2017-2018学年人教A版必修五一元二次不等式及其解法课件(45张)
合集下载
3.2.1 一元二次不等式及其解法 课件(人教A版必修5)
第 三章
不等式
③由图象得出不等式的解集． 对于a＜0的一元二次不等式,可以直接采取类 似a＞0时的解题步骤求解;也可以先把它化成
二次项系数为正的一元二次不等式,再求解．
(2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分 解因式或配方求解,当p＜q时,若(x－p)(x－q) ＞0,则x＞q或x＜p;若(x－p)(x－q)＜0,则p＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边,小于取中间”.
1 x x＜ 或x＞1； a
当 a＝0 时，解集为{x|x＞1}；
1 当 0＜a＜1 时，解集为x1＜x＜ . a
12 分
名师微博 千万别忘不等式要变号.
栏目 导引
第 三章
不等式
【名师点评】
求解含参数的一元二次不等
式，要注意对参数进行分类讨论；当参数在
b 1＋2＝－ ， a
∴不等式 cx2 －bx＋a＜0⇔2ax2 ＋3ax＋a＜0 ⇔2x2＋3x＋1＜0⇔(2x＋1)(x＋1)＜0⇔－1＜x 1 ＜－ . 2 1 【答案】 x－1＜x＜－2
栏目 导引
第 三章
不等式
【名师点评】三个“二次”间关系的应用：
(1)一元二次不等式解集的两个端点值(不是
不等式
【解】 (1)若 a＝0，则原不等式 可化为－x＋1＜0，即 x＞1. 3分
x－1(x－1)＞0， (2)若 a＜0， 则原不等式化为 a
1 即 x＜ 或 x＞1. a (3)若 0＜a＜1 时， 1 原不等式的解为 1＜x＜ . a 10 分 6分
栏目 导引
第 三章
不等式
综上所述，当 a＜0 时，解集为
二次项系数中讨论是否使二次项系数为0.当
人教A版高中数学必修五课件高一《一元二次不等式》
-2 O 3 x
当x<2或x>3时,y>0即 x2x6>0
若 一 元二 次 方程 x2-x-6=0
的解是x1=-2，x2=3.
y
则抛物线y=x2-x-6与x轴 的交点就是(-2，0)与(3， -2 O 0),
3x
一元二次不等式x2-x-6<0的解集是{x|2<x<3},x2-x-6>0 的 解 集 是 {x|x<-2 或
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
一元二次不等式的解法 z..x..x..k
考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值 时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值 时，y>0？
当 x=3.5 时 ， y=0 ， 即 2x-7=0；
y
当 x<3.5 时 ， y<0 ， 即 2x-7<0；
O 3.5 x
{x | x },其中 0,求不等式
cx2 bx a 0的解集.
3. ax 1的解集为{x | x 1或x 2},求a. x 1
当 x>3.5 时 ， y>0 ， 即 2x-7>0
函数、方程、不等式的联系： 一般地，设直线y=ax+b与x轴的交 点是(x0，0),则有如下结果：
1．一元一次方程ax+b=0的解是x0； （解是交点的横坐标）
2．①当a>0时， ax+b>0的解集是{x|x>x0}； ax+b<0的解集是{x|x<x0}.
{
x | x x ,或x x
1
2
b
} {x
|
x
-
一元二次不等式及其解法课件ppt(人教A版必修5)
例4.不等式 ax bx 2 0 的解集为
2
1 1 {x | x }, 求 a, b. 2 3 1 1 2 , 是方程 ax bx 2 0 解:由题意可得,
2 3
的两个根,且a<0.
1 1 b 2 3 a 1 1 2 2 3 a
解得:
a 12, b 2.
