高三数学-【数学】黑龙江省哈六中2018届高三上学期期
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学2023届高三第二次模拟考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【点睛】关键点点睛：利用角平分线．CD【分析】利用向量化即可判断A；利定理结合两角和的正弦定理即可判断调性即可比较sin,cosA B，进而可判断连接11AC AC DÇ=，连接为四边形11ACC A 是平行四边形，所以DE ，又1ËA B 平面1AEC ，如图，建立空间直角坐标系()()(110,2,0,2,0,2,0,C B C )()12,2,1,1,0,AE EC -=uuu r uuuu r假设以E为球心的球面与平面的圆弧长，则2==EF EG又因为28==，所以AC AB【详解】（1）如图，取PD的中点N，并连接,AN QN，根据条件，易知四边形QADN为正方形，且//AN QP，所以DQ AN^，^，所以DQ QP因为PD^平面ABCD，PDÌ平面QADP，所以平面QADP^平面ABCD，又平面QADPÇ平面ABCD AD=，因为四边形ABCD为矩形，所以CD AD^，又CDÌ平面ABCD，所以CD^平面QADP，因为PQÌ平面QADP，所以CD PQ^，又DQ CD DDQ CDÌ平面DCQ，I，,=所以PQ^平面DCQ，又PQÌ平面PCQ，所以平面PQC^平面DCQ.（2）建立如图所示的空间直角坐标D xyzDP=，-，设2则(1,0,2),(1,1,0),(0,0,2),(0,2,0)B QC P，uuu r uuu r uuu r，所以(0,1,2),(1,2,2),(1,0,0)BQ BP BC=-=--=-。
2025届山东省青岛市年义务教育统考上数学三年级第一学期期末质量检测模拟试题含解析
2025届山东省青岛市年义务教育统考上数学三年级第一学期期末质量检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、用心思考，我会选。
1．在16、36、56中，最大的是（）。
A．16B．36C．562．要使18×7的积尽可能接近1400，里应填()．A．0 B．5 C．93．下面算式中（）的结果在400～500之间。
A．66×8 B．48×8 C．68×74．如果a×b=c(a、b、c都是不等于0的自然数)，那么（）．A．a是b的倍数B．b和c都是a的倍数C．a和b都是c的因数D．c是a、b的最小公倍数5．113+57（）160A．＞B．＜C．=二、认真辨析，我会判。
6．分针从数字12走到数字1，秒针走了1圈。
（______）7．16时是下午6时。
（______）8．在四则运算里，要先算高级运算，再算低级运算，如果有括号要先算括号里的．_____9．把一瓶果汁分成3份，每份是这瓶果汁的13．（______）10．正方体从正面和侧面观察，看到的形状都是正方形。
（________）三、仔细观察，我会填。
11．四边形的特点是它有4个（________），有4条（________）。
12．在括号里填上合适的单位．玲玲的身高是136（_____）．一个苹果重约150（_____）一栋居民楼高约30（_____）．小伟跑50米大约要10（_____）13．在横线上填上“>”“<”或“=”。
3 7________4715________14200克________ 2千克1________5535×0________35+0 160分钟________3小时19×4________80 99毫米________1分米14．7000kg=_____t；3t=_____kg．15．优优小学一天的郊游优优小学2018年的1月1日计划带领一年级、二年级和三年级的全体学生去郊游．让我们随他们一起出发吧！16．在下面的括号里填上合适的单位。
高三下学期数学教师工作计划范文（3篇）
高三下学期数学教师工作计划范文针对这一问题备课组在____校长、____主任的领导下，在____主任的具体指导下，制定了严密的教学计划，提出了优化课堂教学，强化集体备课，培养学生素质的具体要求。
即优化课堂教学目标，规范教学程序，提高课堂效率，全面发展、培养学生的能力，为其自身的进一步发展打下良好的基础。
一、加强集体备课优化课堂教学在集体备课中，注重充分发挥各位教师的长处，集体备课前，每位教师都准备一周的课，集体备课时，每位教师都进行说课，然后对每位教师的教学目标的制定，重点、难点的突破方法及课后作业的布置等逐一评价。
集体备课后，各位教师根据自己班级学生的具体情况进行自我调整和重新精心备课，这样，总体上，集体备课把握住了正确的方向和统一了教学进度，对于各位教师来讲，又能发挥自己的特长，因材施教。
二、立足课本夯实基础实行新教材后，高考的要求和高考的内容都发生了很大的变化，这就要求我们必须转变观念，立足课本，夯实基础。
复习时要求全面周到，注重教材的科学体系，打好“双基”，准确掌握考试内容，做到复习不超纲，不做无用功，使复习更有针对性，细心推敲对高考内容四个不同层次的要求，准确掌握那些内容是要求了解的，那些内容是要求理解的，那些内容是要求掌握的，那些内容是要求灵活运用和综合运用的；细心推敲要考查的数学思想和数学方法；在复习基础知识的同时要注重能力的培养，要充分体现学生的主体地位，将学生的学习积极性充分调动起来，教学过程中，不仅要展现教师的分析思维，还要充分展现学生的思考思维，把教学活动体现为思维活动。
同时还适当增加难度，教学起点总体要高，注重提优补差，新高考将更加注重对学生能力的考查，适当增加教学的难度，为优秀的学生脱颖而出提供了的机会和空间，有利于优秀的学生最大限度发挥自己的潜能，取得更好的成绩；对于差生充分利用辅导课的时间帮助他们分析学习上存在的问题，解决他们学习上的困难，培养他们学习数学的兴趣，激励他们勇于迎接挑战，不断挖掘潜力，最大限度提高他们的数学成绩。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三第三次模拟考试数学试题
( 3c - 2a sin B) sin C = 3(bsin B - a sin A) ，则下列正确的是（ ）
A．5
B．9
C．13
D．18
4．已知
sin
æçèa
+
π3ö 3 ÷ø
=
5
，则
sin
æ çè
2a
+
π 6
ö ÷ø
=
（
）
A． 24 25
B．
-
24 25
C．
7 25
D．
-
7 25
5．正三棱柱 ABC -A1B1C1 的棱长均相等，E 是 B1C1 的中点，则异面直线 AB1 与 BE 所成 角的余弦值为（ ）
(1)证明： BF ^ DE ； (2)求平面 BB1C1C 与平面 DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点 D 的位置. 20．哈六中举行数学竞赛，竞赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式 进行，要求每个学年派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过 的同学才具备参与决赛的资格.高三学年派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与
A． 2 4
B． 2 3
C． 10 20
D． 3 10 20
6．算盘起源于中国，迄今已有 2600 多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿 拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具.下图一展示的是一把算盘的初始状
态，自右向左分别表示个位､十位､百位､千位LL ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表 5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表 1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如， 如图二，个位上拨动一粒上珠､两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字 17. 现将算盘的个位､十位､百位､千位､万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的五位 数至多含 3 个 5 的情况有（ ）
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
哈尔滨市第六中学校2017-2018学年度上学期期末考试高三理科数学考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．函数的最小值是（）A．B．C．D．3．若向量，，，则、的夹角是（）A．B．C．D．4．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．5 B．9 C．D．105．椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（）A． 2 B． 4 C． 1 D．6．函数的值域为（）A．B．C．D．7．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（）A．B．C．4 D．88．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．9．已知圆方程为，若：；：圆上至多有3个点到直线的距离为1，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知数列满足（），则（）A．B．C．D．11．三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．Ⅱ卷（非选择题共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．若直线与垂直，则实数的值是____________.14．已知为虚数单位，复数（），若，则为____________.15．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是____________.16．如图所示，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面的周长为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图所示，在中, 点为边上一点，且。
河南省驻马店上蔡县2025届六年级数学第一学期期末复习检测试题含解析
河南省驻马店上蔡县2025届六年级数学第一学期期末复习检测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、仔细填空。
(每小题2分，共20分）1．用4个面积为1平方分米的小正方形拼成一个长方形，这个长方形的面积是________。
2．小明读一本科学书，每天读18，3天读了这本书的（________）%，（________）天可以读完这本科学书的一半。
3．兄弟两人共带200元钱去书店买参考书，回家后两人剩下的钱数正好相等．已知哥哥花去的钱数与他原来钱数的比是3：7，弟弟花去的钱数与他原来钱数的比是9：1．哥哥花去（___）元钱。
4．6.05立方米 = （_______）立方米（_______）立方分米5．把1∶0.25化成最简单整数比是（________），它的比值是（________）。
6．李明看一本故事书，全书一共有157页，他看了80页，他看了全书的________，还剩________没看。
7．1470的两位数约数中，最大的一个是_____________8．（______）页是30页的10%，40米比50米少（______）%。
9．ab÷（________）=ba×（________）=1（a、b都不为零）10．如果两个图形关于某一直线对称,那么它们的对称轴是连接两个对应点所得的线段的________。
二、准确判断。
(对的画“√ ”，错的画“×”。
每小题2分，共12分）11．一个自然数最少有两个因数．（____）12．一个数的因数不一定比这个数的倍数小。
（______）13．一堆煤，烧去15后，又送来剩下煤的15，现在的煤与原来的同样多。
（____）14．在3的后面填上%，这个数就缩小100倍.（_____）15．王叔叔生产一批零件，有2个不合格，合格率是98%。
(江苏版)备战高考数学模拟试卷分项 专题11 概率统计-人教版高三全册数学试题
第十一章 概率统计 1. 【南师附中2017届高三模拟二】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为__________．【答案】112【解析】从集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取两个不同的数，有98362n ⨯==种情形，其中一个是另一个的三倍的事件有()()()1,3,2,6,3,9，共3种情形，所以由古典概型的计算公式可得其概率是313612P ==，应填答案112。
2. 【南师附中2017届高三模拟二】射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为__________．【答案】45【解析】因为910810895x ++++==，所以[]2140111155s =++++=，应填答案45。
3. 【南师附中2017届高三模拟一】从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________.【答案】124．【南师附中2017届高三模拟一】随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。
5. 【某某中学2018届高三10月月考】记函数定义域为，在区间上随机取一个数，则的概率是_______. 【答案】点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动X 围．当考察对象为点，点的活动X 围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．6. 【某某中学2018届高三上学期开学考试】某校在市统测后，从高三年级的1000名学生中随机抽出100名学生的数学成绩作为样本进行分析，得到样本频率分布直方图，如图所示，则估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为__________．【答案】660【解析】由样本频率分布直方图，知：该校高三学生中数学成绩在之间的频率为：，∴估计该校高三学生中数学成绩在之间的人数为：.故答案为660.7. 【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】已知一个边长为2的正方形及其外接圆.现随机地向圆内丢一粒豆子，则豆子落入正方形内的概率为_________.【答案】8．【海安县2018届高三上学期第一次学业质量测试】某校高一年级共有800名学生，根据他们参加某项体育测试的成绩只做了如图所示的频率分布直方图，则成绩不低于80分的学生人数为_________.【答案】240【解析】由题设中提供的频率分布直方图可以看出：不低于80分的学生人数为()0.020.0110800240m=+⨯⨯=，应填答案240。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高三上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合(){}2=log 1<0A x x -，4=0+1x B xx -≥⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R ð（ ） A ．()1,1-B ．()2,4C ．(][]1,12,4-⋃D ．[][]1,12,4-⋃ 2．在等比数列{}n a 中，1a ，13a 是方程213160x x -+=的两根，则2127a a a 的值为（ ） AB．C ．4D ．4±3．某学习小组的学习实践活动是测量图示塔AB 的高度．他们选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，测得3BCD π∠=，4BDC π∠=，且基点C ，D间的距离为(30m CD =+，同时在点C 处测得塔顶A 的仰角为6π，则塔高AB 为（ ）A ．20mB．C ．40mD．4．下列说法正确的是（ ）A ．命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃≤，00ln 1x x >-”B ．命题p ：0x ∃∈R ，02010ax ax ++≤，若命题p 是假命题，则04a <<C ．“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的充分不必要条件D ．ABC 中，A B >是sin sin A B >的充要条件5．向量OA ，OB 满足0OA OB ⋅=，点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，则2x y +的最大值为（ ）6．已知函数()f x 定义域为R ，()1f x -为奇函数，()1f x +为偶函数，当[]1,3x ∈时，()f x kx m =+，若()()031f f -=-，则()2022f =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．27．已知函数()()π=sin 2+>0,0<<2f x x ωϕωϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为C ．()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．将()f x 图象的横坐标变为原来的()1>0t t 倍，纵坐标不变得到函数()g x ，若()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，则41<3t ≤8．若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．(],e -∞C ．(],1-∞D ．(],2∞-二、多选题9．下列关于复数的四个命题正确的是（ ） A ．若2z =，则4z z ⋅= B ．若()72i3i z +=+，则z 的共轭复数的虚部为1C ．若1i 1z +-=，则1i z --的最大值为3D ．若复数1z ，2z 满足12z =，22z =，121z z +=，则12z z -=10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23a =，77S =，则（ ） A ．5n a n =- B ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为2512C ．n S 取到最大值时，5n =D ．设2nn n a b =，则数列{}n b 的最小项为164- 11．设锐角三角形ABC 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a a B b A +=，则（ ） A ．22b a ac -= B ．2B A = C ．04A π<<D．)2b ca+∈12．平面向量a ，b ，c ，满足1a =，2b =且()a ab ⊥-，2,30c a c b <-->=︒r r r r，则下列说法正确的是（ ）A．2a b +=r r B ．a 在b 方向上的投影向量为12bC ．c的最大值是2 D ．若向量m 满足2m a ⋅=u r r，则()m m b⋅-u r u r r 的最小值为54三、填空题13．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______．14．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin18︒2sin18=︒．记2sin18m =︒，则=______．15．已知O 是ABC 的外心，若22AC AB AB AO AC AO mAO AB AC⋅+⋅=uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r，且sin sin B C +=m 的最大值为______．16．已知函数()()()222e 1e x x f x a a x x =+-++有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，则3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______．四、解答题17．已知函数()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； (2)在锐角ABC 中，若()f AACBC =ABC 的面积． 18．设n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，且26S =，430S =． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()121n n n b n n a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，ABC 的面积214S a =． (1)cos B b =-，求sin sin CB的值； (2)求c bb c+的最大值．20．已知等差数列{}n b 满足32b =，251681b b b b =++，数列{}n a 的前n 项和2124n n S b +=⋅-，*n ∈N(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若226825n n kT n a n n >-+对一切*n ∈N 恒成立，求正整数k 的最小值．21．已知函数()2x x f x e ae -=+-，()2g x x =(1)讨论()f x 的单调性；(2)设()()()h x f x g x =-．若函数()h x 有相同零点和极值点0x ，求()h x 的最小值．22．已知函数()21e xf x x =+-．(1)求曲线()=y f x 在点()()0,0P f 处的切线方程；(2)设函数()()()ln 1g x f x a x =-+有三个零点，求实数a 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据对数函数的单调性化简集合A ，根据分式不等式的解法化简集合B ，结合集合的补集和交集的定义进行求解即可.【详解】不等式()2log 1<0x -可化为()22log 1<log 1x -，所以011x <-<， 所以12x <<，所以()1,2A =， 不等式40+1xx -≥可化为()()4+10x x ->或=4x ，所以14x -<?，所以(]=1,4B -，所以(][)R 12A ，，=-∞+∞ð，所以()A B ⋂=R ð(][]1,12,4-⋃， 故选：C. 2．C【分析】由已知条件结合一元二次方程根与系数的关系，利用等比数列的性质求解． 【详解】113,a a 是方程213160x x -+=的两根，11311313,16a a a a ∴+=⋅=，21131132127>0,>0,===16a a a a a a a ∴⋅⋅，又等比数列{}n a 中奇数项符号相同，可得74a =21271644a a a ⋅∴==. 故选：C ． 3．A【分析】设,AB x =则BC =，利用正弦定理即得解. 【详解】解：设,AB x =则BC . 由题得53412CBD ππππ∠=--=. 51sinsin()12642πππ=+==在△BCD20x ∴=. 所以塔高20m. 故选：A4．D【分析】对于A ，利用含量词的命题的否定即可判断；对于B ，由p 是假命题可得p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题，分=0a 和0a ≠进行讨论即可；对于C ，利用“,a b 的夹角为钝角”的充要条件即可判断；对于D ，利用正弦定理和三角形性质即可求解.【详解】对于A ，由含量词的命题的否定知，命题“2x ∀>，ln 1x x ≤-”的否定是“02x ∃>，00ln 1x x >-”，故不正确；对于B ，因为命题p 是假命题，所以p ⌝：x ∀∈R ，210ax ax ++>为真命题， 当=0a 时，不等式为10>恒成立；当0a ≠时，需满足2>0Δ=4<0a a a -⎧⎨⎩，解得04a <<， 综上所述，a 的取值范围为{}0<4a a ≤，故不正确；对于C ，“,a b 的夹角为钝角”的充要条件是“0a b ⋅<且a 不平行于b ”，所以“0a b ⋅<”是“a ，b 的夹角为钝角”的必要不充分条件，故不正确；对于D ，若A B >，由三角形中“大边对大角”可知，a b >，由正弦定理可知，sin sin A B >； 若sin sin A B >，由正弦定理可知，a b >，从而A B >， 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故正确， 故选：D 5．D【分析】由OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r两边平方可得,x y 的关系，设(),m x y =，()2,1n =由数量积的性质求2x y +的最大值.