，BC →，CB →10．一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点． (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示：(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.11．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去．(注：至少转变两次方向)(1)按1∶100比例作图说明当α＝45°时，操作几次时赛车的位移为零； (2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 解 (1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零，按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有：n (180°－α)＝(n －2)180°.∴即α＝360°n，n 为不小于3的整数．12．如图平面图形中，已知AA ′→＝BB ′→＝CC ′→.求证： (1)△ABC ≌△A ′B ′C ′； (2)AB →＝A ′B ′→，AC →＝A ′C ′→. 证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→， ∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→. 又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′綊BB ′. ∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形． ∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|. ∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形， ∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|. ∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.三、探究与创新13.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是两对角线AC ，BD 的交点，设点集S ＝{A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ＝{MN →|M ，N ∈S ，且M ，N 不重合}，试求集合T 中元素的个数．解 由题意知，集合T 中的元素实质上是S 中任意两点连成的有向线段，共有20个，即AB →，AC →，AD →，AO →；BA →，BC →，BD →，BO →；CA →，CB →，CD →，CO →；DA →，DB →，DC →，DO →；OA →，OB →，OC →，OD →.由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB →＝DC →，AD →＝BC →，DA →＝CB →，BA →＝CD →，AO →＝OC →，OA →＝CO →，DO →＝OB →，OD →＝BO →. ∵集合中元素具有互异性，高中数学-打印版∴集合T中的元素共有12个.精校版。
2019年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案 新人教A版必修4
2019年高中数学 2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4一、学习内容、要求及建议(1)理解向量、零向量、单位向量、相等向量及共线向量等概念；(2)掌握向量的表示方法；(3)能在图形中辨认共线向量与相等向量，能用有向线段表示已知向量．2. 预习提纲(1)复习物理中位移、速度、力和几何中有向线段等概念，理解平面向量的含义．(2)阅读课本P57-58,思考下列内容：①向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的表示：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．符号表示以A为起点，B为终点的向量．向量也可以用小写字母，，等表示．③向量的模：向量的大小称为向量的长度或向量的模，记作||．④向量的其他概念及表示方法．3. 典型例题(1) 向量的有关概念例1 给出下列命题：①若=，则；②若<，则；③若=，则∥；④若∥，则=；⑤若=0，则=0；⑥若=，则=．其中正确命题的序号是．分析：解答本题可借助于相等向量、共线向量的概念等基本知识逐一进行判断．解：由相等向量定义可知，若=，则，的模相等，方向相同，故①不正确，⑥正确．<知模的大小，而不能确定方向，故②不正确．共线向量是指方向相同或相反的向量，相等向量一定共线，共线向量不一定相等，故③正确，④不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量不等于数字0，故⑤不正确．所以答案为③⑥．点评：此类题目关键是理解、区分向量的有关概念，从向量的长度与方向两方面认识向量，可举特例选择．(2) 共线向量与相等向量方向相同或相反的的非零向量为平行向量，零向量与任意向量平行．在图形中要能识别共线向量与相等向量．例2如图：EF是△ABC的中位线，AD是△ABC的BC边上的中线，以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中(1)与向量共线的向量有哪几个？请分别写出这些向量；(2)与向量的模一定相等的向量有哪几个？请写出这些向量；(3)写出与向量相等的向量．分析：根据共线向量与相等向量的定义即可解决．解：(1)与共线的向量有7个，它们分别是CB，，，，，；，FEDCBCBDEFDB(2)与向量的模一定相等的向量有5个，它们分别是；(3)如图，==.(3) 向量的应用例3若且，判断四边形ABCD的形状.分析：先由得出四边形为平行四边形，再由得出结论．解：由知∥且=，所以四边形ABCD为平行四边形，又因为，所以四边形ABCD为菱形．点评：隐含∥与=两方面，一般，判断四边形的形状需要判断对边与邻边的关系．4. 自我检测(1) 判断下列说法是否正确：①若两个向量相等，则它们的起点和终点重合；②若、都是单位向量，则；③物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量；④不相等的向量一定不平行；⑤若平行，平行，则平行；⑥零向量没有方向；⑦零向量与任何向量都平行；⑧零向量的方向是任意的；⑨向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑩有向线段就是向量，向量就是有向线段．(2) 思考讨论：①所有的单位向量都相等吗？②∥与∥一样吗？③向量、能不能用不等号将它们连接起来？