专题复习《坐标法解立体几何体解答题》

x
PDA为二面角P CD B的平面角，
B
C
即PDA 450，
PA AD 3, PA AD, 故PA 平面ABCD,
6、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂
直，AB 2, AF 1, M是线段EF的中点。
（1）求证：AM 平面BDE；（2）求二面角A DF B的大小；
专题复习
有关向量知识 坐标法解立体几何解答题的 步骤
1、A(x 1 , y1 , z1 )、B(x 2 , y2 , z2 ), 则
AB (x2 x1, y2 y1, z2 z1)
2、设 a (x1, y1, z1), b (x2 , y2 , z2 ),
则(1) a b x1x2 y1 y2 z1z2
而 SD (0,2a,a), CD (a, a,0),
n
SD
0
2ay2
az2
0
n SA ax2 ay2 0 0
取y2 1，得x2 1, z2 2, n (1,1,2)
m n 11 (1)1 0 2 0,平面SAC 平面SCD.
(2）由（1）知 n (1,1,2)是平面SCD的法向量，
B
cos m, n
m n
1
1,
mn
3 3 3
二面角A
A1B
C的平面角的余弦值为1 3
。
3、如图，已知四棱锥P ABCD的底面是边长为2的菱形， 且BAD 600，PA 平面ABCD，且PA 1，E、F分别是 BC、PA的中点。（1）求证：BF 平面PED；（2）求二面 角P DE A的大小；（3）求点C到平面PED的距离。
（1）求证： AF 平面PEC；（2）求平面 PEC和平面PAD所成的
二面角的大小；（3）求点 D到平面 P E C的距离。
P1
3 A3
D
z P
6
F 3
B
(1)证明： A为P1D的中点， AB
3
C
CD, AB P1D,
A
3
D
即AB PA, AB AD AB 平面PAD,
E
y
CD 平面PAD,CD AD,CD PD,
P
2a
2a a
E
A
a
D
aa
B
C
z
SA n
A到平面SCD的距离d
2a 6 a
S
n
63
A
D
(3) SD (0,2a,a), AC (a, a,0),
y
cos SD, AC
SD AC
2a2
10 B
5a 2a 5 x
C
2、在直ABC A1B1C1三棱柱中，AC BC, AA1 BC 1,
AC 2,点M是的BB1中点，Q是AB的中点。 （1）若P是A1C1上的一动点，求证：PQ CM； （2）求二面角A A1B C的余弦值。
SA AB BC a, AD 2a.求证：平面SAC 平面SCD;
(2)求A到平面SCD的距离；（3）求SD和AC所成的角。
(1)证明：如图，以AB为x轴，AD为y轴，
z
S
建立空间直角坐标系A xyz，则
A(0,0,0)、C(a, a,0)、D(0,2a,0)、S(0,0, a),
a
设 m (x1, y1, z1)是平面SAC的法向量，则
2、写出相应点的坐标 3、解决问题：
1、空间角
（1）两异面直线AB与CD的夹角：
为锐角或直角
cos AB,CD
AB CD
, AB,CD 或 AB,CD
AB CD
（2）直线 l与平面所成的角 ：
AB, n
或
AB, n
2
2
A
sin cos AB, n
AB n
AB n
Bn
（3）二面角的平面角 ：
（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是600。
(1)证明： 平面ACEF ABCD平面， 而FA AC, 平面ACEF ABCD平面 AC，E FA 平面ABCD,
P(x, x,0)
M z
F
1
yD
C
P O
2
x
B
2
A
6、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂 直，AB 2, AF 1, M是线段EF的中点。 （1）求证：AM 平面BDE；（2）求二面角A DF B的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是600。
n2
n1
cos n1, n2 | n1 n2 | , (其中n1、n2为二面角两个面的平面角） | n1 | | n2 |
n1, n2 或 n1, n2
2、两直线平行
3、两直线垂直
4、直线与平面平行
5、直线与平面垂直
SA n 6、点S到平面的距离： d
n
A Bn
n
Sn A
1、四棱锥S ABCD中, DAB ABC 900, SA 平面ABCD,
A
a
2a
Dy
m AC, m SA,
Ba
C
x
