2018高考第二章 函数、导数及其应用 17-18版 第2章 第8节 课时分层训练11
第二章 函数-导数及其应用-第八节 对数与对数函数
第二章 函数、导数及其应用
2．对数的常用关系式(a，b，c，d 均大于 0 且不等于 1)： (1)loga1＝ 0 ．(2)logaa＝ 1 ． (3)对数恒等式：alogaN＝ N ． logcb (4)换底公式：logab＝log a ． c 1 推广 logab＝ ，logab·logbc·logcd＝ logad ． logba
－lg 15 －1 3 ＝ － 2 lg 15
3 ＝－2. 答案 3 (1)D (2)－2
第二章 函数、导数及其应用
对数函数的图象及应用
[典题导入] (1)(2014· 南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图所示， 则函数 y＝log1f(x)的图象大致是
2
(
)
第二章 函数、导数及其应用
第二章 函数、导数及其应用
[听课记录]
由函数 y＝f(x)的图象知，
2
当 x∈(0，2)时，f(x)≥1，所以 log1 f(x)≤0. 又函数 f(x)在(0， 1)上是减函数， 在(1， 2)上是增函数， 所以 y＝log1
2
f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，2)上是减函数．结合各选项知， 选 C. 答案 C
第二章 函数、导数及其应用
当0<a<1时，显然不成立； 当a>1时，如图，
第二章 函数、导数及其应用
要使 x∈(1 ， 2) 时 f1(x) ＝ (x － 1)2 的图象在 f2(x) ＝ logax 的图象下 方， 只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，
又即loga2≥1. 所以1<a≤2， 即实数a的取值范围是(1，2]． 答案 (1，2]
M>0的条件下应为logaMn＝nloga|M|(n∈N*，且n为偶数)． 2．对数值取正、负值的规律： 当a>1且b>1，或0<a<1且0<b<1时，logab>0； 当a>1且0<b<1，或0<a<1且b>1时，logab<0.
近年高考数学复习 第2章 函数、导数及其应用 热点探究课1 导数应用中的高考热点问题教师用书(20
（浙江专版）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1 导数应用中的高考热点问题教师用书编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2018高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用热点探究课1 导数应用中的高考热点问题教师用书）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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热点探究课(一) 导数应用中的高考热点问题［命题解读] 函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性(求函数的单调区间)、求极值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范围、证明不等式等，涉及的数学思想有:函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等,中、高档难度均有．热点1 利用导数研究函数的单调性、极值与最值(答题模板)函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：（1）讨论函数的单调性或求单调区间;(2）求函数的极值或最值；（3）利用函数的单调性、极值、最值,求参数的范围．(本小题满分15分)已知函数f（x)＝ln x＋a（1－x)．（1）讨论f(x）的单调性；（2)当f（x）有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．［思路点拨］（1)求出导数后对a分类讨论，然后判断单调性；（2)运用（1)的结论分析函数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求a的范围．[规范解答］(1）f（x）的定义域为(0，＋∞），f′（x）＝错误!－a。
浙江专版2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1节函数及其表示
第二章函数、导数及其应用[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]从近五年浙江高考试题来看，函数导数及其应用是每年高考命题的重点与热点，既有客观题，又有解答题，各种难度的题目均有．第一节 函数及其表示1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量x 的取值范围(数集A )叫做函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．(2017·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x ＞0，2x， x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14B [∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝log 5125＝log 55－2＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝f (－2)＝2－2＝14，故选B.]4．已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.【导学号：51062013】－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.] 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数； ③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． ∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．](1)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________．(2)(2017·浙江五校联考模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________． (1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1](2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________．(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意，自变量x 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2x≥0，x ＋3＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＞－3，∴－3＜x ≤0.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1).5分 (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.10分(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0).15分[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.【导学号：51062014】(1)x 2－1(x ≥1) (2)23 x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x ·1x－1，得f (x )＝23 x ＋13(x ＞0)．]☞角度1 求分段函数的函数值(1)(2017·温州联考)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)(2017·嘉兴市中学模拟)已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，如果f (x ＋2 016)＝⎩⎨⎧2sin x ，x ≥0，lg －x ，x ＜0，那么f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝( ) A ．2 016 B.14 C ．4D.12 016(1)C (2)C [(1)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，log 3x ，x ＞0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.故选C.(2)当x ≥0时，有f (x ＋2 016)＝2sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 016＋π4＝2sin π4＝1；当x ＜0时，f (x ＋2 016)＝lg(－x )，∴f (－7 984)＝f (－10 000＋2 016)＝lg 10 000＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫2 016＋π4·f (－7 984)＝1×4＝4，故选C.]☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·台州二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( )A ．1B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12(1)D (2)D [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)(2017·温州一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1＜x ≤0，log 2 x ＋1 ，0＜x ＜1，且f (x )＝－12，则x 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)－13 (2)(－∞，8] [(1)当－1＜x ≤0时，f (x )＝sin πx 2＝－12，解得x ＝－13；当0＜x ＜1时，f (x )＝log 2(x ＋1)∈(0,1)，此时f (x )＝－12无解，故x 的值为－13.(2)当x <1时，x －1<0，ex －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．][规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法．4．分段函数问题要分段求解．[易错与防范]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的范围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f(x0)时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x0的范围不确定，要分类讨论．课时分层训练(三) 函数及其表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．f(x)＝x，g(x)＝(x)2B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－xC [在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．] 2．(2017·浙江名校联考)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )A B C DB [A 项，定义域为[－2,0]，D 项，值域不是[0,2]，C 项，当x ＝0时有两个y 值与之对应．故选B.]3．(2017·宁波市质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A ．x ＋1 B ．2x －1 C ．－x ＋1D ．x ＋1或－x －1A [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb ＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.故选A.]4．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )【导学号：51062015】A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2 x ＋1 ，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]二、填空题6．(2017·温州二次质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －2 ，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________.【导学号：51062016】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]7．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是________．(－∞，2] [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f a ＜0，f 2a ＋f a ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧f a ≥0，－f 2a ≤2，解得f (a )≥－2.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2＋a ≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，－a 2≥－2，解得a ≤ 2.]三、解答题9．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：51062017】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，4分即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，8分解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.15分10．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2.4分 (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ；8分 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.15分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①B [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________.【导学号：51062018】⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23.]3．根据如图211所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．图211[解] 当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72；3分当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)， 将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12；8分当1≤x ＜2时，f (x )＝1.10分所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.15分。
高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第8讲 幂函数课件 理
【互动探究】
1．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2 m1，求当m为何值时， (1)f(x)是幂函数； (2)f(x)是正比例函数； (3)f(x)是反比例函数； (4)f(x)是二次函数．
解：(1)若f(x)为幂函数， 则m2＋2m＝1，∴m＝－1± 2.
(2)若f(x)为正比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 1， ⇒m＝1. (3)若f(x)为反比例函数，则mm22＋ ＋m2m－≠1＝ 0 －1， ⇒m＝－1.
C.13，12
D.0，13
解析：设
f(x)＝
1 2
x
－
1
x3
，f(0)＝1>0，f13＝
1 2
1
3
－
1 3
1
3
，
1
1
1
由于幂函数
y＝
1
x3
单调递增，得
f13＝
1 2
3
－
1 3
3
>0；f12＝
图 2-8-4
1
1
A．①y＝ x3 ；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
B．①y＝x3；②y＝x2；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
C．①y＝x2；②y＝x3；③y＝ x2 ；④y＝x－1
1
1
D．①y＝ x3 ；②y＝ x2 ；③y＝x2；④y＝x－1
1
解析：y＝x2 为偶函数，对应②；y＝x 2 定义域 x≥0，对应
即m>12或m<－2， 或－2<m<12，
0<m<2
m>2或m<0，
∴12<m<2或－2<m<0. ∵m∈N*，∴m＝1.此时 f(x)＝x3，x∈R. ∵f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． 【规律方法】(1)幂函数 y＝xα的特点： ①系数必须为 1；②指数必须为常数. (2)幂函数的单调性:①α>0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函 数；②α<0 时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数.
