四阶的Runge_Kutta法
四阶Runge-Kutta方法
实验题目3 四阶Runge-Kutta 方法摘要一阶常微分方程初值问题0(,)()dy f x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （6.1） 的数值解法是近似计算中很重要的部分。
常微分方程初值问题的数值解法是求方程（6.1）的解在点列1(0,1,)n n n x x h n -=+=L 上的近似值n y ，这里n h 是1n x -到n x 的步长，一般略去下标记为h 。
常微分方程初值问题的数值解法一般分为两大类：（1）单步法：这类方法在计算n y 时，只用到1n x +、n x 和n y ，即前一步的值。
因此，在有了初值以后就可以逐步往下计算。
典型方法如龙格–库塔()R K -方法。
（2）多步法：这类方法在计算1n y +时，除用到1n x +、n x 和n y 以外，还要用(1,2,,;0)n p y p k k -=>L ，即前面k 步的值。
典型方法如Adams 方法。
经典的R K -方法是一个四阶的方法，它的计算公式是：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ （6.2） R K -方法的优点是：单步法、精度高，计算过程便于改变步长，缺点是计算量较大，每前进一步需要计算四次函数值f 。
前言利用四阶龙格-库塔方法求解微分方程的初值问题程序设计流程龙格-库塔法流程图问题1（1）TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 5, inline('-x-1'))TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 10, inline('-x-1'))TestRK4('ode1', 1, [0 -1], 20, inline('-x-1'))（2）TestRK4('ode2', 1, [0 1], 5, inline('1./(x+1)'))TestRK4('ode2', 1, [0 1], 10, inline('1./(x+1)'))TestRK4('ode2', 1, [0 1], 20, inline('1./(x+1)'))问题2（1）TestRK4('ode3', 3, [1 0], 5, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))TestRK4('ode3', 3, [1 0], 10, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))TestRK4('ode3', 3, [1 0], 20, inline('x.^2.*(exp(x)-x)'))（2）TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 5, inline('2*x./(1-2*x)'))TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 10, inline('2*x./(1-2*x)'))TestRK4('ode4', 3, [1 -2], 20, inline('2*x./(1-2*x)'))问题3（1）TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 5, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 10, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))TestRK4('ode5', 1, [0 1/3], 20, inline('x.^2+1/3*exp(-20*x)'))（2）TestRK4('ode6', 1, [0 1], 5, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))TestRK4('ode6', 1, [0 1], 10, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))TestRK4('ode6', 1, [0 1], 20, inline('exp(-20*x)+sin(x)'))（3）TestRK4('ode7', 1, [0 0], 5, inline('exp(x).*sin(x)'))TestRK4('ode7', 1, [0 0], 10, inline('exp(x).*sin(x)'))TestRK4('ode7', 1, [0 0], 20, inline('exp(x).*sin(x)'))实验所用函数function [x,y] = RK4ODE(fun, xEnd, ini, h)% RK4ODE 用四阶Runge-Kutta法解初值问题dy/dx = f(x,y),y(x0) = y0，在x处y的值%% Synopsis: [x,y] = RK4ODE(fun, xEnd)% [x,y] = RK4ODE(fun, xEnd, ini)% [x,y] = RK4ODE(fun, xEnd, ini, h)%% Input: fun = (string) 初值问题的函数% xEnd = 使用Euler法的截止点% ini = (optional)初始条件[x0 y0]，默认为[0 0]% h = (optional)步长，默认为0.05%% Output: y = 初值问题在x处y的近似值if nargin < 3ini = [0 0]; %若未给初始条件，将初始条件设为[0 0]endif nargin < 4h = 0.05; %若未给出步长，将步长设为0.05endini = ini(:); %将初始条件转为列向量，便于判断是否正确[m,n] = size(ini);if m ~= 2 | n~= 1error('初始值必须是一个含两个元素的向量[x0 y0]');endx0 = ini(1); %初始化x0y0 = ini(2); %初始化y0x = (x0:h:xEnd)'; %构建x向量y = y0*ones(length(x), 1); %初始化y向量for j=2:length(x)k1 = h * feval(fun, x(j-1), y(j-1)); %三阶Runge-Kutta法的递推公式：y(n+1) = y(n) + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4) / 6k2 = h * feval(fun, x(j-1)+h/2, y(j-1)+k1/2); % k1 = h * f( x(n), y(n) )k3 = h * feval(fun, x(j-1)+h/2, y(j-1)+k2/2); % k2 = h * f( x(n)+h/2, y(n)+k1/2 )k4 = h * feval(fun, x(j-1)+h, y(j-1)+k3); % k3 = h * f( x(n)+h/2, y(n)+k2/2 )y(j) = y(j-1) + (k1+2*k2+2*k3+k4)/6; % k4 = h * f( x(n)+h, y(n)+k3 )endfunction TestRK4(fun, xEnd, ini, N, result)h = (xEnd - ini(1))/N;[x,y] = RK4ODE(fun, xEnd, ini, h);y0 = feval(result, x);plot(x,y,'ro',x,y0,'b-');function dydx = ode1(x,y)dydx = x+y;function dydx = ode2(x,y)dydx = -y.^2;function dydx = ode3(x,y)dydx = 2*y./x + x.^2.*exp(x);function dydx = ode4(x,y)dydx = (y.^2 + y)./x;function dydx = ode5(x,y)dydx = -20*(y-x.^2) + 2*x;function dydx = ode6(x,y)dydx = -20*y + 20*sin(x) + cos(x);function dydx = ode7(x,y)dydx = -20*(y - exp(x).*sin(x)) + exp(x).*(sin(x) + cos(x));思考题1、实验一中(1)数值解和解析解相同，(2)数值解和解析解稍有不同，因为四阶Runge-Kutta方法是以小段的线性算法来近似获得微分方程的数值解，(1)的准确解是1阶的，(2)的准确解是无限阶的，因此对于(1)数值解和解析解相同。
龙格-库塔法
龙格－库塔法（Runge-Kutta）数值分析中，龙格－库塔法（Runge-Kutta）是用于模拟常微分方程的解的重要的一类隐式或显式迭代法。
这些技术由数学家卡尔·龙格和马丁·威尔海姆·库塔于1900年左右发明。
经典四阶龙格库塔法龙格库塔法的家族中的一个成员如此常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格库塔法”。
令初值问题表述如下。
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：其中这样，下一个值(yn+1)由现在的值(yn)加上时间间隔(h)和一个估算的斜率的乘积决定。
该斜率是以下斜率的加权平均：k1是时间段开始时的斜率；k2是时间段中点的斜率，通过欧拉法采用斜率k1来决定y在点tn + h/2的值；k3也是中点的斜率，但是这次采用斜率k2决定y值；k4是时间段终点的斜率，其y值用k3决定。
当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h5阶，而总积累误差为h4阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数(y可以是向量)都适用。
显式龙格库塔法显示龙格－库塔法是上述RK4法的一个推广。
它由下式给出其中(注意：上述方程在不同著述中由不同但却等价的定义)。
要给定一个特定的方法，必须提供整数s (阶段数)，以及系数aij (对于1 ≤ j < i ≤ s), bi (对于i = 1, 2, ..., s)和ci (对于i = 2, 3, ..., s)。
这些数据通常排列在一个助记工具中，称为龙格库塔表：c2 a21c3 a31 a32cs as1 as2 as,s ? 1b1 b2 bs ? 1 bs龙格库塔法是自洽的，如果如果要求方法有精度p则还有相应的条件，也就是要求舍入误差为O(hp+1)时的条件。
这些可以从舍入误差本身的定义中导出。
例如，一个2阶精度的2段方法要求b1 + b2 = 1, b2c2 = 1/2, 以及b2a21 = 1/2。
matlab经典的4级4阶runge kutta法
MATLAB是一种用于算法开发、数据分析、可视化和数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
作为一个强大的工具，MATLAB提供了许多数值计算方法，其中4级4阶Runge-Kutta方法就是其中之一。
1. Runge-Kutta方法简介Runge-Kutta方法是求解常微分方程（ODE）的数值方法之一。
在MATLAB中，用户可以使用内置的ode45函数来调用4级4阶Runge-Kutta方法。
具体来说，4级4阶Runge-Kutta方法是一种单步迭代方法，通过在每个步骤中计算斜率来逐步逼近解析解。
它的优点是数值稳定性好，适用于多种类型的微分方程。
2. Runge-Kutta方法的公式4级4阶Runge-Kutta方法的一般形式如下：$$k_1 = hf(t_n, y_n)$$$$k_2 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_1)$$$$k_3 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_2)$$$$k_4 = hf(t_n + h, y_n + k_3)$$$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$其中，$t_n$是当前的独立变量值，$y_n$是当前的解向量，h是步长，$f(t_n, y_n)$是给定点$(t_n, y_n)$处的斜率。
通过不断迭代上述公式，可以逐步求解微分方程的数值解。
3. MATLAB中的4级4阶Runge-Kutta方法的应用在MATLAB中，用户可以使用ode45函数调用4级4阶Runge-Kutta方法来求解常微分方程。
使用ode45函数的基本语法如下：```matlab[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)```其中，odefun是用户定义的ODE函数句柄，tspan指定了求解的时间范围，y0是初始条件。
四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)求解微分方程
四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）求解微分方程张晓颖（天津大学 材料学院 学号：1012208027）1 引言计算传热学中通常需要求解常微分方程。