【详解】因为OC xOA yOB =+uu u r uu r uu u r，两边平方可得()()()222222OC x OA xyOA OB y OB =+⋅+uuu r uu r uu r uu u r uu u r ，因为0OA OB ⋅=，所以()()()22222OC x OA y OB =+uu u r uu r uu u r ，因为点C 在以点O 为圆心的劣弧AB 上，所以OC OA OB ==uuu r uu r uu u r，且0x ≥，0y ≥，所以221x y +=， 设(),m x y =，()2,1n =，则2m n x y ?+，又=cos ,m n m n m n m n ⋅⋅⋅≤⋅，当且仅当m ，n 同向时等号成立，所以2x y +?x y ==故选：D. 6．B【分析】由题意表示出()1(1)--=--f x f x 与()1(1)f x f x -+=+，令=1x ，=0x ，=2x ，结合题目所给条件列式求解,k m ，再由两式化简可推导出()f x 的周期为8T =，从而代入计算. 【详解】因为()1f x -为奇函数，所以()1(1)--=--f x f x ①； 又()1f x +为偶函数，所以()1(1)f x f x -+=+②； 令=1x ，由②得：()(2)20==+f f k m ，又()33=+f k m ， 所以()()032(3)1f f k m k m k -=+-+=-=-，得=1k ， 令=0x ，由①得：()()1(1)10-=--⇒-=f f f ； 令=2x ，由②得：()1(3)0-==f f ， 所以()3330f k m m =+=⇒=-. 得[]1,3x ∈时，()3f x x =-，结合①②得，()2()(2)(4)()(8)(4)()f x f x f x f x f x f x f x f x +=-=--⇒+=-⇒+=-+=， 所以函数()f x 的周期为8T =，所以()()()()()20222528662231f f f f =⨯+==-=--=. 故选：B 7．D【分析】由图象求出()f x 的解析式，再结合三角函数的性质与图像逐项分析即得. 【详解】由图可知，1(0)sin 2f ϕ==， 又π02ϕ<<，所以π6ϕ=， 所以由五点作图法可知4ππ3π362ω⋅+=，得1ω=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，由π2ππ133sin 6f ⎛⎫-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-=- ⎪⎝⎭，所以A 错误；对于B ，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以B 错误；对于C ，当[]0,πx ∈，则ππ13π2,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+， 由πππ2,662x ⎡+∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由π13π22π,66x +∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦，可得11π,π12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以()f x 在[]0,π上的单调递增区间为π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误； 对于D ，由题可得()πsin 26g x tx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，因为()12g x =在[]0,π上有且只有三个不等实根，所以π1sin 262tx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭在[]0,π上有且只有三个不等实根，由[]0,πx ∈，可得πππ2,2π666tx t ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，作出正弦函数的图象，由图象可知ππ5π2π2π2π666t +≤+<+，即413t ≤<，故D 正确. 故选：D. 8．C【分析】构造函数()(0)x a f x e lnx a x -=-->，将原不等式转化为求解函数()f x 的最小值，通过导数判断函数的单调性研究函数的最值，得到000x a e lnx a ---…，再利用基本不等式进行求解即可．【详解】解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x …对一切正实数x 恒成立，即()0min f x …， 由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x ah x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞， 则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)∞+上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=--…， 因为001x aex -=，即00x a lnx -=-， 所以0010x a a x +--…恒成立，即0012a x x+…，又0012x x +=…，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a …，所以1a …． 故选：C ．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 9．ACD【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A ，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B ，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C ，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.【详解】设i,(,R)z a b a b =+∈，对A ，2224z a b =⇒+=，22i)(i (4)z a b a b a z b +-=+⋅==，故正确；对B ，()72i3i z(2i)3i z +=+⇒-=+，所以3i (3i)(2i)55iz 1i 2i (2i)(2i)5++++====+--+， z 1i =-，其虚部为1-，故错误；对C ，由1i 1z +-=的几何意义，知复数z 对应的动点Z 到定点(1,1)-的距离为1， 即动点Z 的轨迹为以(1,1)-为圆心，1为半径的圆，1i z --表示动点Z 到定点(1,1)的距离，由圆的性质知，max 1i 13z --==，故正确； 对D ，设12=+i,=+i,(,,,R)z m n z c d m n c d ∈，因为12z =，22z =， 所以22224+=4m n c d +=，，又121z z +=，所以+=1,+m c n d 所以+=2mc nd -，所以12=|()+(z z m c n d ---.故选：ACD 10．AD【分析】求得等差数列{}n a 的通项公式判断选项A ；求得116m n+的最小值判断选项B ；求得n S 取到最大值时n 的值判断选项C ；求得数列{}n b 的最小项判断选项D.【详解】由11+=37?67+=72a d a d ⎧⎪⎨⎪⎩，可得1=4=1a d -⎧⎨⎩， 则等差数列{}n a 的通项公式为5n a n =-，则选项A 判断正确； 若210m n a a a a +=+，则21012m n +=+= 则116116116125(17)(178)12121212m n n m m n m n m n +⎛⎫+=+⨯=++≥+= ⎪⎝⎭ （当且仅当1248,55m n ==时等号成立） 又,m n ∈Z ，则116m n +的最小值为不为2512.则选项B 判断错误； 等差数列{}n a 中，123456432101a a a a a a =>=>=>=>=>=->则等差数列{}n a 的前n 项和n S 取到最大值时，=4n 或5n =.则选项C 判断错误； 设2n n n a b =，则52n n n b -=，则111546222n n n n n n n n b b +++----=-= 则12345678b b b b b b b b >>>>>=<<则数列{}n b 的最小项为766561264b b -===-.则选项D 判断正确 故选：AD 11．ABD【分析】利用余弦定理可判断A ，利用正弦定理结合三角恒等变换可判断B ，结合条件可得角A 的范围可判断C ，利用正弦定理及三角函数的性质可判断D. 【详解】因为cos cos a a B b A +=，所以22222222a c b b c a a a b ac bc +-+-+⋅=⋅， 整理可得22=b a ac -，故A 正确；由cos cos a a B b A +=，可得sin sin cos sin cos A A B B A +=， 所以()sin sin cos sin cos sin A B A A B B A =-=-，所以A B A =-或πA B A +-=(舍去)，即2B A =，故B 正确；因为ABC △为锐角三角形，所以π0<<2π0<=2<2π0<=π3<2A B A C A -⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩，解得ππ<<64A ，故C 错误；由题可得()sin 2sin 3sin sin sin sin A A b c B C a A Aπ+-++==， sin 2sin 2cos cos 2sin sin A A A A A A++=22cos 2cos cos2A A A =++ 24cos 2cos 1A A =+-，又ππ<<64AA所以)+b ca∈，故D 正确. 故选：ABD 12．ACD【分析】利用向量的数量积运算律和模的运算求解2a b +r r，根据投影向量定义求解a 在b 方向上的投影向量，构造如图所示的几何图形集合几何意义求c 的最小值，作出满足题意的几何图形求解()m m b ⋅-的最小值.【详解】因为1a =，2b =且()a ab ⊥-，所以()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，所以1a b ⋅=，1cos ,2a b a ba b⋅=，所以a ，b 的夹角为60，因为()222224423a b a ba b a b +=+=++⋅=，所以A 正确;a 在b 方向上的投影向量为1cos ,4ba ab b b ⋅=,所以B 错误;如图，作半径都等于2且公共弦长等于2的两个圆中， 2,,,OA a OB b OC c ===则2,AC c a BC c b =-=-，因为30ACB ∠=，所以2,30c a c b --=︒,符合题意， 由图可知，当OC 同过两圆的圆心时c 最大，此时c 的最大值等于圆心距加半径为2， 所以C 正确;作,,OA a OB b ==如图，222222()23AB b a b a b a OB OA =-=+-⋅==-, 所以90OAB ∠=,令OM m =，由2m a ⋅=得cos 2OM AOM ∠=, 在射线OA 上取点E ，使得2OE =,过E 作直线l OA ⊥,则有点M 在直线l 上，取OB 中点C ,过C 作CD l ⊥，垂足为D , 连接,,BM CM OM ,()()()()()m m b OM BM OC CM BC CM OC CM OC CM ⋅-=⋅=+⋅+=+⋅-+2222151124CM OC CD OA AE ⎛⎫=-≥-=+-= ⎪⎝⎭， 当且仅当,M D 重合时取得等号，所以()m m b ⋅-的最小值为54. 所以D 正确. 故选:ACD.【点睛】结合向量间的关系作出满足题意的几何图形，利用几何意义求解相关最值问题是向量最值问题有效的手段. 13．2【分析】转化条件为()112+226a d a d =++，即可得解.【详解】由32236S S =+可得()()123122+36a a a a a +=++，化简得31226a a a =++， 即()112+226a d a d =++，解得2d =. 故答案为：2.14．【分析】将2sin18m =︒代入，根据恒等变换公式化简，即可求得结果 【详解】2sin18m =︒Q ，2sin144m -⋅︒4sin 182sin 36︒-︒===故答案为：15．32##1.5【分析】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，根据向量数量积的几何定义可得22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，从而可得22bc mr =，从而可得222m b br r =⋅，又sin sin B C +=正弦定理可得sin 2b B r =，sin 2cC r =，从而可得22b c r r+ 【详解】设三角形ABC 的外接圆的半径为r ，2||||2()||||AC AB AB AO AC AO m AO AB AC ⋅+⋅=， ∴根据向量数量积的几何定义可得：22211222b c c b mr c b ⋅+⋅=，即22bc mr =，∴=222m b c r r⋅，又sin sin B C +=sin 2b B r =，sin 2cC r =，∴22b c r r+ ∴2322()22224b cm b b r r r r +=⋅≤=，当且仅当22b c r r =时，即ABC △为等边三角形时取等号，∴324m ≤，32m ∴≤，∴实数m 的最大值为32． 故答案为：3216．4【分析】先将题给条件转化为()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，再转化为()()2+1++2=0t a t a -有二根12,t t ，且121<0,0<<et t ，进而利用根与系数关系求得3122312111e e e x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值 【详解】()()()()()22222e 1e =e 12e e xxxx x x xf x a a x x a a ⎡⎤⎛⎫=+-++-+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，又2e >0x ，则()()2+1++2=0e e x x x x a a -⎛⎫⎪⎝⎭有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，且123<<x x x ，令()e xx g x =，则1()e x x g x -'=， 当>1x 时()<0g x '，()g x 单调递减；当<1x 时()>0g x '，()g x 单调递增 则()g x 在=1x 时取得最大值1(1)=eg ，>0x 时()>0g x ，令e xx t =，则1e t ≤ 则()()2+1++2=0t a t a -必有二根12,t t ，且121<0,0<<et t则12121,2t t a t t a +=+=+ 则1e x x t =有一解1<0x ，2ex xt =有二解23,x x 且230<<1<x x 故()()3122223121211111e e ex x x x x x t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭[][]221212=1(+)+=1(+1)++2=4t t t t a a --故答案为：417．(1)函数()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，求出周期，再由正弦函数的单调性求解即可；（2）由()f A sin 23A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭A ，利用余弦定理可求得AB 边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果. （1）()22sin cos cos sin sin sin cos 33f x x x x x x x ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭)1cos211sin2sin2sin 22223x x x x x π-⎛⎫=+==- ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ== 由222,232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈得出5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 故函数()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）()f A sin 23A π⎛⎫=-=⎪⎝⎭因为02A π<<，则22333A πππ-<-<，所以233A ππ-=，可得3A π=，由余弦定理可得222232cos23BC AB AC AB AC AB π==+-⋅=+，即210AB -=，因为0AB >，解得AB = 此时，AB 为最长边，角C 为最大角，此时222cos 02AC BC AB C AC BC+-=>⋅，则角C 为锐角，所以，11sin 22ABCSAB AC A =⋅=18．(1)2n n a =；(2)1112(1)2n n T n +=-+⋅．【分析】（1）由等比数列前n 项和公式列方程组求得1,a q ，得通项公式； （2）用裂项相消法求和． （1）设{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，0q >，由题意1141+=6(1)=301a a q a q q--⎧⎪⎨⎪⎩，解得1=2=2a q ⎧⎨⎩（负数舍去）．所以1222n nn a -=⨯=；（2） 由（1）11211(1)22(1)2n n n n n b n n n n +++==-+⋅⋅+⋅，所以2231111111()()[]122222322(1)2n n n T n n+=-+-++-⋅⋅⋅⋅⋅+⋅1112(1)2n n +=-+⋅．19．1； (2)【分析】（1）已知214S a =，由面积公式和余弦定理得π)4c b A b c +=+，由已知及正弦定理和三角恒等变换得π4A =，则有c b b c+=. （2）由π)4c b A b c +=+，结合正弦函数性质求最值..（1）ABC 的面积211sin 42S a bc A ==，有22sin a bc A =，由余弦定理，2222sin 2cos a bc A b c bc A ==+-，得2sin 2cos c bA A bc=+-，即π2sin +2cos)4c bA A A b c +==+， cosB b -cos sin A B CB =-，由[]sin sin()sin()sin coscos sin C A B A B A B A B =π-+=+=+， i n c n n cos sin sin os si A A B C B B A B B =--=sin sin 0A B B -=，ABC 中sin 0B ≠，∴cos A =(0,π)A ∈，则π4A =，∴π)4c b A b c +=+=c t b =，则有1t t+=1t ，由正弦定理，sin 1sin C cB b==. （2）由（1）有：π)4c b A b c +=+，A 为ABC 的内角，当π4A =时，c bb c +有最大值20．(1)12n n a +=，12n n b +=； (2)3【分析】（1）由等差数列的基本量法求得n b ，由1(2)n n n a S S n -=-≥求得n a ； （2）用错位相减法求得和n T ，代入不等式化简后转化为用基本不等式求函数的最值． （1）设数列{}n b 的公差为d ，则225168(22)1222325b d b b b d d d +==++-++++，12d =， 所以112(3)22n n b n +=+-⨯=， 1=1b ，224n n S +=-，311244a S ==-=，2n ≥时，211124(24)2n n n n n n a S S +++-=-=---=，1=4a 也适用，所以12n n a +=；（2）由（1）(1)2nn n a b n =+⋅，22232(1)2n n T n =⨯+⨯+++⋅，231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯++⋅++⋅，两式相减得2314222(1)2n n n T n +-=++++-+⋅1114(12)4(1)2212n n n n n -++-=+-+⋅=-⋅-，所以12n n T n +=⋅．所以不等式226>8+25n n kT n a n n -即为26>8+25nk n n -， 又266258258n n n n n =-++-，2510n n +≥=，当且仅当5n =时等号成立， 所以26825n n n -+的最大值是63108=-，故3k ≥， 所以k 的最小值是3．21．(1)当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当>0a 时，()f x在)∞上单调递增，在(-∞上单调递减. (2)()h x 的最小值为0.【分析】（1）先函数求导，对参数进行分类讨论得出结论（2）构造函数对函数求导，利用已知条件求出参数，分析问题，将参数的值代入表达式中求出函数的最小值. （1）由()e e 2x xf x a -=+-，所以()e e x x f x a -'=-，当0a ≤ 时，()0f x '≥，此时()f x 在R 上单调递增， 当0a > 时，由()0f x '>，有x >()f x在)+∞上单调递增， 由()0f x '<，有x <()f x在(-∞上单调递减， 综上所述：当0a ≤ 时，()f x 在R 上单调递增；当0a > 时，()f x在)+∞上单调递增，在(-∞上单调递减. （2）由()()()2e 2x x e a h x g x xf x ---==+-所以()e e 2x xa x x h --'=-，又函数()h x 有相同零点和极值点0x ，所以有0000200e +e 2=0e e 2=0x x x x a x a x --⎧--⎪⎨--⎪⎩，两式相加得：02002e 22x x x =++， 令()22e 22x p x x x =---，则()2e 22xp x x '=--，设()2e 22x s x x =--，则()2e 2xs x '=-，所以()s x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，所以()()00s x s ≥=， 所以()p x 单调递增，由()00p =可得00x =，=1a ，所以()22x x e x e x h -+--=，所以()2x x e x h x e ---'=，设()2x xe e x t x --=-所以()120xxx e t e '+-≥=,当且仅当=0x 时取等号. 所以()h x '在R 单调递增，又()00h '=所以当0x >时，()0'>h x ，所以()h x '在(0,)+∞上单调递增， 当0x <时，()0'<h x ，所以()h x '在(,0)-∞上单调递减 所以()min 0)0(h x h == 故()h x 的最小值为0. 22．(1)=y x (2)(0,1)【分析】（1）求得(0),(0)f f '，利用导数的几何意义得出切线的方程；（2）求出()g x 的导数，通过分类讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的零点个数确定a 的范围即可． （1）()21e x f x x =+-，()2e x f x '=-∴，则(0)0,(0)1f f '==，因此，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为y x =．（2）()21e ln(1),(1)x g x x a x x =+--+>-，则()(1)e 2()2e 11x xa x a g x x x ⎡⎤-++-⎣⎦'=---=++， 设h ()()(1)e 2xx a x =++-，则()(2)e 2x h x x '=+-，显然()h x '在(1,)-+∞内递增且(0)0h '=， 所以，在(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x <'单调递减， 在(0,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增， 所以()h x 有极小值(0)1h a =-，又(1)h a -=，①当1a ≥时，()0h x ≥在(1,)x ∈-+∞恒成立，即()0g x '≤，所以()g x 在区间(1,)-+∞内单调递减，最多一个零点，不符合题意； ②当01a <<时，(1)0,(0)0,(2)0h h h -><>， 所以存在12(1,0),(0,2)x x ∈-∈使得()()120h x h x ==， 则在()11,x -内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减， 在()12,x x 内，()0h x <，()0,()g x g x >'单调递增， 在()2,x +∞内，()0h x >，()0,()g x g x <'单调递减，又()()12(0)0g x g g x <=<，则()g x 在()12,x x 上有且只有一个零点0， 又2(2)5e ln30g a =--<，则()g x 在()2,x +∞上有且只有一个零点，又4411544442e e e e 12e 11eln e 2e e 2e e 130a a a a a a ag a ----------⎛⎫⎛⎫-=-+-+--=->> ⎪⎝⎝⎭+⎪ ⎭，则()g x 在()11,x -上有且只有一个零点，所以函数()g x 恰有三个零点；③当0a ≤时，在(1,0]-内()(0)0h x h <<，又()2(2)(3)e (3)02ah a a a a a --=+->+->-，结合()h x 的单调性可知，存在0(0,)x ∈+∞，使得()00h x =，在()01,x -内，()0h x <，()0g x '>，()g x 单调递增， 在()0,x +∞内，()0h x >，()0g x '<，()g x 单调递减， 函数()g x 最多两个零点，不合题意． 综上所述，实数a 的取值范围是(0,1)．。
