2015-2016学年高中数学(人教A版选修2-1)课时作业：第1章 常用逻辑用语1.1.3
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.1.3 Word版含答案
1.1.3四种命题间的相互关系【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)(2)①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确2．下列说法中正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()A．能被2整除的整数，一定能被6整除B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( )A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①②都是真命题D ．二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________．三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.12．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．【能力提升】13．给出下列三个命题：①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n 2； ③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．314．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1.1.3四种命题间的相互关系知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．]2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．所以a，b，c不可能都是奇数．13．B [①用“分部分式”判断，具体：a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．]14．解 能确定．理由如下：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c .②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c .从而可知，b >a >c .所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。
高中数学人教A版【精品习题】(选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.3 Word含答案
§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q 綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是( )A．“p∨q”为真，“綈q”为假- 1 -B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p ∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是( ) A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则( )A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是( )A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1- 1 -。
高中数学选修2-1各章节课时作业及答案解析
第一章常用逻辑用语§ 1.1命题及其关系1.1.1命题【课时目标】 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．二、填空题7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是____________________，结论q 是_ _______________________________________________________________________． 9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ； (2)对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆．11．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．12．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【能力提升】13．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．314．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．课时作业答案解析 第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1.1.1 命题知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．] 3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.] 4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．] 6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．∵m >1⇒Δ＝4－4m <0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．11．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．12．解 若命题p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.13．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]14．B[①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]1.1.2四种命题【课时目标】 1.了解四种命题的概念.2.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．1．四种命题的概念：(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．(2)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的____________________________，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．(3)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________________________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．2．四种命题的命题结构：用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p，綈q分别表示p和q的否定，四种形式就是：原命题：若p成立，则q成立．即“若p，则q”．逆命题：________________________.即“若q，则p”．否命题：______________________.即“若綈p，则綈q”．逆否命题：__________________.即“若綈q，则綈p”．一、选择题1．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．命题“若A∩B＝A，则A⊆B”的逆否命题是()A．若A∪B≠A，则A⊇BB．若A∩B≠A，则A⊆BC．若A⊆B，则A∩B≠AD．若A⊇B，则A∩B≠A3．对于命题“若数列{a n}是等比数列，则a n≠0”，下列说法正确的是()A．它的逆命题是真命题B．它的否命题是真命题C．它的逆否命题是假命题D．它的否命题是假命题4．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③D．③④5．命题“当AB＝AC时，△ABC为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．4 B．3 C．2 D．06．命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若log a2<0，二、填空题7．命题“若x>y，则x3>y3－1”的否命题是________________________．8．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数，可以被3整除”的逆否命题是____________________________；逆命题是_______；否命题是________________________．9．有下列四个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②若a2＋b2＝0，则a，b全为0；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆命题．其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号)．三、解答题10．命题：“已知a，b，c，d是实数，若a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d.”写出其逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．11．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等．12．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．(1)实数的平方是非负数；(2)等高的两个三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分线平分弦所对的弧．【能力提升】13．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是()A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数14．命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，则a2－4b≥0，写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．1．对条件、结论不明显的命题，可以先将命题改写成“若p则q”的形式后再进行转换．2．分清命题的条件和结论，然后进行互换和否定，即可得到原命题的逆命题，否命题和逆否命题．1.1.2四种命题知识梳理1．(1)结论和条件(2)条件的否定和结论的否定(3)结论的否定和条件的否定2．若q成立，则p成立若綈p成立，则綈q成立若綈q成立，则綈p成立作业设计1．B[由a>－3⇒a>－6，但由a>－6 a>－3，故真命题为原命题及原命题的逆否命题，故选B.]2．C[先明确命题的条件和结论，然后对命题进行转换．]3．D 4.C5．C[原命题和它的逆否命题为真命题．]6．A[由互为逆否命题的关系可知，原命题的逆否命题为：若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数．]7．若x≤y，则x3≤y3－18．不能被3整除的正整数，其各位数字之和不是3的倍数能被3整除的正整数，它的各位数字之和是3的倍数各位数字之和不是3的倍数的正整数，不能被3整除9．②③10．解逆命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题否命题：已知a，b，c，d是实数，若a≠b或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题逆否命题：已知a，b，c，d是实数，若a＋c≠b＋d，则a≠b或c≠d.真命题．11．解(1)原命题：“若a是正数，则a的平方根不等于0”．逆命题：“若a的平方根不等于0，则a是正数”．否命题：“若a不是正数，则a的平方根等于0”．逆否命题：“若a的平方根等于0，则a不是正数”．(2)原命题：“若x＝2，则x2＋x－6＝0”．逆命题：“若x2＋x－6＝0，则x＝2”．否命题：“若x≠2，则x2＋x－6≠0”．逆否命题：“若x2＋x－6≠0，则x≠2”．(3)原命题：“若两个角是对顶角，则它们相等”．逆命题：“若两个角相等，则它们是对顶角”．否命题：“若两个角不是对顶角，则它们不相等”．逆否命题：“若两个角不相等，则它们不是对顶角”．12．解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等高．否命题：若两个三角形不等高，则这两个三角形不全等．逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等高．(3)逆命题：若一条直线平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不平分弦所对的弧．逆否命题：若一条直线不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．13．B[命题“若p，则q”的否命题为“若綈p，则綈q”，而“是”的否定是“不是”，故选B.]14．解逆命题：已知a、b为实数，若a2－4b≥0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集．否命题：已知a、b为实数，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2－4b<0.逆否命题：已知a、b为实数，若a2－4b<0，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集．原命题、逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．1.1.3四种命题间的相互关系【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．1．四种命题的相互关系2．四种命题的真假性(1)原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．一、选择题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是( ) A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确2．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是( ) A ．能被2整除的整数，一定能被6整除 B ．不能被6整除的整数，一定不能被2整除 C ．不能被6整除的整数，不一定能被2整除 D ．不能被2整除的整数，一定不能被6整除4．命题：“若a 2＋b 2＝0 (a ，b ∈R )，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0 B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠05．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A ．都真 B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( ) A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．二、填空题7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”) 8．“若x ≠1，则x 2－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1b，则a <b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________． 三、解答题10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．11．已知奇函数f(x)是定义域为R的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥0，求证：a＋b≥0. 12．若a2＋b2＝c2，求证：a，b，c不可能都是奇数．【能力提升】13．给出下列三个命题：①若a≥b>－1，则a1＋a≥b1＋b；②若正整数m和n满足m≤n，则m(n－m)≤n 2；③设P(x1，y1)是圆O1：x2＋y2＝9上的任意一点，圆O2以Q(a，b)为圆心，且半径为1.当(a－x1)2＋(b－y1)2＝1时，圆O1与圆O2相切．其中假命题的个数为()A．0B．1C．2D．314．a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大的，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小的，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．1.1.3四种命题间的相互关系知识梳理1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p2．