2020年中考数学《反比例函数》复习题及答案解析 (7)
中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)
中考数学复习《反比例函数》专项测试卷(带答案)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.若点()1,2A x ,()2,1B x -和()3,4C x 都在反比例函数8y x=的图像上,则1x ,2x 和3x 的大小关系是( ) A.123x x x <<B.231x x x <<C.132x x x <<D.213x x x <<2.若点()26-,在反比例函数ky x=的图象上,则下列说法正确的是( ) A.该函数的图象经过点()34--,B.该函数的图象位于第一、三象限C.当0x >时,y 的值随x 值的增大而增大D.当1x >-时,4y >3.如图,在同一平面直角坐标系中函数y ax a =+与函数ay x=的图象可能是( ) A. B. C. D.4.如图,点A 是双曲线()160y x x =-<上的一点,点B 是双曲线()60y x x=-<上的一点,AB 所在直线垂直x 轴于点C ,点M 是y 轴上一点,连接MA 、MB ,则MAB △的面积为( )A.5B.6C.10D.165.如图,点A ,B 为反比例函数()0ky x x=>的图象上的两点,且满足45AOB ∠=︒,若点A 的坐标为()3,5,则点B 的坐标是( ).A.15215,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B.1010,2⎛ ⎝⎭C.()8,2D.()8,36.如图,已知点A 、B 分别在反比例函数y =1x (x >0),y =-4x(x >0)的图象上,且OA⊥OB ,则OBOA的值为( )A.4B.2C.14D.127.如图,在ABC 中2AC BC == 90ACB ∠=︒ AC x ∥轴 点D 是AB 的中点 点C 、D 在(k 0,x 0)ky x=≠>的图象上 则k 的值为( )A.1-B.2-C.1D.28.已知蓄电池的电压为定值(电压三星近总度阻) 使用蓄电池时 电流(单位:A )与电阻尺(单位:Ω)是反比例函数关系 它的图象如图所示 下列说法不正确的是( )A.函数解析式为60I R=B.蓄电池的电压是C.当6ΩR =时 8A I =D.当10A I ≤时 6R ≥Ω9.如图 在平面直角坐标系中直线24y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点 以AB 为边在第一象限作正方形ABCD 点D 在双曲线()0ky k x=≠上.将正方形沿x 轴负方向平移a 个单位长度后 点C 恰好落在该双曲线上 则a 的值( )A.1B.2C.3D.410.如图 直线22y x =-与x 轴 y 轴分别交于点A B 与反比例函数()0ky k x=>图像交于点C .点D 为x 轴上一点(点D 在点A 右侧) 连接BD 以BA BD 为边作ABDE E 点刚好在反比例函数图像上 设(),E m n 连接EC DC 若1()2ACED S AD AD n =+四边形 则k 的值为( )A.8B.10C.12D.1611.如图 直线y kx =与双曲线3y x -=在同一坐标系中如图所示 则不等式3x-<的解集为( )A.01x <<B.1x <-C.1x <-或01x <<D.10x -<<或1x >12.智能手机已遍及生活中的各个角落 手机拍照功能也越来越强 高档智能手机还具有调焦(调整镜头和感光芯片的距离)的功能.为了验证手机摄像头的放大率(摄像头的放大率是指成像长度与实物长度的比值 也可计算为像距与物距的比值) 小明用某透镜进行了模拟成像实验 得到如图所示的像距v 随物距u 变化的关系图像 下列说法不正确的是( )A.当物距为45.0cm 时 像距为13.0cmB.当像距为15.0cm 时 透镜的放大率为2C.物距越大 像距越小D.当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm13.某商家设计了一个水箱水位自动报警仪 其电路图如图1所示 其中定值电阻110ΩR =2R 是一个压敏电阻 用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中放入水箱底部 受力面水平 承受水压的面积S 为0.012m 压敏电阻的阻值随所受液体压力F 的变化关系如图2所示(水深h 越深 压力F 越大) 电源电压保持6V 不变 当电路中的电流为0.3A 时 报警器(电阻不计)开始报警 水的压强随深度变化的关系图象如图3所示(参考公式:UI R=1000Pa 1kPa =).则下列说法中不正确的是( )2R F pS =A.当水箱未装水()时 压强p 为0kPaB.当报警器刚好开始报警时 水箱受到的压力F 为40NC.当报警器刚好开始报警时 水箱中水的深度h 是0.8mD.若想使水深1m 时报警 应使定值电阻1R 的阻值为 二、填空题14.一个圆柱形蓄水池的底面半径为x cm 蓄水池的侧面积为40π2cm 则这个蓄水池的高h (cm )与底面半径x (cm )之间的函数关系式为_____.15.在反比例函数12my x-=的图象上的图象在二、四象限 则m 的取值范围是_______. 16.若点()11,A y -、21,4B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、()31,C y 都在反比例函数21x k y +=(k 为常数)的图象上 则1y 、2y 、3y 的大小关系为_____.17.如图 点(3,1)P -是反比例函数m y x =的图象上的一点 设直线y kx =与双曲my x=的两个交点分别为P 和P 当mkx x>时 写出x 的取值范围_____.18.如图 在平面直角坐标系xOy 中正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA =10 点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点 将⊥OAD 沿直线OD 折叠后得到⊥OA ′D 若反比例函数y kx=(k ≠0)的图象经过A ′点 则k 的值为_____. 0m h =12Ω19.如图 在平面直角坐标系中直线12y k x =+与x 轴交于点A 与y 轴交于点B 与双曲线2(0)k y x x=>交于点C 连接OC .若52,sin 5OBC S BOC =∠=△ 则12k +的值是______.20.如图 点1A 2A 3A …在反比例函数()10y x x=>的图象上 点1B 2B 3B … n B 在y 轴上 且11212323B OA B B A B B A ∠=∠=∠=直线y x =与双曲线1y x=交于点1A 111B A OA ⊥ 2221B A B A ⊥ 3323B A B A ⊥ … 则2023B 的坐标是________.三、解答题21.如图所示 一次函数y kx b =+的图象与反比例函数my x=的图象相交于两点(1),A n (2,1)B -- 与y 轴相交于点C .(1)求反比例函数和一次函数解析式; (2)直接写出:不等式mkx b x+>解集是______; (3)依据相关数据求AOB 的面积.22.如图 菱形OABC 的边OA 在y 轴正半轴上 点B 的坐标为()48,.反比例函数11k y x=的图象经过菱形对角线AC OB ,的交点D 设直线OC 的解析式为22y k x =.(1)求反比例函数的解析式; (2)求菱形OABC 的边长;(3)请结合图象直接写出不等式120k k x x-<的解集. 23.如图▱OABC 的顶点O 与坐标原点重合 边OA 在x 轴正半轴上 60AOC ∠=︒2OC = 反比例函数()0ky x x=>的图像经过顶点C 与边AB 交于点D.(1)求反比例函数的表达式.(2)尺规作图:作OCB ∠的平分线交x 轴于点E.(保留作图痕迹 不写作法) (3)在(2)的条件下 连接DE 若DE CE ⊥ 求证:AD AE =. 24.如图 已知一次函数26y x =+与反比例函数()0ky x x=>的图象交于点()1,A m 与x 轴交于点B .(1)填空:m 的值为______ 反比例函数的解析式为______; (2)直接写出当0x >时 26kx x+<的解集; (3)点P 是线段AB 上一动点(不与A 、B 点重合) 过P 作直线PM x ∥轴交反比例函数的图象于点M 连接BM .若PMB △的面积为S 求S 的取值范围.25.如图 已知抛物线2y x bx =+与x 轴交于O (4,0)A 两点 点B 的坐标为(0,3)-. (1)求抛物线的对称轴;(2)已知点P 在抛物线的对称轴上 连接OP BP .若要使OP BP +的值最小 求出点P 的坐标;(3)将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折 其余部分保持不变 得到一个新的图象.当直线(0)y x m m =+≠与这个新图象有两个公共点时 在反比例函数y mx=的图象中y 的值随x 怎样变化?判断并说明理由.26.如图 在平面直角坐标系中正六边形ABCDEF 的对称中心P 在反比例函数()10,0ky k x x=>>的图象上 边AB 在x 轴上 点F 在y 轴上 已知23AB =.(1)判断点E 是否在该反比例函数的图象上 请说明理由;(2)求出直线EP :()20y ax b a =+≠的解析式 并根据图象直接写出当0x >时 不等式kax b x+>的解集. 27.如图① 有一块边角料ABCDE 其中AB BC DE EA 是线段 曲线CD 可以看成反比例函数图象的一部分.测量发现:90A E ∠=∠=︒ 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4.(1)小宁把A B C D E 这5个点先描到平面直角坐标系上 记点A 的坐标为()1,0-;点B 的坐标为()1,1-.请你在图②中补全平面直角坐标系并画出图形ABCDE ; (2)求直线BC 曲线CD 的函数表达式;(3)小宁想利用这块边角料截取一个矩形MNQP 其中M N 在AE 上(点M 在点N 左侧)点P 在线段BC 上 点Q 在曲线CD 上.若矩形的面积是53则=_________.参考答案1.答案:B解析:将三点坐标分别代入函数解析式8y x=得: 182x = 解得14x =; 28-1x =解得28x =-; 384x =解得; 824-<<故选:B. 2.答案:C解析:⊥点()26-,在函数ky x=的图象上 ⊥2(6)120k =⨯-=-< ⊥函数ky x=位于第二、四象限 在每个象限内 y 的值随x 的增大增大 ⊥()341212-⨯-=≠-⊥该函数的图象不经过点()34--,把=1x -代入12y x=求得12y = ⊥当10x -<<时 12y > 综上 只有选项C 说法正确 故选:C. 3.答案:A解析:当0a >时 一次函数图像经过第一、二、三象限 反比例函数图像位于一、三象限 可知A 符合题意;32x =231x x x ∴<<当0a <时 一次函数图像经过第二、三、四象限 反比例函数图像位于二、四象限 可知B C D 不符合题意.故选:A.4.答案:A解析:如图所示 作MN BA ⊥交BA 的延长线于N则12AMB S BA MN =⋅设点A 的坐标为16a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, <0aAB 所在直线垂直x 轴于点CB ∴点坐标为6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,16610AB a a a ⎛⎫∴=---=- ⎪⎝⎭ MN a =()11101105222ABM S AB MN a a a a ⎛⎫⎛⎫∴=⋅=⨯-⨯=⨯-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:A.5.答案:A解析:将OA 绕O 点顺时针旋转90︒到OC 连接AB 、CB作AM y ⊥轴于MCN x ⊥轴于N点A 的坐标为()3,53AM ∴= 5OM =45AOB ∠=︒45BOC ∠=︒∴在AOB 和COB △中OA OC AOB COBOB OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)AOB COB ∴△≌△AB CB ∴=90AOM AON CON AON ∠+∠=︒=∠+∠AOM CON ∴∠=∠ 在AOM 和CON 中AOM CON AMO ONCOA OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ (AAS)AOM CON ∴△≌△3CN AM ∴== 5ON OM == (5,3)C ∴-点A 为反比例函数(0)k y x x=>图象上的点 3515k ∴=⨯= 15y x ∴=设B 点的坐标为15(,)m m AB CB =22221515(3)(5)(5)(3)m m m m ∴-+-=-++解得215m =(负数舍去)15215,B ⎛∴ ⎝⎭故选A.6.答案:B解析:作AC y ⊥轴于C BD y ⊥轴于D 如图点A 、B 分别在反比例函数1(0)y x x => 4(0)y x x=->的图象上 11122OAC S ∆∴=⨯= 1|4|22OBD ∆=⨯-=OA OB ⊥90AOB ∠=︒∴90AOC BOD ∴∠+∠=︒AOC DBO ∴∠=∠Rt AOC Rt OBD ∴∆∆∽ ∴212()2AOC OBD S OA S OB ∆∆== ∴12OA OB =. ∴2OB OA=. 故答案为B. 7.答案:B解析:设(0,)A b 根据题意(2,)C b - (2,2)B b -+点D 是AB 的中点(1,1)D b ∴-+点C 、D 在(k 0,x 0)k y x=≠>的图象上 2(1)k b b ∴=-=-+解得1b =22k b ∴=-=-故选:B.8.答案:C解析:设图象过蓄电池的电压是A 、B 选项正确 不符合题意;当=6ΩR 时 (A 6010)6I ==∴C 选项错误 符合题意;当10I =时 6R =由图象知:当10A I ≤时 6R ≥Ω∴D 选项正确 不符合题意;故选:C.9.答案:B解析:作CE y ⊥轴于点E 交双曲线于点G 作DF x ⊥轴于点F在24y x =-+中令0x = 解得4y =∴B 的坐标是(0,4)令0y = 解得2x =∴A 的坐标是(2,0)kI R =(5,12)60k ∴=60I R ∴=∴60V ∴4OB ∴= 2OA =90BAD ∠=︒90BAO DAF ∴∠+∠=︒直角ABO △中90BAO OBA ∠+∠=︒DAF OBA ∴∠=∠在OAB △和FDA △中DAF OBA BOA AFD AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)OAB FDA ∴≌△△同理 OAB FDA BEC ≌≌△△△ 4AF OB EC ∴=== 2DF OA BE ===∴D 的坐标是(6,2) C 的坐标是(4,6)点D 在双曲线(0)k y k x=≠上 6212k ∴=⨯=∴函数的解析式是:12y x =把6y =代入12y x=得:2x = 422a ∴=-=故选B.10.答案:C解析:直线与x 轴 y 轴分别交于点A B(1,0)A ∴ (0,2)B -作EF x ⊥轴于F 如图所示:22y x =-四边形是平行四边形在和中E 点刚好在反比例函数图像上设C 的纵坐标为hABDE AE BD ∴=//DE AB DAE ADB ∴∠=∠AEF △DBO △EAF BDO AFE DOB AE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)AEF DBO ∴≌△△2EF OB ∴==AF OD =1DF OA ∴==(,)E m n 2m AD ∴=+2n =2(2)k mn AD ∴==+122AD k ∴=-//DE BC AED CED S S ∴=△△()11122222ACD CED ACD AED ACED S S S S S AD h AD AD h ∴=+=+=⋅+⋅=+四边形△△△△()12ACED S AD AD n =+四边形122h AD k ∴==-C 的纵坐标为代入得解得反比例函数图像经过点C 解得 20k =(舍去) 12k∴=故选:C.11.答案:D解析:有题意可知 当3y =时 33x= 解得=1x - ∴直线y kx =与双曲线3y x=在第二象限交点的坐标为1,3)- 由中心对称可得 直线y kx =与双曲线3y x=在第四象限交点的坐标为3)- ∴观察图象可得 不等式3kx x<的解集为10x <<或1x >. 故选:D.12.答案:B解析:由函数图象可知:当物距为45.0cm 时 像距为13.0cm 故选项A 说法正确;由函数图象可知:当像距为15.0cm 时 物距为300cm . 放大率为15.00.530.0= 故选项B 说法错误;由函数图象可知:物距越大 像距越小 故选项C 说法正确;由题意可知:当透镜的放大率为1时 物距和像距均为20cm 故选项D 说法正确 故选:B.13.答案:B解析:A.由图3得:当0h =时 0p = 故此项说法正确;122-22y x =-12222x -=-14x k =11(,2)42C k k ∴-(0)k y k x=>11(2)42k k k ∴-=112k =B.当报警器刚好开始报警时 260.310R =+ 解得210R =Ω 由图2可求得:2800R F =80010F∴= 解得80F N = 故此项说法错误; C.当报警器刚好开始报警时 由上得80F N = 则有800.01p =⨯ 8P p k a ∴= 由图3求得10p h = 810h = 解得:0.8h = 故此项说法正确;D.当报警器刚好开始报警时:1260.3R R =+ 1220R R ∴+=Ω 当1h =时 10110kPa p =⨯= 100000.01100F N ∴=⨯= 28008100R ==Ω 120812R ∴=-=Ω 故此项说法正确. 故选:B.14.答案:20h x = 解析:根据题意 得240x h ππ⋅= ⊥20h x=. 故答案为:20h x=. 15.答案:12m > 解析:由题意得 反比例函数12m y x -=的图象在二、四象限内 则120m -< 解得12m >. 故答案为12m >. 16.答案:213y y y << 解析:反比例函数2(1k k y x+=为常数) 210k +> ∴该函数图象在第一、三象限 在每个象限内y 随x 的增大而减小点1(1,)A y -、1(4B 2)y 、3(1,)C y 都在反比例函数2(1k k y x +=为常数)的图象上 114-<- 点A 、B 在第三象限 点C 在第一象限213y y y ∴<<故答案为:213y y y <<.17.答案:-3<x <0或x >3 解析:⊥直线y =kx 与双曲线y =m x的两个交点分别为P 和P ′ P (-3 1) ⊥P ′的坐标为(3 -1)当mx >kx 时 x 的取值范围为-3<x <0或x >3故答案为:-3<x <0或x >3. 18.答案:48解析:如图所示:过A '作EF OC ⊥于F 交AB 于E⊥90OA D '∠=︒90OA F DA E ∴∠'+∠'=︒⊥90A F AOF O ∠'+∠'=︒D AOF AE ∴'=∠'∠D A FO AE '=∠∠'A OF DA E ∴''∠△△设A '(m n )OF m ∴= A F n '=.正方形OABC 的边OC 、OA 分别在x 轴和y 轴上 OA =10点D 是边AB 上靠近点A 的三等分点∴ 103DE m = 10A E n '=-.310103m n m m ==-- 解得:m =6 n =8. ∴A '(6,8) ∴ 反比例函数中k =xy (0k ≠)=48 故答案为:48.19.答案:9解析:据题意可知(0,2)B 设(,)Cx y 52,sin OBC S BOC =∠=△1222x ∴⨯= 52xOC = 解得2,25x OC ==2225OC x y =+=即2425y +=得4y = 故(2,4)C 将(2,4)C 代入直线12y k x =+ 双曲线2(0)k y x x => 得到 121,8k k == 故12189k k +=+= 故答案为:9.20.答案:(0,22023解析:联立1y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得1x =由题意可知145AOB ∠=︒111B A OA ⊥11OA B ∴△为等腰直角三角形1122OB OA ∴==过2A 作22A H OB ⊥交y 轴于H 则容易得到21A H B H = 设21A H B H x == 则()2,2A x x +()21x x ∴+=解得121x = 221x =-(舍去)2121A H B H ∴== 1212222B B B H ==2222222OB ∴=+=同理可得323OB =则2n OB n =即(0,2n B n(20230,22023B ∴故答案为:(0,22023. 21.答案:(1)2y x = 1y x =+ (2)1x >或20x -<<(3)32解析:(1)反比例函数m y x =的图象过(2,1)--∴反比例函数的解析式为:2y x = 点(1),A n 在反比例函数图象上∴12n ⨯=∴2n =∴点A 的坐标为(1,2)将点A B 坐标代入一次函数y kx b =+中得221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为:1y x =+.(2)根据图象可知 不等式0m kx b x+>>的解集是:1x >或20x -<<. 故答案为:1x >或20x -<<; (3)过点A 作AG y ⊥轴于点G 过点B 作BH y ⊥轴于点H 如下图所示:一次函数1y x =+与y 轴相交于点C∴C 点坐标为(0,1)∴1OC =A 点坐标为(1,2)∴1AG =B 点坐标为(2,1)--∴2BH =∴11123222AOB AOC BOC S S S ⨯⨯=+=+=△△△. 22.答案:(1)18y x = (2)5 (3)463x <或63x << 解析:(1)⊥菱形OABC 的对角线交于点D⊥OD DB =⊥点B 的坐标为()48,⊥点D 的坐标为()24, 又⊥反比例函数11k y x=经过点D ⊥1248k =⨯= ⊥18y x =; (2)过点B 作BE y ⊥轴于点E设OA AB a == 则8AE a =- 4BE =在Rt ABE 中222BE AE AB += 即()22248x x +-= 解得:5x =⊥菱形OABC 的边长为5;(3)⊥点B 的坐标为()48, 5BC =⊥点C 的坐标为()43,代入22y k x =得:234k = 解得:234k =⊥234y x =令1y y = 则834x x = 解得:63x =±结合图象 不等式120k k x x -<的解集为463x <或463x <<.23.答案:(1))30y x =>(2)见解析(3)见解析解析:(1)过点C 作CF OA ⊥于点F 如解图所示.在Rt COF △中2OC = 60COF ∠=︒30sin 6023CF C ∴=⋅==︒1cos60212OF OC =⋅︒=⨯=.(1,3C ∴. 把(3C 代入反比例函数()0ky x x =>中得3k =∴反比例函数的表达式为)30y x =>.(2)如解图所示 所作射线CE 即为所求.(3)证明:在OABC 中//OC AB //CB OA .60AOC ∠=︒120OCB OAB ∴∠=∠=︒. CE 平分OCB ∠60OCE BCE OEC ∴∠=∠=∠=︒.DE CE ⊥90CED ∴∠=︒.180609030AED ∴∠=︒-︒-︒=︒.1801203030ADE ∴∠=︒-︒-︒=︒.AED ADE ∴∠=∠.AD AE ∴=.24.答案:(1)8 8y x= (2)01x << (3)S 的取值范围是2504S <≤ 解析:(1)⊥一次函数26y x =+的图象经过点()1,A m ⊥268m =+=⊥点()18A ,⊥反比例函数()0k y x x =>的图象经过点()18A , ⊥188k =⨯=⊥反比例函数的解析式为8y x=; 故答案为:8 8y x =;(2)观察图象得 26k x x+<的解集为1x <<; (3)设点P 的纵坐标为n ⊥点P 在线段AB 上 点M 在8y x =的图象上 ⊥0n << 点P 的横坐标为62n -⊥PM x ∥轴⊥点M 的坐标为8n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⊥862n MP n -=. ⊥()21186125322244PMBn S MP n n n n -⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=--+ ⎪⎝⎭. ⊥08n << 且104-<⊥当03n <<时 S 随n 的增大而增大 当38n ≤<时 S 随n 的增大而减小. ⊥当3n =时 △的面积最大 最大值为254 ⊥S 的取值范围是2504S <≤. 25.答案:(1)抛物线的对称轴为直线2x =(2)点P 的坐标为32,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)y 的值随x 的增大而增大解析:(1)由题意得:2440b +=4b ∴=-∴函数关系式为:24y x x =-∴对称轴为:4222b x a -=-=-=; (2)由题意得:OP PB +的值最小 实际就是在同一直线一旁有两点 在直线上求点只要取O 点关于直线2x =对称的点 过AB 的直线与直线的交点就是点P设过AB 的直线为 由在上()4,0A 2x =3y kx =-()4,0B 3y kx =-得34k =334AB y x =-P 在直线2x =上332342y ∴=⨯-=-32,2P ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭; (3)24y x x =-在x 轴下方的部分沿x 轴翻转当直线()0y x m m =+≠有两个不相同的解0∴∆> 2340m -⨯> 得94m <又0> 904m ∴<< 在反比例函数m y x=中 904m k <=< y 随x 的增大而减小. 26.答案:(1)点E 在该反比例函数的图象上 理由见解析(2)39y x =+ 323x <<解析:(1)六边形ABCDEF 为正六边形 23AB =23AB AF ∴== 60FAO =︒cos 603OA AF ∴=⋅︒= sin603AF =⋅︒=()0,3F ∴ )3,0A 连接PF PA六边形ABCDEF 为正六边形PE PF PA PB ∴=== 60EPF FPA APB ∠=∠=∠=︒EFP ∴△ FAP △ ABP △为等边三角形23AF PF ∴==()23,3P ∴ 把()23,3P 代入1k y x =得:23=解得:63k =043k ∴=-∴反比例函数表达式为163y x=. EFP △ FAP △为等边三角形∴点E 和点A 关于PF 对称)3,6E ∴ 把3x =代入163y x =得:13663y == ∴点E 在该反比例函数的图象上; (2)把()3,6E ()23,3P 代入()20y ax b a =+≠得: 6333a b a b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ 解得:39a b ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴直线EP 的解析式为:39y x =+()3,6E ()23,3P由图可知 当323x <<时 k b x +>. 27.答案:(1)见解析(2)直线BC 的函数表达式3522y x =曲线的函数表达式4y x= (3)72 解析:(1)根据点A 的坐标为()1,0- 点B 的坐标为()1,1- 补全x 轴和y 轴 90A E ∠︒∠== 5AE = 1AB DE == 点C 到AB AE 所在直线的距离分别为2 4 ()1,4C ∴ ()4,1D根据AB BC DE EA 是线段 曲线CD 是反比例函数图象的一部分 画出图形ABCDE如图所示 (2)设线段BC 的解析式为y kx b =+ 把()1,1B - ()1,4C 代入得 14k b k b -+=⎧⎨+=⎩解得 3252k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3522y x ∴=+设曲线CD 的解析式为'k y x =把()1,4C 代入得 '41k = '4= 4y x ∴=; (3)设(),0M m 则35,22P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 435,352222Q m m ⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭3522PM m ∴=+ 43522m m =-+354352222PM PQ m m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪+⎝⎭23554223m m ∴--= 2915140m m ∴+-= 23m ∴= 或73m =-(舍去) 32572322PM ∴=⨯+=. 故答案为:72.。
2020年中考二轮复习:反比例函数实际应用题专题复习(含答案解析)
2020年中考二轮复习:实际问题与反比例函数专题复习一.解答题(共20小题)1.已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时,电流Ⅰ(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.(1)求这个反比例函数的表达式;(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A,那么该用电器的可变电阻至少是多少?2.教室时的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系,直至水温降至30℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示:(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;(2)怡萱同学想接不低于50℃的水,在一轮开机到关机过程中,请问有多长时间能满足这位同学的水温需求?3.实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)成正比例;1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)请求出一般成人喝半斤低度白酒后,y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围;(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不能驾车上路,参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上21:00在家喝完半斤低度白酒,第二天最早几点驾车去上班?请说明理由.4.某校举行田径运动会,学校准备了某种气球,这些气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个函数的表达式;(2)当气球内的气压大于150kPa时,气球将会爆炸,为了安全起见,气体的体积应至少是多少?5.蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个反比例函数的表达式;(2)当R=10Ω时,求电流I(A).6.一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间成反比例函数关系,其图象如图所示.(1)求V与t之间的函数表达式;(2)若要2h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?(3)如果每小时排水量不超过4000m3,那么水池中的水至少要多少小时才能排完?7.夏天,小明家的饮水机将温控器设置为加热时的温度最高为98℃,保温时的温水最低温度为33℃.接通电源后进入自动程序,加热到98℃时停止加热,水温开始下降,直至水温降至33℃,饮水机即刻自动进入加热程序,重复上述自动程序.若在水温为33℃时小明接通了电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系(部分图象)如图所示,依据图象回答下列问题:(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;(2)接通电源后,若小明准备用不低于91℃的水沏茶,请问他可用水的时间有多长?(不考虑其它因素)8.某闭合电路中,其两端电压恒定,电流I(A)与电阻R(Ω)图象如图所示,回答问题:(1)写出电流I与电阻R之间的函数解析式;(2)若允许的电流不超过4A时,那么电阻R的取值应该控制在什么范围?9.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动,交付首付款后,余额要在30个月内结清,不计算利息,王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车,交了首付款后平均每月付款y万元,x个月结清.y与x的函数关系如图所示,根据图象回答下列问题:(1)确定y与x的函数解析式,并求出首付款的数目;(2)王先生若用20个月结清,平均每月应付多少万元?(3)如果打算每月付款不超过4000元,王先生至少要几个月才能结清余额?10.某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(℃)与通电时间x(分)的关系如下图所示,回答下列问题:(1)当0≤x≤8时,求y与x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)某天早上7:20,李优老师将放满水后的饮水机电源打开,若他想在8:00上课前能喝到不超过40℃的温开水,问:他应在什么时间段内接水?11.某中学为了预防流行性感冒,对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物6min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为4mg,(1)写出药物燃烧前后,y与x之间的函数表达式;(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟,学生方能回到教室?(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于2mg且持续时间不低于9min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?12.一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示,其中60≤v≤120.(1)直接写出v与t的函数关系式;(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地,客车比货车平均每小时多行驶20千米,3小时后两车相遇.①求两车的平均速度;②甲、乙两地间有两个加油站A、B,它们相距200千米,当客车进入B加油站时,货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计),求甲地与B加油站的距离.13.去学校食堂就餐,经常会在一个买菜窗口前等待.经调查发现,同学的舒适度指数y 与等待时间x(分)之间存在如下的关系:y=,求:(1)若等待时间x=5分钟时,求舒适度y的值;(2)舒适度指数不低于10时,同学才会感到舒适.函数y=的图象如图(x>0),请根据图象说明,作为食堂的管理员,让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间?14.为了预防“流感”,某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米的含药量y(毫克)与时间x(时)成正比例;药物释放结束后,y与x成反比例;如图所示,根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y与x之间的两个函数解析式;(2)据测定,当药物释放结束后,每立方米的含药量降至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多长时间,学生才能进入教室?15.小明家饮水机中原有水的温度为20℃,通电开机后,饮水机自动开始加热(此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)满足一次函数关系),当加热到100℃时自动停止加热,随后水温开始下降(此过程中水温y(℃)与开机时间x(分)成反比例关系),当水温降至20℃时,饮水机又自动开始加热…,重复上述程序(如图所示),根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)当0≤x≤10时,求水温y(℃)与开机时间x(分)的函数关系式;(2)求图中t的值;(3)若小明在通电开机后即外出散步,请你预测小明散步57分钟回到家时,饮水机内的温度约为多少℃?16.某气球内充满了一定量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这一函数的解析式;(2)当气体体积为1m3时,气压是多少?(3)当气球内的气压大于140kPa时,气球将爆炸,为了安全起见,气体的体积应不小于多少?(精确到0.01m3)17.环保局对某企业排污情况进行检测,结果显示:所排污水中硫化物的浓度超标,即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L.环保局要求该企业立即整改,在15天以内(含15天)排污达标.整改过程中,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示,其中线段AB表示前3天的变化规律,从第3天起,所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系.(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式;(2)该企业所排污水中硫化物的浓度,能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L?为什么?18.如图是轮滑场地的截面示意图,平台AB距x轴(水平)18米,与y轴交于点B,与滑道y=(x≥1)交于点A,且AB=1米.运动员(看成点)在BA方向获得速度v米/秒后,从A处向右下飞向滑道,点M是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表明:M,A的竖直距离h(米)与飞出时间t(秒)的平方成正比,且t=1时h=5,M,A的水平距离是vt米.(1)求k,并用t表示h;(2)设v=5.用t表示点M的横坐标x和纵坐标y,并求y与x的关系式(不写x的取值范围),及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离;(3)若运动员甲、乙同时从A处飞出,速度分别是5米/秒、v乙米/秒.当甲距x轴1.8米,且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时,直接写出t的值及v乙的范围.19.六•一儿童节,小文到公园游玩.看到公园的一段人行弯道MN(不计宽度),如图,它与两面互相垂直的围墙OP、OQ之间有一块空地MPOQN(MP⊥OP,NQ⊥OQ),他发现弯道MN上任一点到两边围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等,比如:A、B、C是弯道MN上的三点,矩形ADOG、矩形BEOH、矩形CFOI的面积相等.爱好数学的他建立了平面直角坐标系(如图),图中三块阴影部分的面积分别记为S1、S2、S3,并测得S2=6(单位:平方米).OG=GH=HI.(1)求S1和S3的值;(2)设T(x,y)是弯道MN上的任一点,写出y关于x的函数关系式;(3)公园准备对区域MPOQN内部进行绿化改造,在横坐标、纵坐标都是偶数的点处种植花木(区域边界上的点除外),已知MP=2米,NQ=3米.问一共能种植多少棵花木?20.月电科技有限公司用160万元,作为新产品的研发费用,成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为4元/件,在销售过程中发现:每年的年销售量y(万件)与销售价格x(元/件)的关系如图所示,其中AB为反比例函数图象的一部分,BC为一次函数图象的一部分.设公司销售这种电子产品的年利润为s(万元).(注:若上一年盈利,则盈利不计入下一年的年利润;若上一年亏损,则亏损计作下一年的成本.)(1)请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式;(2)求出第一年这种电子产品的年利润s(万元)与x(元/件)之间的函数关系式,并求出第一年年利润的最大值.(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润s(万元)取得最大值时进行销售,现根据第一年的盈亏情况,决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x(元)定在8元以上(x>8),当第二年的年利润不低于103万元时,请结合年利润s(万元)与销售价格x(元/件)的函数示意图,求销售价格x(元/件)的取值范围.2020年中考二轮复习:实际问题与反比例函数专题复习参考答案与试题解析1.已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时,电流Ⅰ(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示.(1)求这个反比例函数的表达式;(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过8A,那么该用电器的可变电阻至少是多少?【分析】(1)反比例函数经过点(10,4),代入反比例函数式,即可求得函数解析式.(2)I≤8时,根据反比例函数的单调递减性质,求电阻R的范围.【解答】解(1)设反比例函数表达式为I=(k≠0)将点(10,4)代入得4=∴k=40∴反比例函数的表达式为(2)由题可知,当I=8时,R=5,且I随着R的增大而减小,∴当I≤8时,R≥5∴该用电器的可变电阻至少是5Ω.2.教室时的饮水机接通电源就进入自动程序,开机加热时每分钟上升10℃,加热到100℃停止加热,水温开始下降,此时水温y(℃)与开机后用时x(min)成反比例关系,直至水温降至30℃,饮水机关机,饮水机关机后即刻自动开机,重复上述自动程序.若在水温为30℃时接通电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系如图所示:(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;(2)怡萱同学想接不低于50℃的水,在一轮开机到关机过程中,请问有多长时间能满足这位同学的水温需求?【分析】(1)根据题意和函数图象可以求得a的值;根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式,注意函数图象是循环出现的;(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题.【解答】解:(1)观察图象,可知:当x=7(min)时,水温y=100(℃)当0≤x≤7时,设y关于x的函数关系式为:y=kx+b,,得,即当0≤x≤7时,y关于x的函数关系式为y=10x+30,当x>7时,设y=,100=,得a=700,即当x>7时,y关于x的函数关系式为y=,∴y与x的函数关系式为:y=;(2)当y=30时,x=,y与x的函数关系式每分钟重复出现一次,将y=50代入y=10x+30,得x=2,将y=50代入y=,得x=14,∵14﹣2=12,﹣12=(分钟),∴怡萱同学想喝高于50℃的水,她最多需要等待min.3.实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y(毫克/百毫升)与时间x(时)成正比例;1.5小时后(包括1.5小时)y与x成反比例.根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)请求出一般成人喝半斤低度白酒后,y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围;(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”不能驾车上路,参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上21:00在家喝完半斤低度白酒,第二天最早几点驾车去上班?请说明理由.【分析】(1)直接利用待定系数法分别求出反比例函数以及一次函数的解析式得出答案;(2)根据题意得出y=20时x的值进而得出答案.【解答】解:(1)由题意可得:当0≤x≤1.5时,设函数关系式为:y=kx,则150=1.5k,解得:k=100,故y=100x,当1.5≤x时,设函数关系式为:y=,则a=150×1.5=225,解得:a=225,故y=(x≥1.5),综上所述:y与x之间的两个函数关系式为:y=;(2)在中令y=20得x=11.25,21+11.25﹣24=8.25(小时),所以第二天最早8点(15分)能驾车去上班.4.某校举行田径运动会,学校准备了某种气球,这些气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个函数的表达式;(2)当气球内的气压大于150kPa时,气球将会爆炸,为了安全起见,气体的体积应至少是多少?【分析】(1)根据温度=气体的气压P×气体体积V,求温度,再确定P与V的函数关系式;(2)依题意P≤150,即P=≤150,解不等式即可.【解答】解:(1)设P=,将A(0.5,120)代入求出k=60,∴P=;(2)当P>150KPa时,气球将爆炸,∴P≤150,即P=≤150,解得V≥=0.4(m3).故为了安全起见,气体的体积应不小于0.4(m3).5.蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求这个反比例函数的表达式;(2)当R=10Ω时,求电流I(A).【分析】(1)根据电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,设出I=(k≠0)后把(4,9)代入求得k值即可;(2)将R=10Ω代入上题求得的函数关系式后求得电流的值与4比较即可.【解答】解:(1)由电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数,设I=(k≠0),把(4,9)代入得:k=4×9=36,∴.(2)当R=10Ω时,I=3.6A.6.一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间成反比例函数关系,其图象如图所示.(1)求V与t之间的函数表达式;(2)若要2h排完水池中的水,那么每小时的排水量应该是多少?(3)如果每小时排水量不超过4000m3,那么水池中的水至少要多少小时才能排完?【分析】(1)直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可;(2)利用t=2代入进而得出V的值;(3)把V=4 000代入V=,求出答案.【解答】解:(1)设函数表达式为V=,把(6,3000)代入V=,得3000=.解得:k=18000,所以V与t之间的函数表达式为:V=;(2)把t=2代入V=,得V=9000,答:每小时的排水量应该是9 000 m3;(3)把V=4 000代入V=,得t=4.5,根据反比例函数的性质,V随t的增大而减小,因此水池中的水至少要4.5 h才能排完.7.夏天,小明家的饮水机将温控器设置为加热时的温度最高为98℃,保温时的温水最低温度为33℃.接通电源后进入自动程序,加热到98℃时停止加热,水温开始下降,直至水温降至33℃,饮水机即刻自动进入加热程序,重复上述自动程序.若在水温为33℃时小明接通了电源,水温y(℃)与时间x(min)的关系(部分图象)如图所示,依据图象回答下列问题:(1)分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式;(2)接通电源后,若小明准备用不低于91℃的水沏茶,请问他可用水的时间有多长?(不考虑其它因素)【分析】(1)根据函数图象和题意可以求得y关于x的函数关系式,注意函数图象是循环出现的;(2)根据(1)中的函数解析式可以解答本题;【解答】解:(1)观察图象,可知:当0≤x≤6.5时,设y关于x的函数关系式为:y=kx+b,,得,即当0≤x≤6.5时,y关于x的函数关系式为y=10x+33,当6.5<x<时,设y=,98=,得a=637,∴6.5<x<时,y关于x的函数关系式为y=;(2)将y=91代入y=10x+33,得x=5.8,将y=91代入y=,得x=7,∵7﹣5.8=1.2,∴若小明准备用不低于91℃的水沏茶,请问他可用水的时间有1.2min;8.某闭合电路中,其两端电压恒定,电流I(A)与电阻R(Ω)图象如图所示,回答问题:(1)写出电流I与电阻R之间的函数解析式;(2)若允许的电流不超过4A时,那么电阻R的取值应该控制在什么范围?【分析】(1)可设I=,由于点(3,2)适合这个函数解析式,则可求得k的值,然后代入R=6求得I的值即可.(2)限制的电流不超过4A,把I=4代入函数解析式求得最小电阻值.【解答】解:(1)设I=,由图中曲线过(3,2)点,所以2=,解得k=6,即函数关系式为I=;(2)由I=可知I=4时,R=1.5Ω,所以电阻应至少1.5Ω.9.某汽车销售商推出分期付款购车促销活动,交付首付款后,余额要在30个月内结清,不计算利息,王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车,交了首付款后平均每月付款y万元,x个月结清.y与x的函数关系如图所示,根据图象回答下列问题:(1)确定y与x的函数解析式,并求出首付款的数目;(2)王先生若用20个月结清,平均每月应付多少万元?(3)如果打算每月付款不超过4000元,王先生至少要几个月才能结清余额?【分析】(1)从反比例图象上任意找一点向两坐标轴引垂线,形成的矩形面积等于k的绝对值,由图可知1.8×5=9,即可求出解析式.(2)在(1)的基础上,知道自变量,便可求出函数值.(3)知道了自变量的范围,利用解析式即可求出函数的范围.【解答】解:(1)由图象可知y与x成反比例,设y与x的函数关系式为y=,把(5,1.8)代入关系式得1.8=,∴k=9,∴y=,∴12﹣9=3(万元).答:首付款为3万元;(2)当x=20时,y==0.45(万元),答:每月应付0.45万元;(3)当y=0.4时,0.4=,解得:x=,答:他至少23个月才能结清余款.10.某小学为每个班级配备了一种可加热的饮水机,该饮水机的工作程序是:放满水后,接通电源,则自动开始加热,每分钟水温上升10℃,待加热到100℃,饮水机自动停止加热,水温开始下降,水温y(℃)与通电时间x(分)的关系如下图所示,回答下列问题:(1)当0≤x≤8时,求y与x之间的函数关系式;(2)求出图中a的值;(3)某天早上7:20,李优老师将放满水后的饮水机电源打开,若他想在8:00上课前能喝到不超过40℃的温开水,问:他应在什么时间段内接水?【分析】(1)由函数图象可设函数解析式,再将图中坐标代入解析式,利用待定系数法即可求得y与x的关系式;(2)将y=20代入y=,即可得到a的值;(3)要想喝到不超过40℃的开水,7:30加20分钟即可接水,一直到8:10;【解答】解:(1)当0≤x≤8时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(0,20),(8,100)代入y=kx+b,得:,解得:,∴当0≤x≤8时,y与x之间的函数关系式为y=10x+20;(2)当8≤x≤a时,设y与x之间的函数关系式为:y=(k2≠0),将(8,100)代入y=,得:100=解得:k2=800,∴当8≤x≤a时,y与x之间的函数关系式为:y=;将(a,20)代入y=,得:a=40;(3)依题意,得:≤40,解得:x≥20.∵x≤40,∴20≤x≤40.∴他应在7:40~8:00时间段内接水.11.某中学为了预防流行性感冒,对教室采用药熏消毒法进行消毒,已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物6min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为4mg,(1)写出药物燃烧前后,y与x之间的函数表达式;(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过多少分钟,学生方能回到教室?(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于2mg且持续时间不低于9min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效?【分析】(1)药物燃烧时,设出y与x之间的解析式y=k1x,把点(6,4)代入即可,药物燃烧后,设出y与x之间的解析式(k2>0)代入(6,4)即可;(2)把y=1.6代入反比例函数解析式,求出相应的x;(3)把y=2代入正比例函数解析式和反比例函数解析式,求出相应的x,两数之差与9进行比较,≥9就有效.【解答】解:(1)设药物燃烧时y关于x的函数关系式为:y=k1x(k1>0)代入(6,4)为4=6k1∴k1=,设药物燃烧后y关于x的函数关系式为:(k2>0)代入(6,4)为:4=,∴k2=24,∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为:y=x(0≤x≤6),药物燃烧后y关于x的函数关系式为:y=(x>6);(2)令y=中y≤1.6,得:x≥15,即从消毒开始,至少需要15分钟后学生才能进入教室;(3)把y=2代入y=x,得:x=3,把y=2代入y=,得:x=12,∵12﹣3=9,所以这次消毒是有效的.12.一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度v(千米/小时)与所用时间t(小时)的函数关系如图所示,其中60≤v≤120.(1)直接写出v与t的函数关系式;(2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地,客车比货车平均每小时多行驶20千米,3小时后两车相遇.①求两车的平均速度;②甲、乙两地间有两个加油站A、B,它们相距200千米,当客车进入B加油站时,货车恰好进入A加油站(两车加油的时间忽略不计),求甲地与B加油站的距离.【分析】(1)利用时间t与速度v成反比例可以得到反比例函数的解析式;(2)①由客车的平均速度为每小时v千米,得到货车的平均速度为每小时(v﹣20)千米,根据一辆客车从甲地出发前往乙地,一辆货车同时从乙地出发前往甲地,3小时后两车相遇列出方程,解方程即可;②分两种情况进行讨论:当A加油站在甲地和B加油站之间时;当B加油站在甲地和A加油站之间时;都可以根据甲、乙两地间有两个加油站A、B,它们相距200千米列出方程,解方程即可.【解答】解:(1)设函数关系式为v=,∵t=5,v=120,∴k=120×5=600,∴v与t的函数关系式为v=(5≤t≤10);(2)①依题意,得3(v+v﹣20)=600,解得v=110,经检验,v=110符合题意.当v=110时,v﹣20=90.答:客车和货车的平均速度分别为110千米/小时和90千米/小时;②当A加油站在甲地和B加油站之间时,110t﹣(600﹣90t)=200,解得t=4,此时110t=110×4=440;当B加油站在甲地和A加油站之间时,110t+200+90t=600,解得t=2,此时110t=110×2=220.答:甲地与B加油站的距离为220或440千米.13.去学校食堂就餐,经常会在一个买菜窗口前等待.经调查发现,同学的舒适度指数y 与等待时间x(分)之间存在如下的关系:y=,求:(1)若等待时间x=5分钟时,求舒适度y的值;(2)舒适度指数不低于10时,同学才会感到舒适.函数y=的图象如图(x>0),请根据图象说明,作为食堂的管理员,让每个在窗口买菜的同学最多等待多少时间?【分析】函数关系式y=中,y代表舒适度指数,x(分)代表等待时间.(1)是已知x=5,代入函数解析式求得y.(2)是已知y≥10,就可以得到关于x的不等式求的x的范围.【解答】解:(1)当x=5时,舒适度y===20;(2)舒适度指数不低于10时,由图象y≥10时,0<x≤10所以作为食堂的管理员,让每个在窗口买菜的同学最多等待10分钟.14.为了预防“流感”,某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米的含药量y(毫克)与时间x(时)成正比例;药物释放结束后,y与x成反比例;如图所示,根据图中提供的信息,解答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y与x之间的两个函数解析式;(2)据测定,当药物释放结束后,每立方米的含药量降至0.25毫克以下时,学生方可进入教室,那么从药物释放开始,至少需要经过多长时间,学生才能进入教室?【分析】(1)药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(小时)成正比;药物释放完毕后,含药量y(毫克)与时间x(小时)成反比,用待定系数法可得函数关系式;(2)根据函数值为0.25,利用反比例函数即可得到自变量x的值.【解答】解:(1)药物释放过程中,y与x成正比,设y=kx(k≠0),∵函数图象经过点A(2,1),∴1=2k,即k=,∴y=x;当药物释放结束后,y与x成反比例,设y=(k'≠0),∵函数图象经过点A(2,1),∴k'=2×1=2,∴y=;(2)当y=0.25时,代入反比例函数y=,可得。
