《二次函数与利润问题及几何问题》导学案湘教版(2020年最新)
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了二次函数的定义、图像和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的性质，并为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的函数思维。
但二次函数相对于一次函数来说，概念较为抽象，图像和性质的理解也需要一定的空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解二次函数的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像特点；2.了解二次函数的性质，能够运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和图像特点；2.二次函数的性质及其运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究二次函数的性质；3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力；4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对二次函数图像和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次函数的图像和性质；2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和讨论；3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线射击、自行车刹车等问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的定义，通过课件展示二次函数的图像，让学生观察和理解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，尝试绘制一些简单的二次函数图像，加深对二次函数图像特点的理解。
4.巩固（10分钟）讲解二次函数的性质，引导学生通过思考、交流，总结二次函数的性质。
湘教版_二次函数导学案
二次函数第1课时二次函数一、阅读教科书第2—3页二、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题；3．列二次函数表达式解实际问题．三、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________．四、基本知识练习1．观察：①y＝6x2；②y＝－32x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）．（1）当m__________时，该函数为二次函数；（2）当m__________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y＝1－3x2（2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2 （4）y＝3x3＋2x2（5）y＝x＋1x五、课堂训练1．y＝(m＋1)x mm 2－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（）A．y＝x＋12B．y＝3 (x－1)2C．y＝(x＋1)2－x2 D．y＝1x2－x3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（）A．28米B．48米C．68米D．88米4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3．求：（1）函数y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当y＝－13时，x的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．六、目标检测1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（）A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1D．a≠－12．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝x2－1 B．y＝x－1 C．y＝8 xD．y＝8 x23．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．第2课时二次函数y＝ax2的图象与性质（二课时）一、阅读课本：P5—10二、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．三、探索新知：画二次函数y＝x2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……由图象可得二次函数y＝x2的性质：1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．四、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的图象．x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝12x2……y＝x2的图象刚画过，再把它画出来．x …－2－1.5－1－0.50 0.5 1 1.52…y＝2x2……归纳：抛物线y＝12x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y ＝－2x2的图象．列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……x …－4－3－2－10 1 2 34…y=－12x2……x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝－2x2……归纳：抛物线y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．五、理一理12的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．a＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y ＝ax2与y＝－ax2关于_______对称，开口大小_______________．3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．六、课堂训练1开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值y＝23x2当x＝____时，y有最_______值，是______．y＝－8x22．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________．4．如图，①y＝ax2②y＝bx2③y＝cx2④y＝dx2比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接．___________________________________七、目标检测1．函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．三、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．解：先列表x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2＋1……y＝x2－1……观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．四、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．六、目标检测2．抛物线y＝－13x2－2可由抛物线y＝－13x2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________．4．抛物线y＝4x2－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．第4课时二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．会画二次函数y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x -h ）2的性质，并要会灵活应用； 三、探索新知：画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x …－4 －3 －2－1123 4 …y ＝－12 (x ＋1)2 ……y ＝－12 (x －1)2 ……描点并画图．12．请在图上把抛物线y ＝－12 x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－12(x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2 ． 四、整理知识点2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 五、课堂训练2．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________．3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．4．将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________． 六、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．第5课时 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质一、阅读课本：第9页．二、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象； 2．掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题． 三、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x …－4 －3－2－112…y ＝－12 (x＋1)2－1 ……由图象归纳：2．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．2．抛物线y＝a (x－h)2＋k与y＝ax2形状___________，位置________________．五、课堂练习3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y＝12x2相同的解析式为（）A．y＝12(x－2)2＋3 B．y＝12(x＋2)2－3 C．y＝12(x＋2)2＋3 D．y＝－12(x＋2)2＋34．二次函数y＝(x－1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y＝ax2＋k的顶点在直线y＝－2上，且x＝1时，y＝－3，求a、k的值．7．若抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A（3，5），则点A关于对称轴对称点A’的坐标为__________________．六、目标检测开口方向顶点对称轴y＝x2＋1y＝2 (x－3)2y＝－(x＋5)2－42．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（）A B CD4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）第6课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质一、阅读课本：二、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴；2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象．三、探索新知：1．