(2)①相同②没有关系作业设计1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]6．D7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．8．假9.①②10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．∴a＋b≥0.12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．所以a，b，c不可能都是奇数．13．B[①用“分部分式”判断，具体：a1＋a≥b1＋b⇔1－11＋a≥1－11＋b⇔11＋a≤11＋b，又a≥b>－1⇔a＋1≥b＋1>0知本命题为真命题．②用基本不等式：2xy≤x2＋y2 (x>0，y>0)，取x＝m，y＝n－m，知本命题为真．③圆O1上存在两个点A、B满足弦AB＝1，所以P、O2可能都在圆O1上，当O2在圆O1上时，圆O1与圆O2相交．故本命题为假命题．]14．解能确定．理由如下：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．①由命题A为真可知，当b不是最大时，则a是最小的，即若c最大，则a最小，所以c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“a不是最小，则b是最大”为真，所以b>a>c.总之由命题A为真可知：c>b>a或b>a>c.②同理由命题B为真可知a>c>b或b>a>c.从而可知，b>a>c.所以三个人年龄的大小顺序为b最大，a次之，c最小．§1.2充分条件与必要条件【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件二、填空题7．用符号“⇒”或“ ”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．11.设x ，y ∈R ，求证|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.12．已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．【能力提升】 13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ，则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p是q的什么条件，常用的方法是验证由p能否推出q，由q能否推出p，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A的充要条件为B”的命题的证明：A⇒B证明了必要性；B⇒A证明了充分性．“A是B的充要条件”的命题的证明：A⇒B证明了充分性；B⇒A证明了必要性．§1.2充分条件与必要条件知识梳理1．充分条件必要条件2．p⇔q充分必要充要充要既不充分又不必要作业设计1．A[对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．]2．A[∵q⇒p，∴綈p⇒綈q，反之不一定成立，因此綈p是綈q的充分不必要条件．] 3．B [因为N M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．]4．A[把k＝1代入x－y＋k＝0，推得“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”；但“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．] 7．(1) ⇒ (2)⇒ 8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1) (－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ， 但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形． △ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形． ∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件． (3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形． 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分． ∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立． 当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ， ∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立． 总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立． ②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ， 则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |， ∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件． 12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1.∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ca .又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝ac，即ab＝ac或bc＝ac，得b＝c或b＝a，可知△ABC为等腰三角形，而不能推出△ABC为等边三角形．∴“l＝1”不是“△ABC为等边三角形”的充分条件．]14．解当{a n}是等差数列时，∵S n＝(n＋1)2＋c，∴当n≥2时，S n－1＝n2＋c，∴a n＝S n－S n－1＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2为常数．又a1＝S1＝4＋c，∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－c，∵{a n}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2.∴c＝－1，反之，当c＝－1时，S n＝n2＋2n，可得a n＝2n＋1 (n≥1)为等差数列，∴{a n}为等差数列的充要条件是c＝－1.§1.3简单的逻辑联结词【课时目标】 1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.2.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．1．用逻辑联结词构成新命题(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作________，读作__________．(3)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作________，读作__________或__________．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断p q p∨q p∧q綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题1．已知p：2＋2＝5；q：3>2，则下列判断错误的是()A．“p∨q”为真，“綈q”为假B．“p∧q”为假，“綈p”为真C．“p∧q”为假，“綈p”为假D．“p∨q”为真，“綈p”为真2．已知p：∅{0}，q：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“綈p”，“綈q”，“p∧q”，“p∨q”中，真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．下列命题：①2010年2月14日既是春节，又是情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个4．设p、q是两个命题，则新命题“綈(p∨q)为假，p∧q为假”的充要条件是() A．p、q中至少有一个为真B．p、q中至少有一个为假C．p、q中有且只有一个为假D．p为真，q为假5．命题p：在△ABC中，∠C>∠B是sin C>sin B的充分不必要条件；命题q：a>b是ac2>bc2的充分不必要条件．则()A．p假q真B．p真q假C．p∨q为假D．p∧q为真6．下列命题中既是p∧q形式的命题，又是真命题的是()A．10或15是5的倍数B．方程x2－3x－4＝0的两根是－4和1C．方程x2＋1＝0没有实数根D．有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形题号123456答案二、填空题7．“2≤3”中的逻辑联结词是________，它是________命题．(填“真”，“假”) 8．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题，则x的范围是____________．9．已知a、b∈R，设p：|a|＋|b|>|a＋b|，q：函数y＝x2－x＋1在(0，＋∞)上是增函数，那么命题：p∨q、p∧q、綈p中的真命题是________．三、解答题10．分别指出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的复合命题的真假．(1)p：4＋3＝7，q：5<4；(2)p：9是质数，q：8是12的约数；(3)p：1∈{1,2}；q：∅{1,2}；(4)p：∅＝{0}，q：∅⊆∅.11.写出由下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是质数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：0∈∅；q：{x|x2－3x－5<0}⊆R；(4)p：5≤5；q：27不是质数．12．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．【能力提升】13．命题p：若a，b∈R，则|a|＋|b|>1是|a＋b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y ＝|x－1|－2 的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则()A．“p或q”为假B．“p且q”为真C．p真q假D．p假q真14．设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．1．从集合的角度理解“且”“或”“非”．设命题p：x∈A.命题q：x∈B.则p∧q⇔x∈A且x∈B⇔x∈A∩B；p∨q⇔x∈A或x∈B ⇔x∈A∪B；綈p⇔x∉A⇔x∈∁U A.2．对有逻辑联结词的命题真假性的判断当p、q都为真，p∧q才为真；当p、q有一个为真，p∨q即为真；綈p与p的真假性相反且一定有一个为真．3．含有逻辑联结词的命题否定“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定形式“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”，它类似于集合中的“∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)”．§1.3简单的逻辑联结词知识梳理1．(1)p∧q“p且q”(2)p∨q“p或q”(3)綈p“非p”“p的否定”作业设计1．C[p假q真，根据真值表判断“p∧q”为假，“綈p”为真．]2．B[∵p真，q假，∴綈q真，p∨q真．]3．C[①③命题使用逻辑联结词，其中，①使用“且”，③使用“非”．]4．C [因为命题“綈(p ∨q )”为假命题，所以p ∨q 为真命题．所以p 、q 一真一假或都是真命题．又因为p ∧q 为假，所以p 、q 一真一假或都是假命题，所以p 、q 中有且只有一个为假．]5．C [命题p 、q 均为假命题，∴p ∨q 为假．]6．D [A 中的命题是p ∨q 型命题，B 中的命题是假命题，C 中的命题是綈p 的形式，D 中的命题为p ∧q 型，且为真命题．] 7．或 真 8．[1,2)解析 x ∈[2,5]或x ∈(－∞，1)∪(4，＋∞)，即x ∈(－∞，1)∪[2，＋∞)，由于命题是假命题， 所以1≤x <2，即x ∈[1,2)． 9．綈p解析 对于p ，当a >0，b >0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |，故p 假，綈p 为真；对于q ，抛物线y ＝x 2－x ＋1的对称轴为x ＝12，故q 假，所以p ∨q 假，p ∧q 假．这里綈p 应理解成|a |＋|b |>|a ＋b |不恒成立，而不是|a |＋|b |≤|a ＋b |.10．解 (1)因为p 真q 假，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为假． (2)因为p 假q 假，所以“p ∨q ”为假，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真． (3)因为p 真q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为真，“綈p ”为假． (4)因为p 假q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“綈p ”为真． 11．解 (1)p 为假命题，q 为真命题．p 或q ：1是质数或是方程x 2＋2x －3＝0的根．真命题． p 且q ：1既是质数又是方程x 2＋2x －3＝0的根．假命题． 綈p ：1不是质数．真命题． (2)p 为假命题，q 为假命题．p 或q ：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题． p 且q ：平行四边形的对角线相等且互相垂直．假命题． 綈p ：有些平行四边形的对角线不相等．真命题． (3)∵0∉∅，∴p 为假命题，又∵x 2－3x －5<0，∴3－292<x <3＋292，∴{x |x 2－3x －5<0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |3－292<x <3＋292⊆R 成立． ∴q 为真命题．∴p 或q ：0∈∅或{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，真命题， p 且q ：0∈∅且{x |x 2－3x －5<0}⊆R ，假命题， 綈p ：0∉∅，真命题．(4)显然p ：5≤5为真命题，q ：27不是质数为真命题， ∴p 或q ：5≤5或27不是质数，真命题， p 且q ：5≤5且27不是质数，真命题，綈p ：5>5，假命题．12．解 若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，－m <0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，。
人教A版高中数学选修2-1作业：第1章 常用逻辑用语1.2.1 (1)
