参考3-非对称弯曲应力与剪心概念
非对称弯曲与特殊梁-第一、二讲
1 2
b4 18
2b4 9
1 2
b4 18
2b4 9
cos4848'
b4 18
sin4848'
I y 0.1520b4 Iz 0.1258b4
§2 非对称弯曲正应力
平面弯曲正应力分析 非对称弯曲正应力一般公式
平面弯曲正应力分析
l Sy ( )ds
Iy
ez
l Sz ( )ds
Iz
剪心位置仅与截面的形状及尺寸有关，与外力
无关，属于截面几何性质
当横向外力作用线通过剪心时，梁将只弯不扭， 故剪心又称弯心
问题回顾
何以伴随扭转？
存在附加扭力偶矩
对称截面的剪心 单对称截面
双对称截面
剪心位于对称轴上
剪心与形心重合
ydA
Sz ( )
0
R0cos
R0d
R02sin
( ) FSSz ( ) FSsin
I z
R0
max
FS
R0
§4 薄壁梁的截面剪心
剪心概念 剪心位置的确定
剪心概念
现象与问题
点击
剪心演示
画面
要使梁仅弯不 扭，横向载荷 (F,q) 应满足何 种条件？
qz (s)
FSz Sy (
Iy
)
Fsz位置：ey=?
根据合力矩定理:
ey
l Sy ( )ds
Iy
要使梁 y 轴发生平面弯曲，外力 ( F, q )作用线 ‖z 轴，并距其 ey 处
剪心概念
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
2. 单向受力假设
纵向纤维互不挤压，只受单向拉压。
计算方法
1. 正应力计算公式
适用于弹性变形范围内的长直梁，具体公式依据材料力学原理推导得出。
2. 切应力计算公式
复杂且因截面形状而异，需根据具体情况分析。
应用实例
1. 简支梁
一端固定铰支、另一端可动铰支的梁，是工程中常见的梁类型。
2. 悬臂梁
一端固定、另一端自由的梁，受力分析较为复杂。
3. 外伸梁
具有一个或两个外伸部分的简支梁，需考虑外伸部分的影响。
工程力学弯曲应力和内力知识点总结
知识点
描述
弯曲内力
1. 剪力
平行于横截面的内力合力，左上右下为正。
2. 与弯矩图
表示剪力、弯矩沿梁轴变化的图线，是分析梁的重要手段。
弯曲应力
1. 正应力
梁弯曲时，横截面上的正应力主要由弯矩引起。
- 纯弯曲
横截面上只有弯矩而无剪力的情况，正应力分布简单，中性层上无应力。
- 横力弯曲
横截面上既有弯矩又有剪力的情况，正应力分布复杂，需考虑切应力的影响。
2. 切应力
由剪力引起，横截面上的切应力分布规律因截面形状而异。
中性层与中性轴
1. 中性层
梁内一层纤维既不伸长也不缩短，此层纤维称为中性层。
2. 中性轴
中性层与横截面的交线，为应力分布分析的基准线。
应力假设
1. 平面假设
材料力学笔记
作者简介：郭志明，现在就读天津大学固体力学专业绪论基本概念材料力学的任务：载荷，弹性变形，塑性变形设计构件需要满足以下三个方面的要求：强度，刚度，稳定性强度：构件抵抗破坏的能力刚度：构件抵抗变形的能力稳定性：构件维持其原有平衡形式的能力基本假设：连续均匀性，各项同性，小变形研究对象及变形形式：杆：构件的某一方向的尺寸远大于其他两个方面的尺寸平板，壳，块体变形形式：拉伸（压缩），剪切，扭转，弯曲基本概念内力：构件内部相邻两部分之间由此产生的相互作用截面法：假象切开，建立平衡方程，求截面内力第一章：轴向拉伸，压缩和剪切基本概念轴力：截面内力FN及FN’的作用线与轴线重合，称为内力轴力图：表示轴力随横截面位置的变化应力：轴力FN均匀分布在杆的横截面上FA圣维南原理斜截面上的应力:P cos拉压杆的变形：F NE l（弹性范围内）A lEA称为杆件的抗拉（压）刚度泊松比：弹性范围内。
横向应变和纵向应变之比的绝对值工程材料的力学性能：材料在外力作用下在强度和变形方面表现出的性能。
Eg：应力极限值，弹性模量，泊松比等。
力学性能决定于材料的成分和结构组织，与应力状态，温度和加载方式相关，力学性能，需要通过实验方法获得。
弹性变形：塑性变形：低碳钢拉伸实验四个阶段：弹性，屈服，强化，颈缩屈服：应力在应力-应变曲线上第一次出现下降，而后几乎不变，此时的应变却显著增加，这种现象叫做屈服冷作硬化：常温下经过塑性变形后材料强度提高，塑性降低的现象ln(1)，l/l0（工程应变）真应力应变：t其他材料的拉伸实验温度，时间及加载速率对材料力学性能的影响蠕滑现象：松弛现象：冲击韧性：材料抵抗冲击载荷的能力（可以通过冲击实验测定）许用应力：对于某种材料，应力的增长是有限的，超过这一限度，材料就要破坏，应力可能达到的这个限度称为材料的极限应力。