2018高考数学(理)(全国通用) 第二章 函数 Word版含解析
第二章 函数第一节 函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无 题型11 同一函数的判断——暂无 题型12 函数解析式的求法 题型13 函数定义域的求解 题型14 函数值域的求解第二节 函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性 题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-， 其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是 ．解析 易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-， 所以()f x 是奇函数． 又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）.A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析 因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （ ）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（ ）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析 因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ．解析 由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况． 在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质， 若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分． 且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点， 因而方程解的个数为8个．故填8．第三节 二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析 函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无 题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.2⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析 解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟， 即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =时取等号），()h x=222x x +…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ． 解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x +>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析 设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…， 解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节 指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（ ）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg3lg10361lg380x =-=⨯-，即93.28x =， 所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（ ）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析 设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx=3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x=，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无 题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节 函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无 题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析 因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m 的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析 解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y mx mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m 的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x=-与y m 有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。
2018届高三数学(文)教师用书：第2章函数、导数及其应用
C．[1,2) ∪(2，＋∞ )
D.
－
1，－
1 2
∪
－ 12， 1
解析： 选 D
由函数
1－ x2
1－x2 ≥ 0，
y＝
2
2x
－
3x－
2
得
2x2－ 3x－2≠ 0，
解得
－ 1≤ x≤ 1， x≠ 2且 x≠－ 12，
即－
1≤ x≤ 1 且 x≠ － 12， 所以所求函数的定义域为
－ 1，－
1 2
∪
－ 1， 1 2
1－ |x－ 1| 4．函数 f(x)＝ ax－ 1 (a＞ 0 且 a≠ 1)的定义域为 ____________________．
1－|x－ 1|≥ 0，
0≤ x≤2，
解析： 由 ax－ 1≠ 0
? x≠0
? 0＜ x≤ 2，
故所求函数的定义域为 (0,2] ．
答案： (0,2]
[ 谨记通法 ] 函数定义域的求解策略
名称
称 f：A→ B 为从集合 A 到集合 B 称对应 f：A→ B 为从集合 A 到集
的一个函数
合 B 的一个映射
记法
y＝f (x)， x∈ A
对应 f ：A→ B 是一个映射
2． 函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 y＝ f(x)，x∈A 中， x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 { f(x)|x∈ A} 叫做函数的值域．显然，值域是集合 B 的子集．
数 f(x＋ 1)有意义，则有 1≤ x＋ 1≤2 017，解得 0≤ x≤ 2 016，故函数 f(x＋ 1)的定义域为 [0,2
高考数学复习第2章函数导数及其应用第8讲一次函数反比例函数及二次函数
图象与 x 轴的两个交点的横坐标.
4.二次函数的图象及性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
开口 顶点
对称性 定义域
向上
向下
－2ba，4ac4－a b2 函数的图象关于 x＝－2ba对称
(－∞,＋∞)
(续表) 解析式
值域
f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0) 4ac4－a b2，＋∞
2.y＝ 3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为( B )
9
32
A.9
B.2
C.3
D. 2
3.(2019年河南信阳模拟)函数y＝－2x2－4ax＋3在区间
[－4,－2]上是单调函数,则 a 的取值范围是( )C
A.(－∞,1]
B.[4,＋∞)
C.(－∞,2]∪[4,＋∞)
D.(－∞,1]∪[2,＋∞)
解析：函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a,
由题意可得－a≤－4或－a≥－2,解得a≤2或a≥4,故选C.
4.(2017年北京)已知x≥0,y≥0,且x＋y＝1,则x2＋y2的 取值范围是_____12_，__1___.