黑龙江省哈尔滨第六中学2024年第二学期高三年级阶段性试测数学试题
黑龙江省哈尔滨第六中学2024年第二学期高三年级阶段性试测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b c a b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤ ⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]2．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC +B ．5799BA BC + C ．11099BA BC +D ．2799BA BC + 3．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户4．在满足04x y <<≤，i i y x x y =的实数对(),x y (1,2,,,)i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，使得3x x x x ++⋅⋅⋅+<成立的正整数n 的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．95．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是32123x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．方程()()f x f x '=的实数根0x 叫作函数()f x 的“新驻点”，如果函数()ln g x x =的“新驻点”为a ，那么a 满足（ ）A ．1a =B ．01a <<C ．23a <<D ．12a <<7．已知函数2211()log 13||f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(lg )3f x >的解集为（ ） A ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,(10,)10⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭ C ．(1,10) D ．1,1(1,10)10⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭8．已知复数z 满足i z11=-，则z =（ ） A ．1122i + B ．1122i - C ．1122-+i D ．1122i -- 9．若样本1231,1,1,,1n x x x x ++++的平均数是10，方差为2，则对于样本12322,22,22,,22n x x x x ++++，下列结论正确的是（ ）A ．平均数为20，方差为4B ．平均数为11，方差为4C ．平均数为21，方差为8D ．平均数为20，方差为810．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ）A ．2-B ．2C ．12-D ．12专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．1212．已知ABC 中，2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==，则AD BE ⋅=（ ）A ．1B ．2-C ．12D ．12- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学复习(理)：第6讲 对数与对数函数
第6讲对数与对数函数[学生用书P30]1．对数概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N 叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log aN＝N(a>0，且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0 当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)log a(MN)＝log a M＋log a N.()(2)log a x·log a y＝log a(x＋y)．()(3)函数y＝log2x及y＝log133x都是对数函数．()(4)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．()(5)函数y ＝ln1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只经过第一、四象限．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对数函数图象的特征不熟致误； (2)忽视对底数的讨论致误； (3)忽视对数函数的定义域致误．1．已知a >0，a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是________．(填序号)解析：函数y ＝log a (－x )的图象与y ＝log a x 的图象关于y 轴对称，符合条件的只有②.答案：②2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或12.答案：2或123．函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是________． 解析：由log 23(2x －1)≥0，得0<2x －1≤1.所以12<x ≤1.所以函数y ＝log 23（2x －1）的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1[学生用书P31]对数式的化简与求值(自主练透) 1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B ．19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log 34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log 34＝log 39log 34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B.2．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A. 1010.1 B ． 10.1 C. lg 10.1D. 10－10.1解析：选A.根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.3．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25的结果为________．解析：原式＝lg 2(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 4＋lg 25＝2. 答案：24．已知2x ＝3，log 483＝y ，则x ＋2y 的值为________．解析：由2x ＝3，log 483＝y 得x ＝log 23，y ＝log 483＝12log 283，所以x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 28＝3.答案：35．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________． 解析：由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， 所以1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10. 因为1a ＋1b ＝2，所以log m 10＝2. 所以m 2＝10，所以m ＝10.答案：106．已知log 23＝a ，3b ＝7，则log 37221的值为________．解析：由题意3b ＝7，所以log 37＝b . 所以log 37221＝log6384＝log 284log 263＝log 2（22×3×7）log 2（32×7）＝2＋log 23＋log 23·log 372log 23＋log 23·log 37＝2＋a ＋ab2a ＋ab .答案：2＋a ＋ab2a ＋ab对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a >0，a ≠1)的图象如图所示，则a ，b满足的关系是( )A ．0<a －1<b <1B ．0<b <a －1<1C ．0<b －1<a <1D ．0<a －1<b －1<1(2)方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)由函数图象可知，f (x )为单调递增函数，故a >1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a <b <1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，则函数f (x )＝4x 和函数g (x )＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22.【答案】 (1)A (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22【迁移探究】 (变条件)在本例(2)中，若4x <log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x ≤12时，令f (x )＝4x ，g (x )＝log a x ，则函数f (x )＝4x 的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，又当x ＝12时，412＝2，即函数y ＝4x 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2代入g (x )＝log a x ，得a ＝22.若函数f (x )＝4x 的图象在函数g (x )＝log a x 图象的下方，则需22<a <1(如图所示)．当a >1时，不符合题意，舍去． 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．1．函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图象是( )解析：选B.由函数f (x )的值域为R ，可以排除C ，D ，当x >1时，f (x )＝lg(x －1)在(1，＋∞)上单调递增，排除A ，选B.2．若不等式x 2－log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：只需f 1(x )＝x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上的图象恒在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当a >1时，显然不成立； 当0<a <1时，如图所示，要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上恒成立，只需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得a ≥116，所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 解对数方程、不等式(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．【解析】 (1)原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (－a )＝log 12a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝log 12(－a )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1.所以方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}． 【答案】 (1)x ＝5 (2){1，－1}【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________． 解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎨⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)对于形如log a f (x )>b 的不等式，一般转化为log a f (x )>log a a b ，再根据底数的范围转化为f (x )>a b 或0<f (x )<a b .而对于形如log a f (x )>log b g (x )的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．角度二 对数函数性质的综合应用已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．【解】 (1)因为a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立． 所以3－2a >0.所以a <32.又a >0且a ≠1，所以a ∈(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(2)t (x )＝3－ax ，因为a >0， 所以函数t (x )为减函数．因为f (x )在区间[1，2]上为减函数， 所以y ＝log a t 为增函数，所以a >1，当x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a （3－a ）＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．1．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[)1，2.2．已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若f (－1)＝－3，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数？若存在，求出a 的范围；若不存在，说明理由．解：(1)由f (－1)＝－3，得log 12(4＋2a )＝－3.所以4＋2a ＝8，所以a ＝2. 则f (x )＝log 12(x 2－4x ＋3)，由x 2－4x ＋3>0，得x >3或x <1.故函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．令μ＝x 2－4x ＋3，则μ在(－∞，1)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增． 又y ＝log 12μ在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )的单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是(3，＋∞)． (2)令g (x )＝x 2－2ax ＋3，要使f (x )在(－∞，2)上为增函数，应使g (x )在(－∞，2)上单调递减，且恒大于0.因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，g （2）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，7－4a ≥0，a 无解．所以不存在实数a ，使f (x )在(－∞，2)上为增函数．比较指数式、对数式的大小(师生共研)(1)(2021·广州调研)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，b ＝log 23，c ＝log 46，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >c >bB ．a <b ＝cC ．a >b >cD ．a <c <b(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【解析】 (1)a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，b ＝log 23>log 22＝1，c ＝log 46>log 44＝1，所以a 为三者中的最小值．由于 c ＝log 46＝12log 26＝log 26<log 23＝b ，所以a <c <b .故选D.(2)因为45＝log 8845，b ＝log 85，(845)5＝84>55，所以845>5，所以45＝log 8845>log 85＝b ，即b <45.因为45＝log 131345，c ＝log 138，(1345)5＝134<85，所以1345<8，所以45＝log 131345<log 138＝c ，即c >45.又2 187＝37<55＝3 125，所以lg 37<lg 55，所以7lg 3<5lg 5，所以lg 3lg 5<57，所以a ＝lg 3lg 5<57<45，而85<57，所以5lg 8<7lg 5，所以lg 5lg 8>57，所以b ＝lg 5lg 8>57，所以c >b >a .【答案】 (1)D (2)A(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.1．(2020·六校联盟第二次联考)设a ＝log 30.4，b ＝log 23，则( ) A ．ab >b 且a ＋b >0 B ．ab <0且a ＋b >0 C ．ab >0且a ＋b <0D ．ab <0且a ＋b <0解析：选 B.因为－1＝log 313<log 30.4<log 31＝0，所以a ∈(－1，0)，b ＝log 23>log 22＝1，所以ab <0，a ＋b >0，选B.2．(2020·全国统一考试(模拟卷))若a >b >c >1且ac <b 2，则( ) A ．log a b >log b c >log c a B ．log c b >log b a >log a c C ．log b c >log a b >log c aD ．log b a >log c b >log a c解析：选B.因为a >b >c >1，所以log a b <log a a ＝1，log b c <log b b ＝1，log c a >log c c＝1，排除选项A ，C ；log a b －log b c ＝lg b lg a －lg c lg b ＝（lg b ）2－lg a lg clg a lg b，因为lg a lgc <⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg c 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg ac 22<⎝ ⎛⎭⎪⎫lg b 222＝(lg b )2，所以（lg b ）2－lg a lg c lg a lg b >0，所以log a b >log b c ，所以log c b >log b a ，排除选项D.所以选B.3．已知函数f (x )＝|x |，且a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 32 ，b ＝f (log 213)，c ＝f (2－1)，则a ，b ，c的大小关系为( )A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选A.ln 32<ln e ＝12，log 23>12， 所以log 23>12>ln 32.又f (x )是偶函数，在(0，＋∞)上为增函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<f (log 23)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 213，所以a <c <b .[学生用书P33]思想方法系列5 数形结合法在对数函数问题中的应用 设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝0 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1【解析】 作出y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|的大致图象，如图． 显然x 1<0，x 2<0.不妨令x 1<x 2， 则x 1<－1<x 2<0，所以10 x 1＝lg(－x 1)，10 x 2＝－lg(－x 2)， 此时10x 1<10 x 2，即lg(－x 1)<－lg(－x 2)， 由此得lg(x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1，故选D. 【答案】 D一些对数型函数、方程、不等式问题的求解，需转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解．设实数a ，b 是关于x 的方程|lg x |＝c 的两个不同实数根，且a <b <10，则abc 的取值范围是________．解析：由题意知，在(0，10)上，函数y ＝|lg x |的图象和直线y ＝c 有两个不同交点，所以ab ＝1，0<c <lg 10＝1，所以abc 的取值范围是(0，1)．答案：(0，1)[学生用书P283(单独成册)][A 级 基础练]1．函数y ＝log 3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2] B ．[1，2) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 3（2x －1）≥log 313，x >12，解得x ≥23.2．(2020·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c的大小关系是( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．c <b <a解析：选B.a ＝4－12＝1412＝12，b ＝log 1213＝log 23>log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.3．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )解析：选A.易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D. 当x >32时，函数为减函数； 当x <32时，函数为增函数，所以选A. 4．若0<a <1，则不等式1log a x >1的解是( )A ．x >aB ．a <x <1C ．x >1D ．0<x <a解析：选B.由题意知0<log a x <1，又0<a <1，所以a <x <1.5．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是 ( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以1<a <2.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.6．已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________．解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178.答案：1787．已知2x ＝72y＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是________．解析：由2x ＝72y＝A 得x ＝log 2A ，y ＝12log 7A ，则1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A 98＝2，A 2＝98.又A >0，故A ＝98＝7 2. 答案：7 28．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________．解析：因为f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m <n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意．