通常把材料的极限应力/n作为许用应力[σ],[]u强度条件：杆内的最大工作应力max(FN)[]n uA n节点位移计算集中应力：由于试件截面尺寸急剧改变而引起的应力局部增大的现象应力集中系数：K max/n，σn是指同一截面上认为应力均匀分布时的应力值超静定问题：未知力的数目超过独立的平衡方程的数目，因此只由平衡方程不能求出全部未知力，这类问题成为超静定问题。
弯曲剪应力弯曲中心ppt课件
校核梁的强度的一般流程
计算横截面形心位置以确定中性轴 计算横截面关于中性轴的惯性矩
确定可能产生最大正 应力的截面及其弯矩
确定可能产生最大切 应力的截面及其剪力
用公式计算最大正应力
或 max
Mmaxymax Iz
max
Mmax Wz
用公式计算最大切应力
或 max
QmaxS Izb
max
k
Q A
根据许用应力校核强度
～
L h
结论 一般细长梁的横截面上弯曲正应力几乎总比 弯曲切应力高出一个数量级。
脆性材料
[σ –]
[σ +] [τ]
塑性材料
[σ +][σ –] [τ]
结论
在一般细长梁中，弯曲正应力是引起破坏 的主要原因。
在短粗梁、薄壁杆件、层合梁、抗剪能力 较弱的复合材料梁中，弯曲切应力是引起破坏 的值得重视的因素。
25 100
25 25
100
先求支反力
例 画出如图结构的 剪力弯矩图，并求梁 中横截面上的最大拉 应力和最大切应力。
mB0 3 R C 1 ( 4 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 2 ) 0
RC0.5 kN
C 处支反力实际方向向下
mB0 3 R B 1 ( 4 0 .5 ) ( 0 .5 2 ) 0 RB2.5 kN
1.2 3 (10 z0 )10 2 MPa
翼板中的最大切应力出 现在 z = 10 处
max1.23MPa
z 腹板中坐标为 y 处的面积对中性 轴的静矩
y x S 2 22 00 2 2 0 4 2 2 0 0 2 2 4 y 0 21 2 0 2 2 4 y 0 F
6.2 弯曲切应力
§2-1 弯曲正应力、剪应力、剪力流、剪切中心
y
y F 1
b
z
y
F 1
z
Q
Q
B
F 2
Q
M =Q b Z
a c
F 2
z
Q
F 3
zb
F 3
Q b = Fa + F b+ F c Z 1 2 3
也就是说，截面上剪应力的合力作用点，既为弯曲中心， 也就是说，截面上剪应力的合力作用点，既为弯曲中心，截面上剪应力的合力作 用点是固定的，由截面的几何形状决定。 用点是固定的，由截面的几何形状决定。
z
z
δ
r
a
解：
由于截面关于坐标轴对称，所以弯曲中心即截面的形心，下面求剪力流 ， 由于截面关于坐标轴对称，所以弯曲中心即截面的形心，下面求剪力流q， 根据材料力学： 根据材料力学：
Q * S Q s Q ϕ 2 τ= = y ⋅ δds = d r2 π r δ sin ϕ ϕ = − δ cosϕ 0 − I Zδ I Zδ ∫ I Zδ ∫ 2
I y ⋅ Iωy − I xy ⋅ Iωx X0 = 2 I x ⋅ I y − I xy I xy ⋅ Iωy − I x ⋅ Iωx Y = 2 0 I x ⋅ I y − I xy
其中： 其中：
I = bω s ωx ∫ xtd 0 b Iωy = ∫ ω s ytd 0
πδ
cosϕ
δ
（面积静矩必须从剪应力零点开始，因为对称， 面积静矩必须从剪应力零点开始，因为对称， 剪力为反对称荷载在对称轴a、b点处为零） 点处为零） 剪力为反对称荷载在对称轴 点处为零 而 作业： 作业： 试求薄壁半圆形 横截面的剪切中 心
y
r
材料力学基本基本概念
弹性阶段
应力和应变成正比，材料表现 出良好的弹性回复能力。
屈服点
应力达到最大值后，材料开始 出现塑性变形。
破坏点
应力继续增加直至材料破坏， 应变不再增加。
泊松比
材料在拉伸或压缩时，横向收缩相对于纵向伸长的 比例。
拉伸和压缩
拉伸
以外力作用下使材料产生长度增加或伸长的变形方 式。