这类问题的简单形式如下：{),(')(00y x f y y x y == （1）虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中的多数微分方程需要采用数值解法求解。
初值问题（1）的数值解法有个基本特点，它们采取“步进式”，即求解过程顺着节点排序一步一步向前推进。
这类算法是要给出用已知信息y n 、 y n −i ……计算y n +1的递推公式即可。
2 龙格库塔法（Runge-Kutta ）介绍假设对于初值问题（1）有解 y = y (x ) ，用 Taylor 展开有：......)(!3)(!2)()()(321+'''+''+'+=+n n n n n x y h x y h x y h x y x y （2） 龙格库塔法（Runge-Kutta ）实质上是间接的使用 Taylor 级数法的一种方法。
对于差商hx y x y n n )()(1-+，根据微分中值定理，存在 0 < θ < 1 ，使得：)()()(1h x y hx y x y n n θ+'=-+ （3）于是对于 y = y (x ) ，可得到：))(,()()(1h x y h x hf x y x y n n n n θθ+++=+ （4）设))(,(*h x y h x f K n n θθ++=，为区间 [x n , x n +1 ] 上的平均斜率。
四阶龙格库塔格式中的*K 由下式计算得到：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hK y h x f K K h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y n n n n nn n n n n （5） 四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）的每一步需要四次计算函数值f ，其截断误差更低，计算的精度更高。
四阶Runge-Kutta方法
2012-2013（1）专业课程实践论文四阶Runge-Kutta方法李元东，0818180107，R数学08-1班常微分方程初值问题的数值解法是求方程（1）的解在点列1(0,1,)n n n x x h n -=+= 上的近似值n y ，这里n h 是1n x -到n x 的步长，一般略去下标记为h 。
0(,)()dy f x y dxy x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩ （1）经典的R K -方法是一个四阶的方法，它的计算公式是：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ （2） R K -方法的优点是：单步法、精度高，计算过程便于改变步长，缺点是计算量较大，每前进一步需要计算四次函数值f 。
在用龙格库塔方法时,要注意n 的选择要合适，n 太大，会使计算量加大，n 太小，h 较大，可能会使误差增大。
因此选择合适的n 很重要。
我们要在考虑精度的基础上，选择合适的n 。
在此，用C 语言实现了龙格库塔方法。
四阶Runge-Kutta流程图#include<stdlib.h>#include<stdio.h>int RungeKutta(double y0,double a,double b,int n,double *x,double *y,double (*function)(double,double)){double h=(b-a)/n,k1,k2,k3,k4;int i;x[0]=a;y[0]=y0;for(i=0;i<n;i++){x[i+1]=x[i]+h;k1=function(x[i],y[i]);k2=function(x[i]+h/2,y[i]+h*k1/2);k3=function(x[i]+h/2,y[i]+h*k2/2);k4=function(x[i]+h,y[i]+h*k3);y[i+1]=y[i]+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;}return 1;}double function(double x,double y){return y-2*x/y;}//例子求y'=y-2*x/y(0<x<1);y0=1;int main(){ int i;double x[6],y[6];printf("用四阶龙格-库塔方法\n");RungeKutta(1,1,2,5,x,y,function);for(i=0;i<6;i++)printf("x[%d]=%f,y[%d]=%f\n",i,x[i],i,y[i]);return 1;}例1．求解方程⎩⎨⎧=<<+='110,0y x y x y 步长2.0=h ; 解：将程序中y x y return/*2-改为y x return + 1. 输入n b a y ,,,0的值：1；0；1；52. 显示输出结果：000000.00=x 时 ，000000.10=y ； 200000.01=x 时 ，242800.11=y ； 400000.02=x 时 ，583636.12=y ； 600000.03=x 时 ，044213.23=y ； 800000.04=x 时 ，651042.24=y ； 000000.15=x 时 ，436502.35=y ；例2．求解方程⎩⎨⎧=<<+=',1,10),1/(30y x x y y 步长2.0=h ； 解：将程序中y x y return /*2-改为()x y return +1/*31. 输入n b a y ,,,0的值：1；0；1；52. 显示输出结果：000000.00=x 时 ，000000.10=y ； 200000.01=x 时 ，727548.11=y ； 400000.02=x 时 ，742951.22=y ； 600000.03=x 时 ，094181.43=y ； 800000.04=x 时 ，829211.54=y ； 000000.15=x 时 ，996012.75=y ；。
4阶runge-kutta原理
4阶Runge-Kutta方法是一种数值求解常微分方程的方法，它通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
本文将从原理、推导以及应用等方面对4阶Runge-Kutta方法进行详细解读。
1. 原理4阶Runge-Kutta方法是数值分析中常用的数值解常微分方程的方法之一。
它的核心思想是利用哈密顿显式中点法求解微分方程。
该方法通过将微分方程的解离散化，然后通过计算每一步的斜率来逐步逼近方程的解，最终得到数值解。
2. 推导假设我们要求解如下的一阶常微分方程初值问题：$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$y(x_0) = y_0$其中$f(x, y)$是关于$x$和$y$的函数，$y_0$是初值，$x_0$是初始点。