那么n m ＝3÷13＝9.同理．若log 3n＝2，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得nm ＝9.答案：99．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，且a ≠1)，所以a ＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得－1<x <3， 所以函数f (x )的定义域为(－1，3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]， 所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2. 10．已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)． (1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域； (3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4，2)， 可得log a 4＝2，解得a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)， 由1－x ＞0且1＋x ＞0，解得－1＜x ＜1， 可得g (x )的定义域为(－1，1)． (3)g (x )＝log 2(1－x 2)，由t ＝1－x 2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减， 且y ＝log 2t 在(0，＋∞)上单调递增， 可得函数g (x )的单调减区间为(0，1)．[B 级 综合练]11．(2020·高考全国卷Ⅰ)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A ．a >2b B ．a <2b C ．a >b 2D ．a <b 2解析：选B.方法一：令f (x )＝2x ＋log 2x ，因为y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增．又2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 2(2b )，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .故选B.方法二：(取特值法)由2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝4b ＋log 2b ，取b ＝1，得2a ＋log 2a ＝4，令f (x )＝2x ＋log 2x －4，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)<0，f (2)>0，所以f (1)f (2)<0，f (x )＝2x ＋log 2x －4在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以1<a <2，故a >2b ＝2，a <b 2都不成立，排除A ，D ；取b ＝2，得2a ＋log 2a ＝17，令g (x )＝2x ＋log 2x －17，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (3)<0，g (4)>0，所以g (3)g (4)<0，g (x )＝2x ＋log 2x －17在(0，＋∞)上存在唯一的零点，所以3<a <4，故a >b 2＝4不成立，排除C.故选B.12．已知x 1＝log 132，x 2＝2－12，x 3满足⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＝log 3x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 1<x 3D ．x 3<x 1<x 2解析：选A.由题意可知x 3是函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3x 的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y 2＝log 3 x 的图象，如图所示，由图象可知x 3>1，而x 1＝log 132<0，0<x 2＝2－12<1，所以x 3>x 2>x 1.故选A.13．设函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，若n －m 的最小值为13，则实数a 的值为________．解析：作出y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的大致图象如图所示，令|log a x |＝1.得x ＝a 或x ＝1a ，又1－a －⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＝1－a －1－a a ＝（1－a ）（a －1）a ＜0，故1－a ＜1a －1，所以n －m 的最小值为1－a ＝13，a ＝23.答案：2314．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1.解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1， 解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，115．已知函数f (x )＝lgx －1x ＋1.(1)计算：f (2 020)＋f (－2 020)；(2)对于x ∈[2，6]，f (x )<lg m （x ＋1）（7－x ）恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由x －1x ＋1>0，得x >1或x <－1.所以函数f (x )的定义域为{x |x >1或x <－1}．又f (x )＋f (－x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －11＋x ·－x －11－x ＝0，所以f (x )为奇函数． 所以f (2 020)＋f (－2 020)＝0.(2)当x ∈[2，6]时，f (x )<lg m （x ＋1）（7－x ）恒成立可化为x －11＋x<m （x ＋1）（7－x ）恒成立， 即m >(x －1)(7－x )在[2，6]上恒成立．又当x ∈[2，6]时，(x －1)(7－x )＝－x 2＋8x －7＝－(x －4)2＋9.所以当x ＝4时，[(x －1)(7－x )]max ＝9，所以m >9.即实数m 的取值范围是(9，＋∞)．[C 级 提升练]16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称，而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝k x (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f(x)＝kx(k≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k>0时，f(x)＝kx(k≠0)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k<0时，f(x)＝kx(k≠0)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f(x)＝kx(k≠0)是奇函数，但不是周期函数．。
人教A版2019届高中数学选修2-1专题特色训练01：解密命题充分必要性之含参问题_含答案
专题01 解密命题充分必要性之含参问题一、选择题1．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2017-2018学年高二上学期期中考】若“01x ≤≤”是“()(20x a x a ⎡⎤--+<⎣⎦）”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A . ][01,)-∞⋃+∞（，B . []1,0-C . ()1,0-D . ()(),10,-∞-⋃+∞【答案】C点睛：设,p q 对应的集合分别为,A B ，则有以下结论： （1）若p q 是的充分条件，则A B ⊆； （2）若p q 是的充分不必要条件，则A B ；（3）若p q 是的充要条件，则A B =。
根据所给的命题间的充分必要性求参数的取值范围时，要学会根据以上结论将问题转化成集合间的包含关系去处理。
2．【上海市浦东新区2017-2018学年第一学期高三期中】若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，分别是1x 、2x ，则“12122{1x x x x +>>”是“两根均大于1”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要.【答案】B【解析】若121,1x x >>，则12122{ 1x x x x +>>，但是1214,2x x ==,满足12122{ 1x x x x +>>，但不满足121,1x x >>。
所以是必要不充分条件。
选B . 【点睛】若p q ⇒，则p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件，若存一个0p ，使p 成立，但q 不成立，则p 不是q 的充分条件，q 也不是p 的必要条件。
3．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 （ ）A .B .C .D .【答案】B【解析】由题意可得q :x <-1或x >2,由是的充分不必要条件，得，选B .4．【江西省横峰中学、铅山一中、德兴一中2018届高三上学期第一次月考】“不等式x 2－x ＋m >0在R 上恒成立”的一个必要不充分条件是( )A . m >B . m >0C . 0<m <1D . m >1【答案】B5．【江西省抚州市临川区第一中学2017-2018学年高二上学期第一次月考】函数()2log ,0{ 2,0xx x f x a x >=-+≤有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）A .112a << B . 102a << C . 0a < D . 0a ≤或1a > 【答案】C【解析】∵当0x ＞ 时， 1x = 是函数f x （） 的一个零点； 故当0x ≤ 时， 20x a -+＜ 恒成立；即2x a ＜ 恒成立，故0a ＜； 故选C ．6．【山东省淄博市淄川中学2018届高三上学期第一次月考】已知m ∈R ，“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的（ ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数y =2x+m ﹣1有零点，则： 12x m =-存在实数解，即函数12xy =-与函数y m =有交点，据此可得： 1m <，函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数，则01m <<,据此可得：“函数y =2x+m ﹣1有零点”是“函数y =log m x 在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件. 本题选择B 选项.7．【福建省2018届数学基地校高三毕业班总复习】“1a =- ”是“函数()f x x a =+ 在[)3,+∞ 上单调增函数”的 ( )．A . 充分非必要条件.B . 必要非充分条件.C . 充要条件.D . 既非充分也非必要条件.【答案】A点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒ q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒ q 与非q ⇒非p ， q ⇒ p 与非p ⇒非q ， p ⇔ q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆ B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件． 8．【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】若“”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）A .B .C .D .【答案】D 【解析】∵函数 的图象不过第三象限，∴m ﹣≥﹣1，解得m ≥﹣．∵“m ＞a ”是“函数 的图象不过第三象限”的必要不充分条件，3∴a ＜﹣．则实数a 的取值范围是．故选：D ． 点睛： 函数的图象不过第三象限，可得：m ﹣≥﹣1，解得m 范围．由“m ＞a ”是“函数的图象不过第三象限”的必要不充分条件，即可得出．9．【贵州省遵义市第四中学2018届高三上学期第一次月考】“1a ≤”是“函数()241f x x ax =-+在区间[)4,+∞上为增函数”的( ) A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件【答案】A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据二次函数的单调性求出a 的取值范围是解决本题的关键． 二、填空题10．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中，选出恰当的一种填空：“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的_____． 【答案】充要条件【解析】当0a =时，函数()2f x x =是偶函数，反过来函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数，则()()()222f x x ax x ax f x x ax -=--=-==+ ，则0ax =对x R ∈恒成立，只需0a =，则“a =0”是“函数f （x ）=x 2+ax （x ∈R ）为偶函数”的充要条件.11．【江苏省盐城市阜宁中学2017-2018学年高二上学期第一次学情调研】“0m >”是方程2x x m +-=有实根的________条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既非充分也非必要”) 【答案】充分不必要【解析】由方程20x x m +-=有实根，得：0≥，即14m 0+≥，解得： 1m 4≥-“0m >”显然能推得“1m 4≥-”，但“1m 4≥-”推不出“0m >”∴“0m >”是方程20x x m +-=有实根的充分不必要条件12．【江苏省常州市横林高级中学2017~2018学年第一学期月考】若()f x 是R 上的增函数，且()()14,22f f -=-=，设(){}|13P x f x t =++<， (){}|4Q x f x =<-，若“x P ∈”是“x Q ∈的充分不必要条件，则实数的取值范围是_____________． 【答案】()3,+∞13．【甘肃省武威市第六中学2018届高三上学期第二次阶段性过关考】设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a ≠， q ：实数x 满足2260{ 280x x x x --≤+->，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________； 【答案】(]1,2【解析】P 为真时， 22{|430},A x x ax a =-+<当a >0时， {},3A a a =；当a <0时， {}3,A a a =.Q 为真时， {}2260{|{ }2,3280x x B x x x --≤==+->.因为p 是q 的必要不充分条件，则A B ⊇≠，所以当a >0时，有2{33a a≤<，解得12a <≤；当a <0时，显然A B ⋂=∅，不合题意. 综上所述：实数a 的取值范围是(]1,2.14．【江苏省连云港市2016-2017学年高二下学期期末】已知“()()23x t x t ->-”是“2340x x +-<”成立的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是_________. 【答案】(][),71,-∞-⋃+∞ 【解析】记()(){}()(){}2330{|P x x t x t x x t x t x x t =--=---=<或3}x t >+{}()(){}{}2|340|410|41Q x x x x x x x x =+-<=+-<=-<<， p 是q 成立的必要不充分条件，即等价于Q P ≠⊂，所以34t +≤或1t ≥，解得7t ≤-或1t ≥，所以m 的取值范围是(][),71,-∞-⋃+∞.三、解答题15．【山东省邹平双语学校二区2017-2018学年高二上学期第一次月考】已知命题p ：x ∈A ，且A ={x |a ﹣1＜x ＜a +1}，命题q ：x ∈B ，且B ={x |x 2﹣4x +3≥0} （Ⅰ）若A ∩B =∅，A ∪B =R ，求实数a 的值； （Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）（﹣∞，0]∪[4，+∞）．【解析】试题分析：首先化简集合B ，根据A ∩B =∅，A ∪B =R ，说明集合A 为集合B 在R 下的补集，根据要求列出方程求出a ,第二步从集合的包含关系解决充要条件问题，p 是q 的充分条件说明集合A 是集合B 的子集，根据要求列出不等式组，解出a 的范围.16．【山东省菏泽第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知224:8200,:1p x x q x m --≤≤-. （1）若p 是q 的必要不充分条件，求m 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求m 的取值范围.【答案】（1）⎡⎣（2）][(),33,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：首先分别求出命题p 与q 所表示的范围，再根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系，其中（2）利用互为逆否命题，可转化为p 是q 的充分不必要条件，再求m 的范围。
最新-黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三上学期期中
哈尔滨市第六中学2018-2018学年度上学期期中考试高三理科数学试题满分150分 时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合},,|{},3,2,1{A b a b a x x B A ∈-===，则B A 中元素的个数为（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 2．若i z 21-=，则=-iz z 41（ ） A. 1 B. 1- C. i - D. i3．过点)3,1(且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为( )A.052=-+y xB. 012=+-y xC. 052=-+y xD.052=+-y x)2(-⊥，则|2|b a +为（ ）5. 已知数列}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S 公比0q >，43222,22a S a S =+=+，则=6a （ ）A. 16B. 32C. 64D. 1286. 已知实数y x ,表示的平面区域C ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20103x y x y x ，则52-+=y x z 的最小值为（ ）A.1-B.0C.2-D.5- 7.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，a e x f x-=2)(，若)(x f 是R 上的增函数，则实数a 的最大值( )A. 1B. 2C. 0D. 1- 8.已知函数)0(ln )(>+=a ax x x f 在1=x 处的切线与两坐标轴围成的面积为41，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 2C. 21D.41 9.已知函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<≠+=x x f ,ωπ4-=x 是函数的零点，)(x f 在]2,2[ππ-上单调递减，则ω的取值范围为（ ）αθCBAC 1B 1A 1A. 210≤<ω B. 021<≤-ω C. 023<≤-ω D. 230≤<ω10.已知四棱锥ABCD P -的顶点都在球O 的球面上，底面ABCD 是边长为2的正方形，且侧棱长都相等，若四棱锥的体积为316，则该球的表面积为（ ） A.332π B. 481π C. π9 D. 16243π11.已知在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠120BAC ，2,11===AA AC AB ，若棱1AA 在正视图的投影面α内，且AB 与投影面α所成角为θ()︒≤≤︒6030θ，设正视图的面积为m ，侧视图的面积为n ，当θ变化时，mn 的最大值是（ ）A.32B.4C.33D.2412.已知以4=T 为周期的函数⎪⎩⎪⎨⎧∈---∈-=]3,1(|),2|1(]1,1(,1)(2x x m x x x f ，其中0>m ，若函数x x f x g -=)(3)(恰有5个不同零点，则实数m 的取值范围为（ ） A.)38,2( B. )2,32( C. )310,2( D. )38,34( 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13. 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若9,100510==a S ，则_______100994321=-++-+-S S S S S S .14.在△ABC 中，角C B A ,,的对边为,,a b c ，若32,2,cos 1)cos(==-=-b c a B C A ，则△ABC 的面积为15．已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则aba b 24+的最小值___________.16．平面⊥ABCD 平面DCS ，平面ABCD 是边长为2的正方形，CDS ∆为边长为2的等边三角形，过CD 的平面与棱SBSA ,分别交于F E ,两点，G 为AB 中点，下列结论正确的是_____________.（1）AB //EF ； （2）EF SG ⊥； （3）SA 与平面ABCDFEG ABDCSDAPBEC所成的角正切值为315；（4）BC 与SA 所成的角为45；（5）三棱锥ADE F -体积的最大值为63. 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，)3sin(23π+=B a c（I ）求角A 的大小；（II ）若3,2==a bc ，求C B sin sin +的值.18．（本小题满分12分）四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，︒=∠60BCD ，E 是CD 中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA（I ）证明：平面⊥PBE 平面PAB ；（II ）求直线PC 与平面PBE 所成的角的正弦值.19.（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足*∈=++++++-N n n a a a n n ,3313111121 . （I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设11++=n n n n a a a b ，求数列{}n b 的n 项和数列n S .20．（本小题满分12分）如图，侧棱和底面垂直的三棱柱111C B A ABC -中，2==BC AC ，221=AA ，点D 是AB 的中点.（I ）求证：//1BC 平面D CA 1；（II ）若C A 1与AB 所成角为︒60，在棱AB 上是否存在异于端点B A ,的C 1B 1A 1DCBA点P ，使得二面角P C A A --1的余弦值为1122，若存在，指出点P 位置，若不存在说明理由.21.（本小题满分12分） 已知函数1)2()(--=x e x x f . （I ）求函数ex ex x f x F +-=221)()(的单调区间和极值； （II ）若1≥x 时，a x x a x x x f +--≥++-))(ln 1(2321)(2恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=，直线2C 的极坐标方程为1sin =θρ，射线ϕθ=，]),0[(4πϕϕπθ∈+=与曲线1C 分别交异于极点O 的两点B A ,.