压缩
以外力作用下使材料产生长度减少或压缩的变形方 式。
剪切应力与剪切变形
1 剪切应力：垂直于剪切面的切应力，是材料在剪切变形时受到的力的强度。 2 剪切变形：相对于剪切面产生的平移变形，使切变角发生改变。
材料力学基本概念
材料力学是研究材料在外力作用下的行为和性质的科学，掌握其基本概念对 于了解材料的力学特性至关重要。
应变与应力的基本概念
1 应变：表示材料的变形程度，通常用相对长
度或角度来表示。
2 应力：是单位面积上的力，可以描述材料受
到的力的强度。
杨氏模量和泊松比
杨氏模量
材料在拉伸或压缩时的应力和应变之Biblioteka 的比例系数。弹性性质和塑性性质
1
弹性性质
材料在受力后可以恢复到原来的形状和尺寸，不会永久变形。
2
塑性性质
材料在受力后会产生永久性变形，无法恢复到原来的形状和尺寸。
刚度与强度的关系
刚度
反映材料抵抗变形的能力，与材料的弹性模量 有关。
强度
反映材料抵抗破坏的能力，与材料的抗拉、抗 压或抗剪切能力有关。
应力与应变的曲线特征
第十二章 非对称弯曲
对称弯曲
非对称弯曲
Page 2
第十二章 平面图形的主形心轴
非对称弯曲与特殊梁
z
0
y z dA
截面的惯性积 I yz
A
yzdA
z
截面的主轴 I yz
A
yzdA 0
截面的主形心轴： y
y
当坐标系的原点位于截面形心时， 相应的主轴称为截面的主形心轴
Page 3
第十二章 非对称弯曲的正应力分析
0
b
3FSy1b 2 h(h 6b1 )
切向微内力的合力作用点位置：
根据合力矩定理(对C’取矩）：
FSyez F1h
F1h 31b 2 ez FSy h 6b1
Page16
第十二章 Fsy ez
非对称弯曲与特殊梁
Me C
x
z
F F y
要使梁 z 轴发生平面弯曲，外力必须通过截面上剪力 的作用点，并与y轴平行。 如果外力加在形心C处，则必须附加一力偶Me方能使梁 保持平面弯曲，若没有该附加力偶，则梁发生反向扭转
非对称弯曲与特殊梁
y和z轴为主形心轴 弯矩矢量Mz沿z轴方向
先研究一个特殊的非对称弯曲：
中性轴
Mz C z
试验表明：平面假设和单向受力假设 仍然成立
那么，截面上一定存在中性轴，方位？
y
变形几何关系，胡克定律 E E
——中性层曲率半径
Page 4
第十二章
中性轴
Mz C y z
max
FS πR0
Page13
第十二章
非对称弯曲与特殊梁
一些薄壁截面梁的平面弯曲条件下的剪流分布
10 第十一章 非对称弯曲解析
第十一章 非对称弯曲
匀质直梁对称弯曲的回顾
3
第十一章 非对称弯曲
矩形截面互垂对称面弯曲变形的讨论
l
C
z
yP
挠度之比
变形面方位角
arctg
wz wy
arctg
Iz Iy
Pz Py
arctg
I I
z y
tg
一般 ，弯曲变形不发生在外力作用面内。
Iy
Iz
中性轴过截面形心
tan z I y Mz
y IzMy
12
第十一章 非对称弯曲
中性轴
a
Mz
C My
M
z
C b
z
y
y
tan z I y Mz
y IzMy 最大弯曲正应力位置？
是否是平面弯曲？
Myz Mz y
Iy
Iz
13
第十一章 非对称弯曲
弯曲
对称弯曲 非对称弯曲
0
y z
dA
yy
z
截面的惯性积
I yz
yzdA
A
z
截面的主轴
I yz
yzdA 0
A
截面的主形心轴：
当坐标系的原点位于截面形心时， 相应的主轴称为截面的主形心轴
7
第十一章 非对称弯曲
根据转轴公式
若 I y1z1 0, I y1 I z1
则对任意 , I yz 0, I y Iz
16
第十一章 非对称弯曲
§11-2 薄壁梁的弯曲切应力
工字形梁的弯曲切应力 腹板：//腹板侧边，均匀分布。
材料力学第8章-弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
1. 基于弯曲正应力的分析结果——承认纯弯 正应力公式在横向弯曲时依然成立。
Mzy
Iz
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
前提
2. 因为薄壁截面杆的内壁和外壁都没有力作 用，应用剪应力互等定理，横截面上的剪应力作 用线必然沿着横截面周边的切线方向。