【精选】2020年中考数学《反比例函数》专题 复习试题(word版有答案)
中考数学《反比例函数》专题 复习试题命题点1 图象与性质1.一台印刷机每年可印刷的书本数量 y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系,当x =2时,y =20.则y 与x 的函数图象大致是(C)A B C D2.反比例函数y =mx的图象如图所示,以下结论:①常数m <-1;②在每个象限内,y 随x的增大而增大;③若A(-1,h),B(2,k)在图象上,则h <k ;④若P(x ,y)在图象上,则P ′(-x ,-y)也在图象上.其中正确的是(C)A .①②B .②③C .③④D .①④3.如图,函数y =⎩⎪⎨⎪⎧1x (x >0),-1x (x <0)的图象所在坐标系的原点是(A)A .点MB .点NC .点PD .点Q4.定义新运算:a ⊕b =⎩⎪⎨⎪⎧a b (b >0),-ab (b <0). 例如:4⊕5=45,4⊕(-5)=45.则函数y =2⊕x(x≠0)的图象大致是(D)A B C D5.如图,若抛物线y =-x2+3与x 轴围成的封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k ,则反比例函数y =kx(x >0)的图象是(D)A B CD命题点2 反比例函数、一次函数与几何图形综合6.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点A(1,0),B(3,1),C(3,3).反比例函数y =mx(x>0)的图象经过点D ,点P 是一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.(1)求反比例函数的解析式;(2)通过计算说明一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象一定经过点C ;(3)对于一次函数y =kx +3-3k(k ≠0),当y 随x 的增大而增大时,确定点P 横坐标的取值范围.(不必写出过程)解:(1)∵B(3,1),C(3,3),四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD =BC =2,AD ∥BC ,BC ⊥x 轴.∴AD ⊥x 轴. 又∵A(1,0),∴D(1,2).∵点D 在反比例函数y =mx的图象上,∴m =1×2=2.∴反比例函数的解析式为y =2x.(2)当x =3时,y =kx +3-3k =3,∴一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ,则23<a <3.命题点3 反比例函数的实际应用(8年2考)7.(2019·杭州)方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地,行驶里程为480千米,设小汽车的行驶时间为t(单位:小时),行驶速度为v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过120千米/小时.(1)求v 关于t 的函数解析式;(2)方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B 地,求小汽车行驶速度v 的范围;②方方能否在当天11点30分前到达B 地?说明理由.解:(1)∵vt =480,且全程速度限定为不超过120千米/小时,∴v 关于t 的函数解析式为v =480t (t ≥4).(2)①8点至12点48分时间长为245小时,8点至14点时间长为6小时.将t =6代入v =480t,得v =80;将t =245代入v =480t,得v =100.∴小汽车行驶速度v 的范围为80≤v ≤100.②方方不能在当天11点30分前到达B 地.理由如下:8点至11点30分时间长为72小时,将t =72代入v =480t ,得v =9607.∵9607>120,超速了. 故方方不能在当天11点30分前到达B 地.基础训练1.(2019·柳州)反比例函数y =2x的图象位于(A)A .第一、三象限B .第二、三象限C .第一、二象限D .第二、四象限2.(2019·哈尔滨)点(-1,4)在反比例函数y =kx的图象上,则下列各点在此函数图象上的是(A)A .(4,-1)B .(-14,1)C .(-4,-1)D .(14,2)3.(2019·邢台模拟)已知甲圆柱型容器的底面积为30 cm 2,高为8 cm ,乙圆柱型容器底面积为x cm 2.若将甲容器装满水,全部倒入乙容器中(乙容器没有水溢出),则乙容器水面高度y(cm)与x(cm 2)之间的大致图象是(C)A B C D4.(2019·唐山乐亭县模拟)若点(x 1,y 1),(x 2,y 2)都是反比例函数y =-6x图象上的点,并且y 1<0<y 2,则下列结论中正确的是(A)A .x 1>x 2B .x 1<x 2C .y 随x 的增大而减小D .两点有可能在同一象限5.(2019·唐山滦南县一模)如图,正比例函数y =x 与反比例函数y =4x的图象交于A ,B 两点,其中A(2,2),当y =x 的函数值大于y =4x的函数值时,x 的取值范围为(D)A .x >2B .x <-2C .-2<x <0或0<x <2D .-2<x <0或x >26.(2019·石家庄模拟)已知反比例函数y =kx的图象过第二、四象限,则一次函数y =kx +k的图象大致是(B)A B C D7.(2019·唐山路北区模拟)已知点P(m ,n)是反比例函数y =-3x图象上一点,当-3≤n <-1时,m 的取值范围是(A)A .1≤m <3B .-3≤m <-1C .1<m ≤3D .-3<m ≤-18.(原创)(2017·河北T15变式)将九年级某班40名学生的数学测试成绩分为5组,第1~4组的频率分别为0.3,0.25,0.15,0.2,第5组的频数记为k ,则反比例y =kx(x >0)的图象是(D)A B C D9.(原创)(2019·河北T12变式)如图,函数y =⎩⎪⎨⎪⎧mx(x >0),-mx(x<0)的图象如图所示,以下结论:①常数m >0;②在每个象限内,y 随x 增大而减小;③若点A(-2,a),B(3,b)在图象上,则a <b ;④若P(x ,y)在图象上,则P ′(-x ,y)也在图象上,其中正确的是(D)A .①②B .②③C .③④D .①④10.(2019·兰州)如图,矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y =kx(x >0)的图象上,S 矩形OABC=6,则k =6.11.(2019·北京)在平面直角坐标系xOy 中,点A(a ,b)(a >0,b >0)在双曲线y =k 1x上,点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =k 2x,则k 1+k 2的值为0.12.(2019·盐城)如图,一次函数y =x +1的图象交y 轴于点A ,与反比例函数y =kx(x >0)的图象交于点B(m ,2).(1)求反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.解:(1)∵点B(m ,2)在直线y =x +1上, ∴2=m +1,解得m =1. ∴点B 的坐标为(1,2).∵点B(1,2)在反比例函数y =kx(x >0)的图象上,∴2=k1,解得k =2.∴反比例函数的解析式是y =2x.(2)将x =0代入y =x +1,得y =1,则点A 的坐标为(0,1). ∵点B 的坐标为(1,2),∴△AOB 的面积为12×1×1=12.能力提升13.(2019·石家庄新华区模拟)如图,在平面直角坐标系中,点A(0,2),点P 是双曲线y =kx(x >0)上的一个动点,作PB ⊥x 轴于点B ,当点P 的横坐标逐渐减小时,四边形OAPB 的面积将会(C)A .逐渐增大B .不变C .逐渐减小D .先减小后增大14.(2019·陕西)如图,D 是矩形AOBC 的对称中心,A(0,4),B(6,0).若一个反比例函数的图象经过点D ,交AC 于点M ,则点M 的坐标为(32,4).16.(2019·秦皇岛海港区模拟)如图,在平面直角坐标系中,▱ABCD 的顶点A(1,b),B(3,b),D(2,b +1).(1)点C 的坐标是(4,b +1)(用b 表示);(2)双曲线y =kx过▱ABCD 的顶点B 和D ,求该双曲线的解析式;(3)如果▱ABCD 与双曲线y =4x(x >0)总有公共点,求b 的取值范围.解:(2)∵双曲线y =kx过▱ABCD 的顶点B(3,b)和D(2,b +1),∴3b =2(b +1),解得b =2,即B(3,2),D(2,3).则该双曲线解析式为y =6x .(3)将A(1,b)代入y =4x ,得b =4;将C(4,b +1)代入y =4x ,得b +1=1,即b =0.则▱ABCD 与双曲线y =4x(x >0)总有公共点时,b 的取值范围为0≤b ≤4.17.如图为某公园“水上滑梯”的侧面图,其中BC 段可看成是一段双曲线,建立如图的直角坐标系后,其中,矩形AOEB 为向上攀爬的梯子,OA =5米,进口AB ∥OD ,且AB =2米,出口C 点距水面的距离CD 为1米,则B ,C 之间的水平距离DE 的长度为(D)A .5米B .6米C .7米D .8米18.(1)探究新知:如图1,已知△ABC 与△ABD 的面积相等,试判断AB 与CD 的位置关系,并说明理由.(2)结论应用:①如图2,点M ,N 在反比例函数y =kx(x >0)的图象上,过点M 作ME ⊥y 轴,过点N 作NF ⊥x 轴,垂足分别为E ,F ,试证明:MN ∥EF ;②若①中的其他条件不变,只改变点M ,N 的位置,如图3所示,请判断MN 与EF 是否平行?解:(1)AB ∥CD.理由:过点C 作CG ⊥AB 于点G ,过点D 作DH ⊥AB 于点H , ∴∠CGA =∠DHB =90°.∴CG ∥DH. ∵△ABC 和△ABD 的面积相等, ∴CG =DH.∴四边形CGHD 是矩形.∴AB ∥CD.(2)①证明:连接MF ,NE ,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),∵点M ,N 在反比例函数y =kx(x >0)的图象上,∴x 1y 1=k ,x 2y 2=k. ∵ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴,∴EM =x 1,OE =y 1,OF =x 2,NF =y 2.∴S △EFM =12x 1·y 1=12k ,S △EFN =12x 2y 2=12k.∴S △EFM =S △EFN ,由(1)中的结论可知,MN ∥EF.②MN ∥EF ,理由:连接MF ,NE ,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M ,N 在反比例函数y =kx(k >0)的图象上,∴x 1y 1=k ,x 2y 2=k. ∵ME ⊥y 轴,NF ⊥x 轴,∴EM =x 1,OE =y 1,OF =-x 2,NF =-y 2.∴S △EFM =12x 1·y 1=12k ,S △EFN =12(-x 2)(-y 2)=12k.∴S △EFM =S △EFN .由(1)中的结论可知,MN ∥EF.反比例函数中的面积问题1.(2019·枣庄)如图,在平面直角坐标系中,等腰Rt △ABC 的顶点A ,B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,∠ABC =90°,CA ⊥x 轴,点C 在函数y =kx(x >0)的图象上.若AB =1,则k的值为(A)A .1B.22C. 2 D .22.如图,A ,B 两点在双曲线y =4x(x >0)上,分别经过A ,B 两点向x 轴作垂线段,已知S阴影=1,则S 1+S 2=(D)A .3B .4C .5D .63.(2019·黄冈)如图,一直线经过原点O ,且与反比例函数y =kx(k>0)相交于点A ,B ,过点A 作AC ⊥y 轴,垂足为C ,连接BC.若△ABC 面积为8,则k =8.4.如图,A ,B 是反比例函数y =2x的图象上关于原点对称的任意两点,BC ∥x 轴,AC ∥y 轴,△ABC 的面积记为S ,则(B)A .S =2B .S =4C .2<S <4D .S >45.(2019·郴州)如图,点A ,C 分别是正比例函数y =x 与反比例函数y =4x的图象的交点,过A 点作AD ⊥x 轴于点D ,过C 点作CB ⊥x 轴于点B ,则四边形ABCD 的面积为8.6.如图,AB 是反比例函数y =3x在第一象限内的图象上的两点,且A ,B 两点的横坐标分别是1和3,则S △AOB =4.7.(2019·鸡西)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,▱OABC 的顶点A 在反比例函数y =1x (x >0)的图象上,顶点B 在反比例函数y =5x(x >0)的图象上,点C 在x 轴的正半轴上,则▱OABC 的面积是(C)A.32B.52C .4D .68.如图,在平面直角坐标系中,点A 是x 轴上任意一点,BC 平行于x 轴,分别交反比例函数y =3x (x >0),y =kx(x <0)的图象于B ,C 两点.若△ABC 的面积为2,则k 的值为-1.9.(2019·株洲)如图所示,在平面直角坐标系xOy 中,点A ,B ,C 为反比例函数y =k x(k >0)图象上不同的三点,连接OA ,OB ,OC ,过点A 作AD ⊥y 轴于点D ,过点B ,C 分别作BE ,CF 垂直x 轴于点E ,F ,OC 与BE 相交于点M ,记△AOD ,△BOM ,四边形CMEF 的面积分别为S 1,S 2,S 3,则(B)A .S 1=S 2+S 3B .S 2=S 3C .S 3>S 2>S 1D .S 1S 2<S 2310.(2019·本溪)如图,在平面直角坐标系中,等边△OAB 的边OA 和菱形OCDE 的边OE 都在x 轴上,点C 在OB 边上,S △ABD =3,反比例函数y =kx (x >0)的图象经过点B ,则k 的值。
中考数学专题复习7反比例函数及其运用(解析版)
反比例函数及其运用复习考点攻略考点一 反比例函数的概念1.反比例函数的概念:一般地.函数ky x=(k 是常数.k ≠0)叫做反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式.自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数.函数的取值范围也是一切非零实数. 2.反比例函数k y x =(k 是常数.k ≠0)中x .y 的取值范围:反比例函数ky x=(k 是常数.k ≠0)的自变量x 的取值范围是不等于0的任意实数.函数值y 的取值范围也是非零实数. 【例1】下列函数中.y 与x 之间是反比例函数关系的是 A .xyB .3x +2y =0C .y =D .y =【答案】A考点二 反比例函数的图象和性质1.反比例函数的图象与性质(1)图象:反比例函数的图象是双曲线.它有两个分支.这两个分支分别位于第一、三象限.或第二、四象限.由于反比例函数中自变量x ≠0.函数y ≠0.所以.它的图象与x 轴、y 轴都没有交点.即双曲线的两个分支无限接近坐标轴.但永远达不到坐标轴.(2)性质:当k >0时.函数图象的两个分支分别在第一、三象限.在每个象限内.y 随x 的增大而减小.当k <0时.函数图象的两个分支分别在第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大.2kx 21x +表达式 ky x=(k 是常数.k ≠0) kk >0k <0大致图象所在象限 第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内.y 随x 的增大而减小在每个象限内.y 随x 的增大而增大反比例函数的图象既是轴对称图形.又是中心对称图形.其对称轴为直线y =x 和y =-x .对称中心为原点. 【注意】(1)画反比例函数图象应多取一些点.描点越多.图象越准确.连线时.要注意用平滑的曲线连接各点.(2)随着|x |的增大.双曲线逐渐向坐标轴靠近.但永远不与坐标轴相交.因为反比例函数ky x=中x ≠0且y ≠0. (3)反比例函数的图象不是连续的.因此在谈到反比例函数的增减性时.都是在各自象限内的增减情况.当k >0时.在每一象限(第一、三象限)内y 随x 的增大而减小.但不能笼统地说当k >0时.y 随x 的增大而减小.同样.当k <0时.也不能笼统地说y 随x 的增大而增大.【例2】一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是( ) A . B .C .D .y ax a =-(0)ay a x=≠【答案】D【解析】当时..则一次函数经过一、三、四象限.反比例函数经过一 、三象限.故排除A.C 选项; 当时..则一次函数经过一、二、四象限.反比例函数经过二、四象限.故排除B 选项.故选:D .【例3】若点.在反比例函数的图象上.且.则的取值范围是( )A .B .C .D .或【答案】B【解析】解:∵反比例函数.∴图象经过第二、四象限.在每个象限内.y 随x 的增大而增大.①若点A 、点B 同在第二或第四象限.∵.∴a -1>a+1.此不等式无解;②若点A 在第二象限且点B 在第四象限.∵.∴.解得:; ③由y 1>y 2.可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能. 综上.的取值范围是.故选:B .考点三 反比例函数解析式的确定1.待定系数法:确定解析式的方法仍是待定系数法.由于在反比例函数ky x=中.只有一个待定系数.因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标.即可求出k 的值.从而确定其解析式.2.待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 (1)设反比例函数解析式为ky x=(k ≠0); (2)把已知一对x .y 的值代入解析式.得到一个关于待定系数k 的方程; (3)解这个方程求出待定系数k ;(4)将所求得的待定系数k 的值代回所设的函数解析式.【例4】点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.到x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为( )0a >0a -<y ax a =-(0)ay a x=≠0a <0a ->y ax a =-(0)ay a x=≠()11,A a y -()21,B a y +(0)ky k x=<12y y >a 1a <-11a -<<1a >1a <-1a >(0)ky k x=<12y y >12y y >1010a a -⎧⎨+⎩<>11a -<<a 11a -<<A.y=12xB.y=-12xC.y=112xD.y=-112x【答案】B【解析】设A点坐标为(x.y).∵A点到x轴的距离为3.∴|y|=3.y=±3.∵A点到原点的距离为5.∴x2+y2=52.解得x=±4.∵点A在第二象限.∴x=-4.y=3.∴点A的坐标为(-4.3).设反比例函数的解析式为y=.∴k=-4×3=-12.∴反比例函数的解析式为y=.故选B.考点四反比例函数中|k|的几何意义1.反比例函数图象中有关图形的面积2.涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时.可通过面积作和或作差的形式来求解.(1)正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①.S△ABC=2S△ACO=|k|;(2)如图②.已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点.且一次函数与x轴交于点C.则S△AOB=S△AOC+S△BOC=1||2AOC y⋅+1||2BOC y⋅=1(||||)2A BOC y y⋅+;(3)如图③.已知反比例函数kyx=的图象上的两点.其坐标分别为()A Ax y,.k x 12 x-()B B x y ,.C 为AB 延长线与x 轴的交点.则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-.【例5】如图.已知双曲线经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D .与直角边AB 相交于点C .若△OBC 的面积为9.则k =__________.【答案】6【解析】如图.过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点E .∵△ODE 的面积和△OAC 的面积相等.∴△OBC 的面积和四边形DEAB 的面积相等且为9. 设点D 的横坐标为x .纵坐标就为. ∵D 为OB 的中点.∴EA =x .AB =. ∴四边形DEAB 的面积可表示为:(+)x =9;k =6. 故答案为:6.【例6】如图.A 、B 两点在双曲线y x=的图象上.分别经过A 、B 两点向轴作垂线段.已知1S =阴影.则12S S +=ky x=k x 2k x12k x 2k xA .8B .6C .5D .4【答案】B【解析】∵点A 、B 是双曲线y =上的点.分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段.则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |=4.∴S 1+S 2=4+4-1×2=6.故选B .考点五 反比例函数与一次函数的综合1.涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时.联立两个解析式.构造方程组.然后求出交点坐标.针对12y y >时自变量x 的取值范围.只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如.如下图.当12y y >时.x 的取值范围为A x x >或0B x x <<;同理.当12y y <时.x 的取值范围为0A x x <<或B x x <.2.求一次函数与反比例函数的交点坐标(1)从几何角度看.一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定. ①k 值同号.两个函数必有两个交点;②k 值异号.两个函数可能无交点.可能有一个交点.也可能有两个交点;(2)从代数角度看.一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况.【例7】已知抛物线y =x 2+2x +k +1与x 轴有两个不同的交点.则一次函数y =kx ﹣k 与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是( )4xA.B.C.D.【解析】∵抛物线y=x2+2x+k+1与x轴有两个不同的交点.∴△=4﹣4(k+1)>0.解得k<0.∴一次函数y=kx﹣k的图象经过第一二四象限.反比例函数y=的图象在第二四象限.故选:D.考点六反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时.先确定函数解析式.再利用图象找出解决问题的方案.特别注意自变量的取值范围.【例8】如图.△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∠ACO=∠ADB=90°.反比例函数y=k在第一象限的图象经过点B.若xOA2−AB2=12.则k的值为______.【解析】设B点坐标为(a,b).∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形.∴OA=√2AC.AB=√2AD.OC=AC.AD=BD.∵OA2−AB2=12.∴2AC2−2AD2=12.即AC2−AD2=6.∴(AC+AD)(AC−AD)=6.∴(OC+BD)⋅CD=6.∴a⋅b=6.∴k=6.故答案为:6..(其中mk≠0)图象交于【例9】如图.一次函数y=kx+b与反比例函数y=mxA(−4,2).B(2,n)两点.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)求△ABO的面积;(3)请直接写出当一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围.【解析】(1)∵一次函数y =kx +b 与反比例函数y =m x(mk ≠0)图象交于A(−4,2).B(2,n)两点.根据反比例函数图象的对称性可知.n =−4. ∴{2=−4k +b−4=2k +b .解得{k =−1b =−2.故一次函数的解析式为y =−x −2. 又知A 点在反比例函数的图象上.故m =−8. 故反比例函数的解析式为y =−8x ; (2)在y =−x −2中.令y =0.则x =−2. ∴OC =2.∴S △AOB =12×2×2+12×2×4=6; (3)根据两函数的图象可知:当x <−4或0<x <2时.一次函数值大于反比例函数值.第一部分 选择题一、选择题(本题有10小题.每题4分.共40分)1.下列函数:①2x y =;②2y x =;③12y x=-;④12y x -=中.是反比例函数的有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个【答案】C【解析】①不是正比例函数.②③④是反比例函数.故选C .2.点A 为反比例函数图象上一点.它到原点的距离为5.则x 轴的距离为3.若点A 在第二象限内.则这个函数的解析式为( )A .y =12xB .y =-12xC .y =112xD .y =-112x【答案】C【解析】∵反比例函数y =-中.k =-6.∴只需把各点横纵坐标相乘.结果为-6的点在函数图象上.四个选项中只有C 选项符合.故选C . 3. 已知点A (1.m ).B (2.n )在反比例函数(0)ky k x=<的图象上.则( ) A .0m n << B .0n m << C .0m n >>D .0n m >>【答案】A【解析】∵反比例函数(0)k y k x =<.它的图象经过A (1.m ).B (2.n )两点.∴m =k <0.n =2k<0.∴0m n <<.故选A .4. 如图.等腰三角形ABC 的顶点A 在原点.顶点B 在x 轴的正半轴上.顶点C 在函数y =kx(x >0)的图象上运动.且AC =BC .则△ABC 的面积大小变化情况是( )A .一直不变B .先增大后减小C .先减小后增大D .先增大后不变【答案】A【解析】如图.作CD ⊥AB 交AB 于点D .则S △ACD =.∵AC =BC .∴AD =BD .∴S △ACD =S △BCD . ∴S △ABC =2S △ACD =2×=k .∴△ABC 的面积不变.故选A .6x 2k2k5.如图.点.点都在反比例函数的图象上.过点分别向轴、轴作垂线.垂足分别为点..连接...若四边形的面积记作.的面积记作.则( )A .B .C .D .【答案】C【解析】解:点P (m.1).点Q (−2.n )都在反比例函数y =的图象上. ∴m×1=−2n =4.∴m =4.n =−2.∵P (4.1).Q (−2.−2).∵过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线.垂足分别为点M.N.∴S 1=4.作QK ⊥PN.交PN 的延长线于K.则PN =4.ON =1.PK =6.KQ =3. ∴S 2=S △PQK −S △PON −S 梯形ONKQ =×6×3−×4×1−(1+3)×2=3.∴S 1:S 2=4:3.故选:C .6. 已知一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx在同一直角坐标系中的图象如图所示.则当y 1<y 2时.x 的取值范围是( )(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =4x121212A .x <-1或0<x <3B .-1<x <0或x >3C .-1<x <0D .x >3【答案】B【解析】根据图象知.一次函数y 1=kx +b 与反比例函数y 2=kx的交点是(-1.3).(3.-1).∴当y 1<y 2时.-1<x <0或x >3.故选B .7.如图.在平面直角坐标系xOy 中.函数()0y kx b k =+≠与()0my m x=≠的图象相交于点()()2,3,6,1A B --.则不等式mkx b x+>的解集为( )A .6x <-B 60x -<<.或2x >C .2x >D 6x <-.或02x <<8. 如图.直线l ⊥x 轴于点P .且与反比例函数y 1=1k x(x >0)及y 2=2k x (x >0)的图象分别交于点A .B .连接OA .OB .已知△OAB 的面积为2.则k 1-k 2的值为( )A .2B .3C .4D .-4【答案】C【解析】根据反比例函数k 的几何意义可知:△AOP 的面积为12k .△BOP 的面积为22k. ∴△AOB 的面积为12k −22k . ∴12k −22k =2.∴k 1–k 2=4.故选C . 9. 一次函数y =ax +b 与反比例函数a by x-=.其中ab <0.a 、b 为常数.它们在同一坐标系中的图象可以是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】A .由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0. ∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx-的图象过一、三象限.所以此选项不正确; B .由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴正半轴.则b >0.满足ab <0. ∴a −b <0.∴反比例函数y =a bx-的图象过二、四象限.所以此选项不正确; C .由一次函数图象过一、三象限.得a >0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab <0.∴a −b >0.∴反比例函数y =a bx的图象过一、三象限.所以此选项正确; D .由一次函数图象过二、四象限.得a <0.交y 轴负半轴.则b <0.满足ab >0.与已知相矛盾. 所以此选项不正确.故选C .10. 如图.一次函数与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2).与反比例函数的图象交于点Q .反比例函数图象上有一点P 满足:①PA ⊥x 轴;②PO =√17(O 为坐标原点).则四边形PAQO 的面积为( )A. 7B. 10C. 4+2√3D. 4−2√3【答案】C【解析】∵一次函数y =ax +b 与x 轴.y 轴的交点分别是A(−4,0).B(0,2). ∴−4a +b =0.b =2. ∴a =12.∴一次函数的关系式为:y =12x +2. 设P(−4,n).∴√(−4)2+n 2=√17. 解得:n =±1.由题意知n =−1.n =1(舍去). ∴把P(−4,−1)代入反比例函数y =mx . ∴m =4.反比例函数的关系式为:y =4x .解{y =12x +2y =4x 得.{x =−2+2√3y =√3+1.{x =−2−2√3y =1−√3. ∴Q(−2+2√3,√3+1).∴四边形PAQO 的面积=12×4×1+124×2+12×2×(−2+2√3)=4+2√3. 故选:C .第二部分 填空题二、填空题(本题有6小题.每题4分.共24分)11.若正比例函数的图象与某反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.则该反比例函数的解析式为________. 【答案】 【解析】令y=2x 中y=2.得到2x=2.解得x=1.∴正比例函数的图象与某反比例函数的图象交点的坐标是(1,2). 设反比例函数解析式为.将点(1,2)代入.得. ∴反比例函数的解析式为.故答案为:. 12.如图.直线y =x 与双曲线()0ky k x=>的一个交点为A .且OA =2.则k 的值为__________.【答案】2【解析】∵点A 在直线y =x 上.且OA =2.∴点A的坐标为把得.∴k=2.故答案为:2. 13. 已知(),3A m 、()2,B n -在同一个反比例函数图像上.则m n =__________.【答案】23-【解析】设反比例函数解析式为()0ky k x=≠.将(),3A m 、()2,B n -分别代入.得 3k m =.2k n =-. 2y x =2y x=2y x =ky x=122k =⨯=2y x =2y x=(22),(22),ky x=22=∴2332k m k n ==--. 故答案为:23-. 14.平面直角坐标系xOy 中.点A (a .b )(a >0.b >0)在双曲线y =上.点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线y =.则k 1+k 2的值为__________. 【答案】0【解析】∵点A (a .b )(a >0.b >0)在双曲线y =上.∴k 1=ab ; 又∵点A 与点B 关于x 轴对称.∴B (a .–b ).∵点B 在双曲线y =上.∴k 2=–ab ;∴k 1+k 2=ab +(–ab )=0.故答案为:0. 15.如图.点A 是反比例函数图象上的一点.过点A 作轴.垂足为点C .D 为AC 的中点.若的面积为1.则k 的值是【答案】4【解析】点A 的坐标为(m.2n ).∴.∵D 为AC 的中点.∴D (m.n ). ∵AC ⊥轴.△ADO 的面积为1.∴. ∴.∴ 16. 如图.反比例函数y =24x(x >0)的图象与直线y =32x 相交于点A .与直线y =kx(k ≠0)相交于点B .若△OAB 的面积为18.则k 的值为______.【答案】41k x2k x1k x2k x y x=AC x ⊥AOD ∆2mn k =x ()ADO11121222S AD OC n n m mn =⋅=-⋅==2mn =24k mn ==【解析】:由题意得.{y =24xy =32x .解得:{x 1=4y 1=6.{x 2=−4y 2=−6(舍去). ∴点A(4,6).(1)如图1.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的下方. 过点A 、B 分别作AM ⊥x 轴.BN ⊥x 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =b .BN =24b.∴点A(4,6).∴OM =4.AM =6;∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(6+24b)(b −4).解得.b 1=8.b 2=−2(舍去) ∴点B(8,3).代入y =kx 得. k =38; (2)如图2.当y =kx 与反比例函数的交点B 在点A 的上方. 过点A 、B 分别作AM ⊥y 轴.BN ⊥y 轴.垂足分别为M 、N . 设点B 坐标为(b,24b ).则ON =24b.BN =b .∴点A(4,6).∴OM =6.AM =4;∵S △AOB =S △AOM +S 梯形AMNB −S △BON =S 梯形AMNB . ∴18=12(b +4)(24b −6). 解得.b 1=2.b 2=−8(舍去) ∴点B(2,12).代入y =kx 得. k =6;故答案为:6或38.第三部分 解答题三、解答题(本题有6小题.共56分)17. 如图.已知A (–4.n ).B (2.–4)是一次函数y =kx +b 和反比例函数y =的图象的两个交点.(1)求一次函数和反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.【答案】(1)y =–x –2.y =–;(2)6【解析】(1)∵B (2.–4)在y =图象上. ∴m =–8.∴反比例函数的解析式为y =–. ∵点A (–4.n )在y =–图象上. ∴n =2. ∴A (–4.2).∵一次函数y =kx +b 图象经过A (–4.2).B (2.–4).∴.解得.∴一次函数的解析式为y =–x –2;(2)如图.令一次函数y =–x –2的图象与y 轴交于C 点.mx8xmx 8x8x4224k b k b -+=+=-⎧⎨⎩12k b =-=-⎧⎨⎩当x=0时.y =–2. ∴点C (0.–2). ∴OC =2.∴S △AOB =S △ACO +S △BCO =×2×4+×2×2=6. 18.如图.已知反比例函数y x=与一次函数y =x +b 的图象在第一象限相交于点A (1.-k +4). (1)试确定这两个函数的表达式;(2)求出这两个函数图象的另一个交点B 的坐标.并根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围.【答案】(1).y =x +1;(2)B 的坐标为(-2.-1).x <-2或0<x <1 【解析】(1)∵已知反比例函数经过点A (1.-k +4). ∴.即-k +4=k . ∴k =2.∴A (1.2).∵一次函数y =x +b 的图象经过点A (1.2). ∴2=1+b .∴b =1.∴反比例函数的表达式为. 一次函数的表达式为y =x +1.12122y x=ky x=41kk -+=2y x=(2)由.消去y .得x 2+x -2=0. 即(x +2)(x -1)=0. ∴x =-2或x =1. ∴y =-1或y =2.∴或.∵点B 在第三象限. ∴点B 的坐标为(-2.-1).由图象可知.当反比例函数的值大于一次函数的值时.x 的取值范围是x <-2或0<x <1. 19.如图.一次函数的图象与反比例函数(为常数且)的图象相交于.两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数的图象沿轴向下平移个单位.使平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点.求的值.【答案】(1);(2)b 的值为1或9. 【解析】(1)由题意.将点代入一次函数得: 将点代入得:.解得 则反比例函数的表达式为; (2)将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为联立整理得: 12y x y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎨=-⎩12x y ⎧=⎨=⎩5y x =+ky x=k 0k ≠(1,)A m -B 5y x =+y b (0)b >ky x=b 4y x=-(1,)A m -5y x =+154m =-+=(1,4)A -∴(1,4)A -ky x=41k =-4k =-4y x =-5y x =+y b 5y x b =+-54y x by x =+-⎧⎪⎨=-⎪⎩2(5)40x b x +-+=一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点 关于x 的一元二次方程只有一个实数根此方程的根的判别式解得则b 的值为1或9.20.如图.一次函数y =kx +b (k 、b 为常数.k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.且与反比例函数y =(n 为常数.且n ≠0)的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴.垂足为D .若OB =2OA =3OD =12.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)记两函数图象的另一个交点为E .求△CDE 的面积; (3)直接写出不等式kx +b ≤的解集.【答案】(1)y =–2x +12;(2)140;(3)x ≥10.或–4≤x <0 【解析】(1)由已知.OA =6.OB =12.OD =4.∵CD ⊥x 轴.∴OB ∥CD .∴△ABO ∽△ACD . ∴=.∴=.∴CD =20. ∴点C 坐标为(–4.20).∴n =xy =–80. ∴反比例函数解析式为:y =–. 把点A (6.0).B (0.12)代入y =kx +b 得:.解得.∴一次函数解析式为:y =–2x +12; (2)当–=–2x +12时.解得x 1=10.x 2=–4; 当x =10时.y =–8.∴点E 坐标为(10.–8). ∴S △CDE =S △CDA +S △EDA =×20×10+×8×10=140; 5y x b =+-4y x=-∴2(5)40x b x +-+=∴2(5)440b ∆=--⨯=121,9b b ==nxnxOA AD OBCD 61012CD80x0612k b b =+=⎧⎨⎩212k b =-=⎧⎨⎩80x1212(3)不等式kx +b ≤.从函数图象上看.表示一次函数图象不高于反比例函数图象; ∴由图象得.x ≥10.或–4≤x <0. 21.如图.一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y=的图象相交于A 、B 两点.其中点A 的坐标为(–1.4).点B 的坐标为(4.n ).(1)根据图象.直接写出满足k 1x +b >的x 的取值范围; (2)求这两个函数的表达式;(3)点P 在线段AB 上.且S △AOP ∶S △BOP =1∶2.求点P 的坐标. 【答案】(1)x <–1或0<x <4;(2)y =–(3)P (.)【解析】(1)∵点A 的坐标为(–1.4).点B 的坐标为(4.n ).由图象可得:k 1x +b >的x 的取值范围是x <–1或0<x <4; (2)∵反比例函数y =的图象过点A (–1.4).B (4.n ). ∴k 2=–1×4=–4.k 2=4n .∴n =–1.∴B (4.–1). ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A .点B .∴. 解得k =–1.b =3.∴直线解析式y =–x +3.反比例函数的解析式为y =–; (3)设直线AB 与y 轴的交点为C .∴C (0.3).∵S △AOC =×3×1=. ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =×3×1+×3×4=. n x2k x 2k xx 332k x2k x 11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩4x 12321212152∵S△AOP :S △BOP =1:2.∴S △AOP =×=. ∴S △COP =–=1.∴×3x P =1.∴x P =. ∵点P 在线段AB 上.∴y =–+3=.∴P (.).22.如图.反比例函数1k y x=和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -. (1)求一次函数和反比例函数解析式;(2)连接OA.试问在x 轴上是否存在点P.使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.若存在.直接写出满足题意的点P 的坐标;若不存在.说明理由.【答案】(1)22y x =+(2)见解析【解析】(1)∵反比例函数1k y x =和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A .()3,B a -. ∴k=1×3=3.∴13y x=. ∴-3a=3.解得:a=-1.∴B(-3.-1).∴331m n m n +=⎧⎨-+=-⎩.解得:12m n =⎧⎨=⎩. ∴22y x =+;(2)设P(t.0).∵()1,3A .∴222(1)(03)(1)9t t -+-=-+t 221310+. 15213525232122323732373∵OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.∴OA=AP 或OA=OP.当OA=AP 时.22(1)9(10)t -+=.解得:1220t t ==,(不符合题意.舍去). ∴P(2.0);当OA=OP 时.t 10解得:10.∴10.0)或P(10.0).综上所述:存在点P.使OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形.点P 坐标为:(2.0) 或10.0)或(10.0).。
中考数学总复习《反比例函数的性质》练习题及答案
中考数学总复习《反比例函数的性质》练习题及答案班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.对于反比例函数y=2x,下列说法正确是()A.图象经过点(2,﹣1)B.图象位于第二、四象限C.图象是中心对称图形D.当x<0时,y随x的增大而增大2.对于反比例函数y=2x,下列说法不正确的是()A.当x<0时,y随x的增大而减小B.点(-2,-1)在它的图象上C.它的图象在第一、三象限D.当x>0时,y随x的增大而增大3.如图,过y轴上任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数y=4x和y=2x的图象交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC,BC,则△ABC的面积为()A.3B.4C.5D.64.已知反比例函数y=k x的图象如图所示,则一次函数y=kx+k的图象经过()A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限5.若点M(﹣3,a),N(4,﹣6)在同一个反比例函数的图象上,则a的值为()A.8B.﹣8C.﹣7D.56.函数y=1x+√x的图象在()A.第一象限B.第一、三象限C.第二象限D.第二、四象限7.图所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是A.当x=3时,EC<EM B.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC·CF的值增大。
D.当y增大时,BE·DF的值不变。
8.已知函数y=−k 2+1x的图象经过点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果x2<0<x1,那么()A.0<y2<y1B.y1>0>y2C.y2<y1<0D.y1<0<y29.已知双曲线y=k−1x向右平移2个单位后经过点(4,1),则k的值等于()A.1B.2C.3D.510.对于反比例函数y=k x(k≠0),下列说法正确的是()A.当k>0时,y随x增大而增大B.当k<0时,y随x增大而增大C.当k>0时,该函数图象在二、四象限D.若点(1,2)在该函数图象上,则点(2,1)也必在该函数图象上11.下列关于反比例函数y=8x的描述,正确的是()A.它的图象经过点(12,4)B.图象的两支分别在第二、四象限C.当x>2时,0<y<4D.x>0时,y随x的增大而增大12.反比例函数y= 1x的图象的两个分支分别位于()象限.A.一、二B.一、三C.二、四D.一、四二、填空题13.如图,已知点A、B在双曲线y= k x(x>0)上,AC△x轴于点C,BD△y轴于点D,AC与BD 交于点P,P是AC的中点,若△ABP的面积为3,则k=.14.如图,矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y=k x(k≠0,x>0)的图象上,若矩形ABCD的面积为16,则k的值为.15.已知反比例函数y= k x(k为常数,k≠0)的图象位于第一、第三象限,写出一个符合条件的k的值为.16.若反比例函数y=﹣mx的图象经过点(﹣3,﹣2),则当x<0时,y随x的增大而.17.若点(4,m)与点(5,n)都在反比例函数y=8x(x≠0)的图象上,则m n(填>,<或=).18.如图,A(1,1),B(2,2),双曲线y= k x与线段AB有公共点,则k的取值范围是。
2020年中考数学《反比例函数》总复习题及答案解析 (71)