第一章 1.2 1.2.1考点对应题号基础训练 能力提升 1.求双曲线的标准方程 1,3,5,7 10,12 2.求与双曲线有关的轨迹方程 6 3.利用双曲线的定义讨论参数和求最值8,9 11 4.双曲线中的焦点三角形问题2,4131．经过点(－1,2)和(2，－5)的双曲线的方程是( ) A ．7x 23－y 23＝－1B ．x 23－7y 23＝1或7x 23－y 23＝1C ．7x 23－y 23＝1D ．x 23－7y 23＝1C 解析 设双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)，将点的坐标代入方程⎩⎨⎧1m ＋4n＝1，4m ＋25n ＝1，得 ⎩⎨⎧1m ＝73，1n ＝－13，所以双曲线方程为7x 23－y 23＝1.2．若F 1，F 2分别是双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点，AB 是双曲线左支上过点F 1的弦，且|AB |＝6，则△ABF 2的周长是( )A ．28B ．26C ．20D ．24A 解析 |AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ， |AF 2|＋|BF 2|－|AF 1|－|BF 1|＝4a ， 即|AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4a ，所以|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2|AB |＝4×4＋2×6＝28.3．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等A 解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为 225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k5. 双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选A 项． 4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t >0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12m －sC ．m 2－s 2D ．m －sA 解析 因为椭圆和双曲线有共同焦点，P 在椭圆上，所以|PF 1|＋|PF 2|＝2m . 又P 在双曲线上，所以||PF 1|－|PF 2||＝2s . 两式平方相减得4|PF 1|·|PF 2|＝4(m －s )， 故|PF 1|·|PF 2|＝m －s .5．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0A 解析 由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a ，所以e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32.又因为c 22＝a 2＋b 2，c 21＝a 2－b 2， 所以c 21c 22a 4＝a 4－b 4a4＝1－⎝⎛⎭⎫b a 4＝34， 解得b a ＝±22，所以b a ＝22.令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0，所以x ±2y ＝0. 6．如图，△ABC 外接圆半径R ＝1433，∠ABC ＝120°，BC ＝10，弦BC 在x 轴上且y 轴垂直平分BC 边，则过点A 且以B ，C 为焦点的双曲线的方程为( )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．x 212－y 213＝1D ．x 215－y 210＝1B 解析 由正弦定理得|AC |sin 120° ＝2R ，所以|AC |＝2×1433×32＝14，由余弦定理得|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos ∠ABC ， 即|AB |2＋10|AB |－96＝0，解得|AB |＝6， 依题意设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则|BC |＝2c ＝10，|AC |－|AB |＝2a ＝14－6＝8， 所以c ＝5，a ＝4，则b 2＝c 2－a 2＝9， 因此所求双曲线的方程为x 216－y 29＝1.二、填空题7．若双曲线的两焦点为(±13,0)，且(5,0)在双曲线上，则双曲线的标准方程为____________.解析 点(5,0)到两焦点(13,0)和(－13,0)的距离之差的绝对值等于|8－18|＝10，所以2a ＝10，a ＝5，而c ＝13，所以b 2＝144，故双曲线的标准方程为x 225－y 2144＝1. 答案 x 225－y 2144＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________.解析 由题意知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案 49．已知方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示的曲线为C ．给出以下四个命题：①当1＜t ＜4时，曲线C 表示椭圆；②当t ＞4或t ＜1时，曲线C 表示双曲线；③若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜t ＜52；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的双曲线，则t＞4.其中正确的是________(填正确命题的序号)．解析 ①错误，当t ＝52时，曲线C 表示圆；②正确，若C 为双曲线，则(4－t )(t －1)＜0，即t ＜1或t ＞4；③正确，若C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4－t ＞t －1＞0，即1＜t ＜52；④正确，若曲线C 为焦点在y 轴上的双曲线，则⎩⎪⎨⎪⎧4－t ＜0，t －1＞0，即t ＞4.答案 ②③④ 三、解答题10．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝5，c ＝7；(2)以椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为焦点，且经过点P ⎝⎛⎭⎫5，94. 解析 (1)由题设知a ＝5，c ＝7，则b 2＝c 2－a 2＝24. 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程是x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.(2)因为椭圆x 225＋y 29＝1的长轴端点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，所以所求双曲线的焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2|| ＝⎪⎪⎪⎪(5＋5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02－(5－5)2＋⎝⎛⎭⎫94－02＝8，即2a ＝8，则a ＝4.又c ＝5，所以b 2＝c 2－a 2＝9， 故所求双曲线的标准方程为x 216－y 29＝1.11．已知x 21－k －y 2|k |－3＝－1.(1)当k 为何值时，方程表示双曲线；(2)当k 为何值时，方程表示焦点在x 轴上的双曲线； (3)当k 为何值时，方程表示焦点在y 轴上的双曲线．解析 (1)依题意，若方程表示双曲线，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k ＞0，|k |－3＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1－k ＜0，|k |－3＜0，解得k ＜－3或1＜k ＜3.(2)若方程表示焦点在x 轴上的双曲线，则1＜k ＜3；(3)若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则k ＜－3.12．双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，求点P的坐标．解析 因为双曲线的方程为x 29－y 216＝1，所以a 2＝9，b 2＝16，则c ＝9＋16＝5，所以F 1(－5,0)，F 2(5,0)．因为PF 1⊥PF 2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，得圆的方程为x 2＋y 2＝25.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝25，x 29－y 216＝1得⎩⎨⎧x ＝3415，y ＝±165或⎩⎨⎧x ＝－3415，y ＝±165.所以点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫3415，±165或⎝⎛⎭⎫－3415，±165.四、选做题13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程；(2)若点M 在双曲线上，F 1，F 2为左、右焦点，且|MF 1|＋|MF 2|＝63，试判断△MF 1F 2的形状．解析 (1)椭圆方程可化为x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上，且c ＝9－4＝5，故设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得a 2＝3，b 2＝2，所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1.(2)不妨设点M 在右支上，则有|MF 1|－|MF 2|＝23，又|MF 1|＋|MF 2|＝63，故解得|MF 1|＝43，|MF 2|＝2 3.又|F 1F 2|＝25，因此在△MF 1F 2中，边MF 1最长，因为cos ∠MF 2F 1＝|MF 2|2＋|F 1F 2|2－|MF 1|22·|MF 2|·|F 1F 2|<0，所以∠MF 2F 1为钝角，故△MF 1F 2为钝角三角形．由Ruize收集整理。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业第一章 常用逻辑用语 1.3 Word版含答案
§简单的逻辑联结词【课时目标】.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.会用逻辑联结词联结两个命题或改写某些数学命题，并能判断命题的真假．．用逻辑联结词构成新命题()用联结词“且”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作，读作．()用联结词“或”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作，读作．()对一个命题全盘否定，就得到一个新命题，记作，读作或．．含有逻辑联结词的命题的真假判断∨∧綈真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真一、选择题．已知：＋＝；：>，则下列判断错误的是()．“∨”为真，“綈”为假．“∧”为假，“綈”为真．“∧”为假，“綈”为假．“∨”为真，“綈”为真．已知：∅{}，：{}∈{}．由它们构成的新命题“綈”，“綈”，“∧”，“∨”中，真命题有()．个．个．个．个．下列命题：①年月日既是春节，又是情人节；②的倍数一定是的倍数；③梯形不是矩形．其中使用逻辑联结词的命题有()．个．个．个．个．设、是两个命题，则新命题“綈(∨)为假，∧为假”的充要条件是()．、中至少有一个为真．、中至少有一个为假．、中有且只有一个为假．为真，为假．命题：在△中，∠>∠是 > 的充分不必要条件；命题：>是>的充分不必要条件．则()．假真．真假．∨为假．∧为真．下列命题中既是∧形式的命题，又是真命题的是()．或是的倍数．方程－－＝的两根是－和．方程＋＝没有实数根．有两个角为°的三角形是等腰直角三角形题号答案二、填空题．“≤”中的逻辑联结词是，它是命题．(填“真”，“假”)．若“∈[]或∈{<或>}”是假命题，则的范围是．．已知、∈，设：＋>＋，：函数＝－＋在(，＋∞)上是增函数，那么命题：∨、∧、綈中的真命题是．三、解答题。
高中数学选修2-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.1知识点总结含同步练习及答案
2.若则命题的四种形式 描述： 若则命题 命题的常见形式为“若 p 则 q ”，其中 p 叫做命题的条件， q 叫做命题的结论． 逆命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称 为互逆命题．其中一个命题称为原命题（original proposition），另一个称为原命题的逆命 题（inverse proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的逆命题 为“若 q ，则 p ”． 否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么 这两个命题称为互否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题（negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么它的否命题为“若 ¬p ，则 ¬q ”． 逆否命题 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么 这两个命题称为互为逆否命题．其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命 题（inverse and negative proposition）．也就是说，如果原命题为“若 p ，则 q ”，那么 它的逆否命题为“若 ¬q ，则 ¬p ”． 四种命题的相互关系 四种命题的真假关系 ① 互为逆否的两个命题，它们有相同的真假性； ② 互逆或互否的两个命题，它们的真假性没有关系． 例题： 把下列命题改写成“若 p ，则 q ” 的形式，并判断命题的真假． （1）当 ac > bc 时， a > b ； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，当 y = 3 时，x = 2； （3）当 m > （4）菱形的对角线互相垂直． 解：（1）若 ac > bc，则 a > b，假命题； （2）已知 x ，y 为正整数，且 y = x + 1 ，若 y = 3，则 x = 2 ，真命题； （3）若 m > （4）若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，真命题．
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.1.1 Word版含答案.docx
第一章常用逻辑用语§ 1.1命题及其关系1.1.1命题【课时目标】 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．二、填空题7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是____________________，结论q 是________________________________________________________________________． 9．下列语句是命题的是________． ①求证3是无理数； ②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数； ⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0. 三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ； (2)对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根； (4)存在一个三角形没有外接圆．11．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假． (1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．12．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【能力提升】13．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．314．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β； ③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题． 2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．课时作业答案解析 第一章 常用逻辑用语 §1.1 命题及其关系1.1.1 命题知识梳理1．真假 陈述句 真 假 2．条件 结论 作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.] 4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．] 6．D 7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形． 8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称 9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．∵m >1⇒Δ＝4－4m <0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根． (4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆．11．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题．12．解 若命题p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1； 若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2.故m 的取值范围是1<m <2.13．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．]14．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m 、n 相交于一点这一条件，故不正确；③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 单元检测(B卷) Word版含答案