即能表示为＞或＜吗？三、课后巩固练习A组1．给出下列命题：①向量的长度与向量的长度相等；②若向量与向量平行，则与的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量.其中，正确命题的个数是．2．以下各物理量：速度、位移、力、功，不能称之为向量的是．3．向量的长度记作_____；的模是_____，是单位向量，则的值是____．4．与非零向量()平行的向量中，不相等的单位向量有_____个．5．已知、为不共线的非零向量，且存在向量，使∥，∥， 则=_______．6．在直角坐标系中，已知=2，则点P 构成的图形是_______．7．如图在正六边形ABCDEF 中，Ｏ为中心，(1)与相等的向量有 ；(2)与共线的向量有 ；(3)与的模相等且反向的向量有 ．8．直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，3)，(5，2)，试画出两个与向量不相等且又共线的向量．B 组9.在直角坐标系中，画出向量：=5，的方向与x 轴正向的夹角是30°，与y 轴正方向的夹角是120°．10. 如图，D 、E 、F 分别是△ABC 各边上的中点，四边形BCMF 是平行四边形．分别写出：(1)与共线的向量；(2)与共线的向量；(3)与相等的向量；(4)与相等的向量．11. 一架飞机从A 点向西北飞行200km 到达B 点，再从B 点向东飞行km 到达C 点，再从C 点向东偏南30°飞行了km 到达D 点．问D 点在A 点的什么方向，距A 点有多远？12．右图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法，如图，马可从A 跳到A 1，也可跳到A 2，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B ,C处走“一步”的所有情况．13．如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点的位置在(0，0)，圆在轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，的坐标为 ．知识点题号 注意点 向量的实际背景结合向量相等的概念，在一些几何图形中,能找到相等的向量，理清平行向量、共线向量、相反向量、相等向量的概念平面向量的基本概念和几何表示向量相等的含义 四、五、拓展视野向量的由来向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．课本上讨论的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成一个多项式空间，这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出箭头表示方向是办不到的．这种空间中的向量比几何中的向量要广泛得多，可以是任意数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去了．因此，向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容，它的理论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．而向量及其线性运算也为“向量空间”这一抽象的概念提供出了一个具体的模型．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．22246 56E6 囦 21353 5369 卩23755 5CCB 峋21522 5412 吒22331 573B 圻33855 843F 萿21969 55D1 嗑26349 66ED 曭33771 83EB 菫720183 4ED7 仗31176 79C8 秈 37958 9446 鑆。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.1 平面向量的实际背景及基本概念 2.1.2 向量的几何表示》教案_14
向量的几何表示教学设计1.教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学4》（人教A 版）第二章第一节“平面向量的实际背景及基本概念”第一课时。
平面向量的实际背景及基本概念是向量知识体系中的起始内容，起着为其他知识学习奠基的重要作用。
一方面，它能为其他向量知识的学习奠基，通过了解向量的实际背景，理解向量的含义及几何表示等内容，奠定学生学习向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示和平面向量数量积的知识基础；另一方面，它能为学习新的数学对象奠基，学生通过认识向量，形成向量相关概念的过程，可以获得认识其他数学对象的基本方法和途径，可以为学习和研究其他数学对象奠定方法基础。
所以，平面向量的实际背景及基本概念作为向量的起始课及概念型课，其教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、渗透研究方法、构建研究蓝图”的大气。
由于是第一课时，所以笔者重点在于章引言，向量概念的引入，向量的表示，零向量、单位向量和平行向量的教学，不讲相等向量和共线向量。
2.教学目标设置课堂教学目标如下.（1）从如何由A点确定B点的位置，速度既有大小和方向抽象出向量的概念并与数量区分；（2）经历从实数的表示到“带箭头的线段”，从有向线段到向量的几何表示，掌握向量的几何表示、符号表示，模的表示，感受类比的思想，体会数学的实用性、表达的简洁美；（3）理解从大小看：零向量、单位向量，从方向看：平行向量；（4）体会认识新的数学概念基本思路：1.归纳共性；2.抽象定义；3.符号表示；4.认识特殊；5.研究一般；进而提高提出问题、研究问题的能力；3.学生学情分析（1）在物理学中，已经知道速度，力，位移等是既有大小又有方向的物理量（矢量）；（2）如何作力的图示；（3）已经经历并了解实数的形成过程；（4）对实际生活中的一些常见的量，能识别它们是否具有大小、方向；（5）在以前的学习中，能运用类比的思想发现问题、提出问题，进而解决问题。
但是，高一学生在思维辨析方面还比较薄弱，教师要适度加以引导，指导学生进行辨析。
高中数学2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A版必修4