求二次函数y＝1 2x2－6x＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y＝12x2－6x＋212．画二次函数y＝12x2－6x＋21的图象．解：y＝12x2－6x＋21配成顶点式为_______________________．x … 3 4 5 6 7 8 9 …y＝12x2……－6x＋213．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．四、理一理知识点：y＝ax2y＝ax2＋ky＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋ky＝ax2＋bx＋c开口方向五、课堂练习1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b ＝________，c＝_________．4．已知二次函数y＝－2x2－8x－6，当___________时，y随x的增大而增大；当x＝________时，y有_________值是___________．六、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y＝12x2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y＝－x2＋mx中，当x＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质一、复习知识点：二、学习目标：1．懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；2．知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．三、基本知识练习1．求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为_______________，与x轴的交点坐标____________．2．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．3．一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝______________．4．二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．5．一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________，△＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________．四、知识点应用1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点（含y＝0时，则在函数值y＝0时，x的值是抛物线与x轴交点的横坐标）．例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c与y轴交点（含x＝0时，则y的值是抛物线与y轴交点的纵坐标）．例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．a、b、c以及△＝b2－4ac对图象的影响．（1）a决定：开口方向、形状（2）c决定与y轴的交点为（0，c）（3）b 与－b2a共同决定b的正负性（4）△＝b2－4ac⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx例3 如图，由图可得：a_______0b_______0c_______0△______0例4 已知二次函数y＝x2＋kx＋9．①当k为何值时，对称轴为y轴；②当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点；③当k为何值时，抛物线与x轴只有一个交点．五、课后练习1．求抛物线y＝2x2－7x－15与x轴交点坐标__________，与y轴的交点坐标为_______．2．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．3．如图：由图可得：a_______0b_______0c_______0△＝b2－4ac______0六、目标检测1．求抛物线y＝x2－2x＋1与y轴的交点坐标为_______________．2．若抛物线y＝mx2－x＋1与x轴有两个交点，求m的范围．3．如图：由图可得：a _________0b_________0c_________0第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法△＝b2－4ac_________0一、阅读课本：二、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式．三、课前基本练习1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－12x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．四、例题分析例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．五、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）六、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？七、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．八、目标检测1．已知二次函数的图像过点A（－1，0），B（3，0），C（0，3）三点，求这个二次函数解析式．第9课时用函数观点看一元二次方程QPCBA一、阅读课本：二、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac 判断二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点的个数．三、探索新知1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．四、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx ＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c 与x轴没有公共点．五、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y ＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________（3）（4）4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0六、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0②如图2a＋b_______04a＋2b＋c_______02．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．七、目标检测根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；八、课后训练1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．第10课时实际问题与二次函数（1）一、阅读教科书：二、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值．三、课前基本练习1．抛物线y＝－(x＋1)2＋2中，当x＝___________时，y有_______值是__________．2．抛物线y＝12x2－x＋1中，当x＝___________时，y有_______值是__________．3．抛物线y＝a x2＋b x＋c（a≠0）中，当x＝___________时，y有_______值是__________．四、例题分析：（P15的探究）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少时，场地的面积S最大？五、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC＋BD ＝10，当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？4．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上．要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？六、目标检测如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形．当DCBAFEDC BA点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？第11课时 实际问题与二次函数（2）商品价格调整问题HGFED CBA一、阅读课本：二、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．会应用二次函数的性质解决问题．三、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y元．（2）设每件降价x元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件．四、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份）1 2 3 4 5 6市场售价P10.5 9 7.5 6 4.5 3（元/千克）份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）五、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？第12课时实际问题与二次函数（3）一、阅读课本：第25页探究3二、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题．三、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14x2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，这时水面离桥拱顶端的高度h是（）A．3m B．2 6 m C．4 3 mD．9m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？四、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；（2）求支柱MN的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不图①计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y＝kx2＋2x＋1（k＜0）的图象可能是（）2．如图：（1）当x为何范围时，y1＞y2?（2）当x为何范围时，y1＝y2?（3）当x为何范围时，y1＜y2?3．如图，是二次函数y＝ax2－x＋a2－1的图象，则a＝____________．4．若A（－134，y1），B（－1，y2），C（53，y3）为二次函数y ＝－x2－4x＋5图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y35．抛物线y＝(x－2) (x＋5)与坐标轴的交点分别为A、B、C，则△ABC的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B→C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．（2）设点P运动时间为t（秒）①当t＝5时，求出点P的坐标．②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．（1）求b、c的值；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．。
九年级数学下册1.5第2课时二次函数与利润问题及几何问题教学课件(新版)湘教版
果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 3 秒，四边形
APQC的面积最小.