现在我们希望通过4阶Runge-Kutta方法来求解上述方程。
我们将自变量$x$进行离散化，即将其分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h$，即$x_i = x_0 + ih$，$i=0,1,2,...,n$。
然后我们利用下面的迭代公式来计算每一步的$y$的近似值：$k_1 = h f(x_i, y_i)$$k_2 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$$k_3 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2})$$k_4 = h f(x_i + h, y_i + k_3)$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$式中，$k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$分别表示斜率的四个近似值，$y_{i+1}$表示下一个点的近似值。
3. 应用4阶Runge-Kutta方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
它不仅可以用来解决一阶常微分方程，还可以推广到高阶微分方程、常微分方程组以及偏微分方程等更复杂的问题。
由于该方法的高精度和稳定性，它也被广泛应用于科学计算领域，例如物理学、工程学、生物学和经济学等各个领域。
4阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程
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《mATLAb语言及应用》大作业姓学学班名号院级：：：：题目编号：20XX年10月134阶Runge-Kutta法求解一阶常微分方程。
一、Runge-Kutta法的数学理论龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。
如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。
一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。
(Yn+1-Yn)/h=f(xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）Yn+1=Yn+h*f(xn,Yn)另外根据微分中值定理，存在0这里K＝f(xn+th,Y(xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。
利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差为o(h^5)的四阶龙格库塔公式：K1＝f(xn,Yn);K2=f(xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);K3=f(xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);K4=f(xn+h,Yn+h*K3);Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6)二、Runge-Kutta的算法和流程图在龙格-库塔法中，四阶龙格-库塔法的局部截断误差约为0(h5),被广泛应用于解微分方程的初值问题。
matlab四阶龙格库塔法解方程组
matlab四阶龙格库塔法解方程组摘要：一、引言二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理2.龙格库塔法的发展历程三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解2.非线性方程组的求解五、结论正文：一、引言在数学领域，求解方程组是一项基本任务。
龙格库塔法作为高效数值求解线性方程组的方法，被广泛应用于各个领域。
MATLAB 作为一款强大的数学软件，可以方便地实现龙格库塔法求解方程组。
本文将介绍MATLAB 中四阶龙格库塔法解方程组的原理、实现与应用。
二、龙格库塔法介绍1.龙格库塔法的基本原理龙格库塔法（Runge-Kutta method）是一种求解常微分方程初值问题的数值方法。
它通过求解一组线性方程来逼近微分方程的解，具有较高的数值稳定性和精度。
龙格库塔法可以分为四阶、五阶等多种形式，其中四阶龙格库塔法是较为常用的一种。
2.龙格库塔法的发展历程龙格库塔法由德国数学家卡尔·龙格（Carl Runge）和英国数学家詹姆斯·库塔（James Kutta）分别在1900 年和1901 年独立发现。
自那时以来，龙格库塔法在数学、物理、工程等领域得到了广泛应用，并发展出了多种改进和扩展。
三、MATLAB 实现四阶龙格库塔法1.MATLAB 中龙格库塔法的函数在MATLAB 中，可以使用内置函数ode45、ode23、ode113 等实现龙格库塔法求解常微分方程。
这些函数分别对应四阶、五阶和三阶龙格库塔法。
2.四阶龙格库塔法的MATLAB 实现以下是一个使用MATLAB 实现四阶龙格库塔法求解方程组的示例：```matlabfunction [x, status] = solve_system_with_ode45(A, B, x0)% 定义方程组func = @(t, x) A * x + B;% 初始条件x0 = [1; 2];% 时间区间tspan = [0, 10];% 求解[x, status] = ode45(func, tspan, x0);end```四、龙格库塔法解方程组的应用1.线性方程组的求解线性方程组在数学、物理、工程等领域具有广泛应用。
runge kutta法总结
四阶误差 0.0000 1.60E-7 3.40E-7 5.48E-7 7.69E-7 9.95E-7 1.20E-6 1.42E-6 1.68E-6 1.96E-6 2.32E-6
二阶误差 0.000000 2.38E-3 7.09E-3 1.44E-2 2.45E-2 3.78E-2 5.45E-2 7.51E-2 9.99E-2 1.29E-1 1.64E-1
此处即通过计算已知点的函数值(K1,K2)的线性组合代替高阶导数， 得到了较高的精度。
Runge-Kutta方法的推导
Runge-Kutta方法的一般形式：
r Yn 1 Yn h ci K i i 2,3,, r i 1 i 1 , K1 F (t n , Yn ) i ij i 1 j 1 K F (t h, Y h K ) n i n ij j i j 1
