2017-2018学年山东省日照市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年山东省日照市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知两点，则与向量同向的单位向量是A．±（）B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据两个点的坐标写出向量的坐标表示，进而求出其模并且求出与向量同向的单位向量．【详解】因为两点A、B的坐标为A（4，1），B（7，﹣3），所以=（3，﹣4）．所以||=5，所以与向量同向的单位向量为（，﹣）．故选：C．【点睛】解决此类问题的关键是正确表达向量,求出其向量的模，并且熟悉单位向量的定义．2．给出如下三对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”；③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”.其中属于互斥事件的个数为A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件的定义直接判断即可．【详解】在①中，某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”不能同时发生，是互斥事件，故①正确；在②中，甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”能同时发生，不是互斥事件，故②错误；在③中，从装有2个红球和2和黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”不能同时发生，是互斥事件，故③正确．故选：C．【点睛】点睛：“互斥事件”与“对立事件”的区别：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.3．在梯形中，，则等于A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据几何图形得出=+==，注意向量的化简运用算．【详解】∵在梯形ABCD中，=3，∴=+==故选：D．【点睛】考查了向量的加法和减法运算．用不共线的两向量表示平面内任意向量是重点内容，应熟练掌握．4．某产品生产线上，一天内每隔60分钟抽取一件产品，则该抽样方法为①；某中学从30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽取方法为②，那么A．①是系统抽样，②是简单随机抽样B．①是分层抽样，②是简单随机抽样C．①是系统抽样，②是分层抽样D．①是分层抽样，②是系统抽样【答案】A【解析】【分析】根据系统抽样方法是等距抽样，简单随机抽样对个体之间差别不大，且总体和样本容量较小时采用，从而可得结论．【详解】∵某产品生产线上每隔60分钟抽取一件产品进行检验，是等距的∴①为系统抽样；某中学的30名机器人爱好者中抽取3人了解学习负担情况，个体之间差别不大，且总体和样本容量较小，∴②为简单随机抽样法．故选：A．【点睛】本题主要考查抽样方法中的简单随机抽样以及系统抽样，解题的关键是熟悉抽样方法的特征，属于基础题．5．已知角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则的值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tanθ的值，再利用商数关系可得结果．【详解】角的始边为轴非负半轴，终边经过点，则 x=1，y=2，所以tanθ=，∴【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角基本关系式，属于基础题．6．已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的平均数，方差分别为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解答：∵一组数据的平均数是2,方差是，∴另一组数据的平均数为：2×2−1=3，方差为：22×=.故选：A.7．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则A．的图像关于直线对称B．的最小正周期为C．的图像关于点对称D．在区间上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的平移变化规律，求解f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断各选项即可．函数y=sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y=sinx，即f（x）=sinx．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x=，∴A不对．周期T=2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．【点睛】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，平移变化的规律和性质的应用．属于基础题．8．甲、乙两位射击运动员的5次比赛成绩（单位：环）如茎叶图所示，若两位运动员平均成绩相同，则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】【分析】根据平均数相同求出x的值，再根据方差的定义计算即可．【详解】根据茎叶图中的数据知，甲、乙二人的平均成绩相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=2，所以平均数为=90；根据茎叶图中的数据知甲的成绩波动性小，较为稳定（方差较小），所以甲成绩的方差为s2=×[（88﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（92﹣90）2]=2．故选：A．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．9．右图是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的，在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载，若图中大正方形的边长为5，小正方形的边长为2，现做出小正方形的内切圆，向大正方形所在区域随机投掷个点，有个点落在圆内，由此可估计的近似值为A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据大正方形的面积与小正方形的内切圆面积比求得π的值．【详解】大正方形的边长为5，总面积为25，小正方形的边长为2，其内切圆的半径为1，面积为π；则=，解得π=．故选：D．【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．10．如图，点为单位圆上一点，，已知点沿单位圆按逆时针方向旋转到点，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos（+）和sin（+）的值，再利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得sin2的值．【详解】由题意可得，cos（+）=，sin（+）=，∈（0，）．∴cos（+2）=2﹣1=2×﹣1=﹣，即﹣sin2=﹣，sin2=，故选：．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．11．