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之 间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最 大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润 不低于16元？
探究点二 二次函数与几何面积
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一 边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一
边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ s
问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什 么作用？ 0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. 问题5 如何求最值？最值在其顶点处，即当x=15m时，
S=450m2.
变式2 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
1.5 二次函数的应用
第2课时 二次函数与利润问题及几何问题
情境 引入
合作 探究
随堂 训练
课堂 小结
情景引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实 际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒 的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
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合作探究
探究点一 二次函数与利润最大问题
市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，
《二次函数与一元二次方程的联系》导学案湘教版(2020年最新)
方程
实数根 .
☆ 达标检测 ☆
1、判断下列二次函数的图象与 x 轴有无交点， 如有， 求出交点坐标； 如没有，
说明理由．
y 4x2 4x 1 ；
y x2 2x 3；
y
1 x 2 3x 4
2
2
2
2、证明：抛物线 y=x - （ 2p-1 ） x+p -p 与 x 轴必有两个不同的交点。
3. 如图， 在同一直角坐标系中， 二次函数的图象与
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
学习思路 （纠错栏）
学习目标：
1. 知道二次函数与一元二次方程的联系，提高综合解决问题的能力．
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 会求抛物线与坐标轴交点坐标，会结合函数图象求方程的根
.
学习重点： 二次函数与一元二次方程的联系．
预设难点： 用二次函数与一元二次方程的关系综合解题．
☆ 预习导航 ☆
次方程 ax2＋ bx＋ c=0 的根有什么关系？
☆ 合作探究 ☆ 1. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx＋ c 与一元二次方程 ax2＋ bx＋ c=0 的关系如下： ① 当 b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 (x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元
二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．
两坐标轴分别交于 A（－ 1，0）、点 B（ 3，0）和点
C（ 0，－ 3），一次函数的图象与抛物线交于 B、 C
两点．⑴求一次函数与二次函数的解析式
(2) 根据图象 : 当自变量 x
时，一次函数值
大于二次函数值．
y
A
－1 O 1 －3 C
B
3x
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湘教版九年级下册数学课件 二次函数与利润问题及几何问题
例4 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随 矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积 S最大？
解:根据题意得 S=l(30-l),
即 S=-l2+30l (0<l<30). 因此，当 l b 30 15 时S有最大值，
2a 2 (1)
此时，
S 4ac b2 302 225. 4a 4 (1)
4.如图1，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm, 动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点 B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动
（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那
么经过 3 s，四边形APQC的面积最小. C
Q
A P 图1 B
一 二次函数与利润最大问题
典例精析
例1 某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果 以单价30元出售，那么一个月内售出180件，根据销售 经验，提高销售单价会导致销售量的下降，即销售单价 每上涨1元，月销售量将相应减少10件，当销售单价为 多少元时，该店能在一个月内获得最大利润？
①每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取 的商品总利润为y元，填空：
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销 售量或总利润=总售价总成本.
最大利 确定自变量 润问题 取 值 范 围
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0.
确定最大 利润
利用配方法或公式求最 大值或利用函数图象简 图和性质求出.
几何面积 最值问题
一个关键
依据
常见几何图形 的面积公式
建立函数 关系式
第1章 二次函数 1.5 二次函数的应用
湘教版初中数学九年级下册1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题PPT课件
第2课时 二次函数与利润问题及几何问题
情境 引入
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随堂 训练
课堂 小结
情景引入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实 际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒 的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
合作探究
探究点一 二次函数与利润最大问题
果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 3 秒，四边形
APQC的面积最小.
5. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之 间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图. （1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最 大？最大利润是多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润 不低于16元？
S=450m2.
变式 2 如图，用一段长为 60m 的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时， 菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
x
x
60-2x 问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
解:根据题意得
S=l(30-l),
200
即 S=-l2+30l (0<l<30).
100
因此，当
时， S有最大值
O 5 10 15 20 25 30
l
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的
矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜
3.如图a，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,
2020年春湘教版九年级数学下册教案1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题
第2课时二次函数与利润问题及几何问题1．掌握如何将实际问题转化为数学问题，进一步理解二次函数在解决实际问题中的应用；(重点、难点)2．能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题及图形中最大面积问题.一、情境导入如图所示，要用长20m 的铁栏杆，围成一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使围成的花圃的面积最大？如果花圃垂直于墙的一边长为x m ，花圃的面积为y m 2，那么y ＝x (20－2x )．试问：x 为何值时，才能使y 的值最大？二、合作探究探究点一：最大利润问题某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx 2－8mx ＋n ，其变化趋势如图②所示．(1)求y 2的解析式；(2)第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意可得，函数y 2的图象经过(3，6)，(7，7)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －24m ＋n ＝6，49m －56m ＋n ＝7，解得⎩⎨⎧m ＝18，n ＝638.∴y 2的解析式为y 2＝18x 2－x ＋638(1≤x ≤12，x 取整数)； (2)设y 1＝kx ＋b ，∵函数y 1的图象过(4，11)，(8，10)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝11，8k ＋b ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14，b ＝12.∴y 1的解析式为y 1＝－14x ＋12(1≤x ≤12，x 取整数)．设这种水果每千克所获得的利润为w 元．则w ＝y 1－y 2＝(－14x ＋12)－(18x 2－x ＋638)＝－18x 2＋34x ＋338，∴w ＝－18(x －3)2＋214(1≤x ≤12，x 取整数)，∴当x ＝3时，w 取最大值214，∴第3月销售这种水果，每千克所获的利润最大，最大利润是214元/千克．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题探究点二：几何面积问题用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．(1)求y 关于x 的函数关系式； (2)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作出判断．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝70，整理得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x ＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，所以不能围成70平方米的养鸡场．方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，再利用函数和方程的思想进行解答．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题三、板书设计本节课主要是用二次函数理论知识解决拱形(抛物线)类问题、最大面积和最大利润问题，通过对问题的探究解决，使学生认识到数学知识和生活实际的紧密联系，提高学习数学的积极性.。
九年级数学上册 2.5 一元二次方程的应用 第2课时 利润问题学案 (新版)湘教版