第一章 常用逻辑用语(B)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．a ＋b ＝0C ．a ＝bD ．a 2＋b 2＝02．若“a ≥b ⇒c >d ”和“a <b ⇒e ≤f ”都是真命题，其逆命题都是假命题，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的( )A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件3．在下列结论中，正确的是( )①“p ∧q ”为真是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；②“p ∧q ”为假是“p ∨q ”为真的充分不必要条件；③“p ∨q ”为真是“綈p ”为假的必要不充分条件；④“綈p ”为真是“p ∧q ”为假的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④4．“a ≠1或b ≠2”是“a ＋b ≠3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要5．若命题“p 或q ”为真，“非p ”为真，则( )A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假6．条件p ：x >1，y >1，条件q ：x ＋y >2，xy >1，则条件p 是条件q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．2x 2－5x －3<0的一个必要不充分条件是( )A ．－12<x <3B ．－12<x <0 C ．－3<x <12D ．－1<x <6 8．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件9．下列命题中的假命题是( )A ．∃x ∈R ，lg x ＝0B ．∃x ∈R ，tan x ＝1C ．∀x ∈R ，x 3>0D ．∀x ∈R,2x >010．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题11．下列命题中为全称命题的是()A．圆内接三角形中有等腰三角形B．存在一个实数与它的相反数的和不为0C．矩形都有外接圆D．过直线外一点有一条直线和已知直线平行12．以下判断正确的是()A．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B．命题“∀x∈N，x3>x”的否定是“∃x∈N，x3>x”C．“a＝1”是“函数f(x)＝sin 2ax的最小正周期为π”的必要不充分条件2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．下列命题中________为真命题．(填序号)①“A∩B＝A”成立的必要条件是“A B”；②“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题；③“全等三角形是相似三角形”的逆命题；④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题．14．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________________________，这是________(填“真”或“假”)命题．15．若“∀x∈R，x2－2x－m>0”是真命题，则实数m的取值范围是____________．16．给出下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2>0；②∀x∈N，x4≥1；③∃x∈Z，x3<1；④∃x∈Q，x2＝3.其中正确命题的序号为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假．(1)矩形的对角线相等且互相平分；(2)正偶数不是质数．18．(12分)写出由下述各命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假．(1)p：连续的三个整数的乘积能被2整除，q：连续的三个整数的乘积能被3整除；(2)p：对角线互相垂直的四边形是菱形，q：对角线互相平分的四边形是菱形．19.(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.20．(12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于∀x∈[0,1]，|f(x)|≤1成立，试求实数a的取值范围．21.(12分)下列三个不等式：①25242axx+-->1；②(a－3)x2＋(a－2)x－1>0；③a>x2＋1x2.若其中至多有两个不等式的解集为空集，求实数a的取值范围．22．(12分)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解；若命题p是真命题，命题q是假命题，求a的取值范围．第一章 常用逻辑用语(B)1．D [若a 2＋b 2＝0，即a ＝b ＝0时，f (－x )＝(－x )·|－x ＋0|＋0＝－x |x |＝－f (x )，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的充分条件．又若f (x )为奇函数即f (－x )＝－x |(－x )＋a |＋b ＝－(x |x ＋a |＋b )，则必有a ＝b ＝0，即a 2＋b 2＝0，∴a 2＋b 2＝0是f (x )为奇函数的必要条件．]2．B [由a ≥b ⇒c >d 可得c ≤d ⇒a <b ，又a <b ⇒e ≤f ，所以c ≤d ⇒e ≤f ；而e ≤f ⇒c ≤d 显然不成立，故“c ≤d ”是“e ≤f ”的充分非必要条件．]3．B4．B [∵a ＝1且b ＝2⇒a ＋b ＝3，∴a ＋b ≠3⇒a ≠1或b ≠2.]5．B [由“非p ”为真可得p 为假，若同时“p 或q ”为真，则可得q 必须为真．]6．A [由我们学习过的不等式的理论可得p ⇒q ，但x ＝100，y ＝0.1满足q ：x ＋y >2，xy >1，但不满足q ，故选项为A.]7．D8．A [tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝tan π4＝1，所以充分； 但反之不成立，如tan 5π4＝1.] 9．C10．A [举例：a ＝1.2，b ＝0.3，则a ＋b ＝1.5<2，∴逆命题为假．]11．C12．D [∵“负数的平方是正数”即为∀x <0，则x 2>0，是全称命题，∴A 不正确； 又∵对全称命题“∀x ∈N ，x 3>x ”的否定为“∃x ∈N ，x 3≤x ”，∴B 不正确；又∵f (x )＝sin 2ax ，当最小正周期T ＝π时，有2π|2a |＝π，∴|a |＝1⇒ a ＝1. 故“a ＝1”是“函数f (x )＝sin 2ax 的最小正周期为π”的充分不必要条件．]13．②④解析 ①A ∩B ＝A ⇒A ⊆B 但不能得出A B ，∴①不正确；②否命题为：“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”，是真命题；③逆命题为：“若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形全等”，是假命题； ④原命题为真，而逆否命题与原命题是两个等价命题，∴逆否命题也为真命题．14．如果一个数的绝对值等于它本身，那么这个数一定是正数 假15．(－∞，－1)解析 由Δ＝(－2)2－4×(－m )<0，得m <－1.16．①③17．解 (1)逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形(真命题)． 否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分(真命题)． 逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形(真命题)．(2)逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数(假命题)． 否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数(假命题)．逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数(假命题)．18．解 (1)p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或能被3整除．p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2且能被3整除．非p ：存在连续的三个整数的乘积不能被2整除．∵连续的三整数中有一个(或两个)是偶数，而另一个是3的倍数，∴p 真，q 真，∴p 或q 与p 且q 均为真，而非p 为假．(2)p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形． p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形． 非p ：存在对角线互相垂直的四边形不是菱形．∵p 假q 假，∴p 或q 与p 且q 均为假，而非p 为真．19．证明 充分性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)，∴(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.又ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，∴a 2－ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫a －b 22＋34b 2>0. ∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.必要性：∵a ＋b ＝1，即a ＋b －1＝0，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝(a ＋b －1)(a 2－ab ＋b 2)＝0.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1的充要条件是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.20．解 |f (x )|≤1⇔－1≤f (x )≤1⇔－1≤ax 2＋x ≤1，x ∈[0,1]．①当x ＝0时，a ≠0，①式显然成立；当x ∈(0,1]时，①式化为－1x 2－1x ≤a ≤1x 2－1x在x ∈(0,1]上恒成立． 设t ＝1x，则t ∈[1，＋∞)， 则有－t 2－t ≤a ≤t 2－t ，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧a ≥(－t 2－t )max ＝－2a ≤(t 2－t )min ＝0⇒－2≤a ≤0， 又a ≠0，故－2≤a <0.综上，所求实数a 的取值范围是[－2,0)． 21．解 对于①，25242ax x +-->1，即－x 2＋ax －254>0，故x 2－ax ＋254<0，Δ＝a 2－25，所以不等式的解集为空集，实数a 的取值范围是－5≤a ≤5.对于②，当a ＝3时，不等式的解集为{x |x >1}，不是空集；当a ≠3时，要使不等式(a －3)x 2＋(a －2)x －1>0的解集为空集．则⎩⎪⎨⎪⎧a －3<0，(a －2)2＋4(a －3)≤0，解得－22≤a ≤2 2. 对于③，因为x 2＋1x 2≥2x 2·1x2＝2， 当且仅当x 2＝1，即x ＝±1时取等号．所以，不等式a >x 2＋1x2的解集为空集时，a ≤2. 因此，当三个不等式的解集都为空集时，－22≤a ≤2.所以要使三个不等式至多有两个不等式的解集为空集，则实数a 的取值范围是{a |a <－22或a >2}．22．解 ∵x 1，x 2是方程x 2－mx －2＝0的两个实根，则x 1＋x 2＝m 且x 1x 2＝－2，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝m 2＋8，当m ∈[－1,1]时，|x 1－x 2|max ＝3，由不等式a 2－5a －3≥|x 1－x 2|对任意实数m ∈[－1,1]恒成立可得：a 2－5a －3≥3， ∴a ≥6或a ≤－1.所以命题p 为真命题时，a ≥6或a ≤－1.命题q ：不等式ax 2＋2x －1>0有解，当a >0时，显然有解；当a＝0时，2x－1>0有解；当a<0时，∵ax2＋2x－1>0有解，∴Δ＝4＋4a>0，∴－1<a<0，从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时a>－1.又命题q为假命题，∴a≤－1.综上得，若p为真命题且q为假命题则a≤－1.。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业第一章 常用逻辑用语 1.1.2 Word版含答案
四种命题【课时目标】.了解四种命题的概念.认识四种命题的结构，会对命题进行转换．．四种命题的概念：()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．()对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．．四种命题的命题结构：用和分别表示原命题的条件和结论，用綈，綈分别表示和的否定，四种形式就是：原命题：若成立，则成立．即“若，则”．逆命题：.即“若，则”．否命题：.即“若綈，则綈”．逆否命题：.即“若綈，则綈”．一、选择题．命题“若>－，则>－”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()．．．．．命题“若∩＝，则⊆”的逆否命题是()．若∪≠，则⊇．若∩≠，则．若，则∩≠．若⊇，则∩≠．对于命题“若数列{}是等比数列，则≠”，下列说法正确的是()．它的逆命题是真命题．它的否命题是真命题．它的逆否命题是假命题．它的否命题是假命题．有下列四个命题：①“若＝，则、互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若≤－，则方程－＋＋＝有实根”的逆否命题；④若“∪＝，则⊇”的逆否命题．其中的真命题是()．①②．②③．①③．③④．命题“当＝时，△为等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()．．．．．命题“若函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数，则<”的逆否命题是()．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内不是减函数．若≥，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数．若<，则函数()＝(>，≠)在其定义域内是减函数题号答案二、填空题．命题“若>，则>－”的否命题是．．命题“各位数字之和是的倍数的正整数，。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.1.1 Word版含答案
第一章常用逻辑用语§ 1.1命题及其关系1.1.1命题【课时目标】 1.了解命题的概念，会判断一个命题的真假.2.会将一个命题改写成“若p，则q”的形式．1．一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断________的__________叫做命题．其中判断为______的语句叫做真命题，判断为______的语句叫做假命题．2．在数学中，“若p，则q”是命题的常见形式，其中p叫做命题的________，q叫做命题的________．一、选择题1．下列语句中是命题的是()A．周期函数的和是周期函数吗？B．sin 45°＝1C．x2＋2x－1>0D．梯形是不是平面图形呢？2．下列语句是命题的是()①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤这座山真险啊！A．①②③B．①③④C．①②⑤D．②③⑤3．下列命题中，是真命题的是()A．{x∈R|x2＋1＝0}不是空集B．若x2＝1，则x＝1C．空集是任何集合的真子集D．x2－5x＝0的根是自然数4．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列命题：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．45．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是()A．这个数能被2整除B．这个数能被3整除C．这个数既能被2整除，也能被3整除D．这个数是6的倍数6．在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．二、填空题7．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平行四边形是梯形；④若ac 2>bc 2，则a >b .其中真命题的序号是________．8．命题“奇函数的图象关于原点对称”的条件p 是____________________，结论q 是_ _______________________________________________________________________．9．下列语句是命题的是________．①求证3是无理数；②x 2＋4x ＋4≥0；③你是高一的学生吗？④一个正数不是素数就是合数；⑤若x ∈R ，则x 2＋4x ＋7>0.三、解答题10．判断下列命题的真假：(1)已知a ，b ，c ，d ∈R ，若a ≠c ，b ≠d ，则a ＋b ≠c ＋d ；(2)对任意的x ∈N ，都有x 3>x 2成立；(3)若m >1，则方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．11．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假．(1)偶数能被2整除．(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根．12．设有两个命题：p ：x 2－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x 是减函数，若这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．【能力提升】13．设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1； ③若l ＝12，则－22≤m ≤0. 其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．