（I ）把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程，并求直线2C 被曲线1C 截得的弦长； （II ）求22||||OB OA +的最小值.23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数|1||12|)(-+-=x a x x f（I ）当1=a 时，解关于x 的不等式4)(≥x f ；（II ）若|2|)(-≥x x f 的解集包含]2,21[，求实数a 的取值范围.高三理科数学答案 一、选择题：1、B2、C3、A4、D5、C6、D7、A8、A9、B 10、B 11、C 12、C 二、填空题：13、5050- 14、32 15、5 16、（1）（2）（4）（5）三、解答题：17：（1）)3sin(sin 2)sin(3π+=+B A B AB A A B A B A cos sin 3sin sin cos 3cos sin 3+=+∴B A B A sin sin sin cos 3=∴ 0s i n ≠B 3t a n =∴A),0(π∈A 3π=∴A ——————————————————————4分（2）bc c b A bc c b a 3)(cos 22222-+=-+= 3=+∴c b ——————————7分又2sin 2==AaR ————————————————————————9分 232s i n s i n=+=+∴R c b C B ——————————————————————12分18：（1）证明略——————————————————————————————4分 （2）3535——————————————————————————————12分 19：（1）)2(3311≥=-+n a n n )2(13≥-=n a n n 21=a 符合上式 13-=∴nn a ———6分 （2）)131131(21)13)(13(311---=--=++n n n n n n b )13(21411--=+n n S ———12分 20：（1）证明略——————————————————————————————4分（2）P 为AB 中点———————————————————————————12分21（I ）ex ex x f x F +-=221)()( ))(1()('1e e x x F x --=-，0))(1()('1=--=-e e x x F x得2,1==x x),2(),1,(+∞-∞是单调递增的，)2,1(是单调递减的——————————5分当1=x 取得极小值12-e，当2=x 时，得极大值0 （II ）a x x a x x x f x g ----++-=])[ln 1(2321)()(2)1()1()('1-+--=-a x xe xx x g x ，1)(1-+-=-a x xe x u x ————————7分01)1()('1>-+=-x e x x u ，1)1(1)(1-=≥-+-=-a u a x xe x u x（1）101≥⇒≥-a a 时，0)('≥x g ，)(x g 单增，0)1()(=≥g x g ———————9分 （2）101<⇒<-a a 时，存在0)(',000==x g x ，则),1(0x x ∈，)(x g 单减，0)1()(=<g x g 与0)(≥x g 矛盾，——————————————11分所以1≥a ————————————12分22.极坐标与参数方程（1）2)1()1(:221=-+-y x C 1:2=y C —————————————————4分 （2）)4sin(22πϕ+=OA ϕπϕπc o s 22)44s i n (22=++=OB ——6分 8)42sin(24)2cos 1(4)]22cos(1[4cos 8)4(sin 82222++=+++-=++=+πϕϕπϕϕπϕOB OA ———8分]49,4[42],0[πππϕπϕ∈+∴∈ 22OB OA +∴的最小值为248-——————10分不等式选讲（1）),2[]32,(+∞⋃--∞——————————————————————————4分 （2） x x a 331-≥-∴对]2,21[∈x 恒成立121<≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3≥∴a 21≤≤x 时，x x a 33)1(-≥- 3-≥∴a综上：3≥a ————————————————————————————————10分。
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第六章 6.3等比数列-(学生版+教师版)
等比数列1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( )2、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2 D.123、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．644、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________．5、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 无题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.18(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )A ．1 008B ．2 016C ．2 032D ．4 032【同步练习】 (1)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________.(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 题型二 等比数列的判定与证明例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．引申探究若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式．【同步练习】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．(4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题型三 等比数列性质的应用例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________. 【同步练习】(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18 C.578 D.558题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 一、等比数列的证明(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 22．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23 D.23或－233．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．154．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5等于( )A ．32B ．62C ．27D ．815．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()＋＋a a a 的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.156．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( ) A.12B.32 C ．1 D ．－327．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________.8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________.10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．12．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .等比数列1、判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × )(2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( × )(3)如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( × )(4)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )2、已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( ) A ．－12B ．－2C ．2D.12答案 D解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12. 3、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )A ．31B ．32C ．63D ．64答案 C解析 根据题意知，等比数列{a n }的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S 4－S 2)2＝S 2·(S 6－S 4)，即122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.故选C.4、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则插入的两个数分别为________． 答案 27,81解析 设该数列的公比为q ，由题意知，243＝9×q 3，q 3＝27，∴q ＝3.∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.5、设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0.∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q ·1－q a 1(1－q 2)＝1－q 51－q 2＝1－(－2)51－4＝－11. 无题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12 D.18(2)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4等于( )A ．1 008B ．2 016C ．2 032D ．4 032答案 (1)C (2)B解析 (1)由{a n }为等比数列，得a 3a 5＝a 24，又a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则由a 4＝a 1q 3，得2＝14q 3，解得q ＝2， 所以a 2＝a 1q ＝12.故选C. (2)由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2 046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30， 所以S 10－S 4＝2 016.故选B.思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【同步练习】(1)已知等比数列{a n }的首项a 1＝1，且a 2，a 4，a 3成等差数列，则数列{a n }的公比q ＝________，数列{a n }的前4项和S 4＝________.(2)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.答案 (1)1或－12 4或58(2)3n －1 解析 (1)由a 2，a 4，a 3成等差数列得2a 1q 3＝a 1q ＋a 1q 2，即2q 3＝q ＋q 2，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，S 4＝4a 1＝4，当q ＝－12时，S 4＝1－(－12)41－(－12)＝58.(2)由3S 1,2S 2，S 3成等差数列知，4S 2＝3S 1＋S 3， 可得a 3＝3a 2，所以公比q ＝3， 故等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 题型二 等比数列的判定与证明 例2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 由a 1＝1及S n ＋1＝4a n ＋2， 得a 1＋a 2＝S 2＝4a 1＋2.∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 又⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1＋2(n ≥2)， ② 由①－②，得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)(n ≥2)． ∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1(n ≥2)， 故{b n }是首项b 1＝3，公比为2的等比数列．(2)解 由(1)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 故{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列． ∴a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，故a n ＝(3n －1)·2n －2.引申探究若将例2中“S n ＋1＝4a n ＋2”改为“S n ＋1＝2S n ＋(n ＋1)”，其他不变，求数列{a n }的通项公式． 解 由已知得n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n .∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1＋1，∴a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ≥2，又a 1＝1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋2，a 2＝3，当n ＝1时上式也成立，故{a n ＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1.【同步练习】1、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：{a n ＋12}是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3(a n ＋12)． 又a 1＋12＝32， 所以{a n ＋12}是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32(1－13n )<32， 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1.3．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列． 5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q. 6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .【知识拓展】等比数列{a n }的单调性(1)满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列． (2)满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列． (4)当q <0时，{a n }为摆动数列．题型三 等比数列性质的应用例3 （1）若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝________. 答案 (1)50 (2)34解析 (1)因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln [(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.(2)方法一 ∵S 6∶S 3＝1∶2，∴{a n }的公比q ≠1.由a 1(1－q 6)1－q ÷a 1(1－q 3)1－q＝12，得q 3＝－12， ∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 方法二 ∵{a n }是等比数列，且S 6S 3＝12，∴公比q ≠－1， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34. 【同步练习】(1)已知在等比数列{a n }中，a 1a 4＝10，则数列{lg a n }的前4项和等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1(2)设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A.18 B ．－18 C.578 D.558答案 (1)C (2)A解析 (1)前4项和S 4＝lg a 1＋lg a 2＋lg a 3＋lg a 4＝lg(a 1a 2a 3a 4)，又∵等比数列{a n }中，a 2a 3＝a 1a 4＝10， ∴S 4＝lg 100＝2.(2)因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且公比不等于－1，在等比数列中，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以有8(S 9－S 6)＝(－1)2，S 9－S 6＝18，即a 7＋a 8＋a 9＝18. 题型四 分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (15分)已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：S n ＋1S n ≤136(n ∈N *)． 思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n 项和，根据函数的单调性证明．规范解答(1)解 设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12. [3分]又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . [5分] (2)证明 由(1)知，S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ， S n ＋1S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n (2n －1)，n 为偶数. [8分]当n 为奇数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136. [11分]当n 为偶数时，S n ＋1S n随n 的增大而减小， 所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512. [13分]故对于n ∈N *，有S n ＋1S n ≤136（n ∈N *）. [15分]一、等比数列的证明 (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n ＝1时的情况进行验证．二、等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形；(2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7等于( )A ．4B ．6C ．8D ．8－4 2答案 C解析 在等比数列中，a 3a 7＝a 25，a 2a 6＝a 3a 5，所以a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝(2－1＋2＋1)2＝(22)2＝8.2．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( )A.32B.23 C ．－23 D.23或－23答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23. 又a 1<0，因此q ＝－23. 3．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15答案 C解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14，故选C.4．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5等于( )A ．32B ．62C ．27D ．81答案 B解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，由a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，得a 2＋a 5＝2(a 4＋2)，即2q ＋2q 4＝2(2q 3＋2)，(q －2)(1＋q 3)＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴S 5＝2(1－25)1－2＝62，故选B. 5．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则的值是( )A ．－15B ．－5C ．5 D.15答案 B解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以＝＝－5.6．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为() A.12 B.32C ．1D ．－32答案 B解析 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以 15793log ()＋＋a a a 15793log ()＋＋a a a 513log 3π343.＝alog 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝＝7π3，所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. 7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝________. 答案 4解析 因为⎩⎪⎨⎪⎧3S 3＝a 4－2， ①3S 2＝a 3－2， ② 由①－②，得3a 3＝a 4－a 3，即4a 3＝a 4，则q ＝a 4a 3＝4. 8．设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝________. 答案 150解析 依题意，知数列{a n }的公比q ≠－1，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，故S 40－S 30＝80，S 40＝150.9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝1(n ∈N *)，则通项a n ＝________. 答案 12n解析 ∵a n ＋S n ＝1，① ∴a 1＝12，a n －1＋S n －1＝1(n ≥2)， ② 由①－②，得a n －a n －1＋a n ＝0，即a n a n －1＝12(n ≥2)， ∴数列{a n }是首项为12，公比为12的等比数列， π337log 3则a n ＝12×(12)n －1＝12n . 10．已知数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝________. 答案 1 024解析 ∵b 1＝a 2a 1＝a 2，b 2＝a 3a 2， ∴a 3＝b 2a 2＝b 1b 2，∵b 3＝a 4a 3， ∴a 4＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2b 3·…·b n －1，∴a 21＝b 1b 2b 3·…·b 20＝(b 10b 11)10＝210＝1 024.11．已知{a n }是等差数列，满足a 1＝3，a 4＝12，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝20，且{b n －a n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列的公差为d ，由题意得d ＝a 4－a 13＝12－33＝3， 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3n (n ∈N *)．设等比数列{b n －a n }的公比为q ，由题意得q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝20－124－3＝8，解得q ＝2. 所以b n －a n ＝(b 1－a 1)q n －1＝2n －1.从而b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝3n ＋2n －1(n ∈N *)，数列{3n }的前n 项和为32n (n ＋1)， 数列{2n －1}的前n 项和为1×1－2n1－2＝2n －1. 所以数列{b n }的前n 项和为32n (n ＋1)＋2n －1. 12．已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由题意，得a 2＝12，a 3＝14. (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12. 故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 因此a n ＝12n －1. 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ；(2)求T 2n .解 (1)∵a n ·a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ，∴a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1，∴a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . ∵b n ＝a 2n ＋a 2n －1，∴b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， ∵a 1＝1，a 1·a 2＝12， ∴a 2＝12⇒b 1＝a 1＋a 2＝32. ∴{b n }是首项为32，公比为12的等比数列． ∴b n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1＝32n . (2)由(1)可知，a n ＋2＝12a n ， ∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝3－32n .。