第2课时 利润问题1．会用一元二次方程解决一些常见的销售利润问题．2．学会观察、分析，提高运用一元二次方程解决实际问题的能力．阅读教材P50，完成下列问题：(一)知识探究1．单件商品利润＝________－________.2．利润率＝利润进价＝售价－进价进价. 3．售价＝进价×(1＋________)．4．总利润＝每件商品的________×商品的________．(二)自学反馈1．某品牌手机每部进价a 元，售价b 元，利润为________元；若降价x 元后则每部利润为________元．2．商场销售某品牌服装，每天售出m 件．调查发现，该服装每涨价1元，商场平均每天少销售10件，若涨价x 元，则每天可销售________件．3．某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天盈利1 600元，每件应降价多少元？活动1 小组讨论例 某商场销售一批衬衫，每件成本40元，据市场分析，若按每件80元销售，平均每天可售出20件．为了尽快减少库存，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，若衬衫单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果商场每天要盈利1 200元，衬衫的单价应降多少元？衬衫的销售单价应定为多少元？ 分析：本题的主要等量关系：单件利润×销售量＝总利润．解：若设每件衬衫降价x 元，则每件衬衫的售价为80－x 元．方程为(40－x)(20＋2x)＝1 200，原方程可化为x2－30x＋200＝0，解得x1＝10，x2＝20.由于要减少库存，所以需降价越多．因此x＝20，此时衬衫的销售单价为每件60元．利用一元二次方程解决实际问题时，要根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．活动2 跟踪训练1．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6 125元，每件商品应降价( ) A．3元 B．2.5元 C．2元 D．5元2．商场销售一批衬衫，每件进价为40元，若每件售价定为80元，平均每天售出20件；若衬衫单价每降2元，商场平均每天可多售出5件．如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1 600元，衬衫的销售单价应定为多少元？若设每件衬衫的销售定价为x元，则所列方程为________．3．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：每件商品降价________元时，商场日盈利可达到2 100元．4．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？活动3 课堂小结找准题目中的等量关系，会用一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．【预习导学】知识探究1．售价进价 3.利润率 4.利润销量自学反馈1．b－a b－a－x 2.m－10x 3.设每件应降价x元，根据题意，得(44－x)(20＋5x)＝1 600.解得x1＝4，x2＝36(不合题意，舍去)．答：每件服装应降价4元．【合作探究】活动2 跟踪训练1．B 2.(x －40)[20＋52(80－x)]＝1 600 3.20 4.设每件降价x 元，根据题意，得(60－x －40)(300＋20x)＝6 080，解得x 1＝1，x 2＝4.∵在顾客得实惠的前提下进行降价，∴取x ＝4.∴60－x ＝56(元)．答：应将销售单价定为56元．。
2019-2020年新湘教版初中数学九年级下册1.5 第2课时 二次函数与利润问题及几何问题导学案.doc
第2课时二次函数与利润问题及几何问题自学目的【知识与技能】1经历探索实际问题中两个变量的过程使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思路2初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题【过程与方法】经历优化问题的探究过程认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用发展我们运用数学知识解决实际问题的能力【情感态度】体会数学与人类社会的密切联系了解数学的价值增加对数学的理解和学好数学的信心【自学重点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系并运用二次函数的知识求出实际问题的最值【自学难点】二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣自学过程一、情境导入，初步认识问题1同学们完成下列问题已知y=2-2-3①= 时，y有最值，其值为；②当-1≤≤4时，y最小值为，y最大值为答案①1小，-4；②-4，5【自学说明】解决上述问题既是对前面所学知识的巩固，又是本节课解决优化最值问题的理论依据二、思考探究，获取新知自学点1最大面积问题阅读教材P30动脑筋，回答下列问题1若设窗框的宽为，则窗框的高为的取值范围是2窗框的透光面积S与之间的关系式是什么？3如何由关系式求出最大面积？答案：1832x-0<<832S=-322+40<<833S a=8 32例1如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点E，过E点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE，DE，要使剪下的两个正方形的面积和最小，点E应选在何处？为什么？解：设矩形纸较短边长为a设DE=，则AE=a-那么两个正方形的面积和y=2+(a-)2=22-2a+a2当=-21222aa-=⨯时，y最小值=2×（12a）2-2a×12a+a2=12a2即点E选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型再利用二次函数性质求解自学点2 最大利润问题例2 预习教材P31例题【自学说明】通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，首先要找出最值问题的二次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据解决问题例3某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低01元，其销售量可增加约10件将这种商品的售价降低多少时能使销售利润最大?