而 AC (a, a,0),SA (0,0, a),
m m
AC ax1 ay1 0
SA 0 0 az1 0
0
取x1 1，得y1 1, z1 0,m (1,1,0)
设 n (x2, y2, z2 )是平面SCD的法向量，则 n SD, n CD,
22
2
B1 M
Q
PQCM (
2
x） 0
1
1 （ 1）
1
0， PQ
CM
B
2
2
2
y
z C1
C
1
（2）设 m (x1, y1, z1)是平面AA1B的法向量，则
m AA1, m AB,而 AA1 （0，0，1），AB （ 2，1，0），
m
AA1
0
0
z1
0
取x1 1，得y1 2, z1 0,m (1, 2,0)
E
z
M
P(0, y,0)
1
C P
xD
2
F
B
2
Ay
7、如图，正四棱锥P ABCD中，侧棱PA与底面ABCD
所成的角的正切值为 6 。 2
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小； （2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的余弦值； （3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF 侧面PBC， 若存在，使确定点F的位置；若不存在，说明理由。
(1)证明：如图，以CA为x轴，CB为y轴，
建立空间直角坐标系C xyz，则
A1
2P
C(0,0,0)、A( 2,0,0)、B(0,1,0)、Q( 2 , 1 ,0)、
22
M
(0,1,
1 2
)、A1
(
2,0,1), 设P(x,0,1)，
1
PQ (
21
1
x, ,1), CM (0,1, ),
A x
m AB 2x1 y1 0 0
设 n (x2 , y2 , z2 )是平面A1BC的法向量，A1
P
z C1
则 n BC, n CA1,
B1
而 BC （0，1，0），CA1 （ 2，0，1），
M
n
BC
0
y2
0
0
A x
C
n CA1 2x2 1 z2 0
Q
取x2 1，得y2 0, z2 2, n (1,0, 2 )
z P
F
D
A x
2
C
E
B
（1，3，0）
y
CP n
d
z
n
D
C
E
x
P（ 3，0，1）
F
A
2
B y
4、直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC，
BAC 1200，BA1C 900。
（1）求A1B与AC所成的角的余弦值；
（2）求二面角C A1B A的大小。 如图，以AB为x轴，AA1为z轴，
y
2
4、直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC， BAC 1200，BA1C 900。 （1）求A1B与AC所成的角的余弦值； （2）求二面角C A1B A的大小。
z
A1
B1
C1
y A
B
Cຫໍສະໝຸດ Baidu
O
x
5、在直角梯形 P1DCB中，P1D CB, 且P1D 6, BC 3，DC 6, A是P1D的中点，沿 AB把平面P1AB折起到平面 PAB的位置，使 二面角P CD B成450角，设E、F分别是线段 AB、PD的中点。
zP
x D
6a E C O
x 2 2a
F(x, yF,0)(其中2xa,yy,02a)
F A
y
2a
y
B
8、如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD中，ABC 600， PA AC a, PB PD 2a,点E在PD上，且PE：ED 2：1. （1）求证：PA 平面ABCD; （2）求面EAC与面DAC所成的二面角的大小。
z A1 建立空间直角坐标系A xyz，
设AB a, AA1 m,则B（a，0，0），A1(0,0, m)
B1
C1
C(
a， 3 22
a,0),
A1B
(a,0,m),
A1C
(
a 2
,
3 a,m), 2
A
由
A1B
A1C, 得
A1B
A1C
a
（
a） 2
0
3 a (m)2 0, 2
B x
C
m
2 a,
(2) a b a b (x1, y1, z1) (x2 , y2 , z2 ),
(3) a b a b x1x2 y1 y2 z1z2 0
3、设 a (x, y, z), 则 a x2 y2 z2
4、向量a、b的夹角：cos
a, b
a b
ab
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1、建立适当的空间直角坐标系