314．设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： ①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．41．判断一个语句是否为命题的关键是能否判断真假，只有能判断真假的语句才是命题．2．真命题是可以经过推理证明正确的命题，假命题只需举一反例说明即可．3．在判断命题的条件和结论时，可以先将命题改写成“若p 则q ”的形式，改法不一定唯一．课时作业答案解析第一章 常用逻辑用语§1.1 命题及其关系1.1.1 命题知识梳理1．真假 陈述句 真 假2．条件 结论作业设计1．B [A 、D 是疑问句，不是命题，C 中语句不能判断真假．]2．A [④中语句不能判断真假，⑤中语句为感叹句，不能作为命题．]3．D [A 中方程在实数范围内无解，故是假命题；B 中若x 2＝1，则x ＝±1，故B 是假命题；因空集是任何非空集合的真子集，故C 是假命题；所以选D.]4．B [命题②④为真命题．]5．C [命题可改写为：如果一个数是6的倍数，那么这个数既能被2整除，也能被3整除．]6．D7．①④解析 ①④是真命题，②四条边相等的四边形也可以是菱形，③平行四边形不是梯形．8．若一个函数是奇函数 这个函数的图象关于原点对称9．②④⑤解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，如正数12既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2≥0恒成立，x 2＋4x ＋7＝(x ＋2)2＋3>0恒成立．10．解 (1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x ＝0时，x 3>x 2不成立．(3)真命题．∵m >1⇒Δ＝4－4m <0，∴方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆． 11．解 (1)若一个数是偶数，则这个数能被2整除，真命题．(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实数根，真命题． 12．解 若命题p 为真命题，则根据绝对值的几何意义可知m ≤1；若命题q 为真命题，则7－3m >1，即m <2.所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤1，m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧m >1，m <2. 故m 的取值范围是1<m <2.13．D [①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确． ③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确．] 14．B [①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这一条件，故不正确；③由线面平行判定定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平行分析知，正确．综上所述知，③，④正确．]高中数学学习技巧：在学习的过程中逐步做到：提出问题，实验探究，展开讨论，形成新知，应用反思。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.2 Word版含答案
§1.2充分条件与必要条件【课时目标】 1.结合实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系．1．如果已知“若p，则q”为真，即p⇒q，那么我们说p是q的__________，q是p的__________．2．如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作________．这时p是q的____________条件，简称________条件，实际上p与q互为________条件．如果p⇒q且q⇒p，则p是q的________________条件．一、选择题1．“x>0”是“x≠0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．设p：x<－1或x>1；q：x<－2或x>1，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．设集合M＝{x|0<x≤3}，N＝{x|0<x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．设l，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．“a<0”是“方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负数根”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件二、填空题7．用符号“⇒”或“⇒”填空.(1)a>b________ac2>bc2；(2)ab≠0________a≠0.8．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________．9．函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y.(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．11.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0.12．已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．【能力提升】13．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的( )A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．§1.2 充分条件与必要条件知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．A [对于“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立．因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件．]2．A [∵q ⇒p ，∴綈p ⇒綈q ，反之不一定成立，因此綈p 是綈q 的充分不必要条件．]3．B [因为N M .所以“a ∈M ”是“a ∈N ”的必要而不充分条件．]4．A [把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k ＝1”．故“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分而不必要条件．]5．A [l ⊥α⇒l ⊥m 且l ⊥n ，而m ，n 是平面α内两条直线，并不一定相交，所以l ⊥m 且l ⊥n 不能得到l ⊥α.]6．B [当a <0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”的充分不必要条件．]7．(1) ⇒ (2)⇒8．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.9．b ≥－2a 解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．10．解 (1)∵|x |＝|y |⇒x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC 是直角三角形⇒△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形⇒△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分⇒四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要条件，但不是充分条件．11．证明 ①充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，则|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．当xy >0时，即x >0，y >0，或x <0，y <0，又当x >0，y >0时，|x ＋y |＝x ＋y ，|x |＋|y |＝x ＋y ，∴等式成立．当x <0，y <0时，|x ＋y |＝－(x ＋y )，|x |＋|y |＝－x －y ，∴等式成立．总之，当xy ≥0时，|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．②必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ，y ∈R ，则|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2，即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x ||y |，∴|xy |＝xy ，∴xy ≥0.综上可知，xy ≥0是等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件．12．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5. ∴实数a 的取值范围是[－1,5]．13．A [当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．]14．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1，反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1 (n ≥1)为等差数列，∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.。
人教A版高中数学选修2-1作业：第1章 常用逻辑用语1.3
第一章 1.3一、选择题1．命题“ab≠0”是指(A)A．a≠0且b≠0B．a≠0或b≠0C．a，b中至少有一个不为0D．a，b不都为02．“实数的平方是正数或0”是(B)A．“p且q”形式的命题B．“p或q”形式的命题C．不是命题D．不是复合命题解析原命题是由“实数的平方是正数”与“实数的平方是0”两个结论组成，所以是“p或q”形式的命题，故选B．3．有以下4个结论：①“矩形既是平行四边形又是圆的内接四边形”是“p∧q”的形式，该命题是真命题；②“菱形既是平行四边形又是圆的外切四边形”是“p∧q”的形式，该命题是真命题；③“矩形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p∨q”的形式，该命题是真命题；④“菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形”是“p∨q”的形式，该命题是真命题．其中正确的结论有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个4．由下列命题构成的“p∨q”，“p∧q”均为真命题的是(D)A．p：菱形是正方形，q：正方形是菱形B．p：2是偶数，q：2不是质数C．p：15是质数，q：4是12的约数D．p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}解析若“p∨q”，“p∧q”均为真命题，则命题p，q均为真命题，所以应选D．5．设语句p：x＝1，¬q：x2＋8x－9＝0，则下列选项中为真命题的是(C)A．p且q B．p或qC．若q，则¬p D．若¬p，则q解析q：x≠1且x≠－9，¬p：x≠1.故“若q，则¬p”为真．6．(2018·河北唐山模拟)命题p：x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴，q：2π是y＝|sin x|的最小正周期，有下列命题：①p或q；②p且q；③非p；④非q.其中真命题有(C)A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 ∵p 真，q 假，∴①为真，②为假，③为假，④为真． 二、填空题7．分别用“p ∧q ”，“p ∨q ”，“¬p ”填空．(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 的元素也是B 中的元素”，是__p ∧q __形式； (2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”，是__p ∨q __形式； (3)命题“非空集∁U A 中的元素是U 中的元素但不是A 中的元素”，是__¬p __形式． 8．(2018·福建莆田月考)已知p ：x 2＋2x －3>0，q ：13－x >1，若“¬q 且p ”为真，则x的取值范围是__(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)__.解析 x 2＋2x －3>0⇔(x ＋3)(x －1)>0⇔x <－3或x >1.13－x >1⇔x －2x －3<0⇔2<x <3.所以¬q ：x ≤2或x ≥3.又“¬q 且p ”为真，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞).9．(2018·河北衡水中学期中)设p ：2x 2－3x ＋1≤0，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬q 是¬p 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为__⎣⎡⎦⎤0，12__. 解析 2x 2－3x ＋1≤0⇒12≤x ≤1，∴¬p ：x <12或x >1.x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a＋1，∴¬q ：x <a 或x >a ＋1.要使¬q 是¬p 的充分不必要条件，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，)解得0≤a ≤12，∴a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，12. 三、解答题10．分别写出由下列命题构成的“p 或q ”，“p 且q ”，“¬p ”形式的新命题． (1)p ：π是无理数；q ：e 不是无理数；(2)p ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根； q ：方程x 2＋2x ＋1＝0两根的绝对值相等； (3)p ：正△ABC 的三个内角都相等； q ：正△ABC 有一个内角是直角．解析 (1)p 或q ：π是无理数或e 不是无理数； p 且q ：π是无理数且e 不是无理数； ¬p ：π不是无理数．(2)p 或q ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等； p 且q ：方程x 2＋2x ＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等； ¬p ：方程x 2＋2x ＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)p 或q ：正△ABC 的三个内角都相等或有一个内角是直角；p 且q ：正△ABC 的三个内角都相等且有一个内角是直角；¬p ：正△ABC 的三个内角不全相等．11．(2018·天津调研)命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q ：方程4x 2＋4(m ＋2)x ＋1＝0无实数根，若“p 或q ”为真命题，求m 的取值范围．解析 “p 或q ”为真命题，则p 为真命题或q 为真命题，或p 和q 都是真命题． 当p 为真命题时，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，x 1＋x 2＝－m >0，x 1x 2＝1>0，得m <－2；当q 为真命题时，则Δ＝16(m ＋2)2－16<0， 得－3<m <－1.∴当q 或p 为真命题时，m 的取值范围是{m |m <－1}．12．已知p ：直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋3＝0没有公共点，q ：不等式x －1x －m ≥0对于任意x ∈[2,3]恒成立．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．解析 对于p ：圆的方程可化为(x －1)2＋(y －2)2＝2，其圆心为(1,2)，半径为 2.故|1－2＋m |2> 2，故m >3或m <－1.对于q ：分离m 得m ≤x －1x 对于x ∈[2,3]恒成立，由y ＝x －1x 在[2,3]上单调递增，知x －1x 的最小值为32，所以m ≤32.由题意知p 和q 一真一假，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >3或m <－1，m >32或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤m ≤3，m ≤32， 解得m >3或－1≤m ≤32.所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，32∪(3，＋∞)．由Ruize收集整理。
人教A版高中数学选修2-1作业：第1章 常用逻辑用语1.2
