新初二等腰三角形基本概念与性质

个性化教学辅导教案
（★★★）已知：如图，ABC ∆中，AB CD AC AB ⊥=，于D 。

求证：DCB 2B AC ∠=∠。

A 1 2
D B
C
E 3
解析：欲证角之间的倍半关系，结合题意，观察图形，BAC ∠是等腰三角形的顶角，于是想到构造它的一半，再证与DCB ∠的关系。

证明：过点A 作B C AE ⊥于E ，AC AB =Θ 所以BAC 2
1
21∠=
∠=∠（等腰三角形的三线合一性质） 因为ο
90B 1=∠+∠
又AB CD ⊥，所以ο
90CDB =∠
所以ο
90B 3=∠+∠（直角三角形两锐角互余） 所以31∠=∠（同角的余角相等） 即DCB 2B AC ∠=∠
（★★★）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）
A. 6个
B. 7个
C. 8个
D. 9个
A 36° E D
F B
C
解析：由已知条件根据等腰三角形的性质和三角形内角和的度数可求得等腰三角形有8个，故选择C 。

（★★★）如图，ABC ∆中，ο
100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

A
D
1 B 2
E F
C
解析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。

证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ∆和EB D ∆中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，，
ο
ο
80
DEF 100
A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴∆≅∆∴，
又ο
Θ100A AC AB =∠=， οοο40)100180(2
1
C ABC =-=∠=∠∴ οο20402
1
21=⨯=∠=∠∴ 而B F B D = οοοο80)20180(2
1
)2180(21BDF BFD =-=∠-=
∠=∠∴ AD
BD FC BF BC FC
DF DE AD FC DF C FDC 40
4080C DFE FDC 40C 80DFE DF
DE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴ο
ο
ο
ο
οο，
即B C B D AD =+
∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME ∴△MDE是等腰三角形
1：等腰三角形中，在计算角的度数时往往是设其中一个角为X度，然后用X表示其他角，利用三角形的内角和为180度来解出X。

计算边长时也是如此。

但要注意分类讨论的情况，同时还要注意检验三角形的两边之和大于第三边。

2：在证明线段或角度相等时，常用的方法就是证全等，在找全等的条件时要与等腰三角形的性质结合起来。

要时刻注意等腰三角形2腰相等，2底角相等，最重要的是"三线合一"的性质。

如图，在ABC
∆中，AC
AB=，D、E分别为AC、AB边中点，BD、CE交于O点。

求证：点O在BC的垂直平分线上。

分析：欲证本题结论，实际上就是证明OC
OB=。

而OB、OC在ABC
∆中，于是想到利用等腰三角形的判定角等，那么问题就转化为证含有2
1∠
∠、的两个三角形全等。

证明：因为在ABC
∆中，AC
AB=
所以ACB
AB C∠
=
∠（等边对等角）
又因为D、E分别为AC、AB的中点，所以EB
DC=（中线定义）
在BCD
∆和CBE
∆中，
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∠
=
∠
=
)
(
CB
BC
)
(
EBC
DCB
)
(
EB
DC
公共边
已证
已证
所以)
SAS
(
CBE
BCD∆
≅
∆
所以2
1∠
=
∠（全等三角形对应角相等）。

所以OC
OB=（等角对等边）。

即点O在BC的垂直平分线上。

即∠1＝∠E
所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M
所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理）
（★★★）如图，已知：ABC ∆中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。

A
B
C
D
解析：题中所要求的BAC ∠在ABC ∆中，但仅靠AC AB =是无法求出来的。

因此需要考虑
DB A D =和CA DC =在题目中的作用。

此时图形中三个等腰三角形，构成了内外角的关系。

因此可
利用等腰三角形的性质和三角形的内外角关系定理来求。

解：因为AC AB =，所以C B ∠=∠ 因为DB A D =，所以C DAB B ∠=∠=∠；
因为CD CA =，所以CDA CAD ∠=∠（等边对等角） 而 DAB B ADC ∠+∠=∠ 所以B DAC B ADC ∠=∠∠=∠22， 所以B 3B AC ∠=∠
又因为ο
180=∠+∠+∠BAC C B
即ο
180B 3C B =∠+∠+∠ 所以ο
36B =∠ 即求得ο
108BAC =∠
（★★★★）如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，ο
，则1∠的度数是________。

2.如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：EB=FC
3．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC•交AB于E，求证：AE=BE．
（1）解析：证明：连接DF，
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．∴CD=BF．
∵CD=BD=1/2
BC，∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．
（2）解析：证明：因为 AD平分角BAC，DE垂直于AB于E，DF垂直于AC于F，
所以DE=DF，角DEB=角DFC=90度，
又因为BD=CD，
所以直角三角形BDE全等于直角三角形CDF（斜边，直角边），
所以EB=FC。

（3）解析：证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE∥AC，
∴∠EDA=∠CAD=∠BAD，
∴AE=ED，
∵∠EDB+∠ADE=90°，
∴∠BDE+∠BAD=90°，
∵∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BDE=∠EBD，
∴BE=ED，
∴AE=BE．
课堂练习
课后作业
课
后
本节课教学计划完成情况：照常完成□提前完成□延后完成□ _____________________________
学生的接受程度：完全能接受□部分能接受□不能接受□ ________________________________
学生的课堂表现：很积极□比较积极□一般□不积极□ ________________________________
学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分存在问题 ______________________________。