2020年中考数学《反比例函数》总复习题1.心理学家研究发现,一般情况下,在一节40分钟的课中,学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化,开始上课时,学生的注意力逐步增强,中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态,随后学生的注意力开始分散,经过实验分析可知,学生的注意力y随时间y(分)的变化规律如图所示,其中AB、BC分别为线段,CD为双曲线的一部分.(1)写出线段AB和双曲线CD的函数关系式(不要求指出自变量取值范围):线段AB:y1=2x+20;双曲线CD:y2=;(2)开始上课后第5分钟时的注意力水平为y1,第30分钟时的注意力水平为y2,则y1、y2的大小关系是y1<y2;(3)在一节课中,学生大约最长可以连续保持25分钟(精确到1分钟),使得注意力维持在32以上.【分析】(1)利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式,进而得出答案;(2)利用(1)中所求,得出第五分钟和第三十分钟的注意力指数,最后比较判断;(3)分别求出注意力指数为32时的两个时间,求差即可得到结论.【解答】解:(1)设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20,把B(10,40)代入得,k1=2,∴AB解析式为:y1=2x+20(0≤x≤10).设C、D所在双曲线的解析式为y2=,把C(25,40)代入得,k2=1000,∴曲线CD的解析式为:y2=(x≥25);(2)当x1=5时,y1=2×5+20=30,当x2=30时,y2=,∴y1、y2的大小关系是y1<y2;(3)令y1=32,∴32=2x+20,∴x1=6,令y2=32,∴32=,∴x2≈31,∵31﹣6=25,∴学生大约最长可以连续保持25分钟(精确到1分钟),使得注意力维持在32以上.故答案为:2x+20;;y1<y2;25.【点评】此题主要考查了反比例函数的应用.解题的关键是根据实际意义列出函数关系式,从实际意义中找到对应的变量的值,利用待定系数法求出函数解析式,再根据自变量的值求算对应的函数值.。
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----《反比例函数之综合应用》知识点总结与练习题(含答案解析)知识点总结1. 反比例函数k 的集合意义:①过反比例函数图像上任意一点作坐标轴的垂线,两垂线与坐标轴构成一个矩形,矩形的面积等于k 。
②过反比例函数图像上任意一点作其中一条坐标轴的垂线,并连接这个点与原点,则构成一个三角形。
这个三角形的面积等于2k 。
2. 待定系数法求反比例函数解析式:在反比例函数中只有一个系数k ,所以只需要在图像上找一个对应的点即可求出k 的值,从而求出反比例函数解析式。
3. 反比例函数与一次函数的不等式问题: 若反比例函数()0≠=k x ky 与一次函数()0≠+=k b kx y 有交点,则不等式b kx xk +>的解集取反比例函数图像在一次函数图像上方的部分所对应的自变量取值范围;等式b kx xk+<的解集取反比例函数图像在一次函数图像下方的部分所对应的自变量取值范围。
反比例函数与一次函数的交点把自变量分成三部分。
练习题1、(2022•日照)如图,矩形OABC 与反比例函数y 1=xk1(k 1是非零常数,x >0)的图像交于点M ,N ,与反比例函数y 2=xk2(k 2是非零常数,x >0)的图像交于点B ,连接OM ,ON .若四边形OMBN 的面积为3,则k 1﹣k 2=( )A .3B .﹣3C .23 D .﹣23【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义即可得出结论. 【解答】解:∵y 1、y 2的图像均在第一象限, ∴k 1>0,k 2>0,∵点M 、N 均在反比例函数y 1=(k 1是非零常数,x >0)的图像上,∴S △OAM =S △OCN =k 1,∵矩形OABC 的顶点B 在反比例函数y 2=(k 2是非零常数,x >0)的图像上,∴S 矩形OABC =k 2,∴S 四边形OMBN =S 矩形OABC ﹣S △OAM ﹣S △OCN =3, ∴k 2﹣k 1=3, ∴k 1﹣k 2=﹣3, 故选:B .2、(2022•牡丹江)如图,等边三角形OAB ,点B 在x 轴正半轴上,S △OAB =43,若反比例函数y =xk(k ≠0)图像的一支经过点A ,则k 的值是( )A .233 B .23C .433 D .43【分析】根据正三角形的性质以及反比例函数系数k 的几何意义,得出S △AOC =S △AOB =2=|k |,即可求出k 的值.【解答】解:如图,过点A 作AC ⊥OB 于点C , ∵△OAB 是正三角形, ∴OC =BC ,∴S △AOC =S △AOB =2=|k |,又∵k >0, ∴k =4,故选:D .3、(2022•郴州)如图,在函数y =x2(x >0)的图像上任取一点A ,过点A 作y 轴的垂线交函数y =﹣x8(x <0)的图像于点B ,连接OA ,OB ,则△AOB 的面积是( )A .3B .5C .6D .10【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可. 【解答】解:∵点A 在函数y =(x >0)的图像上, ∴S △AOC =×2=1,又∵点B 在反比例函数y =﹣(x <0)的图像上, ∴S △BOC =×8=4, ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4 =5, 故选:B .4、(2022•黑龙江)如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,平行四边形OBAD 的顶点B 在反比例函数y =x 3的图像上,顶点A 在反比例函数y =xk的图像上,顶点D 在x 轴的负半轴上.若平行四边形OBAD 的面积是5,则k 的值是( )A .2B .1C .﹣1D .﹣2【分析】设B (a ,),根据四边形OBAD 是平行四边形,推出AB ∥DO ,表示出A 点的坐标,求出AB =a ﹣,再根据平行四边形面积公式列方程,解出即可.【解答】解:设B (a ,), ∵四边形OBAD 是平行四边形, ∴AB ∥DO , ∴A (,),∴AB =a ﹣,∵平行四边形OBAD 的面积是5, ∴(a ﹣)=5,解得k =﹣2, 故选:D .5、(2022•十堰)如图,正方形ABCD 的顶点分别在反比例函数y =xk 1(k 1>0)和y =xk 2(k 2>0)的图像上.若BD ∥y 轴,点D 的横坐标为3,则k 1+k 2=( )A .36B .18C .12D .9【分析】连接AC交BD于E,延长BD交x轴于F,连接OD、OB,设AE=BE=CE=DE =m,D(3,a),根据BD∥y轴,可得B(3,a+2m),A(3+m,a+m),即知k1=3(a+2m)=(3+m)(a+m),从而m=3﹣a,B(3,6﹣a),由B(3,6﹣a)在反比例函数y=(k1>0)的图像上,D(3,a)在y=(k2>0)的图像上,得k1=3(6﹣a)=18﹣3a,k2=3a,即得k1+k2=18﹣3a+3a=18.【解答】解:连接AC交BD于E,延长BD交x轴于F,连接OD、OB,如图:∵四边形ABCD是正方形,∴AE=BE=CE=DE,设AE=BE=CE=DE=m,D(3,a),∵BD∥y轴,∴B(3,a+2m),A(3+m,a+m),∵A,B都在反比例函数y=(k1>0)的图像上,∴k1=3(a+2m)=(3+m)(a+m),∵m≠0,∴m=3﹣a,∴B(3,6﹣a),∵B(3,6﹣a)在反比例函数y=(k1>0)的图像上,D(3,a)在y=(k2>0)的图像上,∴k1=3(6﹣a)=18﹣3a,k2=3a,∴k1+k2=18﹣3a+3a=18;故选:B .6、(2022•邵阳)如图是反比例函数y =x1的图像,点A (x ,y )是反比例函数图像上任意一点,过点A 作AB ⊥x 轴于点B ,连接OA ,则△AOB 的面积是( )A .1B .C .2D .【分析】由反比例函数的几何意义可知,k =1,也就是△AOB 的面积的2倍是1,求出△AOB 的面积是.【解答】解:∵A (x ,y ), ∴OB =x ,AB =y ,∵A 为反比例函数y =图像上一点, ∴xy =1,∴S △ABO =AB •OB =xy =1=,故选:B .7、(2022•内江)如图,在平面直角坐标系中,点M 为x 轴正半轴上一点,过点M 的直线l ∥y 轴,且直线l 分别与反比例函数y =x 8和y =xk的图像交于P 、Q 两点.若S △POQ =15,则k 的值为( )A .38B .22C .﹣7D .﹣22【分析】利用k 的几何意义解题即可. 【解答】解:∵直线l ∥y 轴, ∴∠OMP =∠OMQ =90°,∴S △OMP =×8=4,S △OMQ =﹣k . 又S △POQ =15, ∴4﹣k =15, 即k =11,∴k =﹣22. 故选:D .8、(2022•东营)如图,△OAB 是等腰直角三角形,直角顶点与坐标原点重合,若点B 在反比例函数y =x1(x >0)的图像上,则经过点A 的函数图像表达式为 .【分析】作AD ⊥x 轴于D ,BC ⊥x 轴于C ,根据△OAB 是等腰直角三角形,可证明△BOC ≌△OAD ,利用反比例函数k 的几何意义得到S △OBC =,则S △OAD =,所以|k |=,然后求出k 得到经过点A 的反比例函数解析式. 【解答】解:如图,作AD ⊥x 轴于D ,BC ⊥x 轴于C , ∴∠ADO =∠BCO =90°,∵∠AOB =90°, ∴∠AOD +∠BOC =90°, ∴∠AOD +∠DAO =90°, ∴∠BOC =∠DAO , ∵OB =OA ,∴△BOC ≌△OAD (AAS ),∵点B 在反比例函数y =(x >0)的图像上, ∴S △OBC =, ∴S △OAD =, ∴k =﹣1,∴经过点A 的反比例函数解析式为y =﹣. 故答案为:y =﹣.9、(2022•盐城)已知反比例函数的图像经过点(2,3),则该函数表达式为 . 【分析】利用反比例函数的定义列函数的解析式,运用待定系数法求出函数的解析式即可. 【解答】解:令反比例函数为y =(k ≠0), ∵反比例函数的图像经过点(2,3), ∴3=, k =6,∴反比例函数的解析式为y =. 故答案为:y =.10、(2022•湖北)在反比例函数y =xk 1−的图像的每一支上,y 都随x 的增大而减小,且整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式,则该反比例函数的解析式为 . 【分析】由整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式,可得k =±4,由反比例函y =的图像的每一支上,y 都随x 的增大而减小,可得k ﹣1>0,解得k >1,则k =4,即可得反比例函数的解析式.【解答】解:∵整式x 2﹣kx +4是一个完全平方式,∴k =±4, ∵反比例函数y =的图像的每一支上,y 都随x 的增大而减小,∴k ﹣1>0, 解得k >1, ∴k =4,∴反比例函数的解析式为y =. 故答案为:y =.35.(2022•陕西)已知点A (﹣2,m )在一个反比例函数的图像上,点A '与点A 关于y 轴对称.若点A '在正比例函数y =21x 的图像上,则这个反比例函数的表达式为 .【分析】根据轴对称的性质得出点A '(2,m ),代入y =x 求得m =1,由点A (﹣2,1)在一个反比例函数的图像上,从而求得反比例函数的解析式. 【解答】解:∵点A '与点A 关于y 轴对称,点A (﹣2,m ), ∴点A '(2,m ),∵点A '在正比例函数y =x 的图像上, ∴m ==1,∴A (﹣2,1),∵点A (﹣2,1)在一个反比例函数的图像上, ∴反比例函数的表达式为y =﹣, 故答案为:y =﹣.11、(2022•攀枝花)如图,正比例函数y =k 1x 与反比例函数y =xk 2的图像交于A (1,m )、B 两点,当k 1x ≤xk2时,x 的取值范围是( )A .﹣1≤x <0或x ≥1B .x ≤﹣1或0<x ≤1C .x ≤﹣1或x ≥1D .﹣1≤x <0或0<x ≤1【分析】根据反比例函数的对称性求得B 点的坐标,然后根据图像即可求得. 【解答】解:∵正比例函数y =k 1x 与反比例函数y =的图像交于A (1,m )、B 两点,∴B (﹣1,﹣m ), 由图像可知,当k 1x ≤时,x 的取值范围是﹣1≤x <0或x ≥1,故选:A .37.(2022•东营)如图,一次函数y 1=k 1x +b 与反比例函数y 2=xk 2的图像相交于A ,B 两点,点A 的横坐标为2,点B 的横坐标为﹣1,则不等式k 1x +b <xk2的解集是( )A .﹣1<x <0或x >2B .x <﹣1或0<x <2C .x <﹣1或x >2D .﹣1<x <2【分析】根据两函数图像的上下位置关系结合交点横坐标,即可得出不等式k 1x +b <的解集,此题得解.【解答】解:观察函数图像可知,当﹣1<x <0或x >2时,一次函数y 1=k 1x +b 的图像在反比例函数y 2=的图像的下方,∴不等式k 1x +b <的解集为:﹣1<x <0或x >2,故选:A .12、(2022•朝阳)如图,正比例函数y =ax (a 为常数,且a ≠0)和反比例函数y =xk(k 为常数,且k ≠0)的图像相交于A (﹣2,m )和B 两点,则不等式ax >xk的解集为( )A .x <﹣2或x >2B .﹣2<x <2C .﹣2<x <0或x >2D .x <﹣2或0<x <2【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B (2,﹣m ),然后根据函数的图像的交点坐标即可得到结论.【解答】解:∵正比例函数y =ax (a 为常数,且a ≠0)和反比例函数y =(k 为常数,且k ≠0)的图像相交于A (﹣2,m )和B 两点, ∴B (2,﹣m ),∴不等式ax >的解集为x <﹣2或0<x <2, 故选:D .13、(2022•无锡)一次函数y =mx +n 的图像与反比例函数y =xm的图像交于点A 、B ,其中点A 、B 的坐标为A (﹣m1,﹣2m )、B (m ,1),则△OAB 的面积是( ) A .3B .413C .27D .415【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征求出m ,进而求出点A 、B 的坐标,根据三角形的面积公式计算即可.【解答】解:∵点A (﹣,﹣2m )在反比例函数y =上, ∴﹣2m =,解得:m =2,∴点A 的坐标为:(﹣,﹣4),点B 的坐标为(2,1), ∴S △OAB =××5﹣××4﹣×2×1﹣×1=,故选:D .14、(2022•荆州)如图是同一直角坐标系中函数y 1=2x 和y 2=x2的图像.观察图像可得不等式2x >x2的解集为( )A .﹣1<x <1B .x <﹣1或x >1C .x <﹣1或0<x <1D .﹣1<x <0或x >1【分析】结合图像,数形结合分析判断.【解答】解:由图像,函数y 1=2x 和y 2=的交点横坐标为﹣1,1, ∴当﹣1<x <0或x >1时,y 1>y 2,即2x >, 故选:D .15、(2022•怀化)如图,直线AB 交x 轴于点C ,交反比例函数y =xa 1−(a >1)的图像于A 、B 两点,过点B 作BD ⊥y 轴,垂足为点D ,若S △BCD =5,则a 的值为( )A.8B.9C.10D.11【分析】设点B的坐标为(m,),然后根据三角形面积公式列方程求解.【解答】解:设点B的坐标为(m,),∵S△BCD=5,且a>1,∴×m×=5,解得:a=11,故选:D.16、(2022•宁夏)在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中,电压U一定时,油箱中浮子随油面下降而落下,带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动,从而改变电路中的电流,电流表的示数对应油量体积,把电流表刻度改为相应油量体积数,由此知道油箱里剩余油量.在不考虑其他因素的条件下,油箱中油的体积V与电路中总电阻R总(R总=R+R0)是反比例关系,电流I与R总也是反比例关系,则I与V的函数关系是()A.反比例函数B.正比例函数C.二次函数D.以上答案都不对【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系,电流I与R总是反比例关系,可得V=I(为常数),即可得到答案.【解答】解:由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系,设V•R总=k(k为常数),由电流I与R总是反比例关系,设I•R总=k'(k为常数),∴=,∴V=I(为常数),∴I与V的函数关系是正比例函数,故选:B.17、(2022•宜昌)已知经过闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系.根据下表判断a和b的大小关系为()A.a>b B.a≥b C.a<b D.a≤b【分析】根据等量关系“电流=”,即可求解.【解答】解:∵闭合电路的电流I(单位:A)与电路的电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,∴40a=80b,∴a=2b,∴a>b,故选:A.18、(2022•丽水)已知电灯电路两端的电压U为220V,通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A.设选用灯泡的电阻为R(Ω),下列说法正确的是()A.R至少2000ΩB.R至多2000ΩC.R至少24.2ΩD.R至多24.2Ω【分析】利用已知条件列出不等式,解不等式即可得出结论.【解答】解:∵电压U一定时,电流强度I(A)与灯泡的电阻为R(Ω)成反比例,∴I=.∵已知电灯电路两端的电压U为220V,∴I=.∵通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A,∴≤0.11,∴R≥2000.故选:A.19、(2022•郴州)科技小组为了验证某电路的电压U(V)、电流I(A)、电阻R(Ω)三者之间的关系:I=U,测得数据如下:那么,当电阻R=55Ω时,电流I=A.【分析】由表格数据求出反比例函数的解析式,再将R=55Ω代入即可求出答案.【解答】解:把R=220,I=1代入I=得:1=,解得U=220,∴I=,把R=55代入I=得:I==4,故答案为:4.20、(2022•山西)根据物理学知识,在压力不变的情况下,某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数,其函数图像如图所示.当S=0.25m2时,该物体承受的压强p的值为Pa.【分析】设p=,把(0.1,1000)代入得到反比例函数的解析式,再把S=0.25代入解析式即可解决问题.【解答】解:设p=,∵函数图像经过(0.1,1000),∴k=100,∴p=,当S=0.25m2时,物体所受的压强p==400(Pa),故答案为:400.。
2020年中考数学高频重点《反比例函数与一次函数的综合》专题突破精练精解(含答案)
【中考数学】专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象,根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如 (k 为常数,0k ≠)的函数,叫做反比例函数,其中x 叫自变量,y 是x 的函数.变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数,0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k的集合意义在反比例函数kyx=(k为常数,0k≠)的图象上任取一点,过这个点分别作x轴、y轴的平行线,两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数,0k≠),在根据条件求出未知系数k的值,从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中,函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致是()A.B.C.D.2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上,则m的取值范围是()A.m>B.m<-C.m m><-.m-<<kxxy2-=3.如图,一次函数y=-x+3的图象与反比例函数y=kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1,a)和B两点,与x轴交于点C.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为5,求点P的坐标.4.如图,已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M,交反比例函数y=kx上的图象于点N.若PM>PN,结合函数图象直接写出a的取值范围.5.已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象交于点A ,与x 轴交于点B (5,0),若OB =AB ,且S △OAB =152. (1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P 为x 轴上一点,△ABP 是等腰三角形,求点P 的坐标.6.如图,一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(–1,4),点B 的坐标为(4,n ).(1)根据图象,直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围; (2)求这两个函数的表达式;(3)点P 在线段AB 上,且S △AOP :S △BOP =1:2,求点P 的坐标.7.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(–1,n)、B(2,–1)两点,与y轴相交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=mx上的两点,当x1<x2<0时,比较y2与y1的大小关系.8.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点A(1,0),B(3,1),C(3,3).反比例函数y =mx (x >0)的图象经过点D ,点P 是一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点. (1)求反比例函数的解析式;(2)通过计算,说明一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象一定经过点C ;(3)对于一次函数y =kx +3-3k(k ≠0),当y 随x 的增大而增大时,确定点P 横坐标的取值范围.(不必写出过程)9.某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB ,BC 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段. 请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10 ℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?10.如图,已知点D在反比例函数y=的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式;(2)直接写出关于x的不等式>kx+b的解集.11.如图,矩形ABCD 的两边AD ,AB 的长分别为3,8,E 是DC 的中点,反比例函数y =mx 的图象经过点E ,与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(-6,0),求m 的值及图象经过A ,E 两点的一次函数的解析式; (2)若AF -AE =2,求反比例函数的解析式.12.如图,直线AB 与x 轴交于点A (1,0),与y 轴交于点B (0,2),将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ,反比例函数y =(k ≠0,x >0)的图象经过点C .(1)求直线AB 和反比例函数y =(k ≠0,x >0)的解析式;(2)已知点P 是反比例函数y =(k ≠0,x >0)图象上的一个动点,求点P 到直线AB 距离最短时的坐标.13.如图,已知点A在反比例函数(x>0)的图象上,过点A作AC⊥x轴,垂足是C,AC=OC.一次函数y=kx+b 的图象经过点A,与y轴的正半轴交于点B.(1)求点A的坐标;(2)若四边形ABOC的面积是3,求一次函数y=kx+b的表达式.14.如图,直线y=kx+b(k≠0)与双曲线y=(m≠0)交于点A(﹣,2),B(n,﹣1).(1)求直线与双曲线的解析式.(2)点P在x轴上,如果S△ABP=3,求点P的坐标.15.一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12),B(8,-3).(1)求该一次函数的解析式;(2)如图,该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x1,y1),D(x2,y2),与轴交于点E,且CD=CE,求m的值.16.如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为点C,连结AB,AC.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的表达式.专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象,根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如ky x=(k 为常数,0k ≠)的函数,叫做反比例函数,其中x 叫自变量,y 是x 的函数. 变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数,0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k 的集合意义 在反比例函数ky x=(k 为常数,0k ≠)的图象上任取一点,过这个点分别作x 轴、y 轴的平行线,两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于k || .知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数,0k≠),在根据条件求出未知系数k的值,从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中,函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0)的图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=(k为常数,且k≠0),∴当k>0时,y=﹣x+k经过第一、二、四象限,y=经过第一、三象限,故选项D错误,当k<0时,y=﹣x+k经过第二、三、四象限,y=经过第二、四象限,故选项C正确,选项A、B错误,故选C.【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数和反比例函数的性质解答.2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上,则m的取值范围是()A.m>B.m<-C.m m><-.m-<<kxkxk xkx xy2-=【答案】C【解析】∵反比例函数2y x=-上两个不同的点关于y 轴对称的点,在一次函数y =–x +m 图象上,∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点,联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩,∵有两个不同的交点,∴有两个不等的根,∴Δ=m 2–8>0,∴m或m <–,故选C .3.如图,一次函数y =-x +3的图象与反比例函数y =kx(k ≠0)在第一象限的图象交于A (1,a )和B 两点,与x 轴交于点C .(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P 在x 轴上,且△APC 的面积为5,求点P 的坐标.【解析】(1)把点A (1,a )代入y =-x +3,得a =2,∴A (1,2),把A (1,2)代入反比例函数y =kx,∴k =1×2=2; ∴反比例函数的表达式为y =2x; (2)∵一次函数y =-x +3的图象与x 轴交于点C ,∴C (3,0), 设P (x ,0),∴PC =|3-x |,∴S △APC =12|3-x |×2=5,∴x =-2或x =8, 022=+-mxx∴P 的坐标为(-2,0)或(8,0).【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点,能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键.4.如图,已知反比例函数y =kx(k ≠0)的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A (1,3),B (3,1)两点.(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)已知点P (a ,0)(a >0),过点P 作平行于y 轴的直线,在第一象限内交一次函数y =﹣x +b 的图象于点M ,交反比例函数y =kx上的图象于点N .若PM >PN ,结合函数图象直接写出a 的取值范围.【解析】(1)∵反比例函数y =kx(k ≠0)的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A (1,3),B (3,1)两点,∴3=1k,3=﹣1+b ,∴k =3,b =4, ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y =3x,y =﹣x +4; (2)由图象可得:当1<a <3时,PM >PN .【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题,待定系数法求解析式,利用函数图象性质解决问题是本题的关键.5.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB=AB,且S△OAB=152.(1)求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.【解析】(1)如图1,过点A作AD⊥x轴于D,∵B(5,0),∴OB=5,∵S△OAB=152,∴12×5×AD=152,∴AD=3,∵OB=AB,∴AB=5,在Rt△ADB中,BD,∴OD=OB+BD=9,∴A(9,3),将点A坐标代入反比例函数y=mx中得,m=9×3=27,∴反比例函数的解析式为y=27x,将点A(9,3),B(5,0)代入直线y=kx+b中,9350k bk b+=⎧⎨+=⎩,∴3434kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴直线AB的解析式为y=34x﹣34;(2)由(1)知,AB=5,∵△ABP是等腰三角形,∴①当AB=PB时,∴PB=5,∴P(0,0)或(10,0),②当AB=AP时,如图2,由(1)知,BD=4,易知,点P与点B关于AD对称,∴DP=BD=4,∴OP=5+4+4=13,∴P(13,0),③当PB =AP 时,设P (a ,0), ∵A (9,3),B (5,0),∴AP 2=(9﹣a )2+9,BP 2=(5﹣a )2, ∴(9﹣a )2+9=(5﹣a )2,∴a =658, ∴P (658,0), 即:满足条件的点P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(658,0). 【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,勾股定理,三角形的面积,等腰三角形的性质,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.6.如图,一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点,其中点A 的坐标为(–1,4),点B 的坐标为(4,n ).(1)根据图象,直接写出满足k 1x +b >2k x的x 的取值范围; (2)求这两个函数的表达式;(3)点P 在线段AB 上,且S △AOP :S △BOP =1:2,求点P 的坐标.【答案】(1)由图象可得:k 1x +b >2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4; (2)直线解析式y =–x +3,反比例函数的解析式为y =–4x; (3)P (23,73). 【解析】(1)∵点A 的坐标为(–1,4),点B 的坐标为(4,n ).由图象可得:k 1x +b >2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4; (2)∵反比例函数y =2k x的图象过点A (–1,4),B (4,n ), ∴k 2=–1×4=–4,k 2=4n ,∴n =–1,∴B (4,–1), ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ,点B ,∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩,解得k =–1,b =3,∴直线解析式y =–x +3,反比例函数的解析式为y =–4x; (3)设直线AB 与y 轴的交点为C ,∴C (0,3),∵S △AOC =12×3×1=32, ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152, ∵S △AOP :S △BOP =1:2,∴S △AOP =152×13=52, ∴S △COP =52–32=1,∴12×3x P =1,∴x P =23, ∵点P 在线段AB 上,∴y =–23+3=73,∴P (23,73).【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键.7.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(–1,n)、B(2,–1)两点,与y轴相交于点C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点D与点C关于x轴对称,求△ABD的面积;(3)若M(x1,y1)、N(x2,y2)是反比例函数y=mx上的两点,当x1<x2<0时,比较y2与y1的大小关系.【答案】(1)一次函数的解析式为y=–x+1,反比例函数的解析式为y=–2x.(2)S△ABD=3.(3)y1<y2.【解析】(1)∵反比例函数y=mx经过点B(2,–1),∴m=–2,∵点A(–1,n)在y=2x-上,∴n=2,∴A(–1,2),把A,B坐标代入y=kx+b,则有221k bk b-+=+=-⎧⎨⎩,解得11kb=-=⎧⎨⎩,∴一次函数的解析式为y=–x+1,反比例函数的解析式为y=–2x.(2)∵直线y=–x+1交y轴于C,∴C(0,1),∵D,C关于x轴对称,∴D(0,–1),∵B(2,–1),∴BD∥x轴,∴S △ABD =12×2×3=3. (3)∵M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2)是反比例函数y =–2x 上的两点,且x 1<x 2<0,s ∴y 1<y 2. 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题,学会利用函数的增减性,比较函数值的大小.8.如图,四边形ABCD 是平行四边形,点A(1,0),B(3,1),C(3,3).反比例函数y =m x(x >0)的图象经过点D ,点P 是一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.(1)求反比例函数的解析式;(2)通过计算,说明一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象一定经过点C ;(3)对于一次函数y =kx +3-3k(k ≠0),当y 随x 的增大而增大时,确定点P 横坐标的取值范围.(不必写出过程)【解析】:(1)∵B(3,1),C(3,3),四边形ABCD 是平行四边形,∴AD =BC =2,BC ⊥x 轴.∴AD ⊥x 轴.又∵A(1,0),∴D(1,2).∵D 在反比例函数y =m x的图象上, ∴m =1×2=2.∴反比例函数的解析式为y =2x. (2)当x =3时,y =kx +3-3k =3,∴一次函数y =kx +3-3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ,则23<a <3. 归纳:反比例函数中,y 随x 的大小变化的情况,应分x >0与x <0两种情况讨论,而不能笼统地说成“k <0时,y 随x 的增大而增大”.双曲线上的点在每个象限内,y 随x 的变化是一致的.运用反比例函数的性质时,要注意在每一个象限内的要求.9.某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系,其中线段AB ,BC 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10 ℃时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害?【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式;(2)观察图象可得;(3)代入临界值y =10即可.【解答】 解:(1)设线段AB 解析式为y =k 1x +b(k ≠0),∵线段AB 过点(0,10),(2,14),代入,得⎩⎪⎨⎪⎧b =10,2k 1+b =14,解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1=2,b =10. ∴AB 解析式为y =2x +10(0≤x <5).∵B 在线段AB 上,当x =5时,y =20.∴B 坐标为(5,20).∴线段BC 的解析式为y =20(5≤x <10). 设双曲线CD 的解析式为y =k 2x(k 2≠0). ∵C(10,20),∴k 2=200.∴双曲线CD 解析式为y =200x(10≤x ≤24). ∴y 关于x 的函数解析式为y =⎩⎪⎨⎪⎧2x +10(0≤x<5),20(5≤x<10),200x (10≤x ≤24).(2)由(1)可知,恒温系统设定恒定温度为20 ℃.(3)把y =10代入y =200x中,解得x =20. ∴20-10=10.答:恒温系统最多关闭10小时,蔬菜才能避免受到伤害.归纳:反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型,解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息,挖掘题目(或图象)中隐含的条件,提取有用信息,综合运用所学知识解决问题. 10.如图,已知点D 在反比例函数y=的图象上,过点D 作DB ⊥y 轴,垂足为B (0,3),直线y=kx+b 经过点A (5,0),与y 轴交于点C ,且BD=OC ,OC :OA=2:5.(1)求反比例函数y=和一次函数y=kx+b 的表达式;(2)直接写出关于x 的不等式>kx+b 的解集.【分析】(1)由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标,由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值,进而可得出反比例函数的表达式,再由点A、C的坐标利用待定系数法,即可求出一次函数的表达式;(2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中,利用根的判别式△<0可得出两函数图象无交点,再观察图形,利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式>kx+b的解集.解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,点A(5,0),点B(0,3),∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,又∵点C在y轴负半轴,点D在第二象限,∴点C的坐标为(0,﹣2),点D的坐标为(﹣2,3).∵点D(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,∴a=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的表达式为y=﹣.将A(5,0)、B(0,﹣2)代入y=kx+b,,解得:,∴一次函数的表达式为y=x﹣2.(2)将y=x ﹣2代入y=﹣,整理得: x 2﹣2x+6=0, ∵△=(﹣2)2﹣4××6=﹣<0,∴一次函数图象与反比例函数图象无交点.观察图形,可知:当x <0时,反比例函数图象在一次函数图象上方,∴不等式>kx+b 的解集为x <0.11.如图,矩形ABCD 的两边AD ,AB 的长分别为3,8,E 是DC 的中点,反比例函数y =m x的图象经过点E ,与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(-6,0),求m 的值及图象经过A ,E 两点的一次函数的解析式;(2)若AF -AE =2,求反比例函数的解析式.【解析】:(1)点B 坐标为(-6,0),AD =3,AB =8,E 为CD 的中点,∴点A(-6,8),E(-3,4).∵函数图象经过点E ,∴m =-3×4=-12.设AE 的解析式为y =kx +b ,将点A ,E 坐标代入,得⎩⎪⎨⎪⎧-6k +b =8,-3k +b =4,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-43,b =0.∴一次函数的解析式为y =-43x. (2)AD =3,DE =4,∴AE =AD 2+DE 2=5.∵AF -AE =2,∴AF =7,BF =1.设点E 坐标为(a ,4),则点F 坐标为(a -3,1),∵E ,F 两点在函数y =m x图象上, ∴4a =a -3,解得a =-1.∴E(-1,4).∴m =-1×4=-4.∴反比例函数的解析式为y =-4x. 12.如图,直线AB 与x 轴交于点A (1,0),与y 轴交于点B (0,2),将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ,反比例函数y =(k ≠0,x >0)的图象经过点C . (1)求直线AB 和反比例函数y =(k ≠0,x >0)的解析式;(2)已知点P 是反比例函数y =(k ≠0,x >0)图象上的一个动点,求点P 到直线AB 距离最短时的坐标.【答案】见解析。
决战中考数学压轴题综合提升训练:《反比例函数》(解析版)
决战2020中考数学压轴题综合提升训练:《反比例函数》1.如图,反比例函数y1=和一次函数y2=mx+n相交于点A(1,3),B(﹣3,a),(1)求一次函数和反比例函数解析式;(2)连接OA,试问在x轴上是否存在点P,使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形,若存在,直接写出满足题意的点P的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)∵点A(1,3)在反比例函数y1=的图象上,∴k=1×3=3,∴反比例函数的解析式为y1=,∵点B(﹣3,a)在反比例函数y1=的图象上,∴﹣3a=3,∴a=﹣1,∴B(﹣3,﹣1),∵点A(1,3),B(﹣3,﹣1)在一次函数y2=mx+n的图象上,∴,∴,∴一次函数的解析式为y2=x+2;(2)如图,∵△OAP为以OA为腰的等腰三角形,∴①当OA=OP时,∵A(1,3),∴OA=,∵OP=,∵点P在x轴上,∴P(﹣,0)或(,0),②当OA=AP时,则点A是线段OP的垂直平分线上,∵A(1,3),∴P(2,0),即:在x轴上存在点P,使得△OAP为以OA为腰的等腰三角形,此时,点P的坐标为(﹣,0)或(2,0)或(,0).2.在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象G经过点A(3,2),直线l:y =kx﹣1(k≠0)与y轴交于点B,与图象G交于点C.(1)求m的值;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,C之间的部分与线段BA,BC围成的区域(不含边界)为W.①当直线l过点(2,0)时,直接写出区域W内的整点个数;②若区域W内的整点不少于4个,结合函数图象,求k的取值范围.解:(1)把A(3,2)代入y=得m=3×2=6,(2)①当直线l过点(2,0)时,直线解析式为y=x﹣1,解方程=x﹣1得x 1=1﹣(舍去),x2=1+,则C(1+,),而B(0,﹣1),如图1所示,区域W内的整点有(3,1)一个;②如图2,直线l在AB的下方时,直线l:y=kx﹣1过(6,1)时,1=6k﹣1,解得k =,当直线在OA的上方时,直线经过(1,4)时,4=k﹣1,解得k=5,观察图象可知:当k≤或k≥5时,区域W内的整点不少于4个.3.如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点坐标分别为O(0,0),A(6,0),B(4,3),C(0,3).动点P从点O出发,以每秒个单位长度的速度沿边OA向终点A运动;动点Q从点B同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿边BC向终点C运动,设运动的时间为t秒,PQ2=y.(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围:;(2)当PQ=时,求t的值;(3)连接OB交PQ于点D,若双曲线y=经过点D,问k的值是否变化?若不变化,请求出k的值;若变化,请说明理由.解:(1)过点P作PE⊥BC于点E,如图1所示.当运动时间为t秒时(0≤t≤4)时,点P的坐标为(t,0),点Q的坐标为(4﹣t,3),∴PE=3,EQ=|4﹣t﹣t|=|4﹣t|,∴PQ2=PE2+EQ2=32+|4﹣t|2=t2﹣20t+25,∴y关于t的函数解析式及t的取值范围:;故答案为:.(2)当时,整理,得5t2﹣16t+12=0,解得:t1=2,.(3)经过点D的双曲线的k值不变.连接OB,交PQ于点D,过点D作DF⊥OA于点F,如图2所示.∵OC=3,BC=4,∴.∵BQ∥OP,∴△BDQ∽△ODP,∴,∴OD=3.∵CB∥OA,∴∠DOF=∠OBC.在Rt△OBC中,,,∴,,∴点D的坐标为,∴经过点D的双曲线的k值为.4.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(﹣3,m+8),B (n,﹣6)两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积;(3)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数图象上的两点,且当x1<x2时,y1>y2,指出点P、Q各位于哪个象限?解:(1)将A(﹣3,m+8)代入反比例函数y=得﹣3(m+8)=m,解得m=﹣6,∴点A的坐标为(﹣3,2),反比例函数解析式为y=﹣,将点B(n,﹣6)代入y=﹣得﹣6n=﹣6,解得n=1,∴点B的坐标为(1,﹣6),将点A(﹣3,2),B(1,﹣6)代入y=kx+b得,解得,∴一次函数解析式为y=﹣2x﹣4;(2)设AB与x轴相交于点C,如图,当﹣2x﹣4=0,解得x=﹣2,则点C的坐标为(﹣2,0),∴S△AOB=S△AOC+S△BOC,=×2×2+×2×6,=2+6,=8;(3)∵当x1<x2时,y1>y2,∴点P和点Q不在同一象限,∴P在第二象限,Q在第四象限.5.如图,平面直角坐标系中,一次函数y=x﹣1的图象与x轴,y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=的图象交于点C,D,CE⊥x轴于点E,=.(1)求反比例函数的表达式与点D的坐标;(2)以CE为边作▱ECMN,点M在一次函数y=x﹣1的图象上,设点M的横坐标为a,当边MN与反比例函数y=的图象有公共点时,求a的取值范围.解:(1)由题意A(1,0),B(0,﹣1),∴OA=OB=1,∴∠OAB=∠CAE=45°∵AE=3OA,∴AE=3,∵EC⊥x轴,∴∠AEC=90°,∴∠EAC=∠ACE=45°,∴EC=AE=3,∴C(4,3),∵反比例函数y=经过点C(4,3),∴k=12,由,解得或,∴D(﹣3,﹣4).(2)如图,设M(a,a﹣1).当点N在反比例函数的图象上时,N(a,),∵四边形ECMN是平行四边形,∴MN=EC=3,∴|a﹣1﹣|=3,解得a=6或﹣2或﹣1±(舍弃),∴M(6,5)或(﹣2,﹣3),观察图象可知:当边MN与反比例函数y=的图象有公共点时4<a≤6或﹣3≤a≤﹣2.6.如图,一次函数y=kx+2的图象与y轴交于点A,正方形ABCD的顶点B在x轴上,点D在直线y=kx+2上,且AO=OB,反比例函数y=(x>0)经过点C.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)点P是x轴上一动点,当△PCD的周长最小时,求出P点的坐标;(3)在(2)的条件下,以点C、D、P为顶点作平行四边形,直接写出第四个顶点M 的坐标.解:(1)设一次函数y=kx+2的图象与x轴交于点E,连接BD,如图1所示.当x=0时,y=kx+2=2,∴OA=2.∵四边形ABCD为正方形,OA=OB,∴∠BAE=90°,∠OAB=∠OBA=45°,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴OE=2,点E的坐标为(﹣2,0).将E(﹣2,0)代入y=kx+2,得:﹣2k+2=0,解得:k=1,∴一次函数的解析式为y=x+2.∵∠OBD=∠ABD+∠OBA=90°,∴BD∥OA.∵OE=OB=2,∴BD=2OA=4,∴点D的坐标为(2,4).∵四边形ABCD为正方形,∴点C的坐标为(2+2﹣0,0+4﹣2),即(4,2).∵反比例函数y=(x>0)经过点C,∴n=4×2=8,∴反比例函数解析式为y=.(2)作点D关于x轴的对称点D′,连接CD′交x轴于点P,此时△PCD的周长取最小值,如图2所示.∵点D的坐标为(2,4),∴点D′的坐标为(2,﹣4).设直线CD′的解析式为y=ax+b(a≠0),将C(4,2),D′(2,﹣4)代入y=ax+b,得:,解得:,∴直线CD′的解析式为y=3x﹣10.当y=0时,3x﹣10=0,解得:x=,∴当△PCD的周长最小时,P点的坐标为(,0).(3)设点M的坐标为(x,y),分三种情况考虑,如图3所示.①当DP为对角线时,,解得:,∴点M1的坐标为(,2);②当CD为对角线时,,解得:,∴点M2的坐标为(,6);③当CP为对角线时,,解得:,∴点M3的坐标为(,﹣2).综上所述:以点C、D、P为顶点作平行四边形,第四个顶点M的坐标为(,2),(,6)或(,﹣2).7.如图在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x﹣4的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1,n),B(m,2)(1)求反比例函数关系式及m的值;(2)若x轴正半轴上有一点M满足△MAB的面积为16,求点M的坐标;(3)根据函数图象直接写出关于x的不等式在<﹣2x﹣4的解集解:(1)∵一次函数y=﹣2x﹣4的图象过点A(1,n),B(m,2)∴n=﹣2﹣4,2=﹣2m﹣4∴n=﹣6,m=﹣3,∴A(1,﹣6)把A(1,﹣6)代入y=得,k=﹣6,∴反比例函数关系式为y=﹣;(2)设直线AB与x轴交于N点,则N(﹣2,0),设M(m,0),m>0,∵S△MAB=S△BMN+S△AMN,△MAB的面积为16,∴|m+2|×(2+6)=16,解得m=2或﹣6(不合题意舍去),∴M(2,0);(3)由图象可知:不等式在<﹣2x﹣4的解集是x<﹣3或0<x<1.8.如图,在平面直角坐标系中,点A(3,5)与点C关于原点O对称,分别过点A、C 作y轴的平行线,与反比例函数的图象交于点B、D,连结AD、BC,AD与x轴交于点E(﹣2,0).(1)求直线AD对应的函数关系式;(2)求k的值;(3)直接写出阴影部分图形的面积之和.解:(1)设直线AD对应的函数关系式为y=ax+b.∵直线AD过点A(3,5),E(﹣2,0),∴解得∴直线AD的解析式为y=x+2.