第一章 1.2一、选择题1．对任意实数a ，b ，c ，下列命题中为真命题的是( B )A ．“ac >bc ”是“a >b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac >bc ”是“a >b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析 若ac >bc ，当c >0时，a >b ；当c <0时a <b .故“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是“a >b ”的必要条件．若ac ＝bc ，不一定有a ＝b 成立；但a ＝b 时，一定有ac ＝bc 成立．2．(2018·湖南岳阳平江期末)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( D )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 等比数列－1，－2，－4，…满足公比q ＝2>1，但{a n }不是递增数列，故充分性不成立．若a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n －1，则{a n }为递增数列，但q ＝12<1，故必要性不成立． 故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．3．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，但不是必要条件，则A 与B 的关系是( A )A ．A BB ．B AC ．A ＝BD ．A B 且B A解析 ∵x ∈A 是x ∈B 的充分不必要条件．∴x ∈A ⇒x ∈B ，x ∈B ⇒/ x ∈A .∴A B .4．不等式x －1x>0成立的充分不必要条件是( A ) A ．x >1B ．x >－1C ．x <－1或0<x <1D ．－1<x <0或x >1解析 不等式x －1x >0等价于(x ＋1)(x －1)x>0，如图，用穿根法解得不等式的解集为{x |－1<x <0或x >1}，比较选项得x >1为不等式成立的充分不必要条件，故选A ．5．已知p ：x 2－x <0，那么命题p 的一个必要非充分条件是( B )A ．0<x <1B ．－1<x <1C ．12<x <23D ．12<x <2 解析 x 2－x <0⇔0<x <1，运用集合的知识易知．A 中0<x <1是p 的充要条件；B 中－1<x <1是p 的必要条件；C 中12<x <23是p 的充分条件； D 中12<x <2是p 的既不充分也不必要条件．故选B ． 6．(2018·宁夏银川调研)有下列说法：①“a >b >0”是“a 2>b 2”的充要条件；②“a >b >0”是“1a <1b”的充要条件；③“a >b >0”是“a 3>b 3”的充要条件．其中正确的说法有( A )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析 a >b >0⇒a 2>b 2，a 2>b 2⇒|a |>|b |⇒/ a >b >0，故①错．a >b >0⇒1a <1b ，但1a <1b⇒/ a >b >0，故②错． a >b >0⇒a 3>b 3，但a 3>b 3⇒/ a >b >0，故③错．二、填空题7．“a ＝0”是“函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数”的__充要__条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．解析 当a ＝0时，函数f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )即为f (x )＝x 2，为偶函数；若f (x )＝x 2＋ax (x ∈R )为偶函数，则f (－x )＝(－x )2＋a (－x )＝x 2－ax ＝f (x )＝x 2＋ax ，则2ax ＝0(x ∈R )，解得a ＝0.8．“x 1>0且x 2>0”是“x 1＋x 2>0且x 1x 2>0”的___充要__条件．解析 ∵x 1>0且x 2>0⇒x 1＋x 2>0且x 1x 2>0；x 1＋x 2>0且x 1x 2>0⇒x 1>0且x 2>0.∴x 1>0且x 2>0⇔x 1＋x 2>0且x 1x 2>0.9．有下列五个命题：①在△ABC 中，p ：A >B ，q ：sin A >sin B ，则p 是q 的充要条件；②p ：数列{a n }是等差数列；q ：数列{a n }是单调数列，则p 是q 的充要条件；③“x <－1”是“x 2－1>0”的必要而不充分条件；④“α≠π6或β≠π6”是“cos(α＋β)≠12”成立的必要不充分条件； ⑤“a <0”是“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根”的充分不必要条件．其中正确命题的序号是__①④⑤__.解析 ①正确．②中，∵常数列为等差数列，∴p ⇒/ q ，故②错．对于③，“x <－1”是“x 2－1>0”的充分不必要条件，故③错．④，⑤都正确．三、解答题10．指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)在△ABC 中，p ：∠A >∠B ，q ：BC >AC ；(2)p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1；(3)已知x ，y ∈R ，p ：(x －1)2＋(y －2)2＝0，q ：(x －1)(y －2)＝0.解析 (1)在△ABC 中，显然有∠A >∠B ⇔BC >AC ，所以p 是q 的充要条件．(2)因为数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1⇒数列{a n }是等差数列，而数列{a n }是等差数列⇒/ 数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，所以p 是q 的必要不充分条件．(3)设p ，q 对应的集合分别是A ，B ，因为p ：A ＝{(x ，y )|x ＝1且y ＝2}，q ：B ＝{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．11．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解析 设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}，B ＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0}＝{x |x <－4或x ≥－2}．∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B .∴a ≤－4或3a ≥－2.又∵a <0，∴a ≤－4或－23≤a <0. ∴a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－4或－23≤a <0. 12．(2018·河北唐山二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求数列{a n }是等比数列的充要条件．解析 a 1＝S 1＝p ＋q ，当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝p n ＋q －(p n －1＋q )＝p n －1(p －1)．∵p ≠0且p ≠1，∴当n >1时，a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p . 若{a n }为等比数列，则a 2a 1＝a n ＋1a n ＝p ，∴p (p －1)p ＋q＝p ， ∵p ≠0，∴p －1 ＝p ＋q ，∴q ＝－1.则q ＝－1是{a n }为等比数列的必要条件．下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件．当q ＝－1时，S n ＝p n －1(p ≠0且p ≠1)，当n>1时，a n＝S n－S n－1＝p n－1－(p n－1－1)＝p n－1(p－1)，当n＝1时，a1＝S1＝p－1＝p1－1(p－1)．∴数列{a n}的通项公式是a n＝p n－1(p－1)．∵a n＋1a n＝p n(p－1)p n－1(p－1)＝p为常数，∴q＝－1时，数列{a n}为等比数列．故数列{a n}是等比数列的充要条件为q＝－1.由Ruize收集整理。
高中数学(人教版A版选修2-1)配套课时作业：第一章 常用逻辑用语 1.4 Word版含答案
§1.4全称量词与存在量词【课时目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.会判定全称命题和特称命题的真假.3.能正确的对含有一个量词的命题进行否定.4.知道全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．1．全称量词和全称命题(1)短语“__________”“__________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)含有____________的命题，叫做全称命题．(3)全称命题：“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为____________．2．存在量词和特称命题(1)短语“__________”“____________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等．(2)含有____________的命题，叫做特称命题．(3)特称命题：“存在M中的元素x0，有p(x0)成立”，可用符号简记为________________________．3．含有一个量词的命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：________________；(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定綈p：________________.4．命题的否定与否命题命题的否定只否定______，否命题既否定________，又否定________．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图象关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈Q，x2∈QC．∃x0∈Z，x20>1 D．∀x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A．斜三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x0，使x20>0C．任一无理数的平方必是无理数D．存在一个负数x0，使1x0>25．已知命题p：∀x∈R，sin x≤1，则() A．綈p：∃x0∈R，sin x0≥1B．綈p：∀x∈R，sin x≥1C．綈p：∃x0∈R，sin x0>1D．綈p：∀x∈R，sin x>16．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋2 011”的否定是()A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋2 011B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋2 011C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋2 011D．以上都不对二、填空题7．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)>0”用“∃”或“∀”可表述为________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：________________________________________________________________________. 9．下列四个命题：①∀x∈R，x2＋2x＋3>0；②若命题“p∧q”为真命题，则命题p、q都是真命题；③若p是綈q的充分而不必要条件，则綈p是q的必要而不充分条件．其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上)三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2.(3)∃T0∈R，使|sin(x＋T0)|＝|sin x|.(4)∃x0∈R，使x20＋1<0.11．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)∃x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．12．给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．【能力提升】13．命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|>3”的否定是________．14．已知綈p：∃x∈R，sin x＋cos x≤m为真命题，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0为真命题，求实数m的取值范围．1．判定一个命题是全称命题还是特称命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．3．全称命题和特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词．具有性质p变为具有性质綈p.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．§1.4全称量词与存在量词知识梳理1．(1)所有的任意一个∀(2)全称量词(3)∀x∈M，p(x)2．(1)存在一个至少有一个∃(2)存在量词(3)∃x0∈M，p(x0)3．(1)∃x0∈M，綈p(x0)(2)∀x∈M，綈p(x)4．结论结论条件作业设计1．C[“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D[“存在”是存在量词．]3．B[A、B、D中命题均为全称命题，但A、D中命题是假命题．]4．B5．C[全称命题的否定是特称命题，应含存在量词．]6．C[特称命题的否定是全称命题，应含全称量词．]7．∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>08．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根9．①②③10．解(1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x>0 (a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y＝|sin x|是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x0∈R，x20＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解(1)“有些质数是奇数”是特称命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“∃x0∈Q，x20＝5”是特称命题，其否定为“∀x∈Q，x2≠5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．12．解甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，即a >13或a <－1. 乙命题为真时，2a 2－a >1，即a >1或a <－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a 的取值范围是{a |a <－12或a >13}． (2)甲、乙有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13<a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时a 的取值范围为{a |13<a ≤1或－1≤a <－12}． 13．存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3解析 全称命题的否定是特称命题，全称量词“任何”改为存在量词“存在”，并把结论否定．14．解 由綈p 为真，即p ：∀x ∈R ，sin x ＋cos x >m 为假命题，由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ∈[－2，2]，又sin x ＋cos x >m 不恒成立，∴m ≥－ 2.又对∀x ∈R ，q 为真，即不等式x 2＋mx ＋1>0恒成立，∴Δ＝m 2－4<0，即－2<m <2，故m 的取值范围是－2≤m <2.。
人教A版高中数学选修2-1作业：第1章 常用逻辑用语1.1.2 第1课时