2．1 平面向量的实际背景及基本概念1．通过再现物理学中学过的力、位移等概念与向量之间的联系，在类比抽象过程中引入向量概念，并建立学生学习向量的认知基础．2．理解向量的有关概念：向量的表示法、向量的模、单位向量、相等向量、共线向量．基础梳理一、向量的概念1．向量的实际背景．有下列物理量：位移、路程、速度、速率、力、质量、密度，其中位移、速度、力都是既有大小又有方向的量．路程、速率、质量、密度都是只有大小的量．2．平面向量是既有大小又有方向的量，向量不能比较大小．数量是只有大小没有方向的量，数量能比较大小．练习：时间、温度、位移、质量、体积、力，哪些是向量？答案：位移、力思考应用1．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量吗？数学中的向量与物理中的力有区别吗？解析：x 轴，y 轴只有方向，没有大小，因而不是向量．数学中的向量是自由向量与起点无关，只要大小相等，方向相同，两个向量就是相等向量，而物理上的力是非自由向量，因为力这个向量还和作用点(即起点)有关．二、向量的几何表示1．有向线段是带有方向的线段，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB →．起点要写在终点的前面．有向线段包含三个要素起点、方向、长度．2．向量的有向线段表示方法．向量常用带箭头的线段表示，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向．3．向量也可以用黑体的字母表示，如a ，b ，c .强调：箭头不能不写，否则表示数量．4．向量的模．|AB →|(或|a |)表示向量AB →(或a )的大小，即长度(也称模)，长度为零的向量称为零向量，记作0，长度等于1个单位的向量称为单位向量．思考应用2．(1)单位向量是否唯一？有多少个单位向量？(2)若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是________．解析：(1)单位向量不唯一，因为方向可以不同．有无数个单位向量．(2)圆三、共线向量与相等向量1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，通常记作a ∥b ．我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a ．2．相等向量是长度相等且方向相同的向量，a 与b 相等，记作a ＝b ．任意两个相等的非零向量，都可用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．3．共线向量：任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量，也就是说，共线向量的方向相同或相反．若a 与b 共线，即a 与b 平行，记作a ∥b .思考应用3．共线向量有几种情况？方向为西南方向的向量与东北方向的向量是共线向量吗？解析：共线向量有四种情况：方向相同且模相等，方向相同且模不等，方向相反且模相等，方向相反且模不等．方向为西南方向的向量与东北方向的向量方向相反，它们是共线向量．自测自评1．下列各物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的个数是(D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：②③④⑤是向量，故选D.2．向量a 与任一向量b 平行，则a 一定是0．解析：零向量与任一向量平行，∴a 一定是0.3．如图，在圆O 中，向量AO →、OB →、OC →是(C )A ．有相同的起点B ．单位向量C ．模相等的向量D ．相等的向量4．如图，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，则相等的向量是(D )A .AD →与CB →B .OB →与OD →C .AC →与BD→D .AO →与OC→基础提升1．下列关于向量的说法中正确的是 (C)A ．长度相等的两向量必相等B ．两向量相等，其长度不一定相等C ．向量的大小与有向线段起点无关D ．两个向量相等，则它们的起点和终点都相同2．下列条件中能得到a ＝b 的是(D)A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝0解析：由相等向量的定义知，D 正确．故选D .3．如图，在菱形ABCD 中，∠DAB ＝120°，则以下说法错误的是(D )A ．与AB →相等的向量只有一个(不含AB →) B ．与AB →的模相等的向量有9个(不含AB →)C .BD →的模恰为DA →模的3倍D .CB →与DA →不共线4．若|AB|→＝|AD|→且（BA →＝CD ）→，则四边形ABCD 的形状为(B )A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形解析：由BA →＝CD →知，AB 綊CD ，又AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形．故选B .5．若|a |＝2，b ＝a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．若b ＝－a ，则|b |＝______，b 的方向与a ______．答案：2 相同 2 相反巩固提高6．给出以下4个条件：①a ＝b ；②｜a |＝|b |；③a 与b 方向相反；④｜a |＝0或|b |＝0.其中能使a ∥b 成立的条件是________．答案：①③④7．如下图，设ABCD 是菱形，可以用同一条有向线段表示的两个向量是________．解析：∵相等向量可以平行移动，∴相等向量可用同一条有向线段表示．图中AD →和BC →是相等向量．答案：AD →和BC→8．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是边BC 、AC 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F为端点的有向线段所表示的向量中：(1)与向量FE →共线的有________________________________________________________________________．(2)与向量DF →的模相等的有________________________________________________________________________．(3)与向量ED →相等的有________________________________________________________________________．答案：(1)EF →、BC →、CB →、BD →、DB →、CD →、DC →(2)FD →、AE →、EA →、EC →、CE →(3)AF →、FB →9．已知四边形ABCD，AB →＝12DC →，且|AD →|＝|BC →|，则四边形ABCD 的形状是__________．解析：∵AB →＝12DC →，∴AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为梯形．∵|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形．答案：等腰梯形10．在平面上任意确定一点O ，点P 在点O “东偏北60°，3 cm ”处，点Q 在点O “南偏西30°，3 cm ”处，画出点P 和点Q 相对于点O 的位置向量(即知起点O，方向和长度，确定点P 、Q )．解析：所求图如下：1．非零向量相等，必有大小相等且方向相同，反之也成立．2．两个非零向量方向相同或相反，则它们共线，但要注意零向量与任一向量共线，零向量的方向是任意的．3．与向量a同方向，且长度等于1个单位的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a|a|，这实质上告诉了求任意非零向量的单位向量的方法．。