的解集
x | x1 x x2
例题选讲
题型二.不含参数的一元二次不等式的解
例2.解下列不等式
(1)2x 5x 3 0
2
(2) 3x 15x 12 2 (3) 3x 6 x 2
2
(4)4x 4x 1 0
2
练习:P80 1
2
(5) x 2x 3 0
2
取值范围. 2.已知 A {x | x2 x 6 0}, B {x | x2 2x 8 0},
C {x | x2 4ax 3a2 0}, 若 A
B
题型八. 应用问题
一元二次方程
2
与x轴交点的横坐标。 下面我们来研究如何应用二次函数的图 象来解一元二次不等式。
一元二次不等式的解集如下表
b 2 4ac
二次函数
0
y
0
y
y
x1 = x2
0
0
没有实根
y ax2 bx c(a 0)
的图像 一元二次方程
x1
0
x2 x
0
x
x
ax2 bx c 0(a 0)
变式：已知关于x的不等式(a b) x (2a 3b) 0 1 的解集为(, )，求关于x的不等式 3 (a 3b) x (b 2a) 0的解.
人教A版高中数学必修5课件 3.2一元二次不等式及其解法课件1课件
解： 0,4x2 4x 1 0
的解是
x1
x2
1 2
所以原不等式的解集是
x
x
1 2
.
典例剖析 规范步骤
例2解不等式 x2 2x 3 0
解：整理得：x2 2x 3 0 0 方程 x2 2x 3 0 无实数解
所以不等式 x2 2x 3 0 的解集是 所以原不等式的解集是
例题讲解
练习、求函数 f (x) 2x2 x 3 log3(3 2x x2)
的定义域
2x2 x 3 0
解：要使得函数有意义，则
3
2x
x
2
0，
即：x
1或x 1 x
3
3 2
，
也即
1 x 3
故函数 f (x) 的定义域是 [1, 3)
课堂练习
解下列关于x的不等式
(1)x2 4x 9 0 (2)3x2 7x 10 (3) x2 2x 3 0
的解集
x x2}
{x|x b } 2a
ax2 bx c 0(a 0)
的解集
{x|x1 x x2}
0
y
x O
没有实根
R
求解一元二次不等 式ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框图:
x b 2a
△≥0 x< x1 或
x> x
典例剖析 规范步骤
例1解不等式 4x2 4x 1 0
一次上网在多长时间以内能够保证选择电信 比选择网通所需费用少？
新课导入
分析：假设一次上网x小时， 则电信公司的收取费用为1.5x
根据题意知，网通收费1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……
因为1.7 ，1.6，1.5 ，1.4，……是以1.7为首项，-0.1为 公差的等差数列
人教A版高中数学必修5第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法课件
2．高考对一元二次不等式解法的考查常有以下几个 命题角度：
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
(1)直接考查一元二次不等式的解法； (2)与函数的奇偶性等相结合，考查一元二次不等式 的解法； (3)已知一元二次不等式的解集求参数．
[例 1] 为( )
(1)(2014·全国高考)不等式组xx＋2>0， 的解集 |x|<1
ax2＋bx＋c<0 对一切 x∈R 都成立的条件为a<0， Δ<0.
2．可用(x－a)(x－b)>0 的解集代替xx－ －ab>0 的解集，你认为 如何求不等式xx－ －ab<0，xx－ －ab≥0 及xx－ －ab≤0 的解集？
提示：xx－－ab＜0⇔(x－a)(x－b)<0； xx－－ab≥0⇔xx－－ba≠0x－；b≥0， xx－－ab≤0⇔xx－－ba≠0x－. b≤0，
考点二
一元二次不等式的恒成立问题
[例 2] 设函数 f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范 围； (2)若对于 x∈[1,3]，f(x)<－m＋5 恒成立，求 m 的取 值范围．
[自主解答] (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
xx≠－2ba
R
判别式 Δ＝b2－4ac
Δ＞0
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集 {x|x<x1<x2}
Δ＝0
∅
续表 Δ＜0
∅
1．ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0(a≠0)对一切 x∈R 都成立 的条件是什么？
提示：ax2＋bx＋c>0 对一切 x∈R 都成立的条件为a>0， Δ<0.