(2)∵点A(3,5)关于原点O的对称点为点C,∴点C的坐标为(﹣3,﹣5),∵CD∥y轴,∴设点D的坐标为(﹣3,a),∴a=﹣3+2=﹣1,∴点D的坐标为(﹣3,﹣1),∵反比例函数y=的图象经过点D,∴k=﹣3×(﹣1)=3;(3)如图:∵点A和点C关于原点对称,∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积,∴S阴影=4×3=12.9.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y=的表达式;(2)已知点C(0,8),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M的坐标.解:(1)把点A(4,3)代入函数得:a=3×4=12,∴y=,OA=5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把B(0,﹣5),A(4,3)代入y=kx+b得:∴y=2x﹣5;(2)作MD⊥y轴.∵点M在一次函数y=2x﹣5上,∴设点M的坐标为(x,2x﹣5).∵MB=MC,∴CD=BD,∴x2+(8﹣2x+5)2=x2+(﹣5﹣2x+5)2∴8﹣(2x﹣5)=2x﹣5+5解得:x=∴2x﹣5=,∴点M的坐标为(,).10.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点B在反比例函数y=(k≠0)的第一象限内的图象上,OA=3,OC=5,动点P在x轴的上方,且满足S△=S矩形OABC.PAO(1)若点P在这个反比例函数的图象上,求点P的坐标;(2)连接PO、PA,求PO+PA的最小值;(3)若点Q是平面内一点,使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形,则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标.解:(1)由题意,可知:点B的坐标为(3,5).∵点B在反比例函数y=(k≠0)的第一象限内的图象上,∴k=3×5=15,∴反比例函数的解析式为y=.∵S△PAO=S矩形OABC,∴×3×y P=×3×5,∴y P=3.当y=3时,=3,解得:x=5,∴当点P在这个反比例函数的图象上时,点P的坐标为(5,3).(2)由(1)可知:点P在直线y=3上,作点O关于直线y=3的对称点O′,连接AO′交直线y=3于点P,此时PO+PA取得最小值,如图1所示.∵点O的坐标为(0,0),∴点O′的坐标为(0,6).∵点A的坐标为(3,0),∴AO′==3,∴PO+PA的最小值为3.(3)∵AB∥y轴,AB=5,点P的纵坐标为3,∴AB不能为对角线,只能为边.设点P的坐标为(m,3),分两种情况考虑,如图2所示:①当点Q在点P的上方时,AP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣0)2=25,解得:m1=﹣1,m2=7,∴点P1的坐标为(﹣1,3),点P2的坐标为(7,3).又∵PQ=5,且PQ∥AB∥y轴,∴点Q1的坐标为(﹣1,8),点Q2的坐标为(7,8);②当点Q在点P的下方时,BP=AB=5,即(m﹣3)2+(3﹣5)2=25,解得:m3=3﹣,m4=3+,同理,可得出:点Q3的坐标为(3﹣,﹣2),点Q4的坐标为(3+,﹣2).综上所述:当以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形时,点Q的坐标为(﹣1,8),(7,8),(3﹣,﹣2)或(3+,﹣2).11.如图,已知C,D是反比例函数y=图象在第一象限内的分支上的两点,直线CD分别交x轴、y轴于A,B两点,设C,D的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),且x1<x2,连接OC、OD.(1)若x1+y1=x2+y2,求证:OC=OD;(2)tan∠BOC=,OC=,求点C的坐标;(3)在(2)的条件下,若∠BOC=∠AOD,求直线CD的解析式.(1)证明:∵C,D是反比例函数y=图象在第一象限内的分支上的两点,∴y1=,y2=.∵x1+y1=x2+y2,即x1+=x2+,∴x1﹣x2=.又∵x1<x2,∴=1,∴=x2=y1,=x1=y2.∴OC==,OD==,∴OC=OD.(2)解:∵tan∠BOC=,∴=.又∵OC=,∴+=10,∴x1=1,y1=3或x1=﹣1,y1=﹣3.∵点C在第一象限,∴点C的坐标为(1,3).(3)解:∵∠BOC=∠AOD,∴tan∠AOD=,∴=.∵点C(1,3)在反比例函数y=的图象上,∴m=1×3=3,∴x2•y2=3,∴x2=3,y2=1或x2=﹣3,y2=﹣1.∵点D在第一象限,∴点D的坐标为(3,1).设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),将C(1,3),D(3,1)代入y=kx+b,得:,解得:,∴直线CD的解析式为y=﹣x+4.12.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边分别在x轴、y轴上,D是对角线的交点,若反比例函数y=的图象经过点D,且与矩形OABC的两边AB,BC分别交于点E,F.(1)若D的坐标为(4,2)①则OA的长是8 ,AB的长是 4 ;②请判断EF是否与AC平行,井说明理由;③在x轴上是否存在一点P.使PD+PE的值最小,若存在,请求出点P的坐标及此时PD+PE的长;若不存在.请说明理由.(2)若点D的坐标为(m,n),且m>0,n>0,求的值.解:(1)①∵点D的坐标为(4,2),∴点B的坐标为(8,4),∴OA=8,AB=4.故答案为:8;4.②EF∥AC,理由如下:∵反比例函数y=的图象经过点D(4,2),∴k=4×2=8.∵点B的坐标为(8,4),BC∥x轴,AB∥y轴,∴点F的坐标为(2,4),点E的坐标为(8,1),∴BF=6,BE=3,∴=,=,∴=.∵∠ABC=∠EBF,∴△ABC∽△EBF,∴∠BCA=∠BFE,∴EF∥AC.③作点E关于x轴对称的点E′,连接DE′交x轴于点P,此时PD+PE的值最小,如图所示.∵点E的坐标为(8,1),∴点E′的坐标为(8,﹣1),∴DE′==5.设直线DE′的解析式为y=ax+b(a≠0),将D(4,2),E′(8,﹣1)代入y=ax+b,得:,解得:,∴直线DE′的解析式为y=﹣x+5.当y=0时,﹣x+5=0,解得:x=,∴当点P的坐标为(,0)时,PD+PE的值最小,最小值为5.(2)∵点D的坐标为(m,n),∴点B的坐标为(2m,2n).∵反比例函数y=的图象经过点D(m,n),∴k=mn,∴点F的坐标为(m,2n),点E的坐标为(2m,n),∴BF=m,BE=n,∴=,=,∴=.又∵∠ABC=∠EBF,∴△ABC∽△EBF,∴==.13.如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0)的图象交于A (﹣3,1),B(1,n)两点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b>0的解.解:(1)∵点A(﹣3,1)在反比例函数y=(m≠0)的图象上,∴m=(﹣3)×1=﹣3,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(1,n)也在反比例函数y=﹣的图象上,∴n=﹣=﹣3,即B(1,﹣3),把点A(﹣3,1),点B(1,﹣3)代入一次函数y=kx+b中,得,解得,∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣2;(2)如图所示,当>kx+b时,x的取值范围是﹣3<x<0或x>1,所以不等式﹣kx﹣b>0的解是:﹣3<x<0或x>1.14.如图,在平面直角坐标系xOy内,函数y=的图象与反比例函数y=(k≠0)图象有公共点A,点A的坐标为(8,a),AB⊥x轴,垂足为点B.(1)求反比例函数的解析式;(2)点P在线段OB上,若AP=BP+2,求线段OP的长;(3)点D为射线OA上一点,在(2)的条件下,若S△ODP=S△ABO,求点D的坐标.解:(1)∵函数y=的图象过点A(8,a),∴a=×8=4,∴点A的坐标为(8,4),∵反比例函数y=(k≠0)图象过点A(8,4),∴4=,得k=32,∴反比例函数的解析式为y=;(2)设BP=b,则AP=b+2,∵点A(8,4),AB⊥x轴于点B,∴AB=4,∠ABP=90°,∴b2+42=(b+2)2,解得,b=3,∴OP=8﹣3=5,即线段OP的长是5;(3)设点D的坐标为(d,d),∵点A(8,4),点B(8,0),点P(5,0),S△ODP=S△ABO,∴,解得,d=,∴d=,∴点D的坐标为(,).15.阅读理解:如图(1),在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标是(1,2),点B的坐标是(3,4),过点A、点B作平行于x轴、y轴的直线相交于点C,得到Rt△ABC,由勾股定理可得,线段AB==.得出结论:(1)若A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2)请你直接用A、B两点的坐标表示A、B两点间的距离;应用结论:(2)若点P在y轴上运动,试求当PA=PB时,点P的坐标.(3)如图(2)若双曲线L1:y=(x>0)经过A(1,2)点,将线段OA绕点O旋转,使点A恰好落在双曲线L2:y=﹣(x>0)上的点D处,试求A、D两点间的距离.解:(1)∵A点的坐标为(x1,y1),B点的坐标为(x2,y2),∴根据两点间的距离公式得,AB=;(2)设点P(0,a),∵A的坐标是(1,2),点B的坐标是(3,4),∵PA=,PB=,∵PA=PB,∴=,∴a=5,∴P(0,5);(3)∵双曲线L1:y=(x>0)经过A(1,2)点,∴OA=,k=1×2=2,∴双曲线L1:y=(x>0),双曲线L2:y=﹣(x>0),设点D坐标为(m,﹣)(m>0),∴OD=,由旋转知,OA=OD,∴=,∴m=±1或m=±2,∵m>0,∴m=1或m=2,∴D(1,﹣2)或(2,﹣1).∵A(1,2),∴AD=4或.。
2020年中考数学一轮复习基础考点题型练:《反比例函数》(含答案)
2020年中考数学一轮复习基础考点题型练:《反比例函数》一.选择题1.下列函数中,其图象经过原点的是( )A .y =2x ﹣3B .y =C .y =x 2﹣1D .y =2.已知函数y =的图象过点(2,﹣3),则该函数的图象必在( )A .第二、三象限B .第二、四象限C .第一、三象限D .第三、四象限 3.若点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)在反比例函数y =(k <0)的图象上,且y 1>0>y 2>y 3,则下列各式正确的是( )A .x 1<x 2<x 3B .x 2<x 1<x 3C .x 1<x 3<x 2D .x 3<x 2<x 14.如图,矩形AOBC 的面积为4,反比例函数y =的图象的一支经过矩形对角线的交点P ,则k 的值是( )A .1B .﹣2C .﹣1D .﹣5.如图,已知直线y =x 与双曲线y =(k >0)交于A 、B 两点,A 点的横坐标为3,则下列结论:①k =6;②A 点与B 点关于原点O 中心对称;③关于x 的不等式<0的解集为x <﹣3或0<x <3;④若双曲线y =(k >0)上有一点C 的纵坐标为6,则△AOC 的面积为8,其中正确结论的个数( )A .4个B .3个C .2个D .1个6.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点,以AB 为边在第一象限作正方形ABC D沿x轴负方向平移a个单位长度后,点C恰好落在双曲线上则a的值是()A.1 B.2 C.3 D.47.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴和负半轴交于A、B两点,且OA<OB,则一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象可能是()A.B.C.D.8.如图,四边形ABCO是平行四边形,OA=2,AB=6,点C在x轴的负半轴上,将平行四边形ABCO绕点A逆时针旋转得到平行四边形ADEF,AD经过点O,点F恰好落在x轴的正半轴上.若点D在反比例函数y=(x<0)的图象上,则k的值为()A.4B.12 C.8D.69.如图,A 、B 两点在双曲线y =上,分别经过点A 、B 两点向x 、y 轴作垂线段,已知S 阴影=2,则S 1+S 2=( )A .3B .4C .5D .610.如图所示,是反比例函数y =与y =在x 轴上方的图象,点C 是y 轴正半轴上的一点,过点C 作AB ∥x 轴分别交这两个图象于A 点和B 点,若点P 在x 轴上运动,则△ABP 的面积等于( )A .5B .4C .10D .2011.已知反比例函数的图象经过点P (4,﹣1),则该反比例函数的图象所在的象限是( )A .第一、二象限B .第一、三象限C .第二、三象限D .第二、四象限 12.如图,过点O 作直线与双曲线y =(k ≠0)交于A 、B 两点,过点B 作BC ⊥x 轴于点C ,作BD ⊥y 轴于点D .在x 轴,y 轴上分别取点E 、F ,使点A 、E 、F 在同一条直线上,且AE =AF .设图中矩形ODBC 的面积为S 1,△EOF 的面积为S 2,则S 1、S 2的数量关系是( )A .S 1=S 2B .2S 1=S 2C .3S 1=S 2D .4S 1=S 213.已知正比例函数y =mx 图象与反比例函数y =图象的一个交点是A (3,1),则不等式mx <的解集是 .14.如图,过双曲线y =上的A 、B 两点分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为C 、E 、D 、F ,AC 、BF 相交于点G ,矩形ADFG 和矩形BECG 的面积分别为S 1、S 2,若S 阴影=1,则S 1+S 2= .15.如图,平行四边形ABOC 的顶点A 、C 分别在y 轴和x 轴上,顶点B 在反比例函数的图象上,则平行四边形ABOC 的面积是 .16.在以O 为原点的直角坐标系中,矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上,反比例函数y =(x >0)的图象与AB 相交于点D ,与BC 相交于点E ,若BD =3AD ,且△ODE 的面积为15,则k 的值是 .17.如图,在平面直角坐标系中,直线y =﹣4x +4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,以AB 为边在第一象限作正方形ABCD ,点D 在双曲线y =上;将正方形ABCD 沿x 轴负方向平移a 个单位长度后,点C 恰好落在双曲线在第一象限的分支上,则a 的值是 .18.如图,在平面直角坐标系中,直线AB与x轴交于点B,与y轴交于点A,直线AB与反比例函数y=(m>0)在第一象限的图象交于点C、点D,其中点C的坐标为(1,8),点D的坐标为(4,n).(1)分别求m、n的值;(2)连接OD,求△ADO的面积.19.已知在平面直角坐标中,点A(m,n)在第一象限内,AB⊥OA且AB=OA,反比例函数y =的图象经过点A,(1)当点B的坐标为(4,0)时(如图),求这个反比例函数的解析式;(2)当点B在反比例函数y=的图象上,且在点A的右侧时(如图2),用含字母m,n 的代数式表示点B的坐标;(3)在第(2)小题的条件下,求的值.20.如图,已知直线y =ax +b 与双曲线y =(x >0)交于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,点A 与点B 不重合,直线AB 与x 轴交于点P (x 0,0),与y 轴交于点C(1)若A 、B 两点坐标分别为(1,4),(4,y 2),求点P 的坐标;(2)若b =y 1+1,x 0=6,且y 1=2y 2,求A ,B 两点的坐标;(3)若将(1)中的点A ,B 绕原点O 顺时针旋转90°,A 点对应的点为A ′,B 点的对应点为B ′点,连接AB ′,A ′B ′,动点M 从A 点出发沿线段AB ′以每秒1个单位长度的速度向终点B ′运动;动点N 同时从B ′点出发沿线段B ′A ′以每秒1个单位长度的速度向终点A ′运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t 秒,试探究:是否存在使△MNB ′为等腰直角三角形的t 值,若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.21.如图,反比例函数的图象经过点C ,过点C 作y 轴、x 轴的垂线,垂足分别为点A 、B ,过点P (0,4)的直线交直线AC 于点D 、交直线OB 于点E .(1)若PD =DE ,直线PD 平分矩形AOBC 的面积直接写出:S 矩形AOBC = ,直线PD 的解析式: ;(2)在(1)的条件下,将过点P 的直线绕点P 旋转,连接DO ,若DO 平分∠ADE ,求旋转后直线的解析式: .(3)在(1)的条件下,将过点P 的直线沿y 轴平移,再将矩形ABCD 沿过点P 的直线翻折,使点O 落在反比例函数图象上M 点处,求M 点的坐标.参考答案一.选择题1.解:A 、当x =0时,y =﹣3,(0,0)不在y =2x ﹣3上;B 、反比例函数一定不过原点;C 、当x =0时,y =﹣1,(0,0)不在y =x 2﹣1上.D .x =0时,y =0,综上可得:只有D 正确.故选:D .2.解:∵函数y =的图象过点(2,﹣3),∴k =2×(﹣3)=﹣6<0,∴函数的图象在二、四象限,故选:B .3.解:∵反比例函数为y =(k <0),∴函数图象在第二、四象限,在每个象限内,y 随着x 的增大而增大,又∵y 1>0>y 2>y 3,∴x 1<0,x 2>x 3>0,∴x 1<x 3<x 2,故选:C .4.解:作PE ⊥x 轴于E ,PF ⊥y 轴于F ,如图,∵点P 为矩形AOBC 对角线的交点,∴矩形OEPF 的面积=矩形AOBC 的面积=×4=1,∴|k |=1,而k <0,∴k=﹣1,故选:C.5.解:①∵直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,A点的横坐标为3,∴点A的纵坐标为:y=×3=2,∴点A(3,2),∴k=3×2=6,故①正确;②∵直线y=x与双曲线y=(k>0)是中心对称图形,∴A点与B点关于原点O中心对称,故②正确;③∵直线y=x与双曲线y=(k>0)交于A、B两点,∴B(﹣3,﹣2),∴关于x的不等式<0的解集为:x<﹣3或0<x<3,故③正确;④过点C作CD⊥x轴于点D,过点A作AE⊥x轴于点E,∵点C的纵坐标为6,∴把y=6代入y=得:x=1,∴点C(1,6),∴S△AOC =S△OCD+S梯形AEDC﹣S△AOE=S梯形AEDC=×(2+6)×(3﹣1)=8,故④正确;故选:A.6.解:(1)作DF⊥x轴于点F.在y=﹣3x+3中,令x=0,则y=3,即B(0,2),令y=0,则x=1,即A(1,0),则OB=2,OA=1,∵∠BAD=90°,∴∠BAO+∠DAF=90°,∵Rt△ABO中,∠BAO+∠DAF=90°,∴∠DAF=∠OBA,在△OAB与△FDA中,,∴△OAB≌△FDA(AAS),∴AF=OB=2,DF=OA=1,∴OF=3,∴D(3,1),∵点D在反比例函数y=(k≠0)的图象上,∴1=,解得k=3;作CE⊥y轴,交反比例函数的图象于点G,∵同(1)可得△OAB≌△EBC,∴OB=EC=2,OA=BE=1,∴OE=3,C(2,3),∵点C的纵坐标是3,∴G(1,3),∴CG=1,即m=1.故选:A.7.解:∵二次函数y=ax2+bx+c的图象分别与x轴的正半轴和负半轴交于A、B两点,且OA <OB,∴a<0,b<0,c>0,∴一次函数y=ax+b的图象在第二、三、四象限,反比例函数y =的图象在第二、四象限, 故选:D .8.解:由题意可得,OA =2,AF =2,∴∠AFO =∠AOF ,∵AB ∥OF ,∠BAO =∠OAF ,∴∠BAO =∠AOF ,∠BAF +∠AFO =180°,解得,∠BAO =60°,∴∠DOC =60°,∵AO =2,AD =6,∴OD =4,∴点D 的横坐标是:﹣4×cos60°=﹣2,纵坐标为:﹣4×sin60°=﹣2, ∴点D 的坐标为(﹣2,﹣2),∵D 在反比例函数y =(x <0)的图象上, ∴﹣2=,得k =4,故选:A .9.解:根据题意得S 1+S 阴影=S 2+S 阴影=4,而S 阴影=2,所以S 1=S 2=2,所以S 1+S 2=4.故选:B .10.解:设点A (a ,)∵AB ∥x 轴∴点B 纵坐标为,且点B 在反比例函数y =图象上, ∴点B 坐标(﹣,) ∴S △ABP =(a +)×=5 故选:A .11.解:设反比例函数的解析式为y =,∵反比例函数的图象经过点P (4,﹣1),可得k =﹣4<0,则它的图象在第二、四象限.故选:D .12.解:设A 点坐标为(m ,﹣n ),过点O 的直线与双曲线y =交于A 、B 两点,则A 、B 两点关与原点对称,则B 的坐标为(﹣m ,n );矩形OCBD 中,易得OD =n ,OC =m ;则S 1=mn ;在Rt △EOF 中,AE =AF ,故A 为EF 中点,由中位线的性质可得OF =2n ,OE =2m ;则S 2=OF ×OE =2mn ;故2S 1=S 2.故选:B .二.填空题(共5小题)13.解:∵正比例函数y =mx 图象与反比例函数y =图象的一个交点是A (3,1), ∴另一交点B 为(﹣3,﹣1).观察函数图象,发现:当x <﹣3或0<x <3时,正比例函数图象在反比例函数图象的下方,∴mx <的解集是0<x <3或x <﹣3故答案为0<x <3或x <﹣3.14.解:∵过双曲线y=上的A、B两点分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为C、E,∴S1+S阴影=S2+S阴影=3,∵S阴影=1,∴S1=S2=2,∴S1+S2=4,故答案为4.15.解:作BD⊥x轴于D,∴四边形AODB是矩形,∵顶点B在反比例函数的图象上,∴四边形AODB的面积为3,∵平行四边形ABOC的面积=矩形AODB的面积,∴平行四边形ABOC的面积为3,故答案为3.16.解:∵四边形OCBA是矩形,∴AB=OC,OA=BC,设B点的坐标为(a,b),∵BD=3AD,∴D(,b)∵D、E在反比例函数的图象上,∴=k,设E的坐标为(a,y),∴ay=k∴E(a,),∵S△ODE =S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣k﹣k﹣••(b﹣)=15,∴4k﹣k﹣+=15,解得:k=8,故答案为:8.17.解:当x=0时,y=4,∴B(0,4),当y=0时,x=1,∴A(1,0),∴OA=1,OB=4,∵ABCD是正方形,∴AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°,过点D、C作DM⊥x轴,CN⊥y轴,垂足为M、N,∴∠ABO=∠BCN=∠DAM,∵∠AOB=∠BNC=∠AMD=90°,∴△AOB≌△BNC≌△DMA(AAS),∴OA=DM=BN=1,AM=OB=CN=4∴OM=1+4=5,ON=4+1=5,∴C(4,5),D(5,1),把D(5,1)代入y=得:k=5,∴y=,当y=5时,x=1,∴E(1,5),点C向左平移到E时,平移距离为4﹣1=3,即:a=3,故答案为:3.三.解答题(共4小题)18.解:(1)∵反比例函数y=(m>0)在第一象限的图象交于点C(1,8),∴8=,∴m=8,∴函数解析式为y=,将D(4,n)代入y=得,n==2.(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,由题意得,解得,∴直线AB的函数解析式为y=﹣2x+10,令x=0,则y=10,∴A(0,10),∴△ADO的面积==20.19.解:(1)过A作AC⊥OB,交x轴于点C,∵OA=AB,∠OAB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形,∴AC=OC=BC=OB=2,∴A(2,2),将x=2,y=2代入反比例解析式得:2=,即k=4,则反比例解析式为y=;(2)过A作AE⊥x轴,过B作BD⊥AE,∵∠OAB=90°,∴∠OAE+∠BAD=90°,∵∠AOE+∠OAE=90°,∴∠BAD=∠AOE,在△AOE和△BAD中,,∴△AOE≌△BAD(AAS),∴AE=BD=n,OE=A D=m,∴DE=AE﹣AD=n﹣m,OE+BD=m+n,则B(m+n,n﹣m);(3)由A与B都在反比例图象上,得到mn=(m+n)(n﹣m),整理得:n2﹣m2=mn,即()2+﹣1=0,这里a=1,b=1,c=﹣1,∵△=1+4=5,∴=,∵A(m,n)在第一象限,∴m>0,n>0,则=.20.解:(1)∵直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(1,4)∴k=1×4=4,∴y=,∵B (4,y 2)在反比例函数的图象上,∴y 2==1,∴B (4,1),∵直线y =ax +b 经过A 、B 两点, ∴,解得,∴直线为y =﹣x +5,令y =0,则x =5,∴P (5,0);(2)如图,作AD ⊥y 轴于D ,AE ⊥x 轴于E ,BF ⊥x 轴于F ,BG ⊥y 轴于G ,AE 、BG 交于H , 则AD ∥BG ∥x 轴,AE ∥BF ∥y 轴, ∴=,==,∵b =y 1+1,y 1=2y 2, ∴=,==,∴B (, y 1),∵A ,B 两点都是反比例函数图象上的点, ∴x 1•y 1=•y 1,解得x 1=2, 代入=,解得y 1=2,∴A (2,2),B (4,1);(3)存在,如图2,∵A 、B 两点坐标分别为(1,4),(4,1),将B 绕原点O 顺时针旋转90°, ∴B ′(1,﹣4),∴AB ′=8,由题意得:AM =BN =t ,∴B ′M =8﹣t ,∵△MNB ′为等腰直角三角形,∴①当∠B ′N 1M 1=90°,即B ′M 1=B ′N 1, ∴8﹣t =t , 解得:t =8﹣8;②当∠B ′M 2N 2=90°,即B ′N 2=B ′M 2, ∴t =(8﹣t ),解得:t =16﹣8; 综上所述,t 的值为8﹣8或16﹣8.21.解:(1)∵AD ∥OE ,PD =DE ,OP =4,∴PA =AO =2,∴C (4,2),∴S 矩形ACBO =2×4=8,∵PD 平分矩形ACBO 的面积,∴直线PE 经过OC 的中点(2,1)设直线PD 的解析式为y =kx +b , 则有,∴直线PD 的解析式为y =﹣x +4.故答案为8,y=﹣x+4(2)如图,连接OD.∵OD平分∠ADE,∴∠ADO=∠ODE,∵AD∥OE,∴∠ADO=∠DOE,∴∠DOE=∠EDO,∴OE=DE=PD,∴PE=2OE,∴∠OPE=30°,∴OE=OP•tan30°=,∴E(,0),∴直线PE的解析式为y=﹣x+4,根据对称性可知:直线y=x+4也满足条件,故答案为y=±x﹣4(3)如图,作OM⊥PE交反比例函数的图象于M,点M即为所求.∵OM⊥PE,∴直线OM的解析式为y=x,由,解得或(舍弃),∴M(2,).。
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题(含答案解析)
中考数学复习----反比例函数之定义、图像与性质知识点总结与练习题(含答案解析)知识点总结1. 反比例函数的定义:形如()0≠=k xky 的函数叫做反比例函数。
有时也用k xy =或1−=kx y 表示。
2. 反比例函数的图像:反比例函数的图像是双曲线。
3. 反比例函数的性质与图像:反比例函数()0≠=k xky k 的符号0>k0<k所在象限一、三象限二、四象限大致图像增减性在一个支上(每一个象限内),y 随x 的增大而减小。
在一个支上(每一个象限内),y 随x 的增大而增大。
对称性图像关于原点对称练习题1.(2022•黔西南州)在平面直角坐标系中,反比例函数y =xk(k ≠0)的图像如图所示,则一次函数y =kx +2的图像经过的象限是( ) A .一、二、三 B .一、二、四C .一、三、四D .二、三、四【分析】先根据反比例函数的图像位于二,四象限,可得k <0,由一次函数y =kx +2中,k <0,2>0,可知它的图像经过的象限. 【解答】解:由图可知:k <0,∴一次函数y =kx +2的图像经过的象限是一、二、四. 故选:B .2.(2022•上海)已知反比例函数y =xk(k ≠0),且在各自象限内,y 随x 的增大而增大,则下列点可能在这个函数图像上的为( ) A .(2,3)B .(﹣2,3)C .(3,0)D .(﹣3,0)【分析】根据反比例函数的性质判断即可.【解答】解:因为反比例函数y =(k ≠0),且在各自象限内,y 随x 的增大而增大, 所以k <0,A .2×3=6>0,故本选项不符合题意;B .﹣2×3=﹣6<0,故本选项符合题意;C .3×0=0,故本选项不符合题意;D .﹣3×0=0,故本选项不符合题意; 故选:B .3.(2022•广东)点(1,y 1),(2,y 2),(3,y 3),(4,y 4)在反比例函数y =x4图像上,则y 1,y 2,y 3,y 4中最小的是( ) A .y 1B .y 2C .y 3D .y 4【分析】根据k >0可知增减性:在每一象限内,y 随x 的增大而减小,根据横坐标的大小关系可作判断. 【解答】解:∵k =4>0,∴在第一象限内,y 随x 的增大而减小,∵(1,y 1),(2,y 2),(3,y 3),(4,y 4)在反比例函数y =图像上,且1<2<3<4, ∴y 4最小. 故选:D .4.(2022•云南)反比例函数y =x6的图像分别位于( ) A .第一、第三象限 B .第一、第四象限 C .第二、第三象限D .第二、第四象限【分析】根据反比例函数的性质,可以得到该函数图像位于哪几个象限,本题得以解决.【解答】解:反比例函数y =,k =6>0, ∴该反比例函数图像位于第一、三象限, 故选:A .5.(2022•镇江)反比例函数y =xk(k ≠0)的图像经过A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1<0<x 2时,y 1>y 2,写出符合条件的k 的值 (答案不唯一,写出一个即可). 【分析】先根据已知条件判断出函数图像所在的象限,再根据系数k 与函数图像的关系解答即可.【解答】解:∵反比例函数y =(k ≠0)的图像经过A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)两点,当x 1<0<x 2时,y 1>y 2,∴此反比例函数的图像在二、四象限, ∴k <0,∴k 可为小于0的任意实数,例如,k =﹣1等. 故答案为:﹣1.6.(2022•福建)已知反比例函数y =xk的图像分别位于第二、第四象限,则实数k 的值可以是 .(只需写出一个符合条件的实数)【分析】根据图像位于第二、四象限,易知k <0,写一个负数即可. 【解答】解:∵该反比例图像位于第二、四象限, ∴k <0,∴k 取值不唯一,可取﹣3, 故答案为:﹣3(答案不唯一).7.(2022•成都)在平面直角坐标系xOy 中,若反比例函数y =xk 2−的图像位于第二、四象限,则k 的取值范围是 .【分析】根据反比例函数的性质列不等式即可解得答案. 【解答】解:∵反比例函数y =的图像位于第二、四象限,∴k ﹣2<0, 解得k <2, 故答案为:k <2.8.(2022•襄阳)二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示,则一次函数y =bx +c 和反比例函数y =xa在同一平面直角坐标系中的图像可能是( ) A . B .C .D .【分析】根据二次函数图像开口向下得到a <0,再根据对称轴确定出b ,根据与y 轴的交点确定出c <0,然后确定出一次函数图像与反比例函数图像的情况,即可得解. 【解答】解:∵二次函数图像开口方向向下, ∴a <0,∵对称轴为直线x =﹣>0,∴b >0,∵与y 轴的负半轴相交, ∴c <0,∴y =bx +c 的图像经过第一、三、四象限, 反比例函数y =图像在第二四象限, 只有D 选项图像符合. 故选:D .9.(2022•菏泽)根据如图所示的二次函数y =ax 2+bx +c 的图像,判断反比例函数y =xa与一次函数y =bx +c 的图像大致是( )A .B .C .D .【分析】先根据二次函数的图像,确定a 、b 、c 的符号,再根据a 、b 、c 的符号判断反比例函数y =与一次函数y =bx +c 的图像经过的象限即可. 【解答】解:由二次函数图像可知a >0,c <0, 由对称轴x =﹣>0,可知b <0,所以反比例函数y =的图像在一、三象限,一次函数y =bx +c 图像经过二、三、四象限. 故选:A .10.(2022•安顺)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像如图所示,则一次函数y =ax +b 和反比例函数y =xc(c ≠0)在同一直角坐标系中的图像可能是( ) A . B .C .D .【分析】直接利用二次函数图像经过的象限得出a ,b ,c 的取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案.【解答】解:∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图像开口向上, ∴a >0,∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧, ∴a 、b 异号,即b <0. ∵抛物线交y 轴的负半轴,∴c <0,∴一次函数y =ax +b 的图像经过第一、三、四象限,反比例函数y =(c ≠0)在二、四象限. 故选:A .11.(2022•西藏)在同一平面直角坐标系中,函数y =ax +b 与y =axb(其中a ,b 是常数,ab ≠0)的大致图像是( )A .B .C .D .【分析】根据a 、b 的取值,分别判断出两个函数图像所过的象限,要注意分类讨论. 【解答】解:若a >0,b >0,则y =ax +b 经过一、二、三象限,反比例函数y =(ab ≠0)位于一、三象限,若a >0,b <0,则y =ax +b 经过一、三、四象限,反比例函数数y =(ab ≠0)位于二、四象限, 若a <0,b >0,则y =ax +b 经过一、二、四象限,反比例函数y =(ab ≠0)位于二、四象限, 若a <0,b <0,则y =ax +b 经过二、三、四象限,反比例函数y =(ab ≠0)位于一、三象限, 故选:A .12.(2022•张家界)在同一平面直角坐标系中,函数y =kx +1(k ≠0)和y =xk(k ≠0)的图像大致是( )A.B.C.D.【分析】分k>0或k<0,根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案.【解答】解:当k>0时,一次函数y=kx+1经过第一、二、三象限,反比例函数y=位于第一、三象限;当k<0时,一次函数y=kx+1经过第一、二、四象限,反比例函数y=位于第二、四象限;故选:D.13.(2022•绥化)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图像如图所示,则一次函数y=ax+b2﹣4ac与反比例函数y=xc ba++24在同一平面直角坐标系中的图像大致是()A.B.C.D.【分析】由二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图像判断a,b2﹣4ac及4a+2b+c的符号,即可得到答案.【解答】解:∵二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图像开口向上,∴a>0,∵二次函数y =ax 2+bx +c 的部分函数图像顶点在x 轴下方,开口向上, ∴二次函数y =ax 2+bx +c 的图像与x 轴有两个交点,b 2﹣4ac >0, ∴一次函数y =ax +b 2﹣4ac 的图像位于第一,二,三象限,由二次函数y =ax 2+bx +c 的部分函数图像可知,点(2,4a +2b +c )在x 轴上方, ∴4a +2b +c >0, ∴y =的图像位于第一,三象限,据此可知,符合题意的是B , 故选:B .14.(2022•贺州)已知一次函数y =kx +b 的图像如图所示,则y =﹣kx +b 与y =xb的图像为( )A .B .C .D .【分析】本题形数结合,根据一次函数y =kx +b 的图像位置,可判断k 、b 的符号;再由一次函数y =﹣kx +b ,反比例函数y =中的系数符号,判断图像的位置.经历:图像位置﹣系数符号﹣图像位置.【解答】解:根据一次函数y =kx +b 的图像位置,可判断k >0、b >0. 所以﹣k <0.再根据一次函数和反比例函数的图像和性质, 故选:A .15.(2022•广西)已知反比例函数y =xb(b ≠0)的图像如图所示,则一次函数y =cx ﹣a (c ≠0)和二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )A .B .C .D .【分析】本题形数结合,根据反比例函数y =(b ≠0)的图像位置,可判断b >0;再由二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图像性质,排除A ,B ,再根据一次函数y =cx ﹣a (c ≠0)的图像和性质,排除C .【解答】解:∵反比例函数y =(b ≠0)的图像位于一、三象限, ∴b >0;∵A 、B 的抛物线都是开口向下,∴a <0,根据同左异右,对称轴应该在y 轴的右侧, 故A 、B 都是错误的.∵C 、D 的抛物线都是开口向上,∴a >0,根据同左异右,对称轴应该在y 轴的左侧, ∵抛物线与y 轴交于负半轴, ∴c <0由a >0,c <0,排除C . 故选:D .16.(2022•滨州)在同一平面直角坐标系中,函数y =kx +1与y =﹣xk(k 为常数且k ≠0)的图像大致是( )A .B .C .D .【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断.【解答】解:当k >0时,则﹣k <0,一次函数y =kx +1图像经过第一、二、三象限,反比例函数图像在第二、四象限,所以A 选项正确,C 选项错误;当k <0时,一次函数y =kx +1图像经过第一、二,四象限,所以B 、D 选项错误. 故选:A .17.(2022•德阳)一次函数y =ax +1与反比例函数y =﹣xa在同一坐标系中的大致图像是( )A .B .C .D .【分析】根据一次函数与反比例函数图像的特点,可以从a >0,和a <0,两方面分类讨论得出答案.【解答】解:分两种情况:(1)当a >0,时,一次函数y =ax +1的图像过第一、二、三象限,反比例函数y =﹣图像在第二、四象限,无选项符合;(2)当a <0,时,一次函数y =ax +1的图像过第一、二、四象限,反比例函数y =﹣图像在第一、三象限,故B 选项正确. 故选:B .18.(2022•阜新)已知反比例函数y =x k (k ≠0)的图像经过点(﹣2,4),那么该反比例函数图像也一定经过点( )A .(4,2)B .(1,8)C .(﹣1,8)D .(﹣1,﹣8)【分析】先把点(﹣2,4)代入反比例函数的解析式求出k 的值,再对各选项进行逐一判断即可.【解答】解:∵反比例函数y =(k ≠0)的图像经过点(﹣2,4),∴k =﹣2×4=﹣8,A 、∵4×2=8≠﹣8,∴此点不在反比例函数的图像上,故本选项错误;B 、∵1×8=8≠﹣8,∴此点不在反比例函数的图像上,故本选项错误;C 、﹣1×8=﹣8,∴此点在反比例函数的图像上,故本选项正确;D 、(﹣1)×(﹣8)=8≠﹣8,∴此点不在反比例函数的图像上,故本选项错误. 故选:C .19.(2022•襄阳)若点A (﹣2,y 1),B (﹣1,y 2)都在反比例函数y =x2的图像上,则y 1,y 2的大小关系是( )A .y 1<y 2B .y 1=y 2C .y 1>y 2D .不能确定 【分析】根据反比例函数图像上点的坐标特征即可求解.【解答】解:∵点A (﹣2,y 1),B (﹣1,y 2)都在反比例函数y =的图像上,k =2>0,∴在每个象限内y 随x 的增大而减小,∵﹣2<﹣1,∴y 1>y 2,故选:C .20.(2022•海南)若反比例函数y =xk (k ≠0)的图像经过点(2,﹣3),则它的图像也一定经过的点是( )A .(﹣2,﹣3)B .(﹣3,﹣2)C .(1,﹣6)D .(6,1) 【分析】将(2,﹣3)代入y =(k ≠0)即可求出k 的值,再根据k =xy 解答即可.【解答】解:∵反比例函数y =(k ≠0)的图像经过点(2,﹣3),∴k =2×(﹣3)=﹣6,A 、﹣2×(﹣3)=6≠﹣6,故A 不正确,不符合题意;B 、(﹣3)×(﹣2)=6≠﹣6,故B 不正确,不符合题意;C 、1×(﹣6)=﹣6,故C 正确,符合题意,D 、6×1=6≠﹣6,故D 不正确,不符合题意.故选:C .21.(2022•武汉)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在反比例函数y =x6的图像上,且x 1<0<x 2,则下列结论一定正确的是( )A .y 1+y 2<0B .y 1+y 2>0C .y 1<y 2D .y 1>y 2 【分析】先根据反比例函数y =判断此函数图像所在的象限,再根据x 1<0<x 2判断出A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)所在的象限即可得到答案.【解答】解:∵反比例函数y =中的6>0,∴该双曲线位于第一、三象限,且在每一象限内y 随x 的增大而减小,∵点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在反比例函数y =的图像上,且x 1<0<x 2,∴点A 位于第三象限,点B 位于第一象限,∴y 1<y 2.故选:C .22.(2022•天津)若点A (x 1,2),B (x 2,﹣1),C (x 3,4)都在反比例函数y =x8的图像上,则x 1,x 2,x 3的大小关系是( )A .x 1<x 2<x 3B .x 2<x 3<x 1C .x 1<x 3<x 2D .x 2<x 1<x 3 【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标,再比较大小.【解答】解:点A (x 1,2),B (x 2,﹣1),C (x 3,4)都在反比例函数y =的图像上, ∴x 1==4,x 2==﹣8,x 3==2. ∴x 2<x 3<x 1,故选:B .23.(2022•淮安)在平面直角坐标系中,将点A (2,3)向下平移5个单位长度得到点B ,若点B 恰好在反比例函数y =xk 的图像上,则k 的值是 .【分析】点A (2,3)向下平移5个单位长度得到点B (2,﹣2),代入y =利用待定系数法即可求得k 的值.【解答】解:将点A (2,3)向下平移5个单位长度得到点B ,则B (2,﹣2), ∵点B 恰好在反比例函数y =的图像上,∴k =2×(﹣2)=﹣4,故答案为:﹣4.24.(2022•北京)在平面直角坐标系xOy 中,若点A (2,y 1),B (5,y 2)在反比例函数y =xk (k >0)的图像上,则y 1 y 2(填“>”“=”或“<”). 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k 确定函数图像所在的象限,再根据各象限内点的坐标特征及函数的增减性解答.【解答】解:∵k >0,∴反比例函数y =(k >0)的图像在一、三象限,∵5>2>0,∴点A (2,y 1),B (5,y 2)在第一象限,y 随x 的增大而减小,∴y 1>y 2,故答案为:>.。
中考数学总复习《反比例函数》练习题(附答案)
中考数学总复习《反比例函数》练习题(附答案)班级:___________姓名:___________考号:_____________一、单选题1.一次函数y1=k1x+b(k1≠0)与反比例函数y2=k2x(k2≠0)的图象交于点A(−1,−2),点B(2,1).当y1<y2时,x的取值范围是()A.x<−1B.−1<x<0或x>2 C.0<x<2D.0<x<2或x<−12.关于函数y=−2x,下列说法中正确的是()A.图像位于第一、三象限B.图像与坐标轴没有交点C.图像是一条直线D.y的值随x的值增大而减小3.如图,在直角坐标系中,点A是双曲线y= 3x(x>0)上的一个动点,点B是x轴正半轴上的一个定点,当点A的横坐标逐渐增大时,△OAB的面积将会()A.逐渐减小B.不变C.逐渐增大D.先减小后增大4.在同一平面直角坐标系中,反比例函数y=-8x与一次函数y=-x+2交于A,B两点,O为坐标原点,则△AOB的面积为()A.2B.6C.10D.85.如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(4,2),C(4,4).若反比例函数y= k x在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是()A.1≤k≤4B.2≤k≤8C.2≤k≤16D.8≤k≤166.如图,过反比例函数y= 1x(x>0)的图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连接OA、OB,设AC与OB的交点为E,△AOE与梯形ECDB的面积分别为S1、S2,比较它们的大小,可得()A.S1>S2B.S1=S2C.S l<S2D.大小关系不能确定7.某村耕地总面积为50公顷,且该村人均耕地面积y(单位:公顷/人)与总人口x(单位:人)的函数图象如图所示,则下列说法正确的是()A.该村人均耕地面积随总人口的增多而增多B.该村人均耕地面积y与总人口x成正比例C.若该村人均耕地面积为2公顷,则总人口有100人D.当该村总人口为50人时,人均耕地面积为1公顷8.在同一直角坐标系中,函数y=kx+1与y=−k x(k≠0)的图象大致是()A.B.C.D.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,函数y=kx+b(k≠0)与y= mx(m≠0)的图象相交于点A(-2,3),B(6,-1),则不等式kx+b>mx的解集为()A.x<−2B.−2<x<0或x>6 C.x<6D.0<x<6或x<−210.已知两个函数y1=k1x+b与y2= k2x的图象如图所示,其中A(-1,2),B(2,-1),则不等式k1x+b>k2x的解集为()A.x<−1或x>2B.x<−1或0<x<2 C.−1<x<2D.−1<x<0或0<x<211.在反比例函数y=−3x图象上有三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),若x1<0<x2<x3,则下列结论正确的是()A.y3<y2<y1B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2 12.图所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点,M为EF的中点,则下列结论正确的是A.当x=3时,EC<EM B.当y=9时,EC>EMC.当x增大时,EC·CF的值增大。
中考数学反比例函数综合经典题及答案