考点 1 二次函数的图象及应用
例 1：(1)(2018 年安徽淮南模拟)二次函数 y＝ax2＋bx 及指
第8讲 一次函数、反比例函数及二次函数
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.1 精品
映射
按照某一个确定的对 应关系f,对于集合A中 的_任__意__一个元素x,在 集合B中都有_唯__一__确__定__ 的元素y与之对应
函数
映射
那么就称f:A→B为从 名称 集合A到集合B的一个
函数
那么就称对应f:A→B为 从集合A到集合B的一个 映射
记法
y=f(x),x∈A 对应f:A→B是一个映射
所kb 以23f92,(.x)=
2x 2. 39
【易错警示】解答本例题(1)会出现以下错误: 题目利用换元法求解析式,易忽视换元后t的取值范围, 从而造成求出的函数定义域扩大而致误.
【规律方法】求函数解析式常用的四种方法 (1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成 关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析 式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次 函数)可用待定系数法.
【特别提醒】 1.判断函数相同的依据 (1)两个函数的定义域相同. (2)对应关系相同.
2.分段函数的相关结论 (1)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函 数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集, 值域等于各段函数的值域的并集.
3.判断函数图象的常用结论 与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点.
【解析】要使函数f(x)有意义，必须使
x 2x2 0,
x
x＞解0,得
x
x
1,
x＜ 1 . 2
所以函数f(x)的定义域为 {x | x＜ 1}.
2
答案：{x | x 1}
2
考向二 求函数的解析式
【典例2】(1)已知 f ( x 1) x 2 x，则f(x)=
2018届高考数学理科全国通用一轮总复习课件：第二章 函数、导数及其应用 2.11.1 精品
【加固训练】
1.已知函数f(x)=x+ a +lnx(a∈R).
x
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
【解析】(1)函数f(x)=x+ a +lnx的定义域为
x
(0,+∞),f′(x)=
1－
a x2
＋1＝x2 x
x x2
a
.
①当Δ=1+4a≤0,即a≤- 1时,x2+x-a≥0恒成立,即
数φ(x)=
2 x
1 x2
( 1 故1)只2 要1，2m≥1即可，即
x
m 1. 2
答案：[1 , )
2
考向一 利用导数判断或证明函数的单调性 【典例1】(1)(2015·湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)ln(1-x),则f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
第十一节 导数在研究函数中的应用 第一课时 利用导数研究函数的单调性
【知识梳理】 函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导: (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__增__; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内_单__调__递__减__; (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是_常__数__函__数__.
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函 数在每个相应区间内的单调性.
【变式训练】已知函数f(x)=(-x2+2x)ex,x∈R,e为自 然对数的底数.则函数f(x)的单调递增区间为 .
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲指数与指数函数课件理2017041501166
第一页，共31页。
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.了解指数函数模型的实际背 景．
2.理解有理数指数幂的含义， 了解实数指数幂的意义，掌握 幂的运算．
3.理解指数函数的概念，理解 指数函数的单调性，掌握指数 函数图象通过的特殊点．
4.知道指数函数是一类重要的 函数模型.
零的 n 次方根是零
当 n 是偶函数时，正数的 n 次方根有 ___两__个___，这两个数互为__相__反___数_
n ± a(a>0)
负数没有偶次方根
第四页，共31页。
(2)两个重要公式
a
①n
an＝|a|＝
n为奇数
a －a
a≥0， a<0
n为偶数
②(n a)n＝____a____(注意：a 必须使n a有意义)．
第五页，共31页。
2．有理数的指数幂
(1)幂的有关概念
m
①正分数指数幂：an
＝___n__a_m__(a>0，m，n∈N*，且
n>1)；
1
1
m
②负分数指数幂：a－n
＝___a_mn____＝___n_a_m___(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．
③0 的正分数指数幂等于____0____，0 的负分数指数无幂意___义___(y__ìy．ì)
∴m21
－m－2
1
＝m2
－m－2
1
m＋1 m－1＋1＝m＋m－1＋1＝14＋1＝15.
m2 －m－2
m2 －m－2
第十八页，共31页。
•二 指数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
2018年高考数学一轮复习课件：第二章 函数、导数及其应用 第17讲
C．136
D．6
(2)(2015·陕西卷)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截
面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ___1__.2___.