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。
广东省东莞市东城街道2025届数学六年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题含解析
广东省东莞市东城街道2025届数学六年级第一学期期末质量跟踪监视模拟试题 注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题。
(选择正确答案的序号填在括号内。
每小题2分，共10分）1．下面是六年级一班某天的出勤情况统计图。
已知全班共有40人,请事假的有2人,这一天出勤( )人。
A ．36B ．342．从垂虹小区去星星超市的班车，每隔一段相等的时间就会发车。
已经知道上午9：15、10：00和10：45发车，那么下面哪个时间也会发车。
（ ）A ．11：15B ．12：45C ．14：00D ．14：303．在比例尺是100∶1的图纸上，量得零件的长是50毫米，零件的实际长度是（ ）毫米。
A ．5B ．50C ．500D ．50004．x 和y 是两种相关联的量，下面四个等式中，x 和y 不成比例的是（ ）A ．x ﹣2y ＝0B ．C ．0.6x ＝D ．（x+y ）×2＝10 5．11a 是最大的真分数，那么a 的值是（ ） A ．11B ．1C ．10 二、填空题。
(每小题2分，共28分）6．三角形三个角的度数比是1∶2∶3，这个三角形最大的角是（_____）°7．甲、乙、丙三人储蓄钱数之比是1：3：4，他们储蓄钱数的平均数是32元，乙储蓄了（_____）元．8．一个正方体的棱长是5厘米，它的一个面的面积是（_________）平方厘米，它的表面积是（_________）平方厘米。
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三上学期线上考试(2)数学试题(含答案解析)
黑龙江省哈尔滨市第六中学校2023届高三上学期线上考试（2）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数52i12i 1iz =+++，则z 的值为（）A ．1BC D ．22．已知集合{}Z 12A x x =∈-≤，{}1,3,B a =，若A B B = ，则实数a 的取值集合为（）A ．{}1,1,0,2-B ．{}1,0,2-C ．{}1,1,2-D ．{}0,23．已知2π4cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．35B ．35-C ．15D ．15-4．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为点A ，且与另一条渐近线交于点B ，若BA AF =，则双曲线的离心率为（）ABC ．2D 5．已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，若()()e xf xg x +=，则()f x 的最小值为（）A ．0B ．1C ．2D6．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现恰有40人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于120，其余39人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A ．17B ．18C ．19D ．207．过点()1,0P 可以作曲线()e x f x x =的两条切线，切点的横坐标分别为m ，n ，则22m n +A ．1B ．2CD ．38．已知()()1e 2xf x a x x =+-，若有且只有两个整数解使()0f x <成立，则实数a 的取值范围为（）A ．3234,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭e e B ．241,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭e e C ．3234,23⎛⎤ ⎥⎝⎦e e D ．241,3⎛⎤ ⎥⎝⎦e e 二、多选题9．已知函数()2sin(2)f x x ωϕ=+π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，函数()f x 图象关于直线π6x =对称，且满足函数()f x 在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递减，则（）A ．π12ϕ=B ．1ω=C ．5π12ϕ=-D ．2ω=10．数列{}n a 满足12a =，()*11112,11N n n n n a a --=≥∈--，则下列结论正确的有（）A ．11n a n=+B ．数列1n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的和为21nn n ++C ．若数列271n n b a =--，则数列1231058b b b b ++++= D ．数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最小项11．如图，三棱锥S －ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，过点B 且与AC 平行的平面α分别与棱SA 、SC 交于E ，F，若SA SC BA BC ====，AC =的为（）A ．三棱锥S －ABC 中的外接球表面积为16πB ．//EF ACD ．SC BF⊥12．已知圆O ：224x y +=内一点()1,0P ，点()()2cos ,3sin R Q θθθ∈，则下列结论正确的是（）A ．过P 被圆截得的最短弦长为B ．过Q 做圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，过A ，B 的直线分别交x 轴，y 轴于M ，N 两点，则OMN 的面积最小值为83C ．过P 作两条互相垂直的弦与圆O 的交于四点，这四点构成四边形的面积的最大值为D ．PQ 的最小值为1三、填空题13．平面向量,a b满足2,1a b == ，()4a a b ⊥- ，则2a b + 的值为______.14．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝2xy ，则1y xy+的最大值为______.15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若点()1,2M -，则MAB △的面积的值为______.16．正四棱锥P －ABCD 中，PA ＝4，AB =，E 为PA 上动点，F 为BC 上动点，则EF 的最小值为______.四、解答题17．已知直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为正三角形，14AB AA ==，点E 在棱1C C 上，且13C E EC =，1B F ⊥平面AEF .(1)求证：F 为BC 的中点；(2)求二面角1B AE F --的余弦值.18．已知数列{}n a 满足1123333n n nn a a a n -+++=⋅ .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令()()111nn n n a b a a +=++，设{}n b 的前n 项和为n S ，若n m S >对*N n ∈恒成立，求实数m 的取值范围.19．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 到一条渐近线的距离为1，点()0,P b ，且122cos 3F PF ∠=-.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线:l y x t =+与双曲线C 交于,A B 两点（异于点P ），且直线,PA PB 的斜率之和为65，求直线l 的方程.20．锐角在ABC 中，设边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且222cos 2cos c b ac B ab C -=-.(1)求证：ABC 为等腰三角形；(2)若2sin a C =，求22a b +的取值范围.21．已知长度为3的线段AB 的两个端点分别在x 轴和y 轴上运动，动点P 满足2BP PA =，记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线():,0l y kx m k =+>与椭圆C 交于E ，F 两点，O 为坐标原点，若OE OF ⊥，求EF 最大值，及EF 取最大值时直线l 的方程.22．已知函数()()1e 1xf x x =-+.(1)证明：()2102f x x +≥；(2)若0x ≥时，()()ln 1f x mx x ≥+恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案：1．C【分析】先得z 的代数形式，后由复数模的计算公式可得答案.【详解】()()()()()()512i 2i 1i 52i12i+i+1=2i 12i 1i 12i 12i 1i 1i z --=+=+=--+++-+-，则z ==.故选：C 2．B【分析】首先求集合A ，再根据集合的包含关系求a 的取值集合.【详解】1221213x x x -≤⇔-≤-≤⇔-≤≤，又Z x ∈，所以{}1,0,1,2,3A =-，{}1,3,B a =，若A B B = ，则B A ⊆，根据集合的互异性可知，1a =-或0或2.则实数a 的取值集合为{}1,0,2-.故选：B 3．B【分析】利用降幂公式，化简求值.【详解】2π1cos 2π1sin 242cos 4225ααα⎛⎫++ ⎪-⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭，解得：3sin 25α=-.故选：B 4．C【分析】设出过右焦点垂直于渐近线的直线AB ：()ay x c b=--，与垂直的渐近线联立得到点A 的坐标，再根据BA AF =得到点B 的坐标，利用点B 在另一条渐近线上得到224c a =，进而求出离心率.【详解】由题意知：双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为：b y x a =±，不妨设过右焦点垂直于渐近线的直线AB 的方程为：()ay x c b=--，联立方程组()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：2(,)a abA c c ，又因为BA AF = ，所以A 为BF 的中点，因(c,0)F ，则有222(,)a abB c c b -，由题意知：点B 在直线b y x a =-，代入可得：222ab b a c a c=-⨯，整理可得：224c a =，则2e ==，故选：C .5．B【分析】先利用奇偶性，列出方程组算得()e e 2x xf x -+=，令e x t =，用基本不等式求最小值.【详解】由()f x 和()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，则()()f x f x -=，()()g x g x -=-，故()()()()e xf xg x f x g x --+-=-=，①()()e x f x g x +=，②①+②得()2e e xxf x -=+，故()e e2x x f x -+=，令e xt =，则0t >，则()112t t f t +=≥，当且仅当1t =，即0x =时取等，故()f x 的最小值为1，故选：B.6．A【分析】可设年纪最大年龄为m ，年纪最小年龄为n ,根据其余39人的年龄依次相差一岁，得到(1)(38)1520n n n m +++⋅⋅⋅+++=，然后由最年长者的年龄大于90且不大于120求解.【详解】由题意可设年纪最大年龄为m ，年纪最小年龄为n ，则有(1)(38)1520n n n m +++⋅⋅⋅+++=，所以77939m n =-，因为9077939120n <-≤，解得352616173939n ≤<，*N n ∈，所以17n =故选：A .7．D【分析】切点为坐标(),x y ，结合切线斜率列出方程得()21e 0xx x --=，结合韦达定理求解即可.【详解】()()1e xf x x '=+，设切点为坐标(),x y ，则()e 1e 11xxy x x x x +==--，即()21e 0xx x --=，则12121,1x x x x +=⋅=-，由题意知210x x --=有两解，分别为m ，n ，故()()2222212*********m n x x x x x x +=+=+-⋅=-⨯-=，故选：D.8．B【分析】计算可得()120f -=>，分1x <-、1x >-两种情况讨论，令()()21e x xg x x =+，利用导数分析函数()g x 的单调性，数形结合可求得实数a 的取值范围.【详解】因为()120f -=>，①当1x <-时，由()0f x <可得()21e x x a x >+，令()()21e x xg x x =+，则()()()22211e xx x g x x -+-'=+，由()0g x '=，可得12x +=-或x =，当12x <-时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x <<-时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，此时，满足不等式()21e x x a x >+有无数个整数解；②当1x >-时，由()0f x <可得()21e x xa x <+，令()()21e x xg x x =+，则()()()22211e xx x g x x -+-'=+，由()0g x '=，可得12x =-（舍）或x =当1x -<<()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，当x >时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，因为01<<，因为()11e g =，()2423e g =，如下图所示：因为有且只有两个整数解使()0f x <成立，则满足不等式()21e x xa x <+在1x >-时的整数解只有一个，所以，()()21g a g ≤<，即2413e ea ≤<.综上所述，2413e ea ≤<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式的整数解的个数，解题的关键在于利用参变量分离法以及数形结合思想可得出参数的取值范围.9．CD【分析】由周期为π，可得2ω=.根据对称轴π6x =以及正弦函数的对称性可得5π12ϕ=-或π12ϕ=.分别将5π12ϕ=-或π12ϕ=代入22x ϕ+，得出范围，根据正弦函数的单调性即可得出ϕ的值.【详解】由已知函数()f x 的最小正周期为π，可得2π2πω==.又函数()f x 图象关于直线π6x =对称，所以有ππ22π,62k k ϕ⨯+=+∈Z ，所以ππ,122k k ϕ=+∈Z ，又π2ϕ<，所以5π12ϕ=-或π12ϕ=.当5π12ϕ=-时，5π()2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ66x -≤≤可得7π5ππ2662x -≤-≤-，因为函数sin y x =在7ππ,62⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，满足题意；当π12ϕ=时，π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由ππ66x -≤≤可得πππ2662x -≤+≤，因为函数sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，不满足题意.所以，5π12ϕ=-.故选：CD.10．ABC【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据()*11112,11N n n n n a a --=≥∈--，所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列，所以1111(1)1(1)11121n n n n a a =+-⨯=+-⨯=---,所以11n a n-=，所以11n a n=+，故选项A 正确；11111111111111112111111n n n n a a n n n n n n n n n n+-+=++=++=++=++-=+-+++++，所以数列1n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的和为1111111121...21222334111n n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-+++-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项B 正确；2277271111n n b n a n=-=-=--+-，1231053113579111358b b b b ++++=+++++++++= ，故选项C 正确；令1(11222n n n n nn na n n c ++===，所以所以11112122202222n n n n n n n n n n nc c +++++++----=-==<，所以1n n c c +<，所以数列2n n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭没有最小项，故选项D 错误；故选：ABC.11．BC【分析】根据勾股定理可得AC 为三棱锥S ABC -外接球的直径，代入计算即可判断选项A ；利用线面平行的性质即可判断选项B ；平移直线SA ，得到BFP ∠（或其补角）即为BF 与SA 所成的角.根据面面垂直得到线面垂直，在直角三角形中求得角的余弦值，可判断选项C ；根据条件得到SBC △为正三角形，找到要使SC BF ⊥的条件即可判断选项D .【详解】对于A ，因为SA SC ==AC =222AC SA SC =+，则SA SC ⊥，同理AB BC ⊥，边AC 中点到点A ，B ，C ，S 距离相等，所以AC 为三棱锥S ABC -外接球的直径，则R =，所以三棱锥S ABC -外接球的表面积24π24πS R ==，故选项A 错误；对于B ，因为//AC α，过AC 的平面SAC αEF ⋂=，由线面平行的性质可得：//EF AC ，故选项B 正确；对于C ，取AC 的中点P ，连接,BP PF ，因为F 为SC 的中点，所以//PF SA 且12PF SA ==，所以BFP ∠（或其补角）即为BF 与SA 所成的角.因为平面SAC ⊥平面ABC ，且平面SAC 平面=ABC AC ，又BA BC =，所以BP AC ⊥，BP ⊂平面ABC ，所以BP ⊥平面SAC ，PF ⊂平面SAC ，所以BP PF ⊥，因为12BP AC ==12PF SA ==所以3BF ==，在Rt BPF 中，cos 3PF BFP BF ∠==，所以BF 与SA 所成的角的余弦值为3，故选项C 正确；对于D ，连接SP ，由选项C 分析可得：BP ⊥平面SAC ，因为SP ⊂平面SAC ，所以BP SP ⊥，又因为12SP AC ==，所以SB ==因为SC BC ==，所以SBC △为正三角形，要使SC BF ⊥，则F 一定是SC 的中点，题中并没有说明F 是SC 的中点，故选项D 错误，故选：BC 12．ABD【分析】根据题意可知：当OP 垂直于弦时弦长最短，利用垂径定理计算即可判断选项A ；根据条件先求出AB 所在的直线方程，求出面积的表达式进而求解，可判断选项B ；设出直线方程，利用点到直线的距离公式和垂径定理求出面积的表达式，然后根据函数的单调性求出最值即可判断选项C ；利用两点间距离公式计算即可求解，进而判断选项D .【详解】对于A ，过圆O ：224x y +=内一点()1,0P ，被圆截得的弦长最短时，OP 垂直于弦，因为1OP =，由垂径定理可得：最短弦长l ==A 正确；对于B ，因为A ，B 为切点，由题意可知；,OA QA OB QA ⊥⊥，所以,,,O A B Q 四点共圆，且该圆以OQ 为直径，设该圆为圆C ，则圆C 的方程为222239(cos )(sin )cos sin 24x y θθθθ-+-=+，整理可得：222cos 3sin 0x y x y θθ+--=，因为圆O 的方程为：224x y +=，两圆的方程相减可得：圆O 与圆C 的公共弦AB 的方程：2cos 3sin 4x y θθ+=，因为直线AB 分别交x 轴，y 轴于M ，N 两点，则2(,0)cos M θ，4(0,3sin N θ，所以12482cos 3sin 3sin 2OMN S θθθ=⨯⨯= ，所以当sin 21θ=±时，面积取最小值83，故选项B 正确；对于C ，设两条互相垂直的弦分别为,AC BD ，因为AC BD ⊥，所以12ABCD S AC BD =⋅.当,AC BD 中一条直线的斜率不存在时，142ABCD S =⨯=当,AC BD 的斜率均存在时，设直线:(1)AC y k x =-，直线1:(1)BD y x k=--，直线AC 的方程可化为：kx y k 0--=，圆心O 到直线AC 的距离d =由垂径定理可得：2AC =，同理可得：BD =所以12ABCDS AC BD =⋅=，令21(1)k t t +=≥，则有ABCD S ===所以当112t =，即2t =，1k =±时，四边形的面积取最大值7272⨯=，因为7>7，故选项C 错误；对于D ，因为()1,0P ，()()2cos ,3sin R Q θθθ∈，由两点间距离公式可得：PQ =，因为cos [1,1]θ∈-，所以当cos 1θ=时，PQ 最小，最小值为1，故选项D 正确，故选：ABD .13．【分析】先利用向量垂直数量积为0求出a b ⋅的值，再根据向量的平方等于模长的平方即可求解.【详解】因为()4a a b ⊥- ，所以()2440a a b a a b ⋅-=-⋅= ，解得1a b ⋅= ，又因为()2222224412a b a ba ab b +=+=+⋅+=，所以2a b +=故答案为：14．94【分析】根据化为单变量，取倒数代换，并利用二次函数的性质即可求解.【详解】因为x ＋y ＝2xy ，所以(12)y x x -=-，所以2222121311313121212121212x x x xx x x x x x x x x x xx x x--+--+----====-+-------，因为知x ，y 均为正数，所以0012x x x>⎧⎪-⎨>⎪-⎩，所以12x >，令1,02t t x=<<，所以原式可化简为23t t -+，二次函数开口向下，对称轴为332(1)2t =-=⨯-，所以当32t =时，23t t -+取得最大值94，所以1y xy +的最大值为94.故答案为：94.15．【分析】根据题意求出直线方程，与抛物线联立，利用弦长公式求出AB ，点到直线的距离公式求出点M 到AB 的距离，代入面积公式即可求解.