高中数学人教A版必修5《3.2.1一元二次不等式及其解法1》课件
3）函数值是负数，即x2-4x+1<0，解得：
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___
{x | 2 3 x 2 3} ，即，当
2 3 x 2 3 时，原函数的值是负数。
课堂练习3. 是什么实数时, x2 x 12 有意义?
解：要想原式有意义，即要使 x2 x 12 0 ，
解这个不等式得：{x|x<-4或x>3} 所以，原式当x<-4或x>3时有意义。
(3) 解不等式 4x2 - 4x+1>0
解： 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是 x1=x2=1/2 所以原不等式的解集为{x|x≠1/2}
(4) 解不等式 -x2+2x-3>0
解：整理，得 x2-2x+3<0 因为△=4-12= -8<0 方程2x2-3x-2=0无实数根
所以原不等式的解集为ф
y y=2x-7
o
3.5
x
-7
2、通过以上分析，得出以下结论
a>0
a<0
一次函数y=ax+b 的图像
方程ax+b=0的根 不等式ax+b>0的解集 不等式ax+b<0的解集
-b/a
x=-b/a x>-b/a x<-b/a
-b/a
x=-b/a X<-b/a X>-b/a
二、一元二次方程、一元二次不等式与二次函 数的关系
1、作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-2_,_0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： 交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程__的__根___
人教A版必修五3.2一元二次不等式及其解法(一)课件
本课结束
类型二 “三个二次”间对应关系的应用
例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x 的不等式bx2＋ax＋1>0的解集. 解答
由根与系数的关系，可得
－a＝1＋2， b＝1×2，
即ba＝＝2－，3，
∴不等式bx2＋ax＋1>0，即2x2－3x＋1>0.
由2x2－3x＋1>0，解得x<
第三章 不等式
§3.2 一元二次不等式及其解法(一)
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图象法解一元二次不等式. 3.体会数形结合、分类讨论思想.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 一元二次不等式的概念
思考
我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元 素均可使等式成立.那么你能写出不等式x2>1的解集吗？ 答案
1 2
或x>1.
∴bx2＋ax＋1>0的解集为x|x＜12或x＞1 .
反思与感悟
给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向 及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值.
解答
方法一 由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根.
√D.x|x＜－21或x＞1
∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，
∴由2x2－x－1>0，得(2x＋1)(x－1)>0， 解得x>1或x<－1 ， ∴不等式的解集2 为x|x＜－12或x＞1.
人教A版高中数学必修五课件第一课时一元二次不等式及其解法
题后反思 一元二次不等式的特点:①含一 个未知数,②未知数的最高次数是2,③最高 次项系数不为0.
跟踪训练1-1:判断下列不等式是否是一元二 次不等式? (1)x2+ax-3>0; (2)-5x2-6x+3≤0; (3)ax2+3x-2≥0; (4)3x3+2x-1<0. 解: (1)(2)一定是一元二次不等式;(3)中,当 a≠0时是一元二次不等式,当a=0时,不是一元 二次不等式;(4)不是一元二次不等式.
x2
x 1 - 2x 4 ≤0, x2 x2
x 1 2x 4 ≤0, x 5 ≥0,
x2
x2
∴x≥5 或 x<2.
答案:{x|x≥5 或 x<2}
课堂小结 1.解一元二次不等式可按照“一看,二算,三写”的 步骤完成,但应注意,当二次项系数为负数时,一般先 化为正数再求解,一元二次不等式的解集是一个集合, 要写成集合的形式. 2.解一元二次不等式要密切联系其所对应的一元二 次方程以及二次函数的图象.一元二次方程的根就是 二次函数图象与x轴交点的横坐标,对应不等式的解 集,就是使函数图象在x轴上方或下方的部分所对应 的x的集合,而方程的根就是不等式解集区间的端点.
ax2+bx+2=0
的两根,所以
2
b a
1 1
2,
2,
a
∴
a b
1, 1,
以下同法一.故选
A.