【分析】找出进价售价销售总利润之间的关系建立二次函数再求最大值列表分析如下关系式：每件利润=售价-进价，总利润=每件利润×销量解设降价元，总利润为y元，由题意得y=(10--8)(100+100)=-1002+100+200=-100(-05)2+225当=05时，总利润最大为225元∴当商品的售价降低05元时，销售利润最大三、运用新知，深化理解1如图，点是线段AB上的一个支点AB=1分别以A和B为一边作正方形用S表示这两个正方形的面积之和下列判断正确的是( )A当是AB的中点时S最小B当是AB的中点时S最大当为AB的三点分点时S最小D当是AB的三等分点时S最大第1题图第2题图2如图某水渠的横断面是等腰梯形底角为120°，两腰与下底的和为4c，当水渠深为时，横断面面积最大，最大面积是3某经销店为某工厂代销一种建筑材料当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销，经市场调查发现：当每吨售价下降10元时，月销售量就会增加75吨综合考虑各种因素，每售出1吨建筑材料共需支付厂家及其他费用100元，设每吨材料售价为（元），该经销店的月利润为y（元）①当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；②求出y与的函数关系式（不要求写出的取值范围）；③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由【答案】1A2235c35c23解：①45+26024010-×75=60（吨）②y=(-100)(45+26010x-×75)化简，得y=-342+315-24 000③y=-342+315-24 000=-34(-210)2+9 075此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元④我认为小静说得不对理由当月利润最大时为210元，每月销售额W=(45+26010x-×75=-34(-160)2+19 200当为160元时，月销售额W最大∴当为210元时，月销售额W不是最大的∴小静说得不对【自学说明】1先列出函数的解析式，再根据其增减性确定最值2要分清利润销售量与售价的关系;分清最大利润与最大销售额之间的区别四、预习小结这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围并能求出实际问题的最值。
湘教版二次函数图象与性质1导学案.docx
1.2二次函数的图象与性质第一课时二次函数y = ax2(a>0)的图象与性质导学案教学目标【知识与技能】1•会用描点法画二次函数的图象，并根据图象认识、理解并掌握其性质；2.体会“数形结合”思想，能运用二次函数)=祇'《>0)的图象解决简单的实际问题。
【过程与方法】经历探索二次函数)‘，=^2@>0)的图象和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验, 培养观察、思考、归纳的良好习惯。
【情感态度】通过动手画图和同学之间的交流与讨论，达到对二次函数y = ax2(a>0)的图象和性质的深入理解，从而使学生产生对二次函数的兴趣，调动学生的学习积极性。
教学重点1.会画二次函数y = ax2(a>0)的图象；2.理解并掌握函数图象的性质。
教学难点对二次函数图象及性质及探究过程的体会和对“数形结合”思想的理解和应用。
【导学过程】1.请回忆我们之前所学的一次函数、反比例函数的图象特征分別是什么？2.如何画出它们的图彖，画函数图彖的步骤是什么？探究一：二次函数y = ax2(a>0)的图象画二次函数y = x2的图象步骤1.列表：对于二次函数y = F而言，其自变量兀可取任意实数，因此可让x取0和一些互为相反数的数，并算出相应的函数值-3-2-10123• • •X• • •y = x2• • •• • •步骤2.描点：在平面直角坐标系内，以x的取值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出相应的点步骤3•连线：将之前描出的点按顺次用光滑的曲线连接，就得到了函数y = x2的图象。
观察并总结二次函数)p干的图像的特点:1•它是一条_____ ，它具有______ 性，它的对称轴是 ____ ;对称轴与图象的交点坐标是______ ,图象的开口向_____ o2. ______________________________________________________________ 函数图象在对称轴左边的部分，函数值随自变量取值的增大而___________________________ ,简称为" ______ ”；函数图象在对称轴右边的部分，函数值随自变量取值的增大而______ ,简称为“______ ”。
湘教版九年级数学下册《二次函数的图象与性质(3)》导学案-新版
第3课时 二次函数y ＝a(x-h)2的图象与性质学习目标：1．会画二次函数2)(h x a y -=的图象；2. 掌握二次函数2)(h x a y -=的性质，并会应用；3. 知道二次函数2)(h x a y -=与2ax y =的联系． 学习过程： 一、预习导入1.将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 ．2.将抛物线142+-=x y 的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 ．二、自主学习例、在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =,2)1(+=x y ，2)1(-=x y 的图象； 解：先列表：描点，并画图观察图象可得：1.抛物线2)1(+=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ，图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ． 抛物线2)1(+=x y 可以看作由抛物线2x y =向 平移 个单位形成的． 2.