概率与数理统计第一章1

1) 符号:
A⊂ B
集合论中的含义: 若e∈A,则e∈B 概率论中的含义: 若A发生,则B发生. 这时我们称事件B包含了事件A. 若 A ⊂ B 同时 B ⊂ A ,则称A与B相等,记为A=B.
2) 符号: A∪B 集合论中的含义: 集合论中的含义
e∈ A∪ B 概率论中的含义: 概率论中的含义
样本空间、 第二节 样本空间、随机事件
定义 随机试验E的所有可能结 所有可能结 果组成的集合称为E的样本空间 样本空间, 果组成的集合 样本空间 记为S, S的元素,即E的一个可能的 结果,称为样本点 基本事件 样本点或基本事件 样本点 基本事件.
上面提到的各试验 E k 的样本空间 S k 分别为:
事件A ∪ B 发生
⇔ ⇔
e∈A或e∈B 事件A发生或事件B发生
⇔ 事件A与事件B至少有一个发生
将 A ∪ B 称为 A, B 的和事件 和事件,它表示“ A与B 至少有 和事件 一个发生”.这一新事件.
将“ U Ak ” 称为 n 个事件 A1,A2,… An 的和事件 和事件, 事件 …
k =1
6) 符号: B= A 集合论中的含义:B是A的补集 补集,即有 集合论中的含义 补集
A ∪ B = S 且 AB = φ
概率论中的含义:事件A与B有且只有一个发生. 称 B= A为事件A的逆事件或对立事件 从上面我们可以看出事件的运算实际上就是集 合的运算,因此,和集合的运算一样,事件的运算同样 应该满足下面的几条规律 ：
φ,它不包含任何元素,因此在每次试验中都不发生,
不可能事件. 我们将其称为不可能事件 不可能事件
二.事件间的相互关系与运算 由于事件是样本空间的一个子集,因此本节所涉 及到的事件之间的关系与运算就是集合间的关系 事件之间的关系与运算就是集合间的关系 与运算,但是事件之间的关系与运算需要一套特别 与运算 的语言来描述,并且熟悉这种特别的语言对本章及 以后的学习起着非常重要的作用. 这一部分的重点就是能正确地将集合论中的符 号翻译成概率论的语言.
k =1
n
表示“A1,A2,…An 同时发生 同时发生”这一事件；
∞
称 I Ak 为可列个事件 A1,A2, … An… 的积事件 可列个事件 的积事件，它
k =1
“表示 A1,A2,…An…同时发生 表示 同时发生”这一事件.
例1 设有n座桥梁如下图所示串联而成
L
1
2
n
R
用A表示事件“L至R是通路”，Ai表示“第i座桥梁 是畅通的”(i=1,2,…,n),则有
二.不确定性现象或随机现象 不确定性现象或随机现象 这类现象的特点是,即使在相同的条件下 每次试 在相同的条件下,每次试 在相同的条件下 验所得的结果也会不相同,或者已知它过去的状态 已知它过去的状态, 验所得的结果也会不相同 已知它过去的状态 它将来的发展状态仍然无法确定.比如,抛掷一枚 它将来的发展状态仍然无法确定 质地均匀的硬币,硬币落地后既有可能出现反面也 有可能出现正面;两支足球队进行多场比赛时,每 场比赛的结果也不会完全相同;下一个星期的股市 可能会涨也可能会跌;刘翔能不能在北京奥运会上 卫冕成功;等等.
B = {HT , TH , HH }
一般地,我们用英文字母表中前面的大写字母(可 以带下标)表示事件,如用 A, B, C, A1, B3, D17等.
设A为随机事件,如果试验的结果e属于A,则称事 件A发生.即 事件A发生
⇔ 试验的结果 e∈A
样本空间有两个特殊的子集,一个是S本身,由于它 包含了所有可能的结果,所以在每次试验中它总是 发生的,我们将其称为必然事件 必然事件;另一个子集是空集 必然事件
n:抛掷硬币的次数;nH:正面朝上的次数；f n ( H ) = nH / n
从表中我们可以看到,随着试验次数的增加, 正面朝上的次数所占的比例将逐渐稳定于 这种在大量试验中呈现的稳定性,我 50%.这种在大量试验中呈现的稳定性 我 这种在大量试验中呈现的稳定性 们将其称之为统计规律性.正是这种规律性 们将其称之为统计规律性 的存在,使得我们利用数学工具来研究随机 现象成为可能.概率论与数理统计就是研究 和揭示随机现象统计规律性的数学分支.
e∈ A∩ B
⇔
e∈ A且e∈ B
A 发生且 B 发生
概率论中的含义: 概率论中的含义 事件 A ∩ B 发生
⇔
⇔
A, B 同时发生.
将 A ∩ B 或 AB 称为 A, B 的积事件 积事件,它表示 事件 A 与 B “事件 积事件 同时发生”这一事件. 同时发生
类似地， I Ak 为 n 个事件 A1,A2,…An 的积事件 它 称 的积事件， 事件
第一节 随机试验
下面是一些试验的例子: E1:抛一枚硬币,观察正面H反面T的出现情况; E2:抛一枚硬币两次,观察正面H反面T的出现情况; E3:抛一枚硬币三次,观察正面H反面T的出现情况; E4:掷一颗骰子,观察出现的点数; E5:在家电仓库里随机地抽取一台电视机,测试它 的寿命; E6:记录某一天城市发生车祸的次数.