Runge-Kutta积分方法
dY F (t , Y )，一般的解法可以表示为：Yn 1 Yn h D(t n , Yn ). dt 其中D(t n , Yn )是动点在(t n , t n 1 )中的平均速度。设Yn是精确的， 对 h2 h3 Y (t n 1 ) Y (t n h) Y (t n ) hY (t n ) Y (t n ) Y (t n ) 2 3! 所以得到：
结果及比较
结果及比较
四阶显式Runge-Kutta方法
f2
f4
f3
f1
f
f 1 f1 2 f 2 2 f 3 f 4 6
xn
xn + h/2
xn + h
例 求解初值问题ODE : dy y x 2 ,
matlab 四阶runge-kutta公式 求解常微分方程初值
matlab四阶runge-kutta公式求解常微分方程初值四阶Runge-Kutta方法是一种常用的数值求解常微分方程初值问题的方法。
对于一个一阶常微分方程形如dy/dx=f(x,y)，初始条件为y(x0)=y0，四阶Runge-Kutta方法的迭代公式如下：1.计算k1=h*f(x_n,y_n)2.计算k2=h*f(x_n+h/2,y_n+k1/2)3.计算k3=h*f(x_n+h/2,y_n+k2/2)4.计算k4=h*f(x_n+h,y_n+k3)5.计算下一个点的值：y_{n+1}=y_n+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6其中，h是步长，x_n和y_n是当前点的坐标。
下面是一个简单的MATLAB代码示例，用于使用四阶Runge-Kutta方法求解常微分方程初值问题：```matlabfunction y=runge_kutta_4th_order(f,x0,y0,h,end_x)x=x0:h:end_x;y=zeros(size(x));y(1)=y0;for i=1:length(x)-1k1=h*f(x(i),y(i));k2=h*f(x(i)+h/2,y(i)+k1/2);k3=h*f(x(i)+h/2,y(i)+k2/2);k4=h*f(x(i)+h,y(i)+k3);y(i+1)=y(i)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;endend```您需要提供函数`f(x,y)`，表示常微分方程的右侧。
然后，可以使用这个函数调用`runge_kutta_4th_order`来求解您的问题。
例如：```matlab%定义常微分方程的右侧函数f=@(x,y)x+y;%初始条件x0=0;y0=1;%步长和终止点h=0.1;end_x=1;%使用四阶Runge-Kutta方法求解result=runge_kutta_4th_order(f,x0,y0,h,end_x);%结果可视化plot(x0:h:end_x,result);xlabel('x');ylabel('y');title('Four-Order Runge-Kutta Method for ODE');```请根据您的具体问题修改右侧函数`f(x,y)`和初始条件。
四元数微分方程 runge kutta
四元数微分方程 Runge-Kutta一、概述四元数微分方程是描述四元数随时间变化的数学模型，它在多个领域中都有着重要的应用。
在数值计算中，为了求解四元数微分方程的数值解，常常需要使用Runge-Kutta方法。
本文将探讨四元数微分方程和Runge-Kutta方法的理论基础和应用。
二、四元数微分方程1.四元数的定义四元数是由一个实部和三个虚部组成的超复数。
一般地，四元数可以表示为q=w+xi+yj+zk，其中w、x、y、z分别代表实部和三个虚部的系数，i、j、k分别是四元数单位虚数，并满足以下性质：i^2=j^2=k^2=ijk=-12.四元数微分方程的一般形式四元数微分方程的一般形式可以表示为：dq/dt=f(q,t)其中q表示四元数，t表示时间，f(q,t)表示四元数随时间t的变化率。
求解四元数微分方程通常需要利用数值方法。
三、Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是一种常用的数值求解微分方程的方法，它通过递推的方式来逼近微分方程的解。
对于四元数微分方程，在使用Runge-Kutta方法时，需要考虑四元数的乘法和加法运算。
1.四阶经典Runge-Kutta方法四阶经典Runge-Kutta方法是最常用的一种Runge-Kutta方法，其递推公式为：k1=h*f(q_n,t_n)k2=h*f(q_n+0.5*k1,t_n+0.5*h)k3=h*f(q_n+0.5*k2,t_n+0.5*h)k4=h*f(q_n+k3,t_n+h)q_{n+1}=q_n+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)其中h为步长，f(q_n,t_n)为四元数在时刻t_n处的变化率。
2.四元数的乘法和加法运算在使用Runge-Kutta方法时，需要考虑四元数的乘法和加法运算。
四元数的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律。
在计算k1、k2、k3和k4时，需要考虑四元数乘法的性质。
四、应用实例为了说明四元数微分方程和Runge-Kutta方法的应用，我们可以考虑一个具体的实例，比如飞行器姿态控制系统中的四元数微分方程。
课程设计报告-四阶Runge-Kutta方法
《计算机数值方法》课程设计报告题目四阶Runge-Kutta方法学生姓名班级计科12学号成绩指导教师延安大学计算机学院2014年9月1日目录一、摘要 (5)二、问题重述 (5)三、方法原理及实现 (5)四、计算公式或算法 (5)五、Matlab程序 (6)六、测试数据及结果 (6)七、结果分析 (10)八、方法改进 (10)九、心得体会 (10)十、参考文献 (10)一、摘要本课程设计主要内容是用四阶Runge-Kutta 方法解决常微分方程组初值问题的数值解法，首先分析题目内容和要求，然后使用Matlab 编写程序计算结果并绘图，最后对计算结果进行分析并得出结论。
二、问题描述在计算机上实现用四阶Runge —Kutta 求一阶常微分方程初值问题()()[]()⎩⎨⎧=∈=1,,,,'y a y b a x y x f x y的数值解，并利用最后绘制的图形直观分析近似解与准确解之间的比较.三、方法原理及实现龙格—库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法.由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂.该算法是构建在数学支持的基础之上的。
龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均,用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法.如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。
经典的R K -方法是一个四阶的方法,它的计算公式是：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩ 四、计算公式或算法1． 输入()y x f y n b a ,,,,,0（编写或调用计算()y x f ,的函数文件()y x F ,）,2． b -a h n=（） ()00x y y = b x a x n ==,03．For n i :1=()()()()()101111211111311112411312,,,,i i i i i i i i i x x i hhh K f x y K f x h y h K K f x h y h K K f x h y hK ---------=+-===++=++=++ ()43211226K K K K h y y i i ++++=- End4．输出.,21n y y y ⋅⋅⋅ 五、Matlab 程序x=[a ：h:b ］；y(1）=y1；n=(b-a)/h+1;for i=2：nfk1=f(x （i-1),y （i —1））；fk2=f （x(i-1)+h/2,y （i —1)+fk1＊h/2）；fk3=f(x(i —1）+h/2，y （i-1)+fk2*h/2）;fk4=f(x （i —1）+h,y(i —1)+fk3*h ）;y(i ）=y （i-1)+h ＊(fk1+2*fk2+2*fk3+fk4)/6；endy六、测试数据及结果用调试好的程序解决如下问题:应用经典的四阶Runge —Kutta 方法解初值问题21(),13,(1)2,y y y t t y ⎧'=+≤≤⎪⎨⎪=-⎩ 取0.5h = （1） 步骤一：编写函数具体程序。
四阶Runge-Kutta法求解常微分方程
【SOS】在matlab中四阶Runge-Kutta法求解常微分方程匚悬赏分：150 -解决时间：2008-9-16 10:19【SOS】在matlab中四阶Runge-Kutta法求解常微分方程dx1/dt=x2 x1(0)=1e-8dx2/dt=x3 x2(0)=0dx3/dt=x4 x3(0)=0dx4/dt=f(t,x1,x2,x3,x4) x4(0)=0求解区间［0,1e-6］，在matlab中用四阶Runge-Kutta法求解，怎么用从一阶循环到四阶？有没有类似的具体算例？最好能帮小弟写个子程序希望各路高人出手相助，关乎小弟能否明年一月份顺利毕业，在此先多谢各位高人了。
提问者：zhihaikou -三级最佳答案没试过matlab，算这玩意太慢了，有fortran版的要不，有兴趣的话可以参考一下。
代码:SUBROUTINE run ge_kutta()!关于Runge-Kutta方法，该方法是用来解形如y'=f(t,y)的常微分方程的!经典的4阶R-K方法的公式如下：! Yn+1 = Yn + h/6 * (K1+2K2+2K3+K4)!其中! K仁f(Tn,Yn)! K2=f(T n+h/2,Y n+h/2*K1)! K3=f(T n+h/2,Y n+h/2*K2)! K4=f(T n+h,Y n+h*K3)type( no de_fish),po in ter :: pi7HO!S%（『!）siuo!」inu% 厂u 人 NOa%（r!）siuau;nu%r u 人NOd%（『!）siuo!」inu% 厂 u 人t7HN%（『!）siuo!」inu% 厂 u 人£ON%（『!）siuo!」inu%厂u 人（（>HO!S%lueu;nu _U!UJ >（ NOa%lueu;nu _u!iu > （ NOd%lueu;nu _u!iu >（ >HN%lueu;nu _U!UJ > eON%lueu;nu _u!iu >WW : >d31S -一ii（W+£>k0N+Z>k0N+"）*（09dois —|j ） + u 人二厂u 人L+u 人直具 *-以吐u 人甲：ed3丄S-—一ii（e>i*de;s -p+u 人'dois —：M+iuaurK ）—：|j ）uo!Qun 厂 |E 」60屮!=厂》£>UL|+u 人 POM u人'u+l DOMfeJB來：kSd3丄S ------- i（2>1*（0S/deis _p ）+UA 10S/deis _p+juajjno _p ）uo!pun4_|ej6aju!=e>j◊u ⑵q ）+u 人［1 變歪 u 人'乙/i|+i pOMfeJB Ux 來：c sd3丄s ------------- i（L>1*（0S/deis _|j ）+UA 107/deis _p+juajjno _p ）uo!pun4_|ej6aju!=3>j以*⑵L|）+u 人 H 變歪U 人'乙/1|+1 POMHB 辽X 來：2 2 C □丄s --------- i（uA^uejjno-pJuoipunPie 」6。
标准四阶龙格——库塔法
实验名：常微分方程数值解法实习目的：（1） 通过实习进一步掌握标准四阶龙格——库塔法的基本思想；（2） 通过对标准四阶龙格——库塔法的调试练习，进一步体会其特点；（3） 通过实习进一步掌握标准四阶龙格——库塔法的计算步骤，并能灵活应用；（4） 通过上机调试运行，逐步培养解决实际问题的编程能力。
实习要求：（1） 熟悉Turbo C 的编译环境；（2） 实习前复习标准四阶龙格——库塔法的基本思想和过程；（3） 实习前复习标准四阶龙格——库塔法的计算步骤。
实习设备：（1） 硬件设备：单机或网络环境下的微型计算机一台;（2） 软件设备：DOS3.3以上操作系统，Turbo C2.0编译器。
实习内容：标准四阶龙格——库塔法：（1）使用标准四阶龙格——库塔法求解初值问题的数值求解。
（2）要求：请写出程序的运行结果：程序代码：#include "stdio.h"#include "conio.h"float func(float x,float y){return(2*x*y);}float runge_kutta(float x0,float xn,float y0,int n){float x,y,y1,y2,h,xh;float d1,d2,d3,d4;int i;x=x0;y=y0;h=(xn-x0)/n;for(i=1;i<=n;i++) 1(0)y1x 0 2xy y =≤≤='{xh=x+h/2;d1=func(x,y);d2=func(xh,y+h*d1/2.0);d3=func(xh,y+h*d2/2.0);d4=func(xh,y+h*d3);y=y+h*(d1+2*d2+2*d3+d4)/6.0;x=x0+i*h;}return(y);}void main(){float x0,xn,y0,e;int n;printf("\ninput n:\n");scanf("%d",&n);printf("input x0,xn:\n");scanf("%f%f",&x0,&xn);printf("input y0:\n");scanf("%f",&y0);e=runge_kutta(x0,xn,y0,n);printf("y(%f)=%6.6f",y0,e);}运行结果:（3）思考题：标准四阶龙格——库塔法的基本思想是什么?龙格和库塔提出了一种间接地运用Taylor公式的方法，即利用y(x)在若干个待定点上的函数值和导数值做出线性组合式，选取适当系数使这个组合式进Taylor展开后与y(xi+1)的Taylor 展开式有较多的项达到一致，从而得出较高阶的数值公式，这就是龙格—库塔法的基本思想。