抛物线2)1(-=x y 的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即x = 时，y 有最 值是 ；在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而 ；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 ．抛物线2)1(+=x y 可以看作由抛物线2x y =向 平移 个单位形成的． 3.抛物线2)1(+=x y ，2)1(-=x y 与2x y =的形状___________．变式训练：在同一直角坐标系中，画出二次函数221x y -=，2)1(21+-=x y ，2)1(21--=x y 的图象．解：列表x描点，并画图1．观察图象，填表：2．抛物线y＝－12(x＋1)2，y＝－12x2，y＝－12(x－1)2的形状大小___________．把抛物线y＝－12x2向平移_______个单位，就得到抛物线y＝－12(x＋1)2；把抛物线y＝－12x2向平移_______个单位，就得到抛物线y＝－12(x-1)2．三、归纳提升（一）抛物线2)(h x a y -=特点：1.当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 ．（二）抛物线2)(h x a y -=与2y ax =形状相同，位置不同，抛物线2)(h x a y -=是由抛物线2y ax = 平移得到的．（填上下或左右）(三） 抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，抛物线k ax y +=2是由抛物线2y ax = 平移得到的．（填上下或左右）综上可知：二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 ．（填+或-） （四）a 的正负决定开口的 ，0a >时，开口向 ，0a <时，开口向 ；a 的大小决定开口的 ，a 越大，开口越 ．a 越小，开口越 ；即a 不变，则抛物线的形状 ．因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 ． 四、题组训练 A 组：3. 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；4.抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．5. 抛物线24y x =-向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． B 组：6．将抛物线()2123y x =--向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．7．抛物线()242y x =-与y 轴的交点坐标是_______，与x 轴的交点坐标为________． 8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式_______________．9．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则m ＝__________，n ＝___________．10．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．11．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．12.已知二次函数2)(h x a y -=的图象是由抛物线23x y -=平移得到的，且二次函数2)(h x a y -=的图象经过点（1，-3），求此二次函数的解析式．。
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1 a 时， y
最小值 =2×（
1
2
a） -2a ×
1
21
a+a =
2
a
22 2
2
2
2
即点 E 选在矩形纸较短边的中点时，剪下的两个正方形的面积和最小
.
【自学说明】此题要充分利用几何关系建立二次函数模型
, 再利用二次函数性质求解 .
自学点 2 最大利润问题
例 2 预习教材 P31 例题
【自学说明】 通过例题讲解使学生初步认识到解决实际问题中的最值，
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图 , 某水渠的横断面是等腰梯形 , 底角为 120°，两腰与下底的和为 4cm，当水渠深
x为
时，横断面面积最大，最大面积是
.
3. 某经销店为某工厂代销一种建筑材料 , 当每吨售价为 260 元时， 月销售量为 45 吨，该
经销店为提高经营利润， 准备采取降价的方式进行促销， 经市场调查发现： 当每吨售价下降
第 2 课时 二次函数与利润问题及几何问题
自学目的
【知识与技能】
1. 经历探索实际问题中两个变量的过程
, 使学生理解用抛物线知识解决最值问题的思
路.
2. 初步学会运用抛物线知识分析和解决实际问题 .
【过程与方法】
经历优化问题的探究过程 , 认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用
,
发展我们运用数学知识解决实际问题的能力 .
③ y=- 3 x2+315x-24 000=- 3 (x-210)2+9 075.
4
4
此经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨
210 元 .
④我认为 , 小静说得不对 .
理 由 : 当 月 利 润 最 大 时 ,x 为 210 元 ， 每 月 销 售 额 W=x(45+ 260 x × 7.5=- 3
【情感态度】
体会数学与人类社会的密切联系 , 了解数学的价值 , 增加对数学的理解和学好数学的信
心.
【自学重点】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系
, 并运用二次函数的知识求出实际
问题的最值 .
【自学难点】
二次函数最值在实际中生活中的应用，激发学生的学习兴趣
.