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
TSINGHUA UNIVERSITY
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
梁弯曲时横截面上的剪应力分析 实心截面梁的弯曲剪应力公式 薄壁截面梁的弯曲中心 结论与讨论
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
薄壁杆件弯曲时为什么会发生扭转现象？ 外力的作用线通过哪一点就不会发生扭转？ 这一点的位置怎样确定？
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
薄壁截面梁的弯曲中心
通过考察微段的局部平衡确定剪应力流的方向
TSINGHUA UNIVERSITY
横向弯曲时，梁的横截面上不仅有弯矩，而 且还有剪力。与剪力相对应的，梁的横截面上将 有剪应力。
分析弯曲剪应力的方法有别于分析弯曲正应 力的方法。
TSINGHUA UNIVERSITY
第8章 弯曲剪应力分析与弯曲中心的概念
弯曲剪应力以及弯曲中心的概念
分析模型－开口薄壁截面梁
参考3-非对称弯曲应力与剪心概念
n m
C y
dx x
z
F
(a)
n
m
d
c
a
s
b
F+dF
d aω
cδ
s
τ(s)
dx
b
F (b)
图2 为了分析梁的弯曲切应力，首先在 x 截面处，从梁中切取长为 dx 的一微段， 然后在距开口端 s 处，再用一个沿壁厚δ方向的纵截面将该微段的下部切出(图 2b)。设微段下部的横截面面积为ω，则由该部分的轴向平衡条件，得 s 处的弯曲 切应力为
(a)
如图 1b 所示，横截面上各点处的法向微内力σdA 构成一空间平行力系，而 且，由于横截面上没有轴力，仅存在弯矩 M，因此，
∫AσdA = 0
(b)
∫A zσdA = 0
(c)
∫A yσdA = M
(d)
将式(a)代入式(b)，得
∫AηdA = 0
可见，在一般非对称弯曲时，中性轴仍通过截面形心。由此得
M
C
z
中性轴 η
M
C
z
y
z
dA
x y
x σdA
y
(a)
(b)
图1 实验表明，在非对称弯曲时，平面假设与单向受力假设仍成立。研究还表明， 当弯矩 M 作用面垂直于截面的任一主形心轴时，中性轴垂直于弯矩作用面。所 以，如果中性层的曲率半径用ρ表示，则横截面上距中性轴η处的弯曲正应力为
σ = Eε = Eη ρ
称为平面弯曲。对称弯曲时，中性轴垂直于弯矩作用面，所以，对称弯曲也是一
种平面弯曲。
二、开口薄壁梁弯曲切应力
对于一般薄壁梁的弯曲切应力，可作如下假设：横截面上各点处的弯曲切应 力，平行于该点处截面中心线切线，并沿壁厚均匀分布。现在，利用上述假设， 研究弯曲切应力沿截面中心线的变化规律。
材料力学课件-第49讲 第十一 章 非对称弯曲与特殊梁(1)
假设
推论： 弯曲时梁内存在中性层
中性轴： 中性层与横截面交线
中性轴位置待定
§11-1 非对称弯曲正应力
r－中性层曲率半径
1. 几何方面
2. 物理方面
未知量：中性层曲率半径、中性轴位置（线、角位移）
3. 静力学方面
(a)(b)
中性轴通过截面形心
(e)(c)
中性轴与主形心轴 z重合
本章主要研究：
一、从对称弯曲到非对称弯曲
§11-0 引言
思考：对称弯曲的分析方法如何推广到非对称弯曲？
我国运－12多用途运输机
对称弯曲
二、一种简单的非对称弯曲——梁有互垂对称面（1）
分析思路：
分解为两个对称弯曲
中性轴方位角
弯矩矢方位角
y
C
z
M
结论：若 ，则
第十一章 非对称弯曲与特殊梁(1)
第四十九讲知识点 平面弯曲与斜弯曲 非对称弯曲正应力一般公式
第十一章 非对称弯曲与特殊梁
§0 引言 §1 非对称弯曲正应力 §2 薄壁梁的弯曲切应力 §3 薄壁梁的截面剪心 §4 复合梁与夹层梁 §5 曲梁
一般非对称弯曲正应力 一般薄壁梁的弯曲切应力 薄壁梁的截面剪心 复合梁与曲梁弯曲应力
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•
作业 11-2，3(不考虑弯曲切应力)
谢谢
主形心轴
主形心轴
主轴:满足惯性积为零的坐标轴
主惯性矩:对主轴的惯性矩