【详解】由题意可知：焦点(1,0)F ，所以过点F 且斜率为1的直线方程为1y x =-，联立方程组241y xy x ⎧=⎨=-⎩，整理可得：2610x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则126x x +=，121x x ⋅=，所以128AB x =-==，又因为()1,2M -到直线AB的距离d ==所以11822MAB S d AB ==⨯= ，故答案为：16．7【分析】根据题意可证BC 平面PAD ，点F 到平面PAD 的距离相等，利用空间向量求点F 到平面PAD的距离，则7EF ≥，当且仅当EF ⊥平面PAD 时等号成立，再利用空间向量证明存在点,E F ，使得EF ⊥平面PAD 即可.【详解】由题意可得：AD BC ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，则BC 平面PAD ，故点F 到平面PAD 的距离相等，如图，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，则()()(),0,0,0,,A B D P ，设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =，∵()(0,,AD AP ==uuu r uu u r，则00n AD n AP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令x =，则0,1y z ==，故)n =r，又∵()BA =uu r，则点B 到平面PAD的距离7n BA d n⋅==r uu r r ，即点F 到平面PAD的距离为7，∴7EF ≥，当且仅当EF ⊥平面PAD 时等号成立，由题意可设：[],,,0,1BF BC AE AP λμλμ==∈uu u r uu u r uu u r uu u r，则可得()(),,0,,0E F ，故(),FE =-uur，若FE n，则01-=⎨=，解得1727λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故当12,77BF BC AE AP ==uu u r uu u r uu u r uu u r时，EF ⊥平面PAD ，故EF故答案为：7.【点睛】关键点点睛：本题根据线面平行将两点间距离转化为点到面的距离，再检验其成立的条件是否满足.17．(1)证明见解析【分析】（1）以F 为坐标原点，,,FA FB FD的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，由线面垂直可得线线垂直即可得证；（2）根据二面角的向量求解方法可得解.【详解】（1）以F 为坐标原点,1FD CC ，,,FA FB FD 的方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设BF t =,则4CF t=-1(0,,4),(0,0,0),(0,4,1)B t F E t -，又因为1B F ⊥平面AEF ,EF ⊂则平面AEF,则1B F EF⊥所以10FB FE ⋅=且()()10,,4,0,4,1FB t FE t ==- 即得()()2210444420FB FE t t t t t ⋅=+-+=-+=-= 故2BF t ==,即F 为BC 的中点（2）1(0,2,4),(0,2,1)B F FA FE =--==-，设平面AEF 的法向量为111(,,),0,0m x y z m FA m FE =⋅=⋅=，∴111020y z ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，得10x =，令11y =，则12z =，∴(0,1,2)m =.1(2,1),(0,4,3)AE B E =--=--，设平面1B AE 的法向量为2221(,,),0,0n x y z n AE n B E =⋅=⋅=，∴2222220430y z y z ⎧--+=⎪⎨--=⎪⎩，令25x =-，则22y z ==-∴(n =--，设二面角1B AE F --的平面角为θ，∴1cos ,||||m n m n n n ⨯⨯-⋅==-⋅由图示可知二面角1B AE F --是锐角，所以二面角1B AE F --的余弦值为10.18．(1)13n n a -=(2)1,4⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据类比作差即可求得通项公式；（2）根据裂项相消即可求解和不等式的恒成立即可求解.【详解】（1）因为1123333n n nn a a a n -+++=⋅ ，①所以()121112133313(2)n n n n a a a n n ----+++=-⋅≥ ，②②式两边同时乘以3得，()1212133313n n nn a a a n --+++=-⋅ (2)n ≥，③①③两式得33nn a =(2)n ≥，所以，13(2)n n a n -=≥，又当1n =，11313a =⨯，所以11a =，所以，13n n a -=.（2）()()()()1111311111231313131n n n n nn n n n a b a a ---+⎛⎫===- ⎪++++++⎝⎭，所以1234...n nS b b b b b =+++++0112231111111111...23131313131313131n n-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦0112231111111111...23131313131313131n n -⎛⎫=--+-++- ⎪++++++++⎝⎭，0112231111111111...23131313131313131n n -⎛⎫=--+-++- ⎪++++++++⎝⎭1112231n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，易知，n S 是关于n 的增函数，所以11111111022********n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-<-⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为n m S >对*N n ∈恒成立，所以()max n m S >，所以14m ≥，实数m 的取值范围是1,4⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦.19．(1)2214x y -=(2)2y x =+【分析】（1）写出渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出1b =，结合222+=a b c ，以及12F PF △中利用余弦定理求出,a b 的值即可；（2）设点联立直线与双曲线方程，写出韦达定理，利用0∆>求出参数的范围，再写出,PA PB k k 相加之和为65，联立方程求出t 即可.【详解】（1）由双曲线的方程得渐近线方程为：b y x a=±，取其中一条0by x bx ay a =⇒-=，则由点()2,0F c 到一条渐近线的距离为1及222+=a b c有：1bcd b c===，又()0,P b，所以12PF PF ===又122F F c =，在12F PF △中，122cos 3F PF ∠=-，由余弦定理得：222121212122cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==-⋅，()222223c -+=-解得25c =，所以222514a c b =-=-=，所以双曲线C 的方程为：2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立2214y x t x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 整理得：2238440x tx t +++=，()226434440t t ∆=-⨯⨯+>则23t t >⇒>或t <，则21212844,33t x x t x x ++=-=，又121211,PA PB y y k k x x --==所以121212121111PA y y x t x t k x x x x --+-+-=+=+()()21121211x x t x x t x x +-++-=()()12121221x x t x x x x +-+=()2816324453t t t ⎛⎫-⨯-⎪⎝⎭=+=+，整理得：23520t t --=，解得13t =-（舍去）或2t =，所以直线l 的方程为：2y x =+.20．(1)证明过程见详解；(2)(3,)+∞.【分析】（1）根据余弦定理即可求解；（2）根据余弦定理，同角三角函数基本关系式，化归思想以及函数单调性即可求解.【详解】（1）222cos 2cos c b ac B ab C -=-，所以222222222222a c b a b c c b ac ab ac ab+-+--=⋅-⋅，所以()22222222c b a c b a b c -=+--+-，所以22b c =，所以b c =，所以ABC 为等腰三角形.（2）由余弦定理得，2222cos c a b ab C =+-，又b c =，所以2222cos c a c ac C =+-，所以22cos a ac C =，所以2cos a c C =，而2sin a C =，所以2sin 2cos C c C =，所以sin tan cos Cc C C==，所以tan b C =，所以()()2222222sin 2sin tan 4sin cos Ca b C C C C+=+=+，令2cos ,C t =所以22222sin 1114sin 4(1)44134cos C t a b C t t t C t t t-+=+=-+=-+-=-+，ABC 为锐角三角形，所以，0,2020()2C B C A B C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=--<⎪⎩所以42C ππ<<，所以0cos C <<所以210cos 2C <<，所以102t <<所以22134a b t t +=-+在102t <<是减函数，所以1343t t-+>，所以22(3,)a b ∞+∈+，22a b +的取值范围是(3,)+∞.21．(1)2214x y +=(2)112y x =±【分析】（1）设出,,P A B 点坐标，用P 点坐标表示AB ，然后代入圆方程，从而求出P 点的轨迹；（2）直线和椭圆联立，化简OE OF ⊥得出,k m 关系,弦长公式写出EF ,减元后再利用函数单调性求出最值，并确定取等条件时直线的方程..【详解】（1）设(),P x y ，由题意得：()(),0,0,A a B b3=，由2BP PA = ，则()(),2,x y b a x y -=--，可得222x a x y b y =-⎧⎨-=-⎩，即323x ay b⎧=⎪⎨⎪=⎩3=,即()2223332x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2214x y +=.故动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）设()()1122,,,E x y F x y ,联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()222148440k x kmx m +++-=，则12221228144414km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又因为OE OF ⊥，所以()()()()1212121222121210OE OF x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++=即得()22222448101414m kmk km m k k--+++=++，化简()()()()22221448140k m km km m k +-+⨯-++=，即22544m k =+，EF ====设214k t +=,则EF ===，又因为0k >,则21141,01t k t=+><<，当112t =时,EF =此时2142,0t k k =+=>,所以12k =,又因为22544m k =+,所以1m =±所以:l 112y x =±.22．(1)证明见解析(2)12m ≤【分析】（1）令()()212g x f x x =+，利用导数分析函数()g x 的单调性，可得出()()0g x g ≥，即可证得结论成立；（2）令()()()1e ln 11xh x x mx x =--++，其中0x ≥，由题意可知()()00h x h ≥=对任意的0x ≥恒成立，对实数m 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()h x 的单调性，验证()0h x ≥对任意的0x ≥能否恒成立，综合可得出实数m 的取值范围.【详解】（1）证明：令()()()22111e 122x g x f x x x x =+=-++，x ∈R ，()00g =，()()e 1x g x x '=+，由()0g x '<可得0x <，由()0g x '>可得0x >.所以，函数()g x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+，所以，()()00g x g ≥=，故原不等式得证.（2）解：当0x ≥时，由()()ln 1f x mx x ≥+可得()()1e ln 110xx mx x --++≥，令()()()1e ln 11xh x x mx x =--++，其中0x ≥，由题意可知()()00h x h ≥=对任意的0x ≥恒成立，()()e ln 11x x h x x m x x ⎡⎤'=-++⎢⎥+⎣⎦，且()00h '=，令()()p x h x '=，其中0x ≥，则()()()()()()32221e 21e 211xxm x x x p x x m x x x ⎡⎤+++'=+-=-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦，令()()31e2xx t x m x +=-+，其中0x ≥，则()()()()222157e 02xx xx t x x +++'=>+，所以，函数()t x 在[)0,∞+上为增函数，则()()min 102t x t m ==-.①当102m -≥时，即当12m ≤时，对任意的0x ≥，()0p x '≥且()p x '不恒为零，故函数()p x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ''≥=且()h x '不恒为零，故函数()h x 在[)0,∞+上为增函数，则()()00h x h ≥=，合乎题意；②当102m -<时，即当12m >时，()1002t m =-<，()()()33321e 1210222mm m m m m t m m m m m m +++++=->=>+++，所以，存在()00,x m ∈，使得()00t x =，当00x x <<时，()0t x <，则()0p x '<，此时函数()p x 单调递减，则当00x x <<时，()()00p x p <=，即()0h x '<，故函数()h x 在()00,x 上单调递减，所以，()()000h x h <=，不合乎题意.综上所述，12m ≤.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键在于通过构造函数()()()1e ln 11xh x x mx x =--++，且注意到()00h =，转化为()()0h x h ≥恒成立，在确定导数符号时，本题需要二次求导，需要注意每次求导时函数单调性与导数之间的关系.。
高中数学(一轮复习)最基础考点系列：考点6 含逻辑联结词命题的真假判断 含解析
专题6 含逻辑联结词命题的真假判断含逻辑联结词命题的真假判断★★★○○○○命题p∧q、p∨q、非p的真假判定p q p∧q p∨q 非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真简记为“p∧q p与p真假相反”．判断含有逻辑联结词命题真假的关键及步骤(1)判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．(2)判断命题真假的步骤根据复合命题真假求参数的步骤(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)； (2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；(3)根据给出的复合命题的真假推出每个命题的真假情况，从而求出参数的取值范围．已知命题p ：关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，命题q ：函数y ＝lg(ax2－x ＋a )的定义域为R ，如果p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围为________________．[解析] 由关于x 的不等式a x>1(a >0，且a ≠1)的解集是{x |x <0}，知0<a <1.由函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，知不等式ax 2－x ＋a >0的解集为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－4a 2<0，解得a >12.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假，即“p 假q 真”或“p 真q 假”，故⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a >12或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a ≤12，解得a >1或0<a ≤12，即a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)． [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞)1．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x的单调递增区间是[1，＋∞)，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．非p 是真命题D ．非q 是真命题2．已知命题p ：当a >1时，函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ；命题q ：“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，则以下结论正确的是( ) A ．p ∨q 为真命题 B ．p ∧q 为假命题 C ．p ∧非q 为真命题D ．非p ∨q 为假命题解析：选A 当a >1时，一元二次方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a <0，则x 2＋2x ＋a >0对任意x ∈R 恒成立，故函数y ＝log 12(x 2＋2x ＋a )的定义域为R ，故命题p 是真命题；直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直等价于a ×2＋2×(－3)＝0，解得a ＝3，故“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＝0与直线2x －3y ＝3垂直”的充要条件，故命题q 是真命题．所以p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，p ∧非q 为假命题，非p ∨q 为真命题．故选A.3．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－4x ＋a )的定义域为R ；命题q ：不等式2x 2＋x >2＋ax 在x ∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p ∨q ”为真命题，命题“p ∧q ”为假命题，则实数a 的取值范围为________．1．已知命题:p α∃∈R ,使得sin 2cos 3αα+=;命题π:0,,2q x x sinx ⎛⎫∀∈> ⎪⎝⎭,则下列判断正确的是（ ）A. p 为真B. q ⌝为假C. p q ∧为真D. p q ∨为假KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学（文）试题 【答案】B【解析】()sin 2cos 55,5sin αααθ⎡⎤+=+∈-⎣⎦，θ是参数，∵3>5，∴∀α∈R ， 23sin cos αα+≠； 故命题p 为假命题，设()f x x sinx =-,则()'10f x cosx =-…， 则函数f (x )为增函数， ∵则当x >0时,f (x )>f (0)，即x −sin x >0，则x >sin x ，故命题q 是真命题， 则q ⌝为假，其余为假命题， 故选：B.2．已知命题p ：若复数z 满足()()5z i i --=，则6z i =；命题q ：复数112i i ++的虚部为15i -，则下面为真命题的是（ ） A.()()p q ⌝⌝∧ B. ()p q ⌝∧ C. ()p q ⌝∧ D. p q ∧【来源】【全国市级联考】湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（理）试题 【答案】C【解析】复数z 满足()()5z i i --=，所以56z i i i=+=-，所以命题p 为真； 复数()()()112131212)125i i i ii i i +-+-==++-，虚部为15-，所以命题q 为假. A.()()p q ⌝⌝∧为假；B. ()p q ⌝∧为假；C. ()p q ⌝∧为真；D. p q ∧为假.故选C.3．下列命题中正确命题的个数是（ ）（1）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”；（2）在回归直线ˆ12yx =+中， x 增加1个单位时， y 减少2个单位； （3）若p 且q 为假命题，则,p q 均为假命题；（4）命题0:,p x R ∃∈使得20010x x ++<，则:,p x R ⌝∀∈均有210x x ++>.A. 1B. 2C. 3D. 4KS5U 】广东省珠海市2017-2018学年度第一学期高三摸底考试文科数学4．已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.因为p ∨q 是真命题，所以a ∈R. 答案：R5．已知命题p ：方程22167x y m m -=+-表示椭圆，命题q ： 2,2210x R mx mx m ∃∈++-≤，.（1）若命题q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真， q ⌝为真，求实数m 的取值范围.KS5U 】河南省鲁山县一中2017-2018学年高二第一次月考（文）数学试卷 【答案】（1）(],1-∞ （2）()1,7【解析】试题分析：（1）命题p 为真，就是对应不等式有解，m=0时恒成立， 0m ≠时结合二次函数图像列条件解得实数m 的取值范围；本题也可利用参变分离法求解 （2）先根据椭圆标准方程分母符号得p m 为真的取值范围，再根据p q ∨为真， q ⌝为真，得p q 为真为假，解不等式得实数m 的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∵命题q 为真，当0m > 时， ()2044210101m m m m m ∆≥⇒≥-⇒≤≤∴<≤；当0m ≤ 时，不等式恒成立.综上， 1m ≤ .（Ⅱ）若p 为真，则60,7067m m m +>-<⇒-<< ，.∵若p q ∨为真， q ⌝为真，∴p q 为真为假∴1,6717m m m >-<<∴<< 6．设命题：关于的不等式的解集是；命题：.若为假命题，求实数的取值范围.KS5U 】甘肃省武威市第六中学2018届高三第一次阶段性过关考试数学（理）试题 【答案】【解析】试题分析：由复合命题的真假得命题为真命题，命题为假命题，由为真命题得，由为假命题得，求其交集即可.试题解析：由为假命题，得：命题为真命题，命题为假命题.由命题为真命题，得，；由命题为假命题，得：为真命题，，解得：； 因此，所求实数的取值范围是.7．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R，x ＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题，求实数a 的取值范围．KS5U 】【全国百强校】宁夏育才中学2018届高三上学期第一次月考（理）数学试题 【答案】a ≤－2或a ＝1.8．已知命题甲：或，命题乙：或，当甲是真命题，且乙是假命题时，求实数的取值范围.KS5U】【全国百强校】河北省武邑中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（文）试题【答案】【解析】试题分析：乙为假命题即为求乙集合的补集，进而同甲集合取交即可.试题解析：当甲真乙假时，集合.______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______。
2018届黑龙江省哈六中高三上学期期中考试理科数学试题