自学过程
一、情境导入，初步认识 问题 1 同学们完成下列问题 : 已知 y=x2-2x-3
【分析】找出进价 , 售价 , 销售 , 总利润之间的关系 , 建立二次函数 , 再求最大值 . 列表分析
如下 :
第 2页 共 4页
关系式：每件利润 =售价 - 进价，总利润 =每件利润×销量 . 解 : 设降价 x 元，总利润为 y 元，由题意得 y=(10-x-8)(100+100x)=-100x 2+100x+200=-100(x-0.5) 2+225. 当 x=0.5 时，总利润最大为 225 元. ∴当商品的售价降低 0.5 元时，销售利润最大 . 三、运用新知，深化理解 1. 如图，点 C 是线段 AB上的一个支点 ,AB=1, 分别以 AC和 CB为一边作正方形 , 用 S表示 这两个正方形的面积之和 , 下列判断正确的是 ( ) A. 当 C 是 AB 的中点时 ,S 最小 B. 当 C 是 AB 的中点时 ,S 最大 C. 当 C 为 AB 的三点分点时 ,S 最小 D. 当 C 是 AB 的三等分点时 ,S 最大
首先要找出最值
问题的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ次函数关系式，利用二次函数的性质为理论依据来解决问题
.
例 3 某商店将每件进价 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可销出约 100 件，该
店想通过降低售价， 增加销售量的办法来提高利润， 经过市场调查， 发现这种商品单价每降
低 0.1 元，其销售量可增加约 10 件 . 将这种商品的售价降低多少时 , 能使销售利润最大 ?
④小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大 . ”你认为对吗？请说明理由 . 【答案】
1.A 2. 2 3 cm, 4 3 cm2
5
5
3. 解：① 45+ 260 240 × 7.5=60 （吨） . 10
第 3页 共 4页
② y=(x-100)(45+ 260 x × 7.5). 10
化简，得 y=- 3 x 2+315x-24 000. 4
① x=
时， y 有最
值，其值为
；
②当 -1 ≤ x≤ 4 时， y 最小值为
， y 最大值为 .
答案 : ① 1, 小， -4 ；② -4 ， 5
【自学说明】 解决上述问题既是对前面所学知识的巩固， 又是本节课解决优化最值问题
的理论依据 .
二、思考探究，获取新知
自学点 1 最大面积问题
阅读教材 P30 动脑筋，回答下列问题 .
第 1页 共 4页
1. 若设窗框的宽为 xm，则窗框的高为
m,x 的取值范围是
.
2. 窗框的透光面积 S 与 x 之间的关系式是什么？
3. 如何由关系式求出最大面积？
答案： 1. 8 3x 0<x< 8
2
3
2.S=- 3 x 2+4x,0<x< 8
2
3
3.S = max 8 m2. 3
例 1 如图，从一张矩形纸片较短的边上找一点
10 元时，月销售量就会增加 7.5 吨. 综合考虑各种因素，每售出 1 吨建筑材料共需支付厂家
及其他费用 100 元，设每吨材料售价为 x（元），该经销店的月利润为 y（元） .
①当每吨售价是 240 元时，计算此时的月销售量；
②求出 y 与 x 的函数关系式（不要求写出 x 的取值范围） ；
③该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
10
4
(x-160) 2+19 200. 当 x 为 160 元时，月销售额 W最大 . ∴当 x 为 210 元时，月销售额 W不是
最大的 . ∴小静说得不对 .
【自学说明】 1. 先列出函数的解析式， 再根据其增减性确定最值 .2. 要分清利润 , 销售量
与售价的关系 ; 分清最大利润与最大销售额之间的区别 .
E，过 E 点剪
下两个正方形，它们的边长分别是 AE， DE，要使剪下的两个正方
形的面积和最小，点 E 应选在何处？为什么？
解 ： 设 矩 形 纸 较 短 边 长 为 a, 设 DE=x， 则 AE=a-x, 那 么 两 个 正 方 形 的 面 积
2
2
2
2
2a
和 :y=x +(a-x) =2x -2ax+a 当 x=-
四、预习小结
这节课你学到了什么 ?还有哪些疑惑 ?
能根据实际问题建立二次函数的关系式并确定自变量取值范围
, 并能求出实际问题的最
值.
第 4页 共 4页