主形心轴与主形心惯性矩
猜想： 1. 如果弯矩矢沿主形心轴，则可能是平面弯曲。 2. 任意斜弯曲都可能分解为两个互垂的平面弯曲。
当
时，
《非对称弯曲》课件
本课件将介绍非对称弯曲的定义、应用、分类、实现原理、优点、不足之处、 未来发展趋势等方面，希望大家能够从中获益。
什么面的几何 形状不对称的一种变形工艺。
2 特点
相较于传统的对称弯曲工艺，非对称弯曲可 以获得更好的性能。
非对称弯曲的应用
工程领域
设计理论的完善
现代计算机模拟技术和数字化设计方法的不断发展， 为非对称弯曲的设计和应用打下了坚实基础。
结束语
非对称弯曲是一种非常有潜力的工艺，通过精确的设计和精湛的技艺，可以获得性能更好、重量更轻、使用寿 命更长的工件。希望大家在以后的实际工作中能够充分应用这种优秀的工艺！ 谢谢观看，如有问题和建议，欢迎指教！
非对称弯曲可以用于加强桥梁、构建稳定的单轮摩 托车等。
生物领域
非对称弯曲广泛存在于树干、骨骼、角等生物组织 之中，用于分散压力，提高耐久性。
非对称弯曲的分类
单向弯曲
截面几何形状仅在弯曲方向上不对称，简单易 用。
双向弯曲
截面几何形状在弯曲方向上和垂直弯曲方向上 都不对称，应用更加广泛。
非对称弯曲的实现原理
1
材料选择
应根据工件的用途、应力状态以及承受荷载的情况等进行选择。
2
设计方法
需要注意中心的偏移和变形的控制，采用CAD等工具进行设计。
非对称弯曲的优点
增加材料强度
通过合理的几何形状设计和冷 弯工艺可以有效地增强材料的 强度和韧性。
减轻重量
相较于传统的对称弯曲工艺， 非对称弯曲可以在保证强度的 前提下减轻重量。
提高工程效率
非对称弯曲可以更好地适应实 际的应用情况，提高工作效率。
非对称弯曲的不足之处
1 操作复杂
非对称弯曲需要更精确的计算和更复杂的工艺，相较于传统的对称弯曲操作更为复杂。
结构设计知识：剪切应力在结构设计中的控制
结构设计知识：剪切应力在结构设计中的控制剪切应力在结构设计中的控制剪切应力作为一种非常常见的形式力学，广泛应用于建筑、桥梁、卡车、飞机等工程设计中。
剪切应力与弯曲、压应力不同，它是沿着横向的方向作用于物体，使得物体内部的原子不再保持原来的紧密排列，产生一定的剪切变形。
如何正确控制剪切应力，对于设计一个牢固、稳定、安全的结构来说至关重要。
1.剪切应力的定义和计算剪切应力可以形象地理解为一个水平方向向左或向右的力作用于物体的上部或下部，并且与水平方向的夹角为90度。
剪力发生的原理是，物体在水平那个方向上受到的力的大小不相等，从而产生了形变。
剪应力是指单位面积内受到的剪力，它的单位为压力(N/m2)。
按照力学基本原理，剪应力可以用下列公式计算：Shear stress = Force / Area其中，剪切应力的单位为牛/米^2 (Pa)，力的单位为牛(N)，面积的单位为平方米(m2)。
2.剪切应力的作用及控制剪切应力的作用是让结构发生形变，这种形变会使物体上面的部分向左移动，而下面的部分向右移动。
在某些情况下，这种形变是可以忽略不计的，但在大多数情况下，这种形变会导致结构的损坏。
因此，剪切应力的控制是非常必要的，也是结构设计中重要的一部分。
在控制剪切应力时，一个重要的因素就是结构的材料。
一般来说，剪切应力与材料的强度有直接关系，因此采用高硬度、高强度的材料可以有效控制剪切应力。
同时，材料的弹性模量也是影响剪切应力的重要因素。
弹性模量越高，结构所能承受的剪切应力就越大，结构的刚度也就更高。
在设计中，需要考虑剪切应力的相对大小，以避免结构损坏。
熟练掌握剪切应力的计算方法，可以帮助工程师正确定位并合理设计结构。
3.剪切应力的在实际工程中的应用剪切力在很多工程中都起着重要作用，特别是在许多重机械产品的结构设计中。
例如，机床等大型设备的滑块、传动轴等部件，都需要选择合适的材料，以承受较大的剪切力。
此外，高速旋转设备如汽车的轮毂也需要考虑到剪切应力对设备的影响。
机械中变应力的概念
机械中变应力的概念在机械工程中，变应力是指物体在受到外力作用时所产生的应力。
应力是物质内部单位面积上的力，它是力在面上的分布情况。
对于微元体，变应力可以分为正应力和剪应力两个方面。
首先，正应力是指垂直于某一面的应力。
根据受力情况的不同，正应力可以分为拉应力和压应力。