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 十九分。
解析：(1)作出曲线 y＝ x和直线 y＝x－2 的草图(如图所示)，所求面积为阴影部 分的面积．
下方．( × )
第十页，编辑于星期六：二十二点 十九分。
• 解析：(1)正确．定积分与被积函数、积分上 限和积分下限有关，与积分变量用什么字母 表示无关．
• (2)错误．不一定是，要结合具体图形来定． • (3)错误．也有可能是在x轴上方部分的面积小
于在x轴下方部分的面积．
第十一页，编辑于星期六：二十二点 十九分。
围成的平面图形的面积为____3____. 解析：由yy＝＝－－x12，， 得交点 A(－1，－1)，B(1，－1)． 由y＝－14x2， 得交点 C(－2，－1)，D(2，－1)． y＝－1， 所以所求面积 S＝201－14x2＋x2dx＋12－14x2＋1dx＝34.
2．若 s1＝2x2dx，s2＝21xdx，Байду номын сангаас3＝2exdx，则 s1，s2，s3 的大小关系为( B )
1
1
1
A．s1<s2<s3
B．s2<s1<s3
C．s2<s3<s1
D．s3<s2<s1
解析：因为 s1＝31x321 ＝31(23－13)＝37<3；s2＝ln x21 ＝ln 2－ln 1＝ln 2<1；s3＝ex21
确定定积分的上、下限； • ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的
2018版高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用2.11导数在研究函数中的应用课件
[解]
函数的定义域为 (0，＋∞)，f′(x)＝ x－
2a x
＋a－
2＝x－2xx＋a.
①当－a＝2，即a＝－2时，f′(x)＝
x－22 x
≥0，f(x)在
(0，＋∞)上单调递增．
②当0<－a<2，即－2<a<0时，∵0<x<－a或x>2时，
f′(x)>0；－a<x<2时，f′(x)<0，
B．x＝12为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
解析
f′(x)＝－
2 x2
＋
1 x
＝
x－2 x2
，∵x>0，∴当x>2时，
f′(x)>0，f(x)是增函数；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)是减函
数，∴x＝2为f(x)的极小值点．
5．[2017·上饶模拟]f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点， 则a的取值范围是___(_－_2_,_2_)___．
4．函数的极大值不一定比极小值大．( √ ) 5．函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不 一定是极小值．( √ )
二、小题快练
1．[课本改编]函数y＝x4－4x＋3在区间[－2,3]上的最
小值为(
)
A．72
B．36
C．12
D．0
解析 因为y′＝4x3－4，令y′＝0即4x3－4＝0，解
得x＝1.当x<1时，y′<0，当x>1时，y′>0，所以函数的极
第2章 函数、导数及其应用 第11讲 导数在研究函数中的应用
板块一 知识梳理·自主学习
2018版高考数学一轮总复习第2章函数导数及其应用2.8函数与方程课件文
解析
因为函数 f(x)为连续函数且 f(1)· f(3)<0， 所以函数
f(x) 在(1,3)内一定有零点．
板块二 典例探究· 考向突破
考向 例1 (1)若
确定函数零点所在区间
1 3
1 x x0 是方程 ＝x 2
的解， 则 x0 属于区间(
2 D.3，1
3．若函数 f(x)在[ a，b] 上单调，且 f(x)的图象是连续不 断的一条曲线，则 f(a)· f(b)＜0⇒函数 f(x)在[ a，b] 上只有一 个零点．
[ 双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( × ) 2． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当 b2－4ac＜0 时没 有零点．( √ ) 3．函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不 断)，则 f(a)· f(b)＜0.( × )
x1∈(－∞，x0)，x2∈(x0,0)时，有
f(x1)>0，f(x2)<0，选 C.