黑龙江省哈六中2018高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合},,,|{},3,2,1,0{b a A b a b a x x B A ≠∈+===，则（ ）A.A B A =B.B B A =C.}1{)(=A C B AD.}5,4{)(=A C B A 2．︒︒-︒20cos 20sin 125sin 22的值为 （ ）A. 1-B.2-C. 1D. 2 3.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若121152=++a a a ，则11S 的值为（ ） A.66 B.44 C.36 D.334. 已知实数y x ,表示的平面区域C ：⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-20103x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）A.1-B.0C.4D.5)2(b a -⊥A.1B. 6. 若函数)6tan(πω+=x y 在]3,3[ππ-上单调递减，且在]3,3[ππ-上的最大值为3，则ω的值为（ ） A.21-B.21 C.1- D.17.若两个正实数y x ,满足141=+yx，且不等式m m y x 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A.)4,1(- B.),4()1,(+∞--∞ C. )1,4(- D.),3()0,(+∞-∞ 8. 已知数列}{n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，若首项01>a 且0156<<-a a ，有下列四个命题:0:1<d P ；0:1012<+a a P ；:3P 数列}{n a 的前5项和最大；:4P 使0>n S 的最大n 值为10； 其中正确的命题个数为（ ）A. 1个B.2个C.3个D.4个9. 已知正项等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若,325613=S 38111113321=++++a a a a ，则)(log 862a a 的值为( )A.4B. 5C.16D. 3210.设函数)(x f 是R 上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当0≥x 时，2)(x x f =，则44≤≤-x 时，)(x f 的图象与x 轴所围成图形的面积为（ ） A.34 B.2 C.38 D.411.已知四边形ABCD 中，BC AD //,︒=∠45BAC ，1,2,2===BC AB AD ,P 是边AB 所在直线上的动点，则|2|PD PC +的最小值为（ ）A.2B.4C.225 D.22512.已知函数⎩⎨⎧≥+<+-=0),1ln(20,)(2x x x x x x f ，若函数kx x f y -=)(有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A.),2(+∞B.)1,0(C. )2,0(D. )2,1(第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13.已知数列}1{n a 的前n 项和为n S ，21=a ，且当2≥n ，*∈N n 时，111=---n a n a n n ，若1110=n S ，则=n ______14. O 是ABC ∆所在平面上一点，︒=∠60C ，0=++OC OB OA ，34=⋅CB CA ，则AOB ∆ 的面积为______15．已知函数)2(+x f 是偶函数，2>x 时0)('>x f 恒成立（其中)('x f 是函数)(x f 的导函数）， 且0)4(=f ，则不等式0)3()2(<++x f x 的解集为______16.如图，线段DE 把边长为22的等边ABC ∆点D 在AB 上，E 在AC 上，则线段DE 长度的最小值为______三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）已知向量)cos 32,cos 2(),sin ,(cos x x b x x a ωωωω-==，设函数2)(a b a x f +⋅=)(R x ∈的图象关于点)0,12(π中心对称，其中ω为常数，且20<<ω.（I ）求函数)(x f 的最小正周期； （II ）若方程01)(2=+-a x f 在]2,0[π∈x 上无解，求实数a 的取值范围.18．（本小题满分12分）已知ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，若)cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-=，且n m // （I ）求角B 的大小； （II ）求bc a +的取值范围.19.（本小题满分12分） 已知函数221)2()(2++--=x x e x x f x .（I ）求函数)(x f 的单调区间和极值； （II ）证明：当1≥x 时，x x x f 2161)(3->.20．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a S n n 343-=，*∈N n , （I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）数列}{n b 满足*∈=-+++N n a n b b b n n ,3123121 ，求数列}{n b 的通项公式和它的前n 项和nT .21.（本小题满分12分） 已知函数xb xx a x f -=ln )()1,0(≠>x x 的图象经过点)1,(ee -，且)(x f 在e x =处的切线与x 轴平行.（I ）求a 和b 的值；（II ）如果当0>x 且1≠x 时，1])()[1(1+>+-x m b x xf x 恒成立，求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22. （本小题满分10分）选修4－4：极坐标与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴.已知曲线1C 的极坐标方程为)4sin(22πθρ+=，曲线2C 的极坐标方程为a =θρsin )0(>a ，射线,,44ππθϕθϕθϕ==+=-，ϕπθ+=2与曲线1C 分别交异于极点O 的四点D C B A ,,,.（I ）若曲线1C 关于曲线2C 对称，求a 的值，并把曲线1C 和2C 化成直角坐标方程； （II ）求||||||||OD OB OC OA ⋅+⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数ax x x f +-=|12|)(（I ）当2=a 时，解关于x 的不等式|2|)(-≥x x f ；（II ）若21)(-≥x x f 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围.21cos =B ，),0(π∈B ，3π=B ——————————————————————6分（II ）由正弦定理)sin (sin 332sin sin sin C A BCA bc a +=+=+--------------7分)6sin(2π+=+A bc a ————————————————————9分)32,0(π∈A ，)65,6(6πππ∈+A ————————————10分]2,1(∈+bc a ——————————————————————————————12分19. （I ）)1)(1()('--=xe x xf ————————————1分)(x f 在),1(),0,(+∞-∞上是增的； )(x f 在)1,0上是减的——————3分当0=x 时，)(x f 有极大值0)0(=f ————————————————4分 当1=x 时，)(x f 有极小值e f -=25)1(————————————————5分（II ）设x x x f x g 2161)()(3+-=)232)(1()('---=x e x x g x=)(x u 232--x e x，——————————————————6分21)('-=xe x u ，当1≥x 时，021)('>-=x e x u ，)(x u 在),1[+∞上增，02)1()(>-=≥e u x u ——8分 所以0)232)(1()('≥---=x e x x g x ，x x x f x g 2161)()(3+-=在),1[+∞上增————10分 0617)1(2161)()(3>-=≥+-=e g x x x f x g ，所以x x x f 2161)(3->————————12分20.（I ）当1=n 时，41=a ————1分；当2≥n 时， 341+=-n n a a ，)1(411+=+-n n a a ——————————————3分}1{+n a 为以4为公比的等比数列，14-=nn a ——————————————5分（II ）当1=n 时，11=b ————6分； 当2≥n 时，1412-=-n n n b ,14)12(--=n n n b ——————————————8分又1=n 时，11=b 适合n b ，所哟14)12(--=n n n b ——————————————9分nn n T 495695-+=——————————————————————12分21.（I ）22)ln ()ln 1()(xb x x x a x f ++-=————————————————1分2,1==b a ————————————————————————4分（II ）1))()(1(1+>+-x m b x xf x 恒成立，即11ln +>-x m x x ，0)1)1((ln 11>+---x x m x x设1)1(ln )(+--=x x m x x g ——————————————5分222)1(2)1()1(21)('+-+=+-=x x mxx x m x x g因为4)1(2≥+x x ，（1）当2≤m 时，0)('≥x g ，)(x g 在),0(+∞上单调增， 当10<<x 时，0)(<x g ，当1>x 时，0)(>x g ， 所以0)1)1((ln 11>+---x x m x x 成立————————————————————8分（1）当2>m 时，0)('=x g ，m m m x -+-=211，m m m x ---=221所以),1(1x x ∈时，0)('<x g ，)(x g 在),1(1x x ∈上单调减，0)(<x g ， 所以0)1)1((ln 11<+---x x m x x 与0)1)1((ln 11>+---x x m x x 矛盾，舍——————————11分综上：2≤m ————————————12分22. （I ）1C ：2)1()1(22=-+-y x ，2C ：a y =，因为曲线1C 关于曲线2C ，1=a ，2C ：1=y ----------------------4分。
黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校2022-2023学年高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析
当 x (0, ) 时 2x 2x 0 恒成立； x3 x x(x 1)(x 1) ，故当 x (0,1) 时 x x2 1 0 ，当 x (1, ) 时 x x2 1 0 ；
所以， x (0,1) 时 f (x) 0， x (1, ) 时 f (x) 0 ，排除 B；
故选：A.
cos
2
可得 sinα 10 10
∴
2sin2 sin2
cos
4
2sin sin cos
cos
4
4sin sin cos 2 sin cos 2
2 sinα＝2
2 （ 10 ） 2 5
10
5
故选 A 点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础
2
参考答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、A
【解析】若 ,则 6
；若 tan 3 ,则 3
,推不出
．所以“ ” 是“ tan 3 ”
6
3
成立的充分不必要条件．故选 A
考点：充分必要条件
2、C
【解析】首先求出方程的解，再根据集合的表示方法判断即可；
x2 4a, x 0
又由 f (x)
(a 0 且 a 1) 在 R 上单调递减，
loga (x 1) 1, x 0
得 02 4a f (0) 1 ，解得 a 1 ，所以 1 a 1，
4
4Hale Waihona Puke x2 4a, x 0作出函数 f (x)
(a 0 且 a 1) 在 R 上的大致图象，
19．函数 f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示 2
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
哈六中2018—2018学年度上学期期末考试高三数学（文史类）试题命题：高三备课组 审核：李茂生参考公式：线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分． 1．函数121cos -=x y π的最小正周期为（ ）（A ）π4 （B ）π2 （C ）4 （D ）22．已知集合}2,1,0,1,2{--=M ，},8221|{1R x x N x ∈<<=+，则=⋂N M （ ） （A ）}1,0{ （B ）}1,0{- （C ）}1,1,0{- （D ）}2,1,0,1,2{--3．已知a 为实数，若2321>++i a i ，则=a （ ） （A ）1 （B ）2- （C ）31 （D ）214．在ABC ∆中，若b a 25=，B A 2=，则=B cos （ ） （A ）35 （B ）45 （C ）55 （D ）655．已知函数)(x f y =与x e y =互为反函数，函数)(x g y =的图象与)(x f y =的图象关于x 轴对称，若1)(=a g ，则实数a 的值为（ ）（A ）e 1（B ）e1- （C ）e - （D ）e 6．设函数3x y =与2)21(-=x y 的图象的交点为),(00y x ，则0x 所在的区间是（ ）（A ）)1,0( （B ）)2,1( （C ）)3,2( （D ）)4,3(7．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，且20101-=a ，22008201020082010=-S S ，则=2010S （ ） （A ）2010- （B ）2009- （C ）2018 （D ）2018 8．设直线n m ,和平面βα,，下列四个命题中正确的是（ ） （A ）若α//m ，α//n ，则n m //（B ）若α⊂m ，α⊂n ，β//m ，β//n ，则βα// （C ）若βα⊥，α⊂m ，则β⊥m（D ）若βα⊥，β⊥m ，α⊄m ，则α//m9．如图所示的程序框图输出的结果是（ ） （A ）8 （B ）9 （C ）72 （D ）72010．已知a 是使表达式xx -+>2142成立的最小整数，则方程1|12|1-=--x a x 实数根的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）311．点),(y x P 满足042422≤+--+y x y x ，则点P 到直线01=-+y x 的最短距离为（ ） （A ）2 （B ）0 （C ）12- （D ）12+12．已知点P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立，则λ的值为（ ）（A ）22b a a+ （B ）a b a 222+ （C ）a b （D ）b a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．13．每次抛掷一枚骰子（六个面上分别标以1，2，3，4，5，6），连续抛掷2次，则2次向上的数之和不小于10的概率为14．如图，在边长为2的菱形ABCD 中， 60=∠BAD ，E 为CD 中点，则=⋅BD AE15．甲：函数()f x 是奇函数；乙：函数()f x 在定义域上是增函数，对于函数①xx f 1)(-=；②x x f tan )(=；③||)(x x x f =；④21,0()21,0x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，能使甲、乙均为真命题的所有函数的序号是16．（考生在下列两小题任选其一作答，若两题都答，则按第1小题计分） （1）已知曲线C 的极坐标方程是)4sin(4πθρ+=，则曲线C 的普通方程为（2）已知R z y x ∈,,，且3=++z y x ，则222z y x ++的最小值三、解答题：本大题共有6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题10分）已知函数12cos 32)4(sin 4)(2--+=x x x f π，且24ππ≤≤x（1）求)(x f 的在定义域上的单调区间； （2）求)(x f 的最大值及最小值．18．（本小题12分）如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1； （2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．19．（本小题12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日 期 12月1日12月2日 12月3日12月4日12月5日温差x （°C ） 10 11 13 12 8 发芽数y （颗）2325302616该农科所确定的研究方案是:先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（1）求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；（2）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+；B 1A 1ABCC 1D20．（本小题12分）已知数列}{n a 的首项51=a ，前n 项和为n S ，且)(52*1N n n S S n n ∈++=+． （1）求数列}{n a 的通项； （2）令n n x a x a x a x f +++= 221)(，求函数)(x f 在1=x 处的导数)1('f ．21．（本小题12分）已知函数)(112)(22R x x a ax x f ∈++-=，其中0>a ． （1）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调区间与极值．22．（本小题12分）已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率52=e ，过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于B A ,两点． （1）求椭圆方程； （2）设点)0,(m M 是线段OF 上的一个动点，且AB MB MA ⊥+)(，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得N B C ,,三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．高三上学期期末考试文科数学答案一、选择题：CCDBA BADDC CA 二、填空题13．6114．5 15．（３）（４） １6．（1）.4)2()2(22=-+-y x （2）317．解：①1)32sin(4)(+-=πx x f24ππ≤≤x32326πππ≤-≤∴x5)(max =∴x f3)(=nim x f②由2326πππ≤-≤x ，得)(x f 的单调递增区间4[π，125π] 由32322πππ≤-≤x ，得)(x f 的单调递减区间]2,125[ππ 18．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内，∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ………………………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．………………6分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．…………………………7分事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． …………………………………………9分 又B 1B ∥AA 1，且B 1B=AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． …………………………………………………10分 所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ……………………………12分19．解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， ………………2分所以 43()1105P A =-=．…………………………………………………………4分 答：略． ……………………………………………………………………………5分 （2）由数据，求得12,27x y ==．………………………………………………………7分B 1A 1ABCC 1D由公式，求得52b =，3a y bx =-=-． …………………………………………9分 所以y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32yx =-． ……………………………………10分 21．解: （Ⅰ）解：当1a =时，22()1x f x x =+，4(2)5f =，……………1分又22222222(1)422()(1)(1)x x x f x x x +--'==++，则6(2)25f '=-．…………………3分 所以，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为46(2)525y x -=--， 即625320x y +-=．……………4分（Ⅱ）解：2222222(1)2(21)2()(1)()(1)(1)a x x ax a x a ax f x x x +--+--+'==++．…………6分 由于0a ≠，以下分两种情况讨论．（1）当0a >时，令()0f x '=，得到11x a=-，2x a =,当x 变化时，()()f x f x '，的变化情况如下表：x 1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞ 1a - 1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭， a ()a +，∞ ()f x ' - 0 +0 - ()f x 极小值 极大值所以()f x 在区间1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∞,()a +，∞内为减函数，在区间1a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，内为增函数 故函数()f x 在点11x a =-处取得极小值1f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，函数()f x 在点2x a =处取得极大值()f a ，且()1f a =．…………………10分20解：（1）由521++=+n S S n n 得421++=-n S S n n ，相减得121+=+n n a a ，即)1(211+=++n n a a ----2分当1=n 时，6212+=S S ，所以62121+=+a a a ，得112=a ，所以1212+=a a ，--------2分 所以1261-⋅=+n n a ，即123-⋅=n n a --------2分（2）则n n x a x a x a x f +++= 221)(，所以121'2)(-+++=n n x na x a a x f --------1分 n na a a f +++= 21'2)1(，则n n n na n n n -⋅=-⋅=23)123(，所以2)1(]2221[32)1(221'+-++⋅+⋅=+++=n n na na a a f n n --------1分 由错项相减法得2)1(62)33()1(1'+-+-=+n n n f n --------4分22解：（1）由题意知1=b ，又54222222=-==ab a ac e ，所以52=a ，所以1522=+y x --------4分（2）由（1）得)0,2(F ，所以20≤≤m ，设l 的方程为)0)(2(≠-=k x k y ，联立得052020)15(2222=-+-+k x k x k ，15202221+=+k k x x ，155202221+-=k k x x ，--------2分),2(2121y y m x x MB MA +-+=+，),(1212y y x x AB --=，由题意得0))(())(2(12211221=-++--+y y y y x x m x x ，代入可得0)58(2=--m k m ，所以0582>-=m mk 得580<<m --------4分（3）设)0,(t N ，则有CN CB //，所以),(1212y y x x CB +-=，),(11y x t CN -=，所以))(()(112112x t y y y x x -+=-，代入解得25=t --------2分。