matlab经典的4级4阶runge kutta法 -回复
matlab经典的4级4阶runge kutta法-回复什么是Matlab经典的4级4阶Runge-Kutta法（RK4）？Matlab经典的4级4阶Runge-Kutta法是一种数值解法，用于求解常微分方程（ODEs）。
该方法是由德国数学家卡尔·雷特克（Carl Runge）和瓦尔特·库塔（Martin Kutta）在1900年至1901年期间独立发现和发展的。
它是一种四阶精度的方法，具有较高的稳定性和所需步骤数较少的优点，因此被广泛应用于科学和工程领域的数值模拟和计算中。
Runge-Kutta法的基本思想是通过逐步逼近来计算给定的常微分方程。
根据初值条件，我们可以设置一个初始点并迭代地计算出下一个点的近似值。
使用RK4方法，我们可以通过四个步骤来计算下一个点的近似值。
那么，RK4的四个步骤是什么呢？首先，我们设定初值条件。
对于一个一阶常微分方程y' = f(x, y)，我们需要给出初始点(x0, y0)。
然后，我们选择一个适当的步长h，以确定我们在每个步骤中应该前进的距离。
其次，我们计算k1，这是在初始点上斜率的近似值。
我们使用初始点的坐标(x0, y0)和方程f(x, y)来计算k1 = f(x0, y0)。
接下来，我们计算k2，这是在前进到下一个点之前我们在中间点上斜率的近似值。
中间点的坐标为(x0 + h/2, y0 + h*k1/2)。
我们使用方程f(x, y)和中间点的坐标来计算k2 = f(x0 + h/2, y0 + h*k1/2)。
然后，我们计算k3，这是在前进到下一个点之前我们在另一个中间点上斜率的近似值。
另一个中间点的坐标为(x0 + h/2, y0 + h*k2/2)。
我们使用方程f(x, y)和另一个中间点的坐标来计算k3 = f(x0 + h/2, y0 + h*k2/2)。
最后，我们计算k4，这是在下一个点上的斜率的近似值。
下一个点的坐标为(x0 + h, y0 + h*k3)。
定步长四阶龙格-库塔(Runge-Kutta)法
''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 模块名：定步长四阶龙格_库塔_Runge_Kutta_法.bas' 功能：解一阶常微分方程组的初值问题。
子过程Runge_Kutta由给定步长h和初始点上的值用四阶龙格-库塔法' 求解给定的初值问题，调用它一次向前积分一步，一般用于求解某一小区间中某几点的函数值；' 子过程Runge_KuttaDumb是连续调用于过程Runge_Kutta()计算出某一区间上的值，此时该区间长度可较' 大，但积分步长都较小。
一般来说，在精度要求不高时，可采用该方法''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''Option Explicit''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' '''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 模块名：定步长四阶龙格_库塔_Runge_Kutta_法.bas' 函数名：Runge_KuttaDumb(n，x1，x2，nstep，vstart()，xx()，y())' 功能：解一阶常微分方程组的初值问题。
4阶runge–kutta积分 mck方程
4阶runge–kutta积分mck方程Runge-Kutta方法是一种常用的数值积分方法，它可以用于解决常微分方程的初值问题。
以下是一个4阶Runge-Kutta方法的Python代码实现，用于求解McK方程。
首先，我们需要定义McK方程的形式。
McK方程是一个非线性常微分方程，形式如下：d²x/dt² = F(x, t)其中F(x, t)是一个非线性函数，具体形式可能因问题而异。
为了使用Runge-Kutta方法求解McK方程，我们需要将这个非线性方程转化为一个等价的线性方程组。
一种常见的方法是使用双变量函数u(x, t) = x(t)，将McK方程转化为以下两个方程：dx/dt = ud²x/dt² = F(x, t) = f(u, t)其中f(u, t)是一个已知的非线性函数。
这样，我们就可以使用Runge-Kutta 方法来求解这个线性方程组。
以下是一个使用4阶Runge-Kutta方法求解McK方程的Python代码示例：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeintimport matplotlib.pyplot as plt# 定义McK方程的函数形式def McK_func(u, t):x = u[0]dx = u[1]return [dx, -3*x*dx + 2*np.sin(t)]# 定义初始条件和时间区间u0 = [0, 0]t = np.linspace(0, 10, 1000)# 使用4阶Runge-Kutta方法求解McK方程u = odeint( McK_func, u0, t, method='RK4')x = u[:,0]dx = u[:,1]# 绘制结果图形plt.figure()plt.plot(t, x, label='x(t)')plt.plot(t, dx, label='dx(t)')plt.legend()plt.show()```在这个代码示例中，我们使用了scipy库中的odeint函数来实现4阶Runge-Kutta方法。
变步长四阶RungeKutta法解常微分方程组