已知函数的定义域为，值域，令，则的值为A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据a≤x≤b，可求得2x+的范围，再结合其值域为[﹣]，可求得满足题意的2x+的最大范围与最小范围，从而可求得b﹣a的最大值与最小值之和．【详解】∵a≤x≤b，∴2a+≤2x+≤2b+，又﹣≤cos（2x）≤1，∴2kπ﹣≤2x≤+2kπ或2kπ≤2x≤+2kπ（k∈Z），∴kπ﹣≤x≤+kπ或kπ﹣≤x≤+kπ（k∈Z），∴（b﹣a）max=+=，（b﹣a）min=+=；∴（b﹣a）max+（b﹣a）min=π．故选：B．【点睛】本题考查复合三角函数的单调性，突出考查余弦函数的性质与应用，由题意求得满足条件的2x+的最大范围与最小范围是关键，也是难点，考查综合分析与理解运用的能力，属于难题．二、填空题12．如图所示，点是圆上的三点，线段与线段交于圆内一点，若，则的值为A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据向量的减法运算及共线向量基本定理，可以用向量表示向量=，并根据已知条件，这样即可建立关于λ的方程，解方程即可得到λ．【详解】，∵和共线，∴存在实数m，使：∴；∴=；∴解得．故选：C．【点睛】考查向量的减法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理．13．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为_______7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481【答案】01【解析】【分析】由随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左到右依次取数，大于20的数字去掉，重复的去掉，则可得第五个数字．【详解】由随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左到右依次取数，第一个数为08；第二个数为02；63＞20，第三个数为14；第四个数为07；02重复舍去，43＞20，69＞20，97＞20，28＞20，第五个数为01．故答案为：01．【点睛】本题考查随机数表法，挑选号码原则，一是要在规定号码范围之内，二是前面已出现，则不选，需继续往下选.14．已知平面向量的夹角为60°，__________【答案】【解析】【分析】计算，再计算（）2，开方即可得出|．【详解】||=2，=||||cos60°=2×=1．∴（）2==12，∴|=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了平面向量的数量积定义及其坐标运算，属于基础题．15．已知扇形的周长为4，当扇形的面积最大时，扇形的圆心角等于_________【答案】2【解析】【分析】设扇形半径为r，可得周长2r+rα=4，写出扇形的面积公式S扇形，再利用二次函数的性质求出扇形面积的最大值，即可求得α的值．【详解】设扇形的半径为r，则周长为2r+rα=4，∴面积为S扇形=r2•α=•r2•（﹣2）=2r﹣r2=﹣（r﹣1）2+1≤1，当且仅当r=1时取等号，此时α=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了弧长公式、扇形面积公式和二次函数的性质应用问题，属于基础题．16．已知某台风中心位于海港城市东偏北的150公里外，以每小时公里的速度向正西方向快速移动，2.5小时后到达距海港城市西偏北的200公里处，若，则风速的值为_____公里/小时【答案】100【解析】【分析】如图所示：AB=150，AC=200，B=α，C=β，根据解三角形可得3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，求出cosβ=，cosα=，求出BC的距离，即可求出速度【详解】如图所示：AB=150，AC=200，B=α，C=β，在Rt△ADB中，AD=ABsinα=150sinα，BD=ABcosα在Rt△ADC中，AD=ACsinα=200sinβ，CD=ACcosβ∴150sinα=200sinβ，即3sinα=4sinβ，①，又cosα=cosβ，②，由①②解得sinβ=，cosβ=，sinα=，cosα=∴BD=ABcosα=150×=90，C D=ACcosβ=200×=160，∴BC=BD+CD=90+160=250，∴v==100，故答案为：100．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.三、解答题17．已知向量，函数. （1）求函数的最小正周期（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换知识化简原函数为，由公式得到周期；（2），转化为求的正余弦函数即可.【详解】（1）由已知，所以函数的最小正周期．（2）由（1）及，，且，．所以．【点睛】角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.18．已知为两个不共线向量，，（1）若，求实数的值；（2）若，求的夹角【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设=λ，根据平面向量的基本定理列方程组即可求出k；（2）根据=0可得=1，代入夹角公式即可得出答案．【详解】（1）∵，∴=λ，即2﹣=+kλ，∴，解得k=﹣．（2）∵=，，∴=（2）•（）=0，∴2﹣15+7=0，又||=2，||=1，∴=1，∴cos＜＞==，∴与的夹角为．【点睛】涉及平面向量的共线（平行）的判定问题主要有以下两种思路：（1）若且，则存在实数，使成立；（2）若，且，则.19．用“五点法”画函数在同一个周期内的图像时，某同学列表并填入的数据如下表：（1）求的值及函数的表达式;（2）已知函数，若函数在区间上是增函数，求正数的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1) 由表中数据列关于、的二元一次方程组，求得、的值，得到x1、x2、x3，进一步求得函数解析式；(2)由函数在区间上是增函数建立关于a的不等关系即可得到正数的最大值【详解】（1）由，可得，，由，，，可得＝，＝，＝，又由表知＝2，∴．（2），当时，，∵在上是增函数，且，∴，∴∴∵，∴，又，∴，∴，∴的最大值.【点睛】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．20．如图，圆的半径为2，点是圆的六等分点中的五个点.（1）从中随机取三点构成三角形，求这三点构成的三角形是直角三角形的概率；（2）在圆上随机取一点，求的面积大于的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据直径对直角，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；（2）根据三角形的边角关系与面积公式得出点P满足的条件，从而得出所求的概率值．【详解】（1）从中随机取三点，构成的三角形共10个：△ABC，△BCD，△ACE，△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，△CDE，记事件M为“从中随机取三点，这三点构成的三角形是直角三角形”；由题意可知以为端点的线段中，只有是圆O的直径，所以事件M包含以下6个基本事件：△ADB，△ADC，△ADE，△BEA，△BEC，△BED，所以所求的概率为；（2）在Rt△ACD中，AD=4，∠ACD=90°由题意知是60°弧，其所对的圆周角∠CAD=30°；所以CD=2，；当△PAC的面积大于时，设点P到AC的距离为d，则有，即d＞2；由题意知四边形ABCD是矩形，所以AC∥DF，且AC与DF之间的距离为2，所以点P在上（不包括点D、F）；故所求的概率为．【点睛】本题主要考查了古典概型与几何概型，属于中档题。