中考数学反比例函数综合经典题及答案一、反比例函数1.已知一次函数y=kx+b与反比例函数y= 交于A(﹣1,2),B(2,n),与y轴交于C 点.(1)求反比例函数和一次函数解析式;(2)如图1,若将y=kx+b向下平移,使平移后的直线与y轴交于F点,与双曲线交于D,E两点,若S△ABD=3,求D,E的坐标.(3)如图2,P为直线y=2上的一个动点,过点P作PQ∥y轴交直线AB于Q,交双曲线于R,若QR=2QP,求P点坐标.【答案】(1)解:点A(﹣1,2)在反比例函数y= 的图象上,∴m=(﹣1)×2=﹣2,∴反比例函数的表达式为y=﹣,∵点B(2,n)也在反比例函数的y=﹣图象上,∴n=﹣1,即B(2,﹣1)把点A(﹣1,2),点B(2,﹣1)代入一次函数y=kx+b中,得,解得:k=﹣1,b=1,∴一次函数的表达式为y=﹣x+1,答:反比例函数的表达式是y=﹣,一次函数的表达式是y=﹣x+1;(2)解:如图1,连接AF,BF,∵DE∥AB,∴S△ABF=S△ABD=3(同底等高的两三角形面积相等),∵直线AB的解析式为y=﹣x+1,∴C(0,1),设点F(0,m),∴AF=1﹣m,∴S△ABF=S△ACF+S△BCF= CF×|x A|+ CF×|x B|= (1﹣m)×(1+2)=3,∴m=﹣1,∴F(0,﹣1),∵直线DE的解析式为y=﹣x+1,且DE∥AB,∴直线DE的解析式为y=﹣x﹣1①.∵反比例函数的表达式为y=﹣②,联立①②解得,或∴D(﹣2,1),E(1,﹣2);(3)解:如图2由(1)知,直线AB的解析式为y=﹣x﹣1,双曲线的解析式为y=﹣,设点P(p,2),∴Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),PQ=|2+p+1|,QR=|﹣p﹣1+ |,∵QR=2QP,∴|﹣p﹣1+ |=2|2+p+1|,解得,p= 或p= ,∴P(,2)或(,2)或(,2)或(,2).【解析】【分析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值,从而可得到反比例函数的解析式;把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式可求得一次函数的解析式;(2)依据同底等高的两个三角形的面积相等可得到S△ABF=S△ABD=3,再利用三角形的面积公式可求得点F的坐标,即可得出直线DE的解析式,即可求出交点坐标;(3)设点P(p,2),则Q(p,﹣p﹣1),R(p,﹣),然后可表示出PQ与QR的长度,最后依据QR=2QP,可得到关于p的方程,从而可求得p的值,从而可得到点P的坐标.2.如图,一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y= 的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求函数y=kx+b和y= 的表达式;(2)已知点C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点M,使得MB=MC,求此时点M 的坐标.【答案】(1)解:把点A(4,3)代入函数y= 得:a=3×4=12,∴y= .OA= =5,∵OA=OB,∴OB=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把B(0,﹣5),A(4,3)代入y=kx+b得:解得:∴y=2x﹣5.(2)解:∵点M在一次函数y=2x﹣5上,∴设点M的坐标为(x,2x﹣5),∵MB=MC,∴解得:x=2.5,∴点M的坐标为(2.5,0).【解析】【分析】(1)先求反比例函数关系式,由OA=OB,可求出B坐标,再代入一次函数解析式中求出解析式;(2)M点的纵坐标可用x 的式子表示出来,可套两点间距离公式,表示出MB、MC,令二者相等,可求出x .3.如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折,得到一个新函数的图象(图中的“V形折现”)(1)类比研究函数图象的方法,请列举新函数的两条性质,并求新函数的解析式;(2)如图2,双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点),过点D作x轴的平行线,与新函数图象交于另一点E,与双曲线交于点P.①试求△PAD的面积的最大值;②探索:在点D运动的过程中,四边形PAEC能否为平行四边形?若能,求出此时点D的坐标;若不能,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,新函数的性质:1.函数的最小值为0;2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得,点A的坐标为(-3,0),分两种情况:①当x-3时,y=x+3;②当x<-3时,设函数解析式为y=kx+b,在直线y=x+3中,当x=-4时,y=-1,则点(-4,-1)关于x轴的对称点为(-4,1),把点(-4,1),(-3,0),代入y=kx+b中,得:,解得:,∴y=-x-3.综上,新函数的解析式为y=.(2)解:如图2,①∵点C(1,a)在直线y=x+3上,∴a=4,∵点C(1,4)在反比例函数y=上,∴k=4,∴反比例函数的解析式为y=.∵点D是线段AC上一动点,∴设点D的坐标为(m,m+3),且-3<m<1,∵DP∥x轴,且点P在双曲线上,∴点P的坐标为(,m+3),∴PD=-m,∴S△PAD=(-m)(m+3)=m2-m+2=(m+)2+,∵a=<0,∴当m=时,S有最大值,最大值为,又∵-3<<1,∴△PAD的面积的最大值为.②在点D的运动的过程中,四边形PAEC不能为平行四边形,理由如下:当点D为AC的中点时,其坐标为(-1,2),此时点P的坐标为(2,2),点E的坐标为(-5,2),∵DP=3,DE=4,∴EP与AC不能互相平分,∴四边形PAEC不能为平行四边形.【解析】【分析】(1)根据一次函数的性质,结合函数图象写出新函数的两条性质;利用待定系数法求新函数解析式,注意分两种情况讨论;(2)①先求出点C的坐标,再利用待定系数法求出反比例函数解析式,设出点D的坐标,进而得到点P的坐标,再根据三角形的面积公式得出函数解析式,利用二次函数的性质求解即可;②先求出A的中点D的坐标,再计算DP、DE的长度,如果对角线互相平分,则能成为平行四边形,如若对角线不互相平分,则不能成为平行四边形.4.如图,一次函数y=﹣x+3的图象与反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象交于A(1,a),B两点.(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标;(2)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,求满足条件的点P的坐标.【答案】(1)解:∵点A(1,a)在一次函数y=﹣x+3的图象上,∴a=﹣1+3=2,∴点A(1,2).∵点A(1,2)在反比例y= (k为常数,且k≠0)的图象上,∴k=1×2=2,∴反比例函数的表达式为y= .联立一次函数与反比例函数关系式成方程组,得:,解得:,,∴点B(2,1)(2)解:作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,如图所示.∵点B、B′关于x轴对称,∴PB=PB′.∵点A、P、B′三点共线,∴此时PA+PB取最小值.设直线AB′的函数表达式为y=mx+n(m≠0),将A(1,2)、B(2,﹣1)代入y=mx+n,,解得:,∴直线AB′的函数表达式为y=﹣3x+5.当y=﹣3x+5=0时,x= ,∴满足条件的点P的坐标为(,0).【解析】【分析】(1)将x=1代入直线AB的函数表达式中即可求出点A的坐标,由点A 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的表达式,联立两函数表达式成方程组,通过解方程组即可求出点B的坐标;(2)作B点关于x轴的对称点B′(2,﹣1),连接AB’,交x轴于点P,连接PB,由两点之间线段最短可得出此时PA+PB 取最小值,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的函数表达式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标.5.【阅读理解】我们知道,当a>0且b>0时,(﹣)2≥0,所以a﹣2 +≥0,从而a+b≥2 (当a=b时取等号),【获得结论】设函数y=x+ (a>0,x>0),由上述结论可知:当x= 即x= 时,函数y有最小值为2(1)【直接应用】若y1=x(x>0)与y2= (x>0),则当x=________时,y1+y2取得最小值为________.(2)【变形应用】若y1=x+1(x>﹣1)与y2=(x+1)2+4(x>﹣1),则的最小值是________(3)【探索应用】在平面直角坐标系中,点A(﹣3,0),点B(0,﹣2),点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点,过P点作PC⊥x轴于点C,PD⊥y轴于点D,设点P的横坐标为x,四边形ABCD的面积为S①求S与x之间的函数关系式;②求S的最小值,判断取得最小值时的四边形ABCD的形状,并说明理由.【答案】(1)1;2(2)4(3)解:①设P(x,),则C(x,0),D(0,),∴AC=x+3,BD= +2,∴S= AC•BD= (x+3)( +2)=6+x+ ;②∵x>0,∴x+ ≥2 =6,∴当x= 时,即x=3时,x+ 有最小值6,∴此时S=6+x+ 有最小值12,∵x=3,∴P(3,2),C(3,0),D(0,2),∴A、C关于x轴对称,D、B关于y轴对称,即四边形ABCD的对角线互相垂直平分,∴四边形ABCD为菱形.【解析】【解答】解:(1)∵x>0,∴y1+y2=x+ ≥2 =2,∴当x= 时,即x=1时,y1+y2有最小值2,故答案为:1;2;(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴ = =(x+1)+ ≥2 =4,∴当x+1= 时,即x=1时,有最小值4,故答案为:4;【分析】(1)直接由结论可求得其取得最小值,及其对应的x的值;(2)可把x+1看成一个整体,再利用结论可求得答案;(3)①可设P(x,),则可表示出C、D的坐标,从而可表示出AC和BD,再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积,从而可得到S 与x的函数关系式;②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值,则可得到P、C、D的坐标,可判断A、C关于x轴对称,B、D关于y轴对称,可判断四边形ABCD为菱形.6.如图,过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A,C和B,D,连接AB,BC,CD,DA.(1)四边形ABCD一定是________四边形;(直接填写结果)(2)四边形ABCD可能是矩形吗?若可能,试求此时k1,k2之间的关系式;若不能,说明理由;(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,a=,b= ,试判断a,b的大小关系,并说明理由.【答案】(1)平行(2)解:∵正比例函数y=k1x(k1>0)与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A,∴k1x= ,解得x= (因为交于第一象限,所以负根舍去,只保留正根)将x= 带入y=k1x得y= ,故A点的坐标为(,)同理则B点坐标为(,),又∵OA=OB,∴ = ,两边平方得: +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,∵k1≠k2,所以k1k2﹣1=0,即k1k2=1;(3)解:∵P(x1, y1),Q(x2, y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,∴y1= ,y2= ,∴a= = = ,∴a﹣b= ﹣ = = ,∵x2>x1>0,∴>0,x1x2>0,(x1+x2)>0,∴>0,∴a﹣b>0,∴a>b.【解析】【解答】解:(1)∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,∴OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD 是平行四边形;故答案为:平行;【分析】(1)由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称,即可得到结论.(2)联立方程求得A、B点的坐标,然后根据OA=OB,依据勾股定理得出 = ,两边平分得 +k1= +k2,整理后得(k1﹣k2)(k1k2﹣1)=0,根据k1≠k2,则k1k2﹣1=0,即可求得;(3)由P(x1,y1),Q(x2,y2)(x2>x1>0)是函数y= 图象上的任意两点,得到y1= ,y2= ,求出a= = = ,得到a﹣b= ﹣ = = >0,即可得到结果.7.如图所示,在平面直角坐标系xoy中,直线y= x+ 交x轴于点B,交y轴于点A,过点C(1,0)作x轴的垂线l,将直线l绕点C按逆时针方向旋转,旋转角为α(0°<α<180°).(1)当直线l与直线y= x+ 平行时,求出直线l的解析式;(2)若直线l经过点A,①求线段AC的长;②直接写出旋转角α的度数;(3)若直线l在旋转过程中与y轴交于D点,当△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形时,直接写出符合条件的旋转角α的度数.【答案】(1)解:当直线l与直线y= x+平行时,设直线l的解析式为y= x +b,∵直线l经过点C(1,0),∴0=+b,∴b=,∴直线l的解析式为y=x−(2)解:①对于直线y= x+,令x=0得y=,令y=0得x=−1,∴A(0,),B(−1,0),∵C(1,0),∴AC=,②如图1中,作CE∥OA,∴∠ACE=∠OAC,∵tan∠OAC=,∴∠OAC=30°,∴∠ACE=30°,∴α=30°(3)解:①如图2中,当α=15°时,∵CE∥OD,∴∠ODC=15°,∵∠OAC=30°,∴∠ACD=∠ADC=15°,∴AD=AC=AB,∴△ADB,△ADC是等腰三角形,∵OD垂直平分BC,∴DB=DC,∴△DBC是等腰三角形;②当α=60°时,易知∠DAC=∠DCA=30°,∴DA=DC=DB,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;③当α=105°时,易知∠ABD=∠ADB=∠ADC=∠ACD=75°,∠DBC=∠DCB=15°,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形;④当α=150°时,易知△BDC是等边三角形,∴AB=BD=DC=AC,∴△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形,综上所述:当α=15°或60°或105°或150°时,△ABD、△ACD、△BCD均为等腰三角形.【解析】【分析】(1)设直线l的解析式为y= x+b,把点C(1,0)代入求出b即可;(2)①求出点A的坐标,利用两点间距离公式即可求出AC的长;②如图1中,由CE∥OA,推出∠ACE=∠OAC,由tan∠OAC=,推出∠OAC=30°,即可解决问题;(3)根据等腰三角形的判定和性质,分情况作出图形,进行求解即可.8.综合实践问题情景:某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒.操作探究:(1)若准备制作一个无盖的正方体形纸盒,如图1,下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒?(2)如图2是小明的设计图,把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字?(3)如图3,有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单,小华准备将其四角各剪去一个小正方形,折成无盖长方体形纸盒.①请你在图3中画出示意图,用实线表示剪切线,虚线表示折痕.②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形,用含x的代数式表示这个纸盒的高为________cm,底面积为________cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为________cm3.【答案】(1)解:A.有田字,故A不能折叠成无盖正方体;B.只有4个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体;C.可以折叠成无盖正方体;D.有6个小正方形,无盖的应该有5个小正方形,不能折叠成无盖正方体.故答案为:C.(2)解:正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,所以与“保”字相对的字是“卫”(3)x;(20﹣2x)2;576【解析】【解答】(3)解:①如图,②设剪去的小正方形的边长为x(cm),用含字母x的式子表示这个盒子的高为xcm,底面积为(20﹣2x)2cm2,当小正方形边长为4cm时,纸盒的容积为=x(20﹣2x)2=4×(20﹣2×4)2=576(cm3).故答案为:x,(20﹣2x)2, 576【分析】(1)由平面图形的折叠及正方体的展开图解答本题;(2)正方体的平面展开图中,相对面的特点是中间必须间隔一个正方形,据此作答;(3)①根据题意,画出图形即可;②根据正方体底面积、体积,即可解答.9.请完成下面题目的证明.如图,AB为⊙O的直径,AB=8,点C和点D是⊙O上关于直线AB 对称的两个点,连接OC,AC,且∠BOC<90°,直线BC与直线AD相交于点E,过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F,与直线AD相交于点G,且∠GAF=∠GCE(1)求证:直线CG为⊙O的切线;(2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH;①求证:△CBH∽△OBC;②求OH+HC的最大值.【答案】(1)证明:由题意可知:∠CAB=∠GAF,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°∵OA=OC,∴∠CAB=∠OCA,∴∠OCA+∠OCB=90°,∵∠GAF=∠GCE,∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,∵OC是⊙O的半径,∴直线CG是⊙O的切线;(2)证明:①∵CB=CH,∴∠CBH=∠CHB,∵OB=OC,∴∠CBH=∠OCB,∴△CBH∽△OBC解:②由△CBH∽△OBC可知:∵AB=8,∴BC2=HB•OC=4HB,∴HB= ,∴OH=OB-HB=∵CB=CH,∴OH+HC=当∠BOC=90°,此时BC=∵∠BOC<90°,∴0<BC<令BC=x∴OH+HC= = =当x=2时,∴OH+HC可取得最大值,最大值为5【解析】【分析】(1)由题意可知:∠CAB=∠GAF,∠GAF=∠GCE,由圆的性质可知:∠CAB=∠OCA,所以∠OCA=∠GCE,从而可证明直线CG是⊙O的切线;(2)①由于CB=CH,所以∠CBH=∠CHB,易证∠CBH=∠OCB,从而可证明△CBH∽△OBC;②由△CBH∽△OBC可知:,所以HB= ,由于BC=HC,所以OH+HC=利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值.10.如图1,抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A,B,C,已知点A(﹣1,0),点B(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)点D为抛物线的顶点,DE⊥x轴于点E,点N是线段DE上一动点①当点N在何处时,△CAN的周长最小?②若点M(m,0)是x轴上一个动点,且∠MNC=90°,求m的取值范围.【答案】(1)解:函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),故﹣3a=﹣3,解得:a=1,故函数的表达式为:y=x2﹣2x﹣3(2)解:①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小.设过点A、C'的一次函数表达式为y=kx+b,则:,解得:,故直线AC'的表达式为:y=﹣x﹣1,当x=1时,y=﹣2,故点N(1,﹣2);②如图2,过点C作CG⊥ED于点G.设NG=n,则NE=3﹣n.∵∠CNG+∠GCN=90°,∠CNG+∠MNE=90°,∴∠NCG=∠MNE,则tan∠NCG=n=tan∠MNE,故ME=﹣n2+3n,∴﹣1<0,故ME有最大值,当n时,ME,则m的最小值为:;如下图所示,当点N与点D重合时,m取得最大值.过C作CG⊥ED于G.∵y=x2﹣2x﹣3= y=(x-1)2﹣4,∴D(1,-4),∴CG=OE=1.∵EG=OC=3∴GD=4-3=1,∴CG=DG=1,∴∠CDG=45°.∵∠CDM=90°,∴∠EDM=45°,∴△EDM是等腰直角三角形,∴EM=ED=4,∴OM=OE+EM=1+4=5,∴m=5.故:m≤5.【解析】【分析】(1)函数的表达式为:y=a(x+1)(x﹣3)=a(x2﹣2x﹣3),即可求解;(2)①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C'(2,﹣3),连接AC'交DE于点N,则此时△CAN的周长最小,即可求解;②如图2,ME=﹣n2+3n,求出ME最大值,则可求出m的最小值;当点N与点D处时,m取得最大值,求解即可.11.已知:如图,在平面直角坐标系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,点A,C的坐标分别为A(﹣3,0),C(1,0),BC=AC.(1)在x轴上找一点D,连接DB,使得△ADB与△ABC相似(不包括全等),并求点D的坐标;(2)在(1)的条件下,如P,Q分别是AB和AD上的动点,连接PQ,设AP=DQ=m,问是否存在这样的m,使得△APQ与△ADB相似?如存在,请求出m的值;如不存在,请说明理由.【答案】(1)解:如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,∵∠A=∠A,∠ACB=∠ABD=90°,∴△ABC∽△ADB,∴∠ABC=∠ADB,且∠ACB=∠BCD=90°,∴△ABC∽△BDC,∴∵A(﹣3,0),C(1,0),∴AC=4,∵BC=AC.∴BC=3,∴AB===5,∵,∴,∴CD=,∴AD=AC+CD=4+ =,∴OD=AD﹣AO=,∴点D的坐标为:(,0);(2)解:如图2,当∠APC=∠ABD=90°时,∵∠APC=∠ABD=90°,∠BAD=∠PAQ,∴△APQ∽△ABD,∴,∴∴m=,如图3,当∠AQP=∠ABD=90°时,∵∠AQP=∠ABD=90°,∠PAQ=∠BAD,∴△APQ∽△ADB,∴,∴∴m=;综上所述:当m=或时,△APQ与△ADB相似.【解析】【分析】(1)如图1,过点B作BD⊥AB,交x轴于点D,可证△ABC∽△ADB,可得∠ABC=∠ADB,可证△ABC∽△BDC,可得,可求CD 的长,即可求点D坐标;(2)分两种情况讨论,由相似三角形的性质可求解.12.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m-1(m>0)与x轴的交点为A,B.(1)求抛物线的顶点坐标;(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.①当m=1时,求线段AB上整点的个数;②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点,结合函数的图象,求m的取值范围.【答案】(1)解:将抛物线表达式变为顶点式,则抛物线顶点坐标为(1,-1);(2)解:①m=1时,抛物线表达式为,因此A、B的坐标分别为(0,0)和(2,0),则线段AB上的整点有(0,0),(1,0),(2,0)共3个;②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0,所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点;又有抛物线表达式,令y=0,则,得到A、B两点坐标分别为(,0),(,0),即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到,∴.【解析】【分析】(1)将抛物线表达式变为顶点式,即可得到顶点坐标;(2)①m=1时,抛物线表达式为,即可得到A、B的坐标,可得到线段AB上的整点个数;②抛物线顶点为(1,-1),则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0,所以即要求AB线段上(含AB两点)必须有5个整点;令y=0,则,解方程可得到A、B两点坐标分别为(,0),(,0),即5个整点是以(1,0)为中心向两侧分散,进而得到,即可得到结论.。
中考数学《反比例函数》专项练习题(附带答案)
中考数学《反比例函数》专项练习题(附带答案)一、单选题1.如图,反比例函数y= 2x的图象经过矩形OABC的边AB的中点D,则矩形OABC的面积为()A.2B.4C.5D.82.小兰画了一个函数y= ax−1的图象如图,那么关于x的分式方程ax−1=2的解是()A.x=1B.x=2C.x=3D.x=43.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数y = –√2x图象上的两点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是()A.b1<b2B.b1 = b2C.b1>b2D.不能确定4.某公司计划新建一个容积V(m3)一定的长方体污水处理池,池的底面积S(m2)与其深度h(m)之间的函数关系式为S=Vℎ(ℎ≠0),这个函数的图象大致是()A.B.C.D.5.若反比例函数y=k x(k为常数,且k≠0)的图象过点(3,-4),则下列各点在该图象上的是()A.(6,-8)B.(-6,8)C.(-3,4)D.(-3,-4)6.已知反比例函数y=k x(k>0)的图象与直线y=﹣x+6相交于第一象限A、B的两点.如图所示,过A、B两点分别作x、y轴的垂线,线段AC、BD相交与P,给出以下结论:①OA=OB;②四边形OCPD 是正方形;③若k=5.则△ABP的面积是8;④P点一定在直线y=x上,其中正确命题的个数是几个()A.4B.3C.2D.17.已知点P(3,2)在反比例函数y=k x(k≠0)图象上,则下列各点中在此反比例函数图象上的是()A.(−3,−2)B.(3,−2)C.(−2,3)D.(2,−3)8.下列函数:①y=−x;②y=−1x;③y=√2x;④y=120x2+240x+3(x<0)中,y随x的增大而减小的函数有()A.1个B.2个C.3个D.4个9.如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B在函数y=k x(x >0)的图象上,若△C=60°,AB=2,则k的值为()A.√2B.√3C.1D.2 10.对于反比例函数y=﹣1x,下列说法正确的是()A.图象经过点(1,1)B.图象位于第一、三象限C.图象是中心对称图形D.当x<0时,y随x的增大而减小11.一次函数y=ax+a与反比例函数y=−ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()A.B.C.D.12.面积为2的△ABC,一边长为x,这边上的高为y,则y与x的变化规律用图象表示大致是() A.B.C.D.二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD的顶点A与D在函数y=k x(x>0)的图象上,AC⊥x轴,垂足为C,∠BCO=30°,点B的坐标为(0,1),则k的值为.14.如图,反比例函数y=6x在第一象限的图象上有两点A,B,它们的横坐标分别是2,6,则△AOB 的面积是.15.反比例函数y=7x图象与正比例函数y=kx图象交于A(x1,y1),B(x2,y2),则x1y2+x2y1的值为.16.如图,正比例函数y1=ax(a≠0)与反比例函数y2=k x(k≠0)的图象相交于A,B两点,其中点A的坐标为(1,3).当y1<y2时,x的取值范围是.17.如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,平行四边形ABCD的边AB在x轴上、顶点D在y 轴的正半轴上,点C在第二象限,将△AOD沿y轴翻折,使点A落在x轴上的点E处、点B恰好为OE的中点.DE与BC交于点F.若y=kx(k≠0)图象经过点C,且S△BEF=12,则k的值为.18.如图,一次函数y=x+k(k>0)的图象与x轴和y轴分别交于点M,N,与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于点B,过点B作BA△x轴,BC△y轴.垂足分别为点A,C.当矩形OABC与△OMN 的面积相等时,点B的坐标为.三、综合题19.如图,双曲线y1=k x(k为常数,且k≠0)与直线y2=﹣13x+b交于点A(﹣2,a)和B(3c,2﹣c).(1)求k,b的值;(2)求直线与x轴的交点坐标.20.如图,已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B,与反比例函数y= k1x的图象的一个交点为A(1,m).过点B作AB的垂线BD,与反比例函数y= k2x(x>0)的图象交于点D(n,﹣2).(1)求k1和k2的值;(2)若直线AB、BD分别交x轴于点C、E,试问在y轴上是否存在一个点F,使得△BDF△△ACE?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.21.如图,直线y=2x+1与双曲线相交于点A(m,32)与x轴交于点B.(1)求双曲线的函数表达式:(2)点P在x轴上,如果△ABP的面积为6,求点P坐标.22.在初中阶段的函数学习中,我们经历了列表、描点、连线画函数图象,观察分析函数特征,概括函数性质的过程,已知函数y=﹣2|x−2|x−1上,结合已有的学习经验,完成下列各小题.(1)请在表格中空白处填入恰当的数据:x…﹣3﹣2﹣101243322345…y (5)2834﹣40﹣1﹣43…(2)根据表中的数据,在所给的平面直角坐标系中画出函数y=﹣2|x−2|x−1的图象;(3)根据函数图象,写出该函数的一条性质:;(4)结合所画函数图象,直接写出不等式﹣2|x−2|x−1<﹣53x+5的解集为:.(保留1位小数,误差不超过0.2)23.在平面直角坐标系xOy中,点A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线y=−x2+2ax−a2−a+2(a 是常数)上.(1)若该二次函数图象的顶点在第二象限时,求a的取值范围;(2)若抛物线的顶点在反比例函数y=−8x(x<0)的图象上,且y1=y2,求x1+x2的值;(3)若当1<x1<x2时,都有y2<y1<1,求a的取值范围.24.如图,点A(m,m+1),B(m+3,m﹣1)是反比例函数y=k x(x>0)与一次函数y=ax+b的交点.求:(1)反比例函数与一次函数的解析式;(2)根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围.参考答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】B10.【答案】C11.【答案】A12.【答案】B13.【答案】2√314.【答案】815.【答案】-1416.【答案】x<-1或0<x<117.【答案】-1218.【答案】(−1+√3,1+√3)19.【答案】(1)解:∵点B(3c,2﹣c)在直线y2=﹣13x+b的图象上∴−13×3c+b=2−c解得:b=2∴直线解析式为y2=﹣13x+2∵点A(﹣2,a)在直线y2=﹣13x+2的图象上∴a=−13×(−2)+2=83∴点A坐标为(-2,8 3)∵点A(-2,83)在y1=kx图象上∴83=k−2解得:k=−16 3 .(2)解:∵直线解析式为y2=﹣13x+2∴当y2=0时,x=6∴直线与x轴的交点坐标为(6,0).20.【答案】(1)解:将A(1,m)代入一次函数y=2x+2中,得:m=2+2=4,即A(1,4)将A(1,4)代入反比例解析式y= k1x得:k1=4;过A作AM△y轴,过D作DN△y轴∴△AMB=△DNB=90°∴△BAM+△ABM=90°∵AC△BD,即△ABD=90°∴△ABM+△DBN=90°∴△BAM=△DBN∴△ABM△△BDN∴AMBN=BMDN,即14=2DN∴DN=8∴D(8,﹣2)将D坐标代入y= k2x得:k2=﹣16(2)解:符合条件的F坐标为(0,﹣8),理由为:由y=2x+2,求出C坐标为(﹣1,0)∵OB=ON=2,DN=8∴OE=4可得AE=5,CE=5,AC=2 √5,BD=4 √5,△EBO=△ACE=△EAC若△BDF△△ACE,则BDAC=BFAE,即√52√5=BF5解得:BF=10则F(0,﹣8).综上所述:F点坐标为(0,﹣8)时,△BDF△△ACE.21.【答案】(1)解:把A(m,32)代入直线y=2x+1得:32=2m+1,即m=14∴A(14,32)∵点A(14,32)为直线与反比例函数y=kx的交点把A点坐标代入y=k x,得k=14× 32=38则双曲线解析式为y=38x;(2)解:对于直线y=2x+1,令y=0,得到x=−12,即B(−12,0)设P(x,0),可得PB=|x+1 2|∵△ABP面积为6∴12×|x+12|×32=6,即|x+12|=8解得:x=7.5或x=﹣8.5则P坐标为(7.5,0)或(﹣8.5,0). 22.【答案】(1)解:如下表所示:x…﹣3﹣2﹣101243322345…y (5)283346﹣4-20﹣1﹣43-32…(3)当x<1时,y随x的增大而增大(4)x<0.3或1<x<3.723.【答案】(1)解:∵y=−x2+2ax−a2−a+2=−(x−a)2−a+2第 11 页 共 11 页 ∴ 抛物线 y =−x 2+2ax −a 2−a +2 的顶点为 (a ,−a +2) ∵ 抛物线的顶点在第二象限∴{a <0−a +2>0解得 2<a <0 ;(2)解: ∵ 抛物线 y =−x 2+2ax −a 2−a +2 的顶点在反比例函数 y =−8x(x <0) 的图象上 ∴a(−a +2)=−8解得 a =4 或 a =−2∵a <0∴a =−2∴ 顶点为 (−2,4)∵y 1=y 2∴ 点 A(x 1,y 1) , B(x 2,y 2) 关于直线 x =−2 对称∴x 1+x22=−2∴x 1+x 2=−4 ;(3)解: ∵ 当 1<x 1<x 2 时,都有 y 2<y 1<1∴ 抛物线的对称轴 x =a <1 ,经过点为 (1,1)∴{a <1−1+2a −a 2−a +2=1解得 a =0 或 a =−3故 a 的取为0或-3.24.【答案】(1)解:由题意可知,m (m+1)=(m+3)(m ﹣1). 解得m=3.∴A (3,4),B (6,2); ∴k=4×3=12, ∴y =12x∵A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2), ∴{3a +b =46a +b =2 , ∴{a =−23b =6 ,∴y=﹣ 23 x+6 (2)解:根据图象得x 的取值范围:0<x <3或x >6.。
2020届中考数学冲刺复习专题:反比例函数(含答案)
2020届中考数学冲刺复习专题:反比例函数1.如图,已知反比例函数y 1=的图象与一次函数y 2=k 2x +b 的图象在第一象限交于A (1,3),B (3,m )两点,一次函数的图象与x 轴交于点C . (1)求反比例函数和一次函数的表达式; (2)当x 为何值时,y 2>0?(3)已知点P (0,a )(a >0),过点P 作x 轴的平行线,在第一象限内交一次函数y 2=k 2x +b 的图象于点M ,交反比例函数y 1=的图象于点N .结合函数图象直接写出当PM >PN 时a 的取值范围.2.如图,过原点的直线y 1=mx (m ≠0)与反比例函数y 2=(k <0)的图象交于A 、B 两点,点A 在第二象限,且点A 的横坐标为﹣1,点D 在x 轴负半轴上,连接AD 交反比例函数图象于另一点E ,AC 为∠BAD 的平分线,过点B 作AC 的垂线,垂足为C ,连接CE ,若AD =2DE ,△AEC 的面积为.(1)根据图象回答:当x 取何值时,y 1<y 2; (2)求△AOD 的面积;(3)若点P 的坐标为(m ,k ),在y 轴的轴上是否存在一点M ,使得△OMP 是直角三角形,若存在,请直接写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.3.定义:若实数x ,y ,x ',y '满足x =kx '+2,y =ky '+2(k 为常数,k ≠0),则在平面直角坐标系xOy中,称点(x,y)为点(x',y')的“k值关联点”.例如,点(3,0)是点(1,﹣2)的“1值关联点”.(1)在A(2,3),B(1,3)两点中,点是P(1,﹣1)的“k值关联点”;(2)若点C(8,5)是双曲线y=(t≠0)上点D的“3值关联点”,求t的值和点D的坐标;(3)设两个不相等的非零实数m,n满足点E(m2+mn,2n2)是点F(m,n)的“k值关联点”,求点F到原点O的距离的最小值.4.如图,直线y=ax+2与x轴、y轴分别相交于A,B两点,与双曲线y=(x>0)相交于点P,PC⊥x轴于点C,且PC=4,点A的坐标为(﹣4,0).(1)求双曲线的解析式;(2)若点Q为双曲线上点P右侧的一点,过点Q作QH⊥x轴于点H,当以点Q,C,H为顶点的三角形与△AOB相似时,求点Q的坐标.5.如图(1),正方形ABCD顶点A、B在函数y=(k>0)的图象上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;(2)如图(2),当k=8时,分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标;(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,求k的取值范围.6.如图,四边形ABCD是平行四边形,点A(1,0),B(4,1),C(4,4).反比例函数y=(x>0)的图象经过点D,点P是一次函数y=kx+4﹣4k(k≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点.(1)求反比例函数的解析式;(2)通过计算,说明一次函数y=kx+4﹣4k(k≠0)的图象一定过点C;(3)对于一次函数y=kx+4﹣4k(k≠0),当随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围(不必写过程).7.如图①,M,N为矩形ABCD一组邻边AD,CD上两点,若==m,则称M,N为邻边AD,CD上的一对共轭点,m为这两点的共轭系数.如图②,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与矩形OABC的一组邻边分别交于点M,N.(1)求证:M,N为BC,BA上的一对共轭点;=8.求M,N的共轭系数;(2)若M(1,4),S四边形ONBM(3)若B(8,6),把△BMN沿MN翻折得△B′MN,当B′在ON上时,求M,N的共轭系数.8.如图,点A,B分别在x轴,y轴上,过A,B作AB垂线,交反比例函数y=(k>0,x >0)的图象于D,C,四边形ABCD为矩形,CF⊥y轴于F,DE⊥x轴于E,CF=a,BF=b,OA=x,OB=y.(1)求证:AE=a.(2)请写出两个不同的关于a,b,x,y的关系式.(3)求证:∠OAB=45°.9.正方形ABCD的顶点A(1,1),点C(3,3),反比例函数y=(x>0).(1)如图1,双曲线经过点D时求反比例函数y=(x>0)的关系式;(2)如图2,正方形ABCD向下平移得到正方形A′B′C′D′,边A'B'在x轴上,反比例函数y=(x>0)的图象分别交正方形A′B′C′D′的边C'D′、边B′C′于点F、E,①求△A'EF的面积;②如图3,x轴上一点P,是否存在△PEF是等腰三角形,若存在直接写出点P坐标,若不存在明理由.10.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)的图象相交于A(2,4),B(n,﹣2)两点.(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)点C是第一象限内反比例函数图象上的一点,且点C在A的右侧,过点C作CD平行于y轴交直线AB于点D,若以C为圆心,CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切,求点C 的坐标.11.如图,如图,一次函数y=﹣x+b与反比例函数的图象交于点A(m,1)和B(1,﹣3).(1)填空:一次函数的解析式为,反比例函数的解析式为;(2)点P是x轴正半轴上一点,连接AP,BP.当△ABP是直角三角形时,求出点P的坐标.12.在平面直角坐标系中,我们定义:横坐标与纵坐标均为整数的点为整点.如图,已知双曲线y=(x>0)经过点A(2,2),记双曲线与两坐标轴之间的部分为G(不含双曲线与坐标轴).(1)求k的值;(2)求G内整点的个数;(3)设点B(m,n)(m>3)在直线y=2x﹣4上,过点B分别作平行于x轴y轴的直线,交双曲线y=(x>0)于点C、D,记线段BC、BD、双曲线所围成的区域为W,若W内部(不包括边界)不超过8个整点,求m的取值范围.13.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A(4,3),与y轴的负半轴交于点B,且OA=OB.(1)求一次函数y=kx+b和y=的表达式;(2)在x轴上是否存在一点C,使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形,若存在,求出点C的坐标;若不存在,请说明理由.(3)反比例函数y=(1≤x≤4)的图象记为曲线C1,将C1向右平移3个单位长度,得曲线C2,则C1平移至C2处所扫过的面积是(直接写出答案).14.如图,已知直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y=图象上,过点B作BF⊥OC,垂足为F,设OF=t.(1)求∠ACO的正切值;(2)求点B的坐标(用含t的式子表示);(3)已知直线y=2x+2与反比例函数y=图象都经过第一象限的点D,联结DE,如果DE⊥x轴,求m的值.15.如图1,平面直角坐标系xOy中,A(﹣4,3),反比例函数y=(k<0)的图象分别交矩形ABOC的两边AC,BC于E,F(E,F不与A重合),沿着EF将矩形ABOC折叠使A,D 重合.(1)①如图2,当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时,求CE 的长; ②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内(不包括边界),求线段CE 长度的取值范围. (2)若折叠后,△ABD 是等腰三角形,请直接写出此时点D 的坐标.16.如图是反比例函数的图象,点A (a ,b ),C (c ,d )分别在图象的两支上,以AC为对角线作矩形ABCD 且AB ∥x 轴.(1)当线段AC 过原点时,分别写出a 与c ,b 与d 的一个等量关系式; (2)当A 、C 两点在直线y =x +2上时,求矩形ABCD 的周长; (3)当AB =BC 时,探究a 与c 的数量关系.17.如图,一次函数y 1=k 1x +4与反比例函数y 2=的图象交于点A (2,m )和B (﹣6,﹣2),与y 轴交于点C .(1)k 1= ,k 2= ; (2)根据函数图象知,①当y 1>y 2时,x 的取值范围是 ; ②当x 为 时,y 2>﹣2x .(3)过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点,设直线OP 与线段AD 交于点E ,当S 四边形ODAC :S △ODE =4:1时,求点P 的坐标.(4)点M 是y 轴上的一个动点,当△MBC 为直角三角形时,直接写出点M 的坐标.18.如图1,在平面直角坐标系中,放置有一个Rt △ABC ,顶点A 与原点O 重合,边AC 与x 轴重合,∠ACB =90°,AC =BC =4,反比例函数y =的图象分别与AB 和BC 交于点D 、E ,且此时点D 恰为AB 的中点.(1)求反比例函数的表达式及点E 的坐标;(2)连接DE ,在x 轴上存在一点P ,可使得△DEP 成为以DE 为腰的等腰三角形,试求出所有符合条件的点P 的坐标;(3)如图2,保持反比例函数图象不变,将△ABC 沿x 轴向左平移,使得点E 成为BC 的中点,求此时点D 的坐标.19.如图,反比例函数y =(x >0)过点A (3,4),直线AC 与x 轴交于点C (6,0),交y 轴于点E ,过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B .(1)求k的值与B点的坐标;(2)将直线EC向右平移,当点E正好落在反比例函数图象上的点E'时,直线交x轴于点F.请判断点B是否在直线EF上并说明理由;(3)在平面内有点M,使得以A、B、F、M四点为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出符合条件的所有M点的坐标.20.已知直线y=2x+b与反比例函数y=的(k>0)图象交于点A,过点A作AB⊥x轴于点B,点D为线段AC的中点,BD交y轴于点E,(1)若k=8,且点A的横坐标为1,求b的值;(2)已知△BEC的面积为4,则k的值为多少?(3)若将直线旋转,k=8,点E为△ABC的重心且OE=2,求直线AC的解析式.参考答案1.解:(1)∵反比例函数的图象过点A(1,3),∴,∴k1=3,∴反比例函数表达式为:;∵点B(3,m)在函数的图象上,∴,∴B(3,1).∵一次函数y2=k2x+b的图象过点A(1,3),B(3,1),∴,解得,∴一次函数的表达式为:y2=﹣x+4;∴反比例函数和一次函数的表达式分别为,y2=﹣x+4.(2)∵当y2=0时,﹣x+4=0,x=4,∴C(4,0),由图象可知,当x<4时,y2>0.(3)如图,由图象可得,当1<a<3时,PM>PN.2.解:(1)∵直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2=(k<0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为﹣1,∴点A,点B关于原点对称,∴点B的横坐标为1,∴当x取﹣1<x<0或x>1时,y1<y2;(2)连接OC,OE,由图象知,点A,点B关于原点对称,∴OA=OB,∵AC⊥CB,∴∠ACB=90°,∴OC=AB=AO,∴∠OAC=∠OCA,∵AC为∠BAD的平分线,∴∠OAC=∠DAC,∴∠OCA=∠DAC,∴AD∥OC,∴S△AEO =S△ACE=,∵AD=2DE,∴AE=DE,∴S△AOD =2S△AOE=3;(3)作EF⊥x轴于F,作AH⊥x轴于H,则EF∥AH,∵AD=2DE,∴DE=EA,∵EF∥AH,∴==1,∴DF=FH,∴EF是△DHA的中位线,∴EF=AH,∵S△OEF =S△OAH=﹣,∴OF•EF=OH•HA,∴OH=OF,∴OH=HF,∴DF=FH=HO=DO,∴S△OAH =S△ADO=3=1,∴﹣=1,∴k=﹣2,∴y=﹣,∵点A在y=﹣的图象上,∴把x=﹣1代入得,y=2,∴A(﹣1,2),∵点A在直线y=mx上,∴m=﹣2,∴P(﹣2,﹣2),在y轴上找到一点M,使得△OMP是直角三角形,当∠OMP=90°时,PM⊥y轴,则OM=2,∴点M的坐标为(0.﹣2);当∠OPM=90°时,过P作PG⊥y轴于G,则△OPM是等腰直角三角形,∴OM=2PG=4,∴点M的坐标为(0.﹣4);综上所述,点M的坐标为(0.﹣2)或(0,﹣4).3.解:(1)若点A(2,3)是P(1,﹣1)的“k值关联点”,∴k=≠,不合题意,若点B(1,3)是P(1,﹣1)的“k值关联点”,∴k===﹣1,符合题意,故答案为:B;(2)设点D坐标为(x,y),∵点C(8,5)是点D的“3值关联点”,∴∴∴点D坐标为(2,1),∵点D是双曲线y=(t≠0)上点,∴t=2×1=2;(3)∵点E(m2+mn,2n2)是点F(m,n)的“k值关联点”,∴,∴m2n+mn2﹣2n=2n2m﹣2m,∴(m﹣n)(mn+2)=0,∵m≠n,∴mn=﹣2,∴m=,∵(m﹣n)2≥0,∴m2+n2﹣2mn≥0,∴m2+n2≥2mn,∴m2+n2=+n2≥2×n×=4,∴点F到原点O的距离==,∴点F到原点O的距离的最小值为2.4.解:(1)把A(﹣4,0)代入y=ax+2,得,﹣4a +2=0,解得a =, 故直线AB 的解析式为y =x +2, 把y =4代入y =x +2,得,x +2=4, 解得x =4, ∴点P (4,4).把P (4,4)代入y =,得k =16, 故双曲线的解析式为y =;(2)把x =0代入y =x +2,得y =2, ∴点B 的坐标为(0,2), ∴OB =2, ∵A (﹣4,0), ∴OA =4, 设Q (m ,),则CH =m ﹣4,QH =,由题意可知∠AOB =∠QHC =90°, 当△AOB ∼△QHC 时,,即,解得:m 1=2+2,m 2=2﹣2(不合题意,舍去), ∴点Q 的坐标为(2+2,4﹣4),当△BOA ∼△QHC 时,,即,解得m 1=8,m 2=﹣4(不合题意,舍去), ∴点Q 的坐标为(8,2). 综上可知,点Q 的坐标为(2+2,4﹣4)或(8,2).5.解:(1)如图,过点A 作AE ⊥y 轴于点E ,则∠AED =90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠ADC=90°,∴∠ODC+∠EDA=90°.∵∠ODC+∠OCD=90°,∴∠EDA=∠OCD,在△AED和△DOC中,∴△AED≌△DOC(AAS),∴OD=EA=5,∴点D的纵坐标为5;(2)作A′M⊥y轴于M,B′N⊥x轴于点N,设OD′=a,OC′=b,同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E,∴C′N=OD′=A′M=a,B′N=C′O=D′M=b,∴A′(a,a+b),B′(a+b,b),∵点A′、B′在反比例函数y=的图象上,∴a(a+b)=8,b(a+b)=8,∴解得a=b=2或a=b=﹣2(舍去),∴A′、B′两点的坐标分别为(2,4),(4,2);(3)设直线A′B′的解析式为y=mx+n,把A′(2,4),B′(4,2)代入得,解得,∴直线A′B′解析式为y=﹣x+6,同样可求得直线C′D′解析式为y=﹣x+2,由(2)可知△OCD是等腰直角三角形,设点A的坐标为(m,2m),点D坐标为(0,m),当A点在直线C′D′上时,则2m=﹣m+2,解得m=,此时点A的坐标为(,),∴k=×=;当点D在直线A′B′上时,有m=6,此时点A的坐标为(6,12),∴k=6×12=72;综上可知:当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k的取值范围为≤x≤72.6.解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∵B(4,1),C(4,4),∴BC⊥x轴,AD=BC=3,而A点坐标为(1,0),∴点D的坐标为(1,3).∵反比例函数y=(x>0)的函数图象经过点D(1,3),∴3=,∴m=3,∴反比例函数的解析式为y=;(2)当x=4时,y=kx+4﹣4k=4k+4﹣4k=4,∴一次函数y=kx+4﹣4k(k≠0)的图象一定过点C;(3)设点P的横坐标为a,∵一次函数y=kx+4﹣4k(k≠0)过C点,并且y随x的增大而增大时,∴k>0,P点的纵坐标要小于4,横坐标大于4,当纵坐标小于4时,∵y=,∴<3,解得:a>1,则a的范围为a>1或a<4.7.解:(1)∵点M,N是反比例函数y=图象上的点,∴BC•AN=CM•AB,∴,∴,∴M,N为BC,BA上的一对共轭点;(2)如图,连接OM,ON,∵M(1,4),∴k=1×4=4,OC=4,∴反比例函数解析式为:y =, ∴S △CMO =S △OAN =2,∴S 矩形ABCO =S △CMO +S △OAN +S 四边形ONBM =12, ∵CO =4, ∴BC =3, ∴BM =BC ﹣CM =2, ∴m =;(3)如图,延长BC 至D ,使得MD =BM ,过点D 作DF ⊥x 轴于F ,交NO 的延长线于点E ,∵点B (8,6)∴AB =CO =6,BC =AO =8, ∵AN •AO =CM •CO , ∴,∴AN =CM , ∴=,设BN =3x ,BM =4x ,则DM =4x , ∵把△BMN 沿MN 翻折得△B ′MN , ∴BM =B 'M ,∠B =∠MB 'N =90°,在Rt △DME 和Rt △B 'ME 中,DM =B 'M =BM ,EM =EM , ∴Rt △DME ≌Rt △B 'ME (HL ), ∴∠DME =∠EMB ', ∴∠EMN =90°,∴∠DME +∠BMN =90°,且∠BMN +∠BNM =90°, ∴∠DME =∠MNB ,且∠B =∠D =90°,∴△DME∽△BNM,∴∴DE=x,∵∠EOF=∠AON,∠NAO=∠EFO=90°,∴△EFO∽△NAO,∴,∴∴x=0(舍去),x=,∴BN=,AN=6﹣BN=,∴m==.8.(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,CF⊥y轴于F,DE⊥x轴于E,∴∠BFC=∠ABC=∠BAD=∠AED=90°,BC=AD,∴∠CBF+∠ABO=∠ABO+∠OAB=90°,∴∠CBF=∠OAB,∵∠BAO+∠DAE=∠DAE+∠ADE=90°,∴∠BAO=∠ADE,∴∠CBF=∠ADE,∴△BCF≌△DAE(AAS),∴AE=CF=a;(2)解:由(1)知,BF=DE=b,∵OA=x,OB=y,∴C(a,b+y),D(a+x,b),∵点D,C在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上,∴a(b+y)=b(a+x)=k,即ay=bx①;∵∠BFC=∠AOB=90°,∠CBF=∠BAO,∴△CBF∽△BAO,∴,∴=②;(3)解:由(2)中的①÷②得,x2=y2,∵x>0,y>0,∴x=y,∴OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形,∴∠OAB=45°.9.解:(1)∵点A(1,1),点C(3,3),∴点D(1,3),将点D的坐标代入反比例函数表达式得:k=3,故反比例函数表达式为:y=;(2)平移后点A′、B′、C′、D′的坐标分别为:(1,0)、(3,0),(3,2)、(1,2),则平移后点E纵坐标为3,则点E(3,1),同理点F(,2),△A'EF的面积=S正方形A′B′C′D′﹣S△A′B′E﹣S△A′D′F﹣S△EFC′=2×2×2×﹣2×1﹣××1=;(3)点E、F的坐标分别为:(3,1)、(,2),设点P(m,0),则EF2=(3﹣)2+(2﹣1)2=,EP2=(m﹣3)2+1,PF2=(m﹣)2+4,当EF=EP时,即=(m﹣3)2+1,解得:m=或;当EF=PF时,同理可得:m=;当EP=PF时,同理可得:m=,故点P的坐标为(,0)或(,0)或(,0)或(,0)或(,0).10.解:(1)∵A(2,4),B(n,﹣2)在反比例函数y=(m≠0)的图象上,∴m=2×4=8,﹣2=,∴n=﹣4,∴反比例函数的解析式为:y=;∵一次函数y=kx+b过A(2,4),B(n,﹣2),∴,∴,∴一次函数解析式为:y=x+2;(2)设点C(a,),则点D(a,a+2),∴CD=a+2﹣,∵以C为圆心,CD长为半径的⊙C恰好与y轴相切,∴a=a+2﹣∴a=4,∴点C(4,2).11.解:(1)∵点A(m,1)和B(1,﹣3)在反比例函数的图象上,∴k=1×(﹣3)=﹣3,k=m×1,∴m=﹣3,∴点A(﹣3,1),∴反比例函数解析式为:y=;∵一次函数y=﹣x+b过点B(1,﹣3),∴﹣3=﹣1+b,∴b=﹣2,∴一次函数解析式为:y=﹣x﹣2;故答案为:y=﹣x﹣2,;(2)如图1,当∠ABP=90°时,过点P作CD⊥x轴,过点A作AC⊥DC于C,过点B作BD⊥CD于D,设点P的坐标为(x,0),∴AC=x+3,CP=1,PD=3,BD=x﹣1,∵∠APB=90°,∴∠APC+∠BPD=90°,又∵∠APC+∠CAP=90°,∴∠CAP=∠BPD,又∵∠C=∠BDP=90°,∴△ACP∽△PBD,∴,∴,∴x1=﹣1,x2=﹣1﹣(舍去),∴点P(﹣1+,0);当∠ABP=90°时,∵直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C,与y轴交于点D,∴点C(﹣2,0),点D(0,﹣2),∴OC=2,OD=2,CD=2,BC=3,∵tan∠OCD=,∴,∴CP=6,∵点C(﹣2,0),∴点P(4,0),综上所述:点P的坐标为(,0)或(4,0).12.解:(1)∵双曲线y=经过点A(2,2),∴2=解得,k=4;(2)对于双曲线y=,当x=1时,y=4,∴在直线x=1上,当0<y<4时,有整点(1,1),(1,2),(1,3)当x=2时,y=2,∴在直线x=2上,当0<y<2时,有整点(2,1);当x=3时,,∴在直线x=3上,当0<y<时,有整点(3,1);当x=4时,y=1,∴在直线x=4上,当0<y<1时,没有整点.∴G内整点的个数为5个;(3)当m=4时,点B(4,4),点C(1,4),点D(4,1),此时在区域W内(不包含边界)有(2,3)、(3,2)、(3,3)共3个整点,线段BD 上有4个整点,线段BC上有4个整点,∵点(4,4)重合,点(4,1)、(1,4)在边界上,∴当m>4时,区域W内至少有3+4+4﹣3=8个整点.当m=4.5时,点B(4.5,5),点C(,5),线段BC上有4个整点,此时区域W内整点个数为8个.当m>4.5时,区域W内部整点个数增加.∴若W内部(不包括边界)不超过8个整点,3<m≤4.5.13.解:(1)∵点A(4,3)在反比例函数y=的图象上,∴a=4×3=12,∴反比例函数的解析式为y=,由勾股定理得,OA==5,∴OB=OA=5,∴点B的坐标为(0,﹣5),把A(4,3)、B(0,﹣5),∴,解得,,∴一次函数为y=2x﹣5;(2)存在,设点C的坐标为(m,0),由勾股定理得,AB==4,AC=,BC=,当AB=AC=4时,=4,解得,m1=﹣﹣4,m2=﹣+4,∴点C的坐标为(﹣﹣4,0)或(﹣+4,0),当BC=AB=4时,=4,解得,m=,∴点C的坐标为(﹣,0)或(,0),综上所述,△ABC是以AB为腰的等腰三角形时,点C的坐标为(﹣﹣4,0)或(﹣+4,0)或(﹣,0)或(,0);(3)当x=1时,y=12,当x=4时,y=3,如图2,将C1向右平移3个单位长度,得曲线C2,则C1平移至C2处所扫过的面积=平行四边形EFNM的面积=3×(12﹣3)=27,故答案为:27.14.