达标检测——反馈矫正 及时总结
1.不等式 2x2-x-1>0 的解集是( D )
(A)（- 1 ,1） 2
(B)(1,+∞) (C)(-∞,1)∪(2,+∞)
人教版A版高中数学必修5：一元二次不等式及其解法_课件3
(2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 恒成立的等价条件为 a<0， Δ<0；
(3)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 解集为∅的等价条件为 a<0， Δ≤0；
(4)一元二次不等式 ax2＋bx＋c≤0 解集为∅的等价条件 为aΔ><00，；
• 注意：在题目中没有指明不等式为二次不等 式时，若二次项系数中含有参数，应先对二 次项系数为0的情况进行分析，检验此时是否 符合条件．
• 2．对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
• (1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max； • (2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
• [变式探究] [2013·唐山检测]设函数f(x)＝mx2－ mx－1.
• (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值 范围；
• (2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值 范围．
一元二次不等式的解法
• 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模 型．
• 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的 二次函数、一元二次方程的关系．
• 3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不 等式，会设计求解的程序框图.
• 1个重要关系
• 三个二次的关系：一元二次不等式的解集的 端点与相应的一元二次方程的根及相应的二 次函数图象与x轴交点的横坐标相同．
当 m>0 时，g(x)在[1,3]上是增函数，
∴g(x)max＝g(3)，
∴7m－6<0，得
6 m<7.
∴0<m<67. 当 m＝0 时，－6<0 恒成立． 当 m<0 时，g(x)在[1,3]上是减函数． ∴g(x)max＝g(1)＝m－6<0，得 m<6.∴m<0. 综上所述，m<67. 方法二 ∵x2－x＋1＝(x－12)2＋34>0，
人教A版高中数学必修五课件3.2一元二次不等式及其解法(二).pptx
二、新课讲解
例1.求下列函数的定义域 : (1) y x2 4x 9; (2) y 2x2 12x 18.
例2.已知全集U R,且集合A x | x2 16 0 , B x | x2 4x 3 0 ,求 :
(1) A B; (2) A (CU B).
二、新课讲解
例3.若函数y log2 (ax2 ax 1)的定义域为R,求实数 a的取值范围.
练1.若不等式x2 2x a 1 0的解集为空集,则实数 a的取值范围是 ____ .
二、新课讲解
例4.某地区预计明年从年初开始的前x个月内, 对某 种商品的需求总量f (x)(万件)与月份x的近似关系 为: f (x) 1 x(x 1)(35 2x)(x N *,且x 12).写
空白演示及其解法 (二)
一、复习引入
求一元二次不等式解集的一般步骤 : 求一元二次方程的根
画二次函数的图象
求一元二次不等式的解集
一、复习引入
某产品按质量分为１０个档次，生产第一档（即 最低档次）的利润是每件８元，每提高一个档次 ，利润每件增加２元．但每提高一个档次，在相 同的时间内，产量减少３件．如果在规定时间内 ，最低档次的产品可生产６０件．试问在相同时 间内，为了获得的总利润不低于８１０元，则必 须生产哪些档次的产品？
150 出明年第x个月的需求量g ( x)(万件)与月份x的函数 关系式,并求出哪个月份的需求量超过1.4万件.
三、总结作业
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【答案】 (1)× (2)× (3)×
Байду номын сангаас
上一页
返回首页
下一页
教材整理 2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系 阅读教材 P76 倒数第三行～P78 例 2，完成下列问题． 三个“二次”的关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋ bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
【答案】 R
上一页
返回首页
下一页
3．设集合 M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则 M 与 N 的关系为________．
【解析】 因为 M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，
N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}， 所以 M N.