拉应力是沿某一方向拉伸物体产生的应力，而压应力则是沿某一方向压缩物体产生的应力。
拉应力使物体在该方向上变长，压应力则使物体在该方向上变短。
其次，剪应力是指沿某一平面上产生的应力。
剪应力的方向与平面相切，并且剪应力是由相邻两部分沿平面上的两个相对方向作用力引起的。
剪应力会使物体沿平面方向发生形变。
在实际的工程应用中，变应力的计算往往采用材料力学的相关理论，包括胡克定律和剪应力理论。
胡克定律揭示了弹性体在变形过程中应力与应变之间的关系。
根据胡克定律，应力与应变成正比，其比例常数为弹性模量，即应力等于弹性模量乘以应变。
对于剪应力的计算，可以通过剪应力理论来确定。
剪应力理论中有三个主要理论来描述剪应力分布：圆心剪应力理论、胡克理论和圆周剪应力理论。
这些理论用于计算圆柱体、矩形截面、等轴、惯性矩形截面、圆环、梁等结构中的剪应力。
在实际工程中的应用中，变应力对于材料的强度、稳定性、刚度和耐久性产生重要影响。
当材料受到超过其承受能力的应力时，可能会发生破坏和损坏。
因此，在设计和制造过程中，需要对变应力进行充分分析和估计，以确保材料的使用安全性和可靠性。
此外，变应力还对机械零件的寿命和可靠性有重要影响。
由于变应力会使机械零件发生损坏，因此需要进行相应的疲劳、断裂和可靠性分析，以便预测和评估零件的使用寿命和可靠性。
在此过程中，变应力分析是十分重要的一步，它可以帮助工程师找到可能会导致零件破坏的应力集中区域，并采取相应的措施来避免破坏。
总之，变应力在机械工程中具有重要的作用。
它是物体受到外力作用时产生的应力，包括拉应力和压应力以及剪应力。
对于机械零件的设计和制造过程来说，变应力的分析和估计是十分必要的，它不仅影响材料的强度和稳定性，还会影响机械零件的寿命和可靠性。
剪应力、剪力流理论和剪切中心
这样，整个工形截面梁在竖向受弯时的剪应力分布将如图 翼缘水平剪应力（S 自1； =O 的翼缘自由端即角点算起，对VS V Sth 二_____________ _2_I X tI X t2I x6— 13b ,具体公式为： C 、d 点为 S = 0, b /2):(6— 20)剪应力、剪力流理论和剪切中心一、梁的剪应力计算公式VS由梁的剪应力计算公式 ，可求得梁竖向受弯时截面的竖向剪应力（图 6— 7）。
Ib这在实体式截面（例如矩形截面）时为正确，但对薄壁构件则存在一些不合理现象。
例如在工形截面梁（图6 — 7c ）中，按式（6 — 7）所得腹板剪应力顺着腹板中轴线方向， 是合理的；而翼线剪应力则有不合理处，主要是在翼缘与腹板的交接处发生翼缘剪应力很小 而腹板剪应力大的剧烈突变。
这是由于计算翼缘剪应力时假定为沿翼缘全宽 b 均匀分布，实际上翼缘内表面Cd 和ef 段为自由表面，不存在水平剪应力，因而也不会有成对相等产生的 垂直于表面方向的翼缘竖向剪应力，亦即剪应力不会在翼缘全宽内均匀分布。
另外•取梁翼线的dz 微段all a （图6 — 13a ）考察其平衡，仿式（6— 7）的推导， 可知在翼缘内主要将有水平剪应力，其计算公式为：VS（6— 20）It公式形式与式（6 — 7）相同，但ydA 取计算剪应力处（I 点）以外翼缘部分 A i （图6 —AI13b ）对中和轴的面积矩，t 取计算剪应力处的冀缘厚度。
a rFtLuT图6-13工形融画樂的期应力截面全部剪应力的总合力等于竖向剪力V ,水平合力则互相抵消平衡。
二、薄壁构件的剪力流理论根据上面的推论，可得到薄壁构件受弯时的剪应力分布规律： 无论是竖向、水平或双向受弯，截面各点剪应力均为顺着薄壁截面的中轴线S 方向（图6 — 13b 、6— 14,示竖向弯曲情况），在与之垂直即壁厚方向的剪应力则很小而可忽略不计；且由于壁薄可假定剪应力 T沿厚度t 为均匀分布，其大小为：VSVS， q = . ∙t（6— 23）ItI沿S 铀，故双向弯曲时二者可直接叠加（考虑正负号）。
11 第十一章 非对称弯曲
剪心即为弯曲切应力的合力作用点
当外力通过剪心时，在横截面上只存在合剪力， 而无扭矩。（存在弯曲切应力，无扭转切应力） S ds S ds e 剪心位置的确定 e
z l z
Iz
y
l
y
Iy
2
第十一章 非对称弯曲
匀质 直梁 对称弯曲的回顾
3
第十一章 非对称弯曲
本 讲 内 容
y
中性轴不通过截面形心 中性轴位于截面形心与内侧边缘之间