解:(1)∵直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,∴点A(﹣1,0),点C(0,2)∴OA=1,OC=2,∴tan∠ACO==;(2)∵四边形ACBE是矩形,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,且∠BCF+∠CBF=90°,∴∠ACO=∠CBF,∵OF=t,∴CF=2﹣t,∵tan∠CBF=tan∠ACO=,∴BF=4﹣2t,∴点B(4﹣2t,t);(3)如图,连接DE,交x轴于H点,∵DE⊥x轴,∴∠AHE=90°,∴∠HAE+∠AEH=90°,且∠CAO+∠HAE=90°,∠CAO+∠ACO=90°,∠ACO+∠BCF=90°,∴∠AEH=∠BCF,且∠CFB=∠AHE,AE=BC,∴△BCF≌△AEH(AAS)∴AH=BF=4﹣2t,CF=HE,∵点A(﹣1,0),∴点H(3﹣2t,0),∴当x=3﹣2t时,y=2(3﹣2t)+2=8﹣4t,∴点D坐标为(3﹣2t,8﹣4t),∵点D,点B都在反比例函数y=上,∴(3﹣2t)(8﹣4t)=t(4﹣2t)∴t1=2(不合题意舍去),t2=;∴点B(,)∴m=×=.15.解:(1)①如图2中,连接AD交EF于H.∵四边形ABOC是矩形,A(﹣4,3),∴∠A=90°,OB=AC=4,AB=OC=3,∵E,F在y=时,∴可以假设E(,3),F(﹣4,),∴AE=4+,AF=3+,∴AE:AF=4:3,∵AC:BC=4:3,∴=,∵∠EAF=∠CAB,∴△EAF∽△CAB,∴∠AEF=∠ACB,∴EF∥BC,∵A,D关于EF对称,点D落在BC上,∴EF垂直平分线段AD,∴AH=DH,∵EF∥BC,∴=,∴AE=EC=2.②如图3中,当点D落在OB上时,连接AD交EF于H.∵∠EAF=∠ABD=90°,∠AEF=∠BAD,∴△AEF∽△BAD,∴=,则==,∴BD=AB÷=,设AF=x,则FB=3﹣x,FD=AF=x在Rt△BDF中,∵FB2+BD2=DF2,∴(3﹣x)2+()2=x2,解得x=,∴AF=,∴AE=AF=,∴EC=4﹣AE=4﹣=,∴<CE<4时,折叠后点D落在矩形ABOC内(不包括边界),线段CE长度的取值范围为:<CE<4.(2)∵△ABD是等腰三角形,F与B不重合,∴AB≠BD.①如图4中,当AD=BD时,∠BAD=∠ABD,由(1)可知∠BAD=∠AEF,∴∠ABD=∠AEF.作DM∥OB交AB于M,交OC于N.则DM⊥AB,MN=AC=4,∴∠BMD=∠EAF=90°,BM=AB=,∴△AEF∽△ABD,∴=,则==,∴MD=BM÷=,∴DN=MN﹣MD=4﹣=,∴D(﹣,).②如图5中,当AD=AB时,作DM∥OB交AB于M,交OC于N.则DM⊥AB,MN=AC=4,∴∠AMD=∠EAF=90°,由(1)可得∠BAD=∠AEF,∴△AEF∽△MAD,∴=,则==,设AM=4a,则MD=3a,在Rt△MAD中,∵AM2+DM2=AD2,∴(4a )2+(3a )2=32, ∴a =, ∴AM =,MD =,∴BM =AB =AM =3﹣=,DN =MN ﹣MD =4﹣=,∴D (﹣,).综上所述,满足条件的点D 的坐标为(﹣,)或(﹣,).16.解:(1)当线段AC 过原点时,点A 、C 中点为:(0,0), 故(a +c )=0,(b +d )=0, 即:a +c =0,b +d =0;(2)由题意得:,解之得,.∴A (1,3),C (﹣3,﹣1).∴AB =1﹣(﹣3)=4,BC =3﹣(﹣1)=4,4×4=16. 答:矩形ABCD 的周长为16.(3)∵点A (a ,b )、C (c ,d )均在的图象上,∴,.∵AB =BC , ∴. ∴ac =﹣3.答:a 与c 的数量关系是ac =﹣3.17.解:(1)将点B (﹣6,﹣2)代入y 1=k 1x +4, ﹣2=﹣6k 1+4,解得:k 1=1; 将点B (﹣6,﹣2)代入y 2=①,﹣2=,解得:k 2=12.故答案为:1;12.(2)①观察函数图象可知:当﹣6<x <0或x >2时,一次函数图象在反比例函数图象上方,∴当y 1>y 2时,x 的取值范围是﹣6<x <0或x >2. 故答案为:﹣6<x <0或x >2.②过点O 作直线l :y =﹣2x ,如图1所示.观察图形可知:x >0时,反比例函数图象在直线l 上方, 故答案为:x >0.(3)依照题意,画出图形,如图2所示.当x =2时,m =x +4=6, ∴点A 的坐标为(2,6); 当x =0时,y 1=x +4=4, ∴点C 的坐标为(0,4).∵S 四边形ODAC =(OC +AD )•OD =×(4+6)×2=10,S 四边形ODAC :S △ODE =4:1, ∴S △ODE =OD •DE =×2DE =10×, ∴DE =2.5,即点E 的坐标为(2,2.5). 设直线OP 的解析式为y =kx , 将点E (2,2.5)代入y =kx ,得 2.5=2k ,解得:k =, ∴直线OP 的解析式为y =x ②.联立①②并解得:,,∵点P 在第一象限, ∴点P 的坐标为(,).(4)依照题意画出图形,如图3所示.当∠CMB =90°时,BM ∥x 轴, ∴点M 的坐标为(0,﹣2); 当∠CBM =90°时,∵直线AC 的解析式为y =x +4, ∴∠BCM =45°,∴△BCM 为等腰直角三角形,∴CM=﹣2x B=12,∴点M的坐标为(0,﹣8).综上所述:当△MBC为直角三角形时,点M的坐标为(0,﹣2)或(0,﹣8).18.解:(1)∵∠ACB=90°,AC=BC=4,∴点B、C的坐标分别为:(4,4)、(4,0),∵D为AB的中点,故点D(2,2),将点D的坐标代入反比例函数表达式得:2=,解得:k=4,故反比例函数表达式为:y=①,设点E(4,m),将点E的坐标代入上式并解得:m=1,故点E(4,1);(2)设点P(m,0),而点D、E的坐标分别为:(2,2)、(4,1),DE2=(4﹣2)2+(2﹣1)2=5,PD2=(m﹣2)2+4;PE2=(m﹣4)2+1,当DE=PD时,则5=(m﹣2)2+4,解得:m=1或3;当DE=PE时,同理可得:m=2或6(舍去6);故点P的坐标为:(1,0)或(2,0)或(3,0);(3)设三角形ABC向左平移了m个单位,则点C、B的坐标分别为:(4﹣m,0)、(4﹣m,4),∵点E为BC的中点,∴点E(4﹣m,2),将点E的坐标代入反比例函数表达式得:2=,解得:m=2,故点C、B的坐标分别为:(2,0)、(2,4),点A(﹣2,0),设直线AB的表达式为:y=sx+t,则,解得:,故直线AB的表达式为:y=x+2②,联立①②并解得:或(舍去);故点D的坐标为:(﹣1,+1).19.解:(1)把点A(3,4)代入y=(x>0),得k=xy=3×4=12,故该反比例函数解析式为:y=.∵点C(6,0),BC⊥x轴,∴把x=6代入反比例函数y=,得:y==2,∴B(6,2).综上所述,k的值是12,B点的坐标是(6,2);(2)设直线A、C的表达式为:y=kx+b,则,解得:,故直线AC的表达式为:y=﹣x+8,令x=0,则y=8,故点E(0,8),设直线EC向右平移m个单位,则平移后直线的表达式为:y=﹣(x﹣m)+8,则点E′(m,8),∵点E′在反比例函数上,∴将点E′坐标代入反比例函数表达式得:8m=12,解得:m=,则平移后直线的表达式为:y=﹣(x﹣)+8=﹣x+10,令y=0,则x=,故点F(,0);当x=6时,y=﹣x+10=2,故点B在直线EF上;(3)设点M的坐标为(s,t),而点A、B、F的坐标分别为:(3,4)、(6,2)、(,0);①当AB是边时,点A向右平移3个单位向下平移2个单位得到B,同样点M(N)向右平移3个单位向下平移2个单位得到N(M),故或,解得:或,故点M的坐标为:(,﹣2)或(,2);②当AB是对角线时,由中点公式得:,解得:,故点M的坐标为(,6);综上,点M的坐标为:(,﹣2)或(,2)或(,6).20.解:(1)由题意,A(1,8),把A(1,8)代入y=2x+b得到b=6.(2)设A(m,),则B(m,0),把A(m,)代入y=2x+b得到b=﹣2m,∴直线AC的解析式为y=2x+﹣2m,令y=0,得到x=m﹣,∴C(m﹣,0),∵AD=DC,∴D(m﹣,),设直线BD的解析式为y=k′x+b′,则有,解得,∴直线BD的解析式为y=﹣2x+2m,∴E(0,2m),∴OE=2m,BC=OC+OB==4,∵S△ECB∴•BC•EO=4,∴××2m=4,∴k=8.(3)连接AE,延长AE交BC于J.由(2)可知,E(0,2m),∵OE=2,∴2m=2,∴m=1,∴C((1﹣,0),B(1,0),A(1,k),∴直线AE的解析式为:y=(k﹣2)x+2,令y=0,得到x=,∴J(,0),∵E是△ABC的重心,∴CJ=JB,∴=(1+1﹣),解得k=6或0(舍弃),∴直线AC的解析式为y=2x+4.。
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练:《反比例函数》含答案
2020年九年级数学中考压轴题专项综合训练:《反比例函数》1.如图,四边形ABCD是以坐标原点O为对称中心的矩形,A(1,3),B(﹣3,﹣1),该矩形的边与坐标轴分别交于点E、F、G、H,连接EC.(1)直接写出点C的坐标;(2)判断点(1,﹣1.2)在矩形ABCD的内部还是外部;(3)求四边形ECHO的面积;(4)如果反比例函数的图象过点A,那么它是否一定过点D?请说明理由.解:(1)∵A、C关于原点对称,A(1,3),∴C(﹣1,﹣3).(2)∵B、D关于原点对称,B(﹣3,﹣1),∴D(3,1),设直线CD的解析式为y=kx+b,则有,解得,∴直线CD的解析式为y=x﹣2,∵x=1时,y=﹣1,﹣12<﹣1,∴点(1,﹣1.2)在直线CD的下方,∴点(1,﹣1.2)在矩形ABCD的外部.(3)∵直线CD的解析式为y=x﹣2,∴H(0,﹣2),F(2,0),∵E 、F 关于原点对称,∴E (﹣2,0),连接OC ,∴S 四边形ECHO =S △EOC +S △OHC =×2×3+×2×1=4.(4)一定过点D .理由:∵过点A (1,3)的反比例函数的解析式为y =,∵x =3时,y =1,∴D (3,1)也在反比例函数的图象上.2.如图,直线y 1═﹣x +1与x 轴交于点A ,与y 轴交于点C ,与反比例函数y 2=(x <0)的图象交于点P ,过点P ,作PB ⊥x 轴于点B ,且AC =BC(1)求反比例函数y 2的解析式;(2)反比例函数y 2图象上是否存在点D ,使四边形BCPD 为菱形?如果存在,求出点D 的坐标;如果不存在,说明理由.解:(1)∵一次函数y=﹣x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点C,1∴A(4,0),C(0,1),又∵AC=BC,CO⊥AB,∴O是AB的中点,即OA=OB=4,且BP=2OC=2,∴P的坐标是(﹣4,2),将P(﹣4,2)代入y=,得m=﹣8,2=﹣;即反比例函数的解析式为y2(2)假设存在这样的点D,使四边形BCPD为菱形,如图,连接DC,与PB交于点E.∵四边形BCPD是菱形,∴CE=DE=4,∴CD=8,将x=﹣8代入反比例函数解析式y=﹣,得y=1,∴D的坐标是(﹣8,1),即反比例函数的图象上存在点D使四边形BCPD是菱形,此时D的坐标是(﹣8,1).3.如图,一次函数y 1=﹣x +b 的图象与反比例函数y 2=(k ≠0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴、y 轴分别交于C ,D 两点.已知:点B 的坐标为(,﹣2).(1)求该反比例函数的解析式和点D 的坐标;(2)点M 在CA 延长线上,且AM =AC ,连接OM ,OB ,求△MOB 的面积.解:(1)∵反比例函数y 2=(k ≠0)的图象经过点B (,﹣2).∴k =﹣2×=﹣3,∴反比例函数为y 2=﹣;∵一次函数y 1=﹣x +b 的图象经过点B (,﹣2),∴﹣2=﹣×+b ,解得b =﹣1,∴y 1=﹣x ﹣1,当x =0时,y =﹣1,∴D (0,﹣1);(2)连接OM ,OB , 解方程组,可得,,∴A (﹣3,1),B (,﹣2),∵直线AB :y 1=﹣x ﹣1,当y =0时,x =﹣,∴C(﹣,0),∴S△COD =S△BOD,∵MA=AC,∴S△MAO =S△ACO,∴S△MOB =2S△AOD=2××|y D|×|x A|=2××1×3=3.4.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,2).(1)求正比例函数和反比例函数的表达式;(2)M(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3过点M作直线MN∥x轴,交y轴于点B,过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C,交直线MB于点D.当四边形OADM 的面积为6时,请判断线段BM与DM的大小关系,并说明理由.解:(1)∵正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A(3,2).∴2=3a,2=∴a=,k=6∴正比例函数表达式:y =x ,反比例函数的表达式:y =(2)BM =MD∵直线MN ∥x 轴,直线AC ∥y 轴∴四边形BDCO 是平行四边形且∠BOC =90°∴▱BDCO 为矩形∴BD =OC =3∵M (m ,n )是反比例函数图象上的一动点∴mn =6即S △BMO =3∵S △AOC =OC ×AC =3,且S OADM =6∴S BDCO =S △AOC +S △BMO +S OADM =12且S BDCO =OC ×BO∴12=3×OB∴OB =4∴n =4即m =∴BM =且BD =3∴DM =∴BM =DM5.如图,已知,点O 为坐标原点,点C 在x 轴的正半轴上.在▱AOCB 中,边AO =2,OC =4,∠AOC =60°,∠AOC 的角平分线交AB 于点D .点P 从点O 出发,以每秒个单位长度的速度沿射线OD 方向移动:同时点Q 从点O 出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线OC 方向移动,连结QP ,BQ ,BP ,设移动时间t 秒.(1)求B ,D 两点的坐标;(2)若反比例函数y =(k ≠0)的图象的一个分支过点P ,且经过BQ 的中点,求k 的值;(3)当t 为何值时,△PQB 是直角三角形.解:(1)如图1中,作AH⊥OC于H.在Rt△AOH中,∵OA=2,∠AOH=60°,∴OH=OA=1,AH=,∴A(1,),∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=OC=4,AB∥OC,∴∠ADO=∠DOC,∵∠AOD=∠DOC,∴∠AOD=∠ADO,∴AO=AD=2,∴D(3,),B(5,).(2)如图2中,设BQ的中点为T,作BM⊥x轴于M,TN⊥x轴于N.由题意P(t,t),BM=,∵QT=TB,TN∥BM,∴QN=NM,∴TM=BM=,∵P、T在y=上,根据横坐标与纵坐标的乘积相等可得T(t2,),∴(2t+5)=t2∴3t2﹣2t﹣5=0,∴t=或﹣1(舍弃),∴T(,),∴k=.(3)由题意P(t,t),Q(2t,0),B(5,),∴PB2=(t﹣5)2+(t﹣)2,BQ2=(5﹣2t)2+3,PQ2=(t)2+(t)2,①当PB为斜边时,(t﹣5)2+(t﹣)2=(5﹣2t)2+3+(t)2+(t)2,解得t=1或0(舍弃).②当PQ为斜边时,(t﹣5)2+(t﹣)2+(5﹣2t)2+3=(t)2+(t)2,解得t=4或.③当BQ为斜边时,(t﹣5)2+(t﹣)2+(t)2+(t)2=(5﹣2t)2+3,解得t=0(不合题意)综上所述,满足条件的t的值为1或4或.6.如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴正半轴上,以OB为对角线作正方形OABC,一次函数y=kx+b的图象过A、B两点,反比例函数y=(x>0)的图象过线段AB的中点M,点M的坐标为(3,1).(1)求一次函数和反比例函数的表达式;(2)设反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N,点D是线段MN上一点,过点D 作DE⊥x轴于点E,连接OD,若△ODE的面积为S,求S的取值范围.解:(1)设A(a,b)∵OABC是正方形,OB为对角线∴B(2a,0)∵M(3,1)是AB的中点∴b=2,a=2∴解得:∴解析式y=﹣x+4∵反比例函数y=(x>0)的图象过M点∴m=3×1=3∴反比例函数解析式:y=(2)∵反比例函数的图象与直线AB的另一个交点为N,∴∴x1=1,x2=3(舍去)∴N(1,3)设D(x,﹣x+4)∴S△ODE=×x×(﹣x+4)=﹣x2+2x(1≤x≤3)∴≤S△ODE≤27.如图,四边形ABCD是正方形,点A的坐标是(0,1),点B的坐标是(0,﹣2),反比例函数y=的图象经过点C,一次函数y=ax+b的图象经过A、C两点,两函数图象的另一个交点E的坐标是(m,3).(1)分别求出一次函数与反比例函数的解析式.(2)求出m的值,并根据图象回答:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值.(3)若点P是反比例函数图象上的一点,△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,求点P坐标.解:(1)∵点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,﹣2),∴AB=1+2=3,∵四边形ABCD为正方形,∴BC=AB=3,∴C(3,﹣2),把C(3,﹣2)代入y=,得k=3×(﹣2)=﹣6,∴反比例函数解析式为y=﹣;把C(3,﹣2),A(0,1)代入y=ax+b,得,解得,∴一次函数解析式为y=﹣x+1;(2)∵反比例函数y=﹣的图象过点E(m,3),∴m=﹣2,∴E点的坐标为(﹣2,3);由图象可知,当x<﹣2或0<x<3时,一次函数落在反比例函数图象上方,即当x<﹣2或0<x<3时,一次函数的值大于反比例函数的值;(3)设P(t,﹣),∵△AOP的面积恰好等于正方形ABCD的面积,∴×1×|t|=3×3,解得t=18或t=﹣18,∴P点坐标为(18,﹣)或(﹣18,).8.如图所示,一次函数y=kx+b交y轴于点D,交x轴于点E,且与反比例函数y=的图象交于A(2,3).B(﹣3,n)两点.(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式.(2)过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AF⊥y轴于点F,求四边形AFCB的面积S;(3)当kx+b<时,x的取值范围是x<﹣3或0<x<2..解:(1)∵点A(2,3)在y=上,∴m=6,∴y=,∵B(﹣3,n)在y=上,∴n=﹣2,∴B(﹣3,﹣2),把A、B两点坐标代入y=kx+b,则有,解得,∴y=x+1.(2)连接CD.由题意F(0,3),D(0,1),C(﹣3,0),∴S△AFCB =S△ADF+S△CDF+S△BCD=×3×2+×2×3+×2×3=8.(3)观察图象可知,当kx+b<时,x的取值范围是x<﹣3或0<x<2.故答案为x<﹣3或0<x<2.9.如图:直线y=x与反比例函数y=(k>0)的图象在第一象限内交于点A(2,m).(1)求m、k的值;(2)点B在y轴负半轴上,若△AOB的面积为2,求AB所在直线的函数表达式;(3)将△AOB沿直线AB向上平移,平移后A、O、B的对应点分别为A'、O'、B',当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时,求点A'的坐标.解:(1)∵直线y=x经过A(2,m),∴m=2,∴A(2,2),∵A在y=的图象上,∴k=4.(2)设B(0,n),由题意:×(﹣n)×2=2,∴n=﹣2,∴B(0,﹣2),设直线AB的解析式为y=k′x+b,则有,∴,∴直线AB的解析式为y=2x﹣2.(3)当点O'恰好落在反比例函数y=的图象上时,点A'的坐标(2+,2+2).10.如图1,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(m,3),AB⊥x轴于点B,tan∠OAB=,反比例函数y1=的图象的一支经过AO的中点C,且与AB交于点D.(1)求反比例函数解析式;(2)设直线OA的解析式为y2=nx,请直接写出y1<y2时,自变量x的取值范围﹣2<x<0或x>2 .(3)如图2,若函数y=3x与y1=的图象的另一支交于点M,求△OMB与四边形OCDB的面积的比值.解:(1)在Rt △AOB 中,∵AB =3,∠ABO =90°,∴tan ∠OAB ==,∴OB =4,∴点A (4,3),∵点C 是OA 中点,∴点C 坐标(2,),∵反比例函数y 1=的图象的一支经过点C ,∴k =3,∴反比例函数解析式为y 1=.(2)如图1,由反比例函数图象的对称性质得到点C 关于原点对称的C ′的坐标为(﹣2,﹣),结合图象得到:当y 1<y 2时,自变量x 的取值范围是﹣2<x <0或x >2.故答案是:﹣2<x <0或x >2.(3)由解得或, ∵点M 在第三象限,∴点M 坐标(﹣1,﹣3),∵点D 坐标(4,),∴S△OBM =×4×3=6,S四边形OBDC=S△AOB﹣S△ACD=×4×3﹣×2×=,∴三角形OMB与四边形OCDB的面积的比=6:=8:5.11.如图,直线y=ax+2与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,b).将线段AB 先向右平移1个单位长度、再向上平移t(t>0)个单位长度,得到对应线段CD,反比例函数y=(x>0)的图象恰好经过C、D两点,连接AC、BD.(1)求a和b的值;(2)求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积;(3)点N在x轴正半轴上,点M是反比例函数y=(x>0)的图象上的一个点,若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时,求所有满足条件的点M的坐标.解:(1)将点A(1,0)代入y=ax+2,得0=a+2.∴a=﹣2.∴直线的解析式为y=﹣2x+2.将x=0代入上式,得y=2.∴b=2.(2)由(1)知,b=2,∴B(0,2),由平移可得:点C(2,t)、D(1,2+t).将点C(2,t)、D(1,2+t)分别代入y=,得∴.∴反比例函数的解析式为y=,点C(2,2)、点D(1,4).如图1,连接BC、AD.∵B(0,2)、C(2,2),∴BC∥x轴,BC=2.∵A(1,0)、D(1,4),∴AD⊥x轴,AD=4.∴BC⊥AD.=×BC×AD=×2×4=4.∴S四边形ABDC(3)①当∠NCM=90°、CM=CN时,如图2,过点C作直线l∥x轴,交y轴于点G.过点M作MF⊥直线l于点F,交x轴于点H.过点N作NE⊥直线l于点E.∵∠MCN=90°,∴∠MCF+∠NCE=90°.∵NE⊥直线l于点E,∴∠ENC+∠NCE=90°.∴∠MCF=∠ENC.又∵∠MFC=∠NEC=90°,CN=CM,∴△NEC≌△CFM(AAS).∴CF=EN=2,FM=CE.∴FG=CG+CF=2+2=4.∴x M=4.将x=4代入y=,得y=1.∴点M(4,1);②当∠NMC =90°、MC =MN 时,如图3,过点C 作直线l ⊥y 轴与点F ,则CF =x C =2.过点M 作MG ⊥x 轴于点G ,MG 交直线l 与点E ,则MG ⊥直线l 于点E ,EG =y C =2. ∵∠CMN =90°,∴∠CME +∠NMG =90°.∵ME ⊥直线l 于点E ,∴∠ECM +∠CME =90°.∴∠NMG =∠ECM .又∵∠CEM =∠NGM =90°,CM =MN ,∴△CEM ≌△MGN (AAS ).∴CE =MG ,EM =NG .设CE =MG =n ,则y M =n ,x M =CF +CE =2+n .∴点M (2+n ,n ).将点M (2+n ,n )代入y =,得n =. 解得n 1=﹣1,n 2=﹣﹣1(因为点M 在第一象限,所以n 大于0,所以舍去). ∴x M =2+n =+1. ∴点M (+1,﹣1).综合①②可知:点M 的坐标为(4,1)或(+1,﹣1).12.如图,在平面直角坐标系中,已知A(3,﹣3)、B(6,0),且OA=OB.(1)若△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称,则点A、B的对称点A′、B'的坐标分别为A′(﹣3,3),B′(﹣6,0);(2)若将△OAB沿x轴向左平移m个单位,此时点A恰好落在反比例函数y=的图象上,求m的值;(3)若△OAB绕点O按逆时针方向旋转α°(0<α<90);①当α=30时点B恰好落在反比例函数y=的图象上,求k的值;②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图象上,若能,直接写出α的值,若不能,请说明理由.解:(1)∵△OA′B′与△OAB关于原点O成中心对称,且A(3,﹣3)、B(6,0),∴A'(﹣3,3),B'(﹣6,0)故答案为(﹣3,3),(﹣6,0)(2)∵将△OAB沿x轴向左平移m个单位,∴点A平移后的坐标为(3﹣m,﹣3)∴﹣3=m=5(3)①设点B逆时针旋转30°后对应点为B1.如图:过点B1作B1C⊥OB∵旋转∴OB1=6,∠COB1=30°∴B1C=3,OC=OB1=3∴B1(3,3)∴3=∴k=9∴解析式为y=②α=60°如图2,过点A作AD⊥OB,∵A(3,﹣3)∴OD=3,DA=3∵tan∠BOA==∴∠AOB =30°设点A 逆时针旋转60°后对应点为A 1.∴∠A 1OB =30°,且OA =OB =6=OA 1.∴A 1(3,3)设点B 逆时针旋转60°后对应点为B 2.∴∠B 2OB =60°,且OB 2=OB =6∴B 2(3,3) 当x =3时,y ==3,当x =3时,y ==3∴点A 1,点B 2在反比例y =的图象上 ∴将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转60°时,点A 、B 能同时落在反比例函数的图象上.13.阅读理解:若点P 是△ABC 内部或边上的点(顶点除外),在△PAB ,△PBC ,△PCA 中,若至少有一个三角形与△ABC 相似,则称点P 是△ABC 的相似特征点.例如:如图1,点P 在△ABC 的内部,∠PBC =∠A ,∠PCB =∠ABC ,则△BCP ∽△ABC ,故点P 为△ABC 的相似特征点.问题解决:在平面直角坐标系中,点M 是双曲线C :y =(x >0)上的任意一点,点N 是x 轴正半轴上的任意一点.(1)如图2,在Rt △ONM 中,∠ONM =90°,点N (,0)点P 是△ONM 内一点,且∠PON =∠M ,NP ⊥OP ,垂足为P ,试说明点P 是△ONM 的相似特征点,并求出点P 的坐标;(2)如图3,点N 的坐标是(2,0)时,且∠MON =30°,连接MN ,求△MON 的相似特征点的坐标;(3)当△MON 无相似持征点时,请直接写出这两点M ,N 的坐标;(4)在△MON 中,点M 的横坐标为m (m >0),点N 的模坐标为n ,点P 在线段OM 上,且∠PNO =∠M ,试用含m ,n 的式子表示点P 的坐标.解:(1)∵∠PON=∠M,∠OPN=∠MNO=90°,∴△OPN∽△MNO,∴点P是△MON的自相似点;如图2中,过P作PD⊥x轴于D,则tan∠POD=tan∠OMN==,∴∠POD=∠OMN=30°,∴OP=ON×cos30°=,∴OD=OP cos30°=,PD=OP•sin30°,∴P(,);(2)作MH⊥x轴于H,如图3所示:由题意点M的坐标是(3,),点N的坐标是(2,0),∴OM==2,直线OM的解析式为y=x,ON=2,∠MOH=30°,分两种情况:①如图3所示:∵P是△MON的相似点,∴△PON∽△NOM,作PQ⊥x轴于Q,∴PO=PN,OQ=ON=1,∵P的横坐标为1,∴y=×1=∴P(1,);②如图4所示:由勾股定理得:MN==2,∵P是△MON的相似点,∴△PNM∽△NOM,∴=,即=,解得:PN=,即P的纵坐标为,代入y=x得:=x,解得:x=2,∴P(2,);综上所述:△MON的自相似点的坐标为(1,)或(2,);(3)存在点M和点N,使△MON无自相似点,M(,3),N(2 ,0);理由如下:∵M(,3),N(2,0),∴OM=2=ON,∠MON=60°,∴△MON是等边三角形,∵点P在△MON的内部,∴∠PON≠∠OMN,∠PNO≠∠MON,∴存在点M和点N,使△MON无自相似点.(4)如图5中,作PH⊥x轴于H,MF⊥x轴于F.∵M(m,),N(n,0),∴ON=n,OM=,∵∠PON=∠ONP=∠OMN,∴△ONP∽△OMN,∴ON2=OP•OM,∴OP=,∵PH∥MF,∴==,∴PH=,OH=,∴P(,).14.如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,A、C分别在坐标轴上,OA=2,OC=4,直线y=﹣x+3交AB,BC分别于点M,N,反比例函数y=的图象经过点M,N.(1)求反比例函数的解析式;(2)若点P在y轴上,且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等,求点P的坐标解:(1)∵B (4,2),四边形OABC 是矩形, ∴OA =BC =2,将y =2代入y =﹣x +3得:x =2, ∴M (2,2),把M 的坐标代入y =得:k =4, ∴反比例函数的解析式是y =;(2)把x =4代入y =得:y =1, 即CN =1,∵S 四边形BMON =S 矩形OABC ﹣S △AOM ﹣S △CON =4×2﹣×2×2﹣×4×1=4, 由题意得:OP ×AM =4, ∵AM =2, ∴OP =4,∴点P 的坐标是(0,4)或(0,﹣4).15.已知点P 的坐标为(m ,0),点Q 在x 轴上(不与P 重合),以PQ 为边,∠PQM =60°作菱形PQMN ,使点M 落在反比例函数y =﹣的图象上.(1)如图所示,若点P 的坐标为(1,0),求出图中点M 的坐标;(2)当P (1,0)时,在(1)图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN ,请您在原图上画出另一个符合条件的菱形PQ 1M 1N 1,并求点M 1的坐标;(3)随着m 的取值不同,这样的菱形还可以画出三个和四个,当符合上述条件的菱形刚好能画出三个时,请直接写出点M 的坐标.解:(1)如图,∵四边形PQMN 是菱形, ∴PN ∥QM ,MN ∥PQ , ∴∠OPN =∠PQM =60°, ∵P (1,0),∴OP =1,PN =PQ =MN =2OP =2,OM =OP =∴M (2,﹣).(2)如下图中,∵四边形PQ 1M 1N 1是菱形, ∴Q 1P =Q 1M 1, ∵∠PQ 1M 1=60°, ∴△PQ 1M 1是等边三角形, ∴∠Q 1PM 1=60°, ∴直线PM 1的解析式为y =﹣x +,由解得或,∴M1(﹣1,2).(3)如下图,当过点P与x轴的夹角为60°的直线与反比例函数的交点的个数只有3个时,满足条件的菱形只有3个.设直线PM1的解析式为y=x+b,由,消去y得到:x2+bx+2=0,由题意:△=0,∴b=±2,当b=﹣2时,可得y=x﹣2,由:,解得,∴M1(,﹣),由解得或,∴M2(+2,﹣2),M2(﹣2,+2),当b=2时,同法可得满足条件的点M的坐标为(﹣,)或(﹣﹣2,2﹣)或(﹣+2,﹣2﹣).16.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(x >0,m≠0)的图象交于点C,与x轴、y轴分别交于点D、B,已知OB=3,点C的横坐标为4,cos∠0BD=(1)求一次函数及反比例函数的表达式;(2)将一次函数图象向下平移,使其经过原点O,与反比例函数图象在第四象限内的交点为A,连接AC,求四边形OACB的面积.解:(1)∵OB=3,∴B(0,3),∵cos∠0BD=,∴∠OBD=45°,∴△OBD是等腰直角三角形,∴OD=OD=3,∴D(3,0),将点D,B代入y=kx+b得,,解得:,∴一次函数的表达式为:y=﹣x+3;∴C(4,﹣1),∵点C在反比例函数y=(x>0,m≠0)的图象上,∴m=﹣1×4=﹣4,∴反比例函数的解析式为:y=﹣;(2)由平移可得直线OA的解析式为:y=﹣x,∴,解得:,,∴A(2,﹣2),过A 作AE ⊥x 轴交BC 于E ,则AE =OB =3,∴S 四边形OACB =S 四边形OAEB +S △ACE =OB •x A +AE •(x C ﹣x A )=3×2+(4﹣2)=9.17.如图,在平面直角坐标系xOy 内,函数y =x 的图象与反比例函数y =(k ≠0)图象有公共点A ,点A 的坐标为(4,a ),AB ⊥x 轴,垂足为点B . (1)求反比例函数的解析式;(2)点C 是第一象限内直线OA 上一点,过点C 作直线CD ∥AB ,与反比例函数y =(k ≠0)的图象交于点D ,且点C 在点D 的上方,CD =AB ,求点D 的坐标.解:(1)∵点A 在函数y =的图象上,点A 的坐标为(4,a ),∴a =2,∴点A 坐标为(4,2).∵点A 在反比例函数y =(k ≠0)的图象上, ∴2=,解得k =8.∴反比例函数的解析式为y =. (2)∵AB ⊥x 轴,点A 坐标为(4,2), ∴AB =2.∵点C 为第一象限内直线y =x 上一点,∴设点C坐标为(m,m)(m>0).又∵CD∥AB,且点D在反比例函数y=的图象上,∴设点D坐标为(m,).∵点C在点D的上方,可得CD=m﹣.∵CD=AB,∴m﹣=×2,∴解得m=8或m=﹣2.∵m>0,∴m=8.∴点D的坐标为(8,1).18.如图,在平面直角坐标系中,OA⊥OB,AB⊥x轴于点C,点A(﹣,1)在反比例函数y=的图象上.(1)求反比例函数y=的表达式;(2)在x轴的正半轴上存在一点P,使得S△AOP =S△AOB,求点P的坐标;(3)若将△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE,直接写出点E的坐标,并判断点E是否在该反比例函数的图象上,并说明理由.解:(1)把A(﹣,1)代入反比例函数y=,则k=﹣,∴反比例函数y=﹣;(2)设P(m,0),m>0,从点A(﹣,1)的坐标,tan∠AOC=,∴∠AOC=30°,∵OA⊥OB,AB⊥x轴,∴∠ABO=30°,∴OB=2OC=2,S△AOP=•OP•AC=m,S△AOB=AO•BO=×2=2,S△AOP =S△AOB,∴m=4,∴点P的坐标为(4,0);(3)△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°得到△BDE,∴∠OBE=60°﹣30°=30°,如下图,连接OE,∵AB=BE,BO=BO,∠BOA=∠BOE=30°,∴△BOA≌△BOE,∴AO=EO,而OA⊥OB,∴A、O、E在一条直线上,∴点E是点A关于原点的对称点,∴E(,﹣1),也在反比例函数上.19.如图,直线y=k1x(x≥0)与双曲线y=(x>0)相交于点P(1,3).已知点A (3,0),B(0,2),连接AB,将Rt△AOB沿OP方向平移,使点O移动到点P,得到△A'PB'.过点A'作A'C∥y轴交双曲线于点C.(1)求k1与k2的值;(2)求直线PC的解析式;(3)直接写出线段AB扫过的面积.解:(1)将点P(1,3)代入直线y=k1x得,k1=3,将P(1,3)代入双曲线y=得,k2=1×3=3,(2)∵A(3,0),B(0,2),∴AO=3,BO=2,由平移知,A'(4,3),B'(1,5),∵A'C∥y轴交双曲线于点C,∴C点的横坐标为1+3=4,当x=4时,y=,∴C(4,),设直线PC的解析式为y=kx+b,把点P(1,3),C(4,)代入得,,∴,(3)如图,延长A'C交x轴于D,过点B'作B'E⊥y轴于E,∴A'D=3,B'E=1,由平移得,△AOB≌△A'PB',∴线段AB扫过的面积为S▱POBB'+S▱AOPA'=BO×B'E+AO×A'D=2×1+3×3=11.20.如图,一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点B(3,b).点C是线段AB上的动点(与点A、B不重合),过点C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D,O为坐标原点.(1)求△OCD面积为时,点D的坐标;(2)求△OCD面积的最大值;(3)当△OCD面积最大时,以点O为圆心,r为半径画⊙O,是否存在r的值,使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内?如果存在,求出r的取值范围;如果不存在,请说明理由.解:(1)∵点B(3,b)在反比例函数y=的图象上,∴3b=3,∴b=1,∴B(3,1),∵点B(3,1)在一次函数y=kx﹣2(k≠0)的图象上,∴3k﹣2=1,∴k=1,∴直线AB的解析式为y=x﹣2,设点C的坐标为(m,m﹣2)(0<m<3),∵C且平行于y轴的直线CD交这个反比例函数的图象于点D,∴D(m,),∴CD=﹣(m﹣2)=+2﹣m,=CD•m=(+2﹣m)×m=﹣(m2﹣2m﹣3),∴S△OCD∵△OCD面积为,∴﹣(m2﹣2m﹣3)=,∴m=0(舍)或m=2,∴D(2,),(2)由(1)知,S=﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣(m﹣1)2+2,△OCD∵0<m<3,∴m=1时,△OCD面积的最大值为2.(3)存在,理由:∵直线AB的解析式为y=x﹣2,∴A(0,﹣2),∴OA=2,由(1)知,B(3,1),∴OB==由(2)知,m=1,∴C(1,﹣1),D(1,3),∴OC==,OD==,∴OC<OA<OB=OD,∵以点O为圆心,r为半径画⊙O,使得A、B、C、D四个点中恰好有2个在圆内.∴2<r≤.。
2020年中考数学二轮复习压轴专题:反比例函数(解析版)
2020年中考数学二轮复习压轴专题:《反比例函数》1.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,顶点B的坐标为(4,2),AC的垂直平分线分别交BC,OA于点D,E,过点D的反比例函数的图象交AB于点F.(1)求反比例函数的表示式;(2)判断DF与AC的位置关系,并说明理由;(3)连接OD,在反比例函数图象上存在点G,使∠ODG=90°,直接写出点G的坐标.解:(1)连接AD,∵DE垂直平分AC,∴AD=CD,∵B(4,2),∴AB=2,BC=4.设AD=CD=x,则BD=4﹣x,∵四边形OABC矩形,∴BC∥OA,∠B=90°.在Rt△ABD中,AD2=BD2+AB2.即x2=(4﹣x)2+22.解得.∴点.将点的坐标代入中,解得:.∴所求反比例函数表达式为;(2)DF∥AC.将x=4代入得,,∴点.∵B(4,2),A(4,0),C(0,2),,∴AB=2,,BC=4,.∴,.∴.∵∠B=∠B,∴△BDF∽△BCA,∴∠BDF=∠BCA.∴DF∥AC;(3)存在,∵,∴OC=2,CD=,如图,∵G点在反比例函数图象上,∴设G(m,),过G作GH⊥BC于H,∴GH=﹣2,DH=﹣m,∵∠ODG=90°,∴∠GDH+∠CDO=90°,∵∠CDO+∠COD=90°,∴∠GDH=∠COD,∴△DHG∽△OCD,∴=,∴=,解得:m=,m=(不合题意舍去),∴.2.如图,正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y=(k>0,x>0)的图象上边CD在x轴上,点B在y轴上,已知CD=4.(1)点A是否在该反比例函数的图象上?请说明理由.(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q,求点Q的横坐标;(3)平移正六边形ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上,试描述平移过程.解:(1)过点P作x轴垂线PG,连接BP,CP,∵P是正六边形ABCDEF的对称中心,CD=4,∴BP=CP=4,G是CD的中点,∴PG=2,∴P(4,2),∵P在反比例函数y=上,∴k=8,∴y=,连接AC交PB于G,则AC⊥PB,由正六边形的性质得A(2,4),∴点A在反比例函数图象上;(2)过Q作QM⊥x轴于M,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴∠EDM=60°,设DM=b,则QM=b,∴Q(b+6, b),∵该反比例函数图象与DE交于点Q,∴b(b+6)=8,解得:b=﹣3+,b=﹣3﹣(不合题意舍去),∴点Q的横坐标为3+;(3)连接AP,A(2,4),B(0,2),C(2,0),D(6,0),E(8,),F(6,4),设正六边形向左平移m个单位,向上平移n个单位,则平移后点的坐标分别为∴A(2﹣m,4+n),B(﹣m,2+n),C(2﹣m,n),D(6﹣m,n),E(8﹣m,2+n),F(6﹣m,4+n),①将正六边形向左平移4个单位后,E(4,2),F(2,4);则点E与F都在反比例函数图象上;②将正六边形向右平移2个单位,再向上平移2个单位后,C(4,2),B(2,4)则点B与C都在反比例函数图象上;3.如图,在直角坐标系中,点B的坐标为(2,1),过点B分别作x 轴、y轴的垂线,垂足分别是C,A,反比例函数y=(x>0)的图象交AB,BC分别于点E,F.(1)求直线EF的解析式;(2)求四边形BEOF的面积;(3)若点P在y轴上,且△POE是等腰三角形,请直接写出点P 的坐标.解:(1)∵点B的坐标为(2,1),过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足分别是C,A,∴点A,点E纵坐标为1,点C,点F的横坐标为2,∵点E,点F在反比例函数y=(x>0)的图象上,∴点E(1,1),点F(2,),设直线EF的解析式的解析式为:y=kx+b,∴∴∴直线EF的解析式的解析式为:y=﹣x+;(2)∵四边形BEOF的面积=S四边形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF,∴四边形BEOF的面积=2﹣﹣=1;(3)∵点E(1,1),∴OE=,若OE=OP=,则点P(0,)或(0,﹣),若OE=EP,且AE⊥AO,∴OA=AP=1,∴点P(0,2)若OP=PE,∴点P在OE的垂直平分线上,即点P(0,1),综上所述:当点P(0,)或(0,﹣)或(0,2)或(0,1)时,△POE是等腰三角形.4.如图,A、D、B、C分别为反比例函数y=与y=(x>0,0<n <x)图象上的点,且AC∥x轴,BD∥y轴,AC与BD相交于点P,连接AD、BC.(1)若点A坐标A(1,2),点B坐标B(2,5),请直接写出点C、点D、点P的坐标;(2)连接AB、CD,若四边形ABCD是菱形,且点P的坐标为(3,2),请直接写出m、n之间的数量关系式;(3)若A、B为动点,△APD与△CPB是否相似?为什么?解:(1)∵点A坐标A(1,2)反比例函数y=上的点,点B坐标B(2,5)反比例函数y=上的点,∴m=1×2=2,n=2×5=10,∵AC∥x轴,BD∥y轴,∴点C的纵坐标为2,点D的横坐标为2,点P坐标(2,2)∴点C(5,2),点D(2,1);(2)∵点P的坐标为(3,2),∴点A,点C纵坐标为2,点B,点D的横坐标为3,∵四边形ABCD是菱形,∴AP=PC,BP=PD,设点A(x,2),则点C(6﹣x,2),∴m=2x,点D(,3),n=12﹣2x,点B(,3),∵BP=PD,∴2﹣=﹣2,∴m+n=12;(3)△APD∽△CPB,理由如下:设点P的坐标为(a,b),则点A的坐标为(,b)、点D的坐标为(a,),点B的坐标为(a,)、点C的坐标为(,b),∴PA=a﹣=,PC=,PD=b﹣=,PB=,∴,,即,且∠APD=∠CPB,∴△APD∽△CPB.5.如图,已知一次函数y=x﹣3与反比例函数y=的图象相交于点A(4,n),与x轴相交于点B.(1)求n的值和k的值以及点B的坐标;(2)观察反比例函数y=的图象,当y≥﹣3时,请直接写出自变量x的取值范围;(3)以AB为边作菱形ABCD,使点C在x轴正半轴上,点D在第一象限,求点D的坐标;(4)在y轴上是否存在点P,使PA+PB的值最小?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)把点A(4,n)代入一次函数y=x﹣3,可得n=×4﹣3=3;把点A(4,3)代入反比例函数y=,可得3=,解得k=12.∵一次函数y=x﹣3与x轴相交于点B,∴x﹣3=0,解得x=2,∴点B的坐标为(2,0),(2)当y=﹣3时,﹣3=,解得x=﹣4.故当y≥﹣3时,自变量x的取值范围是x≤﹣4或x>0.(2)如图,过点A作AE⊥x轴,垂足为E,过点D作DF⊥x轴,垂足为F,∵A(4,3),B(2,0),∴OE=4,AE=3,OB=2,∴BE=OE﹣OB=4﹣2=2,在Rt△ABE中,AB===,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD=B C=,AB∥CD,∴∠ABE=∠DCF,∵AE⊥x轴,DF⊥x轴,∴∠AEB=∠DFC=90°,在△ABE与△DCF中,,∴△ABE≌△DCF(AAS),∴CF=BE=2,DF=AE=3,∴OF=OB+BC+CF=2++2=4+,∴点D的坐标为(4+,3).(4)存在,如图2,作点B(2,0)关于y轴的对称点Q的坐标为(﹣2,0),∴直线AQ的关系式为y=x+1,∴直线AQ与y轴的交点为P(0,1).6.定义:如图1,点P为∠AOB平分线上一点,∠MPN的两边分别与射线OA,OB交于M,N两点,若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON=OP2,则称∠MPN是∠AOB的“相关角”.(1)如图1,已知∠AOB=60°,点P为∠AOB平分线上一点,∠MPN的两边分别与射线OA,OB交于M,N两点,且∠MPN=150°.求证:∠MPN是∠AOB的“相关角”;(2)如图2,已知∠AOB=α(0°<α<90°),OP=3,若∠MPN 是∠AOB的“相关角”,连结MN,用含α的式子分别表示∠MPN的度数和△MON的面积;(3)如图3,C是函数y=(x>0)图象上的一个动点,过点C 的直线CD分别交x轴和y轴于点A,B两点,且满足BC=3CA,∠AOB的“相关角”为∠APB,请直接写出OP的长及相应点P的坐标.(1)证明:∵∠AOB=60°,P为∠AOB的平分线上一点,∴∠AOP=∠BOP=∠AOB=30°,∵∠MOP+∠OMP+∠MPO=180°,∴∠OMP+∠MPO=150°,∵∠MPN=150°,∴∠MPO+∠OPN=150°,∴∠OMP=∠OPN,∴△MOP∽△PON,∴,∴OP2=OM•ON,∴∠MPN是∠AOB的“相关角”;(2)解:∵∠MPN是∠AOB的“相关角”,∴OM•ON=OP2,∴,∵P为∠AOB的平分线上一点,∴∠MOP=∠NOP=α,∴△MOP∽△PON,∴∠OMP=∠OPN,∴∠MPN=∠OPN+∠OPM=∠OMP+∠OPM=180°﹣α,即∠MPN=180°﹣α;过点M作MH⊥OB于H,如图2,则S△MON=ON•MH=ON•OM sinα=OP2•sinα,∵OP=3,∴S△MON=sinα;(3)设点C(a,b),则ab=4,过点C作CH⊥OA于H;分两种情况:①当点B在y轴正半轴上时;Ⅰ、当点A在x轴的负半轴上,如图3所示:BC=3CA不可能,Ⅱ、当点A在x轴的正半轴上时,如图4所示:∵BC=3CA,∴=,∵CH∥OB,∴△ACH∽△ABO,∴=,∴∴OB=4b,OA=a,∴OA•OB=a•4b=ab=,∵∠APB是∠AOB的“相关角”,∴OP2=OA•OB,∴OP===,∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为:(,);②当点B在y轴的负半轴上时,如图5所示:∵BC=3CA,∴AB=2CA,∴=,∵CH∥OB,∴△ACH∽△ABO,∴=,∴=∴OB=2b,OA=a,∴OA•OB=a•2b=ab=,∵∠APB是∠AOB的“相关角”,∴OP2=OA•OB,∴OP===,∵∠AOB=90°,OP平分∠AOB,∴点P的坐标为:(,﹣);综上所述:点P的坐标为:(,)或(,﹣).7.如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足+(a+b+3)2=0,平等四边形ABCD的边AD与y轴交于点E,且E为AD中点,双曲线y=经过C、D两点.(1)a=﹣1 ,b=﹣2 ;(2)求D点的坐标;(3)点P在双曲线y=上,点Q在y轴上,若以点A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点Q的坐标;(4)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3),点T是边AF上一动点,M是HT的中点,MN⊥HT,交AB于N,当T在AF上运动时,的值是否发生改变?若改变,求出其变化范围;若不改变,请求出其值,并给出你的证明.解:(1)∵+(a+b+3)2=0,且≥0,(a+b+3)2≥0,∴,解得:.故答案是:﹣1;﹣2;(2)∴A(﹣1,0),B(0,﹣2),∵E为AD中点,∴x D=1,设D(1,t),又∵四边形ABCD是平行四边形,∴C(2,t﹣2).∴t=2t﹣4.∴t=4.∴D(1,4);(3)∵D(1,4)在双曲线y=上,∴k=xy=1×4=4.∴反比例函数的解析式为y=,∵点P在双曲线y=上,点Q在y轴上,∴设Q(0,y),P(x,),①当AB为边时:如图1所示:若ABPQ为平行四边形,则=0,解得x=1,此时P1(1,4),Q1(0,6);如图2所示:若ABQP为平行四边形,则=,解得x=﹣1,此时P2(﹣1,﹣4),Q2(0,﹣6);②如图3所示:当AB为对角线时:AP=BQ,且AP∥BQ;∴=,解得x=﹣1,∴P3(﹣1,﹣4),Q3(0,2);综上所述,Q1(0,6);Q2(0,﹣6);Q3(0,2);(4)如图4,连接NH、NT、NF,∵MN是线段HT的垂直平分线,∴NT=NH,∵四边形AFBH是正方形,∴∠ABF=∠ABH,在△BFN与△BHN中,,∴△BFN≌△BHN(SAS),∴NF=NH=NT,∴∠NTF=∠NFT=∠AHN,四边形ATNH中,∠ATN+∠NTF=180°,而∠NTF=∠NFT=∠AHN,所以,∠ATN+∠AHN=180°,所以,四边形ATNH内角和为360°,所以∠TN H=360°﹣180°﹣90°=90°.∴MN=HT,∴=.即的定值为.8.已知:一次函数y=mx+10(m<0)的图象与反比例函数y=(k >0)的图象相交于A、B两点(A在B的右侧).(1)当A(8,2)时,求这个一次函数和反比例函数的解析式,以及B点的坐标;(2)在(1)的条件下,平面内存在点P,使得以A、B、O、P为顶点的四边形为平行四边形,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;(3)当m=﹣2时,设A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)时,直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若,求△ABC的面积.解:(1)把A(8,2)代入y=,得k=8×2=16.∴反比例函数的解析式为y=,把A(8,2)代入y=mx+10,得到m=﹣1,∴一次函数的解析式为y=﹣x+10,解方程组,得或,∴点B的坐标为(2,8)(2)如图1,设P的坐标为(x,y),∵四边形AP1BO是平行四边形,∴AB、OP1互相平分,∵A(8,2),B(2,8),O(0,0),∴=,=,∴x=10,y=10,∴P1(10,10),同理求得,P2(﹣6,6),P3(6,﹣6);(3)过点B作BS⊥y轴于S,过点C作CT⊥y轴于T,连接OB,如图2,则有BS∥CT,∴△CTD∽△BSD,∴=,∵=,∴==,∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10),∴C(﹣a,2a﹣10),CT=a,BS=b,∴=,即b=a.∵A(a,﹣2a+10),B(b,﹣2b+10)都在反比例函数y=的图象上,∴a(﹣2a+10)=b(﹣2b+10),∴a(﹣2a+10)=a(﹣2×a+10).∵a≠0,∴﹣2a+10=(﹣2×a+10),解得:a=3.∴A(3,4),B(2,6),C(﹣3,﹣4).设直线BC的解析式为y=px+q,则有,解得:,∴直线BC的解析式为y=2x+2.当x=0时,y=2,则点D(0,2),OD=2,∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD•CT+OD•BS=×2×3+×2×2=5.∵OA=OC,∴S△AOB=S△COB,∴S△ABC=2S△COB=10.9.