【答案】
M
N
上一页
返回首页
下一页
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 y 6 0 0 1 2 3 4
上一页
返回首页
下一页
求方程 f(x)＝0 的 解
解不等 式 f(x)＞ 画函数 y＝f(x)的 示意图 0 或 f ( x) ＜0 的步 {x|x＜x1 b 得等的 f(x)＞0 xx≠－ 骤 2a 或x＞x2} 集不式 解 f(x)＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅
有两个不等 有两个相等的 的实数解 实数解 x1＝x2 x1，x2
上一页
返回首页
下一页
2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解 的集合，称为这个一元二次不等式的 解集 ．
－4 －6 －6 －4 0 6
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
【解析】 可根据图表求得两个零点为 x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图 象(略)求解．
【答案】 {x|x＜－2 或 x＞3}
上一页
返回首页
下一页
[小组合作型]
解一元二次不等式
求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6.
上一页
返回首页
下一页
(3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为 {x|2a<x<－a}． 综上所述，原不等式的解集为： a>0 时，{x|－a<x<2a}； a＝0 时，x∈∅； a<0 时，{x|2a<x<－a}．
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ) )
(2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( (3)x2－ x>0 为一元二次不等式．( )
上一页
返回首页
下一页
【解析】 (1)×.当 m＝0 时，是一元一次不等式； 当 m≠0 时，它是一元二次不等式． (2)×.因为 a>0，所以不等式 ax2＋1>0 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错 误．
阶 段 一
3．2 第1课时
一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
上一页
返回首页
下一页
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
上一页
返回首页
下一页
[基础· 初探]
教材整理 1 一元二次不等式的概念 阅读教材 P76 第一行～P76 倒数第四行，完成下列问题． 1．一元二次不等式的概念 只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次 不等式．
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．解下列不等式： (1)2x2－x＋6>0； (2)(5－x)(x＋1)≥0.
上一页
返回首页
下一页
【解】
(1)∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数 y＝2x2－x＋6 的图象开口向上， 与 x 轴无交点， ∴原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
2
∴4x －4x＋1≤0
2
1 的解集为xx＝2
.
(3)由－x2＋7x>6，得 x2－7x＋6<0， 而 x2－7x＋6＝0 的两个根是 x＝1 或 6， ∴不等式 x2－7x＋6<0 的解集为 {x|1<x<6}．
上一页 返回首页 下一页
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)判别式． 对不等式左侧因式分解， 若不易分解， 则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
上一页 返回首页 下一页
【精彩点拨】
【自主解答】 x2－5x－6>0.
(1)由 x2－5x>6，得
∵x2－5x－6＝0 的两根是 x＝－1 或 6， ∴原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
上一页 返回首页 下一页
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 1 方程(2x－1) ＝0 的根为 x＝2，
上一页
返回首页
下一页
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)．
【精彩点拨】 因式分解→ 比较根的大小→ 分类讨论求解
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】
原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a. (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解；
没有 实数 解
R ∅
上一页
返回首页
下一页
1．不等式 x2≤1 的解集为________． 【解析】 令 x2－1＝0， 其两根分别为－1,1， 故 x2≤1 的解集为{x|－1≤x≤1}． 【答案】 {x|－1≤x≤1}
上一页
返回首页
下一页
2．不等式 2x≤x2＋1 的解集为________．
【解析】 2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0， ∴x∈R.
Байду номын сангаас
上一页
返回首页
下一页
教材整理 2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系 阅读教材 P76 倒数第三行～P78 例 2，完成下列问题． 三个“二次”的关系：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋ bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
【答案】 R
上一页
返回首页
下一页
3．设集合 M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则 M 与 N 的关系为________．
【解析】 因为 M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，
N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}， 所以 M N.