第一章 1.1 1.1.2 第1课时考点对应题号基础训练 能力提升 1.由椭圆方程研究简单几何性质 1,7 5,9 2.根据椭圆的几何性质求标准方程3,10 11,12,13 3.求椭圆的离心率2,4,861．一个椭圆的半焦距为2，离心率e ＝23，那么它的短轴长是( )A ．3B ． 5C ．2 5D ．6C 解析 因为c ＝2，e ＝23，所以a ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5，所以b ＝5，所以短轴长为2b ＝2 5.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12D 解析 因为AP →＝2PB →，所以|AP →|＝2|PB →|.又因为PO ∥BF ，所以|P A ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，所以e ＝c a ＝12. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A 解析 由2a ＝18得a ＝9.又因为a －c ＝2c ，所以c ＝3. 所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1. 4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫12，1B ．⎝⎛⎭⎫0，22 C ．⎝⎛⎭⎫22，1D ．⎝⎛⎭⎫0，12 B 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为MF 1→·MF 2→＝0，所以MF 1⊥MF 2，所以点M 的轨迹是以O 为圆心，c 为半径的圆．因为点M 总在椭圆内部，所以c ＜b ，所以c 2＜b 2＝a 2－c 2，所以2c 2＜a 2，所以e 2＜12，所以0＜e ＜22.5．已知AB 为经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)中心的一条弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是( )A ．b 2B ．bcC ．abD ．acB 解析 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)． S △AFB ＝12|OF |(|y 1|＋|－y 1|)＝c ·|y 1|.因为－b ≤y 1≤b ，所以|y 1|≤b . 所以△AFB 面积的最大值是bc .6．已知椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．2－12C ．2－ 2D ．2－1D 解析 因为|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2c ，|PF 1|＝22c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c .又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c ＋22c ＝2a .所以ca＝2－1，即e ＝2－1.二、填空题7．如果椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1(k ＞－8)的离心率为e ＝12，则k ＝________.解析 若椭圆的焦点在x 轴上，则k ＋8－9k ＋8＝14，解得k ＝4；若椭圆的焦点在y 轴上，则9－(k ＋8)9＝14，解得k ＝－54.所以k ＝4或k ＝－54.答案 4或－548．倾斜角为60°的一束平行光线，将一个半径为3的球投影在水平地面上，形成一个椭圆，则此椭圆的离心率为________.解析 在照射过程中，椭圆的短半轴长b 是圆的半径R ，所以b ＝3，如图，椭圆的长轴长2a 是DE ，过点D 向AE 作垂线，垂足是点C ，由题意得DC ＝2R ＝23，∠CED ＝60°， 所以DE ＝DC sin 60°＝2332＝4.即2a ＝4，a ＝2，所以椭圆的离心率e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝4－32＝12.答案 129．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足0＜e ≤ 32，则长轴长的取值范围是________.解析 由e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－1a 2得0＜1－1a 2≤34， 即－1＜－1a 2≤－14，所以14≤1a2＜1.所以1＜a 2≤4，解得1＜a ≤2，即2＜2a ≤4. 答案 (2,4] 三、解答题10．已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A (3,0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．解析 若椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，9a 2＋0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.所以椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3×2b ，0a 2＋9b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9，b ＝3.所以椭圆的标准方程为y 281＋x 29＝1.综上，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.11．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M 、N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解析 (1)由题可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，e ＝c a ＝32，则c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设D (x 0,0)，－2<x 0<2，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，y 0>0.由M ，N 在椭圆上，则x 204＋y 20＝1，则x 20＝4－4y 20. 则直线AM 的斜率k AM ＝y 0－0x 0＋2＝y 0x 0＋2， 直线DE 的斜率为k DE ＝－1k AM ＝－x 0＋2y 0，直线DE 的方程为y ＝－x 0＋2y 0(x －x 0)．直线BN 的斜率k BN ＝－y 0x 0－2， 直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 0＋2y 0(x －x 0)，y ＝－y0x 0－2(x －2)，得⎩⎨⎧x ＝4x 0＋25，y ＝－45y 0，所以E ⎝⎛⎭⎫4x 0＋25，－45y 0.又S △DBE S △DBN ＝12|DB |·|y E |12|DB |·|y N |＝45y0y 0＝45，所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.12．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到椭圆上的点的最远距离是 7，求这个椭圆的标准方程．解析 因为e 2＝a 2－b 2a2＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2＝34⇒a ＝2b ， 所以椭圆方程可设为x 24b 2＋y 2b 2＝1(b >0)，x 2＝4b 2－4y 2.设A (x ，y )是椭圆上任一点，则|P A |2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝f (y )＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94 ＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3，－b ≤y ≤b . ①当－b >－12，即0<b <12时，|P A |2max＝f (－b )＝⎝⎛⎭⎫b ＋322＝(7)2⇒b ＝7－32， 与0<b <12矛盾，不合条件，舍去．②当－b ≤－12，即b ≥12时，|P A |2max＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝4b 2＋3＝7⇒b 2＝1. 所以所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.四、选做题13．已知P 是椭圆 x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点．(1)当∠F 1PF 2＝60°时，求△F 1PF 2的面积；(2)当∠F 1PF 2为钝角时，求点P 横坐标的取值范围．解析 (1)由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4且F 1(－3，0)，F 2(3,0)．①在△F 1PF 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°. ②由①②得(23)2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1|·|PF 2|＝42－3|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝43.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝33.(2)设点P (x ，y )，由已知∠F 1PF 2为钝角，得PF 1→·PF 2→<0，即(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )<0， 所以x 2－3＋y 2＜0. 又y 2＝1－x 24，所以34x 2<2，解得－263<x <263. 所以点P 横坐标的范围是⎝⎛⎭⎫－263，263.由Ruize收集整理。
人教A版高中数学选修2-1作业：第1章 常用逻辑用语1.2.2 第1课时
第一章 1.2 1.2.2 第1课时考点对应题号基础训练 能力提升 1.由双曲线的方程研究其几何性质 1,5,7 11,13 2.由双曲线的几何性质求标准方程 3,4,10 12 3.求双曲线的离心率的值或取值范围 2,86,91．下列方程表示的双曲线中离心率为62的是( ) A ．x 22－y 24＝1B ．x 24－y 22＝1C ．x 24－y 26＝1D ．x 24－y 210＝1B 解析 因为e ＝ca ，c 2＝a 2＋b 2，所以e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32，故b 2a 2＝12. 观察各曲线方程得B 项系数符合．故选B 项．2．若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列，则该双曲线的离心率是( ) A ．35B ．45C ．53D ．54C 解析 因为由已知可得2b ＝a ＋c ， 所以2b a ＝1＋c a .于是2e 2－1＝1＋e .故e ＝53.3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．x 220－y 25＝1B ．x 25－y 220＝1C ．x 280－y 220＝1D ．x 220－y 280＝1A 解析 由2c ＝10得c ＝5，因为点P (2,1)在直线y ＝b a x 上，所以1＝2ba .又因为a 2＋b 2＝25，所以a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为x 220－y 25＝1.4．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( )A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4A 解析 令y ＝0，则x ＝－4，所以等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， 所以c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8.故选A 项．5．设点F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足||PF 2＝||F 1F 2，且点F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0 C 解析 由||PF 2＝||F 1F 2可知△PF 2F 1是一个等腰三角形，F 2在直线PF 1上的投影是线段PF 1的中点，由勾股定理知||PF 1＝24c 2－4a 2＝4b .根据双曲线定义可知4b －2c ＝2a ，整理得c ＝2b －a ， 代入c 2＝a 2＋b 2，整理得3b 2－4ab ＝0，所以b a ＝43.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0.6．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1＋2，＋∞)B ．(1,1＋2)C ．(1，3)D ．(3，32)B 解析 若△ABF 2是锐角三角形，则∠AF 2F 1＜π4，因此|AF 1|＜|F 1F 2|，即b 2a ＜2c ，也即b 2＜2ac . 于是b 2a 2＜2ca，即e 2－1＜2e .故1＜e ＜1＋ 2. 二、填空题7．已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________.解析 由已知得9＋a ＝13，即a ＝4，故所求双曲线的渐近线为y ＝±23x .答案 y ＝±23x8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________.解析 由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，所以c 2－ac －2a 2＝0，所以e 2－e －2＝0， 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)． 答案 29．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作平行于C 的渐近线的直线交C 于点P .若PF 1⊥PF 2，则C 的离心率为________．解析 如图，设P (x ，y )．根据题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)．双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .直线PF 2的方程为y ＝ba (x －c )．①又PF 1⊥PF 2，则直线PF 1的方程为 y ＝－ab(x ＋c )．②又点P 在双曲线上，所以x 2a 2－y 2b 2＝1.③联立①③得x ＝a 2＋c 22c .联立①②得x ＝b 2－a 2c .所以a 2＋c 22c ＝b 2－a 2c ，所以2a 2＋b 2＝2b 2－2a 2，所以b 2＝4a 2，所以e ＝ca＝a 2＋b 2a 2＝5a 2a 2＝ 5. 答案 5 三、解答题10．已知双曲线与椭圆x 29＋y 225＝1共焦点，它们的离心率之和为145，求双曲线的标准方程．解析 因为椭圆焦点在y 轴上，且c 1＝4，e 1＝45，所以双曲线焦点也在y 轴上，且c 2＝c 1＝4，e 2＝145－45＝2，即c 2a 2＝4a 2＝2，所以a 2＝2. 故所求双曲线的标准方程为y 24－x 212＝1.11．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，P 是双曲线上除x 轴之外的点，若∠F 1PF 2＝θ，求△F 1PF 2的面积．解析 在△F 1PF 2中，令∠F 1PF 2＝θ，则由余弦定理知cos θ ＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝－4b 2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1.所以|PF 1|·|PF 2|＝2b 21－cos θ.所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin θ＝12×2b 2sin θ1－cos θ＝b 2sin θ1－cos θ＝2b2sin θ2cos θ21－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2θ2＝b 2tan θ2.12．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0； (3)求△F 1MF 2的面积． 解析 (1)因为e ＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，－10)，所以16－10＝λ，即λ＝6， 所以双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：由(1)可知双曲线中a ＝b ＝6， 所以c ＝23，所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)． 则MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )． 所以MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2.因为M 点在双曲线上，所以9－m 2＝6，即m 2＝3， 所以MF 1→·MF 2→＝0.(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝43， △F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， 所以S △F 1MF 2＝12|F 1F 2|·|m |＝6.四、选做题13．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若曲线C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13C ．a 2＝112D ．a 2＝22C 解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设直线AB ：y ＝2x 与椭圆C 1的一个交点为C (第一象限的交点)，则|OC |＝a 3. 因为tan ∠COx ＝2，所以sin ∠COx ＝25，cos ∠COx ＝15，则C 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 35，2a 35，代入椭圆方程得a 245a 2＋4a 245b 2＝1，所以a 2＝11b 2.因为5＝a 2－b 2，所以a 2＝112.由Ruize收集整理。