19
第十一章 非对称弯曲
大曲率梁与小曲率梁
My My Sz (r y ) Sz
y2
A
dA
A
y( r ) y dA ydA r dA Sz
A
A
My (1 y / r ) y dA 1 y / r A
y A r y dA 0
A
A
d M d ES z My My Sz (r y ) Sz
非线性分布
σc,ma
x
σ
M
y
σt,max
18
第十一章 非对称弯曲
中性轴与形心的位置关系
中性轴 z
C
e
Sz A e
1 y2 e dA 0 A A
e—形心坐标
2
ME2 y E1 I1 E2 I 2
y
x
1
ME1 y E1 I1 E2 I 2
My My E Iz I1 2 I 2 E1
2 n
My Iz
n’A1
E2 n E1
I z I1 nI 2
弯曲工艺与模具设计-肖小亭广东工业大学
15
2、直边高度：H>2t
16
3、孔边距离：t<2mm，L≥t； t>2mm，L≥2t
17
4、形状与尺寸的对称性
不对称时，成对成形，或增加压料板、定位销等
18
5、局部边缘弯曲 应力集中，预冲卸荷孔或切槽。
19
三、弯曲件的工序安排
复杂弯曲件 — 多次弯曲 — 弯曲件精度，弯曲模结构。 弯曲模工序安排：材料属性、生产批量、精度要求、生产率等。 基本规则：
措施，弯曲工序的安排。
2
基本概念
弯曲：在冲压力的作用下，将板料、管材或型材弯成一 定曲率或角度，并得到一定形状零件的冲压工序。
分类：压弯、折弯、扭弯、辊弯、滚弯和拉弯。
3
第一节 弯曲变形分析
变形区：弯曲圆角部位 弯曲变形内区、外区
弹性弯曲，弹塑性弯曲，塑性弯曲
宽板弯曲，窄板弯曲
弯曲变形程度：相对弯曲半径
一、最小相对弯曲半径
rmin 1 1 1 1
t 2 2 2
最大伸长率
最大端面收缩率
除外δ和φ，还有其它影响因素。实际生产中使用的最小相
对弯曲半径可更小些。
13
最小相对弯曲半径的其它影响因素
弯曲角α 板料的方向性 板料表面质量和剪切断面质量 板料的厚度和宽度
14
二、弯曲件的工艺性
1、弯曲半径：过大—回弹，精度难保证，过小—拉裂。
Ld(L0.75)0 d
Lp Ld 2C
U形弯曲宽度尺寸标注在内侧时，先确定凸模尺寸，凹模配作保证间隙。
Lp(L0.25)0p
Ld Lp 2C
36
二、弯曲模的典型结构
1、敞开式弯曲模
非对称循环应力
非对称循环应力
非对称循环应力指的是当材料在应力作用下循环变形时，其应力在正、负方向的大小
及持续时间不相等的现象。
在一定的循环次数内，应力的循环路径是不对称的。
非对称循环应力是材料工程、机械工程等领域中一个重要的问题。
它的出现在很大程
度上是由于材料的非均匀性及应变硬化等因素所引起的。
正是由于非对称循环应力的存在，使得材料的性能存在很大的差异。
对于金属材料而言，非对称循环应力经常会导致疲劳失效。
因为在非对称循环载荷下，材料的应力与应变过程不是平稳的。
当材料在循环应力作用下达到一定循环次数时，就会
出现疲劳失效现象。
这种疲劳失效会导致材料的裂纹扩展，甚至会导致材料的断裂。
为了降低非对称循环应力的影响，通常采用以下几种方法：
1. 尽可能使材料内部均匀。
这需要强化材料的治理和制造工艺。
2. 采用材料耐疲劳性好的金属材料。
这样可以减少材料的疲劳失效，并延长材料的
使用寿命。
3. 采用合适的设计方法。
设计时应尽可能减少非对称载荷的作用，以免导致材料的
疲劳失效。
总之，非对称循环应力在材料工程、机械工程等领域中具有很大的研究意义。
通过研
究非对称循环应力的影响和作用，可以更好地为设计和制造材料和机械提供科学依据，从
而延长材料和机械的使用寿命，提高其可靠性和安全性。
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非对称弯曲应力与剪心概念
前面所研究的梁，或属于对称弯曲，或属于双对称截面梁的非对称弯曲。
现在进一步研究一般非对称截面梁的弯曲正应力，一般开口薄壁梁的弯曲切应力，并在此基础上研究与横向剪切有关的问题。
一、一般非对称弯曲正应力
考虑图1a 所示非对称截面梁，坐标轴y 与z 为截面主形心轴，弯矩M 作用在垂直于主形心轴z 的平面内（图中弯矩M 用矢量表示）。
图1