A =
n
I
Ai
i =1
如果这n座桥梁如下图所示是并联而成的，
1
L
2
R
n
则有
A=
n
UA
i =1
i
4) 符号:
A− B
集合论中的含义: 集合论中的含义
e∈ A− B
⇔
e∈ A且e∉ B
概率论中的含义: 概率论中的含义
A − B 发生 ⇔ A 发生但 B 不发生.
称 A − B 为 A 与 B 的差事件 差事件,它表示“事件 A 发生 差事件 事件 不发生”这一新事件. 而事件 B 不发生
3){A,B,C恰好发生两个}可以表示为
ABC ∪ ABC ∪ ABC
4){A,B,C中有不多于一个发生}可以表示为
ABC ∪ ABC ∪ ABC ∪ ABC
例2 如图所示的系统中,设A,B,C分别表示元件a,b, c 能正常工作的,D为整个系统能正常工作,则有
b a c
D = AC ∪ AB
该例表明,在实际问题中,事件之间相互关系的确 定有时不必直接借助于集合,而只须从概率论本身 的含义出发即可.
S1 = {H , T } S 2 = {HH , HT , TH , TT }
S3 = {HHH , HHT , HTH , HTT , THH , THT , TTH , TTT }
S 4 = {1,2,3,4,5,6}
S5 = {t : t ≥ 0} S 6 = {0,1,2,3,L}
再设E7表示试验:将一枚硬币抛掷两次,观察正 面出现的次数,则此时样本空间为
下面是一些常用的公式：
A − B = A − AB
A − B = AB
例 3．以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， 则事件 A 表示（ D ） A. 甲乙产品均畅销 B. 甲种产品滞销，乙种产品畅销 C. 甲种产品畅销 D. 甲种产品滞销或乙种产品畅销
第三节 频率与概率
研究随机现象不仅要知道可能出现哪些事件, 还要知道各种事件出现的可能性的大小.我们把衡 量事件发生可能性大小的数量指标称作事件的概 率.事件A的概率用P(A)来表示. 问题:对于一个给定的随机事 件,衡量它发生可能性大小的 数量指标——概率 概率,是如何确 概率 定的？
n
它表示“A1,A2,…An 至少有一个发生 … 至少有一个发生”这一事件；
∞
将“ U Ak ” 称为可列个事件 A1,A2,…An…的和事 可列个事件 …
k =1
至少有一个发生”这一事件. 件,它表示“A1,A2,…An…至少有一个发生 …
3)符号: A∩B 或 AB 集合论中的含义: 集合论中的含义
n n≥ 1
A∩B = A∪B
UA = IA
n≥ 1
IA = UA
n n≥1 n≥1
n
正确地用字母表示事件的关系与运算是相当重 要的,在很多时候往往成为解题的关键.
例1 设A,B,C为三个事件,则 1)事件{A与B发生而C不发生}可以表示为
ABC
2){A,B,C至少有两个发生}可以表示为
AB∪ AC ∪B C
华北电力大学大学公共数学系列课程之一
信息与计算科学教研等教育出版社.2002.8
第一章 随机事件与概率
引 言 第一节 随机试验 第二节 样本空间 随机事件 第三节 频率与概率 第四节 等可能概型 第五节 条件概率 第六节 独立性
引
言
现实世界中存在的两类现象: 一.确定性现象 确定性现象 这类现象的特点是,一旦某些确定的条件给定 某 一旦某些确定的条件给定,某 一旦某些确定的条件给定 一特定的结果将必定会发生,或者已知它过去的状 一特定的结果将必定会发生 已知它过去的状 ,它将来的发展状态也被完全确定 它将来的发展状态也被完全确定.比如,在一个标 , 态,它将来的发展状态也被完全确定. 准大气压下,水在100℃时一定沸腾;太阳每天都会 从东方升起;日全食和月全食的发生时刻;等等.可以 说正是这一类现象的存在,导致了人们相信自然界 中一定存在着秩序和规律的信念,这种信念又进一 步导致了近代科学的发展.
以上所述的试验具有如下的共同特点: (1)可在相同的条件下重复进行 重复进行; 重复进行 (2)每次试验的可能结果不止一个,但是能事先明确 事先明确 试验的所有可能的结果; (3)试验之前不能确定 (3) 不能确定哪一个结果会出现. . 不能确定 一般地,我们称满足以上三个特点的试验为随机 随机 试验.简称为试验. 试验
随机现象虽然给人的感觉是难以捉摸不好把握, 似乎丧失了确定性模型中所固有的客观性.但是人 们发现很多随机现象依然存在着固有的规律性,这 种规律性往往是在大量的试验中呈现出来的. 下面 是历史上一些科学家所做的著名的抛硬币试验以及 相关的数据： 实验者 nH f n (H ) n