如图,已知直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点A与点B不重合,直线AB与x轴交于点P(x0,0),与y轴交于点C(1)若A、B两点坐标分别为(1,4),(4,y2),求点P的坐标;(2)若b=y1+1,x0=6,且y1=2y2,求A,B两点的坐标;(3)若将(1)中的点A,B绕原点O顺时针旋转90°,A点对应的点为A′,B点的对应点为B′点,连接AB′,A′B′,动点M 从A点出发沿线段AB′以每秒1个单位长度的速度向终点B′运动;动点N同时从B′点出发沿线段B′A′以每秒1个单位长度的速度向终点A′运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设运动的时间为t秒,试探究:是否存在使△MNB′为等腰直角三角形的t值,若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.解:(1)∵直线y=ax+b与双曲线y=(x>0)交于A(1,4)∴k=1×4=4,∴y=,∵B(4,y2)在反比例函数的图象上,∴y2==1,∴B(4,1),∵直线y=ax+b经过A、B两点,∴,解得,∴直线为y=﹣x+5,令y=0,则x=5,∴P(5,0);(2)如图,作AD⊥y轴于D,AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,BG⊥y 轴于G,AE、BG交于H,则AD∥BG∥x轴,AE∥BF∥y轴,∴=,==,∵b=y1+1,y1=2y2,∴=,==,∴B(, y1),∵A,B两点都是反比例函数图象上的点,∴x1•y1=•y1,解得x1=2,代入=,解得y1=2,∴A(2,2),B(4,1);(3)存在,如图2,∵A、B两点坐标分别为(1,4),(4,1),将B绕原点O顺时针旋转90°,∴B′(1,﹣4),∴AB′=8,由题意得:AM=BN=t,∴B′M=8﹣t,∵△MNB′为等腰直角三角形,∴①当∠B′N1M1=90°,即B′M1=B′N1,∴8﹣t=t,解得:t=8﹣8;②当∠B′M2N2=90°,即B′N2=B′M2,∴t=(8﹣t),解得:t=16﹣8;综上所述,t的值为8﹣8或16﹣8.10.平面直角坐标系中,A(,0)、B(,3).(1)如图1,C点在y轴上,AC⊥AB,请直接写出C点的坐标.(2)如图2,以AB为边作矩形ABDE,D、E在第一象限内,且D、E两点均在双曲线的图象上,求k的值.(3)将(2)中求得的线段DE在(2)中的双曲线(x>0)的图象上滑动(D点始终在E点左边),作DM⊥y轴于M,EN⊥x轴于N.若MN=,请直接写出DM•EN的值.解:(1)过B作BD⊥x轴于D,∵A(,0)、B(,3),∴BD=3,AD=2,OA=,∵AC⊥AB,∴∠ADB=∠BAC=∠AOC=90°,∴∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠CAO=90°,∴∠ABD=∠CAO,∴△ABD∽△CAO,∴,∴,∴OC=,∴C(0,);(2)∵四边形ABDE是矩形,∵A(,0)、B(,3),设E(m,n),则D(m﹣2,n+3),∵D、E均在双曲线上∴mn=(m﹣2)(n+3),过点B作BF⊥x轴于F,过点E作EG⊥x轴于G,由(1)证得△ABF∽△EAG,∴,∴,得2m+1=3n,联立,解得,∴k=mn=12;(3)∵DE=AB=,∵MN=,∴延长MD,NE交于G,则四边形MONG是矩形,设M(0,m)、N(n,0)∴D(,m)、E(n,)、G(n,m),∴直线MN的解析式为y=﹣x+m;直线DE的解析式为:y=﹣x+m+,∴MN∥DE,∴,∴,得mn=4∴DM•EN=.11.综合与探究:如图所示,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与反比例函数y=(k>0)的图象交于A(a,3),B(﹣3,b)两点,过点A作AC ⊥x轴于点C,过点B作BD⊥x轴于点D.(1)求a,b的值及反比例函数的函数表达式;(2)若点P在线段AB上,且S△ACP=S△BDP,请求出此时点P的坐标;(3)小颖在探索中发现:在x轴正半轴上存在点M,使得△MAB是以∠A为顶角的等腰三角形.请你直接写出点M的坐标.解:(1)∵直线y=x+2与反比例函数y=(k>0)的图象交于A (a,3),B(﹣3,b)两点,∴a+2=3,﹣3+2=b,∴a=1,b=﹣1.∴A(1,3),B(﹣3,﹣1),∵点A(1,3)在反比例函数y=上,∴k=1×3=3,∴反比例函数的函数表达式为y=,(2)设点P(x P,y P),∵A(1,3),∴C(1,0).∴AC=3.∵B(﹣3,﹣1),∴D(﹣3,0),∴BD=1,∴AC(1﹣x P)=DB(x P+3),解得:x P=0,∴y P=2,∴点P的坐标为(0,2);(3)∵△MAB是以∠A为顶角的等腰三角形,∴AB=AM,∵AB==4,∵AC⊥x轴,∴CM===,∴OM=1+,∴M(1+,0).12.如图1,在矩形中,OA=4,OC=3,分别以OC,OA所在的直线为x轴、y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,连接OB,反比例函数y=(x>0)的图象经过线段OB的中点D,并与矩形的两边交于点E和点F,直线l:y=ax+b经过点E和点F.(1)连接OE、OF,求△OEF的面积;(2)如图2,将线段OB绕点O顺时针旋转﹣定角度,使得点B的对应点H好落在x轴的正半轴上,连接BH,作OM⊥BH,点N为线段OM上的一个动点,求的最小值.解:(1)在矩形ABCO中,∵OA=BC=4,OC=AB=3,∴B(3,4),∵OD=DB,∴D(,2),∵y=经过D(,2),∴k=3,∴反比例函数的解析式为y=,∴y=4时,x=,∴E(,4),当x=3时,y=1,∴F(3,1),∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=3×4﹣×4×﹣×3×1﹣×(3﹣)(4﹣1)=12﹣﹣﹣=;(2)作NJ⊥BO于J,HK⊥BO于K,如图2所示:OB===5,由旋转的性质得:OB=OH=5,∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2,∴BH═==2,∴sin∠CBH═==,∵OM⊥BH,∴∠OMH=∠BCH=90°,∵∠MOH+∠OHM=90°,∠CBH+∠CHB=90°,∴∠MOH=∠CBH,∵OB=OH,OM⊥BH,∴∠MOB=∠MOH=∠CBH,∴sin∠NOJ=,∴NJ=ON•sin∠NOJ=ON,∴NH+ON=NH+NJ,根据垂线段最短可知,当J,N,H三点共线,且与HK重合时,HN+ON 的值最小,最小值为HK的长,∵OB=OH, BC•OH=HK•OB,∴HK=BC=4,∴HN+ON是最小值为4.13.已知一次函数y=kx﹣(2k+1)的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点,与反比例函数y=﹣的图象分别交于C、D两点.(1)如图1,当k=1,点P在线段AB上(不与点A、B重合)时,过点P作x轴和y轴的垂线,垂足为M、N.当矩形OMPN的面积为2时,求出点P的位置;(2)如图2,当k=1时,在x轴上是否存在点E,使得以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,说明理由;(3)若某个等腰三角形的一条边长为5,另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标,求k的值.解:(1)当k=1,则一次函数解析式为:y=x﹣3,反比例函数解析式为:y=﹣,∵点P在线段AB上∴设点P(a,a﹣3),a>0,a﹣3<0,∴PN=a,PM=3﹣a,∵矩形OMPN的面积为2,∴a×(3﹣a)=2,∴a=1或2,∴点P(1,﹣2)或(2,﹣1)(2)∵一次函数y=x﹣3与x轴和y轴分别交于A、B两点,∴点A(3,0),点B(0,﹣3)∴OA=3=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°,AB=3,∵x﹣3=﹣∴x=1或2,∴点C(1,﹣2),点D(2,﹣1)∴BC==,设点E(x,0),∵以A、B、E为顶点的三角形与△BOC相似,且∠CBO=∠BAE=45°,∴,或,∴,或=,∴x=1,或x=﹣6,∴点E(1,0)或(﹣6,0)(3)∵﹣=kx﹣(2k+1),∴x=1,x=,∴两个函数图象的交点横坐标分别为1,,∵某个等腰三角形的一条边长为5,另两条边长恰好是两个函数图象的交点横坐标,∴1=,或5=∴k=14.如图,已知直线y=kx+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,4)、B(4,1)两点,与x轴交于C点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)根据图象直接回答:在第一象限内,当x取何值时,一次函数值大于反比例函数值?(3)点P是y=(x>0)图象上的一个动点,作PQ⊥x轴于Q点,连接PC,当S△CPQ=S△CAO时,求点P的坐标.解:(1)把A(1,4)代入y=(x>0),得m=1×4=4,∴反比例函数为y=;把A(1,4)和B(4,1)代入y=kx+b得,解得:,∴一次函数为y=﹣x+5.(2)根据图象得:当1<x<4时,一次函数值大于反比例函数值;(3)设P(m,),由一次函数y=﹣x+5可知C(5,0),∴S△CAO==10,∵S△CPQ=S△CAO,∴S△CPQ=5,∴|5﹣m|•=5,解得m=或m=﹣(舍去),∴P(,).15.综合与探究如图1,平面直角坐标系中,直线l:y=2x+4分别与x轴、y轴交于点A,B.双曲线y=(x>0)与直线l交于点E(n,6).(1)求k的值;(2)在图1中以线段AB为边作矩形ABCD,使顶点C在第一象限、顶点D在y轴负半轴上.线段CD交x轴于点G.直接写出点A,D,G的坐标;(3)如图2,在(2)题的条件下,已知点P是双曲线y=(x>0)上的一个动点,过点P作x轴的平行线分别交线段AB,CD于点M,N.请从下列A,B两组题中任选一组题作答.我选择①组题.A.①当四边形AGNM的面积为5时,求点P的坐标;②在①的条件下,连接PB,PD.坐标平面内是否存在点Q(不与点P重合),使以B,D,Q为顶点的三角形与△PBD全等?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.B.①当四边形AGNM成为菱形时,求点P的坐标;②在①的条件下,连接PB,PD.坐标平面内是否存在点Q(不与点P重合),使以B,D,Q为顶点的三角形与△PBD全等?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.解:(1)由已知可得A(﹣2,0),B(0,4),E(1,6),∴k=6;(2)∵AB⊥BC,∴BC的解析式为y=﹣x+4,联立,∴C(2,3),∵CD=AB=2,∴D(0,﹣1),∴CD的解析式为y=2x﹣1,∴G(,0);(3)A①设P(m,),∵MN∥x轴,∴M(﹣2,),N(+,),∴MN=,∵四边形AGNM的面积为5,∴×=5,∴m=3,∴P(3,2);②Q(3,1)、Q(﹣3,1)、Q(﹣3,2)时B,D,Q为顶点的三角形与△PBD全等.B①∵四边形AGNM成为菱形,MN=AM,∴=∴m=,∴P(,);②Q(﹣,)、Q(,3﹣)、Q(﹣,3﹣)时B,D,Q为顶点的三角形与△PBD全等.。
中考数学《反比例函数》专项练习(附答案解析)
中考数学《反比例函数》专项练习(附答案解析)一、综合题1.已知:如图1,函数y1=kx 和y2=xk(k>1)的图象相交于点A和点B .(1)求点A和点B的坐标(用含k的式子表示);(2)如图2,点C的坐标为(1,k),点D是第一象限内函数y1的图象上的动点,且在点A的右侧,直线AC、BC、AD、BD分别与x轴相交于点E、F、G、H .①判定△CEF的形状,并说明理由;②点D在运动的过程中,∠CAD和∠CBD的度数和是否变化?如果变化,说明理由;如果不变,求出∠CAD和∠CBD的度数和.2.在平面直角坐标系中,我们把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”,例如点(1,1),(-2,-2),(√2,√2),…都是“梦之点”,显然“梦之点”有无数个.(1)若点P(2,m)是反比例函数y=nx(n为常数,n≠0)的图象上的“梦之点”,求这个反比例函数的解析式;(2)函数y=3kx+s-1(k,s为常数)的图象上存在“梦之点”吗?若存在,请求出“梦之点”的坐标,若不存在,说明理由.3.如图,点A是坐标原点,点D是反比例函数y=6x(x>0)图象上一点,点B在x轴上,AD=BD,四边形ABCD是平行四边形,BC交反比例函数y=6x(x>0)图象于点E.(1)平行四边形BCD 的面积等于 ;(2)设D 点横坐标为m ,试用m 表示点E 的坐标;(要有推理和计算过程) (3)求 CE:EB 的值; (4)求 EB 的最小值.4.如图,一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数y= mx 的图象交于点A (﹣3,m+8),B (n ,﹣6)两点.(1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)求△AOB 的面积.5.已知双曲线y=1x (x >0),直线l 1:y ﹣√2=k (x ﹣√2)(k <0)过定点F 且与双曲线交于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2),直线l 2:y=﹣x+√2. (1)若k=﹣1,求△OAB 的面积S ; (2)若AB=52√2,求k 的值;(3)设N (0,2√2),P 在双曲线上,M 在直线l 2上且PM ∥x 轴,求PM+PN 最小值,并求PM+PN 取得最小值时P 的坐标.(参考公式:在平面直角坐标系中,若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)则A ,B 两点间的距离为AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2)6.已知反比例函数y=1−2mx( m为常数)的图象在一、三象限.(1)求m的取值范围.(2)如图,若该反比例函数的图象经过▱ ABCD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),(-2,0).①求出反比例函数表达式;②设点P是该反比例函数图象上的一点,若OD=OP,则P点的坐标为▲ .若以D,O,P为顶点的三角形是等腰三角形,则满足条件的点P的个数为▲ .7.绘制函数y=x+1x的图象,我们经历了如下过程:确定自变量x的取值范围是x≠0;列表﹣﹣描点﹣﹣连线,得到该函数的图象如图所示.x …-4 -3 -2 -1 −12−13−141413121 2 3 4 …y …−414−313−212−2−212−313−4144143132122 212313414…观察函数图象,回答下列问题:(1)函数图象在第象限;(2)函数图象的对称性是A.既是轴对称图形,又是中心对称图形B.只是轴对称图形,不是中心对称图形C.不是轴对称图形,而是中心对称图形D.既不是轴对称图形,也不是中心对称图形(3)在x>0时,当x=时,函数y有最(大,小)值,且这个最值等于;在x<0时,当x=时,函数y有最(大,小)值,且这个最值等于;=−2x+1是否有实数解?说明理由.(4)方程x+1x8.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示,对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上,过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程x2﹣9x+18=0的两根,请解答下列问题:(1)求点D的坐标;(k≠0)的图象经过点H,则k= ;(2)若反比例函数y= kx(3)点Q在直线BD上,在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.9.设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1.(1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象;的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.(2)若反比例函数y2=kx①求k的值;②结合图象,当y1>y2时,写出x的取值范围.10.受新冠肺炎疫情的影响,运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降.借此机会,为了贯彻“发展循环经济,提高工厂效益”的绿色发展理念;管理人员对生产线进行为期5个月的升级改造,改造期间的月利润与时间成反比例函数;到5月底开始恢复全面生产后,工厂每月的利润都比前一个月增加10万元.设2020年1月为第1个月,第x个月的利润为y万元,其图象如图所示,试解决下列问题:(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后,y与x的函数表达式.(2)到第几个月时,该化工厂月利润才能再次达到100万元?(3)当月利润少于50万元时,为该化工厂的资金紧张期,问该化工厂资金紧张期共有几个月?11.(如图,四边形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内,其四个顶点分别在反比例函数y1=nx 与y2=4nx的图象上,对角线AC⊥BD于点P,AC⊥x轴于点N(2,0)(1)若CN=12,试求n的值;(2)当n=2,点P是线段AC的中点时,试判断四边形ABCD的形状,并说明理由;(3)直线AB与y轴相交于E点.当四边形ABCD为正方形时,请求出OE的长度.12.如图点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴于点C,AO=CD=2,AB=DA= √5,反比例函数y= kx(k>0)的图象过CD的中点E.(1)求证:△AOB≌△DCA;(2)求k的值;(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称,其中点F在y轴上,试判断点G是否在反比例函数的图象上,并说明理由.13.如图所示,一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,且与反比例函数y=m的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为点D.若OB=2OA=3OD= x12 .(1)求一次函数与反比例函数的解析式;(2)若两函数图象的另一个交点为E,连结DE,求△CDE的面积;(3)直接写出不等式kx+b≤m的解集.x与y2= 14.某校九年级数学小组在课外活动中,研究了同一坐标系中两个反比例函数y1=k1xk2(k2>k1>0)在第一象限图象的性质,经历了如下探究过程:x操作猜想:(1)如图①,当k1=2,k2=6时,在y轴的正方向上取一点A作x轴的平行线交y1于点B,交y2于点C .当OA=1时,AB=,BC=,BC AB =;当OA=3时,AB=,BC=,BCAB=;当OA=a时,猜想BCAB=(2)在y轴的正方向上任意取点A作x轴的平行线,交y1于点B、交y2于点C,请用含k1、k2的式子表示BCAB的值,并利用图②加以证明.(3)如图③,若k2=12,BCAB =12,在y轴的正方向上分别取点A、D(OD>OA)作x轴的平行线,交y1于点B、E,交y2于点C、F,是否存在四边形ADFB是正方形?如果存在,求OA的长和点B的坐标;如果不存在,请说明理由.15.如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.(1)求H点的坐标及k的值;(2)点P在y轴上,使△AMP是以AM为腰的等腰三角形,请直接写出所有满足条件的P 点坐标;(3)点N(a,1)是反比例函数y=kx(x>0)图象上的点,点Q(m,0)是x轴上的动点,当△MNQ的面积为3时,请求出所有满足条件的m的值.16.如图,双曲线y1=k1x与直线y2=xk2的图象交于A、B两点.已知点A的坐标为(4,1),点P(a,b)是双曲线y1=k1x上的任意一点,且0<a<4.(1)分别求出y1、y2的函数表达式;(2)连接PA、PB,得到△PAB,若4a=b,求三角形ABP的面积;(3)当点P在双曲线y1=k1x上运动时,设PB交x轴于点E,延长PA交x轴于点F,判断PE与PF的大小关系,并说明理由.参考答案与解析1.【答案】(1)解:由题意,联立{y=kxy=xk,解得{x=ky=1或{x=−ky=−1,∵点A在第一象限,点B在第二象限,且k>1,∴A(k,1),B(−k,−1)(2)解:①△CEF是等腰直角三角形,理由如下:设直线BC的解析式为y=k0x+b0,将点B(−k,−1),C(1,k)代入得:{−kk0+b0=−1k0+b0=k,解得{k0=1b0=k−1,则直线BC的解析式为y=x+k−1,当y=0时,x+k−1=0,解得x=1−k,即F(1−k,0),同理可得:点E的坐标为E(1+k,0),∴CF=√(1−k−1)2+(0−k)2=√2k,CE=√(1+k−1)2+(0−k)2=√2k,EF=1+k−(1−k)=2k,∴CE=CF,CE2+CF2=4k2=EF2,∴△CEF是等腰直角三角形;②由题意,设点D的坐标为D(m,km),则m>k>1,∵△CEF是等腰直角三角形,∴∠CFE=∠CEF=45°,∴∠BFH=∠AEG=135°,设直线BD的解析式为y=k1x+b1,将点B(−k,−1),D(m,km )代入得:{−kk1+b1=−1mk1+b1=km,解得{k1=1mb1=k−mm,则直线BD的解析式为y=1m x+k−mm,当y=0时,1m x+k−mm=0,解得x=m−k,即H(m−k,0),同理可得:点G的坐标为G(k+m,0),∴DH=√(m−k−m)2+(0−km )2=km√1+m2,DG=√(k+m−m)2+(0−km )2=km√1+m2,∴DH=DG,∴∠DHG=∠DGH,∵∠DHG=∠BHF,∴∠DGH=∠BHF,∴∠CAD+∠CBD=∠AEG+∠DGH+∠CBD,=∠BFH+∠BHF+∠CBD,=180°,即∠CAD与∠CBD的度数和不变,度数和为180°2.【答案】(1)解:根据题意,“梦之点”就是有关函数图象与直线y=x的交点,其坐标就是对应的方程组的解.由题意可得:m=2由点P(2, 2)在反比例函数y=nx图象上,可得n=2×2=4故所求的反比例函数的解析式为y=4x(2)解:由题意可得:(Ⅰ)当k=0时,y=s−1,此时“梦之点”的坐标为(s−1, s−1 ) . (Ⅱ)当k≠0 时, (3k−1)x=1−s显然,此方程的解的情况决定函数y=3kx+s−1的图象上“梦之点”的存在情况,当k=13, s≠1时,方程无解,不存在“梦之点”;当k=13, s=1时,方程有无数个解,此时存在无数个“梦之点”,“梦之点”的坐标可表示为(ℎ,ℎ)(ℎ为任意实数);当k≠13时,得{x=1−s3k−1y=1−s3k−1,即“梦之点”的坐标为(1−s3k−1, 1−s3k−1)3.【答案】(1)12(2)解:由题意D(m,6m),由(1)可知AB=2m,∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=2m,∴C(3m,6m) .∵B(2m,0),C(3m,6m),∴直线BC的解析式为y=6m2x−12m,由{y=6xy=6m2x−12m,解得{x=(√2+1)my=6√2−6m或{x=(1−√2)my=6(1+√2)m(舍弃),∴E((√2+1)m,6√2−6m);(3)解:作EF⊥x轴于F,CG⊥x轴于G . ∵EF//CG,∴CE BE=FG BF=√2+1)m (√2+1)m−2m =√2√2−1=√2 ;(4)解:∵CEBE =√2 ∴BE =√2+1 ,要使得 BE 最小,只要 AD 最小, ∵AD =√m 2+36m 2=√(m −6m )2+12 ,∴AD 的最小值为 2√3 , ∴BE 的最小值为√3√2+1=2√6−2√3 .4.【答案】(1)解:将A (﹣3,m+8)代入反比例函数y= mx 得,m −3=m+8,解得m=﹣6, m+8=﹣6+8=2,所以,点A 的坐标为(﹣3,2), 反比例函数解析式为y=﹣ 6x ,将点B (n ,﹣6)代入y=﹣ 6x 得,﹣ 6n =﹣6, 解得n=1,所以,点B 的坐标为(1,﹣6),将点A (﹣3,2),B (1,﹣6)代入y=kx+b 得, {−3k +b =2k +b =−6 , 解得 {k =−2b =−4,所以,一次函数解析式为y=﹣2x ﹣4; (2)解:设AB 与x 轴相交于点C , 令﹣2x ﹣4=0解得x=﹣2, 所以,点C 的坐标为(﹣2,0), 所以,OC=2, S △AOB =S △AOC +S △BOC , = 12 ×2×3+ 12 ×2×1,=3+1, =4.5.【答案】(1)解:当k=-1时,l 1:y=﹣x+2√2, 联立得,{y =−x +2√2y =1x ,化简得x 2﹣2√2x+1=0, 解得:x 1=√2﹣1,x 2=√2+1,设直线l 1与y 轴交于点C ,则C (0,2√2). S △OAB =S △AOC ﹣S △BOC =12•2√2•(x 2﹣x 1)=2√2;(2)解:根据题意得:{y −√2=k(x −√2)y =1x 整理得:kx 2+√2(1﹣k )x ﹣1=0(k <0), ∵△=[√2(1﹣k )]2﹣4×k ×(﹣1)=2(1+k 2)>0, ∴x 1、x 2 是方程的两根, ∴{x 1+x 2=√2(k−1)k x 1·x 2=−1k①, ∴AB=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√(x 1−x 2)2+(1x 1−1x 2)2=√(x 1−x 2)2(1+1x 12·x 22)=√[(x 1+x 2)2−4x 1x 2](1+1x 12·x 22),将①代入得,AB=√2(k 2+1)2k 2=√2(k 2+1)−k (k <0),∴√2(k 2+1)−k =5√22,整理得:2k2+5k+2=0,解得:k=﹣2,或 k=12;(3)解:∵直线l1:y﹣√2=k(x﹣√2)(k<0)过定点F, ∴ F(√2,√2).如图:设P(x,1x ),则M(﹣1x+√2,1x),则PM=x+1x ﹣√2=√(x+1x−√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4,∵PF=√(x−√2)2+(1x −√2)2=√x2+1x2−2√2(x+1x)+4,∴PM=PF.∴PM+PN=PF+PN≥NF=2,当点P在NF上时等号成立,此时NF的方程为y=﹣x+2√2,由(1)知P(√2﹣1,√2+1),∴当P(√2﹣1,√2+1)时,PM+PN最小值是2.6.【答案】(1)解:根据题意,得1−2m>0,解得m<12,∴m的取值范围是m<12.(2)解:①∵四边形ABCD是平行四边形,A(0,3),B(−2,0),∴D(2,3) .把D(2,3)代入y=1−2mx ,得3=1−2m2,∴1−2m=6 .∴反比例函数表达式为y=6x;②(3,2)或(-2,-3)或(-3,-2);4 7.【答案】(1)一、三(2)C(3)1;小;2;−1;大;−2(4)解:方程x + 1x =﹣2x +1没有实数解,理由为:y =x + 1x 与y =﹣2x +1在同一直角坐标系中无交点.8.【答案】(1)解:x 2﹣9x+18=0, (x ﹣3)(x ﹣6)=0, x=3或6, ∵CD >DE , ∴CD=6,DE=3, ∵四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD ,AE=EC= √62−32 =3 √3 , ∴∠DCA=30°,∠EDC=60°, Rt △DEM 中,∠DEM=30°, ∴DM= 12 DE= 32 , ∵OM ⊥AB ,∴S 菱形ABCD = 12 AC •BD=CD •OM , ∴12×6√3×6 =6OM ,OM=3 √3 , ∴D (﹣ 32 ,3 √3 ) (2)解:(3)解:如图1,①∵DC=BC ,∠DCB=60°, ∴△DCB 是等边三角形, ∵H 是BC 的中点,∴DH⊥BC,∴当Q与B重合时,如图1,四边形CFQP是平行四边形,∵FC=FB,∴∠FCB=∠FBC=30°,∴∠ABF=∠ABC﹣∠CBF=120°﹣30°=90°,∴AB⊥BF,CP⊥AB,Rt△ABF中,∠FAB=30°,AB=6,∴FB=2 √3 =CP,,√3);∴P(92②如图2,∵四边形QPFC是平行四边形,∴CQ∥PH,由①知:PH⊥BC,∴CQ⊥BC,Rt△QBC中,BC=6,∠QBC=60°,∴∠BQC=30°,∴CQ=6 √3,连接QA,∵AE=EC,QE⊥AC,∴QA=QC=6 √3,∴∠QAC=∠QCA=60°,∠CAB=30°,∴∠QAB=90°,∴Q(﹣92,6 √3),由①知:F(32,2 √3),由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律,则P(﹣92﹣3,6 √3﹣√3),即P(﹣152,5 √3);③如图3,四边形CQFP是平行四边形,同理知:Q(﹣92,6 √3),F(32,2 √3),C(92,3 √3),∴P(212,﹣√3);综上所述,点P的坐标为:(92,√3)或(﹣152,5 √3)或(212,﹣√3).9.【答案】(1)解:由题意y1=|x|.函数图象如图所示:(2)解:①当点A在第一象限时,由题意A(2,2),∴2=k2,∴k=4.同法当点A在第二象限时,k=−4,②观察图象可知:当k>0时,x>2时,y1>y2或x<0时,y1>y2.当k<0时,x<−2时,y1>y2或x>0时,y1>y2.10.【答案】(1)解:由题意得,设前5个月中y= kx,把x=1,y=100代入得,k=100,∴y与x之间的函数关系式为y= 100x(0<x<5,且x为整数),把x=5代入,得y=20,由题意设5月份以后y与x的函数关系式为y=10x+b,把x=5,y=20代入得,20=10×5+b,解得:b=-30,∴y与x之间的函数关系式为y=10x-30(x>5且x为整数);(2)解:在函数y=10x−30中,令y=100,得10x−30=100解得:x=13答:到第13个月时,该化工厂月利润再次达到100万元.(3)解:在函数y=100x中,当y=50时,x=2,∵100>0,y随x的增大而减小,∴当y<50时,x>2在函数y=10x−30中,当y<50时,得10x−30<50解得:x<8∴2<x<8且x为整数;∴x可取3,4,5,6,7;共5个月.答:该化工厂资金紧张期共有5个月.11.【答案】(1)解:∵点N的坐标为(2,0),CN⊥x轴,且CN=12,∴点C的坐标为(2,12).∵点C在反比例函数y1=nx的图象上,∴n=2×12=1.(2)解:四边形ABCD为菱形,理由如下:当n=2时,y1=nx=2x,y2=4nx=8x.当x=2时,y1=2x=1,y2=8x=4,∴点C的坐标为(2,1),点A的坐标为(2,4).∵点P是线段AC的中点,∴点P 的坐标为(2, 52 ). 当y = 52 时, 2x = 52 , 8x = 52 , 解得:x = 45 ,x = 165 ,∴点B 的坐标为( 45 , 52 ),点D 的坐标为( 165 , 52 ), ∴BP =2﹣ 45 = 65 ,DP = 165 ﹣2= 65 , ∴BP =DP .又∵AP =CP ,AC ⊥BD , ∴四边形ABCD 为菱形.(3)解:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AC =BD ,且点P 为线段AC 及BD 的中点. 当x =2时,y 1= 12 n ,y 2=2n ,∴点A 的坐标为(2,2n ),点C 的坐标为(2, 12 n ),AC = 32 n , ∴点P 的坐标为(2, 54 n ).同理,点B 的坐标为( 45 , 54 n ),点D 的坐标为( 165 , 54 n ),BD = 125 . ∵AC =BD , ∴32 n = 125 , ∴n = 85 ,∴点A 的坐标为(2, 165 ),点B 的坐标为( 45 ,2). 设直线AB 的解析式为y =kx+b (k ≠0),将A (2, 165 ),B ( 45 ,2)代入y =kx+b ,得: {2k +b =16545k +b =2 ,解得: {b =65k =1 ,∴直线AB 的解析式为y =x+ 65 . 当x =0时,y =x+ 65 = 65 , ∴点E 的坐标为(0, 65 ),∴当四边形ABCD为正方形时,OE的长度为6.512.【答案】(1)证明:∵点A、B分别在x,y轴上,点D在第一象限内,DC⊥x轴,∴∠AOB=∠DCA=90°,在Rt△AOB和Rt△DCA中,AO=CD,AB=DA∴Rt△AOB≌Rt△DCA(HL)(2)解:在Rt△ACD中,CD=2,AD= √5,∴AC= =1,∴OC=OA+AC=2+1=3,∴D点坐标为(3,2),∵点E为CD的中点,∴点E的坐标为(3,1),k=3×1=3(3)解:点G在反比例函数的图象上.理由如下:∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称,∴△BFG≌△DCA,∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,而OB=AC=1,∴OF=OB+BF=1+2=3,∴G点坐标为(1,3),∵1×3=3,∴G(1,3)在反比例函数y= 的图象上13.【答案】(1)解:∵OB =2OA =3OD =12 ∴OA =6,OD =4 ∴A(6,0),B(0,12)把 A(6,0),B(0,12) 分别代入 y =kx +b 得: {6k +b =0b =12 ,解之得: m =−4×20=−80 ∴一次函数的解析式为 y =−2x +12 令 x =−4 ,则 y =20 ∴C(−4,20)把 C(−4,20) 代入 y =mx 得:m =−4×20=−80∴反比例函数的解析式为 y =−80x ; (2)解:解方程组 {y =−2x +12y =−80x 得: {x 1=−4y 1=20,{x 2=10y 2=−8∴E(10,−8)∴S ΔCDE =S ΔADC +S ΔADE=12AD ⋅(CD +|y E |)=12×(4+6)×(20+8) =140(3)解:如图:当x <-4时, y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方,即 kx +b > mx ; 当 −4 ≤ x <0 时, y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方,即 kx +b ≤ mx ; 当0<x <10时, y =mx 的图象在 y =kx +b 的下方,即 kx +b > mx ; 当 x ≥10时, y =mx 的图象在 y =kx +b 的上方,即 kx +b ≤ mx ; 综上可得,不等式 kx +b ≤ mx 的解集为 −4 ≤ x <0 或 x ≥10. 14.【答案】(1)2;4;2;23;43;2;2 数学思考: (2)BCAB =k 2−k 1k 1证明:∵AB ·OA =k 1 , AC ·OA =k 2 , ∴AC ·OA −AB ·OA =BC ·OA =k 2−k 1 ,∴BCAB =BC·OAAB·OA=k2−k1k1.推广应用:(3)解:若四边形ADFB是正方形,设点B的坐标为(a,b)(a>0,b>0),则有DF=DA=AB=a,OA=b,OD=a+b,∴点F的坐标为(a,a+b) .∵k2=12,BCAB =k2−k1k1=12,∴12−k1k1=12,解得:k1=8 .∵点B在y=8x 图象上,点F在y=12x图象上,∴ab=8,a (a+b)=12,∴a2=12−8=4,∴a=2,∴b=4,∴OA=4,点B的坐标为(2,4) .15.【答案】(1)解:由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2,∵tan∠AHO=2,∴OH=1,∴H(1,0),∵MH⊥x轴,∴点M的横坐标为1,∵点M在直线y=2x+2上,∴点M的纵坐标为4,即M(1,4),∵点M在y=kx上,∴k=1×4=4;(2)解:①当AM=AP时,∵A(0,2),M(1,4),∴AM=√5,则AP=AM=√5,∴此时点P的坐标为(0,2﹣√5)或(0,2+ √5);②若AM=PM时,设P(0,y),则PM=√(1−0)2+(4−y)2,∴√(1−0)2+(4−y)2=√5,解得y=2(舍)或y=6,此时点P的坐标为(0,6),综上所述,点P的坐标为(0,6)或(0,2+ √5),或(0,2﹣√5);(3)解:∵点N(a,1)在反比例函数y=4x(x>0)图象上,∴a=4,∴点N(4,1),延长MN交x轴于点C,设直线MN的解析式为y=mx+n,则有{m+n=44m+n=1,,解得{m=−1n=5,∴直线MN的解析式为y=﹣x+5.∵点C是直线y=﹣x+5与x轴的交点,∴点C的坐标为(5,0),OC=5,∵S△MNQ=3,∴S△MNQ =S△MQC﹣S△NQC=12×QC×4﹣12×QC×1=32QC=3,∴QC=2,∵C(5,0),Q(m,0),∴|m﹣5|=2,∴m=7或3,故答案为7或3.16.【答案】(1)解:把点A(4,1)代入双曲线y1=k1x得k1=4,∴双曲线的解析式为y1=4x;把点A(4,1)代入直线y2=x k2得k2=4,∴直线的解析式为y2=14x(2)解:∵点P(a,b)在y1=4x的图象上,∴ab=4,∵4a=b,∴4a2=4,则a=±1,∵0<a<4,∴a=1,∴点P的坐标为(1,4),又∵双曲线y1=4x 与直线y2=14x的图象交于A、B两点,且点A的坐标为(4,1),∴点B的坐标为(−4,−1),过点P作PG∥y轴交AB于点G,如图所示,把x=1代入y2=14x,得到y=14,∴点G的坐标为(1,14),∴PG =4−14=154 , ∴S △ABP =12 PG ( x A −x B )=12×154×8=15 (3)解:PE=PF .理由如下:∵点P ( a , b )在 y 1=4x 的图象上,∴b =4a ,∵点B 的坐标为( −4 , −1 ), 设直线PB 的表达式为 y =mx +n , ∴{am +n =4a −4m +n =−1, ∴{m =1a n =4a −1, ∴直线PB 的表达式为 y =1a x +4a −1 , 当 y =0 时, x =a −4 ,∴E 点的坐标为( a −4 ,0), 同理:直线PA 的表达式为 y =−1a x +4a +1 , 当 y =0 时, x =a +4 ,∴F 点的坐标为( a +4 ,0),过点P 作PH ⊥x 轴于H ,如图所示,∵P 点坐标为(,∴H 点的坐标为( a ,0),∴EH =x H −x E =a −(a −4)=4 , FH =x F −x H =a +4−a =4 , ∴EH=FH ,∴PE=PF .。
中考数学考点12反比例函数的图像与性质及实际应用总复习(解析版)
反比例函数的图像与性质及实际应用【命题趋势】在中考中.反比例函数的图像与性质常以选择题和填空形式考查;反比例函数解析式主要在反比例函数综合题中与一次函数、几何图形结合考查。
【中考考查重点】一、结合具体情境体会反比例函数的意义.能根据已知条件确定反比例函数的表达式;二、能画出反比例函数的图像.根据图像和表达式探索并理解k>0和k<0时.图像的变化情况;三、结合具体情境体会反比例函数的意义四、能用反比例函数解决简单实际问题考点一:反比例函数的概念一般地.形如.叫做反比例函数.自变量x的取值概念范围是≠0的一切实数【提分要点】反比例函数图像上的点的横纵坐标之积是定值k1.(2021秋•南召县期末)下列函数是y关于x的反比例函数的是()A.y=B.y=C.y=﹣D.y=﹣【答案】C【解答】解:A、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意;B、不是y关于x的反比例函数.故此选项不合题意;C、是y关于x的反比例函数.故此选项符合题意;D、不是y关于x的反比例函数.是正比例函数.故此选项不合题意;故选C2.(2021•门头沟区一模)在物理实验室实验中.为了研究杠杆的平衡条件.设计了如下实验.如图.铁架台左侧钩码的个数与位置都不变.在保证杠杆水平平衡的条件下.右侧采取变动钩码数量即改变力F.或调整钩码位置即改变力臂L.确保杠杆水平平衡.则力F与力臂L满足的函数关系是()A .正比例函数关系B .反比例函数关系C .一次函数关系D .二次函数关系【答案】B【解答】解:∵确保杠杆水平平衡.∴力F 与力臂L 满足的函数关系是反比例函数关系. 故选:B .3.(2021秋•越秀区校级期末)函数y =(m ﹣1)x |m |﹣2是反比例函数.则m的值为 .【答案】-1【解答】解:由题意得:|m |﹣2=﹣1且.m ﹣1≠0;解得m =±1.又m ≠1; ∴m =﹣1. 故填m =﹣1. 考点二:反比例函数的图像与性质概念kk >0k <0图像所在象限一、三二、四增减性 在每个象限内.y 随x 的增大而减少在每个象限内.y 随x 的增大而增大图像特征图像无限接近于坐标轴.但不与坐标轴相交;关于直线y=±x 成轴对称;关于原点成中心对称4.(2021秋•南开区期末)若反比例函数y=的图象在其所在的每一象限内.y随x 的增大而减小.则k的取值范围是()A.k<﹣2B.k>﹣2C.k<2D.k>2【答案】B【解答】解:∵反比例比例函数y=的图象在其每一象限内.y随x的增大而减小.∴k+2>0.解得k>﹣2.故选:B.5.(2021秋•揭阳期末)点(x1.y1)、(x2.y2)、(x3.y3)在反比例函数y=﹣的图象上.且x1<0<x2<x3.则有()A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y1<y3<y2D.y3<y2<y1【答案】B【解答】解:∵k<0.∴函数图象在二.四象限.由x1<0<x2<x3可知.横坐标为x1的点在第二象限.横坐标为x2.x3的点在第四象限.∵第四象限内点的纵坐标总小于第二象限内点的纵坐标.∴y1最大.在第二象限内.y随x的增大而增大.∴y2<y3<y1.故选:B.6.(2020秋•浦东新区校级期末)已知函数y=kx.y随x的增大而减小.另有函数.两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵函数y=kx中y随x的增大而减小.∴k<0.且函数的图象经过第二、四象限.∴函数的反比例系数大于零.∴反比例函数图象经过第一、三象限.故选:B.7.(2020秋•孝义市期末)近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间具有如图所示的反比例函数关系.若要配制一副度数小于400度的近视眼镜.则镜片焦距x的取值范围是()A.0米<x<0.25米B.x>0.25米C.0米<x<0.2米D.x>0.2米【答案】B【解答】解:根据题意.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例.设y=.∵点(0.5.200)在此函数的图象上.∴k=0.5×200=100.∴y=(x>0).∵y<400.∴<400.∵x>0.∴400x>100.∴x>0.25.即镜片焦距x的取值范围是x>0.25米.故选:B.考点三:反比例函数系数k的几何意义8.(2021秋•铁西区期末)如图.A是反比例函数y=的图象上一点.过点A作AB⊥y 轴于点B.点C在x轴上.且S△ABC=2.则k的值为()A.4B.﹣4C.﹣2D.2【答案】B【解答】解:设点A的坐标为(x.y).∵点A在第二象限.∴x<0.y>0.∴S△ABC=AB•OB=|x|•|y|=﹣xy=2.K的几何意义在反比例函数上任取一点P(x.y),过这个点分别作x轴.y轴的垂线PM、PN.于坐标轴围成的矩形PMON的面积S=PM·PN===k基本图形面积基本图形面积∴xy=﹣4.∵A是反比例函数y=的图象上一点.∴k=xy=﹣4.故选:B.9.(2021•铜仁市)如图.矩形ABOC的顶点A在反比例函数y=的图象上.矩形ABOC 的面积为3.则k=.【答案】3【解答】解:∵矩形ABOC的面积为3.∴|k|=3.又∵k>0.∴k=3.故答案为:3.考点四:反比例函数解析式的确定待定系数法1.设所求反比例函数解析式为:2.找出反比例函数图像上一点P(a,b).并将其代入解析式得k=ab;3.确定反比例函数解析式利用k得几何意义题中已知面积时.考虑利用k得几何意义.由面积得.再综合图像所在象限判段k得正负.从而得出k的值.代入解析式即可10.(2021秋•房山区期末)若反比例函数的图象经过点(3.﹣2).则该反比例函数的表达式为()A.y=B.y=﹣C.y=D.y=﹣【答案】B【解答】解:设反比例函数的解析式为y=(k≠0).函数的图象经过点(3.﹣2).∴﹣2=.得k=﹣6.∴反比例函数解析式为y=﹣.故选:B.11.(2021秋•泰山区期中)如果等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.则y与x的函数关系式为()A.y=B.y=C.y=D.y=【答案】A【解答】解:∵等腰三角形的面积为6.底边长为x.底边上的高为y.∴xy=6.∴y与x的函数关系式为:y=.故选:A.12.(2021•江西模拟)小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现:阻力×阻力臂=动力×动力臂.现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m.则动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解答】】解:∵阻力×阻力臂=动力×动力臂.已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m.∴动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数解析式为:2400×1=Fl.则F=.是反比例函数.A选项符合.故选:A.1.(2021秋•隆回县期中)下面的函数是反比例函数的是()A.y=B.y=C.y=D.y=【答案】C【解答】解:A.y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意;B.y是x的是正比例函数.不是反比例函数.故本选项不符合题意;C.y是关于x的反比例函数.故本选项符合题意;D.y不是关于x的反比例函数.故本选项不符合题意;故选:C.2.(2021秋•大东区期末)如果反比例函数的图象经过点P(﹣3.﹣1).那么这个反比例函数的表达式为()A.y=B.y=﹣C.y=x D.y=﹣x【答案】A【解答】解:设反比例函数解析式为y=(k≠0).∵函数经过点P(﹣3.﹣1).∴﹣1=.解得k=3.∴反比例函数解析式为y=.故选:A.3.(2021春•海淀区校级月考)某物体对地面的压力为定值.物体对地面的压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的函数关系如图所示.这一函数表达式为()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:观察图象易知p与S之间的是反比例函数关系.设p=.由于A(20.10)在此函数的图象上.∴k=20×10=200.∴p=.故选:B.4.(2020秋•瓜州县期末)如图.在某温度不变的条件下.通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压.测出每一次加压后气缸内气体的体积V(mL)与气体对气缸壁产生的压强p(kPa)的关系可以用如图所示的反比例函数图象进行表示.下列说法错误的是()A.气压p与体积V表达式为p=.则k>0B.当气压p=70时.体积V的取值范围为70<V<80C.当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的D.当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小【答案】B【解答】解:当V=60时.p=100.则pV=6000.A.气压p与体积V表达式为p=.则k>0.故不符合题意;B.当p=70时.V=>80.故符合题意;C.当体积V变为原来的时.对应的气压p变为原来的.不符合题意;D.当60≤V≤100时.气压p随着体积V的增大而减小.不符合题意;故选:B.5.(2020秋•东莞市校级期末)已知点(3.y1).(﹣2.y2).(2.y3)都在反比例函数的图象上.那么y1.y2与y3的大小关系是()A.y3<y1<y2B.y3<y2<y1C.y1<y2<y3D.y1<y3<y2【答案】A【解答】解:∵k=﹣6<0.∴图象位于第二、四象限.在每一象限内.y随x的增大而增大.∴y2>0.y3<y1<0.∴y3<y1<y2.故选:A.6.(2021秋•西湖区期中)已知y1和y2均是以x为自变量的函数.当x=m时.函数值分别是M1和M2.若存在实数m.使得M1+M2=1.则称函数y1和y2具有性质P.以下函数y1和y2不具有性质P的是()A.y1=x2+2x和y2=﹣x﹣1B.y1=x2+2x和y2=﹣x+1C.y1=﹣和y2=﹣x﹣1D.y1=﹣和y2=﹣x+1【答案】D【解答】解:A.令y1+y2=1.则x2+2x﹣x﹣1=1.整理得.x2+x﹣2=0.解得x=﹣2或x =1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意;B.令y1+y2=1.则x2+2x﹣x+1=1.整理得.x2+x=0.解得x=0或x=﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意;C.令y1+y2=1.则﹣﹣x﹣1=1.整理得.x2+2x+1=0.解得x1=x2=﹣1.即函数y1和y2具有性质P.不符合题意;D.令y1+y2=1.则﹣﹣x+1=1.整理得.x2+1=0.方程无解.即函数y1和y2不具有性质P.符合题意;故选:D.7.(2021秋•会宁县期末)如图.A.B是反比例函数的图象上关于原点对称的两点.BC ∥x轴.AC∥y轴.若△ABC的面积为6.则k的值是.【答案】3【解答】解:∵反比例函数的图象在一、三象限.∴k>0.∵BC∥x轴.AC∥y轴.∴S△AOD=S△BOE=k.∵反比例函数及正比例函数的图象关于原点对称.∴A、B两点关于原点对称.∴S矩形OECD=2S△AOD=k.∴S△ABC=S△AOD+S△BOE+S矩形OECD=2k=6.解得k=3.故答案为:3.8.(2021春•沙坪坝区校级期末)已知函数y=(m﹣1)是反比例函数.则m的值为.【答案】-1【解答】解:根据题意m2﹣2=﹣1.∴m=±1.又m﹣1≠0.m≠1.所以m=﹣1.故答案为:﹣1.1.(2018•柳州)已知反比例函数的解析式为y=.则a的取值范围是()A.a≠2B.a≠﹣2C.a≠±2D.a=±2【答案】C【解答】解:根据反比例函数解析式中k是常数.不能等于0.由题意可得:|a|﹣2≠0.解得:a≠±2.故选:C.2.(2020•上海)已知反比例函数的图象经过点(2.﹣4).那么这个反比例函数的解析式是()A.y=B.y=﹣C.y=D.y=﹣【答案】D【解答】解:设反比例函数解析式为y=.将(2.﹣4)代入.得:﹣4=.解得k=﹣8.所以这个反比例函数解析式为y=﹣.故选:D.3.(2021•黔西南州)对于反比例函数y=.下列说法错误的是()A.图象经过点(1.﹣5)B.图象位于第二、第四象限C.当x<0时.y随x的增大而减小D.当x>0时.y随x的增大而增大【答案】C【解答】解:∵反比例函数y=.∴当x=1时.y=﹣=﹣5.故选项A不符合题意;k=﹣5.故该函数图象位于第二、四象限.故选项B不符合题意;当x<0.y随x的增大而增大.故选项C符合题意;当x>0时.y随x的增大而增大.故选项D不符合题意;故选:C.4.(2021•济南)反比例函数y=(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限.则一次函数y=kx﹣k的图象大致是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解:∵反比例函数y=(k≠0)图象的两个分支分别位于第一、三象限.∴k>0.∴﹣k<0.∴一次函数y=kx﹣k的图象图象经过第一、三、四象限.故选:D.5.(2021•宜昌)某气球内充满了一定质量m的气体.当温度不变时.气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p=.能够反映两个变量p和V函数关系的图象是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:∵气球内气体的气压p(单位:kPa)是气体体积V(单位:m3)的反比例函数:p=(V.p都大于零).∴能够反映两个变量p和V函数关系的图象是:.故选:B.6.(2021•沈阳)如图.平面直角坐标系中.O是坐标原点.点A是反比例函数y=(k≠0)图象上的一点.过点A分别作AM⊥x轴于点M.AN⊥y轴于点N.若四边形AMON 的面积为12.则k的值是.【答案】-12【解答】解:∵四边形AMON的面积为12.∴|k|=12.∵反比例函数图象在二四象限.∴k<0.∴k=﹣12.故答案为:﹣12.7.(2021•阜新)已知点A(x1.y1).B(x2.y2)都在反比例函数y=﹣的图象上.且x1<0<x2.则y1.y2的关系一定成立的是()A.y1>y2B.y1<y2C.y1+y2=0D.y1﹣y2=0【答案】A【解答】解:∵反比例函数y=﹣中k=﹣1<0.∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限.