实验表明，在非对称弯曲时，平面假设与单向受力假设仍成立。
研究还表明，当弯矩M 作用面垂直于截面的任一主形心轴时，中性轴垂直于弯矩作用面。
所以，如果中性层的曲率半径用ρ表示，则横截面上距中性轴η处的弯曲正应力为
ρ
η
εσE E =
= (a)
如图1b 所示，横截面上各点处的法向微内力σd A 构成一空间平行力系，而且，由于横截面上没有轴力，仅存在弯矩M ，因此，
∫=A
A 0d σ (b) ∫=A
A z 0d σ (c)
∫
=A M A y d σ (d)
将式(a)代入式(b)，得
∫=A
A 0d η
可见，在一般非对称弯曲时，中性轴仍通过截面形心。
由此得
ρ
σEy
=
(e)
将式(e)代入式(c)，得
∫
=A
A yz 0d
由于坐标轴y 与z 为截面主形心轴，上式自然满足。
将式(e)代入式(d)，得
z
EI M
=
ρ
1
(1) 并从而有
z
I My
=
σ (2) 以上分析表明，当弯矩作用面垂直于横截面的任一主形心轴时，中性轴沿该主形心轴，即中性轴垂直于弯矩作用面。
中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式，称为平面弯曲。
对称弯曲时，中性轴垂直于弯矩作用面，所以，对称弯曲也是一种平面弯曲。
二、开口薄壁梁弯曲切应力
对于一般薄壁梁的弯曲切应力，可作如下假设：横截面上各点处的弯曲切应力，平行于该点处截面中心线切线，并沿壁厚均匀分布。
现在，利用上述假设，研究弯曲切应力沿截面中心线的变化规律。
图2a 所示为一任意形状的开口薄壁梁，坐标轴y 与z 为截面的主形心轴。
在平行于y
轴的载荷F 作用下，梁发生平面弯曲。
图2
为了分析梁的弯曲切应力，首先在x 截面处，从梁中切取长为d x 的一微段，然后在距开口端s 处，再用一个沿壁厚δ方向的纵截面将该微段的下部切出(图2b)。
设微段下部的横截面面积为ω，则由该部分的轴向平衡条件，得s 处的弯曲切应力为
δ
ωτz z y y I S F )(S =
(3)
式中：S z (ω)代表开口端至s 处的部分横截面对z 轴的静矩；F S y 代表横截面x 上的剪力。
三、剪心概念
对称弯曲时，剪力F S y 的作用线与横截面的对称轴重合。
但是，在图3a 所示一般平面弯曲的情况下，剪力F S y 的作用线究竟位于何处则尚待确定（图3b ）。
应该注意到，当梁承受横向载荷时，如果外力作用线与上述剪力F S y 的作用线不在同一个平行于x 轴的平面内（图3c ），则将外力平移到该平面时，将产生一个附加扭力偶M a ，这时，梁不仅发生弯曲变形，同时发生扭转变形。
因此，有必
要确定剪力作用线的位置。
图3
如图4a 所示，若以坐标原点O 为矩心，并设剪力F S y 的力臂为e z ，微剪力τy δd s 的力臂为ρ，则根据合力矩定理可知，
∫=l y z y s e F S d δρτ
式中，l 代表截面中心线的总长。
将式(3)代入上式，于是得
Z
l
z z I s S e ∫
=
d ρ
(4)
图4
同理，当梁在垂直于主形心轴y 的平面内发生平面弯曲时(图4b)，由弯曲切应力τz 所构成的合力F S z 的作用位置为
y
l
y
y
I s S e ∫=d ρ (5)
在横截面所在平面内，坐标为（e y ，e z ）的点(图4c)，即弯曲剪力F S y 与F S z
作用线的交点，称为横截面的剪心或弯心。
由此可见，只有当横向外力（集中力或分布力）的作用线通过截面剪心时，梁才仅弯不扭。
式(4)与(5)表明，剪心位置（e y，e z）仅取决于截面的形状与尺寸，而与外力无关。
由上述分析还可以看出，当截面具有一个对称轴时，剪心必位于该对称轴上(图5a)；而对于双对称截面，则剪心必与形心重合(图5b)。
图5
另一种值得注意的情况，是截面中线为由两段直线组成的开口薄壁截面梁，例如L形与T形等薄壁截面梁。
如图6a所示，当L形薄壁梁绕主形心轴z发生平面弯曲时，在ab与bd段内由弯曲切应力构成的剪切力F1与F2的作用线相交于角点b，因此，剪切力F1与F2的合力即剪力F S y的作用线必通过角点b。
同理，当该梁绕主形心轴y发生平面弯曲时（图6b），剪力F S z的作用线也一定通过角点b。
由此可见，中线为两段直线的开口薄壁截面，其剪心必位于该二直线的交点。
图6。