变步长四阶Runge Kutta法解常微分方程组//变步长四阶Runge-Kutta法解常微分方程组//例题：(《C常用算法程序集》徐士良清华大学出版社p178例)//解常微分方程组//y0'=y1,y0(0)=0.0//y1'=-y0,y1(0)=1.0//源程序：#include"math.h"#include"stdio.h"#include"stdlib.h"void grkt2f(double t,double y,int n,double d){d[0]=y[1]；//右端函数,根据具体问题进行修改d[1]=-y[0]；//右端函数,根据具体问题进行修改return；}void grkt2(double t,double h,double y,int n,double eps){intm,i,j,k；double hh,p,dt,x,tt,q,a[4],*g,*b,*c,*d,*e；g=(double*)malloc(n*sizeof(double))；b=(double*)malloc(n*sizeof(double))；c=(double*)malloc(n*sizeof(double))；d=(double*)malloc(n*sizeof(double))；e=(double*)malloc(n*sizeof(double))；hh=h；m=1；p=1.0+eps；x=t；for(i=0；i=n-1；i++)c[i]=y[i]；while(p=eps){a[0]=hh/2.0；a[1]=a[0]；a[2]=hh；a[3]=hh；for(i=0；i=n-1；i++){g[i]=y[i]；y[i]=c[i]；}dt=h/m；t=x；for(j=0；j=m-1；j++){grkt2f(t,y,n,d)；for(i=0；i=n-1；i++){b[i]=y[i]；e[i]=y[i]；}for(k=0；k=2；k++){for(i=0；i=n-1；i++){y[i]=e[i]+a[k]*d[i]；b[i]=b[i]+a[k+1]*d[i]/3.0；}tt=t+a[k]；grkt2f(tt,y,n,d)；}for(i=0；i=n-1；i++)y[i]=b[i]+hh*d[i]/6.0；t=t+dt；}p=0.0；for(i=0；i=n-1；i++){q=fabs(y[i]-g[i])；if(qp)p=q；}hh=hh/2.0；m=m+m；}free(g)；free(b)；free(c)；free(d)；free(e)；return；}void main(){FILE*fp；if((fp=fopen("out.txt","w"))==NULL){printf("Can't open the file！")；exit(0)；}double t,h,eps,y[100]；int n=2；//因变量数n,根据具体问题修改int m=10；//迭代步数m,根据具体问题修改t=0.0；h=0.1；eps=0.00001；//计算条件,根据具体问题修改y[0]=0.0；y[1]=1.0；//设定初值,根据具体问题修改fprintf(fp,"t=%7.3f",t)；for(int i=0；i n；i++)fprintf(fp,"y(%d)=%e",i,y[i])；fprintf(fp,"\n")；for(int ii=0；ii m；ii++){grkt2(t,h,y,n,eps)；t=t+h；fprintf(fp,"t=%7.3f",t)；for(i=0；i n；i++)fprintf(fp,"y(%d)=%e",i,y[i])；fprintf(fp,"\n")；}}计算结果：t=0.000 y(0)=0.000000 e+000 y(1)=1.000000 e+000 t=0.100 y(0)=9.983341 e-002 y(1)=9.950042 e-001 t=0.200 y(0)=1.986693 e-001y(1)=9.800666 e-001 t=0.300 y(0)=2.955202 e-001 y(1)=9.553365 e-001t=0.400 y(0)=3.894183 e-001 y(1)=9.210610 e-001 t=0.500 y(0)=4.794255 e-001 y(1)=8.775826 e-001 t=0.600 y(0)=5.646424 e-001 y(1)=8.253356e-001 t=0.700 y(0)=6.442177 e-001 y(1)=7.648422 e-001 t=0.800y(0)=7.173561 e-001 y(1)=6.967067 e-001 t=0.900 y(0)=7.833269 e-001y(1)=6.216100 e-001 t=1.000 y(0)=8.414710 e-001 y(1)=5.403023 e-001。
四阶龙格库塔实验报告
三、四阶Runge-Kutta 法求解常微分方程一、龙格库塔法的思想根据第九章的知识可知道，Euler 方法的局部截断误差是2()O h ，而当用Euler 方法估计出1,()(1)n n n n y y hf x y +=+ 再用梯形公式111[(,)(,)](2)2n n n n n n h y y f x y f x y +++=++进行校正，即采用改进Euler 方法得出数值解的截断误差为3()O h 。
由Lagrange 微分中值定理'11()()()()()(,())(3)n n n n n y x y x y x x y x hf y ξξξ++=+-=+ 记*(,())k hf y ξξ=，得到*1()()(4)n n y x y x k +=+这样只要给出一种计算*k 的算法，就能得到相应的计算公式。
用这种观点的来分析Euler 方法和改进Euler 方法，Euler 方法的迭代公式可改写为111(,)n n n n y y k k hf x y +=+=改进Euler 方法的预报-校正公式可改写为 1121211()2(,),(,)n n n n n n y y k k k hf x y k hf x h y k +=++==++ Euler 方法实际上是用一个点处的值1k 近似*k ，而改进Euler 方法是用两个点处的值1k ，和2k ，做算术平均值近似*k 自然改进Euler 方法要优于Euler 方法。
因此，可以想到假如在1[,]n n x x +内多预报几个点值i k ，并用他们的加权平均值作为*k 的近似值，则有可能构造出具有更高精度的计算公式，这就是Runge-Kutta 法的基本思想。
二、四阶龙格库塔法由Runge-Kutta 的基本思想，构造四阶Runge-Kutta 法是利用1234,,k k k k 和的加权平均值来近似*k ，因此令1112233441211132211243312213(,)(,)(5)(,)(,)n n n n n n n n n n y y w K w K w K w K K hf x y K hf x h y K K hf x h y K K K hf x h y K K K αβαβγαβγη+=++++⎧⎪=⎪⎪=++⎨⎪=+++⎪⎪=++++⎩使得511()()n n y x y O h ++-=即其总体截断误差为4()O h 。