且在每一象限内.y随x的增大而增大.∵x1<0<x2.∴A在第二象限.B在第四象限.∴y1>0.y2<0.∴y1>y2.故选:A.8.(2020•大庆)已知正比例函数y=k1x和反比例函数y=.在同一平面直角坐标系下的图象如图所示.其中符合k1•k2>0的是()A.①②B.①④C.②③D.③④【答案】B【解答】解:①中k1>0.k2>0.故k1•k2>0.故①符合题意;②中k1<0.k2>0.故k1•k2<0.故②不符合题意;③中k1>0.k2<0.故k1•k2<0.故③不符合题意;④中k1<0.k2<0.故k1•k2>0.故④符合题意;故选:B.9.(2021•自贡)已知蓄电池的电压为定值.使用蓄电池时.电流I(单位:A)与电阻R (单位:Ω)是反比例函数关系.它的图象如图所示.下列说法正确的是()A.函数解析式为I=B.蓄电池的电压是18VC.当I≤10A时.R≥3.6ΩD.当R=6Ω时.I=4A【答案】C【解答】解:设I=.∵图象过(4.9).∴k=36.∴I=.∴蓄电池的电压是36V.∴A.B均错误;当I=10时.R=3.6.由图象知:当I≤10A时.R≥3.6Ω.∴C正确.符合题意;当R=6时.I=6.∴D错误.故选:C.10.(2020•河北)如图是8个台阶的示意图.每个台阶的高和宽分别是1和2.每个台阶凸出的角的顶点记作T m(m为1~8的整数).函数y=(x<0)的图象为曲线L.(1)若L过点T1.则k=;(2)若L过点T4.则它必定还过另一点T m.则m=;(3)若曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.则k的整数值有个.【答案】(1)-16 (2)5 (3)7【解答】解:(1)∵每个台阶的高和宽分别是1和2.∴T1(﹣16.1).T2(﹣14.2).T3(﹣12.3).T4(﹣10.4).T5(﹣8.5).T6(﹣6.6).T7(﹣4.7).T8(﹣2.8).∵L过点T1.∴k=﹣16×1=﹣16.故答案为:﹣16;(2)∵L过点T4.∴k=﹣10×4=﹣40.∴反比例函数解析式为:y=﹣.当x=﹣8时.y=5.∴T5在反比例函数图象上.∴m=5.故答案为:5;(3)若曲线L过点T1(﹣16.1).T8(﹣2.8)时.k=﹣16.若曲线L过点T2(﹣14.2).T7(﹣4.7)时.k=﹣14×2=﹣28.若曲线L过点T3(﹣12.3).T6(﹣6.6)时.k=﹣12×3=﹣36.若曲线L过点T4(﹣10.4).T5(﹣8.5)时.k=﹣40.∵曲线L使得T1~T8这些点分布在它的两侧.每侧各4个点.∴﹣36<k<﹣28.∴整数k=﹣35.﹣34.﹣33.﹣32.﹣31.﹣30.﹣29共7个.故答案为:7.1.(2021•抚顺模拟)下列函数中.y是x的反比例函数的是()A.B.C.D.【答案】B【解答】解:A、是正比例函数.不是反比例函数.故此选项不合题意;B、是反比例函数.故此选项符合题意;C、不是反比例函数.故此选项不合题意;D、不是反比例函数.故此选项不合题意;故选:B.2.(2021•卧龙区二模)已知反比例函数.在下列结论中.不正确的是()A.图象必经过点(﹣1.﹣2)B.图象在第一、三象限C.若x<﹣1.则y<﹣2D.点A(x1.y1).B(x2.y2)图象上的两点.且x1<0<x2.则y1<y2【答案】C【解答】解:A.反比例函数.图象必经过点(﹣1.﹣2).原说法正确.故此选项不合题意;B.反比例函数.图象在第一、三象限.原说法正确.故此选项不合题意;C.若x<﹣1.则y>﹣2.原说法错误.故此选项符合题意;D.点A(x1.y1).B(x2.y2)图象上的两点.且x1<0<x2.则y1<y2.原说法正确.故此选项不合题意;故选:C.3.(2021•富阳区二模)已知反比例函数y=.当﹣2<x<﹣1.则下列结论正确的是()A.﹣3<y<0B.﹣2<y<﹣1C.﹣10<y<﹣5D.y>﹣10【答案】C【解答】解:∵k=10.且﹣2<x<﹣1.∴在第三象限内.y随x的增大而减小.当x=﹣2时.y=﹣5.当x=﹣1时.y=﹣10.∴﹣10<y<﹣5.故选:C.4.(2021•武陟县模拟)某气球内充满了一定质量的气体.当温度不变时.气球内气体的气压P(kpa)是气体体积V(m3)的反比例函数其图象如图所示.当气体体积为1m3时.气压为()kPa.A.150B.120C.96D.84【答案】C【解答】解:设P=.由题意知120=.所以k=96.故P=.当V=1m3时.P==96(kPa);故选:C.5.(2021•云岩区模拟)阿基米德说:“给我一个支点.我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识﹣﹣杠杆原理.即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”.若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m.则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是()A.B.C.D.【答案】A【解答】解:∵阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头.已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m.∴动力F(单位:N)关于动力臂l(单位:m)的函数解析式为:1200×0.5=Fl.则F=.是反比例函数.A选项符合.故选:A.6.(2021•昆明模拟)如图.点P在双曲线第一象限的图象上.P A⊥x轴于点A.则△OP A的面积为()A.2B.3C.4D.6【答案】B【解答】解:∵P A⊥x轴于点A.∴S△AOP=|k|==3.故选:B.7.(2021•乐陵市一模)为预防新冠病毒.某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中.教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间t(h)成正比例;药物释放完毕后.y与t成反比例.如图所示.根据图象信息.下列选项错误的是()A.药物释放过程需要小时B.药物释放过程中.y与t的函数表达式是y=tC.空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为hD.若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害.那么从消毒开始.至少需要经过4.5小时学生才能进入教室【答案】D【解答】解:设正比例函数解析式是y=kt.反比例函数解析式是y=.把点(3.)代入反比例函数的解析式.得:=.解得:m=.当y=1时.代入上式得t=.把t=时.y=1代入正比例函数的解析式是y=kt.得:k=.∴正比例函数解析式是y=t.A.由图象知.y=1时.t=.即药物释放过程需要小时.故A不符合题意;B.药物释放过程中.y与t成正比例.函数表达式是y=t.故B不符合题意;C.把y=0.5mg/m3分别代入y=t和y=得.0.5=t1和0.5=.解得:t1=和t2=3.∴t2﹣t1=.∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h;故C不符合题意;<0.25.解得t>6.所以至少需要经过6小时后.学生才能进入教室.故D符合题意.故选:D.8.(2021•山西模拟)已知.A(﹣3.n).C(3n﹣6.2)是反比例函数y=(x<0)图象上的两点.则反比例函数的解析式为.【答案】y=﹣【解答】解:∵A(﹣3.n).C(3n﹣6.2)是反比例函数y=(x<0)图象上的两点.∴n=.2=.即m=﹣3n.m=2(3n﹣6).消去m得:﹣3n=2(3n﹣6).解得:n=.把n=代入得:m=﹣4.故答案为:y=﹣.9.(2021•雁塔区校级模拟)已知同一象限内的两点A(3.n).B(n﹣4.n+3)均在反比例函数y=的图象上.则该反比例函数关系式为.【答案】y=【解答】解:∵同一象限内的两点A(3.n).B(n﹣4.n+3)均在反比例函数y=的图象上.∴k=3n=(n﹣4)(n+3).解得n=6或n=﹣2.∵n=﹣2时.A(3.﹣2).B(﹣6.1).∴A、B不在同一象限.故n=﹣2舍去.∵k=3n=18.∴y=.故答案为y=.10.(2021•昭通模拟)若函数y=是关于x的反比例函数.则a满足的条件是.【答案】a≠﹣3【解答】解:由题可得.a+3≠0.解得a≠﹣3.故答案为:a≠﹣3.。
2020年全国中考数学试题分类(7)——反比例函数(含答案)
2020年全国中考数学试题分类(7)——反比例函数一.反比例函数的图象(共3小题)1.(2020•呼伦贝尔)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则反比例函数y=aa与一次函数y=﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是()A.B.C.D.2.(2020•广西)在同一平面直角坐标系中,函数y=kx+k与y=aa(k≠0)的图象可能是()A.B.C.D.3.(2020•威海)一次函数y=ax﹣a与反比例函数y=aa(a≠0)在同一坐标系中的图象可能是()A.B.C .D . 二.反比例函数的性质(共3小题)4.(2020•德阳)已知函数y ={−a +1(a <2)−2a (a ≥2),当函数值为3时,自变量x 的值为( )A .﹣2B .−23C .﹣2或−23D .﹣2或−325.(2020•大庆)已知正比例函数y =k 1x 和反比例函数y =a2a ,在同一直角坐标系下的图象如图所示,其中符合k 1•k 2>0的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④ 6.(2020•营口)反比例函数y =1a(x <0)的图象位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限三.反比例函数系数k 的几何意义(共13小题)7.(2020•牡丹江)如图,点A 在反比例函数y 1=18a (x >0)的图象上,过点A 作AB ⊥x 轴,垂足为B ,交反比例函数y 2=6a(x >0)的图象于点C .P 为y 轴上一点,连接P A ,PC .则△APC 的面积为( )A .5B .6C .11D .12 8.(2020•苏州)如图,平行四边形OABC 的顶点A 在x 轴的正半轴上,点D (3,2)在对角线OB 上,反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象经过C 、D 两点.已知平行四边形OABC 的面积是152,则点B 的坐标为( )A .(4,83)B .(92,3)C .(5,103)D .(245,165)9.(2020•赤峰)如图,点B 在反比例函数y =6a (x >0)的图象上,点C 在反比例函数y =−2a (x >0)的图象上,且BC ∥y 轴,AC ⊥BC ,垂足为点C ,交y 轴于点A .则△ABC 的面积为( )A .3B .4C .5D .610.(2020•包头)如图,在平面直角坐标系中,直线y =−32x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,C 是线段AB 上一点.过点C 作CD ⊥x 轴,垂足为D ,CE ⊥y 轴,垂足为E ,S △BEC :S △CDA =4:1,若双曲线y =aa (x >0)经过点C ,则k 的值为( )A .43B .34C .25D .5211.(2020•娄底)如图,平行于y 轴的直线分别交y =a 1a 与y =a 2a 的图象(部分)于点A 、B ,点C 是y 轴上的动点,则△ABC 的面积为( )A .k 1﹣k 2B .12(k 1﹣k 2)C .k 2﹣k 1D .12(k 2﹣k 1)12.(2020•威海)如图,点P (m ,1),点Q (﹣2,n )都在反比例函数y =4a的图象上.过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点M ,N .连接OP ,OQ ,PQ .若四边形OMPN 的面积记作S 1,△POQ 的面积记作S 2,则( )A .S 1:S 2=2:3B .S 1:S 2=1:1C .S 1:S 2=4:3D .S 1:S 2=5:313.(2020•通辽)如图,OC 交双曲线y =aa 于点A ,且OC :OA =5:3,若矩形ABCD 的面积是8,且AB ∥x 轴,则k 的值是( )A .18B .50C .12D .200914.(2020•张家界)如图所示,过y 轴正半轴上的任意一点P ,作x 轴的平行线,分别与反比例函数y =−6a 和y =8a的图象交于点A 和点B ,若点C 是x 轴上任意一点,连接AC ,BC ,则△ABC 的面积为( )A .6B .7C .8D .14 15.(2020•营口)如图,在平面直角坐标系中,△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上,其中∠OAB =90°,AO =AB ,点C 为斜边OB 的中点,反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象过点C 且交线段AB 于点D ,连接CD ,OD ,若S △OCD =32,则k 的值为( )A .3B .52C .2D .116.(2020•宿迁)如图,点A 在反比例函数y =aa(x >0)的图象上,点B 在x 轴负半轴上,直线AB 交y 轴于点C ,若aa aa=12,△AOB 的面积为6,则k 的值为 .17.(2020•常德)如图,若反比例函数y =aa (x <0)的图象经过点A ,AB ⊥x 轴于B ,且△AOB 的面积为6,则k = .18.(2020•温州)点P ,Q ,R 在反比例函数y =aa (常数k >0,x >0)图象上的位置如图所示,分别过这三个点作x 轴、y 轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S 1,S 2,S 3.若OE =ED =DC ,S 1+S 3=27,则S 2的值为 .19.(2020•湖州)如图,已知在平面直角坐标系xOy 中,Rt △OAB 的直角顶点B 在x 轴的正半轴上,点A 在第一象限,反比例函数y =aa (x >0)的图象经过OA 的中点C .交AB 于点D ,连结CD .若△ACD 的面积是2,则k 的值是 .四.反比例函数图象上点的坐标特征(共16小题)20.(2020•葫芦岛)如图,矩形ABCD 的顶点D 在反比例函数y =aa (x >0)的图象上,点E (1,0)和点F (0,1)在AB 边上,AE =EF ,连接DF ,DF ∥x 轴,则k 的值为( )A .2√2B .3C .4D .4√2 21.(2020•重庆)如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点A ,C 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,点D (﹣2,3),AD =5,若反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象经过点B ,则k 的值为( ) A .163B .8C .10D .32322.(2020•兰州)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在反比例函数y =−3a 的图象上,若y 1<y 2<0,则下列结论正确的是( ) A .x 1<x 2<0 B .x 2<x 1<0C .0<x 1<x 2D .0<x 2<x 123.(2020•阜新)若A (2,4)与B (﹣2,a )都是反比例函数y =a a(k ≠0)图象上的点,则a 的值是( ) A .4 B .﹣4 C .2 D .﹣2 24.(2020•长春)如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(3,2),AB ⊥x 轴于点B ,点C 是线段OB 上的点,连结AC .点P 在线段AC 上,且AP =2PC ,函数y =aa(x >0)的图象经过点P .当点C 在线段OB 上运动时,k 的取值范围是( )A .0<k ≤2B .23≤k ≤3C .23≤k ≤2D .83≤k ≤425.(2020•广西)如图,点A ,B 是直线y =x 上的两点,过A ,B 两点分别作x 轴的平行线交双曲线y =1a(x >0)于点C ,D .若AC =√3BD ,则3OD 2﹣OC 2的值为( )A .5B .3√2C .4D .2√326.(2020•郴州)在平面直角坐标系中,点A 是双曲线y 1=a 1a (x >0)上任意一点,连接AO ,过点O 作AO 的垂线与双曲线y 2=a2a (x <0)交于点B ,连接AB ,已知aa aa =2,则a 1a 2=( )A .4B .﹣4C .2D .﹣227.(2020•山西)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3)都在反比例函数y =aa(k <0)的图象上,且x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A .y 2>y 1>y 3 B .y 3>y 2>y 1 C .y 1>y 2>y 3 D .y 3>y 1>y 2 28.(2020•淄博)如图,在直角坐标系中,以坐标原点O (0,0),A (0,4),B (3,0)为顶点的Rt △AOB ,其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ,且点P 恰好在反比例函数y =aa 的图象上,则k 的值为( )A .36B .48C .49D .64 29.(2020•常州)如图,点D 是▱OABC 内一点,CD 与x 轴平行,BD 与y 轴平行,BD =√2,∠ADB =135°,S △ABD =2.若反比例函数y =aa (x >0)的图象经过A 、D 两点,则k 的值是( )A .2√2B .4C .3√2D .630.(2020•黑龙江)如图,菱形ABCD 的两个顶点A ,C 在反比例函数y =aa 的图象上,对角线AC ,BD 的交点恰好是坐标原点O ,已知B (﹣1,1),∠ABC =120°,则k 的值是( )A .5B .4C .3D .231.(2020•大连)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 的顶点A 与D 在函数y =aa(x >0)的图象上,AC ⊥x 轴,垂足为C ,点B 的坐标为(0,2),则k 的值为 .32.(2020•桂林)反比例函数y =aa (x <0)的图象如图所示,下列关于该函数图象的四个结论:①k >0;②当x <0时,y 随x 的增大而增大;③该函数图象关于直线y =﹣x 对称;④若点(﹣2,3)在该反比例函数图象上,则点(﹣1,6)也在该函数的图象上.其中正确结论的个数有 个.33.(2020•沈阳)如图,在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,在△OAB 中,AO =AB ,AC ⊥OB 于点C ,点A 在反比例函数y =aa (k ≠0)的图象上,若OB =4,AC =3,则k 的值为 .34.(2020•东营)如图,在平面直角坐标系中,已知直线y =x +1和双曲线y =−1a,在直线上取一点,记为A 1,过A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1,过B 1作y 轴的垂线交直线于点A 2,过A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2,过B 2作y 轴的垂线交直线于点A 3,…,依次进行下去,记点An 的横坐标为a n ,若a 1=2,则a 2020= .35.(2020•衢州)如图,将一把矩形直尺ABCD 和一块含30°角的三角板EFG 摆放在平面直角坐标系中,AB 在x 轴上,点G 与点A 重合,点F 在AD 上,三角板的直角边EF 交BC 于点M ,反比例函数y =aa (x >0)的图象恰好经过点F ,M .若直尺的宽CD =3,三角板的斜边FG =8√3,则k = .五.反比例函数与一次函数的交点问题(共14小题)36.(2020•呼和浩特)在同一坐标系中,若正比例函数y =k 1x 与反比例函数y =a2a 的图象没有交点,则k 1与k 2的关系,下面四种表述①k 1+k 2≤0;②|k 1+k 2|<|k 1|或|k 1+k 2|<|k 2|;③|k 1+k 2|<|k 1﹣k 2|;④k 1k 2<0.正确的有( ) A .4个B .3个C .2个D .1个37.(2020•徐州)如图,在平面直角坐标系中,函数y =4a (x >0)与y =x ﹣1的图象交于点P (a ,b ),则代数式1a−1a的值为( )A .−12B .12C .−14D .1438.(2020•乐山)如图,在平面直角坐标系中,直线y =﹣x 与双曲线y =aa 交于A 、B 两点,P 是以点C (2,2)为圆心,半径长1的圆上一动点,连结AP ,Q 为AP 的中点.若线段OQ 长度的最大值为2,则k 的值为( )A .−12B .−32C .﹣2D .−1439.(2020•巴中)如图,一次函数y 1=ax +b (a ≠0)与反比例函数a 2=aa (k ≠0,x >0)的交点A 坐标为(2,1),当y 1≤y 2时,x 的取值范围是( )A .0<x ≤2B .0<x <2C .x >2D .x ≥240.(2020•西藏)如图,在平面直角坐标系中,直线y =x 与反比例函数y =4a (x >0)的图象交于点A ,将直线y =x 沿y 轴向上平移b 个单位长度,交y 轴于点B ,交反比例函数图象于点C .若OA =2BC ,则b 的值为( )A .1B .2C .3D .441.(2020•潍坊)如图,函数y =kx +b (k ≠0)与y =aa (m ≠0)的图象相交于点A (﹣2,3),B (1,﹣6)两点,则不等式kx +b >a a的解集为( )A .x >﹣2B .﹣2<x <0或x >1C .x >1D .x <﹣2或0<x <1 42.(2020•湘西州)已知正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A (﹣2,4),下列说法正确的是( )A .正比例函数y 1的解析式是y 1=2xB .两个函数图象的另一交点坐标为(4,﹣2)C .正比例函数y 1与反比例函数y 2都随x 的增大而增大D .当x <﹣2或0<x <2时,y 2<y 143.(2020•烟台)如图,正比例函数y 1=mx ,一次函数y 2=ax +b 和反比例函数y 3=aa 的图象在同一直角坐标系中,若y 3>y 1>y 2,则自变量x 的取值范围是( )A .x <﹣1B .﹣0.5<x <0或x >1C .0<x <1D .x <﹣1或0<x <1 44.(2020•呼伦贝尔)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合,点C 的坐标为(0,3),点A 在x 轴的正半轴上.直线y =x ﹣1分别与边AB ,OA 相交于D ,M 两点,反比例函数y =aa (x >0)的图象经过点D 并与边BC 相交于点N ,连接MN .点P 是直线DM 上的动点,当CP =MN 时,点P 的坐标是 .45.(2020•南通)将双曲线y=3a向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新双曲线与直线y=kx﹣2﹣k(k>0)相交于两点,其中一个点的横坐标为a,另一个点的纵坐标为b,则(a﹣1)(b+2)=.46.(2020•随州)如图,直线AB与双曲线y=aa(k>0)在第一象限内交于A、B两点,与x轴交于点C,点B为线段AC的中点,连接OA,若△AOC的面积为3,则k的值为.47.(2020•泰州)如图,点P在反比例函数y=3a的图象上,且横坐标为1,过点P作两条坐标轴的平行线,与反比例函数y=aa(k<0)的图象相交于点A、B,则直线AB与x轴所夹锐角的正切值为.48.(2020•自贡)如图,直线y=−√3x+b与y轴交于点A,与双曲线y=aa在第三象限交于B、C两点,且AB•AC=16.下列等边三角形△OD1E1,△E1D2E2,△E2D3E3,…的边OE1,E1E2,E2E3,…在x轴上,顶点D1,D2,D3,…在该双曲线第一象限的分支上,则k=,前25个等边三角形的周长之和为.49.(2020•甘孜州)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=2a的图象交于A,B两点,若点P是第一象限内反比例函数图象上一点,且△ABP的面积是△AOB的面积的2倍,则点P的横坐标为.六.反比例函数的应用(共1小题)50.(2020•宜昌)已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为:U=IR(或者I=aa),实际生活中,由于给定已知量不同,因此会有不同的可能图象,图象不可能是()A.B.C.D.2020年全国中考数学试题分类(7)——反比例函数参考答案与试题解析一.反比例函数的图象(共3小题)1.【解答】解:根据二次函数图象与y轴的交点可得c>0,根据抛物线开口向下可得a<0,由对称轴在y 轴右边可得a、b异号,故b>0,则反比例函数a=aa的图象在第二、四象限,一次函数y=﹣cx+b经过第一、二、四象限,故选:C.2.【解答】解:①当k>0时,y=kx+k过一、二、三象限;y=aa过一、三象限;②当k<0时,y=kx+k过二、三、四象象限;y=aa过二、四象限.观察图形可知,只有D选项符合题意.故选:D.3.【解答】解:A、由函数y=ax﹣a的图象可知a>0,﹣a>0,由函数y=aa(a≠0)的图象可知a>0,矛盾,错误;B、由函数y=ax﹣a的图象可知a<0,由函数y=aa(a≠0)的图象可知a>0,相矛盾,故错误;C、由函数y=ax﹣a的图象可知a>0,由函数y=aa(a≠0)的图象可知a<0,故错误;D、由函数y=ax﹣a的图象可知a<0,﹣a>0,由函数y=aa(a≠0)的图象可知a<0,故正确;故选:D.二.反比例函数的性质(共3小题)4.【解答】解:若x<2,当y=3时,﹣x+1=3,解得:x=﹣2;若x≥2,当y=3时,−2a=3,解得:x=−23,不合题意舍去;∴x=﹣2,故选:A.5.【解答】解:①中k1>0,k2>0,故k1•k2>0,故①符合题意;②中k1<0,k2>0,故k1•k2<0,故②不符合题意;③中k1>0,k2<0,故k1•k2<0,故③不符合题意;④中k1<0,k2<0,故k1•k2>0,故④符合题意;故选:B.6.【解答】解:∵反比例函数y=1a(x<0)中,k=1>0,∴该函数图象在第三象限,故选:C.三.反比例函数系数k的几何意义(共13小题)7.【解答】解:连接OA和OC,∵点P在y轴上,AB∥y轴,则△AOC和△APC面积相等,∵A在a1=18a上,C在a2=6a上,AB⊥x轴,∴S △AOC =S △OAB ﹣S △OBC =6, ∴△APC 的面积为6, 故选:B .8.【解答】解:∵反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象经过点D (3,2), ∴2=a3, ∴k =6, ∴反比例函数y =6a, ∵OB 经过原点O ,∴设OB 的解析式为y =mx , ∵OB 经过点D (3,2), 则2=3m , ∴m =23,∴OB 的解析式为y =23x , ∵反比例函数y =6a 经过点C , ∴设C (a ,6a ),且a >0,∵四边形OABC 是平行四边形,∴BC ∥OA ,S 平行四边形OABC =2S △OBC , ∴点B 的纵坐标为6a ,∵OB 的解析式为y =23x , ∴B (9a ,6a),∴BC =9a −a ,∴S △OBC =12×6a ×(9a −a ),∴2×12×6a ×(9a−a )=152,解得:a =2或a =﹣2(舍去), ∴B (92,3),故选:B . 9.【解答】解:过B 点作BH ⊥y 轴于H 点,BC 交x 轴于D ,如图, ∵BC ∥y 轴,AC ⊥BC ,∴四边形ACDO 和四边形ODBH 都是矩形, ∴S 矩形OACD =|﹣2|=2, S 矩形ODBH =|6|=6, ∴S 矩形ACBH =2+6=8, ∴△ABC 的面积=12S 矩形ACBH =4.故选:B .10.【解答】解:∵直线y =−32x +3与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B , ∴A (2,0),B (0,3),即:OA =2,OB =3; ∵S △BEC :S △CDA =4:1,又△BEC ∽△CDA , ∴aa aa=aa aa=21,设EC =a =OD ,CD =b =OE ,则AD =12a ,BE =2b , 有,OA =2=a +12a ,解得,a =43, OB =3=3b ,解得,b =1, ∴k =ab =43, 故选:A .11.【解答】解:由题意可知,AB =a 1a −a2a ,AB 边上的高为x ,∴S △ABC =12×(a 1a −a 2a)•x =12(k 1﹣k 2),故选:B .12.【解答】解:点P (m ,1),点Q (﹣2,n )都在反比例函数y =4a 的图象上.∴m ×1=﹣2n =4, ∴m =4,n =﹣2, ∴P (4,1),Q (﹣2,﹣2), ,∴S 1=4,作QK ⊥PN ,交PN 的延长线于K , 则PN =4,ON =1,PK =6,KQ =3, ∴S 2=S △PQK ﹣S △PON ﹣S 梯形ONKQ =12×6×3−12×4×1−12(1+3)×2=3, ∴S 1:S 2=4:3, 故选:C .13.【解答】解:延长DA 、交x 轴于E , ∵四边形ABCD 是矩形,且AB ∥x 轴, ∴∠CAB =∠AOE ,∴DE ⊥x 轴,CB ⊥x 轴, ∴∠AEO =∠ABC ∴△AOE ∽△CAB , ∴a △aaa a △aaa =(aa aa)2,∵矩形ABCD 的面积是8,OC :OA =5:3, ∴△ABC 的面积为4,AC :OA =2:3, ∴a △aaa a △aaa=(aa aa)2=49,∴S △AOE =9, ∵双曲线y =aa经过点A , ∴S △AOE =12|k |=9, ∵k >0, ∴k =18, 故选:A .14.【解答】解:∵AB ∥x 轴,且△ABC 与△ABO 共底边AB , ∴△ABC 的面积等于△ABO 的面积, 连接OA 、OB ,如下图所示:则a △aaa =a △aaa +a △aaa=12aa ⋅aa +12aa ⋅aa =12×|8|+12×|−6|=4+3=7.故选:B . 15.【解答】解:根据题意设B (m ,m ),则A (m ,0),∵点C 为斜边OB 的中点, ∴C (a2,a2),∵反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象过点C , ∴k =a 2•a2=a 24,∵∠OAB =90°,∴D 的横坐标为m , ∵反比例函数y =aa(k >0,x >0)的图象过点D , ∴D 的纵坐标为a 4, 作CE ⊥x 轴于E ,∵S △COD =S △COE +S 梯形ADCE ﹣S △AOD =S 梯形ADCE ,S △OCD =32, ∴12(AD +CE )•AE =32,即12(a 4+a 2)•(m −12m )=32, ∴a 28=1,∴k =a 24=2,故选:C .16.【解答】解:过点A 作AD ⊥y 轴于D ,则△ADC ∽△BOC ,∴aa aa=aa aa =12,∵aa aa=12,△AOB 的面积为6,∴a △aaa =13a △aaa =2, ∴a △aaa =12a △aaa =1, ∴△AOD 的面积=3,根据反比例函数k 的几何意义得,12|a |=3, ∴|k |=6,∵k >0, ∴k =6.故答案为:6. 17.【解答】解:∵AB ⊥OB , ∴S △AOB =|a |2=6, ∴k =±12,∵反比例函数的图象在第二象限, ∴k <0, ∴k =﹣12, 故答案为﹣12. 18.【解答】解:∵CD =DE =OE , ∴可以假设CD =DE =OE =a , 则P (a3a ,3a ),Q (a2a ,2a ),R (aa ,a ),∴CP =a 3a ,DQ =a 2a ,ER =aa ,∴OG =AG ,OF =2FG ,OF =23GA ,∴S 1=23S 3=2S 2,∵S 1+S 3=27,∴S 3=815,S 1=545,S 2=275, 故答案为275.19.【解答】解:连接OD ,过C 作CE ∥AB ,交x 轴于E ,∵∠ABO =90°,反比例函数y =aa (x >0)的图象经过OA 的中点C , ∴S △COE =S △BOD =12a ,S △ACD =S △OCD =2, ∵CE ∥AB ,∴△OCE ∽△OAB , ∴a △aaa a △aaa=14,∴4S △OCE =S △OAB ,∴4×12k =2+2+12k ,∴k =83,故答案为:83.四.反比例函数图象上点的坐标特征(共16小题) 20.【解答】解:如图,过点D 作DH ⊥x 轴于点H ,设AD 交x 轴于点G ,∵DF∥x轴,∴得矩形OFDH,∴DF=OH,DH=OF,∵E(1,0)和点F(0,1),∴OE=OF=1,∴∠OEF=45,∴AE=EF=√2,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵∠AEG=∠OEF=45°,∴AG=AE=√2,∴EG=2,∵DH=OF=1,∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,∴GH=DH=1,∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,∴D(4,1),∵矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=aa(x>0)的图象上,∵k=4.则k的值为4.故选:C.21.【解答】解:过D作DE⊥x轴于E,过B作BF⊥x轴,BH⊥y轴,∴∠BHC=90°,∵点D(﹣2,3),AD=5,∴DE=3,∴AE=√aa2−aa2=4,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∴∠BCD=∠ADC=90°,∴∠DCP+∠BCH=∠BCH+∠CBH=90°,∴∠CBH=∠DCH,∵∠DCP+∠CPD=∠APO+∠DAE=90°,∠CPD=∠APO,∴∠DCP=∠DAE,∴∠CBH=∠DAE,∵∠AED=∠BHC=90°,∴△ADE≌△BCH(AAS),∴BH =AE =4,∵OE =2,∴OA =2,∴AF =2,∵∠APO +∠P AO =∠BAF +∠P AO =90°,∴∠APO =∠BAF ,∴△APO ∽△BAF ,∴aa aa =aa aa , ∴12×32=2aa, ∴BF =83,∴B (4,83), ∴k =323, 故选:D .22.【解答】解:∵﹣3<0,∴图象位于第二、四象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而增大,又∵y 1<y 2<0,∴图象在第四象限,∴0<x 1<x 2,故选:C .23.【解答】解:∵A (2,4)与B (﹣2,a )都是反比例函数y =a a (k ≠0)图象上的点, ∴k =2×4=﹣2a ,∴a =﹣4,故选:B .24.【解答】解:∵点A 的坐标为(3,2),AB ⊥x 轴于点B ,∴OB =3,AB =2,设C (c ,0)(0≤c ≤3),过P 作PD ⊥x 轴于点D ,则BC =3﹣c ,PD ∥AB ,OC =c ,∴△PCD ∽△ACB ,∴aa aa =aa aa =aa aa ,∵AP =2PC ,∴aa 2=aa 3−a =13, ∴PD =23,CD =1−13c ,∴OD =OC +CD =1+23c ,∴P (1+23c ,23), 把P (1+23c ,23)代入函数y =a a (x >0)中,得 k =23+49c , ∵0≤c ≤3∴23≤a ≤2,故选:C .25.【解答】解:延长CA 交y 轴于E ,延长BD 交y 轴于F .设A 、B 的横坐标分别是a ,b ,∵点A 、B 为直线y =x 上的两点,∴A 的坐标是(a ,a ),B 的坐标是(b ,b ).则AE =OE =a ,BF =OF =b .∵C 、D 两点在交双曲线y =1a (x >0)上,则CE =1a ,DF =1a .∴BD =BF ﹣DF =b −1a ,AC =1a −a .又∵AC =√3BD ,∴1a −a =√3(b −1a ), 两边平方得:a 2+1a 2−2=3(b 2+1a 2−2),即a 2+1a 2=3(b 2+1a 2)﹣4, 在直角△ODF 中,OD 2=OF 2+DF 2=b 2+1a 2,同理OC 2=a 2+1a 2, ∴3OD 2﹣OC 2=3(b 2+1a 2)﹣(a 2+1a 2)=4. 故选:C .26.【解答】解:作AD ⊥x 轴于D ,BE ⊥x 轴于E ,∵点A 是双曲线y 1=a 1a (x >0)上的点,点B 是双曲线y 2=a 2a (x <0)上的点, ∴S △AOD =12|k 1|=12k 1,S △BOE =12|k 2|=−12k 2, ∵∠AOB =90°,∴∠BOE +∠AOD =90°,∵∠AOD +∠OAD =90°,∴∠BOE =∠OAD ,∵∠BEO =∠ADO =90°,∴△BOE ∽△OAD ,∴a △aaaa △aaa =(aa aa )2,∴12a 1−12a 2=22, ∴a 1a 2=−4,故选:B . 27.【解答】解:∵反比例函数y =a a (k <0)的图象分布在第二、四象限, 在每一象限y 随x 的增大而增大,而x 1<x 2<0<x 3,∴y 3<0<y 1<y 2.即y 2>y 1>y 3.故选:A .28.【解答】解:过P 分别作AB 、x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为C 、D 、E ,如图,∵A (0,4),B (3,0),∴OA =4,OB =3,∴AB =√32+42=5,∵△OAB 的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P ,∴PE =PC ,PD =PC ,∴PE =PC =PD ,设P (t ,t ),则PC =t ,∵S △P AE +S △P AB +S △PBD +S △OAB =S 矩形PEOD ,∴12×t ×(t ﹣4)+12×5×t +12×t ×(t ﹣3)+12×3×4=t ×t ,解得t =6,∴P (6,6),把P (6,6)代入y =a a 得k =6×6=36. 故选:A .29.【解答】解:作AM ⊥y 轴于M ,延长BD ,交AM 于E ,设BC 与y 轴的交点为N ,∵四边形OABC 是平行四边形,∴OA ∥BC ,OA =BC ,∴∠AOM =∠CNM ,∵BD ∥y 轴,∴∠CBD =∠CNM ,∴∠AOM=∠CBD,∵CD与x轴平行,BD与y轴平行,∴∠CDB=90°,BE⊥AM,∴∠CDB=∠AMO,∴△AOM≌△CBD(AAS),∴OM=BD=√2,∵S△ABD=12aa⋅aa=2,BD=√2,∴AE=2√2,∵∠ADB=135°,∴∠ADE=45°,∴△ADE是等腰直角三角形,∴DE=AE=2√2,∴D的纵坐标为3√2,设A(m,√2),则D(m﹣2√2,3√2),∵反比例函数y=aa(x>0)的图象经过A、D两点,∴k=√2m=(m﹣2√2)×3√2,解得m=3√2,∴k=√2m=6.故选:D.30.【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,∴BA=AD,AC⊥BD,∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∵点B(﹣1,1),∴OB=√2,∴AO=aaaaa30°=√6,设直线BD的解析式为y=mx,∴1=﹣m,∴m=﹣1,∴直线BD的解析式为y=﹣x,∴直线AC的解析式为y=x,∵OA=√6,∴点A的坐标为(√3,√3),∵点A在反比例函数y=aa的图象上,∴k=√3×√3=3,故选:C.31.【解答】解:连接BD,与AC交于点O′,∵四边形ABCD 是正方形,AC ⊥x 轴,∴BD 所在对角线平行于x 轴,∵B (0,2),∴O ′C =2=BO ′=AO ′=DO ′,∴点A 的坐标为(2,4),∴k =2×4=8,故答案为:8.32.【解答】解:观察反比例函数y =a a (x <0)的图象可知: 图象过第二象限,∴k <0,所以①错误;因为当x <0时,y 随x 的增大而增大;所以②正确;因为该函数图象关于直线y =﹣x 对称;所以③正确;因为点(﹣2,3)在该反比例函数图象上,所以k =﹣6,则点(﹣1,6)也在该函数的图象上.所以④正确.所以其中正确结论的个数为3个.故答案为3.33.【解答】解:∵AO =AB ,AC ⊥OB ,∴OC =BC =2,∵AC =3,∴A (2,3),把A (2,3)代入y =a a ,可得k =6, 故答案为6.34.【解答】解:当a 1=2时,B 1的横坐标与A 1的横坐标相等为a 1=2, A 2的纵坐标和B 1的纵坐标相同为y 2=−1a 1=−12, B 2的横坐标和A 2的横坐标相同为a 2═−32,A 3的纵坐标和B 2的纵坐标相同为y 3=−1a 2=23, B 3的横坐标和A 3的横坐标相同为a 3=−13,A 4的纵坐标和B 3的纵坐标相同为y 4=−1a 3=3, B 4的横坐标和A 4的横坐标相同为a 4=2=a 1,…由上可知,a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,…,3个为一组依次循环,∵2020÷3=673…1,∴a 2020=a 1=2,故答案为:2.35.【解答】解:过点M作MN⊥AD,垂足为N,则MN=CD=3,在Rt△FMN中,∠MFN=30°,∴FN=√3MN=3√3,∴AN=MB=8√3−3√3=5√3,设OA=x,则OB=x+3,∴F(x,8√3),M(x+3,5√3),又∵点F、M都在反比例函数的图象上,∴8√3x=(x+3)×5√3,解得,x=5,∴F(5,8√3),∴k=5×8√3=40√3.故答案为:40√3.五.反比例函数与一次函数的交点问题(共14小题)36.【解答】解:∵同一坐标系中,正比例函数y=k1x与反比例函数y=a2a的图象没有交点,若k1>0,则正比例函数经过一、三象限,从而反比例函数经过二、四象限,则k2<0,若k1<0,则正比例函数经过二、四象限,从而反比例函数经过一、三象限,则k2>0,综上:k1和k2异号,①∵k1和k2的绝对值的大小未知,故k1+k2≤0不一定成立,故①错误;②|k1+k2|=||k1|﹣|k2||<|k1|或|k1+k2|=||k1|﹣|k2||<|k2|,故②正确;③|k1+k2|=||k1|﹣|k2||<||k1|+|k2||=|k1﹣k2|,故③正确;④∵k1和k2异号,则k1k2<0,故④正确;故正确的有3个,故选:B.37.【解答】解:法一:由题意得,{a =4a a =a −1,解得,{a =1+√172a =√17−12或{a =1−√172a =−1−√172(舍去), ∴点P (1+√172,√17−12), 即:a =1+√172,b =√17−12, ∴1a −1a =1+17−√17−1=−14; 法二:由题意得,函数y =4a (x >0)与y =x ﹣1的图象交于点P (a ,b ), ∴ab =4,b =a ﹣1, ∴1a −1a =a −a aa =−14; 故选:C .38.【解答】解:连结BP ,点O 是AB 的中点,则OQ 是△ABP 的中位线,当B 、C 、P 三点共线时,PB 最大,则OQ =12BP 最大,而OQ 的最大值为2,故BP 的最大值为4,则BC =BP ﹣PC =4﹣1=3,设点B (m ,﹣m ),则(m ﹣2)2+(﹣m ﹣2)2=32, 解得:m 2=12,∴k =m (﹣m )=−12, 故选:A .39.【解答】解:由图象得,当y 1≤y 2时,x 的取值范围是0<x ≤2,故选:A .40.【解答】解:∵直线y =x 与反比例函数y =4a (x >0)的图象交于点A ,∴解x =4a 求得x =±2,∴A 的横坐标为2,∵OA =2BC ,∴C 的横坐标为1,把x =1代入y =4a 得,y =4,∴C (1,4),∵将直线y =x 沿y 轴向上平移b 个单位长度,得到直线y =x +b ,∴把C 的坐标代入得4=1+b ,求得b =3,故选:C .41.【解答】解:∵函数y =kx +b (k ≠0)与a =a a (a ≠0)的图象相交于点A (﹣2,3),B (1,﹣6)两点, ∴不等式aa +a >a a 的解集为:x <﹣2或0<x <1,故选:D .42.【解答】解:∵正比例函数y 1的图象与反比例函数y 2的图象相交于点A (﹣2,4),∴正比例函数y 1=﹣2x ,反比例函数y 2=−8a ,∴两个函数图象的另一个交点为(2,﹣4),∴A ,B 选项说法错误;∵正比例函数y 1=﹣2x 中,y 随x 的增大而减小,反比例函数y 2=−8a 中,在每个象限内y 随x 的增大而增大,∴C 选项说法错误;∵当x <﹣2或0<x <2时,y 2<y 1,∴选项D 说法正确.故选:D .43.【解答】解:由图象可知,当x <﹣1或0<x <1时,双曲线y 3落在直线y 1上方,且直线y 1落在直线y 2上方,即y 3>y 1>y 2,所以若y 3>y 1>y 2,则自变量x 的取值范围是x <﹣1或0<x <1.故选:D .44.【解答】解:∵点C 的坐标为(0,3),∴B (3,3),A (3,0),∵直线y =x ﹣1分别与边AB ,OA 相交于D ,M 两点,∴可得:D (3,2),M (1,0),∵反比例函数a =a a 经过点D ,∴k =3×2=6,∴反比例函数的表达式为a =6a ,令y =3, 解得:x =2,∴点N 的坐标为(2,3),∴MN =√(2−1)2+(3−0)2=√10,∵点P 在直线DM 上,设点P 的坐标为(m ,m ﹣1),∴CP =√(a −0)2+(a −1−3)2=√10,解得:m =1或3,∴点P 的坐标为(1,0)或(3,2).故答案为:(1,0)或(3,2).45.【解答】解:一次函数y =kx ﹣2﹣k (k >0)的图象过定点P (1,﹣2),而点P (1,﹣2)恰好是原点(0,0)向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度得到的,因此将双曲线y =3a 向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到的新双曲线与直线y =kx ﹣2﹣k (k >0)相交于两点,在没平移前是关于原点对称的,平移前,这两个点的坐标为(a ﹣1,3a −1),(3a +2,b +2),∴a ﹣1=−3a +2, ∴(a ﹣1)(b +2)=﹣3.故答案为:﹣3.46.【解答】解:过点A 、B 分别作AM ⊥OC ,BN ⊥OC ,垂足分别为M 、N ,∵B 是AC 的中点,∴AB =BC ,∵AM ∥BN ,∴aa aa =aa aa =aa aa =12, ∴CN =MN ,设BN =a ,则AM =2a ,∵点A 、B 在反比例函数的图象上,∴OM •AM =ON •BN ,∴OM =12ON ,即:OM =MN =NC ,设OM =b ,则OC =3b ,∵△AOC 的面积为3,即12OC •AM =3, ∴12×3b ×2a =3,∴ab =1∴S △AOM =12OM •AM =12×b ×2a =ab =1=12|k |,∴k =﹣2(舍去),k =2,故答案为:2. 47.【解答】解:点P 在反比例函数y =3a 的图象上,且横坐标为1,则点P (1,3),则点A 、B 的坐标分别为(1,k ),(13k ,3),设直线AB 的表达式为:y =mx +t ,将点A 、B 的坐标代入上式得{a =a +a 3=13aa +a,解得m =﹣3, 故直线AB 与x 轴所夹锐角的正切值为3,故答案为3.48.【解答】解:设直线y =−√3x +b 与x 轴交于点D ,作BE ⊥y 轴于E ,CF ⊥y 轴于F .∵y =−√3x +b ,∴当y =0时,x =√33b ,即点D 的坐标为(√33b ,0), 当x =0时,y =b ,即A 点坐标为(0,b ),∴OA =﹣b ,OD =−√33b .∵在Rt △AOD 中,tan ∠ADO =aa aa =√3,∴∠ADO =60°.∵直线y =−√3x +b 与双曲线y =a a 在第三象限交于B 、C 两点,∴−√3x +b =a a , 整理得,−√3x 2+bx ﹣k =0,由韦达定理得:x 1x 2=√33k ,即EB •FC =√33k ,∵aa aa =cos60°=12, ∴AB =2EB ,同理可得:AC =2FC ,∴AB•AC=(2EB)(2FC)=4EB•FC=4√33k=16,解得:k=4√3.由题意可以假设D1(m,m√3),∴m2•√3=4√3,∴m=2∴OE1=4,即第一个三角形的周长为12,设D2(4+n,√3n),∵(4+n)•√3n=4√3,解得n=2√2−2,∴E1E2=4√2−4,即第二个三角形的周长为12√2−12,设D3(4√2+a,√3a),由题意(4√2+a)•√3a=4√3,解得a=2√3−2√2,即第三个三角形的周长为12√3−12√2,…,∴第四个三角形的周长为12√4−12√3,∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60,故答案为:4√3,60.49.【解答】解:①当点P在AB下方时作AB的平行线l,使点O到直线AB和到直线l的距离相等,则△ABP的面积是△AOB的面积的2倍,直线AB与x轴交点的坐标为(﹣1,0),则直线l与x轴交点的坐标C(1,0),设直线l的表达式为:y=x+b,将点C的坐标代入上式并解得:b=﹣1,故直线l的表达式为y=x﹣1①,而反比例函数的表达式为:y=2a②,联立①②并解得:x=2或﹣1(舍去);②当点P在AB上方时,同理可得,直线l的函数表达式为:y=x+3③,联立②③并解得:x=−3±√172(舍去负值);第 31 页 共 31 页 故答案为:2或−3+√172.六.反比例函数的应用(共1小题)50.【解答】解:当U 一定时,电压U 、电流I 、电阻R 三者之间的关系式为I =a a ,I 与R 成反比例函数关系,但R 不能小于0,所以图象A 不可能,B 可能;当R 一定时,电压U 、电流I 、电阻R 三者之间的关系式为:U =IR ,U 和I 成正比例函数关系,所以C 、D 均有可能,故选:A .。
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2020年中考数学《反比例函数》总复习题
1.如图1,点A(0,8)、点B(2,a)在直线y=﹣2x+b上,反比例函数y=(x>0)的图象经过点B.
(1)求a和k的值;
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,连接AC、BD.
①如图2,当m=3时,过D作DF⊥x轴于点F,交反比例函数图象于点E,求的值;
②在线段AB运动过程中,连接BC,若△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求所有满足
条件的m的值.
【分析】(1)先将点A坐标代入直线AB的解析式中,求出a,进而求出点B坐标,再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论;
(2)①先确定出点D(5,4),进而求出点E坐标,进而求出DE,EF,即可得出结论;
②先表示出点C,D坐标,再分两种情况:Ⅰ、当BC=CD时,判断出点B在AC的垂
直平分线上,即可得出结论;
Ⅱ、当BC=BD时,先表示出BC,用BC=BD建立方程求解即可得出结论.
【解答】解:(1)∵点A(0,8)在直线y=﹣2x+b上,
∴﹣2×0+b=8,
∴b=8,
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+8,
将点B(2,a)代入直线AB的解析式y=﹣2x+8中,得﹣2×2+8=a,
∴a=4,
∴B(2,4),
将B(2,4)在反比例函数解析式y=(x>0)中,得k=xy=2×4=8;
(2)①由(1)知,B(2,4),k=8,∴反比例函数解析式为y=,
当m=3时,
∴将线段AB向右平移3个单位长度,得到对应线段CD,
∴D(2+3,4),
即:D(5,4),
∵DF⊥x轴于点F,交反比例函数y=的图象于点E,
∴E(5,),
∴DE=4﹣=,EF=,
∴==;
②如图,∵将线段AB向右平移m个单位长度(m>0),得到对应线段CD,∴CD=AB,AC=BD=m,
∵A(0,8),B(2,4),
∴C(m,8),D((m+2,4),
∵△BCD是以BC为腰的等腰三形,
∴Ⅰ、当BC=CD时,
∴BC=AB,
∴点B在线段AC的垂直平分线上,
∴m=2×2=4,
Ⅱ、当BC=BD时,
∵B(2,4),C(m,8),
∴BC=,
∴=m,
∴m=5,
即:△BCD是以BC为腰的等腰三角形,满足条件的m的值为4或5.
【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,平移的性质,等腰三角形的性质,线段的垂直平分线的性质,用方程的思想解决问题是解本题的关键.。