命题角度 2 例 4
已知函数零点所在区间求参数
[2017· 启东检测] 若函数 f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)
由题意可得 f(2)f(3)<0，即(log22＋2－k)· (log23
4 在区间(2,3)上有零点，则 k＝________.
|x|，x≤m， 2 x －2mx＋4m，x>m，
其中 m>0.若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f(x)＝b 有 (3，＋∞) ． 三个不同的根，则 m 的取值范围是____________ [ 解题视点] 画出函数图象，合理寻找“临界”情况， 探究实数 m 满足的条件，从而确定 m 的取值范围．
2018版高考数学一轮总温习 第2章节 函数、导数及其应用 2.7 函数的图象讲义 文
3．函数 y＝f(x)与 y＝－f(x)的图象关于原点对称．( × ) 4．若函数 y＝f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的 图象关于直线 x＝1 对称．( √ ) 5．将函数 y＝f(－x)的图象向右平移 1 个单位得到函数 y＝f(－x－1)的图象．( × )
二、小题快练
2．当 0＜a＜1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y
＝logax 的图象是(
)
解析 当 0＜a＜1 时，y＝a－x 为增函数且过点(0,1)，y ＝logax 为减函数且过点(1,0)，故应选 C.
1
3．[2017·济南模拟]函数 y＝x－x 3 的图象大致为(
)
1
1
解析 函数 y＝x－x 3 为奇函数．当 x＞0 时，由 x－x 3 ＞
x2－2x，x≥0， －x2－2x，x＜0，
画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可
知，函数 f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
命题角度 2 利用图象求不等式的解集
例 4 [2015·北京高考] 如图，函数 f(x)的图象为折线
ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集是(
1．[2016·海淀区测试]下列函数 f(x)图象中，满足 f14＞
f(3)＞f(2)的只可能是(
)
解析 因为 f14＞f(3)＞f(2)，所以函数 f(x)有增有减，排 除 A，B.在 C 中，f14＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即 f14＜f(3)，排 除 C，选 D.
考点 2 利用图象变换法作函数的图象
[ 必会结论] 1．左右平移仅仅是相对 x 而言的，即发生变化的只是 x 本身，利用“左加右减”进行操作．如果 x 的系数不是 1， 需要把系数提出来，再进行变换． 2．上下平移仅仅是相对 y 而言的，即发生变化的只是 y 本身，利用“上减下加”进行操作．但平时我们是对 y＝ f(x)中的 f(x)进行操作，满足“上加下减”．
全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用课件文新人教A版2017041402164
内部文件，请勿外传
[ 导学心语] 1．注重基础：对函数的概念、图象、性质(单调性、奇偶性、周期性)、导 数的几何意义、导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等方面的应 用，要熟练掌握并灵活应用. 2．加强交汇，强化综合应用意识：在知识的交汇点处命制试题，已成为高 考的一大亮点，函数的观点和方法贯穿于高中数学的全过程，因此，应加强函 数与三角函数、数列、不等式、解析几何、导数等各章节之间的联系． 3．把握思想：数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想和等价转化 思想在解决各种与函数有关的问题中均有应用，复习时应引起足够重视．
全国卷Ⅱ· T11 卷· T13 全国卷Ⅱ· T12 全国
全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 全国卷Ⅱ· T21 卷· T21
[ 重点关注] 1．从近五年全国卷高考试题来看，函数、导数及其应用是每年高考命题的 重点与热点，既有客观题，又有解答题，中高档难度． 2．函数的概念、图象及其性质是高考考查的主要内容，函数的定义域、解 析式、图象是高考考查的重点，函数性质与其他知识的综合是历年高考的热点． 3．导数的几何意义，导数在研究函数单调性、极值、最值、函数的零点等 方面的应用是高考的重点与热点． 4．本章内容集中体现了四大数学思想：函数与方程、数形结合、分类讨论、 转化与化归的思想，且常与方程、不等式、导数等知识交汇命题，体现了综合 与创新．
全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅱ· T11 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅱ· T12 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅱ· T10 全国卷Ⅱ· T12
全国卷Ⅰ· T16 卷· T16 全国卷Ⅱ· T8 全国 卷· T11
基本初等函 全国卷Ⅰ· T8 数
全国卷Ⅰ 全国卷Ⅰ· T9 导数及其应 用 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T20 全国卷Ⅲ· T16 全国卷Ⅲ· T21 全国卷Ⅰ· T14 全国卷Ⅰ· T12 全国卷Ⅰ· T20 全国卷Ⅱ· T16 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅰ· T21 全国卷Ⅱ· T11 全国 全国卷Ⅰ· T12
近年高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程教师用书(2021年整理)
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同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第八节函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f（x）(x∈D)，把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D）的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f（x)＝0有实根⇔函数y＝f（x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f(b）＜0，那么函数y＝f(x）在区间(a，b）内有零点,即存在x0∈（a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，（x2,0）(x1，0)无交点零点个数2103.对于在区间[a,b］上连续不断且f（a）·f（b)＜0的函数y＝f（x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．（思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”）（1）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（)（2）函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点（函数图象连续不断)，则f（a）·f(b)＜0.（)（3）若函数f（x)在(a,b）上单调且f（a）·f（b）＜0，则函数f(x）在［a，b］上有且只有一个零点．( )（4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案]（1）×(2)×（3)×(4)√2．（教材改编）函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )A．0 B．1C．2 D．3B［∵f(－1)＝错误!－3＜0，f（0)＝1＞0，∴f（x)在(－1,0)内有零点,又f(x）为增函数,∴函数f(x）有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1A［由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点,只有y＝cos x是偶函数又有零点．]4．(2017·浙江五校联考)函数f（x)＝3x－x2的零点所在区间是( ）A．(0,1) B．（1,2）C．（－2，－1) D．（－1，0）D［∵f(－2)＝－错误!，f（－1）＝－错误!，f（0）＝1，f（1)＝2,f(2）＝5，∴f（0)f（1）＞0，f(1)f（2）＞0，f(－2)f（－1)＞0，f(－1）f（0）＜0，故选D。