人教A版数学选修2-1同步作业：第1章 常用逻辑用语 作业3
课时作业(三)1．“x>1”是“x 2>x ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 x 2>x 即x(x －1)>0⇒x>1或x<0.2．(2019·上海)已知a ，b ∈R ，则“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 答案 C解析 ∵a 2>b 2等价于|a|2>|b|2，得|a|>|b|， ∴“a 2>b 2”是“|a|>|b|”的充要条件．故选C.3．设原命题“若p ，则q ”假，而逆命题真，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 原命题假，则p q ，而逆命题为真，则q ⇒p. 4．“x>0”是“3x 2>0”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件 答案 A解析 当x>0时，3x 2>0成立，但当3x 2>0时，得x 2>0，则x>0或x<0，此时不能得到x>0. 5．若向量a ＝(x ，3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当x ＝4时，a ＝(4，3)，则|a |＝5；若|a |＝5，则x ＝±4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分不必要条件．6．设a ，b 为正实数，则“a>b>1”是“log 2a>log 2b>0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以a>b>1⇔log2a>log2b>log21＝0，所以“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的充要条件．7．对于数列{a n}，“a n＋1＞|a n|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a n＋1＞|a n|⇒a n＋1＞a n⇒{a n}为递增数列，但{a n}为递增数列⇒a n＋1＞a n a n＋1＞|a n|，故“a n＋1＞|a n|(n＝1，2，…)”是“{a n}为递增数列”的充分不必要条件．选B.8．设M，N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析M∪N≠∅，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠∅，说明M，N中至少有一公共元素，所以M∪N≠∅.故选B.9．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析四个点共面可能这四个点是某一个平行四边形的四个顶点．10．对任意实数a，b，c，下列命题中，属于真命题的是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件答案 B11．(2016·天津，文)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析分别判断x>y⇒x>|y|与x>|y|⇒x>y是否成立，从而得到答案．当x＝1，y＝－2时，x>y，但x>|y|不成立；若x>|y|，因为|y|≥y，所以x>y.所以“x>y ”是“x>|y|”的必要而不充分条件． 12．x 2<4的必要不充分条件是( ) A ．0<x ≤2 B ．－2<x<0 C ．－2≤x ≤2 D ．1<x<3答案 C解析 x 2<4即－2<x<2，因为－2<x<2⇒－2≤x ≤2，而－2≤x ≤2－2<x<2，所以“x 2<4”的必要不充分条件是“－2≤x ≤2”．13．“m ＝1”是“函数y ＝xm 2－4m ＋5为二次函数”的________条件． 答案 充分不必要解析 若m ＝1，则m 2－4m ＋5＝2，但m 2－4m ＋5＝2⇒m ＝1或m ＝3. 14．若b 2－4ac>0，则“－b ＋b 2－4ac 2a >－b －b 2－4ac2a”的________条件是“a>0”．答案 充要15．“x>y>0”是“1x <1y ”的________条件．答案 充分不必要解析 1x <1y ⇒xy ·(y －x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.16．“函数y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的一个充分条件可以是________． 答案 a ＝1(或a ＝－1)17．指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：a ＋b ＝0；q ：a 2＋b 2＝0. (2)p ：同位角相等；q ：两直线平行． (3)p ：x<－3；q ：x 2>9.(4)p ：0<a<1；q ：y ＝a x 为减函数． 解析 (1)p q ，但q ⇒p. 所以p 是q 的必要不充分条件． (2)同位角相等⇔两直线平行， 所以p 是q 的充要条件．(3)x<－3⇒x 2>9，但x 2>9x<－3， 所以p 是q 的充分不必要条件． (4)0<a<1⇔y ＝a x 为减函数． 所以p 是q 的充要条件．1．设原命题“若p，则q”与逆命题皆假，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析p q且q p.2．设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析设数列{a n}的公比为q，因为a1<a2，且a1>0，所以有a1<a1q，解得q>1，所以数列{a n}是递增数列；反之，若数列{a n}是递增数列，则公比q>1且a1>0，所以a1<a1q，即a1<a2，所以“a1<a2”是“数列{a n}是递增数列”的充分必要条件．3．“|x|＝|y|”是“x＝y”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B4．a<0，b<0的一个必要条件为()A．a＋b<0 B．a－b>0C.ab>1 D.ab<－1答案 A5．设M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A6．“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A7．a，b为非零向量，“a⊥b”是“函数f(x)＝(x a＋b)·(x b－a)为一次函数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析函数f(x)＝x2a·b－(a2－b2)x－a·b，当函数f(x)是一次函数时必然要求a·b＝0，即a⊥b，但当a⊥b，|a|＝|b|时，函数f(x)不是一次函数．故选B.8．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 D解析利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断．若{a n}为递增数列，则当a1>0时，q>1；当a1<0时，0<q<1.当q>1时，若a1<0，则{a n}为递减数列．故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.9．0＜x＜5是不等式－2<x<6成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A10．若綈p是綈q的必要条件，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B11．下面命题中的真命题是()A．x>2且y>3是x＋y>5的充要条件B．A∩B≠∅是A B的充分条件C．b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的充要条件D．一个三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形答案 D解析对于A，x>2且y>3⇒x＋y>5，但x＋y>5未必能推出x>2且y>3，如x＝0且y＝6满足x＋y>5但不满足x>2，故A假．对于B，A∩B≠∅未必能推出A B，如A＝{1，2}，B＝{2，3}，故B为假．对于C，“b2－4ac<0是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R的充要条件”是假命题，如一元二次不等式－2x2＋x－1>0的解集为∅，但满足b2－4ac<0.对于D，是真命题．因为一个三角形的三边满足勾股定理能推出此三角形为直角三角形，条件不仅是必要的，也是充分的，故是充要的．12．“a＝2”是“直线ax＋2y＝0平行于直线x＋y＝1”的________条件．答案充要13．“y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点”的________条件是“c＝0”．答案充要由Ruize收集整理。
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1.1.3四种命题间的相互关系
【课时目标】 1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.2.会利用命题的等价性解决问题．
1．四种命题的相互关系
2．四种命题的真假性
(1)
(2)
①两个命题互为逆否命题，它们有______的真假性．
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性______________．
一、选择题
1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是()
A．若q不正确，则p不正确
B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确
D．若p正确，则q正确
2．下列说法中正确的是()
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3．与命题“能被6整除的整数，一定能被2整除”等价的命题是()
A．能被2整除的整数，一定能被6整除
B．不能被6整除的整数，一定不能被2整除
C．不能被6整除的整数，不一定能被2整除
D．不能被2整除的整数，一定不能被6整除
4．命题：“若a2＋b2＝0 (a，b∈R)，则a＝b＝0”的逆否命题是()
A ．若a ≠b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
B ．若a ＝b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
C ．若a ≠0，且b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
D ．若a ≠0，或b ≠0 (a ，b ∈R )，则a 2＋b 2≠0
5．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( ) A ．都真B ．都假
C ．否命题真
D ．逆否命题真
6．设α、β为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么( ) A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①②都是真命题 D ．
二、填空题
7．“已知a ∈U (U 为全集)，若a ∉∁U A ，则a ∈A ”的逆命题是________________________________________，它是______命题．(填“真”“假”)
8．“若x ≠1，则x 2
－1≠0”的逆否命题为________命题．(填“真”、“假”)
9．下列命题：①“若k >0，则方程x 2＋2x ＋k ＝0有实根”的否命题；②“若1a >1
b
，则
a <
b ”的逆命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．其中是假命题的是________． 三、解答题
10．已知命题：若m >2，则方程x 2＋2x ＋3m ＝0无实根，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．
11．已知奇函数f (x )是定义域为R 的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥0，求证：a ＋b ≥0.
12．若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．
【能力提升】
13．给出下列三个命题：
①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b
1＋b
；
②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n
2
；
③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2
＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切． 其中假命题的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 14．a 、b 、c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大的，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 的年龄不是最小的，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a 、b 、c 的年龄的大小顺序是否能确定？请说明理由．
1．互为逆否的命题同真假，即原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真假．四种命题中真命题的个数只能是偶数个，即0个、2个或4个．
2．当一个命题是否定形式的命题，且不易判断其真假时，可以通过判断与之等价的逆否命题的真假来达到判断该命题真假的目的．
1.1.3四种命题间的相互关系
知识梳理
1．若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p
2．(2)①相同②没有关系
作业设计
1．D[原命题的逆命题和否命题互为逆否命题，只需写出原命题的否命题即可．] 2．D 3.D
4．D[a＝b＝0的否定为a，b至少有一个不为0.]
5．D[原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题．]
6．D
7．已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A真
解析“已知a∈U(U为全集)”是大前提，条件是“a∉∁U A”，结论是“a∈A”，所以原命题的逆命题为“已知a∈U(U为全集)，若a∈A，则a∉∁U A”．它为真命题．
8．假9.①②
10．解逆命题：若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2，假命题．否命题：若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根，假命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2，真命题．
11．证明假设a＋b<0，即a<－b，∵f(x)在R上是增函数，∴f(a)<f(－b)．
又f(x)为奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，
∴f(a)<－f(b)，即f(a)＋f(b)<0.
即原命题的逆否命题为真，故原命题为真．
∴a＋b≥0.
12．证明若a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数．
得a2＋b2为偶数，而c2为奇数，即a2＋b2≠c2，
即原命题的逆否命题为真，故原命题也为真命题．
所以a ，b ，c 不可能都是奇数．
13．B [①用“分部分式”判断，具体： a 1＋a ≥b 1＋b ⇔1－11＋a ≥1－11＋b ⇔11＋a ≤11＋b ，又a ≥b >－1⇔a ＋1≥b ＋1>0知本命题为真命题．
②用基本不等式：2xy ≤x 2＋y 2 (x >0，y >0)，取x ＝m ，y ＝n －m ，知本命题为真． ③圆O 1上存在两个点A 、B 满足弦AB ＝1，所以P 、O 2可能都在圆O 1上，当O 2在圆O 1上时，圆O 1与圆O 2相交．故本命题为假命题．] 14．解 能确定．理由如下：
显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此应该从它的逆否命题来考虑．
①由命题A 为真可知，当b 不是最大时，则a 是最小的，即若c 最大，则a 最小，所以c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“a 不是最小，则b 是最大”为真，所以b >a >c .总之由命题A 为真可知：c >b >a 或b >a >c . ②同理由命题B 为真可知a >c >b 或b >a >c . 从而可知，b >a >c .
所以三个人年龄的大小顺序为b 最大，a 次之，c 最小．。