【答案】
M
N
上一页
返回首页
下一页
4．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 y 6 0 0 1 2 3 4
上一页
返回首页
下一页
求方程 f(x)＝0 的 解
解不等 式 f(x)＞ 画函数 y＝f(x)的 示意图 0 或 f ( x) ＜0 的步 {x|x＜x1 b 得等的 f(x)＞0 xx≠－ 骤 2a 或x＞x2} 集不式 解 f(x)＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅
有两个不等 有两个相等的 的实数解 实数解 x1＝x2 x1，x2
上一页
返回首页
下一页
2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解 的集合，称为这个一元二次不等式的 解集 ．
－4 －6 －6 －4 0 6
则不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是________．
【解析】 可根据图表求得两个零点为 x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图 象(略)求解．
【答案】 {x|x＜－2 或 x＞3}
上一页
返回首页
下一页
[小组合作型]
解一元二次不等式
求下列一元二次不等式的解集． (1)x2－5x>6； (2)4x2－4x＋1≤0； (3)－x2＋7x>6.
上一页
返回首页
下一页
(3)当 a<0 时，x1<x2， 不等式的解集为 {x|2a<x<－a}． 综上所述，原不等式的解集为： a>0 时，{x|－a<x<2a}； a＝0 时，x∈∅； a<0 时，{x|2a<x<－a}．
上一页
返回首页
下一页
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ) )
(2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( (3)x2－ x>0 为一元二次不等式．( )
上一页
返回首页
下一页
【解析】 (1)×.当 m＝0 时，是一元一次不等式； 当 m≠0 时，它是一元二次不等式． (2)×.因为 a>0，所以不等式 ax2＋1>0 恒成立，即原不等式的解集为 R. (3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错 误．
阶 段 一
3．2 第1课时
一元二次不等式及其解法 一元二次不等式及其解法
阶 段 三
阶 段 二
学 业 分 层 测 评
上一页
返回首页
下一页
1．掌握一元二次不等式的解法．(重点) 2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)
上一页
返回首页
下一页
[基础· 初探]
教材整理 1 一元二次不等式的概念 阅读教材 P76 第一行～P76 倒数第四行，完成下列问题． 1．一元二次不等式的概念 只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次 不等式．
上一页
返回首页
下一页
[再练一题] 1．解下列不等式： (1)2x2－x＋6>0； (2)(5－x)(x＋1)≥0.
上一页
返回首页
下一页
【解】
(1)∵方程 2x2－x＋6＝0 的判别式 Δ＝(－1)2－4×2×6<0，
∴函数 y＝2x2－x＋6 的图象开口向上， 与 x 轴无交点， ∴原不等式的解集为 R. (2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， ∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
2
∴4x －4x＋1≤0
2
1 的解集为xx＝2
.
(3)由－x2＋7x>6，得 x2－7x＋6<0， 而 x2－7x＋6＝0 的两个根是 x＝1 或 6， ∴不等式 x2－7x＋6<0 的解集为 {x|1<x<6}．
上一页 返回首页 下一页
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项系数为正． (2)判别式． 对不等式左侧因式分解， 若不易分解， 则计算对应方程的判别式． (3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．
上一页 返回首页 下一页
【精彩点拨】
【自主解答】 x2－5x－6>0.
(1)由 x2－5x>6，得
∵x2－5x－6＝0 的两根是 x＝－1 或 6， ∴原不等式的解集为 {x|x<－1 或 x>6}．
上一页 返回首页 下一页
(2)4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0， 1 方程(2x－1) ＝0 的根为 x＝2，
上一页
返回首页
下一页
解含参数的一元二次不等式
解关于 x 的不等式 x2－ax－2a2<0(a∈R)．
【精彩点拨】 因式分解→ 比较根的大小→ 分类讨论求解
上一页
返回首页
下一页
【自主解答】
原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.
对应的一元二次方程的根为 x1＝2a，x2＝－a. (1)当 a>0 时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当 a＝0 时，原不等式化为 x2<0，无解；
没有 实数 解
R ∅
上一页
返回首页
下一页
1．不等式 x2≤1 的解集为________． 【解析】 令 x2－1＝0， 其两根分别为－1,1， 故 x2≤1 的解集为{x|－1≤x≤1}． 【答案】 {x|－1≤x≤1}
上一页
返回首页
下一页
2．不等式 2x≤x2＋1 的解集为________．
【解析】 2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0， ∴x∈R.