高中数学(平面向量的实际背景及基本概念)学案1 新人教A版必修4 学案
随堂手记自我评价：我对本节课内容掌握情况：（ ）随堂手记 §2.1平面向量的实际背景及基本概念✂ 学习目标1、 了解向量的实际背景；理解响亮的几何表示；2、了解零向量、单位向量、向量的模、向量相等、共线向量等概念。
✂ 新课预习：1、 我们把________________________的量叫做向量；2、 我们把____________________的线段叫做有向线段，以A 为起点，B 为终点的有向线段 记作____，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度，记作_____，有向线段包括三要素 _______、________、_______；3、 向量可以用有向线段表示，向量AB 的长度（或称____）记作_____，长度为零的向量叫 做_________，记作0，长度等于1个单位的向量，叫做_______；4、 _______________________的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，记作______，规 定0与任一非零平行，即对任意向量a 都有_________；5、 _______________________的向量叫做相等向量；若a 与b 相等，记作_______；✂ 新课导学：例1、（向量的有关概念）给出下列命题：○1向量AB 和向量BA 的长度相等；○2方向不相同的两个向量一定不平行；○3向量就是有 向线段；○4向量0=0；○5向量AB 大于向量CD 。
其中正确的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3变式练习1、下列命题：○1向量可以比较大小；○2向量的模可以比较大小；○3若a b =， 则一定有|a |=|b |，且a a 与b 方向相同；○4对于一个向量，只要不改变它的大小和方向， 是可以任意平行移动的。
其中正确的个数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 例2、（平行向量的概念）判断下列命题是否正确： （1） 若a //b ，则a 与b 的方向相同或相反；（2） 四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB =DC ，反之也成立；（3） |a |=|b |，a ，b 不一定平行，//a b ，|a |不一定等于|b |； （4） 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
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湖南省湘潭市凤凰中学2014年高中数学 2.1平面向量的实际背景及
基本概念学案新人教A版必修4
一、学习目标
1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.
2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.
二、学习过程
1、数量与向量的区别？
2.向量的表示方法？
①
②
③
④向量的大小――长度称为向量的模，记作。
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：。
4、零向量、单位向量概念：
①叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.
②叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.
5、平行向量定义：
①叫平行向量；②我们规定0与平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.
6、相等向量定义：叫相等向量。
说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等；
（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关
．．．．．．．．．．.
7、共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为（与有向线段的起点无关）
．．．．．．．．．．．.
说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
三、理解和巩固：
例1判断：
（1）平行向量是否一定方向相同？
（2）不相等的向量是否一定不平行？
（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？
（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？
（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？
（7）共线向量一定在同一直线上吗？
例2下列命题正确的是（ ）
A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
例3 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量. 变式一：与OA 向量长度相等的向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？
o 变式三：与向量共线的向量有哪些？
课堂练习：
1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝
⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
课后练习与提高
1．下列各量中不是向量的是（ ）
A.浮力
B.风速
C.位移
D.密度
2.下列说法中错误．．
的是（ ） A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0
C.零向量与任一向量平行
D.零向量的方向是任意的
3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）
A.一条线段
B.一段圆弧
C.圆上一群孤立点
D.一个单位圆
4．已知非零向量b a //,若非零向量a c //，则c 与b 必定 .
5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定 .
6.设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,则_______,||=________
=。