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课时分层训练(十一) 函数与方程
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
【导学号：66482079】
A ．0,2
B ．0，1
2 C ．0，－1
2
D ．2，－1
2
C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－1
2.] 2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]
3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m
的取值范围是( )
A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎨⎧
x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0
的大致图像(图略)．
观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]
5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )
【导学号：66482080】
A.1
4 B ．18 C ．－7
8
D ．－38
C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7
8.故选C.]
二、填空题
6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．
(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.
－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，
∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.
由此可得⎩⎨⎧
2a ＋b ＝－3，①
a 2
＋2ab ＝0，②
a 3＋3a 2＝a 2
b .③
∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]
8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．
(0,2) [由f (x )＝|2x －2|－b ＝0得|2x －2|＝b .
在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图像，如图所示，
则当0<b <2时，两函数图像有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点．]
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3
－x 2
＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.
[证明] 令g (x )＝f (x )－x . 2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
2＝－18，
∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＜0. 7分
又函数g (x )在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，12上连续，
∴存在x 0∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，
即f (x 0)＝x 0. 12分
10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，
(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围.
【导学号：66482081】
[解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根. 3分 因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －
1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根. 5分
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨
⎪⎧ f (－1)>0，
f (0)<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分
即⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <3
4. 10分
故实数a
的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫a ⎪
⎪⎪
12<a <34. 12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x
－a ，x ≤0，
2x －1，x ＞0
(a ∈R )，若函数f (x )在
R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(－∞，－1]
C ．[－1,0)
D ．(0,1]
D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝1
2.
所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x －a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．
又当x ∈(－∞，0]时，2x ∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]
2．函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，
log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集
合为________.
【导学号：66482082】
⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－3，－12，14，
2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x
＝12，
则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝1
2的x 的值． 解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝1
4， 解f (x )＝12得x ＝－1
2或x ＝2， 从而函数y ＝f [f (x )]＋1
的零点构成的集合为⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－3，－12，1
4，
2.] 3．若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围.
【导学号：66482083】
[解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1. 3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2，
则⎩⎨⎧
Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0，
t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，
解得－1＜a ≤2－22；6分
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则 f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a
2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]. 12分 法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋1
2x ＋1，3分
设t ＝2x (t ＞0)，
则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫
t ＋2t ＋1－1
＝2－⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分
由基本不等式，得(t＋1)＋
2
t＋1
≥22，当且仅当t＝2－1时取等号，故a≤2－
2 2. 12分。